devoir surveillé 8 impact de la pluie ; transformation d...

Devoir surveillé 8Impact de la pluie ; Transformation d’un gaz parfait ; Traitement des

effluents ; métallurgie de l’uraniumDurée : (aucune)

Samedi 25 avril

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sacopie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Néanmoins, le candidat prendra soin de tourner 7 fois son stylo dans sa bouche et de vérifier que l’erreur ne vient pas de lui.

Les CALCULATRICES sont autorisées

Le sujet comporte exercices indépendants.

MPSI DS 8 - Thermodynamique et chimie en solution aqueuse 2019-2020

1 Impact mécanique de la pluie (difficile, sujet de l’X)

Notation et données.

Accélération de la pesanteur : g = 9,81m.s−2

Masse volumique de l’air : ρa = 1,20 skg ·m−3

Masse volumique de l’eau : ρe = 998 skg ·m−3

Intégrale généralisée : Jn =̂w +∞

0xn exp(−x)dx = n!, (n ∈N)

Position du problème

Nous nous proposons d’étudier l’effet mécanique de la pluie sur un pare-brise. Une goutte est as-similée à une sphère de rayon r . Sa vitesse, par rapport au référentiel terrestre R0(~ux , ~uy , ~uz) considérécomme galiléen, est notée ~v = v ~ux où ~ux =~g /g .

La force de frottement fluide d’un objet sphérique est donnée par

~f =−1

2Cxρaπr 2v~v ,

où Cx = 0,4 est le coefficient de traînée supposé constant.

1.1 Chute d’une goutte d’eau

1.1.1 Sur la base de sa propre expérience, proposer un ordre de grandeur du rayon d’une goutte d’eaude pluie et celui de sa vitesse de chute.

1.1.2 Établir le bilan des forces qui s’exercent sur une goutte, lors de sa chute. Préciser leur expression.1.1.3 Établir que la vitesse de chute de la goutte est régie par l’équation différentielle :

1

g

d v

d t= 1−

( v

u

)2,

où u est une constante que l’on exprimera en fonction de ρe /ρa , g , r et Cx , et dont on donneraune interprétation physique.

1.1.4 Déterminer la solution de l’équation différentielle en considérant que la goutte quitte le nuageavec une vitesse nulle.

1.1.5 Esquisser l’allure de l’évolution v/u = f (t/t∗) où t∗représente un temps caractéristique que l’onprécisera. Commenter brièvement cette évolution.

1.1.6 À partir du tracé précédent, définir une distance caractéristique H∗ au delà de laquelle on peutconsidérer que la goutte a atteint une vitesse limite.

1.1.7 Calculer les valeurs numériques de u et H∗. Commenter brièvement ce dernier résultat.

2/11 May 6, 2020


1.2 Effort mécanique

Nous souhaitons estimer la force qu’exerce la pluie sur le pare-brise d’un avion. Le pare-brise estmodélisé par une surface S rectangulaire de hauteur h = 0,5m et de largeur l = 1m, inclinée d’un angleα = 45◦ sur la direction horizontale (figure (1)). Nous considérerons que, lorsque qu’une goutte heurtele pare-brise, sa quantité de mouvement, relativement à un repère lié à l’avion, s’annule.

L’intensité I caractérisant une précipitation est mesurée par la hauteur d’eau recueillie au sol, parunité de temps. Pour les applications numériques, nous adopterons I = 300mm·h−1 (pluie extrême, surune courte durée).

Dans un premier temps, nous supposons que les gouttes de pluie ont le même rayon r0 = 0,5mmet tombe à la même vitesse ~u = u~ux , u = 7m.s−1. Nous notons N0 leur nombre par unité de volume(d’atmosphère).

1.2.1

1.2.1.1 Exprimer N0 en fonction de u, r0 et de l’intensité I .1.2.1.2 Calculer la valeur numérique de N0.1.2.1.3 En déduire la distance moyenne d0 entre les gouttes de pluie.

1.2.2 Nous considérons d’abord le cas d’un avion immobile sur l’aérodrome.

1.2.2.1 Représenter, sur un schéma, le domaine de précipitation (atmosphère et gouttes) interceptépar le pare-brise entre les instants t et t +dt .

1.2.2.2 Exprimer la force ~F0 exercée par la pluie sur le pare-brise. Vérifier que son module s’écritsous la forme :

F0 = (k cosα)Sρe u2.

Expliciter la dépendance du facteur k avec N0 et r0. Préciser sa dimension.1.2.2.3 Calculer l’intensité de cette force.

1.2.3 Nous considérons maintenant un avion volant à la vitesse ~W =W ~uy .

1.2.3.1 Donner un ordre de grandeur de W pour un avion de ligne.1.2.3.2 En se plaçant dans un repère lié à l’avion, représenter, sur un schéma, le domaine de précip-

itation (atmosphère et gouttes) intercepté par le pare-brise, entre les instants t et t +dt . Onconsidérera les ordres de grandeur en jeu.

1.2.3.3 En déduire l’expression de la force ~F exercée par la pluie sur le pare-brise.

3/11 May 6, 2020


1.2.3.4 Donner l’ordre de grandeur de la force correspondante.

1.3 Distribution du rayon des gouttes

En réalité, les gouttes de pluie n’ont pas toutes la même taille. Le nombre dN de gouttes, par unité devolume (atmosphérique), dont le rayon est compris entre r et r +dr suit sensiblement la loi de Marshall-Palmer :

dN = n(r )dr = n0 exp(−r /λ)dr, (1)

où n0 et λ sont les paramètres (constants) de la distribution.

La différentielle dP (r )=̂dN /N0, où N0 représente le nombre total de gouttes par unité de volume,s’interprète comme la probabilité élémentaire que le rayon d’une goutte appartienne à l’intervalle [r,r +dr ].1.3.1 Quelques propriétés de la distribution de rayon.

1.3.1.1 Exprimer N0 en fonction de n0 et λ.1.3.1.2 Comparer les probabilités P (r ≤ λ) et P (r > λ) que le rayon d’une goutte choisie aléatoire-

ment soit, respectivement, inférieur ou supérieur à λ. Interpréter ce résultat.1.3.1.3 Exprimer le rayon moyen < r > des gouttes. Mettre ce résultat en perspective du précédent.

1.3.2 Nous définissons la grandeur différentielle suivante :

dM(r ) = ρe4π

3r 3n(r )dr.

1.3.2.1 Donner sa signification physique.1.3.2.2 Esquisser l’allure graphique de la grandeur µ(r )=̂dM/dr .1.3.2.3 Préciser le rayon des gouttes dont la contribution à la masse totale (par unité de volume) est

la plus importante.1.3.2.4 Exprimer la masse moyenne < m > des gouttes.1.3.2.5 Commenter la comparaison de < m > à la masse d’une goutte de rayon < r >.

1.3.3 L’expression de la force obtenue à la question (2.2.3.3) s’écrit sous la forme :

~F =−QN0r 30 ~uy ,

où le facteur Q est indépendant de N0 et r0.

1.3.3.1 Exprimer la force ~FD exercée par la pluie sur le pare-brise, pour la distribution (1).1.3.3.2 Exprimer le rapport φ=̂ ∣∣~FD

∣∣/∣∣~F ∣∣ pour un nombre total N0 de gouttes par unité de volume

fixé et pour < r >= r0.1.3.3.3 Conclure sur l’effet mécanique de la pluie. Le comparer à celui correspondant au maintien

en pression de l’habitacle de l’avion.

4/11 May 6, 2020


Figure 1: Dispositif expérimental

2 Étude d’une transformation d’un gaz parfait (difficile)

On étudie, dans ce problème, un dispositif expérimental constitué d’un cylindre horizontal, auxparois indéformables, de rayon intérieur rint = 5,0·10−2 m et de rayon extérieur rext, fermé de par etd’autre par deux pistons de masses et d’épaisseurs négligeable (cf figure 1). Le cylindre est fixe dans leréférentiel du laboratoire et les pistons sont mobiles.

Sur le piston de gauche, noté πG est accroché un ressort de raideur kG relié à l’autre extrémité à unsupport fixe. De la même façon, sur le piston de droite, noté πD est accroché un ressort de raideur kD

relié à l’autre extrémité à un support fixe. Un axe Ox muni d’un vecteur unitaire ~ux permet de repérer lesposition xG et xD respectivement des pistons πG et πD . Le ressort de gauche exerce sur le piston πG uneforce que l’on peut écrire sous la forme ~FG = −kG

(xG −xG ,0

)~ux dans laquelle xG ,0 représente l’abscisse

à vide du piston πG (ressort au repos). De la même façon, le ressort de droite exerce sur le piston πD uneforce que l’on peut écrire sous la forme ~FD =−kD

(xD −xD,0

)~ux dans laquelle xD,0 représente l’abscisse

à vide du piston πD (ressort au repos). Pour toute la suite on pose L = xD,0 −xG ,0 = 0,40m.Les raideurs des ressorts sont réglables par l’utilisateur au travers d’un système non décrit, sans pourautant modifier les abscisses à vide.Un résistance chauffante de volume et capacité thermique négligeable permet d’apporter de l’énergiethermique au fluide qui se trouve à l’intérieur du cylindre.On suppose qu’à l’équilibre mécanique interne du système, la pression est uniforme dans le cylindre.On supposera en outre dans toute la suite que les frottements lors du déplacement des pistons sonttotalement négligeables du point de vue énergétique (transformations mécaniquement réversibles).Le cylindre contient ng = 2,0·10−2 mol de gaz modélisable par un gaz parfait de rapport des capacitésthermiques γ= 1,4. À l’extérieur du cylindre, on créé un vide suffisamment poussé, de sorte qu’il n’ya aitpas de force de pression liées à l’atmosphère extérieure au cylindre. Les parois du cylindre et des pistonssont parfaitement calorifugées.L’ensemble des valeurs numériques sont résumées en annexe.

2.1 Ressort identiques : kD = kG = k1 = 500N ·m−1

Les raideurs des deux ressorts sont réglées identiquement à une valeur notée k1 = 500N·m−1. Larésistance chauffante n’est pas alimentée électriquement. Le dispositif expérimental est dans l’étatd’équilibre noté A. Le gaz à l’intérieur du piston est à la pression p A = 1,0·104 Pa connue.

5/11 May 6, 2020


2.1 Par un bilan de forces sur chacun des pistons, exprimer les positions d’équilibre xG ,A et xD,A re-spectivement des pistons πG et πD , en fonction de p A et des constantes du problème.

2.2 En déduire l’expression du volume VA occupé par le gaz en fonction de p A et des constantes duproblème. Calculer VA.

2.3 Exprimer littéralement puis calculer numériquement la température TA du gaz.

On alimente électriquement la résistance chauffante pendant une durée déterminée, qui apporte augaz l’énergie Q1 sous forme de chaleur. Le gaz atteint alors un nouvel état d’équilibre noté B . Le volumefinal occupé par le gaz est mesuré et vaut VB =αVA, avec α> 1.

2.4 Exprimer les positions d’équilibre xG ,B et xD,B , respectivement des pistonsπG et xD , en fonction deVA et des constantes du problème (on pourra en particulier exploiter les symétries du problème).Calculer VB .

2.5 Exprimer la pression pB du gaz dans l’état B en fonction de p A et des constantes du problème.Calculer pB .

2.6 Calculer la température TB du gaz dans l’état B .

2.7 Exprimer la quantité d’énergie échangée par transfert mécanique (travail) par le gaz (WA→B ) aucours de la transformation en fonction de p A, pB et les constantes du problème. Calculer WA→B .

2.8 Exprimer Q1 en fonction de p A, pB , TA, TB et des constantes du problème. Calculer Q1.Quel est le nom du physicien et chimiste français connu pour ces travaux sur la dilatation des gazet sur les hydracides (acide sans oxygène) ? Une rue porte son nom du coté du Panthéon.

2.2 Ressort distincts : kD = k1 et kG = 2k1

Le dispositif expérimental étant dans l’état d’équilibre B , on modifie instantanément la raideur duressort gauche tal que kG = 2k1. Ceci à pour conséquence de modifier instantanément la force qu’exercele ressort de gauche sur le piston gauche. La raideur du ressort droit est inchangée (kD = k1). On supposeque le gaz atteint un nouvel état d’équilibre noté C (pas d’oscillations permanentes). On note xG ,C etxD,C les nouvelles positions d’équilibre respectivement des pistons πG et πD . On admettra que xG ,C >xG ,B et xD,C > xD,B .L’objectif des questions qui suivent est de déterminer la pression pC de l’état d’équilibre C .

2.9 Montrer qu’à l’équilibre, le volume occupé par le gaz VC et la pression du gaz sont reliés par unerelation du type VC =βpC +V0 dans laquelle β et V0 sont des constantes que l’on déterminera.

2.10 Exprimer la variation d’énergie interne du gaz∆UBC entre les états B et C en fonction des variablesd’états correspondant à l’équilibre B , des constante du problème et de pC .

2.11 Exprimer la quantité d’énergie échangée par transfert mécanique (travail) par le gaz (WB→C ) aucours de la transformation en fonction des variables détats correspondant à l’équilibre B , des con-stantes du problème et de pC (pour cela, on exprimera séparément le travail dû au piston gaucheet le travail dû au piston droit).

2.12 En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que pC est solution d’une équationde la forme ap2

C +bpC + c = 0 dasn laquelle a, b et c sont des constantes. Donner les expressionsde a, b et c en fonction des variables d’états correspondant à l’équilibre B et des constantes duproblème.

Données :

6/11 May 6, 2020


L = 0,40m ; rint = 0,050m ; Pt = 30W ; γ= 1,4 ;Tmur = 300K ; ng = 0,020mol ; P A = 1,0·104 Pa ; k1 = 500N·m−1 ;α= 1,3.

3 Traitement des effluents urbains avant rejet

Les eaux usées de grandes agglomérations sont souvent récoltées dans des bassins d’épuration poursubir divers traitements avant d’être rejetées et/ou valorisées. Ces effluents urbains sont très chargés encomposés minéraux et organiques, en particulier des graisses, de l’acétate de cellulose, des composésphénoliques, des crésols, de l’urée, des tensioactifs...Un des traitements subis par ces effluents est un brassage par un courant d’air qui assure le passage dudioxygène O2 dans la solution et permet l’oxydation de certaines substances.

Les effluents à traiter peuvent, selon leur origine, contenir divers cations (divalents ou trivalents) àdes teneurs variables, pouvant dans certains cas atteindre quelques g·L−1 d’effluent.On supposera, pour simplifier, que l’ensemble des cations susceptibles d’être présents dans les effluentsse comportent comme un seul, l’aluminium Al3+ (le contre ion considéré sera NO−

3 ) et un des objectifsde cette partie est la détermination de la teneur de cet aluminium (Al3+), notée y et exprimée en g·L−1.

3.1 Le diagramme potentiel-pH ‘simplifié’ d’aluminium est donné en annexe, avec pour conventionde tracé Cespèces dissoutes = 10−2 mol.L−1. Attribuer un domaine à chacune des espèces suivantesAl(s), [Al(OH)4]−, Al3+, Al(OH)3(s).

3.2 Déterminer, en le justifiant, le potentiel standard du couple Al3+/Al(s).3.3 Déterminer, en le justifiant, le pKs de l’hydroxyde d’aluminium Al(OH)3(s).3.4 Déterminer, en le justifiant, la constante globale de formation β4 du complexe [Al(OH)4]−.3.5 Écrire l’équation donnant le potentiel à courant nul d’une électrode d’aluminium (Al) immergée

successivement dans :

• une suspension contenant Al(OH)3 ;

• une solution contenant [Al(OH)4]−.

En déduire les potentiels standard des couples Al(OH)3/Al(s) et [Al(OH)4]−/Al(s).

3.6 La détermination de la teneur en ions Al3+ est réalisée à l’aide d’un dosage conductimétrique.

3.6.1 Décrire brièvement la sonde de conductimétrie utilisée.3.6.2 Nommer la grandeur mesurée (notée L) dont la variation en fonction du volume de soude

versé, permet d’accéder au point d’équivalence. Préciser son unité.3.6.3 Rappeler la relation liant la grandeur L avec les caractéristiques géométriques de la sonde et

la conductivité de la solution (notée χsolution) dont on précisera l’unité.3.6.4 Rappeler la relation liant la conductivité ionique (χ j ) d’un ion ( j z+ ou j z−) à sa concentration

C j . En déduire la relation donnant la conductivité ionique (χsolution) d’une solution donnée.

3.7 Un litre d’effluent (noté E f ), dans lequel est ajouté de l’acide nitrique, est concentré, par évapo-ration sous vide, jusqu’à obtention d’un résidu liquide (noté RL ), dont le volume est 10cm3 ; laconcentration d’acide nitrique dans ce résidu vaut alors 0,05mol.L−1. L’ion Al3+ contenu dans lerésidu RL est dosé par de la soude (NaOH à 0,25mol.L−1).La figure 2 présente la variation (lors du dosage des 10cm3 du résidu RL par de la soude) deχsolution

et Lsolution, en fonction du volume de soude versé dans le résidu liquide (RL).

7/11 May 6, 2020


3.7.1 La courbe de dosage obtenue présente quatre parties assimilées à des segments de droite ettrois volumes équivalents (notés VE1, VE2 et VE3).Pour chacun des domaines suivants : 0 < V < VE1 ; VE1 < V < VE2 ; VE2 < V < VE3 ; préciserl’équation de réaction associée. Relever sur le graphe les valeurs VE1, VE2 et VE3.

3.7.2 Déterminer la quantité de matière (en moles) de Al(NO3)3 dans le résidu RL .3.7.3 En déduire la teneur y en Al3+ (gramme d’élément Al par litre d’effluent).3.7.4 Identifier les espèces chimiques présentes dans le bécher lorsque 15cm3 de soude ont été

ajoutés dans les 10cm3 du résidu RL (on négligera dans cette question les ions provenantde la dissociation de l’eau, ainsi que les ions provenant de la dissociation "éventuelle" deAl(OH)3.

3.7.5 Déterminer les concentrations des espèces chimiques qui sont dissoutes dans cette solution.3.7.6 Vérifier, à l’aide des données fournies en début du problème, la valeur deχ (ou de L) indiquée

dans la courbe de la figure 2, lorsqu’un volume de soude de 15cm3 a été versé.

Note : de nombreux équilibres acido-basiques, ainsi que la présence de divers complexants dans leseffluents, peuvent rendre ce type de dosage "très" délicat.

Données :

• Conductivités ioniques molaires :

Ion en solution H3O+ HO− NO−3 Na+ Al3+ [Al(OH)4]−

Conductivité ionique molaire limitede l’ion j 350·10−4 198·10−4 71·10−4 50·10−4 183·10−4 60·10−4

Λ◦j à 25◦C (S·m2 ·mol−1)

• masses molaires : M(H) = 1,0g.mol−1 ; M(N ) = 14,0g.mol−1 ; M(O) = 16,0g.mol−1 ; M(Al ) =27,0g.mol−1.

8/11 May 6, 2020


4 Métallurgie de l’uranium

Le principal minerai d’uranium est la pechblende qui contient essentiellement U3O8. Selon les gise-ments, la teneur initiale est de 1 à 2kg d’uranium par tonne de minerai. Ce minerai est donc dans unpremier temps traité sur place afin d’éviter d’énormes frais de transport. Les premières étapes consis-tent, après extraction du minerai dans la mine, à un concassage puis à un broyage afin de le réduire sousforme de fine poudre (450µm environ) avec addition d’eau.

4.1 Quel est le degré d’oxydation de l’uranium dans UO2 et UO3 ?4.2 En supposant que la pechblende U3O8 est en fait un mélange des deux oxydes précédents, déduire

sa composition.4.3 La poudre issue du minerai subit une attaque par l’acide sulfurique en présence d’un oxydant

puissant : le chlorate de sodium (Na+,ClO–3).

En présence d’eau, on travaillera avec les espèces U(s) , U3+ , U4+ , UO2+2 , U(OH)4(s) et UO2(OH)2(s) .

Le diagramme potentiel-pH (pour Ctracé = 1mol.L−1) est fourni sur le document réponse, à rendreavec la copie.

4.3.1 Attribuer chaque domaine A à F à une espèce de l’uranium. On justifiera rapidement. Dis-tinguer les domaines d’existence des domaines de prédominance. Le diagramme est à join-dre à la copie.

4.3.2 Calculer les équations des deux frontières verticales.4.3.3 Déterminer les pentes des segments séparant B et F d’une part, A et F d’autre part.4.3.4 En quoi le point entouré est-il particulier ? Écrire la réaction que subit B au delà de ce point.4.3.5 Calculer le potentiel du couple ClO–

3/Cl– en fonction du pH et superposer le graphe corre-spondant au diagramme potentiel-pH de l’uranium.

4.3.6 Sachant qu’on travaille en excès d’acide sulfurique et de chlorate de sodium, sous quelleforme trouvera-t-on l’uranium à la fin de cette étape ?

4.3.7 Écrire l’équation-bilan de la réaction de UO2 avec ClO–3 en milieu acide.

9/11 May 6, 2020


Figures de l’exercice 3

Diagramme E-pH de l’aluminium, avec Cespèces dissoutes = 10−2 mol.L−1

Courbe de conductimétrie

10/11 May 6, 2020


Figures de l’exercice 4

Figure 1 : Diagramme E-pH de l’uranium

11/11 May 6, 2020

devoir surveillé 8 impact de la pluie ; transformation d...

Documents