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4. Despachos económicos Mercado y Transporte de la Energía Eléctrica

4º GIE-GAE, ETSIME, UPM Alejandro Núñez Jiménez, Madrid 2013 1

Despachos económicos

El desarrollo de los despachos económicos se basa en el análisis de los

condicionamientos económicos que afectan a un determinado sistema eléctrico para definir la

combinación óptima de generadores en un instante concreto para una demanda particular.1En

una primera aproximación a esta técnica, prescindiremos de los datos e influencia de la red,

introduciéndolos más tarde de manera progresiva.

El despacho económico consiste, por tanto, en que para una demanda dada

consideramos qué generación tenemos (atendiendo o no a las pérdidas del sistema), declarando

unos costes de producción de los generadores; y, a partir de ello, perseguimos la mejor

configuración de la generación posible desde el punto de vista económico, independientemente

de las empresas que haya detrás de esas centrales.

Por todo ello, se trata de una optimización donde consideraremos que tenemos un nudo

único dentro de la red al que inyectan energía una serie de generadores, que son absorbidas

por unos demandantes.

Cada generador tendrá un coste por unidad de energía producida característico.

Consideraremos de forma inicial sólo los costes debidos al combustible, sin tener presente los

coste de mantenimiento, costes debidos a la compraventa de CO2 u otros que pueden ser

introducidos más tarde.

Los costes serán función de la potencia puesta en juego en cada central. A más

potencia, mayores consumos, luego mayor coste absoluto, aunque menor coste por unidad

producida. Observando el comportamiento de la curva de costes se observa un óptimo en el que

el coste unitario es el más bajo, es decir, el rendimiento de la producción es el más alto

económicamente hablando.

1 El despacho económico atiende a una instantánea del sistema, para su aplicación a lo largo de un periodo de tiempo se recurre a la programación de unidades.

G1

G2

G3

D1 D2

Coste (€/KW)

Pot



Anteriormente en España, existía una regulación directa de la producción eléctrica de

forma que cada central realizaba un ensayo de su consumo específico por unidad de potencia y

se lo entregaban al regulador para que fuese capaz de establecer las combinaciones óptimas

para cada instante de la red a partir de la estimación de su curva de consumo específico neto del

grupo (CENG o Heat Rate [HR]) en unidades de producción térmica por eléctrica [MWht/MWhe].

Consecuentemente nuestro objetivo será estimar una curva que se aproxime lo más

posible a los datos reales del ensayo y optimizarla. Supondremos que el consumo específico

neto del grupo será:

El consumo de combustible que tendremos en la central será2:

Para conocer el coste por unidad producida, empleamos el precio del combustible K:

Optimización sin restricciones

Para una demanda dada, tenemos que averiguar cuál es el mix de generación más

favorable empleando la optimización de la función de costes. Nuestro objetivo será minimizar

dicha función de costes.

Supondremos que la potencia demandada es la misma que la potencia generada, sin

tener en cuenta las pérdidas del sistema. De este modo, la optimización de esta función se

encuentra restringida por el balance de potencias:

Podemos emplear distintos medios de optimización, comenzando por los multiplicadores

de Lagrange. Declaramos la función de Lagrange como la suma de los costes más la

restricción que tenemos (que es el balance de potencias) multiplicando por un coeficiente landa

que es el propio multiplicador de Lagrange. Para minimizar esta función, estudiamos cómo se

comporta la función variando la potencia generada o el operador landa.

2 Aproximando con una curva de 2º grado con los parámetros y considerando demanda constante.



Para ello realizaremos la derivada parcial respecto a las potencias generadas y respecto

al multiplicador de Lagrange:

Conseguimos así las condiciones (1) y (2) que se deben verificar simultáneamente

para alcanzar el óptimo económico. En la práctica, sabemos que hemos llegado al óptimo

económico cuando no compense rebajar la producción de una central y dársela a otra. La

derivada del coste unitario respecto de los cambios de potencia generada la denominaremos

coste incremental y se identifica con en el óptimo económico.

El coste incremental de cada estación generadora en el óptimo y su generación será:

Cumpliendo con el balance de potencias:

Podemos despejar para determinar el mix de generación:

Ejemplo: tenemos dos generadores para cubrir 1100 MW, que se caracterizan por:

Los costes incrementales en el óptimo económico serán:

De donde:

Introduciendo la restricción del balance de potencias:



Podemos resolverlo de forma gráfica dándole valores a , con la potencia generada en

el eje horizontal y los costes incrementales en el eje vertical. Teniendo en cuenta que podemos

expresar como:

Esta recta proporciona todas las soluciones posibles para cada lambda. Representamos

la recta y subimos con la Pd para conocer el lambda, obteniendo el coste incremental del

sistema y el mix de generación en el punto donde se corten las curvas de generación con el

lambda que hemos averiguado (curvas de costes incrementales CI1 y CI2, que son la derivadas

de las funciones de coste respecto de las potencias generadas en cada central).

Para la realización en Excel de la optimización, establecemos unas generaciones

aleatorias, calculamos los costes de cada generación y los sumamos (será la celda objetivo a

minimizar con el Solver), además de sumar las potencias generadas (que será la restricción que

debe cumplir que sea igual a la potencia total demandada). Variaremos las potencias generadas

para minimizar los costes totales del sistema, cumpliendo la restricción, y ejecutamos.

Optimización con restricción de saturación de potencia

En todos los casos reales tendremos una nueva restricción que será la potencia límite

de cada central, lo que nos complicará la función de costes a minimizar ya que incluye nuevas

constraints. Tendremos ahora:

Trasladamos las n restricciones de desigualdad en:

Podemos introducirlas en la ecuación a minimizar empleando un multiplicador pivote que

nos permita entrar con las desigualdades como igualdades. Este será el multiplicador de Kuhn-

Tucker que sólo entrará en juego si la central se encuentra saturada en su máximo o mínimo de

producción técnica, siendo, lógicamente, sólo en uno de sus límites y no ambos a la vez.

Supondremos que todas las centrales funcionan en todo momento, sin que puedan

desconectarse de la red o apagar, continuando nuestro estudio sobre una “foto” del sistema.



Derivando la expresión de Lagrange para buscar el óptimo de costes:

Obteniendo así las condiciones para el óptimo:

Cuando una central se encuentra saturada al máximo su coste incremental es menor

que el del sistema ya que el resto deben suplir su déficit de generación, de modo que se

encuentra desacoplada de la optimización y resulta la más barata. Por el contrario, si la central

se encuentra saturada en mínimo, su coste incremental será mayor que el del sistema [Para

saber qué centrales se saturan, deberíamos iterar y comprobar una por una cuáles están dentro

de sus límites, modificando las que se saturan y volviendo a iterar de nuevo].

Para la resolución con el Solver de Excel, debemos introducir estas nuevas restricciones

como limitaciones a la hora de variar las celdas de potencia generada.

Optimización con demanda elástica

Si la demanda eléctrica que tenemos no es completamente inelástica sino que reacciona

al precio de la electricidad, tendremos que definir la curva de demanda o curva de utilidad que

especifica cuánto está dispuesta a pagar el demandante por adquirir una determinada potencia.

Generación:

Consumo:

En este caso, en vez de minimizar los costes, minimizaremos la diferencia de lo que

están dispuestos a pagar los demandantes y lo que les cuesta cubrir esa demanda a los

generadores:

Alcanzamos la curva de beneficio social, cuyo óptimo será el cruce de las curvas de

demanda y oferta, donde se maximiza el excedente del consumidor y del productor, pudiendo

considerarse un modelo simplificado del mercado eléctrico. Siendo la función de este, como

mercado de competencia libre, lograr ese mismo óptimo social que perseguimos aquí.

La función de Lagrange a optimizar es idéntica a la optimización sin saturación,

sustituyendo el coste de las centrales por la diferencia entre las curvas de demanda y oferta.



Optimización con la inclusión de la red eléctrica

Aproximándonos un peldaño más hacia la realidad, debemos tener en cuenta la

presencia de una red de transporte y distribución de la energía eléctrica en la que se

producen inevitablemente algunas pérdidas mientras lleva la energía desde el generador hasta el

consumidor. Las pérdidas en las líneas irán definidas en función del uso que hagamos de ellas,

de modo que a mayor potencia transmitida, mayor corriente atravesará la línea y mayores serán

las pérdidas que se produzcan.

Podremos expresar la optimización como:

Introduciéndolo en una función de Lagrange tendremos:

Derivando para encontrar el mínimo:

Podemos observar a partir de la primera expresión que ya no serán todos los costes

incrementales iguales entre sí y al del sistema debido a la aparición de un factor de

penalización que dependerá de la dependencia de la función de pérdidas del incremento de la

potencia generada en cada central.

Factor de penalización:

Coste incremental:

Pasa de esta forma a ser un factor clave en el coste incremental de cada central su

conexión con la red y cómo se distribuya la demanda, configurando así la función de pérdidas,

que pasa a ser la protagonista de la optimización y cuya caracterización aporta gran complejidad

al método.

Para esquivar dicha complejidad estimaremos de forma sencilla la función de pérdidas

como una función cuadrática dependiente de la generación de cada central:

donde:



Si aproximamos los costes de generación de cada central con una ecuación cuadrática

como hasta ahora podemos alcanzar:

Expresando esta ecuación de forma matricial para todos los nudos generadores:

Insertando este resultado dentro de la restricción que debe cumplir la optimización:

Para solucionar este sistema realizaremos un proceso iterativo con el objetivo de

alcanzar el valor de a través de Newton-Raphson:

Donde:

Con este resultado, el proceso de resolución iniciaría con una estimación aleatoria de

a partir de la cuál calculamos las potencias y con ellas las potencias de pérdidas

y con

estos dos datos resolvemos la expresión de la derivada

para averiguar el incremento

de la variable y poder obtener así el nuevo valor con el que iterar:



Existen otros métodos de integrar las pérdidas en la optimización del sistema estudiando

para ello los flujos de carga a través de las líneas. Para conseguirlo emplearemos una variante

del Estudio de Flujo de Cargas, partiendo de un nudo de referencia en el que inyectamos una

cierta generación y que mantenemos a una tensión concreta con un ángulo de referencia

arbitrariamente fijado como cero, al que entrarán y del que saldrán un conjunto de corrientes.

Conociendo que la relación entre corrientes y tensiones en los nudos se establece a

partir de la matriz de impedancias de las líneas, la estableceremos como una conductancia y una

susceptancia:

Además tendremos las relaciones de potencias:

De modo que si se incrementan las pérdidas será debido a un incremento de las

potencias generadas o una disminución de las demandadas:

Excluimos al nudo uno del sumatorio ya que no entrará en el proceso de optimización al

servir de cierre de los balances del sistema y conocer de antemano su ángulo, fijado

arbitrariamente como referencia .

Para simplificar el modelo, despreciaremos la variación de la tensión debida al cambio

de las potencias activas (gracias a que la interdependencia entre potencias y módulos de tensión

es mucho más débil que entre potencias y ángulos de tensión), de modo que toda variación de

potencias se deberá a un cambio en los ángulos. Aplicando esta simplificación podemos

expresar la ecuación de forma matricial de modo que nos queda:



Cerraremos el cálculo del sistema incluyendo el nudo 1 como cierre del mismo:

Si sustituimos en la ecuación que igualaba las pérdidas del sistema con los balances de

potencia en cada nudo, tendremos que:

Realizando la derivada del aumento de las pérdidas respecto del aumento de las

potencias para conocer así la dependencia de las pérdidas del sistema respecto de los aumentos

de potencia en los nudos, llegamos a:

Con esto presente, el mecanismo de resolución de los problemas de optimización de

despachos económicos con el reconocimiento de las pérdidas de carga en la red, será:

Realizamos este proceso iterativo partiendo de una estimación de las potencias en cada

nudo que nos proporciona así las primeras soluciones de tensiones, tanto de los módulos como

de los ángulos, y de las potencias generadas. Optimizamos el despacho económico con estas

primeras condiciones supuestas y a partir de ello calculamos las potencias resultantes.

Introducimos estas nuevas potencias en el lugar de la estimación realizada en un primer

momento y repetimos la operación hasta que cumplamos con: .

Las expresiones generales de B y C serán:

1. Estimar potencias

P

2. Estudio Flujos Carga

Ui di Pgi

3. Cálcular pérdidas

B y C

4. Optimizar Despacho

Mix Generación



Optimización de flujo de carga

Introduciendo de manera completa la red, como comenzamos a hacer cuando

optimizamos la producción teniendo presente los flujos de carga a lo largo de las líneas,

abandonamos el estudio del despacho económico para ampliarlo a otros objetivos en la

optimización del flujo de carga.

Tendremos los componentes básicos de un problema con una función a optimizar, un

conjunto de restricciones que deberá cumplir la solución y un abanico de distintas variables:

Los objetivos a minimizar se dispersan pudiendo ser:

Despacho económico

Despacho económico y medioambiental

Máxima potencia transferida

Minimización de reactiva

Desvío mínimo respecto a la potencia

programada

Para estos nuevos objetivos, las restricciones a cumplir pueden ser:

o Potencia máxima que es capaz de transportar la línea

o Niveles de tensión máximos y mínimos en los nudos

o Capacidad máxima y mínima de reactiva que tienen las centrales

El procedimiento se modifica respecto del despacho económico ya que no tendremos

una sola función a optimizar, sino que introduciremos directamente las funciones de flujo de

carga dentro del modelo y estableceremos las condiciones a cumplir para su optimización.

En un primer paso continuamos optimizando costes, con límites de generación de activa

realizando un balance de potencia por nudo, de modo que cada uno de ellos tenga un balance

particular que debe ser: potencia entrante=potencia saliente, como restricción. Además se debe

cumplir la restricción de la potencia que es capaz de transportar la línea respetando sus límites.

Sería posible realizar un balance en cada nudo, no sólo de potencia activa, sino también

de potencia reactiva exigiendo que se cumplan ambos en todos los nudos, empleando para ello

los ángulos de las tensiones en cada uno.

Ya no consideraremos que la tensión controlada es fija sino que se situará dentro de una

horquilla en la que la mantendremos, siempre que la potencia reactiva demandada para ello

entre dentro de nuestras posibilidades de regulación.



De este modo, las tensiones controladas las liberaremos como variables pero siempre

tratando de mantenerlas dentro de los márgenes de funcionamiento que sean nuestros objetivos.

Para poder afrontar esto necesitaremos un nuevo mecanismo de resolución de los flujos

de carga:

Flujo en continua

La aplicación de este método comienza con la aplicación de una serie de hipótesis y

simplificaciones muy fuertes y restrictivas:

1. En todos los nudos la tensión se mantendrá en 1 pu

2. No controlamos reactiva

3. Todas las líneas son reactivas puras sin parte óhmica

Entre dos nudos: y

unidos por una línea con tendremos:

Ejemplo:

Para un sistema con tres nudos y tres líneas L12, L13 y L23

Nudo 1 (con generación):

Nudo2(con generación):

Nudo3:

Líneas:

1. Hacemos todas las tensiones igual a 1 y eliminamos todas las partes imaginarias de las

potencias y las reales de las impedancias de las líneas:

a.

b.

c.

d.

e.

2. Supondremos las direcciones de los flujos: desde 1 a 2 y desde 2 a 3

a.



b.

3. Realizamos el balance de potencias en cada nudo:

a. Nudo2:

b. A partir de los flujos de potencia:

Sustituyendo los valores de cada uno:

Para optimizar los flujos de carga empleando este mecanismo de cálculo como

herramienta, definiremos el problema como:

Como el flujo en las líneas puede ser bidireccional sin conocer su sentido a priori, la

restricción se establece de la forma:

Resultando mucho más sencillo

de optimizar que el valor absoluto del resultado.

Cada balance de potencias en cada nudo dará como resultado un multiplicador de

Lagrange, de modo que si las líneas no se saturan, todos los multiplicadores de Lagrange

serán iguales [como sucedía en el despacho económico con los costes incrementales de cada

central y los costes incrementales del sistema], mientras que si alguna línea se encuentra en sus

límites, tendrá un multiplicador de Lagrange diferente del resto.

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