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DETERMINACIÓN DE LA FUNCIÓN DE
POTENCIAL DE AIRY A PARTIR DE CAMPOS
DE ESFUERZOS EXPERIMENTALES
Sebastián García Delord – 200323081
Profesor asesor: Alejandro Marañón
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA
PROYECTO DE GRADO DE I NGENIERÍA MECÁNICA
SEMESTRE 2008-1
1
RESUMEN
En este trabajo se presenta una técnica robusta para ajustar una función
analítica de potencial de esfuerzo de Airy que satisface las leyes de elasticidad a partir
de campos de esfuerzos en dos dimensiones medidos experimentalmente. Los valores
de potencial de esfuerzo se determinan planteando un sistema de ecuaciones sobre-
determinístico el cual se resuelve por mínimos cuadrados y empleando una forma
particular de transformada discreta de cosenos. Por otra parte, la función de potencial
de esfuerzos puede ser caracterizada por un conjunto único de condiciones de frontera
obtenidas igualmente usando métodos por mínimos cuadrados. Una ve z se ha
calculado esta función analítica, la cual es continua sobre todo el dominio de estudio (a
diferencia de los esfuerzos medidos), se pueden calcular a partir de ésta los valores de
los esfuerzos que satisfacen las condiciones de equilibrio y compatibilidad. Esta técnica
fue implementada por medio de dos algoritmos en los cuales se demuestra la robustez
de la técnica así como su capacidad para reducir el ruido aleatorio de los datos. Otro
aspecto de esta técnica es la separación de esfuerzos, e n caso de que los datos los
contengan de forma combinada, como sucede fotoelasticidad. Los procedimientos
presentados constituyen también una forma de almacenar los datos e xperimentales
de esfuerzos de forma eficiente. Finalmente, las condiciones de fronte ra resultantes
pueden ser usadas como entradas en un modelo numérico en el marco de un análisis
híbrido de esfuerzos.
2
ÍNDI CE
Nomenclatura………………………………………………………………………………………………………………3
1. Introducción……………………….………………………………………………………………………………….4
2. Información preliminar
2.1 Trabajo previo………………………………………………………………………………………7
2.2 Fundamentos teóricos generales………………………………………………………….8
2.3 Fundamentos teóricos específicos………………………………………………………..9
3. Desarrollo matemático
3.1 Método directo…………………………………………………………………………………..12
3.2 Método con problema de frontera……………………………………………………..18
3.3 Determinación de esfuerzos……………………….......... ...............................23
4. Implementación………………………………………………………………………………………………… …24
5. Algoritmos……………………………………………………………………………………………………………29
6. Ejemplos
6.1. Robuste z del método directo…………………………………………………………………………36
6.2. Robuste z del método con problema de fronte ra……………………………………………36
6.3. Datos e xperimentales con ruido……………………………………………………… ……………39
6.3.1. Método directo……………………………………………………………………………………40
6.3.2. Método con problema de frontera…………………………………………………… …41
7. Conclusiones………………………………………………………………………………………………………..44
Agradecimientos………………………………………………………………………………………………………..46
Bibliogra fía…………………………………………………………………………………………..…………………….46
Apéndice A: Incorporación de fronte ras ge ométricas…………………………………………………46
Apéndice B: Separación de esfuerzos – fotoelasticidad………………………………………………48
3
NOMENCLATURA
�� Factor de intensidad de esfuerzo modo I
�� � � Parámetros fotoelásticos del material
�� Delta de Kroneker
��� ��� �� Tensores cartesianos
� � Operador de dife rencia finita y derviada
� Operador Laplaciano
A,B,C,D Matrices definidas en el texto
E,υ Módulo de elasticidad y módul o de Poisson
i,j,m,n,p,q Identificadores de filas y columnas
M,N Número de filas, columnas de los arreglos
u,v Desplazamientos en las coordenadas cartesianas
x,y Coordenadas cartesianas
α,ψ Parámetros medidos en fotoelasticidad
ρ Valor de los datos procesados
φ Potencial de esfue rzo
��� ������ Esfuerzos cartesianos medidos
�� � Coordenadas polares
�� � Constantes de Lamé
�� ��� � ��� Esfuerzos cartesianos
^ Denota variables en el dominio de la TDC
~ Denota variables ajustadas o suavizadas
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1. INTRODUCCIÓN
El empleo de funciones de potencial, atribuido a Airy (1862) o Muskhelishvili
(1953) es fundamental en la teoría de elasticidad. Éstas permiten obtener soluciones a
problemas de frontera de finidos por t racciones o desplazamientos de frontera,
satisfaciendo las condiciones de equilibrio y de compatibilidad de deformaciones.
Usualmente las soluciones se presentan en forma de expansiones de series las cuales
pueden ser manipuladas matemáticamente para obtener un resultado deseado.
Existen algunas soluciones analíticas para casos relativamente sencillos, sin embargo la
complejidad de las geometrías reales hace que su uso sea limitado y que, por lo tanto,
se prefiera el empleo de métodos numéricos (como por ejemplo el método de
elementos finitos). Además, algunos problemas introducen un mayor grado de
complejidad como en los casos de análisis de contacto no lineal entre dos cuerpos, en
donde las tracciones de frontera cambian con la carga.
Uno de los problemas de los métodos numéricos es la escoge ncia de una malla
adecuada, particularmente en los problemas de contacto. Por otra parte se puede
tener el problema de tener que discretizar un cuerpo grande para definir condiciones
de frontera conocidas cuando el dominio de estudio es relativamente peque ño. Así, se
están desarrollando métodos híbridos de análisis de esfuerzos en los que se determina
expe rimentalmente los desplazamientos o tracciones en la frontera del dominio de
estudio y se introducen en modelos computacionales para determinar esfuerzos y
deformaciones al interior del dominio. Los métodos de análisis híbridos pueden ser
usados para cualquier región de interés y son particularmente útiles cuando las
condiciones de frontera l ocales cambian con la carga. Sin embargo, el ruido y los
errores de medición afectan los resultados, y como lo mostró Morton et al (1990), se
necesitan datos extremadamente precisos para suministrar información efectiva en los
cálculos para todo el dominio por métodos numéricos.
Este trabajo pre senta una técnica robusta para convertir arre glos (m atrices)
de campos de datos experimentalmente de terminados en una función de potencial
de esfuerzo de Airy que sati sface las leye s de elasticidad. Se cree que esta técnica es
la primera aproximación conocida a la determinación de potencial de esfuerzo a partir
5
de datos experimentales y que provee una interesante alternativa para formular
funciones de es fuerzo usando técnicas matemáticas. Otros aspectos interesantes de
esta técnica son la remoción de ruido y la separación de esfue rzos en datos
expe rimentales. La técnica presentada provee una forma confiable y robusta para
procesar campos de datos experimentales ya que se descomponen los datos en un
problema de frontera en elasticidad usando procedimientos sobre-determinísticos con
mínimos cuadrados. Los datos de e ntrada se presentan e n forma de matrices
rectangulares de tamaño arbitrario las cuales corresponden a los esfuerzos planares
del dominio rectangular de estudio, aunque se puede te ner también como punto de
partida los desplazamientos o las deformaciones (en dos dimensiones). Una ve z
determinada la función de potencial de Airy, los esfuerzos son obtenidos por medio de
una doble di ferenciación de ésta. Estos últimos satisfacen las condiciones de equilibrio
y de compatibilidad. Es posible también di ferenciar a su vez estos esfuerzos dado que
son formulados en forma de funciones analíticas suavizadas hasta el cuarto orden. La
descomposición de datos de campo experimentales en un problema de frontera en
elasticidad permite una interacción directa entre los datos y un modelo numérico para
un análisis híbrido de esfuerzos. Esto se debe a que los datos experimentales se
pueden usar en forma de expresiones matemáticas para alimentar el modelo numérico
el cual requiere condiciones de frontera como entrada. Esta técnica resulta más
confiable que simplemente tomar los datos en las posiciones de los nodos de frontera
del modelo y por otra parte se evita la necesidad de datos extremadamente precisos
para evitar problemas relacionados con ruido y errores e xperimentales.
Este trabajo será de interés para académicos, científicos e ingenieros que
practiquen análisis de esfuerzos usando métodos experimentales o numéricos. Es
importante enfatizar que la determinación de la función de esfue rzo de Airy en este
estudio no se puede considerar la misma que en el ejemplo de Huang et al (1990) en el
que se usa una aproximación con función de esfuerzo para suavizar y separar esfuerzos
en datos termoelásticos correspondientes a una geometría de agujero en una platina.
En este caso la función de esfue rzo ha sido matemáticamente confi gurada para
anticipar la superficie libre del agujero y por lo tanto es solo aplicable a esa geometría
particular. La técnica presentada determina la función de esfuerzo de Airy para el
6
dominio e xperimental rectangular sin importar a priori cuales sean las distribuciones
de esfuerzo, ni la geometría de la estructura ni potencialmente la presencia de
fronte ras ge ométricas.
Inicialmente se presentará un bre ve recuento sobre el trabajo previo en el
tema y de los fundamentos teóricos necesarios, particularmente en teoría de
elasticidad, diferencias finitas y transformadas de Fourier. El desarrollo matemático de
la técnica se llevará a cabo en tres pasos, en los cuales se introducen los siguie ntes
postulados:
Paso 1: Existe una solución sobre -dete rminística por mínimos cuadrados
correspondiente a la función de potencial de esfuerzo, a partir de campos de esfuerzos
(tensores en dos dimensiones) obteni dos e xperimentalmente.
Paso 2: Existe una solución sobre -dete rminística por mínimos cuadrados
correspondiente a las condiciones de frontera de la función de potencial de esfuerzo
que caracteri za los datos experimentales en forma de un problema de frontera.
Paso 3: Una función de potencial de esfuerzo de finida de forma única por estas
condiciones de frontera se puede expresar e n la forma de una transformada discreta
de cosenos y las ecuaciones de esfuerzo se obtiene n derivando simbólicamente esta
función.
El empleo de transformadas discretas de cosenos impone unas condiciones de frontera
particulares sobre los datos e xperimentales, las cuales se deben anticipar o de lo
contrario se introducen fuertes errores en los algoritmos. De esta forma se hace
necesario un pre condicionamiento de los datos desarrollado e n la siguiente sección
junto con otros aspectos menores de implementación.
Se presentarán los algoritmos correspondientes a esta técnica. El software utilizado
para el desarrollo computacional y la obtenci ón de resultados fue Mathcad 13©.
7
2. INFORMACIÓN PRELIMINAR
2.1 TRABAJO PREVIO
En los últimos años se ha presentado un crecimiento significativo e n el empleo
de métodos de medición de campos como interferometría, fotoelasticidad y
termoelasticidad. Típicamente alguna forma de detector recoge datos en forma de
arreglos de varios miles de pi xeles correspondientes a un dominio rectangular en una
región de la estructura analizada. Si bien estas técnicas se han desarrollado
recientemente, los datos obtenidos inevitablemente contienen ruido y errores de
medición, de forma que se requieren procedimientos de post-procesamiento basados
en las leyes de elasticidad para poder hacer un uso adecuado de estos datos
expe rimentales. Los resultados obtenidos por medio de interferometría de patrones
de speckles electrónica (ESPI, su sigla en inglés) y termoelasticidad tienden a ser
particularmente ruidosos. Por otra parte, frecue ntemente se obtie nen datos
“envueltos” (wrapped data) en el caso de la interferometría necesitando así técnicas
de post-procesamiento para remover los saltos de fase de 2π. Los datos obtenidos con
termoelasticidad y fotoelasticidad, presentan esfue rzos combinados de la forma
(σx+σy) y (σx-σy) respectivamente. Para separar estos esfuerzos es necesario combinar
ambos métodos o bien realizar algún método de separación numérico el cual requiere
información proveniente de superficies sin esfuerzos.
La literatura publicada sobre la separación de fases, remoción de ruido y
separación de esfuerzos es vasta y es pertinente citar algunas re ferencias importantes.
La cantidad disponible ayuda a resaltar las dificultades a las que se enfrenta el
expe rimentador para obte ner resultados satisfactorios a partir de campos de datos.
Una aproximación generalizada para filtrar ruido basada en las ecuaciones de
compatibilidad de deformaciones y de equilibrio de esfuerzos fue exitosamente
demostrada por Lukasiewicz et al (1993). En te rmoelasticidad pueden ser
simultáneamente separados los esfuerzos y suavi zados los datos para determinar σx y
σy individualmente, usando la aproximación de Huang et al (1990) basada en las
funciones de esfuerzo de M uskhelishvili (1953). El empleo de transformadas de Fourier
para remover ruido de datos en ESPI usado por Moore & Tyrer (1996) se ha mostrado
exitoso. Ghiglia & Romero (1994) introdujeron una técnica robusta y confiable para
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desenvolver (unwrap) datos usando una forma particular de transformada discreta de
cosenos. En este documento, se usa una aproximación muy similar a esta, de manera
que esta referencia es de gran importancia. El trabajo realizado por A.D Nurse de la
Universidad de Loughbrough es la base de la técnica presentada. La determinación de
la función de Airy en ésta combina los beneficios de suavizar los datos para satisfacer
las leyes de elasticidad y el empleo de transformadas de Fourier permitiendo separar
esfuerzos y desenvol ver fases de forma robusta.
2.2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
A conti nuación se va a hacer un breve recuento de las ecuaciones básicas de
elasticidad las cuales se pueden encontrar en cualquier libro sobre teoría de
elasticidad.
Se va a suponer que el material estudiado es homogé neo, isotrópico y perfectamente
elástico. Esto implica que se asume que e xisten suficientes restricciones para prevenir
que el cuerpo se mueva como un sólido rígido, de forma que no es posible que haya
desplazamiento de partículas en el cuerpo sin que haya una deformación en él. Éste
está sometido a esfuerzos únicamente en el plano y se considera que no hay fuerzas
de cuerpo o bien, que sus efectos son despreciables. Se emplea el uso de coordenadas
cartesianas, con ejes �� ���� � ����. De esta forma el cuerpo de estudio sólo está
sometido a tres esfue rzos �� ���� � ����. Sea !� �el desplazamiento en la dirección ����� � ����. Los tensores de deformaciones
se expresan:
� � ��"�!���� #�!�� $ ����������� ��� � �����������������������
Los tensores de es fuerzos pueden ser calculados a partir de (1), usando la ley de
Hooke.
�� � �%%�� #�&� ������������ � ' � ����(����������������
9
En donde � es la constante de Lamé y G el módulo de rigide z del material, y �� es el
delta de Kroneker. Se usa la convención de suma en cuanto a %% (el índice doble
implica sumatoria).
Las condiciones de equilibrio son e xpresadas a través de las siguientes ecuaciones:
������� # ����� � )������������� � �� ������������ � ������*+, ��� - �������������(�
Por otra parte se debe también satisfacer la condición de compatibilidad de las
deformaciones de Saint Venant la cual asegura la existencia de las funciones !� ���� � ���� conecta das con las ecuaciones (1):
�������� # �������� � � ���������� �����������������������.�
El empleo de la función de esfuerzos de Airy (1862) es ampliamente conocido. Se
define una función de potencial de esfue rzo en la que los te nsores de esfuerzos en el
plano están dados por:
��� � ��/���� ��������������� ��� � ��/���� ������������� ��� � 0 ��/������ �����������1�
Las ecuaciones (5 ) satisfacen la condición de equilibrio de esfuerzos en (3) si φ es una
función derivable hasta el segundo orden. Sin embargo, la condición de compatibilidad
debe ser cumplida igualmente. Recordando que no se tiene n en cuenta las fuerzas de
cuerpo, se tiene:
��/ � �2/��2 #� �2/����� � # �2/��2 � )���������������3�
La ecuación (6) es llamada la ecuación biarmónica. La solución a un problema en dos
dimensiones cuando no se consideran las fuerzas de cuerpo se reduce a encontrar una
solución que cumpla esta ecuación y que satisfaga las condiciones de frontera.
2.3 FUNDAMENTOS TEÓRICOS ESPECÍFICOS
El dominio e xpe rimental, de forma rectangular, tiene entonces cuatro lados
rectos como fronteras. Estas últimas se pueden llamar sintéticas ya que no hacen parte
10
de la ge ometría propia de la estructura. La región de estudio no contiene fronteras
geométricas, lo cual se traduce en que no se presentan superficies sin tracciones (éstas
consisten solo de ruido proveniente del fondo). Es posible abordar este problema
usando la misma aproximación de Ghiglia & Romero (1994) en donde se introduce una
matriz de ponderación. El apéndice A (“Incorporación de fronteras ge ométricas”)
describe esta posibilidad.
Para formular el problema de fronte ra en elasticidad para esta clase de dominio es
necesario especificar las tracciones que actúan a lo largo de los lados. En un análisis de
esfuerzos híbrido se especi fican los valores de frontera del dominio como entrada al
modelo numérico (por elementos finitos por ejemplo) usando datos e xperimentales.
En la técnica presentada la región en la que se toman datos es discretizada en un
arreglo rectangular de 4 por 5 y cada pi xel es denotado por ��� � o �6� ,�en donde ) 7 �� 6 7 4 0 � y ) 7 � , 7 5 0 �. El pi xel correspondiente a � � � ) es el de la
esquina superior izquierda del arreglo, según la convención usual en los software
comerciales. Sin embargo, el origen de los ejes de referencia cartesianos
correspondiente � � � � ) el la esquina inferior izquierda del arregl o, como se
muestra en la figura 1.
Figura 1: Ejes de referencia
Se asume que la información e xperimental en cada punto es constante a lo largo de
una superficie del campo pequeña, de tamaño definido, correspondiente al pi xel �� � �.
Igualmente se asume por simplicidad que cada pixel es cuadra do aunque basta con
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cambiar los valores de los intervalos en el cálculo de las diferencias finitas para
considerar pi xeles rectangulares. Dado que el potencial de es fuerzo es una cantidad
escalar, se debe determinar 45 valores para un arre glo de tamaño 4 por 5. La
medida de los tres es fuerzos cartesianos da como resultado (45 valores y en
consecuencia la determinación de los 45 valores de potencial es sobre-dete rminístico
permitiendo emplear métodos por mínimos cuadrados. La naturale za de la
aproximación usada para caracterizar los datos experimentales en forma de un
problema de frontera en elasticidad permite representar las condiciones de frontera
de la función de esfuerzos de Airy con .�4 # 5� 0 �3 valores. Dado que se tiene 45
valores de potencial de esfuerzo, también tiene lugar el empleo de métodos por
mínimos cuadrados.
Por otra parte, si los valores de potencial de esfuerzo en los puntos �� � �, expresados
como /� � , son conocidos entonces se pue de calcular los campos de esfuerzo usando
las siguientes expresiones de diferencias finitas basadas en las ecuaciones (5): ������� 8 " �/ �� $� � � /� �9� 0�/�� # /� �:�
������ 8 " �/ ��$� � � /�9�� 0 �/�� # /�:�������������������������������������������������������������������;� ������ � 8 0" �/ � �$� � � /�9��9� 0/� 9��:� 0 /�:��9� # /�:��:�.
Los valores /� � deben satisfacer la ecuación biarmónica (6) que reúne las condiciones
de equilibrio y compatibilidad. En forma discreta esta ecuación se expresa:
</��9� 0 �/� �9� #/� �= 0 �</� �9� 0 �/� �# /� �:�= #</�� 0 �/��:� # /� �:�=# </�9�� 0 �/�9��# /� �=0 �</�9�� 0 �/� � # /�:��=# </�� 0 �/� :�� # /�:��=��� �� �� ��� �� �� ��� �� ��� �� �� ��� ���� ��� ���� ��� ����� �� �� ��� �� �� ��� �� ��� �� �� ��� �� �� ��� ���� ���>� �# ��?/�9��9� 0/� 9�� # /�� 0/� �9�. 0 /�9��0 /�9��:� 0/�� #/� �:�.0 /��9� 0 /�� 0 /�:��9� #/�:��. # /� � 0/� �:� 0 /�:��# /�:��:�. @� )
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Los datos interferométricos permiten determinar valores de desplazamiento,
por ejemplo con ESPI o con interferometría de Moiré. Se asume entonces que las
deformaciones pueden ser calculadas a partir de estos valores de desplazamiento
usando la ecuación (1) en forma de di ferencias finitas:
�A�� � � !� �:� 0 !� �9��
BACD �� � E� �:� 0 E��9� # !�9�� 0!�:��. ���������) 7 � 7 4 0 �� ) 7 7 50 �� ��������F� BCD �� � E�9�� 0 E�:���
Los esfue rzos son entonces calculados con la ecuación (2).
Los e xperimentos fotoelásticos y termoelásticos proveen campos de datos
relacionados con los esfuerzos de forma combinada. En el apéndice B (“Se paración de
esfuerzos – fotoelasticidad”) se mostrará cómo se pue de incluir en la técnica una
separación de esfue rzos en el caso de fotoelasticidad.
En el desarrollo matemático de la técnica a continuación se tiene como punto de
partida los valores de los tres esfuerzos cartesianos en un arreglo de tamaño 4 por 5,
es decir (45 valores.
3. DESARROLLO MATEMÁTICO
El dominio de estudio es un rectángulo de tamaño 4 por 5 arbitrarios. El tamaño
de los arreglos de entrada que contienen los valores experimentales de los esfuerzos �A ��C � �AC no limita o cambia de ninguna forma el desarrollo de la técnica. Es claro que
cuanto más grandes son las matrices, mayores serán los tiempos computacionales.
3.1 MÉTODO DIRECTO
De acuerdo a la definición de potencial de esfuerzo, ecuaciones (5), se puede escribir la
siguiente relación:
G ��H�����H���0��H����I / � J�������K������������������������������� ��)�
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O bien
L�M/ � L�M������������������������������ En donde se definen los vectores:
L�M � G ��H�����H���0��H����I���������L�M � J �������K��������������������������� ����
La solución por mínimos cuadrados al valor de la función de potencial φ se obtie ne por
medio de:
L�MNL�M/ � L�MNL�M����������������������������( � En donde el índice T de nota la transposición de una matriz. Desarrollando la ecuación
(13) se obtiene:
�2 /��2 # �2/�� 2 # �2/������ � ������ � #������� 0��������� ���������������������� ��.�
Esta ecuación se puede verificar reemplazando los valores de los esfuerzos a la
derecha por derivadas de φ según las ecuaciones (5 ). Ésta es una ecuación dife rencial
lineal de órdenes pares en términos de φ en el lado izquierdo, y un valor único en el
lado derecho obtenido realizando la di ferenciación apropiada de los valores de σx, σy,
τxy conocidos.
Usando la misma aproximación de Ghiglia & Romero (1994) se realiza la siguiente
sustitución:
O�� � "������ � # �� ����� 0 �� ������� $� � ������������������������������1�
La cual en di ferencias finitas equivale a:
O� � � B���9�� 0 ���� � # ���:��D # B��� �9� 0 ���� � # ��� �:�D# �.<����9��9� 0����:��9�# ����:��:� 0����9��:�=����������������������3�
14
Se introduce ahora una forma específica de la transformada discreta de cosenos (TDC)
y se aplica a la nueva variable introducida:
OPQ�R� S S.T9�UV
W9��UV O� �*+X Y Z�4 6��� # ��[ *+X Y Z�5 ,�� # ��[���������������������������� ��;�
Para ) 7 6 7 4 0 � ) 7 , 7 5 0 �
Por otra parte, se puede e xpresar el lado izquierdo de la ecuación (14), es decir los
términos de φ, por medio de diferencias finitas:
"�2/��2 # �2/��2 # �2/������$��8 </� �9� 0�/��9� # /��= 0 �</� �9� 0�/�� #/��:�=# </�� 0 �/� �:� # /��:�=# </�9�� 0 �/�9��# /� �=0 �</�9�� 0 �/�� # /�:��= # </�� 0 �/�:�� # /�:��=���� ����� ��� ���� ��� �� �� ��� �� �� �����>�# �.?/�9��9� 0/� 9�� # /�� 0/� �9�. 0 /�9�� 0 /�9��:� 0/� � #/� �:�.0 /��9� 0 /�� 0 /�:��9� #/�:��. # /� � 0/� �:� 0/�:��# /�:��:�. @
De forma que, simplificando:
O� � � ��/� � 0 .B/� �9� # /� �:� #/�9��#/�:��D# B/� �9� # /� �:�# /�9�� #/�:��D# ��3 <./� � 0�B/� �9� # /� �:� # /� 9�� #/�:��D# /� :��:�# /�:��9�# /�9��:�# /�9��9�=�������������������������������������������������F�
Se quiere aplicar la TDC a esta ecuación y encontrar la relación entre el potencial φ y v
transformados.
Primero, desarrollemos la soluci ón deseada en forma de la TDC inversa:
/� � � �45 S S \��6�\��,�/PQ�RT9�RUV
W9�QUV *+X Y Z�4 6��� # ��[ *+X Y Z�5 ,�� # ��[
\� �6� � �� ���������6 � )
15
\� �6� � ����������� 7 6 7 4 0 ����������������������������������������������������)� \��,� � �� ���������, � )
\� �,� � ����������� 7 , 7 5 0�
Donde /PQ�R son los valores transformados del potencial de es fuerzo
Ahora, calculemos un ejemplo sencillo. /� �9� # /� �:� se expresa:
/��9� # /� �:�� �45 S S\��6�\��,�/PQ�R
T9�RUV
W9�QUV *+X Y Z�4 6���� #��[
] ^_`a " Z�5,��� 0 �� # ��$#_`a " Z�5 ,��� # �� #��$b���������������������
Si de finimos: � � c�T,�� # �� X � cT ,�������������������������������������
Entonces tenemos:
/� �9�# /� �:� � �45 S S\��6�\��,�/PQ�RT9�RUV
W9�QUV *+X LdM ] L*+X ��0 X� # *+X�� # X�M
Simplificamos el término en función de r y s:
*+X �� 0 X� � _ a��� _ a�X� # aef��� aef�X�
*+X �� # X� � _ a��� _ a�X� 0 aef��� aef�X�
*+X�� 0 X� # *+X�� # X� � � _`a��� _ a ��X�
De esta forma la expresión (21) se reduce a
/� �9�# /� �:� � �45 S S \��6�\��,�/PQ�RT9�RUV
W9�QUV _ a�d� _ a��� �_ a�X� �������������������(�
Por otra parte definimos: d � c�W6��� # �� g � cW 6���������������������������.�
16
Usando un procedimiento análogo se llega a las siguientes relaciones:
/� 9�� # /�:�� � �45 S S \� �6�\� �,�/PQ�RT9�RUV
W9�QUV _`a��d� _`a��� �_`a �g�
/� 9�� # /�:�� � �45 S S \� �6�\� �,�/PQ�RT9�RUV
W9�QUV _`a�d� _`a��� �_`a ��g� ������ ��� ���� ����1�
/� �9� # /��9� � �45 S S \� �6�\� �,�/PQ�RT9�RUV
W9�QUV _`a��d� _`a��� �_`a ��X�
Ahora, se desarrollan las expresiones en donde hay incrementos en ambos índices
simultáneamente:
/�:��:� � �45 S S \��6�\� �,�/PQ�RT9�RUV
W9�QUV *+X�� # �X�*+X �d# �g�
*+X��# �X�*+X�d # �g� � L_`a��� _`a��X� 0 aef��� aef��X�ML_`a�d� _ a��g� 0aef�d� aef��g�M� _`a��� _`a��X� _ a�d� _`a��g� 0 _`a�d� _ a��g� aef��� aef��X�0 _`a��� _`a��X� aef�d� aef��g� # aef��� aef��X� aef�d� aef��g�
*+X��0 �X�*+X�d # �g� � L_`a��� _`a��X� # aef��� aef��X�ML_`a�d� _ a��g� 0aef�d� aef��g�M� _`a��� _`a��X� _ a�d� _`a��g� # _`a�d� _ a��g� aef��� aef��X�0 _`a��� _`a��X� aef�d� aef��g� 0 aef��� aef��X� aef�d� aef��g�
*+X��# �X�*+X�d 0 �g� � L_`a��� _`a��X� 0 aef��� aef��X�ML_`a�d� _ a��g� #aef�d� aef��g�M� _`a��� _`a��X� _ a�d� _`a��g� 0 _`a�d� _ a��g� aef��� aef��X�# _`a��� _`a��X� aef�d� aef��g� 0 aef��� aef��X� aef�d� aef��g�
*+X��0 �X�*+X�d 0 �g� � L_`a��� _`a��X� # aef��� aef��X�ML_`a�d� _ a��g� #aef�d� aef��g�M� _`a��� _`a��X� _ a�d� _`a��g� # _`a�d� _ a��g� aef��� aef��X�# _`a��� _`a��X� aef�d� aef��g� # aef��� aef��X� aef�d� aef��g�
Sumando estas cuatro ecuaciones se obtiene:
*+X�� #�X�*+X�d #�g� # *+X �� 0 �X�*+X�d # �g� # *+X�� # �X�*+X�d 0�g�# *+X�� 0 �X�*+X�d 0 �g� � . _ a ��� _`a��X� _ a�d� _`a ��g�
De esta forma se llega a: �/�:��:� #/� 9��:�# /� :��9� # /�9��9�
� �45 S S \� �6�\� �,�/PQ�RT9�RUV
W9�QUV _`a ��� _`a �d� ._`a��X� _ a��g� ����� �� ��� ���3�
17
Sustituyendo las ecuaciones (23), (25) y (26) en la ecuación (19) se llega a:
O�� � �45 S S \� �6�\��,�/PQ�RhQ�RT9�RUV
W9�QUV *+X Y Z�46��� #��[*+X Y Z�5,�� # ��[���� �� �� ���;�
Con:
hQ�R � ���_`a��g� 0 >_ a�g� #3� # ���_ a��X� 0 >_ a �X� # 3�# ��3 �._ a��X� _ a��g� 0 . _`a��g� 0. _ a��X� # .�
Sustituyendo las ecuaciones (22) y (24), y factorizando:
hQ�R � i�_`a i� Z4 6j 0>_`a i Z46j # 3j # i�_`a i�Z5 ,j 0 >_ a iZ5 ,j #3j# ��3i�*+X i� Z4 6j 0 �j i�*+X i� Z5,j 0 �j ������������������������ ��>�
Aplicando la misma forma de la ecuación (20) a la variable ρ, que corresponde a la
aplicación de la TDC inversa se tiene:
�45 S S \��6�\��,�B/PQ�RhQ�R 0OPQ�RDT9�RUV
W9�QUV *+X Y Z�4 6��� # ��[*+X Y Z�5,�� # ��[ � )�
dk�k ��+l+�� m L)�4 0�M��� m L)�5 0 �M
La única solución que verifica esta ecuación para c ualquier valor de 4� 5� �� es la
trivial
/PQ�RhQ�R 0 EPQ�R � )
Obte niendo así:
/PQ�R � OPQ�RhQ�R������������������������� ��F� Esta e xpresión permite encontrar los valores de φ en el dominio de la TDC a partir de
la variable v que se calcula con base en los datos de esfuerzo e xperimentales. Una ve z
realizada esta operación, se aplica la TDC inversa con el fin de obtener los valores de φ
según la ecuación (20):
18
/� � � �45 S S \��6�\��,�/PQ�RT9�RUV
W9�QUV *+X Y Z�4 6��� # ��[ *+X Y Z�5 ,�� # ��[
\� �6� � �� ���������6 � )
\� �6� � ����������� 7 6 7 4 0 ����������������������������������������������������)� \��,� � �� ���������, � )
\� �,� � ����������� 7 , 7 5 0�
Existen unos aspectos a tener en cuenta en la implementación de estos pasos que van
a ser abordados en el numeral 4 “Implementación”. A partir de esta función de
potencial, se puede calcular los esfuerzos usando las ecuaciones (7).
3.2 MÉTODO CON PROBLEMA DE FRONTERA
En general, los valores calculados de φ obtenidos a partir de los datos
expe rimentales está sujeto a ruido y errores de medición, y la aplicación de diferencias
finitas de segundo orden pueden generar pobres resultados para los esfuerzos. Sin
embargo, se puede emplear la condición de compatibilidad en (8) para filtrar el ruido y
obtener una distribución para φ que satisface la ecuación biarmónica. Esto se logra
encontrando una solución ajustada por mínimos cuadrados a las condiciones de
fronte ra de φ y así se emplea para determinar una función de potencial de Airy para el
campo φ.
Es altamente probable que la aplicación de la ecuación (8) a los valores calculados /� �
obtenidos con el método anterior gene re valores diferentes de cero debido al ruido y a
errores en la medición. Entonces, se debe asumir que e n general los resultados
iniciales de φ no satisfacen la condición de compatibilidad. Sea /n�� los valores de
potencial que satisface la condición (8) y que se concuerda aproximadamente con los
valores originales /� �. Una distribución para /n que satisface la ecuación biarmónica
��/n � ) puede ser definida de manera única con los datos e n las dos filas y columnas
de los bordes mientas que el resto de celdas deben conte ner ceros como lo muestra la
tabla 1:
19
0 1 2 … j … o 0 p o0 q
0 �rr/n �V� V �rr/n �V� � �rr/n�V� � . �rr/n �V� . �rr/n�V�W9� �rr/n�V�W9�
1 �rr/n ���V �rr/n ���� �rr/n���� . �rr/n��� . �rr/n���W9� �rr/n ���W9�
2 ������rr/n���V �rr/n ��� � ) 0 ) 0 �rr/n���W9� �rr/n���W9�
… . . 0 . . 0 . .
i ������rr/n���V �rr/n� ��� 0 . . 0 �rr/n ���W9� �rr/n ���W9�
… . . 0 0 0 0 . .
s 0 p �rr/n�W9��V �rr/n�W9��� �rr/n�W9��� . �rr/n �W9�� . �rr/n �W9��W9��rr/n �W9��W9�s 0 q �rr/n�W9��V �rr/n�W9��� �rr/n�W9��� . �rr/n �W9�� . �rr/n �W9��W9��rr/n �W9��W9�
Tabla 1: Condiciones de frontera sobre ���/n�t�u (la doble línea indica las fronteras del dominio)
Esto equivale a:
���/n��� � )������ 7 � 7 4 0 (�� � 7 7 5 0 (��������������()�
Se ha encontrado según las pruebas realizadas que este supuesto impone una
condición sobre el tamaño de las matrices en el sentido que deben ser cua dradas. Sin
embargo, aunque esto es una conjetura se recomienda imponer esta condición.
Se quiere entonces determinar .�4 # 5� 0�3 valores de ���/��� a partir de
los 45 valores ori ginales de potencial φ. Dado que es un problema sobre -
determinístico se pueden emplear métodos por mínimos cuadrados para encontrar
una nueva distribución de potencial de esfuerzo /n sin ruido, compatible con (8).
Además, como esta nueva distribución se obtiene usando la TDC inversa, esta se
convierte en la función de esfuerzos de Airy a partir de la cual se calculan las
ecuaciones de esfuerzos. La precisión de los resultados dependerá entonces del
número de valores de frontera necesarios para de finir ��/n y no el número de pi xeles
en el arreglo correspondiente a /n.
20
Considerando los valores de la tabla 1 como incógnitas se puede definir un vector R
que los contiene, de la si guiente forma:
v � rr/nV� ) 7 7 5 0 �
vT: � rr/nW9�� ) 7 7 5 0 �
v�T:�9�� rr/n��V � 7 � 7 4 0 �
�������������������������vW:�T9�9w� rr/n��T9� � 7 � 7 4 0 ������������������(��
v�W:�T:9x � rr /n�� � 7 7 5 0 �
v�W:wT:y9z � rr /nW9�� � 7 7 5 0 �
v�W:2T:�9�V � rr/n ��� � 7 � 7 4 0 (
vwW:2T:�9�2 � rr/n ��T9� � 7 � 7 4 0 (
Por otra parte, a partir de la ecuación (6 ):
��/ � �2/��2 # � �2/������ # �2/��2 �������������������3� Se pue de usar un procedimiento análogo al descrito en el numeral anterior, e n donde
se aplica la TDC a la ecuación en forma de difere ncias finitas llegando a la siguiente
relación, en el dominio de la transformada empleada:
{QT:R � ���/P�Q�R � /PQ�R�Q�R���������������������(��
) 7 6 7 4 0 ��� ) 7 , 7 5 0 ���������������������������� En donde:
�Q �R � i�_`a i� Z4 6j 0 >_`a iZ4 6j # 3j #i�_`a i� Z5,j 0 >_`a iZ5 ,j # 3j# �> i�*+X i� Z4 6j 0 �ji�*+X i� Z5,j 0�j����� �� �� ���((�
Así, se puede plantear la relación matricial:
|v � {�������������������(.�
21
Para encontrar l os valores de B se parte de la TDC correspondiente a ���/n}�Q�R
���/n}�Q�R � S S .T9�UV
W9��UV ���/n���*+X Y Z�4 6��� # ��[ *+X Y Z�5,�� # ��[����������
) 7 6 7 4 0 ��� ) 7 , 7 5 0 �
Reemplazando la ecuación (30) en la ecuación (34), se tiene:
���/n}�Q�R � S .T9�UV
���/n �V�*+XY Z�4 6[ *+X Y Z�5 ,�� # ��[# S.T9�
UV���/n�W9��*+X Y Z�4 6��4 0 ��[ *+X Y Z�5,�� # ��[
# S.T9��U�
���/n���V*+X Y Z�4 6��� # ��[ *+X Y Z�5 ,[# S.T9�
�U����/n���T9�*+XY Z�4 6��� #��[*+X Y Z�5,��5 0 ��[
# S.T9�U�
���/n���*+X Y Z�4 6�(�[ *+XY Z�5,�� # ��[# S.T9�
U����/n�W9��*+X Y Z�4 6��4 0 (�[ *+X Y Z�5,�� # ��[
# S.T9w�U�
���/n����*+X Y Z�4 6��� # ��[ *+X Y Z�5 ,�(�[# S.T9w
�U����/n���W9�*+X Y Z�4 6��� #��[*+X Y Z�5 ,��5 0(�[
Y así, teniendo en cuenta la relación matricial (34) y las relaciones (31) se obtienen los
valores de B:
|QT:R� � *+X Y c�W6[*+X Y c�T,�� #��[ ) 7 7 5 0 �
|QT:R�:T� *+X Y c�W6��4 0 ��[ *+X Y c�T ,�� # ��[ ) 7 7 5 0 �
|QT:R��:�T9�� �*+X Y c�W6��� #��[*+X Y c�T,[ � 7 � 7 4 0 �
|QT:R��:W:�T9w � *+X Y c�W6��� # ��[ *+X Y c�T,��5 0��[ � 7 � 7 4 0 �
22
|QT:R�:�W:�T9x � *+X Y c�W6�(�[ *+X Y c�T,�� # ��[ � 7 7 5 0 �����(1�
|QT:R�:�W:wT9z � *+X Y c�W6��4 0 (�[ *+X Y c�T ,�� # ��[ � 7 7 5 0 �
|QT:R��:�W:2T9�V � *+X Y c�W6��� # ��[ *+X Y c�T,�(�[ � 7 � 7 4 0 (
|QT:R��:wW:2T9�2 � *+X Y c�W6��� # ��[ *+X Y c�T,��5 0 (�[ � 7 � 7 4 0 (
Es pertine nte resaltar que R es un vector columna que contiene las incógnitas de
tamaño .�4 # 5� 0�3, D es un vector de tamaño 45 que contiene los valores
calculados de φ a partir de los datos experimentales usando la ecuación (29) y B es una
matriz de tamaño 45 por .�4 #5� 0 �3. La solución por mínimos cuadrados de (34)
está dada por:
| N|v � |N{
Y así:
v � �|N|�9�|N{
Los valores de ���/n��� se recuperar a través de las relaciones (31). Los demás valores
de ���/n ��� son iguales a cero, satisfaciendo así el requerimiento de compatibilidad.
En este punto, los capos de datos experimentales han sido descompuestos en forma
de un problema de frontera en elasticidad caracterizado por las condiciones de
fronte ra dadas por el vector R.
Finalmente, se e ncuentra la distribución para /n usando la TDC inve rsa aplicada a los
valores de ���/n���:
���/n}�Q�R � S S .T9�UV
W9��UV ���/n�� �*+X Y Z�4 6��� # ��[ *+X Y Z�5 ,�� # ��[
) 7 6 7 4 0 ��� ) 7 , 7 5 0 �
Usando la ecuación (32), se obtiene :
/n}Q�R � ���/n}�Q�R�Q�R ��������������������(3�
23
Y así, la función de potencial de esfuerzo que satisface las condiciones de
compatibilidad se obtie ne realizando la TDC inversa:
/n�� � �45 S S \��6�\��,�/n}Q�RT9�RUV
W9�QUV *+X Y Z�4 6��� # ��[ *+X Y Z�5 ,�� # ��[
\� �6� � �� ���������6 � )
\� �6� � ����������� 7 6 7 4 0 ���������������������������������������������������(;� \��,� � �� ���������, � )
\� �,� � ����������� 7 , 7 5 0�
La ecuación (37) corresponde a la función de esfuerzos de Airy para determinar
el valor del potencial de esfuerzo todas las coordenadas ��� � enteras o no ente ras.
Mientras que las condiciones de fronte ra del campo de pote ncial fueron determinadas
de forma discreta por medio de diferencias finitas, la ecuación (37) no es
necesariamente considerada una solución por diferencias finitas. En cambio, es una
función analítica en forma de series truncadas de la misma forma en que se emplean
en la teoría de elasticidad (Muskhelishvili, 1953).
3.3 DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS
La función de esfuerzos de Airy en la ecuación (37) satisface las condiciones de
equilibrio y compatibilidad. Los esfuerzos pueden ser obtenidos usando di ferencias
finitas usando las ecuaciones (7) habiendo resulto los valores /n�� por medio de (37)
para una malla determinada. Otra alternativa más útil y más fundamental es realizar
una derivación en el sentido simbólico, usando las ecuaciones (5). Los esfuerzos
´suavizados´ se pueden e xpresar de la siguiente manera:
��~ �� � 0�45 S S \� �6�\��,�/n}Q�RT9�RUV iZ64 j�W9�
QUV *+X Y Z�4 6��� # ��[*+X Y Z�5 ,�� # ��[ ��~ �� � 0�45 S S \� �6�\��,�/n}Q�R
T9�RUV iZ,5 j�W9�
QUV *+X Y Z�4 6��� # ��[*+X Y Z�5,�� #��[����(>�
24
���~ �� � 0�45 S S \� �6�\��,�/n}Q�RT9�RUV "Z�6,45 $W9�
QUV *+X Y Z�4 6���# ��[ *+X Y Z�5 ,�� # ��[
Estas ecuaciones pueden ser manipuladas matemáticamente como funciones de
esfuerzo conve ncionales. De nuevo, las coordenadas ��� � no debe n ser ente ras
necesariamente y por l o tanto se pueden evaluar los es fuerzos e n cualquier punto del
dominio.
Además de determinar los campos de esfuerzos para el dominio, las ecuaciones (38)
pueden ser usadas para obtener las tracciones en las fronteras para alimentar un
modelo numérico en el marco de un análisis de esfuerzos híbrido. Estas tracciones de
fronte ra pueden ser proporcionadas en forma de funci ones analíticas a un modelo
matemático, o, siendo evaluadas en las coordenadas específicas para que coincidan
con los nodos de fronte ra de una malla, a un modelo numérico. Esta aproximación
resulta particularmente interesante en la medida en que no existe la necesidad de
hacer coincidir los nodos de la malla con la posición de l os pi xeles en el dominio como
es el caso en Morton et al (1990). Así, el analista tiene la libertad de definir la malla sin
restricciones, por ejemplo re finando la malla en conce ntradores de esfuerzo.
4. IMPLEMENTACIÓN
Para implementar la técnica presentada se usó el software Mathcad 13©. Existe
una serie de aspectos a tener en cuenta para la elaboración de los algoritmos.
La aplicación de ecuaciones de dife rencias finitas impide calcular los valores de O��
en las primeras y últimas filas y columnas, por lo ta nto O es un arre glo de tamaño 4 0 � por 5 0 �. Igualmente el tamaño del arreglo correspondiente al potencial de
esfuerzo es de tamaño 4 0� por 5 0�. Las funciones de esfuerzos derivadas de la
función de pote ncial de esfuerzos, pueden ser evaluadas en cualquier coordenada del
dominio (de tamaño 4 0 � por 5 0 �) si se si gue el procedimiento descrito en el
numeral 3.3 “Determinación de es fuerzos”. Se ha encontrado que e n el caso de datos
expe rimentales con ruido, es adecuado no tener e n cuenta l os valores de las primeras
o las primeras dos filas y columnas de los arreglos de esfuerzos obtenidos. Este aspecto
se deja al criterio del usuario.
25
Por otra parte las ecuaciones (29) y (36) no se puede n e valuar en el caso
6 � , � ) porque el denominador se convierte en cero. Esto significa que /PV�V y /n}V�V
son indeterminados. Un problema similar ocurre en Ghiglia & Romero (1994), y se
sugiere usar /PV�V � OPV�V y ���/n}�V�V.
La TDC empleada (20) impone el equivalente discreto de las condiciones de
fronte ra de Neumann sobre la distribución de /Q�R requeridas (Ghiglia & Romero,
1994), en donde el gradiente de φ a través de las fronteras es igualado a cero. Esto se
puede verificar sustiyendo los valores de φ en la ecuación (20).
� / ��V� � /V� 0/9�� � )� � / ��W� � /W� 0 /W9�� � )������������) 7 7 5 0 �
� / ����V � /� �V 0/� �9� � )�������������������������������������������������������������(F�
� / ��� �T � /� �T 0 /� �T9�� )�������������) 7 � 7 4 0 ��� Estas relaciones se pueden e ncontrar por simple sustitución en la ecuación (20)
En la tabla 2 se muestran se muestran estas condiciones, las cuales deben ser
anticipadas en los datos e xperimentales realizando un precondicionamiento. Este
último no a fecta la exactitud de los resultados si es realizado adecuadamente, y no
tiene en principio nada que ver con la solución de las condiciones de frontera del
campo correspondiente a φ.
El precondicionamiento se realiza sobre los arreglos que contienen los valores de los
esfuerzos �A � �C � �AC y consiste e n adicionar l os valores del gradiente de φ (39) a t ravés
de las fronteras a los valores de los esfuerzos en las segundas y penúltimas filas y
columnas de los arreglos. Para ver cómo influyen las condiciones sobre las fronteras de
φ en los esfuerzos tomemos un ejemplo. Calculando los esfuerzos por medio de
diferencias finitas se tiene:
������ 8 " �/ ��$�� � /� 9�� 0 �/� �
26
0q 0 1 … j … o 0 q o
0q /V�V /V�� . /V � . /V �T9�
0 /V �V /V�V /V�� . /V � . /V �T9� /V �T
1 ��� ��/� �V /��V /��� . /� � . /� �T9� /� �T9�
… . . . . . . . .
i ��� ��/� �V /� �V /� �� . /� � . /� �T9� /� �T9�
… . . . . . . . .
s0 q /W 9��V /W9��V . . /W9�� . /W 9��T9� /W9��T9�s /W9��V . . /W9�� . /W 9��T9�
Tabla 2: Condiciones de frontera de Neumann impuestas sobre φ (la doble línea indica las fronteras del dominio)
Reemplazando los valores de la ecuación (39):
��� �V� � /9�� 0 �/V � # /� � � 0/V� # /��
O bien:
����V� � /9�� 0 �/V� #/�� � B0/V � # /��D# �/9�� 0 /V��
����V� � B0/V � #/��D # � / ��V�
Siguiendo un proceso a nálogo se encuentran los efectos sobre σy,τxy. Finalmente se
duplican los valores modificados en las filas y columnas del borde. Las tablas 3,4 y 5
muestran el resultado de este proce dimiento.
27
0 1 2 … j … o 0p o 0q
0 ��A����# � /H ��V��
��A����# � /H ��V� � ��A����# � /H ��V� � .
��A���# � /H ��V � . ��A���T9�#� /H ��V�T9�
��A���T9�# � /H ��V�T9� 1
��A����# � /H ��V� � ��A����# � /H ��V� �
��A����# � /H ��V� � . ��A���# � /H ��V � .
��A���T9�#� /H ��V�T9� ��A���T9�# � /H ��V�T9�
2 ��������A���� ��A ���� ��A ���� . ��A�� � . ��A���T9 � ��A���T9 �
… . . . . . . . .
i �������A�� �� ��A �� �� ��A ���� . ��A �� � . ��A �� �T9� ��A �� �T9�
… . . . . . . . .
s 0� ��A�W9w�� ��A�W9w�� ��A�W9w�� . ��A�W9w� . ��A �W9w�T9� ��A�W9w�T9�
s 0p ��A�W9���0� /H ��W9���
��A�W9���0� /H ��W9���
��A�W9���0 � /H ��W9��� .
��A�W9��0 � /H ��W9�� . ��A�W9��T9�0 � /H ��W9��T9�
��A�W9��T9�0 � /H ��W9��T9�
s 0q ��A�W9���0� /H ��W9���
��A�W9���0� /H ��W9���
��A�W9���0 � /H ��W9��� .
��A�W9��0 � /H ��W9�� . ��A�W9��T9�0 � /H ��W9��T9�
��A�W9��T9�0 � /H ��W9��T9�
Tabla 3: Precondicionamiento – Valores de frontera impuestos s obre �A (la doble línea indica las fronteras del dominio)
0 1 2 … J … o 0p o 0 q
0 ��C����# � /H ����V
��C����# � /H ����V ��C ���� . ��C��� . ��C���T9�0 � /H ����T
��C���T9�0 � /H ����T
1 ��C����# � /H ����V
��C����# � /H ����V ��C ���� . ��C��� .
��C���T9�0 � /H ����T
��C���T9�0 � /H ����T
2 �����C���� ���# � /H ����V
��C����# � /H ����V ��C ���� . ��C��� . ��C���T9�0 � /H ����T
��C���T9�0 � /H ����T
… . . . . . . . .
i ������C����# � /H �� ��V
��C�� ��# � /H �� ��V ��C �� �� . ��C��� . ��C� ��T9�0 � /H �� ��T
��C� ��T9�0 � /H ����T
… . . . . . . . .
s 0 � ��C�W9w��# � /H ��W9w�V
��C�W9w��# � /H ��W9w�V ��C �W9w �� . ��C �W 9w� . ��C�W9w�T9�0 � /H ��W9w�T
��C�W9w�T9�0 � /H ��W9w�T
s 0 p ��C�W9���# � /H ��W9��V
��C�W9���# � /H ��W9��V ��C �W9� �� . ��C �W 9�� . ��C�W9��T9�0 � /H ��W9��T
��C�W9��T9�0 � /H ��W9��T
s 0 q ��C�W9���# � /H ��W9��V
��C�W9���# � /H ��W9��V ��C �W9� �� . ��C �W 9�� . ��C�W9��T9�0 � /H ��W9��T
��C�W9��T9�0 � /H ��W9��T
Tabla 3: Precondicionamiento – Valores de frontera impuestos s obre �C (la doble línea indica las fronteras del dominio)
28
0 1 2 … j … o0 p o0 q
0 ��AC��:��� �:��.
0��AC��:��� �:��.
0���AC����# ����� .
0���AC���# ���� .
0��AC��:���T9�9��.
��AC��:���T9�9��.
1 0��AC��:��� �:��.
��AC��:��� �:��. ��AC���� # ���� . ��AC��� # ��� . ��AC��:���T9�9��.
0��AC��:���T9�9��.
2 0���AC���� # �� ��� ��AC���� # ���� ��AC��� � . ��AC��� . ��AC���T9� # ���T9� 0���AC���T9�# ���T9��
… . . . . . . . .
i ���0���AC���� �����# �����
��AC���� # ���� ��AC���� . ��AC��� . ��AC���T9� # ���T9� 0���AC���T9�# ���T9��
… . . . . . . . .
s 0� 0���AC�W9w��# �W 9w���
��AC�W9w��# �W9w�� ��AC�W9w�� . ��AC�W9w� .
��AC�W9w�T9�# �W9w�T9�
0���AC�W9w�T9�# �W9w�T9�� s 0p
0��AC�W9�9����:��.
��AC�W9�9����:��.
��AC�W9w��# �W9w�� .
��AC�W9w�# �W9w� . ��AC�W9�9���T9�9��.
0��AC�W9�9���T9�9��.
s 0q ��AC�W9�9����:��.
0��AC�W9�9����:��.
0���AC�W9w��#�W 9w��� .
0���AC�W9w�# �W9w�� .
0��AC�W9�9���T9�9��. ��AC�W9�9���T9�9��.
Tabla 4: Precondicionamiento – Valores de frontera impuestos s obre �AC (la doble línea indica las fronteras del dominio)
En donde:
��� � ��AC����9�� # ��AC ����:��. ���������������������������������������� 7 7 5 0 (
�W9�� � ��AC�W9�:���9��# ��AC�W9�:���:��. ��������������������� 7 7 5 0 (
�� �� � ��AC��9����� # ��AC ��:�����. ����������������������������������������� 7 � 7 5 0 (���������.)� ������������� ���T9�� ��AC��9���T9�:��# ��AC��:���T9�:��. ����������������������� 7 � 7 5 0 (
Estos valores de �AC en coordenadas intermedias se pueden aproximar
interpolando los valores alrede dor, por ejemplo:
��AC������ 8 ��AC�V�V # ��AC�V��# ��AC����# ��AC���V.
Los gradientes /H ��y /H � no se conocen a priori. Sin embargo se puede
usar las ecuaciones (5) para proveer los ajustes necesarios integrando los esfuerzos a
lo largo de las fronteras. No es necesario (ni posible) dete rminar los valores exactos de
29
los gradientes, es decir las constantes de integración, ya que finalmente los esfuerzos
son el resultado de una diferenciación de segundo orde n del potencial de esfuerzo φ,
eliminando así los términos constantes. Se asume que los valores de los esfuerzos
cortantes medidos experimentalmente son aceptables, al contrario de los esfuerzos en
x,y.
Los gradientes pueden ser entonces aproximados a partir de los datos en las
fronte ras de los arre glos de esfuerzos:
� / ��V� 8 S��AC��� �%9��
%U� ������������������������������������ 7 7 5 0�
� / ��W� 8 � / ��V� # S��A �%�W9�%U� ���������������������� 7 7 5 0�
� / ��� �V 8 S��AC�%9������
%U� ������������������������������������ 7 � 7 4 0����������������������.�� � / ����T 8 � / ����V # S��C ���%
T9�%U� ����������������������� 7 � 7 4 0 ������������������
Inevitablemente se introducen errores debido al ruido presente e n los datos,
aunque se estima que no son muy grandes ya que los gradientes son obtenidos con
sumatorias promediando así los errores de medición.
Finalmente, se pueden incluir procedimientos por transformadas rápidas si las
matrices son cuadradas de tamaño �% , reduciendo los tiempos computacionales
considerablemente. Si se quiere trabajar con matrices de gran tamaño (ej 512x512
pixeles) resulta prácticamente imperativo implementar estas transformadas. En Ghiglia
& Romero (1994) se describe en detalle la manera como implementar transformadas
rápidas de cosenos a la técnica.
5. ALGORITMOS
Como se mostró en el numeral tres, se tienen dos algoritmos para encontrar la
función de potencial de esfuerzo de Airy a partir de arreglos de esfuerzos:
30
Algoritmo 1 – Método directo
- Leer los datos de los esfuerzos σx,σy,τxy
- Realizar el precondicionamiento
- Calcular la variable ρ
- Calcular la TDC de ρ
- Calcular los valores trans formados de φ con /PQ�R � ���������
- Calcular la TDC inversa de /P
- Calcular los esfuerzos ajustados a partir de φ
Algoritmo 2 – Método con problema de fronte ra
- Leer los datos de los esfuerzos σx,σy,τxy
- Realizar el precondicionamiento
- Calcular la variable ρ
- Calcular la TDC de ρ
- Calcular los valores trans formados de φ con /PQ�R � ���������
- Calcular los valores de ��/n en las fronteras usando la relación v � �|N|�9�|N{
- Aplicar la TDC a ��/n
- Calcular /n} con /n}Q�R � ������ ��������
- Aplicar la TDC inversa para obtene r φ ajustado
- Calcular los esfuerzos ajustados a partir de φ
El código tomado de Mathcad© se muestra a continuación. La primera parte
correspondiente a la lectura de datos y al precondicionamiento sin idé nticas para
ambos algoritmos. Luego, se muestra la aplicación de la técnica en ambos algoritmos,
en los dos casos llegando a la función de potencial de esfuerzos de Airy φ en forma de
sumatorias finitas.
31
"DETERMI NACIÓN DE LA F UNCIÓN DE AI RY A PARTI R DE CAMPOS DE ESFUERZO"
Lectura de datos
Se debe verificar que las tres matrices de esfuerzos tienen las mismas dimensiones
Precondicionamiento
Rx
0
0 ...
:= Ry
0
0 ...
:= Rxy
0
0 ...
:=
M rows Rx( ) 2− 30=:= rows Ry( ) 32= rows Rxy( ) 32=
N cols Rx( ) 2− 30=:= cols Ry( ) 32= cols Rxy( ) 32=
i 1 M 1−..:= j 1 N 1−..:=
∆0y0
0:= ∆0yj
Rxy0 j,
Rxy0 j 1+,
+ Rxy1 j,
+ Rxy1 j 1+,
+
4∆0y
j 1−+:=
∆0x0
0:= ∆0xi
Rxyi 0,
Rxyi 1+ 0,
+ Rxyi 1,
+ Rxyi 1+ 1,
+
4∆0x
i 1−+:=
i 0 M 1−..:= j 0 N 1−..:=
∆Myj
∆0yj
0
M 1−
k
Rxk 1+ j 1+, ∑
=
+:= ∆Nxi
∆0xi
0
N 1−
k
Ryi 1+ k 1+, ∑
=
+:=
Rxy1 1,
Rxy1 1,
Rxy1 2,
+ Rxy2 2,
+ Rxy2 1,
+
16:=
Rxy1 N,
Rxy1 N,
Rxy1 N 1−,
+ Rxy2 N,
+ Rxy2 N 1−,
+
16:=
RxyM 1,
RxyM 1,
RxyM 2,
+ RxyM 1− 2,
+ RxyM 1− 1,
+
16:=
RxyM N,
RxyM N,
RxyM N 1−,
+ RxyM 1− N 1−,
+ RxyM 1− N,
+
16:=
i 2 M 1−..:= j 2 N 1−..:=
32
MÉTODO DIRECTO
Aplicación de la técnica
Rxyi 1,
Rxyi 1,
∆0xi
∆0xi 2−
−
4−:= Rxy
i N, Rxy
i N,
∆Nxi
∆Nxi 2−
−
4−:=
Rxy1 j,
Rxy1 j,
∆0yj
∆0yj 2−
−
4−:= Rxy
M j, Rxy
M j,
∆Myj
∆Myj 2−
−
4−:=
i 1 M..:= j 1 N..:=
Rx1 j,
Rx1 j,
∆0yj 1−
+:= RxM j,
RxM j,
∆Myj 1−
−:=
Ryi 1,
Ryi 1,
∆0xi 1−
+:= Ryi N,
Ryi N,
∆Nxi 1−
−:=
Rxi 0,
Rxi 1,
:= Rxi N 1+,
Rxi N,
:= Ryi 0,
Ryi 1,
:= Ryi N 1+,
Ryi N,
:=
Rxy0 j,
Rxy1 j,
−:= RxyM 1+ j,
RxyM j,
−:= Rxyi 0,
Rxyi 1,
−:= Rxyi N 1+,
Rxyi N,
−:=
i 0 M 1+..:= j 0 N 1+..:=
Rx0 j,
Rx1 j,
:= RxM 1+ j,
RxM j,
:= Ry0 j,
Ry1 j,
:= RyM 1+ j,
RyM j,
:=
Rxy0 0,
Rxy1 1,
:= Rxy0 N 1+,
Rxy1 N,
:= RxyM 1+ 0,
RxyM 1,
:= RxyM 1+ N 1+,
RxyM N,
:=
i 0 M 1−..:= j 0 N 1−..:= m 0 M 1−..:= n 0 N 1−..:=
ρi j,
Rxi j 1+,
2Rxi 1+ j 1+,
⋅− Rxi 2+ j 1+,
+( ) Ryi 1+ j,
2Ryi 1+ j 1+,
⋅− Ryi 1+ j 2+,
+( )+Rxyi 2+ j 2+,
Rxyi 2+ j,
− Rxyi j 2+,
− Rxyi j,
+( )4
+:=
Ρm n,
0
M 1−
i 0
N 1−
j
ρi j, cos
π
2 M⋅m⋅ 2 i⋅ 1+( )⋅
⋅ cosπ
2 N⋅n⋅ 2 j⋅ 1+( )⋅
⋅
∑
=∑=
:=
Cmn, 2cos
2π⋅
Mm⋅
⋅ 8cosπ
Mm⋅
⋅− 6+
2 cos2π⋅
Mm⋅
⋅ 2−
2cos
2π⋅
Nn⋅
⋅ 2−
⋅
16+ 2 cos
2π⋅
Nn⋅
⋅ 8 cosπ
Nn⋅
⋅− 6+
+:=
Φm n, if C
m n, 0 Ρm n, ,
Ρm n,
Cm n,
,
:=
33
Función de potencial
MÉTODO CON PROBLEMA DE
FRONTERA
Aplicación de la técnica
wm n,
1:= wm 0,
0.5:= w0 n,
0.5:= w0 0,
0.25:=
φi j,
1
M N⋅( )0
M 1−
m 0
N 1−
n
4 wm n,
⋅ Φm n,
⋅ cosπ
2 M⋅m⋅ 2 i⋅ 1+( )⋅
⋅ cosπ
2 N⋅n⋅ 2 j⋅ 1+( )⋅
⋅
∑
=∑=
⋅:=
i 0 M 1−..:= j 0 N 1−..:= m 0 M 1−..:= n 0 N 1−..:=
ρi j,
Rxi j 1+,
2Rxi 1+ j 1+,
⋅− Rxi 2+ j 1+,
+( ) Ryi 1+ j,
2Ryi 1+ j 1+,
⋅− Ryi 1+ j 2+,
+( )+Rxyi 2+ j 2+,
Rxyi 2+ j,
− Rxyi j 2+,
− Rxyi j,
+( )4
+:=
Ρm n,
0
M 1−
i 0
N 1−
j
ρi j, cos
π
2 M⋅m⋅ 2 i⋅ 1+( )⋅
⋅ cosπ
2 N⋅n⋅ 2 j⋅ 1+( )⋅
⋅
∑
=∑=
:=
Cmn, 2cos
2π⋅
Mm⋅
⋅ 8 cosπ
Mm⋅
⋅− 6+
2cos2π⋅
Mm⋅
⋅ 2−
2 cos
2π⋅
Nn⋅
⋅ 2−
⋅
16+ 2cos
2π⋅
Nn⋅
⋅ 8 cosπ
Nn⋅
⋅− 6+
+:=
Φm n, if C
m n, 0 Ρm n, ,
Ρm n,
Cm n,
,
:=
34
Km n,
1
82cos π
2m
M
2−
2cos π
2n
N
2−
⋅ 2 cos 2πn
N
cos 2πm
M
+ 4cos πn
N
− 4cos πm
M
− 6+
⋅+:=
Dm M⋅ n+
Km n,
Φm n,
⋅:=
P M:= Q N:= p 0 P 1−..:= q 0 Q 1−..:=
Bp Q⋅ q+ n,
4cos πp
2 P⋅
cos π
q 2 n⋅ 1+( )⋅
2 Q⋅
⋅:=
Bp Q⋅ q+ n N+,
4cos πp 2 M⋅ 1−( )⋅
2 P⋅
cos π
q 2 n⋅ 1+( )⋅
2 Q⋅
⋅:=
m 1 M 2−..:=
Bp Q⋅ q+ m 2 N⋅+ 1−,
4cos πp 2 m⋅ 1+( )⋅
2 P⋅
cos π
q
2 Q⋅
⋅:=
Bp Q⋅ q+ m M+ 2 N⋅+ 3−,
4cos πp 2 m⋅ 1+( )⋅
2 P⋅
cos π
q 2 N⋅ 1−( )⋅
2 Q⋅
⋅:=
n 1 N 2−..:=
Bp Q⋅ q+ n 2 M⋅+ 2 N⋅+ 5−,
4cos πp 3( )⋅
2 P⋅
cos π
q 2 n⋅ 1+( )⋅
2 Q⋅
⋅:=
Bp Q⋅ q+ n 2 M⋅+ 3 N⋅+ 7−,
4cos πp 2 M⋅ 3−( )⋅
2 P⋅
cos π
q 2 n⋅ 1+( )⋅
2 Q⋅
⋅:=
m 2 M 3−..:=
Bp Q⋅ q+ m 2 M⋅+ 4 N⋅+ 10−,
4cos πp 2 m⋅ 1+( )⋅
2 P⋅
cos π
q 3( )⋅
2 Q⋅
⋅:=
Bp Q⋅ q+ m 3 M⋅+ 4 N⋅+ 14−,
4cos πp 2 m⋅ 1+( )⋅
2 P⋅
cos π
q 2 N⋅ 3−( )⋅
2 Q⋅
⋅:=
R BTB⋅( ) 1−
BT
⋅ D⋅:=
35
ψ corresponde al doble Laplaciano de φ
Función de potencial
n 0 N 1−..:=
ψ0 n,
Rn
:=
ψM 1− n,
RN n+
:=
m 1 M 2−..:=
ψm 0,
R2 N⋅ m+ 1−
:=
ψm N 1−,
RM 2 N⋅+ m+ 3−
:=
n 1 N 2−..:=
ψ1 n,
R2 M⋅ 2 N⋅+ n+ 5−
:=
ψM 2− n,
R2 M⋅ 3 N⋅+ n+ 7−
:=
m 2 M 3−..:=
ψm 1, R
2 M⋅ 4 N⋅+ m+ 10−:=
ψm N 2−, R
3 M⋅ 4 N⋅+ m 14−+:=
m 0 M 1−..:= n 0 N 1−..:=
Ψm n,
0
M 1−
i 0
N 1−
j
4 ψi j, ⋅ cos
π m⋅
2 M⋅2 i⋅ 1+( )⋅
⋅ cosπ n⋅
2 N⋅2 j⋅ 1+( )⋅
⋅
∑
=∑=
:=
Φm n, if Km n, 0 Ψm n, , Ψm n,
Km n,
,
:=
wm n, 1:= w
m 0, 0.5:= w0 n, 0.5:= w
0 0, 0.25:=
φi j,
1
M N⋅0
M 1−
m 0
N 1−
n
4 wm n, ⋅ Φ
m n, ⋅ cosπ
2 M⋅m⋅ 2 i⋅ 1+( )⋅
⋅ cosπ
2 N⋅n⋅ 2 j⋅ 1+( )⋅
⋅
∑
=∑=
⋅:=
36
6. EJEMPLOS
6.1. ROBUSTEZ DEL MÉTODO DIRECTO
En este primer ejemplo se va a tomar la situación de esfuerzos más simple en la que
los tres esfuerzos en el plano son constantes. Se va notar Sx,Sy,Sxy los es fuerzos de
entrada del algoritmo y σx,σy,τxy los esfuerzos calculados a partir de la función de
esfuerzos de Airy ajustada a los datos e xperimentales.
En este ejemplo se tomó σx=300, σy=2000, τxy=-400 y se definió el tamaño de las
matrices en 32x25.
En la figura 2 se muestran los resultados obtenidos.
6.2. ROBUSTEZ DEL MÉTODO CON PROBLEMA DE FRONTERA
En este ejemplo se va a abordar una situación un poco más compleja. Se parte de una
función polinomial para φ de cuarto grado. Dado que esta funci ón debe satisfacer la
ecuación biarmónica (6 ), se impone una restricción sobre los coeficientes de los
términos, dejando únicamente cuatro coe ficientes independientes. Estos últimos se
eligen de manera arbitraria, pe ro tomando valores adecuados se puede representar
diversos estados de carga. De esta forma se tie ne:
/��� �� � k �2�� # � �w�3 #* �w��� # l �w�3 # �0�* 0 k� �2����������������� �.�� Se definen unos coe ficientes de manera arbitraria:
k � 0��������� � ��������* � 0.�������l � 01�������5 � (.�������4 � (.
Así, en la figura 3 se muestran los resultados que arroja el algoritmo 2 correspondiente
al método con problema de frontera. Los esfuerzos de entrada se calcularon
analíticamente a partir de la expresión de φ.
37
Figura 2 - Resultados con el Método directo – Ejemplo 1.
Sx σx
Sy σy
Sxy τxy
38
Figura 3- Resultados con el Método con problema de frontera – Ejemplo 2
Sx σx
Sy σy
Sxy τxy
39
6.3. DATOS EXPERIMENTALES CON RUIDO
En este ejemplo se va a analizar la región cercana al origen de una grieta
abriéndose.
Figura 4 – Ejemplo 3 – Esfuerzos e n la apertura de una grieta
En este ejemplo se tiene como punto de partida las relaciones para los
desplazamientos planteadas por Muskhelishvili (1953 ) en coordenadas polares:
!��� �� � ��� ���Z _`a ����"� # X�, ����� 0 �*+X � ����$
E��� �� � ��� ���Z aef ����"� # X�, � ����0 �*+X� ����$�������������� �.(�
En donde el origen es el de la grieta, KI es el factor de intensidad de esfuerzo en
modo I y E,υ son constantes elásticas.
En experimentos interferométricos es común obtener mapas de fase “envueltos”
para los desplazamientos u,v. Se simuló entonces unos mapas de fase para los
desplazamientos y se le agre go ruido aleatorio de ±0.1 %. Luego se recuperan los
valores de esfue rzo utilizando las ecuaciones (1) y (2). Se empleó un tamaño de
33x33 pixeles en los mapas de fase, obteniendo así arreglos de esfuerzo de tamaño
32x32. A continuación se presentan los resultados obtenidos con los dos
algoritmos.
40
6.3.1. MÉTODO DIRECTO
Figura 5 – Método directo – Ejemplo 3
41
6.3.2. MÉTODO CON PROBLEMA DE FRONTERA
Figura 6 – Método con problema de frontera – Ejemplo 3
42
Figura 7 - Comparación con los resultados s in ruido – Ejemplo 3
43
En los ejemplos uno y dos se muestra claramente la robustez de ambos algoritmos. En
el primer caso se tiene n errores porcentuales del orden de �)9�V. Aunque en el
segundo caso los errores son algo mayores, siguen siendo muy pequeños. Esto se debe
a que en el proceso de precondicionamiento se hace una interpolación para encontrar
valores en coorde nadas intermedias, introduciendo así un pequeño error e n el
algoritmo (en el primer caso, dado que los esfuerzos son constantes esta interpolación
no ge nera ningún error, de manera que los errores son más pequeños). Se han
realizado simulaciones con numeras situaciones de carga y se ha comproba do una
excelente corresponde ncia entre los esfuerzos encontrados y los datos teóricos (sin
ruido) de entrada. En el algoritmo 1 (Método directo) la robuste z no se ve afectada de
ninguna forma ni por el tamaño ni por la forma (cuadrada o rectangular) de las
matrices de esfuerzos. Se debe recordar que el algoritmo 2 (método con problema de
fronte ra) tiene la restricción de que los arreglos de es fuerzos de ben ser cuadrados, es
decir de tamaño MxM.
En el ejemplo tres se usaron datos con ruido con el fin de simular una medición
real por medio de interferometría. Como se observa, los contornos en las gráficas de
esfuerzo en las figuras 5 y 6 son muy irre gulares y en consecuencia tiene una pobre
calidad. Al usar el método directo se logra establecer una función de esfue rzos de Airy
analítica aunque como se ve, los resultados no son deseables en la medida en que
todavía e xiste ruido en los datos. Por otra parte, usando el segundo algoritmo se
obtiene una notable reducción de ruido ya que este método emplea las condiciones
de compatibilidad y equilibrio para ajustar los datos a una función de potencial de
esfuerzos. Si se comparan los resultados obtenidos con los esfue rzos sin ruido, se
obtienen errores porcentuales promedio de alrededor de 1%, lo cual es muy adecuado.
Este ejemplo muestra como la técnica, además de determinar la función de potencial
de Airy, pue de llevar a cabo una remoción de ruido de los datos experimentales
descomponiéndolos en un problema de frontera e n elasticidad.
44
7. CONCLUSIONES
En este trabajo se demostró que es posible formular campos de esfuerzos en dos
dimensiones medidos e xperimentalmente en forma de una función de esfuerzos de
Airy analítica que satisface las leyes de elasticidad. Este es un problema inverso del
primer tipo (Anger, 1993), para el cual se obtiene una solución en forma de una
transformada discreta de cosenos inversa la cual, siendo una función analítica, puede
ser derivada para obtener los esfuerzos también e n forma funcional y ya no en forma
matricial. Se desarrollaron dos algoritmos robustos para obtener la función de
esfuerzos de Airy en los cuales se permite además la remoción de ruido de los datos
expe rimentales dado que se emplea procedimientos sobre-determinísticos por
mínimos cuadrados. Otro corolario de este trabajo es que la descomposición de los
datos en un problema de frontera en elasticidad es un medio de “archivar” los campos
de esfue rzos experimentales en una forma minimalista (4(M +N)-16 valores en vez de
3MN), caracterizándolos por medio de un conjunto de condiciones de frontera único.
Por definición, estos valores de frontera no contienen ruido e n si aunque si están
sujetos a los errores experimentales. En el marco de un análisis de esfuerzos hibrido,
las condiciones de frontera encontradas pueden ser la entrada en un modelo numérico
(elementos finitos, por ejemplo) permitiendo una interacción directa entre los datos
expe rimentales y los modelos numéricos. Se tiene además la ventaja de poder evaluar
los valores en cualquier punto, pudiendo así emplear cualquier malla sin tener que
hacerla coincidir con las posiciones iniciales de los pi xeles.
Es posible además incluir proce dimientos de separación de esfuerzos y de fases en
datos que contienen los valores de forma combinada y se puede introducir una matriz
de ponderación a los datos permitiendo incluir fronteras geométricas dentro del
dominio así como despre ciar valores que se saben son erróneos.
Existe una limitación en cuanto a los tamaños de los campos que se pueden
procesar ya que sin la implementación de transformadas rápidas de cosenos, los
tiempos computacionales son restrictivos. Sin embargo esta implementación no
supone mayores dificultades y resultaría muy útil.
45
AGRADECIMIENTOS
El autor desea agradecer a A D Nurse quien plante o las bases teóricas de esta técnica y
a A Marañón quien fue el asesor de este proyecto de grado.
BIBLIOGRAFÍA
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- Anger G, 1993, Basic principles of inverse problems, en Inverse probl ems:
Principles and applications in Geophysics, Technology and Medicine. Eds G.
Anger, Berlin, Akademie.
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- Ghiglia D.C y Romero, L.A, 1994, Robust two-dimensional weighte d and
unwei ghted phase unwrappi ng that uses fast transforms and iterative methods,
Apll.Opy., Vol 11: 107-117
- Huang Y.M, R.E Rowlands y J.R Lesniak, 1990, Simultaneous stress separation,
smoothing of measured thermoelastic isopachic information and enhanced
boundary data, Expt. Mechs., Vol30: 398-403
- Knauss W.G, 2000, Perspectives in experimental solid mechanics, Int. J. Solids
Structs., Vol 37: 251-266
- Morton J, D. Post, B. Han y M.Y Tsai, 1990, A l ocalized hybrid method of stress
analysis: A combination of Moiré interferometry and FEM, Expt. Mechs., Vol30:
195-200
- Muskhelishvili N.I, 1953, Some basic probl ems of the mathematical theory of
elasticity, Noordhoff Publs., Groningen
- Nurse, A D, Referencia desconocida
- Sadd M. H, 2005, Elasticity: theory, applications, and num erics, Elsevier
Butterworth–Heinemann, Burlington
- Strang G, 1986, Introduction to applied mathematics, Wellesley-Cambridge
Press, Wellesley, Mass.
- Timoshenko S. P y Goodier J.N, 1970, Theory of elasticity, McGraw-Hill Book,
New York
46
APÉNDICE A: INCORPORACIÓN DE FRONTERAS GEOMÉTRICAS
Es posible que se dé el caso en que el dominio experimental contiene fronteras
geométricas que deben ser incorporadas en la determinación de la función de
esfuerzos de Airy. En este apéndice se establecen las modificaciones que se deben
implantar en la metodología descrita teniendo en cuenta que los datos e xperimentales
correspondientes a las re giones fuera de las fronteras geométricas consisten
únicamente de ruido de fondo y deben ser ignorados. La presencia de superficies libres
de tracción puede proveer información para la separación de es fuerzos fotoelásticos.
Se va a hacer una importante consideración matemática, según la cual las funciones
analíticas de esfuerzo son continuas a través de las fronteras libres de tracción. Esto
tiene como consecuencia la posibilidad de calcular el valor del potencial de esfuerzo
por fuera de las fronteras ge ométricas de la estructura aunque no tengan sentido
físico. Un ejemplo de esto son las e xpresiones analíticas para la geometría de una
lámina con agujero determinadas por Muskhelishvili (1953) las cuales se pueden
evaluar al interior del agujero. De esta forma, los algoritmos presentados deben poder
determinar el campo de potencial de esfuerzo en la totalidad del dominio
expe rimental aunque no tenga signi ficado en algunas re giones (por fuera de las
fronte ras ge ométricas).
El procedimiento para determinar la función de potencial de esfuerzo requiere la
introducción de una matriz de ponderación para ignorar los datos por fuera de las
fronte ras ge ométricas. El número de valores determinados para la función de
potencial sigue siendo 45 y el número de valores de frontera que caracteriza n la
función de potencial de Airy sigue siendo .�4 # 5� 0�3. Esta modi ficación se basa
en la aproximación de Ghi glia & Romero (1994), por lo cual se recomienda la consulta
de esta referencia. En resumen, el procedimiento modificado consiste en introducir
una matriz de ponderación en donde se asigna el valor de cero a las regiones por fuera
de las fronteras geométricas (eliminando así su influencia en el potencial de esfuerzo)
y el valor de uno al resto de datos. La técnica descrita muestra cómo resolver un
sistema sobre-determinado de ecuaciones lineales:
�� � �
47
Introduciendo una matriz W que contiene los valores de ponderación se tiene:
��� � ��
La solución por mínimos cuadrados está entonces dada por:
�N�N��� � �N�N��
Para la resolución de esta ecuación se requiere un esquema iterativo como por
ejemplo los métodos de Picard o de gradiente conjugado precondicionado descritos en
Ghiglia & Romero (1994)
48
APÉNDICE B: SEPARACIÓN DE ESFUERZOS – FOTOELASTICIDAD
En las técnicas convencionales de fotoelasticidad en dos dimensiones, los parámetros
medidos son el valor de fase isocromático α y el ángulo isoclínico ψ. Para cualquier
punto de referencia, generalmente se infiere:
��� 0��� � �����Z��_`a���� ����� ��� � �����Z��aef ���� �������������������.. � En donde �� es una constante obte nida por calibración correspondiente al material y t
es el espesor de la probeta. Una completa descripción de los campos de esfuerzos
requiere la separación de los esfuerzos para obtenerlos de forma independiente. Esta
separación puede ser realizada por la técnica para la determinación de la función de
potencial de esfuerzo.
Se supone que se conocen l os valores isocromáticos e isoclínicos para cada punto
(m,n) para un arre glo de MxN pi xeles. De esta forma se tienen los valores de los
esfuerzos, aunque de forma combinada. Usando un procedimiento similar al descrito
en el numeral 3 se tiene:
��� H��� 0��H���0�� H���� � / � i�� 0 ����� j������������������������������� �.1�
O bien:
L�M/ � L�M���������������������������.3� En donde:
L�M � ���H��� 0 ��H���0��H���� � ��������� L�M � i�� 0 ����� j����������������������������.;�
La solución por mínimos cuadrados al valor de la función de potencial φ se obtie ne por
medio de:
L�MNL�M/ � L�MNL�M���������������������������.> � Desarrollando la ecuación (48) se obtiene una ecuación que tiene la misma forma de la
ecuación (14). Se de be rede finir también la variable ρ que corresponde al lado derecho
49
de la ecuación (48) así como el coeficiente C el cual, usando un procedimiento similar,
se expresa:
hQ�R � i�_`a i� Z4 6j 0>_`a i Z46j # 3j # i�_`a i�Z5 ,j 0 >_ a iZ5 ,j #3j0 i�_`a i Z4 6j 0�j i�_ a iZ5,j 0�j# ��3i�*+X i� Z4 6j 0 �j i�*+X i� Z5,j 0 �j ������������������������ �.F�
Se aplica la TDC al lado derecho de la ecuación (48) en forma de diferencias finitas para
encontrar los valores OPQ�R y lue go se usa la ecuación (29) para encontrar los valores
del potencial de esfuerzo e n el dominio de la TDC.
Por otra parte es necesario también modificar el precondicionamiento ya que las
ecuaciones (41) requieren el conocimiento de l os valores de σx, σy separadamente. Es
posible emplear los valores de σx-σy en ve z de los valores de los esfuerzos
reemplazando los valores de σx, σy por sus equivalentes en diferencia de cortante
teniendo en cuenta que se introduce un error de segundo orde n en la distribución del
potencial de esfuerzo resultante φ. La consecuencia de esto es que los esfuerzos ��~ ��,
��~ �� son correctos e xce pto por un desplazamiento lineal desconocido. Este mismo
problema afecta el empleo del método de diferencia de cortante para separar
esfuerzos (Frocht, 1941).