det genetiske prinsipp

141
Hovedoppgave i matematikkdidaktikk Det genetiske prinsipp i matematikkdidaktikk Av Reidar Mosvold HØGSKOLEN I AGDER Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag MATEMATIKKDIDAKTIKK HOVEDFAG KRISTIANSAND 2001

Upload: reidar-mosvold

Post on 14-Oct-2014

849 views

Category:

Documents


3 download

DESCRIPTION

Hovedfagsoppgave i matematikkdidaktikk.

TRANSCRIPT

Page 1: Det genetiske prinsipp

Hovedoppgave i matematikkdidaktikk

Det genetiske prinsipp i

matematikkdidaktikk

Av Reidar Mosvold

HØGSKOLEN I AGDERAvdeling for realfag

Institutt for matematiske fagMATEMATIKKDIDAKTIKK HOVEDFAG

KRISTIANSAND 2001

Page 2: Det genetiske prinsipp

Forord

Historien til min interesse for det genetiske prinsipp kan beskrives med et av Hamsuns yndlingsord: selsom. Da jeg begynte på hovedfaget hadde jeg ingen kjennskap til noe genetisk i didaktikken, og jeg hadde ikke gjort meg så mange tanker om bruk av historie i matematikken. Da vi skulle skrive en historieoppgave i vårsemesteret det første året av hovedfaget, ville jeg egentlig skrive om Leibniz, i håp om å kunne jobbe med tyske tekster. Da Otto Bekken kom med en liste over emner han syntes ville være interessante for et slikt prosjekt, festet jeg meg særlig ved ett av disse. Han kalte det for "Det genetiske prinsipp i matematikkdidaktikken", og det skjønte jeg ikke mye av, men han nevnte at dette passet særlig for en som var god i tysk, da det innebar arbeid med en artikkel og en avhandling av en tysk professor ved navn Schubring. Jeg hadde aldri hørt om Schubring, og jeg visste ikke hva et genetisk prinsipp var, men jeg var glad i tysk. Derfor valgte jeg å skrive om dette i stedet for om Leibniz. I løpet av vårsemesteret ble jeg mer og mer interessert i dette emnet, og det endte med at jeg bestemte meg for å jobbe videre med dette i hovedfagsoppgaven. I ettertid kan jeg si at dette var det ultimate emnet å jobbe med for meg, og det har på mange måter gjenopprettet en mer levende interesse for matematikken (igjen hos meg).

I et forord skal en gjerne takke de som har vært til hjelp og støtte underveis. Jeg har mange å takke! Naturlig nok faller det meste av takken på min veileder Otto B. Bekken. Ikke bare var det han som fikk meg til å begynne å arbeide med dette emnet, men han har også vært til uvurderlig hjelp og støtte underveis. Med sitt vell av kunnskaper og rike idéer, har han vært den perfekte veileder for meg. Han elsker bøker og historie, samtidig som han er nøyaktig og setter høye krav. Jeg er også glad i bøker og historie, og jeg setter høye krav til meg selv. Kanskje er det derfor vi har hatt så godt samarbeid.

Jeg vil også rette en stor takk til Gert Schubring for fruktbare samtaler og e-post. Også Afzal Ahmed og Leo Rogers skal ha takk for inspirerende samtaler og nyttig materiale. Takk også til Fulvia Furinghetti og Luis Radford for nyttig informasjon over e-post. Videre vil jeg takke alle lærerne ved Institutt for matematiske fag ved HiA, som alltid har vært villige til å hjelpe og slå av en prat, og til mine medstudenter på hovedfaget. Også takk til Tord Augland, Else Breilid Svendsen og de andre bibliotek-ansatte på HiA. Jeg har hatt mye med dem å gjøre i mitt forsøk på å sette skolerekord i boklån, og de har alltid vært hjelpsomme og hyggelige!

Selvsagt må jeg også takke familie og venner for den støtten som ikke har vært av faglig art, men som likevel har vært så utrolig viktig! Så må jeg ellers takke alle dere andre som jeg ikke har nevnt ved navn her, men som på en eller annen måte har vært til hjelp og støtte dette året.

Egentlig liker jeg best å skrive og lese "skjønnlitterære" tekster, der en i større grad kan bruke humor, ironi og andre virkemidler. I en hovedfagsoppgave er det liten plass for det, men jeg benytter sjansen ved å sitere en kjent og kjær sang:

Ein skigard kan ikkje vara evig, veit du! Kan aldri vara evig.

…og det kunne ikke et hovedfagsprosjekt heller. Nå er det ferdig, og nå begynner det!

Page 3: Det genetiske prinsipp

Innholdsliste

1 Innledning................................................................................................61.1 Teoretisk perspektiv..............................................................................................................61.2 Kort oppsummering..............................................................................................................61.3 Metode..................................................................................................................................71.4 Begrepsavklaring..................................................................................................................7

2 Historie i matematikkundervisningen...................................................92.1 Utviklingen i internasjonale kretser de siste årene................................................................92.2 Hvorfor undervise i matematikkens historie?.....................................................................102.3 Ulike anvendelser av matematikkens historie.....................................................................11

2.3.1 Direkte historisk informasjon.................................................................................112.3.1.1 Bruk av primære kilder..............................................................................112.3.1.2 Bruk av gamle problemer...........................................................................122.3.1.3 Bruk av anekdoter......................................................................................13

2.3.2 En tilnærming til undervisningen som er inspirert av historien.............................142.3.3 Matematisk bevisstgjøring......................................................................................14

2.3.3.1 Bedre forståelse..........................................................................................142.3.3.2 Lære å undervise bedre..............................................................................15

2.4 Problemer ved bruk av historie...........................................................................................152.5 Nyere forskning...................................................................................................................172.6 Forsøk på syntese................................................................................................................17

3 Det genetiske prinsipp...........................................................................193.1 Ulike typer genetiske prinsipp............................................................................................193.2 Historisk utvikling av det genetiske prinsipp......................................................................19

3.2.1 Bacon og Comenius: tidlige utgaver av det genetiske prinsipp..............................193.2.2 Påvirkningen fra filosofer og teoretikere: Descartes, Hobbes, Spinoza & Leibniz..........................................................................................................................................213.2.3 Utviklingen av didaktikken: Arnauld og Clairaut...................................................223.2.4 Videre utvikling av prinsippet hos Lindner og Mager............................................223.2.5 Matematikkdidaktikkens oppfatning......................................................................243.2.6 Det genetiske prinsipp hos Felix Klein...................................................................243.2.7 Benchara Branford..................................................................................................263.2.8 Otto Toeplitz ..........................................................................................................283.2.9 En moderne utforming av det genetiske prinsipp...................................................293.2.10 Den norske tradisjonen.........................................................................................30

3.3 Kritikk av det genetiske prinsipp........................................................................................313.3.1 Den historiske kritikken..........................................................................................323.3.2 Den moderne kritikken...........................................................................................32

4 Den biogenetiske lov og genetisk analyse i psykologien.....................344.1 "Ontogenesen rekapitulerer phylogenesen"........................................................................34

4.1.1 Ernst Haeckel .........................................................................................................344.1.2 Utviklingen av den biogenetiske lov, og dens innflytelse......................................344.1.3 Anvendelser av den biogenetiske lov i (matematikk-) didaktikken.......................364.1.4 Kritikk av den biogenetiske lov..............................................................................36

4.2 Piagets genetiske epistemologi...........................................................................................384.2.1 Jean Piaget .............................................................................................................384.2.2 Piagets generelle psykologiske teorier...................................................................39

Page 4: Det genetiske prinsipp

4.2.3 Utviklingen av teorien for genetisk epistemologi...................................................394.2.4 Piagets 1983-syntese...............................................................................................414.2.5 Piagets 1950-syntese...............................................................................................434.2.6 Piagets 1961-syntese...............................................................................................444.2.7 Dagens debatt omkring Piagets genetiske epistemologi.........................................45

4.2.7.1 Språklige faktorer.......................................................................................454.2.7.2 Konstruktivisme vs. innatisme ..................................................................454.2.7.3 Parallellismeteorier....................................................................................464.2.7.4 Sosiale og kulturelle faktorer.....................................................................47

4.3 Vygotskys genetiske idéer...................................................................................................474.3.1 Lev Vygotsky..........................................................................................................474.3.2 Vygotskys generelle teorier.....................................................................................484.3.3 Vygotskys genetiske metode...................................................................................494.3.4 Hovedverket: "Tenkning og tale"...........................................................................50

5 Epistemologiske hindringer..................................................................525.1 Utviklingen av teorien hos Bachelard og Brousseau..........................................................52

5.1.1 Ulike typer hindringer............................................................................................535.1.2 Epistemologiske hindringer....................................................................................545.1.3 Brousseaus egen forskning.....................................................................................56

5.2 Moderne forskning og kritikk.............................................................................................575.2.1 Anna Sierpinska......................................................................................................585.2.2 Luis Radford...........................................................................................................595.2.3 Leo Rogers..............................................................................................................605.2.4 Anna Sfard..............................................................................................................61

6 Vinkelbegrepet.......................................................................................626.1 Historisk utvikling av vinkelbegrepet.................................................................................62

6.1.1 Egypternes og babylonernes geometri....................................................................626.1.2 Gresk geometri før Euklid......................................................................................636.1.3 Euklids "Elementene".............................................................................................636.1.4 Gresk geometri etter Euklid: Proklos (411-485)....................................................646.1.5 Mot vår tids geometri.............................................................................................64

6.2 Forskning på vinkelbegrepet...............................................................................................666.2.1 Mitchelmore & White.............................................................................................666.2.2 Konrad Krainer.......................................................................................................686.2.3 Norsk forskning......................................................................................................69

6.2.3.1 Einar Jahr...................................................................................................696.2.3.2 Veslemøy Johnsen......................................................................................706.2.3.3 Resultater fra KIM-prosjektet....................................................................70

6.3 Vinkelbegrepet i hverdagen.................................................................................................716.3.1 Vinkelbegrepet i oppslagsverk................................................................................716.3.2 Vinkelbegrepet i media...........................................................................................72

6.3.2.1 Sunket russisk marineubåt..........................................................................726.3.2.2 Havnelageret på Kokkenes.........................................................................726.3.2.3 Forskning på straffer i fotball.....................................................................726.3.2.4 Start borte mot Molde................................................................................726.3.2.5 USA mot Brasil i OL..................................................................................73

6.3.3 Andre møter med vinkelbegrepet...........................................................................736.4 Læreplanen..........................................................................................................................736.5 Eldre lærebøker...................................................................................................................74

6.5.1 Christian Wolffs lærebok fra 1741..........................................................................746.5.2 Olav Schulstads lærebok fra 1931..........................................................................756.5.3 Søgaard & Tambs Lyches lærebok fra 1954...........................................................75

Page 5: Det genetiske prinsipp

6.5.4 Angen & Ingvaldstads lærebok fra 1961................................................................766.5.5 Jakobsen, Egeland & Winthers lærebok fra 1965...................................................76

6.6 Moderne lærebøker etter L-97............................................................................................766.7 Epistemologiske hindringer/diskusjon................................................................................77

7 Klasseromsstudie...................................................................................797.1 Elevenes forkunnskaper......................................................................................................79

7.1.1 Lærebøker på småskoletrinnet ...............................................................................797.1.2 Lærebøker på mellomtrinnet..................................................................................797.1.3 Lærebøker på ungdomstrinnet................................................................................807.1.4 Forventede læringshindringer.................................................................................80

7.2 Undervisningsopplegg........................................................................................................817.3 Resultater fra studien..........................................................................................................81

7.3.1 Euklidsk vinkeldefinisjon.......................................................................................817.3.1.1 Fra 1. time i gruppe 3.................................................................................817.3.1.2 Fra 2. time i gruppe 3.................................................................................827.3.1.3 Fra 3. time i gruppe 4.................................................................................83

7.3.2 Schulstads vinkeldefinisjon ...................................................................................847.3.2.1 Fra 1. time i gruppe 3.................................................................................84

7.3.3 Vinkel som rotasjon................................................................................................857.3.3.1 Fra 2. time i gruppe 3.................................................................................857.3.3.2 Fra 3. time i gruppe 3.................................................................................86

7.4 Diskusjon............................................................................................................................87

8 Konklusjoner ........................................................................................89

9 Pedagogiske implikasjoner...................................................................939.1 Undervisningsopplegg basert på det genetiske prinsipp.....................................................939.2 Overvinne læringshindringer..............................................................................................939.3 Fungerer slike undervisningsopplegg?................................................................................939.4 Sammenhengen mellom historiske og samtidige oppfatninger av vinkelbegrepet.............94

10 Referanser og annen relevant litteratur............................................95

11 Vedlegg................................................................................................10511.1 Vedlegg Branford-figur...................................................................................................10511.2 Vedlegg KIM-prosjekt.....................................................................................................10611.3 Vedlegg fra Johnsen 1996................................................................................................11011.4 Undervisningsopplegg ....................................................................................................112

11.4.1 Tema for timene..................................................................................................11211.4.2 Oppgaver.............................................................................................................11411.5 Vinkeldefinisjon.....................................................................................................118

11.6 Transkripsjoner................................................................................................................119

Page 6: Det genetiske prinsipp

1 Innledning

Denne oppgaven vil utforske det såkalte genetiske prinsipp. Dette knyttes ofte til Ernst Haeckels berømte formular: "ontogeny recapitulates phylogeny" (1860/1874), selv om en direkte oppfatning av dette formularet for lengst er forkastet. I matematikkdidaktikken dreier dette seg om sammenhengen mellom måten barn/elever lærer matematikk på, og den måten de matematiske begrepene har blitt til i historien. Målet for oppgaven blir å få en oversikt over de ulike teoriene og teste dem ut i et konkret undervisningsopplegg i en klasse. Min eksempelstudie er knyttet til vinkelbegrepet. Jeg ønsker å få svar på (noen av) følgende spørsmål:

• Hvordan kan en utforme undervisningsopplegg som bygger på det genetiske prinsipp?• Kan et slikt undervisningsopplegg hjelpe elevene å overvinne noen læringshindringer?• Vil et slikt undervisningsopplegg fungere i en vanlig klasse?• Er det en sammenheng mellom stadier i den historiske utviklingen av vinkelbegrepet og de

oppfatninger læreren og elevene har om dette begrepet?

1.1 Teoretisk perspektivDet genetiske prinsipp i didaktikken har en lang historie. Prinsippet kan spores helt tilbake

til Francis Bacon (1561-1626), og det har utviklet seg videre som en egen teori innen matematikkdidaktikken. På 19-hundretallet var Klein, Branford og Toeplitz viktige eksponenter for dette prinsippet. De anvendte det i framstillingen av matematiske emner i sine bøker. Ifølge Toeplitz er det selve utviklingen av begrepene som er mest interessant, og dette er ett av hovedpoengene i det genetiske prinsipp.

En genetisk tilnærmingsmåte er også brukt i mer generelle læringsteorier, som hos Piaget og Vygotsky, og jeg vil studere deres oppfatning av det genetiske prinsipp og sammenhengen med teorien i matematikkdidaktikken.

Også i forskningen omkring elevfeil og læringshindringer blir det vist til det genetiske prinsipp. Epistemologiske hindringer, slik Bachelard og senere Brousseau framstiller det, er problemer som er knyttet til selve utviklingen av (de matematiske) begrepene. Enkelte elevfeil er derfor uunngåelige i følge Brousseau, og vi kan finne bakgrunnen for disse i matematikkens historie.

Alle disse teoriene omkring det genetiske prinsipp er blitt utsatt for kritikk de siste tiårene. Radford og Rogers er to av de viktigste kritikerne, og vi vil gå inn på denne kritikken i oppgaven.

Min eksempelstudie av vinkelbegrepet er særlig basert på et arbeid av Krainer. Jeg ville se på en anvendelse av det genetiske prinsipp og teorien om epistemologiske hindringer på dette konkrete området. Dette må jo også relateres til vinkelbegrepet i L-97.

1.2 Kort oppsummeringKapittel 2 tar for seg ulik bruk av historie i matematikkundervisningen. Jeg tar opp

spørsmålet om hvorfor en i det hele tatt skal undervise i historie, før jeg ser på ulike direkte og indirekte anvendelser av matematikkens historie og problemer ved slik bruk. Dette danner et slags generelt grunnlag for resten av oppgaven, der jeg tar for meg en slik indirekte bruk av historien.

Historien til det genetiske prinsipp er fokus i det neste kapitlet. Her følger jeg Schubring 1978 tilbake til Bacon og Comenius, og ser på ulike representanter for det genetiske prinsipp fram til i dag. Jeg tar også opp kritikken av det genetiske prinsipp som undervisningsprinsipp.

I kapittel 4 tar jeg for meg den biogenetiske lov, som etter manges mening danner et grunnlag for det genetiske prinsipp, og jeg ser på ulik kritikk av denne. Så går jeg over på den genetiske analyse hos to av de viktigste personene innenfor psykologi og pedagogikk i forrige århundre: Jean Piaget og Lev Vygotsky.

I kapittel 5 tar jeg for meg teorien om epistemologiske hindringer, slik den ble til hos Bachelard og Brousseau, og slik den har utviklet seg fram til i dag. Jeg ser på noen av kritikerne, og jeg kommer også litt inn på noe av den moderne forskningen på dette feltet. Deler av denne

Page 7: Det genetiske prinsipp

diskusjonen er basert på Gert Schubrings viktige arbeid fra 1988, som jeg tidligere har oversatt og bearbeidet i Mosvold 2001.

Alt dette danner basis for min egen klasseromsstudie, der emnet er vinkelbegrepet. I kapittel 6 gjør jeg som Brousseau foreslo, og forsøker å finne historiske hindringer rundt dette begrepet. Jeg ser også på annen forskning som har blitt gjort, for å se hvilke feiltyper og hindringer som ofte forekommer, og med dette grunnlaget gjennomfører jeg min egen studie. Resultatene fra denne studien legger jeg fram i kapittel 7, før jeg oppsummerer og forsøker å trekke pedagogiske implikasjoner i kapittel 8 og 9.

1.3 MetodeOppgaven består av en historisk litteraturstudie og en klasseromsstudie. Jeg utarbeidet et

undervisningsopplegg basert på det genetiske prinsipp, som ble prøvd ut i en skoleklasse over en kort uke. Jeg tok opp disse timene på lydbånd og transkriberte materialet. Utvalgte episoder ble så nærmere analysert ut fra det teoretiske perspektivet i oppgaven. For å bevare anonymiteten i observasjonene har jeg gitt alle elevene andre og tilfeldige navn i transkripsjonene. Guttene har fått guttenavn og jentene jentenavn, for å gjøre det så virkelighetsnært som mulig.

1.4 BegrepsavklaringDe siste årene har matematikkens historie kommet inn i de ulike fagplanene i de nordiske

land. Det genetiske prinsipp trekkes ofte fram i denne sammenhengen. Når ordet "genetisk" blir brukt i didaktikken eller i psykologien må en være på vakt. Begrepet blir brukt i mange ulike sammenhenger, og det er ikke sikkert at de som bruker det er klar over det. Vi støter på "biogenetisk lov", "genetisk epistemologi", "genetisk prinsipp", "genetisk metode" og tilsvarende begreper. Det er viktig å skille disse fra hverandre, for de betyr ikke nødvendigvis det samme. Mange synes å tro at "genetisk" har med biologi å gjøre. I denne sammenhengen er det riktigere å tenke på det greske ordet "genesis", som betyr tilblivelse.

Når teoretikere som Leo Rogers kritiserer den biogenetiske lov eller Piagets genetiske epistemologi (se bl.a. Rogers 1999), betyr ikke dette nødvendigvis at de samtidig kritiserer det genetiske prinsipp som didaktisk metode, slik blant andre Gert Schubring framstiller det. Han trekker linjene tilbake til 1600-tallet, til Bacon og Comenius (Schubring 1978). Rogers hevder at der er et skarpt skille mellom biogenetisk lov og Piagets modifisering av denne for psykologien på den ene siden, og det genetiske prinsipp som didaktisk teori på den andre.

Den biogenetiske lov kan vi som nevnt spore tilbake til Haeckel. Han mente at hvert menneske gjennomlevde stadiene i menneskehetens utvikling, en teori som senere fikk sin parallell i psykologien. Her sa en at individets kognitive utvikling gjenspeilet menneskehetens utvikling. Piagets genetiske epistemologi beskriver stadier i individets kognitive utvikling og stadier i menneskehetens utvikling, og den forsøker å avdekke de mekanismene som er felles for overgangen mellom stadiene (Piaget & Garcia 1989). Ontogenesen beskriver hos Haeckel den embryologiske utviklingen til et individ av en eller annen art. Vi sier for enkelthets skyld at det i vårt tilfelle dreier seg om utviklingen til det enkelte menneske, mens phylogenesen tar for seg utviklingen av menneskeheten i sin helhet. Når Piaget snakker om psykogenese, refererer han til individets psykologiske utvikling, eller den psykologiske delen av ontogenesen.

Når Schubring og andre snakker om det genetiske prinsipp som didaktisk metode, stiller de idé- og begrepsutviklingen i sentrum av matematikkdidaktikken. De ønsker da å se på læring og undervisning i matematikk i et utviklingsperspektiv, og de ser da på tilblivelsen av de matematiske begrepene i læreprosessen.

Dette er likevel ikke en endelig og kanskje heller ikke en riktig inndeling av begrepene. Piagets endelige utforming av den genetiske epistemologi avviser nemlig paralleller i innhold mellom den historiske utviklingen i matematikken og barnets individuelle utvikling av matematiske begreper. Dessuten beskriver Schubring den biogenetiske lov som bakgrunn for de didaktiske teoriene i den historiske utviklingen av det genetiske prinsipp. For å gjøre forvirringen komplett, kan vi nevne at Schubring selv skiller mellom psykologisk, historisk og logisk genesis. De tre metodene har en bestemt arbeidsfordeling. Den logisk-genetiske metoden retter seg mot naturlige erkjennelsesteoretiske prosesser til skapelsen og anvendelsen av matematikk. Den historisk-

Page 8: Det genetiske prinsipp

genetiske er på et slags metanivå, der den ser på læringsforløpet i forhold til den historiske utviklingen av vitenskapen. Til slutt dreier den psykologisk-genetiske metoden seg om det som skjer metodologisk i den enkelte undervisningstimen, altså på et mikronivå (Schubring 1978, s. 186ff.).

I tittelen på hovedfagsoppgaven har jeg valgt å bruke begrepet "det genetiske prinsipp", og jeg ser på dette som det mest generelle og vide begrepet i denne sammenheng. Den biogenetiske lov har egentlig sin opprinnelse i naturvitenskapen, men den har også fått avarter i psykologisk og didaktisk teori. Piagets genetiske epistemologi er en reaksjon på den mest simplistiske psykologiske versjonen av rekapitulasjon. Han beskriver psykogenesen gjennom felles mekanismer, og verken gjennom en teori om parallellisme eller rekapitulasjon, som mange synes å mene. Schubring beskriver utviklingen av de avartene den biogenetiske lov har fått i didaktisk teori, men det betyr ikke nødvendigvis at en genetisk metode i matematikkdidaktikken trenger å være avhengig av en tro på den biogenetiske lov. Vygotsky legger stor vekt på den sosiale og kulturelle genesis i utviklingen av kunnskap både hos menneskeheten og hos individet (se f.eks. Bekken 2000).

I senere tids forskning har vi fått enda to nye begreper i denne sammenhengen, gjennom vektlegging av kontekstuell genesis og "situated" genesis av matematiske idéer og begreper. Disse er ofte knyttet opp mot d'Ambrosios idéer om etnomatematikk. Siden vi i en hovedfagsoppgave som denne må begrense oss litt, skal vi ikke ta opp dette her.

Page 9: Det genetiske prinsipp

2 Historie i matematikkundervisningen

Den kjente matematikeren R. L. Wilder publiserte i 1972 artikkelen "History in the Mathematics Curriculum". Framfor alt anbefaler han her matematikkens historie som et middel for å øke motivasjonen og til å skape et personlig meningsinnhold (Schubring i Mosvold 2001, s. 1).

Mange tenker som Wilder, og bruker historien for å øke motivasjonen. Likevel er det flere måter å bruke historien på, og vi skal se på noen av disse før vi går inn på det genetiske prinsipp mer spesifikt.

Fortida er med oss i matematikken om vi ønsker det eller ikke, og matematikeren må begynne med å studere den eldre matematikken, enten han vil det eller ikke, uansett hva nyere trender i matematikken måtte si. Matematikerne er også stolt av at faget deres har antikke aner, og det er med god grunn: matematikken er en så gammel disiplin at selv studiet av dens historie var et anerkjent forskningsfelt lenge før de fleste andre vitenskapene kom til. Derfor er det særlig naturlig for de som studerer matematikk å bli kjent med historien til faget deres (Aaboe 1964, s. 2).

Dette sitatet viser hvor nært matematikkfaget er knyttet til sin historie. Matematikklærere derimot, er ikke alltid like opptatt av historien. De siste årene har der likevel vært en utvikling også i disse kretser mot større interesse for matematikkens historie og hvordan den kan være relevant for undervisningen i matematikk. Som et resultat av denne utviklingen har matematikkens historie kommet inn i læreplanene i mange land, også her hjemme. I vår siste læreplan står det:

Matematikk har lange historiske tradisjoner og har alltid vært en viktig del av vår kultur. Den har hatt stor betydning for blant annet ingeniørkunst, arkitektur og økonomi og har dannet grunnlag for mange tekniske nyvinninger opp gjennom tidene og for utformingen av samfunnet og vårt daglige miljø. Matematikk har også hatt stor betydning for utviklingen av andre fag og vitenskaper (KUF 1996, s. 153).

Litt senere i samme læreplan sier de at:

Opplæringen i faget har som mål … at elevene utvikler innsikt i matematikkens historie og fagets rolle i kultur og vitenskap (d.s., s. 158).

Dette betyr at matematikkens historie for alvor er kommet inn i elevenes hverdag. De skal ikke bare lære om historien, men de skal også få innsikt i hvilken innflytelse denne har hatt på kulturen ellers. Det store spørsmålet for læreren blir hvordan dette skal skje. Lærebøkene legger opp til ulike tilnærmingsmåter, men dette blir oftest overlatt til læreren. Spørsmål om matematikkens historie blir nesten aldri gitt til eksamen, i alle fall ikke skriftlig eksamen, og derfor blir det ofte til at læreren hopper over det, eller trekker det inn der det eventuelt måtte være tid til det.

2.1 Utviklingen i internasjonale kretser de siste åreneMange av de store tidsskriftene for matematikkdidaktikk har jevnlig spesialnumre viet

matematikkens historie, og på internasjonale konferanser er matematikkens historie stadig tema. I 1908 ble International Commission on Mathematical Instruction (ICMI) dannet, med Felix Klein som første "chairman". Etter en pause mellom de to verdenskrigene, ble kommisjonen gjenopprettet i 1952. På den andre internasjonale kongressen for matematikkdidaktikk (ICME) i Storbritannia i 1972, ble der utviklet en idé om en internasjonal studiegruppe for forholdet mellom historie og pedagogikk i matematikken. Denne studiegruppen (HPM) ble formelt knyttet til ICMI i 1976 på den tredje internasjonale konferansen (ICME-3) i Karlsruhe. HPM har fortsatt helt fram til i dag og gir jevnlig ut nyhetsbrev med oppdateringer på forskningsfronten. Nå er det italienske Fulvia

Page 10: Det genetiske prinsipp

Furinghetti som er "chairperson" i HPM. Siden midten av 1980-årene har ICMI engasjert seg i å gi ut en serie studier i sentrale emner

i matematikkdidaktikk. Den tiende og foreløpig siste av disse studiene ble i sin helhet viet til forholdet mellom historie og pedagogikk i matematikken.

Gangen i en ICMI-studie er vanligvis tredelt. Først gir en ut et diskusjonsdokument, for å presentere de viktigste temaene i studien. En studiekonferanse blir så holdt for å diskutere disse temaene mer gjennomgående, før en til slutt gir ut resultatet av studien i bokform. Studiekonferansen til den siste studien ble holdt i Luminy i Frankrike, i april 1998. De nordiske bidragsyterne til studien var Otto B. Bekken, Torkil Heiede og Mogens Niss (Fauvel & van Maanen 2000, s. xiii ff.)

2.2 Hvorfor undervise i matematikkens historie?For å si det rett ut, bruker jeg så mye tid på å undervise i pliktstoffet at jeg ennå ikke har funnet anledningen til mer historiske ekskurser (Andelfinger 1986, s. 15).

Mange lærere vil nok spørre seg hvorfor en skal undervise i matematikkens historie når en har så mye annet å konsentrere seg om. Historien blir bare nok et emne som en må komme gjennom før eksamen, og det blir enda en faktor som gjør at en får stadig mindre tid til å trenge inn i dybden av lærestoffet.

En bør alltid stille seg spørsmålet om hvorfor en gjør som en gjør, og hvorfor en tar de valgene en tar. Derfor bør det også være sentralt å spørre seg hvorfor en underviser i matematikkens historie.

Der kan være mange svar på dette spørsmålet. Her er noen svar som Fauvel 1991, s. 4 tar opp:

Øker motivasjonen for læring.Gir matematikken et humant ansikt.Den historiske utviklingen hjelper å ordne emnene i læreplanen.Det hjelper på elevenes forståelse at de får se hvordan begrepene har utviklet seg.Forandrer elevenes oppfatning av matematikken.En sammenlikning med det gamle etablerer en verdsetting av moderne teknikker.Hjelper å utvikle en multikulturell tilnærming.Gir muligheter for utforskning.Hindringer i utviklingen hjelper å forklare hva dagens elever har problemer med.Elevene liker å høre at de ikke er de eneste som har problemer.Oppmuntrer de som lærer raskere til å se videre.Hjelper å forklare matematikkens rolle i samfunnet.Gjør matematikken mindre skremmende.Å utforske matematikken hjelper oss å opprettholde vår egen interesse.Gir muligheter for tverrfaglig samarbeid med andre lærere og fag.

Her er det mange gode tanker, og jeg vil kanskje si mange overordnete mål for bruk av matematikkens historie i undervisningen, hvis en da kan anta at historie virkelig har en motiverende effekt på elevene (jf. Schubring 1988, s. 138).

Jahnke 1991 kommer inn på noen av de samme tankene som Fauvel, men han trekker bare ut tre punkter. Han mener at matematikkens historie kan bidra til innsikt i utviklingen av de matematiske begrepene, til en dypere forståelse av matematikkens rolle i vår kultur og til å ta matematikkens subjektive side på alvor. For å nå disse målene, kan elevene jobbe med historien på ulike måter, som vi videre skal komme tilbake til.

Heiede 1991 tar også opp spørsmålet om hvorfor en skal undervise i matematikkens historie. Han mener at historien kommer inn i matematikken på samme måte som historien kommer inn ellers; nemlig fordi mennesket er et historisk vesen. I motsetning til (de andre) dyrene, har vi en historie, eller i alle fall er vi oss bevisst at vi har en historie. Det er i følge Heiede historien som

Page 11: Det genetiske prinsipp

skaper et folk, og for ethvert fagfelt er det helt naturlig å studere dets historie:

Hvis man underviser i matematik, så må man også undervise i matematikens historie, for et fags historie er en del af faget (Heiede 1991, s. 154).

Videre hevder han at en ville gå glipp av en viktig del av faget dersom en ikke fikk vite noe om matematikkens historie.

Alle de vanlige argumentene for å undervise enhver slags historie passer selvsagt like godt til matematikken. Historie er menneskehetens akkumulerte erfaring, og ingen intelligente personer ignorerer den (Edwards 1981, s. 108).

Edwards mener altså at historien er nært knyttet til matematikken. Han sier faktisk at historien ikke kan skilles fra matematikken. Derfor bør en alltid studere historien, og særlig viktig er det for matematikere å studere de gamle mesterne i deres originale verk.

Selvsagt kan andre mene noe helt annet, men vi skal ikke ta opp denne diskusjonen i større utstrekning her. Vi avslutter dette med å la spørsmålet bli hengende i lufta, mens vi slår fast at vi som matematikklærere faktisk gjennom læreplanene er pålagt å undervise i matematikkens historie. Det videre spørsmålet blir derfor hvordan en skal gjøre dette.

2.3 Ulike anvendelser av matematikkens historiePå samme måte som der er mange meninger om hvorvidt en bør bruke matematikkens

historie i undervisningen, er der også mange meninger om hvordan en bør gjøre dette. Den siste ICMI-studien presenterer tre hovedmåter å bruke matematikkens historie i undervisningen. Jeg vil her adoptere denne inndelingen, selv om jeg også vil vise til andre kilder.

2.3.1 Direkte historisk informasjon

2.3.1.1 Bruk av primære kilderOfte får vi kjennskap til historien gjennom sekundære kilder. Ved å bruke primære kilder i

matematikken, kan vi få klargjort og utdypet det vi får vite i de sekundære kildene. Samtidig får vi ofte vite ting som disse kildene ikke forteller noe om. Gjennom studier av grunntekstene lærer vi at historien ikke alltid er så enkel som vi kan få inntrykk av. Bruk av primære kilder blir derfor en krevende måte å integrere historie i matematikkundervisningen. Effektene av å studere originale kilder kan likevel være svært positive. Fauvel & van Maanen 2000, s. 291 sier at bruk av originale kilder er en av de mest ambisiøse måtene å integrere historie i matematikkundervisningen. Samtidig mener de at en slik aktivitet kan gi en dypere forståelse av stoffet. De skiller ut tre sentrale idéer som beskriver effektene ved å studere originale kilder:

(i) utskiftingIntegrering av historie i matematikken skifter ut det vanlige med noe forskjellig; det lar oss se på matematikken som en intellektuell aktivitet, heller enn bare en samling av kunnskap eller teknikker.

(ii) nyorienteringIntegrering av historie i matematikken utfordrer våre oppfatninger ved å gjøre det kjente ukjent. Når vi trenger inn i en historisk tekst, kan dette føre til en nyorientering av våre oppfatninger. Matematikkens historie har det fortrinn at den kan overraske med det som kommer av seg selv (Veyne 1971). I undervisningen dukker begrepene opp som om de allerede eksisterte. Dette gjelder for eksempel for begrepet mengde, men like mye for begrepene trekant eller funksjon. Begreper blir også manipulert uten tanke på deres konstruksjon. Historien minner oss om at disse begrepene ble oppfunnet, og at dette ikke skjedde av seg selv.

Page 12: Det genetiske prinsipp

(iii) kulturell forståelseIntegrering av historie i matematikken inviterer oss til å plassere utviklingen av matematikken i den vitenskapelige sammenhengen til en bestemt tidsalder, og i sammenheng med historien til idéer og kulturer. Det inviterer oss også til å se på historien til matematikkundervisningen fra perspektiver som ligger utenfor de etablerte fag-grensene (Fauvel & van Maanen 2000, s. 292).

I dag er der særlig to typer bidrag til dette området i matematikkdidaktikken. For det første kommer der stadig en rekke rapporter om personlige erfaringer med bruk av primære kilder i undervisningen, i ulike sammenhenger og på ulike klassetrinn. Dernest er der en god del artikler som kommer med forslag til hva som kan gjøres. I ICMI-studien trekker de fram noen forslag til hva en bør forske videre på. Det er ganske arbeidskrevende for en lærer å bruke originale kilder i undervisningen, og derfor burde en ha mer grunnlag for å tro at dette virkelig har noe for seg. Ut fra et teoretisk synspunkt er det helt klart givende, men vi mangler en del dokumentasjon på dette. Vi bør også undersøke hvor mye en kan stole på elevenes historiske ballast, siden der kreves en god del slik for å sette seg inn i de intellektuelle, sosiale og kulturelle sammenhengene en tekst ble skrevet i. Der bør også gjøres studier av i hvor stor grad arbeid med kilder fremmer elevenes ferdigheter i å reflektere over matematikken (d.s., s. 317).

2.3.1.2 Bruk av gamle problemerMatematikklærere har til alle tider brukt problemoppgaver i undervisningen, og mange

bygger opp undervisningen rundt slike problemer. Ofte kan det være vanskelig å finne nye og spennende problemer:

"Hvor kan jeg finne gode problemer å bruke i klasserommet?" blir jeg ofte spurt av matematikklærere. Svaret jeg gir er enkelt: "I matematikkens historie" (Swetz 2000, s. 59)

Det faktum at matematikkens historie er en nærmest uuttømmelig kilde til problemoppgaver, kan i seg selv være motivasjon nok for læreren til å studere den. En annen motivasjon kan vi finne på et litt mer filosofisk plan:

Der ville aldri blitt konstruert noe matematisk kunnskap hvis der ikke hadde vært problemer å løse (Barbin 1996, s. 17).

Mesteparten av, om ikke all, den matematikken som eksisterer i dag er kommet som resultat av arbeidet med konkrete matematiske problemer. Matematikk som for vanlige elever virker teoretisk og virkelighetsfjernt, har som regel bakgrunn i konkrete problemer fra hverdagen. Ofte vil det derfor være en god idé å ta utgangspunkt i slike problemer i undervisningen.

Mange lærere hevder at de ikke har tid til å undervise i matematikkens historie, for de har så mye annet de må komme gjennom. Ved å la elevene arbeide med historiske problemer som er direkte relatert til det stoffet de skal gjennom, trenger ikke læreren å sette av tid til å undervise i historie (Avital 1995, s. 7). På en slik måte kan en integrere matematikkens historie i undervisningen uten å undervise i historie, slik en tradisjonelt tenker seg det.

Avital foreslår mange områder der en kan bruke historiske problemer, og han hevder:

Noen tilnærminger til historiske problemer beriker ikke bare undervisningen, men de viser faktisk undervisningsmåter som er bedre enn de moderne (d.s.).

Når elevene arbeider med enkle brøker, kan læreren for eksempel fortelle dem om egyptiske stambrøker, og de kan få i oppgave å skrive 3/5 som en sum av stambrøker. Slik kan en bruke et historisk problem til å utforske brøkbegrepet, og på denne måten kan en undervise historie uten å bruke noe ekstra tid på det. Matematikkens historie blir dermed ikke noe som kommer i tillegg til matematikken, men den blir en del av den levende matematikken som vi er omgitt av i dag.

Page 13: Det genetiske prinsipp

I algebra kan vi for eksempel bruke Al-Khwarizmis løsning av andregradslikninger. Gjennom et slikt arbeid med andregradslikninger får elevene oppleve at et algebraisk problem kan overføres til et geometrisk problem, og dermed kan de få en litt dypere forståelse av slike likninger. Slik unngår vi at elevene bare lærer seg å løse likningene mekanisk ved hjelp av formelen (d.s., s. 8). På denne måten kan læreren bruke matematikkens historie til å lære å undervise. Han kan få tips om nye måter å undervise et stoff på, og kanskje kan noen av de gamle metodene fungere bra for elevene.

I en studie av Furinghetti var det en av lærerne som brukte matematikkens historie som kilde til problemoppgaver. Denne læreren brukte særlig oppgaver fra aritmetikkbøker fra middelalderen. Dette var motivert slik:

Når en kollega spør meg om og hvordan en kan bruke historien, svarer jeg: Ikke prat om matematikkens historie til klassen, men gjør det, bruk den!! Bruk historiske problemer i undervisningen for å variere, og for å gi elevene noe ekstra! Det historiske problemer gir elevene dine ekstra, er historisk og matematisk innsikt (Furinghetti 1997, s. 56).

Furinghetti nevner at denne læreren var svært godt kjent med de gamle tekstene som hun hentet problemene fra. Dette er nok et viktig poeng. Ved å kjenne tekstene kan læreren skille ut de problemene som egner seg best for elevene, og de unngår å kjøre seg fast i vanskelig og ukjent terminologi.

Mange gamle geometriske problemer egner seg godt for elever fordi de kan være forholdsvis enkle å forstå, samtidig som det krever en del arbeid å løse dem. En kan gi elevene et problem og se om de kommer fram til samme resultat som oldtidens matematikere gjorde. Det kan være motiverende for elevene å vite at de kan løse problemer som tidligere tiders matematikere strevde med. Det kan også være fruktbart å se på hvordan ulike kulturer har løst liknende problemer. Eksempel på dette kan være problemer som bruker Pytagoras setning. Slike problemer kan vi finne i flere av de gamle kulturene, også lenge før Pytagoras. En slik studie kan vise at oppdagelser av matematiske idéer ikke alltid er så unike, men at de kan forekomme i ulike kulturer til ulike tider (Swetz 1995, s. 25ff.)

Fordelene med å bruke historiske problemer kan være mange. Bare det å bruke oppgaver med problemer fra hverdagen kan ofte være motiverende nok for elevene. Når en bruker historiske problemer, kan en sammenlikne elevenes løsningsstrategier med de historiske. Samtidig vil bruk av historiske problemer og analyser av historien kunne hjelpe læreren å forstå hvorfor et begrep er vanskelig for elevene (Grugnetti 2000).

2.3.1.3 Bruk av anekdoterFør matematikkens historie kom inn i de norske fagplanene, var det likevel mange lærere

som brukte små anekdoter til å krydre undervisningen. Slik har det sannsynligvis vært i andre land også, for det ser ut som bruk av slike små historier blir mye brukt i undervisningen av matematikk:

Alle er enige i at anekdoter om matematikk og matematikere kan bidra til undervisningen av faget på ulike måter (Siu 2000, s. 4).

Slike anekdoter er ikke alltid sanne, selv om de kan være til stor hjelp i undervisningen. Burn 1998 understreker dette, og han advarer mot bruk av slike anekdoter. Siu er også klar over at disse små historiene ikke alltid er sanne:

Når vi bruker anekdoter bryr vi oss vanligvis ikke om hvorvidt de er autentiske (Siu 2000, s. 4).

Han påpeker at dette jo egentlig er litt rart, siden matematikere ellers er veldig nøye med å underbygge alt de sier. En setning skal alltid kunne bevises, men likevel sprer matematikklærere og matematikere ellers om seg med morsomme anekdoter, tilsynelatende uten å være det minste bekymret for om de har sin rot i virkeligheten eller ikke. Til tross for dette kan de ha sin misjon:

Page 14: Det genetiske prinsipp

Selvfølgelig ville det være ideelt med anekdoter som både var autentiske og samtidig underholdende og belærende. Når vi ikke klarer å finne slike, er det likevel god hjelp i å ha en god anekdote som har et budskap (d.s.).

2.3.2 En tilnærming til undervisningen som er inspirert av historienEn slik tilnærming kaller vi ofte for en genetisk tilnærming til undervisning og læring. Den

er verken strengt deduktivt eller strengt historisk. ICMI-studien sier:

…i en genetisk tilnærming ligger mindre av vekten på hvordan en skal bruke teorier, metoder og begreper, og mer av vekten ligger på hvorfor de gir svar på bestemte matematiske problemer og spørsmål, men likevel uten å forkaste den "tekniske" rollen til matematisk kunnskap (Fauvel & van Maanen 2000, s. 209).

Fra et slikt synspunkt gir det historiske perspektivet interessante muligheter:

• Selv den læreren som ikke er historiker burde ha grunnleggende kjennskap til den historiske utviklingen av faget.

• På bakgrunn av dette blir de avgjørende stegene i den historiske utviklingen identifisert som de viktige idéene, spørsmålene og problemene som åpnet for nye perspektiver i forskningen.

• Disse avgjørende stegene blir tilpasset for bruk i klasserommet.• Disse rekonstruerte avgjørende stegene blir gitt som sekvenser av historisk motiverte

problemer med økende vanskegrad, slik at hvert av dem bygger på noen av sine forgjengere. Formen på disse problemene kan variere fra enkle øvelser av mer "teknisk" karakter, til åpne spørsmål som sannsynligvis burde vært behandlet som deler av et spesielt studieprosjekt som skulle blitt framført av grupper av studenter (d.s.).

Jeg skal ikke si noe mer om denne tilnærmingen her, da dette er selve hovedfokus i mange av kapitlene som følger senere i oppgaven.

2.3.3 Matematisk bevisstgjøring

2.3.3.1 Bedre forståelseMatematikkens historie kan være et viktig hjelpemiddel for den læreren som ønsker at

undervisningen skal gi mening og forståelse, altså for den læreren som ønsker at elevene skal være opptatt av "hvorfor":

…, riktig brukt er en oppfatning av matematikkens historie sammen med en oppdatert kunnskap om matematikken og dens bruk, et viktig verktøy for lærere som ønsker å fokusere på "hvorfor" i undervisningen (Jones 1969, s. 1f.).

Jones deler opp i tre kategorier "hvorfor": kronologiske, logiske og pedagogiske. Kronologiske "hvorfor" forklarer etymologien i matematiske begreper og definisjoner, som for eksempel hvorfor der er seksti minutter i en time, og seksti sekunder i et minutt. De logiske "hvorfor" søker å gi elevene forståelse for matematikkens struktur, for betydningen av aksiomsystemene, og for en forståelse av sammenhengene mellom de ulike matematiske setningene og deres bevis. Pedagogiske "hvorfor" hjelper læreren å velge prosesser og hjelpemidler i undervisningen, ut fra en kunnskap om den historiske utviklingen (d.s., s. 2ff.).

En liten advarsel blir også rettet:

Page 15: Det genetiske prinsipp

…matematikkens historie vil ikke fungere som et hjelpemiddel i undervisningen dersom ikke brukerne 1. ønsker å nå viktige mål gjennom introduksjonen av historien, og 2. har en nøye gjennomtenkt plan for hvordan bruken av historie skal hjelpe å nå disse

målene (d.s., s. 5).

Henri Poincaré skal en gang ha sagt:

Hvis vi ønsker å forutse matematikkens framtid, er det riktig å studere dens historie og nåværende forhold (sitert i Kline 1972, s. vii).

Kline tar opp dette med at studier av historien gir oss perspektiv, ikke bare slik at vi kan forutsi matematikkens framtid, men så vi kan få en bedre forståelse av dagens matematikk. Han hevder at historien kan lære oss hvordan de matematiske begrepene har blitt til gjennom en møysommelig prosess, der utviklingen har gått steg for steg med påvirkning fra mange ulike retninger. Den matematikken som presenteres i klasserommet, er som regel en blankpolert og ferdig utviklet utgave, som ikke viser hvilke frustrasjoner og kreative prosesser som har vært i sving for å nå dit vi er i dag. Han mener det er viktig å vise hvordan tidligere tiders matematikere har prøvet og feilet for å nå fram til de ferdige teoriene som vi lærer i dag (Kline 1972, s. ix).

2.3.3.2 Lære å undervise bedreVed å studere historien kan læreren også bli bevisst på ulike faktorer som gjør at han eller

hun underviser bedre i matematikk. Avital presenterer fire slike faktorer:

• Ved å studere historien kan en bli mer bevisst på hvor viktig det er å lære elevene å stille spørsmål. All matematikk har sin bakgrunn i konkrete spørsmål eller problemstillinger. Pólya bruker denne metoden i boken "How to solve it". Hans fjerde punkt i løsningsprosessen er å se seg tilbake og stille spørsmål.

• En bør inkludere spørsmål som tilsynelatende ikke har en løsning.• Det er også viktig å inkludere åpne spørsmål som stimulerer elevene til utforsking. Mye

matematikk har blitt til i historien ut fra studier av slike åpne spørsmål, som for eksempel Fermats siste sats.

• Elevene bør også oppmuntres til å diskutere åpne problemer, slik at de ikke forblir i den oppfatningen at matematikk er et lukket emne, og at læreren representerer fasitsvarene (Avital 1995, s. 8f.).

På denne måten kan en være med på å skape et miljø der elevene oppfatter matematikken som en levende vitenskap, en vitenskap som er i utvikling. Dette vil også kunne være med å gi elevene en forståelse av matematikken som en del av kulturen vår, noe også læreplanen setter opp som målsetting for undervisningen.

2.4 Problemer ved bruk av historieMange peker på motivasjon når de argumenterer for bruk av historie i

matematikkundervisningen, men:

Matematikkens historie som motivasjonsfaktor har et svakt punkt. En forutsetter nemlig at en historisk tilnærming virkelig vekker interesse. Det blir altså en forutsetning at historiske spørsmål i det hele tatt har verdi i vår kultur. Det er kanskje tvilsomt om dette gjelder for dagens elever slik som det var før (Schubring i Mosvold 2001).

Selvsagt kan en del elever finne det spennende og interessant med historisk stoff, men det er ikke sikkert at alle har det slik. Kanskje bør en derfor forsøke å finne andre typer argumenter for å bruke

Page 16: Det genetiske prinsipp

historie, og vi skal diskutere eventuelle problemer ved noen av disse her. Når en skal undervise i historie, det være seg i et rent historiekurs i matematikk på høgskole-

eller universitetsnivå, eller som en liten del av et emne i videregående skole, må en være varsom. Det er veldig lett å forenkle historien og fortelle "historiske" anekdoter for å krydre undervisningen. For eksempel har mange elever hørt hvordan Arkimedes sprang naken opp av badekaret og ut i byens gater i ekstase over å ha funnet ut hvordan et legeme oppfører seg i vann. Eller de har hørt hvordan Newton ble ledet til å forstå hvordan tyngdekraften virker da et eple falt ned og traff ham i hodet mens han satt under et tre og tenkte. Slike anekdoter er både morsomme og underholdende, men ofte er de uhistoriske og direkte feilaktige. De kan skape et helt uriktig bilde av matematikkens historie og bidrar neppe til bedring av forståelse og læring. Disse bør i så fall følges opp med å diskutere "hva var egentlig matematikken i det Arkimedes grublet på i badekaret?" og "hvilke matematiske problemer var det Newton egentlig strevde med under epletreet?" Matematikkens historie er brokete og komplisert, og der har vært mange blindveier underveis. Når en skal undervise i historien er det viktig å være klar over dette (se bl.a. Fowler 1991 og Burn 1998).

Fowler 1991 forteller om sine historiekurs på universitetsnivå. Der gir han ingen historisk oversikt, som uansett måtte bli svært forenklet. Han velger heller ut noen episoder fra historien, og sammen med studentene går han inn og studerer tekster som belyser disse episodene, uten å ha de moderne tolkningene som rammer.

Burn mener at en ikke bare bør bruke historien uten å gjøre matematikk ut av det. Som han sier:

Portretter av tidligere matematikere plassert i en lærebok er tenkt å skulle gjøre matematikken mer human. Men mange av disse menneskene virker fremmede, og portrettene viser en avstand (Burn 1998, s. 11).

Problemene ved bruk av matematikkens historie i undervisningen kan være av både innholdsmessig og metodisk karakter. Ett av de virkelig store problemene i norsk skole har sammenheng med utdanningen av lærere. Selv om historie skal være en del av matematikkundervisningen, har de færreste lærere fått noe særlig innføring i matematikkens historie. De har derfor sjelden noen videre oversikt over historien, og de har liten kunnskap om bruk av historiske kilder. Med denne bakgrunnen, og med tanke på at ikke alle lærere er like genuint interesserte i utgangspunktet, er det ikke vanskelig å forutse at problemer kan dukke opp.

Vi kan også oppleve problemer av mer metodisk karakter. Lærerne kan ha problemer med å få matematikkhistorien til å bli noe mer enn en anekdotisk innledning til den "egentlige" matematikken. Mangel på kunnskap gjør ikke dette problemet mindre.

Historie er ikke noe enkelt emne, og bruk av historiske kilder fordrer ofte kunnskaper både om språket og konteksten til tekstene. For å få full forståelse av primære kilder fra matematikkens historie, kreves der ofte ganske omfattende forkunnskaper av denne sorten. Disse forkunnskapene er det få vanlige lærere som har (se bl.a. Jahnke 1991).

Bruk av historie fører oss ofte inn på en diskusjon omkring matematisk kunnskap. En kan spørre seg selv om der fins ren matematisk kunnskap som er uavhengig av konteksten, eller om matematikken er uløselig knyttet til kultur og historie. Hvis en, som mange forskere, mener at de matematiske begrepene ikke betydde det samme for våre forfedre flere hundre år tilbake som de gjør for oss i dag, vil det naturlig nok være problematisk å bruke matematikkens historie i undervisningen. Dagens studenter vil selvsagt ha store problemer med å sette seg inn i tankegangen til tidlige tiders matematikere. Katz mener at der fins ren matematisk kunnskap, selv om mange aspekter ved matematisk tenkning er knyttet til kulturen. Han hevder at for eksempel den pytagoreiske læresetning betydde det samme for de gamle kineserne som for de gamle grekerne, og mange andre matematiske begreper betyr det samme for oss i dag som de gjorde for tidligere tiders matematikere.

En lærer må alltid bestemme seg for hvilke metoder som virker best for å hjelpe elevene i møtet med og forståelsen av idéene, og dette er helt klart et felt der historien kan være til hjelp (Katz 1997, s. 62).

Page 17: Det genetiske prinsipp

Likevel må lærere ha inngående kjennskap til historien, slik at de kan plukke ut de relevante detaljene. En kan ikke følge historien blindt når en bruker den i pedagogikken. Som en slags konklusjon sier han:

Den viser at der fins "ren" matematikk, men at denne ofte er innbakt i en kulturell kontekst som kan bli levendegjort for studentene. Og studentene vil ikke bare lære matematikken, men de vil også lære om andre kulturer, noe som helt klart også er ett av våre mål (d.s., s. 63).

2.5 Nyere forskningICMI-studien hevdet at en burde gjøre mer forskning på effekten av å bruke historie i

undervisningen. Slike studier er allerede gjort etter at studien gikk i trykken, og mange av dem ble presentert ved HPM 2000 konferansen på Taiwan. Jeg skal her se på resultatene av noen av disse studiene.

Tsukahara viser til resultater fra egen undervisning i analyse. Han bruker historiske problemer i undervisningen og underviser analyse fra et historisk synspunkt. Resultatene fra studien viser at studenter som praktisk bruker matematikkens historie, slik hans studenter gjorde, får en økt bevissthet omkring læring i matematikk. De får en oppfatning av at matematisk tenkning er viktigere enn å memorere matematisk kunnskap og lære seg metoder (Tsukahara 2000, s. 13). Som en oppsummering av studien, sier Tsukahara:

Effekten av den praktiske bruken av matematikkens historie ble ikke klart demonstrert med hensyn til studentenes tro på egne kunnskaper og ferdigheter i denne studien. Likevel ble det bemerkelsesverdige resultatet nådd i evalueringen av studentenes bevissthet omkring læring i matematikk (d.s., s. 16).

Smestad diskuterer hvordan matematikkens historie er blitt innført i norske skoler, og resultatene av dette. Lærerne i norske skoler har generelt lite kunnskaper om matematikkens historie, og Smestad hevder at de ganske sikkert ikke har nok kunnskap til å introdusere matematikkens historie i undervisningen på egen hånd. De er derfor avhengige av gode lærebøker og lærerveiledninger. Norske lærebøker følger ofte læreplanene ganske nøye, så naturlig nok var der få lærebøker som hadde med noe særlig om matematikkens historie før L-97.

Jeg er redd for at lærerne og lærebokforfatterne ved å inkludere matematikkens historie i læreplanene har stilt et krav: "inkluder matematikkens historie". Derimot har de verken gitt overtalende argumenter eller gode eksempler på bruk av matematikkens historie. Kunnskapen og interessen deres har ikke økt. Derfor er det en stor risiko for at "kravet" vil bli utført mekanisk, og at der vil være en følelse blant lærerne som sier at " vi har brukt fire timer på romertall, kan vi nå gå tilbake til matematikken?" (Smestad 2000, s. 28).

Smestad har studert alle lærebøker i matematikk som har kommet etter L-97, og han har kommet til at når det gjelder historien, så er de preget av mye feil, banale eksempler, snevre oppgaver og mangel på samsvar. Han framhever derfor hvor viktig det er at både lærere og lærebokforfattere får støtte fra de miljøene som har den nødvendige kunnskapen og de gode idéene. Dette betyr at matematikkdidaktikere og fagfolk innenfor matematikkens historie bør ta et ansvar her (d.s., s. 28ff.).

2.6 Forsøk på synteseDen deduktive undervisningsmetoden er den konvensjonelle måten å undervise i

matematikk. Dette er muligens den raskeste måten å presentere stoffet på, og mange vil hevde at den logiske klarheten som en slik presentasjon fører til, er identisk med å forstå stoffet fullt ut. Erfaringer fra praksis viser at vi lærer på svært forskjellige måter, og en deduktiv undervisning har

Page 18: Det genetiske prinsipp

ikke alltid vist seg å gi de beste resultatene for alle. Lærere og andre som beskjeftiger seg med undervisning har derfor i lang tid lett etter andre tilnærmingsmåter. Mange mener at matematikkens historie kan være med å utvikle læring og undervisning i matematikk på en positiv måte. Inngående studier i matematikkhistorien vil kunne åpne mulighetene for på en naturlig måte å forstå hvordan matematikken ble skapt. Slike studier vil også kunne gi oss alternative måter å presentere matematikken på (Tzanakis & Thomaidis 2000, s. 44).

Hvordan kan en da konkret gjøre bruk av matematikkens historie til å framstille matematikken på en bedre måte i undervisningen? Svarene på dette er mange, på samme måte som mulighetene for anvendelse av historien er det. Grovt sett kan vi si at historien kan brukes direkte eller indirekte. Læreren kan bruke historien i en deduktiv presentasjon, på samme måte som han presenterer annet fagstoff. Her kan en bruke historiske kommentarer, drypp, anekdoter, introduksjoner og oversikter, eller en kan ta utgangspunkt i viktige personer i den historiske utviklingen av matematikken. En kan også bruke sekundære og primære kilder i undervisningen for at elevene skal få større bevissthet omkring matematikken, og for at de skal forstå at matematikken er en vitenskap i utvikling. Indirekte kan en bruke historien ved å følge en tilnærming som er inspirert av historien, slik vi finner hos Toeplitz 1963 og Edwards 1977. Dette blir en genetisk tilnærmingsmåte, som vi skal ta for oss videre i denne oppgaven.

Ut fra et slikt synspunkt kan historien gi interessante muligheter for en dypere forståelse av stoffet. En integrering av historien i undervisningen kan gjøre det mulig å:

• Foreslå flere mulige måter å legge fram et stoff på.• Lete opp og gjenkjenne historiske læringshindringer som kan dukke opp igjen i

læringsprosessen.• Få elevene til å forstå hvorfor nye emner blir innført.• Vise sammenhenger mellom tilsynelatende diametralt ulike emner.• La løsning av problemer og oppgaver være en essensiell del av presentasjonen for å forstå et

fag.• Sammenligne moderne matematikk med tidligere tiders matematikk (Tzanakis & Thomaidis

2000, s. 48f.).

For å få til dette på en tilfredsstillende måte, kan det se ut til at læreren trenger hjelp. De færreste matematikklærere i norsk skole har noen særlig utdanning i matematikkens historie, og de trenger derfor støtte fra gode læreverk og lærerveiledninger for å kunne bruke matematikkens historie på en best mulig måte i undervisningen. For å få til dette, må matematikkdidaktikere og fagfolk innenfor matematikkens historie ta et ansvar, som Smestad 2000 sier.

Page 19: Det genetiske prinsipp

3 Det genetiske prinsipp

Jeg skal nå ta opp den andre bruken av historie fra kapittel 2, en tilnærming til undervisningen som er inspirert av historien, eller det vi skal kalle for det genetiske prinsipp som didaktisk metode.

3.1 Ulike typer genetiske prinsippSom nevnt i innledningen, støter vi ofte på ulike typer av genetiske prinsipp. Schubring

1978 legger vekt på skillet mellom historisk-genetisk og psykologisk-genetisk prinsipp. Arnauld snakker også om en logisk-genetisk metode. I tillegg har vi Bacons "naturlige" metode.

Den logisk-genetiske metode er uttrykk for den rasjonalistiske filosofi. For Arnauld kunne metoden uttrykkes som kunsten å ordne en følge av tanker i riktig rekkefølge, der målet blir enten å oppdage sannheten, eller å bevise den. Den historisk-genetiske metode finner vi hos Clairaut, og her blir for første gang matematikkhistorie brukt som grunnlag for læreprosessen (Schubring 1978, s. 41ff.).

Den historisk-genetiske metoden ønsker å lede elevene fra det enkle til det vanskelige, på samme måte som menneskeheten har gått i matematikkhistorien. Den psykologisk-genetiske metoden ønsker å la eleven gjenoppdage matematikken gjennom erfaringer fra miljøet rundt, ved hjelp av egne ferdigheter. Schubring sier om forholdet mellom den historisk-genetiske og den psykologisk-genetiske metode:

Begge går ut fra forestillingen om at der fins en parallellisme mellom utviklingen av kunnskap i det individuelle erkjennelsessubjektet og den historisk-kulturelle utviklingen av kunnskap. Det begrepsmessige grunnlaget for dette er - eksplisitt eller implisitt - den biogenetiske lov (d.s., s. 192).

For Bacon var det den induktive metode, med sin vei fra det spesielle til det allmenne, som var den naturlige metoden. På denne måten kunne en undersøke og finne fram til sannheten (d.s., s. 21).

3.2 Historisk utvikling av det genetiske prinsippDet genetiske prinsipp setter begrepsutvikling i sentrum. Mange har tilsynelatende en litt

snever oppfatning av dette prinsippet. En del forskere viser i sine artikler at de har en oppfatning av at dette er uløselig knyttet til den biogenetiske lov, og at det stort sett dreier seg om en slags modifisert rekapitulasjonsteori. I sin doktoravhandling fra 1978 gir Schubring en videre framstilling, der han fører teorien nesten et halvt årtusen tilbake.

I følge Schubring er forskerne uenige om hvordan det genetiske prinsipp ble til. Mange framhever Felix Klein (1849-1925) som grunnlegger, men didaktikere i det 19. og begynnelsen av det 20. århundre ser ut til å ha hatt en dypere historisk bevissthet omkring røttene. Karl Mager mente for eksempel at Comenius og Ratke var forløpere for prinsippet, mens andre kilder trekker fram Lindner og Francis Bacon som dennes forløper. Clairaut blir trukket fram av matematikkdidaktikeren M. Simon, som den første som benyttet den genetisk-heuristiske metode i geometrien (Schubring 1978, s. 16f.).

Når vi nå skal se nærmere på den historiske utviklingen, blir det derfor naturlig å gjøre som Schubring og starte med Francis Bacon. Han var den tidligste av disse teoretikerne, og selv Comenius regner Bacons arbeid som grunnlag for sine egne tanker.

3.2.1 Bacon og Comenius: tidlige utgaver av det genetiske prinsipp.Francis Bacon (1561-1626) lanserte den "naturlige" undervisningsmetoden. Han regnes også

som grunnlegger av den nye oppfatningen av vitenskapen. Comenius og Ratke bygger på Bacons arbeider, og sammen står disse som forgjengere for det genetiske prinsipp (Schubring 1978, s.17ff.).

Page 20: Det genetiske prinsipp

Etter hvert har oppfatningen av en naturlig undervisningsmetode og en naturlig progresjon i undervisningen fått mange tilhengere. Noen av disse skal jeg komme mer tilbake til senere.

I motsetning til sine samtidige: Galilei, Kepler og Descartes, gjorde ikke Bacon noen nye vitenskapelige oppdagelser, og han øvet heller ikke noen særlig direkte innflytelse på pedagogikken. Derimot hadde han en enorm indirekte innflytelse som grunnlegger av en ny vitenskapsteori, eller av selve det moderne rasjonalitetsprinsippet i vitenskapen. Denne nye vitenskapsteorien markerte et brudd med skolastikken, og Bacon utviklet en metode for å oppdage ny kunnskap. Denne blir ofte kalt for den naturlige undervisningsmetode, som vi også kan kalle for den induktive metode. Bacon kalte altså dette for en naturlig metode, da den hadde "selve tingenes natur som mål" (d.s., s. 21). Metoden går fra det spesielle til det generelle. Mange vil hevde at det er nettopp slik barn lærer. Først oppfatter de spesialtilfeller av ulike fenomener, og senere forstår de at der fins generelle begreper som spesialtilfellene er en del av. Det er nettopp denne indirekte innflytelsen som gjør at Schubring regner Bacon som grunnleggeren (d.s., s. 19).

Bacon mente at undervisningen skulle bli lagt opp slik at den fulgte det samme mønsteret som læringen følger fra naturens side:

Men kunnskap … burde bli overlevert og fortroliggjort etter den samme metoden som den ble konstruert, hvis det var mulig… (d.s., s. 22).

Nettopp dette at det er en sammenheng mellom måten barna lærer på og måten kunnskapen er blitt til i historien er jo selve grunntanken. Bacon mente at læreren skulle føre elevene sine inn på vitenskapens veier på den samme måten som han selv hadde kommet dit. Og disse vitenskapens veier forklarer Bacon slik:

…de gamle gikk selv den samme veien som jeg; slik at jeg også etter all min streben, trolig til slutt vil komme til en eller annen av de filosofiene som eksisterte blant de gamle. For også de forberedte et stort antall eksempler og spesialtilfeller i de første stadiene av studiene deres, og ordnet dem etter emne i notisbøker, og gikk videre derfra til å komponere sin filosofi og kunst (Bacon 1994, s. 126f.).

Dersom en skal følge Bacons metode i undervisningen, bør en derfor begynne med problemer fra hverdagen, spesialtilfellene, før en begynner å abstrahere og teoretisere matematikken. En bør ikke starte med de ferdige teoremene, men heller utarbeide disse etter hvert. Slik blir Bacons metode svært lik det vi kaller for genetisk prinsipp.

Spesifikt for den nye vitenskapelige tenkemåten, var at erkjennelsessubjektet, som Bacon kalte det, måtte være i aktivitet i forhold til erkjennelsesobjektet. Eleven måtte altså selv være aktiv for å lære noe; en tanke som jo er kommet for fullt i det konstruktivistiske læresynet.

Etter Bacon fulgte utviklingen filosofien, og filosofiens løsning av erkjennelsesproblemet til naturvitenskapene. Derved fulgte refleksjoner omkring den vitenskapelige metode (Schubring 1978, s. 23). Jeg skal derfor se litt nærmere på noen filosofer og den innvirkningen de kan ha hatt på utviklingen av det genetiske prinsipp.

Jan Amos Komensky, for oss kjent som Comenius, levde fra 1592 til 1670. Han var en tsjekkisk filosof, pedagog og poet, og han regnes som en av grunnleggerne av den generelle pedagogikken gjennom sitt hovedverk "Didactica Magna" fra 1657. Basisen for pedagogikken hans var at mennesket er et med-skapende vesen. Til tross for at arbeidene hans ble brent i offentlighet, har de fått stor betydning for ettertiden (Comenius 1975, s. 11ff.).

Comenius bygger videre på Bacons naturlige metode:

Hvert språk, vitenskap eller kunst burde først bli undervist etter sine enkleste bruddstykker, deretter mer fullstendig etter regler og eksempler, og etter det systematisk i sammenheng med uregelmessighetene. Man burde dele opp undervisningen i klasser, slik at de lavere klassene forbereder de følgende, og motsatt slik at de øvre klassene bekrefter de lavere. Naturen kan forstås i stadige framskritt, men ikke slik at den oppgir det tidligere når noe nytt begynner, men heller at den fortsetter det tidligere påbegynte, utvider det og fører det til

Page 21: Det genetiske prinsipp

fullkommenhet. Hver klasse blir fullført på en bestemt tid (von Raumer vol. II 1843, s. 55f.).

Her kan vi nesten se en forløper til Piagets stadieteorier, og vi ser tydelig at Comenius var opptatt av tingenes naturlige utvikling i undervisningen. I sitt trebinds verk "Geschichte der Pedagogik" fra 1843 slår von Raumer fast at Comenius så på Bacons arbeider som bakgrunnen for sine egne, noe også Schubring hevder (se von Raumer vol. II 1843, s. 63 og Schubring 1978, s. 19).

3.2.2 Påvirkningen fra filosofer og teoretikere: Descartes, Hobbes, Spinoza & Leibniz.René Descartes (1596-1650) blir sett på som grunnleggeren av den rasjonalistiske filosofi og

den deduktive metode i naturvitenskapen. Denne deduktive metoden benyttet han for å oppdage ny kunnskap, men for han var ikke dette noen motsetning til den genetiske metode. Han så nemlig på kunnskapsobjektene som foranderlige. En slik oppfatning av identitet mellom deduktiv og logisk-genetisk metode skal vi se igjen hos flere av tenkerne på denne tiden. For Descartes og de rasjonalistiske filosofene som fulgte etter ham, ble det allmenne oppfattet som det enkleste, i motsetning til Bacons oppfatning. Descartes startet derfor med de enkleste og mest allmenne problemene. Hver sanne setning han fant brukte han til å finne nye setninger (Schubring 1978, s. 25). Her ser vi tydelig hvordan han oppfattet kunnskapen som foranderlig. Det hele blir annerledes når en som mange moderne teoretikere tenker seg at mennesket oppdager den allerede ferdig utviklede kunnskapen.

Hvis en ser på de klassiske definisjonene av deduktiv og induktiv metode, ser en at den induktive går fra det spesielle til det generelle og allmenne, mens den deduktive metoden går fra det generelle til det spesielle. Også i dagens pedagogikk snakker vi om induktive og deduktive undervisningsmetoder. I dag ser det ut til at den tradisjonelt deduktive undervisningsmetoden, gjerne representert ved den klassiske forelesningen, er blitt den minst verdsatte av dem. Det er også blitt et klarere skille mellom deduktiv og genetisk metode. Den induktive metoden, som vi finner igjen i den heuristiske undervisningsmetoden, blir regnet som den som setter eleven i sentrum, og denne metoden virker også å ha størst oppslutning i våre dager. Nå er det denne, og ikke den deduktive metoden, som ofte blir knyttet til genetisk metode.

Thomas Hobbes (1588-1679) mente som Bacon, at kunnskap avhenger av en fullstendig forståelse av tingenes årsaker, eller tingenes "kausaler". Han fullførte overgangen fra empirismen til rasjonalismen. Også for Hobbes var der en sammenheng mellom den deduktive og den genetiske metode, men han trakk dette litt lenger enn Descartes, idet han hevdet at de to faktisk var identiske. For mange filosofer er det selve hovedanliggendet å finne fram til tingenes innerste årsak. Hobbes hevdet at den eneste måten å forstå innholdet i et stoff på, var å gjenoppleve de betingelsene som skapte innholdet (d.s., s. 27f.).

Den deduktive metode blir av mange på denne tiden sett på som den mest vitenskapelige, og Baruch Spinoza (1632-1677) mente at den vitenskapelige metode bare kunne være deduktiv. Han så heller ingen motsetning mellom deduksjon og begrepsutvikling. Spinoza sa at deduksjon og genese faller sammen i en geometrisk konstruksjon. Når sirkelen blir definert som en konstruksjon, er dette selve prototypen på en genetisk definisjon. En slik definisjon sier ikke hvordan et geometrisk objekt er, men hvordan en tenker seg at begrepet må oppstå. Med den genetiske definisjon kommer Spinoza fram til selve hovedmålet, nemlig å føye den observerbare virkeligheten sammen med ordningen av de tankekonstruksjonene som menneskene har laget seg. Identiteten mellom deduksjon og genese stemmer nå overens med identiteten mellom tingenes og erkjennelsens årsak (Schubring 1978, s. 29ff.).

Også for Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) var den deduktive metoden veien til å vinne erkjennelse. Han søkte etter "kunnskapens logiske prinsipper". For ham var det ikke nok at logikken beskrev de formale forbindelsene til tenkingen, men den skulle dreie seg om selve det saklige innholdet til kunnskapen. Han forsto logikk og kombinatorikk som vitenskap på aritmetikkens grunnlag. Leibniz forbandt den deduktive og den oppdagende genetiske metode. Han sammenlignet eleven med forskeren, og han mente at det er viktig å forstå opprinnelsen til problemene, ikke bare lære seg sluttproduktet og dets bevis. Hvis en lærer seg bakgrunnen, kan det øvrige avledes derfra. Når en framstiller vitenskapelig stoff, skal en gjøre det som om en selv hadde

Page 22: Det genetiske prinsipp

oppdaget det, slik at oppdagelsen og prosessen kommer i fokus, og ikke bare det ferdige sluttproduktet (Schubring 1978, s. 31f.). Disse tankene finner vi igjen også hos senere teoretikere, blant annet hos Toeplitz, som jeg tar for meg litt senere.

3.2.3 Utviklingen av didaktikken: Arnauld og Clairaut.Fram til nå har vi sett hvordan det genetiske prinsipp har utviklet seg i filosofien. I det 17.

århundre ser vi en utvikling av den allmenne didaktikken. Slik Rousseau senere tenkte det, ble utdanning og oppdragelse et offentlig ansvar, og didaktikken blir derfor naturlig forbundet med utviklingen av det allmenne skolevesenet. Selve ordet "didaktikk" ble første gang brukt av Ratke, som sammen med Comenius var en av grunnleggerne. Men verken Ratke eller Comenius var mest opptatt av matematikkundervisning. Det var språkundervisning og særlig undervisning i morsmål som lå dem på hjertet (Schubring 1978, s. 36f.).

Fram mot siste halvdel av det 18. århundre begynte matematikkundervisningen i stadig større grad å trenge inn i de høyere skolene. Undervisningen skjedde stort sett i form av geometriundervisning med Euklids "Elementene" som basis, og målet for undervisningen var å kunne forklare og bevise (d.s., s. 39).

A. Arnauld (1612-1694) ga viktige grunnlag for den videre utviklingen. Han mente at forholdet mellom deduksjon og genese måtte differensieres, og han skilte mellom metoden for forskning og metoden for framstilling. Arnauld kalte de to metodene for analyse og syntese, der syntesen tjente til å framstille sannheten slik at den ble forståelig for andre. Framstillingen måtte skje i tingenes naturlige ordning, slik de rasjonalistiske filosofene etter Bacon mente, fra det enkle og allmenne til det spesielle og sammensatte. På dette grunnlaget bygget han sin kritikk av "Elementene". Han mente det var viktig å forstå tingenes årsak, og det kunne en ikke forstå gjennom et reductio ad absurdum bevis. Han kritiserte Euklid for ikke å rette seg etter "den sanne metode", det vil si å begynne med det enkle og allmenne og så gå over til det mer sammensatte. I stedet blander han alle tingene om hverandre, og presenterer linjer, trekanter og firkanter om hverandre. Første bok begynner med konstruksjonen av en likesidet trekant. Først en god stund senere forklares hvordan en trekant blir dannet av tre gitte linjer. Slik viste Arnauld at "Elementene" er fulle av brudd på den naturlige ordningen (Schubring 1978, s. 40ff.).

I 1741 skrev A. Clairaut (1713-1765) et viktig verk om elementær geometri. I innledningen beskrev han sin metode som den genetiske metode. I motsetning til Arnaulds "logisk-genetiske" metode, ville Clairaut bruke matematikkens historie som grunnlag for læreprosessen. Her kan vi altså finne kimen til den "historisk-genetiske" metode. Clairauts teori likner på mange måter den intuitive oppfatningen mange har av det genetiske prinsipp. Vi ser mye av tanken om paralleller mellom elevenes utvikling av matematiske tanker og den historiske utviklingen av matematikken. Han mente at matematikken (geometrien) hadde utviklet seg i stadier. De første skrittene ble gjort av begynnere, og de kunne derfor være mulige å forstå for elever som var begynnere. Clairaut så på landmålingen som opprinnelsen til geometrien, og han lot derfor elevene først få muligheten til å oppdage prinsippene for måling av landområder. Han håpet at elevene på denne måten skulle bli vant med å undersøke og oppdage matematikken, og han ønsket å unngå en matematikkundervisning der læreren presenterte en eller annen matematisk sannhet gjennom et bevis, uten å vise hvordan denne var blitt oppdaget (Schubring 1978, s. 45f.).

3.2.4 Videre utvikling av prinsippet hos Lindner og Mager.Rundt 1800 ser vi en grunnleggende forandring i forholdet mellom vitenskap og

undervisning. Som følge av den industrielle revolusjon, den tekniske utviklingen og nye tanker i tiden, ble også utdanningssystemet stadig mer utviklet og differensiert. Det å vinne ny erkjennelse ble et felles mål for både vitenskapen og undervisningen. Dermed kunne en ikke lenger godta en overensstemmelse mellom deduksjon og genetisk prinsipp, slik noen hadde gjort til nå. Skolesystemet utviklet seg enormt, og en fikk flere omfattende skolereformer (Schubring 1978, s. 47ff.).

Vi har nettopp sett de første ansatser til en historisk-genetisk metode hos Clairaut, men

Page 23: Det genetiske prinsipp

Schubring hevder likevel at det var hos Friedrich Wilhelm Lindner (f. 1779, d. etter 1851) det genetiske prinsipp som pedagogisk-didaktisk oppfatning første gang viste seg som åpenbart historisk-genetisk (d.s., s. 59).

Også Karl Mager viser til Lindner som pedagogisk forløper for det genetiske prinsipp, men det blir sagt lite om innholdet i Lindners teori. Årsaken til det kan være at han bare offentliggjorde to korte skrifter om sin metode: "de methodo historico-genetica in utroque genere institutionis adhibenda cum altiori tum inferiori" (utgitt i Leipzig i 1808) og "de finibus et praesidiis artis paedagogicae secundum principia doctrinae christianae" (utgitt i Leipzig i 1826). Lindner hentet inspirasjon hos hegelianismen. Han studerte hos Carus, som var tilhenger av det genetiske prinsipp i naturfilosofien. Det blir hevdet at Lindner ble ledet til denne metoden av Bacons "Organon". Han kritiserte skolens timeplan, som han mente var altfor bundet av syklusen time-friminutt-time, hvor timene varer i 45 minutter. Den genetiske metode krever utholdenhet, slik Lindner oppfattet det, og den altfor hyppige vekslingen av timer avler bare distraksjon. Lindner hevdet at den historiske delen av en framstilling ga nøkkelen til alt som fulgte etter (Schubring 1978, s. 59f.). Hans metode besto av to deler: den historiske og den genetiske metode. Den historiske metoden tjente til å ordne de ulike fagområdene, slik at det området som menneskene først fant opp, skulle undervises først. Matematikken ble oppfattet som den første vitenskapen, og den burde derfor undervises først:

Den er element i alle øvrige vitenskaper, den er vitenskapslære i ordets egentlige forstand og må derfor bli ført fram først blant alle vitenskapene (d.s., s. 61).

Den historiske metode har altså med hvilken rekkefølge de enkelte fagområdene bør bli undervist. Videre mente Lindner at:

Alle deler av den foreliggende vitenskapen må bli framlagt i en nødvendig og naturlig årsaksrekkefølge (denne kaller jeg genetisk, framavlet av hverandre) (Schubring 1978, s. 84).

Denne metoden dreide seg altså om undervisningen innenfor det enkelte fagområde. Lindner mente at en slik undervisningsmetode ville vekke og holde på interessen til elevene. Han mente også at metoden egner seg for alle fagområder. Kjennskapen til denne naturlige rekkefølgen i undervisningen kunne læreren få fra historien til vitenskapen, og fra undersøkelse av barnets natur, der utviklingen av den naturlige skaperprosessen gjentar seg (d.s., s. 62f).

Mager var den første som utviklet en mer omfattende forståelse av det genetiske prinsipp for undervisning i skolen. Han utarbeidet vidtrekkende tanker om skolepolitikk, skoleorganisasjon, innhold og metodikk for undervisningen (d.s., s. 65).

Karl Mager ble født 1810 i Solingen. Han studerte i Paris og flyttet deretter til Berlin. Her kom han i kontakt med Diesterweg og andre betydningsfulle pedagoger. Han kom også i kontakt med hegelianerne, og tok opp deres filosofi helt og fullt. Her publiserte han også sitt første skrift om oppfatningen av det genetiske prinsipp: "Wissenschaft der Mathematik nach heuristisch-genetischer Methode. Leistfaden beim Schulunterricht". Senere flyttet han til Zürich, hvor han ga ut den fjerde og best utarbeidete sammenfatningen av sin oppfatning: "Die genetische Methode des schulmässigen Unterrichts in fremden Sprachen und Literaturen" i 1846. Da han i 1848 ble direktør i det nyoppstartede realgymnaset i Eisenach, fikk han muligheten til å prøve ut oppfatningene sine i praksis.

Mager innførte et skille mellom "skolevitenskaper" og "fagvitenskaper". Han så tre grunner til dette:

1. undervisningen i skolen er en elementær utgave av den vitenskapelige undervisningen;2. undervisningen i skolen må behandle et utvalg av de bestående vitenskapene, men dette

holder ikke for å bygge opp et fullstendig system;3. med tanke på elevenes personlige utdanning gjelder den første årsaken for undervisningen i

skolen, i de fordringene vitenskapen stiller overfor de som bearbeider den, men først og fremst er det den andre årsaken som gjelder (d.s., s. 78).

Page 24: Det genetiske prinsipp

Han skilte også mellom den genetiske metode slik den kan brukes i forskning, i vitenskapelig framstilling og i undervisningen i skolen (d.s., s. 88f). Schubring siterer Magers definisjon av den genetiske metode for vitenskapelig framstilling:

For oss er den genetiske metode den bestemte utviklingen til tankene, som skrittvis følger og tro gjenspeiler den utviklingen av det værende som skal bli kjent…(d.s., s. 90).

Med hensyn til definisjonen av den genetiske metode for undervisning i skolen, ga ikke Mager noen allmenn definisjon. Han mente at en slik konkret bestemmelse bare kunne gjøres innenfor de ulike fagområdene. For å forsøke å løse dette problemet, skilte han mellom elever i to ulike stadier: før 13/14 år og etter. Mager karakteriserte metoden for undervisning av elever fram til 13/14 år slik:

Undervisningsformen på grunntrinnene er gjennomgående analytisk. For undervisningsgangen mangler jeg et bestemt navn: den er analytisk og syntetisk, og samtidig ingen av delene i vanlig forstand. Mest nøyaktig kan man kanskje betegne den når man kaller den kombinatorisk i forhold til objektene, og psykologisk-genetisk i forhold til den som lærer (Schubring 1978, s. 93).

Først i det andre stadiet setter den egentlige genetiske metode inn. Her bruker en utviklingen av det vitenskapelige stoffet i en slags historisk-genetiske metode. Når det gjelder matematikkundervisningen, begrenset Mager seg til en anvendelse av det genetiske prinsipp på aritmetikken.

Magers genetiske metode fikk stor innflytelse. Mange lærebøker benyttet seg av metoden i framstillingen av for eksempel geometrien, pedagogiske tidsskrifter anerkjente verdien av metoden osv. (d.s., s. 103ff.).

3.2.5 Matematikkdidaktikkens oppfatning.Da matematikkdidaktikken etter hvert vokste fram som eget fagområde i Tyskland, fikk det

genetiske prinsipp snart rollen som det sentrale didaktiske prinsippet i gymnasene. Et av de første tidsskriftene for matematikkdidaktikk, "Zeitschrift für den matematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht" utpekte den genetiske metode som den beste undervisningsmetoden (Schubring 1978, s. 127ff.).

Der gikk flere diskusjoner omkring den rette forståelsen, og der var mange konkurrerende oppfatninger av begrepet. Holzmueller spurte seg hvorvidt "genetisk" i det hele tatt var et heldig navn, og han forklarte at han forsto dette som genesis, altså tilblivelse (d.s., s. 130f.). Schubring kommenterer:

Gjennom den induktive metoden blir det implisitt tydelig at det opprinnelig filosofisk begrunnede forholdet mellom det allmenne og det spesielle blandes sammen med den psykologiske forankringen av de geometriske begrepene i hverdagen (d.s., s. 131).

I de matematikkdidaktiske håndbøkene i Tyskland på denne tiden, ble den genetiske anbefalt som den beste undervisningsmetoden. Også her var det et skille mellom en psykologisk-genetisk og en mer historisk-genetisk retning. Den historisk-genetiske metoden hadde den biogenetiske lov som grunnlag. Den euklidske metode ble satt opp som en motsetning til den genetiske (d.s., s. 132).

Reidt forsto den riktige undervisningsmetoden som tredelt. Undervisningsformen skulle være heuristisk, behandlingen av det saklige innholdet analytisk og oppbyggingen av systemet skulle være genetisk (d.s., s. 134).

3.2.6 Det genetiske prinsipp hos Felix Klein.Felix Klein (1849-1925) utviklet matematikken i en følge av sunn fornuft, med gjentatte

Page 25: Det genetiske prinsipp

"drypp" fra historien (Burn 2000, s. 1). Wittmann sier sogar:

Med hensyn på matematikkundervisningen ble den genetiske metode første gang eksplisitt utformet av Felix Klein (Schubring 1978, s. 6).

På slutten av sitt virke beskjeftiget Klein seg mest med vitenskapsorganisatoriske og didaktiske problemer. Utgangspunktet hans var et ønske om å skape enhet i vitenskapen, framfor alt en enhet mellom dens teoretiske og praktiske sider. Han ønsket å tette igjen kløften mellom skolematematikken og universitetsmatematikken, og dette ville han blant annet gjøre ved å innføre differensial- og integralregning i de øverste klassene i skolen, i tillegg til en grunnleggende omstrukturering av hele undervisningen. Her brukte han samme metode som han hadde brukt for å komme fram til sitt "Erlanger Programm", nemlig ved å utvikle hele undervisningen omkring en hovedidé. Denne hovedideen skulle være funksjonsbegrepet (Schubring 1978, s. 140f.).

Klein var ikke fornøyd med måten matematikkfaget ble presentert på i sin samtid. På begynnelsen av 1900-tallet publiserte han flere artikler som var rettet til lærere i matematikk. Her brukte han matematikkens historie til å framstille matematikken, og til å strukturere pedagogikken for læreren. Han framstilte en modifikasjon av tradisjonell pedagogikk med basis i fire punkter, som vi snart skal se. Det viktigste punktet her var historie. Det var en selvfølge for Klein at framstillingen av undervisningsstoffet måtte følge det genetiske prinsipp, så han ga aldri ut noen innføring i sin oppfatning av det genetiske prinsipp. Klein brukte flere av de oppfatningene av det genetiske prinsipp som eksisterte i samtiden, både den psykologisk-genetiske og den historisk-genetiske versjonen. Han støttet seg også til den biogenetiske lov (d.s., s. 142ff.).

I boken "Elementary Mathematics - from an advanced standpoint", forsøker Klein å gi en innføring i aritmetikk, algebra og analyse. Han begynner med å presentere hvordan en skal gå fram for å lære elevene tallene, selve fundamentet for all aritmetikk. I denne anledning sier han:

Måten undervisningen har blitt drevet på dette feltet i Tyskland kan kanskje best beskrives med ordene intuitiv og genetisk, dvs. at hele strukturen er gradvis reist på bakgrunn av kjente, konkrete ting, i sterk kontrast til den vanlige logiske og systematiske metoden ved universitetet (Klein 1945, s. 6).

Han starter med det intuitive og går gradvis videre. Fra tallene går han videre til den lille multiplikasjonstabellen, som han mener at elevene må lære så godt at de kan den i søvne. Videre skal de lære å multiplisere tall med mer enn én desimal. Fra starten av lærer elevene tallene ut fra eksempler og anvendelser fra hverdagen. Klein mener derfor at en ikke bare må snakke om intuitiv og genetisk i opplæringen, men at også anvendelser må ha en sentral plass (d.s., s. 7).

Mange mener at matematikk kan og bør undervises deduktivt, ved at en tar utgangspunkt i bestemte aksiomer og utleder alt fra disse ved hjelp av logikken. Til dette sier Klein:

Denne metoden, som noen ønsker å opprettholde på grunnlag av Euklid, samsvarer helt klart ikke med den historiske utviklingen av matematikken. Likesom et tre, har heller ikke matematikken startet med de minste røttene og bare vokst oppover. Den har heller sendt røttene dypere og dypere samtidig som grenene og bladene har vokst og spredd seg oppover. Akkurat slik … begynte matematikken sin utvikling fra et bestemt utgangspunkt i sammenheng med normal menneskelig forståelse, og fra det utgangspunktet har den utviklet seg etter de kravene vitenskapen selv og de utbredte interessene stilte. Tidvis har utviklingen gått i den ene retningen mot ny kunnskap, og tidvis i den andre retningen gjennom studiet av grunnleggende prinsipper (d.s., s. 15).

Klein mener at oppfatningen av hva som er fundamentale prinsipper hele tiden vil endre seg, og at der ikke fins noen ende, og derfor heller ingen første begynnelse som kan gi en absolutt basis for undervisningen.

Etter å ha gitt en historisk oversikt over utviklingen av logaritmer og eksponentialfunksjoner, uttrykker Klein forbauselse over at denne moderne utviklingen har skjedd

Page 26: Det genetiske prinsipp

uten å ha den minste effekt på undervisningen. Han slår fast at undervisningen og utviklingen av matematikken som vitenskap mistet all kontakt med hverandre fra starten av 1800-tallet. Derfor hevder han at Eulers definisjoner og notasjoner er forblitt malen for skolene, mens universitetene har fulgt med utviklingen i større grad. Derfor blir det ofte slik at det som blir undervist i skolene ikke blir ført videre på universitetene. Samtidig bygger universitetene videre på sitt eget system, mens de møter elevene med den frustrerende og uriktige kommentaren: "Dette har dere hatt på skolen" (d.s., s. 155).

På slutten av boken oppsummerer Klein sitt syn i fire punkter som matematikklæreren bør legge vekt på, og som er forskjellen på hans framstilling og den vanlige framstillingen i lærebøker:

1. Figurer som illustrere abstrakte forhold.2. Vekt på forholdet til beslektede felter.3. Vekt på den historiske utviklingen.4. Eksempler fra populærlitteraturen for å vise forskjellene mellom vanlige folks notasjoner og

den notasjonen erfarne matematikere bruker (d.s., s. 236).

Og han sier at:

Hvis du mangler orientering, hvis du ikke er kjent med de grunnleggende elementene ved matematikken og de viktigste forholdene til de beslektede feltene, eller framfor alt hvis du ikke kjenner den historiske utviklingen, vil du stå på svært ustø grunn (d.s.).

Klein var også redaktør i "Encyklopädie der matematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen" fra 1898. Denne boken ga en av de mest fullstendige framstillingene av matematikken i det 19. århundre, og den inneholder mange historiske fotnoter, slik at leseren lett kan se den historiske tilblivelsen til de ulike emnene.

3.2.7 Benchara Branford.I den tyske tradisjonen har vi nå sett at en tilnærming mellom didaktikk og matematikkens

historie lenge har stått sterkt, men da Branford ga ut sin "A study of Mathematical Education" i 1908 (Den utgaven jeg refererer til er fra 1924), representerte han noe relativt nytt i den engelskspråklige kulturen.

Den biogenetiske lov står sentralt i Branfords arbeid, og jeg skal først se litt på hans oppfatning av denne, og hvordan han bruker den i praksis. I starten av boka presenterer Branford en figur som viser sammenhengen mellom individets utvikling av matematiske ferdigheter og den historiske utviklingen av matematikken (se vedlegg 11.1). Denne figuren gir uttrykk for en tankegang som gjennomsyrer arbeidet hans, og som kommer igjen i synet på læring. Han anså den biogenetiske lov som biologisk teori for å være sann:

Gjennom en lang rekke bevis fra mange vitenskaper kan vi nå praktisk talt se på det som akseptert at individet i sin utvikling rekapitulerer de viktigste utviklingslinjene til menneskeheten - jeg sier her de viktigste, og ikke detaljene. Jeg mener det er anerkjent som sant biologisk blant ekspertene: det ble først oppdaget i biologien og nå ser det også ut til å være sant for mental eller psykisk organisering (Branford 1924, s. 47).

Schubring utdyper Branfords syn på utvikling av kunnskap:

Branford går ut fra at problemet med elevenes utvikling av kunnskap ikke blir løst ved å sette opp et didaktisk prinsipp som den biogenetiske lov. Oppgaven for matematikkdidaktikken stilles derimot først og fremst ved å sammenlikne teoretiske arbeider og lærernes egne erfaringer og undervisningseksperimenter (Schubring 1978, s. 300).

Page 27: Det genetiske prinsipp

Selv om Branford aktivt bruker den biogenetiske lov, så ønsker han likevel ikke å påvise eksistensen av noen nødvendig parallellisme mellom for eksempel utviklingen av geometrisk kunnskap hos menneskeheten og hos individet (Schubring 1978, s. 304 og Branford 1924, s. 327). Målet for Branford er:

… å vise at den mest effektive måten å presentere geometrien for unge ut fra undervisningsmessige formål, både når det gjelder ånd og materie, er den måten som i hovedsak følger den historiske utviklingen av vitenskapen (Branford 1924, s. 327).

I følge Schubring bruker Branford den biogenetiske lov på tre ulike måter:

• som grunnlag for sin oppfatning av begrepsutvikling,• som grunnlag for sin oppfatning av utviklingen av vitenskapen, og• i smalere forstand, som hjelpemiddel i utviklingen av læreplaner (Schubring 1978, s. 305).

Basis for studiene er mange års erfaring som lærer, og Branford har også meninger om lærerrollen. Siden den biogenetiske lov ligger til grunn, blir lærerens rolle å legge opp undervisningen slik at den følger de linjene som blir antydet ut fra menneskehetens utvikling av matematisk erfaring. Lærerens oppgave er å styre unna de feilene som er gjort i historien. Det er derfor viktig at læreren kjenner historien, slik at han kan ta de snarveier og stopp underveis som de mentale særegenhetene til den enkelte elev krever (Branford 1924, s. 244f).

Branford gir mange eksempler fra undervisningen. Blant de første observasjonene han presenterer, er noe mange lærere har erfart i forsøket på å undervise barn i geometri. For det første mener han at barn har en velutviklet evne til å bruke romgeometriske idéer i praktiske situasjoner, samtidig som de har store problemer med å assimilere den formelle bruken av disse begrepene. Deretter ser han nøyere på de idéene om romgeometri som elevene tar med seg fra hverdagen og inn i skolen. På bakgrunn av dette, slår han fast at matematikkens historie er en eneste lang, kontinuerlig utvikling av matematiske begreper. Denne "loven", som han kaller det, bør vi som lærere bruke i praksis når vi skal undervise barn i for eksempel geometri. Vi bør derfor behandle elevene våre som små pionerer i geometri, og vi må behandle deres uferdige definisjoner og utsagn med den respekt og forsiktige kritikk som en bør overfor oppdagere av slike begreper (d.s., s. 11). Elevene bør arbeide seg gjennom matematikken i den historisk riktige rekkefølgen, og starte med grekernes geometri.

Branford mener at eksistensen av matematisk kunnskap er en av de nødvendige forutsetningene for utviklingen av enhver vitenskap og kunst. På samme måten som matematikken har vært med å påvirke utviklingen av de andre vitenskapene, kunst og industri, så har også disse vært med å påvirke utviklingen av matematikken. Matematisk kunnskap har vokst fram under påvirkning fra flere ulike impulser, og Branford deler dem inn slik:

• Praktiske impulser: Til alle tider har behovet for å løse problemer fra hverdagen vært med å utvikle matematisk kunnskap. For eksempel finner vi dette når oldtidens gjetere laget merker i stokken sin for å telle dyrene, slik en ser for seg at telling og tall har blitt til.

• Vitenskapelige impulser: Et eksempel finner vi i den enorme utviklingen av matematisk kunnskap som har kommet som et resultat av astronomien og utviklingen av denne.

• Estetiske impulser: Her finner vi en impuls som gjør at vi ønsker å studere matematikken for dens egen skyld, fordi vi (som matematikere) ser skjønnheten i matematikken, på samme måte som en maler ser skjønnheten i et maleri, og en musiker i et musikkstykke (d.s., s. 221ff.).

Branford går altså ut fra en nær sammenheng mellom den historiske utviklingen av matematikken og individets utvikling av matematisk erfaring. På samme måten som den historiske utviklingen av matematikken er påvirket av ulike faktorer, slik er også individets utvikling av matematiske erfaringer påvirket av ulike ytre og indre faktorer. For det første kan vi se en

Page 28: Det genetiske prinsipp

påvirkning fra det fysiske miljøet menneskene levde i tidligere. Dette finner vi igjen i den tette sammenhengen mellom menneskekroppens anatomi og utviklingen av tallsystemer. Det er ikke tilfeldig at alle nasjoner har 5, 10 eller 20 som basis for tallsystemene sine, 5 når en bruker fingrene på én hånd, 10 når en bruker alle fingrene, og 20 når en bruker både fingre og tær. For det andre har utviklingen av matematiske erfaringer vært påvirket av hva menneskene har beskjeftiget seg med. Fra begynnelsen med jeger- og fangstsamfunnet, har der utviklet seg en mengde yrker, som hver for seg har gitt nye instrumenter til å telle, måle, veie og verdsette ting. Også her finner vi påvirkning fra astronomien og naturvitenskapene. Når det gjelder individets utvikling av matematiske erfaringer, har denne også vært påvirket av indre faktorer. Her finner vi igjen de samme estetiske faktorene som for den historiske utviklingen av matematikken (d.s., s. 229ff.).

Branford lager blant annet en historisk skisse av begynnelsen til aritmetikken, for å se hvordan den kan brukes i undervisningen. Også her følger han prinsippet om en parallellisme mellom utviklingen av individet og utviklingen av menneskeheten. Historikerne må beskrive utviklingen av de ulike vitenskapene og utviklingen av menneskehetens kunnskap i de ulike kulturene. Så må psykologene, lærerne og eventuelt foreldrene være med å finne utviklingen av kunnskap hos barnet, ungdommen og den voksne (d.s., s. 47).

I følge Branford er barnet født med en mengde mentale erfaringer, men det klarer ikke helt å skille ut disse i starten. Barnet har medfødte idéer om mange ulike begreper i matematikken, men disse idéene er ikke perfekte, og det kan de heller aldri bli, mener han. Vi kan aldri få en perfekt oppfatning av noe begrep, siden ordene knytter seg til mange betydninger som er kontekstavhengige (d.s., s. 48).

Som mange psykologer og andre teoretikere senere har gjort, skiller Branford ut utviklingen av aritmetiske idéer og aritmetisk symbolisme i stadier. Han presenterer fem slike stadier, som går fra et obskurt stadie der barnet utvikler en oppfatning av seg selv i forhold til omverdenen, til et avansert stadie, der barna kan utføre generelle aritmetiske operasjoner med tall. Disse stadiene gjentar seg i barnas videre utvikling av algebraiske idéer (d.s., s. 49ff.).

For når en ser på den praktisk talt uforandrete strukturen som den menneskelige hjerne har hatt de siste tusener av år, er det enhver grunn til å tro at de faktorene som har vært gjennomgående viktige for veksten av matematisk kunnskap hos våre forfedre må være svært like, hvis ikke helt identiske, med de hovedfaktorene som ligger som bakgrunn for effektiv matematikkundervisning i barnehage, skole og høgskole (d.s., s. 225).

Med utgangspunkt i dette, oversetter Branford de fundamentale lovene i menneskehetens utvikling av matematikken til individnivå. Han formulerer disse tankene til en slags tese:

Den måten kunnskap og kraft mest effektivt kan utvikles i individet stemmer i grove trekk overens med den måten menneskeheten har utviklet den bestemte typen kunnskap og kraft i historien (d.s., s. 244).

Branford bruker nå den historiske skissen fra starten av boka til å velge ut den mest passende formen som barnet kan assimilere matematikken på (d.s., s. 245).

Helt mot slutten av studien diskuterer Branford forholdet mellom undervisningsprinsipper og praksis:

Jeg mener at alle prinsipper bare representerer noen aspekter ved virkeligheten. Kanskje er det ingenting som er mer ødeleggende for utvikling og suksess i undervisningen enn doktrinære holdninger vedrørende den universelle anvendelsen av noe abstrakt prinsipp eller system av prinsipper, og å konsekvent holde fast ved dette i praksis. Når en ser på og anvender prinsipper slik, blir dette livsødeleggende mekanismer (d.s., s. 345).

3.2.8 Otto Toeplitz Mens Branford rettet seg mest mot skolen og skolens matematikk, rettet Otto Toeplitz

Page 29: Det genetiske prinsipp

(1881-1940) oppmerksomheten mot høgere studier. Selv om Toeplitz aldri skrev noen samlet framstilling av sine synspunkter på matematikkdidaktikken, kan vi klare å rekonstruere dem til en viss grad ved å studere hans bøker og artikler. For å si det enkelt, dreier de seg om forholdet mellom matematikken som vitenskap og som undervisningsobjekt, sett fra en matematikers synspunkt.

Toeplitz mente at forståelsen av et begrep krever formidling av kunnskap (metakunnskap) om dette begrepet. Han framhevet derfor en presentasjon av stoffet i sin begrepsmessige sammenheng, og skilte mellom en direkte og en indirekte genetisk metode, slik Schubring 1988 sier det:

Hvis man går tilbake til begrepenes røtter, vil støvet fra tidens tann falle fra dem, og de vil igjen framstå som levende vesener. Enten kan man føre elevene direkte fram til oppdagelsen i sin fulle dramatikk. På denne måten vil spørsmålsstillingene, begrepene og fakta framstå klart. Dette vil jeg kalle den direkte genetiske metode. Eller man kan selv lære fra en slik historisk analyse hva meningen og kjernen bak hvert begrep er. Man kan så trekke følger for læringen av dette begrepet, følger som ikke vil ha noe med historien å gjøre. Dette vil jeg kalle den indirekte genetiske metode (Schubring 1988, s. 139).

Når en gjør bruk av den indirekte genetiske metode, trenger en ikke undervise i historie. En anvendelse av denne metoden har ikke nødvendigvis noe med historien å gjøre, og Toeplitz var heller ikke interessert i historien som sådan. Det som var interessant for han, og for andre som gjør bruk av denne metoden, var genesen eller tilblivelsen til begrepene. Læreren skulle følge den genetiske veien, på samme måten som menneskeheten gradvis har gått fra det enkle til det sammensatte i historiens løp.

Toeplitz skrev i 1963 en bok om en genetisk tilnærming til analysen - "The Calculus - a genetic approach". I denne boken brukte han metoden for å overvinne problemene som vanligvis dukket opp i kursene i infinitesimalregning. Med boken ville han gi en modell for sin indirekte genetiske metode, der han ville utarbeide det vesentlige i begrepsutviklingen for læreren. Toeplitz rakk aldri å fullføre boken, men i manuskriptene han etterlot seg, dekker han utviklingen av analysen fram til Newton og Leibniz. Boken starter med Zenos paradokser om uendelige størrelser og går via Pytagoras og Euklid gjennom matematikkens historie. Han begynner altså med grekernes begreper om infinitesimale størrelser, og han ender opp med differensial- og integralregning. Den historiske rekkefølgen begrepene dukket opp i blir betydningsfull for undervisningen, og Toeplitz presenterer det bestemte integralet før differensialregningen i boken. Dette begrunnes med at det bestemte integralet ble oppdaget allerede hos grekerne. Bare integrasjonstegnet til Leibniz manglet. Derfor ble det helt naturlig å presentere det bestemte integralet før differensial- og integralregningen, som altså i historien først kom med Newton og Leibniz. Til slutt går han gjennom Keplers lover. Hele tiden bruker han historien til å nærme seg de matematiske teoriene.

3.2.9 En moderne utforming av det genetiske prinsipp.Harold M. Edwards ga i 1977 ut boken "Fermat's Last Theorem - A genetic introduction to

algebraic number theory". Han definerer den genetiske metode som forklaringen eller evalueringen av en ting eller hendelse med hensyn på dens opprinnelse og utvikling, og han forklarer at det er viktig å skille mellom genetisk metode og historie. Historien ønsker å gi en riktig framstilling av de mennesker, idéer og hendelser som har påvirket utviklingen av et emne. Den genetiske metode derimot, har sin hovedinteresse i emnet, og i å forklare eller evaluere det. Historien har sjelden plass for detaljerte beskrivelser av teorien, mens den genetiske metode ikke har plass for inngående studier av hendelser, hvis de ikke medvirker til økt forståelse av emnet (Edwards 1977, s. vi). Den ignorerer blindveier og feilskjær, og tar bare med de tingene som har medvirket positivt til en videre utvikling av teorien.

Edwards refererer til hvordan Otto Toeplitz beskrev metoden:

…essensen i den genetiske metoden er å se til de historiske røttene til en idé for å finne den beste måten å motivere den, å studere konteksten som skaperen av idéen jobbet i for å finne

Page 30: Det genetiske prinsipp

det "brennende spørsmålet" som han søkte å finne svar på (d.s., s. vii).

Dette blir satt opp mot den vanlige metoden, der en ikke tar hensyn til spørsmålene, men bare gir en presentasjon av svarene og de ferdig utviklete teoremene. Edwards har erfart at metoden til Toeplitz er den beste for å overvinne problemer med å lære abstrakte matematiske teorier:

Fra en logisk synsvinkel trenger en bare svarene, men fra en psykologisk synsvinkel er det så vanskelig å lære svarene uten å kjenne spørsmålene, at det er bortimot umulig (d.s., s. vii).

En moderne bruk av den genetiske metode finner vi også beskrevet i den siste ICMI-studien (Fauvel & van Maanen 2000). Kronfellner forklarer her hvordan en kan bruke den indirekte genetiske metode i undervisningen av analyse. Han mener at en ikke skal starte med å definere grense og grenseverdi, men bare bruke en slags intuitiv idé om ubegrenset tilnærming. Denne metoden som han kaller genetisk, eller indirekte genetisk etter Toeplitz, medfører at en ikke trenger nevne historiske detaljer eksplisitt. Den historiske utviklingen fungerer bare som en rettesnor, idet den viser læreren eller lærebokforfatteren veien framover. Ett av poengene er at de aspektene ved et begrep som historisk sett har blitt oppdaget og brukt først sannsynligvis egner seg best i starten av undervisningen. På mange måter blir framgangsmåten som den til Edwards. En starter med de opprinnelige problemene og arbeider seg framover mot de moderne begrepene (Fauvel & van Maanen 2000, s. 71).

Et annet poeng Kronfellner nevner, er at historien forteller oss at utviklingen av de matematiske begrepene har tatt tid. En genetisk tilnærming kan derfor vise læreren at han ikke bør gi elevene for vanskelige matematiske begreper tidlig i undervisningen (d.s., s. 73).

3.2.10 Den norske tradisjonenNoen vil kanskje mene at det er litt søkt å snakke om en norsk tradisjon for det genetiske

prinsipp som undervisningsmetode, i og med at miljøet for matematikkdidaktikk er svært ungt i Norge. Likevel har der kommet noen artikler om det genetiske prinsipp fra det norske forskningsmiljøet, og siden jeg står midt i denne tradisjonen skal jeg ta med litt om dette.

Bekken et al. 1978, s. 32 skiller mellom fire måter å bruke matematikkens historie på i en pedagogisk sammenheng:

1. Å følge historiens utvikling i et kurs i matematikk. Et eksempel her er O. Toeplitz: A genetic approach to Calculus.

2. Å bruke historiske eksempler som en "skattkiste" til å illustrere mer abstrakte emner.3. Å åpne studentenes øyne for at matematikken ikke er en ferdig og størknet teori, men er

under konstant utvikling, ved å fortelle om historiens "kamp" med idéene.4. Å peke på årsaker bak og virkninger av utviklingen av matematiske teorier. Årsakene kan

være å finne både innenfor og utenfor matematikken, og en slik behandling av et emne kan bidra til forståelse av matematikkens natur.

Alle disse punktene går jo ut på å bruke en genetisk tilnærmingsmåte, med vekt på idéenes utvikling, i kurs i matematikk. En slik framgangsmåte har vært brukt i enkelte kurs ved daværende Agder Distriktshøgskole.

I august 1988 var der en internasjonal konferanse i Kristiansand i avslutningen av ICME-6. Denne konferansen ble tilegnet matematikkens historie, og den ble organisert av Otto B. Bekken ved Agder Distriktshøgskole og Bengt Johansson ved Göteborgs Universitet. Resultatet av denne konferansen ble lagt fram i boken "Learn from the Masters", som tar opp flere ulike måter å bruke matematikkens historie i undervisningen. Ingen av artiklene her tar opp det genetiske prinsipp eksplisitt.

Robert P. Burn er riktignok ikke norsk, men som tidligere professor i matematikkdidaktikk ved Høgskolen i Agder hører han på mange måter med i den norske tradisjonen. Han sier:

Page 31: Det genetiske prinsipp

Den "genetiske metode" er å bruke historien til å lokalisere trinn i utviklingen (Burn 1999, s. 7).

Han refererer til Toeplitz definisjon av det genetiske prinsipp, og i likhet med Toeplitz hevder han:

Siden den genetiske metode avhenger av inngående historisk skolering, er den ikke selv studiet av historien. For den er selektiv i utvelgelsen fra historien, og den bruker moderne symboler og terminologi (d.s., s. 8).

Tone Bulien tar opp ulike måter å bruke historien når en skal undervise i algebra. Hun diskuterer hvordan en kan undervise i algebra ved å bruke den biogenetiske lov, og ved å bruke den genetiske metode. Branford blir trukket fram som den viktigste talsmannen for en sammenlikning av den historiske utviklingen av matematikken og elevenes muligheter til forståelse i matematikk. Hun viser også til Klein og Pólya som representanter for slike tanker. Når det gjelder den genetiske metode, viser hun til Toeplitz. Dette blir en del av bakgrunnen for hennes egen studie, der hun bruker historiske problemer i undervisningen av studenter som tar lærerutdanning. Som en oppsummering sier hun:

…der er mange måter å bruke matematikkens historie i klasserommet; historien er selv en rik kilde til problemer og fortellinger. Når en ser etter de ulike formene for matematiske uttrykk kan en finne kilder til en genetisk tilnærming, eller til og med i noen tilfeller til at ontogenesen rekapitulerer phylogenesen, selv om det motsatte ble slått fast i det oppgavesettet som ble presentert for lærerskolestudentene (Bulien 2000, s. 79).

Endelig gir Otto B. Bekken en presentasjon av det genetiske prinsipp i en artikkel om algebraens utvikling. Han sier:

For meg sto den genetiske metoden sentralt idet jeg i min undervisning over nesten 20 år flere ganger hadde merket meg at idéer, begreper og metoder som studentene hadde problemer med, ofte hadde vært problematiske å utvikle også i historiens løp (Bekken 2000, s. 85).

Han viser så til den rike litteraturen om disse teoriene, med utgangspunkt i Schubring 1978. Her trekker Bekken også fram Vygotsky som en mer ukjent eksponent for det genetiske prinsipp. Som veiledning for undervisning, hevder Bekken:

I vår undervisning bør vi altså arbeide for å få fram sammenhenger mellom den historiske genesis, den kognitive/psykologiske genesis og den logiske genesis av matematiske idéer (d.s., s. 86).

3.3 Kritikk av det genetiske prinsippSom vi har sett, er det genetiske prinsipp i sin videste forstand et svært sammensatt begrep.

Senere skal vi se på andre sider ved en genetisk tilnærming, men når vi nå snakker om det genetiske prinsipp, mener vi dette som undervisningsprinsipp, slik vi har sett at det har utviklet seg i historien, og slik det endelig ble utformet av Klein, Branford og Toeplitz. Det er kritikken av dette prinsippet vi skal ta for oss her. Toeplitz forklarte det genetiske prinsipp slik:

Når det gjelder alle disse grunnleggende emnene i infinitesimalregningen som vi i dag underviser som kanoniske rekvisitter, for eksempel middelverdi teoremet, Taylor-rekker, konvergensbegrepet, det bestemte integralet, og selve differentialkvotienten, så blir spørsmålet aldri stilt om: "Hvorfor er det slik?" eller "Hvordan kommer en fram til dem?" Likevel må alle disse emnene en gang ha vært målet for en intens jakt, svar på brennende

Page 32: Det genetiske prinsipp

spørsmål, nemlig på den tiden da de ble skapt. Hvis vi gikk tilbake til røttene til disse idéene, ville de miste den livløse framtoningen av kjedelige fakta, og i stedet bli friske og levende igjen (sitert i Furinghetti & Radford 2000, s. 15).

3.3.1 Den historiske kritikkenSchubring 1978 er en av pilarene i denne oppgaven, og slik er det ofte i artikler og større

arbeider om det genetiske prinsipp. Schubring skiller særlig mellom det historisk-genetiske og det psykologisk-genetiske, og han hevder at det historisk-genetiske prinsipp er blitt spesielt kritisert. Mesteparten av denne kritikken kom fra didaktikere, ofte "fra barnets vinkel". De betvilte at det var mulig å lære fra historien, og at vitenskapshistorien kunne tjene som kilde til utvikling av individet. På 1950-tallet var Schwager en av kritikerne:

Det er alltid voksne som er bærere av historiens gang. For et barn er det derfor altfor vanskelig å få en full forståelse for dens problematikk. Dessuten måtte eleven da ha levd under de samme ytre og indre forhold som menneskehetens ånd har "utfoldet" seg i. I stedet forblir han bundet av nåtiden og tilpasser seg dagens forhold (sitert i Schubring 1978, s. 189).

Schwager mente også at de tidligere utviklingstrinnene i historien slett ikke var noe enklere å forstå enn de samtidige.

Schubring nevner også Lietzmann, Klafki og Freudenthal som andre kritikere av det historisk-genetiske prinsipp. De mente at en ikke måtte ta utgangspunkt i historien, men i elevene selv. Perspektivet til pedagogikken og didaktikken må være elevenes hverdagserfaringer. Også Freudenthal stilte seg kritisk til om matematikkens historie kunne være didaktisk interessant i forhold til begrepsutviklingen i matematikk (d.s., s. 189f.).

3.3.2 Den moderne kritikkenVi skal nå se litt nærmere på noen av dagens kritikere av det genetiske prinsipp i

matematikkdidaktikken. Mange mener at matematikken bør presenteres i en kulturell og historisk kontekst. En matematikk som er helt løst fra sine røtter og sin kultur er blitt kalt for "fast-food matematikk" (se Dennis 2000, s. 802). Én av de mulige medisinene mot en slik "fast-food matematikk" kan være å bruke det genetiske prinsipp.

Furinghetti & Radford 2000 viser til at det genetiske prinsipp ble endelig utformet av Toeplitz, og de sier videre at det er langt fra tilfeldig at det var innenfor analysen dette prinsippet ble tatt i bruk først:

…det er på dette området at oppfatningen av at læring i matematikk skjer i en følge som er forutbestemt av matematisk logikk, har vist sine pedagogiske begrensninger (Furinghetti & Radford 2000, s. 15).

De beskriver metoden til Toeplitz som realistisk, og som et kompromiss mellom den logiske og den utviklingsbaserte veien. Historien blir en kilde til å finne undervisningssekvenser. Historiens rolle blir å skaffe materiale for å utvikle matematisk intuisjon, og presentasjonen er ikke knyttet til rekapitulasjonistiske tanker, slik vi skal se i forhold til den biogenetiske lov (d.s., s. 15f.).

Det er ikke så lett å finne fram til moderne kritikk av det genetiske prinsipp som didaktisk metode. Når en tror en har funnet slik kritikk, viser det seg som regel at kritikken er rettet mot den biogenetiske lov eller andre oppfatninger. En annen måte å se det på, er å si at den genetiske metode er å bruke historien til å finne utviklingstrinn (Burn 1999, s. 7). En slik bruk av historien er selvsagt ikke "historisk", noe også Toeplitz selv sier klart:

Det handler ikke om historie, men snarere om tilblivelsen til problemene, løsningene og bevisene, og om de avgjørende vendepunktene i denne tilblivelsen (sitert i Mosvold 2001).

Page 33: Det genetiske prinsipp

Skal en klare å finne slike utviklingstrinn, må en gjøre forenklinger og generaliseringer. En må med andre ord fjerne seg fra historien, med alle sine feilslutninger og irrganger. Dermed presenterer en i virkeligheten historien fra et falskt perspektiv, og vi kan ikke lenger snakke om historie i vanlig forstand (se Edwards 1977, s. vi).

Som nevnt i 3.2.9 refererer Kronfellner til den indirekte genetiske metode, slik Toeplitz presenterte den, og han sier at denne metoden viser læreren veien framover:

…de aspektene ved et begrep som har blitt historisk gjenkjent og brukt før andre, er trolig mer passende for starten av undervisningen enn moderne deduktive gjenformuleringer (Kronfellner i Fauvel & van Maanen 2000, s. 71).

Til tross for at den indirekte genetiske metode har mange fordeler, mener han at der også er knyttet noen begrensninger og farer til den. Den kan være mer tidkrevende enn vanlig, mer formal undervisning, og læreren kan oppfatte den som kronglete og vidløftig. En må også huske på at der er stor forskjell på tidligere tiders matematikere og dagens elever. De færreste av dagens skoleelever vil reagere på mangel på stringens, slik matematikere gjør og gjorde i historien. På den andre siden er det en fare for at lærere som underviser etter den indirekte genetiske metode undervurderer fordelene ved den nøyaktige moderne notasjonen. En lærer må ta disse momentene i betraktning, samtidig som han må overbevise seg selv om at den ekstra tiden han bruker ved å undervise etter denne metoden virkelig er fruktbar (d.s., s. 73f.).

Mange synes å være positivt innstilt til prinsippene bak den genetiske metode (se for eksempel Burn 1999, Furinghetti & Radford 2000, Selter 1997 og Steiner 1988), og mange lærere opplever å se paralleller til historien i undervisningen av matematikk. Det kan også se ut til at lærere som har kunnskaper i matematikkens historie ofte opplever dette som en styrke i sin undervisning. Likevel merker vi ofte en negativ innstilling til det genetiske prinsipp, og det kan mange ganger virke som at dette i bunn og grunn beror på en litt feil oppfatning av selve begrepet. Vi skal derfor la kritikken av det genetiske prinsipp ligge inntil videre, og heller konsentrere oss om ulike andre aspekter ved det genetiske.

Page 34: Det genetiske prinsipp

4 Den biogenetiske lov og genetisk analyse i psykologien Den såkalte biogenetiske lov og det genetiske prinsipp blir ofte betraktet som noe bortimot identiske, selv om noen betrakter den første som bakgrunn for den andre. Mange har hørt om den biogenetiske lov, og enda flere har hørt om evolusjon.

4.1 "Ontogenesen rekapitulerer phylogenesen"Denne loven knyttes som regel til Haeckel. Som mange andre "nyere" vitenskapelige tanker,

har også disse tankene eksistert tidligere, og de har hatt mange forløpere. Ikke alle vet at dikteren Goethe og de tyske naturfilosofene, er forløpere for Haeckel. I ett av sine viktigste verk, "Generelle Morphologie" (1866), siterer Haeckel Goethe på tittelsiden:

Det er et evig liv, en evig tilblivelse og bevegelse i dem. De forvandler seg alltid, og der fins ikke ett øyeblikk av stillstand i dem. De har ingen begreper om det som er, og deres besvergelser har de kastet på det som står stille. De er fanget, deres trinn er oppmålt og deres lover uforanderlige (sitert i Gould 1977, s. 76).

4.1.1 Ernst Haeckel Ernst Heinrich Philip August Haeckel ble født i 1834 i Potsdam i Tyskland, og han døde i

Jena i 1919. Han studerte medisin ved universitetet i Berlin, men han var også interessert i biologi, antropologi, psykologi og kosmologi. I 1862 ble han professor i zoologi ved universitetet i Jena, og der ble han fram til 1909.

Haeckel leste Darwins "Artenes opprinnelse" i 1860, og dette verket fikk en avgjørende innflytelse på hans videre arbeid. Han så også på Goethe og Lamarck som Darwins likestilte i utviklingen av evolusjonsteorien. Som et synlig tegn på dette, ble "Generelle Morphologie der Organismen" dedikert til "Den Begründern der Descendenz-Theorie, den denkenden Naturforschern, Charles Darwin, Wolfgang Goethe, Jean Lamarck" (Haeckel 1866).

Som et resultat av sin forskning i naturlig taksonomi og sammenlignende embryologi, formulerte han sin fundamentale lov. Utviklingen av en organisme reflekterer den biologiske evolusjonen, ontogenesen rekapitulerer phylogenesen, som Haeckel formulerte det. Han mente faktisk at phylogenesen var den mekaniske årsaken for ontogenesen, og:

Sammenhengen mellom dem er ikke av en ytre eller overflatisk natur, men av en indre, dyptpløyende og kausal natur (sitert i Gould 1977, s. 78).

Selv om Haeckel regnes som opphavsmannen til den biogenetiske lov, var det flere i hans samtid som skrev om slike tanker. Cope og Hyatt publiserte uavhengige verk om rekapitulasjon i 1866, samme året som Haeckel ga ut sin "Generelle Morphologie der Organismen", hvor den biogenetiske lov ble uttrykt. I ettertiden er det Haeckel som er blitt husket best.

Haeckels tanker fikk stor innflytelse på flere ulike felt, slik Nordenskiöld skrev:

Det er ikke så mange personligheter som så kraftig har påvirket utviklingen av menneskenes kultur - og det også på mange ulike områder - som Haeckel (sitert i Gould 1977, s. 77).

Fra 1880-årene hadde hans biologiske idéer politiske, sosiale og religiøse implikasjoner.

4.1.2 Utviklingen av den biogenetiske lov, og dens innflytelseTanker om evolusjon kan vi spore et par tusen år tilbake i tid. De gjennomgår en lang

utvikling fra de greske filosofene fram til Haeckels mer direkte forløpere. Vi skal her gå mer inn på den innflytelsen disse tankene hadde på ulike områder. Conklin beskrev dette slik i 1928:

Page 35: Det genetiske prinsipp

Her var en metode som lovet å avsløre viktigere hemmeligheter fra fortiden enn om en hadde gravd opp alle monumenter fra antikken. Den ville faktisk gi intet mindre enn et komplett slektstre av alle ulike former for liv på jorda. Den lovet ikke bare å avsløre menneskenes slektskap med dyrene og linjene i deres avstamming, men også opprinnelsen til alle deres mentale, sosiale og etiske evner (sitert i Gould 1977, s. 116).

I Goulds eget forskningsfelt, paleontologien, ble Haeckels biogenetiske lov brukt flittig, men Gould trekker fram fem andre områder som ble sterkt påvirket av Haeckels tanker. Vi skal her ta opp to av dem: "child development" og "primary education", med diverse tilknytninger til læring og undervisning.

G. Stanley Hall og andre som forsket på barns utvikling, mente at frykt og lek var eksempler på typer atferd hos barn som gjenspeilet tidligere utviklingstrinn. Et eksempel på dette er barns frykt for vann, som i følge Hall kan forklares med reptile forfedre som gikk opp av vannet, og som var redde for å vende tilbake (d.s., s. 139). En liknende forklaring hadde en på barns lek:

Det som en gang var seriøse sysler for voksne, blir i de mer avanserte stadiene i kulturen til barns lek (d.s., s. 140).

Hall og andre mente at læreplanene i skolen måtte tilpasses den historiske utviklingen av menneskelige kulturer, og at barna måtte gjenoppleve disse i undervisningen. Herbert Spencer uttrykte seg slik:

Hvis der fins en rekkefølge i menneskehetens mestring av dets ulike typer kunnskap, vil der hos alle barn vokse fram en evne til å oppnå disse typene kunnskap i den samme rekkefølgen … Utdanningen burde være en gjentakelse av sivilisasjonen i mindre målestokk (sitert i Gould 1977, s. 148).

Både Pestalozzi, Froebel og Herbart forsvarte en vagt definert oppfatning av rekapitulasjon, selv om de utviklet sine teorier før Haeckels biogenetiske lov. Etter Haeckel fikk disse tankene enda sterkere fotfeste. Både i Tyskland og Amerika fulgte en disse prinsippene i skolen, både i historie, litteratur og andre fag. De som støttet bruk av rekapitulasjon i læreplanene, brukte alltid den embryologiske analogien i argumentasjonen, slik De Garmo gjorde i 1895:

På samme måte som fostere til et av de høyerestående dyrene helt klart gjennomlever de grunnleggende utviklingsstadiene som viser seg gjennom de laverestående artene, så gjennomlever barnet i sin mentale utvikling alle de store kulturepokene som har markert utviklingen til menneskeheten, om enn i noe mindre målestokk … Vi liker å tenke på utdanning som prosessen der hvert individ realiserer erfaringene fra menneskeheten, men vi har ikke lagt vekt på at den beste måten barnet kan få sine erfaringer er i samme rekkefølgen som menneskeheten gjorde dem (sitert i Gould 1977, s. 149).

Læreplaner som bygde på rekapitulasjonsteorier overlevde ikke lenge i det 20. århundre. Noen visste allerede tidlig at den biogenetiske lov ble angrepet i biologien, som Bovet sier:

Rekapitulasjonsteorien har blitt utsatt for livlige angrep på biologiens område, og de som baserer arbeidene sine på den i de mentale vitenskapene bør spørre seg selv om de bygger på utrygg grunn (d.s., s. 153).

Andre mente at dette ikke hadde noen betydning for undervisningsformål og at læreplanen ikke trengte å følge en parallell til menneskehetens kulturelle utvikling, selv om barns utvikling i noen tilfeller gjorde det (d.s.). Likevel mener Gould at tankene om rekapitulasjon stadig øver innflytelse på undervisningen i de laveste klassetrinnene, mye takket være teoriene til John Dewey. Dewey hadde følgende oppfatning av sammenhengen:

Med tanke på undervisning, skal ikke barna ledes gjennom fortidens epoker, men heller

Page 36: Det genetiske prinsipp

ledes av dem for å løse opp dagens sammensatte kultur i enklere faktorer, og for å forstå de kreftene som har ført oss dit vi er i dag (d.s., s. 154).

4.1.3 Anvendelser av den biogenetiske lov i (matematikk-) didaktikkenPólya stiller spørsmål om hvordan den biogenetiske lov kan brukes når det gjelder mental

utvikling, og videre hvordan barnets mentale utvikling er i parallell med menneskehetens mentale utvikling. Han kommer ikke med noen svar på disse spørsmålene, men han håper at han ved å stille dem kan provosere fram nyttig forskning på området. Pólya henviser til Haeckels biogenetiske lov, men han tar ikke standpunkt til om denne er riktig, eller hvorvidt den blir godtatt av biologer eller ei (Pólya 1962, s. 354f.).

For omkring hundre år siden var det mange som henviste til den biogenetiske lov. Branford laget en tabell som viste parallellene ved barnets utvikling av matematisk kunnskap og den historiske utviklingen av kunnskapen, og Poincaré gjorde eksplisitt bruk av den biogenetiske lov, som han mente burde brukes som rettesnor for læreren (Poincaré 1908, s. 25).

Klein sier i forsøket på å forklare sitt eget syn på hvordan en bør bruke historien i skolen:

…Jeg ønsker å legge fram den fundamentale biogenetiske lov, hvor individet i sin utvikling gjennomgår alle trinnene i artenes utvikling i en forkortet rekkefølge … Nå mener jeg at undervisning i matematikk som i alt annet, burde følge denne loven, i det minste i utgangspunktet … undervisningen burde lede den gradvis høyere, og til slutt til abstrakte formuleringer. Ved å gjøre dette skulle den følge den samme veien som menneskeheten har fulgt i sin streven fra naive og grunnleggende til høyere former for kunnskap (Klein 1945, s. 268).

Klein hevder at det er nødvendig å trekke fram dette prinsippet ofte, fordi der stadig er mange som begynner undervisningen med de mest generelle begrepene. Han sier videre:

En viktig hindring for spredningen av en slik naturlig og i sannhet vitenskapelig undervisningsmetode, er den mangelen på historisk kunnskap som så ofte kommer til syne (d.s.).

4.1.4 Kritikk av den biogenetiske lovHaeckels arbeid ble understøttet av illustrative plansjer av menneskefosterets utvikling og parallellene med den historiske utviklingen av alle levende organismer. Disse plansjene ble senere avslørt som forfalskninger, og den biogenetiske lov som biologisk teori har blitt (endelig) stemplet som uriktig. Likevel blir plansjen brukt (se bl.a. New Scientist, 9/6/97, s. 23)

Den kjente evolusjonisten Stephen Jay Gould sier at han ble fascinert av at skolen hans underviste i Haeckels doktriner mer enn femti år etter at vitenskapen hadde forkastet dem (Gould 1977, s. 1). Ved arbeidet til Hall i 1904 nådde rekapitulasjonstanken toppen av sin innflytelse på felter utenfor biologien. Omkring ti år senere kollapset den på hjemmebane, da både embryologien og anatomien ga den nådestøt. Barnepsykologen Davidson sa det slik:

I den senere tid har en hørt foruroligende rykter fra dens grunnleggende kilder om at prinsippet ble formulert uten nødvendig dekning, og at en ikke engang kan stole på det som en nyttig hypotese (sitert i Gould 1977, s. 143).

Page 37: Det genetiske prinsipp

Når vi kritiserer den biogenetiske lov, er det viktig å være klar over at der fins ulike grader av rekapitulasjon. Gestaltpsykologen Koffka delte dem inn i tre. På den ene siden har vi Haeckels kategoriske rekapitulasjonstanke, som sier at phylogenesen er den mekaniske årsaken til ontogenesen. Deretter har vi Thorndikes "utility"-teori. Dette er en darwinistisk teori som sier at barns utviklingsstadier blir valgt ut fra sin nytteverdi. For det tredje har vi en mer moderat teori om parallellisme, slik blant andre Piaget sto for. Gould forklarer dette synet slik:

Phylogenesen og ontogenesen har ingen direkte innflytelse på hverandre …; hver av dem følger i grove trekk samme vei, fordi det er den eneste mulige veien (Gould 1977, s. 144).

Piaget tror på en parallellisme mellom ontogenesen og phylogenesen, men han fornekter Haeckels rekapitulasjon som deres mekanisme. Gould slår fast at Haeckels kausale forklaring av parallellene må være feil. Likevel var ikke Piaget helt negativ til den biogenetiske lov som generell proposisjon. Han nektet bare for at den var relevant for psykologien (d.s., s. 146).

Rogers gir en oversikt over hvordan den biogenetiske lov har blitt brukt i matematikkdidaktikken, psykologien og epistemologien. Han bruker ikke mye energi på å kritisere den biogenetiske lov, da det er underliggende at denne allerede er endelig motbevist. Hovedpunktet i Rogers kritikk blir derimot uttrykt slik:

Feilen ved å hevde en slags "parallellisme" mellom vanskene hos dagens elever og de vanskene en tilsynelatende hadde i fortiden, er en konsekvens av to forhold; å hevde at en bestemt moderne idé er "lik" en tilsvarende idé fra fortiden, og å neglisjere den prosessen av tolkning og gjentolkning, lokalisert i en rekke ulike sosiokulturelle sammenhenger, som har funnet sted fra den gang til nå (Rogers 2000a, s. 236).

Nettopp en slik historie-kritisk holdning er ett av hovedpoengene i Rogers kritikk. Som mange hermeneutikere, mener han at vi ikke fullt ut kan forstå historien og historiske begreper, og at enhver oppfatning av disse bare må bli tolkninger.

Wood kommer inn på et liknende poeng når han siterer H.G. Steiner, som sier at vi ikke har forstått fortiden godt nok til at elevene får sjansen til å rekapitulere denne (Wood 1992, s. 5). I sin doktoravhandling hevder Wood at der eksisterer paralleller mellom den historiske utviklingen av begrepene grense, tall, uendelighet og funksjon og studentenes utvikling i et grunnleggende kurs i analyse på universitetsnivå. Han setter opp hvilke paralleller han kunne påvise, og hvilke områder han ikke kunne påvise noen paralleller mellom den historiske og den individuelle utviklingen. Wood fant omtrent dobbelt så mange områder hvor der eksisterte paralleller, som for eksempel overgangen fra en oppfatning av en kontinuerlig funksjon som representert ved en ubrutt kurve, til en algebraisk definisjon av kontinuitet (d.s., s. 253ff.). Han oppsummerer med at:

Derfor indikerer studien flere paralleller mellom studenters utvikling og den historiske utviklingen. Den antyder nytten av en historisk studie av matematisk analyse; både for forståelsen av begrepene dagens studenter måtte ha, og for utviklingen av mer effektive undervisningsmetoder (d.s., s. 256f.).

En annen kritiker av den biogenetiske lov er Robert P. Burn. Problemet med å gjøre sammenlikninger mellom den historiske og den individuelle utviklingen i matematikk, er at begge disse er sammensatte begreper som er i stadig forandring. Der fins ikke to like individer, og heller ikke to like generasjoner. Historien er ikke fast bestemt, selv ikke fra en historikers synspunkt. Likevel mener ikke Burn at det er bortkastet å være interessert i den biogenetiske lov. En må bare være klar over at dette slett ikke er en lov, men heller, som han sier:

Den er en pekepinn for læreren, som er klar over et pedagogisk problem, og den gir et forslag til hvor han kan lete etter hjelp (Burn 2000, s. 4).

Som Wood 1992 og Burn 1993 viser, finnes klare parallellismer innenfor enkelte områder,

Page 38: Det genetiske prinsipp

og da særlig på universitetsnivå. Dermed blir det stadig interessant å sammenlikne historien med studenters utvikling, for å belyse læringen av matematikk. Wood hevder at hans studie gir noen antakelser, som bare kan bevises gjennom longitudinelle studier der en følger de samme studentene gjennom et helt universitetskurs (Wood 1992, s. 253). Her åpnes altså for større studier som kan påvise flere slike paralleller mellom den historiske og den individuelle utviklingen av matematikkforståelse.

4.2 Piagets genetiske epistemologiSpørsmålene om hva kunnskap er og hvordan den oppstår er to grunnleggende spørsmål i

epistemologien. Noe forenklet kan vi si at Piagets svar på dette er at kunnskapen oppstår gjennom handling. Fra spørsmål omkring kunnskap blir vi så ført inn på spørsmål omkring forståelse. En operasjon er en handling som fører til forståelse, og Piaget kaller en slik forståelse for operasjonell forståelse. Piaget utviklet en omfattende epistemologi, der skjema, eller kunnskapsstruktur er et sentralt begrep (se Jahr 1998b, s. 103f.). I et foredrag ved Columbia University i 1968, forklarte Piaget selv: Genetisk epistemologi ønsker å forklare vitenskapelig kunnskap på grunnlag av historien. Epistemologi blir for mange et studium av kunnskapen slik den er nå. Men den vitenskapelige kunnskapen er under konstant utvikling, og den forandres fra den ene dagen til den neste. Vitenskapelig tenkning er en prosess med kontinuerlig konstruksjon og reorganisering. Derfor blir det også interessant for epistemologien å studere begrepenes tilblivelse.

4.2.1 Jean Piaget Piaget ble født i 1896 og han døde i 1980. Han vokste opp i Neuchâtel, i den fransktalende

delen av Sveits, og det var der han så smått startet sine biologiske studier. Den tverrfaglige interessen førte ham også inn i filosofi og psykologi, og han gjorde seg blant annet kjent med Freuds psykoanalyse.

Etter hvert slo Piaget seg ned i Geneve, og det var her han skapte sitt berømte forskningssenter. Navnet "Centre International d'Epistémologie Génétique", avspeiler Piagets forskningsprogram (se bla. Imsen 1998, Sjøberg 1998).

Målet for forskningen hans var å finne fram til kunnskapens struktur. Utviklingen av kunnskap kan i følge Piaget studeres på to ulike måter. For det første kan en se på det i et historisk og kollektivt perspektiv, og for det andre kan en studere utviklingen hos det enkelte individ gjennom oppveksten. Her forener han altså det vitenskapsteoretiske og det læringspsykologiske perspektiv.

I starten arbeidet han en del med intelligenstester sammen med Binet. For Piaget ble det mer interessant å finne ut hva som lå bak de feilene barna gjorde. Metoden han brukte i forskningen var "det kliniske intervju", en metode som var inspirert av psykoanalysen. Størstedelen av forskningen hans tar for seg barns konstruksjon av kunnskap på mikronivået. Mot slutten av sitt aktive forskerliv benyttet han seg av den andre tilnærmingsmåten, i det han studerte vitenskapens historiske utvikling.

Piaget er utvilsomt en av de største teoretikerne innenfor moderne pedagogikk og psykologi. Helt naturlig forandret han mening på flere punkter i løpet av de nærmere seksti årene han var aktiv. For å forstå teoriene bedre skal vi her se litt nærmere på utviklingen av Piagets genetiske epistemologi.

Da Piaget og Garcia i 1983 ga ut den franske versjonen av framstillingen av genetisk epistemologi (den engelske oversettelsen kom i 1989), var dette det tredje forsøket på en slik samlende framstilling. Allerede i 1950 skrev Piaget "Introduction a l'épistémologie génétique", som var hans første forsøk på en syntese av flere års forskning. Elleve år senere kom en ny framstilling, som han skrev sammen med logikeren Evert W. Beth. Den engelske versjonen av denne kom i 1966.

Piaget og Garcia blir ofte beskyldt for å lage en slags modifisering av den biogenetiske lov. Dette blir litt rart når Inhelder allerede i forordet skriver at forfatterne ikke hadde som mål å foreslå en rekapitulasjon av phylogenesen i ontogenesen, og heller ikke å demonstrere at der eksisterte

Page 39: Det genetiske prinsipp

analogier i stadiene (Piaget & Garcia 1989, s. x). De ønsket derimot å se om de mekanismene som medierte overgangen fra en historisk periode til den neste, er analoge med de som medierte overgangen fra et stadie i utviklingen til et annet. Essensen i studiet ble rettet mot hvorfor menneskelig tenkning gjennomgår en trinnvis utvikling, som vi også ser i de ulike historiske epokene. Senere i boken sier de til og med at de bare i ett eneste tilfelle, nemlig i utviklingen av fysikken fra Aristoteles til Newton, klarte å etablere en slik parallellisme. De mener også at det er absurd å generalisere denne typen parallellisme av innhold når det gjelder vitenskapelig teori generelt (Piaget & Garcia 1989, s. 26).

Her må vi tydeligvis se litt nærmere på hva Piaget virkelig mente med sin genetiske epistemologi, og hva det er kritikerne egentlig retter kritikken mot. Ett eller annet sted ser det ut til å foreligge en aldri så liten misforståelse. Et lite innblikk i hva det egentlig var Piaget forsøkte å gjøre, kan vi finne i en diskusjon med språkforskeren Noam Chomsky og andre teoretikere, utgitt av Piattelli-Palmarini i 1980, som vi skal komme tilbake til.

4.2.2 Piagets generelle psykologiske teorierPiaget forsøkte altså å beskrive hvordan mennesket konstruerer kunnskap, og han beskrev

dette med utgangspunkt i sin stadieteori. Barn gjennomgår en kognitiv utvikling i oppveksten, og de ulike alderstrinnene har ulike kjennetegn. Piaget satte opp en oversikt over fire utviklingsstadier. Hvert stadie bygger på det forrige, samtidig som det danner grunnlaget for det neste. Barn går ikke gjennom stadiene på samme alder, men alle barn må i følge Piaget gjennom disse stadiene. De ulike skjemaene som styrer handlingene, er et slags handlingsmønster, og de kognitive skjemaene fungerer som basis for mentale handlinger. Flere beslektede skjemaer danner en kognitiv struktur.

Hver gang vi står over for en ny og ukjent situasjon, forsøker vi å tilpasse eller forklare denne ut fra de kunnskapene vi allerede har. Denne prosessen kalte Piaget for assimilasjon. Når sola går ned i sjøen, kan en tenke at sola går og legger seg. Dette kan passe inn i barnas kunnskapshorisont. En dag kommer barna til et punkt der de gamle forklaringsmønstrene ikke passer lenger, og da oppstår en konflikt. Barna lærer på skolen at det er jordas dreining som skaper illusjonen om at sola "går ned". De må da reorganisere de gamle skjemaene, eller danne seg nye, i en prosess som Piaget kaller for akkommodasjon. Når der dannes nye skjemaer, eller når de gamle blir organisert på en annen måte, sier vi at barnet har lært noe.

Drivkraften for denne prosessen er ønsket om likevekt. Barn, og voksne, opplever ofte ting eller fenomener som de ikke forstår. Piaget mente at ønsket om likevekt er en medfødt prosess, og den er selvregulerende. Når der oppstår en ubalanse setter vi i gang en omstrukturering av kunnskapen som er nødvendig for læring.

Disse prosessene som vi nå har beskrevet, virker hele tiden når barn opplever noe nytt. De virker også som mekanismer mellom de ulike stadiene i barnas utvikling. Når barna når det formal-operasjonelle stadiet, klarer de å manipulere idéer. Disse formale operasjonene muliggjør vitenskapelig tenkning (Imsen 1998, s. 89ff.).

4.2.3 Utviklingen av teorien for genetisk epistemologiMange tror nok at det var Piaget som lanserte begrepet genetisk epistemologi. Langer 1988

hevder at J.M. Baldwin i 1915 var den første som trakk fram dette begrepet. Baldwin hadde likevel en litt annen oppfatning enn Piaget:

…for Baldwin var genetisk epistemologi studiet av hvordan tenkning eller erfaring assisterer virkeligheten ved å sammenlikne de progressive stadiene i tenkningen som utvikler seg i ontogenesen og etnogenesen, ved å konstruere en naturlig historie av selve tolkningen (Langer 1988, s. 70).

Videre hevdet Baldwin at den indre organiseringen av tanker og verdier i menneskelig ontogenese har paralleller med utviklingen av disse i etnogenesen. Likevel mente han at det var ontogenesen som påvirket etnogenesen, i motsetning til hva blant andre Vygotsky hevdet.

Page 40: Det genetiske prinsipp

Uansett hva de må ha vært uenige om når det gjelder årsakene til komparativ kognitiv utvikling, så deler Baldwin og Vygotsky - og for så vidt også Freud - en felles sentral antakelse. Forskjeller er minst like viktige som likheter for teori og forskning på komparativ mental utvikling. Faktisk kan forskjellene være viktigere enn likhetene (d.s.).

På mange måter kan det altså se ut til at Baldwin var en forløper for Piaget. Han presenterte tidlig en omfattende teori for genetisk psykologi, der han sammenliknet barnets psykologiske utvikling med menneskehetens. Han presenterte også ulike stadier i denne utviklingen. Baldwin delte den menneskelige ontogenesen inn i tre ulike stadier: det prelogiske, det logiske og det hyperlogiske stadiet. På samme måte delte han etnogenesen inn i tilsvarende stadier:

På det prelogiske stadiet er gruppens tolkende handlingsmønster mystisk, og det tar mytiske og religiøse former. På det logiske stadiet er handlingsmønsteret spekulativt, og det tar vitenskapelige og kritiske former. På det hyperlogiske stadiet blir det tolkende handlingsmønsteret transformert til "estetisk kontemplasjon", og det tar form av avansert filosofisk teori (Langer 1988, s. 71).

Den genetiske idéen var viktig for Baldwin. Han trodde ikke mennesket var en statisk og

ferdig utviklet organisme, men at det var aktivt og i stadig utvikling. Ved hjelp av den genetiske idéen kunne psykologien forklare og analysere, i stedet for bare å beskrive (Baldwin 1895, s. 3).

Piaget var på ingen måte uvitende om Baldwin og hans arbeider. Han sier at disse arbeidene viser at Baldwin var klar over konsekvensene som en nøyere studie av den kognitive utviklingen ville gi. Likevel mener han at Baldwins presentasjon var for abstrakt til å ha noen virkelig innflytelse (Piaget 1997, s. 11).

Piaget var altså ikke den første som presenterte en genetisk epistemologi, og det kan se ut som at han heller ikke var den første som presenterte en psykologisk versjon av den biogenetiske lov. Baldwin bygget sine teorier på tanker om evolusjon, slik blant andre Darwin presenterte dem, og han benyttet seg helt klart av den biogenetiske lov i arbeidene sine:

Biologistudenter syns argumentet for organisk evolusjon er særlig sterkt med tanke på analogien mellom utviklingen av menneskeheten og individets utvikling. Fosteret til det enkelte individ passerer gjennom stadier som til en viss grad representerer morfologisk de stadiene vi faktisk finner i utviklingen til våre forfedre blant dyrene. Når vi undersøker bevisstheten finner vi en annen analogi som virker sann, siden vi finner flere og flere utviklete stadier av bevissthetsfunksjoner som i hovedsak stemmer overens med stadiene ved dyrenes utvikling av nervesystem. Vi finner også en parallell til denne utviklingen i store trekk i barns mentale utvikling (Baldwin 1895, s. 15).

På samme tid som Baldwin publiserte sine teorier, kom også De Garmo med sin psykologiske versjon av den biogenetiske lov:

På samme måte som fosteret til et av de høyerestående dyrene viser klare tegn på å gjennomgå alle de grunnleggende utviklingsstadiene, så gjennomgår barnet i sin mentale utvikling alle de store kulturepokene som har markert menneskehetens utvikling, om enn i noe mindre skala. … Vi liker å tenke på utdannelse som en prosess der menneskenes erfaring realiseres i hvert enkelt individ, men vi har ikke lagt vekt på idéen om at barnet kan få denne erfaringen på best mulig måte i samme rekkefølge som menneskene fikk den (sitert i Gould 1977, s. 149)

Her ser vi altså eksempler på to tidlige utgaver av en psykogenetisk lov. Piaget kom senere med sin teori, som han kalte genetisk epistemologi. I 1969 uttrykte han den slik:

Den fundamentale hypotesen til genetisk epistemologi er at der er en parallellisme mellom

Page 41: Det genetiske prinsipp

utviklingen av den logiske og rasjonelle organiseringen av kunnskap og de tilsvarende formative psykologiske prosessene. Med denne hypotesen er det mest fruktbare, og det mest opplagte forskningsfeltet, å rekonstruere menneskets historie - historien til det prehistoriske menneskets tenkning (Piaget 1969, s. 4).

Han mente da at en kunne rekonstruere menneskehetens psykologiske historie ved å studere barns kognitive utvikling. I denne tidlige perioden mente han også at mange av de lovene vi hadde funnet i psykologien kunne anvendes som epistemologiske lover også:

Det kan godt være at de psykologiske lovene vi kommer til gjennom vår begrensede metode kan utvides til epistemologiske lover gjennom analysen av vitenskapenes historie; eliminasjon av realisme, substansialisme, dynamisme, relativismens vekst etc., alle disse er utviklingslover som ser ut til å være felles både for barnets utvikling, og for utviklingen av vitenskapelig tenkning (Piaget 1960, s. 240).

4.2.4 Piagets 1983-syntesePiaget utga sin siste syntese til teorien om genetisk epistemologi sammen med Rolando

Garcia i 1983. Seks år senere kom den engelske oversettelsen, og det er den vi viser til her.Som vi nevnte i starten av dette kapittelet, var Piaget svært opptatt av hvordan barn

konstruerer kunnskap, og han utviklet en teori hvor han beskrev denne utviklingen i stadier. Hvert stadie er et resultat av de mulighetene som ble åpnet for i det forrige. Samtidig danner det enkelte stadiet en nødvendig basis for det neste (Piaget & Garcia 1989, s. 1). Studiet av denne utviklingen av kunnskapen kalte Piaget for genetisk epistemologi, og ett av målene for forskningen ble å bestemme de mekanismene som styrte utviklingen av kunnskap. Et hovedspørsmål for arbeidet blir:

Er dannelsen av kognitive hjelpemidler slik at det kan belyse deres epistemologiske betydning? Eller tilhører de to helt ulike områder - det første psykologi og historie, det siste et område som trenger metoder som er radikalt uavhengige av de første? (Piaget & Garcia 1989, s. 4).

Vi er altså tilbake til å diskutere forholdet mellom epistemologi og kognitiv psykologi. Det er i psykogenesen en kan studere utviklingen av de kognitive verktøyene, og Piaget legger vekt på at en må skille mellom psykogenesen til kunnskap og psykogenesen til faktiske prosesser. Hvis vi ikke gjør det, kan vi misforstå begrepet. Psykogenesen til kunnskap dreier seg om utviklingen av de kognitive verktøyene, mens psykogenesen til faktiske prosesser er avhengig av de eksisterende normene. Det dreier seg altså om hvordan ulike typer oppførsel virker på det psykososiale nivået. De som legger vekt på psykogenese for epistemologi ser bare det faktiske aspektet ved utviklingen, og de glemmer at mennesker må adlyde bestemte kognitive normer på alle nivåer (d.s., s. 4f.). Videre kan et stykke kunnskap aldri bli tatt ut av sin historiske sammenheng, men begrepets historie kan gi noen indikasjoner om dets epistemologiske betydning. Hovedårsaken til at der er en sammenheng mellom historisk-kritisk og genetisk epistemologi, er at disse to formene for analyse alltid vil konvergere mot de samme problemene, nemlig mekanismer og instrumenter (d.s., s. 8).

De enkelte vitenskapelige feltene har utviklet seg gjennom historien, og vi kan finne klart definerte utviklingstrinn innenfor hvert av disse feltene. Disse trinnene kommer heller ikke tilfeldig, og de bygger på hverandre. Som for barnas utviklingsstadier er hvert trinn mulig på grunn av det forrige, samtidig som det muliggjør det neste.

Dette blir jo også en helt naturlig tanke når en oppfatter kunnskapstilegnelsen ut fra et konstruktivistisk perspektiv. Når en tenker seg at barn konstruerer kunnskapen ut fra allerede eksisterende kunnskaper, blir det omtrent på samme måte som å tenke seg at en bygger en mur. En må legge de nye mursteinene oppå de gamle, og oppå disse kan en igjen legge nye. Et hovedpoeng blir derfor å forsøke å identifisere de lovene som styrer denne progresjonen (Piaget & Garcia 1989, s. 28).

De to første kapitlene er en historisk studie av mekanikken fra Aristoteles til Newton, og

Page 42: Det genetiske prinsipp

dette er som nevnt det eneste feltet der de klarte å finne en parallellisme i innhold mellom den historiske og psykologiske utviklingen, men:

Denne parallellismen, så vel som den "primitive" naturen til disse mekanismene, som gjennom flere århundrer har lagt alvorlige restriksjoner på begrepsmessig utvikling, har passert vitenskapshistorikerne i stillhet, de som ikke visste å verdsette deres betydning for epistemologien (d.s., s. 32f.).

Allerede i starten slår de fast at ingenting slikt kan gjøres for matematikken, bortsett fra i noen få isolerte emner (d.s., s.31). Når de går videre med å studere utviklingen av geometrien, gjør de det klart at den historiske utviklingen av den går langt utover noe som kan bli observert i elementære stadier av den psykologiske utviklingen. En parallellisme i innhold er derfor helt utelukket. Derimot mener de at prosessene som er involvert i denne utviklingen er operative helt fra starten av. En kan derfor finne igjen disse mekanismene i stadier i utvikling fra ett nivå til det neste (d.s., s. 111).

Piaget og Garcia identifiserer to generelle mekanismer som gjelder for overgangen mellom stadier. Den ene er assimilasjon og den andre blir beskrevet av en prosess som leder fra intra-objekt til inter-objekt og til slutt til trans-objekt. Intra-objekt er analyse av objekter, inter-objekt er analyse av forhold mellom objekter, mens trans-objekt er konstruksjon av strukturer (jf. Furinghetti & Radford 2000).

Når vi studerer geometriens historie, kan vi ved å gjøre en del forenklinger, finne tre stadier. Først har vi geometrien slik Euklid presenterte den. Denne framstillingen av geometrien var nærmest enerådende i over tusen år, og "Elementene" var den viktigste læreboka langt inn i moderne tid. Deretter kom den projektive geometrien, som blant annet ble utviklet av Poncelet og Chasles. Vi fikk da en helt ny dreining av geometrien. Til slutt innførte Felix Klein en global oppfatning av geometrien. Piaget og Garcia setter opp en slik forenkling av geometriens historie, og de identifiserer mekanismer som muliggjør overgangen mellom disse tre stadiene.

Overgangen fra gresk til projektiv geometri muliggjøres av den analytiske geometrien til Descartes og Fermat, samt differensial og integral analyse. Fra projektiv geometri til Kleins globale oppfatning av geometrien fungerer gruppeteorien som en slags mekanisme som muliggjør denne overgangen.

Deretter ser Piaget og Garcia på utviklingen av geometriske strukturer hos barn. De finner her tre stadier. Først kommer det intraoperasjonelle stadiet. Her har vi indre elementer som ikke kombineres med hverandre. Det neste stadiet er det interoperasjonelle, der vi finner korrespondanser og transformasjoner av de isolerte formene fra det første stadiet. Vi finner også slike invarianter som muliggjør transformasjoner. Sist kommer det transoperasjonelle stadiet, som blir karakterisert ved utviklingen av strukturer. Et eksempel på disse stadiene er som følger: Små barn i det første stadiet kan for eksempel se på trekanter. De observerer ulike slags trekanter, men de ser ikke noen sammenheng mellom trekanter og firkanter. I det neste stadiet kan barna se på flere typer mangekanter og sammenligne disse, mens de i det siste stadiet er mer opptatt av å utvikle generelle geometriske strukturer.

På samme måten ser Piaget & Garcia på den historiske utviklingen av algebra og algebraiske strukturer hos barn. De finner klare analogier her også, og de sier:

Denne analogien av utviklingsstadier mellom geometri og algebra på den ene siden, og historien til vitenskap og psykogenese på den andre, er bemerkelsesverdig. Det er ikke bare en enkel klassifisering av stadier som er involvert. Faktisk utgjør de tre begrepene tre ulike, men assosierte typer av organiserende kunnskap. Vi oppfatter disse begrepene intra, inter og trans som de viktigste og mest konstruktive mekanismene vi har kunnet finne i vår søken etter felles mekanismer mellom historie og psykogenese (Piaget & Garcia 1989, s. 142).

Som en oppsummering av studiene av den historiske og psykologiske utviklingen av geometri og algebra, hevder Piaget å ha funnet fram til tre stadier i barns utvikling av operasjoner. Disse stadiene, som vi finner igjen i de generelle psykologiske teoriene til Piaget, kjennetegnes ved:

Page 43: Det genetiske prinsipp

1. Preoperasjonelle, objektene gjennomgår ingen transformasjoner, og de er ikke koordinert med hverandre.

2. Konkret operasjonelle, objektene blir organisert i systemer, og vi får noen transformasjoner på selve objektene.

3. Hypotetisk deduktive operasjoner, vi får en syntese av transformasjoner. Noen ganger kan disse få form av "grupper" (d.s., s. 174).

Disse periodene har sammenheng med utviklingen fra intra-, via inter- til transoperasjoner, som er en svært viktig utviklingssekvens for Piaget. Utviklingen må nødvendigvis følge akkurat denne rekkefølgen, siden utviklingstrinnene bygger på hverandre, og hvert trinn er en forutsetning for det neste (d.s., s. 182).

Når det gjelder kunnskaper i fysikk er forholdene langt mer kompliserte enn for matematisk kunnskap. Konstruksjon av slik kunnskap er på en helt annen måte avhengig av ytre fakta. I den tidlige mekanikken kunne han avdekke klare stadier i utviklingen, men i den senere fysikken er det vanskeligere å bestemme regelmessige perioder i utviklingen. Likevel mener Piaget at en kan finne intra-, inter- og trans-stadier her også, men på et annet nivå enn for konstruksjonen av logisk og matematisk kunnskap (d.s., s. 209ff.).

Piaget retter i størsteparten av boka oppmerksomheten mot det tenkende subjektet, og konstruksjonen av kunnskap. Han hevder videre at denne syntesen ville vært ufullstendig hvis en bare fokuserte på individet. Mot slutten retter han derfor oppmerksomheten mot de elementene som danner referansegrunnlaget til kunnskapen, altså det sosiale miljøet (d.s., s. 246ff). Situasjonene som skaper handlingen blir generert av barnets sosiale miljø, og de objektene som barnet møter opptrer i en sammenheng som gir dem en spesiell betydning. Derfor kan vi si med Piaget at barnet ikke assimilerer "rene" objekter. Problemet for den genetiske epistemologien blir å forklare hvordan assimilasjonen foregår. Til dette sier Piaget:

Vitenskapens historie gir oss uten tvil det klareste eksemplet på innflytelsen til det rammeverket av meninger hvor samfunnet plasserer objekter og hendelser. Uheldigvis må det samme problemet med tanke på barnets intellektuelle utvikling forbli av mer spekulativ karakter, da vi helt mangler data fra eksperimenter (d.s., s. 247f.).

Piaget beskriver diskusjonen omkring vitenskapens utvikling som kaotisk, og han forsøker gjennom sin syntese av genetisk epistemologi å skape orden i dette kaoset. Helt på slutten trekker han fram et sentralt og noe overraskende poeng:

Hvis samfunnet skal ha så mye innflytelse, hvordan kan det da være at vi finner de samme kognitive prosessene operative i alle de ulike periodene av menneskets historie, og i alle barn, uavhengig av sosial gruppe eller etnisk bakgrunn (d.s., s. 266f.).

Svaret er i følge Piaget enkelt når en har identifisert de mekanismene individet har for å tilegne seg kunnskap, og måten objektene som skal assimileres presenterer seg på overfor individet. Poenget er nemlig at det sosiale miljøet kan påvirke det siste men ikke det første (d.s., s. 267).

4.2.5 Piagets 1950-synteseI denne syntesen gir Piaget en innføring i den etter hvert så kjente teorien om genetisk

epistemologi. I det første av tre bind tar han for seg matematisk tenkning. Innledningsvis tar han for seg ulike aspekter ved genetisk epistemologi og dens metode. Han ser på genetisk epistemologi som vitenskapelig metode, den genetiske metoden i epistemologien, de ulike epistemologiske tolkningene av en genetisk analyse, og så videre.

Som en oppsummering av den fullstendige genetisk-epistemologiske metode, sier han at den består av et intimt samarbeid mellom historisk-kritiske og psykogenetiske metoder (Piaget 1975, s. 35). En antagelse som ligger til grunn for selve eksistensen av en genetisk metode, er at der faktisk

Page 44: Det genetiske prinsipp

eksisterer en genese. Her ligger en debatt med synspunkter fra platonismen, aprioristisk filosofi og fenomenologi. Grunnspørsmålet om kunnskapen blir konstruert eller oppdaget kommer inn i debatten allerede her (d.s., s. 41).

4.2.6 Piagets 1961-synteseVi refererer til den engelske oversettelsen fra 1966. Dette verket til Beth og Piaget er todelt.

I den første delen tar Evert W. Beth for seg matematisk logisk tenkning, og utviklingen av denne. I den andre delen forsøker Piaget å forklare dette psykologisk. En sammenheng mellom strukturene i logisk-matematiske aktiviteter og de genetiske strukturene som blir oppdaget gjennom psykologien, ville være veldig verdifulle for epistemologien. Som en oppsummering av målet for arbeidet, sier Piaget:

En epistemologi som prøver å forlike disse to aspektene av normativ deduksjon og genetisk forklaring, uten å komme inn i en ond sirkel, vil måtte foreta et dialektisk skifte mellom statisk apriorisme og idéen om kontinuerlig konstruksjon. Dette er både progressivt og refleksivt, uten den nødvendige overlegenheten til intuisjonen, men samtidig vil det bevare en stor grad av formalitet, oppfattet som et instrument som selve den historiske utviklingen av regressiv analyse har gjort uunnværlig (Beth & Piaget 1966, s. 136).

Som vi allerede har sett, var Piaget opptatt av menneskets kognitive utvikling. Hans genetiske psykologi bruker eksperimentelle metoder, i motsetning til det som tidligere var vanlig i psykologien. Årsaken er nok at mange mente at eksperimenter var unødvendige i psykologien, der en hadde førstehånds kjennskap via introspeksjon. Piaget hevder at psykologien fram til det 19. århundre var i overveiende grad introspektiv, mens logikken var filosofisk:

Det er et lærerikt faktum for epistemologien generelt at de deduktive vitenskapene ble til lenge før de eksperimentelle vitenskapene … Dette skillet mellom eksperiment og deduksjon er stadig mer slående i historien til forholdene mellom logikk og psykologi, fordi kravet om detaljerte og systematiske eksperimenter ble akseptert mye senere for undersøkelser av tenkning enn for materiens lover (d.s., s. 137).

Etter en diskusjon om hvordan logikken og psykologien kan arbeide sammen, tar han for seg skillet mellom logiske normative data og psykologiske faktiske data. Årsaken til at han legger så stor vekt på det genetiske perspektivet forklarer han slik:

Dette genetiske synspunktet som vi ønsker å legge vekt på fra dette innledende kapittelet og framover, er svært viktig for problemer omkring forholdet mellom "naturlig" eller reell tenkning og formal logikk. Dette synspunktet forbyr oss å starte med å se på naturlig tenkning som en statisk størrelse, og det leder oss til å tenke på det som (a) en rekke av påfølgende stadier og (b) et hierarki av nivåer eller stadier som korresponderer med hverandre. Dette gjelder i oppbyggingen av en moden intelligens, og til påfølgende stadier hvor det er resultatet eller lagdelingen (d.s., s. 158).

Fra et genetisk synspunkt er ikke noen mentale konstruksjoner endelige. En slik måte å oppfatte det på, gjør at vi kan se på enhver konstruksjon som en mulighet til å utvikles videre til nye konstruksjoner. På samme måte blir også enhver form for tanke produkt av en utvikling (d.s., s. 161f.).

Fra et utviklingsperspektiv er det svært interessant å se at logisk tenkning først trer fram på et ganske sent stadie i den mentale utviklingen. Dette alene, mener Piaget, er nok til å vise hvorfor en genetisk forklaringsmåte burde være interessant.

Page 45: Det genetiske prinsipp

4.2.7 Dagens debatt omkring Piagets genetiske epistemologiNår vi ser på kritikken mot Piaget, er det viktig å huske på at Piagets teorier faktisk har hatt

enorm innflytelse, uansett om vi kan kritisere dem på mange punkter. Freudenthal sa det slik:

Den noe summariske kritikken jeg ved ulike anledninger har gitt av Piagets arbeid krever mer detaljert argumentasjon. Før jeg går inn på dette, ønsker jeg å vektlegge rikdommen til idéene i arbeidet hans, originaliteten, for ikke å si genialiteten, uten å utelate de negative undertonene som ofte vender tilbake til dette ordet (Freudenthal 1973, s. 662).

4.2.7.1 Språklige faktorerSigel sier at Piaget oppfattet språket som et hjelpemiddel for å uttrykke tankene, når de først

blir vist gjennom handlinger som blir internalisert og eventuelt definert i verbale og symbolske former (Sigel 1969, s. 469). Sinclair-De-Zwart 1969, s. 316ff., sammenfatter Piagets oppfatning med at kilden til intellektuelle operasjoner ikke er å finne i språket. Tankene har sine røtter i handlinger som foregår på slutten av den sensorimotoriske perioden, før språket eller de symbolske funksjonene i det hele tatt dukker opp. Med tanke på det å lære å snakke morsmålet gjennom kontakt med personer i ens nærmeste sosiale miljø, kan det være fristende å se på språket som hovedinstrumentet. Piaget mener derimot at språket bare er et resultat av, og ikke årsaken til forandring (d.s., s. 318). Hovedpoenget her må jo være at Piaget oppfatter språket som konstruert. Barnet konstruerer språket ut fra de handlinger og erfaringer det gjør i de tidlige stadiene.

Chomsky er en av de mest sentrale språkforskerne i moderne tid, og han har blitt brukt til å kritisere Piagets teorier ut fra et språklig ståsted. Mens Piaget ser på språket og barnets kognitive utvikling generelt ut fra et konstruktivistisk ståsted, har Chomsky en oppfatning som vi kan kalle for "innatisme", eller preformasjon. Forenklet kan vi si at dette blir en debatt om språket blir oppfunnet eller om det blir oppdaget. Chomsky sier at:

…undersøkelse av menneskelig språk har ledet meg til å tro at genetisk bestemte språklige evner … spesifiserer en bestemt klasse "menneskelig tilgjengelig gramatikk". Barnet tilegner seg en av gramatikkene på grunnlag av de begrensede bevisene det har tilgjengelig (Piattelli-Palmarini 1980, s. 35).

Piattelli-Palmerini oppsummerer Chomskys syn slik:

Medfødte, artsspesifikke strukturer som kan uttrykkes gjennom formelle … språkuniversalier er for Chomsky den opplagte måten å gjøre rede for den spontane, uniforme og komplekse karakteren til reglene for konstruksjon og forståelse av setninger (d.s., s. 53).

Videre hevdes det at innatisme ikke er problematisk som prinsipp, men at problemene dukker opp når en forsøker å overføre dette prinsippet til observerbare kriterier som kan passe inn i naturvitenskapenes rammer.

4.2.7.2 Konstruktivisme vs. innatisme I filosofien er der en stadig debatt om konstruksjonen av kunnskap. Denne debatten har

utkrystallisert seg i to atskilte filosofiske tradisjoner. Den positivistiske tradisjonen hevder at kunnskapen blir dannet ved induktive slutninger fra objektive sanseerfaringer. På den andre siden har vi den rasjonalistiske tradisjonen, som hevder at det er a priori gitte strukturer som projiseres ut i den ytre verden. Disse a priori gitte strukturene er medfødte. Piaget forsøkte gjennom hele sitt forfatterskap å forene disse to tradisjonene (Sjøberg 1998, s. 281).

Denne debatten ser vi igjen i kritikken av Piagets teorier. På den ene siden har vi de som mener at (matematisk) kunnskap oppfinnes, altså konstrueres, et syn vi med rette må kunne tillegge Piaget. På den andre siden har vi innatistene, som mener at den matematiske kunnskapen oppdages. Dagens svar på denne problemstillingen blir et slags "ja, takk, begge deler!". Spørsmålet er bare hva som oppdages og hva som oppfinnes. En kan (og kanskje med god grunn) hevde at tallene blir

Page 46: Det genetiske prinsipp

oppdaget. De kommer som en konsekvens av naturlige prosesser, som telling og problemløsning etc. Men selve tallsymbolene, -systemene og -strukturene må en kunne hevde at blir oppfunnet.

Papert hevder at en ikke må se på matematikken for å finne matematiske teorier for strukturer, men at en må se på de matematiske strukturene på samme måte som en ser på strukturene i språket (Piattelli-Palmarini 1980, s. 102). Chomsky hevder derimot at der ikke fins noen endelig matematisk struktur, men snarere en mengde strukturer og del-strukturer. Ut fra genetisk epistemologi kan en også være enig i at der ikke fins noen endelige matematiske strukturer, men at de bare er en del av utviklingen av matematisk tenkning.

Som motstandere av dette synet kommer Fodor og andre innatister. De mener at begrepene, oppfatningene og forventningene er der fra starten (Piattelli-Palmarini 1980, s. 161). Disse epistemologene mener at utviklingen av vitenskapen langt fra alltid er en steg-for-steg utvikling av begrepsmessig styrke, hvor hver ny fase inkluderer de forrige.

Selv om "innatisme" er et relativt nytt ord, innebærer det ikke helt nye tanker. Allerede hos Platon finner vi slike tanker, og platonismen er jo nettopp en slik form for innatisme, der vi har de udødelige begrepene eller "idéene", som menneskene bare oppfatter skyggebilder av.

Rent intuitivt kan en tenke seg at innatisme er et sterkt angrep på Piagets teorier, og at det er en mangel ved genetisk epistemologi å ikke ta opp dette aspektet. Da må en igjen huske på at genetisk epistemologi er en teori, og at teorier alltid er forenklinger av virkeligheten. Piaget tok faktisk opp denne diskusjonen ved flere anledninger. Allerede i 1961-syntesen som han skrev sammen med Beth, ble diskusjonen omkring hvorvidt matematisk kunnskap er skapt eller oppdaget, tatt opp. Vi må ta i betraktning den innflytelsen platonismen faktisk har hatt. Platon hevdet at matematikk dreier seg om begreper som ligger utenfor den materielle verden. Derfor kan ikke matematikken baseres på empiriske data. Problemet er at vi ikke vet så mye om matematikken før Platon. Derfor kan vi ikke vite helt sikkert om matematikerne godtok Platons tanker om matematikken. Beth nevner en historisk diskusjon der Hermite beskylder Cantor for å skape objekter i stedet for å oppdage dem, så dette er helt klart ikke nye tanker (Beth & Piaget 1966, s. 98f.).

4.2.7.3 ParallellismeteorierMange moderne forskere har en negativ innstilling til den biogenetiske lov, og denne negative

holdningen synes å ha forplantet seg til alt i didaktikken som har med "genetisk" å gjøre, også når det gjelder de psykogenetiske teoriene. Rogers og andre kritiserer det de mener er Piagets forsøk på å lage parallellismer mellom den historiske utviklingen og barnets kognitive utvikling. Vi skal nå se litt nærmere på denne debatten.

Rogers kritiserer de psykologiske modellene fordi de er altfor generelle. Han mener de har generalisert for mye ut fra undersøkelsene av den ontogenetiske utviklingen. Slike generaliseringer kan passe inn i nesten enhver teori. Piaget tolker historien slik at en kan finne utvikling i klart definerte "stadier", og han bruker dette videre som retningslinjer for en analog utvikling av mentale strukturer. Rogers kritiserer dette, og han hevder at den historiske situasjonen hvor slike generaliseringer ble gjort, er mye mer kompleks enn en først antok. Videre sier han at generaliseringen av forholdet mellom den ontogenetiske utviklingen til et begrep og den historiske prosessen hvor det ble funnet, ikke kan bevises. Han viser også til at begrepenes historiske tilblivelse ikke var en homogen prosess. Piagets tolkning av matematikkens historie har en del mangler, som Rogers beskriver (Rogers 1997, s. 2).

Piaget studerte barnets utvikling av begreper. Han trodde kunnskap om dette kunne gi svar på et mer interessant spørsmål: "Hvordan lærte mennesket å tenke og resonnere?" Gjennom arbeidet finner Piaget stadig paralleller mellom barnets måte å komme fram til logisk-matematisk kunnskap, og den vestlige vitenskapens historie. Han sammenlikner også tenkingen til primitive mennesker med barnets tenking (Rogers 1999, s. 9). Piaget ser etter det han kaller parallelle mekanismer, og han slår fast at det ikke er mulig å finne paralleller i innhold i den historiske og den psykologiske utviklingen, bortsett fra i enkelte spesielle tilfeller. Noen kritikere synes å ha oversett dette. Dermed kan det se ut som at de ofte kritiserer en "stråmann" som kanskje slett ikke eksisterer. Årsaken til dette er kanskje, som Rogers selv sier at ingen leser Piaget lenger, i alle fall ikke "grunnteksten"

Page 47: Det genetiske prinsipp

(basert på samtaler med Leo Rogers).

4.2.7.4 Sosiale og kulturelle faktorerMange har en slags forutinntatt oppfatning av at Piaget bare så på individet, helt uavhengig

av den sosiale konteksten, og at dette var noe som først kom inn i psykologien med Vygotsky. Faktum er at Piaget også tok opp dette spørsmålet flere ganger i sin teori. Han sier i den siste syntesen av genetisk epistemologi at barnets erfaringer er generert av det sosiale miljøet til barnet. Objektene opptrer i spesielle sammenhenger som gir dem mening, og det fins ingen "rene" objekter som bare blir definert av sine fysiske parametre (Piaget & Garcia 1989, s. 247). Klarest blir det kanskje når han sier:

Etter vårt syn har der til enhver tid i historien, og i ethvert samfunn, eksistert et dominerende epistemologisk rammeverk. Dette er et produkt av sosiale paradigmer, som i sin tur blir kilde til nye epistemologiske paradigmer. Så snart et gitt epistemologisk rammeverk er konstituert, blir det umulig å skille det sosiale bidraget fra det som allerede fins iboende i det kognitive systemet (d.s., s. 255).

Men de sosiale faktorene kom inn i Piagets teori på et langt tidligere tidspunkt. I Piaget & Inhelder 1969 oppsummerer han den mentale utviklingen i fire generelle faktorer. Den første er organisk vekst, og særlig modningen av nervesystemet og de endokrine systemene. Dernest kommer den rollen øvelse eller handling har, og den rollen som erfaringene fra handlingene øver på objektene. Den tredje fundamentale faktoren er sosial interaksjon og transmisjon. Den fjerde og siste fundamentale faktoren som spiller inn på den mentale utviklingen, er at barnet konstruerer kunnskap. Kunnskapen er i følge Piaget ikke medfødt. Enhver forklaring av barns utvikling må ta både det ontogenetiske og det sosiale aspektet med i betraktningen. Vi legger merke til at Piaget tar med både interaksjon og transmisjon som viktige faktorer. Begge disse faktorene er jo aktuelle i en undervisningssituasjon. Når læreren forklarer et problem eller liknende, kommer transmisjonsaspektet inn, mens interaksjonen gjelder hver gang elevene har meningsutvekslinger med hverandre eller læreren (Piaget & Inhelder 1969, s. 154ff.).

4.3 Vygotskys genetiske idéerUt fra historiske bemerkninger, er det mange som hevder at matematikken ikke er objektiv.

Tvert i mot blir begreper til i en kulturell sammenheng og så videreutviklet i matematikken som vitenskap. Det fins et sosialt subjekt i matematikkens historie, nemlig det sosiale samfunn av matematikere som er preget av et bestemt kulturelt nettverk. Tesen lar seg prøve der hvor to kulturer med forskjellige kunnskapskonsepter møtes. Overføringen av matematisk kunnskap fra en kultur til en annen muliggjør altså eksempelstudier for sosial-konstruktivismen (Schubring i Mosvold 2001).

En slik sosialkonstruktivistisk tankegang kan være grei å ha i bakhodet når vi går over til å se på den andre av de store teoretikerne innenfor den pedagogiske psykologien i forrige århundre.

4.3.1 Lev VygotskyLev Semenovich Vygotsky ble født 1896, samme år som Piaget, i Orsha i Hviterussland,

ikke langt fra Minsk. Barneårene var lykkelige og intellektuelt stimulerende for Vygotsky. Han begynte å studere medisin på universitetet i Moskva, for så å gå over til juss, men han hadde også eksamen i litteraturvitenskap. Etter studiene flyttet han tilbake til hjembyen for å undervise ved en skole. En tale ved en psykonevrologisk kongress i Leningrad førte senere Vygotsky inn i vitenskapens verden, etter hvert ved instituttet for eksperimentell psykologi i Moskva, og her skrev han sin første avhandling innen psykologi. De siste ti årene av sitt liv levde han i Moskva, og det

Page 48: Det genetiske prinsipp

var her han utviklet de teoriene han senere er blitt anerkjent for. I 1934 døde han av tuberkulose bare 38 år gammel (Wertsch 1985, s. 3ff.).

Vygotsky var svært belest, og han interesserte seg for både poesi, drama og mer filosofisk litteratur. Noen av de filosofene han kjente godt var Descartes, Spinoza, Hegel, Marx, nykantianerne, Husserl og James (Kozulin i Vygotsky 2001, s. 223).

Selv om Vygotsky regnes som en av de mest framtredende tenkere innenfor psykologien, gikk det lang tid før skriftene hans ble kjent. En av de viktigste årsakene var at han skrev på russisk, et språk som svært få av vestens tenkere behersket. En engelsk oversettelse av hovedverket "Tenkning og tale" kom ikke før i 1962, og først i 2001 fikk vi endelig en norsk oversettelse. Dette var for øvrig den første norske oversettelsen av noe verk av Vygotsky. Etter hvert er Vygotsky blitt stadig mer kjent i den vestlige verden, mye takket være James V. Wertsch, Michael M. Cole og Alex Kozulin, som alle har gitt viktige analyser av Vygotskys teorier (se Vygotsky 2001)

4.3.2 Vygotskys generelle teorierVygotsky forsøkte å forene elementer fra marxistisk filosofi med utviklingspsykologi, og i

denne sammenheng var der tre hovedpunkter som sto sentralt. For det første hevdet han at menneskenes levekår påvirker deres tenkemåte. For det andre bruker menneskene ulike typer redskaper, teknologiske eller mentale, for å utvikle seg og forbedre sine levekår. Til sist kan menneskene nå lengst når de utvikler seg i et fellesskap. Han utarbeidet en ny læringsteori, der læringen blir sett på som en sosial prosess. Naturlig nok fikk språket en viktig rolle innenfor dette synet, siden språket er selve verktøyet for sosial interaksjon.

Vygotsky så ikke på læring bare som lagring av kunnskap eller oppøving av ferdigheter. Mennesker lærer noe for å nå mål som de finner viktige eller interessante. Tema- og prosjektarbeid er L-97s måte å forsøke å tilfredsstille dette aspektet på. Når menneskene arbeider sammen med andre, får de til mer enn når de jobber alene. Det mennesket makter å gjøre alene, kalte Vygotsky for den aktuelle sone, mens det mennesket får til i samarbeid med andre kalte han for den proksimale utviklingssonen. Utvikling foregår når kunnskaper blir overført fra den proksimale til den aktuelle sonen (Jahr 1998b, s. 108ff.).

Proksimal utviklingssone er et sentralt begrep og gir et godt uttrykk for det læringssynet vi finner i sosialkonstruktivistiske teorier. Dette står i sterk kontrast til det tradisjonelle intelligensbegrepet, som er noe statisk, noe du måler ved hjelp av tester, mens Vygotskys evnebegrep er rettet mot utvikling. Imsen kommenterer:

Dette er helt i tråd med Vygotskys syn på utviklingen som et historisk løp; den har både en fortid og en framtid (Imsen 1998, s. 160).

Læreren bør derfor rette blikket mot "morgendagen" i barnets utvikling, og ikke konsentrere seg så mye om fortiden. Når en skal teste barnets utviklingsnivå er det viktig at en konsentrerer seg om grensen for det barnet kan klare alene og det barnet kan klare med hjelp fra læreren. Målet blir å flytte elevens grenser utover mot stadig nye mål, slik at også den proksimale utviklingssonen hele tiden flyttes. Samtidig vil vi alltid ha et element av uforutsigbarhet her, for en kan aldri vite når elevene oppnår forståelse. Vi kan ikke planlegge denne forståelsen på forhånd (d.s., s. 159ff.).

Vygotsky studerte litteraturvitenskap og juss, og i disse fagene har språket en langt større rolle enn tilfellet var for Piaget, som hadde studert biologi. Når en ser på læring i et sosialt perspektiv, får språk og kommunikasjon en helt sentral rolle. Tanken er en forløper for språket, og den matematiske notasjonen er et språk som har utviklet seg i generasjoner. Når en behersker dette matematikkens språk, kan en tenke klarere i matematikk. Forskjellen mellom Piaget og Vygotsky er klar i språkspørsmålet. Piaget mente at språket er sekundært, mens Vygotsky mente at språket er primært i forhold til tenkningen (Jahr 1998b, s. 108ff.).

Når barn lærer å snakke, er dette fra starten av en form for sosialt samspill. Etter hvert begynner barna å snakke med seg selv. Denne indre talen utvikler seg videre til en taus indre tale, som menneskene bruker til å legge planer, styre og tenke for seg selv. I starten er denne indre talen hørbar, men etter hvert blir den taus. Språket er altså fra starten av en sosial aktivitet, men etter

Page 49: Det genetiske prinsipp

hvert deler språkfunksjonen seg i to. Da utvikles en indre tale som grunnlag for tanken, i tillegg til den ytre kommunikative talen (Imsen 1998, s. 154ff.)

Mediering er et viktig begrep for Vygotsky. Behavioristene satte opp en sammenheng stimulus ⇒ respons. Her satte Vygotsky inn et kognitivt redskap mellom stimulus og respons. Dette redskapet kalte han for tegn. Han mente at menneskene etter hvert lærer å reagere på betingede stimuli, som språklige tegn. Det at språklige tegn trekkes inn i forholdet mellom stimuli og respons, kalles mediering, og denne typen mediering er grunnlaget for alle høyere psykologiske prosesser (d.s., s. 158).

Vygotskys historiesyn er også nært knyttet disse tankene. Det er under påvirkning fra det sosiale fellesskapet mennesket konstruerer nye idéer, og selv de største genier blir derfor bare resultater av den tiden og det miljøet de lever i. Kreativiteten til disse geniene blir skapt av behov som igjen blir skapt ut fra miljøet rundt, og den hviler på mulighetene som de har i sine sosiale miljøer. Slik kan en forklare den sterke kontinuiteten i utviklingen av vitenskap og teknologi. Det er i følge Vygotsky ikke mulig å gjøre vitenskapelige oppdagelser, uten å ha de nødvendige materielle og psykologiske redskapene. Kreativitet blir derfor en historisk kontinuerlig prosess, hvor hver nye idé er bestemt av de forrige. Til tross for dette sterkt sosial-deterministiske synet, mener han at individer likevel kan ha en sterk innflytelse på utviklingen (Bekken 2000, s. 87). På samme måten var Vygotsky også et barn av sin tid, og:

Hans genistrek var å legge grunnlaget for et nytt psykologisk system med materiale som var lånt fra datidens filosofi og samfunnsvitenskap (Rosa & Montero i Moll 1990, s. 59).

På mange måter kan en si at Vygotskys psykologi er en anvendelse av dialektisk og historisk materialisme fra Marx og Engels filosofi på det historiske området (d.s.).

4.3.3 Vygotskys genetiske metodeMenneskets utvikling er et sentralt tema i psykologien, og det var det også for Vygotsky. Han setter genesen, eller utviklingen, i sentrum for sine studier. På den måten kunne han ivareta det "historiske" aspektet, det vil si hvordan individet har utviklet seg over tid. Man kan ikke forstå et psykologisk fenomen i et her-og-nå-perspektiv, man må ta i betraktning forhistorien, og den framtida individet utvikler seg mot. Personen må forstås i både tid og rom. Som han selv sa det: "Det er bare i bevegelse at en skapning viser hva den er". Dette perspektivet i hans teori er blitt kalt for genetisk metode… (Imsen 1998, s. 155).

Vygotsky understreket gjennom hele sin karriere undersøkelsen av utvikling. Han brukte begrepet genesis i henhold til marxistisk og hegeliansk tenkning, nemlig at fenomenene bare kan forstås riktig gjennom å studere deres opprinnelse og historie. Han brukte begrepet utvikling både om den individuelle og den kulturelt-historiske utviklingen av de mentale funksjonene (Vygotsky 2001, s. 234). Enkelt kan vi si det slik:

…Vygotsky var også opptatt av forholdet mellom ontogenese og phylogenese, men … han mente at tenkningen utviklet seg som et resultat av to utviklingslinjer eller -prosesser: en biologisk (eller naturlig) prosess og en historisk (eller kulturell) (Fauvel & van Maanen 2000, s. 146).

Selv om Vygotsky var opptatt av ontogenese og phylogenese, er det viktig å være klar over at han ikke støttet opp om noen rekapitulasjonshypoteser (se blant annet Fauvel & van Maanen 2000, s. 147). Motivasjonen for Vygotskys genetiske analyse kan formuleres slik:

Etter Vygotskys syn er genetisk analyse motivert av antakelsen at det bare er mulig å forstå de mange aspektene ved de mentale funksjonene hvis en forstår deres opphav og de forandringene de har gjennomgått (Wertsch 1991, s. 19).

Page 50: Det genetiske prinsipp

Derfor ble den genetiske analysen selve fundamentet i Vygotskys studie av den menneskelige tanke, slik det også var for Piaget.

Ut fra et slikt syn kan en bare forstå menneskets mentale prosesser fullt ut hvis en forstår hvordan de framstår i vekst. Vi må ikke konsentrere oss om sluttproduktet, men om selve prosessen, eller utviklingen. Forskning som forsøker å analysere de psykologiske fenomenene uten å ta hensyn til deres utvikling, kan i følge Vygotsky bare gi en beskrivelse, og ikke en forklaring (Wertsch 1985, s. 17).

Vygotsky så ikke på utviklingen som jevn og regelmessig, men som en dynamisk prosess, der vendingene var revolusjonære. Utviklingen var full av omveltninger og brå forandringer.

Dette kan vi sammenlikne med det Michael Cole sier om grunnleggerne av den sosiohistoriske skole. Han hevder at de tok hensyn til fire historiske nivåer når de betraktet menneskets utvikling:

• utviklingen av menneskeheten (phylogenesen),• menneskenes historie, siden de framsto som egen art,• historien til det enkelte barnet (ontogenesen),• mikrogenesen, utviklingen av bestemte psykologiske prosesser i løpet av eksperimentelle

interaksjoner i ett enkelt eksperiment (Cole 1990, s. 92).

Nettopp disse fire aspektene var det Vygotsky trakk inn i sin genetiske analyse, og han hevdet at hvert område er karakterisert av unike krefter og mekanismer. På denne bakgrunnen var det han fornektet rekapitulasjonsteorien (Wertsch 1990, s. 113).

4.3.4 Hovedverket: "Tenkning og tale""Tenkning og tale" var den siste boken Vygotsky skrev. Den kom ut posthumt i 1934, og den

tar for seg de viktigste synspunktene han hadde kommet fram til. Språk- og begrepsdannelse er hovedtema i boken, som også er preget av Vygotskys metodiske og kulturhistoriske syn. Derfor blir den av mange regnet som hovedverket (se bl.a. Vygotsky 2001, s. 7).

Som nevnt tar boken særlig for seg studiet av tenkning og språkbruk. Vygotsky legger vekt på at en må forstå dette forholdet:

Så lenge vi ikke forstår de interfunksjonelle forbindelsene mellom tenkningen og ordet, kan vi ikke besvare, ja, ikke en gang stille, noen av de mer spesifikke spørsmålene på dette feltet riktig. Merkelig nok har psykologien aldri utforsket området systematisk og inngående (Vygotsky 2001, s. 23).

Nettopp en slik utforskning er det Vygotsky legger opp til i boken. Først tar han for seg noen metodologiske prinsipper. Det første gjelder valg av analyseenhet. En må ikke dele opp fenomenet en ønsker å undersøke i så små deler at elementer kan gå tapt som opprinnelig var der. Dernest trekker han inn et funksjonsperspektiv. En kan ikke gi en fullstendig analyse uten å redegjøre for funksjonen til det man studerer. Til slutt må analysen inneholde et utviklingsperspektiv, hvor en ser på hvordan det en analyserer kan endre seg eller få nye egenskaper og funksjoner (d.s., s. 10f.).

Etter en kritisk analyse av Piagets teorier om barns utvikling av tenkning og tale, samt en diskusjon med utgangspunkt i Sterns tanker, gir Vygotsky en analyse av utviklingen av språklig tenkning. Her diskuterer han de teoretiske sidene ved ontogenesen og phylogenesen til tale og tenkning, som er den viktigste delen av boken for oss. Gjennom hele verket er det nettopp tanken om utvikling som er selve hovedidéen (d.s., s. 31).

Det viktigste som er blitt avdekket under den genetiske undersøkelsen av tenkning og tale, er at forholdet mellom dem gjennomgår mange forandringer. Fremgang i tenkning og fremgang i tale forløper ikke parallelt (d.s., s. 75).

Page 51: Det genetiske prinsipp

Alle tegn tyder på at en ikke kan ha noen forhåpning om å lære sjimpanser noen form for tale, det være seg ved hjelp av lyd eller gester, som tegnspråk. Når det gjelder ontogenesen, er forholdet mellom tenkning og tale om mulig enda mer uklart og dunkelt. Bühler har gjort forsøk med spedbarn som likner på forsøkene med sjimpanser, og han kom til noenlunde like resultater. Både her og i forsøkene med menneskeaper fant en ut at de begynnende språklige reaksjonene foregår uavhengig av intellektet (d.s., s. 84).

Barnets babling, gråt, selv dets første ord er helt tydelig stadier av dets taleutvikling som ikke har noe med utviklingen av tenkningen å gjøre (d.s., s. 85).

Og allerede på det førintellektuelle stadiet ser vi tydelig talens sosiale funksjon. Så, ved toårsalderen, krysser de to utviklingskurvene for tenkning og tale hverandre, og de smelter sammen. I denne perioden, da barnet blir aktivt og vitebegjærlig, blir språket intellektuelt og tenkningen språklig. Først når barnet har nådd et forholdsvis høyt utviklingsnivå i tenkning og tale, er dette mulig. Som en oppsummering sier Vygotsky:

Språklig tenkning er ikke en medfødt, naturlig form for atferd, men bestemmes av en historisk-kulturell prosess og har spesifikke egenskaper og lover som ikke finnes i tenkningens og talens naturlige former. Når vi først erkjenner at språklig tenkning har en historisk karakter, må vi også anta at den er underlagt den historiske materialismens premisser, som har gyldighet for ethvert historisk fenomen i menneskesamfunnet. Vi må regne med at atferden på dette nivået i sin utvikling i hovedsak styres av de allmenne lover for menneskesamfunnets historiske utvikling (d.s., s. 95).

Page 52: Det genetiske prinsipp

5 Epistemologiske hindringer

Mange har hevdet at påvirkningen mellom matematikken som vitenskap og didaktikken er enveiskjørt, fra vitenskapen til didaktikken. Schubring og andre mener at der også er påvirkning andre veien:

Disse forholdene er relativt nye for matematikkhistorien, og har betydning for ens oppfatning av utviklingen:

• de viser at undervisning og læring har hatt innflytelse på utviklingen av vitenskapen, og en må ta hensyn til denne dimensjonen for å forstå matematikkhistorien

• brudd og nye forhold i matematikkens historie har i stor grad kommet av epistemologiske forandringer, forandringer i vitenskapssystemets

kontekst.• didaktisk orienterte analyser av utviklingen gir hjelpemidler til selv å kunne

undersøke utviklingsprosessen nærmere (Schubring i Mosvold 2001).

På denne bakgrunn har nyere teorier om feilslutninger og hindringer blitt til.Schubring kommer inn på teorien om epistemologiske hindringer som en viktig anvendelse

av det genetiske prinsipp i undervisningen. Han hevder at begrepet "obstacles épistémologiques" først ble innført av den franske filosofen Gaston Bachelard (1884-1962) for så å bli videreutviklet og generalisert av Guy Brousseau i 1970-årene.

Epistemologiske hindringer kan føre til lærevansker hos elevene, som har sin bakgrunn i den matematiske kunnskapens natur, og i følge Brousseau er de uunngåelige (se bla. Schubring 1988, s. 141). Vi skal nå se litt nærmere på bakgrunnen for denne teorien og hva den inneholder, og vi skal også se litt på den moderne debatten omkring den rolle slike epistemologiske hindringer kan spille for læring av matematikk.

5.1 Utviklingen av teorien hos Bachelard og Brousseau.Når barn lærer matematikk eller andre fag, må de tilpasse ny kunnskap til allerede

eksisterende kunnskap. Ofte er denne kunnskapen ufullstendig, og når elevene skal lære nye begreper som bygger på denne, kan der på et visst tidspunkt oppstå en konflikt, fordi idéene ikke stemmer overens. Den kunnskapen barna har tilegnet seg, og som på enkelte områder er litt mangelfull, kan derfor kunne virke som en hindring for videre læring.

Da Brousseau i 1976 lanserte begrepet "obstacles épistémologiques" i matematikkdidaktikken, hadde han lånt dette av Bachelard. Når en skulle analysere og konstruere didaktiske situasjoner, ble det svært viktig å identifisere og karakterisere disse hindringene (Brousseau 1997, s. 77).

Innholdet i matematikken er ofte slik at studenten blir spurt om å komme fram til en sann formel for en teori som blir studert. Innholdet i et problem kan derfor defineres a priori, som et ordnet forhold mellom teorien og den formelen en ønsker å finne innenfor rammene av den gitte teorien. Ulike problemer blir på denne måten satt i sammenheng med hverandre i en slags struktur (d.s., s. 79).

Brousseau hevder med bakgrunn i forskningen til Bachelard og Piaget at feil ikke bare kan oppfattes som ignorering, usikkerhet, uflaks eller liknende, slik empiristiske eller behaviouristiske teorier kan hevde. Schubring står for det samme synspunktet, og han hevder at feil ikke bare kan oppfattes som mangel på evner eller uoppmerksomhet, men at elevfeil er årsaksbestemte, og at de ofte også er svært systematiske (Schubring 1988, s. 140). Brousseau sier at slike feil bygger på tidligere kunnskap som nå viser seg å være feilaktig eller ufullstendig, og videre at:

Feil av denne typen er ikke tilfeldige og uventede, de utgjør hindringer (Brousseau 1997, s. 82).

Page 53: Det genetiske prinsipp

En konstruksjon av forståelse innebærer derfor en konstant dialektisk interaksjon mellom eleven og problemsituasjonene. De mest interessante problemene i en læringssituasjon blir de som får eleven til å overvinne en hindring.

5.1.1 Ulike typer hindringerSom nevnt viser Brousseau til Bachelard som den som først tok i bruk begrepet

"epistemologisk hindring", og han sier:

Bachelard studerer hindringer i fysikken og han identifiserer følgende: hindringen med første erfaring; hindringen med generell kunnskap; verbale hindringer; hindringen med ufullstendig bruk av familiære bilder; hindringen med unitær og pragmatisk kunnskap; den substansielle, realistiske, animistiske hindring; hindringen med kvantitativ kunnskap (d.s., s. 83).

Slike hindringer blir synlige gjennom feil som elevene gjør, men disse feilene er ikke tilfeldige. Feil gjort av samme elev har sammenheng med hverandre, idet de bygger på den forståelsen eleven har av stoffet. Mer enn å være defekter, bør vi derfor oppfatte dem som kunnskapsstrukturer som ikke alltid stemmer. En hindring er altså en type kunnskap, slik Brousseau ser det:

Hindringen har samme natur som kunnskap, med objekter, innbyrdes forhold, metoder for forståelse, forutsigelser, bevis, glemte konsekvenser, uventede forgreininger, etc. (d.s., s. 85).

Siden en kan se på hindringer som en type kunnskap, blir det viktig å stadig tilføre nye situasjoner, slik at eleven blir tvunget til hele tiden å vurdere kunnskapen sin. En ny situasjon kan føre til en konflikt, som gjør at eleven må revurdere oppfatningen sin. Kanskje han må forkaste den, dele den opp og innarbeide delene i en ny struktur, eller kanskje han må danne en helt ny kunnskapsstruktur. Hindringer av denne typen blir derfor en naturlig del av læreprosessen, og i stedet for å unngå dem, bør læreren stadig konfrontere elevene med disse hindringene i form av konstruktive problemoppgaver. Vi kan sammenlikne dette med Piagets teorier om læring gjennom akkommodasjon og assimilasjon, og Vygotskys utfordringer i den proksimale sone.

Når vi nå har sett litt på slike hindringer som kan forekomme i en læringssituasjon, blir det naturlig å spørre seg hvor disse hindringene kommer fra. Brousseau sier at en kan finne slike læringshindringer med:

• ontogenetisk bakgrunn, • didaktisk bakgrunn og• epistemologisk bakgrunn (d.s., s. 86).

Ontogenetiske hindringer oppstår på grunn av begrensninger i elevens kognitive eller nevrofysiologiske utvikling. Eleven konstruerer kunnskap som passer til de ferdighetene og målene som han eller hun har på et bestemt alderstrinn. Brousseau trekker her inn en kommentar om genetisk epistemologi:

Genetisk epistemologi gir bevis for stadier og midler til utvikling (akkommodasjon og assimilasjon). De likner utviklingsstadiene til begreper med tanke på reglene som får dem til å komme til syne, samtidig som de er forskjellige fra dem når det gjelder de eksakte begrensningene som bestemmer disse reglene (d.s., s. 86).

Didaktiske hindringer derimot, ser ut til å ha sin bakgrunn i ulike valg som er gjort innenfor utdanningssystemet. Undervisningen av desimaltall har ofte blitt en didaktisk hindring. Ofte blir desimaltallene oppfattet som heltall med en annen enhet: 2,14m blir for eksempel oppfattet som et heltall, nemlig 214cm. Dette blir derfor en hindring for forståelsen av tall langt opp på

Page 54: Det genetiske prinsipp

universitetsnivå. Epistemologiske hindringer er slike som vi verken kan eller vil unngå. Disse kan gjenfinnes

i selve historien til begrepene. Dette betyr derimot ikke at vi må forsterke den effekten de har, eller forsøke å gjenskape den historiske konteksten i skolen.

Mange hindringer som virker som epistemologiske er i virkeligheten didaktiske hindringer, slik som for desimaltallene i eksemplet over. Leo Rogers mener at epistemologiske hindringer i virkeligheten ofte er didaktiske hindringer, men at disse har forplantet seg videre gjennom undervisningen i historien og derfor framtrer som epistemologiske. Vi må derfor se litt nærmere på hva som egentlig ligger i begrepet "epistemologisk hindring", og hvilke krav som stilles for at en læringshindring skal kunne kalles epistemologisk.

5.1.2 Epistemologiske hindringerBachelard lanserte en parallell mellom psykologisk teori om individets mentale utvikling og

genetisk teori om utviklingen av begrepene i vitenskapens historie. Han beskrev vitenskapelig utvikling gjennom fire prinsippielle idéer:

1. Epistemologiske brudd: karakteriserer måten vitenskapelig kunnskap motsier sunn fornuft. Epistemologiske brudd hjelper oss å beskrive noe vi ikke kunne forklare før.

2. Epistemologiske hindringer: Dette er begreper som forhindrer et epistemologisk brudd. Vi har ikke kapasitet til å tenke utover det vi allerede har kunnskap om.

3. Epistemologisk profil: er en analyse av et individs forståelse, basert på en beskrivelse av de epistemologiske hindringene som forhindrer individet i å tenke vitenskapelig.

4. Epistemologisk handling: representerer et vitenskapelig gjennombrudd som forandrer tanken vår, og som er en klar forbedring fra tidligere. Dette kan også være en gjenoppdagelse av tidligere vitenskap i nye kontekster (Rogers 2000a, s. 231f.).

Bachelard brukte vitenskapens historie for å illustrere disse idéene, men det er viktig å være klar over at epistemologiske hindringer ikke nødvendigvis er begrenset av en historisk tolkning. De kan bedre beskrives som forklarende prinsipper, som vi kan tenke på i ulike kontekster i dag (d.s.).

Brousseau hevder at Bachelards begreper er mangelfulle, og at der derfor kreves en del oppfinnsomhet av de som vil drive forskning på epistemologiske hindringer i matematikken. Likevel hevder han at disse begrepene kan vise seg fruktbare for undervisningen dersom en del krav er oppfylt:

• hindringene det er snakk om er virkelig identifisert i matematikkens historie;• de kan spores tilbake til elevenes spontane modeller; • de pedagogiske forholdene ved deres forkastelse blir studert nøyaktig, slik at forslag til

presist didaktisk prosjekt kan legges fram for lærerne;• resultatet av et slikt prosjekt kan anses som positivt (Brousseau 1997, s. 93).

Ofte er det i elevenes vansker vi må lete etter hindringer. For å tilfredsstille kravet om at hindringer skal være et stykke kunnskap, må forskeren ofte reformulere vansken som studeres, slik at en ikke snakker om mangel på kunnskap. Denne kunnskapen kan selvsagt være både usann og mangelfull, men like fullt må den oppfattes som kunnskap (d.s., s. 94).

Når en studerer matematikkens historie for å avdekke epistemologiske hindringer, er det ofte fristende å tolke tidligere tiders matematiske kunnskap ut fra våre egne kunnskaper. Vi kan derfor komme til å si at grekerne ikke oppdaget de negative tallene fordi de manglet elementer fra vår moderne kunnskap. Slike tolkninger advarer Brousseau mot, og han ber oss stille følgende spørsmål: Ble disse problemene stilt slik? Hvordan ble de løst? Tenkte en i det hele tatt på at de skulle løses? Ble det vi oppfatter som vanskeligheter oppfattet slik da? Når vi stiller slike og andre spørsmål, får vi et litt annet syn på historien. Grekerne så på tallene som måltall, og da var det helt naturlig å bare se på positive størrelser. Ut fra deres oppfatning hadde de ikke nødvendigvis noen

Page 55: Det genetiske prinsipp

problemer med dette (d.s.).Vi må derfor holde tunga rett i munnen når vi driver slik forskning. Brousseau sier:

Forskning på tilsvarende historiske indikatorer dreier seg ikke lenger om vansker eller feil slik vi ser det i dag, men om uheldige utfall karakterisert ved en bestemt kunnskap. Ved å plassere dette inn i vår nåværende kunnskap, kan vi forutsi den typen problemer som vil bli mangelfullt stilt eller løst og søke etter dem i historien. Epistemologien ser slik ut til å bli systematisk eller eksperimentell (d.s., s. 95).

Samtidig legger Brousseau vekt på at de historiske og epistemologiske, de psykologiske og didaktiske argumentene som vi finner interessante i forskningen på epistemologiske hindringer virkelig er uavhengige. Der må være uavhengighet mellom identifikasjonen av elevers lærevansker og historiske hindringer (d.s., s. 96).

En av de viktigste årsakene til at studien av epistemologiske hindringer er interessant for didaktikere, er at disse hindringene er svært resistente. De er ikke avlegs eller utgått på dato, men de er stadig levende hindringer. Årsaken til at det er slik, finner en kanskje i hindringenes natur. En må ikke bli for opphengt i hindringene som feil og mangler, men en må heller se på dem som Brousseau:

…en epistemologisk hindring utgjør en del av fullstendig kunnskap på den måten at en til syvende og sist må forkaste den helt eksplisitt, og konsekvensen blir at den etterlater merker som noen ganger er dype, i kunnskapsstrukturen (d.s., s. 97).

Hindringene kan komme av sosiale, kulturelle eller økonomiske årsaker, men disse årsakene blir aktualisert i begreper som består selv om årsakene forsvinner. Nettopp derfor er det så interessant å studere disse epistemologiske hindringene.

Brousseau setter deretter opp en slags plan som forskeren kan følge:

1. finne feil som stadig gjentar seg og vise at disse kan grupperes omkring bestemte oppfatninger,

2. finne hindringer i matematikkens historie,3. sammenlikne historiske hindringer med læringshindringer og bestemme deres

epistemologiske karakter (d.s., s. 99).Slik er altså Brousseaus forskningsprogram, og vi skal nå se litt på hans kommentarer til

dette programmet, før vi ser på noe av den forskningen han selv har drevet på dette området. Det første punktet i Brousseaus forskningsprogram er å finne feil som stadig gjentar seg hos

elevene. Her viser han til en del forskning som har vært gjort, og han gir noen få eksempler som elevene ofte har problemer med: (a + b)2; 0⋅a = a; √a2 = a; (0.2)2 = 0.4

Det neste punktet dreier seg om å finne hindringer i matematikkens historie, og her viser han til en studie av Glaeser fra 1981. I denne sammenhengen blir det ifølge Brousseau nødvendig å tolke Bachelards modell, for at en skal kunne bruke denne i matematikken:

• En hindring er et stykke kunnskap eller oppfatning, ikke en vanskelighet eller mangel på kunnskap.

• Dette stykke kunnskap produserer svar som er passende innenfor en spesiell, stadig opplevd sammenheng.

• Men den genererer feil svar utenfor denne konteksten. Et korrekt, universelt svar krever et markert ulikt synspunkt..

• Til sist motstår dette stykke kunnskap både leilighetsvise motsigelser og etableringen av et bedre stykke kunnskap. Det å ha et bedre stykke kunnskap er ikke nok for at det forrige skal forsvinne (dette utgjør skillet mellom det å overkomme en hindring og Piagets adaptasjon). Det er derfor avgjørende å identifisere det og å inkorporere forkastelsen av det i det nye stykke kunnskap.

Page 56: Det genetiske prinsipp

• Etter at unøyaktigheten i dette stykke kunnskap har blitt oppdaget, fortsetter det å dukke opp på en ubeleilig og gjenstridig måte (Brousseau 1997, s. 99f.).

Når det gjelder det tredje punktet, å sammenlikne de historiske hindringene med læringshindringene, viser han også til en del ulike forskningsartikler (bla. Sierpinska 1985). På bakgrunn av disse slår han fast at hindringer virkelig fins, men at der trengs mer forskning for å skille dem fra hverandre, gjenkjenne dem, bestemme dem og undersøke forholdene mellom dem (Brousseau 1997, s. 100).

5.1.3 Brousseaus egen forskningBrousseau har konsentrert mye av forskningen sin omkring tall, og da særlig desimaltall.

Basis for kapitlene i Brousseau 1997 er en rekke aktiviteter og forskning som ble gjort ved IREM i Bordeaux i 1974. Han sier følgende om målet for denne forskningen:

"I vitenskapen mer enn andre steder blir en ledet til å identifisere den kunnskapen en overfører med den kunnskapen en skaper." Dette synspunktet til Bachelard gjør den historiske og epistemologiske analysen av begrepene rasjonale og desimale tall uunnværlig .. Vi skal identifisere naturen til de hindringene som går mot utviklingen av denne kunnskapen. Det vil da være passende å forsøke å identifisere de av disse hindringene som hjelper å bygge opp begrepet og de typene situasjoner som er assosiert med dem (d.s., s. 120).

Sammenlikne, måle og lage lengder, masser og volumer er noen av de mest fundamentale ferdighetene som elevene lærer på skolen. Ved slike aktiviteter kommer elevene naturlig i kontakt med de matematiske notasjonene "rasjonale tall" og "desimaltall".

Først ser Brousseau på måten en har undervist desimaltall i Frankrike i 1960- og 1970-årene. Her ser han på hvordan lærebøkene og læreplanene presenterer desimaltall i disse periodene, og han trekker fram en del oppfatninger som en slik presentasjon kan føre til. Svært ofte er de tallene en presenterer som desimaltall på grunnskoletrinnet i virkeligheten hele tall. For eksempel kan en representere et innbyggertall med enhet tusen, slik at det blir et desimaltall: 10.850. I virkeligheten er dette et heltall, nemlig 10850, bare med en annen enhet. Dersom en for eksempel deler et desimaltall i to, og ser på den første delen for seg og den siste delen for seg, kan en bli fristet til å si at 3,9 er mindre enn 3,12 eller at 2,3 × 2,3 er lik 4,9. Desimaltall var så sterkt assosiert med det metriske system og med målinger, at en ikke så for seg andre måter å undervise dette på. I 1970-årene begynte en å undervise desimaltall ved å bruke tabeller, der en skrev tallene som deler med ulike enheter, eller baser, men også her introduserte en som regel desimaltall til å representere målinger. Desimalet var alltid et konkret naturlig tall (d.s., s. 121ff.).

Brousseau trekker fram noen få punkter fra den epistemologiske studien av desimaltall. Her ser han på ulike oppfatninger av desimaltallene i historien. I det gamle Kina som hos egypterne og babylonerne, ble desimale mål uttrykt ved ulike former for brøker. Hos araberne al-Uqlidisi og al-Kashi nærmer vi oss dagens oppfatning med et tallsystem basert på desimal plassverdi. I starten ble desimaltallene bare brukt som et hjelpemiddel, uten at de ble sett på som et objekt for studier. Det var først med Simon Stevin (1548-1620) at desimaltallene nådde en status som matematisk notasjon. For Stevin var "rasjonale, irregulære, uforklarlige og absurde størrelser" (reelle) tall, fordi de kunne bli tilnærmet ved desimaltall (d.s., s. 152f.).

En epistemologisk studie gir oss en mengde variasjoner av forhold, metoder og meninger. Problemet er i følge Brousseau å gruppere disse variablene. Han lar dette spørsmålet stå åpent:

Det er ikke et spørsmål om å gjenta de historiske prosessene, men å produsere liknende effekter ved å bruke andre hjelpemidler. Den epistemologiske fenomenologien består i å gjøre valg omkring bestemte punkter som er svært forskjellige fra de historien foreslår, og å gjeninnføre en ekvivalent prosess ved å bruke regler og prinsipper som det har vært mulig å oppdage (d.s., s. 160f.).

Page 57: Det genetiske prinsipp

Han fortsetter deretter diskusjonen med didaktiske rammer, ved å se på ulike momenter ved det å undervise i desimaltall.

5.2 Moderne forskning og kritikkFra et arbeid om negative tall trekker vi fram:

En bør være klar over at de intellektuelle hindrene som blokkerer forståelsen av dette matematiske emnet gjennom dets historiske utvikling også kan blokkere forståelsen hos dagens studenter. Kunnskapen om disse hindrene kan hjelpe oss å forstå, forutse og komme over dem (Hefendehl-Hebeker 1991, s. 26).

Epistemologiske hindringer, intellektuelle hindre ("intellectual hurdles"), kognitive konflikter eller hva en ønsker å kalle det, har vekket matematikkdidaktikeres interesse de siste årene. De fleste didaktiske og pedagogiske teorier som har kommet fram i lyset, er også blitt flittig kritisert, og teoriene for epistemologiske hindringer er ikke noe unntak.

Da epistemologiske hindringer kom inn i matematikkdidaktikken med Brousseau på midten av 1970-tallet, utviklet det seg snart et eget vitenskapelig område. Et helt forskningsprogram startet rundt begrepet, samtidig som der var debatter omkring selve naturen til disse epistemologiske hindringene og omkring mulige definisjoner av begrepet. Denne trenden i matematikkdidaktikk er i følge Anna Sierpinska i ferd med å dø ut, og en har ikke klart å definere begrepet på en måte som der kan være allmenn enighet om. Bachelard selv ga aldri noen definisjon av "obstacle épistémologique". Han ga bare en rekke eksempler på slike hindringer i datidens fysikk, for å vise at dette begrepet kunne være nyttig for "psykoanalysen av vitenskapelig tenkning" (Sierpinska 1994, s. 133f.).

Etter Brousseaus oppfatning er kunnskap ikke en mental tilstand, men det er snarere løsningen på et problem. En epistemologiske hindring blir derfor kilden til en feiloppfatning som oppstår når individet forsøker å løse et problem. Luis Radford har en mer sosio-kulturell oppfatning av kunnskap, der kunnskapen er kulturelt mediert, og den følger av alle de aktivitetene menneskene engasjerer seg i (Fauvel & van Maanen 2000, s. 162f.).

I Italia er det en gruppe forskere i Palermo (G.R.I.M. - Gruppo di Ricerca sull'Insegnamento delle Matematiche), representert ved blant andre Spagnolo, Di Leonardo og Marino, som følger i Brousseaus fotspor i forskningen på epistemologiske hindringer. Denne forskningen springer ut fra doktoravhandlingen til Spagnolo, som kort kan oppsummeres i følgende spørsmål:

• Er Eudoxos-Arkimedes postulatet en epistemologisk hindring?• Er det mulig å skaffe tilveie en teoretisk/eksperimentell modell for å oppdage

epistemologiske hindringer?• Kan overføringene fra et matematisk språk til et annet bli kontrollert hvis vi aksepterer

hypotesen om semiotisk tolkning av matematikk? (Spagnolo 2000)

Denne forskningsgruppen ønsker nå å analysere de viktige overgangene mellom aritmetisk og algebraisk språk, og mellom algebraisk og analytisk språk. De sier:

Slike overganger vil bli tatt i betraktning i forhold til epistemologiske og didaktiske hindringer som de kan bringe til overflaten, med det mål å utarbeide eller utvikle noen teoretisk-eksperimentelle undersøkelser angående analysen av slike hindringer (d.s.).

Palermo-gruppen ønsker også å se på alle mulige måter elever kan overkomme de hindringene som viser seg i disse overgangene.

Denne nyere forskningen bygger i hovedsak på forskningen til Brousseau, som vi allerede har sett på, og på forskningen til Sierpinska, som vi skal se på nå.

Page 58: Det genetiske prinsipp

5.2.1 Anna SierpinskaSierpinska har brukt teoriene for epistemologiske hindringer i forskning for å gi et bedre

bilde av elevers forståelse av matematikk. Hun har blant annet forsket på oppfatningen av funksjoner (Sierpinska 1988) og grensebegrepet (Sierpinska 1987). Vi skal se litt nærmere på studien av funksjoner.

Hun gjør klart bruk av teoriene til Brousseau når hun setter opp dette målet for studien:

Forskningen har som mål å utarbeide didaktiske situasjoner som hjelper å overvinne epistemologiske hindringer relatert til funksjoner og grenser hos studenter på 15-17 år (Sierpinska 1988, s. 568).

Hun skiller mellom ulike stadier i den historiske utviklingen av funksjoner, og dette sammenlikner hun med elevenes oppfatning. Hun viser til en tidlig, konkret oppfatning av kurver som geometriske objekter og sier:

Vi vil kalle denne tilnærmingen til kurver for "konkret" - for så vidt som den er basert på direkte data og kontekstuelle relasjoner. Kanskje var denne "konkrete" tilnærmingen til kurver en av de alvorligste hindringene i utviklingen av analysen. Noen utgaver av denne hindringen ser ut til stadig å eksistere hos dagens elever (d.s., s. 569).

Som en avsluttende kommentar forklarer hun at en må presentere de riktige oppfatningene av funksjonsbegrepet i rett tid for elevene. Dette er viktig for å følge den genetiske utviklingen. Videre sier hun:

Å introdusere funksjoner til unge studenter ved deres moderne utarbeidete definisjon er en didaktisk feil - en antididaktisk inversjon (d.s., s. 572).

Som vi har nevnt er Sierpinska opptatt av å kartlegge elevers forståelse av matematikken, og hun bruker epistemologiske hindringer som et hjelpemiddel. Hun hevder at alt det vi kaller misoppfatninger, fordommer, forutintatte holdninger, intellektuelle vaner etc. egentlig er måter å forstå noe på. Dette er ulike typer kunnskap. Vi vet noe på bestemte måter. I mange tilfeller blir det å overvinne en epistemologisk hindring og det å forstå noe, bare to sider av samme sak. Sierpinska hevder at den første oppfatningen er negativt ladet, mens den andre er positiv. Når en ser på epistemologiske hindringer, ser en tilbake på det som var feil eller ufullstendig i kunnskapen vår. Forståelse ser framover mot nye måter å vite noe på.

Sierpinska 1994 presenterer en historisk-empirisk tilnærming til forståelse i matematikken. For epistemologien er det utviklingsmekanismer, stadier, trender og lover som er interessante. Hun henviser til Piaget & Garcia 1989, s. 7, som sier:

Det essensielle problemet er hvordan en skal karakterisere de viktige utviklingsstadiene til et begrep eller en struktur, eller til og med det generelle perspektivet når det gjelder en spesiell disiplin, uavhengig av framskritt og tilbakesteg, innvirkningen til forgjengere eller 'epistemologiske hull' ... Det sentrale problemet er i virkeligheten ... det om selve eksistensen av stadiene, og spesielt forklaringen av deres rekkefølge.

Men fra matematikkdidaktikkens synspunkt er det i følge Sierpinska nettopp disse "framskritt og tilbakesteg" og "epistemologiske hull" så vel som epistemologiske hindringer, som er interessante. Årsaken til dette er at hun ser på læring som det å komme over en hindring (Sierpinska 1994, s. 120f.).

For epistemologien kan det være nok å definere stadier og utviklingsmekanismer, eller å identifisere mulige læringshindringer. For matematikkdidaktikeren derimot, er dette bare starten. Som Sierpinska sier det:

Det sentrale problemet for utdanning er ikke så mye beskrivelsen og kategoriseringen av

Page 59: Det genetiske prinsipp

kunnskapens utviklingsprosesser som innblandingen i disse prosessene (Sierpinska 1994, s. 121).

Hun kommer også med en utdyping av hva epistemologiske hindringer virkelig er:

Epistemologiske hindringer er ikke hindringer for den 'rette' eller 'korrekte' forståelsen; de er hindringer til en slags endring av tankenes rammeverk (d.s.).

5.2.2 Luis RadfordI likhet med flere andre (blant andre Rogers), mener Radford at den historiske utviklingen av

matematisk tenkning ofte blir overforenklet. Han viser også til et paradigme som sier at tidligere tiders matematikere har syslet med moderne matematiske begreper, de har bare manglet våre moderne notasjoner (Radford 1998, s. 1).

Når det gjelder epistemologiske studier eller undersøkelser av matematikkhistorien, blir letingen etter interessante historiske data formet av vår egen oppfatning om hvordan matematisk kunnskap utvikler seg. Våre oppfatninger blir alltid preget av våre moderne sosiale eller kulturelle oppfatninger av nåtiden og fortiden. Radford oppsummerer denne ontologiske skepsisen med at det er umulig å oppnå sann forståelse av historiske begreper og at historien til ethvert begrep eller enhver teori, alltid vil bli omskrevet (Radford 1997, s. 27).

Han sier videre at det er svært vanskelig å koble det historiske og det psykologiske området. Derfor har ikke nødvendigvis den historiske utviklingen av matematikken noe å fortelle oss om moderne studenters problemer med læring av matematikk. Radford mener at de mentale aktivitetene til moderne barn verken rekapitulerer de til primitive barn eller voksne. Han viser til at også Vygotsky så på problemet med å vurdere forholdene mellom ulike genetiske områder. Det blir viktig å se på de kulturelle faktorene som spiller inn.

Det er i følge Radford bare litt over tyve år siden profesjonen av matematikkdidaktikere begynte å analysere matematisk kunnskap fra et historisk perspektiv for å belyse de prosessene som skjer når studenter konstruerer kunnskap. Her viser han til Brousseaus verk som banebrytende (Radford 1997, s. 29). Denne påstanden er litt underlig, etter som en slik analyse beskriver selve grunntanken i det genetiske prinsipp, et prinsipp som Schubring (1978) fører helt tilbake til Bacon.

Likevel er det riktig å si at Brousseau ga den kanskje viktigste utredningen av epistemologiske hindringer og deres betydning for matematikken. Denne kunnskapen gir Brousseau et verktøy til å forklare gjentatte og ikke tilfeldige feil som elever gjør når de lærer et bestemt emne. Han hevder at der skjuler seg en logikk bak disse elevfeilene. Elevene har en kunnskap som de kan bruke til å løse noen typer problemer, men som ikke strekker helt til på andre typer. I følge Brousseau er en av oppgavene til didaktikere å finne elevers gjentatte feil og identifisere de underliggende tankene, i matematikkens historie og å sammenlikne disse for å bestemme deres epistemologiske karakter.

Epistemologiske hindringer er svært følsomme for kulturelle påvirkninger. Michelle Artigue er en av dem som mener at epistemologiske hindringer som vi finner i historien bare er å betrakte som mulige hindringer i dagens læreprosess.

En historisk-epistemologisk analyse kan hjelpe oss å se hvordan de matematiske begrepene har utviklet seg, og:

…gjennom et tilpasningsdyktig didaktisk arbeid kan de antakeligvis bli omformet og gjort kompatible med de moderne læreplanene i sammenheng med utarbeidelsen av undervisningssekvenser (Radford 1997, s. 32).

Radfords synspunkt blir altså at et gammelt problem aldri vil kunne bli det samme for oss, fordi vi lever i en helt annerledes kultur.

Radford 1997, s. 29f. kritiserer de tidlige utgavene av Brousseaus teori om epistemologiske hindringer (Brousseau 1983), og han viser til at der i de senere utgavene ble føyd til kulturelle hindringer. Der var et markert skille på denne tiden, da de sosio-kulturelle faktorene begynte å bli

Page 60: Det genetiske prinsipp

behandlet på en mindre overflatisk måte. Likevel mener Radford at den nye kategorien hindringer ikke var noe særlig gjennomarbeidet. I 1989 presenterte Sierpinska et revidert program for epistemologiske hindringer, der den rekapitulasjonistiske parallellismehypotesen ble forkastet. I følge Radford blir kulturen her redusert til sosial behaviorisme. Radford kritiserer også denne nye oppfatningen av epistemologiske hindringer, der Sierpinska ser på kulturen på tre nivåer, uten å gå nøyere inn på akkurat dette:

Vi ønsker ikke her å diskutere problemene som et slikt uforutsigbart tre-delt syn på et kulturelt system kan frambringe når kunnskapen blir undersøkt gjennom disse nivåene (Radford 1997, s. 30).

Hovedkritikken til Radford konsentreres i to punkter:

Vi foretrekker å konsentrere oss om det punktet som har sammenheng med hoveddelen av diskusjonen vår, og legge fram(i) at ved å plassere de epistemologiske hindringene i de formelle og uformelle nivåene,

ser det nye synet ut til å motsi den originale hovedoppfatningen av en epistemologisk hindring - dvs. noe som er iboende i kunnskapen - og

(ii) at det nye synet leder oss til det korollaret at det ikke er mulig å skille mellom kulturelle og epistemologiske hindringer. Innenfor det nye perspektivet på epistemologiske hindringer, kan vi videre komme til forståelse av at epistemologiske hindringer rett og slett er kulturelle hindringer (d.s.).

Ingen epistemologiske hindringer kan i følge Radford motstå påvirkningen fra kulturen, nettopp fordi kunnskap er en kulturell produksjon som uunngåelig er knyttet til sitt miljø.

Schubring tar opp et liknende synspunkt. Han hevder at der ikke fins noen felles menneskehet i Bachelards betydning, og at begreper utvikler seg innenfor bestemte sosiale grupper og er påvirket av den kulturelle konteksten. Derfor finner vi sjelden paralleller i begrepsutviklingen hos ulike kulturer (Schubring 1988, s. 143).

Radford har også den samme oppfatningen som mange andre forskere i den historisk-kritiske tradisjonen. Han mener at et problem fra oldtiden aldri vil kunne bli det samme for oss, og at vi derfor aldri fullt ut kan forstå tidligere tiders matematiske problemer og situasjoner (Radford 1997, s. 32). Her står vi altså overfor en vitenskapelig tenkemåte som skaper problemer så snart vi forsøker å trekke konklusjoner og lærdom fra historien, og som derfor alltid vil rette kritikk mot bruk av historien, ikke bare i matematikkundervisningen, men i et hvilket som helst fag.

5.2.3 Leo RogersRogers har også et historisk-kritisk syn på matematikkens historie, og dette kommer fram i

synet på hvordan en kan bruke denne historien i undervisningen:

…en rasjonell rekonstruksjon av matematikken i historien er ikke bare umulig, men ... selve naturen til historikerens foretakende dreier seg om tolkning, og denne tolkningen har en ideologisk bakgrunn som hviler på en samling oppfatninger som nødvendigvis er samtidige med forfatteren, og som bestemmer den type spørsmål som skal bli stilt, og måtene de skal bli stilt på (Rogers 2000b, s. 1).

Et slikt kritisk syn på matematikkens historie og muligheten for å rekonstruere denne går igjen i de fleste av arbeidene til Rogers, og dette synet får også konsekvenser for oppfatningen av epistemologiske hindringer. Han har ikke noen tro på at en kan finne paralleller mellom læreproblemer hos dagens elever og den historiske utviklingen av de matematiske begrepene. Derfor har han ikke samme oppfatning som Brousseau og Bachelard om epistemologiske hindringer, men han mener at årsaken til disse ofte er å finne helt andre steder:

Page 61: Det genetiske prinsipp

…det kan være nyttig å se etter kilden til studenters epistemologiske hindringer i de pedagogiske tradisjonene som vi finner i lærebøker, heller enn å forsøke å finne en slags parallellisme mellom en antatt historisk utvikling av matematikken og de problemene dagens elever har i læringsprosessen (d.s., s. 2).

Til slutt her vil jeg vise til Rogers egne notater, hvor han gir en litt nærmere forklaring av sitt

syn på epistemologiske hindringer:

Det jeg argumenterte mot i min artikkel, var at Bachelards oppfatning av historien var en tolkning som ledet til å se på vitenskapens historie som prosessen med å overvinne viktige problemer slik de ble sett fra synspunktet til en vitenskapsmann i 1930-årene (d.vs. induktiv vitenskapshistorie) som tolker fortiden gjennom moderne begreper. Jeg protesterer ikke mot at begrepet epistemologiske hindringer skal bli brukt som en 'kategori', og på denne måten har det blitt brukt i undervisningen og læringen av matematikk for å føre fram til mange nyttige erfaringer. Det jeg protesterer på er den oppfatningen av 'universell anvendelse' som det impliserer. Hvis epistemologiske hindringer er et hjelpemiddel til å 'dirigere tenkning', betyr ikke dette nødvendigvis at vi, når vi har oppdaget en epistemologisk hindring i en kontekst, automatisk kan anvende alle andre 'liknende' situasjoner (Rogers private notater).

5.2.4 Anna SfardAnna Sfard har arbeidet videre med Piagets teorier om genetisk epistemologi. Hun nevner at

Piaget mener at de historisk-kritiske og psykogenetiske studiene burde konvergere. Hun sier at de problemene hver enkelt elev har ved ulike trinn i utviklingen av kunnskap gjerne kan være ganske like de som en gang utfordret generasjoner av matematikere (Sfard 1995, s. 15f.).

Sfard går gjennom algebraens utvikling, og hun er opptatt av historiske og psykologiske paralleller. Hun forsøker å oppdage bestemte tilbakevendende fenomener i utviklingen av abstrakte idéer. Hun mener at matematisk kunnskap blir formet i en syklisk prosess. Denne prosessen følger en konstant kurs for å heve seg til neste stadie. Den modellen hun bruker beskriver matematikken hierarkisk. Operasjonell forståelse på et trinn i utviklingen leder til abstrakt oppfatning og strukturoppfatning i et høyere trinn.

Når hun går gjennom historien retter hun særlig søkelys mot det som kan bli oppfattet som kritiske punkter i utviklingen av algebraisk tenking. Hun ser også på de kognitive problemene som dukker opp når en skal ta viktige skritt framover. Disse problemene oppfatter hun som en viktig og regulær del av konstruksjonen av kunnskap (Sfard 1995).

Page 62: Det genetiske prinsipp

6 Vinkelbegrepet

Vinkelen er et av de matematiske begrepene alle har truffet på i hverdagen, og alle har en formening om hva en vinkel er. Rent intuitivt kan det derfor virke som vinkelbegrepet er et forholdsvis enkelt og uproblematisk begrep. Hvis vi går litt nærmere inn på definisjonen av begrepet, finner vi fort ut at det ikke er så enkelt. Det ser faktisk ikke ut til at det fins noen entydig og klar definisjon av hva en vinkel er (jf. Tropfke 1903, Jahr 1998 m.fl.). Johnsen 1996, s. 26 sier sogar at:

…vinkler må betraktes som et begrepsmessig ytterst vanskelig emne - både i innledende og videregående undervisning.

Det kan derfor være interessant å studere utviklingen av dette begrepet litt nærmere, både fordi begrepet er interessant i seg selv, og fordi det her vil fungere som en praktisk vinkling av den genetiske metode og teorien for epistemologiske hindringer. Studier viser at elever har ulike oppfatninger omkring vinkelbegrepet. Her vil jeg se på sammenhengen mellom den historiske utviklingen av begrepet og elevers oppfatninger omkring det. Jeg vil forsøke å finne epistemologiske hindringer i den historiske utviklingen av begrepet, og se om disse kan danne grunnlag for oppfatninger som vi finner igjen hos elever. Dette kapitlet vil derfor tjene som teoretisk basis for min egen klasseromsstudie. Johnsen 1996 gir flere klasseromsdialoger der ulike elevoppfatninger rundt vinkelbegrepet også dukker opp (se vedlegg 11.3). Imidlertid settes de ikke der inn i en epistemologisk ramme. Dette vil vi her forsøke å gjøre.

6.1 Historisk utvikling av vinkelbegrepetI denne delen skal jeg se på den historiske utviklingen av vinkelbegrepet fra babylonerne,

via gresk geometri og Euklids Elementer, og fram mot moderne tid og den "endelige" utformingen av geometrien hos David Hilbert (1862-1943).

6.1.1 Egypternes og babylonernes geometriEtter manges oppfatning begynte geometrien med Euklid og hans verk "Elementene".

Likevel kjenner vi også tidligere kulturer som har hatt kjennskap til geometri. Egypterne, som nesten 3000 år før vår egen tidsregning konstruerte sine mektige pyramider, må for eksempel ha hatt ganske omfattende geometrikunnskaper. Deres konkretisering av den rette vinkelen må også ha vært svært nøyaktig (Krainer 1990, s. 127).

Egyptiske veggmalerier viser at datidens snekkerverksted var utstyrt med ”vinkel”, som verktøy til å lage rette vinkler. En slik ”vinkel” blir stadig brukt av snekkere. Men hvordan ble denne ”vinkelen” konstruert i oldtiden? I dag kan vi lage en rett vinkel ved å brette et ark så vi får en rett linje og så brette det igjen. I oldtiden fantes en løsning på problemet hos både egypterne, babylonerne og kineserne. Denne metoden har tydelig teoretisk opprinnelse, og den vitner om kjennskap til Pytagoras setning:

Lægger man 3 Stokke med Længderne 3, 4 og 5 m saaledes, at de danner en Trekant, vil Stokkene 3 og 4 være nøjagtig vinkelrette paa hinanden (La Cour 1962, s. 85).

Studier av babylonske leirtavler vitner om at også de hadde omfattende kjennskap til blant annet geometri. De laget nøyaktige tabeller over trigonometriske verdier, men i motsetning til grekerne var de ikke så opptatt av vinkelmålinger. Det kan se ut som at de ikke hadde noe klart definert vinkelbegrep å forholde seg til (Krainer 1990, s. 127). Vinkelbegrepet til babylonerne ser ut til å ha sitt utspring i deres astronomiske beregninger. Den rette vinkelen definerte de som basis for dreining av himmellegemer. Det var også babylonerne som utviklet et tallsystem med 60 som base, men det er ingen ting som tyder på at de delte inn sirkelen i 360 deler. Vi kan altså si at det i før-

Page 63: Det genetiske prinsipp

gresk tid ikke fantes noe teoretisk vinkelbegrep. Derfor manglet også verktøyet for å utvikle setninger som den om vinkelsummen i en trekant. Babylonerne målte vinkler ved sine trigonometriske tabeller og astronomiske beregninger, men de hadde altså ikke noen definisjon av selve vinkelbegrepet (Krainer 1990, s. 129).Vi studerer geometri og de andre matematiske disiplinene som separate og selvstendige disipliner. Slik var det ikke for babylonerne. Deres geometri hadde alltid sammenheng med praktiske problemer (Kline 1945, s. 10f.). Heller ikke egypterne hadde noe skille mellom aritmetikk og geometri. Herodot skal ha sagt at geometrien i Egypt ble til fordi en hele tiden trengte å lage nye grenser mellom eiendommene på et stadig oversvømt Nildelta (se også Heron i Bruins 1964, s. 80, 182 og 276). Egypterne hadde metoder for å regne ut arealer av rektangler, trekanter og trapeser. De hadde også en ganske god tilnærming for tallet pi, og de hadde en helt riktig formel for å regne ut volumet av en avkuttet pyramide (Kline 1945, s. 19f.).

6.1.2 Gresk geometri før EuklidEt av de eldste geometriske begrepene er den rette vinkelen. I følge Euklid oppstår en rett

vinkel når en linje skjærer en annen slik at de to nabovinklene som oppstår er like. Vi finner også begrepet hos både Boëthius (5. årh. f.Kr.), Leonardo Pisano i 1220 og Widmann i 1489 (Tropfke 1903, s. 22).

Thales (636-546 f.Kr.) tilskrives blant annet en del setninger om geometri som senere er innskrevet i Euklids "Elementene":

1. En sirkel blir delt i to like store halvdeler av diagonalen.2. Basisvinklene til en likebeint trekant er like store.3. De to motstående vinklene til to skjærende linjer er like store.4. To trekanter som har to vinkler og en side som er like er kongruente.5. Trekanter i en halvsirkel har rett vinkel i spissen.6. Vinkelsummen i en trekant utgjør to rette (Krainer 1990, s. 129)

Her ser vi at vinkelbegrepet blir systematisk brukt, og det virker som de tidlige grekerne hadde et begrep om vinkler som gjenstand eller figur. På denne tiden får vi blant annet flere "bevis" for setningen om vinkelsummen i (rettvinklede) trekanter. Her oppstår også de klassiske geometriproblemene, som bl.a. tredeling av vinkel med passer og linjal.

Når det gjelder definisjoner, vet vi at Aristoteles (384-322 f.Kr.) betegnet vinkelen som knekk i en allerede rett linje. En slik definisjon kan vi finne igjen også hos dagens elever (Johnsen 1996, s. 33, se også Guri vedlegg 11.3, dialog 2).

6.1.3 Euklids "Elementene"Helt i starten av Bok I definerer Euklid de grunnleggende geometriske størrelsene, og i

definisjon 8 definerer han den plane vinkel:

En plan vinkel er inklinasjonen på hverandre av to linjer i et plan, som møter hverandre, og som ikke ligger på en rett linje.

Videre defineres også rette, stumpe og spisse vinkler. Euklids definisjon av vinkel er ingen smal definisjon, og den beskriver ikke anskuelige figurer, men snarere forholdet mellom to linjer (Krainer 1990, s. 138). Euklids definisjon av vinkler åpner også for vinkler mellom krumme linjer.

For Euklid blir altså vinkelen en størrelse som man kan operere med, og ikke en kvalitativ figur, slik som hos Aristoteles. Det kan virke som Euklid ikke så for seg vinkler på 180° eller større. Eksempel på dette er proposisjon 20 i Bok III:

En vinkel med skjæringspunkt i sentrum av en sirkel er dobbelt så stor som vinkelen som ligger på omkretsen, når vinklene har samme omkrets som basis.

Page 64: Det genetiske prinsipp

Denne setningen gjelder ikke når vinkelen som ligger på omkretsen er en stump vinkel (Krainer 1990, s. 139). Heron formulerte dette på en måte som inkluderte vinkler "større enn to rette vinkler":

Vinkelen … som ligger på sentrum av enhver sirkel er dobbelt så stor som vinkelen som ligger på omkretsen, når basen til vinklene er den samme; og de gjenstående vinklene som er i sentrum, og fyller opp de fire rette vinklene, er dobbelt så store, som vinkelen på omkretsen, når den er byttet ut med den [opprinnelige] vinkelen som er i sentrum (Heath vol. II 1956, s. 47).

Selv om Euklid hadde en ikke-figurativ oppfatning av vinkler, kom det figurative inn når han så på forholdet mellom to vinkler. Han sa nemlig at to like vinkler er to vinkler som dekker hverandre.

Dette betyr derimot at han stilltiende forutsetter eksistensen av bevegelse ved sin innføring av vinkelbegrepet (Krainer 1990, s. 141).

Krainer hevder at Euklids 4. postulat om vinkler ("At alle rette vinkler er like") førte til stor forvirring. Dette postulatet kan bevises med den 1. kongruenssetningen, slik Hilbert senere gjør det, og dermed burde det ikke vært et postulat.

En kan sammenfatte Euklids vinkelbegrep som "relasjon mellom to linjer" ("Neigung zweier Linien gegeneinander", Krainer 1990, s. 145). Dette til tross for at det går klart fram i "Elementene" at han så på vinkler som størrelser.

6.1.4 Gresk geometri etter Euklid: Proklos (411-485)Plutark … så på vinkelen som mål for åpningen mellom to rette linjer som går ut fra et punkt – som en form for avstand... (Krainer 1990, s. 146).

Det var Proklos fortjeneste at grekerne reflekterte omkring vinkelbegrepets vesen, og at det fikk status som et selvstendig begrep i den greske geometrien:

Noen av de gamle kategoriserte vinkelen som relasjon, og de kalte den for inklinasjonen av linjer eller plan; andre definerte den som kvalitet, og de sa at den var en bestemt karakter av en flate eller et legeme, på samme måte som rett og bøyd; andre definerte den som størrelse … (Proklos 1970, s. 98).

Proklos diskuterer så disse tre mulighetene, og han konkluderer med at vinkelen inneholder alle disse tre aspektene. Derfor blir det problematisk for den som prøver å definere vinkel som én av disse. Vinkelbegrepet trenger både det kvantitative, det kvalitative og relasjonen mellom linjene, og vinkelen kommer som et resultat av disse (Proklos 1970, s. 100). Her har vi altså fått en utvikling av begrepet. Fra Euklids definisjon av vinkelen som forholdet mellom to rette linjer, har vi nå fått et mer omfattende vinkelbegrep. Proklos forsto at vinkelen ikke lot seg definere på en enkel måte, men at en kunne oppfatte det på flere måter. En slik oppfatning gjør begrepet mer reflektert, men også mer komplisert.

6.1.5 Mot vår tids geometriDefinisjonen av vinkelbegrepet er et av de problematiske områdene. Vi har fått en del nye og

redigerte definisjoner av en vinkel. Choquet og Hilbert har gitt oss noen av de nyeste. Choquet definerer vinkelen som dreining, mens Hilbert har en mer statisk definisjon av vinkelen som ordnet par av to stråler (Krainer 1990, s. 99).

Hilberts oppbygging av geometrien er nok den mest vellykkede av de moderne forsøkene på

Page 65: Det genetiske prinsipp

å aksiomatisere geometrien, men vi ser at der stadig er noe uenighet omkring definisjonen av en vinkel. Vi skal se litt nærmere på Hilberts vinkelbegrep. Han startet med tre udefinerte termer: punkt, rett linje og plan. Ut fra forholdene mellom disse satte han opp et system av aksiomer. Tidlig i denne oppbyggingen definerte han også vinkelen:

La α være et plan, og h, k to vilkårlige stråler som går ut fra O i α, og som ligger på forskjellige linjer. Stråleparet h, k kalles for en vinkel, og blir betegnet … (Hilbert 1988, s. 11).

Videre definerte han strålene h og k som sidene i vinkelen og O som toppunkt til vinkelen. Så kommer et interessant punkt:

Skjeve og stumpe vinkler blir ekskludert ved denne definisjonen (d.s.).

Han definerte også innsiden og utsiden av vinkelen:

La strålen h ligge på linja h' og strålen k på linja k'. Strålene h og k sammen med punktet O, deler punktene i planet i to regioner. Alle punktene som ligger på samme siden av k som de på h, og også alle de som ligger på samme siden av h' som de på k', sies å ligge på innsiden av vinkelen ... Alle andre punkter sies å ligge utenfor, eller på utsiden av denne vinkelen (d.s.).

Deretter presenterte han som teorem 21 at alle rette vinkler er like, som han beviste ut fra aksiomene sine. Når det gjelder vinkler større enn 90 grader, definerte han dette like etter:

En vinkel som er større enn sin supplementvinkel kalles for en stump vinkel. En vinkel som er mindre enn sin supplementvinkel kalles for en spiss vinkel (Hilbert 1988, s. 21).

Vi legger merke til at Hilbert utelot rotasjon fra sin definisjon av vinkel. Vinkler større enn 180 grader ble også utelatt fra definisjonen av vinkel, og slike vinkler ble først definert noe senere. De problematiske vinklene 0°, 180° og 360° forblir stadig noe problematiske ut fra Hilberts definisjoner.

Schotten 1893 tar opp mange ulike vinkeldefinisjoner. Han starter med å diskutere litt omkring vinkeldefinisjoner, før han viser til et forslag av Hankel til en egen og svært enkel definisjon av vinkelbegrepet:

Det bilde vi får når to stråler går ut fra samme punkt kaller vi vinkel (Schotten 1893, s. 96).

Som et eksempel på en figurativ oppfatning av vinkelen viser han til definisjonen til Hoffmann. Han beskriver vinkelen som en sektor som er avgrenset av to stråler, men denne sektoren trenger ikke være lukket. I boken til Hoffmann står det videre:

Vinkelen er et stykke område som blir gitt form av linjebildet. Den er ... fosteret til formen (Schotten 1893, s. 98).

Ut fra dette foreslo Hoffmann å kalle vinkelbildet for "hjørne" eller "énkant". Dersom vi ser bort fra Hoffmanns definisjon av vinkelen som hjørne, kan vi dele inn vinkeldefinisjonene som framkommer hos ulike forfattere i tre grupper:

• Vinkelen som retningsendring• Vinkelen som et stykke område• Vinkelen som dreiningsstørrelse

Page 66: Det genetiske prinsipp

Schotten understreker hvor tett sammenheng det er mellom vinkel og retning, og han sier at en definisjon som vil gi en virkelig forklaring av vinkelen må ta hensyn til sammenhengen mellom vinkel og dreining (Schotten 1893, s. 99f). Han nevner også at det er en vanlig måte å omgå definisjonen av vinkel på å si at "en vinkel oppstår når…". Dette er nettopp en slik definisjonsmåte som Jahr kommer fram til i konklusjonen på sin artikkel (Jahr 1998, s. 27).

Tropfke 1903, s. 21-29, slår sammen Schottens retningsendring og dreiningsstørrelse idet han sier at der til i dag ikke fins enighet omm vinkelen. I hovedsak er det to forklaringsforsøk som dukker opp i ulike former:

1. Vinkelen som retningsforskjellen mellom to linjer (á la Euklid) som sikkert går tilbake til den platonske skole - med én modifikasjon i vinkel som en dreiningsstørrelse. Framhevingen av vinkel som dreiningsstørrelse skyldes i tysk kultur Moebius innflytelse fra 1840-årene.

2. Vinkel som et flatestykke som dannes av to stråler som går ut fra et punkt (Bertrand 1778: Un angle est une portion de superficie plane contenue entre deux lignes droites). Utbredt i Tyskland etter Baltzers "Die Elemente der Mathematik" fra 1870 (jf. Søgaard & Tambs Lyche 1954).

Noen vinkeldefinisjoner beskriver som nevnt vinkel som retningsforskjellen mellom to linjer. Slik var det Krainer oppsummerte Euklids vinkeldefinisjon, og en slik definisjon blir problematisk når en ser på vinkler som er 0°, 180° eller 360°.

Vinkler kan altså defineres som forskjell i retning mellom to rette linjer. Denne definisjonen stiller spørsmål om hvordan retning er definert og til hva slags størrelse vinkelen egentlig tilhører. Andre definisjoner beskriver vinkelen som forhold mellom linjer, som dreiningsstørrelse, som åpning og så videre.

Jacobs definerer vinkelen ved hjelp av stråler i sin lærebok i geometri (jf. Hilbert 1988, s. 11). Først definerer han derfor stråle:

En stråle ... er mengden av punkter A, B, og alle punkter X slik at enten A-X-B eller A-B-X (Jacobs 1987, s. 85).

På bakgrunn av dette definerer han så vinkelen som:

En vinkel er et par av stråler som har samme endepunkt (d.s.).

Denne definisjonen er svært enkel, og den skaper ikke problemer med vinkler på 0 grader, siden den ikke sier noe om at de to strålene ikke kan overlappe hverandre. Den sier derimot ikke noe om hvilken av de to åpningene mellom strålene som beskriver vinkelen. Dermed kan vi få litt problemer med vinkler som er større enn 180 grader, noe som ofte blir problemet når en ikke har med rotasjonsmomentet i definisjonen.

6.2 Forskning på vinkelbegrepetSom vi allerede har sett, er begrepet vinkel epistemologisk sett svært sammensatt, og derfor

vil en tro at begrepet kan være vanskelig å forstå for mange elever. For å unngå å bare stole på intuisjonen her, skal jeg se litt nærmere på noe av den forskningen som er gjort omkring vinkelbegrepet og elevers forståelse og utvikling av det. Den nyeste og mest omfattende er:

6.2.1 Mitchelmore & WhiteMitchelmore & White 2000, s. 209, refererer til ulike måter å definere vinkelen på, både i

lærebøker og historisk. Disse definisjonene deler de inn i tre klasser:

1. …størrelsen til rotasjonen omkring et punkt mellom to linjer …

Page 67: Det genetiske prinsipp

2. …et par av stråler med et felles endepunkt …3. …det området som blir dannet når to halv-plan skjærer hverandre

Disse tre klassene forekommer ofte når en forsøker å definere vinkel. Andre foretrekker å klassifisere etter vinkelens fysiske egenskaper med understreking av forskjellen mellom dynamiske og statiske sider ved begrepet.

De hevder at elevene har en del problemer i forbindelse med vinkelbegrepet. Blant annet har mange problemer med å oppfatte vinkel som rotasjon, og i stedet oppfatter de vinkelen som en figur, som knekk i en rett linje eller liknende. Videre ser de på utviklingen fra de begrepene barna møter i hverdagen, via de elementære matematiske begrepene til de formelle matematiske begrepene. De beskriver barnas utvikling av vinkelbegrepet etter denne modellen, og de formulerer tre "stadier" i utviklingen:

• Hverdagsidéer - situerte vinkelbegrep: Barna erfarer vinkler som fysiske objekter: sakser, fliser, ruter, kryss, karusell, sklie, bakke, tak, blyantspiss, brukket pinne, kran osv. Vi voksne kan se at dette inneholder vinkelidéer, men disse idéene er situasjonsbetingete, og barn vil ikke nødvendigvis se på dem som analoge begreper. Barn vil for eksempel ikke se at takvinkel og brattheten på en bakke inneholder samme vinkelbegrep, men de vil kanskje se at et jordras og snø som sklir ned fra taket kan klassifiseres under samme begrep for bratthet. I følge Mitchelmore & White har barn mange slike situerte vinkelbegrep før de begynner på skolen.

• Elementærmatematiske idéer - kontekstualiserte vinkelbegrep: På skolen utvikler barna en evne til å gruppere visse situasjonsbetingede idéer i klasser. I artikkelen blir 14 fysiske vinkelkontekster presentert: stigning, snuvinkel, kryss, hjørner, vendinger, retninger, åpninger osv. Disse overlapper gradvis med alderen og blir sett på som fasetter av samme begrep. De formes imidlertid ved empirisk abstraksjon og registreres best som andreordens hverdagsidéer. Barn kan sjelden definere begrep som stigning, åpning eller retning, men de kan godt beskrive hva det er.

• Formalmatematiske idéer - abstrakte vinkelbegrep: Så i det siste stadiet begynner barna å abstrahere, og de kan dermed lage definisjoner. Det å kunne se analogier mellom ulike vinkelkontekster er begynnelsen til et matematisk vinkelbegrep som krever en mental aktivitet hos eleven. Slike klasser av analoge kontekster danner bakgrunn for abstrakte vinkelbegrep. Mitchelmore & White har funnet flere slike abstrakte begrep: som et punkt (hjørne, kryss), en enkelt skrålinje (slope, turn), to skrålinjer som møtes i et punkt (som oftest). Inklinasjonen mellom de to linjene representerer ulike ting i ulike situasjoner, for eksempel skarphet, bratthet og dreining. Det siste av disse begrepene blir kalt for standard vinkelbegrep i artikkelen, og det utvikler seg sakte over lang tid. For eksempel er det 30% av 6. klasse elever som ikke lett kan se noen vinkelanalogi mellom dreining og bøying. (Mitchelmore & White 2000, s. 210-218)

Når barna har nådd det siste stadiet er de i stand til å sammenlikne ulike typer fysiske vinkelbegreper, og de er i ferd med å forme mer abstrakte begreper. Videre hevder de at konstruksjonen av et formelt matematisk begrep vil være et slags fjerde stadium, som de ikke tar videre opp i artikkelen (Mitchelmore & White 2000, s. 214ff.).

Denne teorien bruker de som bakgrunn for å forklare de vinkeldefinisjonene de møter i lærebøker:

Vår teori tillater oss å se på den mangeartede naturen til vinkelbegrepet i et nytt lys. Det grunnleggende vinkelbegrepet er det som er vanlig i en stor mengde vinkelkontekster, som overflatisk sett slett ikke er like. Hver fasett ved begrepet er en mengde relaterte sammenhenger ... For eksempel er rotasjonsdefinisjonen av vinkel model for sammenhengen med vending, strålepar-definisjonen er modell for sammenhengen med skjæring, og område-definisjonen er model for sammenhengen med hjørne (Mitchelmore & White 2000, s. 218).

Page 68: Det genetiske prinsipp

Undersøkelsen til Mitchelmore & White viser at barn sannsynligvis utvikler et standard abstrakt vinkelbegrep ut fra oppfatningen av vinkelen som hjørne, noe som stammer fra et fysisk område (Mitchelmore & White 2000, s. 232).

Den historiske diskusjonen i denne oppgaven dreier seg i hovedsak om forskjellige forklaringer av dette abstrakte vinkelbegrepet. En artikkel av Davey & Pegg fra 1991 grupperer barns definisjoner i fire typer abstraksjoner:

• et skarpt hjørne mellom to stråler• to stråler som møtes i et punkt• avstanden eller arealet mellom to stråler• forskjellen i bratthet mellom to stråler

Mitchelmore & White finner at å utvikle et modent abstrakt vinkelbegrep helt essensielt krever at en må lære seg til å knytte alle disse sammen, og de stiller seg kritisk til mange studier av abstraksjoner som bare jobber i én eller et par kontekster. Hovedspørsmålet deres er: Hvordan kan vi skape læringssekvenser som hjelper barn til å utvikle et slikt modent begrep som gjør dem i stand til å se analogier mellom mange ulike kontekster?

6.2.2 Konrad KrainerKrainer 1990 viser til studier av barns forståelse av vinkelbegrepet. Han sier at elever (12-13

år) har fire ulike måter å forklare vinkelbegrepet på:

• Ingen eksplisitte forklaringsforsøk• Uforståelige forklaringsforsøk• Vinkel som figur• Vinkel som størrelse

Flesteparten beskriver her vinkelen som figur, en definisjonstype som vi finner igjen i historien ved flere tilfeller. I likhet med Euklid ser det ut til at elevene har problemer med vinkler som er 180° eller større.

Krainer går også gjennom ulike måter å definere vinkelen på. Han skiller mellom definisjoner med rette linjer, definisjoner med stråler, vinkel som orientert vinkelfelt og andre nyere definisjoner. Han legger også vekt på at avhandlinger om vinkelbegrepet ikke bør bruke ulike vinkeldefinisjoner som tilnærming til vinkelen, men en bør se på ulike vinkelbegrep (Krainer 1990, s. 34). Han kommer også med en slags tredeling av vinkelbegrepene som likner den vi finner hos Schotten og andre (Krainer 1990, s. 37f.).

På bakgrunn av en avhandling av Gillian Close beskriver han så ulike oppfatninger som barn har i forhold til vinkelbegrepet. Mange elever hadde problemer med å gjenkjenne rette vinkler som var plassert rotert på arket, slik at vinkelbeina ikke var parallelle med kantene på arket. En av elevene mente at en rett vinkel alltid måtte "ligge riktig". Det var også mange elever som hadde problemer med å "se" vinkler mellom 180 og 360 grader. Close forklarer dette med at mange elever har et statisk vinkelbegrep, der de ser vinkel som "spisshet" på en knekt linje. Som en av hovedoppdagelsene i avhandlingen, fant Close ut at når elevene brukte en "full" gradskive i stedet for en "halv" ble de ikke bare flinkere til å måle vinkler, men de utviklet også en bedre forståelse av vinkelbegrepet. Videre gikk hun også inn på elevenes oppfatning av vinkelens størrelse. Hun så på hvordan vinkelbeinas lengde, vinkelens plassering på arket og vinkelbuens størrelse innvirket på dette. Close så også på sammenhengen mellom elevenes forståelse av vinkelmåling og forståelsen av selve vinkelbegrepet (Krainer 1990, s. 45-48)

I boken studerer Krainer ulike skolebøker og deres tilnærming til vinkelbegrepet. Han sier at de fleste av dem innfører vinkelen som en figur som oppstår ved dreining av en stråle om sitt utgangspunkt. Hovedvekten blir lagt på oppfatningen av vinkelen som del av et område, avgrenset av vinkelbeina. Bare unntaksvis blir vinkelen forklart som retningsforskjell. Ett av

Page 69: Det genetiske prinsipp

hovedproblemene, slik Krainer ser det, er at forfatterne av lærebøker begrenser seg til en eneste vinkeldefinisjon (Krainer 1990, s. 90).

Mange skiller mellom dynamiske og statiske vinkeldefinisjoner, der definisjoner av vinkel som dreining betraktes som dynamiske. Krainer stiller seg noe kritisk til et slikt skille, for han mener det er forskjell på kinematikkens oppfatning av dreining og oppfatningen av dreining som geometrisk avbildning (Krainer 1990, s. 99).

6.2.3 Norsk forskning

6.2.3.1 Einar JahrJahr har sett nærmere på selve vinkelbegrepet. Han nevner at lærebøkene gir helt forskjellige

beskrivelser av vinkelbegrepet. Han skisserer tre nivåer for å avklare vinkelbegrepet:

• Hva er en vinkel egentlig?• Hva skal vi si til studentene at en vinkel er?• Hva skal vi si til skoleelevene at en vinkel er?

Et viktig aspekt ved beskrivelser av vinkelbegrepet er i følge Jahr at de tillater at vinkelen kan måles. Han gir en vinkeldefinisjon som presenterer vinkelen som del av et uendelig stort plan. En liknende definisjon finner vi også hos Johann Schulz. Schulz hadde ingen problem med å regne med uendelig store størrelser, og Jahr hevder også at dette er uproblematisk, siden:

…måltallet for en vinkel ikke måler areal, men knyttes til vinkelen… (Jahr 1998a, s. 22).

Videre går han inn på begrepet kongruente vinkler. Euklid snakket også om like vinkler, og han sa at to like vinkler er to vinkler som dekker hverandre. Jahr forklarer det med en isometriavbildning. Ut fra dette definerer han en like vinkel som en som deler planet i to like store vinkler, og en rett vinkel som halvparten av en like vinkel. Han presenterer også radianer og nygrader som måter å måle vinkler på, og han hevder at:

…grader foretrekkes av historiske grunner og radianer av matematiske (d.s., s. 23).

Som en historisk definisjon viser han til Plutark og Karpos fra Antiokia, som definerte vinkel som avstand mellom skjærende linjer. Dette dreide seg ikke om avstand i egentlig forstand, og Jahr sier videre at de ved å behandle problemet slik:

…nærmet seg et begrep om forskjell i retning som har med grenseverdier og derivasjon å gjøre (d.s., s. 24).

Så knytter han dette opp til det genetiske prinsipp og Piaget:

Piaget kalte det sin "kongstanke" at det enkelte menneskes erkjennelse utvikler seg analogt med menneskehetens erkjennelse. Det betyr at vi ifølge denne tanken skal kunne finne forestillingen om vinkel som avstand mellom skjærende linjer hos våre skoleelever (d.s., s. 24)

Han hevder at dette også er tilfelle, dessverre uten noen referanser som kan støtte opp om dette. Videre mener han at en derfor bør se med mildere øyne på denne feiloppfatningen, fordi den har antikke aner.

Med henvisning til historiske oppfatninger, hevder han at vinkelen kan oppfattes innenfor tre kategorier, nemlig som kvantitet, kvalitet eller relasjon. Jahr går også gjennom flere andre vinkeldefinisjoner, og til slutt oppsummerer han med at:

Page 70: Det genetiske prinsipp

I stedet for å si hva en vinkel er…, bør vi si at en vinkel dannes av to stråler med felles endepunkt. Så kan hver og en beholde sine egne forestillinger om vinkelens egentlige vesen (d.s., s. 27).

6.2.3.2 Veslemøy JohnsenJohnsen hevder at det er fruktbart å knytte måling med gradskive sammen med

oppbyggingen av vinkelbegrepet. Videre sier hun:

Våre observasjoner viser at elevene har få problemer med begrepene spiss, rett og stump vinkel, men 180 grader er også for "våre" elever et stort problem (Johnsen 1996, s. 45).

Læreren i denne klasseromsstudien utfordrer hele tiden elevene på feiloppfatninger de måtte ha. Derfor har for eksempel ikke elevene i denne klassen problemer med å forholde seg til vinkler der vinkelbeina har ulik lengde, noe som ellers er et vanlig problem. Læreren vektlegger prosessen, og i Lakatos ånd lar han elevene være med på å lage definisjoner av de matematiske begrepene. Likevel ser vi at elevene har visse problemer med vinkler større enn 180 grader, og de er også usikre på de vanskelige vinklene 0°, 180° og 360° (d.s., s. 47).

6.2.3.3 Resultater fra KIM-prosjektetDet materialet jeg skal ta for meg er resultatene fra tre ulike diagnostiske prøver, og de

oppgavene som har med vinkler å gjøre. Vi har dessverre ikke fått tilgang til veiledningsheftene som skal følge med og fortelle mer om intensjonene bak de diagnostiske prøvene.

Prøve I fra 1998Første aktuelle oppgave er nr. 9. Her får elevene spørsmål om hvor mange vinkler de ser (se

vedlegg 11.2). I oppgave a) viser det seg at hele 84,7% av elevene bare ser en vinkel her. Ca. 11% av elevene så to vinkler. I oppgave b) var det 58,3% som så to vinkler og 32,1% som så tre vinkler. 1% av de spurte så seks vinkler og 0,2% (en elev) så 9 vinkler. Dette resultatet kan tyde på at elever er så vant med å se vinkler mindre enn 90 grader, at de ikke er klar over vinklene som er større enn 180 grader.

Prøve F fra 1998I oppgave 3 på denne testen får elevene spørsmål om å peke ut rette vinkler, når fem vinkler

er gitt (se vedlegg 11.2). Her klarte 46% av elevene å se alle de tre rette vinklene, mens 40.9% bare så vinkel A og D. Vinkel B, som er rotert, klarte de ikke å se. Vi nevnte over at mange elever har problemer med vinkler der vinkelbeina ikke ligger parallelt med kantene på arket. I oppgave 8 i samme prøven ble elevene spurt om hvilken av de markerte vinklene de tror er størst. Det er litt interessant å se at hele 39% av elevene svarte vinkel 4, som jo faktisk er den minste vinkelen, men som har lengst vinkelbein. 33,6% av elevene svarte vinkel 2, som er det rette svaret. Vi legger merke til at denne vinkelen har korte vinkelbein, og vinkelen er også rotert, slik at den ikke er plassert med vinkelbeina parallelt til kanten på arket.

Når elevene så fikk spørsmål om hvilke vinkler som var minst, var det hele 37,2% som svarte vinkel 1 og 13,9% som svarte vinkel 2. Vi ser at disse to vinklene har kortest vinkelbein.

Prøve fra 1999Denne prøven er ganske lik prøve I fra 1998. På spørsmål om hvor mange vinkler elevene

ser på hver av figurene i oppgave 7 (se vedlegg 11.2), var det hele 83,1% som bare så én vinkel i oppgave a), 41,3% så to vinkler i oppgave b) mens 48,5% så tre vinkler. Tendensen her er akkurat den samme som foran.

Page 71: Det genetiske prinsipp

6.3 Vinkelbegrepet i hverdagenI ung alder lærer barn å klassifisere objekter. Vinkel kan også være et objekt som de støter

på, og klassifiseringen av dette objektet vil derfor avhenge av hvordan barna har møtt vinkelbegrepet i hverdagen. Dersom barnas naturlige møte med vinkelbegrepet er svært ulikt definisjonen av begrepet i matematikken, vil de kunne oppfatte dette som problematisk.

Her skal jeg se litt på hvordan vi kan møte vinkelbegrepet til daglig, i aviser, tidsskrifter og liknende. Jeg vil så sammenlikne dette med det vinkelbegrepet elevene møter i sine lærebøker i matematikk.

6.3.1 Vinkelbegrepet i oppslagsverkI moderne leksikon står det at ordet vinkel kommer fra det middelaldertyske ordet for

hjørne, og det defineres som:

En geometrisk figur som dannes av to rette linjer fra samme punkt; dette punkt kalles vinkelens toppunkt og linjene vinkelens ben. Man kan også tenke seg at vinkelen er oppstått ved at et ben dreies ut fra det andre med toppunktet som sentrum (Kortner et al. 1991, s. 431).

Vi ser at vinkelen betegnes som en figur, og at den kan oppstå ved en dreining. Senere står det også om måling av vinkler, og at 360° betegnes full vinkel, mens 90° betegnes rett vinkel. Radianmål for vinkler blir også omtalt.

I Caplex nettleksikon blir vinkelen definert slik:

vinkel, mat., er en geometrisk figur som dannes av to stråler som gårut fra et felles punkt, toppunktet. V. måles i den bue den avskjærerav en sirkel med sentrum i vinkelens toppunkt, enten i grader (helesirkelen 360 °) el. radianer (Wikstrøm 2001)

Her er dreiningsaspektet helt borte, og vinkelen blir definert på en tilnærmet euklidsk måte. I tillegg har de tatt med målingsaspektet.

Hvis vi ser på hvordan vinkelen defineres i Kunnskapsforlagets Matematikkleksikon, finner vi en litt annerledes ordbruk:

En vinkel består av to stråler som går ut fra samme punkt O (vinkelens toppunkt) i et orientert plan. De to strålene kalles vinkelens ben. To stråler som går ut fra samme punkt, bestemmer to vinkler… (Thompson 1997, s. 471).

Denne definisjonen er en ganske typisk moderne og hilbertsk definisjon av vinkel som bestemt sett av to stråler. De bruker også mye av den samme benevningen som Hilbert gjorde.Deretter definerer de kongruente vinkler, vinkelmål og noen andre vinkelbegreper. Så kommer også rotasjonsbegrepet inn:

Hvis de to strålene som danner vinkelen betraktes i en viss rekkefølge, kalles vinkelen orientert. Vinkelen kan da anses som fremkommet ved en rotasjon. Hvis den skjer mot klokken, kalles vinkelen positiv. Foregår den med klokken kalles vinkelen negativ (d.s., s. 472).

Den samme ordbruken ble tidligere brukt om ordnede vektorpar og deres orientering. Her får vi altså inn en litt mer reflektert oppfatning av vinkelen. Vinkelen kan oppfattes både som retningsforskjell mellom to linjer, og som rotasjon. Disse definisjonene utfyller hverandre, og en bør nok ha med begge aspekter for å få en fullstendig definisjon.

Page 72: Det genetiske prinsipp

6.3.2 Vinkelbegrepet i mediaDet kan være interessant å se litt på hvordan vinkelbegrepet oppfattes og brukes i

massemedia. I den anledning har jeg foretatt et lite søk i vår lokalavis Fædrelandsvennen, for å se hvor dette begrepet har dukket opp den siste tiden.

6.3.2.1 Sunket russisk marineubåtTidlig på høsten 2000 sank den russiske marineubåten "Kursk" og 116 personer omkom. I

forsøket på å komme inn i den havarerte ubåten prøvde redningsarbeiderne å koble en dykkerklokke til ubåten:

Samtidig vet ingen bedre enn mannskapet hvor vanskelig redningsarbeidet er ettersom "Kursk" har en betydelig slagside, kanskje så mye som 60 grader. Dykkerklokken må koble seg på "Kursk" i rett vinkel for at mannskapet skal kunne sluses opp og i frihet (Fædrelandsvennen, 16.08.00).

Her dukker vinkelen opp på to måter. Først beskrives skipets slagside som så stor som 60 grader. Deretter må dykkerklokken koples på i rett vinkel. Rett vinkel er som vi har nevnt tidligere et av de eldste geometriske begrepene, og de fleste har en klar oppfatning av hva dette betyr.

6.3.2.2 Havnelageret på KokkenesTidlig i mai 2000 var det en sak om rivingen av havnelageret i Lillesand, der arkitekten

foreslo å bygge et nytt IT-bygg:

Arkitekten sier han har gitt den nye bygningen en mer spenstig takvinkel og at takvinkelen på havnelageret er flatere enn det som er vanlig i Lillesand (Fædrelandsvennen, 05.05.00).

Takvinkler er også noe vi møter i mange lærebøker i matematikk på grunntrinnet, men "flate" vinkler er et nytt begrep. Mer matematisk riktig ville det nok vært å bruke "stump", men vi skjønner meningen. En flat takvinkel må være en vinkel som nærmer seg flaten, altså den rette linja, som jo er 180 grader.

6.3.2.3 Forskning på straffer i fotballI begynnelsen av juni 2000 skrev avisene om en britisk forskningsrapport som skulle hjelpe

fotballmålvakter å redde straffer:

-Hvis straffetakeren er høyrebeint og hoftene hans er i rett vinkel i forhold til keeper når skuddet tas, går straffene så godt som alltid til høyre for keeper, slår Mark Williams ved John Moores Universitetet i Liverpool fast.-Hvis hoftevinkelen er mer åpen eller vinklet bort fra keeper, vil skuddet som regel gå til venstre, sier han (Fædrelandsvennen, 08.06.00).

Denne rapporten ble offentliggjort omtrent da EM i fotball startet, men det ble likevel sluppet inn ganske mange straffemål i turneringen. Kanskje målvaktene hadde problemer med å forstå hva det vil si at straffetakerens hofter "er i rett vinkel i forhold til keeper"?

6.3.2.4 Start borte mot MoldeSportsjournalister bruker ofte vinkelbegrepet, og særlig de som skriver om fotball. Her er et

utdrag fra artikkelen som kom etter at Start spilte uavgjort borte mot Molde i midten av august 2000:

Bare fire minutter etter ble det tyst som i graven på Molde stadion. Da ladet Kristian Sørli godfoten og fra 25 meters hold føk ballen som en prosjektil opp i vinkelen til en måpende

Page 73: Det genetiske prinsipp

Morten Bakke (Fædrelandsvennen, 14.08.00).

Her brukes "vinkelen" om de to øvre hjørnene av målet, som er to rette vinkler. Mange elever har også en intuitiv oppfatning av at en vinkel er på 90 grader. Det er på mange måter en forståelig misoppfatning, for de møter jo ofte vinkler i form av rette vinkler i hverdagen.

6.3.2.5 USA mot Brasil i OLI semifinalen i fotball for kvinner mellom USA og Brasil fikk USA sitt vinnermål i en

omstridt situasjon. Amerikanske Tiffany Milbrett burde etter manges mening vært avblåst for angrep på keeper, men i stedet endte det i mål:

I den omstridte situasjonen gikk Milbrett i duell med Brasils målvakt Andreia på et innlegg fra venstre, og Hamm kunne slå ballen i tomt mål fra spiss vinkel. Brasilianerne protesterte fortvilt, men den sveitsiske dommeren godkjente målet (Fædrelandsvennen, 24.09.00).

Her ser vi at begrepet spiss vinkel dukker opp, og dette begrepet møter vi ofte i fotball. En spiller kan skyte fra spiss vinkel, og som vi så i 6.3.2.4 kan han også skyte i vinkelen, altså i hjørnet på målburet.

6.3.3 Andre møter med vinkelbegrepetVi har nå sett noen eksempler på hvordan vi kan treffe på vinkler i dagliglivet. Vi kan tenke

oss mange andre situasjoner. For eksempel kan vi treffe på vinkel som vending, som helling (for eksempel hellingen til en rampe), som fall, som grader (N, S, Ø og V), på veiskilt (en bakke har en helling på 8%) og mer språklige uttrykk som angrepsvinkel, synsvinkel osv.

I orientering møter vi også vinkelbegrepet. Et kompass er delt inn i grader. Noen kompass er delt inn i 400° (nygrader), mens andre er delt inn i tradisjonelle 360°. Når vi tar ut en kompasskurs, for å orientere oss fra et sted til et annet, finner vi en retning som i virkeligheten bare er en vinkling i forhold til nord. Vi finner for eksempel at vi skal følge en kurs på 240°. Kompasset er delt inn i de fire himmelretningene: N, Ø, S og V. I en sirkel som er delt inn i 360° utgjør vinkelen mellom hver av disse 90°. Vi snakker også om misvisning. Et kart kan for eksempel ha en misvisning på 2°. Misvisningen kan være østlig eller vestlig. Hvis misvisningen på 2° er østlig, må vi trekke fra to grader på kursen, og hvis den er vestlig må vi legge til to grader.

6.4 LæreplanenI den spesielle delen til Læreplanen L-97 står det om strukturen til matematikkfaget:

Videre legges det vekt på å utvikle begreper i geometri. Geometrien har gjerne vært knyttet til måling og beregning, tegning og konstruksjon og til dels logikk og bevisføring. I vid forstand er geometri den delen av matematikken som dreier seg om å danne og bruke visuelle forestillinger. Læreplanen legger til grunn en slik bred forståelse, der geometri også blir et område for utfoldelse av fantasi og formsans (KUF 1996, s. 156)

Vinkelbegrepet er helt klart et av disse begrepene det legges vekt på å utvikle, og vi finner også igjen vinkelbegrepet i måling og konstruksjon. Vinkelbegrepet må også kunne komme inn under visuelle forestillinger.

Hvis vi ser litt på hva L-97 sier om vinkelbegrepet eksplisitt for de enkelte klassetrinnene, finner vi mye interessant. Begrepet dukker opp allerede i 3. Klasse, men så kommer det ikke noe mer om vinkelen før i 6. Klasse. Deretter går det slag i slag for de neste tre skoleårene.

Det heter "I opplæringen skal elevene …":

Page 74: Det genetiske prinsipp

3. Klasse:

erfare vinkel som det å dreie rundt et fast punkt, spesielt kvart omdreining som rett vinkel (KUF 1996, s. 161).

6. Klasse:

gjøre erfaringer med vinkel som en dreining omkring et punkt og som to stråler ut fra et punkt. Bli kjent med vinkelmål … arbeide med grunnleggende plangeometriske begreper som punkt, linjestykke, rett linje, stråle, vinkel og kurve og med lukkede kurver som mangekant og sirkel (d.s., s. 164).

7. Klasse:

gjøre erfaringer med å bruke avstander og vinkelmål, blant annet til å beskrive flytting (d.s., s. 165).

8. Klasse:

…arbeide med parallellitet og vinkelmål, tegne og konstruere vinkler, … (d.s., s. 167).

9. Klasse:

…arbeide med vinkler i mangekanter, spesielt innholdet i og begrunnelsene for setninger om vinkler i trekanter og firkanter (d.s., s. 168).

Vi ser altså en utvikling, der elevene skal utvikle et vinkelbegrep som beskriver vinkel som både dreining omkring et punkt og som stråler ut fra et punkt. Det virker som at Læreplanen legger vekt på at elevene tidlig skal få en dynamisk forståelse av vinkelbegrepet, og ikke bare en statisk og figurativ, samtidig som måling av vinkler blir vektlagt på flere klassetrinn.

Vi forsøkte å avdekke en utvikling av vinkelbegrepet i læreplanene fra 1974 til 1987 og fram mot vår læreplan, L-97. Dette lot seg ikke gjennomføre, da de to første læreplanene ikke sa noe spesifikt om selve vinkelbegrepet. Det vil si at M-74 brukte vinkelbegrepet en del, men den sa ikke noe om hvordan det skulle undervises.

6.5 Eldre lærebøkerFor å avdekke mer kulturelt betingede oppfatninger og hindringer i Norge, skal jeg se på

noen eldre lærebøker i matematikk.

6.5.1 Christian Wolffs lærebok fra 1741Dette er en av de riktig gamle lærebøkene i matematikk i Norge, og den beskriver både den

rene matematikken generelt og geometrien spesielt. Den har en interessant definisjon av vinkelbegrepet:

Naar man sætter tvende Linier AB og AC til sammen i en Punkt A, dog saaledes at de ikke giøre een ret Linie med hinanden, da kaldes Aabningen, imellom begge Linierne, en Vinkel (Wolff 1741, s. 42).

Vinkelen betraktes altså som en åpning mellom to stråler, en ganske figurativ oppfatning. Rotasjonselementet er helt fraværende her. Vinkler på 0°, 180° og 360° fins ikke ut fra denne

Page 75: Det genetiske prinsipp

definisjonen, siden de ikke har noen "åpning". Det virker også som definisjonen glemmer at to stråler ut fra et punkt faktisk danner to ulike vinkler.

En vanlig feiloppfatning er at elevene oppfatter vinkler med lange vinkelbein som større enn vinkler med korte vinkelbein. Dette forsøker Wolff å rydde opp i:

Eftersom vinkelens Størrelse A bestaaer af lige saa mange Grader, som en saadan Bue DE eller BC er afdeelt udi saa er det lige meget om Buen DE bliver aftegnet med en stor eller liden Radio, naar man vil maale Vinkelen (d.s., s. 44).

Wolffs beskrivelse av kongruens tar utgangspunkt i vinkelens mål:

Naar toe Vinkler har et og det samme Maal, saa ere de lige store; og naar de ere lige store, have de et og det samme Maal (d.s., s. 45).

6.5.2 Olav Schulstads lærebok fra 1931Denne boken er 2. del av et lærebokverk i "Regning og Rumlære" for lærerskolen. Dette

bindet tar for seg plangeometri. Slik definerer Schulstad vinkelbegrepet:

Linjene AB og AC skjærer hinannen i punktet A. Den del av planet som ligger mellom to rette linjer som skjærer hinannen (når disse regnes bare på den ene siden av skjæringspunktet), kalles en vinkel (Schulstad 1931, s. 9).

Nok en gang dreier det seg om en definisjon som bestemmer vinkelen som en figur, nemlig som en del av planet mellom to linjer som skjærer hverandre. Definisjonen har en kommentar om at vinkelområdet bare regnes på den ene siden av skjæringspunktet. En slik definisjon skal antakelig vise hvilken vinkel en sikter til, men den kan kanskje også bli misforstått slik at en bare regner med vinkler som er mindre enn 180°. Rotasjonsmomentet i vinkeldefinisjonen er helt borte her.

6.5.3 Søgaard & Tambs Lyches lærebok fra 1954Dette er en lærebok i matematikk "for den høgre skulen", for de to første klassene. Boka har

et omfattende kapittel om vinkler, som innledes med en definisjon:

Ein vinkel er eit stykke av eit plan som er avgrensa frå resten av planet med to strålar som går ut frå det same punktet i kvar si retning (Søgaard & Tambs Lyche 1954, s. 108).

Denne definisjonen er ganske lik den til Schulstad, men her blir de rette linjene kalt for stråler. Definisjonen sier ingenting om hvilket av de to avgrensete planene vi skal se på. Litt senere kommer en slags fortsettelse av definisjonen, som tar opp størrelsen på vinkelen:

Når vi talar om storleiken på ein vinkel, tenkjer vi ikkje på flata mellom strålane, for ho er alltid utan noka tredje grense. Men vi tenkjer på kor mykje strålane sprikjer. Di meir dei sprikjer, di større er vinkelen (d.s., s.109).

Boka gir også en forklaring av vinkelbegrepet som rotasjon:

Strålane a og b … går ut frå det same punktet T. Vi tenkjer oss at strålane frå fyrsten fell saman. Så fører vi strålen b kring T i den leia pila viser. Di lenger vi fører han, di større vert vinkelen mellom a og b … (d.s., s.110f.)

Kongruens mellom to vinkler blir forklart på en svært enkel måte, men på en måte som kan gi rom for feiloppfatninger:

Page 76: Det genetiske prinsipp

Skal vi samanlikna to vinklar, kan vi teikna av den eine på gjennomsynleg papir og flytta han over på den andre, så dei får topp-punktet og den eine strålen sams. Fell då og dei to andre strålane saman, er vinklane like store (d.s., s.109f.).

Vi kan godt tenke oss at elever som skal sammenlikne to vinkler på henholdsvis 90° og 270° kan få disse til å bli like store. De to strålene faller sammen når vi vrir arkene, og da skal vinklene være like store.

6.5.4 Angen & Ingvaldstads lærebok fra 1961Denne læreboka er ei "Reknebok for Framhaldsskulen", og gir også en definisjon av vinkel:

Opningen mellom to rette liner som skjer einannan, kallar vi ein vinkel (Angen & Ingvaldstad 1961, s. 61).

Videre forteller boka hvordan vi benevner vinkler, forskjellen på spisse, stumpe og rette vinkler, og hvordan gradene er bygd opp. Her blir altså vinkelen definert som ei åpning mellom to skjærende linjer. Definisjonen kan lett bli problematisk når vi ser på vinkler som er større enn 180°, og rotasjonselementet er helt fraværende her. Ingen av figurene som blir gitt i boka tar heller for seg vinkler som er større enn 180°.

6.5.5 Jakobsen, Egeland & Winthers lærebok fra 1965"Matematikk for enhetsskolen" er et læreverk i matematikk, og denne boka er for 5. skoleår.

Før den presenterer selve vinkelen, ser den på sirkelen tegnet med passer. Den deles inn i 360 grader som et sykkelhjul. Diameteren deler sirkellinjen i to buer på 180 grader, og ved å brette denne sirkelsektoren får vi en 90 graders bue. De deler så inn sirkelen i nye og mindre sirkler, som ei skyteskive. Da ser vi at vinklene er like store for hver av sirklene.

Så presenterer de selve vinkelen ved help av dreining av en blyant fra AB til BC.

Blyanten har nå beskrevet en vinkel (Jakobsen, Egeland & Winther 1965, s. 63).

Deretter viser de en åpen passer og sier at passerbeina danner en vinkel, der de to strålene (vinkelbeina) BA og BC går ut fra punktet B, som er vinkelens toppunkt. Når vi snakker om størrelsen på vinkelen, tenker vi på hvor mye vinkelbeina spriker. Lengden av vinkelbeina har ikke noe å si for størrelsen på vinkelen. Dersom BA og BC går i samme retning,

danner strålene ingen vinkel. Vinkelen er null (d.s., s. 64).

Dreies BC mer og mer ut fra BA mot urviseren, beskriver BC en stadig større vinkel. Et punkt P på BC vil da tegne en større og større sirkelbue som vi bruker til å måle størrelsen av vinkelen, ved hjelp av en gradmåler. De definerer så like, rett, spiss og stump vinkel. Så beskriver de vinkler ved hjelp av urvisere og halvering av vinkler og normaler ved bretting (d.s., s. 60-68).

6.6 Moderne lærebøker etter L-97I Læreplanen så vi at elevene skulle møte vinkelbegrepet som dreining i 3. klasse. Vi gikk

derfor inn og så på dagens lærebøkene for dette klassetrinnet, for å se hvordan Læreplanens intensjoner viste seg i den konkrete utformingen av lærebøkene. Vi så på følgende lærebøker: "Matematikktakk", "Tusen millioner", "Pluss" og "Regnereisen".

"Matematikktakk" presenterer vinkelbegrepet indirekte i ulike geometriske figurer. Boka bruker en del speiling og symmetri, og den gir elevene konkrete tegneoppgaver. Det eneste begrepet som har med vinkel å gjøre som blir presentert eksplisitt, er at noe står vinkelrett på noe annet. Boka

Page 77: Det genetiske prinsipp

tar ikke opp vinkelbegrepet som dreining i det hele tatt.I "Tusen millioner" blir også speiling av geometriske figurer brukt, og her kunne en selvsagt

ha presentert vinkelen. I stedet blir vinkelen presentert litt senere i boka, på en svært så figurativ måte. Det blir sagt at hjørnene i de geometriske figurene som boka presenterer, kalles vinkler. Her brukes altså den eldste betydningen av ordet vinkel som forklaring. Heller ikke denne boka tar opp vinkelbegrepet som dreining, og denne boka gir kanskje den mest ekstremt figurative presentasjonen av vinkelbegrepet.

"Pluss" presenterer vinkelen gjennom en praktisk oppgave, der elevene skal lage bjeller og kremmerhus. Vinkelbegrepet dukker jo her opp på to måter, både på arket som brettes til bjelle, og som åpningen i kjegla. De skal se hvordan de kan lage vinkelen på bjella eller kremmerhuset spissere eller buttere. Dette er en veldig fin og spennende tilnærming, selv om det nok blir litt mye oppskrift. Det kunne vært spennende bare å gi elevene i oppgave å lage et kremmerhus som hadde plass til flest mulig drops. I lærerens idébok aner vi en litt uventet tolking av læreplanens definisjon av vinkel som dreining:

La elevene leke litt med passeren og lage vinkler ved å dreie rundt et fast punkt (Haanæs & Bruun Dahle 1998, s. 49).

Det ser altså ut til at de har tolket læreplanens begrep om vinkel som dreining som at en kan lage vinkler ved å dreie passeren rundt et fast punkt.

"Regnereisen" presenterer vinkelbegrepet gjennom noe de kaller for "vinkelspillet". Her skal elevene lage rette vinkler ved å tegne streker på et punkt-brett. Samtaler med lærebokforfatteren viser at han mener at elevene da lager vinkler ved å dreie, slik Læreplanen definerer det. Ellers mener han at introduksjonen av vinkelbegrepet som dreining er et vanskelig begrep å fange opp i en lærebok, og at lærerne her må gå utenfor læreboka når de skal presentere stoffet. Elevene kan møte vinkelen som dreining i praktiske situasjoner der de må dreie kroppen, og derved lager vinkler.

6.7 Epistemologiske hindringer/diskusjonVår diskusjon foran kan oppsummeres i 8 ulike idéer knyttet til vinkelbegreper:

• Etymologi: middelaldertyske ordet som egentlig betyr hjørne.• En geometrisk figur som dannes av to rette linjer fra samme punkt (bein og toppunkt).• Oppstått ved at et bein dreies ut fra det andre med toppunktet som sentrum.• Inklinasjonen til hverandre av to kurver i et plan, som skjærer hverandre og ikke ligger på ei

rett linje. • Dersom kurvene er rette linjer så kalles vinkelen rektilineal (hos Euklid er det et slikt skille).• "Deflection/breaking" i.e. avvik/brudd mellom to linjer (Aristoteles).• Én brukket linje som danner en vinkel (Apollonios). • Størrelsen på forskjellen mellom retningene mellom to linjer (Plutark).• En størrelse, nemlig avstanden mellom de to linjene som danner den (Karpos) - i

rotasjonsbetydning mer enn lineær betydning, i.e. lengden av en sirkelbue.

Når vi her har studert den historiske utviklingen av vinkelbegrepet, blir så den neste utfordringen å se hvordan denne kunnskapen kan brukes i skolen, for å legge opp til undervisningsopplegg som gjør at elevene kan utvikle riktige begreper. Vi så at Brousseau presenterte et program for hvordan en skal bruke teorien om epistemologiske hindringer (Brousseau 1997, s. 99). Først skal en finne feil som stadig oppstår hos elever, så finne hindringer i matematikkens historie. Til slutt skal en sammenlikne historiske hindringer med læringshindringer og etablere deres epistemologiske karakter. I denne sammenhengen har jeg ikke hatt mulighet til å undersøke feiltyper hos elever først, så jeg har støttet meg til tidligere forskning på dette punktet. Jeg har forsøkt å følge den historiske utviklingen til vinkelbegrepet, og jeg har funnet noen epistemologiske hindringer her. For å få en praktisk tilnærming til teorien, skal jeg videre utforme et

Page 78: Det genetiske prinsipp

undervisningsopplegg for en skoleklasse. I dette opplegget vil jeg bruke det jeg har funnet om epistemologiske hindringer til å utfordre elevenes oppfatninger omkring de aktuelle begrepsområdene, slik at de kan bli klar over eventuelle læringshindringer og overkomme disse hindringene.

Som vi har sett i dette kapitlet, finner vi mange uklarheter i den historiske utviklingen av vinkelbegrepet. Euklid kom med den første fullstendige utformingen av et teoretisk vinkelbegrep, og allerede her finner vi grunnlag for feiloppfatninger. Definisjonen åpner for en svært figurativ oppfatning av vinkelen, og vi får problemer med vinkler som er større enn 180°. Ut fra denne definisjonen er det også problematisk å få forståelse for de problematiske vinklene på 0°, 180° og 360°. Vi har også sett at mange definisjoner enten holder seg til en slags figurativ oppfatning av vinkelen som avstand mellom to rette linjer som skjærer hverandre, eller de velger å oppfatte vinkelen som rotasjon. Bare noen få definisjoner tar med begge aspektene. Mitchelmore & White 2000 peker på at mange elever har problemer med å oppfatte vinkel som rotasjon, og at elevene bare får en figurativ oppfatning av vinkelbegrepet. Her ser det ut til at vi kan etablere en sammenheng mellom begrepets historiske utvikling og misoppfatninger som elever har, altså kan det tyde på at vi har avdekket en epistemologisk hindring her. Det ser ut til at dagens norske læreplan forsøker å gjøre noe med dette. Allerede i 3. klasse skal elevene få erfaring med vinkel som dreining om et fast punkt. Hele tiden legger en også vekt på måling av vinkler og elevene skal også få forståelse av vinkelens størrelse. Det er interessant å se hvordan lærebøkene tolker dette, eller eventuelt hvordan de utelater å ta opp dette. Det virker som at læreplanen allerede hos lærebokforfatterne støter an mot en epistemologisk hindring.

Den euklidske definisjonen, og andre senere definisjoner beskriver vinkelen som flaten mellom to skjærende linjer. Altså blir vinkelen oppfattet som en figur, og når en da skal vurdere vinkelens størrelse er det en mulighet for at en kan ta i betraktning vinkelbeinas lengde. Slik blir altså en mulig hindring at vinkelbeinas lengde, og dermed også vinkelfigurens "størrelse" har noen innvirkning på vinkelens størrelse. Noen elever gjør feil her. Derfor er det også vanlig i diagnostiske tester å presentere stumpe vinkler med korte vinkelbein og spisse vinkler med lange vinkelbein, og spørre hvilken vinkel som er størst.

En måte å definere vinkelen på er å si at:

…den delen av planet som ligger mellom to rette linjer som skjærer hinannen … kalles en vinkel (Schulstad 1931, s. 9).

Når vinkelen blir definert slik, glemmer en fort at to linjer som skjærer hverandre, eller to stråler som går ut fra samme punkt, faktisk danner mer enn én vinkel. Ut fra slike definisjoner kan elevene lett få den oppfatningen at to skjærende linjer bare danner én vinkel, og naturlig nok ser de da bare den minste vinkelen. Denne vinkelen er som regel spiss, eller i alle fall mindre enn 180°. Derfor ser vi i diagnostiske tester tegning av "en vinkel" (to stråler som går ut fra samme punkt), og spørsmål om hvor mange vinkler eleven ser i figuren. Mange elever ser da bare den minste vinkelen som ligger mellom de to linjene. Den oppfatningen elevene har i denne sammenhengen er også nært knyttet til problemene med å oppfatte vinkler større enn 180°.

Vi kan altså avdekke flere epistemologiske hindringer som er knyttet til den historiske utviklingen av vinkelbegrepet. Tidligere i oppgaven har vi sett på definisjoner som gir et inntrykk av vinkler som i beste fall er mangelfullt. Problemet med de fleste vinkeldefinisjonene vi har sett på, er at de gir et for unyansert bilde av vinkler. Ut fra disse definisjonene er det lett å få et snevert syn på vinkler, og en kan få problemer med å oppfatte vinkler som ikke passer direkte inn i definisjonen. Slik oppstår epistemologiske hindringer, som vi finner igjen i feil som elever gjør.

I neste kapittel skal vi undersøke nærmere om vi kan finne igjen tilsvarende læringshindringer hos elevene.

Page 79: Det genetiske prinsipp

7 Klasseromsstudie

Min eksempelstudie i skolen foregår i en 9. klasse. Elevene skal i følge læreplaner og lærebøker ha vært borti vinkelbegrepet ved flere anledninger tidligere. I kapittel 6.4 så jeg på hva læreplanen sa om vinkelbegrepet, og jeg har også sett på hvordan ulike lærebøker behandlet dette. Nå skal jeg ta for meg lærebøkene som disse elevene har og har hatt, for å se hvordan de har møtt vinkelbegrepet i skolen. På bakgrunn av det jeg fant ut om epistemologiske hindringer i kapittel 6.7, skal jeg skissere et undervisningsopplegg for den perioden jeg skal ut i klassen.

7.1 Elevenes forkunnskaper

7.1.1 Lærebøker på småskoletrinnet Når elevene kommer opp på ungdomstrinnet har de allerede hatt mye geometri, og de har lært mye om vinkelbegrepet. Denne klassen bruker Cappelens læreverk, så derfor har jeg tatt for meg Cappelens læreverk i matematikk på barnetrinnet, ”Tusen Millioner”, for å se på hvordan vinkelbegrepet er blitt presentert for elevene tidligere.

2. klasse er første året elevene har lærebok i matematikk, og da er det læring av tallene og telling som blir vektlagt. Elevene møter også noen geometriske figurer som skal telles og fargelegges, og de treffer på symmetri og mønstre av ulike figurer. Litt speiling får de også prøvd seg på. Allerede i 3. klasse treffer de på vinkelbegrepet eksplisitt. Vinkelen blir da presentert som hjørnet i en trekant eller firkant.

I 4. klasse presenteres vinkel på en veldig fin måte, som deler av en sirkel (Gjerdrum & Kristiansen 1999, s. 85). Da får også 360 grader en mening, siden det er hele sirkelen skravert. Elevene får blant annet øve seg i å lage vinkler på 90, 180 og 270 grader på sirkelskiva. Like etter presenteres en liknende sirkelskive, og vinkelen blir presentert som dreining. Her får elevene presentert vinkel som dreining og vinkelfelt samtidig. I øvingsoppgavene blir elevene spurt om tradisjonelt vanskelige vinkler, og ikke bare ”standardvinkler”, på mindre enn 90 grader.

7.1.2 Lærebøker på mellomtrinnetPå mellomtrinnet har læreverket nye forfattere, og vi merker en forskjell både i

oppbyggingen av bøkene og i innhold. Det siste har selvsagt sammenheng med læreplanen også. I 5. klasse presenteres vinkel som dreining (Rasch-Halvorsen m.fl. 1997, s. 145). Elevene får litt mer praktisk rettede oppgaver, der de blant annet skal styre hverandre med kommandoer (eks. 90° til venstre, to skritt fram osv.). Dette blir nesten som en slags levende utgave av LOGO. De får også presentert begrepet rett vinkel. Når vinkel blir presentert som dreining her, er det dreiningen til en pil som følger omkretsen på en sirkel. Det er også litt typisk for bøkene på mellomtrinnet at det skapes et lite skille mellom dreining og vinkel. Disse to begrepene presenteres som regel hver for seg. Vinkler som har blitt til ved dreining tegnes ikke som ”vanlige” vinkler, men som deler av en sirkelsektor, og når en tegner ”vanlige” vinkler nevner en aldri dreining.

I 6. klasse kommer dette enda tydeligere fram. Først blir vinkel presentert på en klassisk figurativ måte. En fokuserer på måling av vinkler, vinkler i bygninger osv. (Rasch-Halvorsen m.fl. 1998, s. 114ff.) Litt senere kommer et separat kapittel om dreining. Her bruker en også begrepet grader, men ordet vinkel blir ikke nevnt i dette kapitlet (Rasch-Halvorsen m.fl. 1998, s. 126ff.).

I 7. klasse er det også et eget kapittel om dreining (Rasch-Halvorsen 1999, s. 136ff.). Her blir det knyttet litt nærmere til vinkel, selv om en ikke direkte bruker ordet ”vinkel”. På dette klassetrinnet kommer det også inn et interessant kapittel helt til slutt. Her ser en på babylonernes 60-talls system og knytter dette til gradinndelingen av jordkloden (Rasch-Halvorsen m.fl. 2000, s. 177ff.). Dette blir en spennende og praktisk anvendelse av vinkelbegrepet.

Page 80: Det genetiske prinsipp

7.1.3 Lærebøker på ungdomstrinnetPå ungdomstrinnet bruker denne skolen Cappelens læreverk: "Matematikk åtte-ni-ti". Jeg

skal først se på den læreboka de brukte i 8. klasse, slik at jeg kan kartlegge hva de har lært om vinkler. Læreplanen (i følge Martinsen m.fl. 1997b, s. 41) setter opp disse målene:

Etter å ha gjennomgått dette kapittelet, bør elevene• ha kjennskap til sentrale begreper som symmetri, vinkel, normal, avstand og parallell• kunne konstruere vinkler og gjennomføre enkle trekant- og firkantkonstruksjoner• kjenne til og arbeide med trekanter med spesielle egenskaper• ha fått noe øvelse i perspektivtegning

Dette er altså det en skal kunne forvente av elevene etter 8. klasse. Hvis vi går litt nærmere inn i lærerveiledningen og grunnboka, vil vi se hva som konkret ligger i disse målene. I et underkapittel om vinkler sier lærerveiledningen (Martinsen m.fl. 1997b, s. 43) at vinkler er en del av vår hverdag, og at vi finner dem blant annet som takvinkler og bratthet på bakker. En vanlig feil hos elever å oppfatte vinkler med lange vinkelbein som større enn vinkler med korte vinkelbein. De legger også vekt på bruken av gradskive, og at elevene skal bli kjent med begrepene rett vinkel, spiss vinkel og stump vinkel. Videre skal elevene lære om trekanter, vinkelsummen i trekanter og konstruksjon av ulike vinkler.

I læreboka (Martinsen m.fl. 1997a, s. 154ff.) blir vinkelen beskrevet ved begrepene vinkelbein og toppunkt. De går så rett over på måling av vinkler med (halvsirkelformet) gradskive. Vi legger merke til at bare noen få av eksemplene beskriver vinkler større enn 90 grader, og de kutter helt ut vinkler større enn 180 grader. De ser så litt på vinkler i bygninger, før de går over til vinkelsummen i en trekant. Det er nesten litt påfallende at de ikke nevner vinkler større enn 180 grader med ett eneste ord. De tar heller ikke opp vinkler som dreining. Med tanke på de epistemologiske hindringene vi avdekket i kapittel 6.7, kan det bli interessant å se hvordan elevenes oppfatning av disse begrepene er.

I 9. klasse:

...får elevene virkelig boltre seg ved å lage figurer av ulik størrelse og form (Martinsen m.fl. 1998, s. 50).

Videre trekker de inn geometrien som historisk disiplin, og de nevner at elevene skal kjenne til noe av den historiske utviklingen. De nevner også at elevene skal se hvordan tradisjonell geometri har blitt brukt i kunst, håndverk og arkitektur. Når det gjelder vinkler spesielt, tar de nå for seg vinkelsummer i mangekanter.

7.1.4 Forventede læringshindringerVi skal nå se litt nærmere på hvilke begrepsoppfatninger vi kan forvente ut fra studien av de

lærebøkene elevene har hatt.Første gangen elevene møtte vinkler var i 3. klasse. Da ble vinkelen presentert som et hjørne

i en geometrisk figur i læreboka "Tusen Millioner". Det vil ikke være utenkelig at noen av elevene har blitt sittende igjen med denne oppfatningen, siden de første erfaringene ofte er de som huskes best.

I 4. klasse presenterte læreboka vinkler som sektorer av en sirkel. Dette skulle gjøre det lettere å oppfatte vinkler større enn 180 grader, men kanskje vi kan finne igjen en oppfatning av at vinkler bare kan være 360 grader eller mindre. Det vil muligens være en del elever som har problemer med å se for seg vinkler som er større enn dette, siden dette er noe de sjelden har møtt.

På mellomtrinnet treffer elevene på både vinkel- og dreiebegrepet, men det er ikke alltid like lett å forholde seg til disse. Ofte blir begrepene presentert hver for seg, som i læreboka for 6. klasse. Det vil derfor ikke være utenkelig at noen elever har problemer med dette skillet også.

I 8. klasse var det måling av vinkler som sto i fokus, og elevene møtte begrepene

Page 81: Det genetiske prinsipp

"vinkelbein" og "toppunkt". Her tok en ikke opp vinkler større enn 180 grader, og en nevnte ikke vinkel som dreining. Disse punktene kan nok kanskje være problematiske.

7.2 UndervisningsoppleggNår jeg nå skal utarbeide et undervisningsopplegg for denne 9. klassen, skal jeg ta

utgangspunkt i det jeg fant ut om epistemologiske hindringer omkring vinkelbegrepet. Jeg vil også bruke kunst som tar i bruk tradisjonell geometri, for å utfordre elevenes oppfatninger av de geometriske begrepene. I noen eksempler vil jeg også bruke mangekanter og diskutere vinklene vi finner i dem.

1. tema: KremmerhusoppgavenGruppene får utdelt ark, saks og lim. De har passer og linjal på hver gruppe. Læreren viser hvordan en kan lage et enkelt kremmerhus. Hvordan kan vi lage et finere kremmerhus? (Elevene skal komme fram til at en kan klippe arket i sirkel/sirkelsektor.) Hvordan kan vi forandre størrelsen på kremmerhusene? Hvordan kan vi lage kremmerhus som inneholder mest mulig snop? Deler ut sirkelsektorer av ulik størrelse. Hvorfor blir kremmerhusene forskjellige?Når gruppene blir ferdige med dette, får de utdelt ark med oppgaver om vinkler. Oppgavene skal også diskuteres i gruppene.

2. tema: RotasjonElevene får se et bilde av en svingete elv. Beskriv hvordan skipperen skal navigere. Hver gruppe får utdelt et orienteringskart, og en ”fortelling”. Fortellingen beskriver hvordan en o-løper har løpt, men den mangler alle enheter. Elevenes oppgave blir å fylle inn de tomme rommene og fullføre fortellingen.Oppgaver med vinkel som rotasjon (kulestøter, diskos- og sleggekaster oppgavene).

3. tema: Vinkler i hverdag og kunstElevene finner flest mulig vinkler i klasserommet. Legg fram forslagene for klassen. (Diskutér om alle disse er vinkler. Finner vi flere vinkler?)Eleven får kopier av ulike Escher-bilder og finner vinkler i disse. Hvilken gruppe kan finne flest vinkler? Legger fram resultatet for klassen. Sammenlikner resultatene. Fins flere vinkler i bildene? Læreren provoserer elevenes vinkelbegrep om nødvendig.Gruppene forsøker å lage sine egne definisjoner av en vinkel.

7.3 Resultater fra studienNå skal vi ta opp noen erfaringer og resultater fra klasseromsstudien. Jeg vil her forsøke å

skille ut de ulike typene læringshindringer, og dette skillet lager jeg på bakgrunn av de historiske hindringene jeg presenterte i kapittel 6.7. Dette gjør jeg for å forsøke å finne en sammenheng mellom de historiske hindringene og læringshindringer hos dagens elever.

7.3.1 Euklidsk vinkeldefinisjonEuklid definerte vinkel som inklinasjonen (hellingen) mellom to linjer. Jeg hevdet i 6.7 at

dette kunne skape hindringer for oppfatningen av store vinkler, særlig de som var større enn 180 grader. Vinkler over 360 grader blir helt meningsløse i et slikt perspektiv.

7.3.1.1 Fra 1. time i gruppe 3

61. Lærer: Ja, den har mi målt. Men, her er et vinkelbein her og et vinkelbein her. Går der'kje egentlig ein vinkel her?

62. Sara: Her???

Page 82: Det genetiske prinsipp

63. Lærer: Mhm. ...En veldig stor vinkel...64. Sara: Det har'ke du lært oss engang! 65. Maria: Heile greia? 66. Sara: Ja, så..., den der! 67. Lærer: Er det ein vinkel?68. Markus: Nei. 69. Maria: Ja. 70. Sara: Det er vel en vinkel...71. Lærer: Åffer er det en vinkel?72. Sara: Men åssen vei skal du måle da?73. Maria: Det er en selvfølge...74. Sara: Ja, det er en selvfølge. Det er en bit av en runding og så en...75. Lærer: Ja...76. Maria: Vink.... Han skal jo egentlig gå helt rundt... Nei. Han skal jo egentlig det (til seg

selv)...

I situasjonen over måler elevene vinkler (se vedlegg 11.4.2, oppgave 1), og læreren forsøker å utfordre dem på om der ikke er flere vinkler på tegningene, nemlig de utvendige vinklene. Vi ser at elevene gjør det som er ganske typisk i en slik situasjon. Når de får presentert et bilde av to linjer som skjærer hverandre og får i oppgave å måle vinkelen mellom dem, så måler de fleste automatisk den minste vinkelen. Sara har tydelig ikke tenkt tanken på å måle den ytre vinkelen en gang, og unnskylder seg med at læreren ikke har lært dem dette. Maria og Markus er uenige i om den utvendige vinkelen i det hele tatt er en vinkel. Det er tydelig at elevene er litt usikre når de blir stilt overfor litt ukonvensjonelle vinkeloppfatninger.

7.3.1.2 Fra 2. time i gruppe 3Her skal vi se på en ny situasjon fra den samme gruppa som over, men fra den neste timen.

Elevene har nå fått en oppgave om rotasjonen til en diskoskaster, en kulestøter og en sleggekaster (se vedlegg 11.4.2, oppgave 5). De skal her finne ut hvor mange grader diskoskasteren roterer.

13. Sara: Kulestøt ... kulestøter'n14. (mumling. elevene prater litt i munnen på hverandre.)15. Sara: Ikke sant, en halv gang er 180. En og en halv gang er 360...16. Rut: Pluss 180.17. Sara: Firehundreog...18. (mumling, en av elevene regner ut på kalkulatoren.)19. Maria: Men, en hel. Kan en hel bli mer enn 360? 20. (mumling)21. Maria: En hel kan ikke bli mer enn 360!22. Rut: Nei, men...23. Maria: Jammen, det æ mener ... når det er en av de...24. Sara: Det er så mange grader.25. Rut: Det er en og en halv!26. Maria: Ja, en og en... Ja.27. Sara: Ja, og så fikk du 540 grader.28. Rut: Ok, så er det 540 grader. 29. Sara: En og en halv gang.30. Rut: Ja, skriv bare den!

Her ser vi at Sara og Rut er i full gang med å regne ut en og en halv ganger 360 grader. Når svaret blir større enn 360, ser vi at Maria reagerer. Hun har en helt klar oppfatning av at en vinkel aldri kan bli større enn 360 grader, men hun lar seg overbevise av de to andre, og de fortsetter å regne ut videre på samme måten. I situasjonen nedenfor ser vi at Maria stadig ikke har latt seg

Page 83: Det genetiske prinsipp

overbevise:

46. Lærer: Hva har dere kommet fram til her da?47. Sara: Så mange grader. Hehe. (peker på arket)48. Lærer: 1620! (later som han er veldig overrasket) Går det an da?49. Sara: Nei.. Hihi. (elevene ler litt)50. Maria: Nei, det var det! Det er jo bare 360 i en running...51. Sara: Ja, men fire og en halv gang...52. Rut: Jammen, så tar han fire ganger... fire hele ganger...53. Lærer: Ja...?54. Rut: Det er 360 fire ganger...55. Sara: Du, vent da. 56. Lærer: Ja?57. Rut: Og en halv. Det er 180.58. Lærer: Mhmmm.59. Rut: Da blir det ett tusen og så mye.60. Lærer: Ja. Men det er heilt sikkert riktig det, skjønner du!

Vi ser at læreren opptrer overrasket over det store tallet elevene har fått i svaret på oppgaven om sleggekasteren, og da blir elevene med en gang litt usikre. Maria går straks ut og forsvarer sin tidligere oppfatning om at der bare fins vinkler opp til 360 grader, mens Sara og Rut står på sitt.

Jeg nevnte i 7.1.1 at læreboka i 4. klasse la opp til en oppfatning av at vinkler er en del av en sirkel, og at elevene derfor kunne tro at der ikke fantes vinkler større enn 360 grader. Maria har helt tydelig en slik oppfatning, og vi ser at denne sitter ganske dypt. I løpet av de tre timene studien varte fikk hun utfordret dette synet flere ganger, men det virket som det stadig kom tilbake. Teorien om epistemologiske hindringer sier at vi ikke må stemple elevenes oppfatning som "feil". Elevene bygger hele tiden opp kunnskapsmønstre, og denne kunnskapen fungerer ofte, selv om den kanskje ikke er helt korrekt. Her så vi at Maria hadde bygd opp et kunnskapsmønster om vinkler som fungerte helt fint for alle vinkler opp til 360 grader. Den oppfatningen skaper som regel ikke problemer i skolen, siden vinklene ofte er innenfor disse grensene. Av og til møter eleven en oppgave eller et problem som utfordrer denne oppfatningen, og da representerer kunnskapen en hindring, slik vi så her. Det ville derfor vært veldig interessant å følge opp denne eleven videre, for å forsøke å utfordre forståelsen av vinkelbegrepet videre, slik at hun kanskje kunne utviklet denne forståelsen.

7.3.1.3 Fra 3. time i gruppe 4I den siste timen fikk elevene i oppgave å definere en vinkel. I den anledning fikk vi et godt

eksempel på en euklidsk oppfatning hos en av de andre gruppene:

36. Lærer: Nå får hver gruppe utlevert det siste arket her sånn. Då skal dere skrive hvordan dere definerer ein vinkel.. Så har æ skrevet: "vi definerer en vinkel" og så kolon. Så skriver dere det svaret dere mener er riktig på det.

37. Jakob: En vinkel er to streker som møtes i et punkt. Ferdig!38. Eva: Ja, skriv det!39. Jakob: …to streker eller linjer møtest i et punkt. (mens den andre skriver)40. David: Vi definerer en vinkel slik: To linjer som møtes i et punkt.41. Jakob: To linjer som møtes i ett punkt!

Vi ser her at Jakob har innarbeidet en klar oppfatning av vinkel som to linjer som møtes i et punkt. Det er interessant å se at eleven har en så bestemt oppfatning av vinkelen, selv om klassen på dette tidspunktet hadde jobbet med vinkler som rotasjon, dreining og liknende i tre timer. Dette var den siste oppgaven elevene fikk i studien, og den viser hvor dypt enkelte elevers begrepsoppfatninger sitter.

Page 84: Det genetiske prinsipp

Det skal også nevnes at denne gruppa var en av de som jobbet dårligst under klasseromsstudien. Manglende arbeidsinnsats har sannsynligvis ført til at de oppgavene elevene har blitt stilt overfor ikke har fått sjansen til å utfordre elevene ordentlig, slik at de kunne oppleve konflikter i forhold til sine eksisterende kunnskaper.

7.3.2 Schulstads vinkeldefinisjon Schulstad 1931, s. 9, definerte vinkel som den delen av planet som ligger mellom to rette

linjer som skjærer hverandre. Når en ser på en "tradisjonell" vinkel, som i vedlegg 11.1.2, oppgave 1, vil en ut fra en slik

definisjon automatisk se på den minste vinkelen, den som "ligger mellom to rette linjer". Vi kunne derfor ut fra denne historiske hindringen forvente at elever vil gjøre det samme, og at de vil ha problemer med å oppfatte den utvendige vinkelen som en vinkel.

7.3.2.1 Fra 1. time i gruppe 3Vi skal nå se på en litt lengre diskusjon i ei gruppe der elevene har litt problemer med

akkurat dette. Elevene holder på med å måle vinkler fra oppgavearket (vedlegg 11.4.2, oppgave 1).

93. Sara: Det er ikke den vinkelen vi snakker om! (til Rut) Det er en annen vinkel!94. Lærer: ...ja... Mi kan godt ta den vinkelen her, som du har. 95. Rut: Det er 90.96. Lærer: Ja, det ser fint ut. Heilt topp! Men, er der ein vinkel her au? 97. Sara: Den der er det vi snakka om!98. Lærer: Er det ein vinkel? 99. Rut: Derfra til der?100. Lærer: Ja. 101. Maria. Ja! 102. Rut: Ja.103. Sara: Hvor? Derfra til der. 104. Lærer: Ja, åffer er det en vinkel? 105. Rut: Men det går'ke an å måle han! 106. Lærer: ...det går'kje an å måle han... 107. Maria: Det gjør jo det!108. Sara: (prøver å forklare) Det er derfra til der! Det er møtepunktet for de to vinkelbeina,

hvis det går sånn strek der! 109. Lærer: Skal mi se. Der er et vinkelbein der, og et vinkelbein som går sånn.110. Rut: Hæ?111. Lærer: Hvis mi vet at den er 90 grader, klarer mi å finne ut å stor den vinkelen då er?112. Maria: Ja, det er 180 til sammen. Nei, nei, nei. 113. Lærer: Ja.114. Maria: Da blir det 100... Nei, 90. Nei..., jo, 90.115. Rut: Det her kan'ke æ huske at vi har hatt!116. Lærer: Men, den er vel kanskje større enn ... den.117. Sara: Det er den vinkelen som går... Æ skjønner ikke helt. Det er den vinkelen som ville

vært her ute?118. Lærer: Ja! Den som er her ute, ja. Akkurat. 119. Rut: Den er sånn. Akkurat sånn skrått....120. (prater litt i munnen på hverandre)121. Maria: Han er 180!122. Sara: Så en vinkel kan være sånn liksom...123. Lærer: Ja, stemmer. 124. Rut: (sukker litt) Da skal vi se... Da blir han akkurat... eh, hvis du tar den...125. Sara: Ja! Du tar 180 minus den vinkelen...

Page 85: Det genetiske prinsipp

126. Maria: (til Sara) Det blir 90.

Læreren forsøker i 96. og 98. å få elevene til å se på den utvendige vinkelen, siden de bare har målt de minste vinklene til nå. Blant annet Sara ser ut til å ha litt problemer med å se denne vinkelen, mens Rut hevder at det ikke går an å måle den. Likevel ser det ut til at de har laget seg en algoritme for å regne ut slike vinkler. Vi ser at Sara husker litt feil og mener at en må ta 180 og trekke fra den minste vinkelen, men litt senere i timen finner de ut at de må ta 360 og trekke fra den lille vinkelen.

I denne gruppa ser det ut til at elevene automatisk ser på den minste vinkelen, slik de fleste elever gjør, mens den ytre vinkelen bare blir noe en kan regne ut i tillegg, hvis en får spørsmål om det. Vi ser også at de har litt problemer med å måle de store vinklene, siden de bare har "halv" gradskive. Dette problemet skal vi komme tilbake til senere.

Litt senere i den samme timen, i den samme gruppa, finner vi følgende sekvens:

167. Lærer: Kan du... Kan du merke de vinklene som er 90 grader?168. Rut: Sånn, nå er vi ferdige med dette arket!169. Sara: Det blir f... Men skal vi...170. Maria: Bare gjør det! 171. Sara: Men, skal vi ta de på... sånn som vi gjorde på den? Liksom den som ville vært her ute

og? ... Nei, det trenger vi jo ikke gjør, for det er jo bare...172. Lærer: Hvis du ser her... Her har du skrevet at den er 90. Er det den du meiner som er 90

da, eller?173. Sara: Den!174. Lærer: Men, den vinkelen der da? Den som er rundt hjørnet liksom... 175. Sara: Den..., skal vi måle den og?

Her ber læreren dem merke hvilke vinkler de har målt, og det viser seg at elevene har målt de minste vinklene. Når læreren spør om den ytre vinkelen (174.), ser vi at Sara stadig er usikker på om de skal måle denne. Det kan altså virke som at særlig Sara på denne gruppa har en oppfatning av at den ytre, eller omkringliggende vinkelen ikke er like mye vinkel som den minste, indre vinkelen. Vi har sett at læreboka for 8. klasse ikke tar for seg vinkler større enn 180 grader, og det er ofte slik at når lærebøkene ber elevene måle vinkler, er det ofte "standardvinkler" som er mindre enn 90 grader, eller i alle fall mindre enn 180. Sara har tydeligvis en slik oppfatning, og vi ser at han får problemer når han støter på vinkler som går utover dette.

7.3.3 Vinkel som rotasjonVi har nå sett ulike eksempler på et figurativt vinkelbegrep hos elevene. Ofte møter elevene

vinkler som statiske objekter i planet. I studien fikk eleven oppgaver som skulle utfordre dette vinkelbegrepet. Vi skal nå se noen eksempler på dette.

7.3.3.1 Fra 2. time i gruppe 3Denne gruppa jobbet en del med oppgavene om vinkel som rotasjon, og her skal vi se et

eksempel fra oppgaven der elevene skal navigere en båt nedover ei svingete elv:

254. Maria: Jammen, vi må finne ut hvordan vi måler vinklane!255. Sara: Ok. Skal vi se.256. (snakker i munnen på hverandre)257. Maria: For hver gang det snur sånn, så må vi måle. 258. (mumling)259. Sara: Han kjører rett fram hit.260. Maria: Ja, æ vet det! Vi tegner alle stedane vi må bruke vinkler ... vi må tegne vinkler.

Her får elevene litt problemer med å måle vinklene, fordi det ikke er tegnet opp hvilke vinkler de

Page 86: Det genetiske prinsipp

skal måle. Vi så at noen av gruppene begynte med å måle vinklene langs elvebredden, og bare her er det jo et spørsmål om en skal måle vinklene i innersvingen eller yttersvingen. Maria mener at de må måle hver gang "det snur", og hun finner ut at de må tegne alle stedene de må bruke vinkler. Gruppa jobber videre, og litt senere får vi denne diskusjonen:

307. Sara: Jo, men æ vet ikke om du skal bruke den linja vi har tegnt der sånn, for å finne ut hvor svingen er...

308. Maria: Nei, nei, nei! Dere må jo begynne helt fra begynnelsen!309. Rut: Her er det jo 90 grader, det ser jo alle!310. Sara: Er det den du skal måle? ... Jammen, Rut, er det den du skal måle?311. Rut: Æ har'ke peiling!312. Sara: Rut, nei. Men vent da! Slow down! Ta det i vår fart!!! Ok. Han skal jo ikke dreie 90

grader her, for det ville jo vært ned hit!313. (mumling)314. Sara: Ikke sant? Det er jo ikke 90 grader!315. Rut: Det er den vinkelen du skal måle!316. Sara: Ja, den veien han skal kjøre ... og det blir her.317. Maria: Ja, det var jo det æ sa, du må begynne med den første!318. Sara: Blir 55.319. (mumling)320. Sara: Og så må du ta den fra den til der...321. Maria: Vi gidder ikke skrive at det må være til venstre 55 grader... Vi skriver bare sånn...

Elevene har begynt å tegne ei linje der båten kjører, og Rut begynner å måle. Da reagerer Sara, og hevder at hun måler feil vinkel. Denne eleven begynner helt klart å forstå dreining av vinkel, mens de to andre elevene i diskusjonen, og da særlig Rut, tydeligvis ikke er helt sikker. For å få fram denne usikkerheten, skal vi se på en siste dialog fra den samme timen, der læreren spør dem om de målingene de har gjort:

347. Lærer: Få se. Hvilke vinkler er det dere måler?348. (mumling og småprating)349. Rut: Æ skjønner'ke åssen vi skal måle det, men...350. Sara: Nei, for se! Ikke sant, når vi kjører her sånn. Er det den, dreier den 55 grader ned

der?351. Maria: Nei.352. Rut: Jojojojo...353. Sara: Den vinkelen kanskje du må måle! Det blir den!354. Rut: Her skal i alle fall... Her skal i alle fall 90!355. Sara: Neeei... Hvis du legger den på den streken...356. Rut: Der som båten kjører...

Her ser vi at gruppa stadig er uenige. Rut hevder stadig at hun ikke skjønner hvordan de skal måle, mens Sara har en klar oppfatning av hvordan det skal være. Nettopp dette med vinkel som dreining i en slik oppgave ble tydeligvis problematisk for elevene. Denne gruppa var tross alt den som fungerte best i klassen, og til og med her hadde de problemer. Ting tyder på at elevene ikke er vant med å oppfatte vinkler på denne måten. De forsøker som regel først å måle elvebredden eller andre statiske vinkler som de kan se.

7.3.3.2 Fra 3. time i gruppe 3I siste time fikk elevene i oppgave å definere en vinkel, en oppgave som mange hadde

problemer med, og som tydeligvis var ganske annerledes enn de oppgavene de var vant med å jobbe med.

271. Lærer: (til alle) Nå får hver gruppe utlevert det siste arket her sånn. Og då skal dikkon

Page 87: Det genetiske prinsipp

skrive åssen dikkon definerer en vinkel. Så har æ skrevet "vi definerer en vinkel slik:". Så skriver dikkon det svaret som dikkon meiner er riktig.

272. Maria: Hva mener du med det? Åssen vi…273. Lærer: Åssen du definerer…, åssen du forklarer ein vinkel. 274. Maria: Forklare at en hel vinkel er 360, eller må du…275. Lærer: Forklar å du meiner med en vinkel. Alle vinkler trenger ikkje være… Ja, men åssen

definerer du ein vinkel? Ett eller annet felles som gjør at de er en vinkel, ikkje sant?276. Rut: To vinkelbein og… Hva heter det siste? 277. Sara: Jammen, hva heter den der, ikke sant… Det går sånn… Æ hadde jo tegnt her, men…278. (mumling)279. Sara: Hva heter det punktet?280. Rut: Åååh! Æ husker'ke!281. Lærer: (kommer og leser det de har skrevet) En vinkel har to vinkelbein og et…282. Rut: Vi husker'ke hva det heter…

Den første reaksjonen er at elevene, anført ved Maria, ikke skjønner hva oppgaven går ut på. Maria er veldig opptatt av at "en hel vinkel" er 360 grader, som vi har sett tidligere, og hun tenker intuitivt på dette. Etter at læreren har gjort et par forsøk på å forklare oppgaven, begynner elevene å snakke om vinkelbein og toppunkt, som de i starten ikke husker navnet på. I stedet for å bruke erfaringene fra det de har jobbet med, trekker de fram de "gamle" begrepene de tydeligvis har hatt om vinkler.

Læreren må gi ganske mange hint for å få elevene til å trekke inn dreining i definisjonen sin, men til slutt er elevene med på denne tankegangen også, og vi får følgende diskusjon som ender opp i en "endelig" definisjon fra gruppa (se også vedlegg 11.5):

393. Maria: Ja! Vinkelen, de kan bare bli 360, altså… En vinkel, det er jo 360, alle vet det! Men, hvis en bare forklarer at hvis en går flere ganger rundt, så kan det bli mer!

394. Sara: Ehh, vi sier at vinkelen….395. Rut: Kan bli mer!396. Sara: …har et fast punkt.397. (mumling)398. Sara: …og vinkelen dreier rundt…399. Maria: Men bare skriv…400. Sara: En sirkel er 360 grader…401. Markus: Men hvis han dreier flere ganger, så kan det bli mer!402. Sara: Nei! Ikke den første sirkelen! Da må du tegne en sirkel utforbi!403. Markus: Jaja. 404. Sara: At han ikke blir… større… Da må du tegne….405. Maria: Sirkel utforbi.406. Lærer: Kan æ se? (leser det de har skrevet) Vi sier at vinkelen har et fast punkt. Vinkelen

dreier rundt dette punktet. En sirkel er 360 grader, og kan ikke bli større. Da må en tegne neste sirkel. Mhmmm. Så når du har 720 grader, da har du ein sirkel til…

Maria holder stadig fast på at vinkelen bare kan bli 360 grader, men hun legger til at en likevel kan gå flere ganger rundt, slik at den kan bli større. Gruppa har også funnet ut at vinkelen har et fast punkt, og at den dreier. Nå har elevene blitt så fortrolige med vinkelen oppfattet som dreining at de helt har glemt vinkelbeina, og de har gått bort fra de klassiske definisjonene. Det ville vært veldig interessant å se om elevene virkelig bruker denne definisjonen når de møter på nye oppgaver med vinkler. Uansett har denne gruppa fått erfaring i å diskutere matematiske begreper, selv om de kanskje ville falle tilbake til de definisjonene læreren har gitt dem når de kommer til prøvene.

7.4 DiskusjonSom jeg har vist i eksemplene ovenfor, var det en del elever som viste læringshindringer

som tilsvarte de historiske hindringene jeg avdekket i kapittel 6. Vi fant igjen euklidske definisjoner

Page 88: Det genetiske prinsipp

av vinkelen, problemer med å oppfatte vinkler større enn 180 grader, og særlig vinkler større enn 360 grader, og vi så at noen elever hadde problemer med å oppfatte vinkel som rotasjon. Mange lærere kjenner nok også igjen nettopp slike typer problemer fra sin egen undervisning. Dette kan nok ha mange årsaker, og en av årsakene er nok at kulturen, blant annet slik vi oppfatter den gjennom media og trykte kilder, bruker vinkelbegrepet på mange ulike måter. Ofte ser vi en statisk oppfatning av vinkelen som hjørne i en eller annen geometrisk figur.

Jeg har nå fulgt Brousseaus modell, om enn i en litt gal rekkefølge, i det jeg har funnet hindringer i historien, funnet feil hos eleven som stadig gjentar seg og jeg har sammenliknet disse læringshindringene med de historiske hindringene. Brousseau skrev at en til slutt måtte bestemme hindringenes epistemologiske karakter. Han går ikke noe særlig inn på hva han mener med akkurat dette, men jeg antar at han legger opp til en diskusjon omkring hvorvidt disse hindringene virkelig er av epistemologisk, didaktisk eller annen karakter.

Rogers hevder at epistemologiske hindringer ikke har sin årsak i begrepenes natur og historiske utvikling, men at de for eksempel kan ha didaktiske årsaker. Dette kan være måten begrepene har blitt presentert på i lærebøker, eller den måten lærere tradisjonelt har undervist begrepene. Vi så i kapittel 7.1.4 at de historiske hindringene også kunne være å vente ut fra studiet av de lærebøkene elevene har hatt på tidligere klassetrinn, så det vil være galt å påstå at hindringene utelukkende har en epistemologisk karakter. Hvis vi bruker Rogers måte å definere epistemologiske hindringer, kan vi si at vi har funnet en del epistemologiske hindringer som har didaktiske eller kanskje til og med kulturelle kilder. Rogers hevder at det er helt feil å snakke om hindringer som har bakgrunn i historien til begrepene og deres utvikling. En kan også se på dette på en litt annen måte, der en sier at begrepenes historie er uløselig knyttet til måten de har blitt presentert på i historien gjennom lærebøker av ulike slag, og gjennom måten de har blitt forklart på fra læremester til elev. Dermed kan en kanskje hevde at begrepenes historie også faller sammen med deres didaktiske historie. Fra en slik synsvinkel kan vi være enige med både Rogers og Brousseau.

Om en kaller det for epistemologiske hindringer, didaktiske hindringer, eller hva en nå måtte kalle det, er kanskje ikke så viktig. Poenget må være at en finner oppfatninger hos elevene som i bestemte situasjoner slår ut i feilsvar. Disse oppfatningene kan ha en didaktisk eller historisk bakgrunn som vi kan finne. På den måten kan vi ved å studere begrepshistorien, tidligere lærebøker og liknende, forutse slike feiloppfatninger. Dermed kan vi også angripe disse oppfatningene på en konstruktiv måte, i stedet for bare å stemple dem som feil, og stemple elevene som dumme.

Hvordan gradskive elevene bruker kan også generere en hindring. Det så ut som at noen elever hadde problemer med å måle vinkler som var større enn 180 grader, og det er jo ganske naturlig når de bare har "halve" gradskiver. Dersom de hadde hatt en full gradskive, ville det nok vært færre problemer med vinkler opp til 360 grader. Samtidig ville vi stadig fått problemer med vinkler som går utover dette.

Et annet moment som også må med i denne diskusjonen, er angående selve metoden i undersøkelsen, og her er det duket for litt selvkritikk. Det viste seg at den klassen jeg foretok undersøkelsen i hadde lite erfaring i den typen gruppearbeid og diskusjon som jeg la opp til i mine undervisningsopplegg. Dette førte til at jeg ikke fikk den mengden relevante data som jeg hadde håpet på. Kanskje burde jeg forsøkt å finne en klasse som var vant med de arbeidsmetodene jeg la opp til, eller kanskje jeg burde laget et opplegg som passet mer til de arbeidsmetodene klassen var vant med. I etterpåklokskapens ånd burde jeg nok gjort noe av dette. Likevel fikk jeg en del relevante data, og jeg gjorde erfaringer som glir rett inn i mange læreres hverdag. Det er jo slett ikke alltid elevene reagerer positivt på lærerens undervisningsopplegg, og det blir ikke alltid akkurat slik som læreren hadde tenkt seg. Når jeg altså til tross for visse problemer i gjennomføringa fikk mange av de tilbakemeldingene jeg hadde håpet på, var det vel likevel nokså vellykket. Situasjonen blir uansett litt kunstig når en kommer utenfra med et undervisningsopplegg til en ukjent klasse.

Page 89: Det genetiske prinsipp

8 Konklusjoner

Genetisk, genese, genetikk og andre beslektede begreper kommer fra det greske ordet "genesis" (γενεσις), som betyr tilblivelse. Det har også i seg betydninger som fødsel, begynnelse og opphav. I Septuaginta forekommer ordet som tittelen på 1. Mosebok - begynnelsens bok, som beskriver hvordan jorda, menneskene og alle de andre skapningene på jorda er blitt til, sett fra et teologisk perspektiv. Genetikken er en biologisk disiplin som tar for seg arv og arvelighet, mens ordene genese og genetisk har blitt mye brukt i psykologien og epistemologien. Det er disse to begrepene, samt begrepet genesis selv, som er mest interessant for oss.

I psykologien, epistemologien og andre beslektede disipliner hvor "genetisk" blir brukt som term, foreligger en oppfatning av at tingenes tilblivelse, deres historie og utvikling kan lære oss noe om tingene selv. Genetisk psykologi tar ikke bare for seg barnets ontogenese, men ser også på sammenhengen med utviklingen i phylogenesen eller etnogenesen, som Baldwin kalte det. Genetisk epistemologi hevder at studiet av begrepenes historie og utvikling kan fortelle oss noe viktig om disse begrepene i dag, og kanskje også om hvordan en best mulig kan tilegne seg disse begrepene. Når vi bruker begrepet genetisk i pedagogikken generelt, eller i matematikkdidaktikken spesielt, er det noen av de samme idéene som gjelder.

Matematikken er uløselig knyttet til fagets historie. Alle matematiske teorier har blitt til i en historisk sammenheng, og for å forstå matematikken fullt ut er det ofte nødvendig å kjenne både disse sammenhengene og utviklingen av teoriene. Læreplaner i Norge og andre land legger vekt på at elevene skal lære å forstå matematikkens historie, og dens rolle som kulturbærer i samfunnet. Spørsmålet for læreren blir hvordan dette skal gjøres i praksis. Svært forenklet kan vi si at der fins to måter å bruke historie i undervisningen: en direkte måte og en indirekte måte. Direkte kan en anvende historien gjennom primære kilder, gamle problemer og anekdoter. Problemet er at matematikkhistorien er svært sammensatt og full av irrganger, og de primære kildene er ikke alltid så enkle å forstå for uinvidde. En slik bruk av historien blir ofte både tidkrevende og farefull, da en ofte kan gå seg vill i blindgatene. Det kan derfor være interessant å se på en måte å bruke historien mer indirekte, der en ikke trenger å være tro mot historien hele veien, men kan forenkle og se på de store linjene i utviklingen. Den genetiske metode er en slik måte.

Noe av hovedtanken i det genetiske prinsipp er at en ved å studere begrepenes historie og utvikling kan få større forståelse for begrepene selv, og dette igjen kan gjøre det enklere å lære det bort. Når vi så skal forsøke å forstå det genetiske prinsipp, vil det derfor være naturlig å se på historien og utviklingen til dette prinsippet. Schubring hevder at prinsippet er mulig å spore helt tilbake til filosofen Bacon. Han lanserte en ny vitenskapsteori, der den naturlige undervisningsmetode var sentral. Her lå en tanke om at kunnskapen skulle bli overlevert på samme måte som den var blitt konstruert, eller at en skulle følge den samme veien som "de gamle" hadde gjort. Dette var den naturlige metoden. Bacon blir sett på som grunnlegger av den induktive eller heuristiske metode. Der går utviklingen fra det spesielle til det generelle, og dette blir også gangen i hans naturlige metode. Da Descartes lanserte den deduktive metode i naturvitenskapene, hevdet han at utviklingen gikk fra det generelle og allmenne til det spesielle. Dette ble også hans oppfatning av den "naturlige" utviklingen. Dermed var det ingen motsetning mellom deduksjon og genese for Descartes, selv om han hadde en annen oppfatning av hva som var "naturlig" utvikling enn Bacon. Descartes oppfatning ble ført videre blant filosofer og tenkere. Med Arnauld og Clairaut fikk vi et skille mellom de såkalte logisk-genetiske og historisk-genetiske metodene. Arnauld hevdet at presentasjonen av kunnskapen måtte skje i tingenes naturlige ordning, fra det allmenne til det spesielle, mens Clairaut ønsket å bruke historien som grunnlag for læreprosessen i en historisk-genetisk metode. Senere kom skillet mellom den historisk-genetiske og den psykologisk-genetiske metode, hos Lindner og Mager.

Lindner representerte en historisk genese, og hans metode besto av to deler: en historisk og en genetisk metode. Den historiske metoden bestemmer rekkefølgen de ulike fagområdene bør undervises i, nemlig etter den rekkefølgen de ble til i historien. Den genetiske metoden derimot, dreier seg om undervisningen innenfor de ulike fagområdene. Også her burde tingene presenteres i sin naturlige rekkefølge. Mager mente at matematikken ikke hadde gjennomgått noen utvikling i

Page 90: Det genetiske prinsipp

historien, så han forsvarte heller et psykologisk-genetisk prinsipp i matematikkundervisningen. Senere kom den biogenetiske lov, som snart ble brukt som bakgrunn for det genetiske

prinsipp i didaktikken, noe som blant annet er synlig hos Klein og Branford. Det var særlig omkring 1900 at den biogenetiske lov var populær i didaktikken. Den biogenetiske lov ble etter hvert motbevist i biologien, og da ser det ut til at en mistet noe av interessen for de didaktiske parallellene også. I alle fall sluttet en nærmest å nevne den biogenetiske lov eksplisitt, selv om en tok for seg tanker om genesis i undervisningen. Mange har også i senere tid kritisert bruken av den biogenetiske lov i didaktikken.

Piagets genetiske epistemologi og tankene om parallellismer mellom stadiene i barns utvikling og stadiene i matematikkens utvikling, kom i kjølvannet av den biogenetiske lov, selv om Piaget selv fornektet denne. Han hevdet at der kun i enkelttilfeller kunne påvises parallellismer i innhold, mens det var de parallelle mekanismene han først og fremst var interessert i å beskrive. En skulle tro at Piagets teorier passet inn under definisjonen av psykologisk genese, men det er nok ikke tilfelle. Schubring hevder at den historisk-genetiske metoden handler på et metanivå, mens den psykologisk-genetiske tar for seg de metodologiske betraktningene i den enkelte undervisningstime, altså mer på et mikronivå. Etter en slik forklaring passer Piaget best inn i den historisk-genetiske modellen, samtidig som Piaget i motsetning til Mager var helt på det rene med at matematikken virkelig hadde gjennomgått en reell utvikling i historien. Det er jo nettopp denne utviklingen han forsøkte å forenkle og skjematisere.

Også Vygotsky gjorde bruk av en genetisk metode, men denne metoden faller ikke intuitivt inn under noen av de tre hovedprinsippene vi har presentert. På en måte hører den nok mest hjemme under den historiske genesen, men den er samtidig ganske forskjellig fra de andre som passer i denne gruppen. Vygotsky så på den historiske utviklingen på flere forskjellige nivåer: ontogenetisk, phylogenetisk, mikrogenetisk og kulturelt. Han mente også at der ikke var noen paralleller mellom noen av disse, og han så på dem hver for seg, som selvstendige kilder til innflytelse og kunnskap om begrepene.

Mens der altså historisk sett var tre hovedgrupper av genetiske metoder, har der etter hvert utviklet seg stadig flere metoder som ikke automatisk passer inn under noen av disse merkelappene. Én av de nyeste anvendelsene av det genetiske prinsipp finner vi i teoriene om epistemologiske hindringer. Disse teoriene går ut fra en tanke om paralleller mellom den historiske og den individuelle utviklingen, og i så måte hører de hjemme under den historiske genesen. Fokus er på feil og hindringer som fører til feil hos elevene. Teoriene, som først ble utviklet av Bachelard og senere moderert for matematikkdidaktikken av Brousseau, hevder at der fins ulike typer læringshindringer for elevene. Noen hindringer kan ha didaktiske årsaker, andre kan ha ontogenetiske årsaker, noen kan være av kulturell art, mens andre igjen kan være hindringer med epistemologiske årsaker. De siste kaller vi for epistemologiske hindringer, og de har sin bakgrunn i begrepenes historiske utvikling. I følge Brousseau er de uunngåelige, og på mange måter er de også nødvendige i læringssituasjoner. Vi kan nærmest sammenlikne dem med Piagets begrep om akkommodasjon, og prosessen der en reorganiserer og redefinerer de begrepene som har vært årsak til hindringene er en viktig del av læringsprosessen.

Teoriene for epistemologiske hindringer har blitt mye brukt i klasseromsstudier. Jeg har tatt for meg vinkelbegrepet som en praktisk tilnærming til teorien. På bakgrunn av studier av historien kunne vi avdekke mulige hindringer. Det er ikke umiddelbart en enkel oppgave å avgjøre om disse hindringene er epistemologiske, didaktiske eller kulturelle. Rogers mener at såkalte epistemologiske hindringer ofte i virkeligheten er didaktiske hindringer, og at de er blitt overført gjennom lærebøker og didaktiske tradisjoner. Dette kan selvsagt stemme ut fra våre observasjoner også. Vi fant tilsvarende mulige hindringer i gamle lærebøker som de vi fant i historien. Det er derfor vanskelig å avgjøre om de læringshindringene vi så hos elevene er av didaktisk eller epistemologisk art. Radford mener at epistemologiske hindringer i virkeligheten er kulturelt betinget, noe en kan argumentere for på liknende vis. Kulturen kan innbefatte både historien, didaktiske tradisjoner og andre typer overføring.

Uansett om vi kaller disse hindringene for epistemologiske, didaktiske eller kulturelle hindringer, intellektuelle hindre, kognitive konflikter e.l., så er de i høyeste grad reelle. Når vi ser liknende hindringer i historien som de vi ser hos våre egne elever, gir dette oss et mer nyansert syn

Page 91: Det genetiske prinsipp

på de vanskene elevene har. Om disse hindringene også kan finnes i lærebøker, den didaktiske tradisjonen eller i kulturen ellers, bør ikke dette gjøre dem mindre interessante. Hovedsaken er at disse faktorene kan gjensidig belyse hverandre, og kanskje kan de gi oss et bedre bilde av elevers læring. Når alt kommer til alt er ikke det viktigste å finne disse hindringene, men å hjelpe elevene å overvinne dem. Slik kan de oppnå ny og bedre kunnskap.

Vi har sett på mange forskjellige teorier omkring det vi kaller for "genetisk prinsipp", og ikke alle er like lett å plassere som anvendelsene til Toeplitz og Edwards. Teoriene om epistemologiske hindringer gjør ikke en gang bruk av ordet "genetisk" i større grad, men de dreier seg likevel om mange av de samme idéene. Felles for dem alle er at de tar for seg forholdet mellom historien og nåtiden, og de representerer en indirekte måte å bruke historien i undervisningen.

Tankene om genetisk prinsipp eller genetisk metode bunner til syvende og sist i et spørsmål omkring historiesyn generelt, samt spørsmålet om en i det hele tatt kan lære noe av historien. Det innebærer igjen en debatt om hvorvidt kunnskap og tanker som mennesker har hatt i tidligere tider kan bety noe, eller eventuelt om de betyr det samme for oss som de gjorde da. Den historisk-kritiske tradisjonen hevder at en alltid må ta hensyn til at tidligere tiders tenkere levde under helt andre forhold enn oss, og at begrepene deres ikke nødvendigvis betyr det samme for oss. De som støtter en slik tanke vil hevde at de gamle grekerne ikke hadde samme oppfatning av de matematiske begrepene som vi har, og at historisk kunnskap generelt aldri kan overføres til dagens kunnskap. Slike tanker kom inn i filosofien for et par hundre år siden. Før den tid studerte en historien med tro på at en kunne lære noe av den.

Likevel opplever lærere stadig at de kan bruke matematikkens historie, og at historien "gjentar seg" hos deres egne elever. Samtidig sier altså forskere at historiske problemer aldri vil kunne bety det samme for dagens elever som de gjorde tidligere.

Før vi fikk et konstruktivistisk syn på læring, ved Piaget og andre, var det mange som mente at læring var overføring av kunnskap. Dette synet har selvsagt noen i dag også, selv om konstruktivistene tilsynelatende er i flertall. Når en tror at kunnskapen blir overført fra lærer til elev i en slags "flaske-påfyllings-prosess", blir det kanskje mer naturlig å tro at der også er en sammenheng mellom måten kunnskapen har blitt til i historien og læringen til dagens elever. Dette gjelder særlig om en ikke tar i betraktning kulturens påvirkning. Etter et konstruktivistisk syn er det mer nærliggende å si at eleven gjennom sin konstruksjon oppnår en personlig og unik kunnskapsstruktur, og at denne ikke har noen videre sammenheng med historien. Dersom en i tillegg tar med samfunnets og kulturens rolle i læringsprosessen, kan en fort ende opp med å si at hvert samfunn og hvert individ er unikt, og at en derfor ikke kan sammenlikne historisk og moderne kunnskap.

Etter mitt syn blir dette en litt snever måte å se det på. Like mye som kulturen påvirker læreprosessen er den også en del av den historiske tradisjonen, og derfor også av historien. Historien er ikke noen mystisk og uavhengig instans, og en kan ikke løsrive kulturen fra historien. Når en elev lærer Pytagoras setning, har han eller hun en lærer som forsøker å forklare dette. Denne læreren har blitt påvirket av sine egne lærere, i skoler som har mer eller mindre dype historiske røtter. Slik kan vi fortsette. Etter min mening blir det derfor helt naturlig å se på læringen i matematikk i sammenheng med matematikkens historie, den didaktiske tradisjonen og samfunnets oppfatning av den samme matematikken.

Vi kan nok ikke gjøre oss noen forhåpninger om å bestemme endelig hvorvidt det genetiske prinsipp er sant eller ikke. Det genetiske prinsipp som didaktisk teori er jo nettopp teori, og i motsetning til matematiske teorier kan vi ikke finne noe endelig bevis for eller mot didaktiske teorier. Her kan vi kun snakke om nytteverdi. Så lenge det genetiske prinsipp viser seg fruktbart i praksis, blir det litt meningsløst å avvise det på teoretisk grunnlag. Den historiske utviklingen i seg selv er for komplisert til at vi kan samle den innenfor et teoretisk rammeverk. Teoretiske betraktninger og kritikk av det genetiske prinsipp vil kunne beskrive teoriens tilblivelse og utvikling, og dette vil være med å belyse ulike sider ved prinsippet, men de vil ikke kunne gi oss annet enn en pekepinn på hvorvidt teorien er gyldig eller ikke. Derfor blir det etter min mening mer fruktbart å gjennomføre studier for å undersøke om, i hvor stor grad, og i hvilke situasjoner det genetiske prinsipp er anvendelig som hjelpemiddel i undervisningen.

Denne studien har ikke bevist at epistemologiske hindringer eksisterer, eller at det genetiske

Page 92: Det genetiske prinsipp

prinsipp fungerer i undervisningen i alle klasser. Likevel har den antydet at disse teoriene kan ha en praktiske nytteverdi. Vi fant de samme læringshindringene hos elever som vi fant i historien, og vi så at noen av elevene fikk utfordret disse hindringene, og at de var i ferd med å danne ny kunnskap om vinkelbegrepet. Vi så også at epistemologiske hindringer kan være svært seiglivet. Videre ville det være naturlig å finne ut hvordan en best mulig kunne lage undervisningsopplegg som utfordret elevenes oppfatninger, som vi har sett på som læringshindringer. Kanskje kan en undervisningssekvens motivert av den historiske utviklingen gi gode resultater? Her kan en tenke seg flere mulige klasseromsstudier i ulike typer klasser.

Page 93: Det genetiske prinsipp

9 Pedagogiske implikasjoner

I innledningen presenterte jeg noen spørsmål som jeg stilte meg i forkant av prosjektet mitt, som noen delmål for oppgaven. Disse spørsmålene skal jeg ta opp igjen nå, og jeg vil se om jeg har fått svar på dem, og om disse svarene eventuelt var slik jeg hadde håpet. Spørsmålene jeg stilte meg var disse, og de blir behandlet hver for seg i dette kapittelet:

• Hvordan kan en utforme undervisningsopplegg som bygger på det genetiske prinsipp?• Kan et slikt undervisningsopplegg hjelpe elevene å overvinne noen læringshindringer?• Vil et slikt undervisningsopplegg fungere i en vanlig klasse?• Er det en sammenheng mellom stadier i den historiske utviklingen av vinkelbegrepet og de

oppfatninger læreren og elevene har om dette begrepet?

9.1 Undervisningsopplegg basert på det genetiske prinsippDer er utvilsomt flere måter å lage undervisningsopplegg basert på det genetiske prinsipp.

En kan for eksempel gjøre som Toeplitz 1963 og Edwards 1977, og framstille deler av matematikken etter det genetiske prinsipp. I stedet for å starte med de moderne begrepene og presentere teoremer og beviser deduktivt, begynner en da med de intuitive begrepene og arbeider seg fram til våre moderne begreper i en utvikling som er motivert av historien. Da underviser vi på en måte i historie uten å nevne historien eksplisitt. Mange har funnet en slik metode nyttig, og det blir også vist til denne i den siste ICMI-studien.

I min klasseromsstudie, som kun strakk seg over tre skoletimer, følte jeg det var riktigere å følge en annen tilnærming. Jeg ønsket å følge i Brousseaus fotspor, for å se om teoriene om epistemologiske hindringer kunne være til hjelp i undervisningen. Jeg hadde ikke gjort noen undersøkelser omkring elevenes begrepsoppfatninger på forhånd, så derfor ble det en litt annen rekkefølge i min studie enn det Brousseau anbefalte. For en lærer som følger en klasse eller gruppe over lengre tid, vil denne metoden kunne være svært nyttig. Ofte vil læreren se at elevene har ulike oppfatninger av bestemte matematiske begreper, og han vil kanskje kjenne igjen noen av disse oppfatningene fra historien. Dersom han ikke kjenner igjen disse oppfatningene, kan han gå til historien for å forsøke å finne dem. Vi kan finne mange av de oppfatningene som dagens elever har i historien, og ofte er de blitt overlevert slik gjennom lærebøker og lærere i årenes løp. Om en tror slike læringshindringer er av epistemologisk art eller ikke, har for så vidt ikke noen betydning. Det viktigste er at en tar dem på alvor, og at en ser at slike oppfatninger faktisk forekommer. Dermed kan læreren utarbeide undervisningsopplegg som utfordrer disse hindringene hos elevene.

9.2 Overvinne læringshindringerDet neste spørsmålet blir naturlig nok om slike undervisningsopplegg virkelig kan hjelpe

elevene å overvinne disse læringshindringene. Min studie var svært kortvarig, og jeg kjente ikke klassen på forhånd. Kanskje passet ikke en gang undervisningsopplegget særlig godt til en slik klasse. Likevel viste studien flere læringshindringer hos elevene, og disse hindringene stemte overens med det en kunne forvente ut fra den historiske studien og studiet av lærebøker. Mange av elevene fikk utfordret disse oppfatningene underveis i opplegget, og noen av dem viste tegn til at de var i ferd med å endre litt på oppfatningen. Studien viste også at slike oppfatninger ofte sitter veldig dypt, og det mest ideelle er nok at en kan jobbe med dem over lengre tid.

Det vil være vanskelig å slå fast om et slikt undervisningsopplegg virkelig hjelper elevene å overvinne slike epistemologiske hindringer, eller om slike hindringer i det hele tatt eksisterer. Helt klart er det uansett at mange elever har ulike læringshindringer eller mangelfulle begrepsoppfatninger. Det er også teoretisk og praktisk belegg for å hevde at en kan forandre på disse ved å stille elevene i situasjoner der disse oppfatningene blir utfordret.

9.3 Fungerer slike undervisningsopplegg?Som jeg allerede har vært inne på, er det vanskelig å slå fast om slike undervisningsopplegg

Page 94: Det genetiske prinsipp

virkelig fungerer. Mitt undervisningsopplegg var basert på gruppearbeid og diskusjon blant elevene. Denne arbeidsmåten var uvant for elevene i denne klassen, og dette er allerede en faktor som har gjort det svært vanskelig å bedømme resultatet. Om jeg hadde hatt et liknende undervisningsopplegg i en klasse som var vant med gruppearbeid og dialogbasert undervisning, og opplegget da hadde vært vellykket, ville det også vært litt problematisk å bedømme hvor vellykket opplegget hadde vært. Undervisningsopplegg er som regel nært knyttet til metode, og ofte kan en metode som gruppearbeid virke positivt (eller negativt) på elevene, nært sagt uavhengig av innholdet i gruppearbeidet. Da kan en diskutere om det er opplegget eller metoden som har vært vellykket. I vårt tilfelle er det ting som kan tyde på at det ikke var metoden som gjorde at opplegget var vellykket, hvis en da i det hele tatt kan si at det var vellykket. Ett argument for at undervisningsopplegget fungerte, er at jeg faktisk fikk en del av de forventede resultatene, til tross for at selve metoden slo litt uheldig ut.

Jeg føler som nevnt ikke at jeg kan slå endegyldig fast at det å basere undervisningsopplegg på teoriene om epistemologiske hindringer virkelig fungerer, men jeg føler at studien i alle fall har gitt positive tilbakemeldinger. Dette vil kunne danne grunnlaget for videre studier i bruken av det genetiske prinsipp generelt og epistemologiske hindringer spesielt i undervisningen i matematikk.

9.4 Sammenhengen mellom historiske og samtidige oppfatninger av vinkelbegrepet

Svaret på det siste spørsmålet må kunne sies å være ganske positivt. Alle de historiske hindringene omkring vinkelbegrepet som jeg fant i min historiske studie kunne jeg også finne som læringshindringer hos elevene i klasseromsstudien. Både i historien og i tidligere lærebøker, fant jeg ting som skulle tilsi en figurativ oppfatning av vinkelen. Dette ble illustrert klart hos noen av elevene, som selv helt mot slutten av undervisningsopplegget definerte vinkelen som "to linjer som møtes i ett punkt", omtrent slik Euklid definerte vinkelen. Elevene hadde også problemer med å oppfatte vinkelen som rotasjon, og de hadde problemer med store vinkler, igjen slik en kunne forvente ut fra den historiske studien.

Selv med så tilsynelatende positive svar er det viktig å være litt kritisk. Ut fra resultatene fra min studie kan jeg hevde at elevene viste de samme oppfatningene som vi kan finne i historien, men jeg kan ikke derfra slå fast at disse læringshindringene er historisk bestemte, eller at de er et resultat av de historiske hindringene. Elevene blir jo påvirket fra mange hold, og de oppfatningene de har om vinkelbegrepet kan være bestemt av erfaringer de har gjort seg i møte med lærere, medelever, lærebøker, media, foreldre eller andre. Men hvor har disse instansene fått sine vinkelbegrep fra? Didaktiske og kulturelle hindringer har også sine røtter. Lærere og lærebøker blir påvirket av tidligere lærere og lærebøker, og slik har det sannsynligvis vært fra starten. Derfor må en også se på slike forhold ut fra et historisk perspektiv, og dermed kan det bli meningsfullt å snakke om epistemologiske hindringer, men at disse har blitt overført via ulike "kanaler".

Page 95: Det genetiske prinsipp

10 Referanser og annen relevant litteratur

Andelfinger, Bernhard (1986) Historisches in Mathe? Mathematiklehren 19, dez. 86, pp. 15-17

Angen, R. J. & Ingvaldstad, O. (1961) Reknebok for framhaldsskulen, Oslo: Fabritius & Sønners Forlag

Arcavi, Abraham et. al. (1982) Maybe a Mathematics Teacher can Profit from the Study of the History of Mathematics, For the Learning of Mathematics 3, 1, pp. 30-37

Arcavi, Abraham (1985) History of mathematics and mathematics education: A suggested bibliography, Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 1, pp. 26-29

Arcavi, Abraham (1991) Two Benefits of Using History, For the Learning of Mathematics 11, 2, p. 11

Avital, Shmuel (1995) History of Mathematics Can Help Improve Instruction and Learning, in Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson and Katz (eds.): Learn from the masters! The Mathematical Association of America, pp. 3-12

Bachelard, Gaston (1977) La formation de l'esprit scientifique - contribution a une psychanalyse de la connaissance objective, Paris: Librairie Pilosophique J. Vrin

Bacon, Francis (1994) Novum Organon - With Other Parts of The Great Instauration, (Translated and ed. by Peter Urbach and John Gibson), Chicago and La Salle, Illinois: Open Court Publishing Company

Bahr Paulsen, Agnes m.fl. (1971) Matematikk for åttande skuleåret, Oslo: H. Aschehoug & Co.

Baldwin, James Mark (1895) Mental Development in the Child and the Race - Methods and Processes, New York: Macmillan and co.

Baldwin, James Mark (1906) Thought and Things - A study of the Development and Meaning of Thought or Genetic Logic vol. I, London: Swan Sonnenschein & co. Lim.

Barbin, Evelyne (1996) The Role of Problems in the History and Teaching of Mathematics, in Calinger, Ronald (ed.): Vita Mathematica - Historical research and integration with teaching, The Mathematical Association of America, pp. 17-25

Bednarz, Nadine & Garnier, Catherine (eds.) (1989) Construction des savoirs – Obstacles & conflits, Ottawa: Agence d’ARC

Bekken, Otto B. et. al. (1978) Matematikk som undervisningsfag - Rapport fra Norsk Matematikkråds arbeidsgruppe i fagmetodikk, Agder Distriktshøgskole: Fagseksjon for matematikk

Bekken, Otto B. (2000) Algebraens utvikling i kultur- og skoleperspektiv - Fra det numeriske, geometriske og retoriske mot det symbolske, in Selvik, Kirfel og Johnsen Høines (eds.): Matematikk i samfunnsmessig, historisk og kulturelt perspektiv, Høgskolen i Bergen, pp. 85-104

Bennet, Albert B. (1979) Mathematics – An informal approach, Boston: Allyn and Bacon

Page 96: Det genetiske prinsipp

Beth, Evert W. & Piaget, Jean (1966) Mathematical Epistemology and Psychology, Dordrecht-Holland: D. Reidel Publishing Company

Bollerslev, Peter (ed.) (1998) Matematikk i læreruddannelsen – kultur, kundskab og kompetence, Aarhus: Clemenstrykkeriet

Bos, H.J.M. (1984) Mathematics and its social context: a dialogue in the staff room, with historical episodes, For the Learning of Mathematics 4, 3, pp. 2-9

Branford, Benchara (1924) A Study of Mathematical Education, Oxford University Press

Brousseau, Guy (1997) Theory of Didactical Situations in Mathematics, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers

Bruins, E. M. (ed.) (1964) Codex Constantinopolitanus vol. I-III, Leiden, Netherlands: E. J. Brill

Bulien, Tone (2000) Using History in Teaching Algebra at the Teachers College, Kristiansand: Høgskolen i Agder, Avdeling for realfag, Institutt for matematiske fag

Burn, Robert P. (1993) Individual development and historical development: a study of calculus, International Journal of Mathematics Education in Science and Technology vol.24, no. 3, pp. 429-433

Burn, Robert P. (1998) Matematikkens historie - blindspor eller skattekiste, Tangenten 2, pp. 10-14

Burn, Robert P. (1999) Integration, a genetic introduction, Nordisk matematikkdidaktikk nr 1, pp. 7-27

Burn, Robert P. (2000) History in the teaching of university mathematics (unpublished)

Cajori, Florian (1897) A history of mathematics, London: MacMillan and Co.

Cole, Michael (1990) Cognitive development and formal schooling: The evidence from cross-cultural research, in Luis Moll (ed.) Vygotsky and Education - Instructional implications and applications of sociohistorical psychology, Cambridge, United States of America: Cambridge University Press, pp. 89-110

Comenius, Johan Amos (1916) Stora Undervisningslära, Stockholm: P. A. Nordstedt & Söners Förlag

Comenius, Johan Amos (1975) Comenius' Självbiografi - Comenius about himself, Stockholm: Universitetsforlaget

D'Ambrosio, Ubiratan (1985) Ethnomathematics and its Place in the History and Pedagogy of Mathematics, For the Learning of Mathematics 5, 1, pp. 44-48

Damerow, Peter (1988) Individual Development and Cultural Evolution of Arithmetical Thinking, in Strauss (ed.): Ontogeny, Phylogeny and Historical Development, New Jersey: Ablex Publishing Company, pp. 125-152

Dennis, David (2000) The Role of Historical Studies in Mathematics and Science Educational Research, in Kelly and Lesh (eds.): Handbook of research design in mathematics and science education, Lawrence Erlbaum Associates, pp. 799-813

Page 97: Det genetiske prinsipp

Edwards, Harold M. (1977) Fermat's Last Theorem - A genetic introduction to algebraic number theory, New York: Springer-Verlag

Edwards, Harold M. (1981) Read the masters! in Steen, L. A. (ed.): Mathematics tomorrow, Springer Verlag, pp. 105-110

Ewald, William B. (1996) From Kant to Hilbert - A source book in the foundations of mathematics vol.1, Oxford: Clarendon Press

Ewald, William B. (1996) From Kant to Hilbert - A source book in the foundations of mathematics vol.2, Oxford: Clarendon Press

Fauvel, John (1991) Using History in Mathematics Education, For the Learning of Mathematics 11, 2, pp. 3-6

Fauvel, John & van Maanen, Jan (1997) The role of the history of mathematics in the teaching and learning of mathematics, Mathematics in School, May, pp. 10-11

Fauvel, John & van Maanen, Jan (2000) History in Mathematics Education - The ICMI Study, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers

Fosse, Trude & Sælensminde, Anne Kari (1998) Matematikktakk 3b, Oslo: Det Norske Samlaget

Fowler, David (1991) Perils and Pitfalls of History, For the Learning of Mathematics 11, 2, pp. 15-16

Freudenthal, Hans (1973) Mathematics as an Educational Task, Dordrecht-Holland: D. Reidel Publishing Company

Freudenthal, Hans (1981) Should a mathematics teacher know something about the history of mathematics? For the Learning of Mathematics 2, 1, pp. 30-33

Furinghetti, Fulvia (1997) History of Mathematics, Mathematics Education, School Practice - Case Studies in Linking Different Domains, For the Learning of Mathematics 17, 1, pp. 55-61

Furinghetti, Fulvia (2000a) The history of mathematics as a coupling link between secondary and university teaching, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology vol. 31, no.1, pp. 43-51

Furinghetti, Fulvia (2000b) The Long Tradition of History in Mathematics Teaching: An old Italian Case, in Katz, Victor (ed.): Using History to Teach Mathematics - An International Perspective, Washington DC: The Mathematical Association of America, pp. 49-58

Furinghetti, Fulvia & Radford, Luis (2000) Historical conceptual developments and the teaching of mathematics from philogenesis and ontogenesis theory to classroom practice, to appear in Bartolini Bussi, English, Jones, Lesh & Tirosh (eds.): Handbook of international research in mathematics education, New Jersey: Lawrence Erlbaum

Gardner, J. Helen (1991) "How Fast does the Wind Travel?": History in the Primary Mathematics Classroom, For the Learning of Mathematics 11, 2, pp. 17-20

Garvik, Olav & Lie, Trygve (1965) Matematikk med regnskapsføring - Hefte C, Oslo: Gyldendal Norsk Forlag

Page 98: Det genetiske prinsipp

Gehrke, Jerry (1994) The Place of the History of Mathematics in the Teaching of Mathematics, in Neyland, J. (ed.): A Handbook for Teachers, vol.1, New Zealand: Wellington College of Education, pp. 358-365

Gjerdrum, Anne-Lise & Kristiansen, Elisabeth W. (1998) Tusen millioner 3B, Oslo: J.W Cappelen

Gjerdrum, Anne-Lise & Kristiansen, Elisabeth W. (1999) Tusen millioner 4B, Oslo: J.W. Cappelen

Gould, Stephen J. (1977) Ontogeny and phylogeny, Cambridge, Massachusetts: The Belknap Press of Harvard University Press.

Grugnetti, Lucia (2000) The History of Mathematics and its Influence on Pedagogical Problems, in Victor Katz (ed.): Using History to Teach Mathematics - An International Perspective, Washington DC: The Mathematical Association of America, pp. 29-35

Haeckel, Ernst (1866) Generelle Morphologie der Organismen - II. Allgemeine Entwicklungsgeschichte der Organismen, Berlin: Verlag von Georg Reimer

Haeckel, Ernst (1906a) The evolution of man - vol.I: Human embryology or ontogeny, London: Watts & Co.

Haeckel, Ernst (1906b) The evolution of man - vol.II: Human stem-history, or phylogeny, London: Watts & Co.

Haeckel, Ernst (1992) The Riddle of the Universe, Buffalo, New York: Prometheus Books

Heath, Sir Thomas L. (1956) The Thirteen Books of Euclid's Elements vol. I-III, New York: Dover Publications

Hefendehl-Hebeker, Lisa (1991) Negative Numbers: Obstacles in their Evolution from Intuitive to Intellectual Constructs, For the Learning of Mathematics 11, 1, pp. 26-32

Heiede, Torkil (1991) Hvorfor undervise i matematikens historie? Normat 4, pp. 153-161

Heiede, Torkil (2000) Hvad skal en matematiklærer med ikke-euklidsk geometri? Normat 1, pp. 23-39

Heilbron, J.L. (1998) Geometry Civilized – History, Culture and Technique, Oxford: Clarendon Press

Hilbert, David (1988/1971) Foundations of Geometry, La Salle, Illinois: Open Court Publishing Company

Haanæs, Marianne & Bruun Dahle, Anne (1998) Pluss - Matematikk for småskoletrinnet, Idébok for læreren 3. klasse, Oslo: NKS-Forlaget

Imsen, Gunn (1998) Elevens verden - innføring i pedagogisk psykologi, Oslo: Tano Aschehoug

Jacobs, Harold R. (1987) Geometry, New York: W. H. Freeman and Company

Jahnke, Hans Niels (1991) Historische Erfahrungen mit Mathematik, Mathematiklehren, Heft 91, pp. 4-8

Page 99: Det genetiske prinsipp

Jahr, Einar (1998a) Hva er en vinkel? Tangenten 1, pp. 21-28

Jahr, Einar (1998b) Piaget og Vygotskij, in Geir Tufteland (red.): Matematikk 1 - For allmennlærerutdanningen, Bind 1, Oslo: Universitetsforlaget

Jakobsen, Arnt m.fl. (1965) Matematikk for enhetsskolen 5, Oslo: H. Aschehoug & Co.

Jakobsen, Arnt m.fl. (1966) Matematikk for enhetsskolen 6, Oslo: H. Aschehoug & Co.

Jakobsen, Arnt m.fl. (1968) Matematikk for enhetsskolen 7, Oslo: H. Aschehoug & Co.

Johnsen, Veslemøy (1996) Hva er en vinkel?, Nordisk matematikkdidaktikk 4, nr. 1, pp. 25-49

Jones, Phillip S. (1953) Angular Measure - Enough of Its History to Improve Its Teaching, The Mathematics Teacher, vol. 46, pp. 419-426

Jones, Phillip S. (1969) The History of Mathematics as a Teaching Tool, in Thirty-first Yearbook: Historical Topics for the Mathematics Classroom, Washington D.C.: National Council of Teachers of Mathematics

Katz, Victor J. (1986) Using History in Teaching Mathematics, For the Learning of Mathematics 6, 3, pp. 13-19

Katz, Victor J. (1997) Some Ideas on the Use of History in the Teaching of Mathematics, For the Learning of Mathematics 17, 1, pp. 62-63Katz, Victor J. (1998) A history of mathematics: an introduction, Addison-Wesley Educational Publishers

Kelley, Loretta (2000) A mathematical history tour, The Mathematics Teacher vol. 93, no. 1, pp. 14-17

KIM (1998-99) Kvalitet i matematikkundervisningen: Geometri, hefte I, F og grunnkurs i vid.gående oppl., Oslo: Nasjonalt læremiddelsenter

KUF (1996) Læreplanverket for den 10-årige grunnskolen, Kirke-, utdannings- og forskningsdepartementet, Oslo: Nasjonalt læremiddelsenter

Klein, Felix (1945) Elementary Mathematics - From an Advanced Standpoint, New York: Dover Publications

Kline, Morris (1972): Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York: Oxford University Press

Kortner, Olaf et al. (ed.) (1991) Aschehoug og Gyldendals Store Norske leksikon - Bind 14, Oslo: Kunnskapsforlaget

Kozulin, Alex (1990) Vygotsky’s Psychology – A Biography of Ideas, London: Harvester Wheatsheaf

Krainer, Konrad (1990) Lebendige Geometrie - Überlegungen zu einem integrativen Verständnis von Geometrieunterricht anhand des Winkelbegriffes, Frankfurt am Main: Verlag Peter Lang GmbH

La Cour, Poul (1962) Historisk Matematikk, København: Rosenkilde og Bagger

Page 100: Det genetiske prinsipp

Langer, Jonas (1988) A Note on the Comparative Psychology of Mental Development, in Sidney Strauss (ed.): Ontogeny, phylogeny and historical development, New Jersey: Ablex Publishing Corporation, pp. 68-85

Magina, Sandra & Hoyles, Celia (1997) Children's Understandings of Turn and Angle, in Nunes and Bryant (eds.): Learning and Teaching Mathematics: An International Perspective, UK: Psychology Press Ltd.

Martinsen, Roy m.fl. (1997a) Matematikk åtte - ni - ti 8: Grunnbok, Oslo: J.W. Cappelens Forlag

Martinsen, Roy m.fl. (1997b) Matematikk åtte - ni - ti 8: Lærerveiledning, Oslo: J.W. Cappelens Forlag

Martinsen, Roy m.fl. (1998) Matematikk åtte - ni - ti 9: Lærerveiledning, Oslo: J.W. Cappelens Forlag

Mitchelmore, Michael C. & White, Paul (2000) Development of Angle Concepts by Progressive Abstraction and Generalisation, Educational Studies in Mathematics 41, p.209-38

Moll, Luis C. (ed.) (1990) Vygotsky and education - Instructional implications and applications of sociohistorical psychology, Cambridge University Press

Mosvold, Reidar (2001) "Genetisk" - Begrepsforvirring eller begrepsavklaring, preprint

Ofir, Ron (1991) Historical Happenings in the Mathematical Classroom, For the Learning of Mathematics 11, 2, pp. 21-23

Piaget, Jean (1950) Introduction a l'épistémologie génétique, Paris: Presses Universitaires de France

Piaget, Jean; Inhelder, Bärbel & Szeminska, Alina (1960) The Child's Conception of Geometry, London: Routledge and Kegan Paul

Piaget, Jean & Inhelder, Bärbel (1969) The Psychology of the Child, London: Routledge and Kegan Paul

Piaget, Jean (1970) Genetic Epistemology, New York: Columbia University Press

Piaget, Jean (1972) Psychology and Epistemology, London: The Penguin Press

Piaget, Jean (1972) Psykologi og Erkendelsesteori, København: Hans Reitzel

Piaget, Jean (1975) Introduccion a la epistemologia genetica, 1. El pensamiento matemático, Buenos Aires: Paidos

Piaget, Jean & Garcia, Rolando (1989) Psychogenesis and the history of science, New York: Columbia University Press

Piaget, Jean (1997) The Principles of Genetic Epistemology, London: Routledge

Piatelli-Palmarini, Massimo (1980) Language and Learning - The Debate between Jean Piaget and Noam Chomsky, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press

Pólya, George (1962) The Teaching of Mathematics and the Biogenetic Law, in Irving John Good

Page 101: Det genetiske prinsipp

(ed.) The Scientist Speculates - An anthology of partly-baked ideas, London: Heinemann, pp. 352-356

Proclus (1970) A Commentary on the First Book of Euclid's Elements, translated with introduction and notes by Glenn R. Morrow, New Jersey: Princeton University Press

Radford, Luis (1995) Before the Other Unknowns were Invented: Didactic Inquiries on the Methods and Problems of Mediaeval Italian Algebra, For the Learning of Mathematics 15, 3, pp. 28-38

Radford, Luis (1997) On Psychology, Historical Epistemology, and the Teaching of Mathematics: Towards a Socio-Cultural History of Mathematics, For the Learning of Mathematics 17, 1, pp. 26-33

Radford, Luis (1998) Historical and Psychological Issues on the Study of the Development of Mathematical Thinking, Ontario: Université Laurentienne

Rasch-Halvorsen, Anne m.fl. (1997) Tusen millioner 5A, Oslo: J.W. Cappelen

Rasch-Halvorsen, Anne m.fl. (1998) Tusen millioner 6A, Oslo: J.W. Cappelen

Rasch-Halvorsen, Anne m.fl. (1999) Tusen millioner 7A, Oslo: J.W. Cappelen

Rasch-Halvorsen, Anne m.fl.(2000) Tusen millioner 7B, Oslo: J.W. Cappelen

Rogers, Leo (1981) Teaching the Calculus: Practice and Rigour from an Historian's Viewpoint, Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 13, Heft 1, pp. 19-22

Rogers, Leo (1991) History of Mathematics - Resources for Teachers, For the Learning of Mathematics 11, 2, pp. 48-52

Rogers, Leo (1997) Ontogeny, Phylogeny and Evolutionary Epistemology, London: Roehampton Institute

Rogers, Leo (1999) The biogenetic law and its influence on theories of learning mathematics, London: Roehampton Institute

Rogers, Leo (2000a) The biogenetic law and its influence on theories of learning mathematics, in Tim Rowland and Candia Morgan (eds.) Research in Mathematics Education volume 2, London: British Society for Research into Learning Mathematics,

Rogers, Leo (2000b) School Textbooks and the formation of Epistemological Obstacles: examples from the Early English Mathematics Curriculum, Nordisk matematikkdidaktikk (mars 2000)

Russ, Steve (1991) The Experience of History in Mathematics Education, For the Learning of Mathematics 11, 2, pp. 7-9

Schotten, Heinrich (1890) Inhalt und Methode des Planimetrischen Unterrichts, Leipzig: Druck und Verlag von G. G. Teubner

Schubring, Gert (1978) Das genetische Prinzip in der Mathematik-Didaktik, Bielefeld: Klett-Cotta

Schubring, Gert (1988) Historische Begriffsentwicklung und Lernprozess aus der Sicht neuerer mathematikdidaktischer Konzeptionen (Fehler, "Obstacles", Transposition), Zentralblatt für

Page 102: Det genetiske prinsipp

Didaktik der Mathematik 20/4, pp. 138-148

Schulstad, Olav (1931) Lærebok i regning og rumlære for lærerskolen - II Plangeometri, Oslo: J. W. Cappelens Forlag

Selter, Christoph (1997) Genetischer Mathematikunterricht: Offenheit mit Konzept, mathematiklehren, Heft 83, pp. 4-8

Sfard, Anna (1995) The Development of Algebra - Confronting Historical and Psychological Perspectives, Journal of mathematical behaviour 14, pp. 15-39

Sierpinska, Anna (1987) Humanities students and epistemological obstacles related to limits, Educational Studies in Mathematics 18, pp. 371-397

Sierpinska, Anna (1988) Epistemological remarks on functions, in: Borbás, Andrea (ed.), Proceedings of the 12th International Conference - Psychology of Mathematics Education, Hungary: OOK Printing House Veszprém, pp. 568-573

Sierpinska, Anna (1990) Some Remarks on Understanding in Mathematics, For the Learning of Mathematics 10, 3, pp. 24-35

Sierpinska, Anna (1994) Understanding in Mathematics, London: The Falmer Press

Sierpinska, Anna (1998) Three Epistemologies, Three Views of Classroom Communication: Constructivism, Sociocultural Approaches, Interactionism, in: Steinbring, Bartolini Bussi & Sierpinska (eds.), Language and Communication in the Mathematics Classroom, Reston, Virginia: National Council of Teachers of Mathematics, pp. 30-62

Sigel, Irving E. (1969) The Piagetian System and the World of Education, in: David Elkind and John H. Flavell (eds.): Studies in Cognitive Development - Essays in Honor of Jean Piaget, New York: Oxford University Press, pp. 465-489

Sinclair-De-Zwart, Hermina (1969) Developmental Psycholinguistics, in: David Elkind and John H. Flavell (eds.): Studies in Cognitive Development - Essays in Honor of Jean Piaget, New York: Oxford University Press, pp. 315-336

Siu, Man-Keung (1995) Mathematical Thinking and History of Mathematics, in Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson and Katz (eds.): Learn from the masters! The Mathematical Association of America, pp. 279-282

Siu, Man-Keung (2000) The ABCD of Using History of Mathematics in the (Undergraduate) Classroom, in Victor Katz (ed.): Using History to Teach Mathematics - An International Perspective, Washington DC: The Mathematical Association of America, pp. 3-9

Sjøberg, Svein (1998) Naturfag som allmenndannelse - en kritisk fagdidaktikk, Oslo: Ad Notam Gyldendal

Spagnolo, F. (2000) Mathematics Education - Didactics and epistemological obstacles in the transition from arithmetic language and from algebraic language to analysis, Topics of research of GRIM, http://dipmat.math.unipa.it/~grim/ricerca.htm

Steiner, Hans-Georg (1988) Two Kinds of "Elements" and the Dialectic between Synthetic-deductive and Analytic-genetic Approaches in Mathematics, For the Learning of Mathematics 8, 3, pp. 7-15

Page 103: Det genetiske prinsipp

Strauss, Sidney (1988) Ontogeny, Phylogeny, and Historical Development, New Jersey: Ablex Publ. Co.

Swetz, Frank J. (1992) The Sea Island Mathematical Manual: Surveying and Mathematics in Ancient China, Pennsylvania: Pennsylvania State University Press

Swetz, Frank J. (1995) Using Problems from the History of Mathematics in Classroom Instruction, in Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson and Katz (eds.): Learn from the masters! The Mathematical Association of America, pp. 25-38

Swetz, Frank J. (2000) Problem Solving from the History of Mathematics, in Katz, Victor (ed.): Using History to Teach Mathematics - An International Perspective, Washington DC: The Mathematical Association of America, pp. 59-65

Søgaard, Anders & Tambs Lyche, R. ( 1954) Matematikk for den høgre skulen I, Oslo: Gyldendal Norsk Forlag

Thomaidis, Yannis (1991) Historical Digressions in Greek Geometry Lessons, for the Learning of Mathematics 11, 2, pp. 37-43

Thompson, Jan (1997) Kunnskapsforlagets matematikkleksikon, Oslo: Kunnskapsforlaget

Toeplitz, Otto (1963) The Calculus - a genetic approach, Chicago: Univ of Chicago Press

Tropfke, Johannes (1903) Geschichte der Elementar-Mathematik - In systematischer Darstellung, Leipzig: Verlag von Veit & Comp.

Tryphon, Anastasia & Vonèche, Jacques (1996) Piaget - Vygotsky The Social Genesis of Thought, Hove, East Sussex: Psychology Press

Tzanakis, C. & Thomaidis, Y. (2000) Integrating the Close Historial Development of Mathematics and Physics in Mathematics Education: Some Methodological and Epistemological Remarks, For the Learning of Mathematics 20, 1, pp. 44-55

van der Waerden, Bartel Leendert (1980) Die "genetische Methode" und der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung, Praxis der Mathematik 22, Heft 2, pp. 52-54

van der Waerden, Bartel Leendert (1983) Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Berlin: Springer Verlag

van Maanen, Jan (2000a) Geometritimer inspirert av en middelalderkonflikt, Tangenten 2, pp. 10-14

van Maanen, Jan (2000b) Moderne matematikk og gamle metoder, Tangenten 2, pp. 27-33

Venheim, Rolf et al. (1998) Regnereisen - Grunnbok 3B, Oslo: Aschehoug

von Raumer, Karl (1843) Geschichte der Pädagogik - vom wiederaufblühen klassischer Studien bis auf unsere Zeit vol. I-III, Stuttgart: Verlag von Fam. Gottl. Liesching

Vygotsky, Lev (1986/1962) Thought and Language, Cambridge: The MIT Press

Vygotskij, Lev S. (2001) Tenkning og tale, Oslo: Gyldendal Akademisk

Page 104: Det genetiske prinsipp

Wells, Gordon (1999) Dialogic inquiry - towards a sociocultural practice and theory of education, Cambridge University Press

Wertsch, James V. (1985) Vygotsky and the social formation of mind, Cambridge, Massachusetts og London, England: Harvard University Press

Wertsch, James V. (1990) The voice of rationality in a sociocultural approach to mind, in Luis Moll (ed.) Vygotsky and Education - Instructional implications and applications of sociohistorical psychology, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 111-126

Wertsch, James V. (1991) Voices of the mind - a sociocultural approach to mediated action, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press

Wikstrøm, Solveig (ed.) (2001) CAPLEX nettleksikon, http://www.caplex.net

Wilder, Raymond L. (1968) Evolution of Mathematical Concepts - An Elementary Study, John Wiley & Sons, Inc.

Windmann, Bernd (1986) Methoden des Geschichtsunterrichts im Mathematikunterricht, Mathematiklehren 19, Dez., pp. 24-31

Wolff, Christian (1741) Kort Begreb af den første Grund til alle Mathematiske Videnskaber: den første Deel indeholder den pure Mathematik, som bestaar udi Regnekunsten, Geometrien, Trigonometrien og Algebra, af det tydske Sprog oversatt paa Dansk, Kiøbenhavn: J. J. Hopffner

Wood, Nicholas G. (1992) Mathematical Analysis: a Comparison of Student Development and Historical Development, Unpublished Ph.D thesis, Cambridge University

Zeuthen, H. G. (1903) Forelæsninger over Mathematikens Historie - Bd. II, Kjøbenhavn: Andr. Fred. Høst & Søns Forlag

Page 105: Det genetiske prinsipp

11 Vedlegg11.1 Vedlegg Branford-figur

Page 106: Det genetiske prinsipp

11.2 Vedlegg KIM-prosjekt

Til oppgave 9, prøve I fra 1998:

Oppgave a)Hvor mange vinkler ser du på figuren nedenfor?

Frekvens ProsentUbesvart 5 1,02 57 10,92 1 0,21 443 84,7Andre svar 17 3,3

Total 523 100

Oppgave b)Hvor mange vinkler ser du på figuren nedenfor?

Frekvens ProsentUbesvart 4 0,86 5 1,09 1 0,23 168 32,12 305 58,34 17 3,31 13 2,5Andre svar 10 1,9

Total 523 100

Page 107: Det genetiske prinsipp

Til oppgave 3 og 8, prøve F fra 1998:

Hvilke vinkler er rette? (oppgave 3)Frekvens Prosent

Ubesvart 5 0,9A, B, D 221 40,9A, D ; ser ikke at vinkelen som er rotert (...) er rett

249 46,0

A, B 2 0,4B, D 10 1,8A 6 1,1B 2 0,4D ; D er rotert som i en lærebok

16 3,0

A, B, C, D ; alle kan se rette ut, (...), E skiller seg ut

1 0,2

A, C 2 0,4B, C, D 5 0,941 1 0,2Andre svar 21 3,9

Total 541 100

Oppgave 8:

Page 108: Det genetiske prinsipp

Oppgave a)Hvilken av de markerte vinklene tror du er størst?

Frekvens ProsentUbesvart 8 1,52 182 33,61 4 0,73 28 5,24 211 39,05 97 17,915 1 0,2Andre svar 10 1,8

Total 541 100

Oppgave b)Hvilken av de markerte vinklene tror du er minst?

Frekvens ProsentUbesvart 9 1,74 208 38,41 ; korte vinkelbein 201 37,22 ; korte vinkelbein 75 13,93 24 4,4Andre svar 24 4,4

Total 541 100

Til oppgave 7, prøve fra 1999:

Page 109: Det genetiske prinsipp

Oppgave a)Hvor mange vinkler ser du på figuren nedenfor?

Frekvens ProsentUbesvart 5 0,92 67 12,02 1 0,21 ; ser kun innvendig vinkel 463 83,1Andre svar 21 3,8

Total 557 100

Oppgave b)Hvor mange vinkler ser du på figuren nedenfor?

Frekvens ProsentUbesvart 4 0,76 10 1,83 270 48,52 230 41,34 22 3,91 1 0,2Andre svar 20 3,6

Total 557 100

Page 110: Det genetiske prinsipp

11.3 Vedlegg fra Johnsen 1996

En oppsummering fra "Hva er en vinkel?", Johnsen 1996.

Dialog 1 (side 31)

Lærer: Hvis du skal skyte et veldig fint mål, hvor vil du plassere ballen (tegner et fotballmål på tavla)?Elev: I vinkelen.Lærer: Hvorfor heter det det?Elev: Fordi det går sånn (tegner en rett vinkel på tavla).Lærer: Hva er en vinkel?Elev: 90 grader.Elev: Det behøver det ikke være.

Dialog 2 (side 33)

Guri: Det er ei linje med en brekk på.Lærer: Du tenker på ei linje, men så er det en brekk på, en veldig spiss sånn brekk?Guri: Ja, men den trenger ikke være spiss en gang.Lærer: Kan den være sånn? (Tegner en buet linje)Guri: Nei, det går ikke.Lærer: Guris teorem: linje, vinkel, det er ei linje med en brekk, vil du at jeg skal skrive spiss brekk?Guri: Nei, bare skriv brekk.Lærer: Med en brekk så skjønner vi det (skriver på tavla: "Linje med en brekk")Elev: Det behøver det jo ikke, for hvis den er 180 grader, så brekker den jo ikke.Elev: Men da er det ikke noen vinkel.Elev: Jo, det er det.

Dialog 3 (side 39)

Elev: Jeg spurte pappa hvor stor en vinkel kan bli.Lærer: Hvor stor kunne den bli?Elev: 179 grader.Elev: Men det stemmer jo ikke.Elev: Jo, det gjør det.

Dialog 4 (side 40)

Elev: Hva kan det være at gradskiven bare er 180 grader?Elev: Du kan legge den andre veien også. Du kan bare gå rundt en gang.Elev: Fordi det bare går an å få vinkler som er 180 grader.Elev: Jo, for hvis det er en vinkel som er 270 grader, så er det jo bare å se der det er 180 grader og så bare måle det som er ned der.Elev: Du kan bare måle det som er inni og så tar du minus.Elev: Hvis du skal måle vinklene til et hus og vinklene er 90 grader.Elev: Da kan det jo være både 90 og 270 grader.Elev: Det kan være noe annet også.Elev: Så kan du gå en runde til.

Page 111: Det genetiske prinsipp

Dialog 5 (side 41)Elev: Hvis du står utenfor, så kan du ikke måle det som er inni.Elev: Det går an å se på den vinkelen (peker på vinkelen utenpå huset).Lærer: Kan vi alltid, for alle vinkler, finne disse to (en vilkårlig vinkel v og 360° - v), hvis jeg tegner en annen vinkel også. Er det to vinkler her også? (tegner en vinkel til på tavla)Elever:JaLærer: Kan vi gjøre det for alle vinkler?Elever:Ja, nei… (diskusjon)Lærer: I tilfelle hvor mye blir disse to vinklene til sammen?Elev: 360Elev: Men det er jo klart at vinkelen som er inni er minus.Elev: Nei det blir ikke alltid 360 hvis du tar vinkelen større (enn 360).

Page 112: Det genetiske prinsipp

11.4 Undervisningsopplegg

11.4.1 Tema for timene

1. Tema

”Kremmerhusoppgaven”

Hva trengs?Ark, saks og lim. Elevene har selv passer og linjal.Sirkelsektor-arkOppgaver om vinkler

Framdrift:-Læreren spør elevene hvordan de kan lage et enkelt kremmerhus av et ark. Elevene svarer, eller læreren viser (hvis ingen kan svare).-Hvordan kan vi lage et ”finere” kremmerhus, med jevnere kanter? Elevene diskuterer og prøver ut i grupper. -Hvordan kan vi forandre størrelsen på disse kremmerhusene? Elevene diskuterer og prøver ut. -Hvordan kan vi lage et kremmerhus som inneholder mest mulig sukkertøy? -Læreren deler ut sirkelsektorer av ulik størrelse, og elevene forsøker å lage kremmerhus av dem. Hvorfor blir disse kremmerhusene forskjellige? Har det noe med vinkelen på sirkelsektorene å gjøre?

-Elevene får utdelt ark med oppgaver om vinkler. Oppgavene skal løses felles i gruppene. Læreren går rundt og hjelper til, og forsøker å provosere fram andre måter å tenke på hos elevene. For eksempel når elevene skal måle en vinkel, kan læreren spørre: Har vi ikke en vinkel til her? Hva med den her? Er ikke det en vinkel?

2. Tema

”Rotasjon”

Hva trengs?Elevene må ha gradskive og linjal. Ferdig tegnet ark med tegning av en svingete elv.O-kart med inntegnet løype og tilhørende fortelling på eget ark. Oppgaver om vinkler som rotasjon.

-Elevene får utdelt ark med tegning av en svingete elv. De skal forsøke å beskrive hvordan skipperen skal navigere, for ikke å kollidere med elvebredden. Tips dem om å bruke gradskive og linjal, hvis de ikke gjør det av seg selv!

-Hver gruppe får utdelt et orienteringskart og en fortelling. Denne fortellingen beskriver hvordan en orienteringsløper har løpt løypa på kartet, men den mangler alle enheter. Elevenes oppgave blir å fylle inn disse verdiene og fullføre fortellingen. Kan de også tegne inn hvor o-løperen har løpt?

-Gruppene får utdelt ark med oppgaver om vinkel som rotasjon. De skal diskutere og løse oppgavene i gruppene. Læreren går rundt og hjelper og gir feedback underveis. Forsøk å provosere fram nye oppfatninger eller måter å oppfatte vinkel på!

Page 113: Det genetiske prinsipp

3. Tema

Hva trengs?Kopier av Escher-bilder til gruppene.

-Gruppene får i oppgave å finne og skrive ned flest mulig vinkler som de kan se i klasserommet. Gruppene legger fram sitt forslag for klassen, og diskuterer. Læreren kommer med innspill for å provosere fram diskusjon. (Er dette egentlig en vinkel? Er ikke dette også en vinkel? Hvorfor er ikke dette en vinkel? Osv.)

-Hver gruppe får utdelt noen kopier av ulike Escher-bilder. Finn flest mulig vinkler på disse bildene. Marker vinklene. Læreren går rundt og gir feedback. Hvis tid, kan gruppene legge fram resultatet, og de andre gruppene kan supplere.

-Gruppene får så i oppgave å lage egne definisjoner av hva en vinkel er. Læreren går rundt og gir feedback og forsøker å provosere fram en diskusjon omkring definisjonene.

Page 114: Det genetiske prinsipp

11.4.2 Oppgaver

• Mål vinklene under.a. b.

c. d.

e. f.

g. h.

Page 115: Det genetiske prinsipp

2. Mål vinklene i mangekantene

a. b.

c. d.

e.

Page 116: Det genetiske prinsipp

3. Klipp et ark som en sirkel. a. Hvordan kan du lage en rett vinkel med sirkel-arket, uten å bruke andre

hjelpemidler?b. Hvordan kan du lage en vinkel på 180 grader?c. Hvordan kan du lage en vinkel på 270 grader?

2. Nøtt!For over 2500 år siden klarte den greske matematikeren Thales å beregne høyden på pyramidene. Hvordan kunne han klare det uten faktisk å måle selve høyden på pyramiden? (Hint: forsøk å bruke formlike trekanter!)

Oppgaver om vinkel som rotasjon.

3. Når friidrettsutøvere kaster kule, diskos og slegge, dreier de rundt seg selv. Alle starter med ryggen mot kastretningen, og avslutter med ansiktet i kastretningen etter å ha dreid.

En kulestøter dreier en halv gang. En diskoskaster dreier en og en halv gang. En sleggekaster dreier fire og en halv gang. Hvor mange grader dreier hver av kasterne?

4. Se figuren.

Sett navn på figuren etter kompassretningene. (N, S, Ø, V, NØ, NV osv.)

• Hvor mange grader har vinden dreid når den har slått om fra sydøst til vest? • Halver vinklene på figuren og gi navn til de nye vinklene. • Et skip har kurs mot NØ og forandrer kurs til ØSØ. Hvor mange grader har det

dreid?

Page 117: Det genetiske prinsipp

O-fortelling

(Oppgave: Les fortellingen og følg med på kartet. Løpet starter i trekanten som er tegnet inn på kartet. Tegn inn hvor du ”løper”. Sett en ring rundt postene og fyll inn de åpne områdene i fortellingen under.)

Pip-pip-pip-pip-piiiiiiiip. Starten går. Jeg roterer _____ grader rett mot øst og løper til hjørnet av plassen. Der tar jeg veien som går mot NØ. Jeg følger den _____ m, til jeg når gressplenene. Jeg vinkler ___ grader til venstre og stempler på 1. post, som ligger under en skrent like ved hjørnet av gressplenen. Jeg snur og løper tilbake til veien, i det jeg ser Petter, som startet et halvt minutt før meg. Jeg følger ham videre bortover veien til veikrysset. Tar av til høyre og følger veien _____ m, før jeg tar av til venstre mot skrenten på den lille utstikkeren på plenen. Der ligger andre post. Roterer _____ grader mot venstre og løper til hjørnet av plenen. Tar stien som går nesten rett mot nord, før den svinger mot VNV like etter. Følger stien rett fram. Passerer først en sti som går til venstre. Neste gang en sti går til venstre, vrir jeg _____ grader mot venstre, omtrent på halveringsstrålen mellom de to stiene. Løper langs toppen til skrenten som ligger under den lille kollen. Der ligger tredje post. Jeg stempler og vrir _____ grader mot høyre i forhold til nord, omtrent rett mot øst. Løper rett fram i den retningen. Krysser en sti, en bevokst myr og løper over noen småkoller, før jeg kommer ut på et gult område. Holder på å rase ned et svært, bratt stup, før jeg vrir ___ grader mot venstre, og løper på toppen av stupet. Vrir ____ grader mot venstre, der posten ligger på et høydepunkt mellom to små grønne flekker. Jeg hører noen løpere i krattet til venstre, så jeg stempler på posten og løper rett mot nord, så stille jeg kan, så de ikke skal høre hvor posten er. Hehe. Løper rett til venstre for en kolle med to høydepunkter på og sklir ned en skrent, før jeg spurter opp på en flat kolle med gult på toppen. Der ligger neste post. Jeg stempler og vrir ____ grader mot venstre. Når jeg følger denne retningen kommer jeg ut på en sti, like før den svinger. Følger stien rundt svingen, passerer en utydelig sti til høyre, løper over en kolle og ned gjennom et lysegrønt felt før jeg kommer ned i et stikryss som ser ut som en T. Jeg løper rett fram, _____ grader til venstre for nord, og løper rett i skrenten der posten ligger. Stempler på posten, vrir ____ grader til venstre og løper ut på stien. Følger den mot NV til jeg kommer over toppen. Da vrir jeg ____ grader mot venstre og løper opp søkkene. Det blir grønnere og grønnere rundt meg, og like før det blir som grønnest ser jeg posten. Den ligger under en skrent ved kanten av en lang kolle med gult på toppen. Jeg stempler i det jeg ser enda en løper foran meg. Han løper rett mot vest. Heldigvis følger jeg ikke etter, for han er ute på bærtur. Jeg vrir i stedet ___ grader mot venstre, og løper rett sydover. Løper gjennom to grønne felter, før jeg passerer mellom ei lita myr og et gult område. Like etter finner jeg posten på en stein. Nå er jeg virkelig i siget, og jeg har tro på at dette skal gå veien. Jeg fortsetter rett syd en liten stund, før jeg vinkler ____ grader til høyre ved skrentene og løper ned til Granmyr. Løper over plenen mot SV til krysset mellom traktorveien og grusveien. Like SØ for krysset ligger posten under et stup. Stempler og følger traktorveien VSV til hjørnet av plenen. Der svinger veien ___ grader mot venstre. Jeg løper rett opp i skogen, der posten ligger mellom to høydepunkt. Nå nærmer det seg mål, og dette kan bli et skikkelig storløp! Jeg følger den lange myra mot SV, fortsetter rett fram over kollen, sklir ned skrenten og ser steinen der posten ligger. Etter at jeg har stemplet vrir jeg ____ grader mot venstre og løper rett sydover i kanten av steinura. Kommer opp på plasser, der siste post ligger på hjørnet under et stup. Vrir ___ grader mot venstre og følger merkebåndene til må, som ligger rett vest, på motsatt hjørne av plassen. Jeg stormer over mål, i det jeg hører speakeren si navnet mitt. Jeg løper inn til ny ledertid og er veldig fornøyd med løpet mitt. Så blir det en stund med spennende venting, før jeg får vite om noen klarer å slå tida mi….

Page 118: Det genetiske prinsipp

11.5 Vinkeldefinisjon

Page 119: Det genetiske prinsipp

11.6 Transkripsjoner

Transkripsjon 3. time, gr. 2

1. Debora: Finn vinkler… Skal vi bare skrive ned der det er vinkler?2. Lærer: Ja, vinkler som dere ser rundt omkring i klasserommet.3. Debora: Bildane, plakatane, lampane, ovnane…4. Lærer: Men, når dere skriver døra og vinduene…Meiner dere at heile døra er en vinkel?5. Elisabeth: Nei, fire kanter. Hjørnane6. Jonas: Er det hjørner vi snakker om?7. (mumling og småprat)8. Lærer: Men, hvis dere tegner døra, og så…9. Elisabeth: Så setter vi bare ring…, sånn der i hjørnane.10. Lærer: Ja. Er det flere vinkler på ei dør?11. Elisabeth: Ja, der!12. Lærer: Men nå er det fire vinkler. Er det flere vinkler?13. Peter: Også inni der igjen.14. Lærer: På utsida her, er ikkje det en vinkel?15. Debora: Jo, det er det sikkert.16. (mumling og småprat)17. Lærer: Men hvis dere prøver så mange dere kan finne!18. (småprat)(Dermed var det slutt på konsentrasjonen til denne gruppa for ei lang stund!)19. Lærer: Men hvilke er det dere har funnet?20. Debora: Disse.21. Lærer: Men alle de her vinklene, å store er de?22. Debora: Det er jo forskjellig! 23. Lærer: ja…24. Elisabeth: Du kan'ke begynne å måle overalt!25. Debora: Pultene er kanskje … 3 meter.26. Lærer: Jammen, æ meiner vinklene.27. (mumling)28. Lærer: Er vinklene 90?29. Elisabeth: Ja de er 90! For de at de er sånn… De er 90 grader for det at de er firkanta eller sånn

der…30. Lærer: Er alle vinklene 90 grader?31. Debora: Nei, noen er kanskje 200 au…32. Lærer: Hvis dere prøver å skrive opp hvilke vinkler dere har funnet, og hvor store de er …33. Debora: Jammen vi kan'ke gå rundt og måle overalt!!!34. Lærer: Nei, men da kan dere gjette litt.35. (mumling)36. (konsentrasjonssvikt på gruppa igjen…)

Page 120: Det genetiske prinsipp

Transkripsjon 1. time, gr. 3

1. Maria: Han blir sånn..., større der oppe.2. Lærer: Ja, større der. Ok. 3. Sara: Han blir jo breiere i hvert fall!4. Lærer: Blir han djup, eller blir han...5. Sara: Han blir bare brei sånn. 6. Lærer: Ok. Mhm. 7. Rut: Nei, han blir veldig høy!8. Lærer: Han blir veldig høg, tror du. 9. Rut: Æ vet ikke.10. Lærer: Nei, mi får se når du...11. (småprat)12. Sara: Er det noe du har klippa ut Rut?13. Rut: Det er kremmerhuset!14. Sara: Åssen kremmer... Åja, det var det ja. 15. (småprat)16. Lærer: Blei den stor, eller blei den... 17. (mumling)18. (Lærer gir felles beskjed)19. Lærer: Hver enkelt gruppe har nå fått utlevert litt sånn forskjellige vinkler. Ta fram den

redskapen som du har tilgjengelig, så ser du å stor den vinkelen er. 20. (småprat)21. Lærer: Har dikkon målt de ulike vinklane?22. Rut: Ja. 23. Lærer: Ja. Nå ser dere den vinkelen her sånn, då har dere skrevet at den var..., å mange

grader var detta sa dikkon?24. Rut: Det står jo der!25. Lærer: Ja, der står det?26. Sara: 47. 27. Lærer: Javel. Er det andre vinkler enn den vinkelen her sånn? Som mi kan måle...28. Markus: Nei. 29. Maria: Hva mener du?30. Lærer: Altså, her er en vinkel...31. Maria: Måle den på andre måter?32. Lærer: Ja, er der fleire vinkler på den figuren der? 33. Sara: De har'ke noe å si de der grå klattane over alt?34. Lærer: Nei. 35. (mumling)36. Maria: Æ må se! Hvor er det vi har målt hen?37. Sara: Ja, du skal måle som om det er en strek der og. 38. Lærer: Ja, det kunne ha blitt en ny vinkel då...39. Markus: Der har vi målt. 40. Sara: Jammen det er jo samme!41. Lærer: Er der fleire vinkler...42. Sara: Jammen det er samme uansett åssen vei du tar! Jammen...flere vinkler...43. Rut: Det går ikke!44. Lærer: Det går ikkje, meiner du...45. Sara: Men, skal vi prøve og så finne...åssen den tredje vinkelen vil bli? Vi har'ke hatt noe

om det!46. Lærer: Altså, her er en vinkel. Det har dikkon funne ut av.47. Sara: Ja, her er en vinkel. Her er sånn vinkelbein og ....48. Lærer: Ja. Å heiter det punktet der?49. Maria: Midtnormalen!

Page 121: Det genetiske prinsipp

50. Rut: Ikke midtnormal!51. Maria: Æ bare tulla. 52. Sara: Vinkelpunkt... Æ husker ikke!53. (mumling)54. Sara: Ja, det er vinkelbein og vinkelbein...55. Lærer: Ja. 56. Sara: ...og så er det ett eller anna. 57. Maria: Samma det!58. Sara: ...men det er jo ikke det som...59. Lærer: Trenger mi å måle bare den vinkelen som er her sånn? Er der ikkje ein vinkel som

går...60. Rut: Den!61. Lærer: Ja, den har mi målt. Men, her er et vinkelbein her og et vinkelbein her. Går der'kje

egentlig ein vinkel her? 62. Sara: Her???63. Lærer: Mhm. ...En veldig stor vinkel...64. Sara: Det har'ke du lært oss engang! 65. Maria: Heile greia? 66. Sara: Ja, så..., den der! 67. Lærer: Er det ein vinkel?68. Markus: Nei. 69. Maria: Ja. 70. Sara: Det er vel en vinkel...71. Lærer: Åffer er det en vinkel?72. Sara: Men åssen vei skal du måle da?73. Maria: Det er en selvfølge...74. Sara: Ja, det er en selvfølge. Det er en bit av en runding og så en...75. Lærer: Ja...76. Maria: Vink.... Han skal jo egentlig gå helt rundt... Nei. Han skal jo egentlig det (til seg

selv)...77. (mumling)78. Maria: Jammen, det er... Kan vi tegne på videre? 79. Lærer: Hmm?80. Maria: Vi kan jo ikke tegne han på videre! 81. Lærer: Eeeeh...82. Rut: Ja, det skjønner'ke æ! Æ måler bare på andre sida. 83. Sara: Ok, den er 180 grader...84. Lærer: Ein ny... 180, ok... Mhmmm. Er den større eller mindre enn 180 grader?85. Sara: 180. 86. Maria: Har vi målt han feil, er det det du mener?87. Lærer: Nei nei. E bare lurte på om her er fleire vinkler, liksom...88. (elevene mumler og prater i munnen på hverandre)89. Rut: Det her er 90 uansett!90. Maria: Kanskje de bare har prøvd å lure oss...91. Rut: Denne er... eh, 120. 92. Lærer: Men Rut, se nå. 93. Sara: Det er ikke den vinkelen vi snakker om! (til Rut) Det er en annen vinkel!94. Lærer: ...ja... Mi kan godt ta den vinkelen her, som du har. 95. Rut: Det er 90.96. Lærer: Ja, det ser fint ut. Heilt topp! Men, er der ein vinkel her au? 97. Sara: Den der er det vi snakka om!98. Lærer: Er det ein vinkel? 99. Rut: Derfra til der?100.Lærer: Ja.

Page 122: Det genetiske prinsipp

101.Maria. Ja! 102.Rut: Ja.103.Sara: Hvor? Derfra til der. 104.Lærer: Ja, åffer er det en vinkel? 105.Rut: Men det går'ke an å måle han! 106.Lærer: ...det går'kje an å måle han... 107.Maria: Det gjør jo det!108.Sara: (prøver å forklare) Det er derfra til der! Det er møtepunktet for de to vinkelbeina,

hvis det går sånn strek der! 109.Lærer: Skal mi se. Der er et vinkelbein der, og et vinkelbein som går sånn.110.Rut: Hæ?111.Lærer: Hvis mi vet at den er 90 grader, klarer mi å finne ut å stor den vinkelen då er?112.Maria: Ja, det er 180 til sammen. Nei, nei, nei. 113.Lærer: Ja.114.Maria: Da blir det 100... Nei, 90. Nei..., jo, 90.115.Rut: Det her kan'ke æ huske at vi har hatt!116.Lærer: Men, den er vel kanskje større enn ... den.117.Sara: Det er den vinkelen som går... Æ skjønner ikke helt. Det er den vinkelen som ville

vært her ute?118.Lærer: Ja! Den som er her ute, ja. Akkurat. 119.Rut: Den er sånn. Akkurat sånn skrått....120.(prater litt i munnen på hverandre)121.Maria: Han er 180!122.Sara: Så en vinkel kan være sånn liksom...123.Lærer: Ja, stemmer. 124.Rut: (sukker litt) Da skal vi se... Da blir han akkurat... eh, hvis du tar den...125.Sara: Ja! Du tar 180 minus den vinkelen...126.Maria: (til Sara) Det blir 90. 127.Lærer: Ja, dere er inne på en tankegang her nå altså! 128.Sara:Jammen, ikke sant ja. Ho sto alltid sånn rundinger, også trekker du fra det du har skrive

der!129.Maria: 360 er jo det! 130.Lærer: Ja, heile rundingen var?131.Maria: 360.132.Lærer: Ja, det stemmer.133.Sara: Og så trakk du fra det tallet du har her, og da finner du ut hva som er her ute.134.Lærer: Ja, å stor må den vinkelen då bli?135.Maria: To hundre og... vent litt! 360 minus 90, det blir...136.Lærer: Ja, tenk litt nå.137.Rut: 270!138.Maria: 270!139.Lærer: Ja. Å stor er den vinkelen her altså?140.Maria: Den er 270. Æ er så god!141.Sara: Men det er grader det og? ... Er'ke de det?142.Maria: Er det sånn du skal tenke da, på alle?143.Lærer: Eeeeh, hvis mi skal se den andre vinkelen, så... må mi tenke sånn.144.Maria: Ok, så mangler vi her og da! Da mangler vi der. Alle mangler vi! Ok, 360 minus

105?145.Markus:360 minus 120. 146.Sara: Trehundre... Det er 365!147.Maria: Nei, 360!148.Sara: Er det 360 som er en hel? Ja, æ tenkte... Har vi'kke... Vi har'ke viskelær! Jo, det har

vi...149.(mumling)

Page 123: Det genetiske prinsipp

150.Sara: 365. Ok, trehundreog...151.Maria: Ikke 365!152.Sara: 360 mener æ. Hva er det æ tenker på?153.Maria: Ja! Du tenker på dager i et år!154.Sara: Det er det!155.Maria: Det er 365.156.(Lærer gir felles beskjed)157.Lærer: Du får ei oppgave her nå. Hvordan kan du lage en rett vinkel med en sirkel? Altså,

første bud nå... Åja, det er den nå (til seg selv). Da hopper mi litt tilbake her. Du får et nytt ark ... i en sånn mangekant. Mål dei vinklane der sånn!

158.Sara: Mål vinklane i de... Ja. Åssen skal vi begynne med?159.Maria: Hehe. Æ vet ikke!160.(mumling)161.Maria: Jammen det er så mye kanter! 162.Sara: Den er jo 90 grader. Det ser en jo. Og den er jo 90 grader. Den er 90 grader. Vi kan'ke

bare si 90 grader på alt!? Tou da? Help me!163.Maria: Ja.164.Sara: De er jo 90 grader alle...165.Lærer: Hvilke vinkler er det som er 90 grader der?166.Maria: Vet ikke...167.Lærer: Kan du... Kan du merke de vinklene som er 90 grader?168.Rut: Sånn, nå er vi ferdige med dette arket!169.Sara: Det blir f... Men skal vi...170.Maria: Bare gjør det! 171.Sara: Men, skal vi ta de på... sånn som vi gjorde på den? Liksom den som ville vært her

ute og? ... Nei, det trenger vi jo ikke gjør, for det er jo bare...172.Lærer: Hvis du ser her... Her har du skrevet at den er 90. Er det den du meiner som er 90 da,

eller?173.Sara: Den!174.Lærer: Men, den vinkelen der da? Den som er rundt hjørnet liksom... 175.Sara: Den..., skal vi måle den og? 176.(mumling og småprat)177.Sara: 360 minus... Ja, det er sånn. Æ trenger hjelp her! Vil det si at den er 270 grader? 178.Rut: Alle de vinklane...179.Sara: Er den 270 grader, hvis den er 90? Hva er den vinkelen der? 180.(mumling)181.Rut: Ja, den er 270. 182.Sara: Ja, er den...183.Rut: Ja, den er 270. Alle er 270! 184.Sara: Ja, fint at du veit det... 185.Rut: Du Sara, skjerp deg! Alle er 270!186.Rut: Åh, hvor fikk du 210 fra?187.Sara: Åssen fikk du 210? ... Jammen, vi skal måle alle de her!188.Rut: Vi skal måle sånn, Sara!189.(mumling)190.Sara: Rut, du kan ta den målinga. For det er du rask på!191.(mumling)192.Rut: 85. 193.Sara: Var det åtti... Ta og skriv det opp da! Skriv du med den. 85? (mumling) ...minus 85,

og da blir den andre 275.194.(mumling)195.Sara: Åssen skal vi ta det... Æ skjønner'ke det! ...ja, det er innsida, ja. Men, Rut...196.Rut: Vent litt! 197.Sara: Femti...tre

Page 124: Det genetiske prinsipp

198.Rut: Femtisyv!199.Lærer: Ny oppgave her nå!200.Sara: Gjør det noe om ikke vi blir ferdige med alle?201.Lærer: Nei, nei. Nå skal dere få ny oppgave...202.Sara: Vi skjønner poenget... 203.Lærer: Dikkon skal nå få et ark. Det har dikkon her nå. Lag en sirkel på det arket. Kløpp den

ut, og så legger du...204.Sara: Vi har'ke passer! 205.(mumling)206.(lærer finner ny passer)207.Lærer: Åssen kan dikkon med hjelp av sirkelen lage en 90-graders vinkel? ... Uten å bruke

passer eller gradskive eller noen ting. 208.Maria: Finne midten, og så... Ikke?209.Lærer: Først må du lage..., kløppe han ut. Så må du prøve å lage en 90-graders vinkel.210.Maria: Æ tror'ke det er vanskelig! 211.Sara: Jammen, det er jo den der... Vi pleier jo alltid og så gjøre sånn på sirklane. Og da vil

jo 90 grader være her! 212.Lærer: Ja... Åssen kan du få laga det uten å bruke... gradskive og sånn?213.Sara: Bruke linjal. Vi får lov til det?214.Lærer: Nei, uten linjal au.215.Sara: Uten... Hva skal vi gjøre det med da?216.Maria: Med blyant! Bare skriv han.217.Lærer: Lag en sirkel, så skal mi komme tilbake til det! 218.(mumling)219.Sara: Men, du må få med at det er på innsida du har målt den der, ikke sant? 220.Rut: Ja, æ vet det.221.Sara: Du har målt den indre vinkelen, ikke den... 222.Rut: Nei, men det må du jo regne ut! 223.Sara: Ja, men det er'ke så nøye. Vi skjønte poenget med han! ... Den skjønte vi greit.224.Maria: Sånn. Skal æ bare klippe han ut? (har laget sirkel)225.(mumling)226.Markus:Jammen vi kunne jo ikke bruke passer!227.Sara: For å tegne sirkel kunne vi jo det! 228.(mumling)229.Maria: Lærer, må vi klippe ut? 230.(småprat)231.(klipper ut sirkelen)232.Lærer: Ja, men det er greit det. Ta og klipp ut den, så kan æ gje noen tips. 233.Sara: Ok, nå skal vi samle...234.Maria: Så bråkete det er i vår klasse! 235.(mumling og småprat)236.Rut: Lærer, timen er over nå! 237.Lærer: Ja, hvert øyeblikk. E skal bare se om dikkon får løyst den der!238.Sara: Hva er det vi får lov til å bruke for noe?239.Lærer: Ikkje noke anna enn å bruke sjølve den... Den sirkelen. 240.Maria: Ja, vi må brette han inn!241.Lærer: Åhja, åssen tenker du nå?242.Maria: Jammen, hvis du...243.Rut: Sånn, og så bretter du den en gang te! 244.Lærer: Sara, å gjorde du nå?245.Sara: Æ bretta..., for å finne midten... Æ bretta for å finne midtpunktet, og så ser æ på de

brettestrekane... 246.Rut: Her! Sånn liksom...247.Sara: Her er midten, og så da blir det 90 grader der.

Page 125: Det genetiske prinsipp

248.Maria: Du kan bare brette han inn for å få heile! Du kan jo bare ha han bretta inn, kan du'ke det?

249.Lærer: Ja, bretta han i to, liksom, sånn som du har gjort. Og så brette han igjen. Ja. Heilt korrekt! Det gikk fort altså! Plutselig så..., hadde dikkon løysninga.

250.Maria: Men, dette er jo'ke så vanskelige ting...

Transkripsjon 2. time, gr. 3

(Elevene leser ark med oppgaver om vinkel som rotasjon, se vedlegg!)

1. Sara: Det er jo bare2. Maria: Mumler.3. Sara: Ja. Men ikke sant, en halv gang, det er ... en halv sirkel, det er jo. 365 delt på to. Er

det ikke bare det?4. Maria: 180.5. Sara: Ja. Nei... Ja, æ mener...6. Rut: 180. Så er det 360 pluss 180, så er det 360 ganger fire...7. Maria: Nei, 360 delt på to, er det ... 180?8. Rut: Jo, det er 180. En halv er 180. 9. Sara: Ja, så.10. Maria: Skal vi skrive det? 11. Sara: Nei, vi skal bare diskutere det. 12. Rut: Jo det er 360. 13. Sara: Kulestøt ... kulestøter'n14. (mumling. elevene prater litt i munnen på hverandre.)15. Sara: Ikke sant, en halv gang er 180. En og en halv gang er 360...16. Rut: Pluss 180.17. Sara: Firehundreog...18. (mumling, en av elevene regner ut på kalkulatoren.)19. Maria: Men, en hel. Kan en hel bli mer enn 360? 20. (mumling)21. Maria: En hel kan ikke bli mer enn 360!22. Rut: Nei, men...23. Maria: Jammen, det æ mener ... når det er en av de...24. Sara: Det er så mange grader.25. Rut: Det er en og en halv!26. Maria: Ja, en og en... Ja.27. Sara: Ja, og så fikk du 540 grader.28. Rut: Ok, så er det 540 grader. 29. Sara: En og en halv gang.30. Rut: Ja, skriv bare den!31. Sara: Jamen, vi trenger ikke å skrive opp. Vi skal bare diskutere, så han kan høre på det.32. (mumling og latter)33. Sara: Fire og en halv gang. 360 gange... Bare ta 360 gange 4,5 da!34. Maria: 360 gange..35. Rut: 360 gange...36. Sara: 4,5!37. Rut: Er lik...38. Sara: Nei, men du må... Fire... eh, fire komma fem. Fire og en halv gang!39. Rut: Åååh! (oppgitt over å ha slått feil på kalkulatoren)40. Rut: Oj. Gange fire komma fem... 1620 gang... eh, grader. 41. Sara: ...kaster en sleggekaster. Så er vi ferdig med den! Og så den...42. Maria: Vi skal ikke skrive det opp, altså?

Page 126: Det genetiske prinsipp

43. Sara: Nei, æ tror ikke det. Vi skal ikke skrive opp?44. Lærer: Dere kan bare skrive opp svaret. Men det er ikke så veldig viktig, bare dere diskutere

og er enige om at det er riktig. 45. Elever: Ja...46. Lærer: Hva har dere kommet fram til her da?47. Sara: Så mange grader. Hehe. (peker på arket)48. Lærer: 1620! (later som han er veldig overrasket) Går det an da?49. Sara: Nei.. Hihi. (elevene ler litt)50. Maria: Nei, det var det! Det er jo bare 360 i en running...51. Sara: Ja, men fire og en halv gang...52. Rut: Jammen, så tar han fire ganger... fire hele ganger...53. Lærer: Ja...?54. Rut: Det er 360 fire ganger...55. Sara: Du, vent da. 56. Lærer: Ja?57. Rut: Og en halv. Det er 180.58. Lærer: Mhmmm.59. Rut: Da blir det ett tusen og så mye.60. Lærer: Ja. Men det er heilt sikkert riktig det, skjønner du!61. Sara: Ok, så det er ...62. Maria: (til læreren) Har du svaret?63. Lærer: Hehe.64. (latter)65. Lærer: Og det betyr at mi trenger ikke få bare liksom 360 grader. Mi kan få mye mer enn det

også. Alt etter som hvor mange ganger mi går rundt. 66. Elever: Mhmmm. 67. (ser på neste oppgave om kompassretninger)68. Maria: Men det er jo ikke bare i den! Det er jo flere! (kompassretninger)69. (mumling)70. Sara: Det er et navn på kompassretningene. Æ husker ikke det. Du..?71. Lærer: Jada, det er flere. Det er liksom de åtte...72. Maria: Ja. 73. Sara: Rut! Du kan sette på hvor nord og sør og nordøst og sånn er!74. Rut: Det kan jo æ!75. Maria: Æ har ikke med... (hvisker) æ.76. Rut: Er det sør, nord, øst eller vest?77. (mumling)78. Sara: Nei, nord er her. Nord og sør. Øst er her. 79. Rut: Nei! Det er noe sånt! 80. (mumling. Gir Markus i oppgave å skrive på kompassretningene.)81. Markus: Men, vi skal ikke skrive noe på!82. Rut: Jo. Du skal skrive, hvor skal nord og sør og øst og vest være! Der, der, der eller der!83. (mumling, mens Markus skriver)84. (lærer kommer og roser Markus for riktige svar. Mumling)85. Rut: Men. Lærer, er ikke NV der? For det er mellom nord og vest.... Er NV der?86. Maria: Det må jo det!87. Lærer: Åffer tror du det er det?88. Rut: For der er nord og der er vest.89. Maria: Det kan ikke liksom... Det kan ikke være NV på øst!90. (mumling)91. Rut: Og NØ, da blir det der.92. Lærer: Ja. 93. (mumling)94. Rut: Et skip har kurs mot NV og forandrer kurs til Ø... ØSØ?

Page 127: Det genetiske prinsipp

95. Sara: ØSØ!96. Rut: Skipet forandrer kursen.. ØSØ... 97. Sara: Ja, se her. Her er øst og her er sørøst, ikke sant? Sørøstøst... Hehe.98. Maria: Hehe, sørøstøst...99. (mumling)100.Maria: Ok, et skip har kurs mot... han har kurs mot NV ... og forandrer kurs til ØSØ...101.Sara: Skipet er her... (tegner) Hvor mange grader har vinden dreid fra SØ til SV?102.(mumling)103.Sara: Sydøst ... sydvest... Det er her det! 104.Rut: Hvor mye er der?105.Sara: Det er den det! 106.Rut: Åffer sier du sånn?107.Sara: Jo, fordi at ... her er sydøst og her er sydvest. Så er det den vinkelen fra der til der. 108.Rut: Smart du, Sara!109.(latter og mumling)110.Rut: Sara! Øst sørøst kan ikke være der!111.Sara: Jammen... eh... jo!112.Rut: Nei, for det er jo... 113.Sara: Jammen se her. Det er jo bare... sydøst står det bare. Her er sydøst! 114.Rut: Åja, æ tenkte på den, æ. 115.Sara: Den er her. 116.Rut: En - to - tre ...117.Sara: Del 360 på ... på åtte. 118.Rut: ... den er her ... 119.Sara: Del 360 på åtte!120.(mumling)121.Sara: Del 360 på åtte!122.Rut: Ååååh! 123.Sara: Delt på åtte... gange to. 124.(mumling og smålatter)125.Sara: ... 360 delt på åtte er lik...126.Markus:Hvor mange grader har vinden dreid når den...127.Sara: ... gange to, er lik ... 128.Rut: ... fra sydøst til vest ... 129.Sara: Den er jo ikke 90 grader... Jo, det er han jo!130.Maria: Hva da for noe? 131.Sara: Den er 90 grader. 132.Rut: Neheheeeei!133.Sara: Se her. Jo, for...134.Maria: Jo. 135.Sara: Jo, for han har dreid, ikke sant ... Du kan...136.Maria: Også kan du dele den i fire!137.Sara: Ja. 138.(mumling) 139.Maria: Du kan det og. Da blir det 36, .... (mumling) 140.Sara: Ja, men æ fikk bare sånn her...141.Maria: Du skjønte ikke det du! 142.Rut: Nei. (ler litt)143.Maria: Jo! Se nå! 9, 18, 27, 36, sant? 144.Sara: Men du ser og hvis du gjør sånn...145.Rut: Jammen det er ikke noen 60 grader..., nei 90 grader det, Sara. Sånn. 146.Maria: Jajaja, du mente den... Jajaja, det ser æ jo. 147.Sara: Det er den du skal finne ut!148.Rut: Unnskyld mæ! Det er ikke 90 grader!

Page 128: Det genetiske prinsipp

149.Maria: Ja, æ tenkte bare hvis du skulle regne ut det... (mumling) 150.Sara: Beklager, Rut, men det er nok en 90 grader det der.151.Rut: Det der er ikke 90 grader!152.Maria: Du ser jo når du gjør sånn, at det er 90 grader!153.(mumling)154.Lærer: Åssen går det?155.Maria: Jo, vi finner 90 grader.156.Sara: Vi klarer det veldig bra!157.(mumling)158.Maria: Vi deler liksom opp i ulike... (latter)159.Sara: Jo, vi skulle det, men det var ikke plass. 160.Rut: Vi har ikke sånn linjal, eller noe? 161.(mumling og hvisking)162.Sara: Vi sier 90 delt på fire. 163.Maria: Ja, også tar vi 90 delt på fire.164.Sara: Skriv 90 delt på fire! 165.(mumling og småprat)166.Sara: Se her. Den her var 90...167.Maria: Ja. 168.Sara: Og så nå skal vi finne ut hva en fjerdedel av den 90-graderen er, og så...169.Rut: 225. 170.Maria: Nei! 90 delt på...171.Rut: Æ bare tulla! 172.(mumling og latter)173.Rut: 22,5174.Sara: 22,5.175.Maria: 90 delt på fire... Var det 90 du sa? 176.Rut: Ja.177.Sara: 90 delt på fire. 178.Maria: Æ begynte å lure når du sa...179.Rut: Ja, du må jo forklare også! Du bare tenker sjøl du! (knising) ...vi skjønner'ke noe vi!180.Sara: Ja. Skjønte du hva æ gjorde her?181.(mumling)182.Sara: Det står her at du skal halvere alle vinklane på figuren og gi navn til de nye vinklane.

Så da halverte æ her. Sånn at her er hver vinkel, så...183.Rut: ...ja, sånn ja...184.Sara: ...halverte æ den sånn. Også veit æ at to sånne er nitti.185.Maria: Ja.186.Sara: To sånne kakebiter. Så nå har æ delt de kakebitane...187.Markus: Hæh? Åssen æ nitti?188.Rut: To sånne. Du ser de!189.Sara: Den her. Den!190.Maria: Det var det vi snakka om i stad.191.Sara: Den der. Den er nitti, ikke sant?192.Markus: Jepp, jepp. 193.Sara: Også når vi delte nitti i to...194.Maria: ...jammen, skulle du finne ut...195.Sara: ...så etter det, så delte vi den en gang til. 196.Maria: Jammen, skulle du finne ut vinklene på de der? Var det der oppgaven?197.Sara: Ja. Gi navn til de nye vinklene.198.Rut: Jammen. Åssen fikk du... Åssen fikk du hvor mange grader (mumling)199.Maria: For du fant ut...200.Sara: Æ så på hvor mange kakebiter det var ... Ikke sant? Æ veit jo at hele den her er 360,

ikke sant? En sirkel er alltid 360... Også skal 360...

Page 129: Det genetiske prinsipp

201.Maria: Og halve sirkelen er 180!202.Sara: ...også skal du finne ut hvor stort det er mellom to biter. (mumling) Ja. Da bare deler

du på hvor mange biter, 360 på hvor mange biter det er. Og ganger med hvor mange biter du skal finne ut.

203.(mumling)204.Sara: Ok. Nest oppgave. Skipet har kurs mot nordøst og forandrer kurs til (to elever i

munnen på hverandre:) øst-sørøst ... Det er her. Øst, det er her. Det er den biten her, det. Ikke sant? Meir mot ... æh, nei.

205.Rut: Nei, det er feil! Mer mot der!206.Sara: Mer mot her, ja. Den er det du har! 207.Lærer: Og, åffer er det det?208.Sara: Jo, for det at øst mot sør, men meir mot øst. Og da blir det der.209.Lærer: Ja. Men, eeh. Sørøst, å henne ligger det hen? 210.Sara: Der.211.Lærer: Der ja. Hmm. Også øst-sørøst...212.Rut: Så blir det øst igjen!213.Lærer: Ja. 214.Rut: Da blir det der! 215.Sara: Øst-sørøst er der!216.Rut: Det var det æ sa.217.Sara: Også...218.Maria: Ja, men vi må jo finne ut hvor mange...219.Sara: Jammen, det her er jo...220.Maria: ...grader221.Sara: Jammen det her er en og en halv kakebit, det. Eeeeh, det er nitti... 222.Maria: Er det fra der til der?223.Sara: Det er 360 delt på ... delt på 16 gange ... tre! 224.Maria: 360 delt på 16 gange tre? 225.Sara: Ja. Fordi det er 16 kakebiter, og nå skal vi finne ut hvor masse det er mellom de tre

kakebitane. Det blir 360 delt på 16, gange tre. 226.Maria: (skriver) 360 delt på 16 gange tre (Sara og Maria i kor).227.Sara: Er lik?228.Maria: 67,5229.Sara: Det stemmer! 67,5. (mumling)230.Lærer: Når dikkon er ferdige med oppgava, og har komme te svara, så kan dikkon sei te, så

skal dikkon få litt andre oppgaver!231.(pause)232.Maria: Skjønte du det, Markus? Skjønte du å vi måtte gjør?233.(mumling og småprat utenom)234.Maria: Jammen, nå har vi funnet ut å mange grader det er, for vi delte det opp sånn.235.Sara: Ja. Vi har klart alle oppgavan'!236.Maria: Du! Vi har gjort dette nå! 237.(får nye oppgaver)238.Lærer: (forklarer oppgaven) Det her er liksom en elv. Også er det en båt som skal kjøre

nedover den elva. Men så må den båten passe på så den ikke støter borti kantene...239.Maria: Mhmm. 240.Lærer: Så derfor så må... så må dere finne ut åssen skal den som styrer båten lissom navigere

båten. Da må dere tenke lissom, hvor langt skal den kjøre, og hvor mye skal den svinge. 241.Sara: Skal vi skrive på gradane, eller skal vi bare tegne en strek, sånn?242.Maria: Skrive på gradane...243.(mumling)244.Lærer: Dere skal lissom skrive på sånn at den som styrer båten skal kunne ... eh, styre båten

etter det. 245.Maria: Men, vi vet ikke hvor langt...

Page 130: Det genetiske prinsipp

246.Lærer: Da må vi vite lissom hvor langt den skal kjøre og hvor mye den skal svinge.247.Sara: Må vi ikke bare måle gradane. Nå skal vi kjøre til det her, første gang, og så skal vi...248.Maria: ...snu mot...249.Sara: Du ser jo på de derre hjørnane... Men, må vi ikke måle alle de der gradane da? 250.Rut: Så gøy!251.(knising og mumling)252. Sara: Ok. Er det noen som har sånn gradskive?253.(småprat)254.Maria: Jammen, vi må finne ut hvordan vi måler vinklane!255.Sara: Ok. Skal vi se.256.(snakker i munnen på hverandre)257.Maria: For hver gang det snur sånn, så må vi måle. 258.(mumling)259.Sara: Han kjører rett fram hit.260.Maria: Ja, æ vet det! Vi tegner alle stedane vi må bruke vinkler ... vi må tegne vinkler.261.Sara: Ja, men kan æ få en linjal også...262.Maria: Rut, du må finne sånn derre...263.Sara: Kan du få sånn vinkelmåler til oss?264.Rut: Æ har ikke vinkelmåler!265.Sara: Jammen, det ligger jo der oppe!266.Maria: Markus, hent en vinkelmåler til oss!267.Markus:mmmm268.Maria: We need it!269.(Markus henter vinkelmåler270.Rut: Flink gutt!271.Maria: Også der må være skrå.272.Rut: Skal han bare kjøre liksom rett fram sånn?273.Maria: Nei, ikke sånn! Se, du tar en sånn linjal ...274.Sara: Ja, men hva gjør vi her sånn...?275.Maria: Og så måler du med vinkelmåler, hvor mange...276.Sara: Jammen...277.Maria: Skjønte du ikke det?278.Rut: Jo!279.Maria: Så skriver du opp. Vinkler!280.(mumling)281.Sara: Sånn og sånn...282.Maria: Jammen, han kan'ke kjøre sånn ... og så svinge. Han må være der! Må han'ke det?283.Sara: Jo, men så kommer han her, og så snur han her...284.Maria: Ja. For han kan'ke komme sånn og ...285.(mumling)286.Rut: Vi er ferdige vi (til noen andre).287.Sara: Nei, han må være midt i svingen!288.(mumling og småprat)289.Lærer: Går det greit?290.Maria: Ja! Vi bare tegner vinklane der vi skal måle.291.Lærer: Mhmmm. Ikke så dumt!292.(mumling)293.Sara: Den trenger ikke svinge her. Se, det var alle vinklane. 294.Rut: Her og!295.Sara: Nei!296.Maria: Åh, du kan svinge henni der!297.Sara: Han trenger ikke svinge når han skal rett frem vel?!298.(mumling)299.Sara: Ok. Rut, du er så god til å måle vinkler!

Page 131: Det genetiske prinsipp

300.Rut: Men, æ sitter....301.Maria: Du måler vinklane!302.Rut: Æ...303.Maria: Så har vi funnet ut at vi må måle vinklane.304.(mumling)305.Sara: Æ må se åssen du har tenkt å måle de.306.Rut: Er det ikke sånn!307.Sara: Jo, men æ vet ikke om du skal bruke den linja vi har tegnt der sånn, for å finne ut

hvor svingen er...308.Maria: Nei, nei, nei! Dere må jo begynne helt fra begynnelsen!309.Rut: Her er det jo 90 grader, det ser jo alle!310.Sara: Er det den du skal måle? ... Jammen, Rut, er det den du skal måle?311.Rut: Æ har'ke peiling!312.Sara: Rut, nei. Men vent da! Slow down! Ta det i vår fart!!! Ok. Han skal jo ikke dreie 90

grader her, for det ville jo vært ned hit!313.(mumling)314.Sara: Ikke sant? Det er jo ikke 90 grader!315.Rut: Det er den vinkelen du skal måle!316.Sara: Ja, den veien han skal kjøre ... og det blir her.317.Maria: Ja, det var jo det æ sa, du må begynne med den første!318.Sara: Blir 55.319.(mumling)320.Sara: Og så må du ta den fra den til der...321.Maria: Vi gidder ikke skrive at det må være til venstre 55 grader... Vi skriver bare sånn... 322.(mumling)323.Maria: ...åtti...åttito! 324.Sara: 82?325.Maria: Ja, vi bare skriver 82!326.Sara: Men, vent, vent!327.Maria: Jammen se, hvis han...kommer der...328.Sara: Jammen, se. Æ trur vi skriver tallet på den andre sida, for det viser bedre! 329.(mumling)330.Sara: 82, er jo her...331.Maria: Ja, da kan det stemme at det var 82, for kunne ikke...332.(mumling)333.Sara: Der går det 55, der går det 82...334.Maria: Det æ'kke den vinkelen, det er den andre! Nei, det er den du skal ta nå! Den skal du

måle!335.Sara: Ja, æ vet det, men æ bare syns han var så rar! 336.Maria: ...ja, å måle... 337.Sara: Han blei liksom så skeiv.338.Maria: Åffer holder du på med den?339.Rut: Æ veit ikke!340.Sara: Rut kan du ta han?341.Rut: Åffer en da?342.Maria: Den der. Den som er sånn...343.(mumling)344.Rut: 90 grader her.345.Sara: Jammen, dreier den 90 grader fra der? Den går sånn og så sånn! Ikke 90...346.(mumling)347.Lærer: Få se. Hvilke vinkler er det dere måler?348.(mumling og småprating)349.Rut: Æ skjønner'ke åssen vi skal måle det, men...350.Sara: Nei, for se! Ikke sant, når vi kjører her sånn. Er det den, dreier den 55 grader ned

Page 132: Det genetiske prinsipp

der?351.Maria: Nei.352.Rut: Jojojojo...353.Sara: Den vinkelen kanskje du må måle! Det blir den!354.Rut: Her skal i alle fall... Her skal i alle fall 90!355.Sara: Neeei... Hvis du legger den på den streken...356.Rut: Der som båten kjører...357.(mumling)358.Lærer: Hvis dere prøver... Hvis dere tegner en rett linje midt i elva, den retninga som båten

har.359.Maria: Ja...360.Rut: Åja! Da kan vi måle fra den!361.Lærer: ...også, ja!362.Rut: ... og den streken vi lager.363.Lærer: Mhm.364.(mumling)

Transkripsjon 3. time, gr. 3

1. Markus: Gå nå vekk!2. Rut: Jammen, æ husker'ke åssen du måler.3. Sara: Men det er jo nitti grader i hjørnane.4. Maria: Ja, det er det!5. Rut: Nei.6. (mumling)7. Rut: Æ skjønner'ke åssen vi måler!8. Sara: Du legger på den ene rette linja, så lar du den andre rette linja…9. Rut: Jammen den her! Den her går nedover, ikke sant. Sånn, også måler vi. Her, sånn.

Oppover.10. Maria: Det er jo den! Den halve, og den er 180!11. Sara: Den er 180! Ja, hva heter den der?12. Rut: Det er jo samme som den der!13. Sara: Ja. 180.14. Markus: Den er mange grader!15. Rut: Og den her er en runding, en pølse.16. Sara: Jammen, den har vi hatt!17. (mumling)18. Rut: Se der! Mennesket, mennesket i rett vinkel. 19. (mumling)20. Maria: Den kan vi gjøre om, en vinkel…21. Rut: Eller så kan vi tegne han sånn…22. Sara: Gjøre om?23. Lærer: Hvis en vinkel er 90 grader, då er…24. (mumling)25. Sara: Bretta! Hvis vi har et bretta ark, for det atte…26. Lærer: Men, men se nå! Denna mætinga var 90 grader. … Kanten av pulten.27. Sara: Ja, den ja. Ja.28. Lærer: Fint. Og så en vinkel som går sånn, og så …29. (mumling)30. Sara: Den utvendige vinkelen her, den blir jo 360 minus 190, nei. Å sa du igjen? 180

minus 90, eller 360 minus 90? 31. Rut: Æ blanda det i stad. 32. Lærer: Å er det det skal være, tror du?

Page 133: Det genetiske prinsipp

33. Sara: Eh, den utvendige vinkelen… 34. Lærer: Ja…35. Sara: Kalkulator, kalkulator!36. Lærer: Ja altså 180…, du kan jo se på den! Hvis du får den over… (lærer viser) For denna

her, er vel…37. Maria: Det er 360!38. Lærer: Ja, totalt ja.39. Sara: Den. 40. Lærer: Å stor er då den utvendige vinkelen?41. Maria: 90!42. Sara: 360 minus … (holder på med noe annet)43. Lærer: Ja. Fordi at…44. Maria: 370. Den blir 370. 370, så må du skrive den utvendige…, så må du skrive den…, hva

er det den heter igjen?45. Sara: Utvendige vinkelen!46. Maria: Det er jo egentlig over alt det!47. (mumling og småprat)48. Sara: Det arket der, med den svære dingsen der…49. Rut: Hvilken svære dings?50. Lærer: Altså. Hvis du ser på den skapdøra der borte. Står ut sånn… 51. Maria: Ja.52. Lærer: Er der en vinkel i den gløtten?53. Sara: Åssen gløtt?54. Maria: Det som står oppe.55. Sara: Ja, det imellom liksom?56. Lærer: Ja.57. (mumling)58. Rut: 60 grader. Det er 60-70 grader!59. Lærer: Ja. Du tipper 60-70 grader. Å tipper dikkon?60. Markus: Eeeeh. 61. Sara: Åssen av de?62. Markus: 140!63. Rut: 40!64. Sara: Den ene er jo 90. Fra den døra som…65. Rut: Nei, den som står oppe!!!66. (mumling)67. Sara: Ja, den er jo nesten det.68. Lærer: Å møe vil dikkon tippe?69. (alle prater i munnen på hverandre)70. Lærer: Ja, sånn som vi ser det nå.71. Sara: Sånn som vi ser det herifra. For mæ så er den jo…72. Markus: 60 eller 120! 73. Sara: Ja, da blir det 60.74. (mumling)75. Lærer: Hvis du tenker deg at kanten av skapet er sånn, også har mi døra som mi kan lukke

sånn. Hvis mi lukker opp døra til … sånn, hvor mange … 76. Maria: 90!77. Lærer: Då er det 90 grader. Står den oppe på fullt gap? Nei. 78. Elever: Nei.79. Sara: Å, du mener den oppå der altså?80. Lærer: Ja. 81. (mumling)82. Rut: Den er bare halvåpen, så det blir 45.83. Maria: Heilt opp sånn er 90. 45!

Page 134: Det genetiske prinsipp

84. Sara: 45. Er den ikke ca. 45.85. Lærer: Æ kunne godt tippe det altså. For den står sånn halvveis opp, ikke sant?86. (mumling)87. Rut: Åffer en av de der to?88. Maria: Den som er oppe!89. Rut: Ja, begge er oppe, men det er så…90. Lærer: Ja, den som mi ser sånn…91. Rut: Åja, den ja92. Maria: Den som er heilt oppe sånn, den er 90, men der er det bare sånn…93. (mumling)94. Rut: Æ trodde du mente en annen vinkel inni skapet…95. Lærer: Å sånn ja. Ja det kunne æ jo au ha meint. Men nå snakker mi om… Men hvis mi

hadde tatt den døra….96. Rut: Ja, åpent skap97. (mumling)98. Maria: Æ går og gjør det! 99. (mumling og småprat)100.Lærer: Åssen gjorde du når du tegnte den vinkelen?101.Markus:Jaaa, æ bare tegna.102.Lærer: Jamen, du tegna, men åssen fant du når du skulle måle han, Markus? Nå er æ veldig

spent. Du er på NRK nå, og må forklare…103.Markus:Først så tegnte æ han.104.Lærer: Ja.105.Markus:Og så målte æ han. 106.Lærer: Men, åssen målte du han, Markus?107.Markus:Æ vet ikke æ! Det var jo du som gjorde det! (til en annen elev)108.Lærer: Du sa jo at det var 140, åssen fant du det svaret, Markus?109.Markus:Jo, æ så bare.110.Lærer: Du så bare. Å var det du så på?111.Markus:(mumling) gradskive.112.(småprat)113.Sara: Ja, men hva er det for noe? Hva kan æ kalle det her for noe? 114.Rut: Hæh?115.Sara: Hva kan æ kalle den her for noe?116.(mumling)117.Sara: Ja, men det var'ke det æ mente. Men, ikke sant, den er 44 grader, halvåpent, eeh…118.Maria: Hva heter de?119.Sara: Æ vet ikke!120.Rut: Lærer!121.Sara: Skjerm…, nei, fremvise…122.Maria: Det er noe sånn rart med de!123.Rut: Lærer! Hva heter den? Hva heter den?124.Maria: Hva heter den der? Halvåpen, halvåpen transparentskjerm…125.Lærer: Overhead!126.Maria Halvåpen overhead!127.(småprat)128.Maria: Nå har vi liksom skapdøra. Den ene skapdøra der var åpen på 90, nei, på 45 mener

vi! Og den andre 180…129.Rut: Det er masse som er 90 her, for vi har sånn firkanta…130.Lærer: Men det som er 90 her… Sånn som her, den er 90 er den'kje det?131.Sara: Ja, vi har målt den ut, vi har den ene er 270 grader, og den er 90.132.Lærer: Så det er egentlig…, her er det to vinkler da?133.Sara: Ja, du kan ta den utvendige…134.Maria: …og den som er…

Page 135: Det genetiske prinsipp

135.Lærer: Men det er veldig bra!136.Maria: Kan vi få nye oppgaver nå?137.Lærer: Ja, det er ikke lenge til!138.Maria: Men, vi er ferdige!139.Rut: Hvor mange oppgaver skal vi ha nå? (Det begynner å bli så gøy…)140.(latter)141.Lærer: Då tar mi og følger med litt her sånn! Nå får hver gruppe utdelt…142.(lærer forklarer oppgaven med Escher-bilder)143.Sara: Æ kan finne vinkler, så tegner du de. Og så samarbeider du og Markus. Markus!

Tegn du vinkler som ho måler på den! Så samarbeider dere!144.(småprat)145.Rut: Alle er nesten 90 altså!146.(småprat)147.Maria: Nei, æ måler den her… Den her, på den måten.148.Rut: Den er'ke helt 90 den her, altså! 149.Maria: Den er…. Den er 45!150.(småprat)151.Sara: Er den 92?152.Rut: Ja.153.Sara: Du, det er mange andre vinkler, altså! Ta den her! Se den her. Ta den her! Rut, den

her er'ke noe nær 90 en gang! 154.Rut: Ok, æ kan finne ein te!155.Sara: Har du målt den? Mål den! Ja, den lille der. Så kan æ måle… Se, her har æ også tegnt

ein. Den fant æ….156.Maria: Den er 50…157.Sara: Den vinkelen der, er den 50?158.Maria: Æ tror, æ vet ikke…159.Sara: Jammen ta den der først!160.Maria: Jammen…161.Sara: Åja, det var den du målte nå…162.Maria: Jammen, den er så liten! Det er så vanskelig å se.163.(småprat)164.Markus:45?165.Maria: 55! Nei…166.Markus:50…167.Maria: 50, vi bare skriver det…168.Sara: Åsså kan du ta å finne…169.Maria: 75170.Markus:75?171.Sara: Det er jo tusenvis av vinkler her!172.Maria: Det er jo så mange vinkler her, Lærer!173.Lærer: Det er… Er bildene litt spesielle? Har dikkon sett åssen…174.Maria: At alt er i…175.Sara: Du ser sånn en vinkel som…176.Lærer: Å er det som gjør at det bildet ser rart ut? 177.Sara: Fordi den er veldig annerledes stil enn det…178.Lærer: Ja. Hvis mi ser her sånn.179.Maria: Putta på alt for masse rette linjer og sånn! 180.Lærer: Det vannet som er her sånn. Hvis mi følger det. Går det oppover her, eller går det

nedover? Eller går det bortover?181.Sara: Nei, det går oppover. Oppover eller nedover…182.Lærer: Ja, ser det ut som det går oppover?183.Sara: Det er tegnt som det går nedover, men du ser på tegningan at det går oppover.184.Lærer: Ja…

Page 136: Det genetiske prinsipp

185.Markus:Det går jo nedover!186.Lærer: Men, hvis du tenker deg at du står her sånn. Åssen går vannet her sånn? Går det

bortover, oppover eller nedover? For å komme dit.187.(mumling)188.Lærer: Ikkje tenk på den! Bare se åssen det ser ut her sånn!189.Sara: Det ser ut som det renner nedover190.Lærer: Du syns det renner nedover. Ja.191.Markus:Nei, nei! Det går den veien, fordi at det faller ned der!192.Sara: Ja, æ veit det, men hvis ikke du tenker på den…193.Lærer: Ja, men ikkje se på den!194.Sara: …så ser du på tegninga at det går liksom nedover ser det ut som.195.Maria: Åffer det?196.Sara: Du ser strekane…197.(mumling)198.Sara: Bak der så har de begynt å tegne at det går den veien.199.Lærer: Ja. Ja, de har det.200.Sara: Så har de juksa med den…201.Maria: Du kan se at det går den veien bare på grunn av den der!202.Lærer: Ja. Du kan det. Bra observert! 203.Maria: Var det bare det som var spesielt?204.Lærer: Ja, det er… Dere kan få en ny tegning.205.(mumling)206.Lærer: Se på den trappa der borte.207.Sara: Åssen trapp? Får vi enda en?208.Maria: Æ må se på den trappa!209.Lærer: Her sånn. Her ser mi noen trappesystem. Åssen syns dikkon dei trappene virker?210.Sara: Æ syns det ser ut som de går oppover mot en topp der, men der går det bare ned

igjen…211.Maria: Nei, der går det oppover!212.Sara: Ja, og så går det oppover begge veier sånn.213.Lærer: Ja. Hvis du følger han der sånn…214.Maria: Det kommer an på hvem du ser på! For de går den veien, og de går den.215.Lærer: Ja, men følg den mannen her nå, og se åssen han går.216.Sara: Han går liksom oppover her…217.Lærer: Jaha…218.Sara: Oppover…219.Maria: …og så nedover 220.Sara: oppover, oppover, oppover. Så er han på toppen221.Lærer: Mhmm222.Sara: Så går han rett frem. Går han'ke rett frem? Eller litt nedover kanskje… 223.(mumling)224.Lærer: Du meiner at han går oppover heile veien, heilt til dit?225.Sara: Ja, oppover hele veien, til hit!226.Lærer: Men går det an, å gå oppover og oppover og oppover, og så komme til same staden

som du var når du begynte?227.Sara: Nei, du må egentlig gå littegrann sånn, og så der som det går nedover igjen…228.Lærer: Ja.229.Rut: En eller annen plass må du begynne å gå nedover hvis du skal nå samme lave

punkt…230.Lærer: Ja, det kunne en tru…231.(mumling)232.Rut: Se, her er det sånn. Så går trappa der, så kommer han ut der!233.Maria: Hmmm????234.Sara: Ja, for den trappa går oppover der sånn, men den går og nedover… Den er jo helt

Page 137: Det genetiske prinsipp

vrengt, det bildet!235.Rut: Ja, for her liksom… 236.Maria: Her ser du liksom oppover sånn! Og så er det helt vanlig. Æ skjønner'ke det bildet.

Det er snålt!237.Lærer: Hehe. Ja, det er det!238.Sara: Ja for liksom… Det er opp, og så kommer det et nytt bilde. Det skulle ikke vært på

samme bildet på en måte. 239.Lærer: Nei. 240.Maria: Men, så ser det jo ut til at de er samme og…241.Lærer: Nå ser det ut som mi får enda noen fleire bilder å se på.242.Maria: Ja, de har… de har sett han sett han i forskjellige vinkler!243.Sara: Det er samme bildet i forskjellige vinkler! Så er det… Det skulle egentlig vært delt

her, men så har de bare tatt over de andre liksom. Det er sånn lurebilde det og.244.Lærer: Nå ser mi at mi får et par nye bilder. Kan mi se på dei… Å som skjer, om mi blir lurt

igjen, eller å som skjer…245.(mumling)246.Sara: Men her er det jo bare en sånn kule med sånn byer som kommer ut til alle kanter.247.Markus:En sirkel som er bygd…248.Sara: Jammen, så, ikke sant. Den har liksom sammen alle de spissane ut, som på ei stjerne

sånn. 249.Rut: Ja. Men det er sikkert noe lurt med det!250.Sara: Men det er mange rare vinkler som du kan måle! Æ kan tegne noen, så kan du

måle…251.Markus:Mi skal'ke måle vinklane nå. Vi gidder'ke det!252.Sara: Skal vi'ke det?253.Markus:Vi slapper av!254.(småprat)255.Sara: Der har du liksom bare som ei sånn der stjerne, med kanta som står ut.256.Lærer: Ja257.Sara: Så blir liksom annenhver farge…258.Rut: Det er ikke noe luring med den?259.(mumling)260.Lærer: Her sånn er ei ny tegning. Se på den.261.Rut: Åja. Den var kul!262.Lærer: Å ser du på det bildet?263.Sara: Det er'ke den veien, det er den veien! Ikke det at det gjør det så mye bedre da…264.Lærer: (ler litt)265.Sara: Den går liksom… Det går liksom sånn punkter som, de har tatt trappane alle veier!

Det er liksom forskjellige bilder. Her er liksom det lille. Der er et bilde, sånn, når han går oppover, og der er et liksom.

266.Maria: Hmmm. Se den trappa der, se den trappa der!!!267.Sara: Det kunne vært et bilde, hvis du tar vekk sånn liksom. Så kunne det ha vært et bilde i

stedet for sånn. For det at da stikker de samme vei, så går han ned samme vei. Og så ikke sant, de går jo en helt anna…

268.Lærer: Nå snudde du bildet.269.Sara: Ja. For det at de går mange, du kan se bildet forskjellige veier. Hvis ikke så går de jo

ikke ned og sånn. 270.(mumling)271.Lærer: (til alle) Nå får hver gruppe utlevert det siste arket her sånn. Og då skal dikkon skrive

åssen dikkon definerer en vinkel. Så har æ skrevet "vi definerer en vinkel slik:". Så skriver dikkon det svaret som dikkon meiner er riktig.

272.Maria: Hva mener du med det? Åssen vi…273.Lærer: Åssen du definerer…, åssen du forklarer ein vinkel. 274.Maria: Forklare at en hel vinkel er 360, eller må du…

Page 138: Det genetiske prinsipp

275.Lærer: Forklar å du meiner med en vinkel. Alle vinkler trenger ikkje være… Ja, men åssen definerer du ein vinkel? Ett eller annet felles som gjør at de er en vinkel, ikkje sant?

276.Rut: To vinkelbein og… Hva heter det siste? 277.Sara: Jammen, hva heter den der, ikke sant… Det går sånn… Æ hadde jo tegnt her, men…278.(mumling)279.Sara: Hva heter det punktet?280.Rut: Åååh! Æ husker'ke!281.Lærer: (kommer og leser det de har skrevet) En vinkel har to vinkelbein og et…282.Rut: Vi husker'ke hva det heter…283.Sara: Det er sånn derre nede her…284.Lærer: Toppunkt for eksempel? Eller skjæringspunkt?285.(mumling)286.Lærer: Men, når den vinkelen har to vinkelbein og et skjæringspunkt… Er det liksom…

Hvilken vinkel er det…287.Maria: Det er'ke alle vinkler!288.Lærer: Nei, men er det…289.(mumling)290.Lærer: Men åssen kan du vite ut fra den definisjonen at det er den imellom eller den på

utsida liksom?291.Rut: Du kan jo velge da!292.Sara: Hvis det står en… Det spørs om det står en liten runding inni der.293.Lærer: Ja..?294.Sara: Og da skal du måle der. 295.Lærer: Ja…296.Sara: Og hvis det står der, skal du måle der.297.Lærer: Men når dere jobba med de oppgavene i stad som hadde med kulestøtere og sånn. Da

fikk dere vinkler som var veldig store, gjorde dere ikke det?298.Rut: 1620.299.Maria: Jo.300.Lærer: Går de vinklene an å…301.Maria: Er det 360 du mener?302.Lærer: Ja, for eksempel…303.(mumling)304.Lærer: Kan du si at en sånn vinkel har to vinkelbein og ett skjæringspunkt?305.Maria: Nei.306.Rut: Nei!307.Lærer: Hva må… Åssen kan du si det da? Kan du forklare det på en annen måte på de vinklene

eller?308.Maria: En heil vinkel…, ikke sant. En heil vinkel er 360. Åssen kan du forklare det? Nei, æ

vet ikke…309.Rut: Æ husker'ke. 310.Lærer: Men når dere har skrevet at en vinkel har to vinkelbein og ett skjæringspunkt. Da har

dere forklart de vinklene som ser sånn greie og fine ut. Men når vinkler er 360 grader eller 400 grader eller sånn som dere fant i stad, åssen kan…

311.Sara: Store vinkler som er mer enn heile…312.Lærer: Ja, for eksempel. Har de to vinkelbein og ett skjæringspunkt?313.Maria: Nei.314.Lærer: Åssen kan du forklare det da?315.Rut: Jammen åssen kan en tegne de da?316.Maria: Bare en runding! 317.Sara: Ja en runding… Mener du at den går flere ganger rundt?318.Maria: Du kan jo bare skrive at ikke alle vinkler har vinkelbein.319.(latter)320.Lærer: Ja…

Page 139: Det genetiske prinsipp

321.(mumling)322.Rut: Jammen, å mange grader er det i den (sirkelen)?323.Sara: 360.324.Maria: Hvis du skriver det først…325.Rut: Kan du ikke bare ha det?326.Maria: Nei, du må jo forklare at 360 er og! Og da har de ikke vinkelbein og sånn!327.Markus:Du tegner en runding og så er det 360 grader…328.Sara: Jammen, det er'ke en vanlig vinkel det!329.Lærer: Er ikke 360 grader en vanlig vinkel?330.Sara: Jo, men…331.(mumling)332.Lærer: Hvis dere prøver å si det her på en måte sånn at dere kan forklare de vinklene som er

360 grader eller større, klarer dere det?333.Rut: Æ husker'ke! Det er så lenge siden vi har hatt det!334.Maria: Hæh? Si det igjen!335.Lærer: Nå har dere forklart de vinklene som ser sånn ut, som er for eksempel 90 grader eller

sånn…336.Maria: Skriv bare 90 og 45, skriv noen eksempler! Bare skriv at det er de som er mindre enn

360. 337.Lærer: Mhm. Ja.338.Maria: Skriv det! Dette er vinkler som er mindre enn 360!339.Sara: Dette gjelder vinkler under 360 grader.340.Maria: Så skriver du: "vinkler 360 grader"…341.(mumling)342.Lærer: Ja, åssen vil dere forklare det?343.Maria: En runding! Uten noe… uten…344.Sara: De har ikke to vinkelbein, det blir jo…345.(snakker i munnen på hverandre)346.Sara: Men, 360 og sånn. En runding. Den er 360 grader. Men, mer enn 360 grader, du kan

jo'ke få…347.Maria: Da må vi tegne en til… Hehe.348.Sara: Vi behøver sånn gange…349.Maria: Først forklarer vi at 360, åssen de er. Tegn en runding.350.Sara: Over 360…351.Maria: Hva skjer når du tegner de? Eller åssen definerer vi de?352.Sara: Æ er'kje heilt sikker, men her er 360…353.Maria: Jammen, åssen definerer vi den? Den vinkelen? Æ skjønner'ke det!354.Sara: Æ husker'ke det! Æ vet ikke om vi har hatt det engang! 355.Lærer: Går det an å tenke på vinkler… For eksempel, hvis du har ein linje som starter i et

punkt… Også vrir den seg…356.Sara: Ja, sånn at… Ja.357.Lærer: Går det an å forklare det sånn?358.Sara: Den kan jo vri seg flere ganger.359.Lærer: Ja. Og da kan du jo… Hvis det er det faste punktet…360.Sara: Æ vet ikke om… Æ skjønner det, men æ vet ikke åssen æ kan skrive det! 361.Maria: Men åssen kan vi skrive et?362.(mumling)363.Lærer: Men hvis en for eksempel har ett fast punkt…364.Sara: Vinkelen det er…365.Lærer: Også roterer den seg rundt det punktet. Også når den da roterer seg for eksempel 90

grader, da har den gått derfra til dit. Og 360 grader, hvor langt må den rotere da?366.Maria: Helt rundt! Sånn.367.Lærer: Ja.368.(mumling)

Page 140: Det genetiske prinsipp

369.Lærer: Og hvis den er større enn 360 grader…?370.Maria: Det var jo en…371.(mumling)372.Maria: Men åssen kan den egentlig bli større?373.(mumling)374.Maria: Den kan jo'ke det!375.Lærer: Kan den ikke det?376.Maria: Nei.377.Sara: Tegn en runde utforbi da.378.Maria: Det blir utvendig…379.Lærer: Sånn som diskoskasteren for eksempel. Da begynte den jo på flere runder, gjorde den

ikke det?380.(mumling)381.Sara: Jammen se, ikke sant. Det her er en 360 grader, så blir det en sånn linje… Så må du

gjør sånn igjen, og tegne utforbi her. Det går jo'ke!382.Maria: Jammen den kan jo gå rundt mange ganger!383.Sara: Sånn. Ok, da er det seks hundre og…384.Maria: Hvis han går rundt så er det 360. Hvis han går rundt en gang til, så blir det seks

hundre og…, nei. Syv hundre og …385.Maria: 720.386.Lærer: Mhm.387.(mumling)388.Maria: Og går du en gang til, så blir det… Må vi forklare det?389.Lærer: Hvis dere kan prøve å skrive det ned, så det går an å skjønne ut fra det dere skriver.

For æ tror dere skjønner det ganske bra!390.Sara: Vi skjønner det, men æ klarer'ke å skrive det!391.Maria: En vinkel er 360… Så…, men han kan gå flere ganger rundt…, den vinkelen.392.(mumling)393.Maria: Ja! Vinkelen, de kan bare bli 360, altså… En vinkel, det er jo 360, alle vet det! Men,

hvis en bare forklarer at hvis en går flere ganger rundt, så kan det bli mer!394.Sara: Ehh, vi sier at vinkelen….395.Rut: Kan bli mer!396.Sara: ….har et fast punkt.397.(mumling)398.Sara: …og vinkelen dreier rundt…399.Maria: Men bare skriv…400.Sara: En sirkel er 360 grader…401.Markus:Men hvis han dreier flere ganger, så kan det bli mer!402.Sara: Nei! Ikke den første sirkelen! Da må du tegne en sirkel utforbi!403.Markus:Jaja. 404.Sara: At han ikke blir… større… Da må du tegne….405.Maria: Sirkel utforbi.406.Lærer: Kan æ se? (leser det de har skrevet) Vi sier at vinkelen har et fast punkt. Vinkelen

dreier rundt dette punktet. En sirkel er 360 grader, og kan ikke bli større. Da må en tegne neste sirkel. Mhmmm. Så når du har 720 grader, da har du ein sirkel til…

407.Rut: Kanskje…408.Lærer: Ja, men det syns æ er en bra definisjon det! 409.Sara: Jammen, hvis det er midt i mellom da? Hvis det er 700 bare…410.Lærer: Ja?411.Sara: Hvis vinkelen er 700… Så vi kan først ha tegnt en først på 360, så kan du jo ikke tegne en

ikke fullt hel sirkel! Så kan du tegne en sirkel, ikke sant hvis det står det. 700. (mumling)412.Lærer: For eksempel hvis du tegner… (viser og tegner)413.Rut: Men nå er vi ferdige!414.Markus:Takk for i dag!

Page 141: Det genetiske prinsipp

Transkripsjon 3. time, gr. 4

1. Lærer: Når dere har skrevet "døra" og "lampa" og sånn, er heile døra og heile lampa en vinkel eller?

2. Adam: (gjentar spørsmålet) Er heile døra og heile lampa en vinkel?3. David: Nei.4. Adam: Nei.5. David: Det er fullt av vinkler på han!6. Lærer: Ja, men hvis dere kan prøve å…7. David: Du driver du med sånn (avbryter læreren)…8. (småprat)9. Lærer: Åssen ser den ut den på tuppen da?10. David: Den er 180. Eller han er rund da, men altså han…11. Lærer: Ja, for den går liksom heilt rundt sånn… Er det flere vinkler på døra?12. David: Ja, på det der sabla låsen og sånn!13. Eva: Åsså er det sikkert noen hakk i døra, som du legger vinkler i, men de gidder æ'kke

tegne på!14. Lærer: Men, når dere tegner de vinklene her… På utsida, er det vinkler eller?15. Adam: Æ vet'kje…16. (mumling) 17. Adam: Å henne finner vi noen flere vinkler her?18. Jakob: På den rundingen.19. Adam: Ja, å hen finner vi det?20. Jakob: Det er en 360-graders vinkel.21. (småprat)22. Adam: Å hen finner vi vinkler?23. Jakob: Over alt! Der, der, der, der… I hver sånn en strek så er det 90 grader, og hver sånn en

sabla lampe har du streker, så har du rundinger, røykvarslerere og…24. Lærer: Ja, rundinger, er det også vinkler eller?25. Jakob: Ja, det er 360 graders vinkel! Det er det vet du…26. Adam: Da tegner æ de firkantane. Der er det vinkler over alt! Det er vinkler over alt i taket! 27. (småprat)28. Adam: Pulten, hvor finner vi vinkler på pulten? 29. (får ingen respons)30. Jakob: Ok, hvert hjørne i denne her, og i den der. På innsida og på utsida og på innsida og

utsida.31. Lærer: Men de vinklene dere har tegna. Er det noen av de som er like store?32. Jakob: Det er mange av de! For det er mange som er 90. Omtrent alle er 90 her! Så er den

greia der 180.33. Lærer: Men de vinklene som er 90 grader her, er de like store? De har jo forskjellige bein…34. Jakob: De er jo like store allikevel! Vinklene er like store. 35. (småprat og mumling)36. Lærer: Nå får hver gruppe utlevert det siste arket her sånn. Då skal dere skrive hvordan dere

definerer ein vinkel.. Så har æ skrevet: "vi definerer en vinkel" og så kolon. Så skriver dere det svaret dere mener er riktig på det.

37. Jakob: En vinkel er to streker som møtes i ett punkt. Ferdig!38. Eva: Ja, skriv det!39. Jakob: …to streker eller linjer møtest i ett punkt. (mens den andre skriver)40. David: Vi definerer en vinkel slik: To linjer som møtes i et punkt.41. Jakob: To linjer som møtes i ett punkt!