2003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003 11

Developments in Developments in MoyalMoyal String Field TheoryString Field Theory

Isao Isao KishimotoKishimotoUniv. of TokyoUniv. of Tokyo

collaboratationcollaboratation withwith I.BarsI.Bars, , Y.MatsuoY.MatsuoPRD67,066002(2003) PRD67,066002(2003) [hep[hep--th/0211131]th/0211131]

hephep--th/0302151th/0302151hephep--th/0303nnn(to appear)th/0303nnn(to appear)

222003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

IntroductionIntroductionWittenWittenの弦の場の理論の弦の場の理論 (1986)(1986)

````NoncommutativeNoncommutative Geometry And String Field Theory'Geometry And String Field Theory'��

非可換空間上の場の理論非可換空間上の場の理論(1999(1999--))SeibergSeiberg--WittenWitten前後～前後～��普通の積普通の積⇒⇒MoyalMoyal★★積積

弦の場の理論再び弦の場の理論再び(1999(1999--))SenSenの予想の予想, VSFT conjecture, , VSFT conjecture, ��

332003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

非可換空間上の弦の場の理論非可換空間上の弦の場の理論

WittenWittenの＊積の＊積 ⇒⇒ MoyalMoyal★★積積[Bars, Douglas[Bars, Douglas--LiuLiu--MooreMoore--ZwiebachZwiebach]]

MoyalMoyal★★積を用いて積を用いてWittenWittenの弦の場の理論をの弦の場の理論を

非可換空間上の場の理論として定式化してみよう：非可換空間上の場の理論として定式化してみよう：

MoyalMoyal formulation of String Field Theoryformulation of String Field Theory(MSFT)(MSFT)

[Bars[Bars--Matsuo]Matsuo]

442003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

WittenWittenの弦の場の理論の定式化：の弦の場の理論の定式化：

CFTCFTを使うものを使うもの [[��,LPP,,LPP,��]]

operatoroperator形式によるもの形式によるもの [[��,Gross,Gross--JevickiJevicki,,��]]

half stringhalf stringによるものによるもの [[��,AAB,,AAB,��]]

いずれも素朴に計算すると、中点の自由度で微妙なことがおこる。いずれも素朴に計算すると、中点の自由度で微妙なことがおこる。

associativityassociativity anomaly, identity string field,anomaly, identity string field,��

MSFTMSFTははhalf string formulationhalf string formulationを経由してを経由して

正則化正則化した定義を与える。した定義を与える。 （を目指す）

2003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003 55

ContentsContents

!! IntroductionIntroduction!! Half string and regularizationHalf string and regularization!! MoyalMoyal String Field TheoryString Field Theory!! Neumann coefficientsNeumann coefficients!! Splitting limitSplitting limit!! DiscussionDiscussion

662003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

Half string and regularizationHalf string and regularization

WittenWittenの＊積の＊積 ～～ 無限行列の積無限行列の積

MIJ

A＊BA

～（A＊B）IJ＝∑K AIKBKJ

B

772003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

式で書くと：式で書くと：

と右半分と左半分に分けてと右半分と左半分に分けてWittenWittenの＊積をの＊積を

のようにのように定義する

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

01

1

01

2 cos ,

( ) 2 sin ,

( ) 2 cos ,

nn

gh b bn

n

gh c cn

n

X x x n l r

b i x n l r

c c y n l r

σ σ σ π σ

σ σ σ π σ

σ σ σ π σ

∞

=

∞

=

∞

=

= + → + −

= → + −

= + → + −

∑

∑

∑

1 2

1 2

[ , , ; , , ]

[ , , ; , , ] [ , , ; , , ]

b c b c

b c b c b c b c b c

l l l r r r

DwDw Dw l l l w w w w w w r r r

Ψ Ψ

= Ψ Ψ −∫＊

定義する

882003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

元の非零モード元の非零モード の半分の半分

についてについてFourierFourier変換すると変換すると

halfhalf--string string の＊積の＊積 がが (anti(anti--))MoyalMoyal★★積積ににmapmapされる：される：

( ), ,gh ghn n nx x yµ ( ), ,gh gh

o e ex x yµ

Fourier変換

( ), , , , , :gh ghe e o o o ox p x p y qµ µ ξ=( ), , , , ,gh gh gh gh

e o e o e ox x x x y yµ µ

MoyalMoyal ★( , , ; , , )b c b cl l l r r r ★＊

992003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

このこのmapmapを零モードも含めて式で書くときを零モードも含めて式で書くとき

無限行列無限行列 T,R,S,T,R,S,ww,,vvが導入される：が導入される：

無限行列の積の結合性の破れ無限行列の積の結合性の破れ [Bars[Bars--Matsuo]Matsuo]

計算を計算をwellwell--defineddefinedにするため、正則化する必要ありにするため、正則化する必要あり

( ) ( ) ( )

/ 2 / 2

0 0

1 2 1 1 12

2 2 2 2 2 2

4 4cos( )cos( ), 2 cos , sin( )sin( )2

4 4 4 2 2, , , 2 , .

eo e eo

o e o e o e oe

eo oe eo e o

eT d e o w S d e o

oi e i ei iT R S w i voe o o e o e o

π π

π π

πσ σ σ σ σ σ

ππ π π

− + − + − + −− +

= = − =

= = = = =− − −

∫ ∫

( ) 0 0 v.s. ( ) 1 ,...R Tv R RT v v v= ⋅ = = ⋅ =　　 　

10102003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

無限行列の正則化：有限行列へ無限行列の正則化：有限行列へ [Bars[Bars--Matsuo]Matsuo]

ををee→κ→κee,o,o→κ→κooとしとしNN××NN行列の関係式へ：行列の関係式へ：

逆にこれを定義だと思うと逆にこれを定義だと思うと

((N,N,κκee,,κκoo))からからT,R,S,T,R,S,ww,,vvががあらわにあらわに定まる。定まる。

2 2

1

, , , ,oe eo oe eo o e o eo e e oe oe o

eo eo

R o T e R T v w v T w w R v

T e S o

−

−

= = + = =

=

∑ ∑

2 2 , , , ,

.o e

e o

R T R T vw v Tw w Rv

T S−1

κ κ

κ κ

−= = + = =

=

　 　 　

11112003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

これらの有限行列は次の関係式を満たす

( ) ( )

1, 1, 1 , 1 ,1,

1 , , ,1 1 11 , 1 1 .

ww w wwTT Tv vvw

TR RT RR

w ww wwRw

ww TT v

v ww RR

vS S

w

S

v

S

v w

= =

= − = =+ + +

=

= + = −

= =

+ = + +

2

21

ee

oo

wwκ

κ+ =

∏

∏※特に はもとの無限行列に戻る極限で∞

12122003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

MoyalMoyal string field theory (MSFT)string field theory (MSFT)

セットアップセットアップ

（（N,N,κκe,e,κκoo））, e=2,4,, e=2,4,��,2N,o=1,3,,2N,o=1,3,��,2N,2N－－112N2N個の個のfrequenciesfrequencies→→ 正則化された行列正則化された行列T,R,S,T,R,S,ww,,vvが決まる。が決まる。

MoyalMoyal FieldField

d+1d+1個（個（zeromodezeromode）＋）＋(2Nd+4N)(2Nd+4N)個の変数個の変数

非可換座標

0�( , , )A x ξ ξ

非可換座標

13132003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

元の元のWittenWittenののSFTSFTにもどるにはにもどるには

open string limit:open string limit: κκee==e,e,κκoo==o,No,N==∞∞

場の対応は場の対応は

( )0 0

0

2 ( ) 2 20

0

, ,

, , , ,

�gh gh gh

e o e o e o eip x c wy p x q yNdo e e

gh ghe n n n

T S R

x

d x dc dx dy e e

x wx c x x y

Aξ

ξ ξ− − − + +

× + Ψ

∫ ∫∼

　　　　　　　　　　　

14142003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

作用作用 ((WittenWittenののSFTSFTのゲージ固定した作用の正則化のゲージ固定した作用の正則化))

ここでここでSiegelSiegelゲージをとっている：ゲージをとっている：

2

1/ 2

/ 2

10

24

2 10 0

0

0

11 11 1

12 2

det

det

1 1 1

2 4 4

exp , ,

,

1 1( 1) ,2

( )

3

2

Tr

Tr=

Nd Ngh gh

d

gh gh

gh gh gh g

NdN gh

d

d

N

i

i

M

S d x A L A A A

d

D M

A

d

p D ML ξ ξ

σξ ξ ξ ξ

σ

ξ ξκ ξ κ

σ

ξ ξπ

κ ξκ ξ ε ε−−

−

∂ ∂ ∂ ∂+ ⊗ ⊗

∂ ∂ ∂ ∂

Σ

∂ ∂

∂ ∂

= Σ Σ =

= −

= − + −

− +

+

∫

∫

" # " #

$ $$ $

=

★

　

★

★

★

11

0 0

0

2

122

22

2, .

2,

e

o

eo

gh

h gh gh

N

nn

iR R

T T

dM M

M

κκ

κκ

ξ

κ−−=

−= = −

∑ 　　　　　 　　　

( ) ( )0 0� , , ,A x A xξ ξ ξ ξ=

15152003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

Neumann coefficients Neumann coefficients [BM2,BKM3][BM2,BKM3]

MSFTMSFTではノイマン行列は必要ないがではノイマン行列は必要ないが

対応物を対応物を定義定義できる：できる：operatoroperator形式との比較形式との比較

( )0 00 0 0

(1) (2) (3)0 0 0

3

1 2 3 1 2 3 3

1 1

2 2

,

exp

� � �Tr

rs s r r s s r r r rs s r r s

d

a V a a V p V p p c X b c X b

d x d d d

V p

A A A Vξ ξ ξ

− − − − − =

Ψ Ψ Ψ∫ ∫ ∼

r† † † † † †

★ ★

という同一視をすると、MSFTの言葉 (N,κe,κo) であらわにノイマン行列を表せる。

16162003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

MSFTMSFTでは任意のでは任意の(N,κe,κo) でで

ははGrossGross--JevickiJevickiの非線形関係を満たす。の非線形関係を満たす。

κκee==e,e,κκoo==o,No,N→∞→∞でのノイマン行列の（数値でのノイマン行列の（数値的）振る舞い的）振る舞い: : ((成分毎に）

2 20 02 20 0

1/ 2 1 1/ 220 1/ 2 1/ 2

1 1 1,..., ,...,3 3 1

0,...

0

rr rr

e o e

o e o

m mV C X Cm m

Tm

T

κκ

κ κ Τκκ Τκ κ

−

− −

− −= =

+ +

=

$ $$ $

$

成分毎に）

4/3 2 /3( ) ( )1 ( .) , 1 ( .)GJ GJ

rs rsnm nmrs rsnm nm

V N X Nconst N const NV X

− −+ +∼ ∼ 　　

17172003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

たとえばたとえば

の比の振る舞いはの比の振る舞いは

1 1 100 ( ) (3 ) ,o e oV N wT T T T wκ κ κ− − −= + 00

1 27log2 16GJV =

100 200 300 400

0.998

0.9985

0.999

0.9995

N

0.997

0.9975

18182003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

Splitting limit Splitting limit [BKM2][BKM2]

N:N:有限にしても、運動方程式をそのまま解く有限にしても、運動方程式をそのまま解くことは難しい：ことは難しい： MoyalMoyal積の非線形方程式積の非線形方程式

しかししかしsplitting limitsplitting limit κκee==κκoo では厳密に解ける。では厳密に解ける。

((もちろん普通の開弦ではもちろん普通の開弦では κκee==κκoo+1+1)

0( 1) 0L A A A− + =★

)

19192003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

( )0 0

0 0 0

00

''

1 2

2 4

( )1

( 1) ,

( ) ,

,

oscillators

e o

e o

b c c be e e e e e e

e

e eee

d

L A A

w

A A

www

−

κ κ

γ

κ β β β β β β ν

ν

γ

> >

− −>

−− −

− = + +

= + +

=

+

−

∑ ∑

∑L L

L

∼

★ ★

★ ★ ★

は「ほとんど」 でかける：0L0L

splitting limitsplitting limitではではwwee=0=0よりよりγγの項が消える！の項が消える！

20202003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

splitting limitsplitting limitでの運動方程式での運動方程式

の厳密解：の厳密解：

特に特にP=AP=ABB:: butterflybutterfly～～｜｜00〉〈〉〈00｜｜

の場合の解のまわりでは元のの場合の解のまわりでは元のtachyon masstachyon mass2 2

がが にシフトする：にシフトする：``tachyon vacuum(!?)``tachyon vacuum(!?)����

0 0 0A A A A+ + =L L★ ★ ★

0

0 0

2 ,.,

PA PP P P P P

= −

= =

LL L

★

★ ★ ★

2− ν 2ν

2 42( 2)

0,

2 ,c c b b

e B B e e B B e e B B e B B B

b c b cee e e e e e e e e

e ex x p p ix x ip p

N dB

A A A A A A A A A

A e eκ

κκ κ

β β β β β β− − −

− − − −−

= = = = = = =

=

★ ★ ★ ★ ★ ★ 　 ★

　　

21212003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

splitting limitsplitting limitからのズレからのズレ((中点の自由度の効果中点の自由度の効果))：：

γγ項を摂動的に扱うと項を摂動的に扱うと

摂動の摂動の11次では：次では：

open string open string limit:limit:κκee==e,e,κκoo==o,No,N==∞∞で発散。で発散。

通常の場合は素朴には通常の場合は素朴にはsplitting limitsplitting limitからの摂動ではからの摂動では

あつかえない！あつかえない！

1( ) ( ) ( 1) ( ) ( )

0 01

(0)0 0 0

' ' ,

' 2

kk k k l k l

l

B

A A A A A

A A

γ

ν

−− −

=

+ = − −

= + = +

∑L L

L L L

★ ★ ★

2

0(1) 214

e ee

B

w

wwdA A

κδ δ >−

=+

= +∑

…,

22222003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

DiscussionDiscussionMSFTMSFTははopen string limitopen string limitででWittenWittenののSFTSFTを再現すを再現す

る正則化だと期待できる：る正則化だと期待できる：

途中計算は途中計算はwellwell--defineddefined、、perturbativeperturbative spectrumspectrumの一致、の一致、

NeumannNeumann行列の一致行列の一致

MSFTMSFTだけで閉じた定式化にするために：だけで閉じた定式化にするために：

物理的状態を指定するための物理的状態を指定するためのBRST operator BRST operator ((VirasoroVirasoro) ) をどう記述すればよいか？をどう記述すればよいか？

23232003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

テクニカルな問題：テクニカルな問題：

κκee==e,e,κκoo==o,No,N==∞∞でで VenezianoVeneziano amplitudeamplitudeをを本当に再現しているか？本当に再現しているか？

Splitting limitSplitting limitでは解けたが、普通の開弦の場では解けたが、普通の開弦の場

合、運動方程式を厳密に解けるか？合、運動方程式を厳密に解けるか？

もし解ければもし解ければSiegel gaugeSiegel gaugeなので非摂動的数なので非摂動的数

値解値解[[��,,GaiottoGaiotto--RastelliRastelli]]と直接対応が見れる。と直接対応が見れる。

( )( )

2 2

21 2/ 22 2

1/ 2 1/ 2

1 1det 1 det 11 3 1 3 1~ exp ( ) ...

21 1det 1 det 13 3

( : , ( ) ...

e o

e o

d

e o

tt tte ett tt

p ptt tte ett tt

t T

κ τ κ τ

κ τ κ τ

τ α τ

κ κ α τ

− −

− −

−

− − − − + + − + + + + − − − − + +

= = .)

24242003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

厳密な扱いはとりあえずおいといて数値実験厳密な扱いはとりあえずおいといて数値実験

``Experimental ``Experimental MoyalMoyal String Field TheoryString Field Theory����あらわな閉じた形の式あらわな閉じた形の式: : ((msft.msft.mm, , neumann.mneumann.m))

NNをを∞∞にとばすときににとばすときにκκee,,κκooののe,oe,oへの近づけへの近づけ

方を変えることもできる。方を変えることもできる。

( )( )( ) ( )

( )( )

1/ 2 1/ 22 2 2 2'11 '2 2

2 2 2 2' '

' '

2 2

2 2 2 2 2 2

/ 1 1 /1 , 1 ,

/ 1 1 /

, , .

e o o ee oo e

e oe e o o

e e o o

e o o e o e e o e oeo oe eo

e o e o e o

w v

w v w v w vT R S

κ κ κ κ

κ κ κ κ

κ κ κ κκ κ κ κ κ κ

−−

≠ ≠

− − = − = − − −

= = =− − −

∏ ∏∏ ∏

　 　

25252003/3/182003/3/18 KEK2003KEK2003

例例 (N=1,(N=1,κκ22=2,=2,κκ11=1) =1) のセッティングでのセッティングで

もっとも低い近似：もっとも低い近似： tachyontachyon場場(p=0)(p=0)

だけでだけでtachyon vacuumtachyon vacuumを求めてみるとを求めてみると��

SenSenの予想のの予想の91%(!?)91%(!?)もちろんもちろん κκee==e,e,κκoo==o,No,N→∞→∞ではでは →→68%68%

[[SenSen--ZwiebachZwiebach]]

0 000 , (( ))

ghgh ghMMT eA A A e ξ ε ξξ ξφ ξξ −−== 　

0

29 / 7

26 25 25/ | 0.9094943

S V T e Tφπ −= =

レベルトランケーションとは違った数値実験ができる