didactica de la fisica y la matematica g27702

UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJALa Universidad Catlica de Loja

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIN

Didctica de la Fsica y Matemtica

Texto Gua

MENCIN : Fsico - Matemticas

ELABORADO POR : Dra. Fanny Edith Quezada Ochoa

PROFESOR (A) : Lic. Salvador Granda Lasso

TELFONO : (07) 2 570 275 Ext. 2333

E-MAIL : [email protected]

TUTORA : Lunes y Jueves de 08h00 a 09h00

Estimado Estudiante, dgnese confirmar la informacin aqui sealada llamando al Call Center 072588730, lnea gratuita 1800 887588 o al mail [email protected]

DATOS DE IDENTIFICACIN:

MATERIAL DE USO DIDCTICO PARA ESTUDIANTES DE LA UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA,PROHIBIDA SU REPRODUCCIN TOTAL O PARCIAL POR CUALQUIER MEDIO

Reciba asesora virtual en: www.utpl.edu.ec

CICLO

7

OCTUBRE 2007 - FEBRERO 2008

DIDCTICA DE LA FSICA Y MATEMTICATexto GuaFanny Quezada Ochoa

2006, UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJA

Diagramacin, diseo e impresin:EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJACall Center: 593 - 7 - 2588730, Fax: 593 - 7 - 2585977C. P.: 11- 01- 608www.utpl.edu.ecSan Cayetano Alto s/nLoja - Ecuador

Primera edicinSegunda reimpresin

ISBN-978-9978-09-674-1

Reservados todos los derechos conforme a la ley. No est permitida la reproduccin total o parcial de esta gua, ni su tratamiento informtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

Agosto, 2007

INTRODUCCIN ................................................................................ 5OBJETIVOS GENERALES ........................................................................ 7BIBLIOGRAFA .................................................................................... 7ORIENTACIONES GENERALES ................................................................11

PRIMER BIMESTRE

OBJETIVOS ESPECFICOS ......................................................................13CONTENIDOS ....................................................................................14DESARROLLO DEL APRENDIZAJE .............................................................16

Unidad 1. Desarrollo de la matemtica ................................................................. 16Unidad 2. Valores y princiios de la fsica y la matemtica ......................................... 40Unidad 3. El aprendizaje .................................................................................. 51Unidad 4. La inteligencia ................................................................................. 59Unidad 5. La motivacin .................................................................................. 67Unidad 6. La creatividad y la comunicacin ........................................................... 81Unidad 7. El currculo de fsica y matemtica ......................................................... 92Unidad 8. Actitudes y valores ........................................................................... 113

Autoevaluacin ................................................................................ 124

SEGUNDO BIMESTRE

OBJETIVOS ESPECFICOS .................................................................... 127CONTENIDOS .................................................................................. 128DESARROLLO DEL APRENDIZAJE ........................................................... 130

Unidad 9. Niveles de concrecin curricular ........................................................... 130Unidad 10. Planificacin microcurricular ............................................................... 136Unidad 11. Enseanza de la matemtica ............................................................... 164Unidad 12. Enseanza de la fsica en el nivel medio ................................................. 196Unidad 13. Elaboracin de material impreso para la enseanza aprendizaje .................... 215

NDICE

Unidad 14. A la institucin y al rea de fsico matemticas ......................................... 224Unidad 15. Evaluacin a los docentes y a los alumnos ................................................ 227

Autoevaluacin ................................................................................ 250

SOLUCIONARIO ................................................................................ 253

ANEXOS ......................................................................................... 255

u EVALUACIONES A DISTANCIA

UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Texto Gua: Didctica de la Fsica y Matemtica

Nosotros mismo sentimos que lo que hacemos es slo una gota en el ocano,pero el ocano sera peqeuo si le faltare aquella gota

Madre Mara Teresa de Calcuta

Si concebimos a la educacin como el cimiento de transformacin social, cultural y econmica de los pueblos. No es menos cierta la necesidad de mejorar la calidad de educacin.

Didcticamente el proceso educativo, no slo requiere del proceso enseanza aprendizaje, sino fundamentalmente del proceso de realizacin de la persona y de la personalidad en forma integral; para ello se requiere el apoyo de muchas disciplinas psicopedaggicas, psicolgicas, sociolgicas, etc.

Este recurso que tiene en sus manos est destinado a los futuros maestros en el rea de Fsico Matemticas, de all su nombre DIDCTICA DE LA FSICA Y LA MATEMTICA.

Por lo tanto el futuro maestro de estas dos asignaturas, debe ser un profesional capacitado para promover el mximo desarrollo posible de las capacidades: intelectuales, afectivas y psicomotrices de sus alumnos. Ensear fsica y matemticas, es una profesin bien definida; aunque no exenta de cambios en el proceso a desarrollar. No es simplemente llenar la mente de contenidos, sino convertir al alumno en el artfice de su propio desarrollo; y esta labor es mucho ms trascendente que la de transmitir conocimientos, e inclusive que el de producir ciencia. Por lo tanto ayudarle a potenciar y a utilizar su creatividad es nuestro compromiso.

Los razonamientos anteriores no pretenden eximir a los alumnos de VII ciclo, mencin en fsico matemtica, de la indispensable formacin cientfica, de ninguna manera. Si bien un docente no es un cientfico, ni un tcnico de alto nivel; pero debe tener mucha capacidad de liderazgo; debe dominar conceptos, leyes, principios fundamentales de fsica y matemtica.

A travs del estudio y anlisis de este texto gua, pretendemos que el alumno maestro comprenda el valor que poseen las ciencias fsicas y matemticas, su rol protagnico dentro de la formacin profesional de maestro; y los elementos del proceso de la enseanza aprendizaje, para que cumpla con satisfaccin y con responsabilidad su funcin docente y se constituya en agente de cambio y transformacin social.

Para conseguir estos propsitos ponemos a su consideracin: La gua didctica de matemtica que nos orienta la enseanza en el 8avo, geno ao y 10 aos de educacin bsica, las pginas web que le ayudarn en caso de requerir mayor informacin sobre los contenidos de este instrumento didctico, un disquete de la enseilanza programada; y el presente Texto Gua que est estructurado de la siguiente manera:

INTRODUCCIN

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En el primer captulo: MBITO DE LAS CIENCIAS, se describe el desarrollo histrico, se resalta la importancia de la fsica y la matemtica y se descubren sus valores.

En el segundo captulo: PRINCIPIOS DIDCTICOS: Nos ubicamos en el contexto del escenario educativo en su formacin pedaggica, cientfica y psicolgica.

En el tercer captulo: EL CURRCULO DE FSICA Y MATEMTICA, se analizan didcticamente los recursos metodolgicos que se utilizan en el proceso de la enseanza aprendizaje de la fsica y la matemtica.

El cuarto captulo: LA PLANIFICACIN CURRICULAR, describe procesos que necesita al momento de ejercer su prctica profesional, tanto a nivel macro, mezo y micro curricular.

El quinto captulo: LA ENSEANZA APRENDIZAJE DE LA MATEMTICA y LA FSICA orienta al estudiante a su labor docente en un proceso integral.

El sexto captulo: LA EVALUACIN, se determinan procesos y formas para evaluar: a la Institucin, al rea de fsico matemtica, al docente y tambin los aprendizajes de los alumnos.

Deseamos el mayor de los xitos en el presente ciclo acadmico.



F Comprender el desarrollo de la fsica y la matemtica y su proyeccin social.

F Analizar los recursos didcticos utilizados en la enseanza de la fsica y la matemtica.

FEspecializar al futuro maestro para atender nuevos tipos de demanda educativa

BSICA

& 1(1] SNCHEZ K Jos E., Gua didctica del docente de Matemtica, octavo, noveno y dcimo aos de bsica, 2003, Loja-Ecuador

Este libro nos facilita una revisin general de la matemtica en todo el ciclo bsico. Los ejercicios planteados a travs del texto sirven para comprobar si el razonamiento empleado es correcto o merece una mayor ejercitacin.

Los contenidos estn divididos en los 4 bloques temticos propuestos por la Reforma Curricular: Numrico, de funciones, geomtrico y de medida, estadstico y de probabilidad.

La metodologa empleada propicia la comprensin de conceptos y procedimientos, de tal manera que el estudiante encuentre la motivacin necesaria para el estudio de la matemtica.

La planificacin de las unidades temticas, ejes transversales optimizan el uso del texto y a no dudarlo orientan la labor docente, no slo en matemtica sino tambin es una gua para la asignatura de fsica

Las sugerencias metodolgicas anotadas y actividades relacionadas con cada leccin se basan en la accin real con objetos. Ingredientes indispensables para la formacin de nociones, conceptos y estructuras lgico - matemticas. Por lo tanto sugerimos que todo material que utilizamos en la etapa concreta debe ser reconstruido por Ud., como una alternativa valedera para conseguir aprendizajes significativos.

La matemtica recreativa, el manejo de materiales concretos son estrategias que facilitan la comprensin y la obtencin de nuevos conocimientos.

OBJETIVOS GENERALES

BIBLIOGRAFA

UTPL La Universidad Catlica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA


& QUEZADA, Fanny, Texto Gua, Didctica de la Fsica y la Matemtica. U.T.P.L., 2004, Loja- Ecuador.

En vista de no existir un texto bsico para su auto formacin he diseado este instrumento que incluye temas desde la perspectiva de la didctica crtica. Enfatiza en su formacin pedaggica, psicolgica y cientfica, en el campo de la especialidad de fsica y matemtica. Tarea que tiene una connotacin mucho mayor, si consideramos que el desarrollo cientfico y tecnolgico, est fundamentado, principalmente, en el aporte de estas dos ciencias.

El presente texto gua orienta la accin didctica y da respuestas a muchas interrogantes, entre otras: Para qu ensear? Qu ensear. Cmo ensear? Con qu ensear? Cmo y cundo evaluar? Con qu evaluar?, en el nivel medio y en las asignaturas de fsica y matemtica.

Los contenidos de DIDCTICA DE LA FSICA Y LA MATEMTICA, han sido desarrollados con un enfoque didctico pedaggico como tambin matemtico cientfico. y como se podr dar cuenta se desarrolla sin perder de vista los objetivos que aspiramos alcanzar con este estudio.

Las actividades y los ejercicios estn en relacin a los diferentes temas, que le tocar ensear en el ciclo bsico, como en el diversificado; y tienen como caracterstica principal el desarrollo del pensamiento. Para que cumpla con xito su funcin dentro y fuera del aula presentamos un conjunto de elementos que le ayudarn a planificar, ejecutar y verificar esta asignatura.

En este ciclo de estudio nos toca poner en funcionamiento las operaciones intelectuales para as potenciar el desarrollo del pensamiento y la inteligencia, puesto que hemos pasado las etapas: nocional, conceptual, y ahora nos toca la formal y la categorial; por cuanto vamos a trabajar con el octavo, noveno, dcimo ao de educacin bsica y en los bachillera tos. A fin de posibilitarle un estudio sistemtico, generador de aprendizajes significativos, tiles en su vida estudiantil y profesional, hemos seleccionado estos contenidos distribuidos en 6 CAPTULOS, que incluyen 15 unidades secuencia les de la materia.

La simbologa nos ayuda a manejar la terminologa en forma abreviada

Las diagramaciones e ilustraciones sencillas, pero bsicas, contribuyen a mostrar la parte medular de cada tema.

Las ideas principales de cada unidad conducen al estudiante a centrarse en lo que se debe fortalecer.

Las llamadas de atencin como: RECUERDE que se incluyen en este recurso didctico insisten en conceptos y procesos fundamentales. Los RAZONANDO refuerzan conceptos y consolidan conceptos. En las LECTURAS, se busca que el estudiante se entere de la vida de personajes famosos y curiosidades especficas de estas ciencias.

Cada captulo trae al final un resumen que sintetiza y refuerza los conocimientos tiles en su vida estudiantil y profesional.



El glosario de gran utilidad para conceptuar y apoyamos en lo que concierne a cada tema.

Al final de cada unidad se encuentra la auto evaluacin para que el alumno proceda a contestarla previo el estudio correspondiente. Nos ayuda a determinar el grado de dominio de cada sub tema; al mismo tiempo le preparan para las evaluaciones a distancia y en presencIa.

Espero que tanto la gua de orientaciones didcticas en matemtica como este texto gua sern una ayuda a su futura labor educativa.

ENSEANZA PROGRAMADA:Diskette para uso del alumno

COMPLEMENTARIA:

& SNCHEZ R, Jos E, Matemtica, para: octavo, noveno y dcimo aos de bsica, 2003, Loja-Ecuador

En estos textos Ud. encontrar los contenidos desarrollados para el ciclo bsico; de acuerdo a las orientaciones curriculares y didctica s propuestas por el Ministerio de Educacin y Cultura y en relacin a las orientaciones didcticas de la GUA para la asignatura de matemtica.

En la estructura de los contenidos se ha utilizado el enfoque sistmico, que como se podr cuenta, permite unificar todas las ramas de esta ciencia y facilita su articulacin con otras reas.

Las actividades de recreacin han sido seleccionadas en funcin de estructuras de razonamiento, de acuerdo con la edad de los educandos, el entorno que les rodea, sus intereses y sus necesidades.

Pero es ms, necesitamos conocer la Ciencia de la vida, sino sabemos administrar nuestra inteligencia para saber vivir. De qu nos sirven las dems potencias? Por lo tanto el nuevo profesor no slo debe ceirse a informar o a enumerar los valores, sino que dicha informacin debe ir acompaada de la praxis. Los ejes transversales y el desarrollo de la inteligencia marcan una diferencia determinante de los otros textos, en las planificaciones que presenta este recurso didctico.

Este libro cuenta con el ndice de temas que aparecen precedidos de sus correspondientes unidades temticas. Cada una con diferente enfoque de las actividades e imgenes que promueve el trabajo de las 3 destrezas fundamentales del rea de matemtica:

Comprensin de conceptos, conocimientos de procesos y resolucin de problemas

& Ministerio de Ed. Y C. (1996).Propuesta Consensuada Reforma Curricular para la Educacin Bsica. Quito. Edit. MEC

& Ministerio de E Y C. (1997) R. C. Para la E. Bsica. 2da. Edicin. Quito. Edit. MEC.

& MEC- EB/PRODEC (1998). Gua para el desarrollo del currculo de12do all0emo ano de EB. Quito. Edit. MEC

UTPL La Universidad Catlica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA10


& VALDIVIESO HIDALGO Miguel (2000). Gua didctica de prctica docente. Edit U.T.P.L. Loja

DIRECCIONES DE INTERNET:

http://www.matematicas.net/ El paraso de las matemticas www.cep.edu.wy/ Informacin Institucional infonegocio.com Matemticas www.centroS.pntic.mec.ec El rincon de la ciecia

DIRECCIN DE INTERWEB:

BIBLIOTECA DE CONSULTA MICROSOFT ENCART A B 2004. 1994 - 2003. Microsoft Corporation.

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Le sugerimos poner en prctica las siguientes normas:

GENERALES:

Inicie el estudio leyendo con gran atencin y en forma sistemtica y ordenada el texto gua.

Elcontenidocientficoparaeldesarrollode lasactividadesadistanciacomodelas presnciales Ud. lo encontrar consultando en el texto gua y siguiendo con mucho inters. Sin embargo es necesario ampliar sus conocimientos y fundamentar mejor el desarrollo de cada uno de los temas consultando en cualquier otro texto tanto de la bibliografa complementaria, como tambin en textos de fsica y / o matemticas

Los conocimientos que se dan en cada tema son bsicos; por ello es necesario lograr aprendizajessignificativosdetodosellos.

Las actividades que le solicitamos en el primer bimestre corresponden a los tres primeros captulos; y de igual forma los propuestos para el segundo bimestre corresponden a los tres ltimos captulos.

Antes de realizar las actividades de las evaluaciones a distancia, desarrolle el mayor nmero de actividades propuestas en su texto gua, o de la bibliografa complementaria.

No pase a la siguiente unidad de estudio hasta cuando no haya acertado en cada una de las autoevaluaciones.

Elabore: mapas conceptuales, resmenes, cuadros sinpticos, etc.; ellos le ayudarn a responder las evaluaciones a distancia y las evaluaciones presenciales.

Cmo estudiar!Con la ayuda de un compaero.

Con la gua de tu profesor a distancia. Con la ayuda y recordatorio de lo que usted aprendi en el colegio en el ciclo bsico.

Con los conocimientos de las asignaturas que usted aprob en ciclos anteriores. Con su inters.

Con su autoconfianza y disciplina. Con su perseverancia.

Con la organizacin del tiempo.

ORIENTACIONES GENERALES



Qu estudiar?

CAPTULO DIDCTICA DE lA

FSICA Y lA MATEMTICA

1. Unidad 1

Unidad 2 2. Unidad 3

I BIMESTRE Unidad 4 Unidad 5 Unidad 6

3. Unidad 7

Unidad 8

4. Unidad 9

Unidad 10 Unidad 11

11 BIMESTRE 5. Unidad 12

Unidad 13 6. Unidad 14

Unidad 15

No est por dems recomendarle que en este sistema de estudio a distancia, es usted quien debe determinar el tiempo para el estudio del fundamento cientfico y desarrollo de las actividades. Con este fin y al pretender lograr el mayor alcance y provecho preste atencin a las siguientes notas que sintetizan lo anotado anteriormente:

X O I E T

Finalmente si ordena estas letras obtendr:_______________________

Adelante que el triunfo es nuestro y vuestro

Reforzando lo que sabe e

investigando lo que no se sabe

Abriendo su mente y recordando

lo aprendido

Manejando adecuadamente

tcnicas de estudio

Haciendo muchas

actividades y ensayos

Pidiendo asesoradmiento

por cualquier medio en caso de

dudas



Valorar la importancia de la fsica y la matemtica en el contexto de su desarrollo histrico y en la poca actual.

Fortalecer los fundamentosdidcticos en el contexto cientficode lafsica y la matemtica.

Usar los componentes del currculo en la formacin docente.

Cuntos preguntan ms que leen y ms que estudian. Desde luegomuy pocos reflexionan

(Fernando Rielo)

OBJETIVOS ESPECFICOS

PRIMERRIMERBIMESTREBIMESTRE



CAPTULO 1. MBITO DE lA MATEMTICA Y lA FSICA

Unidad 1. Desarrollo de la Matemtica y la Fsica

1.1. Resea histrica de la matemtica

1.1.1. Introduccin 1.1.2. Las matemticas en la antiguedad 1.1.3. Las matemticas en la edad media 1.1.4. Las matemticas durante el renacimiento 1.1.5. Avances del siglo XVII 1.1.6. Situacin en el siglo XVIII 1.1.7. Las matemticas en el siglo XIX 1.1.8. Las matemticas actuales 1.1.9. Importancia de la matemtica

1.2. Resea histrica de la fsica

1.2.1. Introduccin 1.2.2. Comienzos de la fsica 1.2.3. Personajes importantes 1.2.4. Importancia de la fsica

1.3. El profesor de fsica y matemtica en la sociedad contempornea.

Unidad 2: Valores y principios de la fsica y la matemtica

2.1. Valores de la matemtica2.2. Valores de la fsica 2.3. Principios de la matemtica 2.4. Principios de la fsica

CAPTULO 2. PRINCIPIOS DIDCTICOS

Unidad 3. El aprendizaje

3.1. Procesos del aprendizaje 3.2. Formas de aprendizaje 3.3. Fases de aprendizaje 3.4. Estrategias para un aprendizaje interactivo 3.5. Aprendizajessignificativos

3.5.1. Rol del docente

CONTENIDOS



3.5.2.Aprendizajessignificativosenfsicayenmatemtica

Unidad 4. La inteligencia

4.1. Qu es la inteligencia 4.2. Inteligencias mltiples 4.3. Estrategias para desarrollar la inteligencia en nuestros alumnos

Unidad 5. La motivacin, retencin, atencin y la memoria

5.1. La motivacin

5.1.1. Qu es la motivacin 5.1.2. Principios y tcnicas de motivacin

5.2. La retencin 5.3. La atencin y la memoria

Unidad 6. La creatividad y la comunicacin

6.1. La creatividad 6.2. La comunicacin

CAPTULO 3. El CURRCULO DE FSICA Y MATEMTICA

Unidad 7. El curriculo

7.1. Estructura curricular

7.1.1. Propsitos 7.1.2. Objetivos 7.1.3. Contenidos 7.1.4. Estrategias Metodologcas

7.1.4.1. Mtodos 7.1.4.2. Tcnicas7.1.4.3. Recurso

7.1.5. Destrezas 7.1.6. Capacidades 7.1.7. Competencias

Unidad 8. Los ejes transversales

8.1. La convivencia humana 8.2. La Educacin Emocional



UNIDAD 1DESARROLLO DE LA MATEMTICA

1.1. RESEA HISTRICA DE LA MATEMTICA (Tomado del internet)

1.1.1. INTRODUCIN

Matemticas, estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lgicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. En el pasado las matemticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometra), a los nmeros (como en la aritmtica), o a la generalizacin de ambos (como en el lgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta ltima nocin abarca la lgica matemtica o simblica -ciencia que consiste en utilizar smbolos para generar una teora exacta de deduccin e inferencia lgica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas ms complejos.

Trataremos la evolucin de los conceptos e ideas matemticas siguiendo su desarrollo histrico. En realidad, las matemticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseos prehistricos de cermica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geomtrico y del inters en figuras geomtricas. Los sistemas de clculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numricos en los que las bases son los nmeros 5 y 10.

DESARROLLO DEL APRENDIZAJE

MBITO DE LA FSICA Y LA MATEMTICA

Captulo 1



1.1.2. LAS MATEMTICAS EN LA ANTIGUEDAD

Signos matemticos de la antiguedad

Las primeras referencias a matemticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.c., en Babilonia y Egipto. Estas matemticas estaban dominadas por la aritmtica, con cierto inters en medidas y clculos geomtrico s y sin mencin de conceptos matemticos como los axiomas o las demostraciones.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el ao 1800 a.c., muestran un sistema de numeracin decimal con distintos smbolos para las sucesivas potencias de 10 0, 10, 100 ... ), similar al sistema utilizado por los romanos. Los nmeros se representaban escribiendo el smbolo dell tantas veces como unidades tena el nmero dado, el smbolo del 10 tantas veces como decenas haba en el nmero, y as sucesivamente. Para sumar nmeros, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas ... de cada nmero. La multiplicacin estaba basada en duplicaciones sucesivas y la divisin era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (a), junto con la fraccin , para expresar todas las fracciones. Por ejemplo, i era la suma de las fracciones y ~. Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritmticos con fracciones, as como problemas algebraicos elementales. En geometra encontraron las reglas correctas para calcular el rea de tringulos, rectngulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirmides. Para calcular el rea de un crculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado U del dimetro del crculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,1416 )

El sistema babilnico de numeracin era bastante diferente del egipcio. En el babilnico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cua (cuneiforme); una cua sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10 (vase tabla adjunta). Los nmeros menores que 59 estaban formados por estos smbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemticas egipcias. El nmero 60, sin em-bargo, se representaba con el mismo smbolo que el 1, y a partir de ah, el valor de un smbolo vena dado por su posicin en el nmero completo. Por ejemplo, un nmero compuesto por el smbolo del 2, seguido por el del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 x 602 + 27 x 60 + 10. Este mismo principio fue ampliado a la representacin de fracciones, de manera que el ejemplo anterior poda tambin representar 2 X 60 + 27 +



10 x ), o 2 + 27 x ) + 10 x ()2 Este sistema, denominado sexagesima1 (base 60), resultaba tan til como el sistema decimal (base 10).

Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemticas ms sofisticadas que les permitieron encontrar las races positivas de cualquier ecuacin de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las races de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas ms complicados utilizando el teorema de Pitgoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de inters compuesto. Adems, calcularon no slo la suma de progresiones aritmticas y de algunas geomtricas, sino tambin de sucesionesdecuadrados.Tambinobtuvieronunabuenaaproximacinde.

Las matemticas en Grecia

Considerado el primer matemtico, Pitgoras fund un movimiento en el sur de la actual Italia, en el siglo VI a.e., que enfatiz el estudio de las matemticas con el fin de intentar comprender todas las relaciones del mundo natural.

Los griegos tomaron elementos de las matemticas de los babilonios y de los egipcios. La innovacin ms importante fue la invencin de las matemticas abstractas basadas en una estructura lgica de definiciones, axiomas y demostraciones. Segn los cronistas griegos, este avance comenz en el siglo VI a.c. con Tales de Mileto y Pitgoras de Samos.

Este ltimo ense la importancia del estudio de los nmeros para poder entender el mundo. Algunos de sus discpulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teora de nmeros y la geometra, que se atribuyen al propio Pitgoras.

En el siglo V a.c., algunos de los ms importantes gemetra s fueron el filsofo atomista Demcrito de Abdera, que encontr la frmula correcta para calcular el volumen de una pirmide, e Hipcrates de Cos, que descubri que el rea de figuras geomtricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos tringulos. Este descubrimiento est relacionado con el famoso problema de la cuadratura del crculo (construir un cuadrado de rea igual a un crculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la triseccin de un ngulo y la duplicacin del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos mtodos, utilizando instrumentos ms complicados que la regla y el comps. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos bsicos.

A finales del siglo V a.c., un matemtico griego descubri que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades es inconmensurable. Esto significa que no existen dos nmeros naturales m y n cuyo cociente sea igual a la proporcin entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos slo utilizaban los nmeros naturales (1, 2, 3 ... ), no pudieron expresar numricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este nmero, {es lo que hoy se

Pitgoras



denomina nmero irracional). Debido a este descubrimiento se abandon la teora pitagrica de la proporcin, basada en nmeros, y se tuvo que crear una nueva teora no numrica. sta fue introducida en el siglo IV a.c. por el matemtico Eudoxo de Cnido, y la solucin se puede encontrar en los Elementos de Euclides. Eudoxo, adems, descubri un mtodo para demostrar rigurosamente supuestos sobre reas y volmenes mediante aproximaciones sucesivas.

Arqumedes realiz grandes contribuciones a la matemtica terica. Adems, es famoso por aplicar la ciencia a la vida diaria. Por ejemplo, descubri el principio que lleva su nombre mientras se baaba. Tambin desarroll mquinas sencillas como la palanca o el tornillo, y las aplic a usos militares y de irrigacin.

Euclides, matemtico y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandra, tambin escribi tratados sobre ptica, astronoma y msica. Los trece libros que componen sus Elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemtico existente

a finales del siglo IV a.c., en reas tan diversas como la geometra de polgonos y del crculo, la teora de nmeros, la teora de los inconmensurables, la geometra del espacio y la teora elemental de reas y volmenes.

El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemticas, como se puede comprobar en los trabajos de Arqumedes de Siracusa y de un joven contemporneo, Apolonio de Perga. Arqumedes utiliz un nuevo mtodo terico, basado en la ponderacin de secciones infinitamente pequeas de figuras geomtricas, para calcular las reas y volmenes de figuras obtenidas a partir de las cnicas. stas haban sido descubiertas por un alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecan como tema de estudio en un tratado de Euclides; sin embargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de Arqumedes. Tambin investig los centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos slidos flotando en agua. Casi todo su trabajo es parte de la tradicin que llev, en el siglo XVII, al desarrollo del clculo. Su contemporneo, Apolonio, escribi un tratado en ocho tomos sobre las cnicas, y estableci sus nombres: elipse, parbola e hiprbola. Este tratado sirvi de base para el estudio de la geometra de estas curvas hasta los tiempos del filsofo y cientfico francs Ren Descartes en el siglo XVII.

Despus de Euclides, Arqumedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningn gemetra de la misma talla. Los escritos de Hern de Alejandra en el siglo I d.C. muestran cmo elementos de la tradicin aritmtica y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lgicas de los grandes gemetras. Los libros de Diofante de Alejandra en el siglo III d.C. continuaron con esta misma tradicin, aunque ocupndose de problemas ms complejos. En ellos Diofante encuentra las soluciones enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias incgnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominan diofnticas y se estudian en el anlisis diofntico.

Las matemticas aplicadas en Grecia

En paralelo con los estudios sobre matemticas puras hasta ahora mencionados, se llevaron a cabo estudios de ptica, mecnica y astronoma. Muchos de los grandes matemticos, como Euclides y Arqumedes, tambin escribieron sobre temas astronmicos. A principios

Arqumedes



del siglo II a.C, los astrnomos griegos adoptaron el sistema babilnico de almacenamiento de fracciones y, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las cuerdas de un crculo. Para un crculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en funcin del ngulo central correspondiente, que creca con un determinado incremento. Eran similares a las modernas tablas del seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometra. En la primera versin de estas tablas las de Hiparco, hacia el 150 a.C los arcos crecan con un incremento de 7, de 0 a 180. En tiempos del astrnomo Tolomeo, en el siglo II d.C, la maestra griega en el manejo de los nmeros haba avanzado hasta tal punto que Tolomeo fue capaz de incluir en su Almagesto una tabla de las cuerdas de un crculo con incrementos de que, aunque expresadas en forma sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra decimal.

Mientras tanto, se desarrollaron otros mtodos para resolver problemas con tringulos planos y se introdujo un teorema que recibe el nombre del astrnomo Menelao de Alejandra para calcular las longitudes de arcos de esfera en funcin de otros arcos. Estos avances dieron a los astrnomos las herramientas necesarias para resolver problemas de astronoma esfrica, y para desarrollar el sistema astronmico que sera utilizado hasta la poca del astrnomo alemn Johannes Kepler.

1.1.3. LAS MATEMTICAS EN LA EDAD MEDIA

En Grecia, despus de Tolomeo, se estableci la tradicin de estudiar las obras de estos matemticos de siglos anteriores en los centros de enseanza. El que dichos trabajos se hayan conservado hasta nuestros das se debe principalmente a esta tradicin. Sin embargo, los primeros avances matemticos consecuencia del estudio de estas obras aparecieron en el mundo rabe.

Las matemticas en el mundo islmico

El matemtico italiano Leonardo Fibonacci dirigi sus estudios hacia el lgebra y la teoria de nmeros, principalmente. El conocimiento matemtico de clsicos grecorromanos, rabes e indios constituy la base fundamental de sus trabajos.

Despus de un siglo de expansin en la que la religin musulmana se difundi desde sus orgenes en la pennsula Arbiga hasta dominar un territorio que se extenda desde la pennsula Ibrica hasta los lmites de la actual China, los rabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de ciencias extranjeras.

Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabidura de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones rabes de los trabajos de matemticos griegos e indios.

Hacia el ao 900, el periodo de incorporacin se haba completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros avances, los matemticos rabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmtica de nmeros enteros, extendindolo a las fracciones decimales. En el siglo XII, el matemtico persa Omar Jayyam generaliz los mtodos indios de extraccin de races cuadradas y cbicas para calcular races cuartas, quintas y de grado superior. El matemtico

Leonardo Fibonacci



rabe AI-Jwrizm+ (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el ttulo de uno de sus libros es el origen de la palabra lgebra) desarroll el lgebra de los polinomios; al-Karayi la complet para polinomios incluso con infinito nmero de trminos. Los gemetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arqumedes sobre reas y volmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teora de las cnicas a la resolucin de problemas de ptica. Los matemticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometra s plana y esfrica utilizando la funcin seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas trigonometra s no se convirtieron en disciplinas matemticas en Occidente hasta la publicacin del De triangu]js omnimodis (1533) del astrnomo alemn Regiomontano. Finalmente, algunos matemticos rabes lograron importantes avances en la teora de nmeros, mientras otros crearon una gran variedad de mtodos numricos para la resolucin de ecuaciones. Los pases europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los rabes, junto con las traducciones de los griegos clsicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemticas durante la edad media. Los matemticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en lgebra y aritmtica, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en fuentes rabes para sus estudios.

1.1.4. LAS MATEMTICAS DURANTE EL RENACIMIENTO

Aunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios matemticos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemtico de trascendencia en Occidente. Era una frmula algebraica para la resolucin de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matemtico italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo llev a los matemticos a interesarse por los nmeros complejos y estimul la bsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta bsqueda la que a su vez gener los primeros trabajos sobre la teora de grupos a finales del siglo XVIII y la teora de ecuaciones del matemtico francs variste Galois a principios del XIX.

Tambin durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemticos y algebraicos. El matemtico francs Fran



Apolonio. El siglo comenz con el descubrimiento de los logaritmos por el matemtico escocs John Napier (Neper); su gran utilidad llev al astrnomo francs Pierre Simon Laplace a decir, dos siglos ms tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrnomos a la mitad, les haba duplicado la vida.

La obra de Isaac Newton representa una de las mayores contribuciones a la ciencia realizadas nunca por un solo individuo. Entre otras cosas, Newton dedujo la ley de la gravitacin universal, invent el clculo infinitesimal y realiz experimentos sobre la naturaleza de la luz y el color.

La ciencia de la teora de nmeros, que haba permanecido aletargada desde la poca medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basndose en los estudios de la an tiguedad clsica.

La obra Las aritmticas de Diofante ayud a Fermat a realizar importantes descubrimientos en la teora de nmeros. Su conjetura ms destacada en este campo fue que no existen soluciones de la ecuacin an + bn = cn con a, by c enteros positivos si n es mayor que 2. Esta conjetura, conocida como ltimo teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de trabajos en el lgebra y la teora de nmeros.

En geometra pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. El primero fue la publicacin, en el Discurso del mtodo (1637) de Descartes, de su descubrimiento de la geometra analtica, que mostraba cmo utilizar el lgebra (desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometra de las curvas (Fermat haba hecho el mismo descubrimiento pero no lo public). El Discurso del mtodo, junto con una serie de pequeos tratados con los que fue publicado, ayud y fundament los trabajos matemticos de Isaac Newton hacia 1660. El segundo acontecimiento que afect a la geometra fue la publicacin, por el ingeniero francs Grard Desargues, de su descubrimiento de la geometra proyectiva en 1639. Aunque este trabajo fue alabado por Descartes y por el cientfico y filsofo francs Blaise Pascal, su terminologa excntrica y el gran entusiasmo que haba causado la aparicin de la geometra analtica retras el desarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX, con los trabajos del matemtico francs Jean Victor Poncelet.

Gottfried Wilhelm Leibniz est considerado uno de los mayores intelectuales del siglo XVII. No en vano, su actividad abarc ciencias y disciplinas tan dispares como las matemticas (enumer los principios fundamentales del clculo infinitesimal), la filosofa (desarrollando el concepto de mnadas), la teologa, el derecho, la poltica y la filologa, entre otras muchas.

Otro avance importante en las matemticas del siglo XVII fue la aparicin de la teora de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos.

Este trabajo no fue publicado, pero llev al cientfico holands Christiaan Huygens a escribir un pequeo folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemtico suizo Jacques Bernoulli. Tanto Bernoulli como el francs Abraham de Moivre, en su Doctrina del azar

Isaac Newton

Gottfried Wilhelm Leibniz



de 1718, utilizaron el recin descubierto clculo para avanzar rpidamente en su teora, que para entonces tena grandes aplicaciones en pujantes compaas de seguros.

Sin embargo, el acontecimiento matemtico ms importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los clculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Newton se bas en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, as como en los estudios de otros matemticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. Unos ocho aos ms tarde, el alemn Gottfried Wilhelm Leibniz descubri tambin el clculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notacin de Leibniz es el que se usa hoy en el clculo.

1.1.6. SITUACIN EN EL SIGLO XVIII

El matemtico francs Gaspard Monge fue el creador de la geometra descriptiva. Sus investigaciones sobre la curvatura de las superficies constituyeron la base de los trabajos del matemtico alemn Carl Friedrich Gauss en ese campo.

Durante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discpulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de fsica, astronoma e ingeniera, lo que les permiti, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemticas. As, los hermanos Jean y Jacques Bernoulli inventaron el clculo de variaciones y el matemtico francs

Gaspard Monge la geometra descriptiva. Joseph Louis Lagrange, tambin francs, dio un tratamiento completamente analtico de la mecnica en su gran obra Mecnka analtica (1788), en donde se pueden encontrar las famosas ecuaciones de Lagrange para sistemas dinmicos. Adems, Lagrange hizo contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teora de nmeros, y desarroll la teora de grupos. Su contemporneo Laplace escribi Teora analtka de las probabilidades (1812) y el clsico Mecnka celeste (1799-1825), que le vali el sobrenombre de el Newton francs.

A pesar de sufrir un grave problema de visin, Leonhard Euler realiz contribuciones muy importantes a la matemtica pura y aplicada. Se le conoce por su tratamiento analtico de las matemticas y su discusin de conceptos del clculo infinitesimal,perotambinporsulaborenacstica,mecnica,astronoma y ptica.

El gran matemtico del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, quien aport ideas fundamentales sobre el clculo y otras ramas de las matemticas y sus aplicaciones. Euler escribi textos sobre clculo, mecnica y lgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. Sin embargo, el xito de Euler y de otros matemticos para resolver problemas tanto matemticos como fsicos utilizando el clculo slo sirvi para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas bsicas del clculo. La teora de Newton estaba basada en la cinemtica y las

Gaspard Monge

Leonhard Euler



velocidades, la de Leibniz en los infinitsimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparacin con el modelo lgico de la geometra griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.

1.1.7. LAS MATEMTICAS EN EL SIGLO XIX

Augustin L. Cauchy fue uno de los analistas matemticos del siglo XIX que basaron su visin del clculo en cantidades finitas, estableciendo el concepto de lmite. En ffsica contribuy al desarrollo de la ptica y la teoria de la elasticidad.

En 1821, un matemtico francs, Augustin Louis Cauchy, consigui un enfoque lgico y apropiado del clculo. Cauchy bas su visin del clculo slo en cantidades finitas y el concepto de lmite. Sin embargo, esta solucin plante un nuevo problema, el de la Augustin L. Cauchy definicin lgica de nmero real.

Aunque la definicin de clculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue l sino el matemtico alemn Julius W. R. Dedekind quien encontr una definicin adecuada para los nmeros reales, a partir de los nmeros racionales, que todava se ensea en la actualidad; los matemticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrass tambin dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema ms importante que surgi al intentar describir el movimiento de vibracin de un muelle -estudiado por primera vez en el siglo XVIII- fue el de definir el significado de la palabra funcin. Euler, Lagrange y el matemtico francs Joseph Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemtico alemn Peter G. 1. Dirichlet quien propuso su definicin en los trminos actuales.

El matemtico britnico George Boole describi en Investigacin sobre las leyes del pensamiento (1854) un sistema algebraico que se conoci ms tarde como lgebra de Boole. Este sistema tiene numerosas aplicaciones prcticas en informtica, por ejemplo, resulta til en el uso de motores de bsqueda en Internet.

Adems de fortalecer los fundamentos del anlisis, nombre dado a partir de entonces a las tcnicas del clculo, los matemticos del siglo XIX llevaron a cabo importantes avances en esta materia.

A principios del siglo, Carl Friedrich Gauss dio una explicacin adecuada del concepto de nmero complejo; estos nmeros formaron un nuevo y completo campo del anlisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemtico alemn Bernhard Riemann. Otro importante avance del anlisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonomtricas. stas se conocen hoy como series de Fourier, y son herramientas muy tiles tanto en las matemticas puras como en las aplicadas. Adems, la investigacin de funciones que pudieran ser iguales a series de Fourier llev a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una aritmtica de nmeros infinitos. La teora de Cantor, que fue considerada como demasiado abstracta y criticada como enfermedad de la que las matemticas se curarn pronto, forma hoy parte de los fundamentos de las matemticas y recientemente ha encontrado una nueva aplicacin en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.

Augustin L. Cauchy

George Boole



El matemtico alemn Georg Cantor introdujo la teora de conjuntos en el siglo XIX, y desarroll una aritmtica de nmeros infinitos, consecuencia de dicha teora. Las ideas de Cantor fueron criticadas por algunos de sus colegas que las consideraban demasiado abstractas.

Otro descubrimiento del siglo XIX que se consider abstracto e intil en su tiempo fue la geometra no eucldea. En esta geometra se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a sta.

Aunque descubierta primero por Gauss, ste tuvo miedo de la controversia que su publicacin pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el matemtico ruso Nikoli Ivnovich Lobachevski y por el hngaro Jnos Bolyai. Las geometras no eucldeas fueron estudiadas en su forma ms general por Riemann, con su descubrimiento de las mltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado tambin aplicaciones en fsica.

El matemtico francs Joseph Fourier destac sobre todo por sus estudios en fsica matemtica. Sus investigaciones sobre el calor le llevaron a introducir unas series trigonomtricas conocidas hoy como series de Fourier.

Gauss es uno de los ms importantes matemticos de la historia. Los diarios de su juventud muestran que ya en sus primeros aos haba realizado grandes descubrimientos en teora de nmeros, un rea en la que su libro Disquisitiones arithmeticae (1801) marca el comienzo de la era moderna.

En su tesis doctoral present la primera demostracin apropiada del teorema fundamental del lgebra. A menudo combin investigaciones cientficas y matemticas. Por ejemplo, desarroll mtodos estadsticos al mismo tiempo que investigaba la rbita de un planetoide recin descubierto, realizaba trabajos en teora de potencias junto a estudios del magnetismo, o estudiaba la geometra de superficies curvas a la vez que desarrollaba sus investigaciones topogrficas.

Nikoli I. Lobachevski fue uno de los tres matemticos que introdujeron, en el siglo XIX, un cambio radical en la geometra: desarrollaron sistemas coherentes de geometra no eucldea.

De mayor importancia para el lgebra que la demostracin del teorema fundamental por Gauss fue la transformacin que sta sufri durante el siglo XIX para pasar del mero estudio de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos.

Un paso importante en esa direccin fue la invencin del lgebra simblica por el ingls George Peacock. Otro avance destacado fue el descubrimiento de sistemas algebraicos que tienen muchas propiedades de los nmeros reales. Entre estos sistemas se encuentran las cuaternas del matemtico irlands William Rowan Hamilton,

Georg Cantor

Joseph Fourier

Nikoli Lobachevski



el anlisis vectorial del matemtico y fsico estadounidense Josiah Willard Gibbs y los espacios ordenados de n dimensiones del matemtico alemn Hermann Gunther Grassmann. Otro paso importante fue el desarrollo de la teora de grupos, a partir de los trabajos de Lagrange. Galois utiliz estos trabajos muy a menudo para generar una teora sobre qu polinomios pueden ser resueltos con una frmula algebraica.

Del mismo modo que Descartes haba utilizado en su momento el lgebra para estudiar la geometra, el matemtico alemn Felix Klein y el noruego Marius Sophus Lie lo hicieron con el lgebra del siglo XIX. Klein la utiliz para clasificar las geometras segn sus grupos de transformaciones (el llamado Programa Erlanger), y Lie la aplic a una teora geomtrica de ecuaciones diferenciales mediante grupos continuos de transformaciones conocidas como grupos de Lie. En el siglo XX, el lgebra se ha aplicado a una forma general de la geometra conocida como topologa. Tambin los fundamentos de las matemticas fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemtico ingls George Boole en su libro Investigacin sobre las leyes del pensamiento (1854) y por Cantor en su teora de conjuntos. Sin embargo, hacia finales del siglo, se descubrieron una serie de paradojas en la teora de Cantor. El matemtico ingls Bertrand Russell encontr una de estas paradojas, que afectaba al propio concepto de conjunto. Los matemticos resolvieron este problema construyendo teoras de conjuntos lo bastante restrictivas como para eliminar todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar si podran aparecer otras paradojas -es decir-,sin demostrar si estas teoras son consistentes. Hasta nuestros das, slo se han encontrado demostraciones relativas de consistencia (si la teora B es consistente entonces la teora A tambin lo es). Especialmente preocupante es la conclusin, demostrada en 1931 por el lgico estadounidense Kurt Gdel, segn la cual en cualquier sistema de axiomas lo suficientemente complicado como para ser til a las matemticas es posible encontrar proposiciones cuya certeza no se puede demostrar dentro del sistema.

1.1.8. LAS MATEMTICAS ACTUALES

El matemtico y filsofo alemn David Hilbert realiz importantes aportaciones al estudio de numerosas ramas de las matemticas, sobre todo de la geometra. En su obra Fundamentos de la geometra, escrita en 1899, reemplaza la geometra eucldea con un sistema de axiomas ms riguroso y abstracto.

En la Conferencia Internacional de Matemticos que tuvo lugar en Pars en 1900, el matemtico alemn David Hilbert expuso sus teoras. Hilbert era catedrtico en Gotinga, el hogar acadmico de Gauss y Riemann, y haba contribuido de forma sustancial en casi todas las ramas de las matemticas, desde su clsico Fundamentos de la geometra (1899) a su Fundamentos de la matemtica en colaboracin con otros autores.

La conferencia de Hilbert en Pars consisti en un repaso a 23 problemas matemticos que l crea podran ser las metas de la investigacin matemtica del siglo que empezaba. Estos problemas, de hecho, han estimulado gran parte de los trabajos matemticos del siglo XX, y cada vez que aparecen noticias de que otro de los problemas de Hilbert ha sido resuelto, la comunidad matemtica internacional espera los detalles con impaciencia.

David Hilbert



Se considera que el inventor de la compleja calculadora llamada mquina diferencial, el matemtico Charles Babbage, tambin fue el primero en concebir una autntica computadora. Con la ayuda de su colaboradora Augusta Ada Byron, Babbage dise la mquina analtica, muy similar a un ordenador o computadora moderna, dotada incluso de una memoria.

A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no pudo imaginar fue la invencin del ordenador o computadora digital programable, primordial en las matemticas del futuro.

Aunque los orgenes de las computadoras fueron las calculadoras de relojera de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, dise una mquina capaz de realizar operaciones matemticas automticamente siguiendo una lista de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas. La imaginacin de Babbage sobrepas la tecnologa de su tiempo, y no fue hasta la invencin del rel, la vlvula de vaco y despus la del transistor cuando la computacin programable a gran escala se hizo realidad. Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemticas, como el anlisis numrico y las matemticas finitas, y ha generado nuevas reas de investigacin matemtica como el estudio de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teora de nmeros, las ecuaciones diferenciales y el lgebra abstracta. Adems, el ordenador ha permitido encontrar la solucin a varios problemas matemticos que no se haban podido resolver anteriormente, como el problema topolgico de los cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX. El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con la condicin de que dos pases limtrofes deben tener distintos colores. Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad de clculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).

El conocimiento matemtico del mundo moderno est avanzando ms rpido que nunca. Teoras que eran completamente distintas se han reunido para formar teoras ms completas y abstractas. Aunque la mayora de los problemas ms importantes han sido resueltos, otros como las hiptesis de Riemann siguen sin solucin. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemticas ms abstractas estn encontrando aplicacin.

1.1.9. IMPORTANCIA DE LA MATEMTICA

Qu es matemtica?

Conocemos histricamente, que la matemtica naci como una ciencia natural que se ocupaba de los problemas cuantitativos del mundo sensible; y con la evolucin de la civilizacin humana se fue convirtiendo en una disciplina cada vez ms abstracta.

Definir la palabra matemtica ha sido para los matemticos un motivo de indescifrables devaneos, por la dificultad de alcanzar unanimidad en las opiniones expresadas.

A pesar de esto, se ha podido encontrar las siguientes definiciones de matemtica dignas de ser consideradas:

Charles Babbage



La ciencia de los esquemas1

Ciencia que trata de la cantidad2.

Estudio de las estructuras abstractas nacidas a partir de definiciones y postulados3

Estudio de las propiedades y las relaciones de entes abstractos (nmeros, figuras geomtricas, etc.), a partir de ciertas nociones bsicas, sin ms apoyo que el razonamiento lgico4.

Qu proporciona esta ciencia al ser humano?

Partamos del argumento que el conocimiento de la matemtica ensea a pensar con lgica y precisin. Esta ciencia proporciona al ser humano orden y disciplina. Puede decirse con certeza que la forma de transferir el aprendizaje, no es nicamente manejar frmulas algebraicas, teoremas geomtricos o ejecutar operaciones, sino ms bien, es razonar ante problemas reales. Debemos estar claros, quien sepa demostrar en geometra o en lgebra no es precisamente quien resuelve mejor los problemas geomtrico s o algebraicos, esta aseveracin consideramos confirmarla con lo que expresa Bacon quien atribuy a la matemtica como utilidad prctica para el estudio de todas las ciencias.

El conocimiento de la matemtica proporciona al ser humano orden y disciplina. La forma de transferir el aprendizaje es razonar ante problemas reales.

En trmino psicolgicos se ha probado que la matemtica estructura razonamientos lgicos en el individuo y que generan un mayor status en su personalidad; se reconoce ms bien que el currculo no se encuentra debidamente adecuado a las necesidades contemporneas porque se utilizan mtodos rgidos y memorsticos, en contenidos con una inacabable serie de teoremas de geometra.

Con este punto de vista, la complejidad de la actividad docente deja entrever que es necesario estar acorde con las innovaciones cientficas, didcticas y psicopedaggicas para lograr un potencial individual que generado con un trabajo colectivo permita realizar una real y verdadera prctica pedaggica.

El profesor de matemtica de octavo ao, debe tener siempre presente que los alumnos que concurren al colegio de enseanza media proceden de la escuela primaria en donde su preparacin es variada e irregular por la gran diversidad de escuelas que provienen o por el contenido curricular que no ha sido revisado por parte del Ministerio de Educacin para ajustarlo a las necesidades actuales psico-pedaggicas-sociales.

Aunque en los planes de estudio se mantengan todava la separacin entre la aritmtica, conjuntos, lgebra, geometra y trigonometra, el profesor de matemtica est en el deber

1. VARIOS (1971): Enciclopedia Labor, V 6, Pg. 483 2. VARIOS (1996), Diccionario enciclopdico universal AULA. 3. DefinicindelMatemticoRafaelBurbanoprofesordelaEscuelaPolitcnicaNacional

4. REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FSICAS Y NATURALES (2001): Diccionario Esencial de las Ciencia, Pg. 590



de correlacionar para que exista una conexin y se pueda entender de su aplicacin, en especial, la conexin debe existir entre la introduccin a la teora de conjuntos, la trigonometra, geometra y el lgebra. As mismo es muy aconsejable establecer las mayores relaciones con las dems asignaturas, poniendo la aritmtica, el lgebra y la geometra al servicio de todas ellas. Para conseguir estos propsitos en los problemas y ejercicios se utilizarn datos de las ciencias naturales, de la geografa, de la historia, etc. Por ejemplo: los datos sobre el tamao de los planetas y sus distancias al sol permitirn establecer relacin de proporcin. Los datos estadsticos sobre la produccin, exportacin e importacin de artculos servirn para construir grficos y establecer tambin proporciones. Las fechas de nacimiento y de muerte de grandes personajes, al calcularse la duracin exacta de su vida servirn para el estudio de nmeros complejos, lo mismo que las referentes a la independencia nacional, fundacin de las principales ciudades y otras de importancia para establecer relaciones de diferente tipo es entonces necesario que el profesor de matemticas demuestre a los alumnos la aplicabilidad de los conocimientos con el medio que nos rodea. Es indudable que ello requiere de un gran esfuerzo, de un alto grado de creatividad (Cabrera Carlos, 1996).

1.2. RESEA HISTRICA DE LA FSICA

Irene y Jean Frdric Joliot-Curie

Irene y Jean Frdric Joliot-Curie, una de las ms clebres parejas de la historia de la fsica, en el laboratorio de la Universidad de Pars, donde desarrollaron la mayor parte de su actividad investigadora. En 1933 los dos cientficos descubrieron que los elementos radiactivos se pueden preparar artificial mente a partir de elementos estables.

1.2.1. INTRODUCCIN

Fsica, ciencia que se ocupa de los componentes fundamentales del Universo, de las fuerzas que stos ejercen entre s y de los efectos de dichas fuerzas. En ocasiones la fsica moderna incorpora elementos de los tres aspectos mencionados, como ocurre con las leyes de simetra y conservacin de la energa, el momento, la carga o la paridad.

La fsica est estrechamente relacionada con las dems ciencias naturales, y en cierto modo las engloba a todas. La qumica, por ejemplo, se ocupa de la interaccin de los tomos para formar molculas; gran parte de la geologa moderna es en esencia un estudio de la fsica de la tierra y se conoce como geofsica; la astronoma trata de la fsica de las estrellas y del espacio exterior. Incluso los sistemas vivos estn constituidos por partculas fundamentales que siguen el mismo tipo de leyes que las partculas ms sencillas estudiadas tradicionalmente por los fsicos.



El hincapi que la fsica moderna hace en la interaccin entre partculas (el llamado planteamiento microscpico) necesita muchas veces como complemento un enfoque macroscpico que se ocupe de elementos o sistemas de partculas ms extensos. Este planteamiento macroscpico es indispensable en la aplicacin de la fsica a numerosas tecnologas modernas. Por ejemplo, la termodinmica, una rama de la fsica desarrollada durante el siglo XIX, se ocupa de determinar y cuantificar las propiedades de un sistema en su conjunto, y resulta til en otros campos de la fsica; tambin constituye la base de las ingenieras qumica y mecnica. Propiedades como la temperatura, la presin o el volumen de un gas carecen de sentido para un tomo o molcula individual: estos conceptos termodinmicos slo pueden aplicarse directamente a un sistema muy grande de estas partculas. No obstante, hay un nexo entre los enfoques microscpico y macroscpico: otra rama de la fsica, conocida como mecnica estadstica, explica la forma de relacionar desde un punto de vista estadstico la presin y la temperatura con el movimiento de los tomos y las molculas (ver Estadstica).

Hasta principios del siglo XIX, era frecuente que los fsicos fueran al mismo tiempo matemticos, filsofos, qumicos, bilogos o ingenieros. En la actualidad el mbito de la fsica ha crecido tanto que, con muy pocas excepciones, los fsicos modernos tienen que limitar su atencin a una o dos ramas de su ciencia. Una vez que se descubren y comprenden los aspectos fundamentales de un nuevo campo, ste pasa a ser de inters para los ingenieros y otros cientficos. Por ejemplo, los descubrimientos del siglo XIX en electricidad y magnetismo forman hoy parte del terreno de los ingenieros electrnicos y de comunicaciones; las propiedades de la materia descubiertas a comienzos del siglo XX han encontrado aplicacin en la electrnica; los descubrimientos de la fsica nuclear, muchos de ellos posteriores a 1950, son la base de los trabajos de los ingenieros nucleares.

1.2.2. COMIENZOS DE LA FSICA

Aunque las ideas sobre el mundo fsico se remontan a la antiguedad, la fsica no surgi como un campo de estudio bien definido hasta principios del siglo XIX.

En la Antigedad

Al matemtico e inventor griego Arqumedes se le atribuyen importantes contribuciones a la fsica. Se le conoce por aplicar la ciencia a la vida diaria y desarrollar inventos prcticos de mltiples usos, como la palanca o el tornillo. Segn una leyenda muy conocida, Arqumedes descubri una importante aplicacin del empuje del agua mientras tomaba un bao, y grit Eureka! (lo encontr) al darse cuenta de que poda empleado para medir la densidad de un objeto de forma irregular.

Los chinos, los babilonios, los egipcios y los mayas observaron los movimientos de los planetas y lograron predecir los eclipses, pero no consiguieron encontrar un sistema subyacente que explicara el movimiento planetario. Las especulaciones de los filsofos griegos introdujeron dos ideas fundamentales sobre los componentes del Universo, opuestas entre s: el atomismo, propuesto por Leucipo en el siglo IV a.c., y la teora de los elementos, formulada en el siglo anterior. Ver Filosofa occidental.

Arqumedes



Santo Toms de Aquino

En Alejandra, el centro cientfico de la civilizacin occidental durante el periodo helenstico, hubo notables avances. All, el matemtico e inventor griego Arqumedes dise con palancas y tornillos varios aparatos mecnicos prcticos y midi la densidad de objetos slidos sumergindolos en un lquido. Otros cientficos griegos importantes de aquella poca fueron el astrnomo Aristarco de Samos, que hall la relacin entre las distancias de la Tierra al Sol y de la Tierra a la Luna, el matemtico, astrnomo y gegrafo Eratstenes, que midi la circunferencia de la Tierra y elabor un catlogo de estrellas, y el astrnomo Hiparco de Nicea, que descubri la precesin de los equinoccios (ver Eclptica). En el siglo 11 d.C. el astrnomo, matemtico y gegrafo Tolomeo propuso el sistema que lleva su nombre para explicar el movimiento planetario. En el sistema de Tolomeo, la tierra est en el centro y el sol, la luna y las estrellas giran en torno a ella en rbitas circulares.

Edad media

En el siglo XIII, Santo Toms de Aquino intent reconciliar la filosofa de Aristteles con la teologa de san Agustn. Santo Toms consideraba que tanto la razn como la fe eran esenciales para el estudio de la metafsica, la filosofa moral y la religin, pero sugiri que las verdades de la razn y las de la fe correspondan a mbitos distintos. La obra de santo Toms calm algunos temores de los dignatarios eclesisticos ante el estudio y desarrollo de la ciencia.

Durante la edad media se produjeron pocos avances, tanto en la fsica como en las dems ciencias. Sin embargo, sabios rabes como A verroes o como Ibn al-Nafis (tambin conocido como al-Qarashi) contribuyeron a la conservacin de muchos tratados cientficos de la Grecia clsica. En general, las grandes universidades medievales fundadas en Europa por las rdenes monsticas a partir del siglo XIII no supusieron un gran avance para la fsica y otras ciencias experimentales. El filsofo escolstico y telogo italiano santo Toms de Aquino, por ejemplo, trat de demostrar que las obras de Platn y Aristteles eran compatibles con las Sagradas Escrituras. El filsofo escolstico y cientfico britnico Roger Bacon fue uno de los pocos filsofos que defendi el mtodo experimental como autntica base del conocimiento cientfico; tambin investig en astronoma, qumica, ptica y diseo de mquinas.

Siglos XVI Y XVII

El astrnomo polaco Nicols Coprnico revolucion la ciencia al postular que la Tierra y los dems planetas giran en torno a un Sol estacionario. Su teora heliocntrica (el Sol como centro) fue desarrollada en los primeros aos de la dcada de 1500, pero slo se public aos despus. Se opona a la teora de Tolomeo, entonces en boga, segn la cual el Sol y los planetas giraban alrededor de una Tierra fija. Al principio, Coprnico dud en publicar sus hallazgos porque tema las crticas de la comunidad

cientfica y religiosa. A pesar de la incredulidad y rechazo iniciales, el sistema de Coprnico pas a ser el modelo del Universo ms ampliamente aceptado a finales del siglo XVII.

Nicols Coprnico



El fsico y astrnomo italiano Galileo marc el rumbo de la fsica moderna al insistir en que la Tierra y los astros se regan por un mismo conjunto de leyes. Defendi la antigua idea de que la Tierra giraba en torno al Sol, y puso en duda la creencia igualmente antigua de que la Tierra era el centro del Universo. Se neg a obedecer las rdenes de la Iglesia catlica para que dejara de exponer sus teoras, y fue condenado a reclusin perpetua. En 1992 una comisin papal reconoci el error de la Iglesia.

La ciencia moderna surgi tras el renacimiento, en el siglo XVI y comienzos del XVII, cuando cuatro astrnomos destacados lograron interpretar de forma muy satisfactoria el comportamiento de los cuerpos celestes. El astrnomo polaco Nicols Coprnico propuso un sistema heliocntrico, en el que los planetas giran alrededor del Sol. Sin embargo, Coprnico estaba convencido de que las rbitas planetarias eran circulares, por lo que su sistema requera unas elaboraciones casi tan complicadas como el sistema de Tolomeo al que pretenda sustituir (ver Sistema de Coprnico). El astrnomo dans Tycho Brahe adopt una frmula de compromiso entre los sistemas de Coprnico y Tolomeo; segn l, los planetas giraban en torno al Sol, mientras que el Sol giraba alrededor de la Tierra. Brahe era un gran observador y realiz una serie de medidas increblemente precisas. Esto proporcion a su ayudante Johannes Kepler los datos para atacar al sistema de Tolomeo y enunciar tres leyes que se ajustaban a una teora heliocntrica modificada. Galileo, que haba odo hablar de la invencin del telescopio, construy uno, y en 1609 pudo confirmar el sistema heliocntrico observando las fases del planeta Venus. Tambin descubri las irregularidades en la superficie de la Luna, los cuatro satlites de Jpiter ms brillantes, las manchas solares y muchas estrellas de la Va Lctea. Los intereses de Galileo no se limitaban a la astronoma: empleando planos inclinados y un reloj de agua perfeccionado ya haba demostrado que los objetos tardan lo mismo en caer, independientemente de su masa (lo que invalidaba los postulados de Aristteles), y que la velocidad de los mismos aumenta de forma uniforme con el tiempo de cada. Los descubrimientos astronmico s de Galileo y sus trabajos sobre mecnica precedieron la obra del matemtico y fsico britnico del siglo XVII Isaac Newton, uno de los cientficos ms grandes de la historia.

1.2.3. PERSONAJES IMPORTANTES

La obra de Isaac Newton representa una de las mayores contribuciones a la ciencia realizadas nunca por una persona. Entre otras cosas, Newton dedujo la ley de la gravitacin universal, invent el clculo infinitesimal y realiz experimentos para estudiar la naturaleza de la luz y el color.

A partir de 1665, cuando tena 23 aos, Newton desarroll los principios de la mecnica, formul la ley de la gravitacin universal, separ la luz blanca en sus colores constituyentes e invent el clculo diferencial e integral. Las contribuciones de Newton cubrieron una gama muy amplia de fenmenos naturales. Por

Galileo

Isaac Newton



ejemplo, demostr que tanto las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario como los descubrimientos de Galileo sobre la cada de los cuerpos se deducen de la segunda ley del movimiento (segunda ley de Newton) combinada con la ley de la gravitacin. Newton tambin logr explicar el efecto de la Luna sobre las mareas, as como la presesin de los equinoccios.

El fsico francs Charles de Coulomb destac por sus trabajos realizados en el campo de la electricidad. En 1785 confirm experimentalmente la ley que lleva su nombre, y que permite calcular la fuerza entre las cargas elctricas.

Alessandro Volta (a quien Napolen nombr conde por su trabajo en el campo de la electricidad) es famoso por fabricar la primera pila elctrica, conocida como pila voltaica. Volta, profesor de fsica y gran experimentador, realiz muchasotras contribuciones a la ciencia, como la invencin del electrforo, un aparato para generar cargas estticas. La unidad de potencial elctrico, el voltio, recibe este nombre en su honor.

El fsico alemn Wilhelm C. Roentgen fue galardonado con el primer Premio Nobel de Fsica, en 1901, por su descubrimiento de una radiacin invisible ms penetrante que la radiacin ultravioleta, a la que denomin rayos X.

En 1905, Albert Einstein public tres artculos cruciales para el desarrollo de la fsica. En ellos se estudiaba la naturaleza cuntica de la luz, se describa el movimiento molecular y se Wilhelm C. Roentgen introduca la teora de la relatividad restringida. Einstein alcanz la fama por reexaminar continuamente las suposiciones cientficas tradicionales y alcanzar conclusiones a las que nadie haba llegado antes.

Max Planck se alej radicalmente de las ideas clsicas al proponer la teora de que la energa se propaga en cantidades discretas llamadas cuantos. Antes del trabajo de Planck sobre la radiacin del cuerpo negro, se crea que la energa era continua, pero muchos fenmenos resultaban as inexplicables. Mientras trabajaba en los aspectos matemticos de los fenmenos de radiacin observados, Planck se dio cuenta de que la cuantizacin de la energa poda

explicar el comportamiento de la luz. Sus revolucionarios trabajos sentaron las bases de gran parte de la fsica moderna.

El fsico alemn Max von Laue fue galardonado con el Premio Nobel de Fsica en 1914 por su descubrimiento de la difraccin de los rayos X por los cristales. Sus investigaciones le permitieron determinar las longitudes de onda de dichos rayos.

Charles de Coulomb

Alessandro Volta

Wilhelm Roentgen

Albert Einstein

Max Planck

Max von Laun



El fsico britnico Joseph J. Thomson obtuvo el Premio Nobel de Fsica en 1906 por sus investigaciones sobre la conduccin de la electricidad en los gases. Elabor un modelo del tomo en el que los electrones estaban incrustados en la materia positiva.

El fsico britnico Ernest Rutherford, que obtuvo el Premio Nobel de Qumica en 1908, fue un pionero de la fsica nuclear por sus investigaciones experimentales y su desarrollo de la teora nuclear de la estructura atmica. Rutherford afirm que un tomo

est constituido en gran medida por espacio vaco, con un ncleo con carga positiva en el centro, en torno al cual orbitan los electrones, cargados negativamente. Bombardeando gas nitrgeno con partculas alfa (partculas nucleares emitidas en procesos radiactivos), Rutherford logr transformar un tomo de nitrgeno en un tomo de oxgeno y otro de hidrgeno. Este experimento fue un primer estmulo para el desarrollo de la energa nuclear, que se libera en cantidades enormes por la desintegracin nuclear.

El fsico francs Louis Victor de Broglie fue galardonado con el Premio Nobel de Fsica en 1929 por su descubrimiento de la naturaleza ondulatoria de los electrones.

Marie Curie fue la primera mujer que gan el Premio Nobel y la primera persona que lo gan dos veces. Su brillante trabajo en radiactividad le cost la vida por una exposicin excesiva a la radiacin. Curie acu el trmino radiactividad para describir las emisiones

del uranio que observ en sus experimentos. Junto con su marido Pierre Curie, descubri los elementos polonio y radio.

1.2.4. IMPORTANCIA DE LA FSICA

APRENDER CIENCIA VALDR LA PENA?

La curiosidad del hombre le ha llevado a formularse preguntas como las siguientes:

- Por qu los descendientes se parecen a sus progenitores? Por qu son cuatro las estaciones del afto?

- Por qu centellean las estrellas? Por qu el fuego quema?

- Porquelaceiteflotasobreelagua?Porqulasplantassonverdes?

- Por qu se genera calor al frotar un cuerpo con otro?

Joseph Thomson

Ernest Rutherford

Louis Victor de Broglie

Marie Curie



- Por qu es necesario hervir los alimentos.?

- Por qu el agua con sal se vuelve conductora de la electricidad? Por qu el oxgeno es indispensable para la clula?

- Por qu se conservan los alimentos al refrigerarlos?

ASI VEMOS QUE ....

La ciencia

- tiene su origen en la curiosidad natural del hombre

- es el resultado de la actividad humana en su afn por entender la naturaleza.

- eselmedioqueelhombretienequebeneficiarsedelosrecursosqueencierrala naturaleza.

- dista mucho de estar concluida.

Podrn contribuir nuestros alumnos al desarrollo de la ciencia? Nosotros creemos que s.

1.3. EL PROFESOR DE FSICA Y DE MATEMTICA EN LA SOCIEDAD CONTEMPORNEA

La ciencia y la sociedad moderna

Es evidente que la ciencia y la tcnica han influido en gran escala en los cambios sociales de los ltimos tiempos y los que ms han incidido son: los fsicos, qumicos, biolgicos y por supuesto, los conocimientos de matemtica, han sido la clave, sin los cuales no habra podido llegado a la situacin actual. De ah que, el profesor de fsica y matemtica debe encontrarse preparado para asumir su rol, alejndose de una enseianza tradicional, basada en las humanidades y la deduccin formal.

El adelanto de la psicologa y su aplicacin en las teoras del aprendizaje ha contribuido al desarrollo de la tecnologa educativa, permitiendo aplicar nuevos mtodos de enseianza, con lo que se ha dado paso al nuevo hombre, capaz de aumentar la produccin en un mismo espacio y la invencin en todos los mbitos de la ciencia. Las nuevas tecnologas eliminan unos empleos y crean otros, transforman la manera de ejercerlos y

preguntas que el hombre, a travs de su actividad cientifica, ha respondido satisfactoriamente.

Entonces, habr razones suficientes para afirmar que vale la pena aprender ciencia?



cualifican en todos los campos del desarrollo social como: el industrial, el administrativo, el comercial, la comunicacin, etc.

Estas ciencias son el centro de nuevas tecnologas. Son los puntales, por dnde se han de edificar otras ciencias. Por ello nuestra didctica debe basarse en fundamentos psicopedaggicos, psicolgicos yantropolgicos

Qu busca el futuro profesor?

Este horizonte en manos de quines est?, si el conocimiento, la tecnologa y las demandas del siglo XXI exigen: pensadores, innovadores, emprendedores, en definitiva no slo manos, sino mentes y corazones comprometidos con el futuro de la nueva sociedad.

Desde este punto de vista los profesores de estas dos ciencias, debemos conocer en el sentido ms amplio de saber y de saber hacer, para desempear nuestra tarea con eficacia y eficiencia, no como una simple transmisin de conocimientos, sino aplicando los conocimientos con el medio que nos rodea. Es indudable que ello requiere de un gran esfuerzo y de un alto grado de creatividad

Hacer del alumno un emprendedor

Necesitamos investigadores creativos. Se lee en rtulos, o en cualquier medio de informacin, o en el Internet. Dnde estn?

Ese es nuestro reto. Y solamente lo hace un maestro con nuevos paradigmas en el modelo didctico. Preparar una nueva generacin de hombres y mujeres, productores de ideas e iniciativas motivadoras para afrontar los desafos del presente y del futuro.

Cul debe ser su didctica?

De lo expuesto anteriormente, no cabe duda que estas ciencias son indispensables en el desarrollo, tanto del individuo como de la sociedad actual; siendo tambin imprescindible la formacin del maestro de fsica y matemticas para que pueda ejercer con eficiencia su funcin.

Orientar el esfuerzo didctico de los jvenes a la generacin de ideas e iniciativas creadoras de empleo y riqueza cultural, econmica y social.

Es importante que el profesor de fsica y matemtica demuestre a los alumnos la aplicabilidad de los conocimientos en el medio que nos rodea.

Los jvenes deben aprender a aprender para emprender.



Los profesores cuando tienen que enseada, generalmente toman en cuenta los contenidos, lo que significan que slo valoran el currculo matemtico, o fsico en un 25%. Consideran que saber matemtica o fsica, es resolver los problemas ms difciles y de los ms variados temas, cuando en realidad hay mucho ms destrezas que desarrollar.

Concebida la matemtica y la fsica de esta manera errnea, es la causante de varios problemas en el aprendizaje, en la formacin del estudiante, y la que ha generado una serie de mitos y supersticiones, que aleja a los nios, jvenes y adultos de su estudio y aplicacin.

Bsicamente, no debe ser el qu ensear ?, sino para qu ensear ? Los contenidos que seleccione deben responder a las necesidades de la formacin del individuo, a los perfiles de las carreras y a las formas ms adecuadas para el logro de los objetivos planteados.

El maestro actual de estas ciencias experimentales, debe ensear a procesar los contenidos, descubrir las relaciones entre los diversos entes matemticos, fsicos; y poner en juego su capacidad de razonamiento.

Conviene que sobre los conocimientos que posee el alumno, el profesor elabore el nuevo conocimiento con las habilidades, estilo, perspectiva y estrategia que mejor se acomoden al estudiante; puesto que si se deja con hbitos errneos, o se implanta mtodos opuestos a los que tena, no adelantar nada y ser un fracaso ms.

En la actualidad debemos propiciar la discusin en donde el alumno exponga sus puntos de vista sobre los conocimientos recibidos. Hay que asegurar que el alumno aprenda a procesar la informacin obtenida, que desarrolle un verdadero razonamiento, en definitiva, la repeticin y la imitacin no puede ser nuestro objetivo de enseanza. Por el contrario su meta debe estar en la siguiente direccin. Si le preguntamos:

Que significa para usted ensear matemticas y/o fisica?

En forma general, la concepcin del proceso enseanza-aprendizaje de la matemtica y la fsica, es muy variada y dispersa en contenido, por eso que la mayora de los profesores dan lo mejor de s y esperan no volver a mencionar de nuestros alumnos; que la clase se convirti en: en la transmisin de los conocimientos, memorizacin de definiciones, frmulas, teoremas, procedimientos mecanicistas operacionales etc.,clases de matemticas y fsica: ridas, difciles cansadas,llenas de ejercicios, problemas, etc., mientras los alumnos afanados en la copia de sus cuadernos no tienen oportunidad de preguntar, peor de razonar.

No sera mejor conseguir paulatinamente la compensacin, valoracin y asimilacin interna por parte de los alumnos para una mejor interpretacin humana de la naturaleza, para conseguir la creatividad, y as dar respuestas a tantas y tantas interrogantes.

Desde la perspectiva de la Pedagoga conceptual, la ensef.anza de la fsica y la matemtica ya no puede limitarse al anlisis de tareas y/o resultados.

El docente se convertir e un incitador del pensamiento, entonces no aceptaramos verdades a medias, ni repeticin de conceptos, ni las respuestas, como evidencia de aprendizaje. Estos antecedentes plantean otras formas de ensear, en las cuales el alumno asuma un papel ms activo y participativo. Es decir, centrar nuestro accionar en:



CONCEPTOS BSICOS

Sobre la base de la formacin integral debemos cambiar el enciclopedismo por el desarrollo de la inteligencia; el conductismo por el constructivismo. Nuestra tarea es desarrollar habilidades, actitudes y capacidades, para lograr el mejoramiento de la calidad de vida en este planeta.

Los cambios culturales que ha impuesto la revolucin cientfica-tcnica, electrnica requieren de un nuevo maestro y un currculo sistmico.

Nuestro propsito debe ser la disminucin del fracaso escolar, a travs de una enseanza planificada y tomando en cuenta el verdadero rol de lo que debe ser el maestro en el aula.

Cul sera su perfil como docente?

Recuerde

Como parte de La universjdad catnca de Loja que vivimos nuestra fe y compromiso en grupo, quiero compartir con usted los siguientes aspectos; que aspiramos alcanzar ahora y siempre.

Construir esta sociedad tal como la quiere Jess: donde Dios sea reconocido como Padre de todos, donde cada persona sea mi hermano y reine la justicia que tanto pregonamos pero que muchas veces no practicamos.

Dando a los dems lo mejor de nuestra capacidad intelectual, sin egosmo y con el mayor de los deseos de compartir lo poco que se conoce. Reconozcamos que el individualismo cercena todo progreso; la diversidad en cambio es una riqueza necesaria para el bien comn .

Ayudando a nuestros alumnos, con respeto, con equidad, debemos satisfacer las necesidades personales y romper barreras que muchas veces crean desconcierto y da lugar a mirar a nuestras asignaturas con otra ptica. Sin querer decir que se les debe regalar notas, por el contrario se debe regalar paciencia y mucha comprensin.

Practicando la libertad, como derecho que tienen las personas y sin distincin alguna est

didactica de la fisica y la matematica g27702

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