diagramas de esforÇos
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UNIVERSIDADE DO ALGARVE
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Área Departamental de Engenharia Civil
ANÁLISE DE ESTRUTURAS I
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS
JOÃO MANUEL CARVALHO ESTÊVÃO
FARO 2005/06
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 2 -
1. Conceitos básicos Estrutura - Corpo ou conjunto de corpos adequados a resistir a acções. Estrutura reticulada - Estrutura constituída por peças lineares. Peça linear - Corpo gerado por uma figura plana, de forma e dimensões não necessariamente constantes, durante o deslocamento do seu centro de gravidade ao longo de uma linha de grande raio de curvatura, à qual a figura se mantém perpendicular. O deslocamento é largamente superior às dimensões da figura. Acção - Causa exterior capaz de produzir ou de alterar o estado de tensão ou de deformação de um corpo. Deformação - Transformação que se traduz por uma variação da distância entre pontos de um corpo. 2. Ligações 2.1. Ligações exteriores (apoios)
Designação usual
Representação esquemática
Reacções associadas
Deslocamentos permitidos
Apoio simples
Apoio fixo
Encastramento deslizante
Encastramento
Nenhum
Diagramas de esforços
- 3 -
2.2. Ligações interiores
Designação usual
Representação esquemática
Esforços transmitidos
Deslocamentos permitidos
Rótula N e V
Encastramento deslizante
N e M
Pistão V e M
Continuidade N, V e M Nenhum
3. Equações de equilíbrio estático
Momentos =∑ 0 (qualquer ponto)
Forças =∑ 0 (resultante nula) 4. Diagramas de esforços Esforço numa secção - Conjunto de forças estaticamente equivalentes às acções exercidas por uma parte dum corpo sobre a outra parte, através da secção que os separa.
Esforço axial (N) Esforço transverso (V) Momento flector (M)
NN
x
VV
x MM
x
V p dx= − ⋅∫ M V dx= ⋅∫
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 4 -
Diagramas de esforços para cargas usuais
Tipo de carga (p)
Esforço Transverso (V)
Momento Flector (M)
p = 0
V = constante
Linear
V = 0
V > 0
V < 0
Linear
Parábola
Parábola
Eq. do 3º grau
Parábola
Eq. do 3º grau
Linear
Parábola
Parábola
Eq. do 3º grau
Parábola
Eq. do 3º grau
Casos particulares:
- O diagrama de esforços transversos apresenta uma descontinuidade quando existe uma força concentrada.
- O diagrama de esforços transversos tem um extremo quando o carregamento p(x) se anula.
- O diagrama de momentos flectores tem uma descontinuidade quando existe um momento concentrado.
- O diagrama de momentos flectores tem um extremo quando o esforço transverso V(x) se anula.
Diagramas de esforços
- 5 -
Equilíbrio de uma barra uniformemente carregada
MA
VB
p
VA
MB A B
x
L
V V p xx A( ) = − ⋅
M M V xp x
x A A( ) = + ⋅ −⋅ 2
2
M M L V p LL
MB A A B∑ = → + ⋅ = ⋅ ⋅ +02
VL
M Mp L
A B A= − +⋅
12
2
F V p L VV A B∑ = → = ⋅ +0 V V p LB A= − ⋅
M V V p xx A= → = = − ⋅max. ( ) 0 M xV
pA= → =max. max
( )M M M VV
pp V
px A AA A
max max= = + ⋅ − ⋅
2
2
M MV
pAA
max = +⋅
2
2
M M V xp x
x A A( ) = + ⋅ −⋅
=2
20
x
x1
2
xV V p M
pA A A
1
2 2=
− + ⋅ ⋅ , 0 1≤ ≤x L
xV V p M
pA A A
2
2 2=
+ + ⋅ ⋅ , 0 2≤ ≤x L
se V p M x x
x xA A2
1 2
1 2
2
0
0
0
+ ⋅ ⋅< →= → => → ≠
sem zeros
xmax
M(x)
x2
x1 Mmax
V(x)
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 6 -
PROBLEMAS PROPOSTOS
Considerando as estruturas seguintes, calcule as reacções de apoio e desenhe
os diagramas de esforços.
1)
A B
C30 kN/m
50 kNm
D
20 kN
2.50 m 2.50
1.50
0.50
2)
4.00 m 2.00 2.00
3.00
1.00
1.00 1.00
A
B C
40 kN/m 50 kN
D
EF
20 kN
60 kN/m
3)
A
B C D EF
50 kN
40 kN/m
3.00 m 1.00 2.00 1.50 1.50
10 kNm
Diagramas de esforços
- 7 -
4)
A
B
C DE
F
50 kN
36 kN/m
23 kN
2.00 m 2.00 1.00 1.00 2.001.00 1.00
1.00
1.00
60 kN/m
G H
5)
AB
C
D
E
F
90 kN
125 kN
50 kN/m
GH
1.00 3.00 m 2.00 2.00 1.00 1.00 1.00 1.00
1.50
1.50
80 kN
30 kNm
6)
A
B
C
D EF
60 kN
10 kN/m
G
70 kN
1.50 2.00 2.00 1.00 3.00 m 1.50
2.00
2.00
30 kN/m
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 8 -
7)
A BC
D E
F
94 kN
G
10 kN/m
2.00 2.00 2.00 m 2.00 2.00
1.50
1.50
40 kN
8)
A
B
C
D EF
140 kN
G
23 kN/m
2.00 1.50 1.50 2.00 m 1.50 1.50 2.00
2.00
2.00
HI J
15 kN/m
20 kN/m
100 kN
35 kN
30 kN
50 kNm
Diagramas de esforços
- 9 -
9)
A
B C D
E
5 kN
48 kN/m
4.00 m 3.00
3.00
3.00
250 kN
10)
A B
C
D
E
F
60 kN/m
4.00 m
2.00
3.00
6 kN/m
30 kN/m
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 10 -
11)
A
B C D E
F
63 kN
50.2 kN/m
1.50 3.00 4.00 m 1.50 3.00
4.00 30 kN/m
12)
AB
C D
E F
60 kN
20 kN/m
2.00 4.00 m 3.00
3.00
3.00
14 kN/m
30 kN/m
132 kN
Diagramas de esforços
- 11 -
13)
A B
C
D E F
70 kN
40 kN/m
50 kN
1.50 1.50 3.00 m 3.00
2.00
2.00
30 kN/m
14)
A
B
CD
E
F
40 kN
G
10 kN/m
H I
35 kN
2.00 m 2.00 2.00 2.00
3.00
2.00
1.00
40 kN/m
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 12 -
15)
A
BC
D
EF
10 kN
G
20 kN/m
3.00 4.00 m 3.00 2.00
2.00
4.00
30 kN/m
16)
A
B
C D E
F
60 kN
G
H I
J
2.00 2.00 2.00 3.00 m
2.00
4.00
3.00
L
60 kN
75 kN
100 kN
Diagramas de esforços
- 13 -
17)
AB
C
D
E F
G
25 kN/m
H
I
40 kNm
4.00 m 2.00 2.00
1.50
1.50
1.50
40 kN/m
18)
A
B
C
D
E
F
40 kN
G
14 kN/m
H I
25 kNm
2.00 1.50 1.50 4.00 m
2.00
2.00
1.00
5 kN/m
20 kN/m
90 kN
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 14 -
19)
A
B
C D
E F
119 kN
G
30 kN/m
H I
J
2.00 4.00 m 2.25 1.75
2.00
2.00
3.00
10 kN/m18 kN/m
30 kN 63 kN
20)
A B
C D E
8 kN/m42 kNm
1.50 m 1.50 1.50 1.50
2.00
72 kN/m
Diagramas de esforços
- 15 -
Soluções dos problemas propostos
1)
Em primeiro lugar vamos calcular as reacções de apoio, pois só existem três
ligações ao exterior.
F R RH HA HA∑ = ⇒ + = × ⇒ =0 20 30 2 40 kN
M R RA VB VB∑ = ⇒
× + × = + × ⇒ =030 2
25 50 15 20 4
2
. kN
F R RV VA VB∑ = ⇒ = =0 4 kN
Reacções de apoio e orientação das barras
A B
C D
4 kN 4 kN
40 kN
Conhecidas as reacções de apoio podemos desenhar os diagramas de
esforços. Dado que a estrutura contém uma malha, o conhecimento das
reacções de apoio não possibilita, com facilidade, o traçado dos diagramas de
esforços. Desta forma vamos separar a estrutura em quatro corpos (AC, BD, AB
e CD) e isolar os nós com forças concentradas (nós “A” e “B”), representando
todas as forças internas e externas (reacções de apoio) em jogo.
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 16 -
A
B
C30 kN/m
20 kN
D
C
RVA
RVB
50 kNm
D
RHA
F1
F1
F2
F2
F3F
5F6F
4
F7
F8
F9
M1
M1
M2
A
A
F9
F10
F10
F11
F11
F12
F12
M2
F5
F3
F4
F6
B
B
Dado que todos os corpos estão em equilíbrio estático, podemos estabelecer
um conjunto de equações de equilíbrio que nos permitem obter as forças
internas.
M F FD
CD∑ = ⇒ × = ⇒ =0 5 50 101 1
kN
F F FVCD∑ = ⇒ = =0 10
2 1 kN
F F FVBD∑ = ⇒ = =0 10
3 2 kN
F F FVAC∑ = ⇒ = =0 10
4 1 kN
F F FVnó B
kN∑ = ⇒ + = ⇒ =0 4 10 65 5
F F FVAB∑ = ⇒ = =0 6
6 5 kN
M F FB
BD∑ = ⇒ × = × ⇒ =0 2 15 20 157 7
. kN
F F FHCD∑ = ⇒ = =0 15
8 7 kN
Diagramas de esforços
- 17 -
F F FHBD∑ = ⇒ + = ⇒ =0 15 20 5
9 9 kN
F F FHnó B
kN∑ = ⇒ = =0 510 9
F F FHAB∑ = ⇒ = =0 5
11 10 kN
F F FHAC∑ = ⇒ + = × ⇒ =0 15 30 2 45
12 12 kN
M M FA
AB∑ = ⇒ = × = × =0 5 5 6 301 5
kNm
M M MA
AC∑ = ⇒ + × = ×⇒ =0 2 15
30 2
230
2
2
2 kNm
Valores finais:
A
B
C
30
20
D
C
4 4
50
D
10
10
10
10
1066
10
1515
530
30
30
A
A
5
5
5
5
5
45
45
30
6 1010 6
B
B
40
Com os valores das forças internas conhecidos torna-se imediato o traçado dos
diagramas de esforços.
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 18 -
• Esforços axiais
N F FAB
= − = − = −10 11
5 kN
N F FBC
= − = − = −7 8
15 kN
N F FAC
= − = − = −1 4
10 kN
N F FBD
= = =2 3
10 kN
• Esforços transversos
V F V FAAB
BAB= − = = − = −
6 56 kN
V F V FCCD
DCD= = = =
1 210 kN
V FAAC = =
1245 kN
V FCAC = − = − × = −
845 2 30 15 kN
V FBBD = − = −
95 kN
V FDBD = = − + =
75 20 15 kN
V xxAC( ) = − ⋅45 30
0 45 30 15= − ⋅ ⇒ =x x m.
• Momentos flectores
M MAAB = =
130 kNm
M Fm x esqCDa . .
kNm= × =2 5 251
.
M F FdirCDmax. . . .= − × = × − = −25 25 50 25
2 1 kNm
M MAAC = − = × − × = −
2
2
2 1530 2
230 kNm
MABmax. .
..= − + × − × =30 15 45
30 15
2375
2
kNm
M F FBDmax. . . .= − × = − × = −15 05 75
9 7 kNm
Diagramas de esforços
- 19 -
Diagrama de esforços axiais (kN)
-15-10 10
-5
Diagrama de esforços transversos (kN)
45
-15
10
-6
-5
15
Diagrama de momentos flectores (kNm)
30
25
-30
3.75 -7.5
-25
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 20 -
2)
Neste problema o número de reacções é superior a três, logo será necessário
estabelecer equações de equilíbrio interno de modo a que seja possível
determinarmos o valor das reacções. Desta forma vamos dividir a estrutura em
quatro corpos distintos (ABC, CD, DE e EF). Sobre esses corpos actuam um
conjunto de forças internas que correspondem às acções que uns corpos
exercem sobre os outros, de forma a que se mantenha o equilíbrio estável.
A
B C
40 kN/m 50 kN
DC
RVA
F1
F1
F2
F3
RHB
RVB
E
F
20 kN
60 kN/m
E
D
F4
F3
F5
F5
F6
RHF
RVF
RMF
Atendendo a que cada corpo está em equilíbrio estático, podemos estabelecer
as seguintes equações:
M F FEED∑ = ⇒ × + × = ⇒ = −0 4 20 3 0 15
4 4 kN (mudar o sentido do vector)
F F FHED∑ = ⇒ + − = ⇒ = −0 20 15 0 5
5 5 kN (mudar o sentido do vector)
F RHEF
HF∑ = ⇒ =0 5 kN
Diagramas de esforços
- 21 -
F FHCD∑ = ⇒ = −0 15
2 kN (mudar o sentido do vector)
F RHABC
HB∑ = ⇒ = −0 15 kN (mudar o sentido do vector)
M F FCCD∑ = ⇒ × − × = ⇒ =0 2 1 50 0 25
3 3 kN
F FVCD∑ = ⇒ = − =0 50 25 25
1 kN
F F FVED∑ = ⇒ = =0 25
6 3 kN
F RVEF
VF∑ = ⇒ = + × =0 2560 2
285 kN
M RFEF
MF∑ = ⇒ = × + × × × =0 2 2560 2
2
2
32 130 kNm
M R RAABC
VB VB∑ = ⇒ × − × × − × = ⇒ =0 4 40 66
26 25 0 2175. kN
F RVABC
VA∑ = ⇒ = × + − =0 6 40 25 2175 475. . kN
Valores finais:
A
B C
40 50
DC
47.5
25
25
15
2515
217.5
E
F
20
60
E
D
15
25
5
5
25
5
85
130
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 22 -
Reacções de apoio e orientação das barras
A
B CD
E
F
47.5 kN 217.5 kN
85 kN
5 kN
130 kNm
15 kN
Cálculo dos esforços:
• Esforços axiais
NAB
= 0 kN
N R FBC HB
= = =2
15 kN
N F FCD
= = =4 2
15 kN
N F FDE
= − = − = −3 6
25 kN
N R FEF HF
= − = − = −5
5 kN
• Esforços transversos
V RAdir
VA.
.= = 475 kN
VBesq .
. .= − × = −475 40 4 1125 kN
VBdir .
. .= − + =1125 2175 105 kN
V FCesq . = = − × =
1105 2 40 25 kN
V FCdir . = =
125 kN
V FDCD = − = − = −
325 50 25 kN
V FEED = =
55 kN
Diagramas de esforços
- 23 -
V FDED = − = − = −
45 20 15 kN
V FEEF = − = −
625 kN
VFesq . = − − × = −25
60 2
285 kN
V xxAB( ) .= − ⋅475 40
0 475 40 11875= − ⋅ ⇒ =. .x x m
• Momentos flectores
MABmax. . .
..= × − × =11875 47 5
40 11875
228 2
2
kNm
M B = × − × = −4 47540 4
2130
2
. kNm
M FCDmax. = × =1 25
1 kNm
M FEDmax. = × =1 15
4 kNm
M RF MF= − = −130 kNm
Diagrama de esforços axiais (kN)
15
-5
-25
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 24 -
Diagrama de esforços transversos (kN)
47.5
-112.5
105
25
-25-15
5
-25
-85
Diagrama de momentos flectores (kNm)
28.2
-130
25
15
-130
Diagramas de esforços
- 25 -
3)
D
EF
50
40
A
B
C
10 40
150
30
5010
40 40 40 40
Equações de equilíbrio:
F RH HF∑ = ⇒ =0 0
M F FCCD∑ = ⇒ × = ×
⇒ =0 240 2
240
1
2
1 kN
F F FVCD∑ = ⇒ + = × ⇒ =0 40 40 2 40
2 2 kN
M R RAABC
VB VB∑ = ⇒ + × = × ⇒ =0 10 3 40 4 50 kN
F R RVABC
VA VA∑ = ⇒ + = ⇒ =0 40 50 10 kN
F R RV VE VE∑ = ⇒ × + + = + ⇒ =0 40 35 50 10 50 150. kN
M R RDDEF
MF MF∑ = ⇒× + × + = × ⇒ =0
40 15
250 3 150 15 30
2.
. kNm
MCDmax. = × =40 2
820
2
kNm
Reacções de apoio e orientação das barras
A
B C D EF
150 kN
30 kNm
50 kN10 kN
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 26 -
Diagrama de esforços axiais (kN)
Diagrama de esforços transversos (kN)
-10
-100
4050
-40
Diagrama de momentos flectores (kNm)
-30
-105
-40
20
-30
Diagramas de esforços
- 27 -
4)
C
E
F
50
36
2360
161
25
70
21
25
100
A
B
C
D E
FG
H
C
40
40
25
47
25
25
25
25
25
40
47
40
25
47
17.68
33.23 17.68
33.23
Equações de equilíbrio:
M R RFFGH
VG VG∑ = ⇒ × = × × + ×
⇒ =0 1
60 2
21
1
32 100 kN
F F FVFGH∑ = ⇒ + × = ⇒ =0
60 2
2100 40
1 1 kN
F F FVEF∑ = ⇒ = =0 40
3 1 kN
M F FEEF∑ = ⇒ × = × ⇒ =0 2 1 50 25
2 2 kN
F F FHEF∑ = ⇒ = =0 25
4 2 kN
M R RCCDE
VD VD∑ = ⇒ × + × = ×⇒ =0 2 3 40
36 3
221
2
kN
F F FVCDE∑ = ⇒ × = + + ⇒ =0 36 3 40 21 47
5 5 kN
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 28 -
F F FHCDE∑ = ⇒ = =0 25
6 4 kN
F R FHABC
HA∑ = ⇒ = =0 256
kN
F RVABC
VA∑ = ⇒ = + =0 23 47 70 kN
M R RAABC
MA MA∑ = ⇒ + × = × + × ⇒ =0 2 25 1 23 4 47 161 kNm
F R RH HG HG∑ = ⇒ + = ⇒ =0 25 50 25 kN
V xxCD( ) = − ⋅47 36
0 47 36 130556= − ⋅ ⇒ =x x m.
MCDmax. .
..= × − × =130556 47
36 130556
230 68
2
kNm
Corpo ABC, ponto C:
47 45 47 45 3323× = × =cos º sen º . kN
25 45 25 45 17 68× = × =cos º sen º . kN
Reacções de apoio e orientação das barras
161 kNm
25 kN
70 kN
21 kN
25 kN
100 kN
A B
C DE
F G H
Diagramas de esforços
- 29 -
Diagrama de esforços axiais (kN)
-50.91
-25
-40
-25
25
Diagrama de esforços transversos (kN)
-40
-25
60-40
-4
-25
25
47
15.56
47
70
Diagrama de momentos flectores (kNm)
-161
-44
-91
22
-40
25
30.68
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 30 -
5)
EF
50
125
137.5
D
GH
C125
87.5
88.39
61.87 88.39
61.87
125
137.5
A
B
C
125
87.5
87.5
125 125
C
C125
37.5
151
247
30
80
90
9072
54
37.5
37.5
125
75
3022.5
100
C
71
109.5
71
109.5
D
4 3 52 2+ = m
α = =arctan .3
436869898
o
90 72× =cos kNα
90 54× =sen kNα
Equações de equilíbrio:
M R RDABCD
VA VA∑ = ⇒ × = +
× × + × + × ⇒ =0 8 71
21 50 4 125
5
290 1375. kN
M R RCABC
HA HA∑ = ⇒ × + × × +
= × ⇒ =0 3 50 1 31
24 1375 125. kN
F F RHABC
HA∑ = ⇒ = =0 1251
kN
Diagramas de esforços
- 31 -
F F FVABC∑ = ⇒ + × = ⇒ =0 50 1 137 5 875
2 2. . kN
F F FHCnó
kN∑ = ⇒ = =0 1253 1
F F FVCnó
kN∑ = ⇒ + = ⇒ =0 87 5 125 37 54 4
. .
F F FH
CD∑ = ⇒ + = ⇒ =0 54 125 715 5
kN
F FVCD∑ = ⇒ = + =0 72 375 1095
6. . kN
F RHDFGH
HH∑ = ⇒ = + =0 71 80 151 kN
M R REDFGH
VH VH∑ = ⇒ × + × + = × + × ⇒ =0 3 15 80 30 3 151 1 1095 1375. . . kN
F R RV VE VE∑ = ⇒ + = + + + × ⇒ =0 1375 1375 72 125 50 1 247. . kN
Corpo ABC, ponto C:
87 5 45 87 5 45 6187. cos º . sen º .× = × = kN
125 45 125 45 88 39× = × =cos º sen º . kN
Corpo CD, ponto C:
375 30. cos× = kNα e 375 225. s .× =en kNα
125 100× =cos kNα e 125 75× =sen kNα
Reacções de apoio e orientação das barras
AB
C
D
E
F
GH
125 kN
137.5 kN 247 kN
151 kN
137.5 kN
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 32 -
Diagrama de esforços axiais (kN)
-150.26
-125-71
-122.5
-137.5
-151
Diagrama de esforços transversos (kN)
-45
-26.5287.5
-71
-151
-109.5
137.5137.5
45
137.5
Diagrama de momentos flectores (kNm)
-305
112.5
-78.5
-137.5
-109.5
28
-167.5
112.5
112.5
28
-305
Diagramas de esforços
- 33 -
6)
E F
30
G
C
120
90
42.43
60
A
B
90
D
90
120
60
42.43
90
120
150
120
150
375
63.64
63.64
84.85
84.85
C C
D
10
120
180 70
70
120
60 45 60 45 42 43× = × =cos º sen º . kN
Equações de equilíbrio:
F FHABC∑ = ⇒ = × =0 30 4 120
1 kN
F F FHCD∑ = ⇒ = =0 120
3 1 kN
M F FDCD∑ = ⇒ × + × = × ⇒ =0 4 2 60 4 120 90
2 2 kN
F R FVABC
VA∑ = ⇒ = =0 902
kN
M R RCABC
MA MA∑ = ⇒ = × + ×⇒ =0 15 90
30 4
2375
2
. kNm
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 34 -
F FVCD∑ = ⇒ = + =0 90 60 150
4 kN
M R RDDEFG
VE VE∑ = ⇒ × + × = × + ×⇒ =0 3 1 150 4 5 70
10 3
270
2
. kN
F R RV VE VE∑ = ⇒ + = + + × + ⇒ =0 70 90 60 10 3 70 180 kN
Corpo CD, ponto C:
90 45 90 45 63 64× = × =cos º sen º . kN
120 45 120 45 84 85× = × =cos º sen º . kN
Reacções de apoio e orientação das barras
A
BC
D
E
G
375 kNm
90 kN
70 kN
120 kN
180 kN
F
Diagramas de esforços
- 35 -
Diagrama de esforços axiais (kN)
-120
90
-190.92
-148.49
-120
Diagrama de esforços transversos (kN)
21.21
-150
30-21.21
-120
70
-90
Diagrama de momentos flectores (kNm)
375
-150
-105
135
135
60
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 36 -
7)
Reacções de apoio e orientação das barras
114 kNm
15 kN
151 kN
24 kN
A BC
DE
FG
Diagrama de esforços axiais (kN)
-60
36-60
-24
-20
-5
Diagrama de esforços transversos (kN)
60
-20
20
36
-52
-15
99
20
-20
5
Diagramas de esforços
- 37 -
Diagrama de momentos flectores (kNm)
-208
114
20
54
-10
50
-90
144
8)
Reacções de apoio e orientação das barras
46 kNm
70 kN400 kN
194.5 kN
47.5 kN
AB
C
D EF
GH
I J
Diagrama de esforços axiais (kN)
-194.5
-153.5
200 -70
-82.5
100
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 38 -
Diagrama de esforços transversos (kN)
-200
-46
10
138
200
-82.5
110
-1270
-47.5
-130
-160
Diagrama de momentos flectores (kNm)
-300
65
290
15
80
46
260
320
290
260
95
Diagramas de esforços
- 39 -
9)
Reacções de apoio e orientação das barras
C
A
D
E
336 kN
B
309 kNm245 kN
Diagrama de esforços axiais (kN)
−392
490
−294
−336
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 40 -
Diagrama de esforços transversos (kN)
−150
142
−245
144
42
Diagrama de momentos flectores (kNm)
−216
309
−426 18.375
Diagramas de esforços
- 41 -
10)
E
A B
D C
F
120 kN
195 kN 45 kN
Diagrama de esforços axiais (kN)
75
−120
−45 −125
−195
−125
João M. C. Estêvão - EST - UAlg
- 42 -
Diagrama de esforços transversos (kN)
60
−120
−65 −132
25
120
−120
75
93
Diagrama de momentos flectores (kNm)
120
60 −252
−10.42
11)
RVA HF VF= ↑ = → = ↑434 60 25 4 kN ; R kN ; R kN . ; RMF = 66 2. kNm
Diagramas de esforços
- 43 -
12)
RHA VA VB= → = ↑ = ↑117 208 66 kN ; R kN ; R kN
RHE ME= ← =27 40 kN ; R kNm
13)
RHA VA HB= → = ↑ = ←27 5 100 17 5. . kN ; R kN ; R kN
RVB VC= ↑ = ↑85 30 kN ; R kN
14)
RHA VA HB= → = ↑ = ←58 43 5 81 kN ; R kN ; R kN .
RVB MB= ↑ =76 5 351. kN ; R kNm ; R kN HI = →28
15)
RHA VA VB= ← = ↑ = ↓120 285 5 kN ; R kN ; R kN
16)
RHA VA HB= → = ↑ = →60 340 115 kN ; R kN ; R kN
RVB MB= ↓ =220 690 kN ; R kNm
17)
RHD VD HI VI= → = ↑ = = ↑60 40 0 60 kN ; R kN ; R ; R kN
18)
RVA HE VE HI= ↑ = ← = ↓ = →179 13 83 128 kN ; R kN ; R kN ; R kN
19)
kNm 67R ; kN 75.12R MAVA =↓= ; R kN VE = ↑68
↑=←= kN 75.137R ; kN 83R VJHJ
20)
RHA VA HB VB= ← = ↑ = ← = ↑45 22 27 48 kN ; R kN ; R kN ; R kN