df (x) = f ′(x analiz_3.pdf · Մաթեմատիկական անալիզ դիֆերենցիալ...

¶.è. ÔàôÈÔ²¼²ðÚ²Ü È.¶. ÔàôÈÔ²¼²ðÚ²Ü

Ø²ÂºØ²îÆÎ²Î²Ü ²Ü²ÈÆ¼

¸Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³ßÇí

ºðºì²Ü 2005

dxxfxdf )()( ′=

1

Ê. ²µáíÛ³ÝÇ ³Ýí³Ý Ñ³ÛÏ³Ï³Ý å»ï³Ï³Ý Ù³ÝÏ³í³ñÅ³Ï³Ý Ñ³Ù³Éë³ñ³Ý

¶.è. ÔàôÈÔ²¼²ðÚ²Ü, È.¶. ÔàôÈÔ²¼²ðÚ²Ü

Ø²ÂºØ²îÆÎ²Î²Ü ²Ü²ÈÆ¼

¸Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³ßÇí

Ê Ý ¹ ñ ³ · Ç ñ ù – å ñ ³ Ï ï Ç Ï á õ Ù

àõëáõÙÝ³Ï³Ý Ó»éÝ³ñÏ

ºðºì²Ü 2005

2

ՀՏԴ 51 Հաստատված է ՀՀ կրթության և գիտության նախարարության ԳՄԴ22.161.1ց7 կողմից որպես ուսումնական ձեռնարկ մանկավարժական Ղ 942 բուհերի ուսանողների համար:

Հրատարակության է երաշխավորել Խ. Աբովյանի անվան ՀՊՄՀ

գիտական խորհուրդը: Ղ 942 Ղուլղազարյան Գ.Ռ., Ղուլղազարյան Լ.Գ. Մաթեմատիկական անալիզ, դիֆերենցիալ հաշիվ: Խնդրագիրք-պրակտիկում: -Երևան:-Մանկավարժ:- 2005, 152 էջ:

Ղ05)01(714

1602010000 2005թ. ԳՄԴ 22.161.1 ց 7

Մաթեմատիկական անալիզ դիֆերենցիալ հաշիվ: Ներկա խնդրագիրք-

պրակտիկում ձեռնարկը նախատեսված լինելով մանկավարժական բուհերի ուսանողների համար, կարող է օգտագործվել նաև տեխնիկական բուհերում և բնագիտական ֆակուլտետներում, որտեղ դասավանդվում է Մաթեմատիկական անալիզ: Տեսական նյութի կողքին բերված են բազմաթիվ խնդիրների լուծումներ:

Ձեռնարկը կարող է օգտակար լինել մաթեմատիկա դասավանդող ուսուցիչներին և հեռակա ուսուցման ուսանողներին: Ձեռնարկում բերված առաջադրանքները և դրանցից կազմված տարբերակները կարելի է օգտագործել որպես ստուգողական աշխատանքներ հեռակա և առկա ուսուցման ուսանողների համար:

ISBN 99941-968-2-0

©<<Մանկավարժ>> հրատ., 2005թ.:

ՄԱՆԿԱՎԱՐԺ 2005

3

Ü³ËÝ³Ï³Ý ï»Õ»ÏáõÃÛáõÝÝ»ñ

´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í RNf →: Ãí³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ

»Ý Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ï³Ù, å³ñ½³å»ë, Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: ò³ÝÏ³ó³Í Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ )(nfxn = ³ñÅ»ùÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý n -ñ¹ Ï³Ù

ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³Ù:

Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý Nnxx nn ∈,},{ Ï³Ù, å³ñ½³å»ë nx å³ÛÙ³-

Ý³Ýß³Ýáí:

Î³ë»Ýù }{ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ 0x -ÇÝ, »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í 0>ε

ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ NN ∈0 , áñ µáÉáñ 0Nn > µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ

ï»ÕÇ áõÝÇ ε<− || 0xxn ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ÀÝ¹ áñáõÙ, 0x -Ý ÏáãíáõÙ ¿ }{ nx

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý ¨ ·ñíáõÙ ¿` 0lim xxnn=

∞→:

Rx ∈0 Ï»ïÝ ÁÝ¹·ñÏáÕ ó³ÝÏ³ó³Í ),( βα ÙÇç³Ï³Ûù ÏáãíáõÙ ¿ 0x Ï»ïÇ ßñç³Ï³Ûù:

Rx ∈0 Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï, »Ã» 0x Ï»ïÇ

ó³ÝÏ³ó³Í ßñç³Ï³Ûù å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ E -ÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ Ï»ï, áñÁ ï³ñµ»ñ ¿ 0x -Çó:

üáõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝÁ Áëï Ð³ÛÝ»Ç: b ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³Ý 0x

Ï»ïáõÙ (Ï³Ù` »ñµ 0xx → ), »Ã» 0x -ÇÝ ½áõ·³ÙÇïáÕ ó³ÝÏ³ó³Í }{ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý

Ñ³Ù³ñ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ )( fDxn ∈ , 0xxn ≠ , ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ` )}({ nxf ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ b -ÇÝ:

üáõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝÁ Áëï ÎáßÇÇ: b ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³Ý 0x

Ï»ïáõÙ (Ï³Ù` »ñµ 0xx → ), »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0>δ

ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ µáÉáñ x -»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý )( fDx∈ ,

δ<−< ||0 0xx å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ, ï»ÕÇ áõÝÇ ε<− |)(| bxf ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

üáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛáõÝÁ Áëï Ð³ÛÝ»Ç: f ýáõÝÏóÇ³Ý 0x Ï»ïáõÙ ÏáãíáõÙ ¿

³ÝÁÝ¹Ñ³ï, »Ã» 0x -ÇÝ ½áõ·³ÙÇïáÕ ó³ÝÏ³ó³Í }{ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ,

³ÛÝåÇëÇÝ, áñ )( fDxn ∈ , ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÁ` )}({ nxf -Á ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ )( 0xf -ÇÝ:

üáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛáõÝÁ Áëï ÎáßÇÇ: f ýáõÝÏóÇ³Ý 0x Ï»ïáõÙ ÏáãíáõÙ ¿

³ÝÁÝ¹Ñ³ï, »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0>δ ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ

µáÉáñ x -»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý )( fDx∈ , δ<− || 0xx å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ, ï»ÕÇ

áõÝÇ ε<− |)()(| 0xfxf ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

4

¢1. ²Í³ÝóÛ³É ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É

1.²Í³ÝóÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ

¸Çóáõù 0x -Ý )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿ ¨

)(0 fDx ∈ : ¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ`

0

0 )()(xx

xfxf−−

, }{\)( 0xfDx∈ (1)

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 1: (1) Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ 0x Ï»ïáõÙ, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ

áõÝÇ, ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³É 0x Ï»ïáõÙ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É

å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÝ»ñÇó Ù»Ïáí

dxdyfy

dxxdfxyxf

xx,,,)(),(),(

0

000 =

′′′′ :

²ÛëåÇëáí, Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý

0

00

)()(lim)(0 xx

xfxfxfxx −

−=′

→ (2)

Üß³Ý³Ï»Ýù` 0xxx −=∆ , )()()()( 000 xfxxfxfxfy −∆+=−=∆ ¨ x∆ -Á

³Ýí³Ý»Ýù ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ³× 0x Ï»ïáõÙ, ÇëÏ y∆ -Á` ³ñ·áõÙ»ÝïÇ x∆ ³×ÇÝ

Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³× 0x Ï»ïáõÙ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ (2) Ñ³í³-

ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`

x

xfxxfxyxf

xx ∆−∆+

=∆∆

=′→∆→∆

)()(limlim)( 00

000 (3)

ºÃ» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý 0x Ï»ïáõÙ áõÝÇ ³Í³ÝóÛ³É, ³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿

³Í³Ýó»ÉÇ 0x Ï»ïáõÙ, ÇëÏ »Ã» )(xf -Á áõÝÇ ³Í³ÝóÛ³É áñ¨¿ µ³½ÙáõÃÛ³Ý

Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ, ³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ ³Í³Ýó»ÉÇ ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: ºÃ» E -Ý µáÉáñ ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñï»Õ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ

³Í³ÝóÛ³É, ³å³ E -Ç íñ³ áñáßíáõÙ ¿ )(xf ′ ³Í³ÝóÛ³É ýáõÝÏóÇ³

¸Çóáõù 0x -Ý )( fD -Ç ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý (Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý) ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 2: (1) Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛ³Ý ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý (Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý) ë³Ñ-Ù³ÝÁ 0x Ï»ïáõÙ, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ç³-

ÏáÕÙÛ³Ý (Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý) ³Í³ÝóÛ³É ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿` )0( 0 +′ xf ( )0( 0 −′ xf ):

²ÛëåÇëáí, Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý`

0

0

00)()(lim)0(

0 xxxfxfxf

xx −−

=+′+→

−−

=−′−→

0

0

00)()(lim)0(

0 xxxfxfxf

xx: (4)

5

Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ (4) µ³Ý³Ó¨Á Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`

xxfxxfxf

x ∆−∆+

=+′+→∆

)()(lim)0( 00

00

∆−∆+

=−′−→∆ x

xfxxfxfx

)()(lim)0( 00

00 : (5)

Â»áñ»Ù 1: ¸Çóáõù 0x -Ý )( fD -Ç ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ¨ Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý ë³Ñ-

Ù³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿: àñå»ë½Ç 0x Ï»ïáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝ»Ý³ ³Í³ÝóÛ³É,

³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³Ý f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ

³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ¨ Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ ¨ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³ =+′ )0( 0xf

)0( 0 −′= xf Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

2.¸Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 3: f ýáõÝÏóÇ³Ý )(0 fDx ∈ Ï»ïáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ,

»Ã» 0x Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ )()( 0xfxfy −=∆ ³×Á Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É

ï»ëùáí` ))(()()()( 000 xxxxxAxfxfy −α+−=−=∆ , (6)

áñï»Õ A -Ý x -Çó ³ÝÏ³Ë ¿, ÇëÏ 0)( →α x , »ñµ 0xx → :

Â»áñ»Ù 2 : àñå»ë½Ç f ýáõÝÏóÇ³Ý 0x Ï»ïáõÙ ÉÇÝÇ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ, ³ÝÑñ³-

Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ 0x Ï»ïáõÙ áõÝ»Ý³ ³Í³ÝóÛ³É:

²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù ï»ÕÇ áõÝÇ (6) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ`

)()()(

0

0 xAxx

xfxfα+=

−−

:

ø³ÝÇ áñ 0)(lim0

=→

xxxα , Ñ»ï¨³µ³ñ`

Axx

xfxfxx

=−−

→0

0 )()(lim0

Ï³Ù Axf =′ )( 0 :

ê³ÑÙ³ÝÇ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ »Ã» f ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ 0x

Ï»ïáõÙ, ³å³ (6) Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁ ÙÇ³ÏÝ ¿: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ 0x Ï»ïáõÙ: ²Û¹

¹»åùáõÙ (2) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ï·ñ»Ýù`

)()()()(0

0

0 xxfxx

xfxfα+′=

−−

,

áñï»Õ 0)( →α x , »ñµ 0xx → Ï³Ù

))(())(()()( 0000 xxxxxxfxfxf −α+−′=− , (7)

áñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ (6) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ:▲ Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇáõÃÛ³Ý (7) å³ÛÙ³ÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ Ñ»ï¨Û³ÉÇÝ

6

00000 ),())(()()( xxxxoxxxfxfxf →−+−′=− : (8)

¸Çý»ñ»Ýó»ÉÇáõÃÛ³Ý (7) ¨ (8) å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`

xxxxfxfxxfy ∆⋅∆α+∆′=−∆+=∆ )()()()( 000 , (9)

áñï»Õ 0)( →∆α x , »ñµ 0→∆x

0),()()()( 000 →∆∆+∆′=−∆+=∆ xxoxxfxfxxfy : (10)

Â»áñ»Ù 3 : ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ (³Í³Ýó»ÉÇ) ¿ 0x Ï»ïáõÙ, ³å³

³ÛÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ 0x Ï»ïáõÙ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1: (6) Ï³Ù (7) Ý»ñÏ³Û³óáõÙÝ»ñáõÙ )(xα ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹Ñ³-

Ýáõñ ³éÙ³Ùµ 0x Ï»ïáõÙ áñáßí³Í ã¿ ¨ ¹ñ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñ³·ñ»É ó³ÝÏ³ó³Í

³ñÅ»ù: àñå»ë½Ç 0x Ï»ïáõÙ å³Ñå³ÝíÇ )(xα -Ç ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛáõÝÁ, ÁÝ¹áõÝ-

íáõÙ ¿` 0)( 0 =α x : ÜÙ³Ý³å»ë (9) Ý»ñÏ³Û³óÙ³Ý Ù»ç` 0)0( =α :

¸Çóáõù f -Á ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ 0x Ï»ïáõÙ (ï»ÕÇ áõÝÇ (9)-Á Ï³Ù (10)-Á å³ÛÙ³-

ÝÁ): ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4: )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ 0x Ï»ïáõÙ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ x∆ ³×ÇÝ

Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý dy (Ï³Ù )( 0xdf ) ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É ³ë»Éáí` Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý

Ñ»ï¨Û³É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ` xxfdy ∆′= )( 0 ))()(( 00 xxfxdf ∆′= (11)

ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» 0)( 0 ≠′ xf , ³å³ dy -Á Çñ»ÝÇó Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ ¿ f ýáõÝÏ-

óÇ³ÛÇ 0x Ï»ïáõÙ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ x∆ ³×ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×Ç,

x∆ -Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ, ·Í³ÛÇÝ Ù³ëÁ: ÜÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí ³Û¹ Ñ³Ý·³Ù³ÝùÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨ (9) ¨ (10) Ý»ñÏ³Û³óáõÙÝ»ñÁ, µ³í³Ï³Ý³ã³÷ ÷áùñ x∆ -»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·ñíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ùáï³íáñ Ñ³í³ë³-ñáõÃÛáõÝÁ` dyy ≈∆ Ï³Ù

xxfxfxxf ∆′≈−∆+ )()()( 000

àñï»ÕÇó ëï³óíáõÙ ¿ Ùáï³íáñ Ñ³ßíÙ³Ý µ³Ý³Ó¨` xxfxfxxf ∆′+≈∆+ )()()( 000 : (12)

î»Õ³¹ñ»Éáí (11) µ³Ý³Ó¨áõÙ xxf =)( , Ïëï³Ý³Ýù`

xxdx ∆=∆⋅=1 : (13) Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí (13)-Á, (11) µ³Ý³Ó¨Á ·ñíáõÙ ¿ ³Ûëå»ë` dxxfdy )( 0′= Ï³Ù dxxfxdf )()( 00 ′= : (14)

ì»ñçÇÝ µ³Ý³Ó¨Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ 0x Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ï³ñ»ÉÇ

¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É áñå»ë ³Û¹ Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ ¨ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝ`

7

)( 0xfdxdy ′= Ï³Ù )()(

00 xf

dxxdf ′= : (15)

3. ²Í³ÝóÛ³ÉÇ ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ

¸Çï³ñÏ»Ýù áñ¨¿ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ

(ÝÏ.1): ì»ñóÝ»Ýù ·ñ³ýÇÏÇ ))(,( 00 xfxM ¨ ))(,( 00 xxfxxN ∆+∆+ Ï»ï»ñÁ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 5: )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ))(,( 00 xxfxxN ∆+∆+ ¨ ))(,( 00 xfxM Ï»ï»ñÁ ÙÇ³óÝáÕ áõÕÇÕÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³ïáÕ: ¸Çóáõù )( x∆α -Á MN

áõÕÕÇ ¨ Ox ³é³ÝóùÇ Ñ»ï Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÝ ¿ (ï»ë ÝÏ.1): ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ

αα =∆→∆

)(lim0

xx

ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ Ï³ë»Ýù, áñ ))(,( 00 xfxM Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ

áõÝÇ Ñ³ïáÕÝ»ñÇ ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ ¹Çñù, »ñµ N -Á ÙÝ³Éáí ·ñ³ýÇÏÇ íñ³ Ó·ïáõÙ ¿

M -ÇÝ (³ÛëÇÝùÝ` »ñµ 0→∆x ), áñÝ Çñ»ÝÇó Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ ¿ ))(,( 00 xfxM

Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ Ox ³é³ÝóùÇ Ñ»ï α ³ÝÏÛáõÝ Ï³½ÙáÕ áõÕÇÕÁ: Ð³ïáÕÝ»ñÇ

³Û¹ ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ ¹ÇñùÁ ÏáãíáõÙ ¿ ))(,( 00 xfxM Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ

ßáß³÷áÕ: MN Ñ³ïáÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

)()()()( 000

0 xxx

xfxxfxfy −∆

−∆+=− : (16)

ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ 0x Ï»ïáõÙ, ³å³ MN Ñ³ïáÕÝ áõÝÇ ë³ÑÙ³-

Ý³ÛÇÝ ¹Çñù, »ñµ MN → (»ñµ 0→∆x ) áõ ¹ñ³ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿` ( )(xfy =

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ))(,( 00 xfxM Ï»ïáõÙ ·ñ³ýÇÏÇÝ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ).

y

x

x∆

y∆

)(xfy = )()()()( 0

000 xx

xxfxxfxfy −

∆−∆+

+=

))(()( 000 xxxfxfy −′+=

dy

)( 0 xxf ∆+

α )( 0xf

M

N

ÝÏ. 1

0x

xx ∆+0

)( 0xftg ′=α

)( x∆α

8

))(()( 000 xxxfxfy −′+= : (17)

Â»áñ»Ù 4 : ºÃ» ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áñáßí³Í f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ³Û¹ ÙÇ-

ç³Ï³ÛùÇ 0x Ï»ïáõÙ, ³å³ ¹ñ³ ·ñ³ýÇÏÁ ))(,( 00 xfxM Ï»ïáõÙ áõÝÇ ßáß³÷áÕ,

ÁÝ¹ áñáõÙ ³Û¹ ßáß³÷áÕÇ ³ÝÏÛáõÝ³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏÇóÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ )( 0xf ′ -ÇÝ:

¸Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ ¹Åí³ñ ã¿ å³ñ½»É ÝÏ³ñ 1-Çó, ³ÛÝ ¿` xxfdy ∆′= )( 0 Çñ»ÝÇó Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ ¿ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ` ))(,( 00 xfxM

Ï»ïáõÙ ·ñ³ýÇÏÇÝ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ ûñ¹ÇÝ³ïÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ³×Á: ê³ÑÙ³ÝáõÙ 6: ¸Çóáõù )( x∆α -Á MN Ñ³ïáÕÇ ¨ Ox ³é³ÝóùÇ Ñ»ï

Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÝ ¿: ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ))(lim()(lim00

αααα =∆=∆−→∆+→∆

xxxx

ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ Ï³ë»Ýù, áñ ))(,( 00 xfxM Ï»ïáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ñ³ïáÕÝ»ñÇ

³ç³ÏáÕÙÛ³Ý (Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý) ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ ¹Çñù: Ð³ïáÕÝ»ñÇ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý (Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý) ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ ¹ÇñùÁ ÏáãíáõÙ ¿ ))(,( 00 xfxM Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ

·ñ³ýÇÏÇ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý (Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý) ßáß³÷áÕ: ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2: ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý 0x Ï»ïáõÙ áõÝÇ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý (Ó³Ë³-

ÏáÕÙÛ³Ý) ³Í³ÝóÛ³É, ³å³ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ))(,( 00 xfxM Ï»ïáõÙ áõÝÇ

³ç³ÏáÕÙÛ³Ý (Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý) ßáß³÷áÕ (ÝÏ.2) ¨ ¹ñ³ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿` ))(0()( 000 xxxfxfy −+′+= ( )))(0()( 000 xxxfxfy −−′+= : (18)

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 3: ºÃ» )(xfy = ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ 0x Ï»ïáõÙ ¨

)()()(lim0

0

0

−∞∞=−−

→ xxxfxf

xx, ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý 0x Ï»ïáõÙ

áõÝÇ ³Ýí»ñç ³Í³ÝóÛ³É ¨ ·ñáõÙ »Ý )()( 0 −∞∞=′ xf :

²Ûë ¹»åùáõÙ (16) Ñ³ïáÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ý»ñÏ³Û³óÝ»Éáí`

)()()( 0

0

00 yy

xfxfxx

xx −−−

+= (19)

ï»ëùáí, Ñ³Ùá½íáõÙ »Ýù, áñ »ñµ 0xx → Ñ³ïáÕÇ ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ ¹ÇñùÁ áñáßíáõÙ ¿

0xx = Ñ³í³ë³ñáõÙáí: ²ÛëÇÝùÝ, ³Ûë ¹»åùáõÙ )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ

))(,( 00 xfxM Ï»ïáõÙ ·ñ³ýÇÏÇÝ ï³ñ³Í ßáß³÷áÕÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ Oy ³é³Ýó-

ùÇÝ (ÝÏ.3): ºÃ» (4) Ï³Ù (5) ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ (Ï³Ù Ýñ³ÝóÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ) Ñ³í³ë³ñ »Ý ∞

Ï³Ù ∞− , ³å³ ¹ñ³Ýù ÏáãíáõÙ »Ý 0x Ï»ïáõÙ ÙÇ³ÏáÕÙÛ³Ý ³Ýí»ñç

³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» 0x Ï»ïáõÙ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ¨ Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý

³Ýí»ñç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÝ áõÝ»Ý ³Ý·³Ù ï³ñµ»ñ Ýß³ÝÝ»ñ, ³å³ 0x Ï»ïáõÙ

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï áõÕÕ³ÓÇ· ßáß³÷áÕÁ (ÝÏ.4) ê³ÑÙ³ÝáõÙ 7: àõÕÇÕÁ, áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ

9

))(,( 00 xfxM Ï»ïáí ¨ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ·ñ³ýÇÏÇÝ ï³ñ³Í ßáß³-

÷áÕÇÝ, ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ·ñ³ýÇÏÇ ÝáñÙ³É:

ºÃ» 0)( 0 ≠′ xf , ³å³ ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ

)()(

1)( 00

0 xxxf

xfy −′

−=− (20)

¸Çóáõù )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ))(,( xfxM Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ¿

·ñ³ýÇÏÇ ßáß³÷áÕÁ ¨ ÝáñÙ³ÉÁ (ÝÏ. 5), áñáÝù ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ Ñ³ïáõÙ »Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ T ¨ N Ï»ï»ñáõÙ: ¸Çóáõù P -Ý M Ï»ïÇ åñáÛ»ÏóÇ³Ý ¿ ³µóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ íñ³:

ºñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý ¨ Ù»Ë³ÝÇÏ³ÛÇ ß³ï ËÝ¹ÇñÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ û·ï³Ï³ñ ¿ ÇÙ³Ý³É Ñ»ï¨Û³É ãáñë Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ »ñÏ³-ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` ][PT -»ÝÃ³ßáß³÷áÕ, ][PN -

»ÝÃ³ÝáñÙ³É, ][MT -ßáß³÷áÕ, ][MN -Ýáñ-

Ù³É: ú·ïí»Éáí ³ÛÝ ÷³ëïÇó, áñ =′=α )(xftg y′ , ëï³ÝáõÙ »Ýù Ñ»ï¨Û³É

Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

yyPT′

= , 21 yyyMT ′+′

= ,

yyPN ′= , 21 yyMN ′+= :

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 8: )(1 xfy = ¨ )(2 xfy = ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇ Ñ³ï-

Ù³Ý ),( 00 yxM Ï»ïáõÙ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝ ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý

³Û¹ Ï»ïáõÙ ¹ñ³Ýó ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ (ÝÏ. 6):

M

x

y

P

ÝÏ. 5

0 N T

y α

M

x

y

0x ÝÏ. 2

0

M

x

y

0x ÝÏ. 3

0

M

x

y

0x ÝÏ. 4

0

10

ÜÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí, áñ )(1 xfy = ¨

)(2 xfy = ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇ Ñ³ï-

Ù³Ý ),( 00 yxM Ï»ïáõÙ ¹ñ³Ýó ï³ñí³Í ßá-

ß³÷áÕÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ áõÝ»Ý )( 01 xf ′ ¨ )( 02 xf ′ ³ÝÏÛáõÝ³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏÇóÝ»-

ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù, áñ ³Û¹ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í α ³ÝÏÛ³Ý ï³Ý·»ÝëÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨áí`

20,

)()(1)()(

0102

0102 παα <≤′′+′−′

=xfxfxfxf

tg : (21)

4. ²Í³ÝóÛ³ÉÇ ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ ýÇ½ÇÏ³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ

ÀÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë (1) Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ ÁÝ¹áõÝíáõÙ ¿ áñå»ë f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÷á-

÷áËÙ³Ý ÙÇçÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝ ],[ 0 xx Ñ³ïí³ÍáõÙ, ÇëÏ Ýñ³ (2) ë³ÑÙ³ÝÁ`

)( 0xf ′ -Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý 0x Ï»ïáõÙ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÷á÷áËÙ³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝ:

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »Ã» x -Á Å³Ù³Ý³Ï ¿, )(xfy = -Ý áõÕÕ³·ÇÍ ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇ

Ïááñ¹ÇÝ³ïÁ x å³ÑÇÝ, ³å³ )( 0xf ′ -Ý ÏÉÇÝÇ 0x å³ÑÇÝ ß³ñÅíáÕ Ï»ïÇ ³ÏÝ-

Ã³ñÃ³ÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ))(( 00 xxxfdy −′= -Ý ÏÉÇÝÇ ³ÛÝ ×³Ý³-

å³ñÑÁ, áñÁ Ï³ÝóÝ»ñ ÝÛáõÃ³Ï³Ý Ï»ïÁ 0x å³ÑÇó ÙÇÝã¨ x å³ÑÁ, »Ã» 0x å³-

ÑÇó Ýñ³ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ÙÝ³ñ Ñ³ëï³ïáõÝ: úñÇÝ³Ï1: ú·ïí»Éáí ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ³ßí»É )( 0xf ′ -Ý, »Ã»

³) 1,)( 03 == xxxf , µ) 0,)( 0

3 2 == xxxf :

ÈáõÍáõÙ: ³) 3)33(lim1)1(lim 2

0

33

0=∆+∆+=

∆−∆+

→∆→∆xx

xx

xx: Ð»ï¨³µ³ñª 3)1( =′f :

µ) ∞=∆

=∆∆

→∆→∆ 30

3 2

0

1limlimxx

xxx

: Ð»ï¨³µ³ñ ïñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý 00 =x Ï»-

ïáõÙ í»ñç³íáñ ³Í³ÝóÛ³É ãáõÝÇ, ÁÝ¹ áñáõÙ ∞=+′−∞=−′ )0(,)0( ff :

úñÇÝ³Ï 2: ú·ïí»Éáí ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ë³ÑÝ³ÝáõÙÇó ·ïÝ»É )(xf ′ -Á, »Ã»

³) )()( constCCxf == , µ) Nnxxf n ∈= ,)( , ·) xxf sin)( = ,

¹) xxf cos)( = , ») 1,0,)( ≠>= aaaxf x , ½) xexf =)( :

ÈáõÍáõÙ: ³) ø³ÝÇ áñ ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ x∆ -Á 0=∆y , ³å³ 0lim0

=∆∆

→∆ xy

x:

x

y

α

0 x0

M

ÝÏ.6

y=f1(x)

y=f 2(

x)

11

Ð»ï¨³µ³ñ` 0)( =′=′ Cxf :

µ) 1121

00 2)1(lim)(lim −−−−

→∆→∆=

∆++∆

−+=

∆−∆+ nnnn

x

nn

xnxxxxnnnx

xxxx

:

Ð»ï¨³µ³ñ` 1)()( −=′=′ nn nxxxf :

·) ×

∆

+=∆

∆

∆

+=∆

−∆+→∆→∆→∆ 2

coslim

2

2sin

2coslimsin)sin(lim

000

xxx

xxx

xxxx

xxx

xx

x

xcos

2

2sin

lim0

=∆

∆

×→∆

: Ð»ï¨³µ³ñ` xxxf cos)(sin)( =′=′ :

¹) ×

∆

+−=∆

∆

∆

+−=∆

−∆+→∆→∆→∆ 2

sinlim

2

2sin

2sinlimcos)cos(lim

000

xxx

xxx

xxxx

xxx

xx

x

xsin

2

2sin

lim0

−=∆

∆

×→∆

: Ð»ï¨³µ³ñ` xxxf sin)(cos)( −=′=′ :

») aax

aax

aa xx

x

xxxx

xln1limlim

00=

∆−

=∆− ∆

→∆

∆+

→∆: Ð»ï¨³µ³ñ` =′=′ )()( xaxf

aa x ln= :

½) Ü³Ëáñ¹ µ³Ý³Ó¨áõÙ, »Ã» í»ñóÝ»Ýù ea = , Ïëï³Ý³Ýù` =′=′ )()( xexf xx eee == ln : Ð»ï¨³µ³ñ` xx eexf =′=′ )()( :

úñÇÝ³Ï 3: ¶ïÝ»É 0x Ï»ïáõÙ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ¨ Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ, »Ã»

³) 1|,22|)( 0 =−= xxf x , µ) 0,sgn)1()( 02 =+= xxxxf :

ÈáõÍáõÙ: ³) 22)( −= xxf , »ñµ 1≥x : Ð»ï¨³µ³ñª =∆

−−∆+

+→∆ x

x

x

022lim1

0

2ln212lim20

=∆−

=∆

+→∆ x

x

x: ºÃ» 1<x , ³å³ xxf 22)( −= : Ð»ï¨³µ³ñª

2ln212lim2022lim0

1

0−=

∆−

−=∆

−− ∆

−→∆

∆+

−→∆ xx

x

x

x

x:

²ÛëåÇëáíª 2ln2)01(,2ln2)01( −=−′=+′ ff : Ð»ï¨³µ³ñ` f ýáõÝÏóÇ³Ý

12

10 =x Ï»ïáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ ã¿:

µ) ∞=∆∆+

=∆

−∆∆++→∆+→∆ x

xx

xxxx

2

0

2

0

)(1lim0sgn))(1(lim ,

∞=∆∆+

−=∆

−∆∆+−→∆−→∆ x

xx

xxxx

2

0

2

0

)(1lim0sgn))(1(lim :

²ÛëåÇëáíª ∞=′=−′=+′ )0()0()0( fff :

úñÇÝ³Ï 4: ¶ñ»É xy sin= ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ 4π

=x ³µëóÇë áõÝ»óáÕ

Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ ¨ ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ:

ÈáõÍáõÙ: Ð³ßí»Ýù 4π

=x Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¨ ¹ñ³ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁª

22

4sin

4=

π=

πy ,

22

4cos

4=

π=

π′y :

î»Õ³¹ñ»Éáí ³Û¹ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ßáß³÷áÕÇ (17) ¨ ÝáñÙ³ÉÇ` (20) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ù»ç, Ïëï³Ý³Ýù`

π

−=−42

222 xy (ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ),

π

−−=−42

222 xy (ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ):

úñÇÝ³Ï 5: ¶ïÝ»É 21 )( xxf = ¨ 3

2 )( xxf = ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇ

Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÁ ¨ ³Û¹ Ï»ï»ñáõÙ ¹ñ³Ýó Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ: ÈáõÍáõÙ: ¸Çóáõù ),( 00 yx Ï»ïÁ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÝ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ

200 xy = ¨ 3

00 xy = : ÈáõÍ»Éáí`

=

=300

200

xyxy

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á` Ïëï³Ý³Ýù, áñ ³Û¹ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ Ñ³ïíáõÙ »Ý )0;0( ¨ )1;1( Ï»ï»ñáõÙ: Ð³ßí»Ýù 00 =x ¨ 10 =x Ï»ï»ñáõÙ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ

³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ` 3)1(,2)1(,0)0(,0)0( 2121 =′=′=′=′ ffff : ÎÇñ³é»-

Éáí (21) µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù` )0;0( Ï»ïáõÙ` 0=α , )1;1( Ï»ïáõÙ` 71arctg=α :

úñÇÝ³Ï 6: ¶ïÝ»É xay = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ïáõÙ »ÝÃ³-

ßáß³÷áÕÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ:

ÈáõÍáõÙ: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý ),( xax Ï»ï: ø³ÝÇ áñ aaay xx ln)( =′=′ ,

13

³å³ |log|ln1

lne

aaaa

yyTP ax

x

===′

= :

úñÇÝ³Ï 7: ¶ïÝ»É 12 23 ++= xxy ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ 2=x

Ï»ïáõÙ: ÈáõÍáõÙ: I »Õ³Ý³Ï: ¶ïÝ»Ýù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×Á 2=x Ï»ïáõÙ.

+∆=−−−+∆++∆+=−∆+=∆ xxxfxfy 201881)2(2)2()2()2( 23

)8(208 232 xxxxxx ∆+∆∆+∆=∆+∆+ : üáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×Á Ý»ñÏ³Û³óí»ó (9)

ï»ëùáí, áñï»Õ, 08)(,20 2 →∆+∆=∆α= xxxA , »ñµ 0→∆x : Ð»ï¨³µ³ñ

Ýßí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ 2=x Ï»ïáõÙ ¨ dxdy 20)2( = :

II »Õ³Ý³Ï: Ð³ßí»Ýù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ 2=x Ï»ïáõÙ:

20)2(,43)( 2 =′+=′ yxxxy :

Ð³Ù³Ó³ÛÝ (11) µ³Ý³Ó¨Ç, Ïëï³Ý³Ýù` dxdxydy 20)2()2( =′= :

úñÇÝ³Ï 8: ¶ïÝ»É )cos(ln)( xxf = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ:

ÈáõÍáõÙ: 0,)sin(ln)( >−=′= xdxx

xdxxfdy :

úñÇÝ³Ï 9: ¶ïÝ»É xxxf −= 3)( ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×Á ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ 1=x

Ï»ïáõÙ, »ñµ 01,0;1,0;1=∆x : ¶ïÝ»É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×Á ¹Çý»ñ»ÝóÇ³Éáí ÷áË³-

ñÇÝ»Éáõó ëï³ó³Í µ³ó³ñÓ³Ï ëË³É³ÝùÁ` |)()(| xdfxf −∆ ¨ Ñ³ñ³µ»ñ³Ï³Ý

ëË³É³ÝùÁ` |))(/(||)()(| xfxdfxf ∆−∆ , »ñµ 01,0;1,0;1,1 =∆= xx :

ÈáõÍáõÙ: àõÝ»Ýù` 323 32111)1()1( xxxxxf ∆+∆+∆=+−∆−−∆+=∆ ,

xdf ∆= 2)1( , |3||)1()1(| 32 xxdff ∆+∆=−∆ , =∆−∆ |))1(/(||)1()1(| fdff

|)32/(||3| 22 xxxx ∆+∆+∆+∆= : àñï»ÕÇó, 01,0;1,0;1=∆x ³ñÅ»ùÝ»ñÇÝ Ñ³-

Ù³å³ï³ëË³Ý Ïëï³Ý³Ýù` 000301,0;31,0;4|)1()1(| =−∆ dff ,

20301/301;231/31;3/2|))1(/(||)1()1(| =∆−∆ fdff :

úñÇÝ³Ï 10: ¶ïÝ»É 5 33 ÃíÇ Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÁ::

ÈáõÍáõÙ: ¸Çï³ñÏ»Ýù 5)( xxf = ýáõÝÏóÇ³Ý: ÀÝ¹áõÝ»Ýù 320 =x , 1=∆x :

Ð³Ù³Ó³ÛÝ (12) Ùáï³íáñ Ñ³ßíÙ³Ý µ³Ý³Ó¨Ç Ïëï³Ý³Ýù`

xx

xxx ∆+≈∆+5 4

0

50

50

151 ,

0125,2132

1513233

5 4

55 =⋅+≈ :

14

¢2. ²Í³ÝóÙ³Ý ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÙ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁ

1.²Í³ÝóÛ³ÉÇ ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ Ñ³ßíÙ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁ, Ï³åí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï

Â»áñ»Ù 1 : ºÃ» f ¨ g ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý x Ï»ïáõÙ, ¨ x -Á

)()( gDfD ∩ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿, ³å³

³) ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñÝ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ x Ï»ïáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ`

)()())()(( xgxfxgxf ′+′=′+ , (1)

µ) ¹ñ³Ýó ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ x Ï»ïáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ`

)()()()())()(( xgxfxgxfxgxf ′⋅+⋅′=′⋅ , (2)

·) ¹ñ³Ýó ù³Ýáñ¹Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ x Ï»ïáõÙ, »Ã» 0)( ≠xg , ÁÝ¹ áñáõÙ`

)(

)()()()()()(

2 xgxgxfxgxf

xgxf ′−′

=′

: (3)

Ð»ï¨³Ýù 1: Ð³ëï³ïáõÝ ³ñï³¹ñÇãÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ý»É ³Í³ÝóÛ³ÉÇ Ýß³ÝÇ

ï³ÏÇó`

)())(( xfCxfC ′⋅=′⋅ : (4)

Ð»ï¨³Ýù 2: üáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ÏáÙµÇÝ³óÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿

¹ñ³Ýó ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ÏáÙµÇÝ³óÇ³ÛÇÝ`

)()()())()()(( 22112211 xfCxfCxfCxfCxfCxfC nnnn ′++′+′=′+++ : (5)

Ð»ï¨³Ýù 3: ºÃ» nfff ,...,, 21 ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý x Ï»ïáõÙ, ³å³

:)()()()()()()()()())()()((

2121

2121

xfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxf

nn

nn

′⋅⋅⋅++⋅⋅′⋅++⋅⋅⋅′=′⋅⋅⋅

(6)

Ð»ï¨³Ýù 4: ²Í³ÝóÛ³ÉÇ ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ Ï³åÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ Ã»áñ»Ù 1-Á

Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ó¨³Ï»ñå»É Ý³¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÝ»ñÇ ÙÇçáóáí`

³) )()())()(( xdgxdfxgxfd +=+ ,

µ) )()()()())()(( xdgxfxgxdfxgxfd ⋅+⋅=⋅ , (7)

·) )(

)()()()()()(

2 xgxdgxfxdfxg

xgxfd −

=

, »Ã» 0)( ≠xg :

15

2. Ð³Ï³¹³ñÓ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóáõÙÁ

Â»áñ»Ù 2 : ¸Çóáõù )()(: fEfDf → ¨ )()(:1 fDfEf →− ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ

÷áËÑ³Ï³¹³ñÓ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ »Ý ¨ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý

)(0 fDx ∈ ¨ )()( 00 fEyxf ∈= Ï»ï»ñáõÙ: ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ 0x

Ï»ïáõÙ ¨ 0)( 0 ≠xf , ³å³ 1−f ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ë ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ 0y Ï»ïáõÙ, ÁÝ¹

áñáõÙ`

( ))(

1)(0

01

xfyf

′=

′− (8)

3. ´³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóáõÙÝ áõ ¹Çý»ñ»ÝóáõÙÁ

Â»áñ»Ù 3 : ºÃ» )(xfy = ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ )( fDx∈ , ÇëÏ )(ygz =

ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ )()( fEyxf ∈= Ï»ïáõÙ, ³å³ == ))(( xfgz

))(( xfg= µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ x Ï»ïáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ

)()()()( xfygxfg ′⋅′=′ Ï³Ù )())((}))(({ xfxfgxfg ′⋅′=′ : (9)

Ð»ï¨³Ýù 5: ºÃ» )(),...,(),( 112211 −=== nnn yfyyfyxfy ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ ³Í³Ý-

ó»ÉÇ »Ý, ³å³ ))(( 11 xfff nn − µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ë ³Í³Ýó»ÉÇ ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ

)()()()()( 121111 xfyfyfxfff nnnnnn ′⋅⋅′⋅′=′ −−−− (10)

Ð»ï¨³Ýù 6. (²é³çÇÝ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ Ó¨Ç ³Ý÷á÷áË³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³ñ·áõÙ»Ý-ïÇ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùµ): Æñ³í³óÇ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨Á`

dyygdxxfgdz )(}))(({ ′=′= : (11)

²Ûë µ³Ý³Ó¨áõÙ dxxfdy )(′= Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É, ÇëÏ

dx -Ý ³ÝÏ³Ë ÷á÷áË³Ï³ÝÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É: ²ÛëåÇëáí` )(ygz = , áñï»Õ

)(xfy = µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÝ áõÝÇ ÝáõÛÝ ³ñï³ùÇÝ ï»ëùÁ, ÇÝã-áñ

»Ã» y -Á ÉÇÝ»ñ ³ÝÏ³Ë ÷á÷áË³Ï³Ý: Ð»ï¨³µ³ñ, áñ¨¿ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»Ý-

óÇ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ µ³½Ù³å³ïÏ³Í ³ÛÝ ³ñ·áõ-Ù»ÝïÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³Éáí, áñáí Ï³ï³ñí³Í ¿ ³Í³ÝóáõÙÁ:

úñÇÝ³Ï 1: ²å³óáõó»É, áñ`

³) Znnxx

tgx ∈π+π

≠=′ ,2

,cos

1)( 2 ,

µ) Znnxx

ctgx ∈π≠−=′ ,,sin

1)( 2 :

16

²å³óáõÛó: ÎÇñ³é»Éáí (3) µ³Ý³Ó¨Á ¨ ÝÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí, áñ xx cos)(sin =′ ,

xx sin)(cos −=′ , Ïëï³Ý³Ýù`

³) xx

xxx

xxxxxxtgx 22

22

2 cos1

cossincos

cos)(cossin)(sincos

cossin)( =

+=′−′

=′

=′ :

µ) xx

xxx

xxxxxxctgx 22

22

2 sin1

sincossin

sin)(sincos)(cossin

sincos)( −=

−−=′−′

=′

=′ :


³) 0,ln1|)|(log ≠=′ x

axxa ,

µ) 0,,)( 1 >∈αα=′ −αα xRxx :

²å³óáõÛó: ³) ¸Çóáõù 0|,|log ≠= xxy a : ÜÏ³ï»Ýù, áñ

<−>

==:0),(log,0,log

||logxxxxxy

a

aa

ºÃ» 0>x , ³å³ xy alog= ¨ Ryax y ∈= , ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ÷áËÑ³Ï³¹³ñÓ

»Ý: ÎÇñ³é»Éáí (8) µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù`

axaaax yya ln

1ln1

)(

1)(log ==′=′ :

ºÃ» 0<x , ³å³ )(log xy a −= , áñÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ uy alog= ¨ xu −=

ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ³Ù³¹ñáõÛÃÁ: ÎÇñ³é»Éáí (9) µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù`

axx

axxa ln

1)(ln1])([log =′−⋅

−=′− :

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »Ã» ea = , Ïëï³Ý³Ýù` x

x 1)||(ln =′ :

µ) Ð³Ù³Ó³ÛÝ α= xy ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` xaaxy logαα == , áñï»Õ 1>a

Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿:

²Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ ¿ uay = ¨ xu alogα= ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ

Ñ³Ù³¹ñáõÛÃÁ: ÎÇñ³é»Éáí (9) µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù`

=⋅α⋅=′α′=′=′ α

axaaxaxy u

au

ln1ln)log()()( 1log 11 −ααα α=⋅α⋅=⋅α⋅ x

xx

xa xa :

17


³) 21

1)(arcsinx

x−

=′ , »ñµ 1|| <x , µ) 21

1)(arccosx

x−

−=′ , »ñµ 1|| <x ,

·) Rxx

x ∈+

=′ ,1

1)arctg( 2 , ¹) Rxx

x ∈+

−=′ ,1

1)arcctg( 2 :

²å³óáõÛó: ³) ]1,1[]2/,2/[:sin −→ππ− ¨ ]2/,2/[]1,1[:arcsin ππ−→−

ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ÷áËÑ³Ï³¹³ñÓ »Ý: ¸Çóáõù xy arcsin= : ²Û¹ ¹»åùáõÙ yx sin=

¨ 0cos)(sin >=′ yy , »ñµ 2

|| π<y : ºÃ»

2|| π<y , ³å³ 1|sin||| <= yx : ÎÇñ³-

é»Éáí (8) µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù`

22 11

sin11

cos1

)(sin1)(arcsin

xyyyx

−=

−==

′=′ :

µ) ]1,1[],0[:cos −→π ¨ ],0[]1,1[:arccos π→− ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ÷áËÑ³Ï³-

¹³ñÓ »Ý: ¸Çóáõù xy arccos= : ²Û¹ ¹»åùáõÙ yx cos= ¨ 0sin)(cos <−=′ yy ,

»ñµ ),0( π∈y : ºÃ» ),0( π∈y , ³å³ 1|cos||| <= yx : ÎÇñ³é»Éáí (8) µ³Ý³Ó¨Á,

Ïëï³Ý³Ýù`

22 11

cos11

sin1

)(cos1)(arccos

xyyyx

−−=

−−=

−=′

=′ :

·) Rtg →ππ− )2/,2/(: ¨ )2/,2/(:arctg ππ−→R ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ÷áËÑ³-

Ï³¹³ñÓ »Ý: ¸Çóáõù xy arctg= : ²Û¹ ¹»åùáõÙ tgyx = ¨ 01)( 2 >+=′ ytgtgy ,

)2/,2/( ππ−∈y : ÎÇñ³é»Éáí (8) µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù

22 11

11

)(1)arctg(

xytgtgyx

+=

+=′

=′ :

¹) Rctg →π),0(: ¨ ),0(:arcctg π→R ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ÷áËÑ³Ï³¹³ñÓ »Ý:

¸Çóáõù xy arcctg= : ²Û¹ ¹»åùáõÙ ctgyx = ¨ =′)(ctgy 0)1( 2 <+−= yctg ,

),0( π∈y : Ð»ï¨³µ³ñ, Ïëï³Ý³Ýù`

22 11

11

)(1)arcctg(

xyctgctgyx

+−=

+−=

′=′ :

úñÇÝ³Ï 4: ¶ïÝ»É ÑÇå»ñµáÉ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ:

ÈáõÍáõÙ: Àëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` )(21 xx eeshx −−= , )(

21 xx eechx −+= ,

chxshxthx = ¨

18

shxchxcthx = : Ü³Ë ·ïÝ»Ýù ÑÇå»ñµáÉ³Ï³Ý ëÇÝáõëÇ ¨ ÏáëÇÝáõëÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ`

chxeeeeshxxxxx

=+

=′

−=′

−−

22)( ¨ shxeeeechx

xxxx

=−

=′

+=′

−−

22)( :

ÐÇå»ñµáÉ³Ï³Ý ï³Ý·»ÝëÇ ¨ Ïáï³Ý·»ÝëÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ Ñ³ßí»Ýù, û·ïí»Éáí

(3) µ³Ý³Ó¨Çó ¨ 122 =− xshxch ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÇó:

Rxxchxsh

xshxchchxshxthx ∈=

−=

′

=′ ,1)( 22

22

,

0,1)( 22

22

≠−=−

=′

=′ x

xshxshxchxsh

shxchxcthx :

úñÇÝ³Ï 5: ¶ïÝ»É |)(|ln xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ,

»Ã» )(xf -Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ¨ 0)( ≠xf :

ÈáõÍáõÙ: ø³ÝÇ áñ |)(|ln xfy = ýáõÝÏóÇ³Ý Çñ»ÝÇó Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ ¿

||ln uy = ¨ )(xfu = ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ³Ù³¹ñáõÛÃ, ³å³ ÏÇñ³é»Éáí (9)

µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù`

)()(1)||(ln

xfxfu

uuuy

′=′⋅=′⋅′=′ :

²ÛëåÇëáí`

)()(}|)(|{ln

xfxfxf

′=′ ¨

)()(|))(|(ln

xfxdfxfd = : (12)

)()(

xfxf ′

Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ³Í³ÝóÛ³É

x Ï»ïáõÙ:

úñÇÝ³Ï 6: ¶ïÝ»É )(v)( xxuy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ, »Ã» )(xu ¨ )(v x

ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý ¨ 0)( >xu :

ÈáõÍáõÙ: ÜÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí, áñ )(ln)(v)(v)( xuxx exu = , Ïëï³Ý³Ýù`

( ) =

′+′=

′)()()(v)(ln)(v)(ln)(v)(ln)(v

xuxuxxuxee xuxxux

)()()(v)(ln)(v)( 1)(v)(v xuxuxxuxxu xx ′+′= − :

Ð»ï¨³µ³ñ`

( ) )()()(v)(ln)(v)()( 1)(v)(v)(v xuxuxxuxxuxu xxx ′+′=′ − : (13)

19

4. ä³ñ½³·áõÛÝ ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ ó³ÝÏ

1. 0)( =′C :

2. )0,()( 1 >∈αα=′ −αα xRxx : Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ 1)( =′x , 2

11xx

−=′

,

xx

21)( =′ : ºÃ» N∈α , ³å³ Rxxx ∈∀=′ − ,)( 1αα α :

3. ( ) )0,10(ln1||log ≠≠<=′ xa

axxa : Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ` ( )

xx 1||ln =′ :

4. ( ) )10(ln ≠<=′ aaaa xx : Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ ( ) xx ee =

′:

5. xx cos)(sin =′ :

6. xx sin)(cos −=′ :

7.

∈π+

π≠+==′ Znnxxtg

xtgx ,

21

cos1)( 2

2 :

8. ( )Znnxxctgx

ctgx ∈π≠+−=−=′ ,)1(sin

1)( 22 :

9. )11(1

1)(arcsin2

<<−−

=′ xx

x :

10. )11(1

1)(arccos2

<<−−

−=′ xx

x :

11. 211)(x

arctgx+

=′ :

12. 211)(x

arcctgx+

−=′ :

13. chxshx =′)( :

14. shxchx =′)( :

15. xch

thx 2

1)( =′ :

16. )0(1)( 2 ≠−=′ xxsh

cthx :

20

5. ä³ñ½³·áõÛÝ ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÝ»ñÇ ó³ÝÏ

ºÉÝ»Éáí ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó` dxxfxdf )()( ′= , µ»ñ»Ýù

ÑÇÙÝ³Ï³Ý ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÝ»ñÇ ó³ÝÏÁ`

1. 0=dC :

2. )0,()( 1 >∈αα= −αα xRdxxxd : Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ 2

1xdx

xd −=

, x

dxxd2

)( = :

ºÃ» N∈α , ³å³ Rxdxxxd ∈∀= − ,)( 1αα α :

3. ( ) )0,10(ln

||log ≠≠<= xaax

dxxd a : Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ ( )x

dxxd =||ln :

4. ( ) )10(ln ≠<= adxaaad xx : Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ ( ) dxeed xx = :

5. dxxxd cos)(sin = :

6. dxxxd sin)(cos −= :

7.

∈π+

π≠+== Znnxdxxtg

xdxtgxd ,

2)1(

cos)( 2

2 :

8. ( )Znnxdxxctgx

dxctgxd ∈π≠+−=−= ,)1(sin

)( 22 :

9. )11(1

)(arcsin2

<<−−

= xx

dxxd :

10. )11(1

)(arccos2

<<−−

−= xx

dxxd :

11. 21)(

xdxarctgxd+

= :

12. 21)(

xdxarcctgxd+

−= :

13. dxchxshxd =)( :

14. dxshxchxd =)( :

15. xch

dxthxd 2)( = :

16. )0()( 2 ≠−= xxsh

dxcthxd :

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1: ÜÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ Ó¨Ç ³Ý÷á÷áË³Ï³-

ÝáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»É, áñ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÝ»ñÇ 1-16 µ³Ý³Ó¨»ñÁ

21

×Çßï »Ý Ý³¨ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ x -Ý Çñ Ñ»ñÃÇÝ ýáõÝÏóÇ³ ¿ Ù»Ï ³ÛÉ ÷á÷á-

Ë³Ï³ÝÇó:

úñÇÝ³Ï 7: ú·ïí»Éáí ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ ó³ÝÏÇó ¨ ³Í³ÝóÙ³Ý 1-6 Ï³ÝáÝÝ»-

ñÇó, ·ïÝ»É 347 4log3sin

xarctgxexxxy

x

−+= ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ.

ÈáõÍáõÙ: +′+′=′

−′+′=′ xxxx

xarctgxexxxy

x

sin)()(sin4)(log3)sin( 7/1734

7

−++=′−′

⋅−⋅+4ln

37sincos)()(4

4ln13

7 6

76

33

xxxxx

xxarctgxearctgxex

x

xx

−++=−′+′

⋅−4ln

37sincos3))()((4

7 6

76

23

xxxxx

xarctgxexearctgxarctgxex xxx

)1())1)(3((4

24

2

xxarctgxxxxex

++−+

− :

úñÇÝ³Ï 8: ú·ïí»Éáí µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÙ³Ý 9-10 Ï³ÝáÝÝ»ñÇó,

·ïÝ»É )1(arccossinln 2xshy += ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ.

ÈáõÍáõÙ: ÎÇñ³é»Éáí (10) µ³Ý³Ó¨Á (n=5), Ïëï³Ý³Ýù`

×++

=′++

=′)1(arccossin)1(arccoscos))1(arccos(sin

)1(arccossin1

2

22

2 xshxshxsh

xshy

=′+⋅

+−−⋅+=′+× ))1((

)1(11)1(arccos))1((arccos 2

22

22 xshxsh

xshctgxsh

=′+⋅++−

+−= )1()1(

)1(1)1(arccos 22

22

2

xxchxsh

xshctg

)1()1(1

)1(arccos2 2

22

2

xchxxsh

xshctg+⋅⋅

+−

+−= :

úñÇÝ³Ï 9: ¶ïÝ»É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ.

³) 4 33 2 )3()2(sin1

++

+=

xxxxy , µ) xarctgxy sin)(= :

ÈáõÍáõÙ: ³) ²Ûëï»Õ Ñ³ñÙ³ñ ¿ ·ïÝ»É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Éá·³ñÇÃÙÁ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ ³ÛÝ ³Í³Ýó»É`

22

)3ln(43)2ln(

32sinln)1ln(

21ln +−+−++= xxxxy :

31

43

21

32

sincos

)1(21

+−

+−+

+=

′xxx

xxy

y: àñï»ÕÇó` ×

++

+=′

4 33 2 )3()2(sin1

xxxxy

+

−+

−++

×)3(4

3)2(3

2)1(2

1xx

ctgxx

:

µ) I »Õ³Ý³Ï: ÎÇñ³é»Ýù (13) µ³Ý³Ó¨Á` +′⋅=′ )(sinln)( sin xarctgxarctgxy x

1sin2

sin1sin )(1sinlncos)()()(sin −−

++=′+ xxx arctgx

xxarctgxxarctgxarctgxarctgxx :

II »Õ³Ý³Ï: ÎÇñ³é»Ýù Ý³Ëûñáù Éá·³ñÇÃÙ»Éáõ Ù»Ãá¹Á` arctgxxy lnsinln = :

=′+′

=′+′=′

arctgxxarctgxarctgxxxarctgxarctgxx

yy ln)(sin)(sin)(sin)(lnsin

arctgxxarctgxxx lncos

)1(sin

2 ++

= :

àñï»ÕÇó`

+

+=′ arctgxx

arctgxxxarctgxy x lncos

)1(sin)( 2

sin :

úñÇÝ³Ï 10: Ð³ßí»É )0(y′ -Ý, »Ã» 3 32 31)1( xxxy +++= :

ÈáõÍáõÙ: Ü³Ë ·ïÝ»Ýù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ x Ï»ïáõÙ, ³ÛÝáõÑ»ï¨

³Í³ÝóÛ³É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÁ 0=x Ï»ïáõÙ:

)3ln(31)2ln(

21)1ln(ln 32 xxxy +++++= , 3

2

2 3211

xx

xx

xyy

++

++

+=

′:

àñï»ÕÇó`

+

++

++

+++=′3

2

23 32

321132)1()(

xx

xx

xxxxxy :

60 72|)()0( =′=′ =xxyy :

úñÇÝ³Ï 11: ¶ïÝ»É xxy 2sin3 += ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ

0=y Ï»ïáõÙ:

ÈáõÍáõÙ: ÎÇñ³é»Ýù (8) µ³Ý³Ó¨Á`

23

xdxdydy

dx2cos23

11+

== :

ø³ÝÇ áñ »Ã» 0=y , ³å³ 0=x , Ñ»ï¨³µ³ñ`

51

2cos231)0(

00

=+

==′== xy xdy

dxx :

¢3. ´³ñÓñ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÝ»ñ

1. ´³ñÓñ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ

¸Çóáõù )(xfy = ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ E ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ³Û¹ ¹»åùáõÙ E

ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ áñáßí³Í ¿ )(xf ′ ³Í³ÝóÛ³É ýáõÝÏóÇ³Ý: )(xf ′ -Á ÏáãíáõÙ ¿

)(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³É Ï³Ù ³é³çÇÝ ³Í³ÝóÛ³É: )(xf ′

ýáõÝÏóÇ³Ý Çñ Ñ»ñÃÇÝ Ï³ñáÕ ¿ E ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ áõÝ»Ý³É ³Í³ÝóÛ³É` ))(( ′′ xf , áñÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³É ¨

Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÝ»ñÇó Ù»Ïáí`

2

2 )(),(dx

xfdxf ′′ , 2

2

dxyd

, y ′′ (1)


=′′=′′

dxxdf

dxd

dxxfdxfxf )()(,))(()( 2

2

,

=

dxdy

dxd

dxyd2

2

, )( ′′=′′ yy : (2)

¸Çóáõù Ñ³çáñ¹³µ³ñ ³Í³Ýó»Éáõ ÙÇçáóáí ·ïÝí³Í ¿ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ 1−n -ñ¹

Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ` )()1( xf n− : f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ n -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³É` )()( xf n

³ë»Éáí Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý ¹ñ³ 1−n -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÇ (³ÛëÇÝùÝ ))(( )1( xf n− -Ç)

³Í³ÝóÛ³ÉÁ` ))(( )1( ′− xf n :


Nnxfxf nn ∈′= − ,))(()( )1()( : (3)

n -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÇ Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÁ`

)()()( ,,)(),( nx

nn

nn

nyydx

xfdxf : (4)

24

ä³ÛÙ³Ý³íáñí»Ýù ÁÝ¹áõÝ»É` )()()0( xfxf ≡ :

ºÃ» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý 0x Ï»ïáõÙ áõÝÇ n -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³É, ³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ

¿ n ³Ý·³Ù ³Í³Ýó»ÉÇ 0x Ï»ïáõÙ, ÇëÏ »Ã» )(xf -Ý áõÝÇ n -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³É

áñ¨¿ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ, ³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ n ³Ý·³Ù ³Í³Ý-

ó»ÉÇ ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1: üáõÝÏóÇ³ÛÇ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ù»Ë³-

ÝÇÏ³Ï³Ý Ù»ÏÝ³µ³ÝáõÃÛáõÙÁ: ºÃ» )(xfy = -Ý Çñ»ÝÇó Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ ¿ ÝÛáõÃ³-

Ï³Ý Ï»ïÇ ß³ñÅÙ³Ý ûñ»ÝùÝ áõÕÇÕ ·Íáí, ³å³ 2

2

dxyd

-Ý Çñ»ÝÇó Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ ¿

x å³ÑÇÝ ÝÛáõÃ³Ï³Ý Ï»ïÇ ß³ñÅÙ³Ý ³ñ³·³óáõÙÁ:

2. ´³ñÓñ Ï³ñ·Ç ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÝ»ñ

¸Çóáõù )(xfy = ýáõÝÏóÇ³Ý n ³Ý·³Ù ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ E ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³: f

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ` dxxfdy )(′= , áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ý³¨ ³é³çÇÝ

¹Çý»ñ»ÝóÇ³É, Ï³Ëí³Í ¿ x -Çó ¨ dx -Çó: Ð³Ù³ñ»Éáí dy -Á áñå»ë ýáõÝÏóÇ³

ÙÇ³ÛÝ x -Çó Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É ¹ñ³ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ÝáõÛÝ dx ³×Ç

¹»åùáõÙ, áñÝ ÁÝ¹áõÝí³Í ¿ Ýß³Ý³Ï»É yd 2 ¨ ³Ýí³Ý»É )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ

»ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É:

²ÛëåÇëáí` 22 ))(())(())(())(()( dxxfdxdxxfdxxfddxxfddydyd ′′=′′=′=′== :

ê³Ï³ÛÝ ÁÝ¹áõÝí³Í ¿ 2)(dx -ÇÝ ·ñ»É 2dx ï»ëùáí (³Û¹ Ýß³Ý³ÏáõÙÁ ãå»ïù ¿

ß÷áÃ»É 2x ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ Ñ»ï) ¨ yd 2 ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ ·ñ»É ³Ûëå»ë`

22 )( dxxfyd ′′= : (5)

ÜÙ³Ý Ó¨áí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï³ñ·Ç ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ ·³Õ³÷³ñÁ.

)(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ n -ñ¹ Ï³ñ·Ç yd n ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É x Ï»ïáõÙ ³ë»Éáí

Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý ¹ñ³ 1−n -ñ¹ Ï³ñ·Ç ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ` (³ÛëÇÝùÝ yd n 1− -Ç)

¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ, ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ÝáõÛÝ dx ³×Ç ¹»åùáõÙ:


)( 1 yddyd nn −= : (6)

Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ

25

Nndxxfdxxfyd nnnnn ∈== ,)())(( )()( (7)

Ï³Ù

)()( xfdx

yd nn

n

= (8)

( Nndxn ∈, Ýß³Ý³ÏÙ³Ý ï³Ï Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý ndx)( ):

¸Çóáõù áõÝ»Ýù )(xfy = ¨ )(tx ϕ= µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ` dxxfdy )(′= ,

áñï»Õ dttdx )(ϕ′= -Ý t -Çó ýáõÝÏóÇ³ ¿: Ð»ï¨³µ³ñ, û·ïí»Éáí 2 (7) µ) µ³-

Ý³Ó¨Çó ¨ ³é³çÇÝ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ Ó¨Ç ³Ý÷á÷áË³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó,

Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É`

=′+⋅′′=′+′=′= xdxfdxdxxfdxdxfdxxfddxxfdyd 22 )()()()()())((

xdxfdxxf 22 )()( ′+′′= : (9)

ÆÝãå»ë »ñ¨áõÙ ¿, µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ

(Ñ»ï¨³µ³ñ ¨ 2>n Ï³ñ·Ç ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ) ãáõÝÇ (7) ï»ëùÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, µ³ñ¹

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹»åùáõÙ (7) ¨ (8) µ³Ý³Ó¨»ñÁ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³éÙ³Ùµ ×Çßï ã»Ý:

´³ó³é³µ³ñ, »Ã» batx += ,³å³ 032 ==== xdxdxd n : Ð»ï¨³µ³ñ`

Nndxxfyd nnn ∈= ,)()( : ²ÛëÇÝùÝ, ³Ûë ¹»åùáõÙ, å³Ñå³ÝíáõÙ ¿ (7) ·ñáõÃÛ³Ý

Ó¨Á:

3. ¶áõÙ³ñ ¨ ³ñï³¹ñÛ³É ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ µ³ñÓñ

Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÝ»ñ

Â»áñ»Ù 1 : ºÃ» )(xuu = ¨ )(vv x= ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ n ³Ý·³Ù ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý

x Ï»ïáõÙ, ³å³ )(v)(v xxuu +=+ ¨ )v()u(v xxu ⋅=⋅ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ¨ë n

³Ý·³Ù ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý ³Û¹ Ï»ïáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ`

³) )()()( v)v( nnn uu +=+ , (10)

µ) ∑=

−−− =++′′+′+=⋅n

0k

)()()()2(2)1(1)()( vvvvv)v( knkkn

nnn

nn

nn uCuuCuCuu , (11)

áñï»Õ, 1!0,1,)!(!

!,vv, 0)0()0( ==−

=== nkn C

knknCuu :

(11) µ³Ý³Ó¨Á ÏñáõÙ ¿ È³ÛµÝÇóÇ µ³Ý³Ó¨ ³ÝáõÝÁ: Â»áñ»Ù 1-Ý ³å³óáõóíáõÙ ¿

Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí: Üß»Ýù, áñ (11) µ³Ý³Ó¨Á ÑÇß»Éáõ

Ñ³Ù³ñ µ³í³Ï³Ý ¿ ÝÏ³ï»É, áñ ³ÛÝ Ñ³Ù³ÝÙ³Ý ¿ ÜÛáõïáÝÇ µ³Ý³Ó¨ÇÝ`

26

nu )v( + »ñÏ³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³Ù³ñ, ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ, áñ ÜÛáõ-

ïáÝÇ µ³Ý³Ó¨Ç ³ëïÇ×³Ý³óáõÛó»ñÇÝ ³Ûëï»Õ ÷áË³ñÇÝáõÙ »Ý ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ

Ï³ñ·³óáõÛó»ñÁ:

ÜÏ³ï»Ýù, áñ È³ÛµÝÇóÇ µ³Ý³Ó¨Ç ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÁ ³í»ÉÇ ³ñ¹ÛáõÝ³í»ï ¿, »Ã»

u ¨ v ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ áõÝÇ í»ñç³íáñ Ãíáí ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ³Í³Ýó-

Û³ÉÝ»ñ, ÇëÏ ÙÛáõëÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùµ ·ïÝíáõÙ ¿:

Ð»ï¨³Ýù 1: ºÃ» )(xf -Ý n ³Ý·³Ù ³Í³Ýó»ÉÇ ýáõÝÏóÇ³ ¿ x Ï»ïáõÙ, ³å³

)(xCf ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ë ³Û¹ Ï»ïáõÙ n ³Ý·³Ù ³Í³Ýó»ÉÇ ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ`

)())(( )()( xCfxCf nn = : (12)

Ð»ï¨³Ýù 2: üáõÝÏóÇ³ÛÇ ·Í³ÛÇÝ ÏáÙµÇÝ³óÇ³ÛÇ n -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ

Ñ³í³ë³ñ ¿ ¹ñ³Ýó n -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ÏáÙµÇÝ³óÇ³ÛÇÝ`

)()()())()()(( )()(22

)(11

)(2211 xfCxfCxfCxfCxfCxfC n

kknnn

kk +++=+++ : (13)

Ð»ï¨³Ýù 3: n -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ Ï³åÇó, ÇÝãå»ë Ý³¨

Ã»áñ»Ù 1-Çó, Ñ»ï¨áõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨»ñÇ Çñ³í³óÇáõÃÛáõÝÁ`

³) v)v( nnn dudud +=+ , (14)

µ) uCdCud nn =)( , (15)

·) ∑=

−=n

0k

v)v( knkkn

n dudCud , (16)

áñï»Õ` vv, 0000 === dudxuud :

4. ä³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ï»ëùáí ïñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý

¨ ¹ñ³ ³Í³ÝóáõÙÁ

¸Çóáõù t Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ áñáß p ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ áñáßí³Í »Ý`

)(tx ϕ= ¨ )(ty ψ= (17)

üáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ, ÁÝ¹ áñáõÙ ¹ñ³ÝóÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ, ûñÇÝ³Ï )(tx ϕ= -Ý, ³ÝÁÝ¹Ñ³ï

áõ ËÇëï ÙáÝáïáÝ ¿ Ýßí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ

)(),(1 pxxt ϕ∈ϕ= − Ñ³Ï³¹³ñÓ ýáõÝÏóÇ³Ý, ÇÝãå»ë Ý³¨

)()),(( 1 pxxy ϕ∈ϕψ= − (18)

µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý: (17) ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÏáãíáõÙ ¿ (18) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ

å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ï»ëù: t ÷á÷áË³Ï³ÝÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý å³ñ³Ù»ïñ:

27

Â»áñ»Ù 2 : ¸Çóáõù )(tx ϕ= ýáõÝÏóÇ³Ý p ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï áõ

ËÇëï ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ t Ï»ïáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ 0)( ≠ϕ′ t : )(ty ψ=

ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ p ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ t Ï»ïáõÙ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ

))(( 1 xy −ϕψ= µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ )(tx ϕ= Ï»ïáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ`

)()()(

ttxy

ϕ′ψ′

=′ : (19)

²å³óáõÛó: I »Õ³Ý³Ï: Ð³Ù³Ó³ÛÝ 2 Ã»áñ»Ù 2-Ç )(1 xt −ϕ= ýáõÝÏóÇ³Ý

³Í³Ýó»ÉÇ ¿ x Ï»ïáõÙ ¨

)(,)(

1)()( 11 xtt

x −− ϕ=ϕ′

=′ϕ : (20)

Ð³Ù³Ó³ÛÝ 2 Ã»áñ»Ù 3-Ç, ))(( 1 xy −ϕψ= µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ x

Ï»ïáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ

)()()()()())(()( 111 xtxxxy ′⋅′=′⋅′=′ −−− ϕψϕϕψ : (21)

ÜÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí (20)-Á, (21)-Çó Ïëï³Ý³Ýù (19)-Á:

II »Õ³Ý³Ï: ²é³çÇÝ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ Ó¨Ç ³Ý÷á÷áË³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõ-ÝÇó, áõÝ»Ýù`

dttdxdttdydxdyxy )(,)(,)( ϕ=ψ′==′ : (22)

àñï»ÕÇó ëï³óíáõÙ ¿ (19) µ³Ý³Ó¨Á:

àñå»ë½Ç Ñ³ßí»Ýù »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ` )(xy ′′ , µ³í³Ï³Ý ¿ û·ïí»É

³é³çÇÝ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ Ó¨Ç ³Ý÷á÷áË³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ¨ ·ñ»É`

dx

xydxy )]([)(′

=′′ : (23)

ú·ïí»Éáí (19) µ³Ý³Ó¨Çó ¨ (22)-Ç »ññáñ¹ µ³Ý³Ó¨Çó, Ïëï³Ý³Ýù`

3))(()()()()(

)()()(

)(t

ttttttt

xyϕ′

ψ′ϕ ′′−ϕ′ψ ′′=

ϕ′

′

ϕ′ψ′

=′′ : (24)

28

ÜáõÛÝ ³Ï½µáõÝùáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ßí»É )(xy ′′′ ¨ Ýñ³Ý Ñ³çáñ¹áÕ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ:

²Ûëå»ë, )(xy ′′′ -Á Ñ³ßí»Éáõ Ñ³Ù³ñ µ³í³Ï³Ý ¿ )(xy ′′′ -Á Ý»ñÏ³Û³óÝ»É

dx

xydxy ))(()(′′

=′′′ (25)

ï»ëùáí ¨ û·ïí»É (24) µ³Ý³Ó¨Çó áõ (22)-Ç »ññáñ¹ µ³Ý³Ó¨Çó:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2: )},({ yxM Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ áñáÝó x ¨ y Ïááñ¹ÇÝ³ï-

Ý»ñÁ áñáßí³Í »Ý (17) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí, »ñµ t -Ý ÷á÷áËíáõÙ ¿ p ÙÇç³Ï³ÛùÇ

íñ³, Çñ»ÝÇó Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ ¿ xy Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý áñáß Ïáñ ·ÇÍ: ê³Ï³ÛÝ ³Û¹ µ³½-

ÙáõÃÛ³Ý Ï³éáõóí³ÍùÁ Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É ß³ï µ³ñ¹, ³Ý·³Ù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý )(tx ,

)(ty ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ ³ÛÝåÇëÇù, áñ »ñµ t -Ý ÷á÷áËíáõÙ ¿ p

ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³, Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý }{M Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Í³ÍÏáõÙ ¿ ÙÇ

³ÙµáÕç ù³é³ÏáõëÇ ([3] ¿ç 431): ºñµ»ÙÝ ÏáñÁ å³ïÏ»ñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ñ³ñÙ³ñ ¿ û·ï³·áñÍ»É ³Ûëå»ë Ïáãí³Í

µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ` π≤ϕ<π−≥ρϕρ ,0),,( ,

áñï»Õ ρ -Ý M Ï»ïÇ ß³é³íÇÕ í»ÏïáñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ

¿, ϕ -Ý ³Û¹ ß³é³íÇÕ í»ÏïáñÇ ¨ Ox ³é³ÝóùÇ ¹ñ³Ï³Ý

áõÕÕáõÃÛ³Ý Ñ»ï Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ: ²ÛëåÇëáí, Ñ³ñ-ÃáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý ÙÇ M Ï»ïÇÝ, µ³ó³éáõÃÛ³Ùµ Ïááñ¹Ç-Ý³ïÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïÇ, ÷áËÙÇ³ñÅ»ù Ñ³Ù³å³ï³ë-Ë³ÝáõÙ ¿ ),( ϕρ Ï³ñ·³íáñí³Í ½áõÛ·: Îááñ¹ÇÝ³ï-

Ý»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ áõÝ»Ýù 0=ρ , ÇëÏ ϕ

³ÝÏÛáõÝÁ ³Ýáñáß ¿ (ÝÏ. 7): ºÃ» x -Ý áõ y -Á M Ï»ïÇ ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÝ »Ý, ³å³

ϕρ=ϕρ= sin,cos yx : (26)

Ð³Ï³¹³ñÓ Ï³åÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨»ñáí`

=<

=

≠<+

>

=+=

:0,0,

0,sgn2

0,0,sgn

,0,

,22

yx

xy

yxyxyarctg

xxyarctg

yx

π

π

πϕρ (27)

ÜÏ³ï»Ýù, áñ ϕ -Ç ÷áË³ñ»Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É Zkk ∈+ ,2 πϕ :

y

x

y

x

M

0

ϕ

ÝÏ. 7

29

ºÃ» ïñí³Í ¿

β≤ϕ≤αϕρ=ρ ),( (28)

³ÝÁÝ¹Ñ³ï ýáõÝÏóÇ³Ý, ³å³ ³ÛÝ ï»Õ³¹ñ»Éáí (26)-áõÙ, Ïëï³Ý³Ýù áñáß L ÏáñÇ å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý Ý»ñÏ³Û³óáõÙ`

ϕϕρ=ϕϕρ= sin)(,cos)( yx (29)

²Û¹ ï»ë³ÝÏÛáõÝÇó ³ëáõÙ »Ý, áñ (28)-Á Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ L ÏáñÇ Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁ µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñáí:

5. ´³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¨ Ñ³Ï³¹³ñÓ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ µ³ñÓñ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ

Â»áñ»Ù 3 : ºÃ» )(xfy = ýáõÝÏóÇ³Ý ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ )( fDx∈ Ï»ïáõÙ,

ÇëÏ )(ygz = ýáõÝÏóÇ³Ý ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ )()( fEyxf ∈= Ï»ïáõÙ, ³å³

))(( xfgz = µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ x Ï»ïáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ`

)()())()(()( 2 xfygxfygxz ′′′+′′′=′′ : (30)

²å³óáõÛó: Ð³Ù³Ó³ÛÝ ¢2, Ã»áñ»Ù 3-Ç, áõÝ»Ýù` )()()( xfygxz ′′=′ : ÎÇñ³é»Éáí

³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ³Í³ÝóÙ³Ý µ³Ý³Ó¨Á ¨ ÝÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí, áñ )(yg ′ -Á ÝáõÛÝå»ë

µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³ ¿ x -Çó, Ïëï³Ý³Ýù`

)()())()(()()()())(()( 2 xfygxfygxfygxfygxz x ′′′+′′′=′′′+′′′=′′ :▲ (31)

Ð³Ý·áõÝáñ»Ý, Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, ³Í³Ýó»Éáí (30)-Á,

Ïëï³Ý³Ýù )(xz ′′′ ¨ ³ÛÉÝ:

Â»áñ»Ù 4: ¸Çóáõù )(xfy = ¨ )(1 yfx −= ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ÷áËÑ³Ï³¹³ñÓ

ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ »Ý: ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ )( fDx∈ Ï»ïáõÙ ¨

0)( ≠′ xf , ³å³ 1−f ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ë ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ )()( fExfy ∈= Ï»-

ïáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ`

31

))(()())((

xfxfyf

′′′

−=′′− : (32)

²å³óáõÛó: Ð³Ù³Ó³ÛÝ ¢2, Ã»áñ»Ù 2-Ç, áõÝ»Ýù` )(/1))(( 1 xfyf ′=′− : ºñÏáõ

Ù³ëÁ ³Í³Ýó»Éáí Áëï y -Ç ¨ ³ç Ù³ëÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ ÏÇñ³é»Éáí µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ

³Í³ÝóÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ, Ïëï³Ý³Ýù`

30

( ) :))(()(

)(1

))(()()(

)(1))(( 32

11

xfxf

xfxfxfyf

xfyf

x′′′

−=′

⋅′′′

−=′

⋅′

′

=′′ −− ▲ (33)

Ð³Ý·áõÝáñ»Ý, Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ, ³Í³Ýó»Éáí (32) Ñ³-

í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, Ïëï³Ý³Ýù ))(( 1 ′′′− yf ¨ ³ÛÉÝ:

6. ì»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³: ì»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 1: ¸Çóáõù p Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ pt∈ ³ñÅ»ùÇÝ

áñáß ûñ»Ýùáí Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ Ù»Ï a í»Ïïáñ, ³Û¹ ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý,

áñ p µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í ¿ )(taa = í»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³:

ø³ÝÇ áñ ï³ñ³Í³Ï³Ý ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ³Ù»Ý ÙÇ a

í»Ïïáñ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáõÙ ¿ yx, ¨ z Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñáí, ³å³ )(ta

í»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ï³ÉÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ »ñ»ù ëÏ³ÉÛ³ñ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ïñÙ³ÝÁ`

pttzztyytxx ∈=== ),(),(),( : (34)

(34) ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý )(ta í»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ

ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ: )(ta í»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³Ý Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ »Ý

))(),(),(()( tztytxta =

Ï³Ù

ktzjtyitxta )()()()( ++= (35)

ï»ëùáí, áñï»Õ kji

,, – Ïááñ¹ÇÝ³-

ï³ÛÇÝ ûñï»ñÝ »Ý:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 2: )(ta í»Ïïáñ-ýáõÝÏ-

óÇ³ÛÇ Ñá¹á·ñ³ý ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý ¹ñ³ µáÉáñ Í³Ûñ³Ï»ï»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³-Ï³Ý ï»ÕÁ, »ñµ pt∈∀ , )(ta -Ý ÏÇñ³é-

í³Í ¿ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïÇó: )(ta í»ÏïáñÇ Ñá¹á·ñ³ýÁ ï³ñ³-

ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç Çñ»ÝÇó Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ ¿ ÙÇ

L ·ÇÍ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ (34) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý ³Û¹ ·ÍÇ

å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ:

y

z

x

M

0

)(ta

)( tta ∆+

)(ta ′

a∆ ta∆∆

ÝÏ. 8

L

31

ºÃ» )(ta í»ÏïáñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïÁ ï»Õ³íáñ»Ýù Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ú ëÏ½µÝ³-

Ï»ïáõÙ, ³å³ )(ta -Ý ÏÑ³Ý¹Çë³Ý³ M Ï»ïÇ ß³é³íÇÕ-í»ÏïáñÁ` OM -Á

(ÝÏ.8):

¸Çóáõù 0t -Ý p µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 3: ),,( 000 zyxb =

í»ÏïáñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ))(),(),(()( tztytxta =

í»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³Ý, »ñµ 0tt → , »Ã» 0|)(|lim0

=−→

btatt

, áñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù

¿ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ`

000 )(lim,)(lim,)(lim000

ztzytyxtxtttttt

===→→→

(36)

²Û¹ ÷áëïÁ ·ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí` btatt

=

→)(lim

0:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4: ¸Çóáõù )(ta í»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ 0t Ï»ïáõÙ ¨

)()(lim 00

tatatt

=

→: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý, áñ )(ta í»Ïïáñ ýáõÝÏóÇ³Ý

³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ 0t Ï»ïáõÙ:

Â»áñ»Ù 5 : àñå»ë½Ç )(ta í»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³Ý 0t Ï»ïáõÙ ÉÇÝÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï

³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ 0t Ï»ïáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ÉÇÝ»Ý )(),(),( tztytx

ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 5: )(ta í»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³É t Ï»ïáõÙ ÏáãíáõÙ ¿

t

tattata

∆−∆+

=∆∆ )()(

(37)

í»ÏïáñÇ ë³ÑÙ³ÝÁ, »ñµ 0→∆t (å³ÛÙ³Ýáí, áñ ³Û¹ ë³ÑÙ³ÝÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ) ¨

Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý )(ta′ å³ÛÙ³Ý³Ýß³Ýáí:


ktzjtyitxt

tattatat

)()()()()(lim)(

0′+′+′=

∆−∆+

=′→∆

: (38)

Â»áñ»Ù 6 : àñå»ë½Ç )(ta í»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ ³Í³Ýó»ÉÇ t Ï»ïáõÙ,

³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ )(),(),( tztytx ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ÉÇÝ»Ý

³Í³Ýó»ÉÇ:

32

ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇó »ÉÝ»Éáí` Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»É, áñ )(ta′ –

í»ÏïáñÁ ·ïÝíáõÙ ¿ Ñá¹á·ñ³ýÇ M Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ íñ³ (ÝÏ.8):

ºÃ» Ñá¹á·ñ³ýÇ ))(),(),(( 0000 tztytxM Ï»ïáõÙ 0)(,0)(,0)( 000 ≠′≠′≠′ tztytx ,

³å³ 0M Ï»ïáõÙ Ñá¹á·ñ³ýÇÝ ï³ñ³Í ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É

ï»ëùÁ`

)(

)()(

)()(

)(

0

0

0

0

0

0

tztzz

tytyy

txtxx

′−

=′−

=′−

: (39)

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 6: )(ta í»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³ÛÇ n -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³É` )()( ta n

³ë»Éáí Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý ¹ñ³ 1−n -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÇ )()1( ta n− ³Í³ÝóÛ³ÉÁ`

))(()( )1()( ′= − tata nn : (40)

ú·ïí»Éáí Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹Çó Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ`

ktzjtyitxta nnnn )()()()( )()()()( ++= : (41)

Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ í»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ Çñ³í³óÇ ¿ ³Í³ÝóÙ³Ý

Ñ»ï¨Û³É Ï³ÝáÝÝ»ñÁ`

³) 0)( =′C

, C

-Ý Ñ³ëï³ïáõÝ í»Ïïáñ ¿,

µ) )()())()(( 22112211 taCtaCtaCtaC ′+′=′+

, constCC =21, ,

·) )()()()())()(( tatftatftatf ′+′=′

, )(tf -Ý ëÏ³ÉÛ³ñ ýáõÝÏóÇ³ ¿,

¹) ))(),(())(),(())(),(( tbtatbtatbta ′+′=′

, (42)

») )()()()())()(( tbtatbtatbta ′×+×′=′×

,

½) ))(),(),(())(),(),(())(),(),(())(),(),(( tctbtatctbtatctbtatctbta ′+′+′=′

:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 3: ì»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ ¹ñ³ ³é³çÇÝ áõ »ñÏñáñ¹ ³Í³ÝóÛ³É-

Ý»ñÝ áõÝ»Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ Ñ»ï¨Û³É Ù»Ë³ÝÇÏ³Ï³Ý Ù»ÏÝ³µ³-

ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ºÃ» )(ta -Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç ß³ñÅíáÕ M

Ï»ïÇ ß³é³íÇÕ-í»ÏïáñÁ Ï³Ëí³Í t Å³Ù³Ý³ÏÇó, ³å³ í»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³ÛÇ

Ñá¹á·ñ³ýÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ M Ï»ïÇ ß³ñÅÙ³Ý Ñ»ï³·ÇÍÁ, )(ta′ -Ý t å³ÑÇÝ

M Ï»ïÇ ß³ñÅÙ³Ý ³ñ³·áõÃÛ³Ý í»ÏïáñÁ, ÇëÏ )(ta ′′ -Ý t å³ÑÇÝ M Ï»ïÇ

ß³ñÅÙ³Ý ³ñ³·³óÙ³Ý í»ÏïáñÁ:

33

úñÇÝ³Ï 1: ¶ïÝ»É Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ n -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ`

³) Rbaxy ∈α+= α ,)( , µ) 10, ≠<= aay x ,

·) xy sin= , ¹) xy cos= , ») ||log xy a= :

ÈáõÍáõÙ: ³) Ð³çáñ¹³µ³ñ ³Í³Ýó»Éáí` Ïëï³Ý³Ýù`

,))(1(,)( 221 −α−α +−αα=′′+α=′ baxaybaxay :

àñï»ÕÇó Ïé³ÑáõÙ »Ýù, áñ

nnnn baxnabaxy −αα ++−α−αα=+= ))(1()1())(( )()( : (43)

(43) µ³Ý³Ó¨Ç ³å³óáõÛóÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùµ ïñíáõÙ ¿ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý

ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí:

µ) Ð³çáñ¹³µ³ñ ³Í³Ýó»Éáí, Ïëï³Ý³Ýù`

,ln,ln,ln 32 aayaayaay xxx =′′′=′′=′ :

n -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÇ µ³Ý³Ó¨Á, áñÁ ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý

ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí, áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

aaay nxnxn ln)( )()( == : (44)

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »ñµ ea = , ³å³

xnx ee =)()( : (45)

·) )2/2sin()2/cos(),2/sin(cos π⋅+=π+=′′π+==′ xxyxxy :

²ÛëåÇëáí, ³Ù»Ý ³Ý·³Ù ³Í³Ýó»ÉÇë ³ñ·áõÙ»ÝïÇÝ ³í»É³ÝáõÙ ¿ 2/π , áõëïÇ`

)2/sin()(sin )()( π⋅+== nxxy nn : (46)

¹) ØÇ³Ý·³Ù³ÛÝ ÝáõÛÝ Ó¨áí, Ïëï³Ý³Ýù`

)2/cos()(cos )()( π⋅+== nxxy nn : (47)

») a

xax

ylnln

1 1−

==′ : ú·ïí»Éáí (43) µ³Ý³Ó¨Çó n -Ç ÷áË³ñ»Ý í»ñóÝ»Éáí

1−n , Ïëï³Ý³Ýù

ax

na

xyx n

nnnn

a ln)!1()1(

ln)()(|)|(log

1)1(1)1()( −−

==′=−−−

− : (48)

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »ñµ ea = , ³å³

n

nn

xnx )!1()1(|)|(ln

1)( −−=

−

: (49)

34

úñÇÝ³Ï 2: ¶ïÝ»É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ n -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ:

³) xnexy = , µ) bxchaxy sin= ,

·) 23

12 +−

=xx

y , ¹)3 1 x

xy+

= :

ÈáõÍáõÙ: ³) ÎÇñ³é»Ýù È³ÛµÝÇóÇ (11) µ³Ý³Ó¨Á, ¹ñ³ÝáõÙ ï»Õ³¹ñ»Éáí xn exu == v, , Ïëï³Ý³Ýù`

Nkenuxnnunxu xknnn ∈==−=′′=′ −− ,v,!,,)1(, )()(21 ,

++

−++= −− !

!2)1( 2

2212)( nxnnxnxey nnnxn ,

nnnnxnnn dxnxnnxnxedxyyd

++

−++== −− !

!2)1( 2

2212)( :

µ) ø³ÝÇ áñ 2/)( axax eechax −+= , ³å³ )()()( )sin(21)sin(

21 naxnaxn bxebxey −+= :

²ÛÅÙ óáõÛó ï³Ýù, áñ

)sin()()sin( 222)( ϕ++= nbxebabxe axn

nax , (50)

)sin()()1()sin( 222)( ϕ−+−= −− nbxebabxe axn

nnax , (51)

áñï»Õ ϕ ³ÝÏÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³Ýáí`

2222

cos,sinba

aba

b+

=+

= ϕϕ : (52)

Æñáù` )sin()cossin()sin( 22 ϕ+⋅+=+=′ bxebabxbbxaebxe axaxax :

ÎñÏÝ»Éáí ³Í³ÝóáõÙÁ` ÏÑ³Ùá½í»Ýù (50)-Ç Çñ³í³óÇáõÃÛ³Ý Ù»ç: ÜÙ³Ý Ó¨áí

Ñ³Ùá½íáõÙ »Ýù (51)-Ç Çñ³í³óÇáõÃÛ³Ý Ù»ç: Ð»ï¨³µ³ñ, ÝÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí (50)-

Á ¨ (51)-Á, ÇÝãå»ë Ý³¨ axaxeax shch += ¨ nax naxaxe )1(cos,shch −=π−=−

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù`

+

π

−ϕ

2π

++=2

cossinch)(21 222)( nnbxaxbay

nn

+

π

+

π

−ϕ+

π

+ϕ

2π

−+2

cos2

sinsh2

cossin nbxnnaxnnbx

35

+

π

−ϕ

π

++=

π

−

π

+ϕ+2

cos2

sinch)(2

cos2

sin 222 nnnbxaxbanbxnnn

π

−ϕ

π

++2

sin2

cossh nnnbxax :

·) îñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý Ý»ñÏ³Û³óÝ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`

112 )1()2(

11

21

)1)(2(1

231 −− −−−=

−−

−=

−−=

+−= xx

xxxxxxy :

ÎÇñ³é»Éáí (43) µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù`

))1()2((!)1())1(())2(( 11)(1)(1)( −−−−−− −−−−=−−−= nnnnnn xxnxxy :

¹) ÎÇñ³é»Éáí È³ÛµÝÇóÇ (11) µ³Ý³Ó¨Á, Ýñ³ÝáõÙ ï»Õ³¹ñ»Éáí 31

)1(−

+= xu ,

x=v , Ïëï³Ý³Ýù`

2,0v,1v,)1(1311

31

31 )(3

1)( ≥==′+

+−−

−−−=

−−kxnu knn :

++

+−−

−−−=′+=

−−− nnnn xxnnuuy 31

)1()()( )1(1311

31

31vv

=+

+−−

−−

−+

+−− 131

)1(2311

31

31 n

xnn

1,2,)1(3

)32)(53(41)1(3/1

1

−≠≥+

+−⋅−= +

+

xnx

nxnnn

n :

úñÇÝ³Ï 3: ä³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ï»ëùáí ïñí³Í taytax sin,cos == ýáõÝÏ-

óÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ·ïÝ»É 3

3

dxyd

-Á:

ÈáõÍáõÙ: ³) ÎÇñ³é»Éáí (19) µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù`

tgttata

xy

dxdy

t

x −=−

=′′

=cossin

:

2

2

dxyd

³Í³ÝóÛ³ÉÁ ëï³Ý³Éáõ Ñ³Ù³ñ ÏÇñ³é»Ýù (23) µ³Ý³Ó¨Á`

36

ttata

tta

tgtx

dxdy

dxdxdyd

dxyd

t

t2

2

2

2

cossin1

sincos

1

)cos()(

=−

−=′′−

=′

′

=

= :

ÜÙ³Ý Ó¨áí`

ttatt

tatta

xdx

yd

dxdx

ydd

dxyd

t

t332

2222

2

2

2

3

3

cossinsin2cos

sincossin

1−

=−

′

=′

′

=

= :

úñÇÝ³Ï 4: )0,1( Ï»ïáõÙ ·ïÝ»É 2

2

dxyd

, »Ã»

tt etyetx 222 ,)1( =+= :

ÈáõÍáõÙ: Ü³Ë ·ïÝ»Ýù t -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÁ, áñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ )0,1(

Ï»ïÇÝ: t -Ç ³Û¹ ³ñÅ»ùÁ å»ïù ¿ µ³í³ñ³ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³-

Ï³ñ·ÇÝ`

00

1)1(22

2

=⇔

=

=+t

etet

t

t

:

²ÛëåÇëáí )0,1( Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ 0=t ³ñÅ»ùÁ:

²ÛÅÙ Ñ³ßí»Ýù 0

2

2

=tdxyd

: ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ Ý³Ë Ñ³ßí»Ýù 2

2

dxyd

-Ý t Ï»ïáõÙ:

tte

etett

xy

dxdy t

t

t

t

t

+=

++

=′′

=1

2)1(

)(22

22

,

4

2

2

2

2

2

2

)1()1(2

)1()1(

)1(2

ttt

et

ettt

xdxdy

dxyd

t

t

t

t

+++

=++

++

=′

′

= :

Ð»ï¨³µ³ñ` 2)1(

)1(20

4

2

02

2

=+++

=== tt t

ttdx

yd:

úñÇÝ³Ï 5: ¶ïÝ»É yyx ′′ -Á, »Ã» xexy += :

ÈáõÍáõÙ: I »Õ³Ý³Ï: Ü³Ë ·ïÝ»Ýù yx′ -Á`

xx

y eyx

+=

′=′

111

(53)

37

²ÛÝáõÑ»ï¨ (53) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ù³ëÝ ³Í³Ýó»Ýù Áëï y -Ç, ÁÝ¹ áñáõÙ

³ç Ù³ëÁ ¹Çï³ñÏ»Éáí áñå»ë y -Çó µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³, Ïëï³Ý³Ýù`

32 )1(11

)1(11

x

x

xx

x

yx

xyy ee

eeex

ex

+−=

+⋅

+−=′⋅′

+

=′′ :

II »Õ³Ý³Ï: ²ÝÙÇç³Ï³Ýáñ»Ý ÏÇñ³é»Éáí (32) µ³Ý³Ó¨Á` Ïëï³Ý³ù

33 )1()( x

x

x

xxyy e

eyyx

+−=

′′′

−=′′ :

úñÇÝ³Ï 6: ¶ïÝ»É ktjtitta⋅+⋅+⋅= sincos)( í»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñá¹á-

·ñ³ýÇ

π4

,22,

22M Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ:

ÈáõÍáõÙ: Ü³Ë ·ïÝ»Ýù t -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÁ, áñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ M

Ï»ïÇÝ: t -Ç ³Û¹ ³ñÅ»ùÁ å»ïù ¿ µ³í³ñ³ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ

Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ`

4

4

22sin

22cos

π=⇔

π=

=

=

t

t

t

t

àõÝ»Ýù`

kjtitta

+⋅+⋅−=′ cossin)( ,

kjia

+⋅+⋅−=

π′

22

22

4,

kjia

422

22

4π

+⋅+⋅=

π

:

Ð»ï¨³µ³ñ, ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`

14

2222

2222 π

−=

−=

−

− zyx:

38

¢4. ¸Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³ßíÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ

1. Î»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×»ÉÁ (Ýí³½»ÉÁ): î»Õ³ÛÇÝ ¿ùëïñ»ÙáõÙ

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 1: ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ Rp ⊂ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: Î³-

ë»Ýù f ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ (Ýí³½áÕ ¿) pc∈ Ï»ïáõÙ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ c Ï»-

ïÇ δ -ßñç³Ï³Ûù` );( δδδ +−= ccu , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ µáÉáñ pux ∩∈ δ Ñ³Ù³ñ,

»ñµ )()( cfxfcx <⇒< ¨ »ñµ )()( cfxfcx >⇒> ( )()( cfxfcx >⇒< ¨

»ñµ )()( cfxfcx <⇒> ):

²ÛëåÇëáí, »Ã» c -Ý p ÙÇç³Ï³ÛùÇ Ý»ñùÇÝ Ï»ï ¿, ³å³ f ýáõÝÏóÇ³Ý c

Ï»ïáõÙ ³×áÕ ¿ (Ýí³½áÕ ¿) ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý c Ï»ïÇ Ó³Ë³-

ÏáÕÙÛ³Ý ßñç³Ï³Ûù` );( ccu δδ −=− ¨ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ßñç³Ï³Ûù` );( δδ +=+ ccu

³ÛÝåÇëÇù, áñ (ï»ë ÝÏ.7) −δ∈∀< uxcfxf ),()( ¨ +

δ∈∀> uxcfxf ),()(

( )()( cfxf > , −δ∈∀ ux ¨ +

δ∈∀< uxcfxf ),()( ):

ÆëÏ »Ã» c -Ý p ßñç³Ï³ÛùÇ Ó³Ë Ï³Ù ³ç Í³Ûñ³Ï»ï ¿ ¨ pc∈ , ³å³ í»ñ¨áõÙ

³ëí³ÍÁ ÙÇ³ÛÝ í»ñ³µ»ñáõÙ ¿ c Ï»ïÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ ³ç Ï³Ù Ó³Ë

ßñç³Ï³ÛùÇÝ (ÝÏ.8):

Â»áñ»Ù 1 : ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ p ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ pc∈ : ºÃ»

f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ c Ï»ïáõÙ ¨ 0)( >′ cf ( 0)( <′ cf ), ³å³ f ýáõÝÏ-

óÇ³Ý ³×áÕ ¿ (Ýí³½áÕ ¿) c Ï»ïáõÙ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1: ÜÏ³ï»Ýù, áñ c Ï»ïáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ

0)( >′ cf ( 0)( <′ cf ) å³ÛÙ³ÝÝ ³ÝÑñ³Å»ßï ã¿ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×Ù³Ý

(Ýí³½Ù³Ý) Ñ³Ù³ñ:

úñÇÝ³Ï, 3xy = ýáõÝÏóÇ³Ý 0=c Ï»ïáõÙ ³×áõÙ ¿, µ³Ûó 03)0(0

2 ==′=x

xy :

+δu

−δu

c +

δu

−δu

c

ÝÏ. 7

+δu

−δu

c c +

δu −δu

c c

ÝÏ. 8

39

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 2: c Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ï»Õ³ÛÇÝ Ù³ùëÇ-

ÙáõÙÇ Ï»ï (ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï), ÇëÏ )(cf -Ý ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ï»Õ³ÛÇÝ Ù³ùëÇÙáõÙ

(ÙÇÝÇÙáõÙ), »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ c Ï»ïÇ δ -ßñç³Ï³Ûù` );( δδδ +−= ccu

³ÛÝåÇëÇÝ, áñ )( fDu ⊂δ ¨ µáÉáñ δ∈ux Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ )()( cfxf ≤

( )()( cfxf ≥ ) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 3: î»Õ³ÛÇÝ Ù³ùëÇÙáõÙÇ ¨ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ï»Õ³-

ÛÇÝ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñ, ÇëÏ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÝ ³Û¹ Ï»ï»ñáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ

ï»Õ³ÛÇÝ ¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2: Ð³×³Ë ï»Õ³ÛÇÝ Ù³ùëÇÙáõÙ, ï»Õ³ÛÇÝ ÙÇÝÇÙáõÙ ¨ ï»Õ³ÛÇÝ

¿ùëïñ»ÙáõÙ ï»ñÙÇÝÝ»ñÇ ÷áË³ñ»Ý û·ï³·áñÍáõÙ »Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ

Ù³ùëÇÙáõÙ, ÙÇÝÇÙáõÙ ¨ ¿ùëïñ»ÙáõÙ ï»ñÙÇÝÝ»ñÁ` ¹ñ³Ýó í»ñ³·ñ»Éáí ÝáõÛÝ

ÇÙ³ëïÁ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4: ¸Çóáõù µáÉáñ }{\ cux δ∈ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ )()( cfxf <

( )()( cfxf > ) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ, ³Û¹ ¹»åùáõÙ c Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ ËÇëï

Ù³ùëÇÙáõÙÇ (ÙÇÝÇÙáõÙÇ) Ï»ï, ÇëÏ )(cf -Ý )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ËÇëï Ù³ùëÇÙáõÙ

(ÙÇÝÇÙáõÙ):

Â»áñ»Ù 2 . (ü»ñÙ³ÛÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» c Ï»ïÁ )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ

¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ¿ ¨ c Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿, ³å³ 0)( =′ cf :

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 3: 1) ü»ñÙ³ÛÇ Ã»áñ»ÙÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ù»ÏÝ³µ³ÝáõÃÛáõÝÁ

Ï³Û³ÝáõÙ ¿ Ýñ³ÝáõÙ, áñ »Ã» ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ·ñ³ýÇÏÇ

Ï»ïáõÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï³Ý»É ·ñ³ýÇÏÇÝ ßáß³÷áÕ, ³å³ ³ÛÝ ½áõ·³Ñ»é ¿ Ox

³é³ÝóùÇÝ (ï»ë ÝÏ. 9):

2) ü»ñÙ³ÛÇ Ã»áñ»ÙÇ ýÇ½ÇÏ³Ï³Ý Ù»ÏÝ³µ³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³Û³ÝáõÙ ¿ Ýñ³ÝáõÙ, áñ

»ñµ ÝÛáõÃ³Ï³Ý Ï»ïÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ áõÕÇÕ ·Íáí, ³å³ Ñ»ï³¹³ñÓÇ å³ÑÇÝ

(¿ùëïñ»ÙáõÙ!) ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ:

3) î»Õ³ÛÇÝ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ñ³Ù³ñ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ½ñá ÉÇÝ»ÉÁ ³ÝÑñ³Å»ßï, µ³Ûó áã

µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý ¿: úñÇÝ³Ï, 3xy = ýáõÝÏóÇ³Ý 0=c Ï»ïáõÙ ³×áõÙ ¿

(¿ùëïñ»ÙáõÙ ãÏ³), µ³Ûó 0)0( =′y :

4) )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³ñáÕ ¿ ¿ùëïñ»ÙáõÙ ³ñÅ»ù áõÝ»Ý³É Ý³¨ ³ÛÝåÇëÇ Ï»ï»-

ñáõÙ, áñï»Õ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ³Ýí»ñçáõÃÛ³Ý Ï³Ù µáÉáñáíÇÝ ·áÛáõÃÛáõÝ

ãáõÝÇ (ã¿ áñ ü»ñÙ³ÛÇ Ã»áñ»ÙÁ åÝ¹áõÙ ¿ 0)( =′ cf Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÙÇÙÇ³ÛÝ

40

³ÛÝ å³ÛÙ³Ýáí, áñ )(xf -Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ c Ï»ïáõÙ): úñÇÝ³Ï, 32

xy =

ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ÙÇÝÇÙáõÙ 0=x Ï»ïáõÙ, µ³Ûó ³Û¹ Ï»ïáõÙ ¹ñ³ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ

³çÇó Ñ³í³ë³ñ ¿ ∞ , ÇëÏ Ó³ËÇó` ∞− : ÖÇßï ÝáõÛÝ Ï»ñå 0=x Ï»ïáõÙ

|| xy = ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ÙÇÝÇÙáõÙ, µ³Ûó ³Û¹ Ï»ïáõÙ ³ÛÝ ³Í³Ýó»ÉÇ ã¿:

5) ºÃ» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý 1x ¨ 2x Ï»ï»ñáõÙ áõÝÇ ï»Õ³ÛÇÝ Ù³ùëÇÙáõÙÝ»ñ

(ÙÇÝÇÙáõÙÝ»ñ), ³å³ ],[ 21 xx Ñ³ïí³ÍÇ ¹»åùáõÙ ÏÇñ³é»Éáí ì³Û»ñßïñ³ëÇ

»ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÁ, Ïëï³Ý³Ýù, áñ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ

(Ù»Í³·áõÛÝ) ³ñÅ»ù ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ 1x ¨ 2x Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ ·ïÝíáÕ ÙÇ ÇÝã-áñ 3x

Ï»ïáõÙ, áñÁ ¨ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ï»Õ³ÛÇÝ ÙÇÝÇÙáõÙ (Ù³ùëÇÙáõÙ) ³ñÅ»ù: ²ÛÝ

(·áñÍÝ³Ï³ÝáõÙ Ï³ñ¨áñ) ¹»åùáõÙ, »ñµ ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí

Ù³ùëÇÙáõÙÝ»ñ áõ ÙÇÝÇÙáõÙÝ»ñ, ³å³ ¹ñ³Ýù áõÕÕ³ÏÇ Çñ³ñ Ñ³çáñ¹áõÙ »Ý:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 5: c Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ëï³óÇáÝ³ñ Ï»ï,

»Ã» 0)( =′ cf :

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 6: f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ µáÉáñ ëï³óÇáÝ³ñ Ï»-

ï»ñÁ ¨ ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñï»Õ í»ñç³íáñ ³Í³ÝóÛ³É ·áÛáõÃáõÝ ãáõÝÇ, ÏáãíáõÙ »Ý f

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñ Ï³Ù ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ñ³Ù³ñ Ï³ëÏ³Í»ÉÇ

Ï»ï»ñ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 7: ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ: Î³-

ë»Ýù f ýáõÝÏóÇ³Ý ];[ ba Ñ³ïí³ÍÇ b Í³Ûñ³Ï»ïáõÙ áõÝÇ »½ñ³ÛÇÝ Ù³ùëÇÙáõÙ

(ÙÇÝÇÙáõÙ), »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ b Ï»ïÇ Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý δ -ßñç³Ï³Ûù`

);( bbu δδ −=− ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ µáÉáñ −δ∈ux Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ )()( bfxf ≤

( )()( bfxf ≥ ) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »Ã» −δ∈ux Ñ³Ù³ñ

ï»ÕÇ áõÝÇ )()( bfxf < ( )()( bfxf > ) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ, ³å³ Ï³ë»Ýù b Ï»-

ïáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ËÇëï »½ñ³ÛÇÝ Ù³ùëÇÙáõÙ (ËÇëï »½ñ³ÛÇÝ ÙÇÝÇÙáõÙ):

Ð³Ý·áõÝáñ»Ý ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ »½ñ³ÛÇÝ Ù³ùëÇÙáõÙÇ (ÙÇÝÇÙáõÙÇ), ÇÝãå»ë Ý³¨

ËÇëï »½ñ³ÛÇÝ Ù³ùëÇÙáõÙÇ (ÙÇÝÇÙáõÙÇ) ·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ a Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ:

º½ñ³ÛÇÝ Ù³ùëÇÙáõÙÁ ¨ ÙÇÝÇÙáõÙÁ Ù»Ï ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ýí³Ý ï³Ï ÏáãíáõÙ »Ý

»½ñ³ÛÇÝ ¿ùëïñ»ÙáõÙ:

Â»áñ»Ù 3 : àñå»ë½Ç )(xfy = ýáõÝÏóÇ³Ý ],[ ba Ñ³ïí³ÍÇ b Í³Ûñ³Ï»ïáõÙ

áõÝ»Ý³ »½ñ³ÛÇÝ Ù³ùëÇÙáõÙ (»½ñ³ÛÇÝ ÙÇÝÇÙáõÙ), µ³í³Ï³Ý ¿, áñ b Ï»ïáõÙ

41

)(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝ»Ý³ ¹ñ³Ï³Ý (µ³ó³ë³Ï³Ý) Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý ³Í³ÝóÛ³É:

Â»áñ»Ù 4 : àñå»ë½Ç )(xfy = ýáõÝÏóÇ³Ý ];[ ba Ñ³ïí³ÍÇ a Í³Ûñ³Ï»ïáõÙ

áõÝ»Ý³ »½ñ³ÛÇÝ Ù³ùëÇÙáõÙ (»½ñ³ÛÇÝ ÙÇÝÇÙáõÙ), µ³í³Ï³Ý ¿, áñ a Ï»ïáõÙ )(xf

ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝ»Ý³ µ³ó³ë³Ï³Ý (¹ñ³Ï³Ý) ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ³Í³ÝóÛ³É:

Ð»ï¨Û³É Ã»áñ»ÙÁ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë, áñ Ñ³ïí³ÍáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ

³Í³ÝóÛ³É ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ë ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ µáÉáñ ÙÇç³ÝÏÛ³É ³ñÅ»ùÝ»ñÁ:

Â»áñ»Ù 5: (¸³ñµáõÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ];[ ba

Ñ³ïí³ÍáõÙ, ³å³ ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ )0( +′= afA ¨ )0( −′= bfB Ãí»ñÇ ÙÇç¨

·ïÝíáÕ C ÃÇíÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ );( ba∈ξ Ï»ï ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ Cf =′ )(ξ :

Ð»ï¨³Ýù 1: ºÃ» Ã»áñ»Ù 5-Ç å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ )0( +′ af ¨ )0( −′ bf -Ý áõÝ»Ý

ï³ñµ»ñ Ýß³ÝÝ»ñ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ );( ba∈ξ Ï»ï ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ

0)( =ξ′f :

²ÝÁÝ¹Ñ³ï ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ëÇÙíáÉÇÏ ·ñ³ýÇÏÇ íñ³ óáõó³¹ñ»Ýù í»ñáÑÇßÛ³É ·³-

Õ³÷³ñÝ»ñÇ Ù»ÏÝ³µ³ÝáõÃÛáõÝÁ:

ÜÏ. 9-Ç 118641 ,,,, xxxxx Ï»ï»ñÁ ËÇëï ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý, 12753 ,,, xxxx

Ï»ï»ñÁ ËÇëï Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý, 9x ¨ 10x Ï»ï»ñÁ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý,

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12x b x a 0

y

ÝÏ. 9

42

);( 109 xx ÇÝï»ñí³ÉÇ Ï»ï»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ù³ñ»É ¨ Ù³ùëÇÙáõÙÇ ¨ ÙÇÝÇÙáõÙÇ

Ï»ï»ñ, áñáíÑ»ï¨ ³Û¹ ÇÝï»ñí³ÉáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ¿: a Í³Ûñ³Ï»ïÁ

ËÇëï »½ñ³ÛÇÝ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, ÇëÏ b Í³Ûñ³Ï»ïÁ ËÇëï »½ñ³ÛÇÝ

ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: 2x Ï»ïÁ ëï³óÇáÝ³ñ Ï»ï ¿, µ³Ûó ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ã¿, ³Û¹

Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿: 109 , xx ¨ 11x Ï»ï»ñáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ã¿,

µ³Ûó ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñ »Ý: ];[ 9xa ¨ ];[ 11 bx Ñ³ïí³ÍÝ»ñáõÙ ó³ÝÏ³ó³Í Çñ³ñ

Ñ³çáñ¹áÕ ³×Ù³Ý (Ýí³½Ù³Ý) ¨ Ýí³½Ù³Ý (³×Ù³Ý) ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý

Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙ ³ñÅ»ù: 6x Ï»ïáõÙ ëï³ó³Í )( 6xf

ÙÇÝÇÙáõÙÝ ³í»ÉÇ Ù»Í ¿, ù³Ý 12x Ï»ïáõÙ ëï³ó³Í )( 12xf Ù³ùëÇÙáõÙÁ:

2. èáÉÉÇ, È³·ñ³ÝÅÇ ¨ ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ

Â»áñ»Ù 6 : (èáÉÉÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ];[ ba

Ñ³ïí³ÍáõÙ, ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );( ba ÇÝï»ñí³ÉáõÙ ¨ )()( bfaf = , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ

áõÝÇ );( ba∈ξ Ï»ï ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ 0)( =ξ′f :

ºñÏñ³ã³÷áñ»Ý èáÉÉÇ Ã»áñ»ÙÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿

Ñ»ï¨Û³ÉÁ. »Ã» èáÉÉÇ Ã»áñ»ÙÇ ³é³çÇÝ »ñÏáõ å³Û-

Ù³ÝÝ»ñÝ µ³í³ñ³ñí³Í »Ý, )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ

·ñ³ýÇÏÇ Í³Ûñ»ñÇ ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý,

³å³ ·ñ³ýÇÏÇ íñ³ Ï·ïÝíÇ ³ÛÝåÇëÇ Ï»ï, áñï»Õ

·ñ³ýÇÏÇÝ ï³ñ³Í ßáß³÷áÕÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ Ox

³é³ÝóùÇÝ (ÝÏ. 10):

Â»áñ»Ù 7 : (ì»ñç³íáñ ³×»ñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» )(xf

ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );( ba ÇÝï»ñí³ÉáõÙ,

³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ );( ba∈ξ Ï»ï ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

))(()()( abfafbf −ξ′=− (1)

(1) µ³Ý³Ó¨ÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý í»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨ Ï³Ù È³·ñ³ÝÅÇ µ³-

Ý³Ó¨:

àñå»ë½Ç å³ñ½»Ýù È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ, ÝÏ³ï»Ýù,

x a b ξ

y

0

ÝÏ. 10

43

áñ ab

afbf−− )()(

Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ))(,( afaA ¨ ))(,( bfbB Ï»ï»ñáí

³ÝóÝáÕ Ñ³ïáÕÇ ³ÝÏÛáõÝ³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏóÇÝ, ÇëÏ )(ξ′f -Ý ))(,( ξξ fC Ï»ïáõÙ

ÏáñÇÝ ï³ñ³Í ßáß³÷áÕÇ ³ÝÏÛáõÝ³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏóÇÝ (ÝÏ.11):

È³·ñ³ÝÅÇ (1) µ³Ý³Ó¨Á Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ

)(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ íñ³ ·áÛáõÃÛáõÝ

áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ))(,( ξξ fC , );( ba∈ξ Ï»ï, áñ

³Û¹ Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ ½áõ·³Ñ»é ¿

AB É³ñÇÝ:

Ð»ï¨³Ýù 2: ºÃ» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï

¿ ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );( ba ÙÇç³-

Ï³ÛùáõÙ, ¨ µáÉáñ ),( bax∈ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ

Axf <′ )( ))(( Axf >′ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í ];[, 21 baxx ∈

Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ 21 xx < ï»ÕÇ áõÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

)()()( 1212 xxAxfxf −<− ( ))()()( 1212 xxAxfxf −>− (2)

Ð»ï¨³Ýù 3: ºÃ» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ ¨ ³Í³Ý-

ó»ÉÇ ¿ );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ¨ µáÉáñ );( bax∈ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Axf <′ |)(|

)|)((| Axf >′ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í ];[, 21 baxx ∈ Ï»ï»ñÇ

Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

|)||)()((||||)()(| 12121212 xxAxfxfxxAxfxf −>−−<− (4)

Ð»ï¨³Ýù 4: (üáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³ëï³ïáõÝáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³Ý): ¸Çóáõù f ýáõÝÏ-

óÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ áñ¨¿ ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇ µáÉáñ

Ï»ï»ñáõÙ, µ³ó³éáõÃÛáõÝ Ï³ñáÕ »Ý ÉÇÝ»É í»ñç³íáñ Ãíáí Ï»ï»ñ: ºÃ» ³Í³Ý-

óÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, ³å³ f ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ¿ ¹Çï³ñÏíáÕ

ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:

Ð»ï¨³Ýù 5: ºÃ» f ¨ g ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý áñ¨¿ ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³

¨ ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇ µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ, µ³ó³éáõÃÛáõÝ Ï³ñáÕ »Ý ÉÇÝ»É

í»ñç³íáñ Ãíáí Ï»ï»ñ ¨ áõÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ` )()( xgxf ′=′ , ³å³

x a b ξ

y

0

ÝÏ. 11

)(bf

)(af

C B

A

44

³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ï³ñµ»ñíáõÙ »Ý ¹Çï³ñÏíáÕ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ÙÇ³ÛÝ

Ñ³ëï³ïáõÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇáí` Cxgxf += )()( :

Ð»ï¨³Ýù 6: ¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ 0x Ï»ïÇ áñáß u ßñç³Ï³Û-

ùáõÙ ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ }{\ 0xu ßñç³Ï³ÛùáõÙ: ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Axfxx

=′→

)(lim0

ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý 0x Ï»ïáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ¨ Axf =′ )( 0 :

Â»áñ»Ù 8: (ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» )(xf ¨ )(xg ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý

];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ µáÉáñ

);( bax∈ Ñ³Ù³ñ 0)( ≠′ xg , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ );( ba∈ξ Ï»ï, áñ

)()(

)()()()(

ξ′ξ′

=−−

gf

agbgafbf

: (5)

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 4: È³·ñ³ÝÅÇ (1) µ³Ý³Ó¨Á Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ÎáßÇÇ (5) µ³Ý³Ó¨Ç Ù³ëÝ³íáñ ¹»åùÁ (»ñµ xxg =)( ):

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 5: (1) ¨ (5) µ³Ý³Ó¨»ñÁ ×Çßï »Ý a ¨ b Ï»ï»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ¹³ë³íáñí³ÍáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ:

(5) µ³Ý³Ó¨ÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý í»ñç³íáñ ³×»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í µ³Ý³Ó¨ Ï³Ù ÎáßÇÇ µ³Ý³Ó¨:

3. ²ÝáñáßáõÃÛáõÝÝ»ñÇ µ³óáõÙÁ ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝáí

Â»áñ»Ù 9 : ¸Çóáõù )(xf ¨ )(xg ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ áñáßí³Í »Ý ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ

Ra∈ Ï»ïÇ áñáß` );( paua =+ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ßñç³Ï³ÛùáõÙ, ¨ µáÉáñ );( pax∈ Ñ³-

Ù³ñ 0)( ≠′ xg : ¸Çóáõù Ý³¨ 0)(lim)(lim ==+→+→

xgxfaxax

Ï³Ù ∞==+→+→

)(lim)(lim xgxfaxax

:

ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ

)()(lim

xgxf

ax ′′

+→

ë³ÑÙ³ÝÁ (³ÛÝ Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É Ý³¨ ∞ Ï³Ù ∞− ), ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ý³¨

)()(lim

xgxf

ax +→

ë³ÑÙ³ÝÁ ¨ ï»ÕÇ áõÝÇ

)()(lim

)()(lim

xgxf

xgxf

axax ′′

=+→+→

(6)

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

45

Â»áñ»Ù 10 : ¸Çóáõù )(xf ¨ )(xg ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ áñáßí³Í »Ý ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ

Ra∈ Ï»ïÇ áñáß` );( aqua =− Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý ßñç³Ï³ÛùáõÙ, ¨ µáÉáñ );( aqx∈ Ñ³-

Ù³ñ 0)( ≠′ xg : ¸Çóáõù Ý³¨ 0)(lim)(lim ==−→−→

xgxfaxax

Ï³Ù ∞==−→−→

)(lim)(lim xgxfaxax

:

ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ

)()(lim

xgxf

ax ′′

−→


)()(lim

xgxf

ax −→

ë³ÑÙ³ÝÁ ¨ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

)()(lim

)()(lim

xgxf

xgxf

axax ′′

=−→−→

: (7)

Ð»ï¨³Ýù 7: (ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝÁ): ¸Çóáõù )(xf ¨ )(xg ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ áñáß-

í³Í »Ý ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ a Ï»ïÇ áñáß ÙÇç³ÝóÇÏ ßñç³Ï³ÛùáõÙ` );();( paaqua ∪=

¨ µáÉáñ aux∈ Ñ³Ù³ñ 0)( ≠′ xg : ¸Çóáõù Ý³¨ 0)(lim)(lim ==→→

xgxfaxax

Ï³Ù

∞==→→

)(lim)(lim xgxfaxax

: ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ

)()(lim

xgxf

ax ′′

→


)()(lim

xgxf

ax→

ë³ÑÙ³ÝÁ ¨ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

)()(lim

)()(lim

xgxf

xgxf

axax ′′

=→→

: (8)

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 6: ºÃ» ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝÁ ÏÇñ³é»Éáõó Ñ»ïá ÝáñÇó å³Ñå³Ý-íáõÙ ¿ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ÈáåÇï³ÉÇ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ ³éÏ³ÛáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ÝáñÇó Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝÁ: ²Ûë åñáó»ëÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ß³ñáõÝ³Ï»É ³ÛÝù³Ý Å³Ù³Ý³Ï, ÙÇÝã¨ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝÁ í»ñ³Ý³:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 7: ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝÁ ÉÇÝ»Éáí ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ Ñ³ßí»Éáõ Ñ½áñ ÙÇçáó, ¹³éÝáõÙ ¿ ³í»ÉÇ Ñ½áñ, »ñµ Ýñ³ Ñ»ï ÙÇ³ëÇÝ ÏÇñ³éíáõÙ »Ý ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ Ñ³ßí»Éáõ ³ÛÉ ÙÇçáóÝ»ñ:

46

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 8: ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É 00 ,0,1,,0 ∞∞−∞∞⋅ ∞

ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝÝ»ñÇ µ³óÙ³Ý ¹»åùáõÙ, ¹ñ³Ýó µ»ñ»Éáí 0/0 Ï³Ù ∞∞ / ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝÝ»ñÇ.

1) ∞⋅0 ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝÁ Áëï Ñ³ñÙ³ñáõÃÛ³Ý µ»ñíáõÙ ¿ ∞∞ /

(f

ggf/1

=⋅ ëË»Ù³Ûáí) Ï³Ù 0/0 (g

fgf/1

=⋅ ëË»Ù³Ûáí) ³Ýáñá-

ßáõÃÛáõÝÝ»ñÇ: 2) ∞−∞ ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝÁ Ñ³×³Ë µ»ñáõÙ »Ý 0/0 ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛ³Ý,

ûñÇÝ³Ï, )/(1/1/1

/11

/11

fgfg

gfgf −

=−=− ëË»Ù³Ûáí:

3) 00,1∞ ¨ 0∞ ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Éá·³ñÇÃÙ»Éáõ ÙÇçáóáí µ»ñíáõÙ ¿

∞⋅0 ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛ³Ý` fgf g lnln = ëË»Ù³Ûáí:

4. Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Á: ê³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ Ñ³ßíáõÙÁ Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Ç û·ÝáõÃÛ³Ùµ

Â»áñ»Ù 11 : ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý ];[ 0 xx Ñ³ïí³ÍáõÙ áõÝÇ n -ñ¹ Ï³ñ·Ç

³ÝÁÝ¹Ñ³ï ³Í³ÝóÛ³É, ÇëÏ );( 0 xx ÇÝï»ñí³ÉáõÙ áõÝÇ 1+n -ñ¹ Ï³ñ·Ç

³Í³ÝóÛ³É, ³å³ ];[ 0 xx Ñ³ïí³ÍáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¨ );( 0 xx ÇÝï»ñí³ÉáõÙ

³Í³Ýó»ÉÇ ó³ÝÏ³ó³Í ϕ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹»åùáõÙ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ µáÉáñ );( 0 xxt∈

Ñ³Ù³ñ 0)( ≠ϕ′ t , ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ );( 0 xx∈ξ Ï»ï, áñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É

µ³Ý³Ó¨Á`

),()(!

)()(!3

)(

)(!2

)()(!1

)()()(

100

)(3

00

20

00

00

xRxxn

xfxxxf

xxxfxxxfxfxf

nn

n

++−++−′′′

+

+−′′

+−′

+=

(9)

áñï»Õ`

nnn xf

nxx

xR ))((!)(

)()()( )1(0

1 ξ−ξξϕ′ϕ−ϕ

= ++ : (10)

(9) µ³Ý³Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ Â » Û É á ñ Ç µ³Ý³Ó¨ ( 0x Ï»ÝïñáÝáí), ÇëÏ )(1 xRn+ -Á

Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Ç ÙÝ³óáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³Ù, Ï³Ù Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Ç n -ñ¹ ÙÝ³óáñ-¹³ÛÇÝ ³Ý¹³Ù:

Ð»ï¨³Ýù 8: î»Õ³¹ñ»Éáí (10)-áõÙ ptxt )()( −=ϕ , áñï»Õ 0>p ` ÏáõÝ»Ý³Ýù`

47

)(!

)()( )1(1

01 ξ⋅

ξ−

ξ−

−= +

+

+n

np

n fpn

xx

xxxR (11)

ØÝ³óáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÇ ïñÙ³Ý ³Ûë Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ Þ É Û á Ù Ç É Ë Ç ¨ è á ß Ç Ó¨: Ð»ï¨³Ýù 9: î»Õ³¹ñ»Éáí (10)-áõÙ )1()( =−=ϕ ptxt , Ïëï³Ý³Ýù` ÙÝ³óáñ-

¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÇ ïñÙ³Ý Î á ß Ç Ç Ó¨Á`

)())((!

1)( 0)1(

1 xxxfn

xR nnn −ξ−ξ= ++ : (12)

Ð»ï¨³Ýù 10: î»Õ³¹ñ»Éáí (10)-áõÙ )1()()( 1 +=−=ϕ + nptxt n , Ïëï³Ý³Ýù`

ÙÝ³óáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÇ ïñÙ³Ý È ³ · ñ ³ Ý Å Ç Ó¨Á`

10

)1(1 ))((

)!1(1)( ++

+ −ξ+

= nnn xxf

nxR : (13)

Â»áñ»Ù 12 : ºÃ» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý 0x Ï»ïáõÙ n -³Ý·³Ù ³Í³Ýó»ÉÇ ¿, ³å³

ï»ÕÇ áõÝÇ (9) µ³Ý³Ó¨Á, ÁÝ¹ áñáõÙ`

))(()( 01n

n xxoxR −=+ : (14)

ØÝ³óáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÇ (14) Ý»ñÏ³Û³óáõÙÝ ÁÝ¹áõÝí³Í ¿ ³Ýí³Ý»É ÙÝ³óáñ-¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÇ ä » ³ Ý á Û Ç Ó¨:

¶áñÍÝ³Ï³ÝáõÙ ³í»ÉÇ ß³ï ÏÇñ³é³Ï³Ý »Ý. Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Á, »ñµ ÙÝ³óáñ-¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÁ ïñí³Í ¿ È ³ · ñ ³ Ý Å Ç Ó¨áí`

),,(,)()!1(

)()(!

)()(!3

)(

)(!2

)()(!1

)()()(

01

0

)1(

00

)(3

00

20

00

00

xxxxn

fxxn

xfxxxf

xxxfxxxfxfxf

nn

nn

∈−+

+−++−′′′

+

+−′′

+−′

+=

++

ξξ

(15)

ÎáßÇÇ Ó¨áí`

),,(,!

)())(()(!

)()(!3

)(

)(!2

)()(!1

)()()(

00

)1(

00

)(3

00

20

00

00

xxn

xxxfxxn

xfxxxf

xxxfxxxfxfxfnn

nn

∈−−

+−++−′′′

+

+−′′

+−′

+=+

ξξξ

(16)

¨ ä»³ÝáÛÇ Ó¨áí`

:))(()(!

)()(!3

)(

)(!2

)()(!1

)()()(

000

)(3

00

20

00

00

nnn

xxoxxn

xfxxxf

xxxfxxxfxfxf

−+−++−′′′

+

+−′′

+−′

+=

(17)

ÜÏ³ï»Ýù, áñ (15) ¨ (16) µ³Ý³Ó¨»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É áñå»ë Ùáï³íáñ Ñ³ßíÙ³Ý µ³Ý³Ó¨»ñ, áñáíÑ»ï¨ ¹ñ³Ýù ÃáõÛÉ »Ý ï³ÉÇë ÷³ëï³óÇ ·Ý³Ñ³ï»É

)(1 xRn+ ÙÝ³óáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÁ, ÙÛáõë ÏáÕÙÇó, »Ã» )()1( xf n+ -Ý 0x Ï»ïÇ áñáß

48

ßñç³Ï³ÛùáõÙ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿, ³å³ ¹ñ³Ýù Ï³ñáÕ »Ý Í³é³Û»É Ý³¨ áñå»ë ³ëÇÙåïáïÇÏ µ³Ý³Ó¨»ñ`

:))(()(!

)()(

!3)(

)(!2

)()(

!1)(

)()(

100

0)(

30

0

20

00

00

+−+−++−′′′

+

+−′′

+−′

+=

nnn

xxOxxn

xfxx

xf

xxxf

xxxf

xfxf

(18)

Â»ÛÉáñÇ (17) ¨ (18) µ³Ý³Ó¨»ñÁ (áñáÝó ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ý³¨ Â»ÛÉáñÇ ï»Õ³ÛÇÝ

µ³Ý³Ó¨»ñ) Ñ³ñÙ³ñ ¿ ÏÇñ³é»É ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ Ñ³ßí»ÉÇë, »ñµ 0xx → : ¸ñ³Ýù ã»Ý

Ï³ñáÕ Í³é³Û»É áñå»ë Ùáï³íáñ Ñ³ßíÙ³Ý µ³Ý³Ó¨»ñ ³ÛÝù³Ý Å³Ù³Ý³Ï, ÙÇÝã¨ ÷³ëï³óÇ ãÇ ·Ý³Ñ³ïí³Í ¹ñ³Ýó ÙÝ³óáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 9: ÜÏ³ï»Ýù, áñ (15) ¨ (17) µ³Ý³Ó¨»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³-

µ³ñ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý (1) 4 ¨ (8) 1 µ³Ý³Ó¨»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÝ»ñÁ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 10: Ð³×³Ë Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨ÇÝ, »ñµ 00 =x , ³Ýí³ÝáõÙ »Ý

Ø ³ Ï É á ñ » Ý á õ µ³Ý³Ó¨:

ÜÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí, áñ )( 00 xxx −θ+=ξ , áñï»Õ 10 <θ< ¨ ï»Õ³¹ñ»Éáí

00 =x (16), (15) ¨ (17) µ³Ý³Ó¨»ñáõÙ, Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ, Ïëï³Ý³Ýù`

Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨Á ÙÝ³óáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÇ ïñÙ³Ý ÎáßÇÇ Ó¨áí`

)(!

)1(!

)0(!2

)0(!1

)0()0()( )1(1)(

2 xfn

xxn

fxfxffxf nnn

nn

θθ−

+++′′

+′

+= ++

, (19)

È³·ñ³ÝÅÇ Ó¨áí`

1)1()(

2

)!1()(

!)0(

!2)0(

!1)0()0()( +

+

+θ

+++′′

+′

+= nn

nn

xn

xfxn

fxfxffxf , (20)

¨ ä»³ÝáÛÇ Ó¨áí`

)(!

)0(!2

)0(!1

)0()0()()(

2 nnn

xoxn

fxfxffxf +++′′

+′

+= : (21)

¶áñÍÝ³Ï³Ý ³ßË³ï³ÝùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ß³ï ÏÇñ³é³Ï³Ý »Ý Ñ»ï¨Û³É ¹Çïá-ÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 11: ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý 0xx = Ï»ïÇ áñáß ßñç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ

ó³ÝÏ³ó³Í Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³É (áõÝÇ µáÉáñ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ): ²Û¹ ¹»åùáõÙ` ³) ºÃ» f -Á ½áõÛ· ýáõÝÏóÇ³ ¿ ¨ 00 =x , ³å³

∑=

+ ∈+=n

k

nkk

Nnxoxk

fxf0

122)2(

),()!2(

)0()( : (22)

µ) ºÃ» f -Á Ï»Ýï ýáõÝÏóÇ³ ¿ ¨ 00 =x , ³å³

∑=

+++

∈++

=n

k

nkk

Nnxoxk

fxf0

2212)12(

),()!12()0()( : (23)

49

·) ºÃ» )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ïñí³Í ¿ Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨Á

∑=

∈+=n

k

nkk Nnxoxaxf

0

),()( ,

³å³ )(bxf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨Á ÏÉÇÝÇ`

∑=

∈+=n

k

nkk

k Nnxoxabbxf0

),()( : (24)

¹) ºÃ»

∑=

−+−=n

k

nkk xxoxxaxf

000 ))(()()( ,

∑=

−+−=n

k

nkk xxoxxbxg

000 ))(()()( ,

³å³

∑=

−+−+=+n

k

nkkk xxoxxbaxgxf

000 ))(())(()()( , (25)

∑=

−+−=n

k

nkk xxoxxcxgxf

000 ))(()()()( , (26)

áñï»Õ` ∑=

−− +++==k

pkkkpkpk babababac

00110 :

») ºÃ» )(/)()( xhxgxf = ,

∑=

−+−=n

k

nkk xxoxxbxg

000 ))(()()( ,

∑=

−+−=n

k

nkk xxoxxcxh

000 ))(()()( ,

ÁÝ¹ áñáõÙ` 0)( 00 ≠= xhc , ³å³ ÏÇñ³é»Éáí ³Ýáñáß ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇ Ù»Ãá¹Á,

Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Á: ¸Çóáõù`

∑=

−+−=n

k

nkk xxoxxaxf

000 ))(()()( ,

áñï»Õ nkak ,1,0, = ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ³ÝÑ³Ûï Ãí»ñ »Ý: ºÃ»

∑

∑∑

=

==

−+−=

=

−+−

−+−

n

k

nnk

n

k

nnk

n

k

nnk

xxoxxb

xxoxxcxxoxxa

000

000

000

))(()(

))(()())(()(

50

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ç ¨ Ó³Ë Ù³ë»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý nkxx n ,,1,0,)( 0 =−

³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ»óÝ»Ýù, Ïëï³Ý³Ýù naaa ,,, 10 ·áñ-

Í³ÏÇóÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñï»ÕÇó ¨ áñáßíáõÙ »Ý ³Û¹ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ:

½) ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ ))(()( xfxF ϕ= µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý: ºÃ» Ñ³ÛïÝÇ ¿ f ¨ ϕ

ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨»ñÁ`

∑=

−+−=ϕn

k

nkk xxoxxcx

000 ))(()()( , (27)

∑=

ω−ω+ω−ω=ωn

k

nkk oaf

000 ))(()()( , (28)

áñï»Õ )( 00 xϕ=ω , ³å³ )(xF ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Ç`

∑=

−+−=ϕ=n

k

nkk xxoxxbxfxF

000 ))(()())(()( :

nkbk ,,2,1,0, = ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ áñáß»Éáõ Ñ³Ù³ñ µ³í³Ï³Ý ¿ (28) µ³Ý³Ó¨áõÙ

ï»Õ³¹ñ»É )(xϕ=ω , )(xϕ -Á ÷áË³ñÇÝ»É (27) í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ùµ ¨ Ï³ï³ñ»É µáÉáñ

ÑÝ³ñ³íáñ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, å³Ñå³Ý»Éáí ÙÇ³ÛÝ

,)( 0k

k xxb − nk ,,1,0 = ï»ëùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ: Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »Ã»

∑=

ω+ω=ω∈=ϕn

k

nkk

m oafNmAxx0

)()(,,)( ,

³å³

∑=

+==ϕn

k

mnmkk

km xoxaAAxfxf0

)()())(( : (29)

¿) ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý 0x Ï»ïáõÙ 1+n -³Ý·³Ù ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ¨

∑=

−+−=′n

k

nkk xxoxxbxf

000 ))(()()( ,

!)( 0

)1(

kxfb

k

k

+

= ,

³å³ f ýáõÝÏóÇ³Ý Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`

∑=

++ −+−+

+=n

k

nkk xxoxxkbxfxf

1

10

100 ))(()(

1)()( : (30)

úñÇÝ³Ï 1: êïáõ·»É` ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõ±Ù ¿

èáÉÉÇ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ, Ã»± áã: ¸ñ³Ï³Ý å³ï³ëË³ÝÇ ¹»åùáõÙ ·ïÝ»É Ã»áñ»ÙáõÙ ÑÇß³ï³ÏíáÕ ξ -Ý:

³) ]1;1[,|sin|)( −+= xxxf , µ)

=

65;

6,sinln)( ππxxf :

51

ÈáõÍáõÙ: ³) )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ]1;1[− Ñ³ïí³ÍáõÙ:

ø³ÝÇ áñ 2)0( =+′f ¨ 0)0( =−′f , ³å³ 0=x Ï»ïáõÙ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý

³Í³Ýó»ÉÇ ã¿, áõñ»ÙÝ èáÉÉÇ Ã»áñ»ÙÇ »ñÏñáñ¹ å³ÛÙ³ÝÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ:

µ) )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿

65;

6ππ

Ñ³ïí³ÍáõÙ: =′=′ )sin(ln)( xxf

ctgx= : ø³ÝÇ áñ ctgx -Á áñáßí³Í ¿

65;

6ππ

ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ³å³ )(xf -Á

³Í³Ýó»ÉÇ ¿

65;

6ππ

ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³: 2ln6

sinln6

−=π

=

πf , =

π

65f

2ln6

5sinln −=π

= , áõñ»ÙÝ

π

=

π

65

6ff : ²ÛëåÇëáí, ï»ÕÇ áõÝÇ èáÉÉÇ

Ã»áñ»ÙÇ µáÉáñ »ñ»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ:

Ð³Ù³Ó³ÛÝ èáÉÉÇ Ã»áñ»ÙÇ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ

∈

65;

6ππξ Ï»ï ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ

0)( =ξ=ξ′ ctgf : Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ 2/π=ξ :


0132

212

112 =+++++ +

−−+kk

kkk axaxaxax , (31)

áñï»Õ 0,1,,2,1,0 >−=≥ ki akia , Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ù»Ï, ³ÛÝ ¿É å³ñ½

Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï: ²å³óáõÛó: ¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏóÇ³Ý`

132

212

112)( +

−−+ +++++= kkkkk axaxaxaxxf :

²ÛÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ áõÕÕÇ íñ³, ÁÝ¹ áñáõÙ`

kkkk axakxakxkxf ++−+−++=′ −− 42

222

12 )32()12()12()( :

Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ µáÉáñ Rx∈ Ñ³Ù³ñ 0)( >′ xf : Ð»ï¨³µ³ñ, (31)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ù»ÏÇó ³í»É Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï áõÝ»Ý³É ãÇ Ï³ñáÕ:

Æñáù, »Ã» ³ÛÝ áõÝ»Ý³ñ »ñÏáõ 1x ¨ 2x )( 21 xx < ³ñÙ³ïÝ»ñ, ³å³ ];[ 21 xx

Ñ³ïí³ÍáõÙ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý Ïµ³í³ñ³ñ»ñ èáÉÉÇ Ã»áñ»ÙÇ µáÉáñ å³ÛÙ³Ý-

Ý»ñÇÝ ( )(xf -Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ];[ 21 xx Ñ³ïí³ÍáõÙ, ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );( 21 xx ÙÇç³-

Ï³ÛùáõÙ ¨ 0)()( 21 == xfxf ): Àëï èáÉÉÇ Ã»áñ»ÙÇ, ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ñ ³ÛÝ-

åÇëÇ );( 21 xx∈ξ Ï»ï, áñ 0)( =ξ′f , áñÝ ³ÝÑÝ³ñ ¿: (31) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Çñ³Ï³Ý

52

³ñÙ³ïÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ Ýñ³ÝÇó, áñ )(xf µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ï»Ýï

³ëïÇ×³ÝÇ ¿: ØÇ³ÛÝ Ù»Ï ³ñÙ³ïÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ ¨ ¹ñ³ å³ñ½ ÉÇÝ»ÉÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿

Ýñ³ÝÇó, áñ Rxxf ∈∀>′ ,0)( :

úñÇÝ³Ï 3: êïáõ·»É` f ýáõÝÏóÇ³Ý ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ µ³í³ñ³ñáõ±Ù ¿

È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ, Ã»± áã: ¸ñ³Ï³Ý å³ï³ëË³ÝÇ ¹»åùáõÙ

·ïÝ»É µ³Ý³Ó¨áõÙ ÑÇß³ï³ÏíáÕ ξ -ÇÝ:

³) ]4;0[,)( xxf = , µ) ]1;2[,)( 3 −−= xxxf :

ÈáõÍáõÙ: ³) xxf =)( ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ]4;0[ Ñ³ïí³ÍáõÙ: ø³ÝÇ

áñ x

xf2

1)( =′ , ³å³ )(xf ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ]4;0( ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, Ñ»ï¨³µ³ñ, ³ÛÝ

µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: àõñ»ÙÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ

³ÛÝåÇëÇ )4;0(∈ξ , áñ )04(2

104 −ξ

=− , áñï»ÕÇó` 1=ξ :

µ) 3)( xxxf −= ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: ø³ÝÇ áñ 231)( xxf −=′ , ³å³

)(xf ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ]1;2[− Ñ³ïí³ÍáõÙ, Ñ»ï¨³µ³ñ, ³ÛÝ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ:

àõñ»ÙÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ )1;2(−∈ξ Ï»ï, áñ =−− )2()1( ff

))2(1)(31( 2 −−ξ−= , áñï»ÕÇó Ïëï³Ý³Ýù` 1±=ξ : ÜÏ³ï»Ýù, áñ )1;2(1 −∈−=ξ :

úñÇÝ³Ï 4: ú·ïí»Éáí È³·ñ³ÝÅÇ µ³Ý³Ó¨Çó, ³å³óáõó»É ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÁ`

³) xxx

x<+<

+)1ln(

1, »ñµ 0>x , µ) xex +>1 , »ñµ Rx∈ :

ÈáõÍáõÙ: ³) ¸Çï³ñÏ»Ýù ]1;1[,ln)( xtttf +∈= ýáõÝÏóÇ³Ý: ²ÛÝ ³ÝÁÝ-

¹Ñ³ï ¿ ]1;1[ x+ Ñ³ïí³ÍáõÙ: ø³ÝÇ áñ t

tf 1)( =′ , ³å³ )(tf -Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿

ÝáõÛÝ Ñ³ïí³ÍáõÙ, Ñ»ï¨³µ³ñ, ³ÛÝ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇ

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ:

àõñ»ÙÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ )1;1( x+∈ξ , áñ`

)11(11ln)1ln( −+ξ

=−+ xx

53

Ï³Ù

ξ

=+xx)1ln( : (32)

ø³ÝÇ áñ x+<ξ< 11 , Ïëï³Ý³Ýù`

11xx

xx

<ξ

<+

:

ÜÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí (32) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, Ïëï³Ý³Ýù`

xxx

x<+<

+)1ln(

1:

µ) ¸Çï³ñÏ»Ýù Rxxtetf t ∈∈= ],;0[,)( ýáõÝÏóÇ³Ý: ²ÛÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨

³Í³Ýó»ÉÇ ];0[ x Ñ³ïí³ÍáõÙ, Ñ»ï¨³µ³ñ f -Á µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ È³·ñ³ÝÅÇ

Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ:

àõñ»ÙÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ );0( x∈ξ , áñ`

)0(0 −=− ξ xeeex ,

Ï³Ù

ξ+= xeex 1 :

ø³ÝÇ áñ x<ξ<0 Ï³Ù 0<ξ<x , »Ã» 0<x , ³å³ »ñÏáõ ¹»åùáõÙ ¿É

xxexeex +=+>+= ξ 111 0 , áõñ»ÙÝ`

Rxxex ∈∀+> ,1 :

úñÇÝ³Ï 5: ²å³óáõó»É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ`

³) 2

arccosarcsin π=+ xx , µ) π=+− xx arccos)arccos( :

²å³óáõÛó: ³) ¸Çï³ñÏ»Ýù xxxf arccosarcsin)( += ýáõÝÏóÇ³Ý: )(xf -Ý

³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ]1;1[− Ñ³ïí³ÍáõÙ: ø³ÝÇ áñ`

)1;1(,01

11

1)(22

−∈∀=−

−−

=′ xxx

xf ,

³å³ Áëï Ñ»ï¨³Ýù 4-Ç cxf =)( : ²ÛëåÇëáí, áõÝ»Ýù

]1;1[,arccosarcsin −∈∀=+ xcxx (33)

c Ñ³ëï³ïáõÝÁ áñáß»Éáõ Ñ³Ù³ñ (33) ÝáõÛÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ï»Õ³¹ñ»Ýù ]1;1[−

Ñ³ïí³ÍÇó Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ñÅ»ù, ûñÇÝ³Ï, 0=x , Ïëï³Ý³Ýù` 2/π=c :

54

Ð»ï¨³µ³ñ`

]1;1[,2/arccosarcsin −∈∀=+ xxx π :

µ) ¸Çï³ñÏ»Ýù )arccos()( xxf −= ¨ xxg arccos)( −π= ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ: f ¨

g ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý ]1,1[− Ñ³ïí³ÍáõÙ: ¶ïÝ»Ýù ³Û¹ ýáõÝÏ-

óÇ³Ý»ñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ`

21

1)(x

xf−

=′ ¨ 21

1)(x

xg−

=′ :

ø³ÝÇ áñ )()( xgxf ′=′ , )1;1(−∈∀x , ³å³ Ñ³Ý³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨³Ýù 5-Ç

]1;1[,)()( −∈∀+= xcxgxf , Ï³Ù

]1;1[,arccos)( −∈∀+−=− xcxxarcctg π : (34)

àñå»ë½Ç ·ïÝ»Ýù c Ñ³ëï³ïáõÝÁ, ï»Õ³¹ñ»Ýù (34) ÝáõÛÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ]1,1[−

Ñ³ïí³ÍÇó áñ¨¿ ³ñÅ»ù, ûñÇÝ³Ï, 0=x , Ïëï³Ý³Ýù` 0=c : Ð»ï¨³µ³ñ`

]1;1[,arccos)arccos( −∈∀−=− xxx π :

úñÇÝ³Ï 6: êïáõ·»É` ³ñ¹Ûá±ù f ¨ g ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ µ³-

í³ñ³ñáõÙ »Ý ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ¸ñ³Ï³Ý å³ï³ëË³ÝÇ ¹»åùáõÙ

·ïÝ»É ÎáßÇÇ µ³Ý³Ó¨áõÙ ÑÇß³ï³ÏíáÕ ξ -Ý:

³) ,1)(,)( 23 +== xxgxxf µ) 3 2)(,sin)( xxgxxf == :

]2;1[∈x ]1;1[−∈x

ÈáõÍáõÙ: ³) f ¨ g ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï áõ ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý ]2;1[ Ñ³ï-

í³ÍáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ

xxgxxf 2)(,3)( 2 =′=′ :

ø³ÝÇ áñ µáÉáñ )2;1(∈x Ñ³Ù³ñ 0)( ≠′ xg , Ñ»ï¨³µ³ñ f ¨ g ýáõÝÏ-

óÇ³Ý»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: àõñ»ÙÝ ·áÛáõÃÛáõÝ

áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ )2;1(∈ξ Ï»ï, áñ`

21,)()(

)1()2()1()2(

<ξ<ξ′ξ′

=−−

gf

ggff

,

Ï³Ù

21,2

32518 2

<ξ<ξξ

=−−

,

áñï»ÕÇó 9/14=ξ :

55

µ) f ¨ g ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý ]1;1[− Ñ³ïí³ÍáõÙ: ¶ïÝ»Ýù f ¨

g ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ`

332)(,cos)(

xxgxxf =′=′ : (35)

(35)-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ g ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ã¿ )1;1(0 −∈ Ï»ïáõÙ:

Ð»ï¨³µ³ñ, f ¨ g ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ÙÇ³ëÇÝ ã»Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÇ

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ:

úñÇÝ³Ï 7: Ð³ßí»É ë³ÑÙ³ÝÁ`

³) 3

lim3

3 −−

→ xeex

x, µ) 5

3

0

6sin6limx

xxxx

+−→

:

ÈáõÍáõÙ: ³) àõÝ»Ýù 0/0 ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ: Àëï ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝÇ`

3

3

3

3 1lim

3lim ee

xee x

x

x

x==

−−

→→:

µ) àõÝ»Ýù 0/0 ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ:

=+−

=+−

=+−

→→→ 304

2

05

3

0 42sin2lim

53

536cos6lim6sin6lim

xxx

xxx

xxxx

xxx

201

1coslim

201

2sinlim

101

3cos1lim

103

0020==

−−=

−−=

→→→

xx

xx

xxxx

:

ÜÏ³ï»Ýù, áñ ³) ûñÇÝ³ÏÁ ÉáõÍ»ÉÇë Ù»Ýù Ù»Ï ³Ý·³Ù ÏÇñ³é»óÇÝù ÈáåÇï³ÉÇ

Ï³ÝáÝÁ ¨ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝÁ í»ñ³ó³í: µ) ûñÇÝ³ÏÁ ÉáõÍ»ÉÇë ÑÇÝ· ³Ý·³Ù

ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝÁ ÏÇñ³é»Éáõó Ñ»ïá ³ÝáñáßáõÃÛáõÝÁ í»ñ³ó³í:


³) )0(lnlim >αα+∞→ xx

x, µ)

xtgxxxx

x −+

→

sin)1ln(shlim0

:

ÈáõÍáõÙ: ³) àõÝ»Ýù ∞∞ / ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ:

01lim/1limlnlim 1 =α

=α

= α+∞→−α+∞→α+∞→ xxx

xx

xxx:

µ) àõÝ»Ýù 0/0 ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ xxxshx ~sin~)1ln(~ + ,

»ñµ 0→x :

3cossin

lim31

cos13limlimsin)1ln(shlim 2

2

0

2

2

0

3

00=

=

−=

−=

−+

→→→→x

xx

x

xxtgx

xxtgx

xxxxxxx

:

56


³)

−

→ 320

1limx

arctgxxx

, µ) ||ln/1

0)1(lim xx

xe −

→:

ÈáõÍáõÙ: ³) àõÝ»Ýù ∞−∞ ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ: ´»ñ»Éáí ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ

Ñ³Ûï³ñ³ñÇ` Ïëï³Ý³Ýù 0/0 ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ, áñÇó Ñ»ïá Ï³ñ»ÉÇ ¿

ÏÇñ³é»É ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝÁ`

31

11lim

31

31

11limlim1lim 202

2

030320=

+=+

−=

−=

−

→→→→ xxx

xarctgxx

xarctgx

x xxxx:

µ) àõÝ»Ýù 00 ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 8-Ç 3) Ï»ïÇ ¨

Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý, áõÝ»Ýù`

||ln)1ln(lim)1ln(lim)1(limln

0

||ln/1

0

||ln/1

0 xeee

x

x

xx

x

xx

x

−=−=−

→→→:

êï³ó³Ýù ∞∞ / ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ: ÎÇñ³é»Éáí ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝÁ,

Ïëï³Ý³Ýù`

1)1(lim)1(lim1

lim/1

)1/(lim||ln

)1ln(lim00000

=+=+

=−

=−

=−

→→→→→x

eex

exe

xee

xe

xx

x

xx

x

x

xx

x

x

x:

Ð»ï¨³µ³ñ 1)1(limln ||ln/1

0=−

→

xx

xe , áñï»ÕÇó Ïëï³Ý³Ýù`

eee xx

x==−

→

1||ln/1

0)1(lim :


³) 2

1

0)(coslim x

xx

→, µ) x

xx sin

0)/1(lim

→:

ÈáõÍáõÙ: ³) àõÝ»Ýù ∞1 ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ: ø³ÝÇ áñ 22 /)cos(ln

1

)(cos xxx ex = ,

³å³ û·ïí»Éáí ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝÇó ¨ óáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³-

ïáõÃÛáõÝÇó, Ïëï³Ý³Ýù` 21lim

21

2lim)ln(coslim

0020−=−=

−=

→→→ xtgx

xtgx

xx

xxx, ¨ Ñ»ï¨³-

µ³ñ` 21/))(ln(coslim

1

0

202)(coslim

−

→== → eex

xxx

xx :

µ) àõÝ»Ýù 0∞ ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ: ø³ÝÇ áñ xxxxx eex lnsin)/1ln(sinsin)/1( −== ¨

57

=−

−=−=−+→+→+→

xx

xx

xxxxxx

2

000

sincos/1lim

sin/1lnlimlnsinlim 0sinlim

cossinlim

0

2

0=⋅=

+→+→tgx

xx

xxx

xx,

³å³ 1)/1(lim 0lnsinlimsin

00 === +→

−

+→eex

xxx

xx :

úñÇÝ³Ï 11: Ð»ï¨Û³É ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ í»ñÉáõÍ»É Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨áí, ÙÝ³-

óáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÁ í»ñóÝ»Éáí ä»³ÝáÛÇ Ó¨áí.

³) xexf =)( , µ) xxf sin)( = , ·) xxf cos)( = ,

¹) )1ln()( xxf += , ») Rxxf ∈α+= α ,)1()( :

ÈáõÍáõÙ: ³) ø³ÝÇ áñ xn exf =)()( , }0{∪∈Nn , 1)0()( =nf , Ñ»ï¨³µ³ñ,

Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (21) µ³Ý³Ó¨Ç, ÏáõÝ»Ý³Ýù`

)(!!3!21

132

nn

x xonxxxxe ++++++= , (36)

Ï³Ù

)(!0

nn

k

kx xo

kxe +=∑

=

: (37)

µ) ø³ÝÇ áñ

π

+=2

sin)()( nxxf n , }0{∪∈Nn , ¨

∪∈+=−∪∈=

==:}0{,12,)1(

},0{,2,02

sin)0()(

NkknNkkn

nf kn

»ñµ

»ñµπ

³å³, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (21) µ³Ý³Ó¨Ç, ÏáõÝ»Ý³Ýù`

)()!12(

)1(!7!5!3

sin 2212753

++ ++

−++−+−= kk

k

xoxk

xxxxx ,

Ï³Ù

)()!12(

)1(sin 22

0

12 +

=

+ ++

−=∑ n

n

k

kk

xoxk

x : (38)

·) ø³ÝÇ áñ

π

+=2

cos)()( nxxf n , }0{∪∈Nn , ¨

∪∈=−∪∈+=

==:}0{,2,)1(

},0{,12,02

cos)0()(

NkknNkkn

nf kn

»ñµ

»ñµπ,

58


)()!2()1(

!6!4!21cos 122

642++

−++−+−= kk

k

xoxk

xxxx , (39)

Ï³Ù

)()!2()1(cos 12

0

2 +

=

+−

=∑ nn

k

kk

xoxk

x : (40)

¹) ø³ÝÇ áñ 0)0(,)1()!1()1()( 1)( =

+−

−= − fx

nxf nnn ¨ )!1()1()0( 1)( −−= − nf nn , Nn∈ ,


)()1(32

)1ln( 132

nn

n xonxxxxx +−+++−=+ − , (41)

Ï³Ù

)()1()1ln(0

1 nn

k

kk xo

kxx +−=+ ∑

=

− : (42)

x -Á ÷áË»Éáí x− -áí, Ïëï³Ý³Ýù`

)()1ln(0

nn

k

k

xokxx +−=− ∑

=

: (43)

») ø³ÝÇ áñ nn xnxf −α+−−α−αα= )1))(1(()1()()( ¨ ×α=)0()(nf

))1(()1( −−α−α× n , ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (21) µ³Ý³Ó¨Ç, ÏáõÝ»Ý³Ýù `

)(!

))1(()1(!2

)1(!1

1)1( 2 nn xoxn

nxxx +−−α−αα

++−αα

+α

+=+ α , (44)

Ï³Ù

)()1(0

nn

k

kk xoxCx +=+ ∑=

αα , (45)

áñï»Õ Nkk

kCC k ∈−−α−αα

== αα ,!

))1(()1(,10 :

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ. 1) »Ã» Nn∈=α , ³å³ 0)()( =xf k , »ñµ nk > , Ñ»ï¨³µ³ñ,

nxxf )1()( += ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨Ç ÙÝ³óáñ¹³ÛÇÝ ³Ý-

¹³ÙÝ, ³ÝÏ³Ë Ýñ³ ïñÙ³Ý Ó¨Çó, Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù`

nn xxnnxnx ++−

++=+ 2

!2)1(

!11)1( : (46)

59

ÜÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí, áñ

++++++=

+=+ n

nnnk

kknnn

nn

nn

axC

axC

axC

axCa

axaxa 2

22111)( ,

Ïëï³Ý³Ýù`

nnn

kknkn

nn

nn

nn xCxaCxaCxaCaxa ++++++=+ −−− 22211)( : (47)

²ÛëåÇëáí` »ñÏ³Ý¹³ÙÇ ÜÛáõïáÝÇ µ³Ý³Ó¨Á Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ α)()( xaxf +=

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨Ç Ù³ëÝ³íáñ ¹»åùÁ:

2) »ñµ 1−=α , ³å³ ÏáõÝ»Ý³ù`

∑=

+−=+

n

k

nkk xoxx 0

)()1(1

1: (48)

x -Á ÷áË³ñÇÝ»Éáí x− -áí, Ïëï³Ý³Ýù`

∑=

+=−

n

k

nk xoxx 0

)(1

1: (49)

úñÇÝ³Ï 12: Ð»ï¨Û³É ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ í»ñÉáõÍ»É Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨áí, ÙÝ³-

óáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÁ í»ñóÝ»Éáí ä»³ÝáÛÇ Ó¨áí.

³) xxf sh)( = , µ) xxf ch)( = ,

·)xxxf

−+

=34ln)( , ¹)

653)( 2

2

−+−+

=xxxxxf :

ÈáõÍáõÙ: ³) ø³ÝÇ áñ 2/)(sh xx eex −−= , ³å³ (24), (25) µ³Ý³Ó¨»ñÇó, Ïëï³-

Ý³Ýù`

∑∑==

− +−−=+−=m

k

mk

kmm

k

kkx xo

kxxxo

kxe

00

)(!2

))1(1(sh),(!

)1( ,

áñï»ÕÇó

∑=

++

++

=n

k

nk

xokxx

0

2212

)()!12(

sh : (50)

µ) ÜÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí, áñ 2/)(ch xx eex −+= , Ïëï³Ý³Ýù`

∑=

++=n

k

nk

xok

xx0

122

)()!2(

ch : (51)

60

·) ø³ÝÇ áñ

−−

++=

31ln

41ln

34ln)( xxxf , ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (42), (24) ¨

(25) µ³Ý³Ó¨»ñÇ, ÏáõÝ»Ý³Ýù`

∑=

+

−++=

n

k

nkk

kxox

kxf

1

)(4)1(

311

34ln)( :

¹) )(xf -Á Ó¨³÷áË»Ýù ³ÛÝå»ë, áñ û·ïí»Ýù (48) ¨ (49) µ³Ý³Ó¨»ñÇó.

31

131

21

1211

31

211)( xxxx

xf+

+−

−=+

+−

+= :

àñï»ÕÇó, ÏÇñ³é»Éáí (24) ¨ (25) µ³Ý³Ó¨»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù`

∑∑==

+−+−=n

k

nk

kk

n

kk

k

xoxxxf00

)(3

)1(31

2211)( ,

Ï³Ù

)(21

3)1(1)(

011

nn

k

kkk

k

xoxxf +

−

−+= ∑

=++ :

úñÇÝ³Ï 13: ¶ñ»É f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨Á ë³ÑÙ³Ý³÷³Ïí»Éáí

ÙÇÝã¨ )( 5xo :

³) )sin1ln()( xxf += , µ) tgxxf =)( :

ÈáõÍáõÙ: ³) ø³ÝÇ áñ ëå³ëíáÕ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ å»ïù ¿ áõÝ»Ý³

)()sin1ln()( 555

44

33

2210 xoxaxaxaxaxaaxxf ++++++=+= ,

ï»ëùÁ, ³å³ ÝÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí, áñ

),(!5!3

sin),(sinsin51

sin41sin

31sin

21sin)sin1ln(

653

55

432

xoxxxxxox

xxxxx

++−=++

+−+−=+

)(21sin),(

31sin 55335422 xoxxxxoxxx +−=+−= ,

)(sin),(sin 555544 xoxxxoxx +=+= ,

Ïëï³Ý³Ýù`

61

:)(12043

125

61

21

)())((51))((

41)(

231

)(32

1)(!5!3

)sin1ln(

55432

3555455

3

54

2653

xoxxxxx

xoxoxxoxxoxx

xoxxxoxxxx

+−++−=

=++−++

+−+

+

+−−++−=+

µ) ø³ÝÇ tgx Ï»Ýï ýáõÝÏóÇ³ ¿ ¨ xtgx ~ , ³å³ ¹ñ³ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ

Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

)( 655

33 xoxaxaxtgx +++= :

ú·ïí»Éáí xtgxx cossin = µ³Ý³Ó¨Çó ¨ (38), (39) í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÇó, Ïëï³Ý³Ýù`

++−+++=++− )(

!4!21))(()(

!5!35

4265

53

36

53

xoxxxoxaxaxxoxxx :

Ð³í³ë³ñ»óÝ»Éáí 3x ¨ 5x ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù`

53

3 !2!41

!51,

21

61 aaa +−=+−=−

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ 15/2,3/1 53 == aa :

Ð»ï¨³µ³ñ`

)(152

365

3

xoxxxtgx +++= : (52)

úñÇÝ³Ï 14: ¶ñ»É f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨Á ë³ÑÙ³Ý³÷³Ïí»Éáí

ÙÇÝã¨ )( 12 +nxo :

³) xxf arctg)( = , µ) xxf arcsin)( = :

ÈáõÍáõÙ: ³) ø³ÝÇ áñ (ï»ë (22), (48) µ³Ý³Ó¨»ñÁ)

∑=

++−=+

=′n

k

nkk xoxx

x0

1222 )()1(

11)(arctg ,

³å³, û·ïí»Éáí (30) µ³Ý³Ó¨Çó, Ïëï³Ý³Ýù`

∑=

++

++

−=n

k

nk

k xokxx

0

2212

)(12

)1(arctg : (53)

î»Õ³¹ñ»Éáí (53) µ³Ý³Ó¨áõÙ 2=n , Ïëï³Ý³Ýù`

62

)(53

arctg 653

xoxxxx ++−= : (54)

µ) ø³ÝÇ áñ 21

22 ))1(1(1/1)(arcsin−

−+=−=′ xxx , ³å³, ÏÇñ³é»Éáí (24) ¨

(44) µ³Ý³Ó¨»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù`

)()1(1)(arcsin 12

1

2

21

+

= −+−+=′ ∑ n

n

k

kkk xoxCx ,

áñï»Õ` !2

!)!12()1(!

)1(211

21

21

21 k

kk

kC k

kk −−=

−−−

−−

−

=−

,

)2(642:!)!2(),12(531:!)!12( kkkk ⋅⋅=−⋅⋅=− :

Ð»ï¨³µ³ñ`

)(!2

!)!12(11

1)(arcsin 122

12

+

=

+−

+=−

=′ ∑ nkn

kk xoxk

kx

x , (55)

áñï»ÕÇó, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (30) µ³Ý³Ó¨Ç, Ïëï³Ý³Ýù`

)()12(!2

!)!12(arcsin 2212

1

++

=

++

−+= ∑ nk

n

kk xox

kkkxx : (56)

î»Õ³¹ñ»Éáí (56) µ³Ý³Ó¨áõÙ 2=n , Ïëï³Ý³Ýù`

)(403

61arcsin 653 xoxxxx +++= :

úñÇÝ³Ï 15: ¶ñ»É f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Á 0x Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ

ÙÇÝã¨ ))(( 120

+− nxxo `

³) 2,341)( 02

=−−

−= x

xxxxf , µ)

6,

23cos

29sin)( 0

π== xxxxf :

ÈáõÍáõÙ: ³) Üß³Ý³Ï»Ýù 2−= xt , ³Û¹ ¹»åùáõÙ`

)()1)(1(1

1)2(11)2()( 2/12

22tgtt

tt

xxxf =−+=

−

+=

−−

+−= − :

àñå»ë½Ç ëï³Ý³Ýù f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Á, µ³í³Ï³Ý ¿ ·ïÝ»É

)(tg ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨Á, ³ÛÝáõÑ»ï¨ t -Ý ÷áË³ñÇÝ»É 2−x -áí:

63

ÎÇñ³é»Éáí (55) µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù`

=

+

−++= ∑

=

+n

k

nkk totk

kttg1

122 )(!2

!)!12(1)1()(

∑=

++ ++−

++=n

k

nkkk tottk

kt1

12122 )()(!2

!)!12(1 ,

áñï»ÕÇó, Ïëï³Ý³Ýù`

∑=

++ −+−+−−

+−+=n

k

nkkk xoxxk

kxxf1

12122 ))2(())2()2((!2

!)!12()2(1)( :

µ) Î³ï³ñ»Ýù 6π

−= xt ï»Õ³¹ñáõÙ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÷áË³ñÇÝ»Ýù ·áõÙ³ñáí,

Ïëï³Ý³Ýù`

)(6sin213cos

21)( tgttxf =−= :

)(tg ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñÉáõÍ»Ýù Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨áí, Ïëï³Ý³Ýù`

),()!12(

6)1()!2(

3)1(21

)()!12(

6)1(21)(

)!2(3)1(

21)(

121212

0

22

0

221212

12

0

22

+++

=

=

+++

+

=

+

+

−−

−=

=++

−−+−=

∑

∑∑n

kkk

n

k

kkk

n

k

nkk

knn

k

kkk

tok

tkt

tok

ttokttg

áñï»ÕÇó, Ïëï³Ý³Ýù`

))6/(()!12(

)6/(6)1()!2(

)6/(3)1(21)( 12

1212

0

22+

++

=

π−+

+π−

−−

π−−= ∑ n

kkk

n

k

kkk xo

kx

kxxf :

úñÇÝ³Ï 16: ú·ïí»Éáí Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Çó, ·Ý³Ñ³ï»É Ñ»ï¨Û³É Ùáï³íáñ

µ³Ý³Ó¨Ç µ³ó³ñÓ³Ï ëË³É³ÝùÁ:

³) 10,!0

≤≤≈ ∑=

xkxe

n

k

kx , µ) 1,0||,)1()1ln(

4

0

1

≤−

≈+ ∑=

−

xk

xxk

kk

:

ÈáõÍáõÙ: ³) ¶ñ»Ýù xe ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨Á, ÙÝ³óáñ¹³ÛÇÝ

³Ý¹³ÙÇ ïñÙ³Ý È³·ñ³ÝÅÇ Ó¨áí (ï»ë (20))`

)(! 1

0

xRkxe n

n

k

kx

+=

+= ∑ ,

áñï»Õ`

64

)10(,)!1(

)(1

1 <θ<⋅+

= θ+

+x

n

n enxxR :

ø³ÝÇ áñ µáÉáñ ]1;0[∈x Ñ³Ù³ñ ee x <θ , Ñ»ï¨³µ³ñ

)!1(3

)!1()!1(|)(|

!

1

10 +

<+

<+

==−=∆ θ+

+=∑ nn

eenxxR

kxe x

n

n

n

k

kx :

àõñ»ÙÝ, µáÉáñ ]1;0[∈x Ñ³Ù³ñ )!1(

3+

<∆n

:

µ) ¶ñ»Ýù )1ln( x+ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨Á, ÙÝ³óáñ¹³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÇ

ïñÙ³Ý ÎáßÇÇ Ó¨áí (ï»ë (19))` ∑=

+− +−=+

n

kn

kk xR

kxx

01

1 )()1()1ln( , áñï»Õ`

)10()1()1()1()( 1

11 <θ<

θ+θ−

−=+

++ n

nnn

n xxxR :

²ÛÅÙ ·Ý³Ñ³ï»Ýù )(1 xRn+ -Á, »ñµ 4=n ¨ ]1,0;1,0[−∈x .

4

554

5

45

5 1091

1,01)1,0(

|1|||

11

)1()1(|)(|

⋅=

−<

++−

=+−

=x

xxx

xxRθθ

θθθ

:

²ÛëåÇëáí, Ýßí³Í Ùáï³íáñ µ³Ý³Ó¨Ç µ³ó³ñÓ³Ï ëË³É³ÝùÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ

)109/(1 4⋅ ÃíÇÝ:


³) tgxx

xex x

x −+−+

→ arcsin2/331lim

2sin3

0, µ) 2

4)1(

2/2lnlimtgx

xctgxx −

π−+π

→,

·) x

xxxx ln/12

0))1ln(sh(lim ++−

+→, ¹) )1()1sin(

1

2)ln(lim −−

→− xctgx

xxe :

ÈáõÍáõÙ: ³) àõÝ»Ýù 0/0 ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ: ø³ÝÇ áñ

)(6

arcsin 43

xoxxx ++= , )(3

43

xoxxtgx ++=

(ï»ë (56), (52)), ¨ )(6

arcsin 43

xoxtgxx +−=− , ³å³ Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÁ

µ³í³Ï³Ý ¿ í»ñÉáõÍ»É Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨ )( 3xo -Á: ø³ÝÇ áñ

65

)(sin!3

sin!2

sinsin1),(sin 332

sin xoxxxexoxx x ++++=+= , ³å³ ++= xe x 1sin

)(!3!2

332

xoxx+++ : Ð³Ù³Ó³ÛÝ (44) µ³Ý³Ó¨Ç, ÏáõÝ»Ý³Ýù`

+

−

−

+

−

+⋅+=+=+ 3231

3 )3(!3

2311

31

31

)3(!2

131

31

3311)31(31 xxxxx

)(351)( 3323 xoxxxxo ++−+=+ :

Îáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÁ ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ`

:)(23

23)(

621)(

351

2331

3323

323322sin3

xoxxxo

xxxxoxxxxex x

+=+−

−−−−−++−+=+−+

²ÛëåÇëáí`

9)(

6

)(23

limarcsin

2/331lim4

3

33

0

2sin3

0−=

+−

+=

−+−+

→→xox

xox

tgxxxex

x

x

x:

µ) àõÝ»Ýù 0/0 ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ: ø³ÝÇ áñ

π

−+

π

−+=

π

−+

π

−

π′+

π=

4421

4444xoxxoxgttgtgx

(ï»ë (17) µ³Ý³Ó¨Á) ¨

−+

−=−

222

444)1( ππ xoxtgx , ³å³ Ïáïáñ³ÏÇ

Ñ³Ù³ñÇãÁ µ³í³Ï³Ý ¿ í»ñÉáõÍ»É Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨

π

−2

4xo : ø³ÝÇ

áñ −

−

+

−−=

−+

−+−=−=

442

4421lnlnln ππππ xoxxoxtgxctgx

=

−+

−+

−−

22

4442

21 πππ xoxox

66

π

−+

π

−+

π

−−=22

442

42 xoxx ,

³å³ Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÁ ÏáõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

=π

−+

π

−+

π

−+

π

−−=π

−+2

244

24

22

2ln22

xxoxxxctgx

π

−+

π

−=22

442 xox :

²ÛëåÇëáí`

21

444

442

lim)1(

2/2lnlim22

22

42

4

=

π

−+

π

−

π

−+

π

−

=−

π−+π

→π

→xox

xox

tgxxctgx

xx:

·) àõÝ»Ýù 00 ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ:

ø³ÝÇ áñ )(211)1(1 322

122 xoxxx ++=+=+ ,

),(61)()(

21

31)(

21

21

)(21)(

211ln)1ln(

3333

322

32

32322

xoxxxoxoxxxoxx

xoxxxoxxxx

+−=+

+++

++−

−++=

+++=++

)(!3

sh 33

xoxxx ++= ¨ =++− )1ln(sh 2xxx )(31 33 xox + , ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýù`

==+=++−+

+→+→

+→ xxox

x

x

x

xxexoxxxx ln

))(ln(limln/133

0

ln/12

0

33

0))((lim))1ln(sh(lim

3ln))1(1ln(ln3lim

0 ee xox

x ==++

+→ :

¹) àõÝ»Ýù ∞1 ïÇåÇ ³ÝáñáßáõÃÛáõÝ: ø³ÝÇ áñ −−=−+= 1))1(1ln(ln xxx

+−

+=−+−=−−+−

− −

!1)1sin(1),1(1)1sin(),)1((

2)1( )1sin(2

2 xexoxxxox x

))1((2

)1()1(1))1((sin!2

)1(sin 22

22

−+−

+−+=−+−

+ xoxxxox ¨ =−− xe x ln)1sin(

67

))1(()1(1 22 −+−+= xox , ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýù` =− −−

→

)1()1sin(

1

2)ln(lim xctgx

xxe

:)))1(()1(1(lim )1())1(()1(lim

)1(/122

1

2

22

12eexox xtg

xoxxtg

x

x ==−+−+= −

−+−

−

→

→

¢5. üáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ»ï³½áïáõÙÝ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ

1.üáõÝÏóÇ³ÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÝ»ñ

Î»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×áÕ (Ýí³½áÕ) ÉÇÝ»ñÁ µ³í³Ï³Ý ã¿, áñ ³ÛÝ ³Û¹ Ï»ïÇ

áñ¨¿ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ÉÇÝÇ ³×áÕ (Ýí³½áÕ):

úñÇÝ³Ï`

=≠

=0,00,/1

)(xxx

xf»Ã»

»Ã»

ýáõÝÏóÇ³Ý 0 Ï»ïáõÙ ³×áÕ ¿, µ³Ûó Ýñ³ ó³ÝÏ³ó³Í Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý ¨

³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ßñç³Ï³ÛùáõÙ Ýí³½áÕ ¿: ²ÛÝáõÑ³Ý¹»ñÓ Çñ³í³óÇ ¿ Ñ»ï¨Û³ÉÁ

(Ã»áñ»Ù 1):

Â»áñ»Ù 1: ºÃ» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ (Ýí³½áÕ) ¿ p ÙÇç³Ï³ÛùÇ Ûáõñ³-

ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ, ³å³ ³ÛÝ ³×áÕ (Ýí³½áÕ) ¿ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³:

Â»áñ»Ù 2. (ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÝ»ñ): ¸Çóáõù f

ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ p ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³, ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ Ýñ³ µáÉáñ Ý»ñùÇÝ

Ï»ï»ñáõÙ ¨ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Í³Ûñ³-

Ï»ïáõÙ: ºÃ» p -Ç µáÉáñ Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñáõÙ )0)((0)( ≤′≥′ xfxf , ³å³ f -Á

ãÝí³½áÕ (ã³×áÕ) ¿ p -Ç íñ³:

Ð»ï¨³Ýù 1: àñå»ë½Ç p ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ

ãÝí³½áÕ (ã³×áÕ) ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ

)0)((0)( ≤′≥′ xfxf , px∈∀ :

Â»áñ»Ù 3. (ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ËÇëï ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÝ»ñ):

¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ p ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³, ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ Ýñ³ µáÉáñ

Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñáõÙ ¨ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ

Í³Ûñ³Ï»ïáõÙ: ºÃ» p -Ç µáÉáñ Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñáõÙ )0)((0)( <′>′ xfxf , ³å³

f -Á ³×áÕ (Ýí³½áÕ) ¿ p -Ç íñ³:

68

Ð»ï¨³Ýù 2: ºÃ» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ p ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ µáÉáñ px∈

Ñ³Ù³ñ )0)((0)( <′>′ xfxf , ³å³ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ (Ýí³½áÕ) ¿ p

ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³:

Ð»ï¨³Ýù 3: ¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ p ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³, ³Í³Ý-

ó»ÉÇ ¿ ¹ñ³ µáÉáñ Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñáõÙ ¨ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ

Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Í³Ûñ³Ï»ïáõÙ: ºÃ» p -Ç µáÉáñ Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñáõÙ 0)( >′ xf

)0)(( <′ xf , µ³ó³éáõÃÛáõÝ Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É í»ñç³íáñ Ãíáí Ï»ï»ñ, áñï»Õ )(xf ′ -Á

Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, ³å³ )(xf -Á ³×áÕ (Ýí³½áÕ) ¿ p -Ç íñ³:

Ð»ï¨³Ýù 4: ¸Çóáõù )(xf ¨ )(xg ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý );[ ∞a ÙÇç³-

Ï³ÛùáõÙ ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý );( ∞a ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: ºÃ» )()( agaf = ¨ )()( xgxf ′>′

);( ∞∈∀ ax , ³å³ )()( xgxf > );( ∞∈∀ ax :

Ð»ï¨³Ýù 5: ¸Çóáõù )(xf ¨ )(xg ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý );[ ∞a ÙÇç³-

Ï³ÛùáõÙ ¨ n ³Ý·³Ù ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý );( ∞a ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: ºÃ» )()( agaf = ,

)()( agaf ′=′ ,…, )()( )1()1( agaf nn −− = , )()( )()( xgxf nn > , ),( +∞∈∀ ax , ³å³

)()( xgxf > , ),( +∞∈∀ ax :

üáõÝÏóÇ³ÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ áñáÝ»Éáõ Ï³ÝáÝÁ

àñå»ë½Ç ·ïÝ»Ýù )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ, µ³í³Ï³Ý

¿ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñáí )( fD áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ïñáÑ»É ÙÇç³-

Ï³Ûù»ñÇ ¨ áñáß»É Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ )(xf ′ Ýß³ÝÁ, ³ÛÝáõÑ»ï¨

Ï³ï³ñ»É »½ñ³Ñ³Ý·áõÙÝ»ñ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 2-Ç ¨ Ã»áñ»Ù 3-Ç: ÜÏ³ï»Ýù, áñ

³Û¹ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ )(xf ′ ³Í³ÝóÛ³É ýáõÝÏóÇ³Ý Çñ Ýß³ÝÁ ãÇ

÷áËáõÙ: Æñáù, »ÝÃ³¹ñ»Ýù a -Ý ¨ b -Ý ·ïÝíáõÙ »Ý ÙÇ áñ¨¿ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨

)(af ′ áõ )(bf ′ áõÝ»Ý ï³ñµ»ñ Ýß³ÝÝ»ñ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¸³ñµáõÇ

Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨³Ýù 1-Ç (4, ¿ç 41) )(xf ′ -Á a -Ç ¨ b -Ç ÙÇç¨ áñ¨¿ Ï»ïáõÙ

ÏÝ¹áõÝÇ ½ñá ³ñÅ»ù, áñÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿:

2. ¾ùëïñ»ÙáõÙÇ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÝ»ñ

Â»áñ»Ù 4 : (¿ùëïñ»ÙáõÙÇ ³é³çÇÝ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÁ): ¸Çóáõù )(xf

ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ c Ï»ïÇ áñáß ßñç³Ï³ÛùõÙ, µ³ó³éáõÃÛáõÝ Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É

69

c Ï»ïÁ, ¨ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ c Ï»ïáõÙ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, »Ã» ³Û¹ ßñç³Ï³ÛùáõÙ c -Çó

Ó³Ë )(xf ′ -Á ¹ñ³Ï³Ý ¿ (µ³ó³ë³Ï³Ý ¿), ÇëÏ c -Çó ³ç )(xf ′ -Á µ³ó³ë³Ï³Ý ¿

(¹ñ³Ï³Ý ¿), ³å³ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý c Ï»ïáõÙ áõÝÇ Ù³ùëÇÙáõÙ (ÙÇÝÇÙáõÙ): ºÃ»

)(xf ′ -Á c Ï»ïÇó Ó³Ë ¨ ³ç áõÝÇ ÝáõÛÝ Ýß³ÝÁ, ³å³ c Ï»ïÁ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï

ã¿:

²ÛÅÙ, »ÉÝ»Éáí Ã»áñ»Ù 4-Çó, ï³Ýù ¿ùëïñ»ÙáõÙ áñáÝ»Éáõ ³é³çÇÝ Ï³ÝáÝÁ:

àñå»ë½Ç ·ïÝ»É )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ù³ùëÇÙáõÙÇ ¨ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ, å»ïù ¿

·ïÝ»É Ýñ³ )(xf ′ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ, ·ïÝ»É 0)( =′ xf Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ,

³ÛÝáõÑ»ï¨ ·ïÝ»É µáÉáñ ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñï»Õ )(xf ′ -Á ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ: ²Ûë Ó¨áí

áñáßáõÙ »Ý )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ µáÉáñ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ: ²ÛÝáõÑ»ï¨

Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ïÇó Ó³Ë ¨ ³ç áñáßáõÙ »Ý )(xf ′ -Ç Ýß³ÝÁ: ºÃ»

c ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ïáí x -Ý ³ÝóÝ»ÉÇë )(xf ′ -Á Ýß³ÝÁ ÷áËáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³ÝÇó

µ³ó³ë³Ï³ÝÇ, ³å³ c Ï»ïÁ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, ÇëÏ »Ã» )(xf ′ -Á Ýß³ÝÁ

÷áËáõÙ ¿ µ³ó³ë³Ï³ÝÇó ¹ñ³Ï³ÝÇ, ³å³ c Ï»ïÁ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: ºÃ» x -Á c

ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ïáí ³ÝóÝ»ÉÇë )(xf ′ Ýß³ÝÁ ãÇ ÷áËáõÙ, ³å³ c Ï»ïÁ )(xf

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ã¿:

Â»áñ»Ù 5 : (¿ùëïñ»ÙáõÙÇ »ñÏñáñ¹ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÁ): ¸Çóáõù )(xf

ýáõÝÏóÇ³Ý c Ï»ïáõÙ ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ 0)(,0)( ≠′′=′ cfcf : ²Û¹

¹»åùáõÙ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý c Ï»ïáõÙ áõÝÇ Ù³ùëÇÙáõÙ, »Ã» 0)( <′′ cf ¨

ÙÇÝÇÙáõÙ, »Ã» 0)( >′′ cf :

ºÉÝ»Éáí Ã»áñ»Ù 5-Çó` ï³Ýù ¿ùëïñ»ÙáõÙ áñáÝ»Éáõ »ñÏñáñ¹ Ï³ÝáÝÁ.

¶ïÝ»É )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ c ÏñÇïÇ-

Ï³Ï³Ý Ï»ïáõÙ Ñ³ßí»É )(cf ′′ -Ý: ºÃ» 0)(,0)( <′′=′ cfcf , ³å³ )(xf ýáõÝÏ-

óÇ³Ý c Ï»ïáõÙ áõÝÇ Ù³ùëÇÙáõÙ, »Ã» 0)(,0)( >′′=′ cfcf , ³å³ ýáõÝÏóÇ³Ý c

Ï»ïáõÙ áõÝÇ ÙÇÝÇÙáõÙ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1: ºñÏñáñ¹ Ï³ÝáÝÁ áõÝÇ ÏÇñ³éÙ³Ý ³í»ÉÇ Ý»Õ áÉáñï. ¹³,

ûñÇÝ³Ï, ÏÇñ³é»ÉÇ ã¿ ³ÛÝ Ï»ï»ñáõÙ, áñï»Õ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç

í»ñç³íáñ ³Í³ÝóÛ³É: ºñµ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ½ñá ¿ ¹³éÝáõÙ, ³Ûë

Ï³ÝáÝÁ ¨ë ãÇ ·áñÍáõÙ: ²Û¹ Å³Ù³Ý³Ï Ñ³ñóÇ ÉáõÍáõÙÁ Ï³Ëí³Í ¿ µ³ñÓñ Ï³ñ·Ç

³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ í³ñùÇó:

70

Â»áñ»Ù 6 : (¾ùëïñ»ÙáõÙÇ »ññáñ¹ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÁ): ¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏ-

óÇ³Ý c Ï»ïáõÙ n -³Ý·³Ù ³Í³Ýó»ÉÇ ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ`

0)(,0)(,...,0)(,0)( )()1( ≠==′′=′ − cfcfcfcf nn (1)

ºÃ» n -Á ½áõÛ· ¿, ³å³ c Ï»ïÁ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ` Ù³ùëÇÙáõÙÇ

Ï»ï ¿, »ñµ 0)()( <cf n ¨ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, »ñµ 0)()( >cf n :

ºÃ» n -Á Ï»Ýï ¿, ³å³ c Ï»ïÁ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ã¿:

²Ûëï»ÕÇó ëï³óíáõÙ ¿ ¿ùëïñ»ÙáõÙ áñáÝ»Éáõ »ññáñ¹ Ï³ÝáÝÁ.

ºÃ» c Ï»ïáõÙ ½ñá ã¹³ñÓáÕ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇó ³é³çÇÝÁ ½áõÛ· Ï³ñ·Ç ¿, ³å³ c

Ï»ïÁ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ` Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, »Ã» ³Û¹ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ

µ³ó³ë³Ï³Ý ¿ ¨ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, »Ã» ¹ñ³Ï³Ý ¿: ºÃ» ³Û¹åÇëÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ

Ï»Ýï Ï³ñ·Ç ¿, ³å³ c Ï»ïÁ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ã¿:

3. üáõÝÏóÇ³ÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ

¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ: ØÇÝã¨ ³Ûë Ù»Ýù

Ñ»ï³ùñùñíáõÙ ¿ÇÝù ÙÇ³ÛÝ ¹ñ³ ï»Õ³ÛÇÝ Ù³ùëÇÙáõÙáí ¨ ÙÇÝÇÙáõÙáí, ÇëÏ ÑÇÙ³

ËÝ¹Çñ ¹Ý»Ýù ·ïÝ»É ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ëï³ó³Í µáÉáñ ³ñÅ»ùÝ»-

ñÇó Ù»Í³·áõÛÝÁ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝÁ: Àëï ì³Û»ñßïñ³ëÇ »ñÏñáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ, ³Û¹åÇ-

ëÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý: ºÃ» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý

Ù»Í³·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ³ñÅ»ù ëï³ÝáõÙ ¿ ];[ ba Ñ³ïí³ÍÇ Ý»ñëÁ, ³å³

³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ³ÛÝ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ ï»Õ³ÛÇÝ Ù³ùëÇÙáõÙ (ÙÇÝÇÙáõÙ), ë³Ï³ÛÝ

Ù»Í³·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ³ñÅ»ù Ï³ñáÕ ¿ ÁÝ¹áõÝ»É Ý³¨ ÙÇç³Ï³ÛùÇ

Í³Ûñ³Ï»ï»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏáõÙ` a -áõÙ Ï³Ù b -áõÙ: ²ÛëåÇëáí, ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ

)(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ³ñÅ»ùÁ ·ïÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿

µ³Õ¹³ï»É Ýñ³ µáÉáñ ï»Õ³ÛÇÝ Ù³ùëÇÙáõÙÝ»ñÁ (ÙÇÝÇÙáõÙÝ»ñÁ) )(af ¨ )(bf

³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ»ï: ²Û¹ Ãí»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ (³Ù»Ý³÷áùñÁ) ÏÉÇÝÇ ];[ ba Ñ³ï-

í³ÍáõÙ )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ù»Í³·áõÛÝÁ (÷áùñ³·áõÛÝÁ):

ºÃ» ó³ÝÏ³ÝáõÙ »Ýù Ëáõë³÷»É Ù³ùëÇÙáõÙ Ï³Ù ÙÇÝÇÙáõÙ ëïáõ·»Éáõó, Ï³ñ»ÉÇ ¿

í³ñí»É ³ÛÉ Ï»ñå: Ð³ßí»É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ µáÉáñ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñáõÙ

¨ ¹ñ³Ýù Ñ³Ù»Ù³ï»É )(af ¨ )(bf »½ñ³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ»ï. ³Û¹ Ãí»ñÇó

³Ù»Ý³Ù»ÍÁ ¨ ³Ù»Ý³÷áùñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ ÏÉÇÝ»Ý ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ

)(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ:

71

¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ÙÇ áñáß ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: ºÃ» ³Û¹

ÙÇç³Ï³ÛùÁ Ñ³ïí³Í ã¿, ³å³, ÇÝãå»ë Ñ³ÛïÝÇ ¿, )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ

µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç Ï³ñáÕ »Ý ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý³É Ù»Í³·áõÛÝ Ï³Ù ÷áùñ³·áõÛÝ

³ñÅ»ùÝ»ñ: ²ÛÝáõ³Ù»Ý³ÛÝÇí, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï³É å³ñ½ Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñ, áñáÝù

µ³ó³Ñ³ÛïáõÙ »Ý, Ã» »ñµ ³Û¹åÇëÇ ³ñÅ»ùÝ»ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý:

Â»áñ»Ù 7 : ºÃ» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ p ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ ³Û¹

ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ëï³ÝáõÙ ¿ ÙÇ³Ï Ù³ùëÇÙáõÙ (ÙÇÝÇÙáõÙ) ³ñÅ»ù, ³å³ p

ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ³ñÅ»ùÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ Ù³ùëÇÙáõÙ (ÙÇÝÇÙáõÙ) ³ñÅ»ùÇ Ñ»ï:

Â»áñ»Ù 8 : ¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ];( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ³Û¹

ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ nxxx ,...,, 21 ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ ¨, µ³óÇ ³Û¹, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ

Axfax

=+→

)(lim ë³ÑÙ³ÝÁ: ¸Çóáõù )}(),({max,1

bfxfM knk== , )}(),({min

,1bfxfm knk=

= :

ºÃ» AM ≥ , ³å³ Mxfba

=)(max];(

, »Ã» AM < , ³å³ ýáõÝÏóÇ³Ý Ù»Í³·áõÛÝ

³ñÅ»ù ãáõÝÇ:

ºÃ» Am ≤ , ³å³ mxfba

=)(min];(

, »Ã» Am > , ³å³ ýáõÝÏóÇ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ

³ñÅ»ù ãáõÝÇ:

Â»áñ»Ù 9 : ¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ),( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ³Û¹

ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ nxxx ,...,, 21 ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ ¨, µ³óÇ ³Û¹, ·áÛáõÃÛáõÝ

áõÝ»Ý Axfax

=+→

)(lim , Bxfbx

=−→

)(lim ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ:

¸Çóáõù` )}({max,1 knk

xfM=

= , )}({min,1 knk

xfm=

= :

ºÃ» },max{ BAM ≥ , ³å³ Mxfba

=)(max);(

, »Ã» },max{ BAM < , ³å³

ýáõÝÏóÇ³Ý Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ù ãáõÝÇ:

ºÃ» },min{ BAm ≤ , ³å³ mxfba

=)(min);(

, »Ã» },max{ BAm > , ³å³

ýáõÝÏóÇ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù ãáõÝÇ: Â»áñ»Ù 9-Á ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ BAba ,,, Ãí»ñÇó áñáß Ù³ëÁ

Ï³Ù µáÉáñÝ ¿É ÁÝ¹áõÝáõÙ »Ý ∞− Ï³Ù ∞ ³ñÅ»ùÝ»ñ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2: ºÃ» X ÙÇç³Ï³ÛùÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ÙÇ³Ï Ù³ùëÇÙáõÙÇ (ÙÇÝÇÙáõÙÇ) Ï»ï, ³å³ Ã»áñ»Ù 7-Ç áõÅáí ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ)

72

³ñÅ»ùÇ áñáßÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Ï³ñÇù ãÏ³ Ñ³ßí»Éáõ ÙÇç³Ï³ÛùÇ áñ¨¿ Í³Ûñ³Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÁ, »ñµ Í³Ûñ³Ï»ï»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ, Ï³Ù ÙÇ³ÏáÕÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ, »ñµ Í³Ûñ³Ï»ï»ñÁ ã»Ý å³ïÏ³ÝáõÙ ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 3: ¸Çóáõù ýáõÝÏóÇ³Ý X ÙÇç³Ï³ÛùÇ Ý»ñëáõÙ ãáõÝÇ ÏñÇïÇÏ³-Ï³Ý Ï»ï»ñ: ²Û¹ íÏ³ÛáõÙ ¿ ³ÛÝ Ù³ëÇÝ, áñ ¹Çï³ñÏíáÕ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ Ï³Ù Ýí³½áÕ: Ð»ï¨³µ³ñ, Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ýáõÝÏóÇ³Ý ëï³ÝáõÙ ¿ ÙÇç³Ï³ÛùÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñáõÙ: ºÃ» ÙÇç³Ï³ÛùÇ Í³Ûñ³-Ï»ï»ñÁ ã»Ý å³ïÏ³ÝáõÙ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ, ³å³ ýáõÝÏóÇ³Ý ãáõÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 4: )(xf ¨ Cxf +)( ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ, áñï»Õ C -Ý Ñ³ëï³ïáõÝ

¿, Ù»Í³·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ³ñÅ»ù ÁÝ¹áõÝáõÙ »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ï»ïáõÙ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 5: )(xf ¨ )(xCf ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ, áñï»Õ C -Ý ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ

Ñ³ëï³ïáõÝ ¿, Ù»Í³·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ³ñÅ»ù ÁÝ¹áõÝáõÙ »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ï»ïáõÙ, »Ã» 0>C ¨ Ù»ÏÇ Ù»Í³·áõÛÝÇ Ï»ïÁ Í³é³ÛáõÙ ¿ ÙÛáõëÇ Ñ³Ù³ñ ÷áùñ³·áõÛÝÇ

Ï»ï ¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» 0<C :

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 6: ºÃ» ïñí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ 0)( ≥xf , ³å³ )(xf ¨ n xf2 )(

ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ Ù»Í³·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ³ñÅ»ù ëï³ÝáõÙ »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ï»ïáõÙ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 7: ¸Çóáõù ψϕ= f ¨ ϕ -Ý ËÇëï ÙáÝáïáÝ ýáõÝÏóÇ³ ¿: ²Û¹

¹»åùáõÙ f ¨ ψ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ Ù»Í³·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ³ñÅ»ù ëï³ÝáõÙ »Ý

ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ï»ïáõÙ, »Ã» ϕ -Ý ³×áÕ ¿ ¨ ψ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ù»Í³·áõÛÝÇ Ï»ïÁ f -Ç

Ñ³Ù³ñ ÷áùñ³·áõÛÝÇ Ï»ï ¿ ¨ ψ -Ç ÷áùñ³·áõÛÝÇ Ï»ïÁ f -Ç Ñ³Ù³ñ Ù»Í³·áõÛÝÇ

Ï»ï ¿, »Ã» ϕ -Ý Ýí³½áÕ ¿:

4. àõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý ¨ ·á·³íáñáõÃÛ³Ý µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÝ»ñ: ÞñçÙ³Ý Ï»ï

ì»ñÑÇß»Ýù áõéáõóÇÏ ¨ ·á·³íáñ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÁ: ê³ÑÙ³ÝáõÙ 1: );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áñáßí³Í f ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ áõéáõ-

óÇÏ (áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ùµ Ý»ñù¨), »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í );(, 21 baxx ∈ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í

01 ≥α , 02 ≥α Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ 121 =α+α , ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

)()()( 22112211 xfxfxxf α+α≤α+α (2)

²Ûë ¹»åùáõÙ, »ñµ 21 xx ≠ ¨ 021 ≠αα , ï»ÕÇ áõÝÇ`

)()()( 22112211 xfxfxxf α+α<α+α (3)

73

ËÇëï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ f ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ),( ba -Ç íñ³ ËÇëï

áõéáõóÇÏ: ê³ÑÙ³ÝáõÙ 2: );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ·á·³íáñ

(áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ùµ í»ñ¨), »Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ (2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ï³é³Ï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ »Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ (3) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ï³é³Ï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ËÇëï ·á·³íáñ );( ba -Ç íñ³:

ÜÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí, áñ »Ã» f ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿, ³å³ f− -Á ·á·³íáñ ¿

¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ, ³å³ Ù»Ýù Ñ»ï³·³ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÏ³ï³ñ»Ýù ÙÇ³ÛÝ áõéáõóÇÏ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

àõéáõóÇÏ ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ å³ñ½ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ù»ÏÝ³µ³ÝáõÃÛáõÝ:

Â»áñ»Ù 10 : );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ïñí³Í f ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿ (·á·³íáñ

¿) ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ¹ñ³ ·ñ³ýÇÏÇ ó³ÝÏ³ó³Í ³Õ»Õ ÁÝÏ³Í ¿ ³Û¹ ³Õ»ÕÁ Ó·áÕ É³ñÇó áã í»ñ¨ (áã Ý»ñù¨) (ÝÏ. 12):

²å³óáõÛó: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý );(, 21 baxx ∈ ¨ 01 ≥α , 02 ≥α Ãí»ñ,

³ÛÝåÇëÇù, áñ 121 =α+α :

²Û¹ ¹»åùáõÙ` +α=α+α= 112211 xxxx

+=α+α−=α−+ 1221221 )1()1( xxxx

],[)( 21122 xxxx ∈−α+ : ¸Çóáõù 21 xxx << :

2211 xxx α+α= , 121 =α+α Ñ³í³ë³ñáõÙ-

Ý»ñÇó Ïëï³Ý³Ýù` )/()( 1221 xxxx −−=α

¨ )/()( 1212 xxxx −−=α , áñÇ ßÝáñÑÇí (2)-Á

Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`

)()()()()()()( 112

1212

12

11

12

2 xxxx

xfxfxfxfxxxxxf

xxxxxf −

−−

+=−−

+−−

≤ (4)

´³Ûó )()()()( 112

121 xx

xxxfxfxfy −

−−

+= Ñ³í³ë³ñáõÙÝ Çñ»ÝÇó Ý»ñÏ³Û³ó-

ÝáõÙ ¿ ))(,( 111 xfxM ¨ ))(,( 222 xfxM Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ:

²ÛëåÇëáí, ë³ÑÙ³ÝáõÙ 1-Á Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ

))(,( xfxM Ï»ïÇ ûñ¹ÇÝ³ïÁ Ù»Í ã¿ 21MM É³ñÇ íñ³ ·ïÝíáÕ, ÝáõÛÝ ³µëóÇëÝ

áõÝ»óáÕ N Ï»ïÇ ûñ¹ÇÝ³ïÇó: ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í, ·ñ³ýÇÏÇ íñ³ ·ïÝíáÕ µáÉáñ M

Ï»ï»ñÁ, áñáÝù ·ïÝíáõÙ »Ý 1M ¨ 2M Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨, ÁÝÏ³Í »Ý 21MM É³ñÇó áã

í»ñ¨:▲

))(,( 111 xfxM

))(,( 222 xfxM

))(,( xfxM

x 2211 xxx α+α=

1x 2x

))()(,( 22112211 xfxfxxN α+αα+α y

0

ÝÏ.12

I II

74

(4) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó, áñáß Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ Ï³ï³ñ»Éáõó Ñ»ïá, Ïëï³Ý³Ýù`

xx

xfxfxx

xfxf−−

≤−−

2

2

1

1 )()()()( (5)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ );(, 21 baxx ∈ ¨ 21 xxx << :

(5) å³ÛÙ³ÝÁ ¨ë Çñ Ñ»ñÃÇÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý

å³ÛÙ³Ý );( ba -Ç íñ³: ºñÏñ³ã³÷áñ»Ý (5) å³ÛÙ³ÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ (ÝÏ. 12), áñ I

É³ñÇ ³ÝÏÛáõÝ³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏÇóÁ Ù»Í ã¿ (ÇëÏ ËÇëï áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ÷áùñ ¿) II É³ñÇ ³ÝÏÛáõÝ³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏóÇó:

²ÛÅÙ »ÝÃ³¹ñ»Ýù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:

²Û¹ ¹»åùáõÙ Ñ³çáñ¹³µ³ñ (5) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ÝóÝ»Ýù ë³ÑÙ³ÝÇ,

»ñµ 1xx → ¨ 2xx → , Ïëï³Ý³Ýù`

)()()()( 212

121 xf

xxxfxfxf ′≤

−−

≤′ , (6)

áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ )(xf ′ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ãÝí³½áÕ ÉÇÝ»ÉÁ:

ÊÇëï áõéáõóÇÏ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ, ÏÇñ³é»Éáí í»ñç³íáñ ³×»ñÇ È³·ñ³ÝÅÇ µ³Ý³Ó¨Á, (5)-Çó Ïëï³Ý³Ýù`

)()()()()()()()( 2212

2

1

111 xff

xxxfxf

xxxfxffxf ′≤ξ′=

−−

<−−

=ξ′≤′ ,

áñï»Õ` 2211 xxx <ξ<<ξ< :

²ÛëåÇëáí, »Ã» );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿ ³Û¹

ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ³å³ Ýñ³ )(xf ′ ³Í³ÝóÛ³É ýáõÝÏóÇ³Ý ãÝí³½áÕ ¿ );( ba -Ç íñ³,

ÇëÏ »Ã» )(xf -Á ËÇëï áõéáõóÇÏ ¿, ³å³ )(xf ′ -Á ³×áÕ ¿ );( ba -Ç íñ³:

ì»ñçÇÝë áã ÙÇ³ÛÝ ³ÝÑñ³Å»ßï, ³ÛÉ Ý³¨ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý ¿ ³Í³Ýó»ÉÇ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ:

Æñáù, »Ã» bxxxa <<<< 21 , ³å³ Áëï È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇ

)()()(),()()(2

2

21

1

1 ξ′=−−

ξ′=−− f

xxxfxff

xxxfxf

,

áñï»Õ 2211 xxx <ξ<<ξ< ¨ »Ã» )()( 21 ξ′≤ξ′ ff , ³å³ ï»ÕÇ áõÝÇ áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý

(5) å³ÛÙ³ÝÁ (Ï³Ù ËÇëï áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÁ, »Ã» )()( 21 ξ′<ξ′ ff ):

75

²ÛëåÇëáí ³å³óáõóí»ó Ñ»ï¨Û³É Ã»áñ»ÙÁ:

Â»áñ»Ù 11 : àñå»ë½Ç );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ

áõéáõóÇÏ (·á·³íáñ) ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³

)(xf ′ ³Í³ÝóÛ³É ýáõÝÏóÇ³Ý );( ba -Ç íñ³, ÉÇÝÇ ãÝí³½áÕ (ã³×áÕ): ²Û¹ ¹»åùáõÙ

)(xf ′ -Ç ³×Ù³ÝÁ (Ýí³½Ù³ÝÁ) Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ËÇëï

áõéáõóÇÏáõÃÛáõÝ (·á·³íáñáõÃÛáõÝ): Ð³Ù³¹ñ»Éáí Ã»áñ»ÙÝ»ñ 2,3 ¨ 11-Á Ïëï³Ý³Ýù Ñ»ï¨Û³ÉÁ:

Ð»ï¨³Ýù 6: àñå»ë½Ç );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ýáõÝÏóÇ³Ý

ÉÇÝÇ áõéáõóÇÏ (·á·³íáñ), ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ µáÉáñ );( bax∈ Ñ³Ù³ñ

)0)((0)( ≤′′≥′′ xfxf : ºÃ» µáÉáñ );( bax∈ Ñ³Ù³ñ )0)((0)( <′′>′′ xfxf ,

³å³ )(xf -Á );( ba -Ç íñ³ ËÇëï áõéáõóÇÏ ¿ (ËÇëï ·á·³íáñ ¿):

Ð»ï¨³Ýù 7: ¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý c Ï»ïáõÙ áõÝÇ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç

³ÝÁÝ¹Ñ³ï ³Í³ÝóÛ³É ¨ )0)((0)( <′′>′′ cfcf : ²Û¹ ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ c

Ï»ïÇ áñáß ßñç³Ï³Ûù, áñï»Õ )(xf -Á ËÇëï áõéáõóÇÏ ¿ (ËÇëï ·á·³íáñ ¿):

Â»áñ»Ù 12: );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿

(·á·³íáñ ¿) ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³, ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »Ã» ¹ñ³ ·ñ³ýÇÏÝ ÁÝÏ³Í ¿ Çñ ó³ÝÏ³ó³Í ßáß³÷áÕÇó áã Ý»ñù¨ (áã í»ñ¨): ²Û¹ ¹»åùáõÙ ËÇëï áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý (·á·³íáñáõÃÛ³Ý) Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ·ñ³ýÇÏÇ µáÉáñ Ï»ï»ñÁ, µ³ó³éáõÃÛ³Ùµ ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïÇ, ÁÝÏ³Í ÉÇÝ»Ý ßáß³÷áÕÇó í»ñ¨ (Ý»ñù¨):

²å³óáõÛó: ²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù );(0 bax ∈ : ))(,( 00 xfx Ï»ïáõÙ ·ñ³ýÇ-

ÏÇÝ ï³ñ³Í ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`

))(()( 000 xxxfxfy −′+= ,

Ñ»ï¨³µ³ñ`

)))(()(())(()()()()( 00000 xxxffxxxfxfxfxyxf −′−ξ′=−′−−=− ,

áñï»Õ ξ -ÇÝ ·ïÝíáõÙ ¿ 0x -Ç ¨ x -Ç ÙÇç¨: ø³ÝÇ áñ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿,

³å³ )(xf ′ -Á ãÝí³½áÕ ¿ );( ba -Ç íñ³, Ñ»ï¨³µ³ñ, )()( 0xff ′−ξ′ ï³ñµ»-

ñáõÃÛ³Ý Ýß³ÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ 0xx − -Ç Ýß³ÝÇ Ñ»ï, ³Û¹ å³ï×³éáí, µáÉáñ

);( bax∈ Ñ³Ù³ñ 0)()( ≥− xyxf : ºÃ» f -Á ËÇëï áõéáõóÇÏ ¿, ³å³ f ′ -Ý ³×áÕ

¿ );( ba -Ç íñ³, Ñ»ï¨³µ³ñ µáÉáñ }{\);( 0xbax∈ Ñ³Ù³ñ 0)()( >− xyxf :

´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÃ» µáÉáñ );(, 0 baxx ∈ Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ`

76

0))(()()()()( 000 ≥−′−−=− xxxfxfxfxyxf , (7)

³å³

)()()(0

0

0 xfxx

xfxf ′≤−−

»ñµ 0xx <

¨

)()()(0

0

0 xfxx

xfxf ′≥−−

»ñµ 0xx > :

²ÛëåÇëáí, ó³ÝÏ³ó³Í ),(,, 21 baxxx ∈ Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³ÛÝåÇëÇù, áñ

21 xxx << ï»ÕÇ áõÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

xx

xfxfxx

xfxf−−

≤−−

2

2

1

1 )()()()(, (8)

ÁÝ¹ áñáõÙ, »Ã» (7)-áõÙ ÉÇÝÇ ËÇëï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ, ³å³ (8)-áõÙ ¨ë ÏÉÇÝÇ ËÇëï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ: êï³óí³Í (8) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ (5) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ñ»ï: Ð»ï¨³µ³ñ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ ¿ );( ba

ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:▲ ²ÛëåÇëáí, áñå»ë½Ç );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ

áõéáõóÇÏ (·á·³íáñ), ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³`

);(,),)(()()( 0000 baxxxxxfxfxf ∈∀−′+≥ (9)

));(,),)(()()(( 0000 baxxxxxfxfxf ∈∀−′+≤ (10)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ ËÇëï áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý (·á·³íáñáõÃÛ³Ý) Ñ³Ù³ñ

³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ó³ÝÏ³ó³Í );(0 bax ∈ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³

}{\);(),)(()()( 0000 xbaxxxxfxfxf ∈∀−′+> (11)

}){\);(),)(()()(( 0000 xbaxxxxfxfxf ∈∀−′+> (12)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 3: ¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ c Ï»ïÇ

áñáß );( δδδ +−= ccu δ -ßñç³Ï³ÛùáõÙ: ºÃ» );( ccu δδ −=− ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³

ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ (·á·³íáñ) ¿, ÇëÏ );( δδ +==+ ccu ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ·á·³-

íáñ (áõéáõóÇÏ) ¿, ³å³ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ))(,( cfc Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ ßñçÙ³Ý

Ï»ï: ²ÛëåÇëáí, ßñçÙ³Ý Ï»ïáí ³ÝóÝ»ÉÇë ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Çñ áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý

áõÕÕáõÃÛáõÝÁ ÷áËáõÙ ¿: Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ ³Û¹ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ ))(,( cfc

ßñçÙ³Ý Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ·ñ³ýÇÏÇÝ ï³ñ³Í ßáß³÷áÕÇ ÙÇ ÏáÕÙÇó ³ÝóÝáõÙ ¿ ÙÛáõë ÏáÕÙÁ:

77

¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ c Ï»ïáõÙ ¨ ))(,( cfc Ï»ïÁ ¹ñ³

·ñ³ýÇÏÇ ßñçÙ³Ý Ï»ï ¿:

ø³ÝÇ áñ )(xf ′ -Á c Ï»ïáõÙ áõÝÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙ ³ñÅ»ù, Ñ»ï¨³µ³ñ 0)( =′′ cf

Ï³Ù ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ: ²ÛëåÇëáí, Çñ³í³óÇ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ã»áñ»ÙÁ:

Â»áñ»Ù 13 : (ÞñçÙ³Ý Ï»ïÇ ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³Ý): àñå»ë½Ç c Ï»ïáõÙ

³Í³Ýó»ÉÇ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ))(,( cfc Ï»ïÁ ÉÇÝÇ ßñçÙ³Ý Ï»ï, ³ÝÑñ³-

Å»ßï ¿, áñ c Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝÇ

½ñáÛÇ` 0)( =′′ cf Ï³Ù ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý³:

Â»áñ»Ù 14 : (ÞñçÙ³Ý Ï»ïÇ ³é³çÇÝ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý): ¸Çóáõù f ýáõÝÏ-

óÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ c Ï»ïáõÙ ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ c Ï»ïÇ áñáß` ),( δ+δ−=δ ccu

ßñç³Ï³Ûù ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ),( ccu δ−=−δ ¨ ),( δ+=+

δ ccu ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ f

ýáõÝÏóÇ³Ý ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ )(xf ′′ -Á å³Ñå³ÝáõÙ ¿ áñáß³ÏÇ

Ýß³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, »Ã» −δu ¨ +

δu ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ

)(xf ′′ -Ç Ýß³ÝÝ»ñÁ ï³ñµ»ñ »Ý, ³å³ ))(,( cfc Ï»ïÁ ßñçÙ³Ý Ï»ï ¿, ÇëÏ »Ã»

Ýß³ÝÝ»ñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý, ³å³ ))(,( cfc Ï»ïÁ ßñçÙ³Ý Ï»ï ã¿:

ü á õ Ý Ï ó Ç ³ Û Ç · ñ ³ ý Ç Ï Ç ß ñ ç Ù ³ Ý Ï » ï Ç á ñ á Ý Ù ³ Ý Ï ³ Ý á Ý Á :

1. ·ïÝáõÙ »Ýù x -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ áñï»Õ 0)( =′′ xf Ï³Ù ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ:

2. ¹Çóáõù c -Ý ·ïÝí³Í Ï»ï»ñÇó Ù»ÏÝ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ñ»ï³½áïáõÙ »Ýù

)(xf ′′ -Ç Ýß³ÝÁ c -Çó Ó³Ë ¨ ³ç (µÝ³Ï³Ý³µ³ñ c Ï»ïÇ áñáß ßñç³Ï³ÛùáõÙ):

²ÛÝáõÑ»ï¨ Ï³ï³ñáõÙ »Ýù Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý »½ñ³Ñ³Ý·áõÙ Áëï Ã»áñ»Ù 14-Ç:

Â»áñ»Ù 15 : (ÞñçÙ³Ý Ï»ïÇ »ñÏñáñ¹ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý): ºÃ» f ýáõÝÏ-

óÇ³Ý c Ï»ïáõÙ »é³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ¨ 0)(,0)( ≠′′′=′′ cfcf , ³å³ ³Û¹ ýáõÝÏ-

óÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ))(,( cfc Ï»ïÁ ßñçÙ³Ý Ï»ï ¿:

Â»áñ»Ù 16: (ÞñçÙ³Ý Ï»ïÇ »ññáñ¹ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý): ¸Çóáõù f ýáõÝÏ-

óÇ³Ý 1−n ³Ý·³Ù ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ c Ï»ïÇ áñáß ßñç³Ï³ÛùáõÙ ¨ n ³Ý·³Ù c

Ï»ïáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ`

0)(,0)()()( )()1( ≠===′′′=′′ − cfcfcfcf nn : (13)

78

ºÃ» n -Á Ï»Ýï ¿, ³å³ ))(,( cfc Ï»ïÁ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ñ³Ù³ñ

ßñçÙ³Ý Ï»ï ¿:

5. üáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ

1. ¸Çóáõù ÏáñÁ ïñí³Í ¿ å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí`

)(),( tytx ψ=ϕ= : (14)

ø³ÝÇ áñ )(xfy = µ³ó³Ñ³Ûï ï»ëùáí ïñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý ÙÇßï Ï³ñ»ÉÇ ¿

Ý»ñÏ³Û³óÝ»É (14) ï»ëùáí, ûñÇÝ³Ï`

)(, tfytx == : (15)

²å³ ÏáñÇ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÇ áñáÝÙ³Ý ëáõÛÝ Ù»Ãá¹Á ÏÇñ³é»ÉÇ ¿ Ý³¨ )(xfy =

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÇ áñáÝÙ³Ý Ñ³Ù³ñ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4: 0=++ CByAx áõÕÇÕÁ ÏáãíáõÙ ¿ (14) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí

áñáßíáÕ ÏáñÇ ³ëÇÙåïáï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0t ( 0t -Ý Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É ÃÇí, ∞

Ï³Ù ∞− ) ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ∞→ψ+ϕ )()( 22 tt , »ñµ 00 −→ tt )0( 0 +→ tt ¨

))(),(( ttM ψϕ Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 0=++ CByAx áõÕÕÇó Ó·ïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ,

»ñµ 00 −→ tt )0( 0 +→ tt :

¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ËÝ¹ÇñÁ: îí³Í ¿ ÏáñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (14) ï»ëùáí:

¶ïÝ»É ¹ñ³ ³ëÇÙåïáïÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ:

¸Çóáõù`

0=++ CByAx (16)

áõÕÇÕÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ (14) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ ÏáñÇ ³ëÇÙåïáï:

Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ ))(),(( ttM ψϕ Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ (16) áõÕÕÇó áñáßíáõÙ ¿

Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨áí`

22

|)()(|BA

CtBtA+

+ψ+ϕ=δ :

¸Çóáõù 0t -Ý ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ

∞=+=+−→−→

)()(limlim 22

00

22

00ttyx

ttttψϕ (17)

¨

0|)()(|lim2200

=+

++−→ BA

CtBtAtt

ψϕ: (18)

ø³ÝÇ áñ (18)-Ç Ñ³Ûï³ñ³ñÁ Ñ³ëï³ïáõÝ ¿, ³å³ (18)-Á Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿`

0])()([lim00

=++−→

CtBtAtt

ψϕ (19)

79

Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ, áñï»ÕÇó Ïëï³Ý³Ýù`

CtBtAtt

−=+−→

)]()([lim00

ψϕ : (20)

¸Çóáõù 0t -Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ ÏáñÇ áõÕÕ³ÓÇ· ³ëÇÙåïáïÇÝ: ²Û¹

¹»åùáõÙ ³ëÇÙåïáïÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç 0=B ¨ ³ëÇÙåïáïÇ (16) Ñ³í³-

ë³ñáõÙÁ ÏÁÝ¹áõÝÇ ACx /−= ï»ëùÁ: (20)-Çó ÏáõÝ»Ý³Ýù`

CtAtt

−=−→

)(lim00ϕ , (21)

áñï»ÕÇó

ACttt

/)(lim00

−=−→ϕ , (22)

³ÛëÇÝùÝ, )(lim0

tttϕ

→ ë³ÑÙ³ÝÁ í»ñç³íáñ ¿: Ð»ï¨³µ³ñ, (17)-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ`

∞=−→

|)(|lim00

ttt

ψ : (23)

²ÛëåÇëáí, »Ã» (14) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ ÏáñÝ áõÝÇ áõÕÕ³ÓÇ· ³ëÇÙå-

ïáï, ³å³ ∞=−→

|)(|lim00

ttt

ψ , ÇëÏ )(lim00

tttϕ

−→-Ý í»ñç³íáñ ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ

)(lim00

taxttϕ

−→== áõÕÇÕÝ áõÕÕ³ÓÇ· ³ëÇÙåïáï ¿: Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ í»ñçÇÝ

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ Ý³¨ µ³í³ñ³ñ »Ý áõÕÕ³ÓÇ· ³ëÇÙåïáïÇ ·áÛáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ:

à õ Õ Õ ³ Ó Ç · ³ ë Ç Ù å ï á ï Ç á ñ á Ý Ù ³ Ý Ï ³ Ý á Ý Á

àñáÝáõÙ »Ýù 0t -Ý ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ∞==−→−→

|)(|lim||lim0000

tytttt

ψ , ÇëÏ )(lim00

tttϕ

−→ ÉÇÝÇ

í»ñç³íáñ: ¸Çóáõù ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ a -Ç: ²Û¹ ¹»åùáõÙ áõÕÕ³ÓÇ· ³ëÇÙåïáïÇ

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏÉÇÝÇ` ax = :

ºÝÃ³¹ñ»Ýù 0t -Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ ÏáñÇ áã áõÕÕ³ÓÇ· (³ÛëÇÝùÝ Ã»ù)

³ëÇÙåïáïÇ, ³ÛÝå»ë, áñ 0≠B : ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ñ»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ

∞=−→

)(lim00

tttϕ Ï³Ù −∞=

−→)(lim

00t

ttϕ , Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ (20)-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ`

B

tACt tt

tt

)(lim)(lim 00

00

ϕψ −→

−→

−−= (24)

ë³ÑÙ³ÝÁ ¨ë ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ (17) å³ÛÙ³ÝÇÝ: (20) Ñ³í³ë³ñ-

Ù³Ý »ñÏáõ Ù³ëÁ µ³Å³Ý»Éáí )(tBϕ -Ç íñ³ ¨ ³ÝóÝ»Éáí ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ 00 −→ tt ,

Ïëï³Ý³Ýù`

BA

xy

tt

tttt−==

−→−→ 0000lim

)()(lim

ϕψ

: (25)

80

ø³ÝÇ áñ BA /− -Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ 0=++ CByAx áõÕÕÇ ³ÝÏÛáõÝ³ÛÇÝ

·áñÍ³ÏÇóÁ, Ýß³Ý³Ï»Éáí BAk /−= , Ïëï³Ý³Ýù`

)()(limlim

0000 tt

xyk

tttt ϕψ

−→−→== : (26)

ÆÙ³Ý³Éáí k -Ý (20)-Çó, Ïëï³Ý³Ýù`

)]()([lim)()(lim0000

tktttBA

BC

ttttϕψψϕ −=

+=−

−→−→:

ø³ÝÇ áñ BC /− -Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ³ëÇÙåïáïÇ ¨ Oy ³é³ÝóùÇ Ñ³ïÙ³Ý

Ï»ïÇ ûñ¹ÇÝ³ïÁ, ³å³ Ýß³Ý³Ï»Éáí BCb /−= , Ïëï³Ý³Ýù`

][lim)]()([lim0000

kxytktbtttt

−=−=−→−→

ϕψ : (27)

²ÛëåÇëáí, »Ã» (14) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ ÏáñÁ Ã»ù ³ëÇÙåïáï ¿, ³å³

(26) ¨ (27) ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ¨ bkxy += áõÕÇÕÁ Ã»ù ³ëÇÙåïáï ¿:

Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ (26) ¨ (27) ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ (17) å³ÛÙ³ÝÇ

³éÏ³ÛáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ Ý³¨ µ³í³ñ³ñ ¿, áñ 00 −→ tt -Ç ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ

áõÝ»Ý³ áã áõÕÕ³ÓÇ· ³ëÇÙåïáï:

Â » ù ³ ë Ç Ù å ï á ï Ç á ñ á Ý Ù ³ Ý Ï ³ Ý á Ý Á

(17) å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ 0t -Ý»ñÇ Ù»ç ÷ÝïñáõÙ »Ýù ³ÛÝ, áñÇ ¹»åùáõÙ

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³Ý (26) ¨ (27) ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ³Û¹åÇëÇ 0t -ÇÝ

Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ ³ëÇÙåïáï, áñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ bkxy += :

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »ñµ 0=k , ³å³ by = áõÕÇÕÁ, áñï»Õ )(lim0

tbttψ=

→ ÏÉÇÝÇ (14)

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ ÏáñÇ ÑáñÇ½áÝ³Ï³Ý ³ëÇÙåïáï:

Ð³Ý·áõÛÝ Ó¨áí ¹Çï³ñÏíáõÙ ¿ 00 +→ tt ¹»åùÁ:

2. ¸Çóáõù ÏáñÁ Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ ¿ )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ

ë³ÑÙ³ÝáõÙ 4-Á Ó¨³Ï»ñåíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå:

àõÕÇÕÁ ÏáãíáõÙ ¿ )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ëÇÙåïáï, »Ã» ·ñ³ýÇÏÇÝ

å³ïÏ³ÝáÕ ÷á÷áË³Ï³Ý Ï»ïÇ` ))(,( xfxM Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ áõÕÕÇó Ó·ïáõÙ

¿ ½ñáÛÇ, »ñµ M Ï»ïÁ ³Ýí»ñç Ñ»é³ÝáõÙ ¿ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïÇó: ÜÏ³ï»Ýù, áñ )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ áõÕÕ³ÓÇ· ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ

áñáÝ»ÉÇë, Ý³Ë ¨ ³é³ç, å»ïù ¿ áõß³¹ñáõÃÛáõÝ ¹³ñÓÝ»É )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ

Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÇ íñ³, áñáÝù ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù Ï³ñáÕ »Ý Ý³¨ ãå³ïÏ³Ý»É

81

áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ:

¸Çóáõù 0x -Ý f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï ¿: ºÃ»

+∞=+→

)(lim00

xfxx

Ï³Ù −∞=+→

)(lim00

xfxx

, (28)

³å³ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ 0xx = áõÕÇÕÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ³Û¹ áõÕÕÇó ³ç

ï»Õ³Ï³Ûí³Í ·ñ³ýÇÏÇ ×ÛáõÕÇ áõÕÕ³ÓÇ· ³ëÇÙåïáïÁ: ºÃ»

+∞=−→

)(lim00

xfxx

Ï³Ù −∞=−→

)(lim00

xfxx

, (29)

³å³ 0xx = áõÕÇÕÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ÛÝ ×ÛáõÕÇ

áõÕÕ³ÓÇ· ³ëÇÙåïáïÁ, áñÁ ï»Õ³Ï³Ûí³Í ¿ 0xx = áõÕÕÇó Ó³Ë:

Â»áñ»Ù 17 : àñå»ë½Ç bkxy += áõÕÇÕÁ ÉÇÝÇ )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³-

ýÇÏÇ ³ëÇÙåïáï, »ñµ +∞→x ( −∞→x ), ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ k -Ý ¨

b -Ý áñáßí»Ý Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨»ñáí`

))((lim,)(lim)()(

kxxfbxxfk

xx

xx

−==−∞→+∞→

−∞→+∞→

: (30)

ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» (30) µ³Ý³Ó¨»ñáõÙ 0=k , ³å³ by = áõÕÇÕÁ, áñï»Õ

)(lim xfbx +∞→

= ( )(lim xfbx −∞→

= ) (31)

ÏÉÇÝÇ )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ÑáñÇ½áÝ³Ï³Ý ³ëÇÙåïáï:

6. üáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ»ï³½áïÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ëË»Ù³Ý: üáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙÁ

üáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ»ï³½áïáõÙÁ ¨ ¹ñ³ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙÁ Ñ³ñÙ³ñ ¿ ï³Ý»É

Ñ»ï¨Û³É ëË»Ù³Ûáí.

1. ¶ïÝ»É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ:

2. Ð»ï³½áï»É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ½áõÛ·áõÃÛáõÝÁ ¨ Ï»ÝïáõÃÛáõÝÁ:

ºÃ» ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿, ³å³ ¹ñ³ ·ñ³ýÇÏÁ Ñ³Ù³ã³÷ ¿ Oy ³é³ÝóùÇ

ÝÏ³ïÙ³Ùµ, ÇëÏ »Ã» Ï»Ýï ¿, ³å³ ¹ñ³ ·ñ³ýÇÏÁ Ñ³Ù³ã³÷ ¿ Ïááñ¹Ç-

Ý³ïÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ, Ñ»ï¨³µ³ñ, ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ½áõÛ·áõÃÛ³Ý

Ï³Ù Ï»ÝïáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ, ¹ñ³ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ µ³í³Ï³Ý ¿

Ñ»ï³½áïáõÙÁ Ï³ï³ñ»É ÙÇ³ÛÝ );0[ ∞ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:

3. Ð»ï³½áï»É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ å³ñµ»ñ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ:

ºÃ» ýáõÝÏóÇ³Ý å³ñµ»ñ³Ï³Ý ¿, ³å³ ¹ñ³ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ

µ³í³Ï³Ý ¿, Ù»Ï å³ñµ»ñáõÃÛ³Ý ã³÷ Ñ³ïí³ÍÇ íñ³ Ï³éáõó»É ¹ñ³

82

·ñ³ýÇÏÁ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ ÝáõÛÝ å³ñµ»ñ³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµ ß³ñáõÝ³Ï»É ³ÙµáÕç

áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ íñ³:

4. Ð»ï³½áï»É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛáõÝÁ, ·ïÝ»É Ë½Ù³Ý Ï»ï»ñÁ ¨

áõÕÕ³ÓÇ· ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ:

5. Ð»ï³½áï»É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ í³ñùÁ ³Ýí»ñç Ñ»éáõ Ï»ï»ñáõÙ:

¸ñ³ Ñ³Ù³ñ ·ïÝ»É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ, »ñµ ±∞→x , ·ïÝ»É

ÑáñÇ½áÝ³Ï³Ý ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ:

6. ¶ïÝ»É Ã»ù ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ:

7. ¶ïÝ»É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×Ù³Ý áõ Ýí³½Ù³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ ¨ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ

Ï»ï»ñÁ:

8. ¶ïÝ»É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý ¨ ·á·³íáñáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ ¨ ·ñ³ýÇÏÇ ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñÁ:

9. ¶ïÝ»É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ¨ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý

Ï»ï»ñÁ:

10. Î³éáõó»É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ:

Üå³ï³Ï³Ñ³ñÙ³ñ ¿ Ñ»ï³½áïÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ ÙïóÝ»É ÙÇ ³ÕÛáõë³ÏÇ Ù»ç,

ÇëÏ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙÁ ëÏë»É ³ëÇÙåïáïÝ»ñÇ Ï³éáõóáõÙáí,

Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ»ï Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÇ, Ù³ùëÇÙáõÙÇ, ÙÇÝÇÙáõÙÇ ¨

ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñÇ ÝßáõÙáí, ³ÛÝáõÑ»ï¨ ³Û¹ Ï»ï»ñÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ ¨ ³ëÇÙå-

ïáïÝ»ñÇ Ùáï ·ñ³ýÇÏÇ ÏïáñÝ»ñÇ Ï³éáõóáõÙáí:


=

≠+=:0,0

,0,2sin)(2

x

xx

xxxf

ýáõÝÏóÇ³Ý 0=x Ï»ïáõÙ ³×áÕ ¿, µ³Ûó ³×áÕ ã¿ áã ÙÇ );( εε− ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³

(áñï»Õ 0>ε Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿):

²å³óáõÛó: àõÝ»Ýù`

=

≠−+=′:0,1

,0,2cos22sin21)(x

xxx

xxf (32)

ø³ÝÇ áñ 01)0( >=′f , ³å³ Áëï 4, Ã»áñ»Ù 1-Ç )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ 0

Ï»ïáõÙ:

83

ºÃ» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³×»ñ áñ¨¿ );( εε− ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ

Ã»áñ»Ù 2-Ç Ñ»ï¨³Ýù 1-Ç å»ïù ¿ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³ñ );(,0)( εε−∈∀≥′ xxf

å³ÛÙ³ÝÁ: òáõÛó ï³Ýù, áñ ³Û¹å»ë ã¿: Üß³Ý³Ï»Ýù )/(1 nxn π= , áñï»Õ Nn∈ :

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ n∃>∀ ,0ε ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ε<π )/(1 n , ³ÛëÇÝùÝ );( εε−∈nx :

î»Õ³¹ñ»Éáí (32) µ³Ý³Ó¨áõÙ )/(1 nxx n π== , Ïëï³Ý³Ýù` 01)( <−=′ nxf :

²ÛëÇÝùÝ, )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ã¿ ó³ÝÏ³ó³Í );( εε− ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³:

úñÇÝ³Ï 2: ¶ïÝ»É )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×Ù³Ý ¨ Ýí³½Ù³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ:

³) 21221

31)( 23 +−+= xxxxf , µ) xxxf sin2)( −= ,

·) x

xxf 1)(2 +

= , ¹)

>+≤−

=:0,2

,0,1)( 3 xx

xxxf

ÈáõÍáõÙ: ³) üáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³: ¶ïÝ»Ýù

¹ñ³ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ` )3)(4(12)( 2 −+=−+=′ xxxxxf : ²ÛÝ áñáßí³Í ¿ ³ÙµáÕç

Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ¨ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ 3=x ¨ 4−=x Ï»ï»ñáõÙ: ²Û¹ Ï»ï»ñÁ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ïñáÑáõÙ »Ý »ñ»ù ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ`

)4;( −−∞ , )3;4(− ¨ );3( ∞ , áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ )(xf ′ -Ý áõÝÇ Ñ³ëï³ïáõÝ

Ýß³Ý: àñáß»Ýù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ )(xf ′ -Ç Ýß³ÝÁ: ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ,

µ³í³Ï³Ý ¿ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÙÇç³Ï³ÛùÇ áñ¨¿ Ï»ïáõÙ áñáß»Ýù )(xf ′ -Ç Ýß³ÝÁ:

úñÇÝ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ í»ñóÝ»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ï»ï»ñÁ` )4;(5 −−∞∈−=x , )3;4(0 −∈=x ¨

);3(4 ∞∈=x :

Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ 0)5( >−′f , 0)0( <′f , 0)4( >′f , Ñ»ï¨³µ³ñ 0)( >′ xf ,

)4;( −−∞∈∀x , 0)( <′ xf , )3;4(−∈∀x ¨ 0)( >′ xf , );3( ∞∈∀x : àõñ»ÙÝ,

Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 2-Ç )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áõÙ ¿ ]4;( −−∞ ¨ );3[ ∞

ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³ áõ Ýí³½áõÙ ¿ ]3;4[− Ñ³ïí³ÍÇ íñ³:

µ) ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³, ÁÝ¹ áñáõÙ`

xxf cos21)( −=′ : ø³ÝÇ áñ 0)( >′ xf , »ñµ Zkkkx ∈

++∈ ,2

35;2

3ππππ

¨

0)( <′ xf , »ñµ Zkkkx ∈

++−∈ ,2

3;2

3ππππ

, ³å³ )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×-

84

Ù³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÝ »Ý` Zkkk ∈

++ ,2

35;2

3ππππ

Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁ, ÇëÏ Ýí³½-

Ù³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÝ »Ý` Zkkk ∈

++− ,2

3;2

3ππππ

Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁ:

·) )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ¨ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï }0{\R µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³:

¶ïÝ»Ýù Ýñ³ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ` 22 /)1()( xxxf −=′ : ²ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ }0{\R

µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ¨ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ 1±=x Ï»ï»ñáõÙ: ²Û¹ Ï»ï»ñÁ ýáõÝÏ-

óÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ïñáÑáõÙ »Ý ãáñë ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ` )1;( −−∞ , )0;1(− ,

)1;0( + , );1( ∞ , áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ )(xf ′ -Ý áõÝÇ Ñ³ëï³ïáõÝ Ýß³Ý:

Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ 0)( >′ xf , »ñµ );1()1;( ∞∪−−∞∈x ¨ 0)( <′ xf , »ñµ

)1;0()0;1( ∪−∈x : Ð»ï¨³µ³ñ` )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×Ù³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÝ »Ý

]1;( −−∞ ¨ );1[ ∞− ×³é³·³ÛÃÝ»ñÁ, ÇëÏ Ýí³½Ù³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÝ »Ý )0;1[− ¨

]1;0( ÏÇë³Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁ:

¹) )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ R -Ç íñ³ ¨ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ }0{\R µ³½ÙáõÃÛ³Ý

íñ³: ¶ïÝ»Ýù ¹ñ³ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ`

><−

=′:0,3

,0,1)( 2 xx

xxf

»ñµ

»ñµ

üáõÝÏóÇ³Ý 0=x Ï»ïáõÙ ³Í³ÝóÛ³É ãáõÝÇ: ø³ÝÇ áñ 01)( <−=′ xf , »ñµ

)0;(−∞∈x ¨ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ 0=x Ï»ïáõÙ Ó³ËÇó, ³å³ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý

Ýí³½áÕ ¿ ]0;(−∞ ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³: ø³ÝÇ áñ 0)( >′ xf , »ñµ );0( ∞∈x , ³å³

)(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ );0( ∞ ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³:

úñÇÝ³Ï 3: ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í 0,0 ≥≥ ba Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ó³ÝÏ³-

ó³Í 10 ≤≤ p ÃíÇ Ñ³Ù³ñ Çñ³í³óÇ ¿ ppp baba +≤+ )( ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

ÈáõÍáõÙ: àñáß³ÏÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »ÝÃ³¹ñ»Ýù 0≠b ¨ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý

»ñÏáõ Ù³ëÁ µ³Å³Ý»Ýù pb -Ç íñ³ ¨ Ýß³Ý³Ï»Ýù` bax /= , ³Û¹ ¹»åùáõÙ

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÏÁÝ¹áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

pp xx +≤+ 1)1( : (33)

²å³óáõó»Ýù, áñ (33) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í );0[ ∞∈x -Ç

Ñ³Ù³ñ:

85

Ü»ñÙáõÍ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏóÇ³Ý`

);0[,)1(1)( ∞∈+−+= xxxxf pp :

)(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ );0[ ∞ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );0( ∞

ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ ¹ñ³ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ`

+

−=+−=′−−

−−pp

pp

xxpxppxxf 11

11

)1(11)1()(

áã µ³ó³ë³Ï³Ý ¿, »ñµ 01 ≥− p ¨ 0>x : Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 2-Ç )(xf

ýáõÝÏóÇ³Ý ãÝí³½áÕ ¿ ),0[ +∞ ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³: àõñ»ÙÝ, »ñµ 0≥x , ³å³

)0(0)1(1)( fxxxf pp =≥+−+= : àñï»ÕÇó Ïëï³Ý³Ýù` pp xx )1(1 +≥+

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ¨ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ñ ³å³óáõó»É:

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »Ã» n

p 1= , ³å³ (33)-Çó Ïëï³Ý³Ýù`

nnn baba +≤+ ( 1≥n ):

úñÇÝ³Ï 4: ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

³) 0,1206

sin6

533

>+−<<− xxxxxxx ,

µ) 0,!!3!2

132

>+++++> xnxxxxe

nx : (34)

²å³óáõÛó: ³) ²å³óáõó»Ýù 1206

sin53 xxxx +−≤ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

Üß³Ý³Ï»Ýù 1206

)(,sin)(53 xxxxfxxg +−== : ø³ÝÇ áñ xxg cos)( =′ ,

xxg sin)( −=′′ , xxg cos)( −=′′′ , xxg IV sin)( = ,242

1)(42 xxxf +−=′ ,

6)(

3xxxf +−=′′ ,

21)(

2xxf +−=′′′ , xxf IV =)( ¨ )0()0( gf = , )0()0( gf ′=′ , )0()0( gf ′′=′′ ,

)0()0( gf ′′′=′′′ , )(sin)( xfxxxg IVIV =<= , »ñµ 0>x , ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ

Ñ»ï¨³Ýù 5-Ç )()( xgxf > , »ñµ 0>x : xxx sin6

3

<− ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ,

³å³óáõóíáõÙ ¿ ÝÙ³Ý Ó¨áí:

86

µ) I »Õ³Ý³Ï: Üß³Ý³Ï»Ýù!

1)(,)(nxxxgexf

nx +++== : ø³ÝÇ áñ xk exf =)()( ,

Nk ∈ , )!1(

1)(1

−+++=′

−

nxxxg

n

,…, 1)()( =xg n ¨ )0()0( gf = , )0()0( gf ′=′ ,

)0()0( gf ′′=′′ ,…, )0()0( )1()1( −− = nn gf ¨ )(1)( )()( xgexf nxn =>= , »ñµ 0>x ,

³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨³Ýù 5-Ç )()( xgxf > , »ñµ 0>x :

II »Õ³Ý³Ï: ²å³óáõÛóÁ Ï³ï³ñ»Ýù Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí:

¸Çóáõù 1=n : ²Û¹ ¹»åùáõÙ (34) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ëï³ÝáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É

ï»ëùÁ`

xex +>1 , 0>x : (35)

²å³óáõó»Ýù, áñ (35) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿: ¸Çï³ñÏ»Ýù xexf =)( ¨

xxg +=1)( ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ: ø³ÝÇ áñ xexf =′ )( ¨ 1)( =′ xg ¨ )0()0( gf = ,

)(1)( xgexf x ′=>=′ , »ñµ 0>x , ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨³Ýù 4-Ç ÏáõÝ»Ý³Ýù`

)()( xgxf > , »ñµ 0>x , áñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ (35)-ÇÝ: ²ÛÅÙ »ÝÃ³¹ñ»Ýù (34) ³ÝÑ³-

í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ kn = -Ç Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝ

0,!!3!2

132

>+++++> xkxxxxe

kx : (36)

²å³óáõó»Ýù, áñ ³ÛÝ ×Çßï ¿ 1+= kn -Ç Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝ

0,)!1(!!3!2

1132

>+

++++++>+

xkx

kxxxxe

kkx : (37)

Üß³Ý³Ï»Ýù xexf =)( , )!1(!!3!2

1)(132

+++++++=

+

kx

kxxxxxg

kk

: ø³ÝÇ áñ

xexf =′ )( , !!3!2

1)(32

kxxxxxg

k

+++++=′ ¨ )0()0( gf = , )()( xgxf ′>′ ,

»ñµ 0>x (Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (36) å³ÛÙ³ÝÇ), ³å³ ÏÇñ³é»Éáí Ñ»ï¨³Ýù 4-Á

Ïëï³Ý³Ýù, áñ )()( xgxf > , »ñµ 0>x : ²ÛëÇÝùÝ ×Çßï ¿ (37) ³ÝÑ³í³-

ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ, (34) ³Ý-

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ ó³ÝÏ³ó³Í Nn∈ -Ç Ñ³Ù³ñ:

úñÇÝ³Ï 5: Ð»ï³½áï»É )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ ÝÏ³ï³éáõÙáí:

³) 496)( 23 −+−= xxxxf , µ) 33 2 22)( −−= xxxf ,

87

·) xchxxf cos)( += , ¹) 13,13 33 +−=++= ttyttx :

ÈáõÍáõÙ: ³) )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ µáÉáñ Rx∈ Ñ³Ù³ñ,

ÁÝ¹ áñáõÙ Ýñ³ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ`

)3)(1(39123)( 2 −−=+−=′ xxxxxf

Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ 1=x ¨ 3=x Ï»ï»ñáõÙ:

ø³ÝÇ áñ 0)( >′ xf , »ñµ )1;(−∞∈x , 0)( <′ xf , »ñµ )3;1(∈x ¨ 0)( >′ xf , »ñµ

);3( ∞∈x , ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ ³é³çÇÝ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÇ 1=x

Ï»ïÁ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ` 0)1( =f , ÇëÏ 3=x Ï»ïÁ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿

¨ 4)3( −=f : ´Ý³Ï³Ý³µ³ñ, ÝáõÛÝ ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ïëï³Ý³Ýù, »Ã» û·ïí»Ýù

¿ùëïñ»ÙáõÙÇ »ñÏñáñ¹ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÇó: Æñáù, ·ïÝ»Ýù )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ

»ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ` 126)( −=′′ xxf ¨ Ñ³ßí»Ýù ¹ñ³ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ 1=x

¨ 3=x ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñáõÙ: ø³ÝÇ áñ 06)1( <−=′′f ¨ 06)3( >=′′f ,

³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ »ñÏñáñ¹ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÇ 1=x Ï»ïÁ

Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, ÇëÏ 3=x Ï»ïÁ` ÙÇÝÇÙáõÙÇ:

µ)üáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¨ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ µáÉáñ Rx∈ Ñ³Ù³ñ: Ð³ßí»Ýù ¹ñ³

³Í³ÝóÛ³ÉÁ`

( )3 23 23 43 2 )2()2()2()4)(1(

32)(

xxxxxxxxxf

+−+−−

−−=′ :

0=x ¨ 2=x Ï»ï»ñáõÙ ³ÛÝ ³Í³ÝóÛ³É ãáõÝÇ: ²ÛëåÇëáí ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ãáñë

ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñ` 4,2,1,0 4321 ==== xxxx : ²Ûëï»ÕÇó, ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ

Ù»Ãá¹áí å³ñ½áõÙ »Ýù, áñ 0)( >′ xf , »ñµ );4()1;0( ∞∪∈x ¨ 0)( <′ xf , »ñµ

)4;2()2;1()0;( ∪∪−∞∈x : Ð»ï¨³µ³ñ 0=x Ï»ïÁ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, ÁÝ¹

áñáõÙ` 3 22)0( =f , 1=x Ï»ïÁ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ` 3)1( =f , 2=x

Ï»ïÁ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ã¿ ¨ 4=x Ï»ïÁ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ`

0)4( =f :

·) üáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¨ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ µáÉáñ Rx∈ Ñ³Ù³ñ: ø³ÝÇ áñ

xxxf sinsh)( −=′ ¨ 0sinsh =− xx Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ 0=x ÙÇ³Ï ÉáõÍáõÙÁ,

Ñ»ï¨³µ³ñ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ñ³Ù³ñ Ï³ëÏ³Í»ÉÇ Ï»ï ¿ ÙÇ³ÛÝ 0=x -Ý: Ð³ßí»Ýù

»ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ`

xxxf cosch)( −=′′ :

88

ø³ÝÇ áñ 0)0( =′′f , ³å³ Ñ³çáñ¹³µ³ñ Ñ³ßí»Ýù ³í»ÉÇ µ³ñÓñ Ï³ñ·Ç

³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ 0=x Ï»ïáõÙ.

0)0(,sinsh)( =′′′+=′′′ fxxxf ,

2)0(,cosch)( =+= IVIV fxxxf :

²ÛëåÇëáí, 0=x ëï³óÇáÝ³ñ Ï»ïáõÙ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ³é³çÇÝ Ñ³Ý¹Çå³Í ³Í³ÝóÛ³ÉÇ Ï³ñ·Á ½áõÛ· ¿: Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ »ññáñ¹ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÇ (Ã»áñ»Ù 6) 0=x Ï»ïÁ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ¿: ø³ÝÇ áñ

0)0( >IVf , ³å³ 0=x Ï»ïÁ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿ (Ýß»Ýù Ý³¨, áñ ³Û¹ Ï»ïáõÙ

ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù. ï»ë Ã»áñ»Ù 7-Á), ÁÝ¹ áñáõÙ` 2)0( =f :

¹) )(tx ¨ )(ty ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý Rt∈ å³ñ³Ù»ïñÇ µáÉáñ

³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ÁÝ¹ áñáõÙ` 33 2 +=′ txt ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ¿ µáÉáñ

Rt∈ Ñ³Ù³ñ: 33 2 −=′ tyt ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ 1=t ¨ 1−=t

Ï»ï»ñáõÙ: ø³ÝÇ áñ )33/()33(/ 22 +−=′′=′ ttxyy ttx , ³å³ xy′ -Á Ñ³í³ë³ñ ¿

½ñáÛÇ ÙÇ³ÛÝ 1=t (Ï³Ù 5=x ) ¨ 1−=t (Ï³Ù 3−=x ) Ï»ï»ñáõÙ: àñáß»Ýù 2xy ′′

»ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÇ Ýß³ÝÝ»ñÁ ëï³óÇáÝ³ñ Ï»ï»ñáõÙ: ø³ÝÇ áñ 32 // 222 tttttx xxyxyy ′′′′−′′′=′′ , ³å³ ëï³óÇáÝ³ñ Ï»ï»ñáõÙ ( 0=′ty ) 2xy ′′ ¨ 2ty ′′

³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ Ýß³ÝÝ»ñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý: ²Û¹ å³ï×³éáí áñáß»Ýù ÙÇ³ÛÝ

tyt 62 =′′ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ Ýß³ÝÝ»ñÁ 1=t ¨ 1−=t Ï»ï»ñáõÙ: ø³ÝÇ áñ

061

2 >=′′=tty ¨ 06

12 <−=′′

−=tty , ³å³ »ñµ 1=t (Ï³Ù 5=x ) ýáõÝÏóÇ³Ý

ëï³ÝáõÙ ¿ ÙÇÝÇÙáõÙ ³ñÅ»ù, ÁÝ¹ áñáõÙ` 1)1( −=y , ÇëÏ, »ñµ 1−=t (Ï³Ù

3−=x ) ýáõÝÏóÇ³Ý ëï³ÝáõÙ ¿ Ù³ùëÇÙáõÙ ³ñÅ»ù, ÁÝ¹ áñáõÙ` 3)1( =−y :

úñÇÝ³Ï 6: ¶ïÝ»É )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ

ïñí³Í Ñ³ïí³ÍáõÙ:

³) ]5;5[,90723)( 23 −+−+= xxxxf ,

µ) ]3;0[|,2|2)( 3 −−= xxxxf :

ÈáõÍáõÙ: ³) ø³ÝÇ áñ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ µáÉáñ Rx∈ Ñ³Ù³ñ,

³å³ ¹ñ³ µáÉáñ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý 0)( =′ xf Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï-

Ý»ñÁ: ø³ÝÇ áñ 7263)( 2 −+=′ xxxf , ³å³ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý 4=x

¨ 6−=x : ²Ûë Ï»ï»ñÇó ÙÇ³ÛÝ 4=x Ï»ïÝ ¿ å³ïÏ³ÝáõÙ )5;5(− ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ:

Ð³ßí»Ýù )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ 4=x , 5−=x ¨ 5=x Ï»ï»ñáõÙ.

89

86)4( −=f , 70)5( −=f , 400)5( =−f :

²ÛëåÇëáí,

:86}400,70,86min{)(min

,400}400,70,86max{)(max

]5;5[

]5;5[

−=−−=

=−−=

−

−

xf

xf

µ) Ð³ßí»Ýù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ`

+∞<<+−<<∞−−+

=′:2,443,2,443

)(2

2

xxxxxx

xf

f ýáõÝÏóÇ³Ý 2=x Ï»ïáõÙ ³Í³ÝóÛ³É ãáõÝÇ: ÎñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÝ »Ý

2=x , 2−=x , 3/2=x : ]3;0[ Ñ³ïí³ÍÇÝ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý ÙÇ³ÛÝ 2=x ¨

3/2=x Ï»ï»ñÁ: ²ÛëåÇëáí,

:27/40)3/2()}3(),2(),3/2(),0(min{)(min

,21)3()}3(),2(),3/2(),0(max{)(max

]3;0[

]3;0[

−===

===

fffffxf

fffffxf

úñÇÝ³Ï 7: ¶ïÝ»É )5;1(,16)( 23 ∈+−= xxxxf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ

³ñÅ»ùÁ, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ:

ÈáõÍáõÙ: xxxf 123)( 2 −=′ , áõëïÇ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÙÇ³Ï ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ïÁ,

áñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ )5,1( ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ, Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ 4=x -Á: ⇒<< 41 x

0)( <′ xf , 0)(54 >′⇒<< xfx , Ñ»ï¨³µ³ñ` 4=x Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ

ÙÇÝÇÙáõÙ ³ñÅ»ù: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 7-Ç 31)4()(min)5;1(

−== fxf :

úñÇÝ³Ï 8: ¶ïÝ»É ]3;0(,22/33/)( 23 ∈+−= xxxxxf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ù»Í³-

·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, »Ã» ¹ñ³Ýù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý:

ÈáõÍáõÙ: 23)( 2 +−=′ xxxf : üáõÝÏóÇ³ÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÝ »Ý 1=x ¨

2=x : 2/3)}3(),2(),1(max{ == fffM , 3/2)}3(),2(),1(min{ == fffm ,

0)(lim0

==+→

xfAx

:

ø³ÝÇ áñ AM > , ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 8-Ç 5,1)(max]3;0(

=xf ¨ ù³ÝÇ áñ

Am > , Ñ»ï¨³µ³ñ ýáõÝÏóÇ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù ãáõÝÇ:

90

úñÇÝ³Ï 9: ¶ïÝ»É xxxf 33 cossin)( += , );0( π∈x ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ

¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, »Ã» ¹ñ³Ýù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý:

ÈáõÍáõÙ: )cos(sin2sin2/3)( xxxxf −=′ : üáõÝÏóÇ³ÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÝ

»Ý 2/,4/ π=π= xx : 1)}2/(),4/(max{ =ππ= ffM , ),4/(min{ π= fm

2/2)}2/( =πf , 1)(lim0

==+→

xfAx

, 1)(lim −==+π→

xfBx

:

ø³ÝÇ áñ },max{ BAM = , ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 9-Ç 1)(max);0(

=xfπ

¨ ù³ÝÇ

áñ },min{ BAm > , ³å³ ýáõÝÏóÇ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù ãáõÝÇ:

úñÇÝ³Ï 10: ÆÝãåÇëÇ± Ù»Í³·áõÛÝ Ù³Ï»ñ»ë Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ë»Õ³ÝÁ, áñÇ »ñ»ù ÏáÕÙ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý a -Ç ( 0>a ):

ÈáõÍáõÙ: ê»Õ³ÝÇ Ù»Í ÑÇÙùÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù x -áí: ê»Õ³ÝÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ÏáñáßíÇ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨áí`

axaaxaxaxS 3,22

)(2

2 <<

−

−+

= :

ú·ïí»Éáí ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 6-Çó` Ï³ñáÕ »Ýù ³ë»É, áñ

axaaxaxaxf 3,24

)()(2

22

<<

−

−+

= ,

¨ )(xS ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ï»ïáõÙ áõÝ»Ý Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñ: Ð»ßï ¿

Ñ³Ùá½í»É, áñ )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÇó ÙÇ³ÛÝ ax 2= -Ý ¿, áñ

å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ )3;( aa ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ: ²Û¹ Ï»ïáõÙ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ

Ù³ùëÇÙáõÙ ³ñÅ»ù: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 7-Ç` 2

)3;(3

43)2()(max aaSxS

aa== :

úñÇÝ³Ï 11: ò³ÝÏ³ó³Í Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ³å³óáõó»É, áñ

)1;1(,2)1()1(11

−∈≥−++−−

xxx nn :

²å³óáõÛó: ¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏóÇ³Ý` nn xxxf11

)1()1()(−−

−++= ,

)1;1(−∈x : ¶ïÝ»Ýù )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ`

)1;1(,)1(1)1(1)(11

−∈+−−=′−

−−

−xx

nx

nxf n

nn

n

:

Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï`

91

0=x -Ý: 0=x Ï»ïáõÙ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ÙÇÝÇÙáõÙ ³ñÅ»ù: Ð³Ù³Ó³ÛÝ

Ã»áñ»Ù 7-Ç 2)0()(min)1;1(

==−

fxf : Ð»ï¨³µ³ñ µáÉáñ )1;1(−∈x Ñ³Ù³ñ

2)( ≥xf :

úñÇÝ³Ï 12: ¶ïÝ»É f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý ¨ ·á·³íáñáõÃÛ³Ý ÙÇç³-

Ï³Ûù»ñÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨ ·ñ³ýÇÏÇ ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñÁ.

³) 124)( 24 ++−= xxxxf , µ) 212arcsin)(

xxxf

+= ,

·) 33 3,2 ttyttx −=+= :

ÈáõÍáõÙ: ³) ø³ÝÇ áñ )4(124812)( 22 −=−=′′ xxxf , ³å³ 0)( >′′ xf , »ñµ

2|| >x ¨ 0)( <′′ xf , »ñµ 2|| <x : Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨³Ýù 6-Ç

)2;( −−∞ ¨ );2( ∞ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý

ÙÇç³Ï³Ûù»ñ »Ý, ÇëÏ )2;2(− ÙÇç³Ï³ÛùÁ ·á·³íáñáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù ¿: ø³ÝÇ áñ

0)2(,0)2( =′′=−′′ ff ¨ 2±=x Ï»ï»ñáí ³ÝóÝ»ÉÇë )(xf ′′ Çñ Ýß³ÝÁ ÷áËáõÙ ¿:

Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ßñçÙ³Ý ³é³çÇÝ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÇ (Ã»áñ»Ù 14) f

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ )79,2( −− ¨ )77,2( − Ï»ï»ñÁ ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñ »Ý:

ì»ñçÇÝÇë Çñ³í³óÇáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É Ý³¨ Ñ»Ýí»Éáí »ñÏñáñ¹

µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÇ íñ³: Æñáù, xxf 24)( =′′′ ¨ 0)2(,0)2( ≠′′′≠−′′′ ff ,

Ñ»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 15-Ç )79,2( −− ¨ )77,2( − Ï»ï»ñÁ f ýáõÝÏ-

óÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñ »Ý:

µ) üáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ R -Ç íñ³: ¶ïÝ»Ýù )(xf ′′ -Á`

>+

<<−+−

=′′:1||,

)1(4

,11,)1(

4

)(22

22

xxx

xx

x

xf

Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ )(xf ′ ¨ )(xf ′′ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý 1±=x Ï»ï»ñáõÙ ¨ )(xf ′′

Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, »ñµ 0=x : ø³ÝÇ áñ 0)( <′′ xf , »ñµ )1;( −−∞∈x )1;0(∪ ¨

0)( >′′ xf , »ñµ );1()0;1( ∞∪−∈x , ³å³ )0;1(− ¨ );1( ∞ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ áõéáõ-

óÇÏáõÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñ »Ý, ÇëÏ )1;( −−∞ ¨ )1;0( ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ ·á·³íáñáõÃÛ³Ý

ÙÇç³Ï³Ûù»ñ: ø³ÝÇ áñ 1±=x Ï»ï»ñáí ³ÝóÝ»ÉÇë )(xf ′′ Çñ Ýß³ÝÁ ÷áËáõÙ ¿,

92

³å³ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ

−−

2,1 π

¨

2,1 π

Ï»ï»ñÁ ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñ »Ý:

·) )(tx ¨ )(ty ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý, ÁÝ¹ áñáõÙ`

033)( 2 >+=′ ttx : ²Û¹ å³ï×³éáí Ýßí³Í Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáõÙ ¿

)(xfy = ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ýáõÝÏóÇ³, ÁÝ¹ áñáõÙ`

322

2

)1(34)(,

11

2 tt

xyy

tt

xyy

t

txx

t

tx +

−=

′′′

=′′+−

=′′

=′ :

ºñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, »ñµ 0=t : 0=t Ï»ïáí

³ÝóÝ»ÉÇë 2xy ′′ -Ý Çñ Ýß³ÝÁ ÷áËáõÙ ¿: Ð»ï¨³µ³ñ, 0=t -ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ )0,0( Ï»ïÁ ßñçÙ³Ý Ï»ï ¿:

ø³ÝÇ áñ 02 >′′xy , »ñµ 0<t ¨ 02 <′′xy , »ñµ 0>t , ³å³ x ³ñ·áõÙ»ÝïÇ

)0;(−∞ ÙÇç³Ï³ÛùÁ áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù ¿, ÇëÏ );0( ∞ ÙÇç³Ï³ÛùÁ`

·á·³íáñáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù:

úñÇÝ³Ï 13: ²å³óáõó»É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

³) yxyxyxyxyyxx ≠>>

+

+>+ ,0,0,2

ln)(lnln ,

µ) 0,0,),(1 >>∈−+≥ − yxNnyxnyyx nnn :

ÈáõÍáõÙ: ³) ¸Çï³ñÏ»Ýù tttf ln)( = ýáõÝÏóÇ³Ý: ø³ÝÇ áñ ttf ln1)( +=′ ,

ttf 1)( =′′ ¨ µáÉáñ );0( ∞∈t Ñ³Ù³ñ 0)( >′′ tf , ³å³ )(tf ýáõÝÏóÇ³Ý áõéáõóÇÏ

¿ );0( ∞ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, Ñ»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 10-Ç ó³ÝÏ³ó³Í 0>x ¨

0>y Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ Çñ³í³óÇ ¿ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

2

)()(2

yfxfyxf +<

+

,

³ÛëÇÝùÝ`

yyxxyxyx lnln2

ln)( +<

+

+ :

µ) ºñµ 1=n ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ: ¸Çï³ñÏ»Ýù nttf =)( ýáõÝÏóÇ³Ý,

»ñµ 2≥n : ø³ÝÇ áñ 1)( −=′ nnttf , 2)1()( −−=′′ ntnntf , ³å³ )(tf ýáõÝÏóÇ³Ý

93

áõéáõóÇÏ ¿ );0( ∞ ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³: Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 12-Ç,

Ïëï³Ý³Ýù`

))(()()( yxyfyfxf −′+≥ Ï³Ù )(1 yxnyyx nnn −+≥ − :

úñÇÝ³Ï 14: ¶ïÝ»É f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ.

³) 1

523)( 2

2

−+−

=x

xxxf , µ) 1

,1

2−

=−

=ttey

tex

tt

:

ÈáõÍáõÙ: ³) ø³ÝÇ áñ 3)(lim =→∞

xfx

, ³å³ 3=y áõÕÇÕÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ f

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ÑáñÇ½áÝ³Ï³Ý ³ëÇÙåïáï: ø³ÝÇ áñ ∞→|)(| xf , »ñµ

1−→x ¨ »ñµ 1→x , ³å³ 1−=x ¨ 1=x áõÕÇÕÝ»ñÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý f

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ áõÕÕ³ÓÇ· ³ëÇÙåïáïÝ»ñ: ²ÛÅÙ å³ñ½»Ýù Ã»ù ³ëÇÙå-ïáïÇ, ³ÛëÇÝùÝ bkxy += ï»ëùÇ, ³ëÇÙåïáïÇ ·áÛáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÁ: ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ

áñáß»Ýù k -Ý ¨ b -Ý, Áëï (30) µ³Ý³Ó¨»ñÇ: ø³ÝÇ áñ

0)1(

523lim)(lim 2

2

=−+−

==∞→∞→ xx

xxxxfk

xx,

áõëïÇ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ã»ù ³ëÇÙåïáï ãáõÝÇ:

µ) ø³ÝÇ áñ ∞=−

=→→ 1

2lim|)(|lim11 t

etxt

tt ¨ ∞=

−=

→→ 1lim)(lim

11 ttety

t

tt, Ñ»ï¨³µ³ñ

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ÙÇ³ÛÝ Ã»ù ³ëÇÙåïáï: Ð³ßí»Ýù ë³Ñ-Ù³ÝÝ»ñÁ`

:lim1

221

1lim))()((lim

,21

2)1()1(lim

)()(lim

111

11

eet

ettetkxtyb

ettte

txtyk

t

t

tt

tt

t

t

tt

==

−

−−

=−=

=−

−==

→→→

→→

Ð»ï¨³µ³ñ exy +=21

áõÕÇÕÁ Ã»ù ³ëÇÙåïáï ¿:

úñÇÝ³Ï 15: Ð»ï³½áï»É ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ Ï³éáõó»É ·ñ³ýÇÏÁ.

³) xxxxf

−+−

=1

22)(2

, µ) 2

2

4)(

xxxf−

= :

ÈáõÍáõÙ: ³) îñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ µáÉáñ Rx∈ Ñ³Ù³ñ µ³ó³-

éáõÃÛ³Ùµ` 1=x , ³ÛëÇÝùÝ }1{\)( RfD = : üáõÝÏóÇ³Ý áã ½áõÛ· ¿, áã Ï»Ýï ¨ áã ¿É

å³ñµ»ñ³Ï³Ý: üáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ )( fD -Ç íñ³: ø³ÝÇ áñ

94

−∞=−

+−+∞=

−+−

+→−→ xxx

xxx

xx 122lim,

122lim

2

1

2

1,

áõëïÇ 1=x áõÕÇÕÁ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ áõÕÕ³ÓÇ· ³ëÇÙåïáï ¿: ÜÏ³ïÇ

áõÝ»Ý³Éáí, áñ

∞=−

+−=

±∞→

xxxxf

x 122)(lim

2

,

å³ñ½»Ýù, ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ áõÝÇ± ³ñ¹Ûáù Ã»ù ³ëÇÙåïáï, Ã»± áã: Ð³Ù³Ó³ÛÝ (30) µ³Ý³Ó¨»ñÇ áõÝ»Ýù

1)1(

22lim)(lim2

−=−+−

==±∞→±∞→ xx

xxxxfk

xx,

112lim])([lim =−−

=−=±∞→±∞→ x

xkxxfbxx

:

²ÛëåÇëáí, 1+−= xy áõÕÇÕÁ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ëÇÙåïáï ¿, »ñµ

+∞→x ¨ »ñµ −∞→x : ¶ïÝ»Ýù ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ`

32 )1(2)(,

)1()2()(

xxf

xxxxf

−=′′

−−

=′ :

Ø»Ýù ï»ëÝáõÙ »Ýù, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ )( fD íñ³ ¨ )(xf ′ -Á Ñ³-

í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ ÙÇ³ÛÝ 0=x ¨ 2=x Ï»ï»ñáõÙ: ø³ÝÇ áñ 0)2(,0)0( <′′>′′ ff ,

áõëïÇ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý 0=x Ï»ïáõÙ áõÝÇ ÙÇÝÇÙáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ` 2)0( =f , ÇëÏ

2=x Ï»ïáõÙ áõÝÇ Ù³ùëÇÙáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ` 2)2( −=f : ø³ÝÇ áñ 0)( >′ xf , »ñµ

)2;1()1;0( ∪∈x ¨ 0)( <′ xf , »ñµ );2()0;( ∞∪−∞∈x , ³å³ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý

³×áÕ ¿ )1;0[ ¨ ]2;1( ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ ¨ Ýí³½áÕ ¿ ]0;(−∞ ¨ );2[ ∞ ÙÇç³Ï³Û-

ù»ñáõÙ: üáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ßñçÙ³Ý Ï»ï ãáõÝÇ, ù³ÝÇ áñ )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ

áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ íñ³ áñáßí³Í ¿ Ý³¨ )(xf ′′ -Á ¨ ³ÛÝ áã ÙÇ Ï»ïáõÙ Ñ³í³ë³ñ

ã¿ ½ñáÛÇ: ø³ÝÇ áñ 0)( >′′ xf , »ñµ )1;(−∞∈x ¨ 0)( <′′ xf , »ñµ );1( ∞∈x , áõëïÇ

)1;(−∞ ÙÇç³Ï³ÛùÁ áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù ¿, ÇëÏ );1( ∞ ÙÇç³Ï³ÛùÁ ·á·³-

íáñáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù:

üáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ox ³é³ÝóùÇ Ñ»ï Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï ãáõÝÇ, ÇëÏ Oy

³é³ÝóùÇ Ñ»ï Ñ³ïíáõÙ ¿ )2,0( Ï»ïáõÙ:

Î³ï³ñí³Í Ñ»ï³½áïáõÃÛ³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ Ý»ñÏ³Û³óÝ»Ýù ³ÕÛáõë³ÏÇ ï»ëùáí:

95

x )0,(−∞ 0 (0,1) 1 (1,2) 2 ),2( +∞

y′ – 0 +

Ë½á

õÙ

+ 0 –

y ′′ + + + – – –

y Ýí³½áÕ ¿ ¨ áõéáõóÇÏ

2 ³×áÕ ¿ ¨ áõéáõóÇÏ

³×áÕ ¿ ¨ ·á·³íáñ

-2 Ýí³½áÕ ¿ ¨ ·á·³íáñ

²ÛÅÙ Ï³éáõó»Ýù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ, »ÉÝ»Éáí ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ»ï³½áïÙ³Ý

ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ëË»Ù³ÛÇó (ÝÏ. 13): µ) üáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ ¿` }2,2{\)( −= RfD : üáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿:

Ð»ï¨³µ³ñ ¹ñ³ ·ñ³ýÇÏÁ Ñ³Ù³ã³÷ ¿ Oy ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ: ú·ïí»Éáí

³Û¹ Ñ³Ý·³Ù³ÝùÇó` ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ»ï³½áïáõÙÁ Ï³ï³ñ»Ýù ÙÇ³ÛÝ );0[ ∞∈x

Ñ³Ù³ñ: ¶ñ³ýÇÏÇ »ñÏñáñ¹ Ù³ëÁ, áñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ 0<x ³ñÅ»ùÝ»ñÇÝ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³éáõó»É Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ëÏ½µáõÝùáí:

üáõÝÏóÇ³Ý å³ñµ»ñ³Ï³Ý ã¿: 2=x Ï»ïÁ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ »ñÏñáñ¹ ë»éÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ`

−∞=−

+∞=− +→−→ 2

2

22

2

2 4lim,

4lim

xx

xx

xx:

Ð»ï¨³µ³ñ, 2=x áõÕÇÕÁ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ áõÕÕ³ÓÇ· ³ëÇÙåïáï ¿:

ø³ÝÇ áñ 14

lim 2

2

−=−+∞→ xx

x, ³å³ 1−=y áõÕÇÕÁ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ

ÑáñÇ½áÝ³Ï³Ý ³ëÇÙåïáï ¿: üáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ãáõÝÇ Ã»ù ³ëÇÙåïáï ù³ÝÇ áñ

04

lim)(lim 2 =−==

+∞→+∞→ xx

xxfk

xx:

¶ïÝ»Ýù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ`

32

2

22 )4(3224)(,

)4(8)(

xxxf

xxxf

−+

=′′−

=′ :

ä³ñ½ ¿, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ )( fD -Ç íñ³ ¨ )(xf ′ -Á

Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ ÙÇ³ÛÝ 0=x Ï»ïáõÙ: ø³ÝÇ áñ 0)0( >′′f , ³å³ 0=x Ï»ïÁ

ï»Õ³ÛÇÝ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿ (ÝÏ³ï»Ýù, áñ 0=x Ï»ïÁ )( fD -Ç Ñ³Ù³ñ Ý»ñùÇÝ

Ï»ï ¿): Î³ñ»ÉÇ ¿ ³Ý·³Ù ãëïáõ·»É 0=x Ï»ïáõÙ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÁ, ù³ÝÇ áñ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ëÏ½µáõÝùáí ·ñ³ýÇÏÇ ß³ñáõÝ³ÏáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ³Û¹ Ñ³ñóÁ ÉáõÍíáõÙ ¿ ³é³Ýó ¹ñ³Ý:

96

ø³ÝÇ áñ 0)( >′ xf , »ñµ );2()2;0[ ∞∪∈x , ³å³ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿

)2;0[ ¨ );2[ ∞ ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ: üáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ßñçÙ³Ý Ï»ï ãáõÝÇ, ù³ÝÇ

áñ )()( fDfD ′′= ¨ )(xf ′′ -Á áã ÙÇ Ï»ïáõÙ Ñ³í³ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ:

ø³ÝÇ áñ 0)( >′′ xf , »ñµ )2;0(∈x , ¨ 0)( <′′ xf , »ñµ );2( ∞∈x , ³å³ )2;0(

ÙÇç³Ï³ÛùÁ áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù ¿, ÇëÏ );2( ∞ ÙÇç³Ï³ÛùÁ` ·á·³íá-

ñáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù: üáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ³ÝóÝáõÙ ¿ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïáí ¨ ³é³Ýóù-

Ý»ñÇ Ñ»ï áõñÇß Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï ãáõÝÇ: Î³éáõó»Ýù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 14):

úñÇÝ³Ï 16: Ð»ï³½áï»É å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ï»ëùáí ïñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý ¨

Ï³éáõó»É ·ñ³ýÇÏÁ.

3

2

3 1)(,

1)(

ttty

tttx

+==

+== ψϕ (¹»Ï³ñïÛ³Ý Ã»ñÃ): (38)

ÈáõÍáõÙ: )(tϕ ¨ )(tψ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ áñáßí³Í »Ý ),1()1,( +∞−∪−−∞

µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³:

¶ïÝ»Ýù t -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñï»Õ )(tϕ′ ¨ )(tψ′ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ

Ñ³í³ë³ñ ¿ 0 -Ç Ï³Ù ∞ -Ç ( ∞− -Ç): ø³ÝÇ áñ

23

3

)1(21)(ttt

+−

=ϕ′ , 23

3

)1()2()(

tttt

+−

=ψ′ ,

áõëïÇ 31

3 20210)(−

=⇔=−⇔=ϕ′ ttt , 1)( −→⇔∞→ϕ′ tt : ÜÙ³Ý Ó¨áí`

00)( =⇔=ψ′ tt Ï³Ù 3 2=t , 1)( −→⇔−∞→′ ttψ : t -Ç -1, 0, 31

2−

, 31

2

y

x 0

1

2

2 1

-2

x

y

0 2 -2

-1

ÝÏ. 13 ÝÏ. 14

97

³ñÅ»ùÝ»ñáí Ãí³ÛÇÝ áõÕÇÕÁ ïñáÑíáõÙ ¿ ÑÇÝ· ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ` )1;( −−∞ , )0;1(− ,

)2;0( 3/1− , )2;2( 33/1− , );2(3 ∞ , áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ íñ³ )(tϕ′ -Ý ¨ )(tψ′ -Ý

í»ñç³íáñ »Ý ¨ áõÝ»Ý Ñ³ëï³ïáõÝ Ýß³Ý: ²Û¹ å³ï×³éáí )(tϕ ¨ )(tψ

ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ³Û¹ ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ ÙáÝáïáÝ »Ý, ÁÝ¹ áñáõÙ`

)0;1()1;( −∪−−∞∈∀t Ñ³Ù³ñ 0)( >ϕ′ t , 0)( <ψ′ t ,

)2;0( 3/1−∈∀t Ñ³Ù³ñ 0)( >ϕ′ t , 0)( >ψ′ t ,

)2;2( 33/1−∈∀t Ñ³Ù³ñ 0)( <ϕ′ t , 0)( >ψ′ t ,

);2(3 ∞∈∀t Ñ³Ù³ñ 0)( <ϕ′ t , 0)( <ψ′ t :

Ð³ßí»Ýù Ýßí³Í ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñáõÙ )(tϕ ¨ )(tψ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ

³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ï³Ù ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ.

−∞=ϕ+∞=ϕ=ϕ+−→−−→±∞→

)(lim,)(lim,0)(lim11

tttttt

,

0)0(,32)2(,

34)2(,0)0(

33

33/1 =ψ=ϕ=ϕ=ϕ − ,

0)(lim =ψ±∞→

tt

, 34)2(,

32)2(

33

33/1 =ψ=ψ − :

)(tϕ ¨ )(tψ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý µÝáõÛÃÁ óáõó³¹ñ»Ýù Ñ»ï¨Û³É

³ÕÛáõë³Ïáí.

t x y

)1;( −−∞ ³×áõÙ ¿ 0-Çó ÙÇÝã¨ ∞ Ýí³½áõÙ ¿ 0-Çó ÙÇÝã¨ ∞−

)0;1(− ³×áõÙ ¿ ∞− -Çó ÙÇÝã¨ 0 Ýí³½áõÙ ¿ ∞ -Çó ÙÇÝã¨ 0

)2;0( 3/1− ³×áõÙ ¿ 0-Çó ÙÇÝã¨ 3/43 ³×áõÙ ¿ 0-Çó ÙÇÝã¨ 3/23

)2;2( 33/1− Ýí³½áõÙ ¿ 3/43 -Çó ÙÇÝã¨ 3/23 ³×áõÙ ¿ 3/23 -Çó ÙÇÝã¨ 3/43

);2(3 ∞ Ýí³½áõÙ ¿ 3/23 -Çó ÙÇÝã¨ 0 Ýí³½áõÙ ¿ 3/43 -Çó ÙÇÝã¨ 0

ø³ÝÇ áñ 0)0()0( =ψ=ϕ ¨ 0)(lim)(lim||||

==∞→∞→

tttt

ψϕ , ³å³ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ

ëÏ½µÝ³Ï»ïÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ÏáñÇ ÇÝùÝ³Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï, »Ã» ÁÝ¹áõÝ»Ýù` 0)()( =∞ψ=∞ϕ , 0)()( =−∞=−∞ ψϕ :

ä³ñ½»Ýù ÏáñÇ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÁ: ø³ÝÇ áñ (17) å³ÛÙ³ÝÁ

ï»ÕÇ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ »ñµ 1−→t , ÁÝ¹ áñáõÙ ∞==−→−→

|)(|lim|)(|lim11

tttt

ψϕ , ³å³

ÑÝ³ñ³íáñ ¿ ÙÇ³ÛÝ Ã»ù ³ëÇÙåïáïÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ (26), (27)

98

µ³Ý³Ó¨»ñÇ áõÝ»Ýù`

1lim)()(lim

11−==

ϕψ

=−→−→

tttk

tt,

31

1lim)]()([lim 211

−=+−

=ϕ−ψ=−→−→ tt

ttktbtt

:

Ð»ï¨³µ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ã»ù ³ëÇÙåïáï ¨ Ýñ³ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿`

31

−−= xy :

Î³ï³ñí³Í Ñ»ï³½áïáõÃÛáõÝ»ñÇ ÑÇÙ³Ý íñ³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ùáï³íáñ³å»ë

Ï³éáõó»É (38) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáí áñáßíáÕ ÏáñÁ: ²ÛÅÙ xy′ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ Ñ»ï³-

½áïÙ³Ý ÙÇçáóáí ×ßï·ñï»Ýù ³Û¹ ÏáñÇ §Ñ³Ý·áõÛóÇ¦ ßñç³Ý³ÏÝ»ñÁ: ø³ÝÇ áñ

3

3

21)2(

)()(

ttt

ttyx −

−=

ϕ′ψ′

=′ , ³å³ 0=′xy , »ñµ 0=t , Ï³Ù 3 2=t ¨ ∞=′xy , »ñµ

3/12−=t Ï³Ù ∞=t : Ð»ï¨³µ³ñ, ÏáñÇ (0,0) ¨ )3/4,3/2( 33A Ï»ï»ñáõÙ

ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÝ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é »Ý Ox ³é³ÝóùÇÝ, ÇëÏ )3/2,3/4( 33B ¨

(0,0) Ï»ï»ñáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÝ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é »Ý Oy ³é³ÝóùÇÝ:

ÜÏ³ï»Ýù, áñ ÇÝùÝ³Ñ³ïÙ³Ý (0,0) Ï»ïáõÙ ÏáñÇ »ñÏáõ Ù³ë»ñÝ áõÝ»Ý ï³ñµ»ñ ßáß³÷áÕ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñ (ÝÏ. 15):

343

323

323

x

y

0

ÝÏ.15

A

B

99

6. ²é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹1

1. ú·ïí»Éáí ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ³ßí»É )( 0xf ′ -Ý, »Ã»`

³) 1,13)( 02 =++= xxxxf , µ) 4/,)( 0 π=+= xctgxxxf ,

·) 1,1)( 0 −== xx

xf , ¹) 1,2ln1)( 0 =+= xxxf ,

») 0,)( 03 == xexf x , ½) 0

:0,0,0,/1sin

)( 0

2

=

=≠

= xxxxx

xf ,

¿) 0,),)...(2)(1()( 0 =∈+++= xNnnxxxxxf :

2. ú·ïí»Éáí ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ·ïÝ»É )(xf ′ -Á ¨ ¹ñ³ áñáßÙ³Ý

ïÇñáõÛÃÁ, »Ã»`

³) )1/(1)( 2 += xxf , µ) arctgxxf =)( ,

·) 3)( 2 −= xxf , ¹) )1ln()( 2 −= xxf ,

») kxexf =)( , ½) xxf arcsin)( = :

3. ¶ïÝ»É 0x Ï»ïáõÙ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ¨ Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý ³Í³Ýó-

Û³ÉÝ»ñÁ.

³) 0|,|)( 0 == xxxf , µ) 1|,12|)( 0 =−= xxf x ,

·) 3,,2|,65|)( 002 ==+−= xxxxxf ,

¹) Zkkxxxxf ∈+== ),12/(2|,)/cos(|)( 0π ,

») 1,1),/1arccos()( 00 =−== xxxxf :

4. ¶ïÝ»É )0( +′f -Á ¨ )0( −′f -Á, »Ã»`

³)

>

≤=

:0,ln

,0,)(

3 4 xxx

xxxf µ)

≥+

<+=

:0,1

,0,1)(

3 4

/1

xx

xexf

x

100

5. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ë½Ù³Ý Ï»ïáõÙ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ¨ Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý

³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ.

³)

=

≠−=

:0,1

,0),1(||)(

2

x

xxxx

xf µ)

=≠+

=:0,0

,0),1/(1)(

/1

xxe

xfx

·)

=−≠

=:0,2/,0),/1(

)(xxxarctg

xfπ

¹) signxxxf )1()( 2−= :

6. ¸Çóáõù 0x Ï»ïÁ )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ë»éÇ Ë½Ù³Ý Ï»ï ¿: Ð»ï¨Û³É

³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

xxfxxfxf

xxfxxfxf

x

x

∆−−∆+

=−′

∆−−∆+

=+′

−

+

→∆

→∆

)0()(lim)0(

,)0()(lim)0(

00

00

00

00

ÏáãíáõÙ »Ý 0x Ï»ïáõÙ )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ, ³ç³-

ÏáÕÙÛ³Ý ¨ Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ:

¶ïÝ»É f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ë½Ù³Ý Ï»ïáõÙ ³ç³ÏáÕÙÛ³Ý ¨ Ó³Ë³ÏáÕÙÛ³Ý

ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ.

³) xxxxf /)( 32 += , µ) xxarctgxf

−+

=11)( ,

·) ( )xexf /11/1)( += , ¹) ( )||/1)( xarctgxf = :

7. ²å³óáõó»É, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý 0=x Ï»ïáõÙ ³Í³ÝóÛ³É ãáõÝÇ.

³) 5/2)( xxf = , µ) |)1ln(|)( += xxf ,

·)

=≠

=:0,0,0),/1sin(

)(xxxx

xf ¹)

=≠+

=:0,0

,0),1/()(

/1

xxex

xfx

101

8. ²å³óáõó»É, áñ`

³) »Ã» )()( xfxf −−= , ³å³ )()( xfxf −′=′ ,

µ) »Ã» )()( xfxf −= , ³å³ )()( xfxf −′−=′ ,

·) »Ã» )()( xfTxf =+ , ³å³ )()( xfTxf ′=+′ :

9. ²å³óáõó»É, áñ

>−≤≤<

=:1,1,10,0,0,

)(xxxxx

xf

ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³, µ³Ûó ³Í³Ýó»ÉÇ ã¿

0=x ¨ 1=x Ï»ï»ñáõÙ:

10. ²å³óáõó»É, áñ

−−−

=:,

,,)( 3

3

¿Çé³óÇáÝ³É Á

¿ é³óÇáÝ³ÉÁ

xxxxxf

ýáõÝÏóÇ³Ý Ë½íáÕ ¿ Ãí³ÛÇÝ áõÕÕÇ µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ, µ³ó³éáõÃÛ³Ùµ 0=x Ï»ïÇ,

ÇëÏ 0=x Ï»ïáõÙ ³ÛÝ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿:

11. îñí³Í ¿ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý`

³)

>+≤

=:1,

,1,)(

3

xbaxxx

xf µ)

<+

≥=

:1||,,1|||,|/1

)(2 xbxa

xxxf

a ¨ b ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ )(xf -Á 1=x Ï»ïáõÙ ÉÇÝÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï

¨ ³Í³Ýó»ÉÇ:

12. ÖÇ±ßï ¿, ³ñ¹Ûáù, Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÁ: ºÃ» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ 0x

Ï»ïáõÙ, ³å³ ))}()/1(({ 00 xfnxfn −+ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:

ÖÇ±ßï ¿, ³ñ¹Ûáù, Ñ³Ï³¹³ñÓ åÝ¹áõÙÁ: ¸Çï³ñÏ»É

−−

=: ¿Çé³óÇáÝ³ÉÁ

¿é³óÇáÝ³ÉÁxxxD

,1,,0)(

ýáõÝÏóÇ³Ý 0=x Ï»ïáõÙ:

102

13. ¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ax = Ï»ïáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿: ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ`

³) ))/1()/1((lim nafnafnn

−−+∞→

, µ) n

n afnaf

1

)()/1(lim

+∞→

,

·) ,)),()/()/2()/1((lim Nkakfnkafnafnafnn

∈−++++++∞→

¹) )),()/()/2()/1((lim 222 anfnnafnafnafn

−++++++∞→

») ( )0)(,0)()(lim

lnln1

>>

−

→afa

afxf ax

ax :

¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ (14-16).

14. ³) n

n n

∞→

1coslim , µ) n

n nntg

+

∞→ 4)1(lim π

:

15. ³) ,)()2()1(lim 1

n

m

mmm

nkn

nknnn

−

++++++−∞→

áñï»Õ Nkm ∈, :

µ) ,

21

lim kn

nnn

n anka

na

na

+

+⋅

+

∞→

áñï»Õ 0, >∈ aNk :

16. :0,1211lim 222 >

+

+⋅

+

∞→a

nna

na

na

n

17. ¸Çóáõù 0)0( =f ¨ )(xf -Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ 0=x Ï»ïáõÙ: ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ`

,32

)(1lim0

++

+

+

→ kxfxfxfxf

xx áñï»Õ Nk∈ :

18. ÆÝãåÇëÇ± å³ÛÙ³ÝÇ å»ïù ¿ µ³í³ñ³ñÇ n óáõóÇãÁ, áñå»ë½Ç

=≠

=:0,0,0),/1sin(

)(xxxx

xfn

ýáõÝÏóÇ³Ý` ³) 0=x Ï»ïáõÙ ÉÇÝÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï, µ) 0=x Ï»ïáõÙ ÉÇÝÇ ³Í³Ýó»ÉÇ,

·) 0=x Ï»ïáõÙ áõÝ»Ý³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ³Í³ÝóÛ³É:

103

19. ¸Çóáõù

>+≤

=:,

,),()(

0

0

xxbaxxxxf

xF

áñï»Õ )(xf -Á ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ 0x Ï»ïáõÙ Ó³ËÇó: a -Ý ¨ b -Ý ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ

)(xF ýáõÝÏóÇ³Ý 0x Ï»ïáõÙ ÉÇÝÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ :

20. îñí³Í »Ý )()(1 axaxky <<−∞−= ¨ )()(2 ∞<<−= xbbxky ÏÇë³-

áõÕÇÕÝ»ñÁ: ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ Ï³éáõó»É ))()(( cxbxaxAy −−−= ï»ëùÇ å³-

ñ³µáÉ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ³ÛÝ ÉÍáñ¹Ç ïí³Í ÏÇë³áõÕÇÕÝ»ñÁ:

21. )0|(|||

2

>>= cxx

my ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Éñ³óÝ»É )|(|2 cxbxay ≤+=

ï»ëùÇ å³ñ³µáÉáí ³ÛÝå»ë, áñ ëï³óíÇ ³Ù»Ýáõñ»ù áÕáñÏ Ïáñ (ÏáñÁ ÏáãíáõÙ ¿

áÕáñÏ, »Ã» Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï³Ý»É ßáß³÷áÕ):

22. ³) ¶ñ»É xy /1= ÑÇå»ñµáÉÇ 2/1−=x ³µëóÇë áõÝ»óáÕ Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í

ßáß³÷áÕÇ ¨ ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ:

µ) ¶ñ»É 34 −= xy ÏáñÇ )2,1( − Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ ¨ ÝáñÙ³ÉÇ

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ:

23. ³) xy ln= ÏáñÇ á±ñ Ï»ïáõÙ ï³ñ³Í ßáß³÷áÕÝ ¿. 1) ½áõ·³Ñ»é 1−= xy

áõÕÕÇÝ, 2) áõÕÕ³Ñ³Û³ó 132 =+ yx áõÕÕÇÝ:

µ) Î³½Ù»É 142 ++= xxy å³ñ³µáÉÇ ³ÛÝ ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÝ

áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¿ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïÇ ¨ å³ñ³µáÉÇ ·³·³ÃÁ ÙÇ³óÝáÕ

áõÕÕÇÝ:

24. ³) ²å³óáõó»É, áñ 12

2

2

2

=+by

ax

¿ÉÇåëÇ ),( 00 yx Ï»ïáõÙ ï³ñ³Í

ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ 120

20 =+

byy

axx

ï»ëùÁ:

104

µ) ²å³óáõó»É, áñ 12

2

2

2

=+by

ax

¿ÉÇåëÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ ï³ñ³Í

ÝáñÙ³ÉÁ ÏÇëáõÙ ¿ ³Û¹ Ï»ïÇ ß³é³íÇÕ-í»ÏïáñÝ»ñÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ:

ú·ïí»Éáí ³Ûë ÷³ëïÇó, ï³É ¿ÉÇåëÇ ïñí³Í Ï»ïáõÙ ßáß³÷áÕÇ Ï³éáõóÙ³Ý

»Õ³Ý³Ï:

25. ³) ²å³óáõó»É, áñ pxy 42 = å³ñ³µáÉÇ »ÝÃ³ßáß³÷áÕÁ å³ñ³µáÉÇ

·³·³Ãáí ÏÇëíáõÙ ¿ ¨ Ýñ³ »ÝÃ³ÝáñÙ³ÉÁ Ñ³ëï³ïáõÝ ¿ áõ Ñ³í³ë³ñ ¿ p2 -Ç:

µ) ²å³óáõó»É, áñ )0( >= maxy m ÏáñÇ ),( 00 yx Ï»ïÇ »ÝÃ³ßáß³÷áÕÁ

Ñ³í³ë³ñ ¿ mx0 : ú·ïí»Éáí ³Û¹ ÷³ëïÇó, ï³É ³Û¹ ÏáñÇÝ ßáß³÷áÕ Ï³éáõó»Éáõ

»Õ³Ý³Ï:

26. ³) ÆÝãåÇëÇ± ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ï³Ï »Ý Ñ³ïíáõÙ 2xy = å³ñ³µáÉÁ ¨

023 =−− yx áõÕÇÕÁ:

µ) ÆÝãåÇëÇ± ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ï³Ï »Ý Ñ³ïíáõÙ 2xy = ¨ xy =2 å³ñ³µáÉÝ»ñÁ:

27. ³) ¶ïÝ»É x -Ç µáÉáñ ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý

xy 5cos3= ¨ 23cos5 += xy ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇ Ï»ï»ñáõÙ ï³ñí³Í

ßáß³÷áÕÝ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é »Ý:

µ) ¶ïÝ»É ³ÛÝ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ )0,4/1(D Ï»ïáí,

ßáß³÷áõÙ ¿ 2/53 −= xy ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ¨ Ñ³ïáõÙ ¿ xxy 62 +=

å³ñ³µáÉÁ »ñÏáõ ï³ñµ»ñ Ï»ï»ñáõÙ:

28. ³) 4Ï· ½³Ý·í³Í áõÝ»óáÕ Ù³ñÙÇÝÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ áõÕÕ³·ÇÍ 221)( ttts ++=

ûñ»Ýùáí, áñï»Õ s -Á ×³Ý³å³ñÑÝ ¿ ë³ÝïÇÙ»ïñ»ñáí, ÇëÏ t -Ý Å³Ù³Ý³ÏÝ ¿

í³ÛñÏÛ³ÝÝ»ñáí: àñáß»É Ù³ñÙÝÇ ÏÇÝ»ïÇÏ ¿Ý»ñ·Ç³Ý ß³ñÅÙ³Ý ëÏ½µÇó 3

í³ÛñÏÛ³Ý Ñ»ïá:

µ) Î»ïÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ 234 16441)( tttts +−= ûñ»Ýùáí: ä³ñ½»É, ³ÛÝ Ï³Ý· ¿

³é»É ×³Ý³å³ñÑÇ±Ý, Ã»± áã: ºÃ» Ï³Ý· ¿ ³é»É, ³å³ Å³Ù³Ý³ÏÇ á±ñ å³ÑÇÝ:

105

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹2

¶ïÝ»É ïñí³Í ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ: Üßí³Í Ï»ïáõÙ ·ïÝ»É ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ³ñÅ»ùÁ (1-28)

1. ³) 23 2 )14( += xey xarctg ,

µ) )1(2

1)1ln(41)1ln(

21

242

xxxy

+−+−+= ,

·) ||

arcsin22

222

axaxaxy +−= , ¹)

2xxy = ,

») 6

),cos(sin2sin12cos3 π=+−−= xxxxxy :

2. ³) 3 32 32)1( xxxy +++= ,

µ) xxx

xx eearctg

eeey −++

=1

arcsin ,

·) )1ln( 42 ++= xxy , ¹) ||ln)(sin xxy = ,

») 1,lncos3 5 3 == xxarctgy :

3. ³) xxxtgxxtgy 5cos)13sin(31 3 −++−= ,

µ) 33

3

11

xxy

+−

= , ·) xxy ln/7= ,

¹) xxxarctgxyy cos2 2sinsin2)sin1ln( +−+== ,

») 1),1/()1arcsin( 22 −=+−= xxxey x :

4. ³) )2/(ln)sin1ln( xtgxctgxxy −++= ,

µ) 2

sin1arcsin2sin2cos2sin3 2 xxxxy +

+−−

= ,

·) xxy = , ¹) xthechxxshxy 2+−= ,

106

») 2,0)),1/(2arccos( 2 ==+= xxxxy :

5. ³) )32sin(41

23cos

+−= xxy , µ) xxxy = ,

·) )10(11ln

111ln

11

<<−

+−

+−+

−= k

kxkx

kk

xx

ky ,

¹) xxxxxy 2arcsin12)(arcsin 22 −−+= ,

») 0)],[ln(arcsin 332 =+= xxay :

6. ³) 3

111xxx

y ++= , µ) xxy )(cos 3= ,

·) shxeeey xxx lnarcsin1 2 ++−= ,

¹) )1ln(arccos44 2 xxxxy +++−= ,

») 2/),sin1ln(sin 2 π=++= xxxy :

7. ³)

+−+=

xxxxy 1331)1(

3

3 ,

µ) 22 cos/)sin1( xxy += , ·) 2/1 xx exy −+= ,

¹)2

2

11

11ln21arccos

xx

xxy

−+

−−+= ,

») exexxxxy xex =+−= ,logln)log(lnln :

8. ³) 3 35 sinln

1xarctge

xxy ++

= ,

µ) )15(cos51cos

32cos 523 +++= xxxy ,

·) )13(log 22

2 += xey x , ¹) xxy sin)(cos= ,

») 2),1/(2arcsin( 2 =+= xxxy :

107

9. ³) |sin|ln xy = , µ) )(1 22 −++= xxtgy ,

·) )1()cosarcsin(sin 244 xarctgxxy ++−= ,

¹) xxxx earctgeexy −++−= 21ln ,

») αααα

α=

−+

⋅−−+

= xxxctg

xxy ,

cos1cos1ln

11ln

sin1

:

10. ³) 22 cossin xxxy+

= , µ) xexy = ,

·) 132

2

)1(4122442ln +−++

++++

= xexarctgxxxxy ,

¹) xarctgxxy 2)sin(arcsin 2 += ,

») 1,2

arcsin44 2 =+−= xxxxy :

11. ³) )](lnln[ln 32 xy = , µ) xxx xxxy ++= ,

·) 22

arcsin2

11 xx exctgey +

++= ,

¹)1sin

sinln1sin

14

4

4 ++

+=

xx

xy ,

») 0),2coscos2ln( =+= xxxy x :

12. ³) 32 )1()1( xxxy+−

= , µ) 3 2ln2

xey x += − ,

·) 3

11

xx

ey +−

= , ¹)chxshxy

+−

=11ln ,

») 0,coscos1

sinsinarcsin =

−= x

xxy

αα

:

108

13. ³) 3

1463

421)21(ln

121

81 2

2

3

−+

+−+

++

−=xarctg

xxx

xxy ,

µ) 35 2 4

5

+

−=

xxy , ·)

)coscos(1

xxy

−= ,

¹) 1ln121

222

2

+++++= xxxxxy ,

») 21,arcsin6)4132ln(2 2 =−−−= xxxxy :

14. ³) 5 3)1( xxey += , µ) 2)2(xctg

xtgy = ,

·) 3

1221111ln −

+−++

−−+=

xarctgxxxxy ,

¹) xx

x

x

x

aarctgaa

aay −

+−

−+

= 2

2

2 11

1,

») 0),cossin3(ln3 =+⋅= − xxxy x :

15. ³) 13 5 2xxxy += , µ) )]nsin[sin(si xy = ,

·) 2

1arcsin2212

3 2 xxxxy ++−−

−= ,

¹)2

22

11

11ln21

11ln1

xx

xxxy

−+

−−+

+−

−= ,

») axxaaxxyxxa xax =>>++= ),0,0(, :

16. ³) x

y ncos1

= , µ) xtg

y1

2= ,

·) xxxarctgy ln)1(1 21

22 −−−−= ,

109

¹) exex xx eexxy log/21ln1logln/2 2 ++ +−= ,

») 1),1/()1( 22 =+−−+= xxxxxy :

17. ³)

−+

=xxxxarcctgy

cossincossin

, µ) 4

11

chxshxy

++

= ,

·) ]2/1)ln(arccos)(arccos[ln)(arccos 22 +−= xxxy ,

¹) xtgxx xey 106911 5 913

++= + ,

») 0,)1(2cos2 =+= xxy x :

18. ³) 11arccos 2

2

+−

= n

n

xxy , µ) n

dcxbaxy

++

= ,

·) thxthxthxy

2121ln

82

21

−

++= ,

¹) xxxy 277 sin)1ln(72

+++= ,

») 30,logloglog 532 == xxy :

19. ³) xy cos3= , µ) 22 )1( +⋅= xx eearcctgy ,

·) )1sin(ln 2

22+++

+

+= x

bxarctg

ba

bxaxy ,

¹) )1(11

3

2++

−+= xsh

xxarctgy ,

») 0,)16(

)13)(1(ln 3523

72

=+

++= x

exxxy xtg :

20. ³) 32cos xy = , µ) xx xy cos2 ⋅= ,

·) )ln( 4222422 xaxaxaxy ++++= ,

110

¹)3 3sin xearctgey = ,

») 41,2arcsin

21 4 2 =+= xxxy :

21. ³) xx eey 2cos2 −−= , µ) )12( 23 −+= xxtgy ,

·) )1arcsin(1 32 xxxy −−+= ,

¹) 144log)2/1(log 22

22/1 +−+−= xxxy ,

») 4

,)(cos2

ln sin π=+= xxxtgy x :

22. ³) )1(4

13

1 32

2 xtgxctgxctgy +++

++

= ,

µ) 3 3cos2222 )6()2( xexxy +−= ,

·) xxy sin= , ¹)x

arctgy+

=1

1ln ,

») 3,3ln3

32 2 =++= xxxarctgy :

23. ³)

+=

2sin

4ln xtgy π

, µ) )1ln( 2 ++= xxey ,

·) )(sin 2122 xey x += − , ¹)3

)( xtgxy = ,

») 21),12(1 2 −=++−= xxsheey xx :

24. ³) 4)( xbay += , µ) tgxxxey x ⋅−= lnsin ,

·) tgxy lnln= , ¹) 12

)12( +−== xxyy ,

111

») 1,3

123

81

252 =

++

+++

= xxarctgxx

xy :

25. ³) q

p

xxy

)1()1(

+−

= , µ) 2

ln2

2

2 xthxsh

chxy −= ,

·) 3

2131

1ln3 2

3 43 2

3 2 xarctgxx

xy ++

++

−= ,

¹) xn nxxy2sin3coscos +⋅= ,

») 2

,sin π=

= x

xxy

x

:

26. ³) xxy cos)(sin= , µ) axarctgy

2

= ,

·) x

tgxxy2sinln

ln2

22

= , ¹) 12 4sin)6( 22 xxey −= ,

») abxxb

bxby =−−= ,arcsin 22 :

27. ³) )2(secln32 xy = , µ) xey 2arcsin= ,

·) )]1[ln( 2 ++= xxshy , ¹) xxy1

)(cos= ,

») 3,3ln3

32 2 =++= xxxarctgy :

28. ³) )cos(ln shxarctgy = , µ) xxy ln/2= ,

·) 233 arcsin)12( xxxxarctgy ++−= ,

¹) )4(log 4 += xy x , ») 0,sin1

15

3=

+

−= xx

xxy :

112

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹3

1. ³) ²å³óáõó»É, áñ 13)( 23 −+= xxxf ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ Ãí³ÛÇÝ

áõÕÕÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ï»ïáõÙ:

µ) ²å³óáõó»É, áñ

<+≥

=:0,

,0,)(

2 xxxxarctgx

xf

ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ Ãí³ÛÇÝ áõÕÕÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ï»ïáõÙ:

2. ³) ¶ïÝ»É 5011,0arcsin ÃíÇ Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÁ:


=

≠−

−=

:4,0

,4,4

1)4()(

x

xx

arctgxxf

ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ã¿ 4=x Ï»ïáõÙ:

3. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ¿ x Ï»ïáõÙ, ³å³

)(~)( xdfxf∆ , »ñµ 0→∆x :


=

≠=

:0,0

,0,1sin)(

2

x

xx

xxf

ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ 0=x Ï»ïáõÙ: Ð³Ùá½í»É, áñ )(lim0

xfx

′+→

¨ )(lim0

xfx

′−→

ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý:

4. ³) ¶ïÝ»É 203,3 2 − ÃíÇ Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÁ:

µ) ¸Çóáõù

<≥

=:),(,),()(

axxhaxxgxf

Æ±Ýã å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ å»ïù ¿ µ³í³ñ³ñ»Ý g ¨ h ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ, áñå»ë½Ç f

ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ ³Í³Ýó»ÉÇ Ãí³ÛÇÝ áõÕÕÇ íñ³:

113

5. ³) ¶ïÝ»É xtgxxy 22 )1( +−= ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ:

µ) a ¨ b Ãí»ñÁ ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ

>++≤

=−

:0,,0,

)(2 xbaxx

xexf

x


6. ³) ¶ïÝ»É 4450 ′tg ÃíÇ Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÁ:

µ) ¶ïÝ»É )0(f ′ -Ý, »Ã» )cos1(||)( xxxf −= :

7. ³) ¶ïÝ»É )4()2()3()( 32 −−−= xxxxf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÁ

001,4=x Ï»ïáõÙ:

µ) ¶ïÝ»É )0(f ′ -Ý, »Ã»

=

≠=

:0,0

,0,5sinsin)(

4

x

xx

xxf

8. ³) ¶ïÝ»É xxarctgxf ln)( = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ ,ex =

1−= ex Ï»ï»ñáõÙ:

µ) ¶ïÝ»É )0(f ′ -Ý, »Ã»

=

≠+=

:0,0

,0,23

4cos)(

2

x

xxx

xxf

9. ³) ²å³óáõó»É, áñ 0x -Ç Ñ³Ù»Ù³ïáõÃÛ³Ùµ ÷áùñ µáÉáñ x∆ -»ñÇ Ñ³Ù³ñ

Çñ³í³óÇ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ùáï³íáñ Ñ³ßíÙ³Ý µ³Ý³Ó¨Á`

0, 00

000 >∆+≈∆+ xx

nxx

xxxn

nn :

ú·ïí»Éáí ³Û¹ µ³Ý³Ó¨Çó, Ùáï³íáñ Ñ³ßí»É 3 200 ÃÇíÁ:

114

µ) 2211 ,,, baba Ãí»ñÁ ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ

>+

≤≤−

−<+

=

:2

,

,22

,cos

,2

,

)(

22

11

π

ππ

π

xbxa

xx

xbxa

xf


10. ³) ¶ïÝ»É 2xxy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ 2=x Ï»ïáõÙ:


>+≤≤−

−<+=

:1,,11,sin

,1,)(

22

2

11

xbxaxxxxbxa

xf π


11. ³) ¶ïÝ»É 2=R ß³é³íÇÕ áõÝ»óáÕ ·Ý¹Ç V Í³í³ÉÇ ³×Á` V∆ -Ý, »Ã» Ýñ³

ß³é³íÇÕÁ ÷áËíáõÙ ¿ R∆ -áí: Ð³ßí»É V∆ -Ý, »Ã» R∆ = 0,5; 0,1; 0,01:

ÆÝãåÇëÇ±Ý ÏÉÇÝÇ V∆ ³×Ç µ³ó³ñÓ³Ï ëË³É³ÝùÁ, »Ã» ³ÛÝ ÷áË³ñÇÝ»Ýù R∆ -Ç

³é³çÇÝ ³ëïÇ×³Ý å³ñáõÝ³ÏáÕ ³Ý¹³Ùáí:


>+−≤≤−−<++

=:1,)2(

,11,,1,)2(

)(

22

2

12

1

xbxaxxarctgxxbxa

xf


12. ³) ¶ïÝ»É 4 3)1( += xy ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ 1=x Ï»ïáõÙ:


115

>+

≤≤

<+

=

:,

,1,ln

,1,

)(

22

2

12

1

exbxa

exe

xx

exbxa

xf


13. ³) ¶ïÝ»É 32)( 23 ++−= xxxxf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ »ñÏáõ »Õ³-

Ý³Ïáí. 1) áñå»ë ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×Ç ·ÉË³íáñ Ù³ë, 2) ³Í³ÝóÛ³ÉÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ:

Ð³Ù»Ù³ï»É ëï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ: Î³ñá±Õ »Ý Ýñ³Ýù ÉÇÝ»É Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ:

¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ Ñ³ßíÙ³Ý á±ñ »Õ³Ý³ÏÝ ¿ ³í»ÉÇ å³ñ½:

µ) ¶ïÝ»É ÷áùñ³·áõÛÝ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÛÝåÇëÇ )(xg µ³½Ù³Ý¹³Ù, áñ`

<

≥+=

:1||),(

,1||,4

5)( 2

xxg

xx

xxf

ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ` 1) ³ÝÁÝ¹Ñ³ï Ãí³ÛÇÝ áõÕÕÇ íñ³, 2) ³Í³Ýó»ÉÇ Ãí³ÛÇÝ áõÕÕÇ

íñ³:

14. ³) ¸Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ, Ùáïáíáñ Ñ³ßí»É ßñç³Ý³ÛÇÝ ûÕ³ÏÇ

Ù³Ï»ñ»ëÁ, áñÁ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ïí³Í ¿ 4ëÙ ¨ 8,02ëÙ ß³é³íÇÕÝ»ñ áõÝ»óáÕ

ßñç³Ý³·Í»ñáí:

µ) ¶ïÝ»É ÷áùñ³·áõÛÝ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÛÝåÇëÇ )(xg µ³½Ù³Ý¹³Ù, áñ`

>≤

=−

:1||),(,1||,

)(22

xxgxex

xfx

ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ` 1) ³ÝÁÝ¹Ñ³ï Ãí³ÛÇÝ áõÕÕÇ íñ³, 2) ³Í³Ýó»ÉÇ Ãí³ÛÇÝ áõÕÕÇ

íñ³:

15. ³) ¶É³ÝÁ, áñÇ ïñ³Ù³·ÇÍÁ 10ëÙ ¿, ÇëÏ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ 20ëÙ, ÑÕÏÙ³Ý

ÁÝÃ³óùáõÙ Çñ ½³Ý·í³ÍÇó Ïáñóñ»É ¿ 2·: ÆÝãù³Ýá±í ¿ ÷áËí»É Ýñ³ ïñ³Ù³·ÇÍÁ,

»Ã» ÝÛáõÃÇ ËïáõÃÛáõÝÁ, áñÇó å³ïñ³ëïí³Í ¿ ·É³ÝÁ, Ñ³í³ë³ñ ¿ 2,5·/ëÙ3:

µ) ¶ïÝ»É )( −′ xf -Á ¨ )( +′ xf -Á, »Ã» |sin|)( xxxf = :

116

16. ³) ¶ïÝ»É xxxxf cossin)( −= ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ:

µ) ¶ïÝ»É )( −′ xf -Á ¨ )( +′ xf -Á, »Ã» 2

2

11arccos)(

xxxf

+−

= :

17. ³) Ð³ßí»É )(xdf -Á, »Ã» 2,0,1,623)( 211

==++=−

dxxxf xxx :

µ) ¶ïÝ»É )( −′ xf -Á ¨ )( +′ xf -Á, »Ã»

=

≠−=

:0,0

,0,12)(

1

x

xxxf x

18. ³) 5ëÙ ÏáÕÙ áõÝ»óáÕ Ëáñ³Ý³ñ¹Á Ñ³í³ë³ñ³å»ë ÑÕÏ»É »Ý µáÉáñ

ÏáÕÙ»ñÇó, áñÇ Ñ»ï¨³Ýùáí Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÏáÕ ÷áùñ³ó»É ¿ 0,0018ëÙ-áí:

¸Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ Ñ³ßí»É Ëáñ³Ý³ñ¹Ç Ùáï³íáñ Í³í³ÉÁ ÑÕÏáõÙÇó

Ñ»ïá:

µ) ¶ïÝ»É )( −′ xf ¨ )( +′ xf , »Ã»

=

≠=

:0,0

,0,1cosarcsin)(

x

xx

xxf

19. ³) r ß³é³íÕáí ßñç³ÝÇ S Ù³Ï»ñ»ëÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 2rπ : ¶ïÝ»É Ù³Ï»ñ»ëÇ

³×Ý áõ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ ¨ ï³É Ýñ³Ýó »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ù»ÏÝ³µ³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

µ) ¶ïÝ»É )( −′ xf -Á ¨ )( +′ xf -Á, »Ã» 2

arcsin)( xexf −= :

20. ³) ¶ïÝ»É xxy −+= 22arcsin ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ:

µ) ¶ïÝ»É )( −′ xf -Á ¨ )( +′ xf -Á, »Ã» 21arccos)( xxf −= :

21. ³) r ß³é³íÕáí ·Ý¹Ç V Í³í³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 3

34 rπ : ¶ïÝ»É Í³í³ÉÇ ³×Ý

áõ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ ¨ ï³É ¹ñ³Ýó »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ù»ÏÝ³µ³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

µ) p -Ý ¨ q -Ý ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ

)0(:0,0

,0,||

cos||)( >

=

≠= q

x

xx

xxf q

p π

ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ` 1) ³ÝÁÝ¹Ñ³ï 0=x Ï»ïáõÙ, 2) ³Í³Ýó»ÉÇ 0=x Ï»ïáõÙ:

117

22. ³) ¶ïÝ»É

x

x

xxd 22

¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ 2=x Ï»ïáõÙ:


=

≠−+

=:1,0

,1,11

)(x

xxxarctg

xf

ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ã¿ 1=x Ï»ïáõÙ: Ð³Ùá½í»É, áñ )(lim1

xfx

′−→

¨ )(lim1

xfx

′+→

ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ¨ Ñ³í³ë³ñ »Ý:

23. ³) ú·ïí»Éáí ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÇó, Ñ³ßí»É +−= 45 2xxy

643 23 +−+ xx ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÁ 001,1=x Ï»ïáõÙ:

µ) a -Ý ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ

=

≠=

:0,

,0,sin)(

xa

xx

xxf

ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï 0=x Ï»ïáõÙ: ¶ïÝ»É )0(f ′ -Ý, »Ã» f -Á ³Í³Ýó»ÉÇ

¿ 0=x Ï»ïáõÙ:

24. ³) Ø³ñÙÇÝÝ ³½³ï ÁÝÏÝáõÙ ¿ 2

21 gtS = ûñ»Ýùáí: Ð³ßí»É t å³ÑÇÝ Ýñ³

³×Ý áõ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ ¨ ï³É ¹ñ³Ýó Ù»Ë³ÝÇÏ³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ:


=

≠−

=:0,

,0,1)(

xa

xx

exf

x



25. ³) Ð»ï³½áï»É |sin|)( xxf = ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛ³Ý ¨ ¹Çý»ñ»Ý-

ó»ÉÇáõÃÛ³Ý ³éáõÙáí:

118


=

≠−=

:0,

,0,1)(

xa

xctgxxxf



26. ³) ²å³óáõó»É, áñ )1(3)( −= xxf ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çý»ñ»Ýó»ÉÇ ã¿ 1=x

Ï»ïáõÙ:

µ) ¶ïÝ»É )0(f ′ -Ý, »Ã»

=

≠+=

:0,1

,0,sin)(

x

xxx

xxf

27. ³) üáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×Á ÷áË³ñÇÝ»Éáí ¹Çý»ñ»ÝóÇ³Éáí, ·ïÝ»É 3 02,1 ÃíÇ

Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÁ:

µ) ¶ïÝ»É )0(f ′ -Ý, »Ã»

−=−

−≠++

+=

:1,2

,1,21

1)1()(

2

x

xxx

arctgxxf

28. ³) ²å³óáõó»É, áñ |cos|)( xxf = ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ã¿ 2/π=x

Ï»ïáõÙ:


=

≠=

:0,0

,0,1)(

x

xx

arctgxf

ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ã¿ 0=x Ï»ïáõÙ:

119

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹4

1. ³) ¶ïÝ»É )()( xy n , »Ã» axexy =)( :

µ)²å³óáõó»É, áñ axBaxAy sincos += ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

02 =+′′ yay Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

·) ¶ïÝ»É 3xy ′′′ , »Ã» 32 ttx −= , 33 tty −= :

2. ³) ¶ïÝ»É )()( xy n , »Ã» 34

1)( 2 +−=

xxxy :

µ) ²å³óáõó»É, áñ axax BeAey −+= ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 02 =−′′ yay

Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

·) ¶ïÝ»É 2xy ′′ , »Ã» tx cosln= , ty 2cosln= :

3. ³) ¶ïÝ»É )()( xy n , »Ã» x

xy21

1)(−

= :

µ) ²å³óáõó»É, áñ xexBxAy −+= )3sin3cos( ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

0102 =+′+′′ yyy Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

·) ¶ïÝ»É 2xy ′′ , »Ã» tax cos= , tby sin= :

4. ³) ¶ïÝ»É )()( xy n , »Ã» 5 1

1)(x

xy−

= :

µ) ²å³óáõó»É, áñ x

BeAey xx 1−+= − ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

32 /)2( xxyy −=′−′′ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

·) ¶ïÝ»É 2xy ′′ , »Ã» ttx sin)cos1( 2+= , tty cossin2= :

5. ³) xxy 2sin)( = : ¶ïÝ»É )()( xy n :

µ)²å³óáõó»É, áñ xx eey sincos1 ++= ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

02 =+′−′′ yeyy x Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

·) tttytttx chsh,shch −=−= : ¶ïÝ»É 2xy ′′ :

120

6. ³) xxy 3sin)( = : ¶ïÝ»É` )()( xy n :

µ) ²å³óáõó»É, áñ 102 )1( xxy ++= ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

0100)1( 2 =−′+′′+ yyxyx Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

·) tttytttx shch,chsh +=+= : ¶ïÝ»É` 2xy ′′ :

7. ³) xxy 3cos)( = : ¶ïÝ»É` )()( xy n :

µ) ²å³óáõó»É, áñ xey arcsin10= ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

0100)1( 2 =−′−′′− yyxyx Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

·) tt etytex )1(),1/( −=+= : ¶ïÝ»É` 2xy ′′ :

8. ³) bxaxy sinsin= : ¶ïÝ»É` )()( xy n :

µ) ²å³óáõó»É, áñ )arccos10cos( xy = ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

0100)1( 2 =+′−′′− yyxyx Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

·) ttgtytx −== ,cos/1 : ¶ïÝ»É` 2xy ′′ :

9. ³) xxy 44 sincos += : ¶ïÝ»É` )()( xy n :

µ) ²å³óáõó»É, áñ 121

43, 243 ++=+= ttyttx å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ï»ëùáí

ïí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 1)31( 2 =′+′′ yy Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

·) 5)5()( += xxf : ¶ïÝ»É` )1(3 fd :

10. ³) xexxy −++= )22( 2 : ¶ïÝ»É` )()( xy n :

µ) ²å³óáõó»É, áñ )4/()3( +−= xxy ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

yyy ′′−=′ )1(2 2 Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

·) )cos1(),sin( ϕϕϕ −=−= ayax : ¶ïÝ»É` 2xy ′′ :

11. ³) xey

x

= : ¶ïÝ»É` )()( xy n :

µ) ²å³óáõó»É, áñ xx eey −+= ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

041

21

=−′+′′ yyyx Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

121

·) taytax 33 sin,cos == : ¶ïÝ»É` 3xy ′′′ :

12. ³) ²å³óáõó»É, áñ nxy )1( 2 −= ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

0)1(2)1( )()1()2(2 =+−+− ++ nnn ynnxyyx Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

µ) )1ln(,arcsin 2tytx −== : ¶ïÝ»É` 2xy ′′ :

·) axkexxf =)( : ¶ïÝ»É` )0()(nf :

13. ³) ¸Çóáõù n

xnx

n dxedexP

22

)(−

= : ²å³óáõó»É , áñ`

1) )(2)( 1 xnPxP nn −−=′ , 2) 0)(2)(2)( 11 =++ −+ xnPxxPxP nnn ,

3) 0)(2)()( 11 =+′− −− xxPxPtP nnn :

µ) )1ln()123( 2 +++= xxxy : ¶ïÝ»É` )()( xy n :

·) tt etyetx 222 ,)1( =+= : ¶ïÝ»É` 2xy ′′ (1,0) Ï»ïáõÙ:

14. ³) xxxy 2cossin= : ¶ïÝ»É` )1()100(y :


=≠=

−

:0,0,0,)(

21

xxexf

x

ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ µáÉáñ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ 0=x Ï»ïáõÙ: Î³éáõó»É ³Û¹

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ:

·) 2uy = : ¶ïÝ»É` yd10 , »Ã» )(xuu = ýáõÝÏóÇ³Ý 10-³Ý·³Ù ³Í³Ýó»ÉÇ

ýáõÝÏóÇ³ ¿:

15. ³) xey x cos= : ¶ïÝ»É` )(xyIV :

µ) ²å³óáõó»É, áñ )arcsinsin( xny = ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

0)1( 22 =+′−′′− ynyxyx Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

·) ¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¨ ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ];[ 0x−∞

ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: ÆÝãåÇëÇ±ù å»ïù ¿ ÉÇÝ»Ý a -Ý, b -Ý ¨ c -Ý, áñå»ë½Ç

122

>+−+−

≤=

:,)()(,),(

)(00

20

0

xxcxxbxxaxxxf

xF

ýáõÝÏóÇ³Ý ÉÇÝÇ ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ:

16. ³) Î»ïÇ ß³ñÅÙ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ ,cos3sin4 ttx ωω −=

tty ωω cos4sin3 += (ω -Ý ë¨»éí³Í ¿): ¶ïÝ»É ß³ñÅÙ³Ý Ñ»ï³·ÇÍÁ, ³ñ³-

·áõÃÛáõÝÁ ¨ ³ñ³·³óáõÙÁ:

µ) x

xy−+

=1

1: ¶ïÝ»É` )()100( xy :

·) ä³ñ½»É )(xfy = ýáõÝÏóÇ³Ý 0=x Ï»ïáõÙ ÙÇ±Ýã¨ áñ »ññáñ¹ Ï³ñ·Ç

³Í³ÝóÛ³É áõÝÇ: Ð³ßí»É ³Û¹ Ï»ïáõÙ µáÉáñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ:

≥−+<−

=:0,)1ln(,0,cos1)(

xxxxxxf

17. ³) ( )22 11)( −+−= xxxf : ¶ïÝ»É` )0(8 fd :

µ) ²å³óáõó»É, áñ å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ï»ëùáí ïñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý` ,cos tex t=

4/4/,sin ππ <<−= ttey t µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ )(2)( 2 yyxyyx −′=′′− Ñ³í³-

ë³ñÙ³ÝÁ:

·) ¶ïÝ»É 2sin xy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÁ ÁÝ¹áõÝ»Éáí`

1) x -Á ýáõÝÏóÇ³ ¿ Ù»Ï ³ÛÉ ³ÝÏ³Ë ÷á÷áË³Ï³ÝÇó; 2) x -Á ³ÝÏ³Ë ÷á÷á-Ë³Ï³Ý ¿:

18. ³) )lnsinln(cos xxxy += : ¶ïÝ»É` yd 2 :

µ) ²å³óáõó»É, áñ xey x sin−= ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 022 =+′+′′ yyy


·) xxy

+−

=11

: ¶ïÝ»É` )()( xy n :

19. ³) xxy = : ¶ïÝ»É` yd 2 :

µ) ²å³óáõó»É, áñ xey x sin= ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 022 =+′−′′ yyy


·) 2

2

11

xxy

−+

= : ¶ïÝ»É` )()( xy n :

123

20. ³) xay = : ¶ïÝ»É` )()( xy n :

µ) 33 1,1 tytx −=−= : ¶ïÝ»É` xy′ :

·) ¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý »é³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿: ¶ïÝ»É`` y ′′ -Á ¨ y ′′′ -Á, »Ã»

)( 2xfy = :

21. ³) xnexy = : ¶ïÝ»É` yd n :

µ) ²å³óáõó»É, áñ â»µÇß¨Ç µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ` )arccoscos(21)( 1 xmxT mm −

=

,...)2,1( =m µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý 0)()()()1( 22 =+′−′′− xTmxTxxTx mmm Ñ³í³ë³ñ-

Ù³ÝÁ:

·) taytax sh,ch == : ¶ïÝ»É` 3xy ′′′ :

22. ³) 232

232

2

−+−

=xxxy : ¶ïÝ»É` )()( xy n :

µ) â»µÇß¨-È³·»ñÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨áí`

,...)2,1,0(,)()( )( == − mexexL mxmxm :

¶ïÝ»É )(xLm µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ µ³ó³Ñ³Ûï ï»ëùÁ: ²å³óáõó»É, áñ )(xLm -Á

µ³í³ñ³ñáõÙ ¿` 0)()()1()( =+′−+′′ xmLxLxxLx mmm Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

òáõóáõÙ: ú·ïí»É 0)( =−+′ umxux Ñ³í³ë³ñáõÙÇó, áñï»Õ xmexu −= :

·) 1

,1

2 22

−=

−−

=tty

tttx : ¶ïÝ»É` 2xy ′′ (0,4) Ï»ïáõÙ:

23. ³) xxy αsin3= : ¶ïÝ»É` )()( xy n :

µ) 2

2

11ln

xxy

+−

= , áñï»Õ tgtx = : yd 2 ³ñï³Ñ³Ûï»É 1) x -áí ¨ dx -áí; 2) t -áí

¨ dt -áí:

·) ÎÇñ³é»Éáí È³ÛµÝÇóÇ µ³Ý³Ó¨Á` óáõÛó ï³É, áñ )arcsincos( xmy =

ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 0)()12()1( )(22)1()2( =+++−− ++ nnnn ynmxynyx


124

24. ³) 3,,sin txazzy x === : yd 2 -Á ³ñï³Ñ³Ûï»É 1) z -áí ¨ dz -áí; 2) x -

áí ¨ dx -áí; 3) t -áí ¨ dt -áí:

µ) ²å³óáõó»É, áñ 2)(arcsin xy = ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ −− + )1(2 )1( nyx

0)1()12( )1(2)( =−−−− −nn ynxyn Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ: ¶ïÝ»É` )0(),...,0(),0( )(nyyy ′′′ :

·) tatytatx sin,cos == : ¶ïÝ»É` 2xy ′′ :

25. ³) ²å³óáõó»É, áñ )4/()3( +−= xxy ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

yyy ′′−=′ )1(2 2 Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

µ) )ln( baxy += : ¶ïÝ»É` )()( xy n :

·) tytctgtx sin),2/(lncos =−= : ¶ïÝ»É` 3xy ′′′ :

26. ³) ²å³óáõó»É, áñ tAtyBtAtx +=+= 32 2,ln3 ýáõÝÏóÇ³Ý, áñï»Õ A -Ý

¨ B -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 2)23( yyyy ′=′′′−


µ) 1242 −−

=xx

xy : ¶ïÝ»É` )()( xy n :

·) ¶ïÝ»É ktjtbitata ++= ωω 22 cossin)( í»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ

¨ ·ñ»É ¹ñ³ Ñá¹á·ñ³ýÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ïáõÙ ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ:

27. ³) xarctgxf 2)( = : ¶ïÝ»É` )0()10(f :

µ) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» )()( xf n -Á ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, ³å³

−

=

+−

xf

xxfx n

n

nn

n 1)1(1 )(1

)(

1 :

·) ²å³óáõó»É, áñ ktytx sin,sin == ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

0)1( 22 =+′−′′− ykyxyx Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

28. ³) 32 , btyatx == : ¶ïÝ»É` 2yx ′′ :

µ) xy 4cos= : ¶ïÝ»É` )()( xy n :

·) Î»ïÁ )sin( αω += − tAex kt ûñ»Ýùáí Ï³ï³ñáõÙ ¿ Ù³ñáÕ ï³ï³ÝáõÙÝ»ñ:

ÆÝãåÇëÇ± Ï³å ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ¹ñ³ x Ïááñ¹ÇÝ³ïÇ, v ³ñ³·áõÃÛ³Ý ¨ a ³ñ³-

·³óÙ³Ý ÙÇç¨:

125

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹5

1. ³) òáõÛó ï³É, áñ

=

≠=

:0,0

,0,sin)(

x

xx

xxf

π

ýáõÝÏóÇ³Ý ]1;0[ Ñ³ïí³ÍÇ íñ³ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ èáÉÉÇ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ:

à±ñ Ï»ï»ñáõÙ ¿ 0)( =′ xf :

µ) ú·ïí»Éáí È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇó, ³å³óáõó»É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

Nnbababnabaabn nnnn ∈<<−<−<− −− ,0,)()( 11 :

2. ³) )1;1(− ¨ )2;1( ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñáõÙ ·ïÝ»É ³ÛÝåÇëÇ Ï»ï»ñ, áñ

)2)(1( 2 −−= xxy ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï»ï»ñáõÙ

ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÝ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é ÉÇÝ»Ý Ox ³é³ÝóùÇÝ:


Rxxxxxx ∈−≤− 211212 ,|,||sinsin| :

3. ³) ²å³óáõó»É, áñ 0633 =−+ xx Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ù»Ï Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï:


0),;[,,|||lnln| 2112

12 >∞∈−

<− aaxxa

xxxx :

4. ³) ú·ïí»Éáí èáÉÉÇ Ã»áñ»ÙÇó, ³å³óáõó»É, áñ 0144 =−− xx Ñ³í³ë³ñáõÙÁ

ãÇ Ï³ñáÕ »ñÏáõëÇó ³í»ÉÇ ³ñÙ³ï áõÝ»Ý³É, ÇëÏ ÎáßÇÇ ³é³çÇÝ Ã»áñ»ÙÇ

û·ÝáõÃÛ³Ùµ µ³ó³Ñ³Ûï»É ¹ñ³ »ñÏáõ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ:

µ) ¸Çóáõù

<

≤≤−

=:1,1

,10,2

3

)(

2

xx

xx

xf

´³í³ñ³ñáõ±Ù ¿, ³ñ¹Ûáù, )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ]2;0[ Ñ³ïí³ÍáõÙ È³·ñ³ÝÅÇ

126

Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ¸ñ³Ï³Ý å³ï³ëË³ÝÇ ¹»åùáõÙ ·ïÝ»É Ã»áñ»ÙáõÙ

ÑÇß³ï³ÏíáÕ ξ -Ý:

5. ³) ²å³óáõó»É, áñ )3)(2)(1)(1()( −−−+= xxxxxP µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ

³Í³ÝóÛ³É ýáõÝÏóÇ³ÛÇ µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý »Ý: Üß»É ³ÛÝ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ,

áñáÝù å³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ý ³Û¹ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ:

µ) ¶ïÝ»É ³ÛÝåÇëÇ ),( xx ∆=θθ , áñ

)10(),()()( <<∆+′∆=−∆+ θθ xxfxxfxxf ,

»Ã»

1) )0()( 2 ≠++= acbxaxxf ; 2) 3)( xxf = :

6. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );( 0 ∞x ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨

0)(lim =′→∞

xfx

, ³å³ 0)(lim =→∞ x

xfx

:

µ) ¸Çóáõù`

≥

<=

:1,1,1,

)(x

x

xxxf

êïáõ·»É, )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ]4;0[ Ñ³ïí³ÍáõÙ µ³í³ñ³ñáõ±Ù ¿ È³·ñ³ÝÅÇ

Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ, Ã»± áã: ºñÏñ³ã³÷áñ»Ý ÝÏ³ñ³·ñ»É ëïáõ·Ù³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÁ:

7. ³) êïáõ·»É, 24)( xxf −= ýáõÝÏóÇ³Ý ]2;1[− Ñ³ïí³ÍáõÙ µ³í³ñ³ñáõ±Ù ¿

È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ, Ã»± áã: ¸ñ³Ï³Ý å³ï³ëË³ÝÇ ¹»åùáõÙ

·ïÝ»É Ã»áñ»ÙáõÙ ÑÇß³ï³ÏíáÕ ξ -Ý:

µ) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ 0],;[ >abba

Ñ³ïí³ÍáõÙ, ³å³

)()()()(

1 ξξξ ffbfaf

baba

′−=−

,

áñï»Õ ba << ξ :

127

8. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

èáÉÉÇ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ ¨ Ñ³ëï³ïáõÝ ã¿, ³å³ ³Û¹ Ñ³ïí³ÍáõÙ

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ 1ξ ¨ 2ξ Ï»ï»ñ, áñ 0)(,0)( 21 <′>′ ξξ ff :

µ) ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ ·ïÝ»É 2)( xxf = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ È³·ñ³ÝÅÇ

Ã»áñ»ÙáõÙ ÑÇß³ï³ÏíáÕ ξ -Ý:

9. ³) ²å³óáõó»É, áñ í»ñç³íáñ ³×»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óí³Í µ³Ý³Ó¨Á ]0;1[−

Ñ³ïí³ÍáõÙ ÏÇñ³é»ÉÇ ã¿ 3 2)( xxf = xxx += |sin|)(ϕ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

µ) ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.

−>

−<−=

+−

+:1,

4

,1,4

3

11

x

x

xxarctgarctgx

π

π

10. ³) ²å³óáõó»É, áñ 03 =−+ qpxx Ñ³í³ë³ñÙ³Ý, áñï»Õ p -Ý ¨ q -Ý

¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, ÙÇ³Ï ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ )/;0( pq ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:

µ) ¸Çóáõù )(xf ¨ )(xϕ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý );[ ∞a ÷³Ï ÙÇç³-

Ï³ÛùáõÙ ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý );( ∞a µ³ó ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ

0)()( <=− Aaaf ϕ ¨ 0)()( >≥′−′ pxxf ϕ , »ñµ );( ∞∈ ax : ²å³óáõó»É, áñ

)()( xxf ϕ> , »ñµ pAax /−> :

11. ³) ²å³óáõó»É, áñ 06182 2 =−++ xxex Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ×Çßï Ù»Ï

¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï, áñÁ ·ïÝíáõÙ ¿ )2,0;0( ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:

µ) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ,

³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ ·Í³ÛÇÝ ã¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ );( ba∈ξ

Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ`

abafbff

−−

>′ )()()(ξ :

12. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ];[ ba

128

Ñ³ïí³ÍáõÙ ¨ 0)()( =′=′ bfaf , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ );( ba∈ξ , ³ÛÝåÇëÇÝ,

áñ`

)()()(

4)( 2 afbfab

f −−

≥′′ ξ :

µ) ÎÇñ³é»Éáí È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÁ` Rxxf ∈= αα ,/1)( ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÝÏ³ï-

Ù³Ùµ, ³å³óáõó»É, áñ

0,,1)1(

1111 >∈

−

−<

+α

α ααα Nnnnn

:

13. ³) ²å³óáõó»É, áñ

0)1()1(12

2 =+

+−

n

nn

dxxdx

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý »Ý:


xxx

x<+<

+)1ln(

1, »ñµ 0>x :

14. ³) ²å³óáõó»É, áñ n

xnxn

n dxedexL

2

2

)1()(−

−= â»µÇß¨-¾ñÙÇïÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ

µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý:


Rxxex ∈+> ,1 :

15. ³) ²å³óáõó»É, áñ »ñµ 0≥x , ³å³ )(2

11xx

xxθ+

=−+ , áñï»Õ

2/1)(4/1 ≤≤ xθ , ÁÝ¹ áñáõÙ 2/1)(lim,4/1)(lim00

==−→+→

xxxx

θθ :


)/(1|ln| exx αα < , »ñµ 0,10 ><< αx :

16. ³) ²å³óáõó»É, áñ ³Ù»Ý ÙÇ Çñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ

ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ýñ³ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ

³ñÙ³ï:

129

µ) ²å³óáõó»É, áñ â»µÇß¨-¾ñÙÇïÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ n

xnxn

n dxedexH

2

2

)1()(−

−=

µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý »Ý ¨ ·ïÝíáõÙ »Ý )12;12( ++− nn ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:

17. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ 0x Ï»ïÇ áñáß ÙÇ-

ç³ÝóÇÏ ßñç³Ï³ÛùáõÙ, ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ 0x Ï»ïáõÙ ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ )(lim0

xfxx

′→

ë³Ñ-

Ù³ÝÁ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ý³¨ )( 0xf ′ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ, ÁÝ¹ áñáõÙ`

)(lim)(0

0 xfxfxx

′=′→

: (²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í, ³å³óáõó»É È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨³Ýù

6-Á, ¿ç 44):

µ) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ]2;1[ Ñ³ïí³ÍáõÙ, ³å³

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ )2;1(∈ξ Ï»ï, áñ )(2

)1()2(2

ξξ fff ′=− :

18. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý n -³Ý·³Ù ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );0[ ∞

ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, 0)0()0()0()0( )1( ===′′=′= −nffff , ÇëÏ 0)()( >xf n , »ñµ

);0( ∞∈x ,³å³ 0)( >xf ,»ñµ 0>x :

µ) ²å³óáõó»É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ`

<−

>=+

:0,2

,0,21

x

x

xarctgarctgx

π

π

19. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» µáÉáñ );( bax∈ Ñ³Ù³ñ 0)( =′ xf , ³å³ )(xf -Á

Ñ³ëï³ïáõÝ ¿ );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:

µ) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» 032 <− ba , ³å³

023 =+++ cbxaxx

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ áõÝÇ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï, ÁÝ¹ áñáõÙ å³ñ½ ³ñÙ³ï:

20. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» nnnnn axaxaxaxxf +++++= −−−

13

32

2)( µ³½-

Ù³Ý¹³ÙÇ µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý »Ý, ³å³ 02 ≤a :

130


<≤<

−≤−≤

−2

0coscos 22

παβαβαβα

ββα tgtg :

21. ³) ²å³óáõó»É, áñ qpxxxf n ++=)( ýáõÝÏóÇ³Ý ãÇ Ï³ñáÕ áõÝ»Ý³É »ñÏáõ-

ëÇó ³í»É Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ, »ñµ n -Á ½áõÛ· ¿ ¨ »ñ»ùÇó áã ³í»É, »ñµ n -Á Ï»Ýï ¿:

µ) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» 011

10 =+++ −− xaxaxa n

nn Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ 0xx =

¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï, ³å³ 0)1( 12

11

0 =++−+ −−−

nnn axanxna Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ¨ë

áõÝÇ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï, ÁÝ¹ áñáõÙ ³ÛÝ ÷áùñ ¿ 0x -Çó:

22. ³) îñí³Í ¿ Nnmxxxf nm ∈−+= ,,)1(1)( ýáõÝÏóÇ³Ý: ²é³Ýó ³Í³Ýó-

Û³ÉÁ Ñ³ßí»Éáõ, óáõÛó ï³É, áñ 0)( =′ xf Ñ³í³ë³ñáõÙÁ )1;0( ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ

³éÝí³½Ý Ù»Ï ³ñÙ³ï:

µ) Æ±Ýã Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ë»É )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ù³ëÇÝ, »ñµ 0)()( ≡xf n :

23. ³) ²å³óáõó»É, áñ R -Ç íñ³ áñáßí³Í )(xyy = ýáõÝÏóÇ³Ý, áñÁ µ³í³-

ñ³ñáõÙ ¿ )( constyy ==′ λλ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ ÙÇ³ÛÝ xcey λ= óáõóã³ÛÇÝ

ýáõÝÏóÇ³Ý ¿, áñï»Õ c -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ¿:

òáõóáõÙ: ¸Çï³ñÏ»É` ))(( ′xexy λ :

µ) ²å³óáõó»É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ` 1||,sgn1

2arcsin 2 ≥=+

+ xxxxarctgx π :

24. ³) ²å³óáõó»É, áñ nnnnn axaxaxaxxP −++++= −−−

12

21

1)( µ³½Ù³Ý-

¹³ÙÁ, áñï»Õ 0),1,...,2,1(0 >−=≥ ni ania , áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï,

ÁÝ¹ áñáõÙ, ³ÛÝ å³ñ½ ¿ ¨ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ nna -ÇÝ:

µ) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );( ∞a ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨

0)(lim =→∞ x

xfx

, ³å³ 0|)(|lim =′→∞

xfx

:

25. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Rbaf →);(: ýáõÝÏóÇ³Ý );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ

131

ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ³Í³ÝóÛ³É, ³å³ ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ );( ba -áõÙ:

µ) îñí³Í ¿ 021

110 =+++++

−n

n aana

na

:

²å³óáõó»É, áñ 0,)( 01

10 ≠+++= − aaxaxaxP nnn µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ )1;0(

ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ³ñÙ³ï:

26. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» 0274 23 >+ qp , ³å³ Rqpqpxx ∈=++ ,,03

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ áõÝÇ Ù»Ï Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï, ÇëÏ »Ã» 0274 23 <+ qp , ³å³ ³Û¹

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ áõÝÇ »ñ»ù Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ:

µ) ²å³óáõó»É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ` 11,1

arcsin 2 <<−−

= xx

xarctgx :

27. ³) àñáß»É ÎáßÇÇ µ³Ý³Ó¨áõÙ ÑÇß³ï³ÏíáÕ )2;1(∈ξ , »Ã» 3)( xxf = ,

1)( 2 += xxg :

µ) Æ±Ýã å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ å»ïù ¿ µ³í³ñ³ñ»Ý ba, ¨ c ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ, áñå»ë½Ç

023 =+++ cbxaxx Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý Çñ³Ï³Ý:

28. ³) Ra∈ å³ñ³Ù»ïñÇó Ï³Ëí³Í, ï³É

1) 024 34 =−− axx , 2) 0132 33 =+− axx

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ:

µ) ¸Çóáõù` )0()( 011

10 >++++= −− aaxaxaxaxP nn

nn µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³-

Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0>c ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ),...,1,0(0)()( nkcP k =≥ : ²å³-

óáõó»É, áñ ³Û¹ µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ µáÉáñ Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñáõÙ »Ý c≤ξ

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ (ÜÛáõïáÝÇ Ã»áñ»ÙÁ):

·) êïáõ·»É )1/()(,)( 22 xxxgexf x +== ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ]2;2[− Ñ³ïí³ÍáõÙ

µ³í³ñ³ñáõ±Ù »Ý ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ, Ã»± áã:

132

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹6

1. ³) 15)( −= xexf ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñÉáõÍ»É Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨ )( nxo :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` 20

arcsinlimx

xarctgxx

−→

:

2. ³) )32/()14()( 22 −+−+= xxxxxf ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñÉáõÍ»É Ø³ÏÉáñ»Ýáõ

µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨ )( nxo :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` )1ln(

13arcsincos3lim 2

3

0 xxxx

x −+−+

→:

3. ³) xy 3sin= ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñÉáõÍ»É Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨ )( 2nxo :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` xtgx

xxxxetgx

x arcsin)(21lim

2

0 −+−+−

→:

4. ³) xxy 5cos3cos= ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñÉáõÍ»É Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨

)( 12 +nxo :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` ( )2)2(lim /1/1 −+→∞

xx

xee :

5. ³) 3 27ln −= xy ýáõÝÏóÇ³Ý 1=x Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõÍ»É Â»ÛÉáñÇ

µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨ ))1(( nxo − :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ`

+−

+−

+∞→1

2lim 6223 xexxx

x

x:

6. ³) )1182ln()2( 2 +++= xxxy ýáõÝÏóÇ³Ý 2−=x Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ

í»ñÉáõÍ»É Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨ ))2(( 2nxo + :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` xx

xxex x

x 22

32

0 chlnsin121lim

−++−− −

→:

7. ³) )2/cos()( 2 ππ +−= xxxy ýáõÝÏóÇ³Ý 2/π=x Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ

133

í»ñÉáõÍ»É Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨ ))2/(( 12 +− nxo π :


x

x xxx

2sin/1

2

22

0 )3/(sin)(arcsinlim

−→

:

8. ³) xxxy 23 23

2 +−= ýáõÝÏóÇ³Ý 1=x Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõÍ»É Â»ÛÉáñÇ

µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨ ))1(( 3nxo − :


2/1

0lim

x

x arctgxtgx

→

:

9. ³)

+−= ππ

xxy 48cos 2 ýáõÝÏóÇ³Ý 4/π=x Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ

í»ñÉáõÍ»É Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨ ))4/(( 34 +− nxo π :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` xctg

x xxxx

2

arcsinsin)sin(shlim

0

−+

→:

10. ³) ¸Çóáõù )(xPn -Á n -Çó áã µ³ñÓñ ³ëïÇ×³ÝÇ µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿: ²å³óáõó»É,

áñ ∑=

−=n

k

kk

nn xx

kxPxP

00

0)(

)(!

)()( :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` )ln1ln()sin(sinlim

1 xx

x +→

π:

11. ³) xy cosln= ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñÉáõÍ»É Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨ )( 2xo :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` ( )5 455 45lim xxxxx

−−+∞→

:

12. ³) xey sin= ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñÉáõÍ»É Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨ )( 3xo :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` ))1(sin/(cos1

1

22

)ln(lim xx

xxx −

→− :

13. ³) )sin(arctgxy = ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñÉáõÍ»É Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨ )( 4xo :

134

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` ( )

xxe

arctgxtgxxxx sin

2121ln

lim 2

2

0 −

+−+

→:

14. ³) xxy sin)1( += ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñÉáõÍ»É Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨

)( 5xo :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` xtgx

xxx

x sin11

sh21)1ln(

lim2

0 +−+

−++

→:

15. ³) xy th= ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñÉáõÍ»É Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨ )( 6xo :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` xtg

xex

x 4

2

0

21lim2

+−→

:

16. ³) ÀÝïñ»É A ¨ B Ãí»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ »ñµ 0→x ï»ÕÇ áõÝ»Ý³ ³ëÇÙå-

ïáïÇÏ µ³Ý³Ó¨Á` )(65

21

1332 xoxx

xBAex +−−=−

− :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` xx

xxx −

−−→ sin

1coslim2

0:

17. ³) ÀÝïñ»É A ¨ B Ãí»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ »ñµ 0→x ï»ÕÇ áõÝ»Ý³ ³ëÇÙå-

ïáïÇÏ µ³Ý³Ó¨Á` )(81

21arcsin 653 xoxxBarctgxxA +−=+ :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` xxtgxxe x

x sin2222chlim

2

0 −−−

→:

18. ³) ú·ïí»Éáí Â»ÛÉáñÇ (15) µ³Ý³Ó¨Çó, Ñ³ßí»É e ÃíÇ Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÁ

310− -Ç ×ßïáõÃÛ³Ùµ:


2/

0

2

coslimx

ex x

x

−

→

−:

19. ³) ú·ïí»Éáí Ø³ÏÉáñ»Ýáõ (20) µ³Ý³Ó¨Çó, Ñ³ßí»É e ÃíÇ Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÁ

135

710− -Ç ×ßïáõÃÛ³Ùµ:


2/1

3

2

0

6)21arccos(3limx

x xxx

−−→

:

20. ³) ¸Çóáõù ]1;0[)( )2(Cxf ∈ ( )(xf -Ý ]1;0[ Ñ³ïí³ÍáõÙ áõÝÇ »ñÏñáñ¹

Ï³ñ·Ç ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ³Í³ÝóÛ³É), 0)1()0( == ff ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ M ÃÇí

³ÛÝå»ë, áñ µáÉáñ )1;0(∈x Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Mxf ≤′′ |)(| ³ÝÑ³í³-

ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²å³óáõó»É, áñ 2/|)(| Mxf ≤′ , ]1;0[∈∀x :


3

2

0 81

21sin1lim

ctgx

xxtgxx

+−+

→:

21. ³) ¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ R -Ç íñ³ ¨

)2,1,0(|)(|sup )( =+∞<=∈

kxfM k

Rxk : ²å³óáõó»É, áñ 20

21 2 MMM ≤ :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` xe

xxxxx ln1

)1cos(3)1arcsin(3lim 1

3

0 −−−−−−

−→:

22. ³) ¸Çóáõù )(!

)()()( 0)(

000 hxfnhxfhxfhxf n

n

θ+++′+=+ , áñï»Õ

10 <<θ , )()1( xf n+ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ 0x Ï»ïáõÙ ¨ 0)( 0)1( ≠+ xf n : ²å³óáõó»É, áñ

11lim

0 +=

→ nhθ :

µ) ¸Çóáõù )(1)( xokxxf ++= , »ñµ 0→x : ²å³óáõó»É, áñ kx

xexf =

→

/1

0)]([lim :

23. ³) ²å³óáõó»É µ³Ý³Ó¨` )0,0,2(1 >>≥−+=+−

xanrna

xaxa nn n ,

áñï»Õ 12

2

2210

−

−<< na

xn

nr :


)1(sinlimx

xxxex

x

+−→

:

136

24. ³) ÀÝïñ»É ³ÛÝåÇëÇ a ¨ b Ãí»ñ, áñ xxbax sin)cos( +− ³ñï³-

Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ³Ýí»ñç ÷áùñ x -Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ ÉÇÝÇ 5-ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Ýí»ñç ÷áùñ:


sin

0

)(cos1limx

x x

x

−→

:

25. ³) ú·ïí»Éáí 432

)1ln(432 xxxxx −+−≈+ Ùáï³íáñ µ³Ý³Ó¨Çó, Ñ³ßí»É

5,1ln -Á ¨ ·Ý³Ñ³ï»É ëË³É³ÝùÁ:


−

→ xxx sin11lim

0:

26. ³) 1−= xxy ýáõÝÏóÇ³Ý 1=x Ï»ïÇ ßñç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõÍ»É Â»ÛÉáñÇ

µ³Ý³Ó¨áí ÙÇÝã¨ ))1(( 3−xo :


2sin

0

)(cos1limx

x x

x

−→

:

27. ³) ú·ïí»Éáí Ø³ÏÉáñ»Ýáõ (20) µ³Ý³Ó¨Çó, ·Ý³Ñ³ï»É

168211

32 xxxx +−+≈+ Ùáï³íáñ µ³Ý³Ó¨Ç ëË³É³ÝùÁ, »ñµ 2,00 ≤≤ x :

µ) ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ` ( ) )1()1sin(

1

2

lnlim −−

→−

xctgx

xxe :

28. ³) ú·ïí»Éáí xy += 1 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ø³ÏÉáñ»Ýáõ µ³Ý³Ó¨Çó ³å³óáõó»É,

áñ xxxx2111

8211

2

+<+<−+ , »ñµ 80 << x :

µ) ÀÝïñ»É R∈α ¨ Nn∈ Ãí»ñÝ ³ÛÝå»ë, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³ í»ñç³íáñ

ë³ÑÙ³Ý` 8

2

0

coslimx

xenx

x

−→

α

:

137

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹7

1. ¶ïÝ»É )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×Ù³Ý ¨ Ýí³½Ù³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ.

³) 718214)( 23 ++−= xxxxf , µ) xarctgxxf ln)( −= ,

·) |2sin|)( xxxf += , ¹) 428)( xxxf −= ,

») xexxf −=)( , ½) 2

0,cossin)( π<<+= xxxxf :

2. a å³ñ³Ù»ïñÇ ÇÝãåÇëÇ± ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿

³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³.

³) 345 1052)( xaxxxf ++= , µ) xxaxaxf 2)1(3

1)( 232

+−+−

= ,

·) xxaxaxf 5sin6sin)18()( −−−= , ¹) bxaxxf +−= sin)( ,

») xxxaaxxf 5sin76sin8)( −−−= ,

½) xaaxaxxf )1484(sin)1(82sin)( 2 −+++−= :

3. ³) ²å³óáõó»É, áñ ³Ù»Ý ÙÇ

)0,1()( 10 ≠≥+++= nn

n anxaxaaxP

µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ 00 >x ÃÇí, áñ )(xP -Á ËÇëï

ÙáÝáïáÝ ¿ );( 0x−∞ ¨ );( 0 ∞x ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ:

µ) ²å³óáõó»É, áñ ³Ù»Ý ÙÇ é³óÇáÝ³É

)0,()(10

10 ≠++++++

= mnmm

nn baxbxbbxaxaaxR

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ 0x ÃÇí, áñ )(xR -Á ËÇëï ÙáÝáïáÝ

¿ );( 0x−∞ ¨ );( 0 ∞x ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ:

4. ³) ¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ );[ ∞a ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ

¿ );( ∞a ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ 0)( <af ¨ µáÉáñ );( ∞∈ ax Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ

áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ k ÃÇí, áñ 0)( >≥′ kxf : ²å³óáõó»É, áñ 0)( =xf Ñ³í³ë³-

138

ñáõÙÁ );( ∞a ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï ³ñÙ³ï, ÁÝ¹ áñáõÙ ³Û¹ ³ñÙ³ïÁ

·ïÝíáõÙ ¿

−

kafaa )(; ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:

µ) ¸Çóáõù )(xf ¨ )(xϕ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý );[ ∞a ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨

³Í³Ýó»ÉÇ »Ý );( ∞a ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ÁÝ¹ áñáõÙ 0)()( <=− Aaaf ϕ ¨ µáÉáñ

);( ∞∈ ax Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ k ÃÇí, áñ 0)()( >≥′−′ kxxf ϕ :

²å³óáõó»É, áñ µáÉáñ

∞−∈ ;

kAax Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ )()( xxf ϕ> ³ÝÑ³-

í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

5. ³) ¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿, 0=x Ï»ïáõÙ áõÝÇ »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç

³ÝÁÝ¹Ñ³ï ³Í³ÝóÛ³É ¨ 0)0( ≠′′f : ²å³óáõó»É, áñ 0=x Ï»ïáõÙ )(xf

ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙ:

µ) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» )(xf µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý »Ý ¨

Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ, ³å³ )()()]([ 2 xfxfxf ′′−′ µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ï

ãáõÝÇ:

6. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÝ áõÝ»Ý Ýß³ÝÇ Ù»Ï

÷á÷áËáõÃÛáõÝ, ³å³ ³Û¹ µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ãÇ Ï³ñáÕ áõÝ»Ý³É Ù»ÏÇó ³í»É ¹ñ³Ï³Ý

³ñÙ³ï:

òáõóáõÙ: ¸Çóáõù )()( 1110

nn

kk

kk xaxaxaxaaxf ++−+++= +

+ , áñï»Õ

niai ,...,2,1,0 =≥ : ¸Çï³ñÏ»É kxxfy )(

= ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ ³å³óáõÛóÁ ï³Ý»É

Ñ³Ï³ëáÕ ÁÝ¹áõÝ»ÉáõÃÛ³Ý Ù»Ãá¹áí, èáÉÉÇ Ã»áñ»ÙÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ Ñ³Ý·»É

Ñ³Ï³ëáõÃÛ³Ý:

µ) ²å³óáõó»É, áñ µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ãÇ ·»ñ³-

½³ÝóáõÙ Ýñ³ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ýß³Ý³÷áËáõÃÛ³Ý ÃíÇó (½ñáÛÇ

Ñ³í³ë³ñ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ Ñ³ßíÇ ã»Ý ³éÝíáõÙ):

7. ³) ¸Çóáõù )(xf ¨ )(xg ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ ¨

139

)()(),()( bgbfagaf <> : ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ );(0 bax ∈ Ï»ï, áñ

)()( 00 xgxf = :

µ) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» )(xf ¨ )(xg ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ );[ 0 ∞x ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ n -

³Ý·³Ù ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý, ÁÝ¹ áñáõÙ )1,...,2,1,0()()( 0)(

0)( −== nkxgxf kk ¨ µáÉáñ

);( 0 ∞∈ xx Ñ³Ù³ñ )()( )()( xgxf nn > , ³å³ µáÉáñ );( 0 ∞∈ xx Ñ³Ù³ñ )()( xgxf > :

8. ²å³óáõó»É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

³) )0,10(1 ≥<<−≤− xxx αααα ,

µ) ),2/0(2cos2 2 Nnxxnxctgxtg nn ∈<<+≥+ π ,

·) 2

1

1

2

xx

tgxtgx

> )2/0( 21 π<<< xx ,

¹) )10(63

33

≤<−<<− xxxarctgxxx :

9. ¶ïÝ»É )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ù³ùëÇÙáõÙÇ ¨ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ:

³) xxxf 2cossin2)( += , µ) 3241)( 24 +−= xxxf ,

·) 222

41

41arcsin

21

21)( xxxxxxf π

−−+

−= :

10. ¶ïÝ»É )(xf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ýßí³Í

ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ (»Ã» ¹ñ³Ýù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý) :

³) ]2;2[,52)( 24 −+−= xxxf , µ) )2/;0[,2)( 2 πxtgtgxxf −= ,

·) ]3;0[,223

3)( 2

3

xxxxf +−= , ¹) )1;0(,)1(259)( 11 −− −+= xxxf ,

») );0(,cossin)( 33 πxxxf += , ½) ]1;2[,)( 22 −−= − xx eexf ,

¿) ]1;0[),1/()1()( 22 xxxxxf −++−= , Á) ]4;0(,2)( xxxf += ,

140

Ã) );(,sincos2)( 2 ∞−∞−= xxxf , Å) ]4/3;0[,cos2sin)( πxxxf += :

11. ¶ïÝ»É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý³Ù»Í ³Ý¹³ÙÇ n Ñ³Ù³ñÁ, »Ã»

³) }3105{ 32 nnn −+ , µ)

+ 2003

2

nn

, ·)

n

n2

10

:

12. ¶ïÝ»É finf -Á ¨ fsup -Á Ýßí³Í ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ, »Ã»

³) ]1;0(,1)( 2xx

xf += , µ) );0(,)4()( 2 ∞+= − xexxf ,

·) )6;2/3(,21)1()(

2

−−

+=xxxxf , ¹) R

xx

xf ,||1

|2|1)(

+−+

= :

13. ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ`

³) 221

2 22 +−=

+xx

xx

, µ) 2)1(1ln −+−=− xxx ,

·) )44(cos71))2(sin1(16 2222

2 +−+=−+

+ xxx

xx ,

¹) 31 22 +=+++ − xxxx , ») 222 3)54)(4( xxxx =+−+ :

14. ¶ïÝ»É M Ï»ïÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó:

³) )0,1(,106)( 2 Mxxxf ++= , µ) )1,2(,)( Mexf x= ,

·) )1,0(,3411)(

2/3M

xxf += , ¹) )3,2(,

21

21)( 2 Mxxf += :

») ¶ïÝ»É π≤≤+= xxy 0,cos2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ íñ³ ·ïÝíáÕ ³ÛÝ

M Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ, áñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 032 =++ yx áõÕÕÇó

Ýí³½³·áõÛÝÝ ¿:

½) ¶ïÝ»É )0,2(A Ï»ïÇ ¨ 122 =+ yx ßñç³Ý³·ÍÇ Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í

Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ÷áùñ³·áõÛÝÝ áõ Ù»Í³·áõÛÝÁ:

15. ³) àñáß»É ]1;2[− Ñ³ïí³ÍÇ íñ³ )2()1()( 2 +−= xxxxP µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ

141

“ß»ÕáõÙÁ ½ñáÛÇó”, ³ÛëÇÝùÝ ·ïÝ»É |)(|sup12

xPEx

p≤≤−

= -Á:

µ) )(xf ¨ )(xg ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ µ³ó³ñÓ³Ï ß»ÕáõÙ ];[ ba Ñ³ïí³ÍÇ íñ³

ÏáãíáõÙ ¿ |)()(|sup xgxfbxa

−=∆≤≤

ÃÇíÁ: àñáß»É ]1;0[ Ñ³ïí³ÍÇ íñ³ 2)( xxf =

¨ 3)( xxg = ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ µ³ó³ñÓ³Ï ß»ÕáõÙÁ:

16. ²å³óáõó»É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.

³) )1,10(1)1(2 11

>≤≤≤−+≤− pxxx ppp ,

µ) )0,0,0()(

)( axmnanmnmxax nm

nm

nnnm ≤≤>>

+≤− +

+,

·) )1,0,0(2

1 >>>+≤+≤+−

naxaxaxax n nn

nn :

17. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý ¿, ³å³

)0()()( 2 >= cxcfxF ¨ )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ áõÝ»Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ñ³Ù³ÝáõÝ

¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ:

µ) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» )(xϕ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ R -Ç íñ³, ³å³ )(xf ¨

))(( xfϕ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ áõÝ»Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ñ³Ù³ÝáõÝ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ:

·) àñáß»É »ñÏáõ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ 0>m ¨ 0>n ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ

Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ, »Ã» ³Û¹ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ )( constaa = :

¹) àñáß»É »ñÏáõ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ 0>m ¨ 0>n ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ

÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ, »Ã» ³Û¹ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ )( constaa = :

») ¼áõ·³Ñ»é³·ÍÇ ³ÝÏÛáõÝ³·Í»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 8-Ç: ¶ïÝ»É

½áõ·³Ñ»é³·ÍÇ µáÉáñ ÏáÕÙ»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:

½) ´áÉáñ ÏáÝ»ñÇó, áñáÝó ³é³Ýóù³ÛÇÝ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 8-Ç,

·ïÝ»É ³ÛÝ, áñÝ áõÝÇ ³Ù»Ý³Ù»Í Í³í³É: Ð³ßí»É ³Û¹ Í³í³ÉÁ:

¿) îñí³Í ßñç³Ý³ÛÇÝ ë»·Ù»ÝïÇÝ, áñÁ ãÇ ·»ñ³½³ÝóáõÙ ÏÇë³ßñç³ÝÇÝ, Ý»ñ·Í»É

142

³Ù»Ý³Ù»Í Ù³Ï»ñ»ëáí áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ:

Á) R ß³é³íÕáí ·Ý¹ÇÝ Ý»ñ·Í»É ·É³Ý, áñÇ Í³í³ÉÁ Ù»Í³·áõÛÝÝ ¿:

Ã) R ß³é³íÕáí ·Ý¹ÇÝ Ý»ñ·Í»É ·É³Ý, áñÇ ÉñÇí Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ÉÇÝÇ

Ù»Í³·áõÛÝÁ:

Å) 12

2

2

2

=+by

ax

¿ÉÇåëÇÝ ï³Ý»É ³ÛÝåÇëÇ ßáß³÷áÕ, áñ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ

³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ»ï Ýñ³ Ñ³ïáõÙÇó ³é³ç³ó³Í »é³ÝÏÛáõÝÝ áõÝ»Ý³ ÷áùñ³·áõÛÝ

Ù³Ï»ñ»ë:

Ç) R ß³é³íÕáí ßñç³ÝÇó ÇÝãåÇëÇ± ë»Ïïáñ å»ïù ¿ Ïïñ»É, áñå»ë½Ç ÙÝ³ó³Í

Ù³ëÇó ÑÝ³ñ³íáñ ÉÇÝÇ å³ïñ³ëï»É ³Ù»Ý³Ù»Í ï³ñáÕáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ Ó³·³ñ:

É) îñí³Í ÍÝÇãÝ áõÝ»óáÕ ÏáÝ»ñÇó ·ïÝ»É ³ÛÝ, áñÇ Í³í³ÉÁ Ù»Í³·áõÛÝÝ ¿:

Ë) a É³ÛÝáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ çñ³ÝóùÇó áõÕÇÕ ³ÝÏÛ³Ý ï³Ï ¹áõñë ¿ ·³ÉÇë

b É³ÛÝáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ çñ³Ýóù: æñ³ÝóùÝ»ñÇ å³ï»ñÁ áõÕÕ³·ÇÍ »Ý: ¶ïÝ»É ³ÛÝ

³Ù»Ý³Ù»Í »ñÏ³ñáõÃÛ³Ý ·»ñ³ÝÁ, áñÁ Ï³ñáÕ ¿ ÙÇ çñ³ÝóùÇó ÉáÕ³Éáí ³ÝóÝ»É

ÙÛáõë çñ³ÝóùÁ:

Í) R ß³é³íÇÕ áõÝ»óáÕ ÏÉáñ ë»Õ³ÝÇ Ï»ÝïñáÝÇó Ç±Ýã µ³ñÓñáõÃÛ³Ý íñ³ å»ïù

¿ Ï³Ë»É ¿É»Ïïñ³Ï³Ý É³ÙåÁ, áñå»ë½Ç ë»Õ³ÝÇ »½ñÁ ÉÇÝÇ ³é³í»É³·áõÛÝ

Éáõë³íáñí³Í:

òáõóáõÙ: Î»ïÇ Éáõë³íáñí³ÍáõÃÛáõÝÁ ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ 2

sinr

kJ ϕ= µ³-

Ý³Ó¨áí, áñï»Õ ϕ -Ý ë»Õ³ÝÇ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ×³é³·³ÛÃÇ ³ÝÏÙ³Ý ³ÝÏÛáõÝÝ

¿, r -Á Éáõë³ÕµÛáõñÇó »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ k -Ý Éáõë³ÕµÛáõñÇ ÉáõÛëÇ áõÅÁ:

Ù) a ß³é³íÕáí ÏÇë³áÉáñïÇ Ó¨ áõÝ»óáÕ ·³í³ÃÇ Ù»ç ¹ñí³Í ¿ a2>

»ñÏ³ñáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ ÓáÕ: ¶ïÝ»É ÓáÕÇ Ñ³í³ë³ñ³ÏßéáõÃÛ³Ý ¹ÇñùÁ, »Ã»

Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ ³Û¹ ¹ÇñùáõÙ Ýñ³ Í³ÝñáõÃÛ³Ý Ï»ÝïñáÝÁ (ÓáÕÇ ÙÇçÝ³Ï»ïÁ)

½µ³Õ»óÝáõÙ ¿ ÑÝ³ñ³íáñ ³Ù»Ý³ó³Íñ Ù³Ï³ñ¹³ÏÁ:

Ý) ä³ïáõÑ³ÝÁ áõÝÇ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ¨ í»ñ¨Çó` ÏÇë³ßñç³ÝÇ Ó¨: ä³ïáõÑ³ÝÇ

å³ñ³·ÇÍÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ p -Ç: ÆÝãåÇëÇ±Ý å»ïù ¿ ÉÇÝ»Ý å³ïáõÑ³ÝÇ ã³÷ë»ñÁ,

áñå»ë½Ç ³ÛÝ µ³ó ÃáÕÝÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ùµ ÉáõÛë:

143

o) a É³ÛÝáõÃÛ³Ùµ Ù»ï³ÕÛ³ ÃÇÃ»ÕÁ Íé»Éáí å»ïù ¿ å³ïñ³ëï»É µ³ó

·É³Ý³Ó¨ çñÑáñ¹³Ý (çñÑáñ¹³ÝÇ É³ÛÝ³Ï³Ý Ïïñí³ÍùÁ áõÝÇ ßñç³Ý³ÛÇÝ

ë»·Ù»ÝïÇ ³Õ»ÕÇ ï»ëù): ¶ïÝ»É ³Õ»ÕÁ Ó·áÕ Ï»ÝïñáÝ³Ï³Ý ³ÝÏÛáõÝÁ, áñÇ

¹»åùáõÙ çñÑáñ¹³ÝÇ ï³ñáÕáõÃÛáõÝÁ ³Ù»Ý³Ù»ÍÝ ¿:

å) 20 Ù»ïñ³Ýáó ·»ñ³ÝÁ áõÝÇ Ñ³ï³Í ÏáÝÇ ï»ëù, áñÇ ÑÇÙù»ñÇ ïñ³Ù³·Í»ñÝ

»Ý 2 ¨ 1Ù: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ Ïïñ»É ù³é³ÏáõëÇ É³ÛÝ³Ï³Ý Ïïñí³Íùáí Ñ»Í³Ý, áñÇ

³é³ÝóùÁ Ñ³ÙÁÝÏÝÇ ·»ñ³ÝÇ ³é³ÝóùÇ Ñ»ï ¨ áõÝ»Ý³ Ù»Í³·áõÛÝ Í³í³É:

ÆÝãåÇëÇ±Ý å»ïù ¿ ÉÇÝ»Ý Ñ»Í³ÝÇ ã³÷ë»ñÁ:

18. ³) ¶ïÝ»É )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý ¨ ·á·³íáñáõÃÛ³Ý

ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨ ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñÁ.

1) 323)( xxxf −= , 2) xxxxf 310)( 25 +−= ,

3) 0,5

1)( )2/( 22

>= − σπ

σxexf :

µ) ¶ïÝ»É ttex = , 0, >= − ttey t å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ï»ëùáí ïñí³Í ýáõÝÏ-

óÇ³ÛÇ áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý ¨ ·á·³íáñáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨ ßñçÙ³Ý

Ï»ï»ñÁ:

·) ²å³óáõó»É, áñ ³Ù»Ý ÙÇ Ï»Ýï ³ëïÇ×³ÝÇ áã ·Í³ÛÇÝ µ³½Ù³Ý¹³Ù áõÝÇ

³éÝí³½Ý Ù»Ï ßñçÙ³Ý Ï»ï:

¹) ²å³óáõó»É, áñ ¹ñ³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ½áõÛ· ³ëïÇ×³ÝÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ

ãáõÝÇ ßñçÙ³Ý Ï»ï:

») ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í ÏñÏÝ³ÏÇ ³Í³Ýó»ÉÇ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ` 1) »ñÏáõ

¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñÇ ÙÇç¨ ÁÝÏ³Í ¿ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ßñçÙ³Ý Ï»ï, 2) ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñÇ

ÙÇç¨ Ï³ñáÕ »Ý ¨ ãÉÇÝ»É ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñ:

19. ²å³óáõó»É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

³) yxeee yxyx

≠>+ +

,2

2 ,

µ) Nnyxyxyx nnn

∈≥≥+

≤

+ ,0,0,

22,

144

·) Rbaabeee aab ∈−+≥ ,),( ,

¹) )(11112 yx

yyy

xx −

−++≥+ ,

») 0,0,ln >>−≤ yxyxyxy ,

½) ],0[,,cos)(sinsin π∈−≤− yxyyxyx :

20. ³) ¸Çóáõù )(xf ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ áõéáõ-

óÇÏáõÃÛ³Ùµ áõÕÕí³Í ¿ ¹»åÇ í»ñ¨, ÇëÏ nxxx ,...,, 21 Ãí»ñÁ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇó »Ý ¨

Ï³½ÙáõÙ »Ý Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ d ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝáí: ²å³óáõó»É, áñ

))()()()(()()( 12111 −′++′+′+′+≤ nn xfxfxfxfdxfxf :

µ) ²å³óáõó»É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

1) 2,1

131

211ln ≥

−++++≤ n

nn ,

2) Nknnnkn kkkk ∈≥−++++> −−− ,,2),)1(21(1 111 ,

3) Nnnn

n ∈≥

−++++< ,3,

11

31

21

21

23

:

21. ³) ÆÝãåÇëÇ± å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ å»ïù ¿ µ³í³ñ³ñ»Ý

edxcxbxaxy ++++= 234

µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ cba ,, ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ, áñå»ë½Ç Ýñ³ ·ñ³ýÇÏÝ áõÝ»Ý³ ßñçÙ³Ý

Ï»ï»ñ:

µ) a å³ñ³Ù»ïñÇ Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ

123 234 +++= xaxxy

ÏáñÁ áõéáõóÇÏ ¿ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ áõÕÕÇ íñ³:

·) a ¨ b å³ñ³Ù»ïñ»ñÇ Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ 23 bxaxy += ýáõÝÏóÇ³ÛÇ

145

·ñ³ýÇÏÇ )3,1(A Ï»ïÁ ÏÉÇÝÇ ßñçÙ³Ý Ï»ï:

22. Ð»ï³½áï»É ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ Ï³éáõó»É ·ñ³ýÇÏÁ.

³) 533 246 −+−= xxxy , µ) )1ln( 2 −+= xxy ,

·) )1/( 23 −= xxy , ¹) xxxy 22 −−= ,

») )2/(42 xxxy −−= , ½) xexy 22 )2( −−= ,

¿) xxy cos2sin21

+= , Á) ))1/(2arcsin( 2xxy += ,

Ã) )61452( 23 −+−= xxxy , Å) 3 2)2(/ −= xxy ,

Ç) xey x 22 sin−= , É) xarctgxy −= :

23. Î³éáõó»É )(xfy = ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ³é³Ýó áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý

áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï³½áïÙ³Ý.

³) xxy /1= , µ) xxy 33 sincos += ,

·) )1/(12

2

11 xex

y −

+= , ¹) xe

xxy /12

2

1−= :

24. Î³éáõó»É å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ï»ëùáí ïñí³Í ÏáñÁ:

³) 13,13 33 ++=++= ttyttx ,

µ) tarctgtytx 6,3 33 −=−= π ,

·) )1/()2(),1/( 22323 tttyttx +−=+= ,

¹) )(cos1,sin óÇÏÉáÇ¹tyttx −=−= ,

») )1/()()),1(4/()1( 2322 tttyttx +−=−+= ,

½) 323 32,2 ttytttx −+−=++= ,

¿) t

tytt

x3)1(,

)1(1 +

=+

= ,

146

Á) ttyttx /ln,ln == , Ã) tytx 3sin,2sin == :

25. Î³éáõó»É ÏáñÁ.

³) 133 =− yx , µ) 144 =+ yx ,

·) )1(422 −= xxy , ¹) 233 6xyx =+ :

26. Ð³í³ë³ñáõÙÁ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ï»ëùáí ¨ Ï³éáõó»É ÏáñÁ.

³) yxyx 244 4=− , µ) 13/23/2 =+ yx (³ëïñáÇ¹),

·) 0,333 >=+ aaxyyx (¹»Ï³ñïÛ³Ý Ã»ñÃ), )( txy = ,

¹) 0,0,6)()( 22222 >>=+− bayxyxax (ÜÇÏá¹»ÙÇ ÏáÝËáÇ¹),

») 336 2 yyxx =+ (Ýß³Ý³Ï»É txy 2= ):

27. Î³éáõó»É ÏáñÁ, Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç ³ÝóÝ»Éáí µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ.

³) yxyx =+ )( 22 , µ) 2244 yxyx +=+ ,

·) xyyx =− 44 , ¹) xyyx =+ 222 )( :

28. ´¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñáí ïñí³Í Ñ³í³ë³ñáõÙáí Ï³éáõó»É ÏáñÁ.

³) ϕρ 3cos= , µ) ϕρ 2tg= ,

·) ϕρ cos1+= , ¹) ϕρ 3sin ,

») )0(3cos/ >= aa ϕρ , ½) )0(/5 ∞<<= ϕϕρ ,

¿) )0(2cos2 222 πϕϕρ ≤≤= a :

147

î³ñ-µ»ñ³Ï

¹

êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ßË³ï³ÝùÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³Ï

¹1 ¹2 ¹ 3 ¹4 ¹5 ¹6 ¹7

1 1(³,·,½) 28(³,·,») 9(³) 3(³,·) 11(³,µ) 27(³) 19(³,·,»)

2 3(³,·) 27(µ,¹) 10(³,µ) 4(³) 13(³,µ) 25(µ) 17(½,Á,Í)

3 5(µ,·) 26(³,·,») 1(µ) 4(µ) 15(³,µ) 23(³) 15(³,µ)

4 7(³,¹) 20(·,») 2(³,µ) 1(³,·) 17(³,µ) 21(µ) 13(³,·,»)

5 9 18(³,·,») 15(³,µ) 2(µ) 19(µ) 19(³,µ) 11(³,µ,·)

6 11(³) 16(·,») 3(³,µ) 7(³) 20(³,µ) 17(³) 9(³,µ,·)

7 13(³,·,») 14(³,·,½) 4(³) 9(³,µ) 21(³,µ) 15(µ) 7(³,µ)

8 15(³) 12(³,·,») 5(³,µ) 13(·) 23(³,µ) 13(³) 5(³,µ)

9 17 10(³,·,») 6(³,µ) 15(·) 25(³,µ) 11(µ) 3(³,µ)

10 19 8(³,µ,») 20(³,µ) 17(µ) 27(³,µ) 9(³) 1(³,·,»)

11 21 6(³,µ,») 21(³,µ) 19(³,µ) 28(µ) 7(³) 2(³,·,»)

12 22(³,µ) 4(·,») 23(³,µ) 21(³) 1(³) 5(³,µ) 4(³,µ)

13 24(µ) 2(³,·,») 22(³,µ) 23(·) 2(µ) 26(³,µ) 6(³,µ)

14 26(³,µ) 1(·,») 7(³,µ) 25(³,µ) 3(³) 24(³,µ) 8(³,·,¹)

15 28(µ) 1(³,µ,¹) 8(³,µ) 27(µ,·) 4(³,µ) 22(³) 10(³,¹,Á)

16 2(³,·,½) 28(µ,¹) 9(µ) 4(µ,·) 10(³) 20(³) 12(³,·,¹)

17 4(µ) 27(³,·,») 10(³) 5(³,µ) 12(µ) 18(µ) 14(³,·,»)

18 6(³,¹) 26(µ,¹) 11(³,µ) 7(µ,·) 9(³,µ) 16(µ) 16(³,µ,·)

19 8(³,·) 25(³,·,») 12(³) 6(³,·) 18(³) 14(³,µ) 18(³,µ,·)

20 10 24(³,·,») 13(³,µ) 8(³,·) 19(³) 12(µ) 20(³,µ)

148

î³ñ-µ»ñ³Ï

¹

êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ßË³ï³ÝùÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³Ï

¹1 ¹2 ¹ 3 ¹4 ¹5 ¹6 ¹7

21 1(µ,¹,») 23(·,») 14(³) 10(³,µ) 10(µ) 8(³,µ) 21(³,µ,·)

22 2(µ,¹,») 22(·,») 14(µ) 11(³,·) 12(³) 6(³,µ) 23(³,µ,·)

23 3(µ,¹) 21(³,·,») 16(³) 14(³,µ) 14(³,µ) 27(µ) 25(³,µ,·)

24 4(³) 20(³,µ,¹) 17(³,µ) 16(³,·) 16(³,µ) 25(³) 27(³,µ,¹)

25 5(³,¹) 19(³,·,») 18(³) 18(³,µ) 18(µ) 1(³) 28(³,½,¿)

26 6(µ,·) 18(µ,¹) 19(³,µ) 20(µ,·) 22(³,µ) 23(µ) 26(³,µ,·)

27 8(·) 17(³,·,») 18(µ) 22(³,·) 24(³,µ) 21(³) 24(³,·,¿)

28 11(µ) 16(³,µ,¹) 16(µ) 24(³,·) 26(³,µ) 17(µ) 28(µ,·,¹)

29 12 15(³,·,») 24(³,µ) 26(³,µ) 28(³) 2(³,µ) 24(µ,¹,Á)

30 13(µ,¹) 14(µ,¹) 25(³,µ) 28(³,µ) 5(³) 3(³,µ) 22(³,·,Á)

31 14(³,µ) 13(³,·,») 26(³) 2(³,·) 5(µ) 4(³,µ) 19(µ,¹,½)

32 15(µ) 11(³,·,») 27(³) 13(³,µ) 6(³) 10(³,µ) 17(¿,Å,Ï)

33 16 9(³,·,») 28(³) 15(³,µ) 7(µ) 15(³) 10(µ,·,Ã)

34 18(³,µ,·) 7(·,¹,») 27(µ) 17(³,·) 8(³) 13(µ) 17(Ë,Ý,å)

35 20 5(³,·,») 26(µ) 21(µ,·) 8(µ) 11(³) 10(»,½,Å)

36 25(³,µ) 3(³,·,¹) 28(µ) 23(³,µ) 2(³) 1(µ) 1(µ,¹,½)

37 23(³,µ) 2(µ,¹) 4(µ) 1(µ) 1(µ) 20(µ) 14(µ,¹,½)

38 24(³) 3(µ,») 1(³) 8(µ) 3(µ) 18(³) 22(µ,¹,Í)

39 28(³) 8(·,¹) 12(µ) 25(·) 7(³) 7(µ) 5(³)

40 27(³,µ) 11(µ,¹) 10(µ) 3(µ) 6(µ) 12(³) 13(·)

149

ú·ï³·áñÍí³Í ·ñ³Ï³ÝáõÃÛáõÝ

1. Ôèõòåíãîëüö Ã.Ì. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ì.: Íàóêà. 1966. ÷àñòü 1. 607ñ.

2. Èëüèí Â.À., Ïîçíÿê Ý.Ã. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ì.: Íàóêà. 1971. ÷àñòü 1. 599ñ.

3. Èëüèí Â.À., Ñàäîâíè÷èé Â.À., Ñåíäîâ Áë.Õ. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ì.: Íàóêà. 1979. 719ñ.

4. Ðàéêîâ Ä.À. Îäíîìåðíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà. 1982. 415ñ.

5. Âèëåíêèí Í.ß., Ìàðäêîâè÷ À.Ã., Êóíèöêàÿ Å.Ñ. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå. Ì.: “Ïðîñâåùåíèå”. 1984. 175ñ.

6. Êóäðÿâöåâ Ë.Ä. Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà. 1988. ò. 1. 712ñ.

7. Çîðè÷ Â.À. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ì.: Íàóêà. 1981. ò. 1. 543ñ.

8. Íèêîëüñêèé Ñ.Ì. Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ì.: Íàóêà. 1973. ò. 1. 431ñ.

9. Äåìèäîâè÷ Á.Ï. Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ì.: Íàóêà. 1972. 543ñ.

10. Êóäðÿâöåâ Ë.Ä., Êóòàñîâ À.Ä., ×åõëîâ Â.È., Øàáóíèí Ì.È. Ñáîð-íèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó, ïðåäåë, íåïðåðûâíîñòü, äèôôåðåíöèðóåìîñòü. Ì.: Íàóêà. 1984. 592ñ.

11. Âèíîãðàäîâà È.À., Îëåõíèê Ñ.Í., Ñàäîâíè÷èé Â.À. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà. 2002. Êíèãà 1. 724ñ.

12. Áåðìàí Ã.Í. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî êóðñó ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ì.: Íàóêà. 1969. 439ñ.

13. Ìàðîí È.À. Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå â ïðè-ìåðàõ è çàäà÷àõ. Ì.: Íàóêà. 1973. 399ñ.

14. Âîëêîâ Â.À. è äð. Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. Èçä. Ëåíèíãðàäñêîãî óíèâåðñèòåòà. 1988. 222ñ.

15. Äàâûäîâ Í.À., Êîðîâêèí Ï.Ï., Íèêîëüñêèé Â.Í. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ì.: “Ïðîñâåùåíèå”. 1973. 255ñ.

16. ¶.¶. ¶¨áñ·Û³Ý, È.Ð. ¶³ÉëïÛ³Ý, ².Î. Â³ëÉ³ùÛ³Ý, ¶.ì. ØÇù³Û»ÉÛ³Ý, Î.². Ü³í³ë³ñ¹Û³Ý: Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½Ç ËÝ¹ñ³·Çñù. ºñ¨³Ý, 1998: ²é³çÇÝ Ù³ë: 259¿ç:

150

´àì²Ü¸²ÎàôÂÚàôÜ Ü³ËÝ³Ï³Ý ï»Õ»ÏáõÃÛáõÝÝ»ñ……………………………………………………... 3 ¢1. ²Í³ÝóÛ³É ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É……………………………………………………… 4

1. ²Í³ÝóÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ………………………………………………………… 4 2. ¸Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ…………………………………………………… 5 3. ²Í³ÝóÛ³ÉÇ ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ ……………………. 7 4. ²Í³ÝóÛ³ÉÇ ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ ýÇ½ÇÏ³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ………………………….10

¢2. ²Í³ÝóÙ³Ý ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÙ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁ………………………… 14 1. ²Í³ÝóÛ³ÉÇ ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÇ Ñ³ßíÙ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁ Ï³åí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï………. 14 2.Ð³Ï³¹³ñÓ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóáõÙÁ……..…………………………………… 15 3. ´³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóáõÙÝ áõ ¹Çý»ñ»ÝóáõÙÁ……………………………..15 4. ä³ñ½³·áõÛÝ ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ ó³ÝÏ ………….. 19 5. ä³ñ½³·áõÛÝ ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÝ»ñÇ ó³ÝÏ……….. 20

¢3. ´³ñÓñ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÝ»ñ……………………………. 23 1. ´³ñÓñ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ……………………..…………………………....23 2. ´³ñÓñ Ï³ñ·Ç ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÝ»ñ………………………………………………. 24 3. ¶áõÙ³ñ ¨ ³ñï³¹ñÛ³É ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ µ³ñÓñ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ ¨ ¹Çý»ñ»ÝóÇ³ÉÝ»ñ…………………….………………………………………. 25 4. ä³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ï»ëùáí ïñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ ¹ñ³ ³Í³ÝóáõÙÁ……….. 26 5. ´³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ¨ Ñ³Ï³¹³ñÓ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ µ³ñÓñ Ï³ñ·Ç ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñ………………………………………………………………….. 29 6. ì»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³: ì»Ïïáñ-ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóáõÙÁ………………………30

¢4. ¸Çý»ñ»óÇ³É Ñ³ßíÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ………………………………… 38 1. Î»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×»ÉÁ (Ýí³½»ÉÁ): î»Õ³ÛÇÝ ¿ùëïñ»ÙáõÙ……………... 38 2. èáÉÉÇ, È³·ñ³ÝÅÇ ¨ ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ……………………………………… 42 3. ²ÝáñáßáõÃÛáõÝÝ»ñÇ µ³óáõÙÁ ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝáí…………………………. 44 4. Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Á: ê³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ Ñ³ßíáõÙÁ Â»ÛÉáñÇ µ³Ý³Ó¨Ç û·ÝáõÃÛ³Ùµ…………………………………………………………………….. 46

¢5. üáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ»ï³½áïáõÙÝ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ…………………... 67 1. üáõÝÏóÇ³ÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÝ»ñ……………………… 67 2. ¾ùëïñ»ÙáõÙÇ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÝ»ñ……………………………………….. 68 3. üáõÝÏóÇ³ÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ………………………… 70 4. àõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý ¨ ·á·³íáñáõÃÛ³Ý µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÝ»ñ: ÞñçÙ³Ý Ï»ï…………………………………………………………………… 72 5. üáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ……………………………………... 78 6. üáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ»ï³½áïÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ëË»Ù³Ý: üáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙÁ………………………………………….………………………….. 81

¢6. ²é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ……………………………………………...……………….. 99 1. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 1 ……………………………………...……………………. 99 2. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 2……………………………………….………………….. 105 3. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 3…………………………………………………………… 112 4. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 4……………………………………….………………….. 119 5. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 5……………………………………….………………….. 125 6. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 6……………………………………….………………….. 132 7. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 7..…………………………………… …………………… 137

êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ßË³ï³ÝùÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³Ï……………………………………. 147 ú·ï³·áñÍí³Í ·ñ³Ï³ÝáõÃÛáõÝ…………………………………………………..149

151

ՂՈՒԼՂԱԶԱՐՅԱՆ ԳՈՒՐԳԵՆ ՌՈՒԲԵՆԻ ՂՈՒԼՂԱԶԱՐՅԱՆ ԼՈՒՍԻՆԵ ԳՈՒՐԳԵՆԻ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԱՆԱԼԻԶ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՇԻՎ

Ուսումնական ձեռնարկ մանկավարժական բուհերի ուսանողների համար (Հաստատված է ՀՀ կրթության և գիտության նախարարության կողմից)

Հանձնարարված է տպագրության 20.07.05 Թուղթ՝ A5 Տպագրությունը՝ <<Ռիզոգրաֆ>> եղանակով: Տպագր. 9.5, հրապ. 8.5 մամուլ: Պատվեր 26:

Տպաքանակ՝ 500 Գինը՝ պայմանագրային: Խ. Աբովյանի անվ. ՀՊՄՀ <<Մանկավարժ>> հրատարակչություն: Երևան, Կենտրոն, Տ. Մեծի 17:

df (x) = f ′(x analiz_3.pdf · Մաթեմատիկական անալիզ դիֆերենցիալ...

Documents