Educación Primaria

12 de mayo de 2006,día escolar de las Matemáticas

¿Has visto alguna película de “Indi”? Seguro que en lapróxima que veas te vas a dar cuenta de muchos detallesmás.

En las excavaciones realizadas en Egipto, la únicatumba que se encontró completamente intacta fuela de un faraón que se llamaba Tutankamon. Esterey vivió desde el año 1.372 a. de C. hasta el 1.354a. de C. Si te fijas en las fechas del nacimiento ymuerte de Tutankamon parece que contamos alrevés. ¿Crees que se trata de un error?

Explícalo:

La tumba fue sellada definitivamente en el año 1.346 a. de C. y fue descubiertapor unos arqueólogos en el año 1.922 ¿Cuántos años estuvo sellada?

Respuesta:

El a

rte

egip

cio

y la

s ma

tema

tica

s

2

uizás hayas oído hablar de un país llamado Egipto, ya que es muy famosopor sus pirámides. En estas se enterraban los “Faraones”, que era comose llamaban sus reyes por aquella época, unos 2.500 años antes de nacerCristo (de ahora en adelante a. de C.).

Los egipcios creían en la reencarnación de los muertos, así que los faraones seenterraban con grandes tesoros y, para asegurarse que nadie robaría esas riquezas,

construían dentro de las pirámides muchastrampas y pasadizos secretos, además demaldecir a los profanadores de tumbas paraevitar que les robasen sus tesoros. Alcontrario que los profanadores, losarqueólogos son los científicos encargadosde hacer excavaciones y buscar los restosde civilizaciones antiguas.Precisamente el hallazgo de estas tumbasha aportado muchos datos sobre la formade vida de los antiguos egipcios.

LAS

TUM

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DE L

OS

FARA

ONE

S

Q

Egipto está situado en el continente africano,concretamente al noreste, y está atravesadopor el río Nilo, que tiene aproximadamenteunos 5.500 Km. de longitud, por lo que es elrío más largo del mundo. Nace en el corazónde África y atraviesa grandes zonas desérticaspara desembocar en el Mediterráneo.

Precisamente fue este río el que dio vida a lacivilización egipcia, ya que por el verano sedesbordaba debido a la gran cantidad de aguaque llevaba y, al descender el nivel del agua,el Nilo volvía a su cauce normal dejando sobrela arena del desierto una buena capa de “limofértil”, es decir, una especie de barro mezcladocon algas y otras materias que arrastraba el ríoy que permitía a los campesinos cultivar esastierras, por lo que consideraban al Nilo comouna especie de “dios”, ya que, además depermitirles practicar la agricultura, tambiénera una magnífica vía de comunicación.

La distancia entre Gijón y Cádiz es de unos 1.000 Km. aproximadamente. Si el ríoNilo naciese en Gijón y fuese hasta Cádiz, ¿cuántas veces tendría que recorrer esetrayecto para tener la misma longitud que la que tiene en África?

Respuesta:

El arte egipcio y las matematicas

3

A Coru aLugo

Pontevedra

Ourense

Asturias

Le n

Zamora

Salamanca

Avila Madrid

ToledoCuenca

Valencia

Castell n

Alicante

Murcia

Almer aGranada

M laga

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Sevilla

Huelva

Badajoz

C ceres

Ciudad Real Albacete

Ja nC rdoba

Cantabria Vizcaya Gipuzkoa

AlayaNavarra

La RiojaBurgos

Palencia

Valladolid

Segovia

Soria

Guadalajara Teruel

Zaragoza

HuescaL rida

Barcelona

Tarragona

Gerona

Baleares

Las Palmas

Santa Cruz deTenerife

Melilla

Ceuta

EL RIO NILO

Volvemos con los campesinos. Como tenían que pagar impuestos por el trozo detierra que cultivaban y este trozo cambiaba con las crecidas y decrecidas del Nilo,cada cierto tiempo había que medir esos campos, lo que hizo que los egipcios sehiciesen expertos en geometría, ya sabes, esa parte de las “mates” que habla desegmentos, lados, ángulos, polígonos, etc.En realidad la palabra “geometría” la empezaron a utilizar los griegos:metría = medir y geo= tierra, así que su significado sería “medir la tierra”.

En el año 2.548 a. de C., un campesino llamado Aset pagó 6 sacos de trigopor cultivar un terreno cuyas dimensiones figuran en la parte inferior. . Alaño siguiente, es decir en el 2.547 a.de C., el recaudador de impuestos delfaraón le pidió 4 sacos de trigo por el terreno que cultivó, pero Aset no estabade acuerdo. ¿Sabrías calcular cuántos sacos de trigo debería de pagar Aset?

Respuesta:

Estos egipcios eran muy, pero que muy listos. Para construir sus templos, laspirámides, etc., tenían que saber bastante de geometría, pues son construccionesde gran tamaño y muy difíciles de realizar con los medios disponibles en esa época.

Uno de los problemas con los que seencontraban era el de trazar perpendiculares,ya sabes, esos segmentos que forman un ángulorecto (aclaración: 90 grados), porque claro,por aquella época el transportador de ángulosno existía. Estuvieron bastante tiempotrabajando en este asunto, hasta que despuésvarias pruebas descubrieron que podían hacertriángulos rectángulos, o sea, los que tienenEl

art

e eg

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4

LA G

EOM

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A

300 m. 300 m.

250 m.

TERRENO DE ASETEN EL AÑO 2548 a. de C.

TERRENO DE ASETEN EL AÑO 2547 a. de C.

un ángulo recto, ¡con una cuerda de 12 nudos! ¡Comolo oyes! ¿Qué no te lo crees…? El truco consistía enlo siguiente: en una cuerda hacían 12 nudos, todosellos a la misma distancia -vale cualquier distancia-,y luego hacían un triángulo cuyos lados fuesen 3, 4 y5, es decir, en total 12, tal y como puedes ver en eldibujo. Pues bien, el ángulo que forman los lados 3 y4 es recto siempre. ¿No te lo crees? Puedes hacerlo túy luego medir el ángulo con el transportador.

Más tarde algunos matemáticos averiguaron que este truco funciona también conotros tríos de números y, después de hacer muchos cálculos con ellos, se dieroncuenta de que, si los multiplicaban por sí mismos, ocurría los siguiente:

3 x 3 = 9 4 x 4 = 16 5 x 5 = 25

¿Observas alguna relación entre los resultados?Efectivamente, si sumas los dos números pequeños, obtienes el mayor: 9 + 16 = 25.Pues resulta que eso se cumple siempre que tenemos un triángulo rectángulo. Tútambién puedes encontrar otros tríos de números que cumplan esa condición y asípodrás hacer triángulos rectángulos sin necesidad de transportador.¿Lo intentamos? Puedes ayudarte cumplimentando la tabla de la parte inferior.

Tienes que multiplicar cada número por él mismo y poner el resultado enrojo, como está en los ejemplos. Después hay que encontrar parejas denúmeros rojos que al sumarlas den otro número también rojo de los de latabla y ya está. Si completas las tablas de la parte inferio, además del 3-4y 5, hay tres combinaciones más.

Combinaciones: 3,4 y5,

El arte egipcio y las matematicas

5

1

1x1=1

2

2x2=4

3

3x3=9

4

4x4=16

5

5x5=25

6

6x6=36

7

7x7=49

8 9 10

11 12 13 14 16

LA CUERDA CON DO

CE NUDOS

, ,

Por supuesto que los números de los egipcios no son como los que conocemos ahora.Ellos utilizaban otros dibujos (grafías) para representar las cifras:

Como puedes observar las cifras son mucho más bonitas que las nuestras, peroseguro que tardaban mucho en escribir un número.

A estos egipcios les gustaban mucho hacer dibujos, tanto es así que las letras tambiéneran dibujos bastante complicados.En la imagen inferior tienes uno de sus escritos y como ves parece que el texto esuna especie de código secreto…

El a

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egip

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6

LOS

NUM

ERO

S EG

IPCI

OS

Respuesta:

Respuesta:

¿Sabrías cuáles son estos números?

A este tipo de escritura se le llamó “escritura jeroglífica”. Después de muchosestudios, los arqueólogos han logrado descifrar el significado de esos signos. Elcódigo es el que tienes en la figura inferior.

Como puedes ver, algunos dibujos se repiten, pero aún así estoy seguro deque serás un buen detective y podrás descifrar el siguiente mensaje:

Respuesta:

El arte egipcio y las matematicas

7

LOS JERO

GLIFICOS

Para escribir las cifras, nosotros utilizamos unas grafías mucho más sencillas pero,si fuese necesario, también podríamos hacer otro tipo de dibujos, por ejemplomonigotes, y hacer cálculos con ellos, lo cual sería bastante más divertido. Ahítienes un ejemplo de cálculo con monigotes.

Haciendo las operaciones de la izquierda, encontrarás el valor de los monigotesde la derecha, es decir, de las claves. Después de tener el valor de todas lasclaves, ya puedes hacer las operaciones del centro.

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tica

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8

6 12x =

6+ =

11 88x =

66 59- =

140 : =

40=x

11+ =

18x =

x =

x =

x : =

: x =

x x =

+ + =

- x =

- x =

- x =

x - =

=

=

=

=

=

=

=

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CLAVE

OPE

RACI

ONE

S CO

N M

ONI

GOTE

S

Estos egipcios tenían un montón de trucos. Ya en esa época erancapaces de hacer cualquier multiplicación y eso que no tenían niidea de las tablas de multiplicar. ¿Cómo lo hacían? Solamentesabían calcular el doble de los números, es decir, la tabla del 2 ycon eso tenían suficiente. Te voy a explicar el truco que utilizaban.Imagínate que quieres multiplicar 14 x 7.Primero hacemos una tabla en la que vamos duplicando el 7, comofigura en la tabla.

Ahora, en la columna de la izquierda hay que buscar los númerosque sumados nos den 14. En este caso serían: 8 + 4 + 2 = 14.Solamente nos queda sumar las parejas de estos tres números queestán a su derecha, es decir, el 56, el 28 y el 14

56 + 28 + 14 = 98.

Ése es el resultado de la multiplicación.Facilísimo, ¿no?.

Otro ejemplo: 19 x 15.Primero duplicamos el 15 varias veces y luego buscamos losnúmeros de la izquierda que sumen 19.

En este caso son: 16 + 2 + 1 = 19, así que sumamos sus parejasde la derecha: 240 + 30 + 15 =285.

¿Qué te parece?

¿Sabrías utilizar ese método para multiplicar 13 x 12?

El arte egipcio y las matematicas

9

1 7

2 14

4 28

8 56

1 15

2 30

4 60

8 120

16 240

1 12

2

4

8

Explicación:

Resultado:

MULTIPLICACIO

NES ESPECIALES

Para la división utilizaban el mismo truco, pero a la inversa.Supongamos que queremos dividir 385 entre 35. Primero hacemosla tabla del 35, duplicándolo. Ahora tenemos que encontrar losnúmeros de la columna de la derecha que sumados nos den el 385.En este caso sería: 280 + 70 + 35 = 385.Pues el resultado de la división sería la suma de sus parejas dela izquierda: 8 + 2 + 1 = 11.¿Qué te ha parecido?

El a

rte

egip

cio

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tema

tica

s

10

1 35

2 70

4 140

8 280

Te pongo otro ejemplo, esta vez con resto y todo.Vamos a repartir 450 entre 26. Empezamos por hacer los duplicadosdel 26 en la columna de la derecha. Buscamos en esa columna dela derecha los números que sumados nos den 450. En este casolos que más se aproximan, sin pasarse, serían: 416 + 26 = 442(nos faltan 8, que sería el resto). Así pues el resultado sería lasuma de sus parejas de la izquierda, es decir: 16 + 1 = 17.Por tanto 450 entre 26 da como resultado 17 y de resto 8.

1 26

2 52

4 104

8 208

16 416

Mira la foto inferior. ¿Ves las pirámides? Son impresionantes ¿verdad? Sobre todosi pensamos que se construyeron aproximadamente hace unos 5.000 años.

Como te comentábamos antes, dentro de las pirámides se construían varios túneles,falsas puertas y laberintos para evitar que los profanadores de tumbas robasen lostesoros.Las pirámides de Egipto tienen como base un cuadrado, es decir, son pirámidescuadrangulares y las tienes de diferentes medidas.

LAS

PIRA

MID

ES

El arte egipcio y las matematicas

11La gran pirámide de Keops tiene como base un cuadrado de 230,35 m. de lado yuna altura de 146,6 m., aunque sus medidas originales son difíciles de conocer conexactitud, ya que con la erosión originada por el viento y la arena, estas medidashan cambiado.

De todas formas, si divides el lado de la base entre la mitad de su altura, teda un valor muy aproximado a un número que se descubriría muchos añosdespués de la civilización egipcia y que los matemáticos utilizan muchísimo.¿Sabes a qué número nos referimos?

Respuesta:

Otra cosa muy curiosa de las pirámides es su orientación. Loscuatro vértices de la pirámide coinciden con los cuatro puntoscardinales. ¡Asombroso!, ¿verdad? ¡ Y eso que por aquel entoncesen las tiendas no había brújulas…!eran increíbles. ¡Y no solamente eso! si no que la entradaprincipal la ponían siempre orientada hacia el norte, lo quedemuestra que, además de conocimientos matemáticos, sabíantambién mucho de astronomía. Lo más probable es que, paraorientar las pirámides, utilizasen la sombra del sol. ¿Sabescómo funcionan los relojes de sol? Te lo explico y, si te animas,puedes construir uno muy sencillito.

UN POCO

DE ASTRONO

MIA

a. Entradab. Canal descendentec. Cámara del Caosd. Canal de servicioe. Canal ascendentef. Cámara de la Reinag. Canales de ventilaciónh. Gran galeríai. Antecámaraj. Cámara del Reyk. Cámara de descarga

ggk

ji

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e

a

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No tienes más que clavar un palo vertical al suelo - ese palo se llama “gnomon”-y dibujar la sombra que proyecta el sol desde que sale por el este -la sombra marcaráel oeste-, hasta que se oculta por el oeste y por tanto la sombra marcará el este(¡ ojito ! ¡ “este” sin tilde !). Si lo hemos hecho bien, más o menos tendremos unsegmento. Pues bien, la mediatriz de ese segmento, o sea, la perpendicular en elpunto medio, señala la línea norte-sur. Como supongo que sabes que el recorridodel sol es este-sur-oeste, ya lo tienes todo para orientarte.

Otra preguntita…

En el momento en que el gnomon proyecta lasombra de menor longitud, ¿qué hora será? Tenen cuenta que va a ser “la hora solar” ya quela nuestra será otra, porque de vez en cuandonosotros hacemos trampa. Es decir, adelantamoso atrasamos nuestros relojes para ahorrarenergía.

Si quieres poner en tu reloj de sol todas las horas, no tienes más que marcar lasombra cada hora, comprobándolo con tu reloj de muñeca. A partir de ese momentoya tienes un reloj solar, que no necesita pilas y dura toda la vida. Eso sí, tiene unpequeño problemilla: cuando no hace sol… es como si se le hubiesen acabado laspilas…Bien, una vez que ya sabemos cómo los egipcios orientaban las pirámides, nos quedaun “pequeño detalle”: colocar los bloques de piedra. Ten en cuenta que estamoshablando de una gran cantidad de enormes moles de piedra. Por ejemplo, la granpirámide de Keops se calcula que podría tener unos 2.300.000 bloques, con unpeso medio de 2,5 toneladas cada uno.

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12

Para estar seguro de que la línea que señala el norte está bien construida,solamente tienes que comprobar que, de todas las sombras que proyecta elgnomon, precisamente la del norte será la que tenga menor longitud.

¿Sabrías explicar la razón?

En la foto puedes ver un peculiar reloj desol que está en Gijón, concretamente en elPaseo del Cervigón, en la prolongación delPaseo del Muro.

CONS

TRUY

ENDO

PIR

AMID

ES

Lo más probable es que el transporte de las piedrasse realizase sobre trineos por el desierto y en barcaspor el Nilo. Para colocar los bloques uno sobre otro,utilizaban rampas, que iban construyendo a medidaque aumentaba la altura de la pirámide.

Nuestros amigos egipcios ya han empezado a construir su pirámide y estánutilizando la rampa que tienes en el dibujo inferior. A su derecha puedes verun esquema con las medidas.

¿Sabrías decirme la altura de la rampa?. Como pista te diré que ya hemosrealizado anteriormente ejercicios similares con la cuerda de 12 nudos,aquellas ternas de números,… ¿te acuerdas? Pues ahora te falta uno de losnúmeros pequeños.

Bueno, me parece que solamente te falta construiruna pirámide de verdad, pero, claro, como eltema de “las moles de piedra” nos puede daralgún que otro quebradero de cabeza, mejor lahacemos de papel y, si es con cartulina, puesmejor aún. Ahí tienes un par de recortables quete pueden servir para hacer tu pirámide.

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13

Respuesta:

20 m.

16 m.

¿?Medidas

Rampa

LAS RAMPAS

1. Recortar las 5 piezas y pegarlas sobre un cartón. Puede servirnos unacaja de zapatos.2. Recortar el cartón con las piezas pegadas y quitar los círculos de losvértices. Se puede hacer con una taladradora de papel.3. Doblar las piezas por el trazado interior, poniendo las dobleces haciafuera.4. Unir las dobleces, haciendo coincidir los círculos, y sujetarlas con gomaselásticas

Si unes solamente los cuatro triángulos, obtienes una pirámide triangularmuy especial que se llama tetraedro

construccion de la piramideEl

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PIRA

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PAP

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)

Para construir la pirámide, no tienes más que recortar por el borde exterior,doblar los bordes grises y pegarlos.

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PIRAMIDE DE PAPEL (2)

Hay libros muy interesantes sobre la historia de las matemáticas, en los quepodéis encontrar más cosas sobre los egipcios. Seguro que en la bibliotecadel “cole” hay algo, pero si no encuentras nada, también podéis consultaren Internet, donde seguro que tenéis muchísima información al respecto. Dealgunas de estas páginas de Internet hemos extraído dibujos e imágenes yalguna que otra información:

http://www.dearqueologia.com/http://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/tutankamon.htmhttp://egipto.com/egipto_para_nino/http://www.egiptomania.com/piramides/

¿Os han gustado los jeroglíficos? Podéis escribir vuestro nombre en clave en: http://egipto.com/cuentos/04.html

Si os apetece leer un cuento sobre Egipto, podéis ir a:http://www.dearqueologia.com/cuento.htm

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La reproducción de las imágenes y fragmentos de las obras audiovisuales que se emplean en los diferentes documentos ysoportes de esta publicación se acogen a lo establecido en el artículo 32 (citas y reseñas) del Real Decreto Legislativo1/2.996, de 12 de abril, y modificaciones posteriores, puesto que “se trata de obras de naturaleza escrita, sonora o audiovisualque han sido extraídas de documentos ya divulgados por vía comercial o por internet, se hace a título de cita, análisis ocomentario crítico, y se utilizan solamente con fines docentes”.

Esta publicación tiene fines exclusivamente educativos, se realiza sin ánimo de lucro, y se distribuye gratuitamente a todoslos centros educativos del Principado de Asturias. Queda prohibida la venta de este material a terceros, así como lareproducción total o parcial de sus contenidos sin autorización expresa de los autores y del Copyright.

Todos los derechos reservados.

Me parece que tenemos que despedirnos…

Espero que hayas aprendido unas cuantas cosas

sobre nuestra civilización y también algunas

cosas de ”mate”, que no tienen por qué ser

siempre aburridas…

¡Hasta siempre!

Título: El arte egipcio y las matemáticasAutores: José Ignacio Miguel DíazCorrector textos: Carlos Lomas GarcíaColección: Materiales Didácticos de AulaSerie: Infantil y Primaria

Edita: C.P.R. de GijónDiseño: GráficosImpresión: Artes Gráficas Costa VerdeDepósito Legal: AS-2252-2006