diciassettesima lezione potenziali ritardati e dipolo hertziano
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Diciassettesima Lezione
Potenziali ritardati e dipolo Hertziano
Riassunto della lezione precedente
Potenze Vettore di Poynting in campo complesso Coefficiente di trasmissione, ROS Calcoli con le linee Onde piane e linee Onde piane in mezzi stratificati
Radiazione: condizioni al contorno nel tempo Cosa succede quando la regione S in cui si risolvono le eq di
Maxwell è all’infinito?
Campi e variazioni, nonché le interazioni si propagano con velocità finita
Quindi la condizione al contorno su un contorno infinito, nel tempo, è che il campo all’infinito sia sempre nullo
Radiazione: condizioni al contorno in frequenza In frequenza all’infinito vale la condizione di radiazione di
Sommerfield
Sostituisce le condizioni su S fissando un flusso di potenza reale attraverso S all’infinito
Stabilisce che E ed H vadano a zero almeno come 1/r
0)()(lim r
rr urHrE
Stabilisce che E ed H all’infinito approssimino un’onda piana
Uso del potenziale vettoreAbbiamo già introdotto e studiato il potenziale vettore: vediamo come usarlo nei problemi di radiazione
Avevamo visto infatti che essendo 0 B
E’ possibile scrivere AB
e che il potenziale vettore può essere definito a meno del gradiente di un campo scalare (potenziale)Sostituiamo nell’equazione di Faraday
t
B
E
A
t t
A
Quindi due grandezze con ugual rotore sono uguali a meno di un gradiente, per cui
t
AE
Uso del potenziale vettore
Ora usiamo tale espressione nella legge di Gauss
D
Quindi
Ora sostituiamo nella legge di Ampère
D’altro canto sappiamo che
At
2
At
2
t
DJA
t
EJ
tt
2
2AJ
AAA
2e che la divergenza del potenziale vettore è un nostro grado di libertà (lezione 10). Quindi scegliamo
t
A
Scelta (o Gauge) di Lorenz (..non Lorentz)
Ludvig Valentine Lorenz, matematico
danese, da non confondere con Hendrik Antoon Lorentz il fisico olandese delle trasformate di Lorentz, premio Nobel 1902 con Pieter Zeeman
Uso del potenziale vettoreCon tale scelta, il potenziale vettore soddisfa ad un’equazione d’onda, come la conosciamo
Ed anche l’eq per il potenziale scalare diventa
Nota: la scelta di Lorenz non solo semplifica i conti, ma ha un significato fisico: esprime in modo diverso la continuità della carica
JA
A
2
22
t
2
22
t
Soluzione del potenziale vettore: staticoNel caso statico abbiamo già visto come fare; vediamo cosa succede con le formule attuali
Come ci aspettavamo. Queste le abbiamo risolte (sempre lezione 10, anche se con notazione lievemente diversa)
JA 2
2
dV
V
'4
')(
rrr
dV
V
'4
')(
rr
JrA
Soluzione del potenziale vettore: DinamicoUsiamo un approccio euristico: sappiamo che la differenza principale tra caso statico e dinamico è che le interazioni si propagano in tempo finito
Proviamo a determinare le soluzioni considerando solo questo fatto: quindi sostituendo alle equazioni possiamo verificare che funziona. Avremo allora
dVv
t
tV
'4
''
),(rr
rr
r
dVv
t
tV
'4
''
),(rr
rrJ
rA
essendo v uno sulla radice di , r il punto di osservazione ed r’ la variabile di integrazione
V
P
r
r’
r-r’
dV
Soluzione del potenziale vettore: Dinamico sinusoidaleLe funzioni del tempo divengono semplicemente
per cui
ev
tfv
tj
''
rrrr
dVe
V
jk
'4
')(
'
rr
JrA
rr
ee jktj 'rr
va sottinteso
dVe
V
jk
'4
')(
'
rrr
rr
Il dipolo HertzianoE’ il più semplice esempio di radiatore: ideato da Heinrich Rudolf Hertz ed utilizzato nel suo esperimento del 1887
1857-1894
Trasmettitore
Ricevitore
Il dipolo HertzianoIn modo più schematico
Trasmettitore Ricevitore
Il dipolo HertzianoSupponiamo di avere una corrente filiforme orientata lungo z, di lunghezza piccola rispetto alla lunghezza d’onda (lunghezza h), e costante nello spazio. Immaginiamo che sia sinusoidale nel tempo (usiamo i fasori)
La continuità della carica impone che agli estremi vi siano due cariche uguali ed opposte, anch’esse variabili nel tempo
z
y
),,( zyxP
x
0Ih
rsin
Vista l’ipotesi di elemento “corto” l’integrale diventa semplicemente I0h, e l’unica componente non nulla è lungo z
r
heIA z
jkr
z uurA
4
)( 0
Il dipolo Hertzianoquindi abbiamo già tutto…l’unica difficoltà è passare alle coordinate sferiche
non c’è componente angolare lungo vista la simmetria cilindrica
A questo punto basta calcolare i campi
r
sinheIsinAA
r
heIAA
jkr
z
jkr
zr
4
4
coscos
0
0
ArsinrAA
rrsinsinr
r
r
r uuu
AB
1112
rrrr ArAr
Arsin
rAsinr
uuu
11)(
12
Il dipolo HertzianoQuindi B (ed H) ha solo componente lungo
Considerazioni: in condizioni statiche k=0: il secondo termine, che rimane, è quello statico: ci potete riconoscere la formula di Laplace
rjk
r
esin
hIBH
jkr 1
40
rdr
IulB
24
lu dh z in cui
Quindi: il termine statico decresce come 1/r2, quello dinamico come 1/r
Il dipolo HertzianoCalcoliamo il campo elettrico (un po’ di conti…)
Vedete un termine che decresce come r3, che è quello del dipolo elettrostatico in cui I0/j è proprio la carica (per continuità)
20 22
cos4 rjrr
ehIE
jkr
r
A grande distanza dominano solo i termini in 1/r (quindi Er è trascurabile); quindi a grande distanza
rrjj
r
esin
hIE
jkr
20 1
4
Il dipolo Hertzianoa grande distanza
come un’onda piana!
r
ehIjkH
jkr
sin
40
r
ehIjE
jkr
sin4
0
kH
E
Il dipolo Hertziano I campi di un dipolo hertziano, posto all’incrocio dei
piani
I grafici calcolati da Hertz!