1

Sveučilište u Zagrebu

Fakultet strojarstva i brodogradnje Doktorski studij Naziv kolegija: Prijenos topline i mase

DETALJNIJA ANALIZA PRIJENOSA TOPLINE ZRAČENJEM

Zagreb 2016.

2

1. UVOD

Ovo se izlaganje nastavlja na materiju koja je prezentirana u okviru kolegija Termodinamika II, studentima diplomskog studija i to iz područja toplinskog zračenja. Ta je materija dana u [2]. Nastavak se odnosi na proširenje područja toplinskog zračenja u smislu toga da se ovdje uvode dva pristupa rješenju izmjene topline zračenjem: prvi je pristup korištenja tzv. mrežne metode dok se drugi pristup odnosi na korištenje tzv. matrične metode. Korištenjem tih metoda moguće je pratiti izmjenu topline zračenjem između pojedinih površina neke zatvorene strukture, a koje se često kao takve mogu naći u mnogom inženjerskim (praktičnim) problemima. Stoga se ovim izlaganjem želi studentima doktorskog studija dati upravo taj širi pristup u razradi prijenosa topline zračenjem, te ukazati na činjenicu da su izvedene jednadžbe u [2] za prijenos topline zračenjem kod modela bliskih stijenki i modela obuhvaćenog tijela, samo specijalni slučajevi rješenja mrežnom ili matričnom metodom. 1. KONCEPT VIDNOG FAKTORA U osnovi smo se upoznali sa zračenjem jedne površine. No ipak u inženjerskoj se primjeni susrećemo s praktičnim problemima kod kojih se javljaju istovremena zračenja između više površina. Ako su površine međusobno podijeljene sa, za zračenje transparentnim plinovima, tada njihovo postojanje ne utječe na izmjenu toplinskog toka zračenjem između promatranih površina. Stoga je vakuum idealni slučaj propusnosti (transparentnosti) zračenja, mada se i zrak kao i mnogi jednoatomni i dvoatomni plinovi mogu također vrlo dobro smatrati transparentnima. Kao što od prije znamo za dvije površine, njihova međusobna orijentacija ima izravan utjecaj na iznos energije koji zračenjem pogodi ili napusti promatranu površinu. Da bi se formalizirali efekti orijentacije površina u analizi prenesenog toplinskog toka zračenjem, uvodi se tzv. vidni faktor, za koji se u literaturi mogu naći i nazivi faktor oblika, kutni faktor, ili faktor konfiguracije. Razliku se može napraviti u pojmovima difuzni vidni faktor i spekularni vidni faktor, pri čemu se prvi pojam odnosi na površine koje su i difuzni emiteri i difuzni reflektori, dok se drugi pojam odnosi na situaciju pri kojoj je površina difuzni emiter a spekularni reflektor. No u daljem ćemo se pozabaviti slučajevima kod koji su površine kao difuzni emiteri tako i difuzni reflektori. Dakle, koristit ćemo jednostavno termin vidni faktor, koji će ujedno i značiti difuzni vidni faktor. Fizikalno značenje vidnog faktora između dviju površina jest da predstavlja udio energije zračenja (udio svjetloće površine) koja napušta jednu površinu i izravno pogađa drugu površinu. 1.1 Vidni faktor između dviju elementarnih površina Da bi ušli detaljnije u razvoj relacija koje definiraju vidne faktore, prvo se izvodi vidni faktor između dvije elementarne površine. Promotrimo dvije elementarne površine dA1 i dA2, kao što ilustrira slika 1.

3

xy

z

ε1

A1

Ts11

dA1

dA2

A2ε2

Ts2

2

r

Ts1, ε1

dA1

n1ϕ1

n2

ϕ2

dA2

Ts2, ε2

Slika 1. Koordinate za definiranje vidnog faktora

Neka je r razmak između ovih površina, ϕ1 neka je polarni kut između normale n1 na površinu dA1 a linija r spaja dA1 i dA2, a ϕ2 neka je polarni kut između normale n2 na površinu dA2 na liniji r. Neka tijelo 1 ima površinu A1 , emisijski faktor ε1 i površinsku temperaturu s1T a tijelu 2 korespondiraju veličine 22 , εA i s2T . Zbog složenosti samog problema polazi se od rješavanja problema toplinskog toka na nivou infinitezimalnih veličina, te se stoga iz tijela 1 i tijela 2 izdvajaju njihove elementarne plohe (površine) 1Ad i 2Ad koje su međusobno udaljene za veličinu r , i međusobno se ne obuhvaćaju, slika 1. Ploha 2Ad vidi se s plohe 1Ad pod prostornim kutom

222

1 rAΩ ϕcosdd = , (1)

dok se ploha 1Ad s plohe 2Ad vidi pod prostornim kutom

211

2 rAΩ ϕcosdd = (2)

Zanemari li se na trenutak udio reflektiranog zračenja u svjetloćama površina 1Ad i 2Ad tada će za toplinski tok biti relevantno samo vlastito emitirano zračenje. Tada elementarna ploha 1Ad emitira u poluprostor svoju vlastitu emisije 11c1 dAEε , (a) od koje u smjeru normale otpada iznos

141 AT ds1σ

πε . (b)

Prema Lambertovu zakonu kosinusa, iznos vlastitog emitiranog zračenja u smjeru koji leži pod kutom ϕ1 u odnosu na normalu n1 , iznosi

4

1141 AT dcoss1 ϕσ

πε (c)

Od ovog zračenja na element površine 2Ad , koja se vidi pod prostornim kutom 1Ωd , jednadžba (1), otpada vrijednost

2122141

11141 AA

rTΩAT ddcoscosddcos s1s1

ϕϕσ

πε

ϕσπε

= (d)

Od ove vrijednosti površina 2Ad apsorbira vrijednost

21221412 AA

rTa ddcoscos

s1ϕϕσ

πε (e)

Nadalje se u algoritam uvodi i Kirchhoffov stavak, a2 2= ε , gornji izraz prelazi u oblik

.AAr

T 21221412 ddcoscos

s1ϕϕσ

πεε (f)

Na isti način može se dobiti iznos energije koji površina 1Ad apsorbira od površine 2Ad

.AAr

T 21221412 ddcoscos

s2ϕϕσ

πεε (g)

Razlika ovih iznosa (f) - (g) predstavlja toplinski tok diferencijalnog iznosa

( ) 212214

s24

s1212 dd

coscosδ AA

rTT

ϕϕπεε

σΦ −= ( 3)

Za konačne površine A1 i A2 te konstantnih njihovih temperatura i emisijskih faktora, integriranjem gornje jednadžbe dobiva se zračenjem ukupno preneseni toplinski tok

( )∫ ∫−=1 2

212214

s24

s121

12 ddcoscos

A A

AAr

TT ϕϕσ

πεε

Φ . (4)

Rješenje dvostrukog integrala u gornjoj jednadžbi u direktnoj je svezi s oblicima površina tijela 1 i tijela 2 kao i njihovim međusobnim prostornim položajima. No, još jedanput treba napomenuti da jednadžba (4) vrijedi ako su reflektirane vrijednosti malene (zanemarive) s obzirom na vrijednosti vlastitih emitiranih zračenja tijela 1 i tijela 2. Posebno to vrijedi kada površine A1 i A2 premalo reflektiraju, tj. kada se te površine sa svojim svojstvima približavaju svojstvima crnog tijela ( )121 ≅= εε , ili ako su maleni prostorni kutovi 1Ω i 2Ω , pod kojim se površine međusobno vide.

5

Jednadžbu (4) može se napisati u obliku ( )44

2111212 s2s1 TTAe −= σεεΦ , (5) gdje veličina e12 predstavlja geometrijski faktor ili vidni faktor, i koji ovisi samo o geometriji ploha i njihovom međusobnom prostornom položaju. Komparirajući jednadžbu (4) s (5) slijedi da za vidni faktor e12 vrijedi jednadžba

∫ ∫=2 1

21221

112

coscos1

A A

AArA

e ddϕϕπ

. (6)

Jednadžbu (5) se može napisati i u obliku ( )44

2122112 s2s1 TTAe −= σεεΦ , (7) u kojem je vidni faktor e21 jednak

∫ ∫=2 1

21221

221

coscos1

A A

AArA

e ddϕϕπ

. (8)

Komparirajući jednadžbu (5) s (7) dobiva se sljedeću vezu među vidnim faktorima e A e A21 2 12 1= (9) 1.2 Svojstva vidnih faktora Promotrimo sada jednu zatvorenu strukturu koja se sastoji od N zona, a svaka zona ima površinu Ai, i = 1,……., N, kao što to prikazuje slika 2.

A1K1

A 2K 2

Ai Ki

ANKN

TsN

Ts1

Ts2

Tsi

1

2

K1K2

Slika 2. N – zona zatvorene strukture

Pretpostavka je da je svaka zona izotermna, te da je difuzni emiter odnosno difuzni reflektor. Površina svake zone može biti ravna, konveksna ili konkavna. Vidni faktori između površina Ai i Aj zatvorene strukture daju sljedeći relaciju reciprociteta

6

jjiiij AeAe = (10) Drugo važno svojstvo vidnih faktora se odnosi na slučaj s N površina zatvorenog lika, kako to prikazuje slika 2. Na osnovu definicije vidnog faktora, pored svojstva reciprociteta, za ovakvu jednu zatvorenu strukturu vrijedi i pravilo sumiranja vidnih faktora nad promatranom površinom i :

eijj

j N

=

=

∑ =1

1 (11)

To pravilo proizlazi iz činjenice da sve zračenje koje odlazi s promatrane površine i , mora biti zbog zatvorenosti strukture, prihvaćeno od strane svih N njezinih površina. Vidni faktor eii koji su u gornjoj sumi javlja, označuje dio zračenja koji odlazi s promatrane površine i i izravno biva prihvaćeno na istoj površini. Ako je površina konkavna tada ona samu sebe vidi, pa je vidni faktor eii ≠ 0 . Za slučaj da se radi o ravnoj ili konveksnoj površini (plohi) vidni faktor je, zbog toga što takva ploha samu sebe ne vidi, jednak nuli, tj. eii = 0. Pravilo reciprociteta i sumiranja omogućuju dodatne relacije za određivanje vidnih faktora zatvorene strukture iz poznavanja ostalih. To znači da određivanje svih vidnih faktora neke zatvorene strukture, nije potrebno svaku od njih određivati izravno, neke se neke mogu odrediti iz navedenih uvjeta reciprociteta i sumiranja. Tu se situaciju može bolje zamisliti, ako se svi mogući vidni faktori od jedne N – zonske zatvorene strukture izraze u matričnom obliku

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

NNNN

N

N

ij

eee

eeeeee

e

....................................................

................ ................

21

22221

11211

(12)

Općenito za proračun toplinskog toka zračenjem između N ploha zatvorenog lika potrebito je poznavati N 2 vidnih faktora. No ipak se ne mora izravno određivati prema jednadžbi (12) sve te faktore. Iz navedenog svojstva sumiranja, jednadžba (11), dolazi se do N vrijednosti vidnih faktora, a iz pravila reciprociteta, jednadžba (10), dolazi se do dodatnih ( )N N − 1 2/ vrijednosti vidnih faktora, pa shodno navedenom, izravno je potrebno odrediti ( ) ( )N N N N N N2 1 2 1 2− − − = −/ / (13) vidnih faktora. Za ilustraciju navedenog prikažimo način određivanja vidnih faktora za strukturu dviju sferičnih ploha, slika 2. Tu strukturu karakterizira N 2 22 4= = vidna faktora:

22211211 ,,, eeee . Prema (13) izravno je potrebno odrediti ( )2 2 1 2 1− =/ vidni faktor. U ovom slučaju se do tog jedinog izravno određenog vidnog faktora dolazi jednostavnim razmišljanjem. Naime, kako sveukupno zračenje s plohe 1 pogađa plohu 2 to ima za posljedicu da je vidni faktor

7

e12 1= (a) Prema pravilu sumiranja, jednadžba (11), za promatranu se strukturu može napisati sljedeći sustav jednadžbi: e e11 12 1+ = (b) e e21 22 1+ = (c) Kako je ploha 1 konveksna, to znači da je vidni faktor e11 0= (d) a iz svojstva reciprociteta, jednadžba (10), slijedi jednakost e A e A12 1 21 2= (e) odakle slijedi vidni faktor e21

eAA

eAA21

1

212

1

2= = (f)

Konačno iz jednadžbe (c) slijedi vrijednost vidnog faktora e22 .

2

12122 11

AA

ee −=−= (g)

1.3 Izravno (analitičko) određivanje vidnog faktora pojedinih geometrija Sljedeća dva primjera prikazuju izravno (analitičko) određivanje vidnih faktora između elementarne površine 1 i konačne površine 2 a) - vidni faktor između dviju paralelnih traka Promotrimo način izračuna vidnog faktora između infinitezimalne plohe površine 1Ad i jedne beskonačno duge trake površine A2 , male širine Δy u odnosu na međusobni razmak traka R , slika 3.

8

dA1

H

ϕ1

r

R

X

ϕ2

Δy

A2

dx

x

dA2

Slika 3.. Uz određivanje vidnog faktora između infinitezimalne i beskonačno duge uske trake Beskonačna traka leži u ravnini paralelnoj s 1Ad , r je radijus vektor između površina 1Ad i

2Ad , a prostorni kutovi pod kojima se međusobno vide naznačene elementarne plohe su ϕ1 odnosno ϕ 2 . Prema jednadžbi (6) za naznačenu strukturu vidni faktor se može izraziti

∫ ∫=1 2

1

d212

21

12d dd

coscosd1

A AA AA

rAe

ϕϕπ

(a)

∫=2

2221 coscos1

A

Ar

dϕϕπ

xyA dd 2 Δ= (b)

cos cosϕ ϕ1 2 2 2= = =

+

Hr

H

R x (c)

Kako se beskonačna traka proteže u smjeru osi x od −∞ do +∞, tada se postavljanjem tih granica i uvrštavanjem jednadžbi (b) i (c) u jednadžbu (a), ista transformira na oblik

( )∫

+∞

∞− += 222

2

2ddΔ

1 xRxyHe A π

(d)

Rješenjem gornjeg integrala dobiva se

9

( )+∞

∞−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+= 2223

2

2d 2arctg

21Δ

1 RxRx

Rx

RyHe A π

(e)

Uvrštavanjem granica integracije u gornji izraz dobiva se konačni oblik vidnog faktora za navedenu konfiguraciju

3

2

33

2

2d 20

2210

221

1 RyH

RRyHe A

Δ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−+

Δ=

πππ

(14)

b) - vidni faktor između elementarne plohe površine dA1 i njoj paralelnog kružnog diska površine dA2 Disk se nalazi na udaljenosti H od elementarne plohe, slika 4.

H

A2

R

dφρ

dρ

dA2 = ρ dφ dρ

ϕ1ϕ2

dA1

22 Hr += ρ

Slika 4. Uz određivanje faktora konfiguracije između elementarne površine i kružnog diska Koristeći jednadžbu (6) vidni faktor, za naznačenu geometriju, se može napisati u obliku

∫=2

1 2221

2d dcoscos1

AA A

re

ϕϕπ

(a)

Prema slici I - 99 je

cos cosϕ ϕρ

1 2 2 2= = =

+

Hr

H

H (b)

Φρρ ddd =2A (c) Uvrštavanjem (c) i (b) u (a), te stavljanjem relevantnih granica integriranja dobiva se

( )∫∫

+=

π

ρρρ

π

2

0222

2

02 dd1

1Φ

HHe

R

dA (d)

10

Po provedenoj integraciji i uvrštavanju naznačenih granica dobiva se konačni izraz vidnog faktora naznačene konfiguracije

2

12 2 2

ReH R

=+

(15)

Na analogan bi se način mogli odrediti i vidni faktori za neke druge konfiguracije, pa su u Prilogu dani analitički oblici faktora konfiguracije za različite geometrije, uz napomeni da je Prilogu faktor konfiguracije označen sa slovom F, dok je u okviru ovih izlaganja označen sa slovom e! 1.4 Algebra vidnih faktora Postoji relativno maleni broj analitički ili dijagramskih prikaza vidnih faktora i to za relativno jednostavne konfiguracije. No ipak moguće je podijeliti konfiguracije kompliciranijih geometrija u određeni broj jednostavnih konfiguracija na način da se tada i njihovi vidni faktori mogu odrediti iz standardnih prikaza (dijagrama) vidnih faktora. To znači da je moguće odrediti vidni faktor za originalnu kompliciranu geometrijsku konfiguraciju, jednostavnim algebarskim sumiranjem vidnih faktora separiranih jednostavnih konfiguracija. Takav je postupak poznat kao algebra vidnog kuta. Za ilustraciju kako se relacije sumiranja i reciprociteta mogu primijeniti, promotrimo vidni faktor površine A1 na površinu A2 koja je podijeljena na površine A3 i A4 kao A2 = A3 + A4 (16), a što je ilustrirano na slici 5.

A3A4

A1

A2=A3+A4

Slika 5. Uz algebru vidnih faktora

Tada vidni faktor od A1 prema A2 može se izraziti kao 141312 eee += (17) a što je konzistentno s definicijom vodnog faktora. Dodatne se relacije mogu odrediti između ovih vidnih faktora

11

141131121 eAeAeA += (18) Dakako da je svojstvo reciprociteta primjenljivo na svaki član, pa se može pisati 414313212 eAeAeA += (19) ili

43

414313

2

41431321 AA

eAeAA

eAeAe

++

=+

= (20)

Pretpostavimo da je površina A2 podijeljena u više dijelova kao npr. NAAAA +++= .......432 (21) pa tada jed.(20) poprima oblik

N

NN

AAAeAeAeA

e++++++

=...............

43

141431321 (22)

Primjer 1. Dvije paralelne površine dA1 i A2 su aranžirane prema slici 6. Potrebno je pokazati da se prigodnom primjenom algebre vidnog faktora, vidni faktor za ovu konfiguraciju može načiniti algebarskom sumom, koja proizlazi iz zadanih standardnih rješenja danih za slučajeve prikazanim slici 7. Rješenje. Površina A2 može se izraziti kao algebarska suma četiri površine A3, A4, A5 i A6 a što je ilustrirano slikom 7, iz koje je vidljivo da je A2 = A3 – A4 – A5 + A6. Tada se vidni faktor edA1-A2 dobiva algebarskom sumom vidnih faktora za tako formirani konstrukt

6151413121 ddddd AAAAAAAAAA eeeee −−−−− +−−= (a)

A2

dA1 Slika 6. Uz algebru vidnih faktora

12

A2 A3

A4

A5 A6

dA1 dA1 dA1 dA1 dA1

= - - +

Slika 7. Uz algebru vidnih faktora

Ova se metoda algebre vidnih faktora, za navedeni slučaj, zasniva na činjenici da je u literaturi poznato (dano) rješenje za sve oblike koji su prikazani skicama desne strane jednakosti. To rješenje, shodno slici 7a ima oblik

A2

dA1

A2

a

b

c

Slika 7a. Uz izračun vidnog faktora edA1-2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+++

++=− 2

1-

22

1-

22d1

tan11

tan12

11 Y

XY

YX

YX

Xe A π (22a)

pri čemu je :

cbY

caX == ; (22b)

13

U okviru Primjera 1 potrebno je odrediti vidni kut edA1-A2 ako je površina A2, shodno slici 6, smještena kao kvadrat stranica: a) - 0,5×0,5 odnosno b) 0,25 × 0,25 m2, unutar zamišljenog kvadrata 1 × 1 m2, a elementarna je površina od tog zamišljenog kvadrata udaljena 1 m. - slučaj A2 = 0,5⋅0,5 = 0,25 m2. - određivanje vrijednosti

31d AAe − , uz A3 = 1×1= 1 m2 i X = a/c=1/1=1; Y = b/c = 1/1= 1, pa je koristeći jed.(22a)

139,02

1tan2

221

111tan

111

111tan

111

21 1-

2

1-

22

1-

23d 1=⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+++

++=− ππAe

- određivanje vrijednosti 41d AAe − , uz A4 = 1×0,5= 0,5 m2 i X = a/c=0,5/1=0,5; Y = b/c = 1/1= 1, pa je koristeći

jed.(22a)

090,011

5,0tan11

15,01

1tan5,01

5,021

2

1-

22

1-

22d 1=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++

++=− πAe

određivanje vrijednosti 51d AAe − , uz A5 = 1×0,5= 0,5 m2 i X = a/c=1/1=1; Y = b/c = 0,5/1= 1, pa je koristeći

jed.(22a)

099,05,01

1tan5,01

5,05,01

5,0tan11

121

2

1-

22

1-

25d 1=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++

++=− πAe

određivanje vrijednosti 61d AAe − , uz A6 = 0,5×0,5= 0,25 m2 i X = a/c=0,5/1=0,5; Y = b/c = 0,5/1= 0,5, pa je

koristeći jed.(22a)

25,15,0tan

25,15,0

212

5,015,0tan

5,015,0

5,015,0tan

5,015,0

21 1

2

1-

22

1-

26d 1

−− =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++

++=

ππAe

090,06d 1=−Ae

Uvrštavajući ove dobivene vrijednosti u jed.(a) dobiva se traženi iznos vidnog faktora 040,0090,0099,0090,0139,0

6151413121 ddddd =+−−=+−−= −−−−− AAAAAAAAAA eeeee

- slučaj A2 = 0,25⋅0,25 = 0,0625 m2. Veličina ;139,0

31d =−AAe ostaje isti kao u prethodnom slučaju - određivanje vrijednosti

41d AAe − , uz A4 = 1×0,75= 75 m2 i X = a/c=0,75/1=0,75; Y = b/c = 1/1= 1, pa je koristeći jed.(22a)

119,011

75,0tan11

175,01

1tan0,751

,75021

2

1-

22

1-

24d 1=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++

=− πAe

14

- određivanje vrijednosti 51d AAe − , uz A5 = 1×0,75= 1,75 m2 i X = a/c=1/1=1; Y = b/c = 0,75/1=0,75, pa je

koristeći jed.(22a)

119,075,01

1tan75,01

75,011

75,0tan11

121

2

1-

22

1-

25d 1=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++

++=− πAe

- određivanje vrijednosti 61d AAe − , uz A6 = 0,75×0,75= 0,5625 m2 i X = a/c=0,75/1=0,75; Y = b/c = 0,75/1=0,75,

pa je koristeći jed.(22a)

103,075,01

75,0tan75,01

75,075,01

75,0tan75,01

75,021

2

1-

22

1-

26d 1=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++

++=− πAe

Uvrštavajući ove dobivene vrijednosti u jed.(a) dobiva se traženi iznos vidnog faktora 003,0103,0119,0119,0139,0

6151413121 ddddd =+−−=+−−= −−−−− AAAAAAAAAA eeeee 1.5 Metoda stringova Promotrimo jednu zatvorenu strukturu, slika 8, koja se sastoji od četiri površine, koje su vrlo duge u smjeru okomitom na ravninu slike. Površine mogu biti ravne, konveksne i konkavne.

A B

CD L2

L1 L4L3

L5 L6

A1 A3

Slika 8. Određivanje vidnog faktora između površina A1 i A2 jedne dugačke šupljine

Pretpostavimo da želimo naći vidni faktor e13 između površina A1 i A3. Pretpostavljamo imaginarne stringove, a koji su prikazani isprekidanim linijama na slici 8. Te linije čvrsto povezuju četiri kuta A, B, C i D šupljine. Neka su Li (i= 1, 2, 3, 4, 5, 6) ovih stringova koji povezuju kutove, kao što je ilustrirano na slici 8. Hottel je pokazao da se u tom slučaju vidni faktor e13 može izraziti na sljedeći način

( ) ( )

24265

131LLLL

eL+−+

= (23)

Ovdje treba notirati da član 65 LL + predstavlja sumu duljina stringova koji presijecaju šupljinu dok suma 42 LL + predstavlja sumu duljina koje ne presijecaju šupljinu. Jednadžba

15

(8) je upotrebljiva za određivanje vidnog faktora između površina dugačke šupljine, kao što su žljebovi, koji se mogu okarakterizirati kao dvodimenzijske geometrije, kao što je to prikazano na slici 8. Primjer 2. Jedna beskonačno duga polu cilindrična površina A1 radijusa R i jedna beskonačno duga ravna ploča A3 polu širine c je postavljena na razmaku d , kao što je to prikazano na slici 9. Potrebno je odrediti vidni faktor e13 između površina A1 i A3 za vrijednosti R = 5 cm, c = 10 cm i d = 8 cm. Rješenje. Crtkane linije na slici 9 prikazuju zamišljene (imaginarne) stringove nacrtane između četiri čvora promatrane geometrije. Vidni faktor e13 između površina A1 i A3 je dan jed.(23).

( ) ( )

24265

131LLLL

eL+−+

=

c c

R

A1

L4 L2

L1

L3

L6 L5

A3

d

Slika 9. Uz rješenje vidnih faktora uz 2. zadatak Zbog simetrije je L5 = L6 i L2 = L4 pa je

( )

1

46

1

4613 2

2L

LLL

LLe

−=

−⋅=

Za geometriju ovoga primjera slijedi da je

( )[ ]21224 dRcL +−=

( )[ ]21226 dRcL ++=

RL 21 =

16

Supstituirajući ove rezultate u jednadžbu za e13 slijedi

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 757,0

1085108510

2

21

2221

2221

2221

22

13 =+−−++

=+−−++

=R

dRcdRce

2. MREŽNA (NETWORK) METODA ZA ZRAČENJEM IZMIJENJENI TOPLINSKI TOK UNUTAR JEDNE ZATVORENE STRUKTURE

Analiza izmijenjenog toplinskog toka zračenjem između površina zatvorene strukture je izrazito komplicirana, ako se radi o činjenici da površine nisu crne, jer se u tom slučaju svjetloća površine odašilje i reflektira između površina nekoliko puta, pri čemu dolazi do parcijalne apsorpcije pri svakoj refleksiji. Prema tome odgovarajuća analiza mora uzeti u obzir upravo te efekte višestrukih refleksija. Da bi se pojednostavilo tu analizu, pretpostavljamo da se zadanu strukturu može podijeliti unutar nekoliko zona, kako to prikazuje slika 10a,b,

Ai , Tsi , εi , (ri) , ai

Ai , Tsi , εi , (ri) , ai

Gi

qiKi

Slika 10. (a) zatvoreni lik ispunjen s transparentnim medijem ; (b) energijska bilanca i zone

na takav način da svaka od zona i = 1, 2, ….., N zadovoljava sljedeće uvjete:

1. Radijacijska svojstva (tj., refleksijski, emisijski i apsorpcijski faktori) su konstantni i neovisni o smjeru i frekvenciju zračenja.

2. Površine su kako difuzni emiteri tako i difuzni reflektori. 3. Gustoća toplinskog toka koji zračenjem napušta promatranu površinu je jednolika nad

cijelom površinom svake zone. 4. Jednolika je svjetloća površine (iradijacija) u svakoj zoni. 5. Površine su nepropusne za zračenje (pa vrijedi da je a + r = 1). 6. Iznad svake površine svake zone je propisana ili jednolika temperatura ili jednolika

gustoća toplinskog toka. 7. Šupljina je ispunjena plinom koji ne apsorbira zračenje, nego ga u potpunosti

propušta. Pretpostavke 3 i 4 nisu generalno korektne, ali bi bez njih analiza bila izrazito komplicirana. Jedan od ciljeva ove analize je odrediti izmijenjeni toplinski tok zračenjem u šupljini u zonama u kojima su zadane njihove temperature. Ovdje se daje mrežna (network) metoda

17

koju je originalno uveo Oppenheim, 1956. godine. Tu je metodu relativno lako primijeniti na jednostavne probleme, kod kojih ne postoji previše površina. Nadalje ta metoda omogućuje dublju analizu fizikalnog koncepta u izmjeni zračenja između površina. Ako se uvode mnoge površine za izmjenu topline, tada ova metoda nije praktična. U takvim se slučajevima uvodi matričnu formulaciju za izmjenu topline (toplinskog toka) zračenjem.. 2.1 Otpor površine zračenju Promotrimo zonu i jedne zatvorene geometrije shodno slici 9b. Postavivši energijsku bilancu na i zonu dobiva se ( )iiii GKAΦ −= (24) gdje ,iK W/m2, označuje svjetloću površine iA , dok veličina iG označuje gustoću upadnog zračenja na površinu iA . Shodno prethodno pojašnjenoj definiciji svjetloće površine, veličinu

iK može se izraziti ( ) iiiiiiiii GEGrEK εεε −+=+= 1cc (a) pri čemu je uzeto da je r ai i i= − = −1 1 ε . Ako se u jednadžbu (24), sa svrhom eliminiranja veličine Ki , supstituira jednadžbu (a) slijedi da je gustoća toplinskog toka koja napušta zonu i jednaka ( )iiiiii GEAΦ εε −= c (25) Iz jednadžbe (a) može se izvrstiti veličinu Gi

i

iiii

EKGεε−−

=1

c (26)

Uvrštavanjem gornje jednadžbe u (25) još jedan od oblika jednadžbe za gustoću toplinskog toka

( )iii

iii KEAΦ −−

= c1 εε

(27)

Gornji se izraz može izraziti i u obliku, analognom Ohmovu zakonu

i

iii R

KE −= cΦ (28a)

gdje je

18

RAi

i

i i=

−1 εε

(28b)

Veličina Ri , 1/m2, predstavlja otpor površine zračenju. Vidi se da je dotični otpor određen veličinom i emitivnim svojstvom površine. Jednadžba (I - 28b) je analogna jednadžbama toplinskog otpora a koje su dobivene formulacijom toplinskog otpora pri analizi prijenosa topline provođenjem odnosno konvekcijom. Evidentno je iz jed.(28a) da je toplinski to s površine i povezan s uzročnim potencijalom (Eci – Ki ) površinskim otporom zračenju Ri. Ili se može reći da, shodno jed.(27) predstavlja onaj iznos toplinskog toka kojeg se mora dovesti promatranoj površini i ili od nje odvesti pa da bi joj temperatura ostala konstantna. Jednadžba (I - 28a) kaže da je ukupni toplinski tok zračenjem jednak kvocijentu razlike potencijala ( )ii KE −c i nametnutog otpora površine zračenju ( ) ( )1− ε εi i iA/ . Jednadžbu (28b) zorno interpretira slika 11.

Slika 11. Uz pojašnjenje otpora površine zračenju Ako je površina i crna, tada je ε i = 1, pa je prema jednadžbi (28b) otpor površine zračenju Ri = 0, pa iz jednadžbe (28a) proizlazi da je 4

iii TEK sc σ== (29) 2.2 Toplinski tok zračenjem između površina zatvorene strukture Da bi koristili jed.(27) mora biti poznata svjetloća površine Ki. Stoga je za njezino određivanje potrebno razmatrati izmjenu zračenja između površina zatvorene strukture (šupljine). Ukupno zračenje s površine i može se razviti iz svjetloća površina svih površina šupljine. Uzimajući u obzir definiciju vidnog faktora, slijedi da je ukupno zračenje koje dolazi na površinu i od svih površina, uključujući i površinu i, jednako

∑=

=N

jjjjiii KAeGA

1

odnosno iz uvjeta reciprociteta, jed.(10), može se pisati sljedeću jednadžbu

Imaginarna ravnina

ii

ii A

Rεε−

=1

Stvarna površina

Eci

19

∑=

=N

jjiijii KAeGA

1

Uvrstivši gornju jednadžbu u jed.(24) dobiva se

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑

=

N

jjijiii KeKAΦ

1

odnosno iz uvjeta sumiranja jed(11) dobiva se

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑∑

==

N

jjij

N

jiijii KeKeAΦ

11

a odavde slijedi

( ) ∑∑==

=−=N

jij

N

jjiijii ΦKKeAΦ

11 (30)

Ovaj rezultat kaže da je neto zračenjem izmijenjeni toplinski tok s površine i, Φi jednak sumi komponenata Φij koje dotična površina izmijeni s drugim površinama. Svaku se komponentu može prezentirati mrežnim elementom kod kojeg veličina (Ki – Kj) predstavlja ''pogonski'' potencijal a veličina (Aieij)-1 predstavlja prostorni ili geometrijski otpor. Kombinirajući jed.(28a,b) i (30) , dobiva se

( )

∑=

−=

−− N

j

iji

ji

ii

i

ii

eA

KK

A

KE1

c

11εε

(31)

Kao što je prikazano na slici 12, izraz (31) predstavlja balans zračenja svjetloće površine čvora i koji je povezan s površinom i. Tok zračenja k površini i kroz njezin otpor, mora biti jednak tokovima zračenja od površine i prema svim ostalim površinama odgovarajućih geometrijskih otpora.

Φi1

(A 1e i1)-1

K1

(Aiei(N-1) KN-1Φi(N-1)

(Ai eiN ) -1KN

ΦiN

Ki

(1-εi)/(Aiεi)

Eci

Φi

Cvor koji odgovarapovršini i

Slika 12. Mrežna prezentacija izmjene zračenja između površine i i ostalih površina zatvorene strukture

(šupljine)

20

Treba naglasiti da je jednadžba (31) primjenljiva samo ako su poznate temperature površina šupljine a time su poznate i vrijednosti Eci. Iako je ova situacija tipična , ne primjenjuje se uvijek. U mnogim je slučajevima poznat toplinski tok na površini i, umjesto njezine temperature Tsi. U tom slučaju jed.(30) može preinačiti na oblik

( )

∑=

−=

N

j

iji

jii

eA

KKΦ

1 1 (32)

2.2.1 Izmjena toplinskog toka zračenjem između dviju površina zatvorene strukture Definirajući pojam otpora površine zračenju, može se nadalje vrlo jednostavno odrediti toplinski tok zračenjem između dviju površina koje čine jednu zatvorenu strukturu, kako to općenito prikazuje slika 13.

Slika 13. Struktura zatvorena s dvije površine

Tipični primjeri takvih fizikalnih situacija obuhvaćaju model bliskih stijenki i model obuhvaćenog tijela. Stjenka 1 ima površinu A1 , emisijski faktor ε1 i konstantnu temperaturu

s1T , dok stjenka 2 ima površinu A2 , emisijski faktor ε2 i konstantnu temperaturu s2T . Dakako, obje su stjenke adijatermne, a prostor između stijenki može biti zrakoprazan ili ispunjen za zračenje prozračnim medijem. Ako je s2s1 TT ≠ tada između tih dviju stijenki postoji toplinski tok zračenjem. Za prikazani model izraz za toplinski tok zračenjem, shodno jed.(31), poprima oblik

( )

1221

c1 11

ΦΦ

eA

KK

A

KEΦ

N

j

iji

ji

ii

i

ii =−=−

=−−

= ∑=

εε

(a)

pri čemu 21, KK označuju svjetloće površina, koje su ujedno i nepoznanice dok veličine

2112 , ee označuju pripadajuće vidne faktore

Zona 1

Ts1

ε1A1

Zona 2Ts2; ε2; A2

21

Postavljajući jed.(a) za čvorove 1 i 2, vidi sliku 14, dobiva se sljedeći sustav jednadžbi

12

121

21

11

1

1c1

11Φ

eA

KK

A

KE=

−=

−−

εε

(b)

12

212

12

12

2

2c2

11Φ

eA

KK

A

KE=

−=

−−

εε

(c)

Sustav jednadžbi (b) i (c) predstavlja sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice, K1 i K2. Taj se sustav jednadžbi razriješi uobičajenim načinom, te se u konačnici dobiva izraz za izmijenjeni toplinski tok zračenjem između ovih dviju bliskih stijenki

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )222121111

44

12 /1/1/1 εεεεσΦ

AeAATT

−++−−

= s2s1 (33)

Jednadžba (33) pokazuje da se sveukupni toplinski otpor zračenju sastoji od tri pribrojnika, tako da se jed.(33) može napisati i u obliku

2121

12 RRREE++

−= c2c1Φ (34)

U kojoj ( ) ( )1111 1 εε AR −= predstavlja, shodno jed.(28b), otpor zračenju površine 1, nadalje veličina )(1 12112 eAR = predstavlja, shodno jed.(31) tzv.prostorni ili geometrijski otpor dok pribrojnik ( ) ( )2221 1 εε AR −= otpor zračenju površine 2. Jednadžbu (33) odnosno jed.(34) zorno prikazuje slika 14.

Slika 14 Toplinski tok i nametnuti otpori zračenju kod zatvorene strukture s dvije stjenke Jednadžba (34) odnosno pripadajuća njezina slikovita interpretacija, slika 14, pokazuju da toplinski tok za prikazanu zatvorenu strukturu s dvije stjenke, slijedi analogiju Ohmova zakona, s time da brojnik desne strane jednadžbe (34) označuje razliku potencijala, a koja korespondira razlici vlastitih emisija crnih tijela za zadane temperature stijenki, dok nazivnik

Ec1

11

11

1εε

AR −

=121

121eA

R =22

22

1εε

AR −

=

K1 K2 Ec2

Φ12

22

sadrži međusobno tri serijski spojena otpora; dva otpora površina zračenju, ( )21 , RR , i jedan otpor uvjetovan geometrijom samih površina i njihovim međusobnim razmakom R12 . Ako bi se radilo o prijenosu toplinskog toka kod već pokazanog modela bliskih stijenki, kod kojih je A A A1 2= = , te za koje je vidni faktor e12 1= , tada jednadžba (33) prijelazi u oblik

( )

111

21

4s2

4s1

12

−+

−=Φ

εε

σ TTA (35)

Dakako da jednadžba (33) opisuje i toplinski tok kod modela obuhvaćenog tijela. Za taj slučaj je vidni faktor e12 1= , pa se jednadžbu (33), stavljajući da je e A A21 1 2= =ω / ,

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−

−=

−++

−=

1111111-1

22

1

1

4s2

4s11

22

2

111

1

4s2

4s1

12

εε

σ

εε

εεσ

AA

TTA

AAA

TTΦ

lako transformira na pokazani oblik jednadžbe

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−=

111

21

4s2

4s1

112

εω

ε

σ TTAΦ (36)

Mrežnom metodom se također vrlo jednostavno rješava i problem prijenosa toplinskog toka zračenjem između stijenki s umetnutim tankostijenim zaslonom. Za geometrijsku strukturu prikazanu slikom 15, uz koju je prikazana i ekvivalentna mreža, shodno prethodnoj analizi, toplinski tok se može izraziti sljedećom jednadžbom

1Stijenka Zaslon 2Stijenka

A1Ts1

ε1

A2Ts2

ε2

Ec1

11

11εε

A−

K1

11

1′eA

K′ 1

1´

2´1εε

A′−

E′c

2´

2´1εε

A′−

K′ 2

2´

1eA′

K2

22

21εε

A−

Ec2

Φ12

δ′ <<

T′ε′ 1A′

T′ε′ 2A′

23

Slika 15. Uz mrežnu analizu prijenosa toplinskog toka zračenjem za model umetnutog tankostijenog zaslona

( )

2

2

2´2´

2´

1

1

111

1

4s2

4s1

12 111111εε

εε

εε

εε

σ−

+′

+−

+−

++−

−=

eAeA

TTΦ (37)

Iz jednadžbe (37) odnosno mrežnog prikaza je vidljivo da je u ovom slučaju raspoloživoj razlici potencijala ( )c2c1 EE − , nametnuto šest serijski spojenih otpora; četiri otpora površina zračenju i dva otpora uvjetovana geometrijama stijenki i zaslona. Ako bi se radilo o prijenosu topline zračenjem za slučaj bliskih stijenki s umetnutim tankostijenim zaslonom, gdje je AAAA =′== 21 , tada je 12´1 == ee , i dodatno da je

εεε ′== 2´1´ , tada jednadžba (37) poprima

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

′+−+

−=

12111

21

4s2

4s1

12

εεε

σ TTAΦ (38)

Za slučaj da se radi o problemu toplinskog toka zračenjem kod modela obuhvaćenog tijela s umetnutom tankostjenom međustjenkom, gdje su ispunjeni dodatni uvjeti εεε ′== 2´1´ ,

2´1 ee =′ , tada jednadžba (37) poprima sljedeći oblik

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

′′+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−=

12111 1

22

1

1

4s2

4s11

12

εεε

σ

AA

AA

TTAΦ (38)

Mrežnom ‘’network’’ metodom pokazani su načini rješavanja relativno jednostavnih slučajeva toplinskog toka zračenjem. Ti se modeli u osnovi svode na strukture zatvorene s dvije stjenke (plohe). Dakako da se mrežnom metodom mogu zgodno rješavati i složeniji slučajevi, kao što su recimo modeli zatvorenih struktura s tri ili više stijenki. Takvi slučajevi u mrežnom prikazu osim serijski imaju i paralelno spojene otpore koji su vezani na geometriju površina. Sam matematički model obično se, za takve slučajeve, zapisuje matrično, što se kasnije i pokazuje. 2.2.2 Izmjena toplinskog toka zračenjem između triju površina zatvorene strukture Prikazana mrežna metoda na dvije zone može se generalizirati na tri ili više zona. No ipak ako se radi o problemu s više zona preferira se izravno matričnu metodu a što će zahtijevati uvođenje računala za rješenje problema. Zbog toga se ovdje ograničujemo na slučaj s tri zone. Naravno i ovdje vrijede dobivene jednadžbe (31) i (32) za bilo koje dvije zone

ij

jiij R

KK −=Φ (39a)

24

jijiji

ij eAeAR 11

== (39b)

pa je ukupni toplinski koji napušta zonu i slijedi iz jed.(28a)

i

iii R

KE −= cΦ (40a)

gdje je

RAi

i

i i=

−1 εε

(40b)

Rezultati dobiveni jed.(39a,b) i (40a,b) mogu se primijeniti na trozonsku konfiguraciju, slika 15a, a pripadajuća mrežna metoda je prikazana slikom 16b.

A1,Ts1,ε1

A3,Ts3,ε3

A2,Ts2,ε3

Slika 16a. Zatvorena struktura sa tri zone

Shemu pripadajućih toplinskih otpora gornje strukture prikazuje slika 16b.

R12=1/(A1e12)

Ec1

K1 K2

R2=(1-ε2)/(A2ε2)

Ec2

K3

Φ2Φ1

R13=1/(A1e13)

R23=1/(A2e23)

R1=(1-ε1)/(A1ε1)

(1-ε3)/(A3ε3)

Ec3

Φ3 Slika 16b. Prikaz toplinskih otpora trozonske zatvorene strukture

Postavljajući jed.(31) za čvorove koji su označeni sa K1, K2 i K3 dobiva e sljedeći sustav jednadžbi:

25

131

31

121

21

11

1

1c11 111

eA

KK

eA

KK

A

KEΦ

−+

−=

−−

=

εε

(41a)

232

32

212

12

22

2

2c22 111

eA

KK

eA

KK

A

KEΦ

−+

−=

−−

=

εε

(41b)

323

23

133

13

33

3

3c33 111

eA

KK

eA

KK

A

KEΦ

−+

−=

−−

=

εε

(41c)

Za poznate temperature stijenki gornji sustav predstavlja sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice, u kojima su nepoznanice svjetloće površina K1, K2 i K3. Razrješenjem tog sustava i vračanjem na polazne jednadžbe, lako se dolazi do vrijednosti toplinskih tokova na promatranim površinama, odnosno koristeći jed.(39a) i (39b) lako se dolazi do traženih toplinskih tokova između pojedinih površina. Naravno rješenje tog sustava u općim brojevima bilo bi dosta komplicirano ali i nezgrapno, pa se razvoj rješenja gornjeg sustava jednadžbi dalje niti ne navodi. Rješenja će biti pokazana s posebnim vrijednostima u nekim primjerima. 2.2.2.1 Aadijabatska zona Postoje mnoge inženjerske primjene kod kojih je pojedina zona toplinski izolirana. U takvom je slučaju neto gustoća toplinskog toka jednaka nuli, jer dotična površina emitira toliko energije koliko zračenjem primi od preostalih zona. Takvu se zonu naziva adijabatskom. Slika 16c prikazuje trozonsku strukturu kod koje zone 1 i 2 imaju pripisane temperature Ts1 i Ts2, dok je treća zona adijabatska pa za nju vrijedi 03 =Φ (42a) a shodno jed.(42a) je 3c3 KE = (42b) Ovaj uvjet implicira činjenicu da se, za poznati K3 temperatura Ts3 dotične adijabatske zone, može se odrediti. U jednoj zatvorenoj strukturi ravnotežna temperatura adijabatske površine je određena toplinskom interakcijom s ostalim površinama, i neovisna je o njezinim emitivnim svojstvima.

26

A1,Ts1,ε1

A2,Ts2,ε3

Adijabatskazona

Φ3=0

Slika 16c. Trozonska struktura s jednom adijabatskom zonom

Pripadajuće toplinske otpore gornje trozonske strukture prikazuje slika 16 d.

R12=1/(A1e12)

Ec1

K1 K2

R2=(1-ε2)/(A2ε2)

Ec2

K3=Ec3

Φ2Φ1

R13=1/(A1e13)

R23=1/(A2e23)

R1=(1-ε1)/(A1ε1)

Slika 16d.Pripadajući toplinski otpore trozonske strukture s jednom adijabatskom zonom

Ako se postavi jed.(31) za model dan slikom 16c, odnosno dan mrežnom strukturom 16d, slijedi sustav jednadžbi:

131

31

121

21

11

1

1c11 111

eA

KK

eA

KK

A

KEΦ

−+

−=

−−

=

εε

(43a)

232

32

212

12

22

2

2c22 111

eA

KK

eA

KK

A

KEΦ

−+

−=

−−

=

εε

(43b)

011

323

23

313

13 =−

+−

eA

KK

eA

KK (43c)

Jednadžba (43c) postavljena je za adijabatsku površinu 3 i iz te se jednadžbe dobiva svjetloća površine 3, K3:

3231

232131

323313

232313133 ee

KeKeeAeA

KeAKeAK

++

=++

= (43d)

27

Uvrštavanjem jed.(43d) u jed.(43a) i (43b) dobiva se sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice K1 i K2. Rješenjem tog sustava dobiva se izraz za tražene toplinske tokove Φ1 odnosno Φ2

( )

( ) ( ) 22

2

1

232131121

11

1

4s2

4s1

211

/1/111

εε

εε

σ

AeAeAeA

A

TTΦΦ

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++−

−=−= − (44)

što znači da su u ovom slučaju iznosi toplinskih tokova Φ1 i Φ2 međusobno jednaki ali su suprotnog predznaka, a ukupni otpor zračenju u ovom slučaju je određen sljedećim izrazom

2

1

2313121

11 RRRR

RR +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++=−

( ) ( ) 22

2

1

232131121

11

1 1/1/1

11εε

εε

AeAeAeA

A−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++−

=−

(45)

što znači da u promatranom slučaju postoje dva serijska otpora i to su otpori površina R1 i R2, dok je geometrijski otpor površina dobiven iz uvjeta paralelno spojenih otpora. 2.3 Matrični prikaza izmjene toplinskog toka zračenjem u jednoj zatvorenoj strukturi Prikazana mrežna metoda je lako primjenljiva za opis izmjene zračenja i jednoj jednostavnoj zatvorenoj strukturi. No ukoliko se broj zona povećava, tada rješenje postaje bitno kompliciranije, pa prikazana metoda postaje nepraktična. Za takve je slučajeve zgodniji izravni i jednostavni pristup kojim se problem transformira u rješavanje matrične algebarske jednadžbe, naravno uz istovremeno korištenje računala. Naravno u tom problemu moraju biti poznate svjetloće površina svih zona, pa se tada može odrediti neto izmijenjeni toplinski tok ili površinske temperature svi N zona. Slika 17. prikazuje jednu zatvorenu strukturu koja je podijeljena u N zona, od kojih svaka ima površinu Ai, i = 1, 2, 3,….,N. Neka su pri tome ai, εI , ri i Tsi, apsorpcijski, emisijski, refleksijski faktori kao i pripadajuće temperature pojedine zone Ai. Pretpostavke koje su uvedene kod mrežne metode vrijede i ovdje. i ovdje se uvode pretpostavke sivog tijela, ai, = εi, a budući su površine nepropusne za zračenje vrijedi da je 1 -ai, = ri =1 - εi. Kao što smo definirali ranije i ovdje vrijede sljedeći pojmovi:

28

Gi

qi

Ki

Kji

j

ZonaZona

Ai, Tsi, εi, ri Aj, Tsj, εj, rj

Slika 17. N – zonska zatvorena struktura Za ovaj općeniti slučaj zgodno je računati sa gustoćama toplinskih tokova odnosno s gustoćama svjetloća površina, pa se jed.(31) i (32) lako preinačuju u sljedeće oblike

NieKK

EN

jijj

i

i

i

ii ....., 2, 1,

11

c =−

−= ∑=ε

εε

(46)

NieKKqN

jijjii ....., 2, 1,

1=−= ∑

=

(47)

Eliminiranjem člana sumiranja između ovih dviju jednadžbi, može se odrediti jednostavniji izraz za qi

( )iii

ii KEq −

−= c1 ε

ε (48)

Jednadžbe (46) i (47) omogućuju dobivanje fundamentalnih relacija za određivanja sustava od N algebarski jednadžbi, iz kojih se određuju N nepoznatih svjetloća površina Kj, j = 1, 2, ….,N. Nakon što te svjetloće budu poznate, tada se neto gustoća toplinskog toka qi se tada za svaku zonu i računa ili iz jed.(47) ili iz jed.(48). Sada ispitajmo aplikaciju jed.(46) i (47) za rješenje izmjene zračenja za svaku od N – zona zatvorene strukture. Od partikularnog interesa su dva slučaja:

1. Propisane su temperature za svaku od N zona. 2. Propisane su temperature samo za neke zone, dok je za preostale zone propisan neto

izmijenjena gustoća zračenja. Svaki od navedena slučajeva promotrimo pojedinačno.

29

2.3.1 Propisana je temperatura za svaku zonu Analizirajmo jednu N – zonsku zatvorenu strukturu s propisanim svim površinskim temperaturama Tsi ( i = 1, 2, …..,N). Također su poznati emisijski εi, vidni faktori eij i iznosi samih površina, Ai. Potrebno je odrediti radijacijske neto gustoće toplinskih tokova qi za svaku zonu. Za rješenje ovog problema polazi se od jed.(46), pa je

NieKK

EN

jijj

i

i

i

ii ....., 2, 1,

11

c =−

−= ∑=ε

εε

(49)

u kojoj je 4

sc ii TE σ= , budući da su propisane temperature Tsi. U tom slučaj sustav (49) daje N simultanih algebarskih jednadžbi u kojim su nepoznate svjetloće površina Ki, i = 1, 2, …..,N. Nakon što se iz tog sustava odredi Ki, moguće je dalje odrediti qi za svaku zonu, korištenjem bilo jed.(47) bilo jed.(48). Zbog pogodnosti u računu poželjno je jed.(49) napisati u matričnom obliku [ ] SKM = (50) pri čemu je [ ]M matrica koeficijenata N × N, koja je definirana kao

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

...... ......................................

....... .......

321

2232221

1131211

NNNNN

N

N

mmmm

mmmmmmmm

M (51a)

pri čemu su njezini koeficijenti mij zadani sa

( )

i

ijiijij

em

εεδ −−

=1

(51b)

gdje je δij kronecker delta, definiran kao

⎩⎨⎧

≠=

=jiji

ij za 0 za 1

δ (51c)

Vektor svjetloće površine K i ulazni površinski vektor [ ]S su definirani kao

30

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

4s

4s2

4s1

c

2c

1c

2

1

.

... i

.

.

NNN T

T

T

E

EE

S

K

KK

K

σ

σ

σ

(52a,b)

Za ovaj partikularni slučaj vektor S sadrži samo površinske temperature, jer i promatramo zatvorenu strukturu za koju i jesu propisane te površinske temperature. Rješenje matrične jednadžbe (50) po nepoznatim svjetloćama može se riješiti standardnim računarskim subrutinama, koje se svode na rješenje sustava od N algebarskih jednadžbi s N nepoznanica. Za sustav s više jednadžbi može se provesti metodu Gaussove eliminacije. Matrična inverzna metoda, koja je jako dobro računarski podržavana također se može koristiti za rješavanje ovog sustava algebarskih jednadžbi. Pretpostavimo da se upravo i koristi matričnu inverznu metodu. Tada se rješenje sustava (50) formalno može napisati u obliku [ ] SMK 1−= (53) pri čemu je [ ] 1−M inverzna matrica matrice koeficijenata [ ]M . Računalo računa [ ] 1−M za zadani [ ]M i sprema je. Standardne subrutine za inverziju matrica danas postoji praktički u svim računarskim instalacijama. Nakon što su određene svjetloće Ki ,tada se prilazi rješavanju neto gustoća toplinskih tokova zračenjem, koristeći bilo jed.(47) bilo jed.(48), za svaku zonu i za koju je propisana temperatura.

NieKKqN

jijjii ....., 2, 1,

1=−= ∑

=

(54)

NieKK

EN

jijj

i

i

i

ii ....., 2, 1,

11

c =−

−= ∑=ε

εε

(55)

Osnovni koraci za rješenje problema svjetloća površina zatvorene strukture matričnom metodom, kada su propisane temperature svih zona mogu se sažeti kako slijedi:

1. Napravi se matričnu jednadžbu za svjetloće površina koristeći sustav (55) 2. Razviju se svi postojeći vidni faktori eij i pripadajuća vlastita emitirana zračenja crnog

tijela 4sc ii TE σ= i specificira se emisijski faktor svake zone zatvorene strukture.

3. S informacijama dobivenim u točki 2. rješava se matrična jednadžba po svjetloćama površina i odredi se svjetloća površine Ki svih zona.

4. Nakon toga se koristeći jed.(47) ili (48) odredi neto toplinski fluks zračenjem qi za svaku zonu.

31

2.3.2 Propisane temperature za jedne zone i gustoće toplinskih tokova za druge zone U mnogim praktičnim primjenama postoje slučajevi propisanih temperature pojedinih zona dok su na ostalim zonama propisane neto gustoće toplinskih tokova. Za takve je slučajeve potrebno odrediti neto gustoće toplinskih tokova zračenjem za površine s propisanim temperaturama, odnosno odrediti temperature onih zona (površina) na kojima su propisane gustoće toplinskih tokova. Problem se može riješiti korištenjem jednadžbi (46) i (47) na sljedeći način. Pretpostavimo i ovdje dakako N – zonsku zatvorenu strukturu.

1. Propisane su temperature Tsi za zone i = 1, 2, 3,…….,k 2. Propisane su neto gustoće toplinskih tokova qi na preostalim zonama i = k + 1, k

+2,….,N Potrebno nam je N jednadžbi da bi odredili N nepoznatih svjetloća površina Ki,

Ni ....., 2, 1, = . Ove se jednadžbe dobiju iz jed.(46) i (47) sljedećim razmatranjem. Za zone ki ....., 2, 1, = s propisanim površinskim temperaturama Tsi koristimo jed.(55), pa je

kieKK

EN

jijj

i

i

i

ii ....., 2, 1,

11

c =−

−= ∑=ε

εε

(56)

dok za zone Nkki ,..........,2 ,1 ++= s propisanim gustoćama toplinskih tokova, koristimo jed.(56), pa je

1∑=

−=N

jijjii eKKq Nkki ,......,2,1 ++= (57)

Jednadžbe (56) i (57) predstavljaju sustav od N simultanih algebarskih jednadžbi s N nepoznatih svjetloća površina Ki, i = 1, 2, ……….,N. Poželjno je sustav jednadžbi (56) i (57) izraziti u matričnom obliku kao [ ] SKM = (58) pri čemu je [ ]M matrica koeficijenata N × N, koja je definirana kao

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

...... ......................................

....... .......

321

2232221

1131211

NNNNN

N

N

mmmm

mmmmmmmm

M (59a)

pri čemu su njezini koeficijenti mij zadani sa

( )

kie

mi

ijiijij 2,......., 1, za

1=

−−=

εεδ

(59b)

32

Nkkiem ijijij ,,.........2 ,1 za ++=−= δ (59c) gdje je δij kronecker delta, definiran kao

⎩⎨⎧

≠=

=jiji

ij za 0 za 1

δ (59d)

Vektor svjetloće površine K i ulazni površinski vektor [ ]S su definirani kao

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

= ++

N

k

N

k

N q

qT

T

q

qEE

S

K

KK

K

.

...

i

.

.1

4s2

4s1

1

2c

1c

2

1

σ

σ

(60e,f)

Potrebno je naglasiti da vektor stupac ulaznih podataka koji sadrži propisane temperature i propisane gustoće toplinskih tokova. Slično elementi mij matrice koeficijenata, koji su odgovarajući za propisane temperature za i = 1, 2,…..k i odgovarajuće vrijednosti za propisane gustoće toplinskih tokova za i = k+1, k+2,…….,N. Nakon određivanja svjetloća površina Ki odredi se zračenjem izmijenjena gustoća toplinskog toka koristeći jed.(57) ili (48)

1∑=

−=N

jijjii eKKq (61a)

( )iii

ii KEq −

−= c1 ε

ε (61b)

i koje vrijede za i = 1, 2,…..k. Temperature Tsi zona za koje su propisane gustoće toplinskih tokova određuje se iz jed.(48) i (56)

1

1

4s ∑

=

−−=

N

jijj

i

i

i

ii eK

KT

εε

εσ (62a)

ili

ii

iii qKT

εε

σ−

+=14

s (62b)

i te jednažbe vrijede za i = k+1, k+2,…….,N.

33

Za adijabatsku površinu i neto gustoća toplinskog toka je jednaka nuli, pa za tu površinu, iz jed.(63a), proizlazi da je ii KT =4

sσ (63)

3. Kombinirani istovremeni prijenos topline Dosadašnja su razmatranja obuhvaćala samo prijenos topline zračenjem u nekoj zatvorenoj strukturi, dakle bili su zanemareni prijenos topline konvekcijom odnosno prijenos topline kondukcijom. Ipak u mnogim aplikacijama intenziteti prijenosa topline kondukcijom i konvekcijom su sumjerljivi sa zračenjem, pa ih tada svakako tijekom analize treba uzeti u obzir. Stoga promotrimo opće površinske uvjete na slici 22a.

Φi,dov

Φi,zrΦi,kon

Φi,prov

Zatvorenastruktura

i- ta površina

Ki

Φi,zr

Φi,dov Φi,kon

Φi,prov

Eci

a) b)

)/()1( iiAi εε−

Slika 18. Kombinirani istovremeni prijenos topline u jednoj zatvorenoj strukturi

Pored postojanja izmjene energije zračenjem između površine i i ostalih površina zatvorene strukture, može biti i neki vanjski toplinski dodatak, kao npr. zagrijavanje površine električnim grijačem, ali isto tako može istovremeno postojati prijenos topline konvekcijom i provođenjem, pa iz energijske bilance na promatranu površinu i slijedi jednakost prov,konv,zr,dov, iiii ΦΦΦΦ ++= (64) pri čemu se zračenjem izmijenjeni toplinski tok zr,iΦ s površine i odredi standardnom procedurom za zatvorenu strukturu. Općenito se taj toplinski tok može odrediti pomoću jed.(31) i (32), a ako bi se radilo o specijalnim slučajevima zatvorene strukture sa dvije i tri površine odnosno strukture s tri površine s jednom adijabatskom površinom, tada se mogu koristiti jed.(35) i (44). Slika 18b prikazuje dolazne i odlazne toplinske tokove na promatranoj površini i. Tu treba naglasiti da, dok su konvektivni i kondukcijski prijenos topline proporcionalni linearno s razlikom temperatura, dotle je prijenos topline zračenjem proporcionalan razlici četvrtih potencija temperatura. Ovakvi složeni uvjeti se simplificiraju, ako se površina s druge strane izolira, pa je u tom slučaju prov,iΦ =0. I više od toga, ukoliko nema vanjskog zagrijavanja i ako se zanemari konekciju, tada se promatranu površinu može smatrati adijabatskom.

34

4. Selektivno zračenje plinova 4.1 Volumenska apsorpcija Prethodna analiza zračenja između dviju ili više površina bila je bazirana na pretpostavci da je medij koji se nalazio između ovih površina bio u potpunosti prozračan (transparentan), te da uopće nije imao nikakav utjecaj na prijenos topline. Za takav je slučaj najbolje da se između tih površina nalazi vakuum, ili jednoatomne ili simetrične dvoatomne plinske molekule. Primjeri takvih plinova se zrak (O2, N2), H2, Ne, Ar i Xe. Model neparticipirajućeg medija nije odgovarajući, ako medij apsorbira i raspršuje zračenje koje kroz njega prolazi. Primarni primjeri takvih medija su asimetrične molekule snažno polarizirajućih molekule plinova, kao što su H2O, CO2, NH3, O3, SO2 NO, ugljikovodici i alkohol. Plinovi tog tipa se nazivaju participirajući mediji, budući da u svakoj točki njihovog volumena oni apsorbiraju i raspršuju incidentno zračenje, dok istovremeno i emitiraju svoje vlastito zračenje. U okviru ovog poglavlja se upravo promatra dodatna komplikacija koju se uvodi zbog postojanja participirajućeg medija. Najveća se razlika sastoji u tome, što dok se analizira prijenos topline između površina uz postojanje participirajućeg medija, analiza mora uzeti u obzir i volumensku apsorpciju, transmisiju i vlastitu emisiju zračenja. Ovaj je volumenski efekt obično povezan s monokromatskim zračenjem, koje pada unutar stvarnog pojasa, ili intervala valnih duljina. Zračenje izvan tog pojasa će proći cjelovito (nesmanjeno) kroz dotični participirajući medij: to znače da je samo za to zračenje medij neparticipirajući. Sad ćemo razviti za razumijevanje radijacijskog ponašanja participirajućeg medija, fokusirajući se na jednodimenzijski sloj debljine L, koji je prikazan na slici 19.

0

L

xx+dx

Iλ (0)

Iλ (L)

Iλ (x)

x

0

L

Iλ(L) Iλ (0)

0 1

ιλ aλ

Slika 19. Smanjenje (slabljenje) monokromatskog zračenja koje penetrira u volumensko apsorbirajući medij

U ovaj sloj penetrira zraka monokromatskog zračenja. Intenzitet ove zrake Iλ(x) lokalno slabi zbog volumenske apsorpcije unutar podsloja debljine dx. Eksperimenti su pokazali da je to lokalno slabljenje dIλ proporcionalno lokalnom intenzitetu zrake xII dd λλλ κ−= (65)

35

Ova proporcionalnost servira definiciju koeficijenta monokromatskog slabljenja κλ, koji ima mjernu jedinicu m-1. Taj je koeficijent proporcionalan koncentraciji apsorbirajućih molekula (tj., parcijalnom tlaku apsorbirajućeg plina) unutar participirajućeg medija. Integrirajući jed.(64) po sloju dobiva se sljedeći izraz )exp(-)0()( LIxI λλλ κ= (66) Ovo eksponencijsko smanjenje intenziteta zrake u sloju je poznato kao Beerov zakon. Ako je x = L, tada jed.(66) pokazuje intenzitet zračenja koje izlazu na drugoj strani promatranog sloja:

)exp(-)0()(

LI

LIλ

λ

λλ κτ == (67)

Ovaj je omjer manji od jedinice, i predstavlja monokromatsku propusnost (transmitivnost) sloja. Preostala frakcija je apsorbirana u sloju debljine L, )exp(-11 La λλλ κτ −=−= (68) budući da plinovi ne reflektiraju zračenje koje kroz njih prolazi, pa je 1=+ λλ τα . Broj

λα predstavlja monokromatsku apsorpciju medija debljine L. Na kraju ako se jednolika temperatura plina Tg bitno ne razlikuje od površinske temperature Ts koja producira intenzitet zračenja Iλ(0), može se koristiti Kirchhoffov zakon )exp(-1 La λλλ κε −== (69) gdje ελ predstavlja monokromatsku emisivnost sloja. Točne analize plinske emisije i apsorpcije moraju se računati za sve pojaseve valnih duljina što signifikantno doprinosi samom procesu prijenosa topline. U inženjerskim proračunima se umjesto spektralnih veličina koriste ukupne (totalne) veličine, a koje se određuju integriranjem jed.(67) i (69) po cijelom spektru

∫

∫∞

∞

=

0

0g

d)0(

d)(

λ

λτ

λ

λ

I

LI (70)

gg 1 τ−=a (71) gg ε≅a (ako je Tg ≅ Ts., tj. uz Kirchhoffov zakon!) (72) Ovi su koeficijenti po redu transmotivnost, apsorptivnost i emisivnost plina. Kao specijalni slučaj definira se sivi plin koji se definira kao ag = aλ, εg = ελ, i ag = εg. Sivi plin predstavlja medij u kojem su monokromatski koeficijenti τλ, αλ, ελ neovisni o valnoj

36

duljini i gdje je emisivnost plina jednaka apsorptivnosti plina bez obzira na izvor incidentnog zračenja. 4.2 Emisivnost i apsorptivnost plina Svojstva emisije i apsorpcije participirajućih plinova kvantitativno se opisuju sljedećom procedurom, a koja je razvijena od strane Hottela. Promotrimo polusferično zatvorenu strukturu, kao što je prikazano na slici 20, u kojoj mješavina plinova sadrži samo jednu participirajuću komponentu (CO2, na primjer) i jedan ili više neparticipirajućih (transparentnih) sudionika. Ta mješavina plinova ima jednoliku temperaturu Tg i ukupni tlak p, dao parcijalni tlak ugljičnog dioksida pc. Radijus polukugle plina je L.

Plinska smjesapri Tg i p

Ts, As

Radijus = L

Polukugla

Slika 20. Polukugla ispunjena plinom koji zrači prema crnoj elementarnoj površini

Mješavina plina izmjenjuje toplinsko zračenje s elementarnom crnom površinom smještenom u središte polukugle. Struja zračenja koju emitira plin i koja dolazi na površinu As je 4

gsgsg TAq σε=→ (73) gdje je εg emisijski faktor participirajućeg plina. Treba napomenuti da je sg→q jednosmjerno zračenje, i to zračenje sveukupno apsorbira površina As jedino ako je crna. Nadalje veličina

4gsg TAσε (jer je εg < 1,0) predstavlja samo dio (frakciju) od vrijednosti emitirane snage

vezane na temperaturu crnog tijela Tg. Eksperimentalna mjerenja emitiranog zračenja sg→q su korištena zajedno s εg definicijom, jed.(72), iz razloga računanja i određivanja emisijskog faktora plina εg. Za ugljični dioksid ovaj emisijski faktor je označen kao εc, i on je funkcija temperature, parcijalnog tlaka CO2 pomnoženog se promjerom volumena plina, kao i ukupnog tlaka mješavine plinova: ( )pLpTf ,, cgcc =ε (74) Funkciju fc prikazuju dijagrami na slikama 21 i 22. Kad je tlak smjese jednak 1 atm, vrijednost εc se jednostavno očita na ordinati dijagrama 21, a ako je ukupni tlak plina različit od 1 atm, tada se očitanu vrijednost εc iz dijagrama 21, treba pomnožiti s korekcijskim faktorom Cc, a kojeg se iščitava iz dijagrama 22. Općenito uzevši, funkciju fc danu jed.(74) se rekonstruira jednostavnim iščitavanjem iz ova dva dijagrama:

37

1atm c,atm1c,atm1c, ≠=≠ ×= ppp Cεε (75)

Slika 21. Emisijski faktor CO2 u mješavini s neparticipirajućim plinovima pri ukupnom tlaku mješavine 1 atm.

Duljina L je definirana slikom 2 ili u Tablicom 10.5 [1]

Slika 22. Korekcijski faktor emisijskog faktora CO2 u smjesi s neparticipirajućim plinovima, za ukupne tlakove

smjese različite od 1 atm

Dijagram na slici 21 pokazuje da emisijski faktor CO2 monotono raste s porastom produkata pcL. Taj je trend i razumljiv jer s porastom parcijalnog tlaka raste i volumen plina, tada raste i broj molekula CO2 koji pogađa metu. Isto je objašnjenje istinito za trend koji je vidljiv na slici 22, iz koje slijedi da εc također raste s porastom ukupnog tlaka p.

38

Promotrimo sada obrnutu situaciju na način da se interakcija zračenjem odvija između participirajućeg plina i površine As, i uzmimo da qs → g je gustoća toka zračenja koje emitira površina As u svim smjerovima i koja dolazi na participirajući plin (kako je površina As crna, tada je qs → g = Asσ 4

sT ). Samo je jedan duo od ove jednosmjerne struje apsorbiran od strane plina gsgα →= qaq (76) Taj je apsorbirani dio prezentiran iznosom apsorpcijskog faktora plina ag. Kako je ranije naznačeno, jed.(72), vrijednosti ag i εg su međusobno jednaki, ako su međusobno jednake, ili skoro međusobno jednake, temperature Tg i Ts. Ako se temperature površine i plina jako razlikuju, tada se može za apsorpcijski faktor plina koristiti empirijski izraz prema [1]. U slučaju da se u plinskoj smjesi samo CO2 javlja kao participirajući plin, tada se njegov apsorpcijski faktor ac može izraziti sljedećom jednadžbom

65,0

s

g

g

scscc ,,f ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

TT

pTT

LpTa (77)

Funkcija fc se mora usporediti s jed.(74), da bi se vidjelo da se prvi faktor u jed.(77) određuje iz dijagrama 3 i 4 , zamjenom Tg sa Ts i zamjenom pcL sa pcL(Ts/Tg). Sličnu se proceduru dopušta za računanje ukupnog emisijskog i apsorpcijskog faktora u slučaju da se u plinskoj smjesi samo vodena para pojavljuje kao participirajući plin. Dijagrami na slikama 23 i 24 daju vrijednost emisijskog faktora vodene pare εw kao funkciju ( )wwgww ,,f ppLpT +=ε (78) gdje je pw parcijalni tlak vodene pare. Slika 5 omogućuje dobivanje vrijednosti εw uz uvjet da je p + pw = 1 atm. Za druge vrijednosti p + pw mora se vrijednost εw očitana iz slike 23 pomnožiti s korekcijskim faktorom kojeg se očitava iz slike 24. 1atm w,atm1w,atm1w, ww

≠+=+≠+ ×= pppppp Cw

εε (79) Faktor apsorpcije za vodenu paru u odnosu na incidentno zračenje s površine temperature Ts, može se odrediti korištenjem empirijsko izraza izvedenog prema [1]

45,0

s

gw

g

swsww ,,f ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

TT

ppTT

LpTa (80)

Uspoređujući ovu jednadžbu s jed.(78) vidi se da je prvi faktor jed.(80) određen iz dijagrama 23 i 24, prethodnom zamjenom Tg sa Ts i pwL sa pwL(Ts/Tg).

39

Slika 23. Emisijski faktor H2O u mješavini s neparticipirajućim plinovima pri ukupnom tlaku mješavine 1 atm.

Duljina L je definirana slikom 2 ili u Tablicom 10.5 [1]

Slika24. Korekcijski faktor emisijskog faktora H2O u smjesi s neparticipirajućim plinovima, za ukupne tlakove

smjese različite od 1 atm

40

Do sada opisani proračuni se odnose na slučajeve kod kojih je samo jedan participirajući plin prisutan u smjesi. Ta participirajuća komponenta bio je CO2 odnosno H2O. No ako su u smjesi prisutna oba ta participirajuća plina, tada je emitirano zračenje manje od zbroja pojedinačnih zračenja ta dva participirajuća plina. Taj je efekt i očekivan, jer svaki participirajući plin opstruira nešto zračenja od drugog participirajućeg plina. Stoga je sveukupni emisijski faktor plina manji, od njihove sume pojedinačno: εεεε Δ+= - wcg (81) Vrijednosti εc i εg se očitavaju iz dijagrama sa slika 21 i 22 odnosno sa slika 23 i 24, dok se vrijednost Δε iščitava iz dijagrama na slici 25. Ta je vrijednost primarno funkcija količine radijacijskih molekula L(pc + pw) i kombinacije (razmjera) CO2 i H2O u smjesi. Najveća je korekcijska vrijednost Δε u slučajevima kod kojih su međusobno komparabilne vrijednosti parcijalnih tlakova CO2 ii H2O u smjesi. Emisijski faktori SO2, CO i NH3 mogu se naći na dijagramima danim u [1].

41

.

Slika 25. Korekcija emisijskih faktora kada su CO2 i vodena para H2O simultano prisutni u smjesi s neparticipirajućim plinovima

Duljina L koja je poslužila za konstrukciju dijagrama danim na slikama 3 – 6 striktno se referira na polumjer polusfere plina, prema slici 20. Isti se dijagrami i formule mogu koristiti za izračun εg i ag i u ostalim geometrijskim kombinacijama plinskih volumena i radijacijskih površina. U tablici 1 je dano nekoliko konfiguracija za koje se može primijeniti ovu

42

proceduru, zamijenivši L s ekvivalentnom duljinom Lekv, a koja je dana u zadnjem stupcu tablice 1. Tablica 1. Ekvivalentna duljina Lekv za nekoliko oblika volumena plina Oblik volumena plina Aktualna dimenzija ekvivalentna duljina Kugla, zračenje na unutar. povr. Promjer D Lekv ≈ 0,60 D Beskonačni cilindar, zračenje u unutr. povr Promjer D Lekv ≈ 0,95 D Cilindar s visinom H=D, zračenje na cijelu povr. Promjer D Lekv ≈ 0,60 D Cilindar s H=D, zračenje u mjesto središta baze Promjer D Lekv ≈ 0,77 D Polubeskonačni cilindar, zračenje u mjesto sr. baze Promjer D Lekv ≈ 0,90 D Kocka, zračenje na jednu stranicu Stranica a Lekv ≈ 0,67 a Prostor između dvije beskonačne paralelne ravnine, zračenje prema objema ravninama Razmak s Lekv ≈ 1,8 s Prostor između cijevi i beskonačnog cijevnog snopa pri čemu je promjer cijevi = između dviju najbližih cijevnih stijenki, a središta cijevi su na Ekvivalentnom trokutu Promjer cijevi D Lekv ≈ 2,8 D Kvadratu Promjer cijevi D Lekv ≈ 3,5 D Proizvoljni volumen V okružen površinom A V, A Lekv ≈ 3,6 V/A 4.3 Plin okružen crnom površinom Za aplikaciju gore opisane metode, promotrimo prijenos topline između zračećeg plina koji je okružen površinom As, temperaturom Ts koja sadrži plin. Plin je karakteriziran sa Tg, p, Lekv i parcijalnim tlakom zračeće komponente u plinskoj smjesi. Ta se svojstva plina mogu koristiti za određivanje εg i αg, koji se na zračenje koje dolazi od Ts. Ako je unutrašnja površina As crna, ona apsorbira sve zračenje koje plina s

4ggsg ATq σε=→ (82)

Zračenje emitirano sa As je s

4s ATσ , i od njega je samo dio apsorbiran od cijelog volumena

plina s

4sggs ATaq σ=→ (83)

pa je trenutni toplinski tok koji se prenosi od plina prema crnoj površini iznosi sg→Φ = sg→q - gs→q = ( )4

sg4

ggs TaTA −εσ (84) Izraz u zagradi pokazuje da se u ovom proračunu zračenje koje emitira površina može zanemariti, ako je temperatura plina dovoljno viša od temperature površine. 4.4 Sivi medij (plin) okružen sa difuzno – sivim površinama Promotrimo sada dvopovršinsku šupljinu kao što prikazuje slika 26, pri čemu je svaka površina difuzno – siva i izotermna (A1,T1, ε1 i A2,T2, ε2), između kojih se nalazi plin izoterman i siv (Tg, εg = ag). Od interesa nam je u ovom slučaju neto izmijenjeni toplinski tog između ovih površina, te koliki je utjecaj plina na taj izmijenjeni toplinski tok? Promatrač koji stoji na površini A1 ne vidi samo medi (plin) nego i površinu različite temperature, A2. Potonja je površina vidljiva samo ako je medij (plin) transparentan

43

(prozračan). Svjetloća površine koja napušta A1 je A1K1. Samo dio te svjetloće pogađa površinu A2 i iznosi A1K1e12τg, pri čemu je τg faktor propusnosti (dijatermije) plina, (τg = 1 - αg). U suprotnom smjeru, svjetloća površine A2 koja pogađa površinu A1 iznosi A2K2e21τg, pri čemu je A1e12 = A2e21. Neto izmijenjeni toplinski tok od A1 do A2 iznosi A1e12τg (K1 – K2). Iz iznesenog slijedi zaključak da su svjetloće površina K1 i K2 povezane izravnim otporom (A1e12τg)-1, kao što je to prikazano mrežnim dijagramom na slici 26 .

Sivi medij (plin)Tg, εg = ag

A1, T1, ε1

A2, T2, ε2

1/(A1e12ιg)

Ec1

K1 K2

(1-ε2)/(A2ε2)

Ec2

Φ12

1/(A1 e1g εg ) 1/(

A 2e 2gε g)

(1-ε1)/(A1ε1)

σTg4

Slika 26. Sivi medij (plin) zatvoren unutar dviju difuzno . sivih površina uz adekvatni mrežni prikaz

Površine stoga komuniciraju indirektno (neizravno), koristeći medij za posrednika. Uzmimo interakciju između A1 i medija. Frakcija zračenja koji napušta površinu A1 i koja biva apsorbirana od strane plina (volumenska apsorpcija) iznosi A1K1e1gag, uz ag = εg. Gledajući u suprotnom smjeru emisija plina koja je presječena površinom A1 iznosi .g11

4gg eATσε Neto

zračenje uzduž ovog puta je ( )4g1gg11 TKeA σε − . Ovo pokazuje da su čvorovi K1 i čvor plina

4gTσ povezani otporom (A1e1gεg)-1.

Rezultirajuće zračenje se kompletira sličnim postupkom između plina ( 4gTσ ) i druge sive

površine K2. Otpor samih površina je pokazan ranije, vidi jed.(45). Čvor koji predstavlja volumen plina je plivajući, jedino u slučaju ako plin nije zagrijavan nekim neovisnim načinom (npr. električno ili kemijskom reakcijom). Jedino uz te pretpostavke neto izmijenjeni toplinski tok između površina A1 i A2, se može izraziti sljedećom jednadžbom

44

( )

22

2

11

1

42

41

12 11εε

εεσ

AR

A

TTΦ

−++

−−

=

Δ

(85)

pri čemu je RΔ ekvivalentni serijski otpor trokutne petlje i izražava se jednadžbom:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) 1

gg221

gg111

g121

1gg22

1gg11

1g121

−−−

−−−

Δ++

+=

εετ

εετ

eAeAeA

eAeAeAR (86)

Prijenos topline između površina i participirajućeg medija detaljnije se analizira od strane autora Sparrowa i Cessa [2] i Siegela i Howella [3]. Jed. (86) se dobiva koristeći sliku 7, te jed.(45), tako da se može pisati:

1

231312

11−

Δ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=RRR

R (a)

Prema oznakama na slici 7, pojedini otpori su: ( ) 1

g12112−= τeAR (b)

( ) 1gg1113

−= εeAR (c)

( ) 1gg2223

−= εeAR (d) Vraćanjem jed.(b) – (d) u jed.(a) dalje slijedi

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )

1

122

111

1gg22

1gg11g121

1

1gg22

1gg11

g1211

−

−−

−−−

−−Δ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++=

gggg eAeA

eAeAeA

eAeAeAR

εε

εετ

εετ

( ) ( )

( )( ) ( )[ ]1

221

11121

122

111

'−−

−−

Δ+

+=

ggggg

gggg

eAeAeA

eAeAR

εετ

εε (e)

Nakon množenja brojnika i nazivnika izraza (e) s (A1e12τg)-1 dobiva se traženi oblik jed.(22)!

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) 1

gg221

gg111

g121

1gg22

1gg11

1g121

−−−

−−−

Δ++

+=

εετ

εετ

eAeAeA

eAeAeAR (86)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

45

5. Literatura [1] M. Necati Ozisik: Heat Transfer, A Basic Approach, International Edition, McGraw – Hill, Singapore, 1985. [2] R. Siegel, J. R. Howel: Thermal Radiation Heat Transfer, McGraw-Hill Book Company, New York, 1972. [3] F. P. Incropera, D. P. De Witt: Introduction to Heat Transfer, John Wiley & Sons, New York, 1990. [4] A. Galović, Termodinamika II, Udžbenici Sveučilišta u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 2014. [5] B. Halasz, I. Boras, A. Galović: Toplinske tablice, FSB, Zagreb, 2011.

Antun Galović