die collatz-folge a 0 selbst wählen ( n) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k...
TRANSCRIPT
![Page 1: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/1.jpg)
Die Collatz-Folge
a0 selbst wählen ( N)
ak+1 = ak/2 falls ak gerade
ak+1 = 3ak+1 falls ak ungerade
![Page 2: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/2.jpg)
Beispiele
15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484,
242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103,
310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790,
395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167,
502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276,
638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619,
4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051,
6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433,
1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92,
46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20,
10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
![Page 3: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/3.jpg)
Collatz-Zahlen
• Def.: Eine Zahl n N heißt Collatz-Zahl, wenn die Collatz-Folge mit a0 = n bei 1 endet (4–2–1)
• Wir kennen derzeit für die Menge der Collatz-Zahlen keine Turingmaschine, die bei Eingabe einer Zahl sicher anhält und die Ausgabe ja oder nein liefert.
• Es ist nicht bekannt, ob die Menge entscheidbar ist.• Sollten alle natürlichen Zahlen Collatz-Zahlen sein, so ist
die Menge entscheidbar.• Leicht ist es hingegen, eine Turingmaschine zu
entwickeln, die mit ja anhält, falls es sich bei der Eingabe um eine Collatz-Zahl handelt, und andernfalls nicht anhält.
![Page 4: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/4.jpg)
Das Halteproblem
Kann man eine Turingmaschine bauen, die von einer anderen Turingmaschine feststellt, ob diese hält oder nicht?
![Page 5: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/5.jpg)
TM Hält
Stellt fest, ob TM t hält oder nicht
? j / n
Hält
TM t hält vielleicht manchmal und manchmal nicht, je nach Eingabe
![Page 6: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/6.jpg)
TM Hält
Stellt fest, ob TM t auf Eingabe w hält oder nicht
? j / n
Hält
Was sollte auf dem Band stehen?
![Page 7: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/7.jpg)
TM Hält
Stellt fest, ob TM t auf Eingabe w hält oder nicht
t # w j / n
Hält
Wenn TM t bei Eingabe w hält, stoppt Hält mit j, andernfalls mit n
![Page 8: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/8.jpg)
Frage:
Kann man so eine Turingmaschine
Hält
basteln?
![Page 9: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/9.jpg)
Annahme 1:
Es gibt so eine Turingmaschine
Hält
![Page 10: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/10.jpg)
Fragen:
• Angenommen, wir können die Turingmaschine Hält programmieren.
• Welche Auswirkung hätte das auf die Goldbachsche Vermutung?
• Welche Auswirkung hätte das auf das Collatz-Problem?• Welche Auswirkung hätte das auf die Software-
Industrie?• Hausaufgabe!
![Page 11: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/11.jpg)
1. TM: Hält
Stellt fest, ob TM t auf Eingabe w hält
t # w j / n
Hält
Wenn TM t bei Eingabe w hält, stoppt Hält mit j, andernfalls mit n
![Page 12: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/12.jpg)
2. TM: Kopierer
Kopiert den Bandinhalt
h a l l o # h a l l o
KopiererVerdoppeln
![Page 13: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/13.jpg)
3. TM: Seltsam
?
t j /
Seltsam
Eingabe TM t, Ausgabe stopp mit j oder Endlosschleife
![Page 14: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/14.jpg)
TM Seltsam
Seltsam ruft zuerst TM Kopierer auf, danach TM Hält
t j /
Seltsam
Kopierer
Hält
1.
2.
![Page 15: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/15.jpg)
TM Seltsam
Seltsam ruft nun noch TM Hält auf
t # t
Seltsam
Hält2.
![Page 16: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/16.jpg)
TM Seltsam
Was hat Hält auf das Band geschrieben?
j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife.
n: Dann ersetzt
Seltsam das n durch ein j und stoppt.
t # t j / n
Seltsam
![Page 17: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/17.jpg)
TM Seltsam
j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife.
t # t
Seltsam
![Page 18: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/18.jpg)
TM Seltsam
n: Dann ersetzt
Seltsam das n durch ein j und stoppt.
t # t j
Seltsam
![Page 19: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/19.jpg)
TM Seltsam
spezielle Eingabe Seltsam
Seltsam
SeltsamSeltsam bekommt sich
selbst als Eingabe!
![Page 20: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/20.jpg)
Frage:
Hält Seltsam bei Eingabe Seltsam?
Akzeptiert Seltsam sich selbst?
![Page 21: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/21.jpg)
Annahme 2 a):
Seltsam hält bei Eingabe Seltsam
![Page 22: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/22.jpg)
Widerspruch!
Annahme 2 a)
Seltsam hält bei Eingabe Seltsam
ist unmöglich!
![Page 23: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/23.jpg)
Annahme 2 b):
Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht
![Page 24: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/24.jpg)
Widerspruch!
Annahme 2 b)
Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht
ist unmöglich!
![Page 25: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/25.jpg)
Annahme 1:
Es gibt so eine Turingmaschine
Hält
Schlussfolgerung:
Diese Annahme ist unmöglich!
![Page 26: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/26.jpg)
Frage:
Hält Seltsam bei Eingabe Seltsam?
Akzeptiert Seltsam sich selbst?
![Page 27: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/27.jpg)
Annahme 2 a):
Seltsam hält bei Eingabe Seltsam
![Page 28: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/28.jpg)
TM Seltsam
Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam
Seltsam
Seltsam
Kopierer
Hält
1.
2.
![Page 29: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/29.jpg)
TM Seltsam
Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam
Seltsam # Seltsam
Seltsam
Hält2.
![Page 30: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/30.jpg)
TM Seltsam
Was hat Hält auf das Band geschrieben?
j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife.
n: Dann ersetzt
Seltsam das n durch ein j und stoppt.
Seltsam # Seltsam j
Seltsam
Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam
![Page 31: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/31.jpg)
TM Seltsam
j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife.
Seltsam Seltsam
Seltsam
Annahme 2 a): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam
![Page 32: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/32.jpg)
Widerspruch!
Annahme 2 a)
Seltsam hält bei Eingabe Seltsam
ist unmöglich!
![Page 33: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/33.jpg)
Annahme 2 b):
Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht
![Page 34: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/34.jpg)
TM Seltsam
Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht
Seltsam
Seltsam
Kopierer
Hält
1.
2.
![Page 35: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/35.jpg)
TM Seltsam
Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht
Seltsam # Seltsam
Seltsam
Hält2.
![Page 36: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/36.jpg)
TM Seltsam
Was hat Hält auf das Band geschrieben?
j: Dann geht Seltsam in eine Endlosschleife.
n: Dann ersetzt
Seltsam das n durch ein j und stoppt.
Seltsam # Seltsam n
Seltsam
Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht
![Page 37: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/37.jpg)
TM Seltsam
n: Dann ersetzt
Seltsam das n durch ein j und stoppt.
Seltsam Seltsam j
Seltsam
Annahme 2 b): Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht
![Page 38: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/38.jpg)
Widerspruch!
Annahme 2 b)
Seltsam hält bei Eingabe Seltsam nicht
ist unmöglich!
![Page 39: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/39.jpg)
Annahme 1:
Es gibt so eine Turingmaschine
Hält
Schlussfolgerung:
Diese Annahme ist unmöglich!
![Page 40: Die Collatz-Folge a 0 selbst wählen ( N) a k+1 = a k /2falls a k gerade a k+1 = 3a k +1falls a k ungerade](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062512/55204d6949795902118bea5c/html5/thumbnails/40.jpg)
Halteproblem
Resümee: Es gibt keine Turingmaschine, die bei Eingabe einer Turingmaschine t und eines Wortes w entscheidet, ob t bei Eingabe von w hält oder nicht.
Die Menge aller Paare (t,w) [t, w, wie oben] derart, dass t auf w hält, ist
nicht entscheidbar.
Satz von Turing (1936)