MATEMÁTICA BÁSICAII

Números complejos Semana 06 - Clase:

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2016- I

Jenny carbajal Licas

NÚMEROS COMPLEJOS:Definición.Es el conjunto

provisto de dos operaciones: suma y producto, más

no una relación de orden.

2

a) : C C C(z, w) (z, w) z w

(x i y) (u i v)

2C z x yi / x, y ; i 1 i 1 R

(z, w) (x u) (y v)i

R(z, w) (x u y v) (x v u y) i

b) : C C C

Z.W x i y u i v

Im(z) y

2

3 2

4 2 2

5 2 3

i 1

i 1

i i i ( 1) i i

i i i ( 1)( 1) 1

i i i ( 1)( i) i

Re(z) x

i 1

3

z x yi

PARTE REAL :

PARTE IMAGINARIA :

UNIDAD IMAGINARIA :

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA

Si tenemos entonces;

• Conjugado de un número complejo :

• PropiedadesPropiedades

z x yi z x i y x yi

1. z w z w

2. z w z w, z z

z z3.w w

4. Si z x R z z1 15. Si z x iy, z x i y x z z , y z z2 2i

4

• Igualdad de números complejos :

• Suma de números complejos :

5

1 2z z x yi u vi x u y v

1 2z z (x yi) (u vi) (x u) (y v)i

Propiedades

1.

2.

3. Elemento neutro aditivo :

4. Elemento inverso aditivo:

0z 0 0i

1z x yi

6

1 2 2 1z z z z

1 2 3 1 2 3(z z ) z z (z z )

1 1z x yi C, z x yi / z z 0 0i

0z x yi C; z 0 0i C / (x yi) (0 0i) x yi

• Sustracción de números complejos

• Multiplicación de números complejos

• División de números complejos

7

1 2z z (x yi) (u vi) (x u) (y v) i

1 2z z (x yi)(u vi)(x u y v) (x v y u) i

12 2

2

x y i x y i u v i x y i u v izz u v i u v i u v i u v

Propiedades 1.

2.

3. Elemento neutro multiplicativo:

4. Elemento inverso multiplicativo:

5. Asociatividad

8

1 2 2 1z z z z

1 2 3 1 2 3(z z ) z z (z z )

1z

z ' 1 0i

1 2 3 1 2 1 3z (z z ) z z z z

z x yi C, z ' 1 0i C / z z ' (x yi) (1 0i) x yi

1 1z x yi 0 0 i C, z C / z z 1 0 i

Inversa de un número complejo

División de números complejos

9

1 2z x yi ; z u vi C

111 2 2 2

2

z x yi (x yi)(u v i) (x y i)(u vi)z zz u vi (u vi)(u vi) u v

12 2 2 2

1 x yz x yi z iz x y x y

Representación gráfica de un número complejo Plano Complejo Afijo z=

Re: eje real Im: eje imaginario : argumento del complejo

Módulo de un número complejo Si

10

z x i y C

2 2z x y

Z= x+i y

Im

x

y

0 Re

z

,x y

0 2

Propiedades del módulo

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. 11

z 0 s.s.s z 0 i 0

z w z w

2z z. z

zzw w

Re(z) Im(z) 2 z

z 0, z C

z z z

z w z w

Ejercicios

1. Dado , calcular y

y sus respectivos argumentos, si:

2. Graficar los complejos obtenidos. 3. Hallar el valor del número complejo 4. Si ,hallar

5. Hallar z tal que

z, w C zz w, z 2w, z w,w

z w , z w

3 4

2 3

1. 2 1 2

2. 3 2 2

3. 1 2 1 3

Z i W i

Z i W i

Z i W i

3 52 i 1 iz1 i2 i

1z 1 3i

2 3 1

z 1 z

3 2i 4i 8z (2 i)

6.Si y

Expresarlos en su forma binomial, hallar las conjugadas complejas, sus inversas y .

7. Simplificar y determinar

8. Calcular el valor de

z y w 4321 279 420 381

52 38

(27i 25i 2i 2 )z( 1024i )

z , Arg(z).

z (1 i )(1 2i )(2 i ) 1 i 1 3 iw1 i 3

9E 4 2 i i i

Forma polar o trigonométrica de un número complejo.

Forma trigonométrica :

2 2

z x i y 0

z x y

ysen y z senz

xcos x z cosz

z z (cos i sen )

14

Re

Im

z x i y

0 x

y

z

yarctgx

z z (cos isen )

Dado el número complejo determinar: a. b. Argumento principal c. Forma polar y exponencial d. Solucióna.

b. Como cuadrante hallamos el ángulo reducido

Por tanto

c.

d.

3z i z

6z

2 23 1 3 1 2z

IV

1 1 303

tg

11360 30 330

6rad

11

611 112 330 330 2 26 6

iZ Cos i Sen Cos i Sen e

6 6 62 6 330 6 330 2 1980 5 360 180z Cos i Sen Cos i Sen

6 6 62 180 180 2 1 0 64 0z Cos i Sen i i

Forma exponencial de un número complejo

Multiplicación y división de números complejos dado en forma polar.

Si

16

1 1 1 1

2 2 2 2

z z (cos i sen )

z z (cos i sen )

1 2 1 2 1 2 1 2z z z z (cos ( ) i sen ( ))

111 2 1 2

2 2

zz (cos ( ) i sen ( ))z z

iz z cos i sen r Cis r e , r z

Potencia de un número complejo. Teorema de De Moivre

Raíces de un número complejo

17

1/ n1/ n 2k 2kz z cos i senn n

k 0, 1, 2, ..., n 1

nn Cis -n , n entero positivoZ z

nnz z (cos n isen n )

18

19

Ejercicios 1. Si ; determinar: a) , b) u en su forma polar . 2. Si calcular el argumento principal de 3. Determinar la forma polar del número complejo

si 4. Hallar la suma de las raíces de la ecuación 5. Determinar el menor entero positivo n para el cual ,es imaginario puro. 6. Representar en el plano complejo las siguientes

relaciones: a) b)

u6z

3z 1 i

n3z i

1 / 2 Im 3R z z

2 / 2Re 3Im 6R z z z

20zw

z 1 i y w 3 i

2

3

zz 2 i, w 1 i y uw

z 1 3 i,

Ejemplo 1.Representar en el plano complejo la siguiente relación: Solución:a. Igualando por separado a 2 y 4 se tiene:

b.Vemos que se trata de dos circunferencias concéntricas de radios 2 y 4 con centro

La gráfica ,es un anillo circular comprendido entre las circunferencias y , incluyendo

los bordes ó fronteras.

R z / 2 z 1 4

1,0c

1C 2C

2 22 21z 1 2 x 1 y i x 1 y 2 C : x 1 y 4

2 22 22z 1 4 x 1 y i x 1 y 4 C : x 1 y 16