diferensial total dan diferensial fungsi dari fungsi
DESCRIPTION
diffTRANSCRIPT
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 113
Nama Rika Juliani
Kelas 3A
Nim 2011121037
Dosen Dra Lusiana MPd
Mata kuliah Kalkulus Lanjut
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 213
983090
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT berkat limpahan rahmat karunia dan hidayah
Nyalah kita dapat di beri kesehatan dan kekuatan sehingga dapat menyelesaikan makalah ini
Shalawat serta salam semoga tercurahkan kepada baginda dan junjungan kita nabiMuhammad SAW keluarga sahabatdan pengikut nya semoga kita semua mendapat safaat
kelak yaumul akhir
Penyusun mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang membantu dalam
pembuatan makalah ini Terutama kepada Dosen Pengasuh Mata Kuliah Kalkulus Lanjut
yaitu Ibu DraLusianaMpdKami meminta masukannya demi perbaikan pembuatan makalah
kami dimasa depan
Penyusun berharap Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas
bagi para pembaca mengenai diferensial total dan diferEnsial dari fungsi ke fungsi Saran Dan
Kritik dari para pembaca pun kami harapkan
Sekian yang dapat kami sampaikankurang lebihnya kami mohon maaf dan Pada Allah
SWT kami mohon ampun
Palembang Oktober 2012
Penyusun
ii
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 313
983091
DAFTAR ISI
KATA PENGANTARhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip ii
DAFTAR ISI helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip iii
BAB I DIFERENSIAL TOTAL
Diferensial Total helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4
Soal-Soal Latihan 1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6
BAB II DIFERENSIAL FUNGSI DARI FUNGSI
Diferensial Fungsi Dari Fungsi helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7
Soal-Soal Latihan 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12
DAFTAR PUSTAKAhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13
iii
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 413
983092
BAB I
DIFERENSIAL TOTALLENGKAP
Persamaan Diferensial adalah persamaan yang mengandung beberapa turunan fungsi
Diferensial TotalLengkap Definisi f (xy) df = dxdx
df + dy
dy
df
df disebut diferensial total f(xy) ke x dan ke y
Dalam bentuk turunan parsial y
zdan
x
z
part
part
part
partperubahan ∆x dan ∆y ditinjau berasingan
Sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama Persamaan linier dari ∆x dan
∆y berbentuk a ∆x + b∆y disebut diferensial total dari z di titik (x y) dan dinyatakan oleh dz
dz = a ∆∆∆∆ x + b ∆∆∆∆y
Jika x = f(xy) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D maka z
mempunyai diferensial total
dz = rarrpart
part+
part
partdy
y
zdx
x
zdi setiap titik (xy) dari D
Untuk fungsi dari 3 variabel atau lebih misalnya w = f (x y u v ) maka
dw = dvv
wdu
u
wdy
y
wdx
x
w
part
part+
part
part+
part
part+
part
part
Contoh 111
Tentukan dw jika w =
Jawab
Jadi dw= dx + dy+ 983218 dz
Contoh 112
Tentukan df jika f = x2
+ y3
Jawab xdx
df 2= 23 y
dy
df =
Jadi df = 2x dx + 3 y2dy
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 513
983093
Contoh 113
Tentukan dz = x3 x
2 y
3 + y
4 5x + 3y
Jawab =dx
dz3x
2 ndash 2xy
3- 5 =
dy
dz-3x
2y
2+ 4y
3+3
Jadi dz = (3x2
ndash 2xy3
ndash 5) dx + (-3x2
y2
+ 4y3
+3)dy
Contoh 114
Radius dan tinggi sebuah silinder lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm
dengan kemungkinan kesalahan pengukuran plusmn 005 cm Gunakan diferensial total untuk
menaksir kesalahan maksimum dalam volume yang diukur
Penyelesaian
Diketahui v = π r2h
r = 4cm
h = 10 cm
dr = dh = plusmn 005 cm
Ditanya dv =
Jawab dv = dhh
vdr
r
v
part
part+
part
part
= 2 π r h dr + πr2 dh
Subtitusikan r = 4 h = 10 cm dan dr = dh = plusmn 005 cm sehingga
menghasilkan dv = 2π (40) (plusmn 05) + 16 π (plusmn 005)
= plusmn 48 π cm3
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 613
983094
Soal-soal latihan 1
1 Jika z = 3x2
- 2xy + 5ysup2 maka tentukan dz
2 Diberikan r = x4-x
3 y + x
2y
2 - x
2y
2 +y
4 tentukanlah dr
3 Tentukan df jika f = x2
ey
4 Diberikan z = arc cos ( x ne 0 ) maka tentukanlah d
5 Jika g = exy
tentukanlah dg
6 Diketahui w = 3xsup3 - xysup2 dan w = f() berubah dari (12) menjadi (102 198)
Berapakah perubahan total dw
7 Sebuah balok kayu memiliki ukuran 6 12 dan 20 cm dengan kemungkinan kesalahan
05 cm dalam pengukuran Taksirlah kesalahan terbesar dalam luas permukaan balok
dan peresentasikan kesalahan dalam luas permukaan disebabkan karena tiap-tiap
pengukuran
8 Gunakan deferensial total dz untuk menghampiri pengukuran V jika ( xy) bergerak
dari S ke T
a V = 2x2ysup3 S (1-1) T (099 -102)
b V = xsup2 - 5xy + ysup3 S (23) T (-198 297)
c V = ln (xsup2y) S (-2 4) T (-197 396)
9 Tentukanlah dz dari z = log sin (xsup2 ysup2 -1)
10
Berapakah perubahan total dw dari ( 21 ) menjadi (201 098) untuk w = f(xy)
dengan w = xsup2 - 2xy + 3ysup2
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 713
983095
BAB II
DIFERENSIAL FUNGSI DARI FUNGSI
Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komponen satu peubah sekarang sudah mulai
dikenal semua pembacajika y = f (x (t))dengan f dan kedua fungsi yang terdiferensialkan
maka
=
`untuk memperoleh perluasan fungsi-fungsi beberapa peubah dapat dilihat pada versi berikut
Versi pertama
Jika z = f (xy) dengan x dan y adalah fungsi tmaka ditanyakan
Teorema A ( Aturan Rantai )
Andaikan X = x (t) dan Y = y (t) terdiferensialkan di t dan andaikan z = f (x(t) y(t))
terdiferensialkan di t dan
=
+
Bukti
Untuk penyederhanaan cara penulisan
andaikan P = (xy) ∆ P = (∆ x ∆ y) dan ∆ z = f ( P +
∆ P ) ndash f(P) maka ∆ z = f (P + ∆ P) ndash f (P) = nabla f (P)
∆ P + ∆ (∆ P)(1)
Dengan (∆ P ) rarr 0 jika ∆ P rarr 0
Jika kedua ruas dibagi dengan ∆ t maka
(1)
∆∆ = f ( P )
∆∆ + ( P )
∆∆ +
∆∆ ( ∆ )
Sekarang
∆∆ = (∆)(∆)
∆ = ∆∆ + ∆
∆
Data yang belakangan mendekati
+
983080983160983083
983120983080983160983084983161983081
983128 983128983083
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 813
983096
Jika ∆ rarr 0 ∶ ∆ dan ∆ keduanya mendekati 0 ( untuk x (t) dan y (t) kontinu
terdiferensialkan ) hal ini dapat di simpulkan jika ∆ rarr 0 Sebagai akibatnya pada saat kita
biarkan jika ∆ rarr pada (1) maka akan kita dapat
=
( )
()
Contoh 2 1 1
Diketahui z = x3 y
x = 2t
y = t2
Ditanya Tentukan
Jawab =
+
= ( 3 x2
y2 ) ( 2 ) + ( 2x
2y ) ( 2t )
= 6 ( 2t )2 ( t
2 )
2 + 2 ( 2t )
3 t
2 2t
= 24 t2 + 32 t
6
= 56 t6
Contoh 2 1 2
Sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi radiusnya bertambahpada laju 01 dan
fungsinya bertambah pada laju 04 Tentukan waktu pada saat radius sama dengn 10
cm dan tinngi sama dengan 200cm
Jawab
Rumus total permukaan tabung S = 2π r h + 2π r2
=
+
= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )
Pada r = 10 dan h = 200
= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )
= 44π + 8π = 52π 2
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 913
983097
Cara kedua
Jika z = f ( x y ) dengan X = x ( s t ) dan Y = y ( s t ) maka yang di nyatakan dan
Teorema B (Aturan Rantai )
Misalkan X = x ( s t ) dan Y= y ( s t ) mempunyai turunan pertama di (s t ) dan
misalkan z = f ( x y ) terdiferensialkan di ( ( ) ( )) maka z = f ( x ( s t ) y ( s t ))
mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh
983080 983145 983081 983101
983083
983080 983145983145 983081
983101
983083
Bukti Jika s di pertahankan tetap maka x ( s t ) dan y ( s t ) menjadi fungsi ndash fungsi t saja
yang bearti bahwa teorema A berlaku Pada waktu kita menggunakan dho menggantikan
lambang d untuk menunjukkan bahwa s tetap kita peroleh rumus ( ii ) untuk ) Rumus
untuk diperoleh dengan cara serupa mempertahankan t tetap
Contoh 213
Diketahui w =22 y xe
+
x = s sin t
y = t sin s
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= 2x
22 y xe
+ S cos t + 2y22 y x
e + Sin s
t
z
part
part= ( 2 2
s sin t cos t + 2t sin s sin s )22 y x
e +
t
z
part
part= ( 2
s sin 2t + 2t sin 2 s ) )sinsin( 2222 st t se
+
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1013
983089983088
Contoh 214
Diketahui z = 3 22 y x minus
x = 2s + 7t
y = 5 st
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= (6x) (7) + (-2y) (5s)
t
z
part
part
= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)
t
z
part
part= 84 s + 294 t ndash 50 2
s t
Berikut ini jika kita bertemu dengan keadaan lain seperti skema berikut
s
x
part
part s
x
z
part
part x
Zt
x
part
part
t
y
z
part
part
ds
dy
y s
Maka diperoleh rumusan sebagai berikut
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1113
983089983089
Contoh 215
Diketahui z = 2 x
x = 3u + 2v
y = 5v
Ditanya v
z
part
part
Jawab
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
dv
dy
y
y x
v
vu
x
y x
v
z
part
part+
part
+part
part
part=
part
part )()23()(33
v
z
part
part = 3 2 x y(2) + 3
x (5) = 6 2 x y + 5 3
x
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1213
983089983090
Soal ndash soal latihan 2
1 Tentukanlah dengan menggunakan aturan rantai tuliskan jawaban akhir anda
dalam bentuk t
a
w = x
2
y
3
x = t
2
y = t
3
b w = e
x cos y + e
y sin x x = 4t 2t
c w = cos (xy2z) x = t
3 y = tsup2 z = t
d w = x2
y ndash y2 x x = sin t dan y = cos t
2 Tentukan dengan menggunakan jawaban aturan rantai Tuliskan jawaban dengan
akhir anda dalam bentuk s dan t
a g = x2 y x = s-t y = st
b
g = + + sup2 x = s ndash t y = s+t z = tsup2 + 2s
c g = ex+yz
x = s+t y = s+t z = t2 ndash 2s
3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s
2t tentukan
s = -1 t = 2
4 Jika w = u2
tan v u = x dan v = x tentukanlah x =
5 Jika w = xy2 ndash z
2 x = p cos sin
y = p sin sin z = p cos
tentukanlah p = 3 = =
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1313
983089983091
DAFTAR PUSTAKA
Frank Ayres 1972 Diferensial and Integral Calculus Newyork McGraw Hill
Gazali Wikaria 2005 Kalkulus Lanjut Graha Ilmu
Riogialng RH 1979 Persamaan diferensial Bina Cipta
Soemartojo Noenik 1990 Kalkulus Lanjutan Jakarta Erlangga
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 213
983090
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT berkat limpahan rahmat karunia dan hidayah
Nyalah kita dapat di beri kesehatan dan kekuatan sehingga dapat menyelesaikan makalah ini
Shalawat serta salam semoga tercurahkan kepada baginda dan junjungan kita nabiMuhammad SAW keluarga sahabatdan pengikut nya semoga kita semua mendapat safaat
kelak yaumul akhir
Penyusun mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang membantu dalam
pembuatan makalah ini Terutama kepada Dosen Pengasuh Mata Kuliah Kalkulus Lanjut
yaitu Ibu DraLusianaMpdKami meminta masukannya demi perbaikan pembuatan makalah
kami dimasa depan
Penyusun berharap Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas
bagi para pembaca mengenai diferensial total dan diferEnsial dari fungsi ke fungsi Saran Dan
Kritik dari para pembaca pun kami harapkan
Sekian yang dapat kami sampaikankurang lebihnya kami mohon maaf dan Pada Allah
SWT kami mohon ampun
Palembang Oktober 2012
Penyusun
ii
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 313
983091
DAFTAR ISI
KATA PENGANTARhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip ii
DAFTAR ISI helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip iii
BAB I DIFERENSIAL TOTAL
Diferensial Total helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4
Soal-Soal Latihan 1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6
BAB II DIFERENSIAL FUNGSI DARI FUNGSI
Diferensial Fungsi Dari Fungsi helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7
Soal-Soal Latihan 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12
DAFTAR PUSTAKAhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13
iii
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 413
983092
BAB I
DIFERENSIAL TOTALLENGKAP
Persamaan Diferensial adalah persamaan yang mengandung beberapa turunan fungsi
Diferensial TotalLengkap Definisi f (xy) df = dxdx
df + dy
dy
df
df disebut diferensial total f(xy) ke x dan ke y
Dalam bentuk turunan parsial y
zdan
x
z
part
part
part
partperubahan ∆x dan ∆y ditinjau berasingan
Sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama Persamaan linier dari ∆x dan
∆y berbentuk a ∆x + b∆y disebut diferensial total dari z di titik (x y) dan dinyatakan oleh dz
dz = a ∆∆∆∆ x + b ∆∆∆∆y
Jika x = f(xy) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D maka z
mempunyai diferensial total
dz = rarrpart
part+
part
partdy
y
zdx
x
zdi setiap titik (xy) dari D
Untuk fungsi dari 3 variabel atau lebih misalnya w = f (x y u v ) maka
dw = dvv
wdu
u
wdy
y
wdx
x
w
part
part+
part
part+
part
part+
part
part
Contoh 111
Tentukan dw jika w =
Jawab
Jadi dw= dx + dy+ 983218 dz
Contoh 112
Tentukan df jika f = x2
+ y3
Jawab xdx
df 2= 23 y
dy
df =
Jadi df = 2x dx + 3 y2dy
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 513
983093
Contoh 113
Tentukan dz = x3 x
2 y
3 + y
4 5x + 3y
Jawab =dx
dz3x
2 ndash 2xy
3- 5 =
dy
dz-3x
2y
2+ 4y
3+3
Jadi dz = (3x2
ndash 2xy3
ndash 5) dx + (-3x2
y2
+ 4y3
+3)dy
Contoh 114
Radius dan tinggi sebuah silinder lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm
dengan kemungkinan kesalahan pengukuran plusmn 005 cm Gunakan diferensial total untuk
menaksir kesalahan maksimum dalam volume yang diukur
Penyelesaian
Diketahui v = π r2h
r = 4cm
h = 10 cm
dr = dh = plusmn 005 cm
Ditanya dv =
Jawab dv = dhh
vdr
r
v
part
part+
part
part
= 2 π r h dr + πr2 dh
Subtitusikan r = 4 h = 10 cm dan dr = dh = plusmn 005 cm sehingga
menghasilkan dv = 2π (40) (plusmn 05) + 16 π (plusmn 005)
= plusmn 48 π cm3
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 613
983094
Soal-soal latihan 1
1 Jika z = 3x2
- 2xy + 5ysup2 maka tentukan dz
2 Diberikan r = x4-x
3 y + x
2y
2 - x
2y
2 +y
4 tentukanlah dr
3 Tentukan df jika f = x2
ey
4 Diberikan z = arc cos ( x ne 0 ) maka tentukanlah d
5 Jika g = exy
tentukanlah dg
6 Diketahui w = 3xsup3 - xysup2 dan w = f() berubah dari (12) menjadi (102 198)
Berapakah perubahan total dw
7 Sebuah balok kayu memiliki ukuran 6 12 dan 20 cm dengan kemungkinan kesalahan
05 cm dalam pengukuran Taksirlah kesalahan terbesar dalam luas permukaan balok
dan peresentasikan kesalahan dalam luas permukaan disebabkan karena tiap-tiap
pengukuran
8 Gunakan deferensial total dz untuk menghampiri pengukuran V jika ( xy) bergerak
dari S ke T
a V = 2x2ysup3 S (1-1) T (099 -102)
b V = xsup2 - 5xy + ysup3 S (23) T (-198 297)
c V = ln (xsup2y) S (-2 4) T (-197 396)
9 Tentukanlah dz dari z = log sin (xsup2 ysup2 -1)
10
Berapakah perubahan total dw dari ( 21 ) menjadi (201 098) untuk w = f(xy)
dengan w = xsup2 - 2xy + 3ysup2
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 713
983095
BAB II
DIFERENSIAL FUNGSI DARI FUNGSI
Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komponen satu peubah sekarang sudah mulai
dikenal semua pembacajika y = f (x (t))dengan f dan kedua fungsi yang terdiferensialkan
maka
=
`untuk memperoleh perluasan fungsi-fungsi beberapa peubah dapat dilihat pada versi berikut
Versi pertama
Jika z = f (xy) dengan x dan y adalah fungsi tmaka ditanyakan
Teorema A ( Aturan Rantai )
Andaikan X = x (t) dan Y = y (t) terdiferensialkan di t dan andaikan z = f (x(t) y(t))
terdiferensialkan di t dan
=
+
Bukti
Untuk penyederhanaan cara penulisan
andaikan P = (xy) ∆ P = (∆ x ∆ y) dan ∆ z = f ( P +
∆ P ) ndash f(P) maka ∆ z = f (P + ∆ P) ndash f (P) = nabla f (P)
∆ P + ∆ (∆ P)(1)
Dengan (∆ P ) rarr 0 jika ∆ P rarr 0
Jika kedua ruas dibagi dengan ∆ t maka
(1)
∆∆ = f ( P )
∆∆ + ( P )
∆∆ +
∆∆ ( ∆ )
Sekarang
∆∆ = (∆)(∆)
∆ = ∆∆ + ∆
∆
Data yang belakangan mendekati
+
983080983160983083
983120983080983160983084983161983081
983128 983128983083
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 813
983096
Jika ∆ rarr 0 ∶ ∆ dan ∆ keduanya mendekati 0 ( untuk x (t) dan y (t) kontinu
terdiferensialkan ) hal ini dapat di simpulkan jika ∆ rarr 0 Sebagai akibatnya pada saat kita
biarkan jika ∆ rarr pada (1) maka akan kita dapat
=
( )
()
Contoh 2 1 1
Diketahui z = x3 y
x = 2t
y = t2
Ditanya Tentukan
Jawab =
+
= ( 3 x2
y2 ) ( 2 ) + ( 2x
2y ) ( 2t )
= 6 ( 2t )2 ( t
2 )
2 + 2 ( 2t )
3 t
2 2t
= 24 t2 + 32 t
6
= 56 t6
Contoh 2 1 2
Sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi radiusnya bertambahpada laju 01 dan
fungsinya bertambah pada laju 04 Tentukan waktu pada saat radius sama dengn 10
cm dan tinngi sama dengan 200cm
Jawab
Rumus total permukaan tabung S = 2π r h + 2π r2
=
+
= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )
Pada r = 10 dan h = 200
= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )
= 44π + 8π = 52π 2
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 913
983097
Cara kedua
Jika z = f ( x y ) dengan X = x ( s t ) dan Y = y ( s t ) maka yang di nyatakan dan
Teorema B (Aturan Rantai )
Misalkan X = x ( s t ) dan Y= y ( s t ) mempunyai turunan pertama di (s t ) dan
misalkan z = f ( x y ) terdiferensialkan di ( ( ) ( )) maka z = f ( x ( s t ) y ( s t ))
mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh
983080 983145 983081 983101
983083
983080 983145983145 983081
983101
983083
Bukti Jika s di pertahankan tetap maka x ( s t ) dan y ( s t ) menjadi fungsi ndash fungsi t saja
yang bearti bahwa teorema A berlaku Pada waktu kita menggunakan dho menggantikan
lambang d untuk menunjukkan bahwa s tetap kita peroleh rumus ( ii ) untuk ) Rumus
untuk diperoleh dengan cara serupa mempertahankan t tetap
Contoh 213
Diketahui w =22 y xe
+
x = s sin t
y = t sin s
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= 2x
22 y xe
+ S cos t + 2y22 y x
e + Sin s
t
z
part
part= ( 2 2
s sin t cos t + 2t sin s sin s )22 y x
e +
t
z
part
part= ( 2
s sin 2t + 2t sin 2 s ) )sinsin( 2222 st t se
+
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1013
983089983088
Contoh 214
Diketahui z = 3 22 y x minus
x = 2s + 7t
y = 5 st
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= (6x) (7) + (-2y) (5s)
t
z
part
part
= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)
t
z
part
part= 84 s + 294 t ndash 50 2
s t
Berikut ini jika kita bertemu dengan keadaan lain seperti skema berikut
s
x
part
part s
x
z
part
part x
Zt
x
part
part
t
y
z
part
part
ds
dy
y s
Maka diperoleh rumusan sebagai berikut
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1113
983089983089
Contoh 215
Diketahui z = 2 x
x = 3u + 2v
y = 5v
Ditanya v
z
part
part
Jawab
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
dv
dy
y
y x
v
vu
x
y x
v
z
part
part+
part
+part
part
part=
part
part )()23()(33
v
z
part
part = 3 2 x y(2) + 3
x (5) = 6 2 x y + 5 3
x
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1213
983089983090
Soal ndash soal latihan 2
1 Tentukanlah dengan menggunakan aturan rantai tuliskan jawaban akhir anda
dalam bentuk t
a
w = x
2
y
3
x = t
2
y = t
3
b w = e
x cos y + e
y sin x x = 4t 2t
c w = cos (xy2z) x = t
3 y = tsup2 z = t
d w = x2
y ndash y2 x x = sin t dan y = cos t
2 Tentukan dengan menggunakan jawaban aturan rantai Tuliskan jawaban dengan
akhir anda dalam bentuk s dan t
a g = x2 y x = s-t y = st
b
g = + + sup2 x = s ndash t y = s+t z = tsup2 + 2s
c g = ex+yz
x = s+t y = s+t z = t2 ndash 2s
3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s
2t tentukan
s = -1 t = 2
4 Jika w = u2
tan v u = x dan v = x tentukanlah x =
5 Jika w = xy2 ndash z
2 x = p cos sin
y = p sin sin z = p cos
tentukanlah p = 3 = =
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1313
983089983091
DAFTAR PUSTAKA
Frank Ayres 1972 Diferensial and Integral Calculus Newyork McGraw Hill
Gazali Wikaria 2005 Kalkulus Lanjut Graha Ilmu
Riogialng RH 1979 Persamaan diferensial Bina Cipta
Soemartojo Noenik 1990 Kalkulus Lanjutan Jakarta Erlangga
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 313
983091
DAFTAR ISI
KATA PENGANTARhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip ii
DAFTAR ISI helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip iii
BAB I DIFERENSIAL TOTAL
Diferensial Total helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4
Soal-Soal Latihan 1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6
BAB II DIFERENSIAL FUNGSI DARI FUNGSI
Diferensial Fungsi Dari Fungsi helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7
Soal-Soal Latihan 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12
DAFTAR PUSTAKAhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13
iii
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 413
983092
BAB I
DIFERENSIAL TOTALLENGKAP
Persamaan Diferensial adalah persamaan yang mengandung beberapa turunan fungsi
Diferensial TotalLengkap Definisi f (xy) df = dxdx
df + dy
dy
df
df disebut diferensial total f(xy) ke x dan ke y
Dalam bentuk turunan parsial y
zdan
x
z
part
part
part
partperubahan ∆x dan ∆y ditinjau berasingan
Sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama Persamaan linier dari ∆x dan
∆y berbentuk a ∆x + b∆y disebut diferensial total dari z di titik (x y) dan dinyatakan oleh dz
dz = a ∆∆∆∆ x + b ∆∆∆∆y
Jika x = f(xy) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D maka z
mempunyai diferensial total
dz = rarrpart
part+
part
partdy
y
zdx
x
zdi setiap titik (xy) dari D
Untuk fungsi dari 3 variabel atau lebih misalnya w = f (x y u v ) maka
dw = dvv
wdu
u
wdy
y
wdx
x
w
part
part+
part
part+
part
part+
part
part
Contoh 111
Tentukan dw jika w =
Jawab
Jadi dw= dx + dy+ 983218 dz
Contoh 112
Tentukan df jika f = x2
+ y3
Jawab xdx
df 2= 23 y
dy
df =
Jadi df = 2x dx + 3 y2dy
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 513
983093
Contoh 113
Tentukan dz = x3 x
2 y
3 + y
4 5x + 3y
Jawab =dx
dz3x
2 ndash 2xy
3- 5 =
dy
dz-3x
2y
2+ 4y
3+3
Jadi dz = (3x2
ndash 2xy3
ndash 5) dx + (-3x2
y2
+ 4y3
+3)dy
Contoh 114
Radius dan tinggi sebuah silinder lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm
dengan kemungkinan kesalahan pengukuran plusmn 005 cm Gunakan diferensial total untuk
menaksir kesalahan maksimum dalam volume yang diukur
Penyelesaian
Diketahui v = π r2h
r = 4cm
h = 10 cm
dr = dh = plusmn 005 cm
Ditanya dv =
Jawab dv = dhh
vdr
r
v
part
part+
part
part
= 2 π r h dr + πr2 dh
Subtitusikan r = 4 h = 10 cm dan dr = dh = plusmn 005 cm sehingga
menghasilkan dv = 2π (40) (plusmn 05) + 16 π (plusmn 005)
= plusmn 48 π cm3
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 613
983094
Soal-soal latihan 1
1 Jika z = 3x2
- 2xy + 5ysup2 maka tentukan dz
2 Diberikan r = x4-x
3 y + x
2y
2 - x
2y
2 +y
4 tentukanlah dr
3 Tentukan df jika f = x2
ey
4 Diberikan z = arc cos ( x ne 0 ) maka tentukanlah d
5 Jika g = exy
tentukanlah dg
6 Diketahui w = 3xsup3 - xysup2 dan w = f() berubah dari (12) menjadi (102 198)
Berapakah perubahan total dw
7 Sebuah balok kayu memiliki ukuran 6 12 dan 20 cm dengan kemungkinan kesalahan
05 cm dalam pengukuran Taksirlah kesalahan terbesar dalam luas permukaan balok
dan peresentasikan kesalahan dalam luas permukaan disebabkan karena tiap-tiap
pengukuran
8 Gunakan deferensial total dz untuk menghampiri pengukuran V jika ( xy) bergerak
dari S ke T
a V = 2x2ysup3 S (1-1) T (099 -102)
b V = xsup2 - 5xy + ysup3 S (23) T (-198 297)
c V = ln (xsup2y) S (-2 4) T (-197 396)
9 Tentukanlah dz dari z = log sin (xsup2 ysup2 -1)
10
Berapakah perubahan total dw dari ( 21 ) menjadi (201 098) untuk w = f(xy)
dengan w = xsup2 - 2xy + 3ysup2
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 713
983095
BAB II
DIFERENSIAL FUNGSI DARI FUNGSI
Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komponen satu peubah sekarang sudah mulai
dikenal semua pembacajika y = f (x (t))dengan f dan kedua fungsi yang terdiferensialkan
maka
=
`untuk memperoleh perluasan fungsi-fungsi beberapa peubah dapat dilihat pada versi berikut
Versi pertama
Jika z = f (xy) dengan x dan y adalah fungsi tmaka ditanyakan
Teorema A ( Aturan Rantai )
Andaikan X = x (t) dan Y = y (t) terdiferensialkan di t dan andaikan z = f (x(t) y(t))
terdiferensialkan di t dan
=
+
Bukti
Untuk penyederhanaan cara penulisan
andaikan P = (xy) ∆ P = (∆ x ∆ y) dan ∆ z = f ( P +
∆ P ) ndash f(P) maka ∆ z = f (P + ∆ P) ndash f (P) = nabla f (P)
∆ P + ∆ (∆ P)(1)
Dengan (∆ P ) rarr 0 jika ∆ P rarr 0
Jika kedua ruas dibagi dengan ∆ t maka
(1)
∆∆ = f ( P )
∆∆ + ( P )
∆∆ +
∆∆ ( ∆ )
Sekarang
∆∆ = (∆)(∆)
∆ = ∆∆ + ∆
∆
Data yang belakangan mendekati
+
983080983160983083
983120983080983160983084983161983081
983128 983128983083
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 813
983096
Jika ∆ rarr 0 ∶ ∆ dan ∆ keduanya mendekati 0 ( untuk x (t) dan y (t) kontinu
terdiferensialkan ) hal ini dapat di simpulkan jika ∆ rarr 0 Sebagai akibatnya pada saat kita
biarkan jika ∆ rarr pada (1) maka akan kita dapat
=
( )
()
Contoh 2 1 1
Diketahui z = x3 y
x = 2t
y = t2
Ditanya Tentukan
Jawab =
+
= ( 3 x2
y2 ) ( 2 ) + ( 2x
2y ) ( 2t )
= 6 ( 2t )2 ( t
2 )
2 + 2 ( 2t )
3 t
2 2t
= 24 t2 + 32 t
6
= 56 t6
Contoh 2 1 2
Sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi radiusnya bertambahpada laju 01 dan
fungsinya bertambah pada laju 04 Tentukan waktu pada saat radius sama dengn 10
cm dan tinngi sama dengan 200cm
Jawab
Rumus total permukaan tabung S = 2π r h + 2π r2
=
+
= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )
Pada r = 10 dan h = 200
= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )
= 44π + 8π = 52π 2
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 913
983097
Cara kedua
Jika z = f ( x y ) dengan X = x ( s t ) dan Y = y ( s t ) maka yang di nyatakan dan
Teorema B (Aturan Rantai )
Misalkan X = x ( s t ) dan Y= y ( s t ) mempunyai turunan pertama di (s t ) dan
misalkan z = f ( x y ) terdiferensialkan di ( ( ) ( )) maka z = f ( x ( s t ) y ( s t ))
mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh
983080 983145 983081 983101
983083
983080 983145983145 983081
983101
983083
Bukti Jika s di pertahankan tetap maka x ( s t ) dan y ( s t ) menjadi fungsi ndash fungsi t saja
yang bearti bahwa teorema A berlaku Pada waktu kita menggunakan dho menggantikan
lambang d untuk menunjukkan bahwa s tetap kita peroleh rumus ( ii ) untuk ) Rumus
untuk diperoleh dengan cara serupa mempertahankan t tetap
Contoh 213
Diketahui w =22 y xe
+
x = s sin t
y = t sin s
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= 2x
22 y xe
+ S cos t + 2y22 y x
e + Sin s
t
z
part
part= ( 2 2
s sin t cos t + 2t sin s sin s )22 y x
e +
t
z
part
part= ( 2
s sin 2t + 2t sin 2 s ) )sinsin( 2222 st t se
+
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1013
983089983088
Contoh 214
Diketahui z = 3 22 y x minus
x = 2s + 7t
y = 5 st
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= (6x) (7) + (-2y) (5s)
t
z
part
part
= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)
t
z
part
part= 84 s + 294 t ndash 50 2
s t
Berikut ini jika kita bertemu dengan keadaan lain seperti skema berikut
s
x
part
part s
x
z
part
part x
Zt
x
part
part
t
y
z
part
part
ds
dy
y s
Maka diperoleh rumusan sebagai berikut
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1113
983089983089
Contoh 215
Diketahui z = 2 x
x = 3u + 2v
y = 5v
Ditanya v
z
part
part
Jawab
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
dv
dy
y
y x
v
vu
x
y x
v
z
part
part+
part
+part
part
part=
part
part )()23()(33
v
z
part
part = 3 2 x y(2) + 3
x (5) = 6 2 x y + 5 3
x
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1213
983089983090
Soal ndash soal latihan 2
1 Tentukanlah dengan menggunakan aturan rantai tuliskan jawaban akhir anda
dalam bentuk t
a
w = x
2
y
3
x = t
2
y = t
3
b w = e
x cos y + e
y sin x x = 4t 2t
c w = cos (xy2z) x = t
3 y = tsup2 z = t
d w = x2
y ndash y2 x x = sin t dan y = cos t
2 Tentukan dengan menggunakan jawaban aturan rantai Tuliskan jawaban dengan
akhir anda dalam bentuk s dan t
a g = x2 y x = s-t y = st
b
g = + + sup2 x = s ndash t y = s+t z = tsup2 + 2s
c g = ex+yz
x = s+t y = s+t z = t2 ndash 2s
3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s
2t tentukan
s = -1 t = 2
4 Jika w = u2
tan v u = x dan v = x tentukanlah x =
5 Jika w = xy2 ndash z
2 x = p cos sin
y = p sin sin z = p cos
tentukanlah p = 3 = =
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1313
983089983091
DAFTAR PUSTAKA
Frank Ayres 1972 Diferensial and Integral Calculus Newyork McGraw Hill
Gazali Wikaria 2005 Kalkulus Lanjut Graha Ilmu
Riogialng RH 1979 Persamaan diferensial Bina Cipta
Soemartojo Noenik 1990 Kalkulus Lanjutan Jakarta Erlangga
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 413
983092
BAB I
DIFERENSIAL TOTALLENGKAP
Persamaan Diferensial adalah persamaan yang mengandung beberapa turunan fungsi
Diferensial TotalLengkap Definisi f (xy) df = dxdx
df + dy
dy
df
df disebut diferensial total f(xy) ke x dan ke y
Dalam bentuk turunan parsial y
zdan
x
z
part
part
part
partperubahan ∆x dan ∆y ditinjau berasingan
Sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama Persamaan linier dari ∆x dan
∆y berbentuk a ∆x + b∆y disebut diferensial total dari z di titik (x y) dan dinyatakan oleh dz
dz = a ∆∆∆∆ x + b ∆∆∆∆y
Jika x = f(xy) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D maka z
mempunyai diferensial total
dz = rarrpart
part+
part
partdy
y
zdx
x
zdi setiap titik (xy) dari D
Untuk fungsi dari 3 variabel atau lebih misalnya w = f (x y u v ) maka
dw = dvv
wdu
u
wdy
y
wdx
x
w
part
part+
part
part+
part
part+
part
part
Contoh 111
Tentukan dw jika w =
Jawab
Jadi dw= dx + dy+ 983218 dz
Contoh 112
Tentukan df jika f = x2
+ y3
Jawab xdx
df 2= 23 y
dy
df =
Jadi df = 2x dx + 3 y2dy
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 513
983093
Contoh 113
Tentukan dz = x3 x
2 y
3 + y
4 5x + 3y
Jawab =dx
dz3x
2 ndash 2xy
3- 5 =
dy
dz-3x
2y
2+ 4y
3+3
Jadi dz = (3x2
ndash 2xy3
ndash 5) dx + (-3x2
y2
+ 4y3
+3)dy
Contoh 114
Radius dan tinggi sebuah silinder lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm
dengan kemungkinan kesalahan pengukuran plusmn 005 cm Gunakan diferensial total untuk
menaksir kesalahan maksimum dalam volume yang diukur
Penyelesaian
Diketahui v = π r2h
r = 4cm
h = 10 cm
dr = dh = plusmn 005 cm
Ditanya dv =
Jawab dv = dhh
vdr
r
v
part
part+
part
part
= 2 π r h dr + πr2 dh
Subtitusikan r = 4 h = 10 cm dan dr = dh = plusmn 005 cm sehingga
menghasilkan dv = 2π (40) (plusmn 05) + 16 π (plusmn 005)
= plusmn 48 π cm3
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 613
983094
Soal-soal latihan 1
1 Jika z = 3x2
- 2xy + 5ysup2 maka tentukan dz
2 Diberikan r = x4-x
3 y + x
2y
2 - x
2y
2 +y
4 tentukanlah dr
3 Tentukan df jika f = x2
ey
4 Diberikan z = arc cos ( x ne 0 ) maka tentukanlah d
5 Jika g = exy
tentukanlah dg
6 Diketahui w = 3xsup3 - xysup2 dan w = f() berubah dari (12) menjadi (102 198)
Berapakah perubahan total dw
7 Sebuah balok kayu memiliki ukuran 6 12 dan 20 cm dengan kemungkinan kesalahan
05 cm dalam pengukuran Taksirlah kesalahan terbesar dalam luas permukaan balok
dan peresentasikan kesalahan dalam luas permukaan disebabkan karena tiap-tiap
pengukuran
8 Gunakan deferensial total dz untuk menghampiri pengukuran V jika ( xy) bergerak
dari S ke T
a V = 2x2ysup3 S (1-1) T (099 -102)
b V = xsup2 - 5xy + ysup3 S (23) T (-198 297)
c V = ln (xsup2y) S (-2 4) T (-197 396)
9 Tentukanlah dz dari z = log sin (xsup2 ysup2 -1)
10
Berapakah perubahan total dw dari ( 21 ) menjadi (201 098) untuk w = f(xy)
dengan w = xsup2 - 2xy + 3ysup2
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 713
983095
BAB II
DIFERENSIAL FUNGSI DARI FUNGSI
Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komponen satu peubah sekarang sudah mulai
dikenal semua pembacajika y = f (x (t))dengan f dan kedua fungsi yang terdiferensialkan
maka
=
`untuk memperoleh perluasan fungsi-fungsi beberapa peubah dapat dilihat pada versi berikut
Versi pertama
Jika z = f (xy) dengan x dan y adalah fungsi tmaka ditanyakan
Teorema A ( Aturan Rantai )
Andaikan X = x (t) dan Y = y (t) terdiferensialkan di t dan andaikan z = f (x(t) y(t))
terdiferensialkan di t dan
=
+
Bukti
Untuk penyederhanaan cara penulisan
andaikan P = (xy) ∆ P = (∆ x ∆ y) dan ∆ z = f ( P +
∆ P ) ndash f(P) maka ∆ z = f (P + ∆ P) ndash f (P) = nabla f (P)
∆ P + ∆ (∆ P)(1)
Dengan (∆ P ) rarr 0 jika ∆ P rarr 0
Jika kedua ruas dibagi dengan ∆ t maka
(1)
∆∆ = f ( P )
∆∆ + ( P )
∆∆ +
∆∆ ( ∆ )
Sekarang
∆∆ = (∆)(∆)
∆ = ∆∆ + ∆
∆
Data yang belakangan mendekati
+
983080983160983083
983120983080983160983084983161983081
983128 983128983083
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 813
983096
Jika ∆ rarr 0 ∶ ∆ dan ∆ keduanya mendekati 0 ( untuk x (t) dan y (t) kontinu
terdiferensialkan ) hal ini dapat di simpulkan jika ∆ rarr 0 Sebagai akibatnya pada saat kita
biarkan jika ∆ rarr pada (1) maka akan kita dapat
=
( )
()
Contoh 2 1 1
Diketahui z = x3 y
x = 2t
y = t2
Ditanya Tentukan
Jawab =
+
= ( 3 x2
y2 ) ( 2 ) + ( 2x
2y ) ( 2t )
= 6 ( 2t )2 ( t
2 )
2 + 2 ( 2t )
3 t
2 2t
= 24 t2 + 32 t
6
= 56 t6
Contoh 2 1 2
Sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi radiusnya bertambahpada laju 01 dan
fungsinya bertambah pada laju 04 Tentukan waktu pada saat radius sama dengn 10
cm dan tinngi sama dengan 200cm
Jawab
Rumus total permukaan tabung S = 2π r h + 2π r2
=
+
= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )
Pada r = 10 dan h = 200
= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )
= 44π + 8π = 52π 2
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 913
983097
Cara kedua
Jika z = f ( x y ) dengan X = x ( s t ) dan Y = y ( s t ) maka yang di nyatakan dan
Teorema B (Aturan Rantai )
Misalkan X = x ( s t ) dan Y= y ( s t ) mempunyai turunan pertama di (s t ) dan
misalkan z = f ( x y ) terdiferensialkan di ( ( ) ( )) maka z = f ( x ( s t ) y ( s t ))
mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh
983080 983145 983081 983101
983083
983080 983145983145 983081
983101
983083
Bukti Jika s di pertahankan tetap maka x ( s t ) dan y ( s t ) menjadi fungsi ndash fungsi t saja
yang bearti bahwa teorema A berlaku Pada waktu kita menggunakan dho menggantikan
lambang d untuk menunjukkan bahwa s tetap kita peroleh rumus ( ii ) untuk ) Rumus
untuk diperoleh dengan cara serupa mempertahankan t tetap
Contoh 213
Diketahui w =22 y xe
+
x = s sin t
y = t sin s
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= 2x
22 y xe
+ S cos t + 2y22 y x
e + Sin s
t
z
part
part= ( 2 2
s sin t cos t + 2t sin s sin s )22 y x
e +
t
z
part
part= ( 2
s sin 2t + 2t sin 2 s ) )sinsin( 2222 st t se
+
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1013
983089983088
Contoh 214
Diketahui z = 3 22 y x minus
x = 2s + 7t
y = 5 st
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= (6x) (7) + (-2y) (5s)
t
z
part
part
= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)
t
z
part
part= 84 s + 294 t ndash 50 2
s t
Berikut ini jika kita bertemu dengan keadaan lain seperti skema berikut
s
x
part
part s
x
z
part
part x
Zt
x
part
part
t
y
z
part
part
ds
dy
y s
Maka diperoleh rumusan sebagai berikut
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1113
983089983089
Contoh 215
Diketahui z = 2 x
x = 3u + 2v
y = 5v
Ditanya v
z
part
part
Jawab
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
dv
dy
y
y x
v
vu
x
y x
v
z
part
part+
part
+part
part
part=
part
part )()23()(33
v
z
part
part = 3 2 x y(2) + 3
x (5) = 6 2 x y + 5 3
x
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1213
983089983090
Soal ndash soal latihan 2
1 Tentukanlah dengan menggunakan aturan rantai tuliskan jawaban akhir anda
dalam bentuk t
a
w = x
2
y
3
x = t
2
y = t
3
b w = e
x cos y + e
y sin x x = 4t 2t
c w = cos (xy2z) x = t
3 y = tsup2 z = t
d w = x2
y ndash y2 x x = sin t dan y = cos t
2 Tentukan dengan menggunakan jawaban aturan rantai Tuliskan jawaban dengan
akhir anda dalam bentuk s dan t
a g = x2 y x = s-t y = st
b
g = + + sup2 x = s ndash t y = s+t z = tsup2 + 2s
c g = ex+yz
x = s+t y = s+t z = t2 ndash 2s
3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s
2t tentukan
s = -1 t = 2
4 Jika w = u2
tan v u = x dan v = x tentukanlah x =
5 Jika w = xy2 ndash z
2 x = p cos sin
y = p sin sin z = p cos
tentukanlah p = 3 = =
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1313
983089983091
DAFTAR PUSTAKA
Frank Ayres 1972 Diferensial and Integral Calculus Newyork McGraw Hill
Gazali Wikaria 2005 Kalkulus Lanjut Graha Ilmu
Riogialng RH 1979 Persamaan diferensial Bina Cipta
Soemartojo Noenik 1990 Kalkulus Lanjutan Jakarta Erlangga
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 513
983093
Contoh 113
Tentukan dz = x3 x
2 y
3 + y
4 5x + 3y
Jawab =dx
dz3x
2 ndash 2xy
3- 5 =
dy
dz-3x
2y
2+ 4y
3+3
Jadi dz = (3x2
ndash 2xy3
ndash 5) dx + (-3x2
y2
+ 4y3
+3)dy
Contoh 114
Radius dan tinggi sebuah silinder lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm
dengan kemungkinan kesalahan pengukuran plusmn 005 cm Gunakan diferensial total untuk
menaksir kesalahan maksimum dalam volume yang diukur
Penyelesaian
Diketahui v = π r2h
r = 4cm
h = 10 cm
dr = dh = plusmn 005 cm
Ditanya dv =
Jawab dv = dhh
vdr
r
v
part
part+
part
part
= 2 π r h dr + πr2 dh
Subtitusikan r = 4 h = 10 cm dan dr = dh = plusmn 005 cm sehingga
menghasilkan dv = 2π (40) (plusmn 05) + 16 π (plusmn 005)
= plusmn 48 π cm3
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 613
983094
Soal-soal latihan 1
1 Jika z = 3x2
- 2xy + 5ysup2 maka tentukan dz
2 Diberikan r = x4-x
3 y + x
2y
2 - x
2y
2 +y
4 tentukanlah dr
3 Tentukan df jika f = x2
ey
4 Diberikan z = arc cos ( x ne 0 ) maka tentukanlah d
5 Jika g = exy
tentukanlah dg
6 Diketahui w = 3xsup3 - xysup2 dan w = f() berubah dari (12) menjadi (102 198)
Berapakah perubahan total dw
7 Sebuah balok kayu memiliki ukuran 6 12 dan 20 cm dengan kemungkinan kesalahan
05 cm dalam pengukuran Taksirlah kesalahan terbesar dalam luas permukaan balok
dan peresentasikan kesalahan dalam luas permukaan disebabkan karena tiap-tiap
pengukuran
8 Gunakan deferensial total dz untuk menghampiri pengukuran V jika ( xy) bergerak
dari S ke T
a V = 2x2ysup3 S (1-1) T (099 -102)
b V = xsup2 - 5xy + ysup3 S (23) T (-198 297)
c V = ln (xsup2y) S (-2 4) T (-197 396)
9 Tentukanlah dz dari z = log sin (xsup2 ysup2 -1)
10
Berapakah perubahan total dw dari ( 21 ) menjadi (201 098) untuk w = f(xy)
dengan w = xsup2 - 2xy + 3ysup2
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 713
983095
BAB II
DIFERENSIAL FUNGSI DARI FUNGSI
Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komponen satu peubah sekarang sudah mulai
dikenal semua pembacajika y = f (x (t))dengan f dan kedua fungsi yang terdiferensialkan
maka
=
`untuk memperoleh perluasan fungsi-fungsi beberapa peubah dapat dilihat pada versi berikut
Versi pertama
Jika z = f (xy) dengan x dan y adalah fungsi tmaka ditanyakan
Teorema A ( Aturan Rantai )
Andaikan X = x (t) dan Y = y (t) terdiferensialkan di t dan andaikan z = f (x(t) y(t))
terdiferensialkan di t dan
=
+
Bukti
Untuk penyederhanaan cara penulisan
andaikan P = (xy) ∆ P = (∆ x ∆ y) dan ∆ z = f ( P +
∆ P ) ndash f(P) maka ∆ z = f (P + ∆ P) ndash f (P) = nabla f (P)
∆ P + ∆ (∆ P)(1)
Dengan (∆ P ) rarr 0 jika ∆ P rarr 0
Jika kedua ruas dibagi dengan ∆ t maka
(1)
∆∆ = f ( P )
∆∆ + ( P )
∆∆ +
∆∆ ( ∆ )
Sekarang
∆∆ = (∆)(∆)
∆ = ∆∆ + ∆
∆
Data yang belakangan mendekati
+
983080983160983083
983120983080983160983084983161983081
983128 983128983083
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 813
983096
Jika ∆ rarr 0 ∶ ∆ dan ∆ keduanya mendekati 0 ( untuk x (t) dan y (t) kontinu
terdiferensialkan ) hal ini dapat di simpulkan jika ∆ rarr 0 Sebagai akibatnya pada saat kita
biarkan jika ∆ rarr pada (1) maka akan kita dapat
=
( )
()
Contoh 2 1 1
Diketahui z = x3 y
x = 2t
y = t2
Ditanya Tentukan
Jawab =
+
= ( 3 x2
y2 ) ( 2 ) + ( 2x
2y ) ( 2t )
= 6 ( 2t )2 ( t
2 )
2 + 2 ( 2t )
3 t
2 2t
= 24 t2 + 32 t
6
= 56 t6
Contoh 2 1 2
Sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi radiusnya bertambahpada laju 01 dan
fungsinya bertambah pada laju 04 Tentukan waktu pada saat radius sama dengn 10
cm dan tinngi sama dengan 200cm
Jawab
Rumus total permukaan tabung S = 2π r h + 2π r2
=
+
= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )
Pada r = 10 dan h = 200
= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )
= 44π + 8π = 52π 2
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 913
983097
Cara kedua
Jika z = f ( x y ) dengan X = x ( s t ) dan Y = y ( s t ) maka yang di nyatakan dan
Teorema B (Aturan Rantai )
Misalkan X = x ( s t ) dan Y= y ( s t ) mempunyai turunan pertama di (s t ) dan
misalkan z = f ( x y ) terdiferensialkan di ( ( ) ( )) maka z = f ( x ( s t ) y ( s t ))
mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh
983080 983145 983081 983101
983083
983080 983145983145 983081
983101
983083
Bukti Jika s di pertahankan tetap maka x ( s t ) dan y ( s t ) menjadi fungsi ndash fungsi t saja
yang bearti bahwa teorema A berlaku Pada waktu kita menggunakan dho menggantikan
lambang d untuk menunjukkan bahwa s tetap kita peroleh rumus ( ii ) untuk ) Rumus
untuk diperoleh dengan cara serupa mempertahankan t tetap
Contoh 213
Diketahui w =22 y xe
+
x = s sin t
y = t sin s
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= 2x
22 y xe
+ S cos t + 2y22 y x
e + Sin s
t
z
part
part= ( 2 2
s sin t cos t + 2t sin s sin s )22 y x
e +
t
z
part
part= ( 2
s sin 2t + 2t sin 2 s ) )sinsin( 2222 st t se
+
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1013
983089983088
Contoh 214
Diketahui z = 3 22 y x minus
x = 2s + 7t
y = 5 st
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= (6x) (7) + (-2y) (5s)
t
z
part
part
= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)
t
z
part
part= 84 s + 294 t ndash 50 2
s t
Berikut ini jika kita bertemu dengan keadaan lain seperti skema berikut
s
x
part
part s
x
z
part
part x
Zt
x
part
part
t
y
z
part
part
ds
dy
y s
Maka diperoleh rumusan sebagai berikut
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1113
983089983089
Contoh 215
Diketahui z = 2 x
x = 3u + 2v
y = 5v
Ditanya v
z
part
part
Jawab
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
dv
dy
y
y x
v
vu
x
y x
v
z
part
part+
part
+part
part
part=
part
part )()23()(33
v
z
part
part = 3 2 x y(2) + 3
x (5) = 6 2 x y + 5 3
x
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1213
983089983090
Soal ndash soal latihan 2
1 Tentukanlah dengan menggunakan aturan rantai tuliskan jawaban akhir anda
dalam bentuk t
a
w = x
2
y
3
x = t
2
y = t
3
b w = e
x cos y + e
y sin x x = 4t 2t
c w = cos (xy2z) x = t
3 y = tsup2 z = t
d w = x2
y ndash y2 x x = sin t dan y = cos t
2 Tentukan dengan menggunakan jawaban aturan rantai Tuliskan jawaban dengan
akhir anda dalam bentuk s dan t
a g = x2 y x = s-t y = st
b
g = + + sup2 x = s ndash t y = s+t z = tsup2 + 2s
c g = ex+yz
x = s+t y = s+t z = t2 ndash 2s
3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s
2t tentukan
s = -1 t = 2
4 Jika w = u2
tan v u = x dan v = x tentukanlah x =
5 Jika w = xy2 ndash z
2 x = p cos sin
y = p sin sin z = p cos
tentukanlah p = 3 = =
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1313
983089983091
DAFTAR PUSTAKA
Frank Ayres 1972 Diferensial and Integral Calculus Newyork McGraw Hill
Gazali Wikaria 2005 Kalkulus Lanjut Graha Ilmu
Riogialng RH 1979 Persamaan diferensial Bina Cipta
Soemartojo Noenik 1990 Kalkulus Lanjutan Jakarta Erlangga
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 613
983094
Soal-soal latihan 1
1 Jika z = 3x2
- 2xy + 5ysup2 maka tentukan dz
2 Diberikan r = x4-x
3 y + x
2y
2 - x
2y
2 +y
4 tentukanlah dr
3 Tentukan df jika f = x2
ey
4 Diberikan z = arc cos ( x ne 0 ) maka tentukanlah d
5 Jika g = exy
tentukanlah dg
6 Diketahui w = 3xsup3 - xysup2 dan w = f() berubah dari (12) menjadi (102 198)
Berapakah perubahan total dw
7 Sebuah balok kayu memiliki ukuran 6 12 dan 20 cm dengan kemungkinan kesalahan
05 cm dalam pengukuran Taksirlah kesalahan terbesar dalam luas permukaan balok
dan peresentasikan kesalahan dalam luas permukaan disebabkan karena tiap-tiap
pengukuran
8 Gunakan deferensial total dz untuk menghampiri pengukuran V jika ( xy) bergerak
dari S ke T
a V = 2x2ysup3 S (1-1) T (099 -102)
b V = xsup2 - 5xy + ysup3 S (23) T (-198 297)
c V = ln (xsup2y) S (-2 4) T (-197 396)
9 Tentukanlah dz dari z = log sin (xsup2 ysup2 -1)
10
Berapakah perubahan total dw dari ( 21 ) menjadi (201 098) untuk w = f(xy)
dengan w = xsup2 - 2xy + 3ysup2
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 713
983095
BAB II
DIFERENSIAL FUNGSI DARI FUNGSI
Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komponen satu peubah sekarang sudah mulai
dikenal semua pembacajika y = f (x (t))dengan f dan kedua fungsi yang terdiferensialkan
maka
=
`untuk memperoleh perluasan fungsi-fungsi beberapa peubah dapat dilihat pada versi berikut
Versi pertama
Jika z = f (xy) dengan x dan y adalah fungsi tmaka ditanyakan
Teorema A ( Aturan Rantai )
Andaikan X = x (t) dan Y = y (t) terdiferensialkan di t dan andaikan z = f (x(t) y(t))
terdiferensialkan di t dan
=
+
Bukti
Untuk penyederhanaan cara penulisan
andaikan P = (xy) ∆ P = (∆ x ∆ y) dan ∆ z = f ( P +
∆ P ) ndash f(P) maka ∆ z = f (P + ∆ P) ndash f (P) = nabla f (P)
∆ P + ∆ (∆ P)(1)
Dengan (∆ P ) rarr 0 jika ∆ P rarr 0
Jika kedua ruas dibagi dengan ∆ t maka
(1)
∆∆ = f ( P )
∆∆ + ( P )
∆∆ +
∆∆ ( ∆ )
Sekarang
∆∆ = (∆)(∆)
∆ = ∆∆ + ∆
∆
Data yang belakangan mendekati
+
983080983160983083
983120983080983160983084983161983081
983128 983128983083
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 813
983096
Jika ∆ rarr 0 ∶ ∆ dan ∆ keduanya mendekati 0 ( untuk x (t) dan y (t) kontinu
terdiferensialkan ) hal ini dapat di simpulkan jika ∆ rarr 0 Sebagai akibatnya pada saat kita
biarkan jika ∆ rarr pada (1) maka akan kita dapat
=
( )
()
Contoh 2 1 1
Diketahui z = x3 y
x = 2t
y = t2
Ditanya Tentukan
Jawab =
+
= ( 3 x2
y2 ) ( 2 ) + ( 2x
2y ) ( 2t )
= 6 ( 2t )2 ( t
2 )
2 + 2 ( 2t )
3 t
2 2t
= 24 t2 + 32 t
6
= 56 t6
Contoh 2 1 2
Sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi radiusnya bertambahpada laju 01 dan
fungsinya bertambah pada laju 04 Tentukan waktu pada saat radius sama dengn 10
cm dan tinngi sama dengan 200cm
Jawab
Rumus total permukaan tabung S = 2π r h + 2π r2
=
+
= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )
Pada r = 10 dan h = 200
= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )
= 44π + 8π = 52π 2
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 913
983097
Cara kedua
Jika z = f ( x y ) dengan X = x ( s t ) dan Y = y ( s t ) maka yang di nyatakan dan
Teorema B (Aturan Rantai )
Misalkan X = x ( s t ) dan Y= y ( s t ) mempunyai turunan pertama di (s t ) dan
misalkan z = f ( x y ) terdiferensialkan di ( ( ) ( )) maka z = f ( x ( s t ) y ( s t ))
mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh
983080 983145 983081 983101
983083
983080 983145983145 983081
983101
983083
Bukti Jika s di pertahankan tetap maka x ( s t ) dan y ( s t ) menjadi fungsi ndash fungsi t saja
yang bearti bahwa teorema A berlaku Pada waktu kita menggunakan dho menggantikan
lambang d untuk menunjukkan bahwa s tetap kita peroleh rumus ( ii ) untuk ) Rumus
untuk diperoleh dengan cara serupa mempertahankan t tetap
Contoh 213
Diketahui w =22 y xe
+
x = s sin t
y = t sin s
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= 2x
22 y xe
+ S cos t + 2y22 y x
e + Sin s
t
z
part
part= ( 2 2
s sin t cos t + 2t sin s sin s )22 y x
e +
t
z
part
part= ( 2
s sin 2t + 2t sin 2 s ) )sinsin( 2222 st t se
+
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1013
983089983088
Contoh 214
Diketahui z = 3 22 y x minus
x = 2s + 7t
y = 5 st
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= (6x) (7) + (-2y) (5s)
t
z
part
part
= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)
t
z
part
part= 84 s + 294 t ndash 50 2
s t
Berikut ini jika kita bertemu dengan keadaan lain seperti skema berikut
s
x
part
part s
x
z
part
part x
Zt
x
part
part
t
y
z
part
part
ds
dy
y s
Maka diperoleh rumusan sebagai berikut
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1113
983089983089
Contoh 215
Diketahui z = 2 x
x = 3u + 2v
y = 5v
Ditanya v
z
part
part
Jawab
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
dv
dy
y
y x
v
vu
x
y x
v
z
part
part+
part
+part
part
part=
part
part )()23()(33
v
z
part
part = 3 2 x y(2) + 3
x (5) = 6 2 x y + 5 3
x
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1213
983089983090
Soal ndash soal latihan 2
1 Tentukanlah dengan menggunakan aturan rantai tuliskan jawaban akhir anda
dalam bentuk t
a
w = x
2
y
3
x = t
2
y = t
3
b w = e
x cos y + e
y sin x x = 4t 2t
c w = cos (xy2z) x = t
3 y = tsup2 z = t
d w = x2
y ndash y2 x x = sin t dan y = cos t
2 Tentukan dengan menggunakan jawaban aturan rantai Tuliskan jawaban dengan
akhir anda dalam bentuk s dan t
a g = x2 y x = s-t y = st
b
g = + + sup2 x = s ndash t y = s+t z = tsup2 + 2s
c g = ex+yz
x = s+t y = s+t z = t2 ndash 2s
3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s
2t tentukan
s = -1 t = 2
4 Jika w = u2
tan v u = x dan v = x tentukanlah x =
5 Jika w = xy2 ndash z
2 x = p cos sin
y = p sin sin z = p cos
tentukanlah p = 3 = =
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1313
983089983091
DAFTAR PUSTAKA
Frank Ayres 1972 Diferensial and Integral Calculus Newyork McGraw Hill
Gazali Wikaria 2005 Kalkulus Lanjut Graha Ilmu
Riogialng RH 1979 Persamaan diferensial Bina Cipta
Soemartojo Noenik 1990 Kalkulus Lanjutan Jakarta Erlangga
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 713
983095
BAB II
DIFERENSIAL FUNGSI DARI FUNGSI
Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komponen satu peubah sekarang sudah mulai
dikenal semua pembacajika y = f (x (t))dengan f dan kedua fungsi yang terdiferensialkan
maka
=
`untuk memperoleh perluasan fungsi-fungsi beberapa peubah dapat dilihat pada versi berikut
Versi pertama
Jika z = f (xy) dengan x dan y adalah fungsi tmaka ditanyakan
Teorema A ( Aturan Rantai )
Andaikan X = x (t) dan Y = y (t) terdiferensialkan di t dan andaikan z = f (x(t) y(t))
terdiferensialkan di t dan
=
+
Bukti
Untuk penyederhanaan cara penulisan
andaikan P = (xy) ∆ P = (∆ x ∆ y) dan ∆ z = f ( P +
∆ P ) ndash f(P) maka ∆ z = f (P + ∆ P) ndash f (P) = nabla f (P)
∆ P + ∆ (∆ P)(1)
Dengan (∆ P ) rarr 0 jika ∆ P rarr 0
Jika kedua ruas dibagi dengan ∆ t maka
(1)
∆∆ = f ( P )
∆∆ + ( P )
∆∆ +
∆∆ ( ∆ )
Sekarang
∆∆ = (∆)(∆)
∆ = ∆∆ + ∆
∆
Data yang belakangan mendekati
+
983080983160983083
983120983080983160983084983161983081
983128 983128983083
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 813
983096
Jika ∆ rarr 0 ∶ ∆ dan ∆ keduanya mendekati 0 ( untuk x (t) dan y (t) kontinu
terdiferensialkan ) hal ini dapat di simpulkan jika ∆ rarr 0 Sebagai akibatnya pada saat kita
biarkan jika ∆ rarr pada (1) maka akan kita dapat
=
( )
()
Contoh 2 1 1
Diketahui z = x3 y
x = 2t
y = t2
Ditanya Tentukan
Jawab =
+
= ( 3 x2
y2 ) ( 2 ) + ( 2x
2y ) ( 2t )
= 6 ( 2t )2 ( t
2 )
2 + 2 ( 2t )
3 t
2 2t
= 24 t2 + 32 t
6
= 56 t6
Contoh 2 1 2
Sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi radiusnya bertambahpada laju 01 dan
fungsinya bertambah pada laju 04 Tentukan waktu pada saat radius sama dengn 10
cm dan tinngi sama dengan 200cm
Jawab
Rumus total permukaan tabung S = 2π r h + 2π r2
=
+
= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )
Pada r = 10 dan h = 200
= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )
= 44π + 8π = 52π 2
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 913
983097
Cara kedua
Jika z = f ( x y ) dengan X = x ( s t ) dan Y = y ( s t ) maka yang di nyatakan dan
Teorema B (Aturan Rantai )
Misalkan X = x ( s t ) dan Y= y ( s t ) mempunyai turunan pertama di (s t ) dan
misalkan z = f ( x y ) terdiferensialkan di ( ( ) ( )) maka z = f ( x ( s t ) y ( s t ))
mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh
983080 983145 983081 983101
983083
983080 983145983145 983081
983101
983083
Bukti Jika s di pertahankan tetap maka x ( s t ) dan y ( s t ) menjadi fungsi ndash fungsi t saja
yang bearti bahwa teorema A berlaku Pada waktu kita menggunakan dho menggantikan
lambang d untuk menunjukkan bahwa s tetap kita peroleh rumus ( ii ) untuk ) Rumus
untuk diperoleh dengan cara serupa mempertahankan t tetap
Contoh 213
Diketahui w =22 y xe
+
x = s sin t
y = t sin s
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= 2x
22 y xe
+ S cos t + 2y22 y x
e + Sin s
t
z
part
part= ( 2 2
s sin t cos t + 2t sin s sin s )22 y x
e +
t
z
part
part= ( 2
s sin 2t + 2t sin 2 s ) )sinsin( 2222 st t se
+
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1013
983089983088
Contoh 214
Diketahui z = 3 22 y x minus
x = 2s + 7t
y = 5 st
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= (6x) (7) + (-2y) (5s)
t
z
part
part
= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)
t
z
part
part= 84 s + 294 t ndash 50 2
s t
Berikut ini jika kita bertemu dengan keadaan lain seperti skema berikut
s
x
part
part s
x
z
part
part x
Zt
x
part
part
t
y
z
part
part
ds
dy
y s
Maka diperoleh rumusan sebagai berikut
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1113
983089983089
Contoh 215
Diketahui z = 2 x
x = 3u + 2v
y = 5v
Ditanya v
z
part
part
Jawab
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
dv
dy
y
y x
v
vu
x
y x
v
z
part
part+
part
+part
part
part=
part
part )()23()(33
v
z
part
part = 3 2 x y(2) + 3
x (5) = 6 2 x y + 5 3
x
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1213
983089983090
Soal ndash soal latihan 2
1 Tentukanlah dengan menggunakan aturan rantai tuliskan jawaban akhir anda
dalam bentuk t
a
w = x
2
y
3
x = t
2
y = t
3
b w = e
x cos y + e
y sin x x = 4t 2t
c w = cos (xy2z) x = t
3 y = tsup2 z = t
d w = x2
y ndash y2 x x = sin t dan y = cos t
2 Tentukan dengan menggunakan jawaban aturan rantai Tuliskan jawaban dengan
akhir anda dalam bentuk s dan t
a g = x2 y x = s-t y = st
b
g = + + sup2 x = s ndash t y = s+t z = tsup2 + 2s
c g = ex+yz
x = s+t y = s+t z = t2 ndash 2s
3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s
2t tentukan
s = -1 t = 2
4 Jika w = u2
tan v u = x dan v = x tentukanlah x =
5 Jika w = xy2 ndash z
2 x = p cos sin
y = p sin sin z = p cos
tentukanlah p = 3 = =
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1313
983089983091
DAFTAR PUSTAKA
Frank Ayres 1972 Diferensial and Integral Calculus Newyork McGraw Hill
Gazali Wikaria 2005 Kalkulus Lanjut Graha Ilmu
Riogialng RH 1979 Persamaan diferensial Bina Cipta
Soemartojo Noenik 1990 Kalkulus Lanjutan Jakarta Erlangga
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 813
983096
Jika ∆ rarr 0 ∶ ∆ dan ∆ keduanya mendekati 0 ( untuk x (t) dan y (t) kontinu
terdiferensialkan ) hal ini dapat di simpulkan jika ∆ rarr 0 Sebagai akibatnya pada saat kita
biarkan jika ∆ rarr pada (1) maka akan kita dapat
=
( )
()
Contoh 2 1 1
Diketahui z = x3 y
x = 2t
y = t2
Ditanya Tentukan
Jawab =
+
= ( 3 x2
y2 ) ( 2 ) + ( 2x
2y ) ( 2t )
= 6 ( 2t )2 ( t
2 )
2 + 2 ( 2t )
3 t
2 2t
= 24 t2 + 32 t
6
= 56 t6
Contoh 2 1 2
Sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi radiusnya bertambahpada laju 01 dan
fungsinya bertambah pada laju 04 Tentukan waktu pada saat radius sama dengn 10
cm dan tinngi sama dengan 200cm
Jawab
Rumus total permukaan tabung S = 2π r h + 2π r2
=
+
= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )
Pada r = 10 dan h = 200
= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )
= 44π + 8π = 52π 2
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 913
983097
Cara kedua
Jika z = f ( x y ) dengan X = x ( s t ) dan Y = y ( s t ) maka yang di nyatakan dan
Teorema B (Aturan Rantai )
Misalkan X = x ( s t ) dan Y= y ( s t ) mempunyai turunan pertama di (s t ) dan
misalkan z = f ( x y ) terdiferensialkan di ( ( ) ( )) maka z = f ( x ( s t ) y ( s t ))
mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh
983080 983145 983081 983101
983083
983080 983145983145 983081
983101
983083
Bukti Jika s di pertahankan tetap maka x ( s t ) dan y ( s t ) menjadi fungsi ndash fungsi t saja
yang bearti bahwa teorema A berlaku Pada waktu kita menggunakan dho menggantikan
lambang d untuk menunjukkan bahwa s tetap kita peroleh rumus ( ii ) untuk ) Rumus
untuk diperoleh dengan cara serupa mempertahankan t tetap
Contoh 213
Diketahui w =22 y xe
+
x = s sin t
y = t sin s
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= 2x
22 y xe
+ S cos t + 2y22 y x
e + Sin s
t
z
part
part= ( 2 2
s sin t cos t + 2t sin s sin s )22 y x
e +
t
z
part
part= ( 2
s sin 2t + 2t sin 2 s ) )sinsin( 2222 st t se
+
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1013
983089983088
Contoh 214
Diketahui z = 3 22 y x minus
x = 2s + 7t
y = 5 st
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= (6x) (7) + (-2y) (5s)
t
z
part
part
= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)
t
z
part
part= 84 s + 294 t ndash 50 2
s t
Berikut ini jika kita bertemu dengan keadaan lain seperti skema berikut
s
x
part
part s
x
z
part
part x
Zt
x
part
part
t
y
z
part
part
ds
dy
y s
Maka diperoleh rumusan sebagai berikut
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1113
983089983089
Contoh 215
Diketahui z = 2 x
x = 3u + 2v
y = 5v
Ditanya v
z
part
part
Jawab
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
dv
dy
y
y x
v
vu
x
y x
v
z
part
part+
part
+part
part
part=
part
part )()23()(33
v
z
part
part = 3 2 x y(2) + 3
x (5) = 6 2 x y + 5 3
x
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1213
983089983090
Soal ndash soal latihan 2
1 Tentukanlah dengan menggunakan aturan rantai tuliskan jawaban akhir anda
dalam bentuk t
a
w = x
2
y
3
x = t
2
y = t
3
b w = e
x cos y + e
y sin x x = 4t 2t
c w = cos (xy2z) x = t
3 y = tsup2 z = t
d w = x2
y ndash y2 x x = sin t dan y = cos t
2 Tentukan dengan menggunakan jawaban aturan rantai Tuliskan jawaban dengan
akhir anda dalam bentuk s dan t
a g = x2 y x = s-t y = st
b
g = + + sup2 x = s ndash t y = s+t z = tsup2 + 2s
c g = ex+yz
x = s+t y = s+t z = t2 ndash 2s
3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s
2t tentukan
s = -1 t = 2
4 Jika w = u2
tan v u = x dan v = x tentukanlah x =
5 Jika w = xy2 ndash z
2 x = p cos sin
y = p sin sin z = p cos
tentukanlah p = 3 = =
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1313
983089983091
DAFTAR PUSTAKA
Frank Ayres 1972 Diferensial and Integral Calculus Newyork McGraw Hill
Gazali Wikaria 2005 Kalkulus Lanjut Graha Ilmu
Riogialng RH 1979 Persamaan diferensial Bina Cipta
Soemartojo Noenik 1990 Kalkulus Lanjutan Jakarta Erlangga
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 913
983097
Cara kedua
Jika z = f ( x y ) dengan X = x ( s t ) dan Y = y ( s t ) maka yang di nyatakan dan
Teorema B (Aturan Rantai )
Misalkan X = x ( s t ) dan Y= y ( s t ) mempunyai turunan pertama di (s t ) dan
misalkan z = f ( x y ) terdiferensialkan di ( ( ) ( )) maka z = f ( x ( s t ) y ( s t ))
mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh
983080 983145 983081 983101
983083
983080 983145983145 983081
983101
983083
Bukti Jika s di pertahankan tetap maka x ( s t ) dan y ( s t ) menjadi fungsi ndash fungsi t saja
yang bearti bahwa teorema A berlaku Pada waktu kita menggunakan dho menggantikan
lambang d untuk menunjukkan bahwa s tetap kita peroleh rumus ( ii ) untuk ) Rumus
untuk diperoleh dengan cara serupa mempertahankan t tetap
Contoh 213
Diketahui w =22 y xe
+
x = s sin t
y = t sin s
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= 2x
22 y xe
+ S cos t + 2y22 y x
e + Sin s
t
z
part
part= ( 2 2
s sin t cos t + 2t sin s sin s )22 y x
e +
t
z
part
part= ( 2
s sin 2t + 2t sin 2 s ) )sinsin( 2222 st t se
+
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1013
983089983088
Contoh 214
Diketahui z = 3 22 y x minus
x = 2s + 7t
y = 5 st
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= (6x) (7) + (-2y) (5s)
t
z
part
part
= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)
t
z
part
part= 84 s + 294 t ndash 50 2
s t
Berikut ini jika kita bertemu dengan keadaan lain seperti skema berikut
s
x
part
part s
x
z
part
part x
Zt
x
part
part
t
y
z
part
part
ds
dy
y s
Maka diperoleh rumusan sebagai berikut
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1113
983089983089
Contoh 215
Diketahui z = 2 x
x = 3u + 2v
y = 5v
Ditanya v
z
part
part
Jawab
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
dv
dy
y
y x
v
vu
x
y x
v
z
part
part+
part
+part
part
part=
part
part )()23()(33
v
z
part
part = 3 2 x y(2) + 3
x (5) = 6 2 x y + 5 3
x
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1213
983089983090
Soal ndash soal latihan 2
1 Tentukanlah dengan menggunakan aturan rantai tuliskan jawaban akhir anda
dalam bentuk t
a
w = x
2
y
3
x = t
2
y = t
3
b w = e
x cos y + e
y sin x x = 4t 2t
c w = cos (xy2z) x = t
3 y = tsup2 z = t
d w = x2
y ndash y2 x x = sin t dan y = cos t
2 Tentukan dengan menggunakan jawaban aturan rantai Tuliskan jawaban dengan
akhir anda dalam bentuk s dan t
a g = x2 y x = s-t y = st
b
g = + + sup2 x = s ndash t y = s+t z = tsup2 + 2s
c g = ex+yz
x = s+t y = s+t z = t2 ndash 2s
3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s
2t tentukan
s = -1 t = 2
4 Jika w = u2
tan v u = x dan v = x tentukanlah x =
5 Jika w = xy2 ndash z
2 x = p cos sin
y = p sin sin z = p cos
tentukanlah p = 3 = =
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1313
983089983091
DAFTAR PUSTAKA
Frank Ayres 1972 Diferensial and Integral Calculus Newyork McGraw Hill
Gazali Wikaria 2005 Kalkulus Lanjut Graha Ilmu
Riogialng RH 1979 Persamaan diferensial Bina Cipta
Soemartojo Noenik 1990 Kalkulus Lanjutan Jakarta Erlangga
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1013
983089983088
Contoh 214
Diketahui z = 3 22 y x minus
x = 2s + 7t
y = 5 st
Ditanya t
z
part
part
Jawab
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
t
z
part
part= (6x) (7) + (-2y) (5s)
t
z
part
part
= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)
t
z
part
part= 84 s + 294 t ndash 50 2
s t
Berikut ini jika kita bertemu dengan keadaan lain seperti skema berikut
s
x
part
part s
x
z
part
part x
Zt
x
part
part
t
y
z
part
part
ds
dy
y s
Maka diperoleh rumusan sebagai berikut
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1113
983089983089
Contoh 215
Diketahui z = 2 x
x = 3u + 2v
y = 5v
Ditanya v
z
part
part
Jawab
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
dv
dy
y
y x
v
vu
x
y x
v
z
part
part+
part
+part
part
part=
part
part )()23()(33
v
z
part
part = 3 2 x y(2) + 3
x (5) = 6 2 x y + 5 3
x
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1213
983089983090
Soal ndash soal latihan 2
1 Tentukanlah dengan menggunakan aturan rantai tuliskan jawaban akhir anda
dalam bentuk t
a
w = x
2
y
3
x = t
2
y = t
3
b w = e
x cos y + e
y sin x x = 4t 2t
c w = cos (xy2z) x = t
3 y = tsup2 z = t
d w = x2
y ndash y2 x x = sin t dan y = cos t
2 Tentukan dengan menggunakan jawaban aturan rantai Tuliskan jawaban dengan
akhir anda dalam bentuk s dan t
a g = x2 y x = s-t y = st
b
g = + + sup2 x = s ndash t y = s+t z = tsup2 + 2s
c g = ex+yz
x = s+t y = s+t z = t2 ndash 2s
3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s
2t tentukan
s = -1 t = 2
4 Jika w = u2
tan v u = x dan v = x tentukanlah x =
5 Jika w = xy2 ndash z
2 x = p cos sin
y = p sin sin z = p cos
tentukanlah p = 3 = =
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1313
983089983091
DAFTAR PUSTAKA
Frank Ayres 1972 Diferensial and Integral Calculus Newyork McGraw Hill
Gazali Wikaria 2005 Kalkulus Lanjut Graha Ilmu
Riogialng RH 1979 Persamaan diferensial Bina Cipta
Soemartojo Noenik 1990 Kalkulus Lanjutan Jakarta Erlangga
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1113
983089983089
Contoh 215
Diketahui z = 2 x
x = 3u + 2v
y = 5v
Ditanya v
z
part
part
Jawab
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
part
part
part
part+
part
part
part
part=
part
part
dv
dy
y
y x
v
vu
x
y x
v
z
part
part+
part
+part
part
part=
part
part )()23()(33
v
z
part
part = 3 2 x y(2) + 3
x (5) = 6 2 x y + 5 3
x
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1213
983089983090
Soal ndash soal latihan 2
1 Tentukanlah dengan menggunakan aturan rantai tuliskan jawaban akhir anda
dalam bentuk t
a
w = x
2
y
3
x = t
2
y = t
3
b w = e
x cos y + e
y sin x x = 4t 2t
c w = cos (xy2z) x = t
3 y = tsup2 z = t
d w = x2
y ndash y2 x x = sin t dan y = cos t
2 Tentukan dengan menggunakan jawaban aturan rantai Tuliskan jawaban dengan
akhir anda dalam bentuk s dan t
a g = x2 y x = s-t y = st
b
g = + + sup2 x = s ndash t y = s+t z = tsup2 + 2s
c g = ex+yz
x = s+t y = s+t z = t2 ndash 2s
3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s
2t tentukan
s = -1 t = 2
4 Jika w = u2
tan v u = x dan v = x tentukanlah x =
5 Jika w = xy2 ndash z
2 x = p cos sin
y = p sin sin z = p cos
tentukanlah p = 3 = =
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1313
983089983091
DAFTAR PUSTAKA
Frank Ayres 1972 Diferensial and Integral Calculus Newyork McGraw Hill
Gazali Wikaria 2005 Kalkulus Lanjut Graha Ilmu
Riogialng RH 1979 Persamaan diferensial Bina Cipta
Soemartojo Noenik 1990 Kalkulus Lanjutan Jakarta Erlangga
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1213
983089983090
Soal ndash soal latihan 2
1 Tentukanlah dengan menggunakan aturan rantai tuliskan jawaban akhir anda
dalam bentuk t
a
w = x
2
y
3
x = t
2
y = t
3
b w = e
x cos y + e
y sin x x = 4t 2t
c w = cos (xy2z) x = t
3 y = tsup2 z = t
d w = x2
y ndash y2 x x = sin t dan y = cos t
2 Tentukan dengan menggunakan jawaban aturan rantai Tuliskan jawaban dengan
akhir anda dalam bentuk s dan t
a g = x2 y x = s-t y = st
b
g = + + sup2 x = s ndash t y = s+t z = tsup2 + 2s
c g = ex+yz
x = s+t y = s+t z = t2 ndash 2s
3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s
2t tentukan
s = -1 t = 2
4 Jika w = u2
tan v u = x dan v = x tentukanlah x =
5 Jika w = xy2 ndash z
2 x = p cos sin
y = p sin sin z = p cos
tentukanlah p = 3 = =
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1313
983089983091
DAFTAR PUSTAKA
Frank Ayres 1972 Diferensial and Integral Calculus Newyork McGraw Hill
Gazali Wikaria 2005 Kalkulus Lanjut Graha Ilmu
Riogialng RH 1979 Persamaan diferensial Bina Cipta
Soemartojo Noenik 1990 Kalkulus Lanjutan Jakarta Erlangga
7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi
httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 1313
983089983091
DAFTAR PUSTAKA
Frank Ayres 1972 Diferensial and Integral Calculus Newyork McGraw Hill
Gazali Wikaria 2005 Kalkulus Lanjut Graha Ilmu
Riogialng RH 1979 Persamaan diferensial Bina Cipta
Soemartojo Noenik 1990 Kalkulus Lanjutan Jakarta Erlangga