Die Gleichung der Tangentialebene: Aufgaben

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-E

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Die Gleichung der Tangentialebene: Die Gleichung der Tangentialebene: Aufgaben 9-15Aufgaben 9-15

Aufgabe 9:

Aufgabe 10:

Aufgabe 11:

Aufgabe 12:

Aufgabe 13:

Aufgabe 14:

Aufgabe 15:

Gesucht ist die Tangentialebene der Funktion f = f (x, y) im Punkt P

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-A

f x , y = x y , P 1, 1

f x , y = x2 − 4 4 − y2 , P 3, 1

f x , y = x y − 1 , P 5, 1

f x , y = 2

1 x2 ⋅ y2, P −1, 2

f x , y = ln x2 y , P −2, 1

f x , y = x2 − y2 sin y , P 3,2

f x , y = x3 2 cos y , P −3,6

Abb. L9: Graphische Darstellung der Funktion z = f (x, y)

Gleichung der Tangentialebene:Gleichung der Tangentialebene: Lösung 9 Lösung 9

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-1a

f x , y = x y

z − z0 = f x x0 , y0 x − x0 f y x0 , y0 y − y0

f x , y = x y , P 1, 1 , x0 = 1, y0 = 1

f x x , y = 12 x

, f x 1, 1 = 12

f y x , y = 12 y

, f y 1, 1 = 12

z0 = f x0 , y0 = 2

z = x2 y

2 1

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-1b

Gleichung der Tangentialebene:Gleichung der Tangentialebene: Lösung 9 Lösung 9

-2

-2

2

f (x, y)

O

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-2a

Gleichung der Tangentialebene:Gleichung der Tangentialebene: Lösung 10 Lösung 10

Abb. L10: Graphische Darstellung der Funktion z = f (x, y)

f x , y = x2 − 4 4 − y2 ,

f x , y = x2 − 4 4 − y2 , P 3, 1 , x0 = 3, y0 = 1

f x x , y = x

x2 − 4, f x 3, 1 = 3

5

f y x , y = − y

4 − y2, f y 3, 1 = − 1

3

z0 = f x0 , y0 = x02 − 4 4 − y0

2 = 5 3

z = 3

5 x − 3 − 1

3 y − 1 5 3 =

= 3

5x − 1

3y 4 1

3− 1

5

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-2b

Gleichung der Tangentialebene:Gleichung der Tangentialebene: Lösung 10 Lösung 10

f (x, y)

O

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-3a

Gleichung der Tangentialebene:Gleichung der Tangentialebene: Lösung 11 Lösung 11

Abb. L11: Graphische Darstellung der Funktion z = f (x, y)

f x , y = x y − 1

f x , y = x y − 1 , P 5, 1 , x0 = 5, y0 = 1

f x x , y = y2 x y − 1

, f x 5, 1 = 14

z0 = f x0 , y0 = x0 y0− 1 = 2

f y x , y = x2 x y − 1

, f y 5, 1 = 54

z = x4 5

4y − 1

2

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-3b

Gleichung der Tangentialebene:Gleichung der Tangentialebene: Lösung 11 Lösung 11

← x,y-Ebene

22

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-4a

Gleichung der Tangentialebene:Gleichung der Tangentialebene: Lösung 12 Lösung 12

Abb. L12: Graphische Darstellung der Funktion z = f (x, y)

f x , y = 2

1 x2 ⋅ y2

f x , y = 2

1 x2⋅ y2, P −1, 2 , x0 =−1, y0 = 2

f x x , y = − 4 x y2

1 x2 y2 2, f x −1, 2 = 16

25

f y x , y = − 4 x2 y

1 x2 y2 2, f y −1, 2 = − 8

25

z0 = f x0, y0 =2

1 x02⋅ y0

2= 2

5

z = 1625

x − 825

y 4225

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-4b

Gleichung der Tangentialebene:Gleichung der Tangentialebene: Lösung 12 Lösung 12

f (x,y)

x,y-Ebene

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-5a

Gleichung der Tangentialebene:Gleichung der Tangentialebene: Lösung 13 Lösung 13

Abb. L13: Graphische Darstellung der Funktion z = f (x, y)

f x , y = ln x2 y

f x , y = ln x2 y , P −2, 1 , x0 =−2, y0 = 1

f x x , y = 2 x

x2 y, f x −2, 1 = − 4

5

f y x , y = 1

x2 y, f y −2, 1 = 1

5

z0 = f x0 , y0 = ln x02 y0 = ln 5

z =− 45

x 15

y − 95 ln 5

= − 0.8 x 0.2 y − 0.191

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-5b

Gleichung der Tangentialebene:Gleichung der Tangentialebene: Lösung 13 Lösung 13

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-6a

Gleichung der Tangentialebene:Gleichung der Tangentialebene: Lösung 14 Lösung 14

Abb. L14: Graphische Darstellung der Funktion z = f (x, y)

f x , y = x2 − y2 sin y

f x , y = x2 − y2 sin y

f x x , y = 2 x sin y , f x 3,2 = 6

f y x , y = −2 y sin y x2 − y2 cos y , f y 3,2 =−

z0 = f x0 , y0 = x02 − y0

2 sin y0 = 9 − 2

4

z = 6 x − y − 9 2

4≃ 6 x − 3.14 y − 6.53

P 3,2 , x0 = 3, y0 =

2

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-6b

Gleichung der Tangentialebene:Gleichung der Tangentialebene: Lösung 14 Lösung 14

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-7a

Gleichung der Tangentialebene:Gleichung der Tangentialebene: Lösung 15 Lösung 15

Abb. L15: Graphische Darstellung der Funktion z = f (x, y)

f x , y = x3 2 cos y

f x , y = x3 2 cos y , P −3,6 , x0 = −3, y0 =

6

f x x , y = 3 x2 , f x −3,6 = 27

f y x , y = −2 sin y , f y −3,6 =−1

z0 = f x0 , y0 = x03 2 cos y0 =−27 3

z = 27 x − y 54 6

3 ≃ 27 x − y 56.26

Ma 2 – Lubov Vassilevskaya4-7b

Gleichung der Tangentialebene:Gleichung der Tangentialebene: Lösung 15 Lösung 15