diagrama de características y geometría de masas

Diagrama de Características y Geometría de Masas

Trazado de Diagramas de Características

El presente trabajo es un sumario de repaso de conceptos teóricos de la materia Estabilidad Ib (64.11) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.

Ing. Gabriel Pujol

Año de edición 2016


Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol

Tabla de contenido

GEOMETRÍA DE MASAS 3

BARICENTRO DE UNA SUPERFICIE 3 MOMENTO ESTÁTICO DE UNA SUPERFICIE 4 MOMENTOS DE SEGUNDO ORDEN DE UNA SUPERFICIE 5 TRANSPOSICIÓN ANGULAR 6 EJES PRINCIPALES DE INERCIA 7 CONSTRUCCIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR-LAND 8 RADIO DE GIRO 9 MÓDULO RESISTENTE 9

DIAGRAMAS DE CARACTERÍSTICAS 10

DEFINICIONES 10 DETERMINACIÓN GRÁFICA DE LOS DIAGRAMAS DE CARACTERÍSTICAS 10 TRAZADO DE DIAGRAMAS DE CARACTERÍSTICAS 11 EJERCICIO DE APLICACIÓN 18

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 31


Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12



Geometría de masas

Baricentro de una Superficie

En Resistencia de Materiales interesa, entre otras cosas, la determinación del Centro de Gravedad o Baricentro de superficies planas. Sus coordenadas podemos calcularlas como sigue:

F

xF

x

n

i

ii

G

1 (1)

F

yF

y

n

i

ii

G

1 (2)

1. Determinación Gráfica de Baricentros de figuras geométricas

El Centro de Gravedad o Baricentro de superficies planas estará en la intersección de dos o más ejes de simetría de dichas superficies (en el caso que los tuvieran):

2. Determinación Gráfica de Baricentros de figuras compuestas (figuras sin ejes de simetría que pueden ser descompuestas en figuras simples) mediante el Polígono Funicular

Dado un conjunto de fuerzas en el plano, un polígono funicular para ese sistema de fuerzas es una línea poligonal (no necesariamente cerrada) cuyos vértices recaen sobre las líneas de acción de la fuerzas y los ángulos que forman en cada vértice el polígono funicular dependen de la magnitud de la fuerza. Cabe destacar que el polígono funicular no es único, sino que para un conjunto de fuerzas pueden dibujarse muchos polígonos funiculares que cumplan las condiciones anteriores.

Consideremos una sección homogénea (peso específico constante) donde el área sea proporcional a la masa de la misma. Sea su superficie una tal como la indicada en la figura (ver al dorso), a la cual podemos subdividirla en figuras simples (rectángulos 1, 2 y 3) de baricentros G1, G2 y G3 conocidos y superficies A1, A2 y A3 también conocidas. Con estas condiciones podremos considerar a estas superficies parciales proporcionales a las fuerzas de masa aplicadas en los centros de gravedad G1, G2 y G3.

Tendremos así un sistema finito de n fuerzas coplanares, y el polígono funicular que las mismas determinan constará de n+1 lados. Para determinar dicho polígono funicular se dibuja un diagrama de fuerzas paralelas y se procede a encontrar la fuerza resultante. Para ello se siguen los siguientes pasos:

1. Se llevan en una escala conveniente las fuerzas, una a continuación de la otra y se define de este modo el módulo de la resultante “R1”.

2. Se selecciona un punto arbitrario del diagrama de fuerzas al que llamaremos polo O1.

3. Se trazan los llamados radios polares que unen los extremos de las fuerzas con el punto O1, al existir n fuerzas existirán n+1 extremos y por tanto el mismo número de radios polares.



4. Se toma el primero de los radios polares y se dibuja una semirrecta paralela al mismo que intersecte la recta de acción de la primera fuerza.

5. Se consideran el segundo, tercero, ..., n-ésimo radio polar y se dibujan segmentos paralelos entre las rectas de acción de las fuerzas originales, uno a continuación de otro.

6. Se toma en (n+1)-ésimo radio polar y se dibuja una semirrecta empezando desde el extremo del último segmento dibujado.

Así los n+1 radios polares del diagrama de fuerzas constituyen una línea poligonal continua, que es precisamente el polígono funicular asociado a la elección del polo O1. Nótese que si se toma un polo diferente O1' y se repite el procedimiento de 6 pasos anteriores se obtiene un polígono funicular diferente, pero que es igualmente válido para calcular un punto de paso de la recta de acción de la resultante.

“La resultante obtenida con la ayuda del funicular correspondiente determina una recta a la cual pertenece el baricentro G.”

Haciendo girar las superficies A1, A2 y A3 en 90º se obtiene una resultante R1 cuya recta de acción intercepta a la R1 (vertical) en el punto G.

Momento Estático de una Superficie

Los numeradores de las ecuaciones (1) y (2), que indicaremos SY y SX y que calculamos como:

dFxSdFyS YX ;

se denominan Momentos Estáticos de la superficie respecto de los ejes “x” e “y” respectivamente. También podrá escribirse:

GYGX xFSyFS ;

Si una superficie de área A, se subdivide en otras de áreas A’ y A”, cuyos momentos estáticos son conocidos, el momento estático total, SX, iguala a la suma algebraica de los momentos estáticos parciales:

XXX SSS

Si la sección total de área A está formada por partes llenas



A’ y partes huecas de áreas A”, el momento estático de la parte llena es igual al momento estático de SX

de la sección total disminuido del momento estático de las partes huecas SX ”:

XXX SSS

“El momento estático de una superficie plana resulta nulo para cualquier eje baricéntrico” o también:

“La anulación del momento estático respecto de un eje es condición necesaria y suficiente para que dicho eje sea baricéntrico”.

Momentos de segundo orden de una superficie

Momento de Inercia de una Superficie

Llamaremos Momentos de Inercia de una superficie respecto un eje, a la suma de los productos de cada elemento de área por el cuadrado de su distancia a dicho eje.

dFxJdFyJ YX

22 ;

Momento de Inercia Centrífugo

Llamaremos Momentos de Inercia Centrífugo de una superficie respecto dos ejes, a la suma de los productos de cada elemento de área por su distancia a dichos ejes.

dFyxJ XY

Cuando el Momento Centrífugo es nulo, JXY = 0, los eje se llaman conjugados de inercia.

Momento de Inercia Polar

Llamaremos Momentos de Inercia Polar de una superficie respecto de un punto “O”, a la suma de los productos de cada elemento de área por el cuadrado de su distancia a dicho punto.

dFrJO

2

y siendo 222 yxr resulta:

YXO JJdFydFxdFyxJ 2222

“La suma de los momentos de inercia de una sección respecto a cualquier par de ejes normales entre sí, que tengan el mismo origen “O”, es constante e igual al momento de inercia polar de la sección con respecto al punto “O” intersección de ambos ejes.”

Regla de Steiner

Sea “gg” un eje baricéntrico y “xx” un eje paralelo al anterior, situado a la distancia “d”. El momento de inercia de la sección con respecto al eje “xx” está expresado por la siguiente ecuación:

2dFJJ GX

“El momento de inercia de una sección con respecto a un eje es igual al momento de inercia de la sección con respecto al eje baricéntrico paralelo al anterior, más el



producto del área de la sección por el cuadrado de la distancia entre ambos ejes”.

Momentos de Inercia de algunas superficies

1. Rectángulo:

El momento de inercia del rectángulo con respecto al eje “gg” está expresado por:

123

32

2

32

2

2

2

2

22

2

2

hbybdyybJ

dyybdAyJ

h

h

h

h

G

h

h

h

h

G

2. Triángulo:

El momento de inercia de un triángulo con respecto a un eje que pasa por un vértice y es paralelo al lado opuesto, está expresado por:

363

2

2

44

;

32

3

00

3

0

2

hbJh

hbJJpero

hby

h

bdyy

h

bJ

h

byx

h

y

b

xpero

dyxdAdAyJ

GGX

hh

X

h

X

3. Círculo:

El momento de inercia polar de un círculo respecto al polo “G” coincidente con su centro, está expresado por:

642

1

;

32444

4

442

0

42

0

4

dJJJ

JJJJJ

drrd

rJ

GYX

YXYXG

G

Transposición angular

Sean los eje “u” y “v” normales entre sí, teniendo el mismo origen “O” que los eje “x” e “y”, también normales entre sí. Nos proponemos determinar JU, JV y JUV en función de JX, JY y JXY supuestos conocidos.

Un elemento de área dF tendrá como coordenadas:



cossin

sincos

yxv

yxu

Puede demostrarse que:

2sincossin

2sinsincos

222

222

XYYXV

XYYXU

JJJdFuJ

JJJdFvJ

sumando ambas ecuaciones se obtiene:

OYXVU JJJJJ

Para el momento de inercia centrífugo hacemos:

2cos2sin2

XYYX

UV JJJ

dFvuJ

Ejes Principales de Inercia

El valor de los momentos de inercia JU y JV será función del valor que adopte el ángulo “”, habiendo un valor para el cual estos serán máximos o mínimos.

El ángulo “” que deben formar los ejes “u” y “v” con los ejes “x” y “y” para obtener los valores máximos y

mínimos de JU y JV podremos obtenerlo, haciendo la derivada respecto de “” del momento de inercia JU nulo.

02cos2sin2

UVXYYXU JJ

JJ

d

dJ



O sea que la posición de los ejes principales de inercia queda determinada por la condición JUV = 0, por lo que ambos ejes son conjugados de inercia.

Si el punto “O” es el centro de gravedad de la sección, se llaman ejes baricéntricos principales de inercia. Si la sección tiene un eje de simetría, este es un eje baricéntrico principal de inercia, mientras que el otro estará orientado a 90º respecto de éste.

XY

XY

JJ

Jtg

22

Construcción del Círculo de Mohr-Land

Sea la sección de la figura y supondremos haber calculado los valores de JX, JY y JXY.

Sobre un semieje, por ejemplo el “+y”, llevamos en escala el valor de JX determinando el punto A; en la misma escala llevamos a continuación el valor de JY determinando el punto B.

Con centro en el punto medio de GB tracemos un círculo que pase por G y por B. Su diámetro será el momento de inercia polar respecto del centro G.

YXG JJJ

Sobre la perpendicular levantada por A a la recta GB llevemos en escala, y con su signo, el valor de JXY, determinando el punto P, llamado punto central de inercia o polo. Si el signo del momento centrífugo es positivo, las coordenadas del punto P tendrán el mismo signo, y si es negativo, signos contrarios.

Determinación de los momentos de inercia con respecto a dos ejes baricéntricos:

Tracemos el círculo de Mohr y determinemos su polo P y sean dos ejes baricéntricos cualquiera “ss” y “tt”. La cuerda AB queda determinado por los puntos en que los ejes “ss” y “tt” cortan a la circunferencia.

El valor de JST, momento de inercia centrífugo, está medido por la longitud del segmento de perpendicular trazado del punto P a la cuerda AB.



El valor de JS, momento de inercia medido respecto del eje “ss”, está medido por la longitud del segmento de perpendicular trazado del punto P a la tangente a la circunferencia en el punto A.

El valor de JT, momento de inercia medido respecto del eje “tt”, está medido por la longitud del segmento de perpendicular trazado del punto P a la tangente a la circunferencia en el punto B.

Dado un eje baricéntrico cualquiera, hallar su conjugado de inercia:

Tracemos el círculo de Mohr y determinemos su polo P y sea “c1c1” un eje baricéntrico cualquiera, que corta a la circunferencia en el punto B.

Tracemos la secante determinada por los puntos P y B, que cortan a la circunferencia en el punto A.

El eje “c2c2” determinado por los puntos G y A será el eje conjugado de inercia del eje “c1c1”.

Trazado de los ejes Principales de Inercia:

Tracemos el círculo de Mohr y determinemos su polo P.

Tracemos el diámetro que pasa por P y corta a la circunferencia en los puntos E y N.

El eje “” determinado por los puntos E y G y el eje “”, determinado por los puntos N y G, son los ejes principales de

inercia. El momento de inercia máximo corresponde al eje “”, y su valor estará medido por el segmento EP.

Radio de Giro

Se denomina radio de giro de una sección con respecto a un eje a una longitud “i” que, elevada al cuadrado y multiplicada por el área, nos da el valor del momento de inercia respecto del mismo eje.

A

JiJAi XXXX 2

Módulo Resistente

Se llama módulo resistente de una sección, con respecto al eje baricéntrico, al cociente resultante entre el momento de inercia de la misma respecto a dicho eje y la distancia del punto más alejado de la sección respecto al eje en cuestión.

3

max

cmv

JW X

X



Diagramas de Características

Definiciones

Momento Flexor

En la sección S de una viga sometida a la acción de cargas exteriores RA, P1, P2, P3, P4, y RB, es el momento de todas las fuerzas exteriores actuantes a la izquierda de S respecto del baricentro de S, o a la derecha con signo contrario.

Esfuerzo de Corte

En la sección S de una viga sometida a la acción de cargas exteriores RA, P1, P2, P3, P4, y RB, es la componente vertical de todas las fuerzas exteriores aplicada a la izquierda de S, o a la derecha con signo contrario.

Esfuerzo de Axil

En la sección S de una viga sometida a la acción de cargas exteriores RA, P1, P2, P3, P4, y RB, es la componente horizontal de todas las fuerzas exteriores aplicada a la izquierda de S respecto del baricentro de S, o a la derecha. Es positiva si es de tracción y negativa si es de compresión.

Determinación Gráfica de los diagramas de Características

Sea la viga AB simplemente apoyada, solicitada por las cargas P1, P2, y P3.

Determinemos las reacciones de vínculo RA y RB que equilibran el sistema por medio de un funicular de polo O1 elegido de modo que la línea de cierre “5” sea horizontal.

El diagrama trazado con los lados 1, 2, 3 y 4 del funicular, es el diagrama de momentos flexores en escala de momentos que se construye multiplicando la escala lineal por la escala de fuerzas por la distancia polar “h” del funicular.

Como todas las fuerzas exteriores son verticales, en este caso, el esfuerzo axil N resulta nulo; el esfuerzo cortante Q también será vertical y su diagrama lo obtenemos proyectando el vectorial del funicular.



Relaciones entre Carga, Esfuerzo Cortante y Momento Flexor

Sea la viga AB simplemente apoyada, solicitada por un sistema de cargas. Determinemos las reacciones de vínculo RA y RB que equilibran el sistema.

Al pasar de C a C1 el incremento del esfuerzo cortante proviene de:

pdx

dQp

x

Q

xpQ

xx

00 limlim

“La carga específica “p” es, numéricamente, la derivada respecto de “x”del esfuerzo cortante.” (salvo el signo).

Al pasar de C a C1 el incremento del momento

flexor proviene de la fuerza Q y de la carga p.x:

2

xxpxQM

Qdx

dMxpQ

x

Mxx

2limlim 00

“El esfuerzo de corte es la derivada respecto de “x” del momento flexor”, por lo tanto, “El momento flexor es máximo en las secciones en que el esfuerzo cortante resulta nulo o pasa por el valor cero” (cambie de signo).

Derivando M dos veces respecto de x será:

pdx

Md

dx

dQ

dx

dM

dx

d

dx

Md

2

2

2

2

O sea que la derivada segunda del momento flexor respecto de x dos veces es igual, numéricaente, a la carga específica “p” (salvo el signo).

Trazado de diagramas de características

Conceptos e ideas que debemos recordar:

a. Los esfuerzos característicos son las solicitaciones producidas por las cargas que actúan sobre la estructura que se analiza y que habrán de ser las causas condicionantes (al margen de otras variables) del dimensionamiento de las secciones transversales de las distintas partes que la componen.

b. Las acciones exteriores (cargas) han sido expresadas por medio de funciones (carga concentrada –incluyendo pares– y fuerzas distribuidas). Por lo tanto los esfuerzos característicos (que de ellas derivan) serán también funciones y el trazado de los diagramas de características se reduce, en definitiva, a graficar como varía un esfuerzo determinado (variable dependiente) a lo largo del eje de la barra para la cual se dibuja (variable independiente):



c. Relaciones diferenciales: son expresiones matemáticas que se deducen estudiando el equilibrio de un elemento de barra, sometido a la acción de las fuerzas exteriores y de los esfuerzos característicos, que facilitan el análisis de las funciones que se quiere graficar (M, Q, N) y el mismo trazado.

Terna Izquierda Terna Derecha

1

0

0)1

zqdz

zdN

dzqdN

NdzqdNNP

zz

z

zz

4

0

0)1

xqdx

xdN

dxqdN

NdxqdNNP

xx

x

xx

2

0

0)2

zqdz

zdQ

dzqdQ

NdzqdQQP

y

y

y

yy

5

0

0)2

xqdx

zdQ

dxqdQ

NdxqdQQP

y

y

y

yy

3

0

:superiororden de mosinfinitési dodesprecian

02

0)3

1

1

zQdz

zdM

dzQdM

dzdzqM

dzdQQdMMM

M

yx

y

G

G

6

0

:superiororden de mosinfinitési dodesprecian

02

0)3

2

2

xQdx

xdM

dxQdM

dxdxqM

dxdQQdMMM

M

yz

y

G

G



d. Concepto de esfuerzo característico: Partimos de la idea de un cuerpo (chapa en nuestro caso) en estado de equilibrio:

0 iPR

Ahora seleccionamos una sección trasversal cualquiera, con lo cual el cuerpo queda dividido en dos partes (izquierda y derecha) que admitirán sendas resultantes parciales Ri y Rd, que deben ser fuerzas opuestas: Ri = - Rd, de modo que se cumpla que Ri y Rd = R = 0

1

Si Rd es la resultante de las fuerzas que actúan sobre la parte derecha, Ri puede interpretarse como la “colaboración” que le suministra la parte izquierda para que se mantenga en equilibrio y viceversa.

Si analizamos ahora el equilibrio de la parte derecha tendremos:

1 Nota: dado que Ri y Rd constituyen un sistema equivalente para las fuerzas actuantes sobre cada parte, no deben coexistir con ellas; aquí se lo ha hecho a sólo efecto de recordar ideas.



Dado que Ri = - Rd, sobre la cara izquierda de la sección 1-1 se obtendrán fuerzas opuestas a las anteriores con lo cual será:

Las fuerzas Q1, N1, y M1, corresponden a la descomposición de Rd en la dirección de los ejes coordenados x, y, z y son las que se grafican cuando se usa la terna DERECHA.

Las fuerzas Q1, N1, y M1, corresponden a la descomposición de Ri en la dirección de los ejes coordenados x, y, z y son las que se grafican cuando se usa la terna IZQUIERDA.

11

1

1QNR

eRM

i

ii



e. Ternas de referencia global y Locales

i. Terna Global: se emplea para referir a ella la geometría de la estructura y para determinar R y las reacciones de vínculo externas (RVE).

ii. Ternas Locales: a ellas se refieren los esfuerzos característicos.

iii. Ejemplos:

2

f. Ternas locales / Los cuatro casos posibles: la disposición de una barra en la composición de una estructura admite que se la asocie con alguno de los cuatro casos posibles que se muestran a continuación, tanto para terna izquierda como para derecha:

2 Nota: en principio, las ternas Global y Locales no tiene por qué ser del mismo tipo (derecha o izquierda), pero todas las

locales sí deben serlo (derecha o izquierda).



i. Terna local izquierda:

3

3 Nota: ver que de los casos 1 a 4 se pasa mediante un giro continuo de la barra en el sentido horario.



i. Terna local derecha:

4

4 Nota: ver que de los casos 1 a 4 se pasa mediante un giro continuo de la barra en el sentido anti horario.



g. Caras Positivas: son aquellas que, de acuerdo con la terna local adoptada, nos da el signo de los esfuerzos que van a graficarse:

Ejercicio de aplicación

Trazar los diagramas de características de la siguiente estructura plana, empleando terna izquierda:

a. Diagramas:



b. Comentarios

i. Análisis Cualitativo en base a las Relaciones Diferenciales

La integración miembro a miembro de las relaciones diferenciales (3 o (4 a 6)) nos muestra que la función que figura en el primer miembro es de un grado superior a la que lo hace en el segundo:

2

1

2

1

2

1

z

z

yxyx

z

z

yyy

y

z

z

zzzz

dzzQzMzQdz

zdM

dzzqzQzqdz

zdQ

dzzqzNzqdz

zdN

Por lo tanto en nuestro caso se tiene lo siguiente:

Entre las secciones 1 y 21:

grado 2 de parabólicafunción linealfunción )

linealfunción constante)

constante0)

zMzQc

zQzqb

zNzqa

xy

yy

zz



constante0)

n/caso)en (cero constante0)

zMzQc

zQzqb

zNzqa

xy

yy

zz



constante0)

constante0)

zMzQc

zQzqb

zNzqa

xy

yy

zz

c. Cálculo de los esfuerzos característicos en cada sección clave



Por lo tanto, H1 y V1 componen Ri, mientras que todo el resto de las fuerzas (q.3m; H4 = 10 t; VA = 30 t; M3 = 10 t.m y V3 = 22,08 t) componen Rd = -Ri .

Pregunta 1: ¿En qué consiste la mecánica del cálculo de los esfuerzos característicos en

cualquier sección?

Rta: en reducir al baricentro de la sección que se analiza la resultante Ri (da el signo de las

características con terna izquierda) o Rd.

Pregunta 2: ¿Es necesario determinar Ri o (Rd) previamente?

Rta: no, porque según vimos oportunamente, la proyección de la resultante de un sistema de

fuerzas sobre un eje (“z” para hallar Nz e “y” para hallar Qy) es igual a la suma de las proyecciones de las fuerzas componentes sobre el mismo eje y, además, el momento de la resultante de un sistema de fuerzas con respecto a un punto (el baricentro G de la sección en este caso) es igual a la suma de los momentos de las fuerzas componentes con respecto al mismo punto. Se tiene entonces: Ri1 = H1 + V1.



3344

11

y;; den composició

3izquierda la desde

21

21

MVVHR

mqVHR

d

i

En consecuencia, al reducir las fuerzas que actúan sobre la parte izquierda al baricentro de la sección 21, se tiene:

mtmmm

tmtMM

tmm

ttQP

tHP

xx

yy

zz

26,4650,135392,22

92,73592,22

10

izquierda la desde

21

21

21



33

4411

y den composició

3izquierda la desde

23

23

MVR

VHmqVHR

d

i

En G23 se tiene:

mtmtMMM

ttmm

ttQP

ttNP

xxx

yy

zz

26,56110

08,22303592,22

01010

izquierda la desde

2123

23

23



33

4411

y den composició

3izquierda la desde

3

3

MVR

VHmqVHR

d

i

En G3 se tiene:

mtmQMMM

ttmm

ttQP

NttP

yxxx

yy

zz

103

08,22303592,22

01010

izquierda la desde

23233

3

3



44

3311

con comp.3izquierda la desde

24

24

VHR

MVmqVHR

d

i

En G24 se tiene:

mtmtmt

mtmmm

tmtMM

tHQP

ttmm

ttNP

xx

yy

zz

1098,9392,22

105,135392,22

10

3008,223592,22

izquierda la desde

24

24

24

1



Para la Sección 4, en este único caso se procede a determinar los esfuerzos característicos a partir de Rd (debemos cambiar su signo para dibujarlas).

En G4 (izquierda) se tiene:

0

1010

n)(compresió3030

derecha la desde

44

44

44

zxx

yyy

zzz

dHMM

tQtQP

tNtNP

Vemos ahora, rápidamente, que sucede si planteamos terna derecha (recordemos que el signo de los esfuerzos que deben graficarse son los que se obtienen descomponiendo la resultante derecha Rd en la dirección de los 3 ejes coordenados de referencia):



a. Diagrama de características (terna derecha)



b. Algunas consideraciones finales

Haremos algunas consideraciones finales sobre el signo de las pendientes de las tangentes de los diagramas de esfuerzos de corte y momento flexor, así como acerca de las concavidades de éste último cunado la función es parabólica (aunque formalmente está relacionado íntimamente con el primer tema).

Lo haremos para el caso de terna izquierda analizando los diagramas de Qy y Mx de la barra 1-2. Para ello debemos recordar que:

3

2

zQdz

zdM

zqdz

zdQ

yx

y

y

La expresión (2) nos dice que la pendiente de la recta tangente a la función Qy en cualquier punto (posicionado mediante la abscisa “z”) viene dada por la ordenada de carga qy (que corresponde a ese mismo punto) cambiada de signo.

Del mismo modo la expresión (3) nos dice que la pendiente de la recta tangente a la función Mx en un punto cualquiera viene dada por el valor del esfuerzo de corte en ese mismo punto.

En el primer caso qy debe medirse en la escala de fuerzas empleada para graficar los esfuerzos de corte; en el segundo caso, Qy debe medirse en la escala adoptada para el diagrama de momentos flexores.

En resumen, los diagramas de qy(z); Qy(z) y Mx(z) están íntimamente relacionados:



Por último podemos dar la siguiente regla práctica para verificar si la concavidad de la curva representativa del diagrama de momentos flexores (de cargas distribuidas) es correcta:

“Se supone que la línea de cierre del diagrama de momentos es la vela de una embarcación y que la carga distribuida representa la acción del viento, la concavidad correspondiente a la deformación de la vela coincidirá con la del diagrama de momentos flexores.”

Bibliografía Recomendada

Estabilidad I - E. Fliess

Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez

Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo

Sistemas de Alma Llena Planos – Trazado de Diagramas de Características – C. Giacoia

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