Sadraj:Sadraj:Sadraj:Sadraj:

Diferencijalni ra un (nastavak) Derivacije vieg reda Priblino ra unanje pomo u diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog ra una LHospitalovo pravilo

Derivacije vieg redaDerivacije vieg redaDerivacije vieg redaDerivacije vieg reda

Derivacija funkcije f je opet funkcija, i moe biti derivabilna. U tom sl uaju derivacija funkcije f' se oznaava kao f" i zove druga derivacija funkcije f. Derivacija funkcije f" se zove trea derivacija funkcije f, itd. Ove derivacije: druga, tre a, ... se zovu derivacije vieg reda. Obino se

oznaavaju s f", f'" , vf , ali i ovako: f(4), f(5), f(6), Dakle, op enito, k-ta derivacija f(k) je prva derivacija od f(k-1).

PPPPrimjer:rimjer:rimjer:rimjer: Dokazati da za funkciju xBxAy sincos ++++==== , gdje su A i B bilo koje konstante, vrijedi yy ==== .

RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje:::: .coscos,cossin yxBxAyxBxAy ========++++====

Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Nai f(5), ako je 421)( xxxf ==== .

Rjeenje:Rjeenje:Rjeenje:Rjeenje:

.0

,24,24)(,122)(,42)()5(

)4(23

====

================

f

fxxfxxfxxxf

Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Nai brzinu i akceleraciju materijalne to ke koja se giba po pravcu

prema zakonu gibanja (((( ))))tets 3110)( ==== . RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje:::: Brzina v(t) je derivacija puta po vremenu, a akceleracija a(t) je

derivacija brzine po vremenu. Dakle, (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) ,30310110)()( 333 ttt eeetstv ================ (((( )))) (((( ))))(((( )))) .9033030)()( 333 ttt eeetvta ================

Diferencijal funkcijeDiferencijal funkcijeDiferencijal funkcijeDiferencijal funkcije

Pojam diferencijala je izrazito vaan u diferencijalno m raunu funkcija vie varijabli, dok kod funkcija jedne varijable ima net o manju vanost. Pojam derivacije funkcije vezan je za pojam promjene funkci je. U dokazu teorema o deriviranju sloene funkcije primjenili smo formulu:

xxxxfxfxxf ++++====++++ )()()()( , gdje je 0)(lim0

====

xx

,

koja slijedi odmah iz definicije derivacije: x

xfxxfxf

x ++++====

)()(lim)(

0.

Neka je to ka x uvr ena, a vrijednost x varijabilna. Prirast funkcije moe se predo iti kao zbroj dvaju lanova, xxf )( i xx )( , pri emu je drugi lan mali u odnosu na prvi lan za mali prirast argumenta x (jer 0)( x ). Prvi lan xxf )( zove se diferencijal funkcije f u toki x i oznaava se s df(x)(x). Prema tome, diferencijal u vrstoj to ki x je linearna funkcija u varijabli x, definirana s

xxfxxdf ==== )())((

to esto piemo skra eno

odnosno, ako to uskladimo s oznakom dx

xdfxf

)()( ==== ,

Obino kaemo da je diferencijal linearni dio promjene funkcije, to je jasno iz

xxxxfxfxxf ++++====++++ )()()()(

ali emo to objasniti i geometrijski. U

trokutu TSS je )(xftgSTSS ========

. Dakle,

xxfSS ==== )( , tj. diferencijal ra una promjenu vrijednosti ordinate po tangentina krivulju u to ki x 0.

xxfxdf ==== )()(

dxxfxdf ==== )()(

PPPPrimjer:rimjer:rimjer:rimjer: Nai diferencijal funkcije xxf sinln)( ==== .

RjRjRjRjeenjeeenjeeenjeeenje: : : : (((( )))) .sin2

cos2

1cos

sin1

sinln)(xx

xx

xx

xxf ============

Prema tome: .sin2

cos)( dx

xxx

xdf ====

Budu i da je u formuli za diferencijal bitan dio derivacij a, svojstva diferencijala su analogna svojstvima derivacija. Tako imamo:

1. d(u v) = du dv,

2. d(u v) = v du + u dv,

3. 2v

dvuduvvu

d====

,

4. d(u(v)) = (u(v)) dv.

Priblino raunanje pomou diferencijalaPriblino raunanje pomou diferencijalaPriblino raunanje pomou diferencijalaPriblino raunanje pomou diferencijala

Diferencijal moemo koristiti za priblino ra unanje. Ako je dx mali, onda se prirast po tangenti malo razlikuje od prirasta funkcije (vidi sliku). Tako imamo:

xxfxf )()( 0 , tj. xxfxfxxf ++++ )()()( 000 .

Odavde slijedi formula

xxfxfxxf ++++++++ )()()( 000 ,

kojase zove formula konanog prirasta.

PPPPrimjer:rimjer:rimjer:rimjer: Neka je 325)( 3 ++++==== xxxf . Izraunaj priblino f(2.01).

RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje: : : : Stavimo x 0 =2, x = 0.01. Imamo:

(((( )))) (((( )))).58.3901.05839)01.2(,

.58215325)2(,3932225)2(

;01.0)2()2()()()()01.02()01.2(

22

233

000

====++++========

++++========++++====

++++====++++++++====++++====

========

fDakle

xxxff

ffxxfxfxxfff

xx

Pogledajmo koliko smo pogrijeili ovim priblinim r aunom. Stvarna vrijednost

funkcije iznosi 39.583, pa je pogreka 0.003.

Raunanje potencije: Ako je f(x) = x n, onda imamo:

.)( 1000 xnxxxxnnn ++++++++

PPPPrimjer:rimjer:rimjer:rimjer: Izraunaj priblino 1.01 2.

RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje: : : : Stavimo f(x) = x 2, x0 =1, x = 0.01. Imamo f (x) = 2x, pa je:

.02.101.021121)01.01(01.1 222 ====++++====++++++++==== x Stvarna vrijednost je 1.0201, pa je pogreka 0.0001.

Raunanje korijena: Ako je n x==== f(x) , onda imamo:

.)(1

000 n n

nn

xn

xxxx

++++++++

PPPPrimjer:rimjer:rimjer:rimjer: Izraunaj priblino 26 .

RjeenjeRjeenjeRjeenjeRjeenje: : : : Stavimo f(x) = x , x0 =25, x = 1. Imamo x

x2

1)(f ==== , pa je:

.1.51101

52521

2512526 ====++++====++++++++==== x Stvarna vrijednost je priblino

5.0990195, pa je pogreka 0.001.

Osnovni teoremi diferencijalnog raunaOsnovni teoremi diferencijalnog raunaOsnovni teoremi diferencijalnog raunaOsnovni teoremi diferencijalnog rauna

U prethodnom poglavlju smo nau ili derivirati. Sada nas zanima primjena diferencijalnog ra una za funkcije jedne varijable. Jedna od primjena je ispitivanje toka zadane funkcije. Da bismo mogli na crtati graf funkcije potrebne su nam neke tvrdnje koje veu pojam derivacije zada ne funkcije i ponaanje njezinog grafa. Upravo su osnovni teoremi diferenci jalnog ra una ta poveznica iz koje i itavamo, izravno ili neizravno, kako se ponaa zada na funkcija.

Najprije emo definirati pojam lokalnog ekstrema.

Ekstremi funkcije .

Neka je f : S R funkcija definirana na bilo kojem zadanom neprazno m skupu S R. Za toku a S kaemo da je a toka maksimuma od f ako za sve x S vrijedi

f(x) f(a).

Ako za sve x S vrijedi f(x) f(a), onda kaemo da je a toka minimuma od f.

U prvom slu ju piemo da je {{{{ }}}}Sxxfaf ==== :)(max)( , ili kra e )(max)( xfafSx

==== .

Taj broj je maksimum funkcije na skupu S. U drugom slu aju piemo )(min)( xfaf

Sx ==== . Taj broj je minimum funkcije na skupu S.

Sve toke maksimuma i minimuma funkcije f zovemo ekstremima funkcije f.

Ako u gornjoj funkciji vrijedi stroga nejednakost uz dodatni uvjet x a, onda govorimo o to ki strogog maksimuma ili minimuma , ili o strogom ekstremu .

Lokalni ekstremi .

Neka je I otvoreni interval u R i f : I R bilo koja funkcija. Za to ku a I kaemo da je toka lokalnog maksimuma od f ako postoji otvoreni interval O(a) koji sadri a, takav da restrikcija f O(a) ima maksimum u to ki a. Slino se definira i toka lokalnog minimuma od f.

Toke lokalnog maksimuma i minimuma funkcije f : I R zovemo tokama lokalnih ekstremima funkcije f. Odgovaraju e toke na grafu funkcije zovemo tako er lokalnim ekstremima .

Sljede i teorem kae da je u svakoj to ki lokalnog ekstrema funkcije tangenta na njen graf vodoravna, tj. paralelna s x-osi. Ta je tvrdnja geometrijski skoro o evidna.

Teorem 1. (Fermatov teorem) Neka je I otvoreni interval u R i neka je f : I R diferencijabilna funkcija. Ako je a I toka lokalnog ekstrema od f, onda je

f'(a) = 0.

Dokaz: Neka je a I toka lokalnog ekstrema, npr. to ka lokalnog maksimuma. Onda je f(x) f(a) za sve x O(a). Dakle, za sve x O(a) takve da je xa vrijedi

0)()(

axafxf

,

jer je nazivnik pozitivan. Zbog diferencijabilnosti od f u to ki a, u obje gornje nejednakosti moemo ra unati limes kada x a (s lijeva u prvoj nejednakosti, s desna u drugoj). Dobivamo f'(a) 0 i f'(a) 0, dakle f'(a) = 0. Q.E.D.

Stacionarne toke .

Za diferencijabilnu funkciju f : I R toke koje su rjeenja jednadbe

f'(x) = 0

zovu se stacionarne toke od f.

Naziv "stacionarna (tj. nepokretna) to ka" je vrlo zoran: ako zamislimo graf funkcije kao vrstu podlogu, onda e mala kuglica poloena na graf mirovati jedino u onim tokama gdje je tangenta vodoravna, tj. u tokama na grafu koje odgovaraju stacionarnim to kama. U svim ostalim tokama kuglica e se otkotrljati.

Drugim rije ima, Fermatov teorem kae da su sve to ke lokalnih ekstrema stacionarne to ke. Ovaj jednostavan, ali vrlo vaan teorem, povezu je geometriju grafa funkcije s algebrom (nalaenje nul -toaka derivacije).

Kritine toke .

Neto iri pojam od stacionarne to ke (to su to ke u kojima je derivacija jednaka nuli, tj. tangenta na graf je vodoravna) je pojam kritine toke funkcije. To su one to ke u kojima je derivacija jednaka nuli ili ne posto ji. Za diferencijabilne funkcije su kriti ne toke isto to i stacionarne.

Teorem 2. (Rolleov teorem) Neka je f :[a,b] R neprekinuta funkcija, diferencijabilna na (a,b). Ako je f(a) = f(b), onda postoji to ka c (a,b) takva da je

f'(c) = 0.

Dokaz: Ako je f konstantna funkcija, onda je f'(x)=0 za sve x (a,b), pa tvrdnja vrijedi. Ako f nije konstantna funkcija, onda u barem jednoj to ki c (a,b) funkcija ima lokalni ekstrem (minimum ili maksimum) razli it od f(a) (u suprotnom bi f bila konstantna). Kako je f diferencijabilna, prema Fermatovom teoremu dobivamo f'(c)=0. Q.E.D.

Teorem 3. (Lagrangeov teorem o srednjoj

vrijednosti) Neka je f :[a,b] R neprekinuta funkcija, diferencijabilna na (a,b). Onda postoji toka c (a,b) takva da je

f(b) f(a) = f'(c) (b a).

Slika: Postoji tangenta koja je

paralelna sa sekantom

Dokaz: Definirajmo pomo nu funkciju F(x) = f(x) - x. Odaberimo konstantu tako da bude F(a) = F(b). Dakle: f(a) - a = f(b) - b, pa slijedi da je

abafbf

==== )()( . Ovako definirana funkcija F(x) ispunjava sve uvjete Rolleovog

teorema, pa slijedi da postoji c (a,b) takav da vrijedi F'(c)=0. Kako je F' (x) =

f'(x) - , slijedi da je f'(c) - =0, tj. ab

afbfcf

======== )()()( . Tvrdnja je dokazana.

Q.E.D.

Teorem je geometrijski skoro o evidan. Naime, ako povu emo sekantu kroz toke na grafu funkcije f koje odgovaraju x=a i x=b, onda postoji tangenta n a f u nekoj to ki c (a,b) koja je paralelna sekanti, tj.

abafbf

cf==== )()()( .

Korolar 1. Neka je I otvoreni interval u R....

(a) Neka je funkcija f : I R diferencijabilna . Ako je f'(x) = 0 za sve x I, onda je funkcija f konstantna.

(b) Neka su f i g : I R dvije diferencijabilne funkcije . Ako je f'(x) = g'(x) za sve x I, onda se funkcije razlikuju za konstantu, tj. f(x) = g(x) + C.

Dokaz: (a) Neka su a, b I proizvoljno odabrani . Prema Lagrangeovu teoremu postoji c (a,b) tako da je

0)(0))(()()( ============ ababcfafbf .

Dakle je f(a) = f(b). Dakle, f je konstantna funkcija.

(b) Definirajmo pomo nu funkciju F(x) = f(x) g(x) . Imamo F'(x) = f'(x) g'(x) = 0 za sve x I. Funkcija F zadovoljava pretpostavke tvrdnje (a), pa slijedi da je F(x) = C za sve x I, tj. f(x) = g(x) + C. Q.E.D.

Derivacija i monotonost .

Sljede i korolar je vaan za nalaenje intervala monotonos ti zadane funkcije, tj. intervala u kojima je funkcija rastu a ili padaju a. Ako je derivacija u nekom intervalu pozitivna, onda je na njemu funkcija stro go rastu a. Ako je derivacija u nekom intervalu negativna, onda je na njemu funkc ija strogo padaju a. Sa slike (geometrijski) je tvrdnja skoro o evidna.

Korolar 2. Neka je I otvoreni interval u R....

(a) Ako je f'(x) > 0 na I, onda je funkcija strogo rastu a.

(b) Ako je f'(x) < 0 na I, onda je funkcija strogo padaju a.

Dokaz: (a) Neka je f'(x) > 0 na I. Odaberimo bilo koje x 1 i x 2 I tako da je x 1 < x2. Prema Lagrangeovu teoremu postoji c (x1,x2) tako da je

0))(()()( 1212 >>>>==== xxcfxfxf ,

Dakle je f(x 1) < f(x 2).

Tvrdnja (b) se dokazuje na isti na in. Q.E.D.

Obrat tvrdnji iz Korolara 2 ne vrijedi. Primjerice , funkcija 3)( xxf ==== strogo raste na cijelom R, ali nije 0)( >>>> xf . Naime 0)0( ====f .

Sljede i teorem e nam omogu iti dokaz LHospitalova pravila, koje predstavlja vano sredstvo u ra unanju raznih limesa.

Teorem 4. (Cauchyjev teorem o srednjoj vrijednosti) Neka su zadane dvije funkcije f,g :[a,b] R koje su neprekinute na a,b] i diferencijabilne na (a,b). Predpostavimo da je g'(x) 0 za sve x (a,b). Onda postoji c (a,b) tako da vrijedi

)()(

)()()()(

cgcf

agbgafbf

====

.

Dokaz: Dokaz je vrlo sli an dokazu Lagrangeova teorema. Definirajmo pomo nu funkciju F(x) = f(x) - g(x). Odaberimo konstantu tako da bude F(a)

= F(b). Dakle: f(a) - g(a) = f(b) - g(b) , pa slijedi da je )()()()(

agbgafbf

==== (ne moe

biti g(a) = g(b) , jer bi ina e po Rolleovom teoremu primijenjenom na funkciju g postojao c (a,b) takav da je g'(c)=0 , to je nemogu e). Ovako definirana funkcija F(x) ispunjava sve uvjete Rolleovog teorema, pa slijedi da postoji c (a,b) takav da vrijedi F'(c)=0. Kako je F' (x) = f'(x) - g'(x) , slijedi da je f'(c) -

g'(c) =0 , tj. )(')(

cgcf ==== . Tvrdnja je dokazana. Q.E.D.

LHospitalovo praviloLHospitalovo praviloLHospitalovo praviloLHospitalovo pravilo

LHospitalovo pravilo slui za ra unanje limesa kvocijenta dviju funkcija u

sluaju kada kvocijent ima neodre eni oblik 00

ili

. Ostali neodre eni oblici

( 1,,0,0, 00 ) izraunavaju se svo enjem na neki od ova dva oblika.

U teoremima emo koristiti oznaku R = {-} R {}.

Teorem 5. (LHospitalovo pravilo 00) Neka su f i g diferencijabilne funkcije

na S = (a, x 0) (x0,b) i g'(x) 0 na S. Ako vrijedi 0)(lim)(lim00

========

xgxfxxxx

i postoji Rxgxf

xx

)()(

lim0

, onda je

)()(

lim)()(

lim00 xg

xfxgxf

xxxx

====

.

Dokaz: Dokaz emo prvo provesti za limes sdesna. Promatrajmo funk cije f i g na intervalu (x 0 , x0+h) za neki mali h>0. Ako definiramo f(x 0) = g(x 0) = 0, tada funkcije postaju neprekinute na [x 0, x0+h]. Sada primijenimo Cauchyjev teorem na intervalu [x 0, x] za neki x (x0, x0+h). Prema ovom teoremu postoji to ka c

(x0,x) takva da je )()(

)()(

cgcf

xgxf

==== . U ovoj jednakosti pustimo da 0xx , tada i

0xc . Iz pretpostavke teorema postoji limes desne stran e, pa tada postoji i

limes lijeve strane i oni su jednaki. Dakle, )()(

lim)()(

lim00 xg

xfxgxf

xxxx

====++++++++

.

Analogno razmatranje moemo provesti za limes slije va (na intervalu (x 0-h,x 0)).

Dakle, vrijedi i)()(

lim)()(

lim00 xg

xfxgxf

xxxx

====

. Kako postoji )()(

lim0 xg

xfxx

to su limes

slijeva i sdesna jednaki, pa slijedi tvrdnja teorem a. Q.E.D.

Prethodnim teoremom nije obuhva en slu aj kada x ili x -. Pokazuje se da teorem vrijedi i u tom slu aju:

Korolar 3. Neka su f i g diferencijabilne funkcije na intervalu I = (a, ) i g'(x) 0

na I. Ako vrijedi 0)(lim)(lim ========

xgxfxx

i postoji Rxgxf

x

)()(

lim , onda je

)()(

lim)()(

limxgxf

xgxf

xx

====

.

Dokaz: Uvedimo supstituciju u

x1==== i vidimo da funkcije )1(

uf i )

1(u

g

zadovoljavaju pretpostavke Teorema 5 na nekom inter valu c1

u 0

Primjeri:

1) Izraunajmo ve poznati limes x

xx

sinlim

0 pomo u LHospitalovog pravila:

11

coslim

)()(sin

lim00sin

lim000

========

====

====

xx

xx

xxxx

.

2) Izraunajmo limes xx

xtgxx

sin

lim0

:

.2)cos1(lim1cos

)cos1()cos1(

cos

1lim

1cos

1cos

1

lim00

sinlim

0

20

2

00

====++++====++++====

====

====

xx

xx

xxx

xxxtgx

x

xxx

3) Izraunajmo limes x

xx

x sin

1cos

lim

2

0:

.0011

coslimsin

limsin

1cos

lim00

2

0============

xx

xx

xx

x

xxx

Limes smo izra unali koriste i 111

sin1

limsin

lim00

============

xxx

xxx

, te

11

cos)1( xx

xx 1lim1

coslim)1(lim000

xx

xxxxx

01

coslim0

==== x

xx

.

U ovom slu aju ne moemo koristiti LHospitalovo pravilo. Zais ta, ako je

xxxf

1cos)( 2==== , xxg sin)( ==== , onda je

xxx

x

xgxf

xx cos

1sin

1cos2

lim)()(

lim00

++++====

,

a taj limes ne postoji jer ne postoji limes xx1

sinlim0

. Prema tome za

xx

x

x sin

1cos

lim

2

0 ne moemo koristiti LHospitalovo pravilo, jer nis u zadovoljeni

uvjeti Teorema 5.

LHospitalovo pravilo moemo primijeniti i nekolik o puta uzastopno raunaju i neki limes. Jedino je vano da kod svake primjene imamo zadovoljene uvjete pod kojima smijemo koristiti to pravilo.

Primjer: Izraunajmo 30sin

limx

xxx

:

61

6cos

lim00

6sin

lim00

3

cos1lim

00sin

lim002030

========

========

========

====

xxx

x

x

x

xxxxxx

.

Teorem 6. (LHospitalovo pravilo ) Neka su f i g diferencijabilne funkcije

na S = (a, x 0) (x0,b) i g'(x) 0 na S. Ako vrijedi ========

)(lim)(lim00

xgxfxxxx

i postoji Rxgxf

xx

)()(

lim0

, onda je

)()(

lim)()(

lim00 xg

xfxgxf

xxxx

====

.

Dokaz se opet provodi primijenom Cauchyjevog teorem a. Izostavit emo ga.

Napomena: Teorem 6 vrijedi kada jedna ili obje funkcije tee u , atakoer vrijedi kada x ili x .

Primjeri:

1) Izraunajmo 3lim x

e x

x ++++ i 3lim x

e x

x :

========

========

========

====

++++++++++++++++ 6lim

6lim

3limlim 23

x

x

x

x

x

x

x

x

ex

e

x

e

x

e,

====

0lim 3x

ex

x, pa ga raunamo direktno 0lim

1limlim 33 ========

x

xx

x

xe

xx

e.

2) 01

1

limln

lim ========

====

x

xx

xx.

Neodreeni oblici 1,,0,,0 00 mogu se izra unavati tako er koristiti

LHospitalovo pravilo, ali se prije toga moraju sve sti na oblik 00

ili

. Pokazat

emo to na primjerima.

Neodreeni oblik 0 . imamo u slu aju kada ra unamo limes umnoka funkcija, pri emu jedna funkcija tei u beskona no (), a druga u nulu. Tada jedan faktor umnoka zapiemo kao razlomak s nazivnikom recipro no.

Primjeri:

1) (((( )))) 0lim1

1

lim1

lnlim0lnlim

02

000========

====

============

x

x

x

x

xxx

xxxx.

Uoimo da smo mogli xxx

lnlim0

svesti na oblik 00

pisati

x

xxx

ln1

ln ==== , ali

bismo imali neto kompliciraniji ra un.

2) (((( )))) 11

111

lim00

1

11ln

lim01

1lnlim

2

2====

++++====

====

++++========

++++

x

xx

x

xx

xxxx

.

Neodreeni oblik . imamo u slu aju kada ra unamo limes razlike funkcija, pri emu svaka funkcija tei u beskona no. Tada razliku funkcija piemo tako da u obliku

)()(1

)(1

)(1

)(11

)(11

)()(

xgxf

xfxg

xgxf

xgxf

======== kada limes svodimo na oblik 00

. Slino

ga moemo svesti na oblik

ili prvo na oblik 0 , pa zatim na prethodna dva

oblika.

Primjeri:

1)

(((( ))))

.11

lim

11

1

lim00

12

arctglim

2arctglim

2

2

2

2

====++++

====

++++====

====

========

x

x

x

x

x

xxxx

x

xxx

2) (((( ))))

====++++

====

============

++++++++++++ 0

0cossin

1coslim

00

sinsin

limsin

11lim

000 xxxx

xxxx

xx xxx

0sincos2

sinlim

0====

====

++++ xxxx

x.

Neodreene oblike 1,,0 00 svodimo na ve spomenute oblike piu i

)(ln)(lim)(ln)()( lim)(lim xfxgxfxgxg eexf ======== kada x x0 ili x ili x .

Primjeri:

1) (((( )))) 1limlim 011

limln

limln1

01

========================

eeeexx

xx

xx

xx

x

xx .

2) Koriste i ranije odre en limes 11

1lnlim ====

++++ x

xx

imamo

(((( )))) eex

xx

x

x

x============

++++

++++

11ln

lim11

1lim .

3) (((( )))) 1lim0lim 0lnsinlimlnsin0

0sin

00 ====================

eeex

xxxx

x

x

xx ,

jer imamo

.0cossinsin

lim

cossin

lim

sin

cos

1

lim

sin1

lnlimlnsinlim

0

2

02

000

========

========

========

xx

xx

xxx

x

xx

x

xxx

x

xxxx