die finite-elemente-methode für anfänger · bei der methode der ﬁniten elemente wird das z.b....

Herbert Goering, Hans-Grg Roos und Lutz Tobiska

Die Finite-Elemente-Methodefr Anfnger

Vierte, berarbeitete und erweiterte Auflage

WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
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Herbert Goering, Hans-Grg Roosund Lutz Tobiska


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Herbert Goering, Hans-Grg Roos und Lutz Tobiska


Vierte, berarbeitete und erweiterte Auflage

WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA

Autoren

Prof. Dr. Herbert GoeringOtto-von-Guericke-UniversittInstitut fr Analysis und NumerikPF 4120, 39016 Magdeburg

Prof.Dr.Hans-Grg RoosTU DresdenInstitut fr Numerische Mathematik01062 [email protected]

Prof. Dr. Lutz TobiskaOtto-von-Guericke-UniversittInstitut fr Analysis und NumerikPF 4120, 39016 [email protected]

4. wesentlich berarb. u. erw. Auflage 2010

Alle Bcher von Wiley-VCH werden sorgfltigerarbeitet. Dennoch bernehmen Autoren,Herausgeber und Verlag in keinem Fall,einschlielich des vorliegenden Werkes, fr dieRichtigkeit von Angaben, Hinweisen undRatschlgen sowie fr eventuelle Druckfehlerirgendeine Haftung

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2010 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA,Weinheim

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Satz le-tex publishing services GmbH, LeipzigDruck und Bindung betz-druck GmbH,DarmstadtUmschlaggestaltung Adam-Design, Weinheim

Printed in the Federal Republic of GermanyGedruckt auf surefreiem Papier

ISBN 978-3-527-40964-8

V

Inhaltsverzeichnis

Vorwort IX

1 Einfhrung 11.1 Allgemeines zur Methode der finiten Elemente 11.2 Wie berfhrt man ein Randwertproblem in eine Variationsgleichung? 41.2.1 Beispiel 1 41.2.2 Beispiel 2 5

2 Grundkonzept 72.1 Stetiges und diskretes Problem. Beispiele von finiten Elementen 72.1.1 Die Grundzge der Methode 72.1.2 Ein erstes Beispiel und eine theoretische Schwierigkeit 102.1.3 Die Lsung: Sobolev-Rume 122.1.4 Das erste Beispiel (Fortsetzung) 172.1.5 Przisierung der Grundzge der Methode 182.1.6 Beispiele von finiten Elementen 262.2 Der Aufbau des Gleichungssystems 362.2.1 Elementmatrizen 362.2.2 Die Elementmatrix fr eine spezielle Bilinearform und Dreieckelemente

vom Typ 1 372.2.3 Die Elementmatrix fr Dreieckelemente vom Typ 2 432.2.4 Die Elementmatrix fr Rechteckelemente vom Typ 1

bzw. bilineare Viereckelemente 452.2.5 Die Elementmatrix fr den Laplace-Operator mit Tetraederelementen 472.2.6 Elementmatrix fr den Laplace-Operator

mit trilinearen Quaderelementen 48

3 Verfahren zur Lsung von linearen Gleichungssystemen 513.1 Direkte oder iterative Verfahren? 513.2 Direkte Verfahren 533.2.1 Der Gausche Algorithmus 533.2.2 Symmetrische Matrizen. Das Cholesky-Verfahren 583.2.3 Weitere direkte Verfahren 603.3 Iterative Verfahren 65

Die Finite-Elemente-Methode fr Anfnger. Herbert Goering, Hans-Grg Roos und Lutz TobiskaCopyright 2010 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, WeinheimISBN: 978-3-527-40964-8

VI Inhaltsverzeichnis

3.3.1 Allgemeine Bemerkungen 653.3.2 Das Jacobi-Verfahren, das Gau-Seidel-Verfahren

und das Verfahren der sukzessiven berrelaxation (SOR) 673.3.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten (CG) 713.3.4 Vorkonditionierte CG-Verfahren (PCG) 753.3.5 Mehrgitterverfahren 80

4 Konvergenzaussagen 854.1 Allgemeine Bemerkungen zur Konvergenzproblematik 854.2 Ein Beweis einer Fehlerabschtzung fr Dreieckselemente vom Typ 1 864.2.1 Zurckfhrung des Konvergenzproblems

auf ein Approximationsproblem 864.2.2 Die Approximation durch stckweise lineare Funktionen 874.2.3 Fehlerabschtzung fr Dreieckelemente vom Typ 1 974.3 Zusammenfassung der Resultate 99

5 Numerische Integration 1075.1 Allgemeine Bemerkungen 1075.2 Der Quadraturfehler fr lineare Elemente 1085.3 Eine bersicht: passende Integrationsformeln 112

6 Randapproximation. Isoparametrische Elemente 1216.1 Approximation des Gebietes durch ein Polygon 1216.2 Isoparametrische Elemente 1246.3 Randapproximation mit Hilfe isoparametrischer quadratischer

Elemente 128

7 Gemischte Verfahren 1317.1 Ein Strmungsproblem (Stokes-Problem) 1317.2 Laplace-Gleichung 1357.3 Biharmonische Gleichung 1407.3.1 Stetiges und diskretes Problem 1407.3.2 Formulierung als gemischtes Problem 1427.4 Lsung der entstehenden Gleichungssysteme 146

8 Nichtkonforme FEM 1518.1 Laplace-Gleichung 1518.1.1 Diskretes Problem 1518.1.2 Konvergenzproblem 1568.1.3 Beispiele nichtkonformer finiter Dreieck- und Rechteckelemente 1588.2 Biharmonische Gleichung 1648.2.1 Stetiges und diskretes Problem 1648.2.2 Beispiele nichtkonformer finiter Dreieck- und Rechteckelemente 1668.3 Stokes-Problem 172

9 Nichtstationre (parabolische) Aufgaben 1779.1 Das stetige, das semidiskrete und das diskrete Problem 1779.2 Numerische Integration von Anfangswertaufgaben: eine bersicht 179

Inhaltsverzeichnis VII

9.3 Die Diskretisierung des semidiskreten Problems mit dem -Schema 1879.4 Eine Gesamtfehlerabschtzung fr das -Schema 189

10 Gittergenerierung und Gittersteuerung 19310.1 Erzeugung und Verfeinerung von Dreiecksgittern 19310.2 Fehlerschtzung und Gittersteuerung 19710.2.1 Residuale und zielorientierte Fehlerschtzer 19810.2.2 Schtzer, basierend auf Superkonvergenz und Mittelung 201

Anhang A Hinweise auf Software und ein Beispiel 205A.1 Notwendige Files fr das MATLAB-Programm fem2d 206A.2 Einige numerische Ergebnisse 209

Literaturnachweis 213

Index 217

IX

Vorwort

Das vorliegende Buch stellt eine Einfhrung in die Methode der finiten Elementedar. Dabei wird versucht, die fr die praktische Realisierung des Verfahrens not-wendigen Kenntnisse und theoretischen Grundlagen gleichermaen zu berck-sichtigen; es zeigt sich sogar, dass fr eine effektive Realisierung des Verfahrensgewisse Kenntnisse ber dessen theoretische Eigenschaften unumgnglich sind.

Das Buch wendet sich in erster Linie an Ingenieure, Naturwissenschaftler undStudierende entsprechender Fachrichtungen. Demgem wird zum Verstndnisder Stoff der blichen Mathematikausbildung von Ingenieuren vorausgesetzt. FrFehlerabschtzungen, Konvergenzuntersuchungen u. a. m. werden einige Begriffeder Funktionalanalysis so dargestellt, dass sie fr den Anfnger transparent wer-den. Die dabei z. T. verlorengegangene mathematische Przision, z. B. bei der Ein-fhrung des Raumes der quadratisch integrierbaren Funktionen oder von Sobolev-Rumen, mgen Mathematikstudenten und Mathematiker verzeihen.

Nur einige grundlegende Tatsachen werden als Satz formuliert, Beweise vongrundlegenden Aussagen zur Methode der finiten Elemente werden ausgefhrt,z.T. aber nur exemplarisch. Der mehr an der praktischen Realisierung des Verfah-rens interessierte Leser stsst an den entsprechenden Stellen auf Hinweise, welcheAbschnitte er berspringen kann und wo er zusammenfassende Schlussfolgerun-gen aus den theoretischen Untersuchungen findet.

Es wurde eine den Zielstellungen dieses Buches entsprechende einfache, abermathematisch fundierte Darstellung gewhlt. Natrlich erhebt die gewhlte Dar-stellung keinen Anspruch auf Vollstndigkeit.

Im Mittelpunkt des Buches stehen zweidimensionale, elliptische Aufgaben zwei-ter Ordnung, wobei Erweiterungsmglichkeiten auf dreidimensionale Problemeaufgezeigt werden. Auf diese Aufgaben zugeschnitten wird im Kapitel 2 erlutert,wie man die diskreten Probleme gewinnt, im Kapitel 3, wie man die diskreten Pro-bleme lst, im Kapitel 4, wie man Fehlerabschtzungen herleitet und in den Kapi-teln 5, 6, wie man krummlinige Rnder bercksichtigt und Integrale zweckmignumerisch berechnet.

In den Kapiteln 7, 8 werden gemischte und nichtkonforme Methoden vorgestellt,insbesondere auch zur Behandlung des Stokes-Problems und von elliptischen Auf-gaben vierter Ordnung. Kapitel 9 ist instationren Aufgaben zweiter Ordung ge-widmet, wobei verschiedene Klassen von Zeitdiskretisierungsverfahren vorgestellt


X Vorwort

werden. Im Kapitel 10 werden Aspekte der Erzeugung von Gittern und deren Ver-feinerung diskutiert, wobei auch adaptive Methoden, basierend auf a posterioriFehlerabschtzungen, eine Rolle spielen.

In einem kurzen Anhang wird erklrt, wie man auf der Basis eines allgemeinverfgbaren MATLAB-Programmes sehr schnell selbst erste Testrechnungen zurnumerischen Lsung elliptischer Aufgaben mit der Methode der finiten Elementerealisieren kann.

Die erste Version dieses Buches entstand 1983, der Inhalt wurde dann fr diedritte Auflage 1993 ein wenig aktualisiert. Fr die vorliegende vierte Auflage wur-den alle Abschnitte noch einmal grndlich berarbeitet, insbesondere die Kapi-tel 710.

Fr zahlreiche Hinweise und interessante Diskussionen danken wir unserenKollegen A. Felgenhauer, Ch. Gromann, V. John, G. Matthies, U. Risch, F. Schie-weck; ferner S. Rajasekaran, M. Schopf und R. Vanselow fr die Testrechnungen,das Titelbild und den Vorschlag zur Gestaltung des Anhangs.

Magdeburg/Dresden, November 2009 Herbert GoeringHans-Grg Roos

Lutz Tobiska

1

Kapitel 1Einfhrung

1.1Allgemeines zur Methode der finiten Elemente

Die Methode der finiten Elemente (FEM) ist eines der praktisch wichtigsten N-herungsverfahren zur Lsung von Variationsproblemen, Differentialgleichungenund Variationsungleichungen in den Ingenieurwissenschaften und der mathe-matischen Physik. Die Erfolge der FEM, insbesondere in der Festkrpermechanik,fhrten zu einer verstrkten Nutzung in der Thermodynamik, in der Strmungs-mechanik und in anderen Gebieten. Die Leistungsfhigkeit der Methode liegtdarin begrndet, dass die FEM die Vorteile besitzt, systematische Regeln fr dieErzeugung stabiler numerischer Schemata bereitzustellen, und es relativ einfachist, kompliziertere zwei- und dreidimensionale Geometrien zu bercksichtigen.

Ursprnglich wurde die Methode in den fnfziger Jahren von Ingenieuren ent-wickelt, um groe Systeme von Flugzeugbauteilen untersuchen zu knnen. Erstspter entdeckte man die enge Verbindung der FEM mit dem bekannten RitzschenVerfahren und eine Arbeit von Courant hierzu aus dem Jahre 1943. Die ersten ma-thematisch fundierten Untersuchungen stammen von K.O. Friedrichs (1962) undL.A. Oganesjan (1966), in den darauffolgenden Jahren schuf man eine breite ma-thematische Theorie der Methode. Zur raschen Verbreitung der FEM trug wesent-lich die Monographie von Zienkiewicz (1967) bei. Heute existiert eine Vielzahl vonBchern, die sich den unterschiedlichen Aspekten der FEM Theorie, Anwendungund Implementierung widmen, erwhnt seien nur [11, 13, 19, 33, 57].

Wir nehmen an, dass ein gegebenes stationres technisches Problem durch einVariationsprinzip oder ein Randwertproblem fr eine Differentialgleichung be-schrieben werde. Bei der Methode der finiten Elemente wird das z.B. zweidimen-sionale zugrunde liegende Gebiet in einfache Teilgebiete zerlegt, etwa in Dreiecke,Vierecke usw. Die FEM erzeugt dann ein Gleichungssystem fr Nherungswerteder unbekannten Funktion in ausgezeichneten Punkten der Teilgebiete. Nach demLsen des Gleichungssystems sind die Werte der Unbekannten in den ausgezeich-neten Punkten nherungsweise bekannt.

Es gibt nun verschiedene Mglichkeiten der Erzeugung des Gleichungssystems(des diskreten Problems), ausgehend von einem Variationsprinzip oder einem Rand-


2 Kapitel 1 Einfhrung

Randwertproblem

Variationsgleichung

Variationsprinzip

Ritz/GalerkinResiduenmethode/

Integralstze

Variationsrechnung Integralstze

Ritz-Verfahren

diskretes Problem(Gleichungssystem)

Abbildung 1.1 Verschiedene Varianten zur Erzeugung des diskreten Problems.

wertproblem (s. Abb. 1.1). Einen weiteren Weg, die diskrete Modellierung, mch-ten wir lediglich erwhnen.

Das Ritzsche Verfahren stellt beim Vorliegen eines Variationsprinzips den ein-fachsten Weg zum diskreten Problem dar. Es gibt jedoch fr ingenieurtechnischeProbleme oft kein Variationsprinzip. Dies hngt eng damit zusammen, dass dieLsung eines Randwertproblems nur dann auch Lsung eines zugeordneten Va-riationsproblems ist, wenn der entsprechende Differentialoperator symmetrischist. Deshalb gehen wir in diesem Buch ab Kapitel 2 stets so vor, dass wir als Aus-gangspunkt eine Variationsgleichung whlen, dann ist nmlich die Erzeugung desdiskreten Problems ebenfalls einfach. Im Abschnitt 1.2 demonstrieren wir an ty-pischen Beispielen, wie man ausgehend von einem Variationsprinzip oder einemRandwertproblem die zugeordnete Variationsgleichung gewinnt. In Abschnitt 1.2findet man eine bersicht von Randwertproblemen zweiter Ordnung und den zu-geordneten Variationsgleichungen.

Wir erlutern nun noch den Begriff Variationsgleichung. Sei V eine gegebeneMenge von Funktionen mit der Eigenschaft, dass aus v1 2 V , v2 2 V folgt 1v1 C2v2 2 V fr reelle 1, 2 (man sagt, V ist eine lineare Menge). Als Beispiel hal-ten wir uns die Menge der in einem Gebiet stetig differenzierbaren Funktionenvor Augen. Dann heit f (v ) mit v 2 V Linearform auf V, wenn f (v ) reell ist so-wie

f (v ) D f (v ) ( beliebige reelle Zahl) (1.1)

und

f (v1 C v2) D f (v1) C f (v2) (1.2)

1.1 Allgemeines zur Methode der finiten Elemente 3

gelten. Ein Beispiel einer Linearform ist etwa

f (v ) DZ

vd ,

ein zweites

f (v ) DZ

gvd

mit einer beliebig gewhlten, festen stetigen Funktion g.Aus den Eigenschaften (1.1) und (1.2) einer Linearform folgt fr beliebige reelle

1, 2 unmittelbar

f (1v1 C 2v2) D 1 f (v1) C 2 f (v2) . (1.3)

Wird jeweils zwei Funktionen u, v 2 V eine reelle Zahl a(u, v ) zugeordnet, soheit diese Abbildung Bilinearform auf V, wenn sie fr jedes feste u und fr jedesfeste v eine Linearform in der anderen Variablen ist.

Sei ein zweidimensionales Gebiet in der x-y-Ebene. Dann sind Beispiele vonBilinearformen

a(u, v ) DZ

uvd ,

a(u, v ) DZ

uv C @u

@x@v@x

d ,

a(u, v ) DZ

g1uv C g2u @v

@x

d I

im letzten Beispiel sind g1 und g2 beliebig gewhlte, feste stetige Funktionen.Die Eigenschaften von Linearformen bertragen sich auf Bilinearformen, so

gilt

a(1u1 C 2u2, v ) D 1a(u1, v ) C 2a(u2, v ) . (1.4)

In einer symmetrischen Bilinearform kann man u und v vertauschen, sie ist alsogekennzeichnet durch a(u, v ) D a(v , u). Von den drei Beispielen sind die erstenbeiden Bilinearformen symmetrisch, die dritte ist es nicht.

Wir nennen nun ein Problem der folgenden Form Variationsgleichung:

Gesucht ist ein u 2 V, so dass fr alle v 2 V gilt a(u, v ) D f (v ) . (1.5)

Wir bezeichnen den Rand eines beschrnkten zwei- oder dreidimensionalen Ge-bietes mit und die Vereinigung von mit seinem Rand mit .


1.2Wie berfhrt man ein Randwertproblem in eine Variationsgleichung?

1.2.1Beispiel 1

Bei Wrmeleitungsproblemen gengt die stationre Temperaturverteilung T derDifferentialgleichung

kT D Q ,wobei k der Wrmeleitfhigkeitskoeffizient und Q die Wrmequellenergiebigkeitsind. Der Einfachheit halber nehmen wir an, die Temperatur am Rand des denKrper beschreibenden Gebietes werde festgehalten, es gelte T D 0 auf .Bekanntlich lsst sich die Lsung des Randwertproblems (q D Q/ k)

T D q in , T D 0 auf , (1.6)dadurch kennzeichnen, dass sie das Funktional

F(w ) DZ

"@w@x

2C

@w@y

2C

@w@z

2 2qw

#d

minimiert. Auf diesem Weg kann man analog wie eben beschrieben die (1.6)zugeordnete Variationsgleichung bestimmen. Entsprechend unserem Schema(s. Abb. 1.1) kann man die Variationsgleichung aber auch direkt aus (1.6) gewin-nen.

Sei V die Menge aller in differenzierbaren Funktionen mit v D 0 auf . Wirbezeichnen die Lsung des Randwertproblems (1.6) wieder mit u (ersetzen also Tdurch u), multiplizieren die Differentialgleichung mit einer beliebigen Funktionv 2 V und integrieren ber . Das liefert

Z

(u)vd DZ

qvd .

Nun bentigen wir den Gauschen IntegralsatzZ

@P@x

C @Q@y

C @R@z

d D

Z

(P, Q, R) nd . (1.7)

Hier sind der Rand von und n der uere Normaleneinheitsvektor bezg-lich . Setzt man

P D u x v , Q D u y v , R D u z v ,so verschwindet das Integral auf der rechten Seite, weil Funktionen v 2 V auf demRand von gleich Null sind, und man erhlt

Z

(u)vd DZ

@u@x

@v@x

C @u@y

@v@y

C @u@z

@v@z

d .

1.2 Wie berfhrt man ein Randwertproblem in eine Variationsgleichung? 5

Setzt man

a(u, v ) DZ

@u@x

@v@x

C @u@y

@v@y

C @u@z

@v@z

d ,

f (v ) DZ

qvd ,

so haben wir das Randwertproblem (1.6) in die Variationsgleichung

Gesucht ist ein u 2 V mit a(u, v ) D f (v ) fr alle v 2 V

mit einer symmetrischen Bilinearform berfhrt.Bei der Herleitung ist es belanglos, ob ein zweidimensionales oder ein drei-

dimensionales Gebiet ist, im zweidimensionalen Fall fllt lediglich der letzte Sum-mand in dem die Bilinearform definierenden Integral weg.

Andere technische Problemstellungen fhren ebenfalls auf die Randwertaufga-be (1.6). Betrachtet man z.B. einen geraden Stab mit Vollquerschnitt, der durchein konstantes Moment, dessen Wirkungsebene senkrecht zur Stabachse liegt, aufTorsion beansprucht wird, so gengt die Torsionsfunktion F(x , y ) dem System

F D 2G# in , F D 0 auf ,

dabei sind G der Schubmodul und # die spezifische Verdrehung des tordiertenStabes.

1.2.2Beispiel 2

Untersucht man die Strmung diffundierender Substanzen, so gengt die Konzen-trationsverteilung infolge Diffusion und Konvektion im stationren, zweidimen-sionalen Fall einem Randwertproblem vom Typ

c C w1 @c@x

C w2 @c@y

D g in , @c@n

D 0 auf , (1.8)

w D (w1, w2) ist die Konvektionsgeschwindigkeit.Jetzt ist es i. allg. nicht mglich, eine zugeordnete Minimierungsaufgabe anzu-

geben. Man kann das Randwertproblem (1.8) aber fast analog wie die eben unter-suchte Randwertaufgabe in eine Variationsgleichung berfhren. Ein wesentlicherUnterschied ist die Art der Bercksichtigung der Randbedingung. Whrend manbei der Randbedingung T D 0 auf (Dirichletsche Randbedingung oder Bedin-gung 1. Art) den Raum V so definiert, dass Funktionen aus V dieser Bedingunggengen, ist das jetzt nicht notwendig, denn bei der Randbedingung @c

@n D 0 auf (Neumannsche Randbedingung oder Bedingung 2. Art) verschwindet das Integralber im Integralsatz (1.7) automatisch.


Sei also V die Menge aller in differenzierbaren Funktionen. Setzt man

a(u, v ) DZ

@u@x

@v@x

C @u@y

@v@y

C w1 @u@x

v C w2 @u@y

v

d ,

f (v ) DZ

gvd ,

so hat man (1.8) in eine Variationsgleichung mit einer nicht symmetrischen Bili-nearform berfhrt.

Man nennt manchmal eine Dirichletsche Randbedingung fr Probleme vom Typ(1.6) wesentliche Randbedingung, da sie den Raum V mit kennzeichnet, eine Neu-mannsche Randbedingung natrliche Randbedingung, weil sie die Definition von Vnicht beeinflusst.

Eine Randbedingung vom Typ @c@n C c D 0 (Robinsche Bedingung oder Bedin-

gung 3. Art) ist auch in dem Sinne natrlich, dass sie zur Charakterisierung vonV nicht beitrgt. Entsprechend dem Gauschen Integralsatz (1.7) erhlt man abereinen zustzlichen, die Bilinearform definierenden Summanden mit

a(u, v ) WD a(u, v ) CZ

uvd .

Weitere Beispiele von Randwertaufgaben und zugeordneten Variationsgleichun-gen findet der Leser in Abschnitt 2.1.

7

Kapitel 2Grundkonzept

2.1Stetiges und diskretes Problem. Beispiele von finiten Elementen

2.1.1Die Grundzge der Methode

V sei eine gegebene Menge von Funktionen, wir sagen auch: ein gegebener Funk-tionenraum. Gesucht ist nun eine Funktion u 2 V , die die Variationsgleichung (dasstetige Problem)

a(u, v ) D f (v ) fr alle v 2 V (2.1)

erfllt.Als Standardbeispiel benutzen wir die dem Dirichlet-Problem mit homogenen

Randbedingungen fr die Laplacesche Differentialgleichung (DGL) entsprechendeAufgabe (vgl. Abschnitt 1.2): Dort war V die Menge aller in einem Gebiet stetigdifferenzierbaren Funktionen, die auf dem Rand von verschwinden, weiter

a(u, v ) DZ

@u@x

@v@x

C @u@y

@v@y

d , f (v ) D

Z

gvd

mit einer gegebenen stetigen Funktion g.Wir setzen grundstzlich voraus, dass ein zulssiges Gebiet ist. Das bedeutet,

dass man einen Randpunkt (x , y ) 2 des Gebietes so in den Punkt (0, 0) bewegenkann (durch Verschiebungen und Drehungen), dass der verschobene Rand in derUmgebung von (0, 0) beschrieben werden kann durch y D f (x ) mit jx j < R, dasverschobene Gebiet durch jx j < R , f (x ) < y < 2LR. Dabei gengt die Funktionf (x ) der Bedingung (Lipschitz-Bedingung)

j f (x1) f (x2)j Ljx1 x2j .

Oft gengt es zu wissen, dass alle weiteren Darlegungen fr beschrnkte konvexeGebiete und fr polygonal berandete Gebiete gelten.


8 Kapitel 2 Grundkonzept

k Funktionen w1, . . . , wk heien linear unabhngig, wenn jede der Funktionen,etwa wl , nicht durch die anderen Funktionen dargestellt werden kann als

wl D c l1w1 C C c ll1wl1 C c llC1wlC1 C C c lk wkmit Konstanten c l1, . . . , c

lk , l D 1, . . . , k. Man sagt, wl ist nicht Linearkombination

von w1, . . . , wl1, wlC1, . . . , wk .Es seien N linear unabhngige Funktionen w1, . . . , wN aus V gegeben und Vh sei

die Menge aller Linearkombinationen

NXiD1

c i wi (c i Konstanten) .

Man bezeichnet Vh als einen N-dimensionalen Teilraum von V. Die wi heien Basis-funktionen von Vh , in einigen Bchern findet man auch die Bezeichnung globaleFormfunktionen.

Eine Nherungslsung von (2.1) sei nun eine Funktion u h 2 Vh . Man kann auchsagen, man sucht eine Nherung u h mit dem Ansatz

u h DNX

iD1u i wi

mit den unbekannten Konstanten u i . Es kann jetzt (u h ist eine Nherungslsung)sicherlich i. allg. nicht fr alle v 2 V gelten

a(u h , v ) D f (v ) .Natrlich scheint aber die Forderung

a(u h , vh) D f (vh) fr alle vh 2 Vh , (2.2)sie projiziert gewissermaen das Problem (2.1) in V auf ein Problem in Vh . Wenn(2.2) fr alle vh 2 Vh gilt, so gilt speziell auch fr w j 2 Vh :

a(u h , w j ) D f (w j ) , j D 1, . . . , N . (2.3)Umgekehrt: Wenn (2.3) richtig ist, so folgt durch Multiplikation mit Konstanten c jund Summation

NXj D1

c j a(u h , w j ) DNX

j D1c j f (w j ) .

Die bekannten Eigenschaften von Bilinearformen bzw. Linearformen sichern

a(u h , vh) D f (vh) fr alle vh 2 Vh .Die Forderungen (2.2) und (2.3) sind also quivalent. Wir nennen (2.2) oder (2.3)das diskrete Problem.

2.1 Stetiges und diskretes Problem. Beispiele von finiten Elementen 9

Gleichung (2.2) ist Ausgangspunkt theoretischer berlegungen, (2.3) Ausgangs-punkt zur praktischen Berechnung der Nherung u h . Setzt man nmlich in (2.3)fr u h den Ansatz ein, so folgt

a

NX

iD1u i wi , w j

!D f (w j ) , j D 1, . . . , N ,

bzw. (a ist Bilinearform)

NXiD1

a(wi , w j )u i D f j , j D 1, . . . , N . (2.4)

Dies ist ein Gleichungssystem mit N Gleichungen fr die N Unbekannten u i ; frdie Koeffizientenmatrix A h gilt

A h D [ai j ]i, j D1,...,N , ai j D a(w j , wi ) .

Der diskreten Aufgabe entspricht also ein Gleichungssystem. Man lst die diskreteAufgabe, indem man aus den Basisfunktionen wi die Gren

ai j D a(w j , wi ) , f j D f (w j )

berechnet, dann die u i aus dem Gleichungssystem (2.4) ermittelt, letztlich ist

u h DNX

iD1u i wi .

Entscheidend fr die praktische Realisierbarkeit des Verfahrens ist die Wahl derBasisfunktionen wi .

Zunchst erwachsen aus der Forderung, dass Vh Teilraum von V sein soll, gewis-se Forderungen an die wi . Dies sind einmal Glattheitsforderungen, zum anderendie Forderung der Erfllung gewisser Zusatzbedingungen. Hat man z.B. ein Rand-wertproblem fr eine Differentialgleichung in eine Variationsgleichung berfhrt,so geht ein Teil der Randbedingungen in die Bilinearform bzw. die Linearform ein,ein anderer Teil geht ein in die Festlegung des Raumes V, genau diesen Teil derRandbedingungen mssen die wi erfllen (man erinnere sich an die Beispiele inAbschnitt 1.2).

Glattheitsforderungen und Zusatzbedingungen lassen fr die Bestimmung derwi noch viel Spielraum. Deswegen versucht man die wi nun so zu whlen, dassdas diskrete Problem mglichst einfach wird.

Wenn die Nherung u h von u gut sein soll (wir gehen spter genauer darauf ein,wie man das misst), muss oft die Anzahl N der Basisfunktionen gro sein. Manhat dann ein Gleichungssystem mit relativ vielen Unbekannten zu lsen. Daher istes wnschenswert, dass die Matrix A h mglichst viele Nullelemente enthlt. Amgnstigsten wre, wenn die Matrix A h die Einheitsmatrix ist. Dies lsst sich aberpraktisch nicht realisieren, weil es schwierig ist, die Basisfunktionen so zu whlen,


dass die Einheitsmatrix entsteht. Nun ist ai j i. allg. ein Integral ber das Gebiet von Summen von Produkten von wi und w j und deren Ableitungen. Whlt mandie Basisfunktion wi nun so, dass sie nur in einem kleinen Teilgebiet i von von Null verschieden ist und sonst identisch Null, so werden z.B. Produkte wi w j(i D 1, . . . , N, j D 1, . . . , N ) nur fr einige i und j von Null verschieden sein.

Nun knnen wir die Grundzge der Methode der finiten Elemente formulieren:

(G 1) Man whle N Basisfunktionen wi so, dass wi nur in einem kleinen Teilge-biet i von von Null verschieden ist und i und j fr mglichst vielei und j keinen Punkt gemeinsam haben.

(G 2) Man berechne ai j , f j und lse das Gleichungssystem

NXiD1

a j i u i D f j , j D 1, . . . , N .

(G 3) Die Nherungslsung u h von (2.1) ist

u h DNX

iD1u i wi .

2.1.2Ein erstes Beispiel und eine theoretische Schwierigkeit

Wir betrachten das Standardbeispiel

u D g in , u D 0 auf im Einheitsquadrat D (0, 1) (0, 1). Die entsprechende Variationsgleichung ist

a(u, v ) D f (v )mit

a(u, v ) DZ

@u@x

@v@x

C @u@y

@v@y

d , f (v ) D

Z

gvd .

V bestehe vorerst aus den in stetig differenzierbaren Funktionen, die auf verschwinden.

Zur Konstruktion geeigneter Basisfunktionen zerlegen wir das Quadrat zu-nchst in Teilquadrate durch x D h, y D h (, D 1, 2, . . . , M 1;M h D 1), jedes Quadrat in zwei Teildreiecke (s. Abb. 2.1). Vh sei der (M 1)2 D N -dimensionale Raum, der dadurch gekennzeichnet ist, dass jede Funktion in jedemDreieck eine lineare Funktion in x und y ist. Basisfunktionen in Vh sind Funktio-nen '(x , y ), (, D 1, . . . , M 1) mit der Eigenschaft

'(xk , y l) D(

1 fr k D , l D 0 sonst.

2.1 Stetiges und diskretes Problem. Beispiele von finiten Elementen 11

x

y

x

y

12

34

5

6

Abbildung 2.1 Trger einer Basisfunktion ' .

x

y

x

y

y1

x1

Abbildung 2.2 Basisfunktion im Teildreieck 1.

Es gilt dann

'(x , y ) 0 , wenn (x , y ) 62 . (s. Abb. 2.1) ist also das kleine Teilgebiet, in dem ' von Null verschiedenist, man nennt es auch Trger der Funktion ' .

Wir berechnen nun ' in den Dreiecken 1, 2, . . . , 6. Betrachten wir beispiels-weise das Dreieck 1. Es muss gelten (s. Abb. 2.2)

' D8


Das ergibt d1 D 0, d2 D 1/ h und d0 D 1 . Es ist also im Dreieck 1

' D 1 C y

h

.

Analog erhlt man

' D

8 1 oder j lj > 1 .

Jedoch tritt fr diese Wahl ' ein Problem auf. ' ist zwar stetig, aber nichtstetig differenzierbar, etwa auf dem Rand von oder auch entlang der innerenDreieckskanten. Da dies eine generelle Eigenschaft der Rume Vh ist, die man beider FEM whlt, sind unsere bisherigen berlegungen in bezug auf den Raum Vnicht ausreichend.

2.1.3Die Lsung: Sobolev-Rume

Eine Funktion g gehrt zum Funktionenraum L2( ), wenn das IntegralZ

g2d

existiert und endlich ist. Jede stckweise stetige Funktion g gehrt zum L2( ).Dabei ist eine stckweise stetige Funktion eine Funktion, fr die es eine Zerlegungvon in endlich viele zulssige Gebiete i gibt, so dass g in Ni stetig ist. Hat mansolch eine stckweise stetige Funktion g, so gilt

Z

gd DMX

iD1

Zi

gdi ,

und die Integrale auf der rechten Seite dieser Beziehung kann man mit den be-kannten Integrationsmethoden ausrechnen.

die finite-elemente-methode für anfänger · bei der methode der ﬁniten elemente wird das z.b....

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