ECOLE DES PONTS

DYNAMIQUE DES STRUCTURES

Devoir 2014

à rendre le 08 Avril 2014 (au début de l’amphi)

Etude du comportement dynamique d’une masse suspendue à un pont roulant

Introduction L’objectif de la présente application est d’étudier le comportement dynamique d’une masse suspendue à un pont roulant. Ce type de structure est très couramment rencontré dans les bâtiments industriels ; les structures de ce type doivent être dimensionnées pour résister aux actions dynamiques (sismiques) qui peuvent être développées au niveau des points de supports du pont roulant. On souhaite en particulier pouvoir déterminer les déplacements qui peuvent être développés au niveau de la masse suspendue ainsi que la cinématique du chariot qui supporte cette masse. La structure étudiée est présentée sur la Figure 1. Un portique (dont la cinématique est hors du périmètre de la présente application) supporte aux points A et B un pont roulant horizontal. Un chariot de masse 𝑚ch peut se déplacer le long du pont roulant entre les points A et B. A la face inférieure du chariot (point C) est attachée une barre très légère et indéformable de longueur 𝑙. Une masse 𝑚 est suspendue à la deuxième extrémité de la barre indéformable (point D). La connexion entre la barre et le chariot au point C est une articulation de manière à ce que le système de la barre avec la masse puisse librement pivoter autour du point C formant un pendule.

Figure 1 – Structure étudiée : masse suspendue à un pont roulant

Un frein placé entre le chariot et le pont roulant permet de fixer la position du chariot le long du pont roulant. Le mécanisme du frein est caractérisé par la force horizontale maximale 𝐹max. Au-delà de la valeur de la force horizontale 𝐹max, le chariot glisse par rapport au pont roulant entraînant une vibration de la masse suspendue.

Question A – Calcul de la frequence propre du pendule Dans la première question on souhaite calculer la fréquence propre du pendule (c’est-à-dire du système constitué de la barre indéformable et de la masse 𝑚) qui est suspendu au point C. La position du chariot par rapport au pont roulant est fixe (frein activé). Le pendule peut être assimilé à un oscillateur à un degré de liberté : la rotation 𝜃 de la barre indéformable par rapport à la verticale. L’amortissement dans le système est négligé.

- Introduire un repère de coordonnées cartésiens au point C, comme présenté dans la Figure 2, et exprimer le déplacement, la vitesse et l’accélération horizontale et verticale de la masse 𝑚 comme fonction de l’angle de rotation 𝜃 de la barre par rapport à la verticale

Figure 2 – Repère cartésien pour le calcul de la fréquence propre du pendule

- Déterminer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle de la masse 𝑚 pour un angle de

rotation 𝜃 de la barre et utiliser les équations de Lagrange afin de dériver l’équation de mouvement du pendule

- Dans un dernier temps, linéariser l’équation du mouvement du pendule en introduisant les approximations :

o sin𝜃 ≅ 𝜃 o cos𝜃 ≅ 1 − 𝜃2

2!

et en éliminant les termes de second ordre ou supérieur. Utiliser l’équation du mouvement linéarisée afin de déterminer la fréquence propre du pendule.

Question B – Calcul de la reponse du pendule sous sollicitation sismique (spectre de reponse) Dans la deuxième question, on considère que le système est sollicité par une excitation sismique dans la direction horizontale. La composante verticale du mouvement sismique est négligée. L’excitation sismique est transmise par le portique aux points de support A et B de pont roulant comme présenté sur la Figure 3.

Figure 3 – Pendule soumis à une excitation sismique

L’excitation sismique peut être représentée soit explicitement par la variation temporelle de l’accélération ��(𝑡) qui est développée aux points A et B soit par l’intermédiaire d’un spectre de réponse en pseudo-accélération. Pour les besoins de la deuxième question, on considère que l’excitation sismique est représentée par le spectre de réponse fournie sur la Figure 4 et en particulier la courbe noir épaisse (DESIGN).

Figure 4 – Spectre de réponse aux points de support du pont roulant – Direction horizontale

– Amortissement 2% Le spectre est défini à un amortissement de 2%, valeur qui correspond à l’amortissement critique de la connexion entre le pendule et le chariot. Le pont roulant est considéré très rigide

de sorte que le mouvement aux points A et B représente le mouvement de tous les points du pont roulant. On considère finalement, pour les besoins de la présente question, que la résistance du frein est suffisante pour empêcher le glissement entre le chariot et le pont roulant. Ainsi, le chariot reste immobile par rapport au pont roulant pendant toute la durée de la sollicitation sismique.

- Ecrire l’équation du mouvement du pendule lorsque le point de support (point C) est soumis à un historique d’accélération ��(𝑡)

- Déterminer le déplacement horizontal maximal du pendule par rapport au point C quand cette sollicitation est représentée par le spectre de réponse de la Figure 4.

- Effectuer les calculs avec les paramètres numériques :

o 𝑚 = 5t o 𝑙 = 5m

Question C – Calcul de la reponse du pendule sous une sollicitation exterieure au niveau du chariot Dans la troisième question on considère que le chariot peut se déplacer librement le long du pont roulant (frein désactivé) et on désigne par 𝑢 le déplacement horizontal du chariot par rapport à un point de référence, comme présenté sur la Figure 5. L’amortissement dans le système est négligé.

Figure 5 – Frein désactivé : le chariot se déplace librement le long du pont roulant

- Déterminer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système constitué du pendule

et du chariot. La cinématique du système est décrit par deux degrés de liberté : le déplacement horizontal 𝑢 du chariot par rapport au point de référence (point C) et la rotation de la barre indéformable par rapport à la verticale 𝜃

- Utiliser les équations de Lagrange pour dériver les équations du mouvement du chariot et du pendule. Les équations du mouvement sont linéarisées en introduisant les approximations :

o sin𝜃 ≅ 𝜃 o cos𝜃 ≅ 1 − 𝜃2

2!

o Négliger les termes quadratiques en �� (vous pouvez a posteriori vérifier la validité de cette hypothèse)

- Déterminer le déplacement horizontal maximal du pendule par rapport au point C dans

l’intervalle temporelle [0,0.3𝑇] si le chariot est soumis à une force extérieure 𝐹(𝑡) dont la variation temporelle est donnée sur la Figure 4. Sur la Figure 4, 𝑇 représente la période propre du pendule (déterminée dans la Question A) et 𝑔 l’accélération de la gravité. La masse du chariot est prise égale à 𝑚ch =1t.

Figure 4 – Variation temporelle de la force 𝐹(𝑡)

Question D – Calcul de la reponse du pendule sous excitation aux points de supports et force de frottement On procède finalement à un calcul de la réponse du pendule en supposant que le frein est activé mais qu’il présente une résistance maximale 𝐹max, régie par le coefficient de frottement qui est développé entre le pont roulant et le chariot. En particulier, on considère que le coefficient de frottement entre le pont roulant et le chariot vaut 𝜇 = 0.5. Le système est sollicité par un pulse d’accélération horizontale ��(𝑡) qui est développé au niveau des points de support A et B du pont roulant. La variation temporelle de l’accélération est présentée sur la Figure 7 ; 𝑇 représente la période propre du pendule et 𝑔 l’accélération de la gravité.

Figure 7 – Variation temporelle de l’accélération aux points de support du pont roulant

Lors de la sollicitation du système par le pulse d’accélération considéré, il se peut que la force développée au niveau du frein (entre le chariot et le pont roulant) atteigne la limite imposée par le coefficient de frottement. Si cette condition est réalisée, le chariot est détaché du pont roulant et effectue un mouvement sous force constante (force de frottement) et vitesse initiale (vitesse du système lors du détachement du chariot). Le mouvement relatif du chariot par rapport au pont roulant se poursuit jusqu’à l’instant ou la vitesse du chariot par rapport au pont s’annule.

- Pour l’historique d’accélération de points de supports A et B, donné sur la Figure 7, déterminer l’instant d’initiation du glissement du chariot par rapport au pont roulant. On considère que le frein est activé mais qu’il est régi par un coefficient de frottement égal à 𝜇 = 0.5

- Utiliser un argument énergétique pour estimer le déplacement maximal du chariot par rapport à sa position initiale

- Déterminer le déplacement maximal de la masse suspendue par rapport à la position initiale du chariot dans l’intervalle du temps [0, 0.3𝑇].