didaktik der mathematik der sekundarstufe ii - 6...
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Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II6. Ableitungsregeln
H. Rodner, G. Neumann
Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik
Sommersemester 2010/11
Internetseite zur Vorlesung:
http://www.mathematik.hu-berlin.de/˜neumann/
H. Rodner, G. Neumann Humboldt-UniversitätDidaktik der Mathematik der Sekundarstufe II, Teil 6 Sommersemester 2010/11
Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II
Differentialrechnung
Hausaufgabe
Die Kettenregel
H. Rodner, G. Neumann Humboldt-UniversitätDidaktik der Mathematik der Sekundarstufe II, Teil 6 Sommersemester 2010/11
Hausaufgabe
Skizzieren Sie eine Einführungsstunde zum Thema
Ableitung der Exponentialfunktion
mit dem Ziel der Einführung der
Exponentialfunktion zur Basis e.
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Die Kettenregel
Wie kann die Kettenregel eingeführt werden?
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Die Kettenregel
Ermitteln Sie die Ableitung von f (x) = (x2)3
I über bekannte AbleitungsregelnI über die Ableitungen der verketteten Funktionen
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Die Kettenregel
Stellen Sie möglichst viele Zusammenhänge zwischen denFunktionstermen her.
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Die Kettenregel: Beweis
Wir betrachten den Differenzenquotienten für f (x) = u(v(x)) mit dendifferenzierbaren Funktionen u, v :Zu zeigen ist f ′(x) = u′(v(x)) · v′(x)
f (x)− f (x0)
x− x0=
u(v(x))− u(v(x0))
x− x0
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Die Kettenregel: Beweis
Multiplikation des Differenzenquotienten mit v(x)−v(x0)v(x)−v(x0)
Voraussetzung???
v(x)− v(x0) 6= 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung von x0
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Die Kettenregel: Beweis
Multiplikation des Differenzenquotienten mit v(x)−v(x0)v(x)−v(x0)
Voraussetzung???
v(x)− v(x0) 6= 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung von x0
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Die Kettenregel: Beweis
f (x)− f (x0)
x− x0=
u(v(x))− u(v(x0))
v(x)− v(x0)· v(x)− v(x0)
x− x0
Da die innere Funktion v differenzierbar ist, ist sie auch stetig,
daher geht für x→ x0 auch v(x) gegen v(x0) und
- mit den Grenzwertsätzen für den Grenzwert von Produkten - gilt:
f ′(x) = u′(v(x)) · v′(x)
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Die Kettenregel: Aufgaben
f(x)=u(v(x)) v(x) u(v) v’(x) u’(v) u’(v(x)) f’(x)(5x− 1)3 5x− 1 v3 5 3v2 3(5x− 1)2 15(5x− 1)2
2x + 3 v2
2(2x+1)2 2v−2
cos(2x + 1)√5− x2
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Die Kettenregel: Aufgaben
Für den Grundkurs: Binnendifferenzierung! Für schwache Schüler:
Reaktivierung der Potenzschreibweise für Wurzeln und Brüche inForm von Vorübungen!
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Die Kettenregel: Aufgaben
I Ableitung mit Kettenregel- Vergleich mit dem CASI Funktionen mit ParameterI Kombination mit ProduktregelI Funktionen mit mehr als einer Verkettung, z.B.
f (x) = (√
x2 + 1 + x)2
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Die Kettenregel: Anwendungsaufgabe
In einen kegelförmigen Behälter mit dem Radius R = 10 cm und derHöhe H = 30 cm werden pro Sekunde 20 cm3 Wasser gefüllt. DieHöhe des Wasserspiegels und das Volumen des Wassers hängen alsovon der Zeit ab.
a) Ermitteln Sie die Zuordnung h(t)→ V(t).b) Während des Füllvorgangs steigt der Wasserspiegel unterschiedlichschnell.Wie schnell steigt dieser in dem Augenblick, in dem das Wasser imBehälter 5 cm hoch steht?
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Die Kettenregel: Lösung der Anwendungsaufgabe
a)Für das Volumen in Abhängigkeit der Zeit in Sekundensowie für r Radius der Wasseroberfläche im Kegelund h Höhe des Wasserstands - ebenfalls abhängig von der Zeit -in cm gilt:
V(h(t)) =13πr2h
Außerdem gilt RH = 10
30 nach Voraussetzung für den Kegel mit Höhe Hund Radius R. Mit dem Strahlensatz und R
H = rh folgt: r = h
3
Dann ist
V(h(t)) =π
27(h(t))3
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