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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÂO

Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel Utilizando Materiais Ferrimagnéticos e Metamateriais

Cristhianne de Fátima Linhares de Vasconcelos

Orientador: Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva

Co-orientadores: Profª. Dra. Maria Rosa Medeiros Lins de Albuquerque

Prof. Dr. José de Ribamar Silva Oliveira

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Computação da UFRN (área de concentração: Engenharia Elétrica) como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências.

Número de ordem PPgEE: Natal, RN, Abril de 2010

Desenvolvimento de Antenas de Microfita com

Patch em Anel Utilizando Materiais

Ferrimagnéticos e Metamateriais

Cristhianne de Fátima Linhares de Vasconcelos

Divisão de Serviços Técnicos Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede

Vasconcelos, Cristhianne de Fátima Linhares de. Desenvolvimento de antenas de microfita com Patch em anel

utilizando materiais ferrimagnéticos e metamateriais / Cristhianne de Fátima Linhares de Vasconcelos. – Natal, RN, 2010.

116 f. : il.

Orientador: Sandro Gonçalves da Silva.

Co-orientador: Maria Rosa Medeiros Lins de Albuquerque e José de Ribamar Silva Oliveira.

Tese (doutorado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação.

1. Antenas de microfita com Patch em anel – Tese. 2. Materiais ferrimagnéticos – Tese. 3. Metamateriais – Tese. I. Silva, Sandro Gonçalves da. II. Albuquerque, Maria Rosa Medeiros Lins de. III. Oliveira, José de Ribamar Silva. IV. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. V. Título.

“O valor das coisas não está no tempo em que elas duram,

mas na intensidade com que acontecem. Por isso existem momentos inesquecíveis,

coisas inexplicáveis e pessoas incomparáveis."

(Fernando Pessoa)

Agradecimentos

Agradeço a Deus, que me deu força nos momentos de fraqueza, coragem nos

momentos difíceis e determinação nos momentos incertos, para alcançar este objetivo tão

esperado por mim e todos ao meu redor;

Aos meus pais, Oriel e Fátima, ao meu irmão, Webervann, meus agradecimentos a

todos pelo amor, confiança, incentivo e por serem sempre o meu refúgio;

Ao meu esposo, Sérgio, pelo amor, compreensão, paciência e companheirismo ao

longo desses anos. Em especial, às minhas filhas Marília e Milenna, estímulos que me

impulsionaram a buscar vida nova a cada dia, aceitando se privar de minha companhia

pelos estudos, concedendo a mim a oportunidade de me realizar ainda mais;

A todos que, de uma forma ou de outra, contribuíram para a realização deste sonho,

em especial, todos os meus avós e tios;

À minha sogra, Lucy, e meu sogro, Valfredo (in memoriam), que cuidaram das

netas muitas vezes durante minha ausência;

Ao orientador Sandro e ao co-orientador Ribamar, pela dedicação, compreensão e

amizade comprovada no transcorrer deste trabalho, sempre me apoiando e incentivando;

À co-orientadora Maria Rosa, por todo apoio, incentivo, compreensão,

solidariedade e por todos os conhecimentos e momentos compartilhados durante todo o

nosso convívio, sendo parte fundamental na concretização deste trabalho;

Ao professor Adaildo, pelo seu otimismo, disposição, solidariedade e incentivo;

Aos demais mestres, colegas e funcionários da UFRN, bem como todos os colegas e

mestres do IFPB;

A CAPES, pelo suporte financeiro concedido para a realização deste trabalho.

Resumo

Em geral, os materiais utilizados como substratos no projeto de antenas de microfita

são: dielétricos isotrópicos, dielétricos anisotrópicos e ferrimagnéticos (anisotrópicos

magnéticos). No entanto, o uso de materiais ferrimagnéticos em substratos de antenas de

microfita do tipo patch tem-se concentrado em análises que utilizam geometrias circulares e

retangulares. Na última década, uma nova classe de materiais com características

bianisotrópicas, apresentando permissividade e permeabilidade tensoriais, tem surgido e

despertado bastante interesse, sendo denominados metamateriais. Portanto, este trabalho

apresenta uma análise teórica e numérica das características ressonantes de uma antena de

microfita com patch em anel, utilizando como substratos materiais ferrimagnéticos e

metamateriais. A análise utiliza o formalismo de onda completa através da aplicação do

método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da transformada de Hankel. A

definição dos potenciais vetoriais de Hertz e a imposição das condições de contorno

adequadas à estrutura permitem determinar as funções diádicas de Green, relacionando as

componentes da densidade de corrente no patch com as componentes tangenciais do campo

elétrico. O método de Galerkin é então usado para obter a equação matricial, cuja solução

não trivial fornece a freqüência de ressonância da antena. A partir da modelagem, é

possível obter resultados para a freqüência de ressonância em função de vários parâmetros

da antena de microfita com patch em anel, para diferentes configurações e substratos, além

do diagrama de radiação, perda de retorno e da largura de banda. São consideradas

estruturas de antenas de microfita com patch em anel sobre múltiplas camadas

ferrimagnética/metamaterial sobre dielétrico isotrópico. A análise numérica para antenas

com uma única camada ferrimagnética ou metamaterial e para antenas suspensas são

obtidas como casos particulares.

Abstract

In general, the materials used as substrates in the project of microstrip antennas are:

isotropic, anisotropic dielectrics and ferrimagnetic materials (magnetic anisotropy). The use

of ferrimagnetic materials as substrates in microstrip patch antennas has been concentrated

on the analysis of antennas with circular and rectangular patches. However, a new class of

materials, called metamaterials, has been currently the focus of a great deal of interest.

These materials exhibit bianisotropic characteristics, with permittivity and permeability

tensors. The main objective of this work is to develop a theoretical and numerical analysis

for the radiation characteristics of annular ring microstrip antennas, using ferrites and

metamaterials as substrates. The full wave analysis is performed in the Hankel transform

domain through the application of the Hertz vector potentials. Considering the definition of

the Hertz potentials and imposing the boundary conditions, the dyadic Green’s function

components are obtained relating the surface current density components at the plane of the

patch to the electric field tangential components. Then, Galerkin’s method is used to obtain

a system of matrix equations, whose solution gives the antenna resonant frequency. From

this modeling, it is possible to obtain numerical results for the resonant frequency, radiation

pattern, return loss, and antenna bandwidth as a function of the annular ring physical

parameters, for different configurations and substrates. The theoretical analysis was

developed for annular ring microstrip antennas on a double ferrimagnetic/isotropic

dielectric substrate or metamaterial/isotropic dielectric substrate. Also, the analysis for

annular ring microstrip antennas on a single ferrimagnetic or metamaterial layer and for

suspended antennas can be performed as particular cases.

i

Sumário

Sumário i

Lista de Figuras iv

Lista de Tabelas ix

Lista de Símbolos e Abreviaturas x

Capítulo 1 Introdução 1

Capítulo 2 Materiais Ferrimagnéticos 8

2.1 Histórico

8

2.2 Antenas de Microfita com Patch em Anel sobre Ferrita

9

2.3 Representações dos Campos Através do Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz

13

2.4 Aplicação do Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz no Domínio da Transformada de Hankel

19

2.5 Modelamento da Antena de Microfita com Patch em Anel com Ferrita e Dielétrico Isotrópico

23

2.6 Aplicação do Método de Galerkin

28

2.7 Conclusão

31

ii

Capítulo 3 Resultados Numéricos – Ferrimagnéticos

32

3.1 Introdução

32

3.2 Antena de Microfita com Patch em Anel sobre Substrato Ferrimagnético

33

3.3 Antena de Microfita com Patch em Anel sobre duas camadas Ferrimagnética/Dielétrica

44

3.4 Conclusão

50

Capítulo 4 Metamateriais

51

4.1 Introdução

51

4.2 Metamateriais: Uma nova classe de materiais

54

4.3 Projeto do Meio Metamaterial 4.3.1 Modelo Drude-Lorentz 4.3.2 Meios SRR e fios milimétricos

57

58

61

4.4 Antenas de Microfita com Patch em Anel sobre Substratos Metamaterial

63

4.5 Conclusão 77

Capítulo 5 Resultados Numéricos – Metamateriais

78

5.1 Introdução

78

5.2 Caracterização do Substrato Metamaterial

82

5.3 Antena de Microfita com Patch em Anel sobre Substrato Metamaterial 5.3.1 Caso 1 5.3.2 Caso 2 5.3.3 Caso 3

88

89

92

94

iii

5.3.4 Caso 4

97

5.4 Resultado Comparativo 100 5.5 Conclusão 102

Capítulo 6 Conclusões

103

Referências Bibliográficas 108

iv

Lista de Figuras

Capítulo 1

1.1 Antena de microfita com patch em anel. 3

1.2 Estrutura de um metamaterial projetado pelo grupo de D.R. Smith. 5

Capítulo 2

2.1 Antena de microfita com patch em anel sobre substrato com duas camadas, sendo uma anisotrópica ferrimagnética e outra dielétrica isotrópica.

11

2.2 Freqüência de ressonância em função do campo magnetostático de polarização aplicado em uma antena de microfita com patch em anel com duas camadas.

12

2.3 Sistema de coordenadas cilíndricas adotado na modelagem da antena de microfita com patch em anel.

16

2.4 Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel com duas camadas, sendo ferrita suspensa por um dielétrico isotrópicas.

23

Capítulo 3

3.1 Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel sobre substrato ferrimagnético.

33

3.2 Curva da freqüência de ressonância em função do campo magnético estático externo.

34


35

3.4 Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade de campo magnético DC normalizado, para diferentes dimensões de anel.

35

3.5 Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade de campo magnético DC normalizado, para diferentes dimensões de anel e

36

v

magnetização de saturação.


37

3.7 Perda de retorno em função da freqüência de ressonância.

38

3.8 Perda de retorno para 12,7 GHz para a antena de microfita com patch em anel sobre ferrita.

38

3.9 Curva da freqüência de ressonância em função da razão dos raios do anel.

39

3.10 Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo magnético DC.

40


41

3.12 Curva da freqüência de ressonância em função da razão dos raios do anel.

42


43


43

3.15 Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel sobre duas camadas (ferrita/dielétrico).

44


45


45

3.18 Curva da freqüência de ressonância em função da altura da camada dielétrica.

46

3.19 Diagrama de radiação (Eθ) para dois valores diferentes de altura da camada dielétrica, d3.

47

3.20 Diagrama de radiação (Eφ) para dois valores diferentes de altura da camada dielétrica, d3.

47

3.21 Diagrama de radiação (Eθ) para dois valores diferentes de permissividade para a camada dielétrica, d3.

47

vi

3.22 Curva da freqüência de ressonância em função da altura da camada

dielétrica.

48


49


49

Capítulo 4

4.1 Arranjo de fios condutores para produzir um meio efetivo com permissividade negativa

52

4.2 Ressoador em anel dividido (SRR) para produzir um meio efetivo com permeabilidade negativa.

52

4.3 Arranjo de SRR e fios metálicos criando um meio efetivo com ε e µ negativos.

53

4.4 Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (µ) para os quatro tipos de meios.

55

4.5 Ilustração da propagação em um meio (a) com índice de refração positivo (RHM) e (b) com índice de refração negativo (RHM). θ1 é o ângulo de incidência e θ2 é o ângulo de refração.

56

4.6 Ilustração das direções do campo elétrico, do campo magnético, do vetor de Poynting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM.

57

4.7 (a) estrutura composta por fios milimétricos (thin wire - TW). (b) estrutura composta pelos SRRs.

58

4.8 Permissividade elétrica relativa modelada pelo modelo de Drude, com Γ = 0.5 GHz.

59

4.9 Permissividade elétrica relativa modelada pelo modelo de Drude.

60

4.10 Permeabilidade elétrica relativa modelada pelo modelo de Lorentz.

60

4.11 Formas de arranjo geométrico.

61

4.12 Primeiras estruturas LH de TW e SRRs. (a) Estrutura LH unidimensional. (b) Estrutura LH bidimensional.

66

vii

4.13 Antena de microfita com patch em anel sobre substrato metamaterial. 67

Capítulo 5

5.1 Primeira estrutura metamaterial. Reproduzido de (SMITH et al., 2000)

81

5.2 Curva da freqüência de ressonância em função da permissividade relativa efetiva.

82

5.3 Curva da freqüência de ressonância em função da permissividade relativa efetiva.

83

5.4 Geometria de um SRR.

83

5.5 Curva da freqüência de ressonância em função da permeabilidade relativa efetiva.

84


85


85


86


87

5.10 Curva da freqüência de ressonância em função do meio composto por SRR+TW.

87

5.11 Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel sobre substrato metamaterial.

88

5.13 Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.

90


91


91


93


93

5.18 Perda de retorno em função da freqüência de ressonância. 94

viii


96


96


98


98


99


99

5.25 Perda de retorno em função da freqüência de ressonância. 100

5.26 Freqüência de ressonância em função do raio externo 101

ix

Lista de Tabelas

x

Lista de Símbolos e Abreviaturas

φ Ângulo de azimute

θ Ângulo de elevação

φΕ Componente de campo elétrico na direçãoφ

ρΕ Componente de campo elétrico na direção ρ

zΕ Componente de campo elétrico na direção z

φΗ Componente de campo magnético na direçãoφ

ρΗ Componente de campo magnético na direção ρ

zΗ Componente de campo magnético na direção z

φφε Componente do tensor permissividade relativa na direção φ

ρρε Componente do tensor permissividade relativa na direção ρ

zzε Componente do tensor permissividade relativa na direção z

−Ι Componente anti-horária da densidade de corrente superficial

−Ε Componente negativa do campo elétrico

−Η Componente negativa do campo magnético

+Ι Componente horária da densidade de corrente superficial

+Ε Componente positiva do campo elétrico

+Η Componente positiva do campo magnético

γh Constante de propagação na direção z para o modo TE

γe Constante de propagação na direção z para o modo TM

xi

γ0 Constante de propagação no espaço livre

γ1 Constante de propagação no meio 1



Dr

Intensidade de fluxo elétrico

Br

Densidade de fluxo magnético

∂ Derivada parcial

d Espessura do substrato dielétrico

d1 Espessura do substrato dielétrico na região 1



ω Freqüência angular

Fr Freqüência de ressonância

Jn Função de Bessel de primeiro tipo e ordem n

eφ Função escalar qualquer

Αr

Função vetorial qualquer

j Imaginário igual a 1−

[ ]Z~

Matriz impedância

kj Número de onda na região j

k0 Número de onda no espaço livre

π Número pi

∇ Operador nabla

Fimag Parte imaginária da freqüência de ressonância

Freal Parte real da freqüência de ressonância

µ0 Permeabilidade magnética no vácuo

ε0 Permissividade elétrica no vácuo

εr Permissividade elétrica relativa

µr Permeabilidade magnética relativa

eπr Potencial vetorial elétrico de Hertz

xii

e~π Potencial vetorial elétrico de Hertz no domínio da Transformada de

Hankel

hπr Potencial vetorial magnético de Hertz

h~π Potencial vetorial magnético de Hertz no domínio da Transformada de

Hankel

r2 Raio externo do anel

r1 Raio interno do anel

Knm Raiz da derivada da função de Bessel de ordem n, sendo m o número

da raiz

εt Tensor permissividade elétrica

µt Tensor permeabilidade magnética

22211211 Z~

,Z~

,Z~

,Z~

Transformada de Fourier das componentes da função diádica de Green

Ω~ Transformada de Hankel da função Ω

c Velocidade da luz no espaço livre

Er

Vetor intensidade de campo elétrico

Hr

Vetor intensidade de campo magnético

aφr

Vetor unitário na direção φ

ρar

Vetor unitário na direção ρ

zar

Vetor unitário na direção z

W Largura do patch

L Comprimento do patch

kr Componente do tensor permeabilidade magnética

γ Razão giromagnética

4πMs Magnetização de saturação da ferrita

H0 Intensidade de campo magnético de polarização aplicado

εeff Permissividade elétrica efetiva

µeff Permeabilidade magnética efetiva

n Índice de refração

xiii

θ1 Ângulo de incidência

θ2 Ângulo de refração

λg Comprimento de onda guiada

p Período do arranjo

ωep Freqüência do plasma elétrica

Γe Freqüência de amortecimento

ωe0 Freqüências de ressonância elétrica

ωm0 Freqüências de ressonância magnética

TW Fios milimétricos

SRR Anéis partidos

r Raio dos fios ou dos anéis

σ Condutividade do metal

ζe Fator de perdas do metal

F Fator geométrico da célula

d Distancia entre os anéis

w Largura dos anéis

c Largura dos anéis

ζm Fator de perdas do metal

R’ Resistência do metal

1D Unidimensional

2D Bidimensional

LHM Left-handed Materials

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

1

CAPÍTULO 1

Introdução

Nas últimas décadas, vivenciamos uma nova revolução, a Revolução da Informação.

O avanço tecnológico, sem precedentes, faz-se presente nos diversos setores da sociedade,

tais como: nas telecomunicações, na indústria eletrônica, na informática, na logística,

dentre outros. As mais diversas tecnologias têm sido desenvolvidas e disponibilizadas,

citando-se, a telefonia móvel, os sistemas de acesso remoto (wireless), a internet, a TV a

cabo e os sistemas digitais de captação e tratamento de imagens e sons. A maioria dos

novos serviços e produtos é capaz de trocar informações entre si, permitindo a

convergência de voz, dados e imagens entre os diversos sistemas, exigindo taxas de

transmissão elevadas. Em outras palavras, deseja-se ter flexibilidade total para acessar e

processar informações em quaisquer que sejam as situações, em qualquer ponto do planeta.

O tamanho reduzido é uma exigência importante para equipamento de comunicação

portátil, como satélite de posicionamento global (GPS) e várias aplicações de comunicações

móveis. Dentro deste cenário, destaca-se a utilização cada vez maior de estruturas planares,

em especial, as antenas do tipo patch de microfita. Desde a sua criação na década de 50

(DESCHAMPS, 1953), as antenas de microfita do tipo patch têm encontrado numerosas

aplicações por sua simplicidade de fabricação, compatibilidade com circuito planar, baixo

perfil e capacidade de radiação unidirecional. Além disso, a tecnologia das antenas de

microfita responde à demanda de miniaturização dos dispositivos, seguindo a tendência

atual das indústrias de comunicações.

Apesar das atrativas características mecânicas e elétricas das antenas de microfita, o

seu uso em várias aplicações esteve, principalmente, limitado à sua largura de banda

estreita. Assim, surgiram várias propostas de eliminação ou redução destas características


2

indesejáveis do dispositivo. Uma prática comum utilizada é a modificação da sua

geometria. Deste modo, foram consideradas várias formas para o patch e introduzidas

variações no número de camadas dos substratos (NELSON et al., 1990; VASCONCELOS

et al., 2006). Outra alternativa é a utilização de substratos com características especiais

como os anisotrópicos dielétricos, os materiais ferrimagnéticos e, mais recentemente, os

metamateriais (ALBUQUERQUE et al., 2005; MOSALLAEI et al., 2007).

O projeto e a análise de antenas de microfita estão relacionados às características da

estrutura, tais como o tipo de substrato, dimensões e geometria do patch. Esses três fatores

são de grande importância na busca da miniaturização dos dispositivos. Quanto à geometria

dos patches das antenas planares, estes podem, tecnicamente, assumir qualquer forma.

Embora os patches retangulares e circulares sejam as formas geométricas convencionais

mais utilizadas (OLIVEIRA et al., 1995; ARAKI et al., 1981), as antenas com patch em

anel (ALI et al., 1982; FAN et al., 1991) merecem atenção especial, pois quando operam no

modo fundamental apresentam dimensões menores que aquelas com patch circular, para

uma dada freqüência (CHEW et al., 1982). Essa característica permite que os elementos,

em projetos de arranjos, estejam mais compactados, favorecendo a flexibilidade e a

miniaturização da estrutura. Quando comparadas às antenas com patch circular, as antenas

com patch em anel têm menos energia armazenada e, assim, um fator de qualidade Q

menor, resultando em uma maior largura de banda (FAN et al., 1991b).

Na sua configuração mais simples, a antena de microfita com patch em anel possui

um elemento radiador, com raio interno r1 e raio externo r2, sobre um substrato dielétrico

isotrópico apoiado sobre um plano de terra, como mostra a Fig. 1.1. Em determinadas

aplicações, estas antenas planares podem operar em duas bandas de freqüência, seja como

um único radiador (CHEN et al, 1996) ou em conjunto com outros elementos impressos, na

forma de anéis concêntricos (BHATTACHARYYA et al., 1985). Estas estruturas foram

inicialmente analisadas através de técnicas aproximadas baseadas no modelo da cavidade

(BHATTACHARYYA et al., 1985b, c). Posteriormente, o modelo foi modificado, de modo

a considerar o efeito da dispersão e das perdas (BHATTACHARYYA et al., 1988; NURIE

et al., 1990). Resultados mais rigorosos e precisos foram obtidos, para antenas com

substratos isotrópicos (LIU et al., 1996; PIRINOLI et al., 2004), adotando-se os modelos

de onda completa, no domínio da transformada de Hankel, onde a solução numérica é


3

implementada por meio da aplicação do método de Galerkin (VASCONCELOS et al.,

2006).

Fig. 1.1 – Antena de microfita com patch em anel.

Estruturas com duas camadas dielétricas isotrópicas e uma sobrecamada foram

analisadas através de modelos aproximados (FAN et al.; PATHAK et al., 1994; GUREL et

al., 1995; DAMIANO et al., 1997). Uma análise de antenas de microfita com patch em anel

sobre substratos dielétricos anisotrópicos uniaxiais e com sobrecamada foi apresentada em

(VASCONCELOS et al., 2007; 2009). A análise utilizou o formalismo de onda completa

através da aplicação do método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da

transformada de Hankel, sendo possível observar a aplicação da estrutura em ondas

milimétricas.

Quanto à alimentação do patch das antenas de microfita, esta pode ser feita através

de linhas de microfita, cabo coaxial, acoplamento eletromagnético, linhas de fenda, entre

outras.

A escolha do material a ser utilizado como substrato no projeto de antenas de

microfita é também muito importante. São, em geral, materiais dielétricos isotrópicos,

dielétricos anisotrópicos, ferrimagnéticos e metamateriais. Inicialmente, os dielétricos

isotrópicos, que são caracterizados por uma permissividade elétrica relativa escalar, foram

largamente utilizados nos projetos de estruturas planares (BERGMAN et al., 1955; BAHL

et al., 1980; DAMAVANDI, 1997). Entretanto, certos materiais podem apresentar

características anisotrópicas quando operam em altas freqüências. Essa propriedade


4

anisotrópica nos dielétricos, com permissividade elétrica tensorial, pode ser devido à sua

natureza cristalina ou ser resultado do processo de fabricação. Os efeitos decorrentes da

anisotropia dielétrica e a viabilidade do uso desses materiais como substratos no projeto dos

componentes de circuitos integrados de microondas e antenas de microfita, têm sido

largamente investigados (ALBUQUERQUE et al., 2001, 2001b; GÜREL et al., 2004). As

pesquisas indicam que o comportamento operacional de estruturas projetadas para altas

freqüências se distancia do esperado, quando a anisotropia dos substratos é ignorada.

Devido a este fato, é necessário o cuidadoso estudo do substrato dielétrico utilizado no

projeto dos componentes de microondas, para que se possa beneficiar de suas vantagens e

evitar a degradação no desempenho dos componentes.

Os substratos ferrimagnéticos apresentam propriedades não encontradas nos

substratos dielétricos, como a presença de uma anisotropia magnética associada à

permeabilidade magnética. Em geral, os materiais ferrimagnéticos apresentam uma

permissividade alta que contribui para a redução nas dimensões do patch. A possibilidade

de obter características de propagação diferentes através da variação do campo magnético

estático de polarização aplicado externamente à estrutura é uma propriedade muito atrativa,

principalmente, em projetos que necessitem de uma sintonia externa da freqüência de

ressonância para melhor adequá-los à sua utilização (POZAR, 1983). Diversos trabalhos

são reportados na literatura para a caracterização das antenas de microfita sobre substratos

ferrimagnéticos (VICTORIAL et al.; LANGLEY et al., 1994; MEDINA et al., 2002;

VASCONCELOS et al., 2009).

Os metamateriais são materiais artificiais que apresentam propriedades

eletromagnéticas que não ocorrem naturalmente nos materiais encontrados na natureza

(VESELAGO, 1967). São constituídos de arranjos periódicos metálicos, com dimensões

muito menores que o comprimento de onda em questão, embebidos em um meio material

dielétrico de tal forma que simulam um meio efetivo com parâmetros constitutivos

específicos, diferentes dos materiais que os compõem (PENDRY et al., 1998; SMITH et

al., 2000; MOSALLAEI et al., 2004).


5

Fig. 1.2 – Estrutura de um metamaterial projetado pelo grupo de D.R. Smith. Reproduzido de (SMITH et al., 2000).

O crescente interesse pelo estudo dos metamateriais se dá pelas características de

propagação totalmente diferentes dos chamados materiais convencionais, tais como: índice

de refração negativo, inversão de fase, inversão do deslocamento Doppler, etc. A

possibilidade do desenvolvimento de dispositivos com propriedades eletromagnéticas

excepcionalmente melhoradas é promissora em diversas áreas tecnológicas, tais como,

telecomunicações, engenharia biomédica, engenharia aeroespacial, etc.

Embora os metamateriais tenham sido inicialmente idealizados tendo por objetivo a

obtenção de permissividade e permeabilidade com valores negativos, sua função vai além

dessa propriedade, pois é possível trabalhar na faixa de freqüência onde a permissividade

e/ou a permeabilidade apresentam valores positivos elevados, o que acarreta uma

miniaturização da estrutura. Os metamateriais surgem como substratos adequados para uma

nova geração de antenas de baixo perfil e componentes para tecnologia de microondas e

ondas milimétricas.

É importante ressaltar que existe uma grande demanda científica no

desenvolvimento de diversos métodos e técnicas de análise capazes de modelar

eficientemente os fenômenos eletromagnéticos presentes tanto nos materiais convencionais,

como é o caso dos ferrimagnéticos, quanto nos materiais mais complexos, como no caso

dos metamateriais, na busca de explorar e/ou descobrir novas aplicações.

As técnicas de análise usadas para o modelamento de antenas com patch em anel

são semelhantes àquelas empregadas para estruturas com patches retangulares ou


6

circulares. A complexidade do modelo e o tempo computacional despendido são

proporcionais à precisão desejada e à complexidade do material utilizado como substrato na

antena. Os métodos de onda completa possuem formulações matemáticas rigorosas,

exigindo maior esforço analítico e computacional. Uma das técnicas empregadas nos

modelos de onda completa é a análise no domínio espectral. Nesta análise, os parâmetros da

antena são obtidos resolvendo-se, inicialmente, a equação de onda com as condições de

contorno apropriadas. As componentes de campo são obtidas em função das componentes

da densidade de corrente no patch. A solução para as componentes desconhecidas da

densidade de corrente é obtida utilizando o método dos momentos, chegando-se a uma

equação matricial cuja solução não-trivial é a freqüência de ressonância complexa.

Em virtude do grande interesse nos materiais com propriedades magnéticas e/ou

dielétricas, surge a necessidade de uma análise, rigorosa e precisa, para a aplicação destes

como substratos em antenas de microfita do tipo patch em anel. Portanto, este trabalho tem

como objetivos:

• Realizar a análise utilizando um procedimento de onda completa, através do método

dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da transformada de Hankel, associado

ao método dos momentos, de antenas de microfita com patch em anel sobre

múltiplas camadas (ferrimagnético/dielétrico isotrópico e metamaterial/dielétrico

isotrópico).

• Determinar as características de irradiação das antenas de microfita com patch em

anel em função de vários parâmetros da estrutura e dos substratos, avaliando seus

efeitos na melhoria do desempenho das estruturas, bem como na eliminação ou

redução de características indesejáveis.

• Apresentar resultados numéricos para antenas de microfita com patch em anel sobre

uma camada ferrimagnético/metamaterial e antenas de microfita com patch em anel

sobre substrato ferrimagnético/metamaterial suspenso, como casos particulares.

• Desenvolver programas computacionais para a simulação de resultados e validação

das equações obtidas, comparando com resultados obtidos através do software

comercial Ansoft HFSS® para verificação da eficiência computacional e, quando

possível, com resultados da literatura especializada.


7

O texto desta tese está organizado como mostrado a seguir.

O Capítulo 2 apresenta uma introdução aos materiais ferrimagnéticos, destacando-se

suas características mais relevantes. É desenvolvida uma análise rigorosa da antena de

microfita com patch em anel com substrato ferrimagnético sobre/suspenso por uma camada

dielétrica isotrópica, através do método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da

transformada de Hankel. São determinadas as equações de onda e as expressões para as

componentes de campos elétricos e magnéticos no domínio espectral.

O Capítulo 3 apresenta os resultados numéricos da teoria desenvolvida para antenas

de microfita com patch em anel sobre substrato ferrimagnético/dielétrico. São mostrados

resultados para a freqüência de ressonância, diagrama de radiação e largura de banda em

função de parâmetros estruturais, variações do campo magnético DC de polarização

aplicado e magnetização de saturação. Antenas de microfita sobre substratos

ferrimagnéticos suspensos e com apenas uma camada ferrimagnética são também

analisadas, como casos particulares. Os resultados numéricos obtidos através da formulação

de onda completa e os resultados simulados em software comercial são discutidos e, em

determinados casos, comparados com outros publicados na literatura especializada.

No Capítulo 4, uma introdução aos metamateriais é apresentada. São consideradas

antenas de microfita com patch em anel sobre múltiplas camadas, compostas por

metamateriais e dielétricos isotrópicos, utilizando o método dos potenciais vetoriais de

Hertz, no domínio da transformada de Hankel.

No Capítulo 5, são apresentados os resultados numéricos obtidos para antenas de

microfita com patch em anel utilizando metamateriais como substratos. Curvas são

apresentadas em função de parâmetros estruturais do patch e dos parâmetros constitutivos

do substrato. São discutidos os resultados numéricos e simulados para a freqüência de

ressonância, diagrama de radiação e largura de banda.

No Capítulo 6, são apresentadas as conclusões do trabalho, enfatizando-se os

principais aspectos abordados e sugestões de continuidade do trabalho.

CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS

8

CAPÍTULO 2

Materiais Ferrimagnéticos

2.1 Histórico

A utilização de materiais ferrimagnéticos, em especial as ferritas, como substrato de

antenas do tipo patch de microfita possui um longo histórico de desenvolvimento. Muitos

artigos têm sido publicados nesse contexto e os mais relevantes, para este trabalho, serão

comentados a seguir.

Em (DAS et al., 1980) foi realizado um trabalho experimental no qual determinava

o comprimento ressonante do patch, através da definição de uma permissividade elétrica e

uma permeabilidade magnética efetivas. Resultados de uma pesquisa experimental para a

determinação da freqüência de ressonância e diagrama de radiação de um patch retangular

de microfita foram apresentados em (POZAR, 1988).

O método dos momentos foi usado (POZAR, 1992) para caracterizar uma antena de

microfita sobre um substrato de ferrita com polarização perpendicular ao plano de terra.

Resultados com modelo dinâmico para as características de propagação de linhas de

microfita e linhas de lâminas bilaterais sobre substratos ferrimagnéticos utilizando o

método dos potenciais vetoriais de Hertz foi proposto em (ALBUQUERQUE, 1993).

A freqüência de ressonância e o fator de qualidade para antena de microfita com

patch retangular sobre múltiplas camadas ferrimagnéticas foram obtidos (OLIVEIRA,

1996), também utilizando o método dos potenciais vetoriais de Hertz. Os resultados para


9

antenas de microfita com patch circular sobre ferrita utilizando o modelo da cavidade

foram apresentados por (LANGLEY, 1998).

O método de Galerkin, no domínio da transformada de Hankel, foi aplicado

apresentando resultados para as freqüências ressonantes, fator de qualidade e diagramas de

radiação para os modos ressonantes da antena de microfita com patch circular sobre ferrita,

considerando a presença de aberturas no plano de terra da antena (LOSADA, 2000).

Em (ALBUQUERQUE et al., 2005), foi avaliado o efeito da utilização do substrato

em rampa no desempenho de antenas de microfita com patch retangular sobre substratos

ferrimagnéticos.

2.2 Antena de microfita com patch em anel sobre ferrita

Na busca por dispositivos com dimensões reduzidas, operando em multi-bandas, o

interresse na utilização de substratos para as antenas de microfita que possam promover tais

características vem tendo, nos últimos anos, uma grande atenção por parte dos

pesquisadores (WAKI et al., 2005; NEFEDOV et al., 2007). A combinação do patch em

anel com o substrato de ferrita se apresenta como uma alternativa vantajosa e eficiente nos

projetos de antenas de microfita, visando à miniaturização da estrutura e a flexibilidade no

projeto.

As ferritas têm grande aplicabilidade como substratos em antenas planares, pois

apesar destas exibirem larguras de faixa estreitas, suas freqüências de ressonância podem

ser sintonizadas variando-se o campo magnético DC de polarização aplicado ao substrato.

Isto é importante nos projetos de dispositivos que necessitam de uma sintonia externa para

melhor adequá-los à sua utilização. Este processo é feito, em geral, submetendo o

dispositivo a um campo magnetostático externo que, dependendo de sua intensidade e

direção, afeta diretamente alguns parâmetros do material e, como conseqüência, as


10

propriedades da estrutura. Além disso, as antenas impressas sobre substratos

ferrimagnéticos apresentam várias propriedades que não são encontradas nos substratos

dielétricos comuns, como exemplo, a permissividade elevada da ferrita que contribui para a

redução das dimensões da antena e a presença de uma anisotropia magnética.

A ferrita é um material do tipo cerâmico com resistividade muito alta,

permissividade elétrica relativa escalar, entre 10 e 15, e permeabilidade magnética

tensorial. É descrita pelo tensor de Polder que estabelece as propriedades magnéticas do

material de acordo com a orientação do campo magnético de polarização aplicado. Para um

campo magnetostático aplicado segundo as direções x, y e z, o tensor permeabilidade

magnética é dado, respectivamente, por (LAX et al., 1962):

µ−µµ=µ

rr

rr0

jk0

jk0

001

;

(2.1)

µ

−µµ=µ

rr

rr

0

0jk

010

jk0

;

(2.2)

µ−µ

µ=µ100

0jk

0jk

rr

rr

0 . (2.3)

Para as três direções, os termos µr e kr nas expressões acima podem ser escritos

como:

;)H(f

Ms4H1

20

20

2

r γ−πγ−=µ (2.4)


11

.)H(f

Ms4k

20

2r γ−πγ= (2.5)

onde γ é a razão giromagnética da ferrita, em MHz/Oe, 4πMs é a magnetização de saturação

do material, em Gaus, H0 é a intensidade do campo magnetostático aplicado, em Oester, e f

é a freqüência de operação em GHz.

A estrutura analisada neste trabalho está mostrada na Fig. 2.1, consistindo de uma

antena de microfita com patch em anel sobre substrato ferrimagnético suspenso por um

substrato dielétrico isotrópico que estão apoiados sobre um plano de terra.

Fig. 2.1 – Antena de microfita com patch em anel sobre substrato ferromagnético suspenso

por um dielétrico isotrópico.

As dimensões do patch em anel são definidas pelos raios externo r2 e interno r1. A

região 1 é o ar, com permissividade elétrica ε0 e permeabilidade magnética µ0. A camada de

ferrita (região 2) possui altura d2, permissividade escalar ε2 e permeabilidade tensorial µ . A

região 3 possui altura d3 e é constituída por um dielétrico isotrópico com permissividade


12

elétrica ε3 e permeabilidade magnética µ0. O patch e o plano de terra são considerados

condutores perfeitos.

Neste trabalho, considera-se a aplicação de um campo magnético de polarização,

H0, orientado segundo a direção z, como mostrado na Fig.2.1, cujo tensor permeabilidade

magnética, µ , é dado por (2.3).

Observa-se que as expressões de µr e kr em (2.4) e (2.5) apresentam uma

singularidade quando f se aproxima de γH0, assumindo assim, valores elevados tanto

positivamente como negativamente. Este fenômeno é conhecido como ressonância

giromagnética da ferrita e deve-se evitar essa faixa de freqüência para a maioria das

aplicações. Um exemplo desse comportamento pode ser visto na Fig. 2.2.

Fig. 2.2 – Freqüência de ressonância em função do campo magnetostático de polarização

aplicado em uma antena de microfita com patch em anel com duas camadas.


13

2.3 Representação dos Campos Através do Método dos

Potenciais Vetoriais de Hertz

O método dos potenciais vetoriais de Hertz é usado no modelamento de antenas de

microfita com patch em anel sobre substratos ferrimagnéticos magnetizados. Nesta análise,

a ferrita possui tensor permeabilidade magnética orientado segundo a direção z, ou seja,

perpendicular ao plano de terra (Fig. 2.1), sendo dado por:

µ−µ

µ=µ100

0jk

0jk

rr

rr

0 (2.6)

e a permissividade elétrica é dada por:

0rεε=ε (2.7)

As equações de Maxwell para a região da ferrita, considerada livre de fontes e

correntes, são escritas como (BALANIS, 1997):

BjErr

ω−=×∇ (2.8)

DjHrv

ω=×∇ (2.9)

0D =⋅∇r

(2.10)

0B =⋅∇r

(2.11)

onde Er

é o vetor intensidade de campo elétrico, Hr

é o vetor intensidade de campo

magnético, Dr

é o vetor intensidade de fluxo elétrico, Br

é o vetor densidade de fluxo

magnético, ω = 2πf é a freqüência angular, estando implícita uma dependência temporal do

tipo exp (jωt).

As relações constitutivas, para um meio ferrimagnético (região 2 na Fig. 2.1), são

dadas por:


14

ED 02r

rrεε= (2.12)

HBrr

µ= (2.13)

onde ε0 é a permissividade elétrica no espaço livre, εr2 e µ são, respectivamente, a

permissividade elétrica relativa e a permeabilidade magnética da ferrita.

Na análise da estrutura, os potenciais de Hertz são considerados orientados segundo

a direção de magnetização (direção z) da ferrita. Assim, os potenciais vetoriais de Hertz

elétrico e magnético são definidos, respectivamente, por:

zieei arr π=π (2.14)

zihhi arr π=π (2.15)

onde πei e πhi representam, respectivamente, os potenciais escalares de Hertz, elétrico e

magnético, definidos para cada região i (i = 1, 2, 3), sendo zar

o vetor unitário na direção do

eixo óptico.

Usando as equações de Maxwell, é possível empregar o princípio da superposição e

expressar o vetor intensidade de campo elétrico em função de hπr . Admitindo que o campo

elétrico na direção z é nulo, obtém-se o chamado modo de propagação elétrico transversal

ou modo TE.

Usando o potencial de Hertz magnético hπr , define-se:

h2r0jE π×∇µωµ−= rr (2.16)

A substituição de (2.12) e (2.16) em (2.9) conduz a:

hh2r02r02H φ∇+πεεµµω= rr (2.17)

onde φh é uma função escalar definida por:

hh π⋅∇=φ r (2.18)

Com a substituição de (2.18) em (2.17) tem-se que:


15

hh2r02r02H π⋅∇∇+πεεµµω= rrr (2.19)

A parte dos campos determinada a partir do potencial de Hertz magnético [eqs.

(2.16) e (2.19)] é chamada de onda ordinária, pois apresenta um comportamento similar ao

das ondas planas em um meio isotrópico.

Analogamente, para o modo TM, os campos elétrico e magnético são expandidos

usando o potencial de Hertz elétrico, eπr , a partir da equação (YANG et al., 1987):

e2r022r

2r

22r

0

kjB π×∇εε

µ−µωµ= rr (2.20)

Substituindo-se (2.20) em (2.8), obtém-se:

ee22r

2r

22r

2r002 k

E φ∇+π

µ−µεεµω= rr

(2.21)

onde φe é uma função escalar definida por:

e2r

e

1 π⋅∇µ

=φ r (2.22)

Desenvolvendo a equação (2.21), chega-se a:

e2r

e22r

2r

22r

2r002 1k

E π⋅∇∇µ

+π

µ−µεεµω= rrr

(2.23)

Substituindo (2.13) em (2.20), tem-se que:

e1

2r022r

2r

22r

0 )(k

jH π×∇µεε

µ−µωµ= − rr

(2.24)

As expressões (2.23) e (2.24) representam a onda extraordinária, derivadas do

potencial de Hertz elétrico.


16

A solução completa dos campos é uma superposição dos modos TE e TM. Assim,

as expressões para as componentes de campo elétrico e campo magnético totais, no matérial

ferrimagnético, são dadas por:

e2r

e22r

2r

22r

2r002

h2r0

1kjE π⋅∇∇

µ+π

µ−µεεµω+π×∇µωµ−= rrrr

(2.25)

hh2r02r02

e1

2r022r

2r

22r

0 )(k

jH π⋅∇∇+πεεµµω+π×∇µεε

µ−µωµ= − rrrr (2.26)

Os potenciais de Hertz, eπr e hπr , devem satisfazer, respectivamente, às equações de

onda:

0k

e22r

2r

22r

2r002

e2 =π

µ−µεεµω+π∇ rr

(2.27)

0z

kh2

2

22r

2r

22r

h2r002

h2 =π

∂∂

µ−µ−πεεµω+π∇ rrr (2.28)

Devido à forma geométrica do patch em anel, será adotado o sistema de

coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z), ilustrado na Fig. 2.3, para a expansão dos campos totais.

Fig. 2.3 – Sistema de coordenadas cilíndricas adotado na modelagem da antena de microfita com patch em anel.


17

Desenvolvendo as equações (2.25) e (2.26), obtêm-se as componentes de campo

elétrico e magnético na camada de ferrita (região 2, na Fig. 2.1) para cada direção do eixo

de coordenadas cilíndricas:

z

11jE e

2

2r

h2r02 ∂ρ∂

π∂µ

+φ∂

π∂ρ

µωµ−=ρ ; (2.29)

z

1jE e

2

2r

h2r02 ∂φ∂

π∂ρµ

+ρ∂π∂µωµ=φ ; (2.30)

2e

2

2re2

2r

2r

22r

2r002

2z z

1kE

∂π∂

µ+π

µ−µεεµω= ; (2.31)

z

kj

1jH h

2e

22r

re

2r2r002 ∂ρ∂

π∂+

ρ∂π∂

µ−

φ∂π∂

ρµεεωµ=ρ ; (2.32)

z

1kjjH h

2e

2r

e22r

r2r02 ∂φ∂

π∂+

ρ∂π∂

µ−

φ∂π∂

ρµ−εωε=φ ; (2.33)

2h

2

h2r02r02

2z zH

∂π∂+πεεµµω= . (2.34)

Para o dielétrico isotrópico (região 3, na Fig. 2.1), as componentes dos campos

elétrico e magnético são obtidas de modo semelhante, bastando fazer µr2 = 1, kr = 0 e εr2 =

εr3 . Então,

z

1jE e

2h

03 ∂ρ∂π∂+

φ∂π∂

ρωµ−=ρ ; (2.35)

z

1jE e

2h

03 ∂φ∂π∂

ρ+

ρ∂π∂ωµ=φ ; (2.36)

2e

2

e3r002

3z zE

∂π∂+πεεµω= ; (2.37)

z

1jH h

2e

3r003 ∂ρ∂π∂+

φ∂π∂

ρεεωµ=ρ ; (2.38)


18

zjH h

2e

3r03 ∂φ∂π∂+

ρ∂π∂εωε−=φ ; (2.39)

2h

2

h3r002

3z zH

∂π∂+πεεµω= . (2.40)

2.4 Aplicação do Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz no

Domínio da Transformada de Hankel

Devido ao fato da estrutura possuir simetria cilíndrica, os potenciais πe e πh podem

ser representados em termos de funções cilíndricas (GERARDI, 1959), como segue:

;d)(J)z,(~e)z,,(0

ne

jn

e ∫∞

φ αααραπ=φρπ (2.41)

.d)(J)z,(~e)z,,(0

nh

jn

h ∫∞

φ αααραπ=φρπ . (2.42)

onde )(Jn αρ é a função de Bessel de primeiro tipo e ordem n, e e( ,z)π α% é a transformada

de Hankel de eπ .

As equações de onda dos modos TE e TM são dadas a seguir. Para a região 2, tem-

se que:

0k

k e22r

2r

22r2

2e2 =π

µ−µ+π∇ rr

; (2.43)

e

0z

kk h2

2

22r

2r

22r

h22h

2 =π∂∂

µ−µ−π+π∇ rrr

. (2.44)

onde


19

2r002k εεµω= ; (2.45)

Substituindo o potencial eπr em termos de funções cilíndricas na equação (2.43) e

desenvolvendo a equação, chega-se a:

0k

k]z

1)(

1[ ei2

2r

2r

22r2

22e

2e

2

2e =π

µ−µ+

∂π∂+

φ∂π∂

ρ+

ρ∂π∂ρ

ρ∂∂

ρ. (2.46)

Resolvendo a equação (2.44), substituindo-se a equação (2.41) e considerando que

,s αρ= tem-se que:

0d)s(J~kk)s(J

z

~)s(J~n

s

)s(J

s

)s(J~

0

ne22r

2r

22r2

2n2e

2

ne2

2n

2n

22

e =α

απ

µ−µ+α

∂π∂+απ

ρ−

∂∂+

∂∂αρ

ραπ∫

∞

. (2.47)

As funções de Bessel de primeiro tipo Jn(s) são definidas como as soluções da

equação diferencial de Bessel, que pode ser escrita como (ABRAMOWITZ, 1970):

22 2 2n n

n2

J (s) J (s)s s (s n ) J (s) 0

s s

∂ ∂+ + − =∂ ∂

. (2.48)

Logo, a equação de onda para ,~

eπ no domínio da transformada de Hankel, é:

0~z e

22e2

2

=π

γ−

∂∂

(2.49)

onde

µ−µεεµω−α=γr

2r

22r

2r00222

2e

k. (2.50)

Analogamente, substituindo-se (2.42) em (2.44) e realizando o mesmo

procedimento utilizado para o potencial e~π , obtém-se a equação de onda para h

~π , no

domínio da transformada de Hankel.


20

0~z h

22h2

2

=π

γ−

∂∂

(2.51)

com

( )2r0022

2r2

2h εεµω−αµ=γ . (2.52)

Substituindo (2.41) e (2.42) nas equações das componentes tangenciais (2.29),

(2.30), (2.32) e (2.33), obtêm-se as componentes no domínio espectral, com duas funções

de Bessel de ordens diferentes. Isto se deve ao fato da derivada da função de Bessel de

ordem n poder ser representada por funções de Bessel de ordem n-1 e n+1, ou seja

(ABRAMOWITZ, 1970):

nn 1 n 1

J (s) 1(J (s) J (s))

s 2 − +∂

= −∂

; (2.53)

)s(J)s(Js

n2)s(J 1nn1n ±± −= . (2.54)

Para facilitar a análise, é desejável tratar fatores contendo funções de Bessel de

mesma ordem. Para isto, a obtenção de Eρ e Eφ é realizada substituindo-se (2.41) e (2.42)

nas componentes dadas em (2.29) e (2.30) fazendo uso das fórmulas de recorrência (2.53) e

(2.54), obtendo-se, respectivamente:

αα

−

∂π∂

µ+πµωµα=Ε ∫

∞

+−φ

ρ d))s(J)s(J(2

1

z

~1)s(J~

s

ne

0 1n1ne

2rnh

2r02jn ; (2.55)

e

αα

∂π∂

µ+−πµωµα=Ε ∫

∞

+−φ

φ d)s(Jz

~

s

jn))s(J)s(J(

2

1~je0 n

e

2r1n1nh2r0

2jn . (2.56)

Aplicando o mesmo procedimento, a partir de (2.41) e (2.42), as componentes

transversais do campo magnético são dadas por:


21

αα

−

∂π∂+−π

µεωε+π

µεωε−α= ∫

∞

+−+−φ

ρ d))s(J)s(J(z

~

2

1))s(J)s(J(

2

~k)s(J~

s

neH

0 1n1nh

1n1ne

22r

r2r0ne

2r

2r02jn ; (2.57)

e

αα

∂π∂+−

µπεωε−π

µεωεα= ∫

∞

+−φ

φ d)s(Jz

~

s

nj))s(J)s(J(

2

~j)s(J~

s

nkjeH

0 nh

1n1n22r

e2r0ne2

2r

r2r02jn . (2.58)

A componente de campo elétrico, definida como sendo φρ± Ε±Ε=Ε j , é dada por:

αα

∂π∂

µπµωµα=Ε ±

∞φ± ∫ d)s(J

z

~1~e 1n0

e

2rh2r0

jnm . (2.59)

Analogamente, o campo magnético, definido como sendo φρ± ±= HjHH , é

expresso por:

αα

∂π∂±π

µεωε±

µπεωε−α=Η ±

∞φ± ∫ d)s(J

z

~~k~

e 1n0

he

2r

r2r0

2r

e2r0

jn . (2.60)

A análise pode ser feita para cada região separadamente, no entanto, as regiões 1 e 3

são consideradas como casos particulares de região 2 (Fig. 2.1). Desta forma, para um

dielétrico isotrópico, tem-se que:

αα

∂π∂πωµα=Ε ±

∞φ± ∫ d)s(J

z

~~e 1n0

eh0

jnm ; (2.61)

αα

∂π∂±πεωε−α=Η ±

∞φ± ∫ d)s(J

z

~~e 1n0

her0

jn . (2.62)

Desta forma, as componentes dos campos elétrico e magnético, no dominio da

transformada de Hankel, para cada região, são dadas por:

• Para a região 1 (ar):

αα


∞φ± ∫ d)s(J

ze 1n0

1e1h0

jn1 m ; (2.63)


22

αα


∞φ± ∫ d)s(J

ze 1n0

1h1e1r0

jn1 ; (2.64)

• Para a região 2 (Ferrita):

αα

∂π∂

µπµωµα=Ε ±

∞φ± ∫ d)s(J

z

~1~e 1n0

2e

2r2h2r0

jn2 m ; (2.65)

αα

∂π∂±π

µεωε±

µπεωε−α=Η ±

∞φ± ∫ d)s(J

z

~~k~

e 1n0

2h2e

2r

r2r0

2r

2e2r0

jn2 . (2.66)

• Para a região 3 (dielétrico isotrópico):

αα


∞φ± ∫ d)s(J

z

~~e 1n0

3e3h0

jn3 m ; (2.67)

αα


∞φ± ∫ d)s(J

z

~~e 1n0

3h3e3r0

jn3 . (2.68)

2.5 Modelamento da Antena de Microfita com Patch em Anel

com Ferrita e Dielétrico Isotrópico

Realizada a análise utilizando o formalismo de onda completa através da aplicação

do método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da transformada de Hankel, inicia-

se a imposição das condições de contorno adequadas à estrutura. Isto permitirá determinar

as funções diádicas de Green, que relacionam as componentes da densidade de corrente no

patch com as componentes tangenciais do campo elétrico.

A Fig. 2.3 ilustra a estrutura considerada nesta análise, que consiste de três camadas

dielétricas. O patch condutor em anel tem raio interno r1 e raio externo r2 e está impresso


23

sobre duas camadas constituídas de ferrita e dielétrico isotrópico (camadas 2 e 3), com

alturas d2 e d3, respectivamente, suportado por um plano de terra. O meio 1 é o ar. Na

análise da estrutura, as perdas condutoras e dielétricas são desprezadas.

d2 2

z

y 3 d3

1

d23

r1

r2

µε ,2r

03r ,µε

00,µε

r1

r2

Fig. 2.4 – Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel com duas camadas, sendo ferrita suspensa por um dielétrico isotrópico.

As soluções para as equações de onda, nas regiões definidas por i (i = 2, 3), da Fig.

2.1, são dadas por:

)zcosh(A)z(senhA~ih

'iihihi γ+γ=π ; (2.69)

)zcosh(B)z(senhB~ie

'iieiei γ+γ=π ; (2.70)

e, na região dielétrica i = 1 (ar), são:

( )230 dz11h e~ −γ−Α=π ; (2.71)

( )230 dz11e e~ −γ−Β=π . (2.72)

onde 3223 ddd += .

Desta forma, as componentes dos campos elétrico e magnético no dominio da

transformada de Hankel para cada região, são dadas por:

• Para a região 1 (ar):


24

( ) ( ) αα

Β∂∂Αωµα=Ε ±

∞ −γ−−γ−φ± ∫ d)s(Je

zee 1n0

dz1

dz10

jn1

230230 m ;

(2.73)

( ) ( ) αα

Α∂∂±Βεωε−α=Η ±

∞ −γ−−γ−φ± ∫ d)s(Je

zee 1n0

dz1

dz13r0

jn1

230230 ; (2.74)

• Para a região 2 (Ferrita):

[∫∞φ

± γ+γµωµα=Ε0 2h

'22h22r0

jn2 ))zcosh(A)z(senhA(e

αα

γ+γ

∂∂

µ ± d)s(J))zcosh(B)z(senhB(z

11n2e

'22e2

2r

;

(2.75)

γ+γ

µεωε−α=Η ∫

∞φ± ))zcosh(B)z(senhB(

1e 2e

'22e2

2r2r00

jn2

))zcosh(B)z(senhB(k

2e'22e2

2r

r2r0 γ+γ

µεωε±

αα

γ+γ∂∂± ± d)s(J))zcosh(A)z(senhA(z 1n2h

'22h2 .

(2.76)

• Para a região 3 (dielétrico isotrópico):

[ ))zcosh(A)z(senhA(e 3h'33h300

jn3 γ+γωµα=Ε ∫

∞φ±

αα

γ+γ∂∂

± d)s(J))zcosh(B)z(senhB(z 1n3e

'33e3m ;

(2.77)

[ ))zcosh(B)z(senhB(e 3e'33e33r00

jn3 γ+γεωε−α=Η ∫

∞φ±

αα

γ+γ∂∂± ± d)s(J))zcosh(A)z(senhA(z 1n3h

'33h3

.

(2.78)


25

A determinação das constantes ii

'ii ',,, ΒΒΑΑ é feita através da aplicação das

condições de contorno. Para a estrutura considerada (Fig. 2.3), as condições de contorno

são as seguintes:

03 =Ε± em z = 0; (2.79)

23 ±± Ε=Ε em z = d3 (2.80)

23 ±± Η=Η em z = d3 (2.81)

12 ±± Ε=Ε em z = d23 (2.82)

±±± Ι=Η−Η j21 m em z = d23 (2.83)

Aplicando-se as condições de contorno, as constantes iiii ',,', ΒΒΑΑ são obtidas

em cada região i ( i = 1, 2 e 3 ) segundo as seguintes expressões:

50

112r

6

32r1 P2

P)~~

(j

P2

P)~~

(j

αωεµΙ−Ι+

αµΙ+Ι−=Α +−+− (2.84)

−

αωεΙ−Ι+

αΙ+Ι−=Α +−+−

6

1109

506

12 P

PPP

P2

)~~

(j

P2

P)~~

(j (2.85)

650

10

62 PP2

P)~~

(j

P2

)~~

(j'

αωεΙ−Ι−

αΙ+Ι−=Α +−+− (2.86)

−γ

αωεµΙ−Ι+

αµΙ+Ι−=Α +−+−

6

71032h9

50

2r

6

72r3 P

PP)d(senhP

P2

)~~

(j

P2

P)~~

(j (2.87)

0'3 =Α (2.88)

502r0

42e1 P2

P)~~

(j

γµαωεγΙ−Ι−

=Β +− (2.89)


26

50

22 P2

P)~~

(j

αωεΙ−Ι

=Β +− (2.90)

502 P2

)~~

(j'

αωεΙ−Ι

=Β +− (2.91)

52r0

82r3 P2

P)~~

(j

µαωεεΙ−Ι

=Β +− (2.92)

0'3 =Β (2.93)

Onde

)dcosh()dcoth()d(senh

)d(senh)dcoth()dcosh(P

32h3h33h32h2e2r

32h2h33h32h3h2r1 γγ+γγγµ

γγ+γγγµ−= (2.94)



32h3h33h32h2e2r

32h2h33h32h3h2r2 γγ+γγγµ

γγ+γγγε−= (2.95)

)dcosh()d(senhPP 232h232h13 γ+γ= (2.96)

)dcosh()d(senhPP 232e232e24 γ+γ= (2.97)

γ

γεγ++γ

γεγ+

µε= )dcosh(P)d(senh

P1P 232e

02r

2e2232e

02r

2e2

2r

2r5 (2.98)

( ) ( ) )dcosh(P)d(senhPP 232h12h2r0232h2h2r106 γγ+µγ+γγ+µγ= (2.100)

)d(senh

)dcosh()d(senhPP

33h

32h32h17 γ

γ+γ= (2.101)

)dcosh(

)d(senh)dcosh(PP

33e

32e32e28 γ

γ+γ= (2.102)

[ ][ ])dcosh()dcoth()d(senh

)d(senh)dcosh(PkP

32h2h33h32h3h2r22r

32e32e2r2r09 γγ−γγγµµ

γ+γεωε= (2.103)


27

)dcosh(Pk

P)d(senhk

PP 232e222r

r2r092h232e2

2r

r2r092r010 γ

µεωε+γ+γ

µεωε+µγ= (2.104)

6

310232h911 P

PP)d(senhPP −γ= (2.105)

sendo +I~

e −I~

as componentes horária e anti-horária, respectivamente, da corrente de

superfície no anel. Isto conduz a equações lineares para as constantes iiii ',,', ΒΒΑΑ , de

tal forma que é possível expressar as transformadas de Hankel dos campos elétricos em

função das correntes, como sendo:

=

−

+

−

+

I~I~

Z~

Z~

Z~

Z~

E~E~

2221

1211

; (2.106)

onde 211211

~,

~,

~ ΖΖΖ e 22

~Ζ são as transformadas das componentes da função diádica de Green

da estrutura considerada.

Os elementos da matriz impedância[ ]Ζ~ são dadas por:

εµµ+

µωεγ−µωµ=

50

112r0

52r0

42e

6

32r011 P

P

P

P

P

P

j2

1Z~ ; (2.107)

εµµ−

µωεγ+µωµ=

50

112r0

52r0

42e

6

32r012 P

P

P

P

P

P

j2

1Z~ ; (2.108)

εµµ+

µωεγ+µωµ=

50

112r0

52r0

42e

6

32r021 P

P

P

P

P

P

j2

1Z~ ; (2.109)

εµµ−

µωεγ−µωµ=

50

112r0

52r0

42e

6

32r022 P

P

P

P

P

P

j2

1Z~ . (2.110)


28

Na obtenção dos diagramas de radiação das estruturas analisadas, foram utilizadas

as seguintes expressões (FAN et al., 1991):

( ) ( )θΕ−∞→φθΕφ−

θ senk~

2

ej

R

ek~R,,R 00

jnnRjk

0

0

; (2.111)

( ) ( )θΕθ+∞→φθΕφ+−

φ senk~

cos2

ej

R

ek~R,,R 0e

jn1nRjk

0

0

, (2.112)

onde

−+ Ε−Ε=Ε ~~~0 (2.113)

e

−+ Ε+Ε=Ε ~~~e . (2.114)

Combinando-se a matriz [ ]Ζ~ , dada por (2.106), com o método de Galerkin, torna-se

possível determinar a freqüência de ressonância da antena, cujo procedimento será descrito

a seguir.

2.6 Aplicação do Método de Galerkin

O método de Galerkin é um caso particular do método dos momentos, cujas funções

peso são iguais às funções de expansão, tendo sido empregado com eficiência na análise

numérica de estruturas planares nas freqüências de microondas e ondas milimétricas

(ITOH, 1981).

As componentes ±E~

e ±I~

da matriz de impedância, definidas em (2.106), são

funções desconhecidas. Como os campos elétricos e as correntes são diferentes de zero em

regiões complementares na interface do dielétrico, então, pode-se eliminar ±E~

usando o


29

método de Garlekin e o teorema de Parseval. O procedimento de análise consiste em

expandir as correntes ±I~

em termos de funções de base conhecidas mI~

± , com coeficientes

de expansão mc± , desconhecidos, de acordo com a expressão:

∑=

±±± α=αM

1mmm )(I

~c)(I

~. (2.115)

Fazendo-se os produtos internos das equações resultantes em (2.106) com as

funções de expansão que, pelo método de Galerkin, são tomadas iguais às funções de base,

para diferentes valores de i (i = 1, 2 ... M), obtêm-se:

(2.116)

onde:

(2.117)

(2.118)

(2.119)

Uma solução não-nula para a equação matricial dada em (2.106) é obtida fazendo-se

o determinante da matriz [K] igual a zero. As raízes complexas obtidas da equação

11 11 12 1211 1 11 1 1

11 11 12 121 1

21 21 22 2211 1 11 1 1

21 21 22 221 1

. 0

+

+

−

−

Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ = Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ

L L

M MM

L L

L L

M M M

L L

m m

m mm m mmm

m m

mm mm m mm

c

c

c

c

11 1111

0

;im i m midα α∞

+ +Κ = Ι Ζ Ι = Κ∫ % % %

12 2112

0

;im i m midα α∞

+ −Κ = Ι Ζ Ι = Κ∫ % % %

22 2222

0

.im i m midα α∞

− −Κ = Ι Ζ Ι = Κ∫ % % %


30

característica det [K] = 0 são as freqüências de ressonância da estrutura analisada, que são

expressas como:

Fres = Fr + jFi. (2.120)

Para uma antena com patch em anel, com raio interno r1 e raio externo r2, as funções

de base, no domínio espacial, são dadas por (FAN et al., 1991):

)rK(Y)rK(Y

)rK(J)rK(J)r(I nm1n

1nm'n

1nm'n

nm1nm ±±± −= (2.121)

onde Jn(.) e Yn(.) são, respectivamente, a função de Bessel e a função de Neuman de

primeira e segunda espécie, de ordem n, e Knm é o número de onda ressonante. O valor de

Knm é a solução da expressão:

0)rK(Y)rK(J)rK(Y)rK(J 2nm'n1nm

'n1nm

'n2nm

'n =− . (2.122)

A transformada de Hankel de )r(I m± é dada por:

)]r(J)r(JK)r(J)r(J[r)(I~

2'

m21nnm2'

1n2m2m ±±±±± α−αα=α

)K/()]r(J)r(JK)r(J)r(J[r 22nm1

'm11nnm1

'1n1m1 α−α−αα− ±±±±

(2.124)

No modo fundamental de propagação, o valor de n nas funções correspondentes às

transformadas de Hankel das correntes será igual a 1, e o modo de propagação é

denominado TM11, onde o primeiro índice representa a ordem da função de Bessel e o

segundo corresponde ao número da raiz. Desta forma, as correntes +I~

e −I~

, obtidas de

(2.124), fazendo m = n = 1, são dadas por:


2'122112

'2212 α−αα=α+

(2.125)


31

)K/()]r(J)r(JK)r(J)r(J[r 22111

'112111

'2111 α−α−αα−

e


2'120112

'0212 α−αα=α−

)K/()]r(J)r(JK)r(J)r(J[r 22111

'110111

'0111 α−α−αα− .

(2.126)

Nesta análise, a eficiência numérica do método empregado depende basicamente da

escolha das funções de base, as quais devem representar as características físicas das

distribuições de corrente no patch em anel.

2.7 Conclusão

Neste capítulo, a análise de antena de microfita com patch em anel sobre substrato

ferrimagnético e dielétrico isotrópico, ressaltando o efeito da anisotropia magnética, foi

realizada utilizando o método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da

transformada de Hankel, para determinar as componentes da matriz de impedância da

estrutura modelada. O Método de Galerkin foi então usado para obter a equação matricial,

cuja solução não trivial fornece a freqüência de ressonância da antena. A partir da

modelagem, é possível obter resultados para a freqüência de ressonância em função de

vários parâmetros da antena de microfita com patch em anel. Os resultados numéricos são

obtidos a partir da elaboração de rotinas computacionais que permitam a obtenção das

características ressonantes da antena modelada.

CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS

32

CAPÍTULO 3

Resultados Numéricos – Ferrimagnéticos

3.1 Introdução

O Capítulo 2 apresentou a formulação do problema para a determinação das funções

diádicas de Green, efetuada através do método dos potenciais vetoriais de Hertz, no

domínio da transformada de Hankel. A obtenção da freqüência de ressonância da antena de

microfita envolveu um problema numérico, cuja solução foi determinada através da

aplicação da técnica numérica de Galerkin. Conhecidas as componentes da matriz

impedância, após a definição das expressões de corrente no condutor em anel e a escolha de

funções de base adequadas, definidas em (2.107) a (2.110), foram elaborados programas

computacionais utilizando Matlab®, para a obtenção das freqüências de ressonância de cada

estrutura modelada.

Como a análise foi desenvolvida considerando que a antena de microfita com patch

em anel é constituída de multicamadas ferrimagnético/dielétrico, então é possível

determinar a freqüência de ressonância para diferentes configurações. Assim, são também

obtidos resultados para antenas de microfita com uma camada ferrimagnética e para antenas

com substratos ferrimagnéticos suspensos.


33

3.2 Antena de Microfita com Patch em Anel sobre Substrato

Ferrimagnético

A estrutura básica de uma antena de microfita com patch condutor em anel, de raio

interno r1 e raio externo r2, está ilustrada na Fig. 3.1. O patch está impresso sobre uma

camada ferrimagnética (camada 2), de altura d2, apoiada sobre um plano de terra. Para esse

tipo de estrutura, os resultados foram obtidos convergindo-se, numericamente, a altura da

camada 3 (Fig. 2.1) para um valor infinitesimal.

Fig. 3.1 – Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel sobre substrato

ferrimagnético.

Para validação desta análise, foram obtidos resultados considerando o caso

particular em que o raio interno do anel, r1, tende a zero (r1 = 10-6 cm), simulando um patch

circular (VASCONCELOS, 2008), como mostra a Fig. 3.2. O substrato ferimagnético tem

altura d2 = 0,127 cm, permissividade elétrica relativa εr2 = 15, magnetização de saturação

4πMs = 650 G e razão giromagnética γ = 2,85 MHz/Oe. Os resultados obtidos para a

freqüência de ressonância são comparados, através da equivalência das áreas, com os

resultados obtidos para uma antena de microfita com patch quadrado (POZAR, 1992),

fazendo-se r1 = 0, cmLr π/2 = , verificando-se uma boa concordância.

d2 2 εr2 , µ

z

y

1 r2

r1


34

Fig. 3.2 - Curva da freqüência de ressonância em função do campo magnético estático

externo.

A Fig. 3.3 mostra os resultados obtidos para uma antena de microfita com patch em

anel sobre substrato ferrimagnético magnetizado (d2 = 0,130 cm), permissividade elétrica

εr2 = 15, magnetização de saturação 4πMs = 650 G e razão giromagnética γ = 2,85 MHz/Oe.

Nessa segunda validação da análise, também foram obtidos resultados para uma antena

com patch circular, fazendo-se numericamente r1 tender a zero (r1 = 10-6 cm). A

comparação com os resultados obtidos para patch circular (POZAR, 1992) mostraram uma

boa concordância.

Na Fig. 3.4, o comportamento da freqüência de ressonância de uma antena patch em

anel sobre ferrita é mostrado em função da intensidade do campo magnético DC

normalizado, (H0/4πMs), para diferentes dimensões de patch em anel. A magnetização de

saturação 4πMs é igual a 650 Gauss, enquanto H0 é variado de modo que H0/4πMs assuma

valores entre 2,5 e 8,5. Observa-se que a freqüência de ressonância aumenta à medida que

as dimensões do patch diminuem.


35


externo.

Fig. 3.4 - Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade de campo

magnético DC normalizado, para diferentes dimensões de anel.


36

A dependência da freqüência de ressonância com a intensidade do campo magnético

DC normalizado é ilustrada na Fig. 3.5. O campo magnético de polarização varia de modo

que H0/4πMs assuma valores entre 0,25 e 2,75. As curvas foram traçadas para dois valores

de magnetização de saturação 4πMs (1200 Gauss e 650 Gauss) e duas dimensões de raios

do patch em anel (patch 1: r2 = 0,2 cm e r1 = 0,1 cm; patch 2: r2 = 0,15 cm e r1 = 0,075 cm).

Verifica-se que a freqüência de ressonância aumenta com a magnetização de saturação e é

inversamente proporcional à dimensão do anel. Assim, é possível observar a aplicação da

antena de microfita em anel sobre ferrita em freqüências elevadas.

Fig. 3.5 - Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade de campo

magnético DC normalizado.

Na Fig. 3.6, a freqüência de ressonância é calculada em função do campo

magnetizado H0, para dois valores de magnetização. A freqüência de ressonância aumenta

quando H0 muda de 1200 G para 1780 G. Para um caso particular, H0 = 2000 Oe e 4πMs =

1780 G, os resultados obtidos usando o método de Galerkin e a simulação com o Ansoft

HFSS são comparados e apresentam uma boa convergência. A perda de retorno


37

correspondente para H0 igual a 2000 Oe é apresentada na Fig. 3.7. A curva indica que a

freqüência de ressonância da antena proposta para ressoar em 12,7 GHz apresenta uma

perda de retorno de -34,37 dB e pode alcançar uma largura de banda de aproximadamente

550 MHz.


externo.

A Fig. 3.8 mostra a variação da perda de retorno com a freqüência de ressonância

para dois diferentes valores de largura de linha (linewidth), ∆H. Simulações numéricas

usando Ansoft HFSS® são obtidas para antena de microfita com patch em anel impresso

sobre ferrita com H0 = 5000 Oe e 4πMs = 1780 G. Os resultados simulados indicam que

existem três possíveis freqüências de ressonância para a estrutura considerada. Essas

freqüências de ressonância correspondentes a 8,25 GHz, 8,75 GHz, e 11,1 GHz estão

associadas a perdas de retorno de -42 dB, -25 dB, e -21,44 dB, para ∆H = 10 Oe, e -25,5

dB, -21,6 dB, e -15,32 dB, para ∆H = 45 Oe, respectivamente.


38

Fig. 3.7 – Perda de retorno para 12,7 GHz para a antena de microfita com patch em anel

sobre ferrita.

Fig. 3.7 – Perda de retorno em função da freqüência de ressonância.


39

A Fig. 3.9 mostra o comportamento da freqüência de ressonância em função da

razão r2/r1 (r1 = 0,35 cm e r2 variando), para diferentes valores de H0. É possível observar

que a freqüência de ressonância da antena projetada aumenta à medida que o campo

magnético de polarização aplicado aumenta, aproximando-se do caso isotrópico. Para um

valor particular da freqüência, verifica-se que a freqüência de ressonância aumenta com a

redução das dimensões de anel.

Fig. 3.9 - Curva da freqüência de ressonância em função da razão dos raios do anel.

Como forma de investigar a precisão das equações obtidas neste trabalho e

considerando a falta de resultados para confrontação na literatura, mais uma vez é utilizada

a relação da equivalência das áreas dos patches. Assim, na Fig. 3.10, os resultados obtidos

para o patch quadrado (VITTORIA et al., 1994) são comparados com os resultados obtidos

para o patch circular simulados neste trabalho, fazendo-se numericamente r10,

observando-se uma boa concordância. Os resultados foram obtidos para antenas de

microfita com patch em anel sobre substrato ferrimagnético magnetizado (d2 = 0,03 cm). A

ferrita tem permissividade elétrica εr2 = 11,41, magnetização de saturação 4πMs = 985 G e

razão giromagnética γ = 2,85 MHz/Oe.


40

Fig. 3.10 - Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo

magnético DC.

Considerando, ainda, a mesma ferrita utilizada na Fig. 3.10, o comportamento da

freqüência de ressonância em função da intensidade do campo magnético DC, H0, é

observada na Fig. 3.11. Os resultados são simulados para dois valores de altura d2 do

substrato ferrimagnético (0,03 cm e 0,13 cm) e para duas dimensões do patch em anel

(patch 1: r2 = 0,2 cm e r1 = 0,1 cm; patch 2: r2 = 0,15 cm e r1 = 0,075 cm). Com a

diminuição do patch e da altura do substrato ferrimagnético, a freqüência de ressonância

aumenta, favorecendo, com isso, a miniaturização da estrutura.


41


magnético DC.

A Fig. 3.12 mostra o comportamento da freqüência de ressonância em função da

razão dos raios do anel (r1 = 0,35 cm) para diferentes valores de campo magnético estático

de polarização aplicado. Observa-se que, à medida que a intensidade de H0 aumenta, as

curvas se aproximam daquela do caso isotrópico. Os resultados mostram que a freqüência

de ressonância cresce quando a intensidade do campo DC de polarização aumenta,

permitindo uma sintonia externa da antena.


42

Fig. 3.12 - Curva da freqüência de ressonância em função da razão dos raios do anel.

Todos os resultados numéricos apresentados e discutidos até então, foram obtidos

considerando ferritas comerciais que tiveram um bom desempenho, alcançando altas faixas

de freqüências. No entanto, também existem ferritas comerciais com especificações

adequadas para aplicações na faixa de ondas milimétricas. As Figs. 3.13 e 3.14 apresentam

o comportamento da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo

magnético DC aplicação, H0, variando de 250 Oe a 1250 Oe na Fig. 3.14, e de 250 Oe a

1000 Oe na Fig. 3.15. São consideradas duas dimensões de patches (patch 1: r2 = 0,2 cm e

r1 = 0,1 cm; patch 2: r2 = 0,15 cm e r1 = 0,075 cm). O substrato ferrimagnético magnetizado

tem espessura d2 = 0,13 cm, permissividade elétrica εr2 = 12,5, magnetização de saturação

4πMs = 5000 G e razão giromagnética γ = 2,9 MHz/Oe.


43


magnético DC.


magnético DC.


44

3.3 Antena de Microfita com Patch em Anel sobre duas camadas

Ferrimagnética/Dielétrica

A Fig. 3.15 mostra a seção transversal da antena de microfita com patch em anel

sobre duas camadas ferrita/dielétrico, na qual o patch condutor em anel, de raio interno r1 e

raio externo r2, está impresso sobre uma camada de substrato ferrimagnético (camada 2), de

altura d2, suspenso por uma camada de dielétrico isotrópico (camada 3), de altura d3,

apoiada sobre um plano de terra.

d2 2 ε2 , µ

z

y

1 r2

r1

3 ε3 , µ0 d3

Fig. 3.15 – Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel sobre duas

camadas (ferrita/dielétrico).

As Fig. 3.16 e 3.17 mostram a influência da adição de uma subcamada no

comportamento da antena de microfita sobre ferrita. Verifica-se que a freqüência de

ressonância cresce em função da intensidade do campo magnetico DC aplicado. Foram

obtidos resultados para antenas de microfita com patch em anel sobre substrato

ferrimagnético magnetizado (d2 = 0,03 cm), com permissividade elétrica εr2 = 12,5,

magnetização de saturação 4πMs = 5000 G e razão giromagnética γ = 2,9 MHz/Oe. Na Fig.

3.16, os resultados são obtidos considerando o substrato com uma camada de ferrita (d3 =

0) e com a ferrita suspensa por um dielétrico isotrópico (d3 = 0,03 e εr3 = 2,32). Na Fig.

3.17, a ferrita está suspensa por uma camada de ar (d3 = 0,03 e εr3 = 1,0).


45


magnético DC.


magnético DC.


46

Na Fig. 3.18, observa-se o comportamento da freqüência de ressonância em função

da altura da camada dielétrica, d3, variando de 0,01 cm a 0,045 cm, para dois tipos de

dielétricos (εr3 = 2,32 e εr3 = 4,4). Como esperado, a antena apresenta valores mais elevados

de freqüência de ressonância à medida que as permissividades diminuem.

Fig. 3.18 - Curva da freqüência de ressonância em função da altura da camada dielétrica.

As Figs. 3.19 e 3.20 mostram, respectivamente, os resultados para o diagrama de

radiação (componentes de campo elétrico, Eθ e Eφ), para a estrutura considerada na Fig.

3.17. Observa-se, na Fig. 3.19, que a diretividade da antena aumenta com a altura da

camada de isotrópica. Entretanto, o efeito dessa variação é praticamente nulo no diagrama

de radiação Eφ, como mostra a Fig. 3.20.

Pode ser observado, na Fig. 3.21, que com a diminuição do valor da permissividade

da camada dielétrica, a diretividade da antena aumenta.


47

Fig. 3.19 – Diagrama de radiação (Eθ) para dois valores diferentes de altura da camada

dielétrica, d3.

Fig. 3.20 – Diagrama de radiação (Eφ) para dois valores diferentes de altura da camada

dielétrica, d3.

Fig. 3.21 – Diagrama de radiação (Eθ) para dois valores diferentes de permissividade para a

camada dielétrica, d3.


48

A Fig. 3.22 apresenta as curvas para a freqüência ressonância em função da altura

de camada dielétrica, d3, para diferentes tipos de dielétricos. Como esperado, variando-se a

permissividade de um valor mais baixo, εr3 = 1,0 (ar), simulando o caso suspenso, para um

valor de permissividade mais alta, εr3 = 9,8, a freqüência ressonância diminui com o

aumento da permissividade da camada dielétrica.


As Figs. 3.23 e 3.24 mostram o comportamento da freqüência de ressonância para

uma antena de microfita em anel com ferrita, em função da altura de camada dielétrica, d3,

para valores diferentes de campo magnético DC aplicado. A altura da camada dielétrica (εr3

= 2,32) varia de 0,01 cm a 0,045 cm, enquanto o raio externo do patch é r2 = 0,15 cm. Na

Fig. 3.24, o raio externo do anel igual a r2 = 0,1 cm. Os resultados mostram que a

freqüência de ressonância aumenta com a intensidade do campo magnético DC aplicado e

com a altura da camada dielétrica, permitindo uma sintonia externa à estrutura. À medida

que o campo magnético aumenta, a freqüência de ressonância tende ao caso isotrópico.


49




50

3.4 Conclusão

Neste capítulo, foram apresentados os resultados numéricos para uma antena com

patch em anel de microfita com multicamadas, constituídas por materiais

ferrimagnético/dielétrico. Observou-se nos resultados que, quando o campo magnético

aplicado externamente é variado, obtém-se também uma variação no comportamento da

freqüência de ressonância. Com isto, é possivel realizar-se uma sintonia externa da antena,

sem alterar suas caracteristicas físicas. Foram feitas comparações com resultados de outros

trabalhos publicados para o caso de patch circular e quadrado, convergindo numericamente

o raio interno a um valor infinitesimal nos programas elaborados utilizando Matlab®.

Observou-se uma boa concordância com resultados obtidos através do Ansoft HFSS®.

Quando comparado ao software HFSS, o método de Galerkin permitiu uma melhor

investigação da região de ressonância giromagnética da ferrita, por ser mais sensível às

variações do campo magnético DC aplicado.

CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS

51

CAPÍTULO 4

Metamateriais

4.1 Introdução

As propriedades elétricas e magnéticas dos materiais podem ser determinadas por

dois parâmetros constitutivos denominados permissividade elétrica (ε) e permeabilidade

magnética (µ). Em conjunto, a permeabilidade e a permissividade determinam a resposta do

material quando uma onda eletromagnética se propaga através do mesmo. Geralmente, ε e

µ são ambos positivos em meios convencionais. Enquanto ε pode ser negativo em alguns

materiais (por exemplo, ε pode apresentar valores negativos abaixo da freqüência de

plasma dos metais), nenhum material natural com µ negativo é conhecido. Porém, certos

materiais, chamados de materiais LHM (Left-Handed Materials), possuem permissividade

efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (µeff) apresentando, simultaneamente, valores

negativos. Em tais materiais, o índice de refração (n) é negativo, fator este que resulta na

inversão de fenômenos eletromagnéticos conhecidos, os quais foram investigados,

teoricamente, pelo físico russo Veselago em 1967 (VESELAGO, 1967). Na época da

publicação do estudo, o próprio Veselago ressaltou que tais materiais não estavam

disponíveis na natureza, o que fez com que suas observações ficassem apenas no território

das curiosidades.

A princípio, materiais com permissividade negativa puderam ser obtidos através de

um arranjo periódico de fios condutores milimétricos alinhados ao longo da direção de


52

propagação, como mostra a Fig. 4.1. Entretanto, para que o estudo de Veselago fosse

comprovado, faltava fabricar um material com permeabilidade negativa.

Fig. 4.1 – Arranjo de fios condutores para produzir um meio efetivo com

permissividade negativa. Reproduzido de (SARTORI, 2004).

O desafio, então, era construir um meio que apresentasse uma permeabilidade

magnética efetiva negativa. Em 1999, Pendry demonstrou que uma estrutura em anel aberto

(na forma de “C”), denominada ressoador em anel dividido (Split Ring Resonator – SRR),

podia promover uma permeabilidade negativa (PENDRY et al., 1999), conforme a Fig. 4.2.

Combinando as duas estruturas de Pendry em um único arranjo, dado pela Fig. 4.3, de

modo que o comprimento de onda a ser utilizado fosse maior que os elementos e o

espaçamento do arranjo compreendido pelos mesmos, o comportamento left-handed foi

alcançado por Smith, confirmando o estudo realizado, há três décadas, por Veselago.

Fig. 4.2 – Ressoador em anel dividido (SRR) para produzir um meio efetivo com

permeabilidade negativa. Reproduzido de (SARTORI, 2004).


53

Fig. 4.3 – Arranjo de SRR e fios metálicos criando um meio efetivo com ε e µ negativos.

Reproduzido de (SARTORI, 2004).

Esses novos materiais são denominados de metamateriais, onde o prefixo meta é

uma alusão à natureza excêntrica de seus parâmetros eletromagnéticos. Entretanto, existem

outras denominações para estes meios, na literatura, de acordo com as propriedades do

material, tais como materiais left-handed (LHM), materiais de índice de refração negativo

(NRI), materiais de índices negativos (NIM), materiais duplo-negativos (DNG), dentre

outros.

O Departamento de Defesa Norte-Americano (DARPA) tem uma definição para os

metamateriais: “Metamaterial é uma nova classe de nano-inclusões artificiais ordenadas

numa estrutura que apresenta propriedades excepcionais não observadas na natureza.

Estas propriedades também não são observadas nos materiais constituintes dessas

estruturas e resultam das respostas eletromagnéticas dessas inclusões extrínsecas, não-

homogêneas e fabricadas artificialmente”.

Um ponto é de extrema importância diante desta definição. A citação “não

observadas nos materiais que os constituem” diz respeito ao fato de que não se considera o

caráter microscópico dos materiais que constituem o metamaterial, mas somente é

considerado que no composto há materiais homogêneos com parâmetros eletromagnéticos

bem definidos de ε e µ. De acordo com o eletromagnetismo clássico, pode-se dizer que o

comprimento de onda determina se uma coleção de átomos ou de outros objetos quaisquer


54

pode ser considerada um material. Os parâmetros eletromagnéticos ε e µ não precisam

surgir estritamente da resposta de átomos e moléculas. Qualquer coleção de objetos cujo

tamanho e o espaçamento sejam muito menores do que o comprimento de onda pode ser

descrita por um ε e um µ, cujos valores são determinados pelas propriedades de

espalhamento das estruturas dos objetos. Portanto, uma onda eletromagnética passando

através desse arranjo não distingue a diferença, embora tal coleção não-homogênea não

satisfaça a definição intuitiva de um material. Do ponto de vista do eletromagnetismo, trata-

se de um material artificial, ou um metamaterial.

Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia, capaz de atender às

exigências excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicações. Baseados em uma

atraente e revolucionária classe de materiais que possuem novas e poderosas propriedades

de propagação eletromagnética, eles foram considerados pela revista Science como sendo

um dos 10 maiores avanços da ciência no ano de 2006 (SCIENCE, 2006). Vários trabalhos

têm sido publicados na literatura procurando explorar novos efeitos e descobrir novas

aplicações para este “fantástico” material. Como exemplos, destacam-se o desenvolvimento

de superlentes capazes de fornecer imagens de objetos ou estruturas que são muito menores

do que o comprimento de onda da luz e mecanismos de invisibilidade, para determinadas

freqüências de oscilações eletromagnéticas, capazes de tornar objetos invisíveis ao olho

humano. Outras aplicações dos LHMs incluem a fabricação de antenas com propriedades

novas, nanolitografia óptica, microscópios de altíssima resolução, nanocircuitos para

supercomputadores, dispositivos MIMO WiFi, ultra-compactos, de várias bandas e modos

com velocidade de comunicação, alcance e mobilidade superiores (RASPEN, 2010).

4.2 Metamateriais: Uma nova classe de materiais

As características desses meios artificiais vão além de sua funcionalidade, já que é

permitida a combinação de sinais entre os parâmetros de permissividade e permeabilidade.

É possível encontrar meios naturais que apresentem uma permissividade negativa, como é o

caso de alguns metais para freqüências próximas a ressonância de plasma. Alguns cristais


55

como SiC, LiTaO3, LiF and ZnSe também podem apresentar, para certas freqüências, uma

permissividade negativa. Já os materiais com permeabilidade negativa não ocorrem na

natureza e precisam ser fabricados.

A Fig. 4.4 ilustra uma representação gráfica de quatro diferentes possibilidades de

materiais para aplicações eletromagnéticas, baseados em suas permissividades e

permeabilidades. São também ilustradas a refração e a reflexão considerando uma interface

entre o ar e cada meio em questão. Há quatro regiões no diagrama.

Fig. 4.4 – Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (µ) para os quatro tipos de meios. Reproduzido de (WILTSHIRE, 2001).

O plasma encontra-se na região onde ε é negativo e µ positivo, que também é o caso

das estruturas compostas de fios milimétricos. O arranjo composto por anéis divididos SRR

e as ferritas (ressonância giromagnética da ferrita) encontram-se na região onde ε é positivo

e µ é negativo. Veselago determinou que se ε ou µ fossem negativos, ou seja, tivessem

sinais opostos, o material não suportaria a propagação de ondas eletromagnéticas. Este

fenômeno veio a ser conhecido como “band gap eletromagnético (EBG)”. Ainda temos a

região onde ε e µ são positivos, que é o caso dos materiais convencionais (RHM – Right-

Handed Materials) onde a refração ocorre positivamente; e a região onde ε e µ são


56

negativos, simultaneamente, onde se encontram os metamateriais (LHM – Left-Handed

Materials), nos quais a refração ocorre negativamente.

A presença de índice de refração negativo nos meios LH implica em uma

velocidade de grupo anti-paralela à velocidade de fase, causando interessantes efeitos,

como por exemplo, uma inversão de direção do efeito Doppler ou uma inversão do raio

refratado na Lei de Snell comparados aos meios convencionais (índice de refração

negativo). Como Veselago apontou, estas reversões da onda eletromagnética contem

implicações para muitos fenômenos. Muitos dos efeitos do índice de refração negativo têm

sido examinados pelos pesquisadores, do ponto de vista experimental ou computacional.

O índice de refração determina como o feixe é defletido na interface de separação

entre dois meios distintos. Se o índice é positivo, o feixe é defletido no lado oposto da

normal à superfície em relação ao feixe incidente. Enquanto se o índice é negativo, ele é

defletido no mesmo lado da normal à superfície. Considerado um prisma de RHM e LHM,

Fig. 4.5, é possível observar o fenômeno da refração nos dois meios. Para o prisma RHM, o

raio refratado produz um ângulo positivo com a normal, no prisma de LHM, o raio

refratado produz um ângulo negativo com a normal. Além disso, a velocidade de grupo,

que caracteriza o fluxo de energia, e a velocidade de fase, que caracteriza o movimento das

frentes de onda, aponta em direções opostas, como mostra a Fig. 4.6.

Fig. 4.5 – Ilustração da propagação em um meio (a) com índice de refração positivo (RHM) e (b) com índice de refração negativo (RHM). θ1 é o ângulo de incidência e θ2 é o

ângulo de refração. Reproduzido de (SUDHAKARAN, 2006).


57

Fig. 4.6 – Ilustração das direções do campo elétrico, do campo magnético, do vetor de Poynting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM.

Reproduzido de (SUDHAKARAN, 2006).

Vale ressaltar que estes materiais artificiais, com índice de refração negativo,

possuem os valores de ε e µ dependentes da freqüência, ou seja, são meios dispersivos,

sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de freqüência.

Os metamateriais também podem ser projetados de modo que possam apresentar os

mesmos parâmetros eletromagnéticos dos materiais pertencentes aos outros três quadrantes.

Daí, muitos trabalhos têm sido desenvolvidos e validados experimentalmente (SMITH et

al., 2000; SHELBY et al., ZIOLKOWKSI et al., 2001).

4.3 Projeto do Meio Metamaterial

Os metamateriais são considerados estruturas artificiais eletromagnéticas

homogêneas com propriedades incomuns que não estão naturalmente disponíveis na

natureza. Uma estrutura efetivamente homogênea é uma estrutura cujo tamanho da célula

comum estrutural p é muito menor que o comprimento de onda guiada λg (ITOH et al.,

2006).

Então, este tamanho de célula comum deverá ser menor que um quarto de

comprimento de onda guiado, p < λg /4. A condição de p = λg /4 é considerada o limite de

homogeneidade efetiva ou condição de homogeneidade efetiva, assegurando que o


58

fenômeno da refração domine sobre o fenômeno de espalhamento e/ou difração quando

uma onda se propaga através do meio. A Fig. 4.7 mostra o primeiro metamaterial proposto

por Pendry, constituído de metais e dielétricos e seguindo a condição de homogeneidade

efetiva (p < λg /4).

Fig. 4.7 – (a) estrutura composta por fios milimétricos (thin wire - TW). (b) estrutura composta pelos SRRs. Reproduzido de (ITOH et al., 2006).

Os meios metamateriais apresentam um comportamento dispersivo, ou seja, os

parâmetros constitutivos do meio variam em função da freqüência. Por isso, é necessário o

conhecimento da faixa de freqüência na qual a permissividade (ε) e/ou a permeabilidade (µ)

tornam-se efetivamente negativos. Esse estudo pode ser realizado utilizando modelos

analíticos para a determinação da permissividade e da permeabilidade efetivas do meio

metamaterial. Os modelos mais empregados para essa finalidade são o modelo de Drude-

Lorentz, o modelo para o meio de SRR e fios metálicos de Pendry, para citar alguns

(ZIOLKOWSKI et al., 2006).

4.3.1 Modelo Drude-Lorentz

A determinação da permissividade elétrica ε através do modelo de Drude é dada por

( ))i(

1e

2ep

r Γ−ωωω

−=ωε (4.1)


59

onde ωep representa a freqüência do plasma elétrico (freqüência natural de oscilação do

material) e Γe representa a freqüência de amortecimento (perda do sistema). Para ω < ωep a

permissividade se torna negativa.

Na Fig. 4.8 podemos observar a variação da parte real da permissividade elétrica

relativa, modelada pelo modelo de Drude, para diferentes valores da freqüência de plasma.

Fig. 4.8 – Permissividade elétrica relativa modelada pelo modelo de Drude,

com Γ = 0,5 GHz.

A expressão (4.2) representa a análise da µ por meio do modelo de Lorentz:

( )2

m2

0m

2mp

r i1

ω−ωΓ−ωω

−=ωµ (4.2)

Neste caso, ωe0 e ωm0 são as freqüências de ressonância elétrica e magnética,

respectivamente, que são determinadas pela geometria da rede, pela densidade, massa

efetiva e carga dos elétrons, como acontece no caso dos materiais comuns. Para freqüências

entre ω0 ≤ ω ≤ ωp, o meio apresenta uma permissividade negativa.

O estudo desses modelos pode ser realizado de forma similar em qualquer faixa de

freqüência desejada (microonda, onda milimétrica ou óptica) com a utilização de valores


60

adequados de freqüência. As Figs. 4.9 e 4.10 mostram o comportamento da freqüência de

ressonância para o caso em que a permissividade segue o modelo de Drude (Fig. 4.9) e a

permeabilidade segue o modelo de Lorentz (Fig. 4.10).

Fig. 4.9 – Permissividade elétrica relativa modelada pelo modelo de Drude.

Fig. 4.10 – Permeabilidade elétrica relativa modelada pelo modelo de Lorentz.


61

4.3.2 Meios SRR e fios metálicos

O meio constituído por fios milimétricos (TW) e por anéis divididos (SRR) são os

blocos constituintes da estrutura metamaterial (Fig. 4.7). Normalmente a permeabilidade

magnética relativa é igual a um (µr = 1), para maioria dos materiais. O meio TW responde

ao campo elétrico e apresenta uma permissividade elétrica que se torna negativa abaixo da

freqüência de plasma dos fios. Mas, estas estruturas de fios metálicos não respondem ao

campo magnético. Logo, para se obter uma permeabilidade negativa é necessário que se

entenda as propriedades magnéticas dos materiais. Pendry (PENDRY et al., 1999)

aumentou a resposta magnética dos materiais projetados artificialmente introduzindo

elementos capacitivos na estrutura, os SRRs. O SRR exibe uma resposta magnética

ressonante às ondas eletromagnéticas quando o vetor campo magnético H for paralelo ao

eixo dos SRRs. Estes anéis (SRRs) podem ser construídos usando várias formas

geométricas, onde cada anel pode ser visto como o equivalente metamaterial de um átomo

magnético, conforme mostra a Fig. 4.11.

Fig. 4.11 – Formas de arranjo geométrico.

Como mencionado anteriormente, o Prof. J. B. Pendry foi o primeiro a comprovar

as propriedades duplo-negativas dos metamateriais LH através de simulações e

considerações teóricas. Para a estrutura TW, a permissividade negativa é obtida

teoricamente a partir de (PENDRY et al., 1999):

( ))(

12

2

e

epeff jωζω

ωωε

+−= (4.3)


62

onde ωep é a freqüência de plasma, a qual é dada por:

)r

pln(p

c2

2

202

ep

π=ω (4.4)

sendo c0 a velocidade da luz no espaço livre, p é o período do arranjo e r é o raio dos fios.

Logo, é possível manipular a freqüência de plasma meramente através das dimensões dos

fios, p e r.

O fator de perdas do metal ζe, é dado por:

πσ

ωε

=ζ

2

ep0

e

r

p

(4.5)

onde σ é a condutividade do metal.

Para 0)Re( r <ε temos que )( 2e

2ep

2 ζ−ω<ω . Reduzindo ζe = 0 temos que 0r <ε

quando epω<ω .

Um arranjo periódico de SRRs apresenta uma permeabilidade magnética efetiva

dada por (PENDRY et al., 1999):

mmeff j

F

ωζωωωωµ

+−−=

20

2

2

1)( (4.6)

onde ωep é a freqüência de ressonância magnética, F é o fator geométrico da célula, ζe é a

energia dissipada e r é o raio interno do anel menor.

2

2

p

rF

π= (4.7)

32

302

m0

r)dw2

ln(

pc3

π=ω

(4.8)

onde d é a distância entre os anéis e w é a largura dos anéis. ζm é o fator de perdas do metal,

dado por:


63

0

'

m r

pR2

µ=ζ (4.9)

sendo R’ a resistência do metal.

Das considerações feitas, podemos dizer que para 0r <µ temos que

mpm0m0 )F1(/ ω=−ω<ω<ω .

Portanto, um material com valores de ε e µ negativos pode ser fabricado para certa

faixa de freqüência.


Metamaterial

Em aplicações de baixas perdas para a região de microondas, as escolhas são

limitadas aos materiais naturais dielétricos não-magnéticos. Infelizmente, para materiais

magnéticos, como é o caso das ferritas, a freqüência de ressonância é limitada pela região

de ressonância giromagnética, como visto no Capítulo 2. Daí a necessidade de se obter

materiais que apresentem valores elevados de permissividade e, principalmente,

permeabilidade, como é o caso dos metamateriais.

Como foi descrito, os metamateriais obedecem a uma condição de homogeneidade

efetiva, ou seja, a estrutura é considerada uniforme em relação à direção de propagação

eletromagnética. Em conseqüência, são meios que exibem parâmetros constitutivos

efetivos, caracterizados por uma permissividade elétrica relativa efetiva e por uma

permeabilidade magnética efetiva, dadas pelos modelos apresentados na seção 4.4 deste

capítulo.

Recentemente, novos substratos artificiais com propriedades dielétricas e/ou

magnéticas têm sido empregados para a miniaturização de antenas e circuitos planares de


64

microondas (MOSALLAEI et al., 2007). O uso destes materiais também é investigado em

antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al., 2007).

Neste trabalho, será utilizado o metamaterial na faixa de freqüência onde a

permeabilidade e a permissividade possuem valores altos positivos, para aplicações em

antenas de microfita. No contexto dos metamateriais, devido ao fato de apresentarem uma

anisotropia tanto dielétrica quanto magnética, estes meios podem ser considerados como

meios bianisotrópicos. Com isto, a inclusão destes metamateriais em formalismos

numéricos, tais como, MoM, FDTD, entre outros, pode ser realizada.

Na análise, utilizando o método de onda completa dos Potenciais Vetoriais de Hertz

é preciso que os parâmetros constitutivos do meio sejam definidos. Neste caso, o

metamaterial considerado é caracterizado por permissividade e permeabilidade tensoriais

(ITOH et al., 2006):

εε

εε=ε

=

zz

yy

xx

0

00

00

00 (4.10)

µµ

µµ=µ

=

zz

yy

xx

0

00

00

00 (4.11)

Quando uma estrutura LH é unidimensional (1D) somente uma direção é permitida

para a dupla ( H,Err

). Tem-se então que εxx ( peω<ω ) < 0 e εyy = εzz > 0, µxx > 0 e µyy = µzz

( mpm0 ω<ω<ω ) < 0. Logo, o tensor para o metamaterial 1D, é dado por (ITOH et al.,

2006):


65

ωεε

εε=ε

=

)(00

00

00

eff

r

r

0 (4.12)

µωµ

µµ=µ

=

r

eff

r

0

00

0)(0

00 (4.13)

No caso de uma estrutura bidimensional (2D), embora Er

tenha que ser orientado ao

longo do eixo dos fios, são possíveis duas direções para ;Hr

o [ε] é inalterado, mas µxx = µyy

( mpm0 ω<ω<ω ) < 0 e µzz > 0. Portanto, o tensor para o metamaterial 2D, é dado por

(ITOH et al., 2006; MOSALLAEI et al., 2004):

ωεε

εε=ε

=

)(00

00

00

eff

r

r

0 (4.14)

µωµ

ωµµ=µ

=

r

eff

eff

0

00

0)(0

00)( (4.15)

Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) são apresentadas na

Fig. 4.12 (ITOH et al., 2006). Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magnética

ressonante às ondas eletromagnéticas quando o vetor campo magnético Hr

for paralelo ao

eixo dos SRRs.


66

Fig. 4.12 – Primeiras estruturas LH de TW e SRRs. (a) Estrutura LH unidimensional. (b)

Estrutura LH bidimensional. Reproduzido de (ITOH et al., 2006).

Neste trabalho, o modelo de onda completa é aplicado na análise de antenas de

microfita com patch em anel, como mostra a Fig. 4.13. O patch está impresso sobre um

substrato metamaterial bianisotrópico uniaxial, com estrutura bidimensional (2D)

homogênea. Uma camada de material dielétrico separa o substrato metamaterial do plano

de terra. A bianisotropia uniaxial é semelhante à anisotropia uniaxial, ou seja, o eixo para o

qual o elemento da matriz é diferente dos outros dois é chamado de eixo de simetria, ou

eixo óptico. Considerando, neste trabalho, que o eixo óptico está na direção perpendicular

ao plano de terra, ou seja, na direção z, então, os tensores, em coordenadas cilíndricas,

correspondentes à camada de metamaterial, são definidos como:

εε

εε=ε ρρ

ρρ=

zzi

i

i

0

00

00

00

(4.16)

µµ

µµ=µ ρρ

ρρ=

zzi

i

i

0

00

00

00

(4.17)


67

Em (4.16), εzz é a componente da permissividade relativa na direção z, e ερρ é a

componente da permissividade relativa na direção ρ, que é a mesma da direção φ,

equivalendo a x e y no sistema de coordenadas retangulares, respectivamente. A constante

ε0 é a permissividade elétrica do espaço livre. Analogamente, o tensor permeabilidade

magnética é definido em (4.17), onde µ0 é a permeabilidade do espaço livre.

Fig. 4.13 – Antena de microfita com patch em anel sobre substrato metamaterial.

As dimensões do patch em anel são definidas pelos raios externo r2 e interno r1. A

região 1 é o ar, com permissividade elétrica ε0 e permeabilidade magnética µ0. A camada de

metamaterial (região 2) possui altura d2, permissividade tensorial ε , e permeabilidade

tensorial µ . A região 3 representa a camada de dielétrico isotrópico que possui altura d3,

permissividade elétrica 3ε , e permeabilidade magnética 0µ . Na análise, o patch e o plano

de terra são considerados condutores perfeitos e o metamaterial é um meio efetivo

homogêneo.

O formalismo usado na análise de antenas sobre substratos metamateriais

bianisotrópicos é análogo ao procedimento usado para o modelamento de antenas de


68

microfita com patch em anel sobre substrato com anisotropia dielétrica ou anisotropia

magnética. A aplicação dos potenciais de Hertz permite determinar os campos elétricos e

magnéticos para cada região i.

Os potenciais vetoriais de Hertz elétrico e magnético são definidos,

respectivamente, na direção do eixo optico do material, dados por (POZAR, 1983):

ziee arr π=π (4.18)

zihh arr π=π (4.19)

onde πei e πhi representam, respectivamente, os potenciais escalares de Hertz, elétrico e

magnético, sendo zar

o vetor unitário na direção z.

Partindo das equações de Maxwell, considerado o meio livre de fontes e correntes,

que são escritas como (BALANIS, 1997):

BjErr

ω−=×∇ (4.20)

DjHrv

ω=×∇ (4.21)

0D =⋅∇r

(4.22)

0B =⋅∇r

(4.23)

onde Er

é o vetor intensidade de campo elétrico, Hr

é o vetor intensidade de campo

magnético, Dr

é o vetor intensidade de fluxo elétrico, Br

é o vetor densidade de fluxo

magnético, ω = 2πf é a freqüência angular, estando implícita uma dependência temporal do

tipo exp (jωt).

Adicionalmente, temos a definição das relações constitutivas, as quais relacionam

os vetores de campo elétrico e magnético aos vetores densidade de fluxo elétrico e

densidade de fluxo magnético, respectivamente. Para um meio metamaterial bianisótropico,

então,

EDrr

ε= (4.24)

HBrr

µ= (4.25)


69

onde ε é o tensor permissividade elétrica e µ é o tensor permeabilidade magnética do

metamaterial.

Usando (4.24) e (4.25), as equações (4.20) a (4.23) podem ser reescritas:

HjErr

µω−=×∇ (4.26)

EjHrv

εω=×∇ (4.27)

0E =⋅∇r

(4.28)

0H =⋅∇r

(4.29)

Usando o potencial de Hertz magnético, hπr , definimos:

hijE π×∇ωµ−= ρρrr

(4.30)

Substituindo (4.30) em (4.27), obtém-se:

hhi2H ϕ∇+πεµω= ρρ

rv (4.31)

sendo hzzi

ih π⋅∇

µµ

=ϕ ρρ r (4.32)

Assim, tem-se que:

)(H hzzi

ihi

2 π⋅∇∇µµ

+πεµω= ρρρρ

rrv (4.33)

Portanto, as equações (4.30) e (4.33) correspondem à onda ordinária.

Para o cálculo da onda extraordinária, usando o potencial de Hertz elétrico, eπr ,

definimos:

eizzijB π⋅∇εωµ= ρρrr

(4.34)

Substituindo (4.25) em (4.34), tem-se que:

e1

izzi )(jH π×∇µεωµ= −ρρ

rr (4.35)

Substituindo (4.33) em (4.20), obtém-se:

eeizzi2E ϕ∇+πεµω= ρρ

rr (4.36)


70

onde ezzi

ie π⋅∇

εε

=ϕ ρρ r (4.37)

Assim, tem-se que:

)(E ezzi

ieizzi

2 π⋅∇∇εε

+πεµω= ρρρρ

rrr

(4.38)

A partir de (4.30), (4.33), (4.35) e (4.38), são obtidas as ondas extraordinárias dadas

por (4.35) e (4.38).

Portanto, as expressões para as componentes do campo elétrico e campo magnético

totais para um metamaterial são definidas como seguem:

)(jE ezzi

ieizzi

2hi π⋅∇∇

εε

+πεµω+π×∇ωµ−= ρρρρρρ

rrrr (4.39)

)()()(jH hzzi

ihi

2e

1izzi π⋅∇∇

µµ

+πεµω+π×∇µεωµ= ρρρρ

−ρρ

rrrv (4.40)

As equações de onda para eπr e hπr , respectivamente, são dadas por:

0kzyx e

2ei2

e2

zzi

i2e

2

2e

2

=π+∂

π∂εε

+∂

π∂+∂

π∂ ρρ (4.41)

0kzyx h

2hi2

h2

zzi

i2h

2

2h

2

=π+∂

π∂µµ

+∂

π∂+∂

π∂ ρρ (4.42)

sendo

izzi22

eik ρρεµω=

ii22

hik ρρρρ εµω=

(4.43)

(4.44)

Para uma região dielétrica isotrópica (i = 1, 3, na Fig. 4.13), as componentes dos

campos elétricos e magnéticos são obtidas fazendo µρρi = µzzi = 1 e ερρi = εzzi, = εri, nos

tensores definidos em (4.16) e (4.17).


71

Considerando a forma geométrica do patch em anel, as componentes de campo

H,Err

para o metamaterial (região 2, na Fig. 4.13), em coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z), são

obtidas das equações (4.39) e (4.40), sendo escritas como:

z

1jE 2e

2

2zz

22h22 ∂ρ∂

π∂εε

+φ∂

π∂ρ

ωµ−= ρρρρρ ; (4.45)

z

1jE 2e

2

2zz

22h22 ∂φ∂

π∂ρε

ε+

ρ∂π∂ωµ= ρρ

ρρφ ; (4.46)

22e

2

2zz

22e22zz

22z z

E∂

π∂εε

+πεµω= ρρρρ ; (4.47)

z

1jH 2h

2

2zz

22e22 ∂ρ∂

π∂µµ

+φ∂

π∂ρ

ωε= ρρρρρ ; (4.48)

z

1jH 2h

2

2zz

22e22 ∂φ∂

π∂ρµ

µ+

ρ∂π∂ωε−= ρρ

ρρφ ; (4.49)

22h

2

2zz

22h22

22z z

H∂π∂

µµ

+πεµω= ρρρρρρ . (4.50)

Os potenciais eiπr e hiπr podem ser representados em termos de funções cilíndricas

(GERARDI, 1959), como seguem:

;d)(J)z,(~e)z,,(0

neijn

ei ∫∞

φ αααραπ=φρπ (4.51)

.d)(J)z,(~e)z,,(0

nhijn

hi ∫∞

φ αααραπ=φρπ . (4.52)

onde )(Jn αρ é a função de Bessel de primeiro tipo e ordem n, e e( ,z)π α% é a transformada

de Hankel de eiπ . Convém observar que as funções de Bessel de primeiro tipo são definidas

como as soluções da equação diferencial de Bessel, dada por (ABRAMOWITZ, 1970):


72

22 2 2n n

n2

J (s) J (s)s s (s n ) J (s) 0

s s

∂ ∂+ + − =∂ ∂

. (4.53)

Substituindo (4.51) em (4.43), considerando s = αr e fazendo uso de (4.53), obtém-se a seguinte equação de onda de ei

~π , no domínio da transformada de Hankel:

0z

~ 2ei2

2

ei =

γ−

∂∂π (4.54)

onde

zzi

i2ei

22ei )k(

εε

−α=γ ρρ . (4.55)

Analogamente, substituindo-se (4.52) em (4.44) e realizando o mesmo

procedimento utilizado para o potencial ei~π , obtém-se a equação de onda para hi

~π , no

domínio da transformada de Hankel.

0z

~ 2hi2

2

hi =

γ−

∂∂π . (4.56)

com

zzi

i2hi

22hi )k(

µµ

−α=γ ρρ . (4.57)

As soluções para as equações de onda, nas regiões i = 2 e 3, da Fig. 4.13, são dadas

por:

)zcosh(A)z(senhA~ih

'iihihi γ+γ=π ; (4.58)

)zcosh(B)z(senhB~ie

'iieiei γ+γ=π ; (4.59)

e, na região 1 (ar), são: ( )20 dz

11h e~ −γ−Α=π ; (4.60)

( )20 dz11e e~ −γ−Β=π . (4.61)

Substituindo (4.51) e (4.52) nas equações das componentes tangenciais (4.45),

(4.46), (4.48) e (4.49), visando a obtenção dessas no domínio espectral, surgem duas


73

funções de Bessel de ordens diferentes. Isto se deve ao fato da derivada da função de Bessel

de ordem n poder ser representada por funções de Bessel de ordem n-1 e n+1, ou seja

(ABRAMOWITZ, 1970):

nn 1 n 1

J (s) 1(J (s) J (s))

s 2 − +∂

= −∂

; (4.62)

)s(J)s(Js

n2)s(J 1nn1n ±± −= . (4.63)

Para simplificar a análise é desejável tratar fatores contendo funções de Bessel de

mesma ordem. Para isto, definem-se as seguintes componentes de campo (FAN et al.,

1991):

iii j φρ± Ε±Ε=Ε ; (4.64)

iii HjHH φρ± ±= . (4.65)

Para isto, a obtenção de Eρi e Eφi é realizada substituindo-se (4.51) e (4.52) nas

componentes dadas em (4.45) e (4.46), fazendo uso de fórmulas de recorrência, obtendo-se

respectivamente:

αα

−

∂π∂

εε+π

ωµα=Ε ∫

∞

+−ρρφ

ρ d))s(J)s(J(2

1

z

~)s(J~

s

ne

0 1n1nei

zzi

xxinhi

i2jni ; (4.66)

e

αα

∂π∂

εε

+−πωµα=Ε ∫∞ ρρ

+−ρρφ

φ d)s(Jz

~

sjn

))s(J)s(J(21~je

0 nei

zzi

i1n1nhii

2jni . (4.67)

Aplicando o mesmo procedimento em (4.48) e (4.49), as componentes transversais

do campo magnético são dadas por:

αα

−

∂π∂

µµ

+πωε

−α= ∫∞

+−ρρρρφ

ρ d))s(J)s(J(z

~

2

1)s(J~

s

neH

0 1n1nhi

zzi

inei

i2jni ; (4.68)

e

αα

∂π∂

µµ

+−πωε−α= ∫∞ ρρ

+−ρρφ

φ d)s(Jz

~

s

nj))s(J)s(J(

2

1~jeH0 n

hi

zzi

i1n1neii

2jni . (4.69)

Então, a componente de campo elétrico, definida em (4.64) é dada por:


74

αα

∂π∂

εε

πωµα=Ε ±

∞ ρρρρ

φ± ∫ d)s(J

z

~~e 1n0

ei

zzi

ihii

jni m . (4.70)

Analogamente, o campo magnético, definido em (4.65) é expresso por:

αα

∂π∂

µµ

±πωε−α=Η ±

∞ ρρρρ

φ± ∫ d)s(J

z

~~e 1n0

hi

zzi

ieii

jni . (4.71)

Realizada a análise utilizando o formalismo de onda completa através da aplicação

do método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da transformada de Hankel, inicia-

se a imposição das condições de contorno adequadas à estrutura. Isto permitirá determinar

as funções diádicas de Green, que relacionam as componentes da densidade de corrente no

patch com as componentes tangenciais do campo elétrico.

As constantes 2'112

'11 ,B,,,A, ΒΒΑΑ são determinadas a partir da aplicação das

condições de contorno. Para a estrutura considerada na Fig. 4.13, as condições de contorno

são as seguintes:

03 =Ε± em z = 0; (4.72)

23 ±± Ε=Ε em z = d3 (4.73)

23 ±± Η=Η em z = d3 (4.74)

12 ±± Ε=Ε em z = d23 (4.75)

±±± Ι=Η−Η j21 m em z = d23 (4.76)

Aplicando as condições de contorno, as constantes 'ii

'ii B,,A, ΒΑ são obtidas em

cada região segundo as seguintes expressões:

1zz6

31 P2

P)~~

(j

µαΙ+Ι−=Α +− (4.77)


75

1zz6

12 P2

P)~~

(j

µαΙ+Ι−=Α +− (4.78)

1zz6

'2 P2

)~~

(j

µαΙ+Ι−=Α +− (4.79)

1zz6

73 P2

P)~~

(j

µαΙ+Ι−=Α +− (4.80)

0'3 =Α (4.81)

5020

41 P2

P)~~

(j

γεαωεΙ−Ι−

=Βρρ

+− (4.82)

52zz0

22 P2

P)~~

(j

εαωεΙ−Ι

=Β +− (4.83)

52zz0

'2 P2

)~~

(j

εαωεΙ−Ι

=Β +− (4.84)

52zz0

83 P2

P)~~

(j

εαωεΙ−Ι

=Β +− (4.85)

0'3 =Β (4.86)

onde



32h02h33h32h3h2

32h02h33h32h3h21 γµγ−γγγµ

γµγ+γγγµ−=

ρρ

ρρ (4.87)

)d(senh)dtanh()dcosh(

)dcosh()dtanh()d(senhP

32e2e3r33e32e3e2

32e2e3r33e32e3e22 γγε−γγγε

γγε+γγγε−=

ρρ

ρρ (4.88)

[ ])dcosh()d(senhPP 232h232h12zz3 γ+γµ= (4.89)

)dcosh()d(senhPP 232e232e24 γ+γ= (4.90)


76

)dcosh(P)d(senhP

1P 232e02zz

2e2232e

02zz

2e25 γ

γεγ++γ

γεγ+= (4.91)

)dcosh(P

)d(senhPP 232h02zz

12h232h

2zz

2h106 γ

γ+

µγ+γ

µγ+γ= (4.92)

[ ])d(senh

)dcosh()d(senhPP

33h

32h32h127 γ

γ+γµ= ρρ (4.93)

[ ])dcosh(

)d(senh)dcosh(PP

33e

32e32e228 γ

γ+γε= ρρ (4.94)

A substituição das constantes obtidas em (4.77) a (4.86) nos campos Ε+ e Ε− na

interface dos dois dielétricos, ou seja, em z = d2, permite expressar as Transformadas de

Hankel dos campos elétricos em função das correntes +I~

e −I~

. Esses campos são dados por:

−++ += I~

Z~

I~

Z~

E~

1211 (4.95)

−+− += I~

Z~

I~

Z~

E~

2221 (4.96)

onde 211211

~,

~,

~ ΖΖΖ e 22

~Ζ são as transformadas das componentes da função diádica de Green

da estrutura considerada.

Os elementos da matriz impedância[ ]Ζ~ são dadas por:

ωεγ−ωµ==

ρρ 52

2e4

6

302211 P

P

P

P

j2

1Z~

Z~ ; (4.97)

ωεγ+ωµ==

ρρ 52

2e4

6

302112 P

P

P

P

j2

1Z~

Z~ ; (4.98)


77

Combinando-se a matriz [ ]Ζ~ , dada por (4.97) e (4.98), com o método de Galerkin,

torna-se possível determinar a freqüência de ressonância da antena. O procedimento é

análogo ao utilizado para a antena de microfita com ferrita desenvolvido no Capítulo 2.

4.5 Conclusão

Neste capítulo, o efeito da bianisotropia do metamaterial foi levado em

consideração na análise de antena de microfita com patch em anel sobre substrato

metamaterial e dielétrico isotrópico. O modelamento foi realizado utilizando o método dos

potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da transformada de Hankel, para determinar as

componentes da matriz de impedância da estrutura modelada. O Método de Galerkin foi

então usado, de maneira análoga ao procedimento realizado para antenas com ferritas, para

obter a equação matricial, cuja solução não trivial fornece a freqüência de ressonância da

antena. O passo seguinte consiste na obtenção de resultados numéricos a partir da

elaboração de rotinas computacionais com o método desenvolvido, que permitam a

obtenção das características ressonantes da antena modelada para determinar as

características ressonantes dos metamateriais utilizando a teoria abordada. A partir da

modelagem realizada, é possível obter resultados para a freqüência de ressonância em

função de vários parâmetros da antena de microfita com patch em anel sobre substrato

metamaterial.

CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS

78

CAPÍTULO 5

Resultados Numéricos – Metamateriais

5.1 Introdução

A caracterização de antenas de microfita contendo metamateriais é efetuada através

do método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da transformada de Hankel.

Seguindo o mesmo procedimento adotado no Capítulo 3, para a análise de antenas de

microfita com ferrita, a freqüência de ressonância da antena de microfita com metamaterial

é determinada através da aplicação da técnica numérica de Galerkin. Portanto, conhecidas

as componentes da matriz impedância, após a definição das expressões de corrente no

condutor em anel, são escolhidas funções de base adequadas considerando a geometria de

patch, conforme definidas em (2.107) a (2.110).

A análise desenvolvida para antena de microfita com patch em anel, constituída de

multicamadas metamaterial/dielétrico, permite determinar a freqüência de ressonância de

antenas de microfita contendo uma camada de substrato metamaterial e antenas de

microfita sobre substrato metamaterial suspenso.

A caracterização do substrato metamaterial depende da determinação de seus

parâmetros constitutivos. Por isso, foram elaborados programas computacionais utilizando

Matlab® para a obtenção da permissividade e permeabilidade efetivas do metamaterial,

através do modelo analítico descrito no Capítulo 4.


79

Na análise, considera-se que os metamateriais, usados como substratos no projeto de

antenas de microfita, são anisotrópicos uniaxiais e caracterizados pelos tensores

permissividade elétrica e permeabilidade magnética dados, respectivamente, por:

εε

ε=ε ρρ

ρρ=

zz00

00

00

(5.1)

µµ

µ=µ ρρ

ρρ=

zz00

00

00

(5.2)

A investigação numérica pode ser realizada de duas formas, levando-se em

consideração as características do metamaterial. No primeiro caso (CASO 1), considera-se

que os elementos do tensor permissividade assumam valores εzz = εeff e ερρ = 1. De maneira

oposta, µzz = 1 e µρρ = µeff. Portanto, para o CASO 1, os tensores permissividade e

permeabilidade passam a ser definidos, respectivamente, por:

ε=ε

=

eff00

010

001

(5.3)

µµ

=µ=

100

00

00

eff

eff

(5.4)

No segundo caso (CASO 2), considera-se que εzz = εeff e ερρ = εr , µzz = µeff e µρρ =

1. Portanto, para o CASO 2, os tensores permissividade e permeabilidade passam a ser

representados por:


80

εε

ε=ε

=

eff

r

r

00

00

00

(5.5)

µ=µ

=

eff00

010

001

(5.6)

Ainda é possível considerar, como caso particular do CASO 2, que ερρ = 1 e µρρ = 1.

Logo, para o CASO 3, os tensores permissividade elétrica e permeabilidade magnética são

dados por:

ε=ε

=

eff00

010

001

(5.7)

µ=µ

=

eff00

010

001

(5.8)

Todas essas variações são introduzidas como dados de entrada do programa

utilizando MoM e do Ansoft HFSS®. Para a validação da análise realizada no Capítulo 4, os

resultados obtidos utilizando estes dois métodos são, sempre que possível, comparados

entre si.

O presente estudo não tem como objetivo o projeto detalhado do meio periódico

metamaterial. A análise visa o desempenho de antenas de microfita com patch em anel

utilizando metamateriais como substratos. A primeira parte do trabalho consiste em

determinar as curvas para a permissividade elétrica ε e permeabilidade magnética µ. Em

seguida, os valores de ε e µ são usados como dados de entrada dos programas para a


81

simulação da freqüência de ressonância, diagrama de radiação, largura de banda e perda de

retorno das estruturas modeladas.

A obtenção das propriedades inerentes aos meios metamateriais, dadas pela

permissividade e permeabilidade efetivas, é realizada considerando um meio periódico

composto por SRR e fios metálicos (TW), como mostra a Fig. 5.1. São simuladas antenas

de microfita com patch em anel, propostas no Capítulo 4, cujos parâmetros podem ser

variados em função da faixa de freqüência aplicada. Das fontes literárias consultadas, ficou

óbvio que materiais com valores de permissividade e permeabilidade negativos podem ser,

de fato, fabricados para certa faixa de freqüência. Porém, é importante ressaltar que quando

um metamaterial LH é produzido, estamos nos referindo ao que seria uma combinação das

duas estruturas periódicas (SRR+TW) e as interações dessa combinação renderiam

propriedades totalmente diferentes das propriedades de cada estrutura considerada

separadamente.

Fig. 5.1 – Primeira estrutura metamaterial. Reproduzido de (SMITH et al., 2000).


82

5.2 Caracterização do Substrato Metamaterial

A Fig. 5.2 apresenta o comportamento da permissividade relativa efetiva em função

da freqüência de ressonância considerando um arranjo periódico de fios milimétricos (TW)

com perímetro p = 50 mm, condutividade σ = 100 Ω/m e raio dos fios variando com os

seguintes valores: r = 10 mm, r = 20 mm e r = 30 mm. Das curvas, observa-se que

aumentando o raio dos fios, valores mais baixos negativos de permissividade relativa

efetiva são apresentados pelo material.

O mesmo comportamento acontece quando a variação ocorre com o perímetro do

arranjo, p, variando de 10 a 50 mm. É possível observar, na Fig. 5.3, que a permissividade

relativa efetiva assume valores cada vez mais negativos.

Fig. 5.2 - Curva da freqüência de ressonância em função da permissividade relativa efetiva.


83

Fig. 5.3 - Curva da freqüência de ressonância em função da permissividade relativa efetiva.

Utilizando as expressões para o cálculo da permeabilidade relativa efetiva do meio

periódico constituído por SRRs, é possivel observar o comportamento do material em

função da variação de diversos parâmetros da célula SRR, como ilustrado na Fig. 5.4.

Fig. 5.4 – Geometria de um SRR.

A Fig. 5.5 mostra o efeito da variação na dimensão do raio interno a do anel menor

da célula SRR. À medida que o raio diminui, aumenta a faixa de freqüência onde é possível

obter tanto valores positivos quanto valores negativos para a permeabilidade relativa


84

efetiva. Ou seja, quanto menor o arranjo de SRR, mais alta é a faixa de freqüência onde se

pode observar a presença da permeabilidade efetiva.

A Fig. 5.6 mostra o comportamento da freqüência de ressonância com a

permeabilidade relativa efetiva, tendo a espessura do anel c como parâmetro (Fig. 5.4).

Observa-se que variando o parâmetro c da célula SRR, a freqüência de ressonância também

varia.

Fig. 5.5 - Curva da freqüência de ressonância em função da permeabilidade relativa efetiva.

No projeto, tanto das estruturas de TW quanto nos SRR, é importante levar em

consideração a resistência elétrica, R, e a condutividade, σ, do material. A dependência da

freqüência de ressonância da antena com a variação da resistência dos SRR pode ser

observada na Fig. 5.7.


85




86

A influência do perímetro p do arranjo SRR pode ser analisada na Fig. 5.8, sendo

possível observar o comportamento da freqüência de ressonância em função da

permeabilidade relativa efetiva, para diferentes valores de p. Quanto maior o número de

elementos SRR no arranjo, maior será a faixa de freqüência onde a permeabilidade relativa

apresentará valores efetivos.


No projeto do meio metamaterial, um aspecto importante é a definição do substrato

que acomoda os elementos de SRRs, caracterizados por uma permissividade relativa εr. Os

resultados apresentados na Fig. 5.9 mostram que a freqüência de ressonância de um SRR

diminui quando εr aumenta. Este resultado é importante e deve ser observado quando da

escolha do substrato para o projeto final da antena.

A Fig. 5.10 mostra o comportamento da freqüência de ressonância em função do

arranjo composto, simultaneamente, por SRR e fios milimétricos. As curvas mostram que,

na freqüência de ressonância de 2,1 GHz, o metamaterial apresenta índice de refração

negativo, como esperado para esse tipo de material.


87


Fig. 5.10 - Curva da freqüência de ressonância em função do meio composto por SRR+TW.


88


Metamaterial

A Fig. 5.11 ilustra a estrutura básica de uma antena de microfita com patch

condutor em anel, de raio interno r1 e raio externo r2. O patch está impresso em uma

camada de metamaterial (camada 2), com altura d2, apoiada sobre um plano de terra.

Fig. 5.11 – Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel sobre

substrato metamaterial.


89

5.3.1 CASO 1

Os primeiros resultados considerados para o CASO 1, com tensores dados por (5.3)

e (5.4), compreendem valores efetivos para permissividade e permeabilidade do

metamaterial obtidos por (BUELL et al., 2006) e valores obtidos neste trabalho para

materiais com bianisotropia uniaxial.

ε=ε

=

eff00

010

001

(5.9)

µµ

=µ=

100

00

00

eff

eff

(5.10)

É importante ressaltar que o índice de refração do meio bianisotrópico apresenta

apenas valores efetivos, característica essa também inerente ao metamaterial

(MOSALLAEI et al., 2007).

Neste caso (BUELL et al., 2006), o meio periódico não é composto por SRR e fios

metálicos, mas por um arranjo periódico de linhas de transmissão compostas por indutores

e capacitores. O material é caracterizado por εeff = 9,8 e µeff = 3,1 para uma freqüência de

ressonância igual a 250 MHz. A Fig. 5.12 mostra o comportamento da freqüência de

ressonância, em função do raio externo do patch em anel, para um substrato dielétrico

isotrópico e um substrato metamaterial. Observa-se que à medida que aumenta a dimensão

do anel, a freqüência de ressonância diminui, como esperado. Os resultados gerados com o

Ansoft HFSS® indicam uma boa convergência dos resultados.


90

Fig. 5.12 – Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.

É possível também realizar uma investigação da variação dos valores efetivos das

componentes do tensor (5.9) e (5.10). Assim, é possível observar quais são os parâmetros

que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato bianisotrópico.

O comportamento da freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em

anel é analisado, considerando o raio interno r1 = 3,5 cm e a altura do substrato d = 0,159

cm. A Fig. 5.14 mostra o comportamento da antena em função da variação da

permissividade efetiva. Verifica-se que a antena impressa em um substrato com constante

dielétrica elevada apresenta uma freqüência de ressonância baixa, o que contribui para a

miniaturização do dispositivo. Para se obter uma freqüência mais alta, utilizando uma

permissividade alta, é necessária uma redução nas dimensões do dispositivo, através da

variação dos raios. O comportamento da freqüência de ressonância quando a variação

ocorre ao longo de µeff é análogo ao observado na εeff, como mostra a Fig. 5.15. A perda de

retorno das estruturas é obtida através de simulações no HFSS®. No entanto, para εeff = 4,4

e µeff = 3,1, o resultado apresentou maior significância, indicando uma perda de retorno de

aproximadamente -14 dB.


91




92

5.3.2 CASO 2

Para o CASO 2, a análise considera o valor da permissividade elétrica relativa, εr,

do material dielétrico no qual o arranjo periódico de elementos metálicos é embutido. Logo

o tensor passa a ser caracterizado por:

εε

ε=ε

=

eff

r

r

00

00

00

(5.11)

µ=µ

=

eff00

010

001

(5.12)

Portanto, a antena de microfita com patch em anel está impressa sobre uma camada

de substrato bianisotrópico com os seguintes valores: εr = 3,38, εeff = 9,8, µr = 1 e µeff = 3,1.

Observa-se que ao contrário do anterior, CASO 1, os valores efetivos estão no mesmo eixo

óptico, neste caso, ao longo do eixo z. Esse tipo de caracterização é bastante utilizado

(ITOH et al., 2006; MOSALLAEI et al., 2004).

A Fig. 5.16 apresenta o comportamento da freqüência de ressonância em função da

variação nas dimensões do patch em anel, com r1 = 1 cm e o raio externo r2 variando de 2,5

a 3,5 cm. É possível observar que a antena com substrato isotrópico apresenta maior

freqüência de ressonância quando comparada à antena com material bianisotrópico

uniaxial, para uma determinada dimensão de patch em anel e altura de substrato. O mesmo

comportamento pode ser observado na Fig. 5.17, para uma relação de raios diferente.

Usando-se o Ansoft HFSS®, obtém-se a perda de retorno da estrutura com substrato

bianisotrópico (d = 0,159 cm), como mostra a Fig. 5.18. Verifica-se que para o patch em

anel, com r1 = 3,5 cm e r2 = 7 cm, a perda de retorno é de -33,44 dB.


93




94


5.3.3 CASO 3

Um caso particular do CASO 2 é considerado quando o tensor (5.1) e (5.2) são

definidos de forma que:

εε

ε=ε

=

r

eff

eff

00

00

00

(5.13)

µ=µ

=

eff00

010

001

(5.14)


95

Para este caso em particular, o tensor exibe uma similaridade com a formulação

adotada por (BUELL et al., 2006), pois as componentes iguais da permissividade são dadas

por εeff, enquanto as componentes iguais da permeabilidade são dadas por µr = 1.

O metamaterial é caracterizado por apresentar εeff = 9,8, εr = 3,38, µr = 1 e µeff = 3,1,

sendo o tamanho ressonante do patch em anel calculado para a freqüência de 250 MHz.

A Fig. 5.19 apresenta o comportamento da freqüência de ressonância em função do

raio externo do patch em anel, com r1 = 1 cm. São apresentados resultados para a antena

impressa em substrato dielétrico isotrópico εr = 3,38 e d = 0,159 cm e para a mesma

configuração de antena impressa em substrato bianisotrópico uniaxial, caracterizado pelo

tensor (5.13) e (5.14), com a mesma altura d = 0,159 cm. Os resultados demonstram uma

boa concordância em relação aos obtidos por simulações no HFSS®.

A Fig. 5.20 mostra a perda de retorno para a antena de microfita com patch em anel

impressa no substrato metamaterial caracterizado acima, com raio externo r2 = 9,3 cm, raio

interno r1 = 4,65 cm e altura do substrato d = 2 cm. A perda de retorno simulada, através do

software HFSS®, é de -27,24 dB em 375 GHz. Esta mesma freqüência de ressonância,

calculada pelo Matlab®, é de aproximadamente 380 MHz, validando a metodologia e as

técnicas desenvolvidas e utilizadas neste trabalho.


96




97

5.3.4 CASO 4

Utilizando a formulação adotada em (ITOH et al., 2006; MOSALLAEI et al., 2004)

para os tensores definidos por (5.1) e (5.2), podemos definir o CASO 4 como sendo:

ε=ε

=

eff00

010

001

(5.15)

µ=µ

=

eff00

010

001

(5.16)

Nesse caso, as componentes do eixo óptico (direção z) são efetivas (εeff, µeff),

enquanto as demais componentes são iguais à permissividade e à permeabilidade do espaço

livre (εr = µr = 1). Considerando essa condição nas simulações numéricas e atribuindo

valores já conhecidos às componentes efetivas, podemos observar o comportamento da

freqüência de ressonância em função das diferentes dimensões do patch em anel, nas Fig.

5.21 a 5.24. As curvas mostram que, para esse tipo de configuração do tensor, os resultados

são bem próximos daqueles do caso isotrópico, ou seja, esse tipo de material pouco altera o

desempenho da antena. Mais uma vez, foi observada uma boa concordância com os

resultados obtidos pela simulação da estrutura no Ansoft HFSS®.


98




99




100

As perdas de retorno para uma antena de microfita patch em anel impressa sobre um

substrato metamaterial (εeff = 9,8 e µeff = 3,1) e para uma antena de microfita patch em anel

impressa em um dielétrico isotrópico (εr = 9,8) são mostradas na Fig. 5.25. O tamanho

ressonante do patch em anel (r1 = 4,65 cm, r2 = 9,3 cm) é calculado para a freqüência de

250 MHz, de acordo com o metamaterial utilizado em (BUELL et al., 2006). Os resultados

usando HFSS® indicam uma freqüência de ressonância igual a 220 MHz. As perdas de

retorno são iguais a -13,32 dB e -4 dB para a antena sobre substrato metamaterial e

isotrópico, respectivamente.


5.4 Resultado Comparativo

Esta seção mostra, através do formalismo de onda completa, um estudo comparativo

do desempenho de antenas de microfita com patch em anel sobre quatro diferentes tipos de


101

substrato. O comportamento da freqüência de ressonância em função das dimensões do

radiador em anel é analisado.

São considerados substratos do tipo dielétrico isotrópico, dielétrico anisotrópico,

ferrimagnético (ferrita) e metamaterial. Neste estudo, os substratos apresentam a mesma

altura d1 = 0,159 cm. Cada patch em anel possui raio interno fixo (r1 = 1,5 cm), enquanto o

raio externo r2 varia, conforme a Fig. 5.26.

É possível observar que as antenas com substratos dielétricos isotrópicos e

anisotrópicos apresentam freqüências de ressonância muito elevadas quando comparadas

com as antenas impressas em substratos apresentando anisotropia magnética, como é o caso

das ferritas e dos metamateriais. Observa-se ainda que uma redução nas dimensões do

radiador em anel, nas antenas com anisotropia magnética, levará a faixas de freqüência de

ressonância mais elevadas, favorecendo a opção de utilização desses substratos em projetos

de antenas com tamanhos miniaturizados.

Fig. 5.26 – Freqüência de ressonância em função do raio externo.


102

5.5 Conclusões

Este capítulo reuniu os resultados mais significantes obtidos para antenas de

microfita com patch em anel sobre substrato metamaterial, tendo sido realizado um estudo

de caso para as quatro diferentes configurações dos tensores ε e µ, conforme a análise

teórica realizada no Capítulo 4. Foi efetuada uma caracterização do metamaterial a partir de

modelos analíticos existentes na literatura especializada. Todos os resultados foram

discutidos detalhadamente, com a finalidade de possibilitar um entendimento completo do

que foi proposto neste trabalho. Observou-se que a definição adequada da bianisotropia do

metamaterial possibilita uma redução significativa na faixa de operação da antena, o que

acarreta uma miniaturização da estrutura, além de apresentar uma maior largura de banda,

comparado ao uso de substratos dielétricos isotrópicos. Foram feitas comparações com

resultados simulados no software HFSS®, para validação da análise realizada neste

trabalho.

CAPÍTULO 6. CONCLUSÕES

103

CAPÍTULO 6

Conclusões

Este trabalho apresentou uma análise teórica e numérica das características

ressonantes da antena de microfita com patch em anel, através de um formalismo rigoroso

de onda completa, utilizando como substratos materiais ferrimagnéticos e metamateriais,

com suas respectivas anisotropia magnética e bianisotropia magnético-dielétrica.

Após definidas as propriedades anisotrópicas de cada tipo de substrato, a antena foi

então modelada através do método dos potenciais vetoriais de Hertz e do método de

Galerkin, onde as componentes de campo elétrico e magnético foram determinadas em

função dos potenciais vetoriais de Hertz, orientados na direção perpendicular ao plano de

terra. As componentes da matriz impedância, no domínio da transformada de Hankel,

foram obtidas solucionando o problema de contorno da estrutura. A freqüência de

ressonância foi determinada com a aplicação do método numérico de Galerkin.

O método adotado neste trabalho tem sido amplamente utilizado na modelagem das

características de irradiação das antenas de microfita do tipo patch em meios dielétricos

iso/anisotrópicos. No entanto, seu uso em estruturas com materiais mais complexos,

particularmente, os materiais ferrimagnéticos, tem-se concentrado em análises que utilizam

formas geométricas de patch circular e retangular. Outra contribuição importante deste

trabalho foi empregar o mesmo procedimento de análise teórica e numérica, desenvolvido

para antenas com materiais dielétricos iso/anisotrópicos e ferrimagnéticos, no estudo de

antenas de microfita com patch em anel contendo uma nova classe de materiais, os

chamados metamateriais, considerando suas propriedades bianisotrópicas.


104

Neste trabalho, foi possível observar que o patch em anel sobre substratos

ferrimagnéticos é tão, ou mais, vantajoso que as formas geométricas retangulares e

circulares apresentadas na literatura. O estudo de antenas com patch em anel sobre

substratos metamateriais comprova a versatilidade do método e sua aplicação na

modelagem de vários tipos de estruturas.

Resultados foram apresentados para a freqüência de ressonância, diagrama de

radiação, perda de retorno e largura de banda para antenas de microfita com patch em anel

sobre uma camada de substrato ferrimagnético ou metamaterial e para antenas sobre

substratos contendo duas camadas, usando a composição ferrita/dielétrico isotrópico.

Foram também consideradas estruturas sobre substratos suspensos, com a incorporação de

uma camada de ar entre o substrato ferrimagnético e o plano de terra.

Os programas computacionais, para a simulação de resultados e validação das

equações obtidas nas respectivas análises teóricas, foram desenvolvidos utilizando Matlab®,

considerando cada tipo de substrato, permitindo o modelamento de estruturas com

dimensões e materiais diferentes, através da mudança dos parâmetros de entrada nas rotinas

computacionais.

Os resultados apresentados mostraram a possibilidade de variação da freqüência de

ressonância a partir da variação da intensidade do campo magnético H0 de polarização

aplicado externamente às estruturas com substratos ferrimagnéticos. Esta característica é

importante, considerando que não são necessárias alterações físicas na estrutura. Deste

modo, é possível realizar sintonias externas na freqüência de ressonância da antena.

Observou-se ainda que a freqüência de ressonância da antena cresce à medida que o campo

magnético de polarização aplicado aumenta, aproximando-se do caso isotrópico, porém, é

inversamente proporcional à dimensão do anel.

O emprego de múltiplas camadas na fabricação de antenas do tipo patch tem a

vantagem de permitir um aumento na largura da faixa de operação da antena. Esse

comportamento foi observado para antenas com camadas ferrimagnética/dielétrica,

verificando-se que a largura da faixa de operação da estrutura analisada depende da altura

da camada dielétrica, bem como do tipo de dielétrico utilizado, onde as freqüências de


105

ressonância mais elevadas são obtidas com a diminuição dos valores de permissividade da

camada dielétrica.

Os resultados deste trabalho evidenciaram que o método desenvolvido apresenta

maior precisão às variações dos parâmetros característicos das ferritas, em comparação com

a utilização do software comercial Ansoft HFSS®, que demonstrou pouca sensibilidade às

variações de campo magnético de polarização aplicado.

Entretanto, a principal contribuição deste trabalho foi desenvolver uma análise

rigorosa, a partir dos potenciais vetoriais de Hertz, para antenas de microfita com patch em

anel sobre substrato metamaterial, através do estudo de seus parâmetros constitutivos,

permissividade tensorial e permeabilidade tensorial.

O conceito da obtenção dos meios efetivos foi introduzido e alguns exemplos foram

abordados. Foi possível observar as características de permissividade e permeabilidade

efetivas negativas do metamaterial. Resultados para a permissividade e permeabilidade

efetivas foram apresentados, considerando a variação de vários parâmetros geométricos do

arranjo periódico composto por SRR e TW, observando-se o comportamento da freqüência

de ressonância e a faixa onde o meio efetivo apresenta valores negativos e valores positivos

elevados.

Após a caracterização do meio, a análise numérica se estendeu para a obtenção de

resultados para a freqüência de ressonância e perda de retorno da antena de microfita com

patch em anel sobre uma camada de substrato bianisotrópico magnético-dielétrico

(metamaterial). A análise teórica possibilitou a investigação de quatro diferentes

configurações do par de tensor do metamaterial, através da variação dos valores efetivos de

permissividade e permeabilidade nos respectivos eixos do tensor. Essas variações foram

realizadas numericamente utilizando rotinas desenvolvidas no Matlab®, a partir da análise

teórica, e comparadas com resultados gerados pelo Ansoft HFSS®.

Foram apresentadas curvas para a freqüência de ressonância em função dos

parâmetros estruturais do patch em anel e curvas para perda de retorno, considerando os

diversos casos de tensor mencionados.

Foi possível observar que os resultados que apresentaram maior significância foram

os considerados nos CASOS 1, 2 e 3, pois demonstraram que o metamaterial realmente


106

promove uma redução na faixa de freqüência de operação, tornando assim evidente sua

contribuição para uma miniaturização da estrutura. Verificou-se que o método é eficiente

em todas as faixas de freqüência simuladas para a antena e que a definição adequada dos

valores de permissividade e permeabilidade efetivas do meio metamaterial contribui para

uma maior perda de retorno da estrutura, o que acarreta uma melhora na largura de banda,

que é naturalmente estreita nas antenas de microfita.

Foi observado nos resultados apresentados pelo CASO 4 que com a definição do

tensor da maneira adotada, os resultados não são satisfatórios, pois o comportamento se

assemelha ao comportamento da estrutura para o caso isotrópico. Assim, nenhum benefício

é acrescentado ao projeto, já que o meio metamaterial exige que seja fabricado um arranjo

periódico milimétrico composto por circuitos (SRR e TW, por exemplo) embutidos em um

meio dielétrico comum, para a obtenção das características de permissividade e

permeabilidade efetivas do meio. No entanto, é possível observar que para determinados

casos o substrato metamaterial apresenta um aumento acentuado na perda de retorno

comparado ao substrato dielétrico.

O método de análise mostrou-se eficiente e preciso, podendo ser aplicado a outros

tipos de geometria dos patches, modificando-se as condições de contorno e

implementando-se a distribuição de corrente inerente a cada estrutura. A análise teórica e

numérica desenvolvidas permitiram caracterizar um determinado metamaterial e aplicá-lo

como substrato da antena, a partir da definição de seus parâmetros constitutivos efetivos,

levando em consideração as possibilidades de configuração dos tensores. Uma boa

concordância foi observada entre os resultados obtidos neste trabalho, mesmo

considerando-se, na análise numérica, apenas uma função de base.

Como continuidade deste trabalho, sugere-se:

• Análise numérica para a antena de microfita em anel sobre substrato

metamaterial suspenso por um dielétrico isotrópico;

• Determinação de outras características ressonantes da antena, como

impedância de entrada, ganho e diretividade;

• Desenvolvimento de diversas configurações de substratos metamateriais a

partir de arranjos periódicos milimétricos;


107

• Análise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre substrato

metamaterial;

• Investigação da adaptação do método teórico desenvolvido para análise de

antenas com substratos metamateriais que utilizam valores negativos para a

permissividade elétrica e permeabilidade magnética.

108

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desenvolvimento de antenas de microfita com patch em anel ... · the full wave analysis is...

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