Determinantul unei matrice:Determinantului de ordinn4Fie=o matrice ptratic. Vom asocia acestei matrici un numr notat det(A) numit determinantul matricii. Dac=este o matrice ptratic de ordinul nti, atuncidet() =.Determinantul matriciieste numarulelse numete determinant de ordin 2.Termenii,se numesc termenii dezvoltrii determinantului de ordin 2. Determinantul matriciieste numarulEl se calculeaza astfel:

i se numete determinant de ordin 3. Termenii care apar n formul se numesc termenii dezvoltrii determinantului. Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizeaz :Regula lui SarrusFie determinantul de ordin 3,Pentru a calcula un astfel de determinant se utilizeaz tabelul de maijos. - se completeaza sub determinant cu primele dou linii - se face produsul elementelor de pe diagonale. Produsul elementelor de pe diagonala descendent este cu semnul plus. . Produsul elementelor de pe o diagonal ascendent este cu semnul minus. . Suma celor ase produse d valoarea determinantuluidde ordin 3. Acest procedeu de calcul se numeteregula lui Sarrus.Regula triunghiuluiAm vzut c determinantul de ordin trei are n dezvoltarea sa ase termeni, trei cu semnul plus i ali trei cu semnul minus. Primul termen cu plus se gsete nmulind elementele de pe diagonala principal, iar ceilali doi, nmulind elementele situate n vrfurile celor dou triunghiuri care au o latur paralel cu cu diagonala principal. Dup aceeai regul, referitoare la diagonala secundar, se obin termenii cu minus. Attregula lui Sarrusct iregula triunghiuluise aplic numai determinanilor de ordin 3.Exemplu: S se calculeze prin cele dou metode de mai sus determinantul: Regula lui Sarrus. Regula triunghiuluiDeterminantul de ordinn Se defineste n continuare determinantul de ordinnprin recuren cu ajutorul determinanilor de ordinn 1.Pentru aceasta sunt necesare unele precizri. FieA=. Se numete minor asociat elementuluideterminantul matricii ptraticede ordinn 1 obinut prin suprimarea linieii coloaneidin matricea. Se noteaz acest minor prinsau. Se numete complement algebric al elementuluinumrul. Exponentulal lui (1) este suma dintre numrul linieii coloaneipe care se afl.Determinantul matriciiA=de ordinneste suma produselor elementelor din prima linie cu complemenii lor algebrici adic:. Elementelor, liniilor i coloanelor matriciiAle vom spune de asemenea elementele, liniile i coloanele determinantului .Formula din definiie spunem c reprezint dezvoltarea determinantului de ordinndup elementele primei linii.Exemplu: S se calculeze determinantul de ordin 4: Aplicm definiia dat mai sus pentrun= 4 i dezvoltm determinantul dup elementele liniei nti. Avem: Determinanii de ordin 3 se calculeaza prin una din metodele prezentate la determinanii de ordin 3.Proprietile determinanilor-Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse, adic dac, atunci. transpusa matricei A este.Atunci, iar. Prin urmare. -Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricii este nul. det =det.-Dac ntr-o matrice schimbm dou linii (sau dou coloane) ntre ele obinem o matrice care are determinantul egal cu opusuldeterminantului matricei iniiale.Prin schimbarea liniilor se arata c exista egalitatea..-Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice, atunci determinantul su este nul. det =.-Dac toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt nmulite cu un numr, obinem o matrice al crei determinant este egal cunmulit cu determinantul matricei iniiale. .-Dac elementele a dou linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proporionale, atunci determinantul este nul..