die modellierung des schönen scheins · 2019. 4. 27. · quadratische funktion funktionsgrafen...

Die Modellierung des schönen Scheins

www.math.unibas.ch/~walser

Hans Walser

hanswalser1

Textfeld


Die durchhängende Absperrkette

Die Modellierung des schönen ScheinsQuadratische Funktion y = ax2 + bx + c

Die Modellierung des schönen ScheinsQuadratische Funktion

Funktionsgrafen sind schöne Kurven.Nicht jede schöne Kurve ist ein Funktionsgraf.

y = ax2 + bx + c

Die Modellierung des schönen ScheinsKreis


Realität zu kompliziert Didaktische Vereinfachung


Realität zu kompliziert

Didaktische Vereinfachung:

Wenn Lehrer versuchen, das „Leben“ ins Schulzimmer zu bringen, wird eszur Schulaufgabe.

Abituraufgabe 2009


Eine Computermaus ist gut geformt,

wenn der Umriss etwa folgende Form hat:


Eine Computermaus ist gut geformt,

wenn der Umriss etwa folgende Form hat:

Abituraufgabe 2009

Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel

Durch 4 Punkte eindeutig!


Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline

Klartext: Kurve durch vier Punkte!Früher: Kubische Parabel

Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Not A Knot

f1 x( )f2 x( )

f3 x( )


f1 x( ), f2 x( ), f3 x( ) : drei Polynomfunktionen 3. Grades

3 4 = 12 Koeffizienten

f1 x( )f2 x( )

f3 x( )


10 Bedingungen

f1 x( )f2 x( )

f3 x( )

f1 x1( ) = y1 f1 x2( ) = y2f2 x2( ) = y2f1 x2( ) = f2 x2( )

f1 x2( ) = f2 x2( )

f2 x3( ) = y3f3 x3( ) = y3f2 x3( ) = f3 x3( )

f2 x3( ) = f3 x3( )

f3 x4( ) = y4


Gleiche „Steigung“

Gleiche „Krümmung“

12 Bedingungenf1 x2( ) = f2 x2( ) f2 x3( ) = f3 x3( )

f1 x( )f2 x( )

f3 x( )

f1 x1( ) = y1 f1 x2( ) = y2f2 x2( ) = y2f1 x2( ) = f2 x2( )

f1 x2( ) = f2 x2( )

f2 x3( ) = y3f3 x3( ) = y3f2 x3( ) = f3 x3( )

f2 x3( ) = f3 x3( )

f3 x4( ) = y4


12 Bedingungen

f1 x1( ) = 0

Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Natural

f1 x( ) f2 x( )f3 x( )

f1 x1( ) = y1 f1 x2( ) = y2f2 x2( ) = y2f1 x2( ) = f2 x2( )

f1 x2( ) = f2 x2( )

f2 x3( ) = y3f3 x3( ) = y3f2 x3( ) = f3 x3( )

f2 x3( ) = f3 x3( )

f3 x4( ) = y4f3 x4( ) = 0

Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Natural

Zwischenspiel: Die Sache mit der Krümmung

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/152775,0.html

Die zweite Ableitung ist die Krümmung einer

Funktion f(x) an der Stelle x.

f x( ) = x2

f x( ) = 2x

f x( ) = 2

Parabel

Konstante Krümmung: Kreis?

Zwischenspiel: Die Sache mit der Krümmung

Steigung und Winkel

18% 18°

hanswalser1

Textfeld

Steigung: Stützdreiecke

Gleichmäßig wachsende Steigung


Gleichmäßig wachsende Steigung

Parabel


Beschleunigt wachsende Steigung


Beschleunigt wachsende Steigung

kubische Parabel

Richtung: Winkelsektoren

Gleichmäßig wachsende Richtung


Gleichmäßig wachsende Richtung

Kreis


Beschleunigt wachsende Richtung


Beschleunigt wachsende Richtung

Klothoide

Volumen?

Abituraufgabe 2009

2 4 6 8 100123

6x

z

y

Bestimmtes Integral

„Fläche unter der Kurve“: Intelligenter Blödsinn

s = v t( )dta

b


Eine Weglänge kann keine Fläche sein.


Eine Weglänge kann keine Fläche sein.

Echte Modellierung

s = v t( )dta

bv t( ) – Diagramm


Für Flächenberechnungungeeignet

Geometrie, Grafik, Design, Zeichnung, Bild

Koordinatenachsen gleichberechtigt, gleich skaliert- Parameterdarstellungen- Bézier-Kurven- Klothoiden- Spline-Kurven

Funktionen, funktionaler Zusammenhang

Funktionsgraf / Diagramm als VisualisierungInput: x-Achse, Output: y-Achse, Skalierung freiechte ModellierungSpline-Funktionen (Interpolation)

Bézier-Kurven zweiten Grades (Parabeln)

Bézier-Kurven dritten Grades (keine kubische Parabeln)Vier Stützpunkte

Bézier-Kurven dritten Grades (keine kubische Parabeln)Quadratische Parabel links

Bézier-Kurven dritten Grades (keine kubische Parabeln)Quadratische Parabel links und rechts

Bézier-Kurven dritten Grades (keine kubische Parabeln)Sehnen mit Endpunkten auf den Parabeln

Bézier-Kurven dritten Grades (keine kubische Parabeln)Bézier-Kurve

Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber

Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber1

10

Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber2

10


0 1

p0 1 t( ) + p1t

p1 1 t( ) + p2t

p2 1 t( ) + p3t

p0

p1

p2

p3


0 1

p0 1 t( )2 + 2p1 1 t( )t + p2t

2 p1 1 t( )2 + 2p2 1 t( )t + p3t

2

p0 1 t( ) + p1t

p1 1 t( ) + p2t

p2 1 t( ) + p3t

p0

p1

p2

p3


x t( ) = p0 1 t( )3 + 3p1 1 t( )2 t + 3p2 1 t( )t2 + p3t3

= k3( ) pk 1 t( )3 k t k

k=0

3

0 1

p0 1 t( ) + p1t

p1 1 t( ) + p2t

p2 1 t( ) + p3t

p0

p1

p2

p3

p0 1 t( )2 + 2p1 1 t( )t + p2t

2 p1 1 t( )2 + 2p2 1 t( )t + p3t

2

Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Halbzeit

Bézier-Kurven dritten Grades im Raum

Bézier-KurvenNostalgie

Pierre Etienne Bézier

Renault

Paul de Faget de Casteljau

Citroën

Wong, Baoswan Dzung: Bézierkurven gezeichnet und gerechnet.

Ein elementarer Zugang und Anwendungen.

Zürich: Orell Füssli 2003. ISBN 3-280-04021-3

hanswalser1

Textfeld

Großvaters Eisenbahn-AnlageNostalgie

Gefahrenpunkt

Großvaters Eisenbahn-AnlageNostalgie

KlothoideLinear zunehmende Krümmung

Gefahrenpunkt?

Klothoidenbögen

Klothoidenbögen

Ende

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