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Die Grundlagen der Mathematik:Logik, Mengen und Zahlen

In diesem Kapitel...

Mathematik ist logisch: Aussagenlogik

Objekte der Mathematik: Mengen und Relationen

Zahlen, Zahlen noch mehr Zahlen

Ganz einfach komplex! Die komplexen Zahlen

n diesem Kapitel wird die analytische Methode auf die Mathematik selbst angewendet.Dabei erfahren Sie angefangen bei der Aussagenlogik bis hin zu den verschiedenen

Zahlenmengen all das ber die Grundlagen und den Kern der Mathematik, was Sie fr diefolgenden Kapitel wissen mssen.

Aussagenlogik die Sprache der Mathematik verstehenIn der Mathematik heit die Kunst, aus bestimmten Aussagen weitere Aussagen logischkorrekt abzuleiten, Aussagenlogik. Um berhaupt Aussagen machen zu knnen braucht esSprache.

Vielleicht finden Sie diese Aussage einfach nur offensichtlich und eigentlich nicht der Redewert. Wir haben doch eine gemeinsame Sprache, ich schreibe und Sie lesen dieses Buch.Mathematik braucht allerdings eine besondere Sprache. Eine, die zwar viele Wrter mit derAlltagssprache gemein hat, aber die viel prziser ist und mit sehr viel weniger Bedeutungs-nuancen auskommt. Das ist wichtig, denn eine klare und exakte Sprache ist das Werkzeugder Mathematik.

Stellen Sie sich den folgenden alltglichen Dialog vor: Wann kommst Du? Wohl etwasspter . . .

Abhngig von der Situation und den beteiligten Personen kann das von ich bin nicht ganzpnktlich bis hin zu wahrscheinlich komme ich doch nicht so ziemlich alles bedeuten.Und nicht immer wird man die richtige Bedeutung auch herauslesen. Das ist rechtunpraktisch, falls etwas unzweifelhaft und przise ausgedrckt werden muss. Mathematikerverwenden daher eine eigene Abart unserer Sprache, bei der zwar dieselben Wrter vor-kommen, allerdings oft mit einer mehr oder weniger unterschiedlichen Bedeutung. Dassdabei die selben Wrter verwendet werden, bringt Nichtmathematiker oft genug zum Kopf-schtteln und liefert Mathematikern eine nahezu unerschpfliche Quelle der Erheiterung.

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Mathematik fr Ingenieure I fr Dummies

Zum Beispiel versteht ein Mathematiker unter dem Begriff fast alle: alle, bis auf endlich vieleAusnahmen. Mathematisch und logisch korrekt (aber nicht besonders aussagekrftig) trifftalso jede auch noch so seltsame Aussage auf fast alle Menschen zu: Fast alle Menschenwerden tausend Jahre alt. Fast alle Autofahrer knnen nicht Auto fahren. Und so weiter.Mathematiker knnen stundenlang ber solche Sachen lachen.

In den folgenden Abschnitten lernen Sie die Grundregeln der mathematischen Sprachekennen: wie Sie neue Wrter und Begriffe erhalten (durch eine Definition) und was eine(mathematische) Aussage ist.

Wrter erfinden: die DefinitionDamit zweifelsfrei klar ist, was mit einem bestimmten Wort oder einer Bezeichnungtatschlich gemeint ist, muss jeder (mathematische) Begriff definiert werden, bevor Sie oderich ihn benutzen knnen. Eine Definition ist so etwas wie eine mathematische Taufe: EinSachverhalt, eine Methode oder ein Objekt bekommt einen Namen. Zum Beispiel:

Eine ganze Zahl heit gerade, falls sie ohne Rest durch zwei teilbar ist.

Mit einer Definition erklre ich Ihnen also die Bedeutung eines neuen Begriffs,hier gerade Zahl.

Damit dies auch tatschlich funktioniert, darf ich mich dabei natrlich nicht im Kreisdrehen: Die Definition eine Zahl heit gerade, falls sie gradzahlig ist hilft Ihnen sicherlichnicht sonderlich weiter. Streng genommen darf in einer Definition berhaupt kein nochnicht definiertes Wort vorkommen das ist allerdings kaum mglich. Irgendwelche Wrtersetzt man also doch voraus und benutzt daher einfach die bliche Sprache, solange sie nichtzu missverstndlich ist. Eine formal saubere Definition verlangt aber wenigstens, dass der zudefinierende Begriff nicht selbstbezglich verwendet wird.

Oft ist eine Definition auch einfach nur eine Abkrzung. 2:= 2 1A x x+ + erlaubt es, denlngeren Term 2 2 1x x+ + kurz mit A zu bezeichnen. Das erhht meist die Lesbarkeit vonFormeln. Manche Formeln und Aussagen werden sogar erst durch geschickte Abkrzungenverstndlich.

Das Symbol := bedeutet ist definitionsgem oder steht fr. Definiert wird das, was linksvon := steht, durch das, was rechts davon steht. Zum Beispiel definiert

1 2=1

:=n

i ni

a a a a+ + +

das Summenzeichen mit Laufindex i von 1 bis n durch die Summe der Gren 1 2,a abis na .

Manchmal drehe ich das Symbol um: =:B A bedeutet dann, dass ich A durch B definiere.Der Doppelpunkt entscheidet also darber, was wodurch definiert wird. Er steht grund-stzlich auf derselben Seite des Gleichheitszeichens wie der zu definierende Ausdruck.

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Weder bei Definitionen noch bei Abkrzungen ist etwas zu beweisen. Allerdings sollten Siesich immer Gedanken machen, ob eine Definition sinnvoll ist. Eine ganze Zahl n heitunmglich, falls gilt = 1n und gleichzeitig = 0.n Offensichtlich gibt es keine unmg-lichen Zahlen, daher ist die Definition nicht besonders ntzlich.

Wrter verbinden: die AussageIm Gegensatz zu einer Definition ist =A B eine Aussage, die wahr oder falsch sein kann,wie zum Beispiel 1 = 1 , 1 = 0 ... Umgangssprachliche Stze wie die Sonne scheint oder beiRegen ist die Strae nass sind genauso Aussagen wie mathematische Stze: In jedemrechtwinkligen ebenen Dreieck ist die Summe der Flcheninhalte der Kathetenquadrategleich dem Flcheninhalt des Hypothenusenquadrats oder 17 ist die einzige gerade Zahl,die keine Primzahl ist. Whrend die erste Aussage (der Satz des Pythagoras) bekanntlichwahr ist, gibt es doch begrndete Zweifel an der zweiten . . . Mathematische Aussagen sindBehauptungen, deren Wahrheitsgehalt untersucht werden muss. Sie sollten bewiesen oderwiderlegt werden.

Es gibt noch eine weitere Sorte von mathematisch-logischen Aussagen, die ineinem gewissen Sinne zwischen Definition und Behauptung stehen. Das sinddie so genannten Axiome. Ein Axiom knnen Sie sich als Beschreibung einerbestimmten unmittelbar einleuchtenden Eigenschaft vorstellen. Axiome sindAussagen, die nicht abgeleitet oder bewiesen werden. blicherweise verwendenMathematiker Axiome, um bestimmte mathematische Objekte zu beschreiben,meist in einer besonders grundlegenden, nicht einfach abzukrzenden Defini-tion. Die natrlichen Zahlen sind dafr ein gutes Beispiel.

Rasiermesserscharfe Logik eine Basis fr alle MathematikDa Aussagen wahr oder falsch sein knnen, mssen sie bewiesen oder widerlegt werden: Da172

= 8 Rest 1 , ist 17 keine gerade Zahl. Also ist die obige Aussage falsch.

Ob die Sonne scheint, knnen Sie mit einem Blick aus dem Fenster leicht selbst feststellen.hnlich werden Sie die regennasse Strae sofort einsehen falls die Strae nicht geradeberdacht ist, ist diese Folgerung schlicht und einfach logisch.

Logisch? Jawohl. In der Mathematik ist Logik das einzig funktionierende Mittel, Aussagen zubeweisen (oder zu widerlegen). Niemand wrde auf den Gedanken kommen, ber dieWahrheit einer mathematischen Behauptung abzustimmen. Nun, fast niemand.

Stellen Sie sich vor, A und B seien Aussagen. Dann ist aus A folgt B ebenfalls eineAussage: ein Satz. Wie knnen Sie diesen Satz beweisen (oder widerlegen)? Dazu gibt esgrob gesehen vier verschiedene Methoden:

der direkte Beweis: Beim direkten Beweis folgert man von A ausgehend so lange mitHilfe gegebener Axiome und bereits bewiesener Stze weitere wahre Aussagen, bisschlielich die Aussage B herauskommt.

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der indirekte Beweis: Der indirekte Beweis benutzt die logische Tatsache, dass aus Afolgt B genau dasselbe bedeutet wie wenn B nicht gilt, dann gilt auch nicht A undstartet bei B gilt nicht um mittels eines direkten Beweises dann zu folgern: Auch Agilt nicht.

der Widerspruchsbeweis: Eine besondere Variante des indirekten Beweises ist derWiderspruchsbeweis. Dabei wird angenommen, dass einerseits die Aussage B falsch ist,obwohl andererseits A als geltend angenommen wird. Dann zeigt man, dass dies zueinem Widerspruch zur Aussage A , den Axiomen oder bereits bewiesenen Stzen fhrt.Die direkte Folgerung aus diesem Widerspruch: Die ursprngliche Annahme war falsch,B muss wahr sein.

die vollstndige Induktion: Der Induktionsbeweis ist eine Variante des direkten Beweisesfr Aussagen, die mit natrlichen Zahlen zusammenhngen.

Die Quadratur des Kreises und das = 3.2 -GesetzDie mathematische Frage, ob und wie mit Hilfe von Zirkel und Lineal zu einem gegebe-nem Kreis ein flchengleiches Quadrat konstruiert werden knnte, hatte schon die altenGriechen beschftigt. Erst Jahrtausende spter gelang es 1882 dem Mathematiker Ferdi-nand von Lindemann, zu beweisen, dass die Quadratur des Kreises prinzipiell nicht mglichist. Eine beliebig genaue Berechnung der Kreiszahl 3.1415926535897932384626433 ist allerdings mglich falls Sie gengend Zeit und Rechenkapazitt haben.

Obwohl seit 1882 also bekannt war, dass die Quadratur des Kreises unmglich ist,beschftigten sich Ende des 19. Jahrhunderts viele Hobbymathematiker weiterhin mitdiesem Thema. So verffentlichte der Arzt Edward J. Goodwin mehrere Arbeiten zurKreisquadratur, nachdem er nach eigenen Angaben im Jahre 1888 auf bernatrlicheArt und Weise das exakte Ma des Kreises erfahren hatte. Eine dieser Arbeiten wurde alsAnnonce Goodwins in der Zeitschrift American Mathematical Monthly abgedruckt.Obwohl diese Anzeige vom mathematischen Standpunkt aus nicht sehr klar ist, scheintes, als htte Goodwin durch seine (falsche!) Konstruktionsmethode den Wert = 3.2berechnet.

Im Jahr 1897 wurde diese Konstruktionsmethode dem Staat Indiana von Goodwin unterder Voraussetzung, die Methode zum Gesetz zu erheben, kostenlos angeboten.

Angelockt von der Kostenfreiheit wurde nach einigen Runden in verschiedenen parlamen-tarischen Ausschssen das Gesetz durch das Reprsen