didactique de la géométrie à l’école a. histoire et...

1

Didactique de la géométrie à l’école

2

Introduction

Le mot «géométrie» se décompose en «géo» et «métrie» qui signifientrespectivement «terre» (gaïa) et «mesure» (metron).

Quelques repères historiques permettront de montrer ce qu’est lagéométrie quels sont les choix de l'institution scolaire quant à sonenseignement. Puis le cours développe certains thèmes relatifs àl’enseignement et à l’apprentissage de la géométrie à l’école qui ont faitl'objet de recherches en didactique des mathématiques.

A. Histoire et enseignement de la géométrie

B. Espace physique et espace géométrique

C. Multiplicité des signifiants en géométrie

D. Connaissance des figures géométriques

E. Mesure des figures

3

- A -

Histoire de la géométrie, organisation de l’enseignement de la géométrie

4

1. Naissance de la géométrieLes premiers travaux de géométrie ont été menés il y a plus de 3 000ans à Babylone et en Égypte pour résoudre des problèmes concrets.Jusqu'au VIe siècle avant J.-C., la géométrie est utilitaire, elle n’est pasthéorisée : il n’y a donc pas de démonstration.

2. La géométrie grecque et ses développementsÀ partir du VIe siècle avant J.-C., les Grecs fondent une géométrie plusseulement pratique, mais aussi philosophique et scientifique.•Thalès et Pythagore (première moitié du VIe siècle avant J.-C.)

La géométrie devient un objet de réflexion, elle devient aussidéductive.

•Platon (427-347 avant J.-C.)Distinction entre les objets du monde et les objets géométriques *.

•Euclide (IIIe siècle avant J.-C)Première tentative d’axiomatisation de la géométrie.3. Géométrie analytique et géométries non-euclidiennes

La géométrie analytique date du XVIIe siècle (Descartes) et lesgéométries non-euclidienne du XIXe siècle.

I. Repères historiques

5 6

François Morellet, Géométree n°93, 1985

7

La géométrie sphérique repose sur unsystème de principes différent de celui de lagéométrie euclidienne. Les propriétés qui endécoulent sont elles-mêmes différentes.

Exemple: Un triangle en géométrie sphérique

Ici, un triangle avec trois angles droits !

Ici, deux perpendiculaires à une même droite

8

1. À l’école maternelle•Différencier, classer, reconnaître et de nommer des formes simples(carré, triangle, disque, etc.) ;•Reproduire un assemblage à partir d’un modèle (puzzle, etc.).

2. À l’école élémentaire•Connaître les objets géométriques de base du plan et de l’espace etleurs propriétés les plus importantes ;•Tracer des figures planes sur papier blanc ou sur un quadrillage enutilisant les instruments adaptés ;•Produire des descriptions de figures planes ou de solides de l’espace enmobilisant un vocabulaire adapté.

3. Au collège et au lycée•Connaître les configurations usuelles du plan et de l’espace et lestransformations.•Connaître et utiliser les propriétés géométriques de façon structurée :incidence, propriétés fondamentales des triangles, des quadrilatères etdes cercles, théorèmes de Thalès et de Pythagore et formulestrigonométriques.•Utiliser la géométrie analytique et le calcul vectoriel.

II. Organisation de l’enseignement de la géométrie

9

1. Avec les objets géométrique•Les figures hors de leur position courante ;•Le cercle et les figures arrondies ;•Contradiction entre classification et classement ;•Confusion entre les figure planes et les solides de l’espace (cube – carréou disque-boule par exemple).

2. Avec les relations entre les objets•Droites sécantes lorsque le point d’intersection n’est pas dessiné ;•Angle droit (sous-figure « coin de carré ») et direction des côtés ;•Droites perpendiculaires et direction des droites.

3. Avec les transformations d’objets (symétrie orthogonale)•Deux figures symétriques lorsque l’axe n’est pas « vertical » ;•Confusion entre axe de symétrie et droite qui partage la figure en deuxparties superposables (diagonales de rectangle par exemple) ;•Confusion entre la symétrie orthogonale et la symétrie centrale.

4. Autres•Manipulation des instruments géométriques ;•Vocabulaire.

III. Quelques difficultés classiques à l’école

10

- B -

Espace physique et espace géométrique

11

Bien des difficultés d’apprentissage semblent provenir d’une confusionentre les savoirs issus de l’expérience directe avec le monde réel et lessavoirs géométriques qui sont théoriques.

Pourtant, les premiers apprentissages spatiaux sont d’une grandeimportance pour les apprentissages géométriques.

I. Espace physique et géométrie « naturelle »1. Espace physique ou espaces physiques ?

Guy Brousseau (1983) considère que la taille de l’espace est unevariable didactique (le rapport à l’espace, les outils mis en œuvre, etc.diffèrent suivant la taille de l’espace) ; il distingue trois valeurs :

•le micro espace est l’espace des petits objets que l'on peut déplacer,manipuler ;

•le méso espace est l'espace des objets dont la taille est comprise entre0,5 et 50 fois la taille de l'enfant ;

•le macro espace est l’espace des objets dont le sujet ne peut en avoirque des visions partielles, la vision globale est une constructionintellectuelle.

12

Exemples :1) Le théorème de Thalès pour mesurer l’inaccessible.

III. Espace physique et espace géométrique

2) Comment savoir si un terrainde football est bien rectangulaire ?

13

2. La « géométrie naturelle »

Kuzniak (2004) définit la « géométrie naturelle » pour la confusionqu’elle entretient entre le modèle et la réalité.Les outils mobilisés pour résoudre les problèmes sont à la fois :

•des faits tirés de l’expérience concrète sur l’espace physique, parexemple des mesures prises sur les objets ou les dessins ;•des savoirs géométriques tirés de « régularités » de l’espacephysique. Exemple : le théorème de Pythagore perçu comme àl’époque des Babyloniens.

I. Espace physique et géométrie « naturelle »

On propose à un élève de CM1 unefigure représentant un parallélogrammeABCD et un rectangle CDEF.

On demande si les deux droites (AB) et(DE) sont perpendiculaires.

L’élève prolonge le segment [DE] etvérifie l’angle droit à l’équerre.

14

1. Géométrie « naturelle » vs « axiomatique »

Colette Laborde (1990) indique que l’enseignement doit permettre àl’élève de distinguer l’espace physique de l’espace géométrique car c’estseulement à partir de cette distinction que l’élève pourra comprendreles questions qui sont posées en géométrie et les réponses qui peuventêtre apportées.

En géométrie «naturelle», laperpendicularité se vérifie à l’aide del’équerre. Le travail s’effectue surl’espace physique.Ce n’est pas ce qui est demandé àl’élève de collège qui doit raisonner surle parallélisme et la perpendicularitédes droites de la figure. Le travails’effectue sur l’espace géométrique. Engéométrie axiomatique la validation desrésultats se fondent sur des axiomes etdes lois hypothético-déductives.

II. Espace géométrique et géométrie « axiomatique »

15

2. Contradiction géométrie naturelle / géométrie axiomatique


On perçoit ici une différence entre la géométrie naturelle et la géométrieaxiomatique : s’appuyer sur les dessins ou sur les idées ne conduit pasaux mêmes conclusions, cela produit parfois des malentendus entre lesprofesseurs et les élèves.

Alain Lerouge (2000) a montré que :- ce dessin est interprété par lesprofesseurs comme deux droitessécantes ayant un point commun etun seul- de nombreux élèves perçoiventdeux droites sécantes en plusieurspoints, le nombre de points étantindéterminé car dépendant del’épaisseur des droites et de leurinclinaison…

16

2. Contradiction géométrie naturelle / géométrie axiomatique

Dessinez un triangle HAB rectangle en H dont les côtés perpendiculaires[HA] et [HB] mesurent respectivement 13cm et 7,5cm.

Dessinez le triangle rectangle HAC symétrique du triangle HAB parrapport au côté [HA].

Que pensez-vous du triangle ABC ainsi formé ?

Le triangle est isocèle en A (logique !), il semble aussi être équilatéral…

La base [BC] mesure 15cm (valeur obtenue par la mesure ou le calcul)

Les côtés [AB] et [AC] mesurent 15cm (valeur obtenue par la mesure)

Les côtés [AB] et [AC] mesurent

On perçoit ici la différence profonde entre la géométrie naturelle et unegéométrie axiomatique : pour l’une ABC est équilatéral, pour l’autre ABCne l’est pas (et pour les deux ABC est isocèle…).

2 27,5 13 225,25 15,008+ = ≈


17

Les fonctions des représentations graphiques sont différentes engéométrie naturelle et en géométrie axiomatique.En géométrie naturelle, la représentation est l’objet sur lequel ontravaille et duquel on tire les informations pertinentes pour ce travail.Ce n’est pas le cas en géométrie axiomatique.

1. Ambiguïté des représentations en géométrie axiomatique

Colette Laborde (1990) explique que le statut des représentationsgraphiques en géométrie axiomatique est ambigu pour deux raisons aumoins.•D’abord la représentation graphique ne comporte pas forcément toutesles données du problème.•Ensuite elle donne parfois à voir des faits qui ne sont pas des donnéesou des propriétés qui ne sont pas exactes.

Par exemple, le dessin de deux triangles rectangles de côtésperpendiculaires 13cm et 7,5cm accolés par leurs côtés de 13cmdonnera bien à voir un triangle équilatéral.

III. Les représentations graphiques en géométrie

18

19

2. Le « vu » et le « su » d’une représentation graphique

Historiquement, la relationentre ce qu’on sait d’une figuregéométrique et ce que donne àen voir sa représentation aévolué.

Bernard Parzysz parle d’un«conflit du dessinateur entre levu et le su ».

Ici par exemple une illustrationde la mort de Moïse sur la biblede Naples (14e siècle) illustrece conflit : voir les frises de lacouverture qui sont parallèles(ce que sait l’illustrateur) ce quipose un problème aux pieds dulit.


20

2. Le « vu » et le « su » d’une représentation graphiqueBernard Parzysz et François Colmez (1993) ont étudié l’évolution duconflit du dessinateur entre le vu et le su.

Des élèves de toutes les classes depuis le CE2 jusqu’à la 2nde ontreprésenté sur une feuille de papier uni, la pyramide « squelettique »posée sur le bureau de leur professeur, elle était régulière et à basecarrée

Les élèves dessinent la pyramide en partant de sa vue d’ensemble, enpartant d’une face ou en partant de la base. Les étapes du dessinrésultent de choix différents des dessinateurs. En conséquence, lesrésultats obtenus sont très différents.


21

3. Figure et dessin, une distinction nécessaire en didactiqueParzysz (1988) propose de distinguer les dessins des figures :

•le dessin est la trace matérielle sur la feuille de papier ;

•la figure renvoie à l’objet théorique représenté (elle est souvent plusgénérale que le dessin qui la représente).

Exemple : les dessins suivants représentent tous la figure composéed’un triangle ABC et la hauteur issue du sommet A.


22

- C -

Multiplicité des signifiants en géométrie et situations pour l'enseignement

23

I. Reproduction d’un objet de l’espace physique1. Généralités

•La reproduction (ou copie) s’effectue à partir de différents matériaux ousupports et nécessite éventuellement des outils.

•Les objectifs visés sont que l’élève observe le modèle à reproduire et entire des propriétés utiles pour réaliser la copie. Ces propriétés peuventêtre à découvrir ou à appliquer. La copie peut nécessiter la mise enœuvre de savoirs géométriques, eux-mêmes à découvrir ou à appliquer.

2. Reproduction de solides : un exemple

Le dodécaèdre en pièces Polydron »

Les élèves doivent choisir les pièces à utiliser.

Ils doivent les dénombrer.

Ils doivent les accrocher pour réaliser le solide.

24

I. Reproduction d’un objet de l’espace physique3. Reproduction de dessins

Sur papier uni : l’objectif majeur est l’acquisition de compétences quantau repérage des propriétés et à leur réalisation grâce aux instrumentsgéométriques.

Mesurer un segment Reporter une longueurTracer une ligne droite ou un cercleTracer un angle droitetc.

Sur papier quadrillé : l’objectif majeurest le repérage (relatif ou absolu) dela position des points sur les nœuds, iln’y pas d’autres instruments à utiliserque la règle et éventuellement lecompas, ni à identifier les propriétésdu dessin à reproduire.

25

I. Reproduction d’un objet de l’espace physique3. Reproduction de dessins

L’élève peut avoir à repérer des « sur-figures » pour réaliser lareproduction.

26

II. Représentation graphique ou langagière d’un objet1. Représentation graphique d’un objet de l’espace physique

•Le passage de l’espace physique à l’espace graphique met enconcurrence le « vu » et le « su ».

•En conséquence, il y a obligation pour le dessinateur d’abandonnercertaines propriétés « sues » de l’objet et donc il y a nécessité deprocédés conventionnels.

•Exemples :

- les perspectives axonométriques ;- la perspective à points de fuite ;- le dessin technique ;- le développement des polyèdres.

27


• Perspectives axonométriquesLes fuyantes sont parallèles

•Perspective à points de fuite (ou conique, ou euclidienne)

Les fuyantes se rejoignent en des points appelés « points de fuite »qui sont alignés sur la « ligne d’horizon ».

28


• Perspective à points de fuite (ou conique, ou euclidienne)

Les fuyantes se rejoignent en des points appelés « points de fuite »qui sont alignés sur la « ligne d’horizon ».

Le miracle de l'hostie, Paolo Uccello (1397-1475)

29


• Le dessin technique

L’objet est projetésur trois plans :

-le plan frontal,

-le plan horizontal,

-le plan de profil.

les dessins obtenuss’appellent des« vues ».

30

II. Représentation graphique ou langagière d’un objet 1. Représentation graphique d’un objet de l’espace physique

• Le développement des polyèdres

Un développement, ou patron, d’un polyèdre est une représentation planede toutes les faces du polyèdre de telle sorte que chaque face soit reliéeà une autre au moins par une arête commune, que l’ensemble ainsiformé soit d’un seul tenant et qu’il puisse reconstituer le polyèdre parpliage uniquement.

31

II. Représentation graphique ou langagière d’un objet2. Représentations langagières d’un objet ou d’un dessin

La production d’un texte représentant un objet de l’espace physique ouun dessin (objet de l’espace graphique) est une description.

Les situations de description qui sont proposées aux élèves visentl’acquisition du vocabulaire et des propriétés géométriques, ainsi que leurutilisation adéquate.

L’objectif de la description peut être de reconnaître l’objet parmi unensemble d’objets ou de réaliser cet objet.

32

II. Représentation graphique ou langagière d’un objet2. Représentations langagières d’un objet ou d’un dessin

• Décrire pour reconnaître

L’auteur de la description raisonne sur les propriétés qui différencientl’objet qu’il décrit des autres objets.

S’il s’agit par exemple de commander un pentagone régulier dans lestock de pièces « Polydron », il suffira d’indiquer que la pièce possèdecinq côtés.

•Décrire pour (faire) construire

La description doit être complète, elle porte sur :

- les éléments ;

- leurs dimensions ;

- leur organisation relative.

Elle comporte une chronologie de la construction pour permettre audestinataire de la description de procéder étape après étape.

33

Situation « émetteur – récepteur »

L’émetteur et le récepteur sont un élève, soit un groupe d’élèves.

L’émetteur envoie un message (un texte ou un dessin) à propos d’unobjet de l’espace physique ou de l’espace géométrique pour que lerécepteur puisse identifier ou construire l’objet.

Cette situation de communication vise la mise en place d’un langagemathématique.

La validation fait partie intégrante de l’activité et s’effectue parcomparaison entre l’objet à l’origine du message et celui qui a étéproduit.

La principale limite de la situation « émetteur – récepteur » est que lesélèves peuvent se comprendre alors même que les moyens qu’ils utilisentpour communiquer ne sont pas suffisants.

34

Pour des élèves en fin de CM1.

Dessine un quadrilatère et rédige un message permettant au récepteur de dessiner le même quadrilatère.

Le dessin et le message de Rudy

35

Pour des élèves en fin de CM1.

Dessine un quadrilatère et rédige un message permettant au récepteur de dessiner le même quadrilatère.

Le message de Rudy et le dessin de Jeremy.

36

III. Représentations d’une figure géométriqueLa représentation d’une figure diffère de la représentation d’un objetgéométrique lorsque le dessinateur accède à la figure autrement que parla perception directe, par une description par exemple.On distingue différentes conventions de représentation des figuresgéométriques.

•Dans un dessin « à main levée » on représente les propriétés de lafigure par des conventions sans recherche de conformité entre le dessinobtenu et les propriétés représentées.

•Dans un dessin, le savoir sous-jacent à la réalisation du dessin importepeu, mais les propriétés de la figure (mesure ou égalité de mesures,incidence) doivent être représentées, c’est-à-dire vérifiables à l’aide desinstruments.

•Dans une construction géométrique, le savoir sous-jacent à la réalisationdu dessin est premier, il discrimine une construction correcte d’uneconstruction qui ne l’est pas. Si la méthode nécessite des tracésauxiliaires, il convient de ne pas les effacer.

37

Posé à des élèves de CM2.« Dessine un carré ABCD de côté 2 cm

et trace le cercle de centre B passant par A. »

38

Posé à des élèves de fin de 5e

« Construire un losange ABCD tel que le point D appartienne à

la droite d »Réussite de 30%

seulement car d n’est pas axe de symétrie.

39

- D –

Connaissance des figures géométriques

40

I. Les conceptions des objets géométriques

1. Conceptions du cercle (au cycle 3)

Il y a plusieurs façon de définir un cercle :

1. le cercle est une figure invariante par toute rotation autour d’unpoint fixe appelé centre ;

2. le cercle est une ligne fermée à courbure constante ;

3. le cercle est l’ensemble des points situés à une distance donnéed’un point fixe appelé centre ;

3bis. le cercle est la trajectoire d’un point mobile rigidement lié à unpoint fixe.

Une recherche a été menée avec des élèves de cycle 3 pour répondre àdeux questions :

Certaines définitions sont-elles ou non privilégiées par les enfants,indépendamment des tâches proposées ?

Comment favoriser l’apprentissage des propriétés du cercle ?

41



Trois situations et une évaluation

Situation 1

Les élèves reçoivent des secteurscirculaires de trois disques derayon différents.

Il y a un morceau manquant.

Les élèves doivent recomposerles disques et construire lemorceau manquant.

Cette situation favorise plutôt ladéfinition 1 : figure invariantepar rotation.

Les définitions 3 sont utilisables.

42




Situation 2

Les élèves reçoivent des arcs decercles de rayon différents tracéssur une feuille à ne pas découper.

Il y a un morceau manquant.

Les élèves doivent recomposerles cercles sur un calque et tracerle morceau manquant.

Cette situation favorise plutôt ladéfinition 2 : ligne à courbureconstante.

Les définitions 3 sont utilisables,mais encore plus difficilement.

43




Situation 3

Une grande feuille de papier est fixée ausol devant la porte d’entrée de la classe,un feutre est accroché à l’extrémité de laporte de manière telle que la pointetouche la feuille de papier.

Les élèves doivent deviner ce que lefeutre dessinera lorsque l’enseignantpoussera la porte pour la refermer.

Cette situation favorise plutôt ladéfinition 3 : ensemble de pointséquidistants du centre ou trajectoire d’unpoint mobile rigidement lié à un pointfixe.

44




Bilan des situations

L’analyse du travail des élèves a montré qu’une autre caractérisation ducercle était mobilisée :

4. le cercle est une figure ayant même « mesure » dans toutes lesdirections du plan.

Cette caractérisation étant utilisée souvent de manière parcellaire : deuxdirections étant privilégiées, l’horizontale et la verticale.

L’analyse du travail des élèves a enfin montré que le cercle est plutôtperçu par les élèves comme une ligne que comme un ensemble depoints, et que le passage d’une conception à l’autre est très difficile.

Ces constats montrent un problème de nature épistémologique :concevoir un cercle, une droite ou un segment comme un ensemble depoints, fait intervenir des notions difficiles comme celles d'infini,d’infiniment petit et de continuité.

45




Évaluation

Question 1 :

Cette figure est-elleun cercle ?Justifie ta réponse.

30% des élèves commencent par affirmer que la première figure est un rond, et un sur trois persiste.

60% des élèves emploient des argumentsvisuels seulement.

46




Évaluation

Question 2 :

Cette figure est un cercle.Détermine son centre.Trace des diamètres du cercle.Trace des rayons du cercle.Mesure les diamètres et les rayons.

80% des élèves effectuent des tracés ou des pliages selon H et Vpour obtenir le centre.15% des élèves pensent que tous les diamètres (rayons) n’ont pas lamême mesure.15% des élèves ne sont pas gênés par des mesures telles que lediamètre ne soit pas le double du rayon.

47


2. Une conception de la symétrie orthogonale

« L’axe de symétrie partage la figure en deux parties superposables »

Cette conception permet d’interpréter de nombreuses productionsd’élèves.

Exemple 1 :

Réussite en 6e = 39%

48


2. Une conception de la symétrie orthogonale

Exemples 2 et 3 :

Réussite en 6e

Cœur = 90%

Autres = 65%

Réussite en 6e = 60%

Une diagonaleau moins = 25%

49

II. Appréhension et classement des figures géométriques1. Trier, ranger, classer

Ces trois termes doivent être distingués :

- Trier, c’est regrouper les éléments d’un ensemble en deuxcatégories selon un critère qui est satisfait ou non par leséléments ;

- Ranger, c’est mettre les éléments d’un ensemble dans un certainordre, croissant ou décroissant. Cela suppose que les élémentssoient comparables selon une relation d’ordre ;

- Classer, c’est regrouper les éléments d’un ensemble en différentssous-ensembles

Exemples : on peut trier les figures géométriques selon qu’elles sontfermées ou non, et les figures fermées selon qu’elles sontpolygonales ou non, etc. Les polygones peuvent être classés suivantle nombre de leurs côtés. Les rectangles peuvent être rangés selonleur périmètre ou leur aire (ces deux rangement n’aboutissent pasau même ordre, sauf sur l’ensemble des carrés).

50

II. Appréhension et classement des figures géométriques2. Classement, classification

On distingue ces deux termes suivant le type de regroupementobtenu : le classement conduit à des sous-ensembles n’ayant pasd’éléments communs et dont la réunion est l’ensemble initial ; laclassification conduit plutôt à des sous-ensembles emboités commedes « poupées russes ».

Exemples : en classant les polygones suivant le nombre de leurscôtés, on obtient un classement. En classant les triangles selonl’égalité des leurs côtés, on obtient une classification. De même avecles quadrilatères selon le parallélisme des côtés opposés

51

II. Appréhension et classement des figures géométriques3. Classer suivant la forme ou suivant les propriétés

À l’école maternelle, on appréhende les formes géométriquesglobalement, on les classes suivant leur forme. Cela conduit à unclassement de ces formes : les « ronds », les triangles, lesrectangles, les carrés, etc. Dans ce classement, les carrés ne sontpas des rectangles car ils n’ont pas leur forme « allongée ».

Dès la fin de l’écoleélémentaire, on appréhendeles figures localement, onles classe suivant leurspropriétés.Cela conduit à desclassifications.Dans la classification desquadrilatères, les rectanglessont repérés par leursquatre angles droits, lescarrés sont donc desrectangles particuliers.

52

- E –

La mesure des figures géométriques

53

Mesurer en mathématiques : pratique et théorieLa mesure (de l’espace et du temps) est une préoccupation importante,on trouve des passages relatifs à la mesure dans le Papyrus Rhind quidate du XVe siècle avant J.-C.

Mesurer une grandeur consiste à la comparer à une autre grandeur dumême type qui a été choisie comme unité. La mesure est donc liée auxnombres avec lesquels elle est effectuée : difficile de mesurerprécisément une longueur avec un nombre entier...

Les méthodes et les outils pour effectuer desmesures en géométrie (notamment desangles) se sont développés pour des raisonspratiques comme la mesure de grandeursinaccessibles (taille de la Terre, distance entreplanètes, etc.)

La mesure est aussi théorisée ; un desaxiomes est « l’additivité de la mesure ». Engéométrie axiomatique, les valeurs desmesures sont calculées (théorèmes de Thalès,de Pythagore, trigonométrie, etc.) etinterviennent dans des raisonnements pourétablir des propriétés des figures. 54

I. Additivité de la mesure

1. Additivité de l’aire

Calcul d’aire (entrée en 6e)

Dans une plaque de 132 cm²,on découpe la lettre « H » enenlevant deux carrés de 16cm² chacun (carrés blancs).

Quelle est l’aire du « H » encm² ? (Surface coloriée)

Réponse : L’aire du « H » est :……………… cm²

Réussite 60%

4% effectuent 132 – 16

55

I. Additivité de la mesure

2. Additivité de la longueur

Calcul de périmètre (entrée en 6e)

Le périmètre du triangle A est 12 m.Le périmètre du triangle B est 17 m.La figure F est formée à l’aide des deuxtriangles, comme indiqué sur le dessin.Quel est le périmètre de la figure F ?

triangle B

triangle A

5 m

5 m

figure FRéussite 20%24 m 5%29 m 45%

56

II. Confusions aire et périmètre

Question : est-il possible de dessiner deux figures A et B telles quele périmètre de la figure A soit supérieur au périmètre de la figure B,mais que l’aire de la figure A soit inférieure à celle de la figure B ?

Si oui, donnez un exemple,

sinon, expliquez pourquoi.

Oui c’est possible : A est l’étoile et B le pentagone, l’aire de la figure Aest inférieure à celle de la figure B mais son périmètre est plus grand.

57


1. Relations entre les notions

Calcul de périmètre (entrée en 6e)

Un terrain a été partagé comme l’indique lafigure.Entoure la réponse qui convient et expliqueton choix :a.

L’aire de la parcelle A est la plus grandeLes deux parcelles ont la même aireL’aire de la parcelle B est la plus grande

b.Le périmètre de A est le plus grandLes deux parcelles ont le même périmètreLe périmètre de B est le plus grand

L’aire de B est la plus grande(90% de bonnes réponses et60% sont bien argumentées).

Les parcelles ont mêmepérimètre (30% de bonnesréponses et 45% répondent queB a le plus grand périmètre).

58


2. Analyse d’une situation d’étude de ces relations

Pour chaque partage compare les périmètres des parties, compareles aires des parties.

59

Voici un rectangle ABCD.

L’aire du rectangle ABCD est : ...... cm².

5 cm

3 cm

D

A

5 cm

C

3 cm

BIII. Les formules d’aire et de périmètre

1. Le rectangle

30% répondent 1535% répondent 16

2. Le triangle

Quelle est l’aire de cetriangle ?

9 cm

12 cm

15 cmRéponses erronées

élève A : 108 cm²

élève B : 42 cm²

élève C : 93 cm²

60

La figure ABCD représenteun parallélogramme.

Les mesures sont :AB = DC = 6cm ;AD = BC = 4 cm ;AE = 3 cm

a. Entoure, dans leformulaire ci-dessous, laformule qui te permettrade calculer l’aire deABCD.

b. Calcule l’aire de ceparallélogramme.

Non réponse 30%Bonne formule 60%

18 cm² 30%24 cm² 60%Périmètre 5%Non réponse 15%

III. Les formules d’aire et de périmètre

3. Les formules, en général

61

Conclusions

L’aire et la longueur sont des mesures différentes des figuresgéométriques, elles partagent les propriétés de la mesure mais elles neclassent pas les figures de la même façon.

L’aire et la longueur sont des concepts difficile à acquérir, les formulesd’aire et de périmètre semblent gêner leur apprentissage quandl’enseignement des notions est réduit à celui des formules. En outre,l’enseignement des formules et de leur utilisation pose aussi desdifficultés spécifiques.

Conséquence sur les programmes de 2002 : suppression del’enseignement des formules dans l’enseignement primaire etrecommandation aux professeurs d’insister sur le sens des notions d’aireet de périmètre.

Citons ce texte : « Les concepts de périmètre et d’aire ne doivent pas seréduire pour l’élève à des nombres ou des formules associés à desfigures. Il est nécessaire de mettre en place des activités qui permettentaux élèves de distinguer les deux notions. »

Programmes de 2008 : retour des formules...62

CONCLUSIONLa géométrie est un domaine particulier des mathématiques à cause dela relation entre l’espace physique et l’espace géométrique et à cause durôle des représentations dans l’activité géométrique.

L’apprentissage de la géométrie repose sur les connaissances spatialesdes sujets, il nécessite des activités de traductions entre les différentesreprésentations graphiques et textuelles des figures géométriques et surla pratique de l’activité géométrique : travail sur les figures etdémonstration.

L’apprentissage de la géométrie passe nécessairement par une phase oùles objets sont ceux de l’espace graphique et où les raisons sont tiréesdes représentations.

Les difficultés des élèves en géométrie se rencontrent souvent dans lepassage de cette première phase à la seconde où :

- les objets sont théoriques (même s’ils sont représentés) ;- les raisons sont validées par des énoncés de la théorie et reliées

sont par les règles de la logique (même si, ni la théorie ni lalogique ne sont enseignées).

didactique de la géométrie à l’école a. histoire et...

Documents