didaktik der mathematik der sekundarstufe ii ableitung von funktionen...

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe IIAbleitung von Funktionen

Exaktifizierung des Ableitungsbegriffs – Zugänge und Umsetzungsmöglichkeiten in der Schule

• Anstieg einer Kurve in einem Punkt/ Tangentenproblem

• Änderungsrate einer Funktion

• Lineare Approximation

Neumann/Rodner 1

Zugang: Tangentenproblem

Funktion f sei in einem Intervall

]a, b[ definiert;

Anstieg der Sekante in [x0, x]

Anstieg der Tangente in P(x0|f(x0))

Veranschaulichung des Grenzübergangs mithilfe des Computers

Neumann/Rodner 2

[b,a]x,x0

0

0

xx

)x(f)x(f

0

0

xx xx

)x(f)x(flim

0


Der schulklassische Zugang zum Ableitungsbegriff findet noch oft über das Tangentenproblem statt. Dieser enthält jedoch einige Schwierigkeiten im Verständnis!

Zugang durchläuft folgende Schritte:(1) Definition der Steigung einer Kurve in einem

Punkt über die Tangente.(2) Die Tangente als Grenzlage von Sekanten.(3) Berechnung der Tangentensteigung als Grenzwert.

Die Frage „Wieso interessiert man sich für den lokalen Anstieg?“ bleibt offen.

Neumann/Rodner 3


Probleme:

Zu (1): Tangente als Gerade, die sich der Kurve lokal um den Berührungspunkt anschmiegt, geht weit über die bis dahin erworbene Vorstellung des Schülers von einer Tangente hinaus! (Schüler: geometrische Vorstellung als globale Stützgerade, Lehrer: analytisch, Tangente als lokaleSchmieggerade)

Zu (2): Vorbereitung der Tangentensteigung durch neue Idee: Tangente in einem Punkt als Grenzlage benachbarter Sekanten, knüpft nicht an die Definition der Tangente (Tangente als bestapproximierte Gerade) aus (1) an.

Zu (3): Sekantensteigung ist berechenbar mit 2 Punkten, wieso dann x = x0? Es entstehen Schwierigkeiten, die durch die Algebraisierung des Verfahrens verdeckt werden.

Neumann/Rodner 4

Zugang: Änderungsrate einer Funktion

Mögliche Alternative zum klassischen Zugang über die

Tangentensteigung ist die Einbettung in Sachkontexte,

die die Frage nach dem lokalen Anstieg in natürlicher

Weise enthält und somit auch möglichst nahe an der

Erfahrungswelt der Schüler liegt:

Ableitung als lokale Änderungsrate

kinematisches Beispiel der Momentangeschwindigkeit

Neumann/Rodner 5

Zugang: Änderungsrate einer Funktion

Funktion f im Intervall [x0,x]

Absolute Änderung (konkrete Änderung des Bestandes)

im Zeitraum [x0, x]: Ratenbildung

Durchschnittliche (mittlere) Änderung(durchschnittliche Änderung des Bestandes) pro Zeiteinheit im

Zeitraum [x0, x]:

Grenzwertbildung

Momentane (lokale) Änderung (momentane Änderung

des Bestandes) pro Zeiteinheit zum Zeitpunkt x0:

Neumann/Rodner

0

0

xx

)x(f)x(f

)x(f)x(f0

0

0

0xx xx

)x(f)x(flim

6

Begriff der Änderungsrate in einem IntervallBeispiel: mittlere Wachstumsgeschwindigkeit (Mathematik 1, Gymnasiale Oberstufe, LK, Brandenburg, Cornelsen)

Neumann/Rodner7

Begriff der Änderungsrate in einem IntervallBeispiel: von der mittleren zur momentanen Geschwindigkeit

„ Neulich bin ich mit dem Auto von Bielefeld nach Berlingefahren und habe für 400km genau 4 Stunden gebraucht.“

„ Dann warst du aber mit 100km/h nicht besonders schnell.“„ Wie man‘s nimmt, manchmal bin ich über 150 km/h

gefahren.“

Dieser Sachverhalt ist allen Schülern vertraut und nicht zu kompliziert.

Er ist offen formuliert und bietet viele Aspekte zum Besprechen.

Ein Übergang zur eigentlichen Fragestellung fehlt, kann aber über ein gegebenes Weg-Zeit-Diagramm t s(t), z.B. Anfahrvorgang thematisiert werden.

Neumann/Rodner 8

Begriff der Änderungsrate Beispiel: von der mittleren zur momentanen Geschwindigkeit

• Zugang über einen Bewegungsvorgang, der in einem Weg-Zeit-Diagramm gegeben ist

• Interpretation des Bewegungsablaufes unter Benutzung des Begriffs der physikalischen Größe Geschwindigkeit

• Frage nach der Geschwindigkeit in gegebenen Zeitintervallen Durchschnittsgeschwindigkeit

• Frage nach der Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t0

• Idee: Verkleinerung der Zeitintervalle [t0 ,t] mit t = t0 + h;

t t0 bzw. h 0

• Für t t0 ergibt sich die Momentangeschwindigkeit

Neumann/Rodner

)t(vtt

)t(s)t(s0

0

0

9

Begriff der Änderungsrate in einem IntervallBeispiel: von der mittleren zur momentanen Geschwindigkeit

Galileo Galilei (1564-1642)

untersuchte die Gesetze des

Freien Falls. Seine Versuche

zeigten, dass der Fallweg s

quadratisch mit der Fallzeit t

zunimmt: s(t) = 5t² (t in Sekunden, s in Meter).

Welche

Momentangeschwindigkeit hat

der Körper zum Zeitpunkt

t0 = 2s?

Neumann/Rodner

Zeit t > 2 Mittl. Geschwindigkeit [2;t]

3

2,1

2,01

2,001

2 20m/s

s

m25

23

)2(s)3(s

s

m5,20

21,2

)2(s)1,2(s

s

m05,20

201,2

)2(s)01,2(s

s

m005,20

2001,2

)2(s)001,2(s

10


Exakte Berechnung:

( als Wert für die mittlere Geschwindigkeit im Intervall [2; t])

Man sieht, dass = 5(t + 2) dem Wert 20 beliebig nahe

kommt, wenn nur t genügend nahe bei 2 liegt.

(Einheit: v in m/s)

Neumann/Rodner

2t;v)2t(5

2t

)2t)(2t(5

2t

²25²t5

2t

)t(s)2(s

t

s

20)2t(5lim)2(v2t

11

v

v


Alle drei Grunderfahrungen sind gleichermaßen

beteiligt:

Realitätsbezug (G1)

Durchdringung eines zentralen theoretischen Begriffs (G2)

Erfahrung erfolgreichen heuristischen Arbeitens (G3)

Neumann/Rodner 12

Begriff der ÄnderungsrateLokale Änderungsrate

Definition: lokale Änderungrate

Wenn für eine von x abhängige Größe f die

Änderungsrate für x x0 gegen den

Wert m(x0) strebt, so heißt m(x0) die lokale oder

momentane Änderungsrate von f an der Stelle x0.

Neumann/Rodner

0

0

xx

)x(f)x(f

)x(fh

)x(f)hx(flim

xx

)x(f)x(flim)x(m 0

00

0h0

0

xx0

0

13

Zugang: Änderungsraten

Rahmenlehrplan Berlin, S.VII:

„Die Ableitung ist sowohl als lokale Änderungsrate als

auch als Tangentensteigung zu deuten“

Zugänge über Wege/ Geschwindigkeiten/ Beschleunigungen eignen sich gut für Einstiege in die Analysis

Siehe u.a. Dankwerts,R.; Vogel,D.: Analysis verständlich unterrichten. Spektrum,2006,S.51ff

Der im Folgenden vorgestellte Zugang wurde in ähnlicher Form von H.-W. Henn (TU Dortmund) vorgeschlagen.

Neumann/Rodner 14

Änderungsraten Beispiel: von der mittleren zur momentanen Beschleunigung

Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm:

Geschwindigkeit v = f(t) in Abhängigkeit von der Zeit

Neumann/Rodner 15


Konkrete Daten:

A: 0 s bis 100 s; ICE beschleunigt von 0 km/h auf 173 km/h

B: 100 s bis 200 s; ICE beschleunigt von 173 km/h auf 245 km/h

C: 200 s bis 300 s; ICE beschleunigt von 245 km/h auf 285 km/h

Quantifizierung der Beschleunigungsaussage:

Geschwindigkeitszunahme von y km/h in x s

A: B: C:

Es handelt sich um mittlere Beschleunigungen für 100 s-Zeitintervalle

Die hier verwendete, anschaulich recht verständliche Einheit

wird üblicherweise in umgerechnetNeumann/Rodner 16

s100

h

km173

s100

h

km72

s100s200

h

km173

h

km245

s100

h

km40

s200s300

h

km245

h

km285

s

h

km

²s

m


Die mittlere Beschleunigung zwischen 100 s und 200 s lässt sich als Steigung der Geraden durch die beiden Datenpunkte deuten.

Die mittlere Beschleunigung entspricht der Änderung der Geschwindigkeit im Zeitintervall von 100 s und 200 s.

Neumann/Rodner 17


Für ein festes gibt die Funktion mit

die durchschnittliche Beschleunigung im Intervall an

Eine genauere Aussage über das Beschleunigungsverhalten bei

t = 100 s erhält man durch die mittlere Änderungsraten wie

oder oder

allgemein mit

Anschaulich ist klar:

Wird das Zeitintervall kleiner, so wird die Aussage über die

Beschleunigung bei t = 100 s genauer.

Neumann/Rodner 18

s100s110

)s100(v)s110(v

s100s105

)s100(v)s105(v

s100t;s100t

)s100(v)t(v

1

1

t )t(a

t

)t(v)tt(v

t

v)t(a

]tt,t[


Aus dem ICE-Diagramm lassen sich einige Werte für

ablesen:

Neumann/Rodner 19

s50t

t in s [t; t + 50] v(t) in km/h v(t + 50) in km/h

0 [0; 50] 0 105 2,10

100 [100; 150] 173 215 0,84

200 [200; 250] 245 268 0,46

300 [300; 350] 285 295 0,20

400 [400; 450] 305 312 0,14

500 [500; 550] 319 323 0,08

600 [600; 650] 327 329 0,04

s

h/kmin)t(a


Graph der Funktion t

für die mittleren Beschleunigungen mit

Neumann/Rodner 20

)t(a

)t(a s50t


Man verbessert die Aussage, indem man die Intervalle immer

kleiner wählt. Anschaulich bedeutet das:

Übergang von der mittleren zur lokalen Beschleunigung

allgemein:

Übergang von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Übergang von der Steigung der Sekanten zur Steigung der Tangenten („Tangente“ im anschaulichem, nicht präzisem Sinne)

Mathematisch stellt sich das Problem des Grenzwertes:

Die Existenz des Grenzwertes ist in diesem Beispiel anschaulich

recht klar.

Neumann/Rodner 21

t

t

)t(v)tt(vlim)t(a

0t

Beispiele für lokale Änderungsraten

Größe Lokale Änderungsrate

Neumann/Rodner

1. Geschwindigkeit v in [t1;t2] Beschleunigung zum Zeitpunkt t0

2. Länge l in [t1;t2] einer Hopfenpflanze Wachstumsgeschwindigkeit w zum Zeitpunkt t0

3. Wassermenge V einer Quelle in [t1;t2] Schüttung S der Quelle zum Zeitpunkt t0

4. Höhe h auf dem Streckenabschnitt[x1;x2]

Lokale Höhenzu- oder Höhenabnahme an der Stelle x0, auch Steigung oder Gefälle an der Stelle x0

5. Anzahl a von noch vorhandenenAtomen bei radioaktivem Zerfall in[t1;t2]

Momentaner Zerfall zum Zeitpunkt t0

6. Kraftstoffinhalt des Tanks eines Pkw auf der Strecke [s1,s2]

Lokaler Kraftstoffverbrauch an der Stelle s0

22

Lokale Änderungsraten

Einheit der momentanen ÄnderungsrateSind x und f(x) Größen mit den Einheiten e1 und e2, so ist die lokale Änderungsrate eine Größe mit der Einheit

Bsp: (G3)Lokale Änderungsrate des Inhaltes einer KreisflächeEin Kreis mit dem Radius r0 (in cm) wird vergrößert oder verkleinert.Gesucht ist die lokale Änderungsrate und ihre Deutung.

Der Flächeninhalt ändert sich bei Vergrößerung oder Verkleinerungdes Radius r0 von A(r0)=πr0² auf A(r0+h)=π(r0+h)²; damit ist

Die lokale Änderungsrate des Flächeninhaltes hat die Einheitund ist somit der Umfang des Kreises.

Neumann/Rodner

1

2

e

e

000h

000 r2)hr2(lim);hr2(

h

)r(A)hr(A

cmcm

²cm

23

Wie kann man sich das plausibel machen?

Kreis mit Radius r; Vergrößerung des Radius um

Flächenzuwachs unterscheidet sich umso weniger vom Produkt aus Umfang und

je kleiner ist.

Also ist bzw.

für kleine .

Neumann/Rodner 24

r

A

r2 r

r

rr2A r2r

A)r(A

r

Zugang: Lineare Approximation

Ziel:

„Optimale“ Approximation

einer Funktion f durch

eine lineare Funktion

(Mit linearen Funktionen lässt

sich leichter arbeiten.)

Neumann/Rodner 25

Zugang: Lineare Approximation

Geg.: Funktion f:

Ges.: lineare Funktion h: mit

und

Absoluter Approximationsfehler: a(x) = f(x) – h(x)

(Falls f stetig in x0, so gilt .)

Relativer Approximationsfehler:

h approximiert „optimal“, wenn r(x) in der Nähe von x0 „klein“ ist, d.h. wenn

h approximiert f in x0 optimal, falls h die Tangente an f

beschreibt.

Neumann/Rodner 26

)x(f)x(h 00 m);x(f)xx(m)x(h 00

0)x(alim0xx

mxx

)x(f)x(f

xx

)x(f)xx(m)x(f

xx

)x(h)x(f)x(r

0

0

0

00

0

mxx

)x(f)x(flim0)x(rlim

0

0

xxxx 00

Zusammenfassung der Zugänge zum Ableitungsbegriff

Alle drei Ansätze führen zu dem Grenzwert

Präzisierung dieser Ideen führt zu einer Definition.

Definition:

f heißt differenzierbar (ableitbar) in es existiert

ein mit

bzw.

Neumann/Rodner 27

0

0

xx xx

)x(f)x(flim

0

Dx,D:f,D 0

:x0

c

0

0

xx xx

)x(f)x(flimc

0

h

)x(f)hx(flimc 00

0h

Welcher dieser Zugänge ist für die Schule am besten geeignet?

Alle drei Zugänge habe eine gewisse Bedeutung; Anstiege/Tangenten können auch bei anderen Zugängen der geometrischen Interpretation/ Veranschaulichung dienen.

Zugang über Änderungsraten hat einige Vorteile:- Anwendungsbeispiele, Anknüpfung an Alltagserfahrungen

- Bezüge zu den Aspekten funktionalen Denkens

- „Bestand und Änderung“ – tragfähiger Zugang zu Ableitung

und Integral

- Interpretationsmöglichkeit nicht nur der ersten, sondern auch

der zweiten Ableitung (Änderung der Änderungsrate)

Neumann/Rodner 28

Interaktive Lernpfade

http://www.austromath.at/

Neumann/Rodner

Mathematik Fachportal von ZUM.DE

29



http://mathematik.zum.de/

http://mathematik.zum.de/

Aufgaben

1. Jemand definiert die lokale Änderungsrate von f an der Stelle x0 durch den Grenzwert

.

Ist dies gleichwertig mit der vertrauten Definition, und wie ist es geometrisch zu interpretieren?

2. Bestimmen Sie die lokale Änderungsrate des Volumens Va) für einen Würfel mit der Kantenlänge ab) für eine Kugel mit dem Radius rc) für einen Zylinder in Abhängigkeit von r bei festem h

(in Abhängigkeit von h bei festem r).Welche anschauliche Bedeutung hat diese lokale Änderungsrate?

Neumann/Rodner

h2

)hx(f)hx(flim 00

0h

30

didaktik der mathematik der sekundarstufe ii ableitung von funktionen...

Documents