detailing dynamic of structure

STRUCTURAL ENGINEERING SERIES

http://syaifulsipil96.blogspot.com/

DYNAMIC OF STRUCTURE

` CIVIL STRUCTURAL ENGINEERING

DAFTAR ISI 1. Spring Constant

2. Single Degree Of Freedom System

3. Free Vibration-SDOF

4. Viscous Damped Free Vibration-SDOF

5. Undamped Harmonic Vibration-SDOF

6. Damped Harmonic Vibration-SDOF

7. Duhamels Integral

8. Constant Force

9. Rectangular Force

10. Triangular Force

11. Increasing Force

12. Interpolation Of Excitation

13. Central Difference Method

14. Newmarks Method

15. Shear Building

http://syaifulsipil96.blogspot.com/ [email protected]

Dynamic Of StructureDYN-01.doc 1

STRUCTURAL ENGINEERING Title : Dynamic Of Structure Topic : Single Degree Of Freedom System 1. PENDAHULUAN Sistem struktur berderajat tunggal SDOF adalah sebuah model struktur dimana massa struktur

terkonsentrasi hanya pada satu lokasi saja. SDOF adalah jenis sistem struktur yang sederhana

karena struktur dimodelkan sebagai massa terpusat M yang didukung oleh elemen struktur yang tidak bermassa yang mempunyai kekakuan lateral k.

2. SISTEM STRUKTUR SDOF Istilah yang harus dipahami adalah derajat kebebasan dinamik (DOF/degree of freedom) yaitu jumlah

peralihan independen yang digunakan untuk mendefinisikan perpindahan massa struktur relatif

terhadap posisi awalnya. Pada struktur SDF karena hanya ada 1 jumlah peralihan lateral maka

struktur tersebut dinamakan single degree of freedom system. Sistem struktur SDF terdiri dari 3

komponen penting yaitu :

& Komponen massa, dimodelkan sebagai massa terpusat. & Komponen kekakuan, yaitu elemen vertikal yang mendukung massa tersebut, diasumsikan

tidak mempunyai massa (yang sesunguhnya adalah massanya relatif kecil dibandingkan

dengan massa struktur yang terpusat).

& Komponen redaman. Model struktur SDF dapat dilihat pada gambar :

dimana :

M = massa struktur yang terpusat

k = kekakuan lateral elemen vertikal

u = peralihan lateral struktur

3. KEKAKUAN LATERAL Hubungan beban peralihan sistem struktur SDF pada struktur yang linier elastis dan mempunyai

deformasi yang kecil (small deformation) adalah :

kuf = dimana :

f = gaya lateral

k = kekakuan lateral elemen vertikal

SERIES



u = peralihan lateral

Kekakuan lateral elemen vertikal dipengaruhi oleh kondisi dari kekakuan lentur balok yang

didukungnya. Jika balok mempunyai kekakuan lentur yang sangat kaku dalam atau EI tak hingga

maka kekakuan lateral untuk satu elemen vertikal adalah :

3c

hEI12k =

untuk semua elemen vertikal atau struktur adalah :

= 3 chEI12k

jika tumpuan adalah sendi maka :

3c

hEI3k =

dan jika balok tidak mempunyai kekakuan lentur atau EI=0 maka kekakuan lateral untuk satu elemen

vertikal adalah :

3c

hEI3k =

untuk semua elemen vertikal atau struktur adalah :

= 3chEI3k

Kekakuan lateral struktur dengan memperhitungkan kekakuan lentur balok yang sebenarnya dapat

dilakukan dengan metode kekakuan dan kemudian dilakukan kondensasi statik untuk mendapatkan

kekakuan lateralnya. Dengan menggunakan metode kekakuan langsung maka dapat memodelkan

struktur dengan derajat kebebasan yang lebih banyak.



STRUCTURAL ENGINEERING Title : Dynamic Of Structure Topic : Free Vibration-SDOF 1. PENDAHULUAN Sistem struktur yang mengalami getaran bebas jika sistem struktur tersebut mengalami gangguan dari

posisi keseimbangan statiknya dan bergetar bebas tanpa adanya beban dinamik luar. Gangguan

tersebut berupa peralihan lateral awal dan kecepatan awal.

2. RESPON GETARAN BEBAS Persamaan dinamik getaran bebas tanpa redaman adalah :

0kuum.. =+

dimana :

m = massa struktur

k = kekakuan lateral


Karena struktur adalah bergetar bebas maka dalam persmaaan diatas, pada suku sebelah kanan

tidak ada gaya luar yang tergantung waktu yaitu p(t).

Solusi umum persamaan getaran bebas adalah :

tsinBtcosAu +=

tcosBtsinAu. +=

Gangguan awal berupa u(0) pada saat t=0 dan )0(u.

pada saat t=0. Dari persamaan diatas jika

dimasukkan syarat awal tersebut maka didapat koefisien A dan B yaitu :

)0(uA = =)0(u.B

.

sehingga respon getaran bebas adalah :

tsin)0(utcos)0(u)t(u nn

.

n +=

[ ]dt

)t(ud)t(u. = [ ]2

2

.

..

dt)t(ud

dt

)t(ud)t(u =

=

=secrad

mk

n

Waktu yang diperlukan oleh sistem untuk melakukan satu kali getaran disebut periode getar alami Tn

(natural period of vibration) dan berhubungan dengan frekuensi getar alami n. Periode getar alami dinyatakan sebagai berikut :

)dt(2Tn

n =

SERIES



Jumlah getaran yang dilakukan setiap detiknya disebut frekuensi fn (natural cyclic frequency), dinyatakan sebagai berikut :

=seccyc/Hz

T1fn

n =2

f nn

Properti getaran alami hanya tergantung dai massa dan kekakuan struktur. Untuk 2 buah sistem

dengan massa yang sama tetapi berbeda kekakuannya, sistem dengan kekakuan yang lebih besar

mempunyai fruensi alami yang lebih besar dan periode getar lebih pendek. Dan jika 2 buah struktur

dengan kekakuan yang sama tetapi berbeda massanya, sistem dengan massa lebih besar

mempunyai frekuensi alami lebih kecil dan periode getar lebih panjang.

Amplitudo maksimum u0 dari sebuah sistem dengan getaran bebas adalah :

[ ]2

n

.2

0)0(u)0(uu

+=

Nilai n, fn, Tn dapat ditulis dalam bentuk yang lain yaitu :

stn

g= stn

g21f = g2T

stn

=

kmg

st =

st adalah peralihan lateral statik dari massa yang berhubungan dengan kekakuan lateralnya, atau peralihan lateral struktur akibat gaya lateral mg.



STRUCTURAL ENGINEERING Title : Dynamic Of Structure Topic : Viscous Damped Free Vibration-SDOF 1. PENDAHULUAN Sistem struktur yang mengalami getaran bebas jika sistem struktur tersebut mengalami gangguan dari

posisi keseimbangan statiknya dan bergetar bebas tanpa adanya beban dinamik luar. Gangguan

tersebut berupa peralihan lateral awal dan kecepatan awal. Jika sistem mempunyai redaman yang

lebih kecil dari redaman kritis maka sistem akan bergetar dan setiap waktunya akan mengurangi

amplitudo getarnya.

2. RESPON GETARAN BEBAS DENGAN REDAMAN Persamaan dinamik getaran bebas dengan redaman adalah :

0kuucum... =++

dimana :

m = massa struktur

c = redaman



jika persamaan tersebut dibagi dengan m maka :

0uu2u 2n.

n.. =++

crcc=

nncr

k2km2m2c ===

dimana :

ccr = koefisien redaman kritis

Berdasarkan redaman kritis ada tiga kondisi yang dapat terjadi yaitu :

& c = ccr atau = 1 maka sistem akan kembali ke posisi seimbangnya tanpa mengalami getaran, disebut critically damped system.

& c > ccr atau > 1 maka sistem akan kembali ke posisi seimbangnya tanpa mengalami getaran, overdamped system.

& c



( )tsinBtcosAeu tn += Gangguan awal berupa u(0) pada saat t=0 dan )0(u

. pada saat t=0. Dari persamaan diatas jika

dimasukkan syarat awal tersebut maka didapat koefisien A dan B yaitu :

( )0uA = ( )D

n.

0u)0(u.B +=

sehingga respon getaran bebas adalah :

( )

++= tsin0u)0(u.tcos)0(ue)t(u DD

n.

Dtn

[ ]dt

)t(ud)t(u. = [ ]2

2

.

..

dt)t(ud

dt

)t(ud)t(u =

=

2nD 1 = 2

nD

1

TT

= D

D T1f =

=2

f DD

Nilai tersebut dalam keadaan teredam tidak begitu berpengaruh sampai dengan rasio redaman 20%.

Pada sistem struktur getaran bebas dengan redaman, sistem akan bergetar dan kembali ke posisi

seimbangnya dengan berkurangnya amplitudo getarnya mengikuti persamaan berikut :

tne ( )

++=

2

D

n.

2 0u)0(u.)0(u



STRUCTURAL ENGINEERING Title : Dynamic Of Structure Topic : Undamped Harmonic Vibration-SDOF 1. PENDAHULUAN Sistem struktur dengan getaran harmonis adalah sistem struktur yang bergetar akibat sebuah beban

harmonik. Beban harmonik dapat merupakan fungsi sinusoidal atau juga fungsi cosinus. Berbeda

dengan sistem dengan getaran bebas dimana tidak ada gaya luar maka pada sistem dengan getaran

harmonik terdapat beban dinamik luar yang berupa sebuah fungsi.

2. RESPON GETARAN HARMONIK TANPA REDAMAN Beban harmonik yang bekerja adalah :

( ) tsinptp 0 = ( ) tcosptp 0 = dimana :

p0 = amplitudo maksimum dari fungsi beban

= frekuensi getar beban Persamaan dinamik getaran harmonik tanpa redaman adalah :

tsinpkuum 0.. =+

dimana :

m = massa struktur



Solusi umum persamaan getaran harmonik tanpa redaman merupakan superposisi 2 solusi yaitu

solusi komplementer dan solusi partikular, solusi tersebut adalah :

Komplementer ( ) tsinBtcosAtu nnc +=

Partikular

( ) tsin1

1kptu 2

n

0p

= n

Konstanta A dan B didapat berdasarkan syarat awal yaitu :

SERIES



( )0uA = ( )

= 2

n

n0

n

.

1kp0uB

Sehingga solusi akhir sistem dengan getaran harmonik adalah :

( ) ( ) ( )

+

+= tsin1

1k

ptsin

1k

p0utcos0utu 2

n

0n2

n

n0

n

.

n

Persamaan tersebut diatas terdiri dari 2 bagian yaitu :

& Force vibration / steady state vibration, getaran tergantung dari beban harmonik tidka tergantung dari gangguan awal, mengandung faktor frekuensi getar beban tersebut atau .

& Transient vibration, getaran tergantung dari gangguan awal.

Keadaan force vibration yaitu pada saat gangguan awal adalah 0 (baik peralihan lateral awal dan

kecepatan awal) adalah :

( )

= tsintsin1

1kptu n

n2

n

0

Respon dinamik steady state pada frekuensi beban n = 0 adalah :

( ) ( ) tsin1

1utu 2

n

0st

=

Deformasi statik akibat beban harmonik :

( ) tsinkptu 0st =

Harga maksimum dari deformasi statik adalah :

( )k

pu 00st =

Dari persamaan solusi sistem struktur dengan getaran bebas dapat kita ketahui bahwa jika frekuensi

beban harmonik sama dengan frekuensi sistem maka deformasi yang terjadi akan membesar sampai

tak hingga karena adanya pembagian dengan angka nol. Kondisi ini disebut resonansi, dan harus

dihindari dalam desain struktur.

2

n1

1



STRUCTURAL ENGINEERING Title : Dynamic Of Structure Topic : Damped Harmonic Vibration-SDOF 1. PENDAHULUAN Sistem struktur dengan getaran harmonis adalah sistem struktur yang bergetar akibat sebuah beban

harmonik. Beban harmonik dapat merupakan fungsi sinusoidal atau juga fungsi cosinus. Berbeda

dengan sistem dengan getaran bebas dimana tidak ada gaya luar maka pada sistem dengan getaran

harmonik terdapat beban dinamik luar yang berupa sebuah fungsi.

2. RESPON GETARAN HARMONIK DENGAN REDAMAN Beban harmonik yang bekerja adalah :

( ) tsinptp 0 = ( ) tcosptp 0 = dimana :

p0 = amplitudo maksimum dari fungsi beban

= frekuensi getar beban Persamaan dinamik getaran harmonik tanpa redaman adalah :

tsinpkuucum 0... =++

dimana :

m = massa struktur

c = redaman struktur



Solusi umum persamaan getaran harmonik tanpa redaman merupakan superposisi 2 solusi yaitu

solusi komplementer dan solusi partikular, solusi tersebut adalah :

Komplementer ( ) ( )tsinBtcosAetu DDtc n +=

Partikular ( ) tcosDtsinCtup += n

2

n

22

n

2

n0

21

1

kpC

+

= 2

n

22

n

n0

21

2

kpD

+

=

Sehingga solusi akhir sistem dengan getaran harmonik adalah :

( ) ( ){ } { }tcosDtsinCtsinBtcosAetu DDtn +++=

SERIES



( ) ( ){ }

+

++=

+

+

tcostsin

tsinBtcosAetu

2

n2

22

n1

n2

k

0p

2

n2

22

n1

2

n1

k

0p

DDtn

Kostanta A dan B didapat berdasarkan syarat batas yaitu gangguan awal berupa peralihan lateral

awal dan kecepatan awal.



STRUCTURAL ENGINEERING Title : Dynamic Of Structure Topic : Spring Constant 1. PENDAHULUAN Dalam analisis struktur baik analisis statik maupun diamik, elemen struktur dimodelkan sebagai pegas

dengan kekakuan tertentu. Kekakuan tersebut dapat berupa kekakuan aksial maupun kekakuan

lentur. Asumsi yang sering digunakan adalah pegas linier artinya hubungan antara gaya dengan

peralihan mengikuti jalur berupa garis linier. Karena sistem masih linier maka superposisi respon

dapat dilakukan.

2. PEGAS PARAREL Yang dimaksud dengan pegas pararel adalah suatu sistem pegas dimana akibat gaya luar yang

bekerja akan mempunyai peralihan yang besarnya sama, atau untuk melakukan sebuah peralihan

sebesar 1 unit diperlukan gaya sebesar jumlah dari konstanta pegas pararel tersebut.

Konstanta pegas pararel adalah :

==n

1iie kk

dimana :

ke = konstanta pegas pararel ekivalen

ki = konstanta pegas ke-i

3. PEGAS SERI Pegas seri adalah sistem pegas dimana peralihan dari titik akhir pada sebuah pegas merupakan

penjumlahan dari peralihan pegas tersebut. Konstanta pegas seri adalah :

==n

1i ie k1

k1

dimana :

ke = konstanta pegas seri ekivalen

ki = konstanta pegas ke-i

SERIES



STRUCTURAL ENGINEERING Title : Dynamic Of Structure Topic : Duhamels Integral 1. PENDAHULUAN Integral Duhamel digunakan untuk menghitung respons dinamik terhadap beban dinamik yang

merupakan beban impulse dengan fungsi tertentu. Beban impulse adalah beban yang bekerja dalam

selang waktu yang sangat kecil. Jika beban dinamik merupakan beban impulse maka respon total

struktur adalah merupakan penjumlahan semua respon impulse, sehingga dapat dilakukan integrasi

terhadap fungsi beban.

2. INTEGRAL DUHAMEL Integral Duhamel dapat digunakan untuk menghitung respon struktur terhadap fungsi beban dinamik

baik untuk sistem dengan redaman dan sistem tanpa redaman. Respon struktur SDOF tanpa redaman

adalah :

( ) ( ) ( )[ ] =t

0n

ndtsinp

m1tu

untuk sistem SDOF dengan redaman, integral Duhamel menjadi :

( ) ( ) ( ) ( )[ ] = t

0D

t

Ddtsinep

m1tu n

respon tersebut berlaku untuk struktur dengan kondisi awal 0, jika ada gangguan awal maka

persamaan tersebut untuk struktur tanpa redaman menjadi :

( ) ( ) ( )[ ]

+

+=

t

0n

nn

n

.

n dtsinpm1tsin)0(utcos)0(utu

SERIES



STRUCTURAL ENGINEERING Title : Dynamic Of Structure Topic : Constant Forces 1. PENDAHULUAN Beban dinamik konstan adalah beban dinamik dimana setiap pertambahan waktu beban tetap

mempunyai nilai yang sama besar.

2. BEBAN DINAMIK KONSTAN Untuk mendapatkan respon struktur dapat digunakan integral Duhamel dengan memasukkan fungsi

beban adalah :

( ) 0pp =

( ) ( )[ ] =t

0n0

ndtsinp

m1tu ( ) ( )tcos1

mptu n2

n

0 =

( ) ( )tcos1kptu n0 = ( ) ( ) ( )tcos1utu n0st =

Untuk struktur dengan redaman respon struktur menjadi :

( ) ( )

+= tsin

1tcose1utu D2D

t0st

n

SERIES



STRUCTURAL ENGINEERING Title : Dynamic Of Structure Topic : Rectangular Forces 1. PENDAHULUAN Beban dinamik persegi adalah beban dinamik dimana beban konstan sampai dengan waktu tertentu

kemudian setelah itu beban menjadi nol dan bergetar bebas.

2. BEBAN DINAMIK PERSEGI Untuk mendapatkan respon struktur dapat digunakan integral Duhamel dengan memasukkan fungsi

beban adalah :

Respon struktur dihitung dalam 2 selang waktu yaitu :

dtt0 ( ) 0pp =

( ) ( )tcos1kptu n0 = ( ) ( ) ( )tcos1utu n0st =

dtt Setelah beban menjadi nol maka sistem bergetar bebas dengan kondisi awal adalah peralihan dan

kecepatan pada saat td. Respon pada saat td adalah :

( ) ( )dn0d tcos1kptu = ( ) dnn0d. tsink

ptu = Pada saat t>td maka digunakan persamaan getaran bebas dengan kondisi awal tersebut :

( ) ( ) ( )dnn

d.

dnd ttsin)t(uttcos)t(utu +=

Untuk struktur dengan redaman dapat dilakukan integral Duhamel

SERIES



STRUCTURAL ENGINEERING Title : Dynamic Of Structure Topic : Triangular Forces 1. PENDAHULUAN Beban dinamik segitiga adalah beban dinamik dimana beban berkurang sesuai dengan pertambahan

waktu sampai beban menjadi nol.


beban adalah :

Respon struktur dihitung dalam 2 selang waktu yaitu :

dtt0

( )

=

d0 t

1pp

( ) ( )

+= ttsin

ktptcos1

kptu n

d

0n

0

dtt Setelah beban menjadi nol maka sistem bergetar bebas dengan kondisi awal adalah peralihan dan

kecepatan pada saat td. Respon pada saat td adalah :

( )

= dndn

dn0d tcost

tsink

ptu ( )

+=

dd

dndnn

0d

.

t1

ttcostsin

kptu

Pada saat t>td maka digunakan persamaan getaran bebas dengan kondisi awal tersebut :

( ) ( ) ( )dnn

d.

dnd ttsin)t(uttcos)t(utu +=

Untuk struktur dengan redaman dapat dilakukan integral Duhamel.

SERIES



STRUCTURAL ENGINEERING Title : Dynamic Of Structure Topic : Increasing Forces 1. PENDAHULUAN Beban dinamik bertambah adalah beban dinamik dimana beban terus bertambah sesuai dengan

pertambahan waktu sampai beban menjadi tak hingga.


beban adalah :

( )

=

d0 t

pp

( )

=dn

n

d

0t

tsintt

kptu

SERIES



STRUCTURAL ENGINEERING Title : Dynamic Of Structure Topic : Interpolation Of Excitation 1. PENDAHULUAN Jika beban dinamik yang bekerja merupakan fungsi yang sembarang maka untuk mendapatkan

responnya lebih mudah menggunakan metode numerik dibandingkan dengan metode eksak dengan

menurunkan persamaan diferensial. Metode numerik efektif digunakan untuk analisis dengan bantuan

komputer.

2. METODE INTERPOLASI LINIER Metode numerik yang paling sederhana adalah interpolasi linier, dimana fungsi beban diinterpolasi

menurut jalur garis linier sepanjang t. Respon struktur dihitung dalam selang waktu ti



( ) ( )

+

+

+=+

inin

iin

iin

n

.i

inin

1i.

tcos1t

1kptsin

kptcosutsinuu

Persamaan tersebut untuk respon dengan redama dapat dituliskan kembali menjadi :

1iii.

i1i DpCpuBAuu ++ +++=

1iii.

i1i.

p'Dp'Cu'Bu'Au ++ +++= Koefisien A, B, D adalah :

+

= tcostsin

1eA DD2

tn

=

tsin1eB DD

tn

+

+

= tcost

21tsin1t

21et

2k1C D

nD2D

2t

nn

++

= tcost

2tsint12e

t21

k1D D

nD

D

2t

nn

= tsin

1e'A D2

ntn

= tsin

1tcose'B D2D

tn

+

+

+= tcos

t1tsin

1t1e

t1

k1'C DD22

ntn

+

=

tcostsin1

e1tk

1'D DD2tn

Contoh :

A B C D 0.813 0.09067 0.01236 0.006352A' B' C' D' -3.58 0.7559 0.1709 0.1871

Hanya dihitung sekali jika selang waktu sama.

ti pi Cpi Dpi+1 Bvi vi Aui ui 0.0 0.0000 0.0000 0.0318 0.0000 0 0.0000 00.1 5.0000 0.0618 0.0550 0.0848 0.9355 0.0258 0.03180.2 8.6602 0.1070 0.0635 0.2782 3.0683 0.1849 0.22740.3 10.0000 0.1236 0.0550 0.4403 4.8562 0.5151 0.6337



0.4 8.6603 0.1070 0.0318 0.4290 4.7320 0.9218 1.13400.5 5.0000 0.0618 0.0000 0.1753 1.9332 1.2110 1.48970.6 0.0000 0.0000 0.0000 -0.2735 -3.0165 1.1771 1.44810.7 0.0000 0.0000 0.0000 -0.6767 -7.4635 0.7345 0.90360.8 0.0000 0.0000 0.0000 -0.8048 -8.8762 0.0470 0.05780.9 0.0000 0.0000 0.0000 -0.6271 -6.9165 -0.6160 -0.75781.0 0.0000 0.0000 0.0000 -0.2281 -2.5157 -1.0105 -1.2431

ti pi C'pi D'pi+1 A'ui ui B'vi vi 0.0 0.0000 0.0000 0.9355 0 0 0.0000 00.1 5.0000 0.8545 1.6203 -0.1137 0.0318 0.7071 0.93550.2 8.6602 1.4800 1.8710 -0.8142 0.2274 2.3193 3.06830.3 10.0000 1.7090 1.6203 -2.2682 0.6337 3.6708 4.85620.4 8.6603 1.4800 0.9355 -4.0592 1.1340 3.5769 4.73200.5 5.0000 0.8545 0.0000 -5.3324 1.4897 1.4613 1.93320.6 0.0000 0.0000 0.0000 -5.1833 1.4481 -2.2802 -3.01650.7 0.0000 0.0000 0.0000 -3.2345 0.9036 -5.6417 -7.46350.8 0.0000 0.0000 0.0000 -0.2070 0.0578 -6.7095 -8.87620.9 0.0000 0.0000 0.0000 2.7125 -0.7578 -5.2282 -6.91651.0 0.0000 0.0000 0.0000 4.4498 -1.2431 -1.9016 -2.5157

Grafik Hubungan Peralihan-Waktu

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

t

u(t)

Peralihan

Grafik Hubungan Kecepatan-Waktu

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

t

Kecepat an



STRUCTURAL ENGINEERING Title : Dynamic Of Structure Topic : Central Difference Method 1. PENDAHULUAN Jika beban dinamik yang bekerja merupakan fungsi yang sembarang maka untuk mendapatkan

responnya lebih mudah menggunakan metode numerik dibandingkan dengan metode eksak dengan

menurunkan persamaan diferensial. Metode numerik efektif digunakan untuk analisis dengan bantuan

komputer.

2. METODE CENTRAL DIFFERENCE

Metode ini berdasarkan peralihan konstan untuk selang waktu t. Peralihan pada selang waktu tersebut adalah :

2uuu 1i1ii +

= sehingga kecepatan dan percepatannya adalah :

t2uuu 1i1ii

.

= + ( )2 1ii1ii

..

tuu2uu

+= +

persamaan dinamik untuk sistem linier adalah :

( ) ii1i1i2 1ii1i pkut2uuc

tuu2um =+

+

+ ++ i21i2i1i2 ut

m2kut2

ct

mput2

ct

m

=

+ +

i1i puk =+

+= t2c

tmk 2

i21i2ii utm2ku

t2c

tmpp

= i1iii BuAupp =

peralihan pada i+1 adalah :

kpu i1i =+

Kondisi awal peralihan adalah nol, u0=0. Pada saat i=0 diperlukan nilai u-1 untuk mendapatkan u1

adalah menggunakan persamaan dengan menggunakan i=0 :

t2uuu 110

.

= 2 1010

..

tuu2uu

+=

dari kedua persamaan tersebut didapatkan :

0..2

0.

01 u2tutuu +

=

Pada saat t=0 persamaan dinamiknya adalah :

000.

0..

pkuucum =++ m

kuucpu 00.

00.. =

Metode ini akan stabil jika memenuhi kondisi :

SERIES



< 1T

t

n

3. PROSEDUR & Lakukan perhitungan awal, yaitu :

A. 0u0 = 0u0. =

mkuucpu 00

.00

.. =

B. 0..2

0.

01 u2tutuu +

=

C.

+= t2c

tmk 2

D.

= t2c

tmA 2

= 2tm2kB

& Untuk setiap i lakukan perhitungan : A. i1iii BuAupp =

B. kpu i1i =+

C. t2uuu 1i1ii

.

= + ( )2 1ii1ii

..

tuu2uu

+= +

4. CONTOH

u0 0 v0 0 a0 0 u-1 0 k^ 26.13 a 24.53 b -40.66

ti pi ui-1 ui pi^ ui+1 0 0.0 0.0000 u-1 0.0000 u0 0.0000 0.0000 u1 0.00001 0.1 5.0000 u0 0.0000 u1 0.0000 5.0000 u2 0.19142 0.2 8.6602 u1 0.0000 u2 0.1914 16.4405 u3 0.62923 0.3 10.0000 u2 0.1914 u3 0.6292 30.8887 u4 1.18214 0.4 8.6603 u3 0.6292 u4 1.1821 41.2913 u5 1.58025 0.5 5.0000 u4 1.1821 u5 1.5802 40.2547 u6 1.54066 0.6 0.0000 u5 1.5802 u6 1.5406 23.8760 u7 0.91377 0.7 0.0000 u6 1.5406 u7 0.9137 -0.6372 u8 -0.02448 0.8 0.0000 u7 0.9137 u8 -0.0244 -23.4055 u9 -0.89579 0.9 0.0000 u8 -0.0244 u9 -0.8957 -35.8224 u10 -1.3709

10 1.0 0.0000 u9 -0.8957 u10 -1.3709 -33.7696 u11 -1.2924



STRUCTURAL ENGINEERING Title : Dynamic Of Structure Topic : Shear Building 1. PENDAHULUAN Bangunan geser adalah struktur dimana tidak ada tahanan rotasi pada elemen-elemen strukturnya.

Sehingga peralihan bangunan geser adalah seperti pada balok kantilever yang disebabkan hanya

oleh gaya geser. Asumsi pada bangunan geser adalah :

& Massa struktur total terkonsentrasi pada level lantai. & Balok mempunyai kekakuan yang tak hingga dalam arah aksialnya. & Deformasi struktur tidak tergantung dari gaya aksial kolom. Derajat kebebasan bangunan geser berupa DOF arah lateral, 1 dof tiap 1 tingkat, sehingga jumlah

total DOF adalah sebanyak jumlah tingkatnya.

2. SHEAR BUILDING Untuk analisis bangunan geser bangunan tersebut dimodelakan sebagai model kolom tunggal dengan

massa terpusat pada level lantainya. Kekakuan lateral kolom tunggal merupakan pejumlahan semua

kekakuan kolom pada tingkat tersebut. Kekakuan lateral kolom seragam dengan ujungnya yang

mempunyai tahanan rotasi adalah :

3LEI12k =

Jika satu ujungnya jepit dan lainnya sendi maka :

3LEI3k =

dimana :

L = panjang elemen kolom

Model struktur bangunan geser adalah :

SERIES



Persamaan dinamik bangunan geser tanpa redaman adalah :

[ ] [ ]{ } [ ]FuKuM .. =+

[ ]

=

n

2

1

M0000.0000M0000M

M [ ]

+

+=

.0000kk00kkkk00kkk

K33

3322

221

dimana :

M1 = massa tingkat ke-1

k1 = kekakuan lateral tingkat 1



STRUCTURAL ENGINEERING Title : Dynamic Of Structure Topic : Newmarks Method 1. PENDAHULUAN Metode Newmark adalah metode numerik untuk analisis respon dinamik. Ada 2 asumsi yang

digunakan yaitu asumsi percepatan konstan (average acceleration) dan percepatan linier (linier

acceleration). Kedua asumsi tersebut dibedakan berdasarkan penggunanan parameter dan . Parameter tersebut diturunkan berdasarkan dari solusi eksak dengan asumsi percepatan konstan dan

percepatan linier.

2. NEWMARK METHOD

Penggunanaan parameter dan adalah untuk menentukan variasi percepatan dalam selang waktu tertentu dan juga menentukan stabilitas serta akurasi dari metode ini. Paramater tersebut adalah :

& Percepatan konstan dalam selang waktu t, 21= dan

41=

& Percepatan linier dalam selang waktu t, 21= dan

61=

Prosedur perhitungan dengan metode Newmark adalah :

A. Lakukan perhitungan awal

1. m

kuucpu 00.

00;; =

2. ( ) mt1c

tkk 2+

+=

3. cmt

1A += c12tm2

1B

+=

B. Lakukan perhitungan setiap waktu i

1. iiii uBuApp &&& ++=

2. kpu ii

=

3. iiii u21tuu

tu &&&&

+

=

4. ( ) iii2i u21u

tu

tu &&&&&

=

5. ii1i uuu +=+ ii1i uuu &&& +=+ ii1i uuu &&&&&& +=+

Metode Newmark akan stabil jika memenuhi kondisi sebagai berikut :

SERIES



21

21

Tt

n

Jika digunakan asumsi percepatan konstan (21= dan

41= ) maka kondisi tersebut menjadi :

nTt

artinya asumsi percepatan akan stabil untuk setiap nilai t, tetapi keakuratannya baik jika t kecil.

Jika digunakan asumsi percepatan linier (21= dan

61= ) maka kondisi tersebut menjadi :

551.0T

t

n

DYN-00.pdfDYN-01.pdfDYN-02.pdfDYN-03.pdfDYN-04.pdfDYN-05.pdfDYN-06.pdfDYN-07.pdfDYN-08.pdfDYN-09.pdfDYN-10.pdfDYN-11.pdfDYN-12.pdfDYN-13.pdfDYN-14.pdfDYN-15.pdf

detailing dynamic of structure

Documents