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Didaktik der Grundschulmathematik 3.1 Jürgen Roth
Didaktik der
Grundschulmathematik
Didaktik der Grundschulmathematik 3.2 Jürgen Roth
Inhaltsverzeichnis
Didaktik der Grundschulmathematik
1 Anschauungsmittel
2 Aufbau des Zahlbegriffs
3 Addition und Subtraktion
4 Multiplikation und Division
5 Schriftliche Rechenverfahren
Didaktik der Grundschulmathematik 3.3 Jürgen Roth
Kapitel 3:
Addition und Subtraktion
Didaktik der Grundschulmathematik
Didaktik der Grundschulmathematik 3.4 Jürgen Roth
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 3: Addition und Subtraktion
3.1 Addition und Subtraktion
im Zwanzigerraum
3.2 Addition und Subtraktion
im Hunderterraum
Homepage zur Veranstaltung
http://www.juergen-roth.de Lehre
Didaktik der Grundschulmathematik 3.5 Jürgen Roth
3.1 Addition und Subtraktion
im Zwanzigerraum
Kapitel 3: Addition und Subtraktion
Didaktik der Grundschulmathematik 3.6 Jürgen Roth
Rechnen
Jahrgangsstufe
1
Jahrgangsstufe
2
Jahrgangsstufe
3
Jahrgangsstufe
4
Addition und
Subtraktion verstehen
Einspluseinssätze
und Umkehrung • bis 20 automatisieren
Einspluseinssätze
und Umkehrung • bis 10 automatisieren
Addition & Subtraktion • bis 100
Addition & Subtraktion • bis 1000 halbschriftlich
• Schriftl. Verfahren
Addition & Subtraktion • schriftl. Verfahren üben
Im zweiten Zehner ad-
dieren & subtrahieren
Multiplikation und
Division verstehen
Mit Zehnerüber-
schreitung addieren
und subtrahieren
Multiplikationssätze • Strategien entwickeln
und anwenden
• Kernaufgaben und
Quadratsätze des
Einmaleins
• Dividieren mit Rest
Multiplikation und
Division • Strategien wiederholen
• Einmaleinssätze und
ihre Umkehrung
automatisieren
• Multiplikation & Divisi-
on mit Zehnerzahlen
Multiplikation und
Division • Einmaleinssätze
wiederholen
• Halbschriftliches
Rechnen
• schriftliche Verfahren
Divisionssätze • Strategien entwickeln
und anwenden
• Dividieren mit Rest
Grundrechenarten mit-
einander verbinden
KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (Jahrgangsstufe 4). Luchterhand, München, 2005
http://www.kmk.org/bildung-schule/qualitaetssicherung-in-schulen/bildungsstandards/dokumente.html
Didaktik der Grundschulmathematik 3.7 Jürgen Roth
Lösungsstrategien der Schüler:
1. Zählstrategien
Addition
Vollständiges Auszählen
mit Material
ohne Material
Weiterzählen vom
ersten Summanden aus
größeren Summanden aus
größeren Summanden aus
in Schritten
Subtraktion
Wegnehmen
mit Material
Ergänzen
mit Material
Zuordnen
Vorwärtszählen
Rückwärtszählen
um eine geg. Zahl von
Schritten
bis zu einer geg. Zahl Fehler
um (– 1) beim Addieren bzw.
um (+ 1) beim Subtrahieren
Fehler beim Zählen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/hunderterfeld/
Didaktik der Grundschulmathematik 3.8 Jürgen Roth
Lösungsstrategien der Schüler:
2. Heuristische Strategien
Heuristische Strategien anwenden,
um Lösungen aus bekanntem abzuleiten.
Anbahnung durch operatives Üben (vgl. Einspluseinstafel)
Voraussetzung
Kenntnis wichtiger Grundaufgaben, z. B.
1 + 1; 2 + 2; … 9 + 9; 10 + 10
5 + 0; 5 + 1; … 5 + 4; 5 + 5
Einsichten in Eigenschaften der Rechenoperationen, z. B.
Konstanz der Summe beim gegensinnigen Verändern
8 + 5 = 13 (8 – 3) + (5 + 3) = 13
Konstanz der Differenz beim gleichsinnigen Verändern
13 – 5 = 8 (13 – 3) – (5 – 3) = 8
Kommutativität der Addition (Vertauschen) …
Didaktik der Grundschulmathematik 3.9 Jürgen Roth
Lösungsstrategien der Schüler:
2. Heuristische Strategien
Addition
Tauschaufgabe
3 + 7 = 7 + 3
Zehnerergänzung
8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4
Gegensinniges Verändern
8 + 6 = (8 + 2) + (6 – 2) = 10 + 4
Nachbaraufgabe
9 + 7 = 10 + 7 – 1 = 17 – 1
Fastverdopplung
7 + 9 = 7 + 7 + 2 = 14 + 2
Zerlegung mittels 5
7 + 9 = 5 + 2 + 5 + 4 = 10 + 6
Subtraktion
Zerlegung des Subtrahenden
mit Zehnerübergang
25 – 7 = 25 – 5 – 2 = 20 – 2 = 18
Analogieaufgabe
9 – 8 = 1 also 19 – 8 = 11
Nachbaraufgabe
19 – 8 = 19 – 9 + 1 = 10 + 1 = 11
Zurückführen auf Addition
Zerlegung in leichtere
Teilaufgaben
http://www.juergen-roth.de/dynageo/hunderterfeld/
Didaktik der Grundschulmathematik 3.10 Jürgen Roth
Lösungsstrategien der Schüler:
3. Kennen der Grundaufgaben
Addition Subtraktion
Nach und nach prägen sich die Grundaufgaben ein
und werden nicht mehr gerechnet, sondern gewusst.
Didaktik der Grundschulmathematik 3.11 Jürgen Roth
Modelle zur Addition
bzw. Subtraktion
Kardinal-
zahl
Addition: 4 + 3 = 7 Subtraktion: 7 – 3 = 4
A B =
|A B| = |A| + |B|
B C
|C \ B| = |C| – |B|
Zählzahl 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 6, 5, 4
Maßzahl
Didaktik der Grundschulmathematik 3.12 Jürgen Roth
Operator-
zahl
Modelle zur Addition
bzw. Subtraktion
+ 4 + 3
+ 7
+ 4 – 3
+ 7
4 7 + 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8
+ 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8
– 3
7 4 – 3
+3
7
10
14
?
4 7
7 10
11 14
+3
4
7
11
–3
4
7
11
?
7 4
10 7
14 11
–3
7
10
14
Addition: 4 + 3 = 7 Subtraktion: 7 – 3 = 4
Didaktik der Grundschulmathematik 3.13 Jürgen Roth
Erarbeitung des kleinen 1+1
Aspektreich
Breites Spektrum von Additions- situationen im täglichen Leben
Strategien
Weiterzählen um 1 bzw. 2
Tauschaufgaben (Betrachtungsrichtung wechseln)
Verdoppeln
Fastverdoppeln
Nachbaraufgabe
Analogieaufgabe
Gegensinniges Verändern
Zerlegen einer Aufgabe in leichtere Teilaufgaben (vor allem beim Zehnerübergang)
Didaktik der Grundschulmathematik 3.14 Jürgen Roth
Erarbeitung des kleinen 1–1
Aspektreich
Breites Spektrum von Additionssituationen im täglichen Leben.
Strategien
Rückwärtszählen um 1 bzw. 2
Halbieren
Fasthalbieren
Nachbaraufgabe
Analogieaufgabe
Subtrahenden zerlegen
Zusammenhang von
Addition und Subtraktion
Didaktik der Grundschulmathematik 3.15 Jürgen Roth
Klassifikation von +
und – Situationen
Addition
Vereinigen (statisch) Vereinigungsmenge unbek.
Teilmenge unbekannt
Hinzufügen (Operator; dyn.) Ergebnis/Ausgabe unbekannt
Veränderung/Operator
unbekannt
Start/Eingabe unbekannt
Ausgleichen (dynamisch) Anja hat 4 Bonbons. Pia hat 8
Bonbons. Wie viele Bonbons muss
Anja bekommen, um genauso viele
Bonbons wie Pia zu haben?
Vergleichen (statisch) Unterschied unbekannt
Vergleichsgröße unbekannt
Subtraktion
Vereinigen (statisch) Anja hat 8 Bonbons. 5 sind
Karamellbonbons, der Rest
saure Bonbons. Wie viele
saure Bonbons hat sie?
Abziehen/Wegnehmen (dyn.) Anja hat 8 Bonbons. Sie gibt
ihrer Freundin Pia 5 Bonbons. Wie
viele Bonbons bleiben ihr noch?
Ergänzen (dynamisch) Pia hat 5 Bonbons. Wie viele
Bonbons muss Pia bekommen, um
insgesamt 8 Bonbons zu haben?
Vergleichen (statisch) Anja hat 8 Bonbons. Ihre Freundin
Pia hat 5 Bonbons. Wie viele
Bonbons hat Anja mehr?
Didaktik der Grundschulmathematik 3.16 Jürgen Roth
Räuber und Goldschatz
Didaktik der Grundschulmathematik 3.17 Jürgen Roth
Räuber und Goldschatz
+
+
–
– 16 – 3 = 13 18 – 3 = 15 19 – 6 = 13 16 – 5 = 11 16 – 6 = 10 11 – 6 = 5 6 – 3 = 3
Didaktik der Grundschulmathematik 3.18 Jürgen Roth
Zwanzigerfeld
Einführende Additionsaufgabe (z. B. 7 + 7)
legen lassen (3 Darstellungsmöglichkeiten)
mündliche Besprechung
Notation
(Operative) Abwandlung der Aufgabe
Legen und Rechen von Additionsaufgaben
(vgl. Arbeitsblatt)
Wittmann, Müller: Übungen zum Einspluseins. In: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1: Vom Einspluseins zum
Einmaleins. Ernst Klett Grundschulverlag, Leipzig, 1993, S. 33 – 41 h
Didaktik der Grundschulmathematik 3.19 Jürgen Roth
Plusaufgaben
+
http://www.juergen-roth.de/dynageo/hunderterfeld/
Didaktik der Grundschulmathematik 3.20 Jürgen Roth
Zwanzigerreihe
Ergänzungsaufgaben
Beispiel: 7 + = 11
Auch mit Zwanzigerfeld, aber
besser mit Zwanzigerreihe
(Operative) Abwandlung
der Aufgabe
Einführende
Subtraktionsaufgabe
von vorne wegnehmen
von hinten wegnehmen
(Operative) Abwandlung
der Aufgabe
Legen und Rechnen von
Subtraktionsaufgaben
Übergang zum
denkenden Rechnen
Verdopplungsaufgabe legen
Nachbaraufgaben im Kopf
Ergänzungsaufgaben
Ersten Summand legen,
Rest im Kopf
Später: Keine Plättchen, aber
Sicht auf leeres Material
Wittmann, Müller: Übungen zum Einspluseins. In: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1. Ernst Klett
Grundschulverlag, Leipzig, 1993, S. 33-41 http://www.juergen-roth.de/dynageo/zwanzigerfeld/zwanzigerreihe.html
Didaktik der Grundschulmathematik 3.21 Jürgen Roth
Minusaufgaben
–
http://www.juergen-roth.de/dynageo/zwanzigerfeld/zwanzigerreihe.html
Didaktik der Grundschulmathematik 3.22 Jürgen Roth
3.2 Addition und Subtraktion
im Hunderterraum
Kapitel 3: Addition und Subtraktion
Didaktik der Grundschulmathematik 3.23 Jürgen Roth
Schwierigkeitsstufen
bei „+100“ und „–100“
Z + (–) Z
30 + 60 = 90 60 – 20 = 40
ZE + (–) E ohne Zehnerübergang
23 + 6 = 29 69 – 7 = 62
ZE + (–) E mit Zehnerübergang
25 + 8 = 33 67 – 9 = 58
ZE + (–) Z
23 + 60 = 83 69 – 40 = 29
Z + (–) ZE
20 + 65 = 85 60 – 42 = 18
ZE + (–) ZE ohne Zehnerübergang
32 + 25 = 57 69 – 42 = 27
ZE + (–) ZE mit Zehnerübergang
27 + 48 = 75 67 – 49 = 18
E: Einer
Z: Zehnerzahl
ZE: Gemischte
Zehnerzahl
Didaktik der Grundschulmathematik 3.24 Jürgen Roth
Grundsätzliche Methoden
beim „+100“
1. „Zehner extra, Einer extra“
38 + 45 30 + 40
8 + 5 70 + 13
2. „Schrittweise“
38 + 45 38 + 40 + 5 78 + 5
38 + 45 38 + 5 + 40 43 + 40
38 + 45 38 + 2 + 43 40 + 43
3. „Aufgabe vereinfachen“ (gegensinniges Verändern)
38 + 45 40 + 43
Methoden benennen
Nutzung bewusster
Austausch darüber leichter
http://www.juergen-roth.de/dynageo/hunderterfeld/
Didaktik der Grundschulmathematik 3.25 Jürgen Roth
Grundsätzliche Methoden
beim „+100“
Didaktik der Grundschulmathematik 3.26 Jürgen Roth
Grundsätzliche Methoden
beim „–100“
1. „Zehner extra, Einer extra“
96 – 57 90 – 50
6 – 7 40 – 1
2. „Schrittweise“
96 – 57 96 – 50 – 7 46 – 7
96 – 57 96 – 7 – 50 89 – 50
96 – 57 96 – 56 – 1 40 – 1
3. „Aufgabe vereinfachen“ (gleichsinniges Verändern)
96 – 57 99 – 60
4. „Ergänzen“
96 – 57 60; 96 3 + 36
96 – 57 66; 96 9 + 30
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Didaktik der Grundschulmathematik 3.27 Jürgen Roth
Rechne aus!
Wie hängen die Aufgaben zusammen?
Didaktik der Grundschulmathematik 3.28 Jürgen Roth
Addition am Kalender
Didaktik der Grundschulmathematik 3.29 Jürgen Roth
Addition am Kalender
Didaktik der Grundschulmathematik 3.30 Jürgen Roth
Magische (Zahlen-)Quadrate
1 14 15 4
12 7 6 9
8 11 10 5
13 2 3 16
34 34 34 34
34
34
34
34
34
34
4 MS
= 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16
= 8 17 = 136
MS = 136 : 4 = 34
Didaktik der Grundschulmathematik 3.31 Jürgen Roth
Magische (Zahlen-)Quadrate
1 14 15 4
12 7 6 9
8 11 10 5
13 2 3 16
1
12
8
13
15 14 4
6 7 9
10 11 5
3 2 16
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Didaktik der Grundschulmathematik 3.32 Jürgen Roth
Magische (Zahlen-)Quadrate
Bilde schöne Muster, indem du immer vier
Zahlenfelder mit der magischen Summe 34
gleich einfärbst.
Didaktik der Grundschulmathematik 3.33 Jürgen Roth
Magische (Zahlen-)Quadrate
Didaktik der Grundschulmathematik 3.34 Jürgen Roth
Hexen-Einmaleins
Du musst versteh‘n,
aus Eins mach Zehn.
Die Zwei lass geh‘n.
Die Drei mach gleich,
So bist du reich.
Verlier die Vier!
Aus Fünf und Sechs,
So sagt die Hex,
Mach Sieben und Acht,
So ist's vollbracht:
Und Neun ist Eins,
Und Zehn ist keins.
Das ist das Hexen-Einmaleins! Goethe: Faust
Szene in der Hexenküche
9 8 7 6 5 4 3 2 1
4 6 5 8 7 0 3 2 10 = 15
?
Didaktik der Grundschulmathematik 3.35 Jürgen Roth
Streichquadrate „+“
22 27 31 19
16 21 25 13
14 19 23 11
3 8 12 +
+ + + +
14 27 25 + +
+ 3 11 8 19 12 13
Didaktik der Grundschulmathematik 3.36 Jürgen Roth
Streichquadrate „–“
Didaktik der Grundschulmathematik 3.37 Jürgen Roth
Zahlenmauern
Didaktik der Grundschulmathematik 3.38 Jürgen Roth
Zahlenmauern
Didaktik der Grundschulmathematik 3.39 Jürgen Roth
Zahlenmauer
Didaktik der Grundschulmathematik 3.40 Jürgen Roth
Zahlenmauer
Didaktik der Grundschulmathematik 3.41 Jürgen Roth
Zahlenmauer
Didaktik der Grundschulmathematik 3.42 Jürgen Roth
Rechenwege und
Darstellungsweisen
38 + 25
Wie
rechnest
du?
Verschiedene
Rechenwege
aufzeigen & zu
eigenen Wegen
ermutigen!
Didaktik der Grundschulmathematik 3.43 Jürgen Roth
Rechenwege und
Darstellungsweisen
57 – 23
Wie rechnest du?
Didaktik der Grundschulmathematik 3.44 Jürgen Roth
Hunderterfeld mit Zahlenwinkel (Blitzrechnen)
Wie viele?
Zehnerergänzung
Zählen bis 100
(in Schritten)
Ergänzen bis 100
100 teilen
Verdoppeln von
5er und 10er
Halbieren von
10er Zahlen
Leichte Plus- und
Minusaufgaben
Reine Zehnerzahlen in
zwei Summanden zerlegen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/hunderterfeld/
Didaktik der Grundschulmathematik 3.45 Jürgen Roth
Schülerfehler
bei der Addition
82 + 7 = 88 Verrechnen um -1, durch falsches
Zählen 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88
62 + 6 = 32 Störung der Richtung beim
Zahlenlesen 26 + 6
82 + 7 = 90 Verrechnen um +1, bedingt durch
falsche Zählstrategie 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89 ergibt 90
54 + 8 = 58 Falsche Richtung einer Teilopera-
tion 54+6=60,60-2= 58
680 + 130 = 550 Verwechseln bzw. Vertauschen der
Operation
27 = 13 + Unzureichendes Verständnis von
Platzhaltern und Gleichungen 27 = 13 + 40
501 + 125 = 606 Fehlerhafter Gebrauch und
Operieren mit der Null
78 + 8 = 88 Perseverationsfehler,
d. h. dominierende Ziffern bzw. Zahlen wirken nach
622 + 31 = 923 Falsche Stellenzuordnung beim
halbschriftlichen Rechnen 622 + 30 = 922 und 922 + 1 = 923
76 + 8 = 74 Zehnerüberschreitung
wird nicht berücksichtigt
34 + 0 + 7 = 0 0 + 0 = 2 Verständnis der Null nicht
ausreichend; Operieren mit Null ungeklärt
Didaktik der Grundschulmathematik 3.46 Jürgen Roth
Schülerfehler
bei der Subtraktion
96 – 8 = 89
Verrechnen um +1 durch
falsches Rückwärtszählen
96, 95, 94, 93, 92, 91, 90, 89
87 – 5 = 73
Störung der Lese- und
Schreibrichtung von Zahlen
78 – 5
96 – 8 = 87
missverstandenes Rückwärts-
zählen führt zu einer Fehllösung
um –1
95, 94, 93, 92, 91, 90, 89, 88
Es bleiben 87 übrig.
85 – 14 = 99
Addition statt Subtraktion
52 – 7 = 55
Fehlerhafte Richtung
einer Teiloperation
52 – 2 = 50, 50 + 5 = 55
80 – 21 = 60
Subtraktion von der Null
für viele Schüler nicht lösbar
92 – 28 = 76
Differenz zwischen den Ziffern
gleichen Stellenwerts gebildet
8590 – 280 = 8390
8590 – 280 = 8510
Unvollständiges (halbschriftl.)
Subtrahieren, Zwischenlösung wird
als Lösung angeboten