differenciálegyenletek És dinamikai rendszerek 2

7/25/2019 Differencilegyenletek s Dinamikai Rendszerek 2

1/188

Differencialegyenletek es dinamikai rendszerek

Simon L. Peter

Eotvos Lorand Tudomanyegyetem

Matematikai Intezet

Alkalmazott Analzis es Szamtasmatematikai Tanszek

2012


2/188

Tartalomjegyzek

1. Bevezetes 4

1.1. Differencialegyenletek kvalitatv elmelete es a dinamikai rendszerek . . . 61.2. A jegyzetben targyalt temakorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Dinamikai rendszerek topologikus osztalyozasa 112.1. Dinamikai rendszerek ekvivalenciai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Diszkret ideju dinamikai rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2. Folytonos ideju dinamikai rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Linearis rendszerekCk-osztalyozasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3. Linearis rendszerekC0-osztalyozasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1. Folytonos ideju eset n= 1 dimenzioban. . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2. Diszkret ideju eset n= 1 dimenzioban . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.3. Folytonos ideju eset n-dimenzioban . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.4. Diszkret ideju eset n-dimenzioban . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Lokalis osztalyozas, normalformaelmelet es a HartmanGrobman-tetel 343.1. HartmanGrobman-tetel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.1. A bizonytas 1. lepese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.2. A bizonytas 2. lepese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.3. A bizonytas 3. lepese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1.4. A bizonytas 4. lepese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2. Normalformak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4. Stabil, instabil es centralis sokasag tetel 524.1. Stabil es instabil sokasag tetel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.1. Altalanos eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.2. Globalis sokasagok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2. Centralis sokasag tetel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.1. Altalanos megkozeltes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1


3/188

4.2.2. A centralis sokasag approximacioja . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5. Globalis vizsgalat, periodikus megoldasok, vektormezo indexe 695.1. A globalis faziskep vizsgalata a lokalis faziskepek segtsegevel. . . . . . . 69

5.1.1. Globalis faziskep 1 dimenzioban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.1.2. Globalis faziskep 2 dimenzioban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2. Periodikus megoldasok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2.1. Periodikus megoldasok letezese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2.2. Lokalis vizsgalat periodikus megoldasok korul . . . . . . . . . . . 91

5.3. Indexelmelet alkalmazasa ketdimenzios rendszerekre . . . . . . . . . . . . 97

5.4. Vegtelenbeli viselkedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.5. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6. A bifurkacioelmelet alap jai es strukturalis stabilitas 1086.1. Elemi bifurkaciok normalformaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2. Bifurkacio megjelenesenek szukseges feltetelei . . . . . . . . . . . . . . . 1216.3. Strukturalis stabilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.3.1. Egydimenzios rendszerek strukturalis stabilitasa . . . . . . . . . . 1276.3.2. Strukturalis stabilitas tobb dimenzios rendszerekben. . . . . . . . 130

7. Egy kodimenzios bifurkaciok, a nyereg-csomo es az AndronovHopf-

bifurkacio 1327.1. Nyereg-csomo bifurkacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2. AndronovHopf-bifurkacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.2.1. A Ljapunov-fuggveny eloalltasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.2.2. AndronovHopf-bifurkacio linearis parameterfugges eseten . . . . 1417.2.3. AndronovHopf-bifurkacio altalanos parameterfugges eseten Jordan-

normalalaku linearis resszel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.2.4. AndronovHopf-bifurkacio tetszoleges parameterfugges eseten . . 1457.2.5. Pelda az AndronovHopf-bifurkacio meghatarozasara . . . . . . . 147

7.3. Egy kodimenzios bifurkacios gorbek meghatarozasa ketparameteres rend-

szerekben a parametrikus reprezentacio modszerevel . . . . . . . . . . . . 1507.3.1. A parametrikus reprezentacio modszere . . . . . . . . . . . . . . . 1507.3.2. Bifurkacios gorbek ketparameteres rendszerekben . . . . . . . . . 156

8. Diszkret dinamikai rendszerek, szimbolikus dinamika, kaotikus viselke-des 1608.1. Diszkret dinamikai rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.1.1. A logisztikus lekepezes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.1.2. Kaotikus sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

2


4/188

8.1.3. Szimbolikus dinamika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

9. Reakcio-diffuzio egyenletek 1709.1. Reakcio-diffuzio egyenletek stacionarius megoldasai . . . . . . . . . . . . 1719.2. Reakcio-diffuzio egyenletek utazo hullam megoldasai. . . . . . . . . . . . 173

9.2.1. Utazo hullamok letezese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.2.2. Utazo hullamok stabilitasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Hivatkozasok 186

3


5/188

1. fejezet

Bevezetes

Eloszo

A jelen jegyzet nagyreszt azokon az eloadasokon alapul, amelyeket a szerzo az Eotvos Lo-rand Tudomanyegyetemen tartott felsobb eves matematikus es alkalmazott matematikushallgatok szamara a bevezeto differencialegyenlet eloadast kovetoen, differencialegyenle-tek kvalitatv elmeleterol es dinamikai (dinamikus) rendszerekrol. Ennek megfeleloenelsosorban ezen alkalmazott matematikus es matematikus hallgatokat celoztuk meg vele,de nagyon remeljuk, hogy mas egyetemek matematikus es differencialegyenleteket alkal-mazo nem matematikus hallgatoi is haszonnal olvassak majd.

A jegyzet olvasasahoz tehat elofeltetel a differencialegyenletek alapveto ismerete, el-sosorban nehany egyszeru egyenlet megoldasanak modszere, a linearis rendszerek elme-letenek alapjai es egyszeru ketdimenzios faziskepek meghatarozasa. Nem targyaljuk ajegyzetben az alapveto egzisztencia es unicitas teteleket sem, (hiszen ezek az ELTE-n azalapkurzusban sorra kerulnek), de ezek ismerete nelkul is erthetok a jegyzetben targyalttemak. A bevezetesben alabb tomorenosszefoglaljuk a bevezeto differencialegyenlet kur-zusban targyalt fontosabb fogalmakat es teteleket, az erdeklodo olvasonak ajanljuk a[26] konyvet, a http://www.cs.elte.hu/ simonp/kozdiff.pdf oldalon elerheto elektronikusjegyzetet, vagy mas bevezeto jellegu differencialegyenlet jegyzetet.

Koszonetnyilvantas

A szerzo koszonetet mond az Eotvos Lorand Tudomanyegyetem Matematikai Intezetebenaz Alkalmazott Analzis es Szamtasmatematikai Tanszeken dolgozo kollegainak, akiktamogattak a dinamikai rendszerek es differencialegyenletek kurzus megindtasat es ajegyzet megrasat.

Koszonet illeti a jegyzet lektorat Nagy Balint tanszekvezeto foiskolai docenst, akimindenre kiterjedo figyelemmel igyekezett javtani a hibakat, es elosegteni az erthetose-

4


6/188

get, es a konzisztenciat.

A jegyzet a TAMOP-4.1.2.A/1-11/1 palyazat, Interdiszciplinaris es komp-lex megkozeltesu digitalis tananyagfejlesztes a termeszettudomanyi kepzesiterulet mesterszakjaihoz cmu projektjenek kereteben keszult.

5


7/188

1.1. Differencialegyenletek kvalitatv elmelete es a

dinamikai rendszerek

A differencialegyenletek elmelete a matematikanak tobb mint 300 eves terulete, melyetmindig az alkalmazasok felol erkezo kihvasok termekenytettek meg, es amely ezt tovabb-adva a matematika tobb teruletenek letrejottet motivalta. Nem celunk errol a hatalmasteruletrol atfogo kepet adni, azonban a dinamikai rendszerek elmeletevel valo kapcsola-tara szeretnenk ravilagtani. A szerzo felfogasaban a differencialegyenletek vizsgalatavalkapcsolatos matematikai eredmenyek az alabbi harom szempont szerint csoportosthatok.

A megoldasok eloalltasa keplettel, vagy numerikus kozeltessel. A megoldas letezesenek es egyertelmusegenek bizonytasa. A megoldas tulajdonsagainak jellemzese a megoldas kepletenek ismerete nelkul.

Az elso terulet iranyaban nyilvanvalo igeny jelentkezik az alkalmazasok felol. Erdemesmegjegyezni, hogy az utobbi 50 evben a hangsuly a numerikus kozeltesen van, ebbol ku-lon tudomanyterulet nott ki, a differencialegyenletek numerikus modszereinek vizsgalata.A masodik kerdes a kozonseges differencialegyenletekre vonatkozo kezdeti ertek felada-tokra vonatkozoan nagyon szepen megvalaszolhato (motivalva normalt terbeli lekepeze-sek fixpont teteleinek kifejleszteset), ezert a mai kutatasok ezzel kapcsolatos egyik nagyterulete a nemlinearis egyenletekre vonatkozo peremertek-feladatok megoldasai pontosszamanak vizsgalata. Megjegyezzuk, hogy parcialis differencialegyenletekre vonatkozoanaz egzisztencia es unicitas kerdese messze nem tisztazhato ilyen egyszeruen, ezert ez mais nagyon aktv kutatasi terulet. A fenti harmadik temakor vizsgalatanak kezdetei aXIX. szazad vegeig nyulnak vissza, amikor igeny mutatkozott nemlinearis kozonsegesdifferencialegyenletek vizsgalatara, es vilagossa valt, hogy ezek keplettel valo megoldasa,csak nagyon specialis esetben varhato. Talan Poincare nevehez kothetok az ugynevezettkvalitatv elmelet kezdetei, amikor azt kezdtek vizsgalni, hogy a megoldas kepletenekismerete nelkul, hogyan hatarozhatok meg megis a megoldas bizonyos tulajdonsagai. Aparadigmavaltast egyszeruen szemleltethetjuk az x = x, y =y rendszer peldajan. Arendszer megoldasa termeszetesen egyszeruen eloallthato keplettel, a hagyomanyos meg-

kozeltes szerint ezen rendszert latva a matematikus valasza: x(t) = etx0, y(t) = ety0.Ehhez kepest a kvalitatv vizsgalat ehhez a rendszerhez az 1.1. abran lathato faziskepetadja valaszkent, amely ugyan a megoldasok idofuggeset nem adja meg, viszont szamosfontos tulajdonsaga leolvashato rola. A rendszerre tehat elsosorban mint dinamikai rend-szere gondolunk, melynek a palyait szeretnenk jellemezni, foleg geometriai szempontbol.Ezzel a differencialegyenletek kvalitatv elmelete es a dinamikai, vagy mas szoval dina-mikus rendszerek elmelete szoros kapcsolatba kerult, melyet az is jelez, hogy a moderntankonyvek cmeben a differencialegyenletek szo mellett legtobbszor a dinamikai rendszerkifejezes is szerepel. A kvalitatv vizsgalat fejlodesehez jelentos mertekben hozzajarult

6


8/188

1.1. abra. Az x= x, y =

y rendszer faziskepe, az ugynevezett nyereg.

az 1960-as evektol kezdodoen a kaotikus viselkedest mutato rendszerek felfedezese es afaziskepek szamtogeppel torteno numerikus eloalltasanak lehetosege. Mara a kvalita-tv vizsgalat alapveto eszkozeinek hasznalata rutinna valt, nemcsak a fizikus es mernok,hanem a vegyesz, biologus es kozgazdasz hallgatok is mar egyetemi tanulmanyaik soranmegismerkednek ezekkel. Ez is magyarazza, hogy az elmult ket evtizedben tobb bevezetojellegu monografia szuletett, amely nemcsak a matematikus kepzettsegu, hanem a kellomatematikai hatterrel rendelkezo nem matematikus olvasokat is bevezeti a kvalitatvvizsgalat rejtelmeibe. Peldakent emlthetjuk a kaoszelmeletbe bevezeto [1] monografiat,Guckenheimer es Holmes klasszikusnak mondhato k

onyvet [11], Hale es Kocak nagyon

szemleletesen megrt munkajat [12], Hubbard es West pedagogikusan megszerkesztett[16], valamint Perko [19] szeles spektrumot atolelo konyvet, illetve Seydel bifurkaciokrolrott munkajat [22]. A kicsivel tobb matematikai bizonytast igenylo olvasok is szamosangol nyelvu monografiabol tajekozodhatnak, Arnold [2, 3], Chow es Hale [8], Chicone[7], Hirsch, Smale es Devaney [15], valamint Robinson [20] es Wiggins[27] konyvei csaknehany a szeles palettarol. Lathato, hogy a kvalitatv elmeletet reszletesen targyalo,egyetemi hallgatoknak szolo, magyar nyelvu tankonyv nem szerepel ezek kozott, aminagyban motivalta ezen jegyzet megrasat.

1.2. A jegyzetben targyalt temakorokAz alabbiakban bemutatjuk azt a matematikai strukturat, amelyben vizsgalodasainkatfolytatjuk, illetve roviden ismertetjuk a fobb temakat, amelyeket reszletesen targyalnifogunk. Vizsgalatunk fo objektuma az

x(t) =f(x(t))

autonom, kozonseges differencialegyenlet-rendszer, melyben x: R Rn az ismeret-len fuggveny es f : Rn Rn adott folytonosan differencialhato fuggveny, melyet jobb-

7


9/188

oldalnak nevezunk. Ebbe a kategoriaba a legtobb fontos kozonseges differencialegyenlet-

rendszer belefer, es lehetetlen lenne felsorolni mindazokat a mernoki, fizikai, kemiai, bio-logiai, kozgazdasagi alkalmazasokat, amelyekben ilyen rendszerek vizsgalata megjelenik.Az egyenlet x(0) =p kezdeti feltetelbol indulo megoldasat (t, p)-vel jelolve igazolhato,hogy afuggveny teljesti a (folytonos ideju) dinamikai (vagy dinamikus) rendszer alabbidefinciojaban szereplo felteteleket.

Defincio 1.1.. A : RRn Rn folytonosan differencialhato f uggvenyt folytonosideju dinamikai rendszernek nevezz uk, ha teljesti az alabbi ket feltetelt.

Mindenp Rn eseten(0, p) =p ,

Mindenp Rn

est, sR eseten(t, (s, p)) =(t +s, p).A dinamikai rendszer egy determinisztikus folyamat modelljenek foghato fel, melyben(t, p) azt az allapotot jeloli, ahova a rendszer a p allapotbol indulva t ido alatt jut.Egyszeruen igazolhato, hogy a fenti kozonseges differencialegyenlet-rendszer megoldasalenyegeben egy dinamikai rendszert hataroz meg. (Elofordulhat, hogy a megoldasok nemertelmezettek az egesz szamegyenesen, amit viszont a dinamikai rendszertol elvarunk,azonban ez a palyakon nem lathato.) Illetve egy dinamikai rendszerhez mindig meg-adhato egy differencialegyenlet, aminek ez a megoldasa. Ezert az autonom kozonsegesdifferencialegyenlet-rendszert es a dinamikai rendszert egyutt szoktak vizsgalni, mi isparhuzamosan hasznaljuk a jegyzetben a ket fogalmat.

A dinamikai rendszer fenti defincioja tobb iranyban kiterjesztheto. Egyik fontosalternatva az, amelyben az ido szerepet az R helyett a Z halmaz veszi at, ekkor jutunka diszkret ideju dinamikai rendszer fogalmahoz.

Defincio 1.2.. A : Z Rn Rn folytonos f uggvenyt diszkret idej u dinamikai rend-szernek nevezz uk, ha teljesti az alabbi ket feltetelt.

Mindenp Rn eseten(0, p) =p , Mindenp Rn esk, m Z eseten(k, (m, p)) =(k+ m, p).

Ahogyan a folytonos ideju dinamikai rendszert az autonom differencialegyenletbol szar-maztattuk, ugy a diszkret ideju dinamikai rendszert egy lekepezesbol lehet szarmaztatni.Legyen ugyanisg: Rn Rn adott folytonos fuggveny, es tekintsuk az

xk+1=g(xk)

x0=p rekurzioval definialt sorozatot (nevezhetjuk differenciaegyenletnek is). A (k, p) =xk keplettel definialt fuggveny teljesti a diszkret ideju dinamikai rendszer definciojabanszereplo felteteleket. Tehat egy differenciaegyenlet meghataroz egy diszkret ideju di-namikai rendszert. Fordtva pedig, ha egy diszkret ideju dinamikai rendszer, akkor

8


10/188

legyen g(p) =(1, p). Egyszeruen ellenorizheto, hogy ezzel xk =(k, p) a fenti rekurzio

megoldasa, melyet roviden a (k, p) = gk(p) keplettel fejeznek ki, ahol k nem kitevot,hanem a g fuggveny k-szori alkalmazasat jelenti (negatv k eseten az inverz fuggvenyalkalmazasat).

A ketfele dinamikai rendszer sok esetben egyutt targyalhato, ekkor az ido valtozot aT halmazbol vesszuk, amely az R vagy Z szamhalmazt jeloli. Folytonos ideju esetbengyakran hasznaljak a folyam (flow) kifejezest, diszkret esetben pedig a lekepezes (map)kifejezest.

A dinamikai rendszerek vizsgalatanak fo targya a palyak geometriai jellemzese. Egyppont palyaja a

{(t, p) : t T}halmaz, amely folytonos esetben egy gorbe, diszkret esetben pedig egy pontsorozat afazisterben.

Az alapveto matematikai struktura ismertetese utan terjunk ra most a jegyzetbentargyalt temakorok attekintesere.

A kovetkezo fejezetben azt vizsgaljuk, hogy amennyiben a palyak pontos meghata-rozasa nelkul szeretnenk a palyak osszessege altal meghatarozott faziskepet vizsgalni,akkor milyen geometriai defincio segtsegevel lehet kulonbozo rendszerek faziskepeinekhasonlosagat egzakt modon megfogni. Ehhez bevezetjuk a topologikus ekvivalencia fo-galmat, amely egy ekvivalencia relacio a dinamikai rendszerek halmazan. Az ekvivalenciabevezetese utan azt vizsgaljuk, hogy milyen osztalyokat hoz ez letre, illetve, probalunk az

osztalyokbol egy-egy konnyen vizsgalhato reprezentanst kivalasztani. Ezenkvul foglal-kozunk azzal az alapveto kerdessel, hogy ha a dinamikai rendszert differencialegyenletteladjuk meg, akkor a jobboldalak alapjan hogyan dontheto el ket rendszer ekvivalenci-aja. Ezt a programot csak a linearis rendszerek osztalyozasa eseteben lehet teljesseggelveghezvinni.

A nemlinearis rendszereket a 3. Fejezetben osztalyozzuk, azonban ekkor csak azegyensulyi pontok koruli lokalis faziskepek osztalyozasa hajthato vegre. Ennek egyikeszkoze a linearizalas, amelynek lehetoseget a HartmanGrobman-tetel teremti meg.Amennyiben a linearis rendszer nem hatarozza meg a faziskepet, akkor a faziskep szem-pontjabol meghatarozo tagok a normalformak elmeletenek segtsegevel valaszthatok ki.

Az egyensulyi pontok koruli lokalis faziskepek vizsgalataban segt a stabil, instabil escentralis sokasag tetel, melyeket a4. Fejezetben targyalunk. Ezek a sokasagok a linearisrendszerek eseteben bevezetett a stabil, instabil es centralis alterek altalanostasai. Ezensokasagok invariansak, azaz a trajektoriak nem hagyjak el azokat. A stabil sokasag azontrajektoriakat tartalmazza, amelyekt+eseten az egyensulyi ponthoz tartanak, azinstabil sokasag pedig azokat, amelyek t eseten tartanak az egyensulyi ponthoz.A centralis sokasag a fazister dimenziojanak redukalasat teszi lehetove, azaz magasabbdimenzios rendszerekben el lehet kulonteni a fazisternek azt az alacsonyabb dimenziosreszet, amelyben a nehezen vizsgalhato trajektoriak futnak.

9


11/188

A faziskep globalis vizsgalatanak eszkozeire az 5. Fejezetben kerul sor. Ebben elo-

szor attekintjuk a ketdimenzios faziskepek meghatarozasanak elemi modszereit. Ezutanreszletesen vizsgaljuk a periodikus megoldasokat. Ezek letezesere es nem-letezesere vo-natkozo ketdimenzios fazisterben alkalmazhato teteleket foglaljuk ossze eloszor, majdraterunk a periodikus megoldasok stabilitasvizsgalatara tetszoleges dimenzios fazister-ben. A fejezet vegen visszaterunk a ketdimenzios esetre, es ket fontos globalis eszkozt, avektormezo indexet es a Poincare-gombre valo vettessel torteno kompaktifikaciot ismer-tetjuk.

Azt ezt koveto ket fejezetben a parameterektol is fuggo rendszerek faziskepenek alaku-lasat vizsgaljuk a parameterek erteketol fuggoen. Modszereket mutatunk azon rendszerekvizsgalatara, melyeknel a parameterek valtoztatasakor minosegi valtozas kovetkezik be

a faziskepben, ezeket a minosegi valtozasokat nevezzuk bifurkacionak. Reszletesen tar-gyaljuk a ket legfontosabb, ugynevezett egy-kodimenzios bifurkaciot, a nyereg-csomo esaz AndronovHopf-bifurkaciot.

Dinamikai rendszerek vizsgalatanak egyik fontos fejezete a kaosz definialasa es a ka-otikus rendszerek vizsgalata. Ennek eszkozeit elsosorban diszkret ideju rendszerekrefejlesztettek ki, ezert a8. Fejezetben ezeket kulon vizsgaljuk. Bemutatjuk a fixpont esperiodikus palya lokalis vizsgalatanak alapveto eszkozeit. Bevezetunk egy kaosz defin-ciot, majd megmutatjuk, hogy bizonyos lekepezeseknek vannak kaotikus palyaik. Ehhezismertetjuk a szimbolikus dinamika fogalmat es alkalmazasanak modszeret.

Az utolso fejezet a dinamikai rendszer elmelet egy olyan iranyu kiterjeszteserol szol,amikor a fazister nem veges dimenzios. Ez peldaul parcialis differencialegyenletek esete-ben fordul elo. Ebben a fejezetben szemilinearis parabolikus parcialis differencialegyen-leteket vizsgalunk, melyeket a gyakorlatban sokszor reakcio-diffuzio egyenletnek hvnak.Foglalkozunk a stacionarius megoldasok (melyek az egyensulyi pontnak felelnek meg)letezesenek es stabilitasanak vizsgalataval, illetve egy masik, gyakorlat szempontjabolfontos megoldas tpussal az utazo hullamokkal. Ezek eseteben is a letezesuket es a sta-bilitasukat vizsgaljuk.

10


12/188

2. fejezet

Dinamikai rendszerek topologikus

osztalyozasa

A differencialegyenletek elmeletenek fejlodese soran eloszor a differencialegyenletek meg-oldasaval foglalkoztak, igen sokfele modszert kifejlesztettek, amelyekkel specialis tpusudifferencialegyenletek megoldasa keplettel eloal lthato. Azonban kiderult, hogy differen-cialegyenlet-rendszerek megoldasa altalaban keplettel nem adhato meg (szinte kizarolagcsak a linearis esetben), vagy ha megadhato, akkor is nehezsegekbe utkozhet, hogy amegoldas bizonyos fontos tulajdonsagait a keplet alapjan meghatarozzuk. Ketdimenziosnemlinearis rendszerek megoldasait peldaul celszeru ugy vizsgalni, hogy a trajektoriakat

(palyakat) abrazoljuk a fazisskon. Ez nem azt jelenti, hogy a megoldasgorbeket pontosanfelrajzoljuk, hanem az analzisbeli fuggvenyvizsgalathoz hasonloan jarunk el, amikor csaka fuggvenygrafikon legfontosabb alaki tulajdonsagait (monotonitas, konvexitas) vesszukfigyelembe. A ketdimenzios rendszerek megoldasainak abrazolasa soran tehat lenyegebenegy a vizsgalt rendszerrel valamilyen ertelemben ekvivalens rendszer palyait abrazoltuk(megpedig annak, amelynek palyai ugy neznek ki, mint a vizsgalando rendszer palyai).Most szeretnenk ezen ekvivalencia fogalmat pontosan meghatarozni, azaz definialni azt,hogy mit ertunk azon, hogy ket rendszer faziskepe ugyanugy nez ki.

A tovabbiakban tehat a : RMMdinamikai rendszerek halmazan meg fogunkadni egy ekvivalenciarelaciot. Azutan az a cel, hogy meghatarozzuk a lehetseges oszta-

lyokat, keressunk minden osztalybol egy konnyen vizsgalhato reprezentanst, es egyszerumodszert adjunk annak eldontesere, hogy egy adott rendszer melyik osztalyba tartozik.

2.1. Dinamikai rendszerek ekvivalenciai

Ket dinamikai rendszert ekvivalensnek fogunk nevezni, ha palyaik egy megfelelo leke-pezessel egymasba vihetok. Eloszor ezen lekepezes tpusokat definialjuk. A diszkret esfolytonos ideju dinamikai rendszerekre egyszerre fogalmazzuk meg ezeket a definciokat,

11


13/188

ezert a tovabbiakban jelolje T az Rvagy Z szamhalmazt.

Defincio 2.1.. Legyenek M, N Rn halmazok. Egy h : M N lekepezest homeo-morfizmusnak (esetenkentC0-diffeomorfizmusnak) nevez unk, ha folytonos, bijekcio es azinverze is folytonos. A lekepezestCk-diffeomorfizmusnak nevezz uk, hak-szor folytonosandifferencialhato, bijekcio es inverze isk-szor folytonosan differencialhato.

Defincio 2.2.. Legyenek M, N Rn tartomanyok, azaz osszef uggo, nylt halmazok.Azt mondjuk, hogy a : T M M es : T N N dinamikai rendszerek Ck-ekvivalensek, (k = 0 eseten topologikusan ekvivalensek), ha van olyanh : M N Ck-diffeomorfizmus (k = 0 eseten homeomorfizmus), mely a palyakat egymasba viszi az idoiranyt asanak megtartasaval. Ezt a2.1. abra szemlelteti. Reszletesebben megfogalmazva,ha letezik olyana : T M T folytonos f uggveny, melyre t a(t, p) szigoruan n ovobijekcio, es mindent T, valamintpM eseten

h

(t, p)

=

a(t, p), h(p)

.

2.1. abra. Topologikusan ekvivalens rendszerek palyait homeomorfizmussal egymasbalehet vinni.

A fenti defincioban az a, illetve h fuggveny specialis valasztasaval kulonfele ekviva-lencia fogalmakat kaphatunk. A fenti altalanos ekvivalenciat fogjuk a tovabbiakban 1.tpusunak nevezni, az alabbi fontos specialis eseteket pedig 2, 3 es 4. tpusunak.

12


14/188

Defincio 2.3.. Azt mondjuk, hogy a es dinamikai rendszerek Ck folyam ekviva-

lensek (2. tpusu ekvivalencia), ha a fenti definciobana nem f uggp valasztasatol, azazletezik olyan szigoruan n ovo b : T T bijekcio, melyre a(t, p) = b(t) minden p Meseten. Ekkor tehat az idoatparameterezes minden p alyan ugyanaz.

Defincio 2.4.. Azt mondjuk, hogy a es dinamikai rendszerek Ckkonjugaltak (3.tpus u ekvivalencia), ha a fenti definciobana(t, p) = t minden t T espM eseten.Ekkor tehat a palyakon nincs idoatparameterezes. Ez esetben a feltetel gy rhat o

h

(t, p)

=

t, h(p)

.

Defincio 2.5.. Azt mondjuk, hogy a es dinamikai rendszerek orbitalisan ekvivalen-sek (4. tpusu ekvivalencia), ha a fenti definciobanM = N esh = id, azaz a palyakugyanazok, csak az ido mas a ket rendszerben a palyakon.

A definciokbol nyilvanvalo, hogy az ekvivalencia fogalmak kozott az alabbi kapcsolatall fenn.

Alltas 2.1. 1. Ha a es dinamikai rendszerekCkkonjugaltak, akkorCk folyamekvivalensek.

2. Ha a es dinamikai rendszerekCk folyam ekvivalensek, akkorCk-ekvivalensek.

3. Ha a es dinamikai rendszerek orbitalisan ekvivalensek, akkorCk-ekvivalensek.Osszefoglalva, az ekvivalencia tpusok k oz ott a k ovetkezoosszef ugges all fenn

321, 41.

2.1.1. Diszkret ideju dinamikai rendszerek

Diszkret ideju dinamikai rendszerek eseteben valojaban csak egyfele ekvivalencia van, ezt

fogalmazzuk meg a kovetkezo alltasban. Legyenek : Z M M es : Z N Ndiszkret ideju dinamikai rendszerek. Legyen f(p) = (1, p) es g(p) = (1, p). Ekkor adinamikai rendszer csoporttulajdonsaga alapjan egyszeruen igazolhato, hogy (n, p) =fn(p) es (n, p) =gn(p), ahol fn es gn a fuggvenyek n-szeri alkalmazasat jeloli.

Alltas 2.2. Az alabbi allt asok ekvivalensek.

1. A es dinamikai rendszerekCk-konjugaltak.

2. A es dinamikai rendszerekCk folyam ekvivalensek.

13


15/188

3. A es dinamikai rendszerekCk-ekvivalensek.

4. Letezik olyanh: MN Ck-diffeomorfizmus, melyreh f=g h.

Bizonyt as. Az elozo alltas szerint az elso harom alltas fentrol lefele kovetkezik egymas-bol. Eloszor igazoljuk, hogy a negyedik alltasbol kovetkezik az elso, majd azt, hogy aharmadikbol kovetkezik a negyedik. A h f=g h egyenloseget felhasznalva

h f2 =h f f =hf=gh

g h f =hf=gh

g g h= g2 h.

Ehhez hasonloan az hfn1 = gn1 h feltetelbol kovetkezik h

fn(p)

= gn

h(p)

,

azaz h(n, p) = n, h(p) minden n es p eseten, amely eppen a es dinamikairendszerek Ck-konjugaltsagat jelenti.Tegyuk fel most, hogy a es dinamikai rendszerek Ck-ekvivalensek. Vegyuk eszre

eloszor, hogy, ha r : Z Z szigoruan novo bijekcio, akkor van olyan k Z, mellyelr(n) =n + kmindenn Z eseten. Ugyanis a szigoru monotonitas miattr(n+ 1)> r(n),viszont mivel r bijekcio, azert r(n + 1) es r(n) kozott nem lehet egesz szam, tehatr(n+ 1) = r(n) + 1. Igy bevezetve a k = r(0) szamot, indukcioval az r(n) = n+ kosszefuggeshez jutunk. Tehat a Ck-ekvivalencia definciojaban szereplo a fuggvenyrefennall, hogy minden p M ponthoz van olyan kp Z egesz szam, mellyel a(n, p) =n + kp. Tehat es C

k-ekvivalenciaja azt jelenti, hogy minden n Z es minden pMeseten

h(n, p) =n + kp, h(p),azaz

h

fn(p)

=gn+kp

h(p)

.

Alkalmazzuk ezt azosszefuggest eloszor n = 0 eseten. Ekkor h(p) = gkp(h(p)). Ezutann= 1 eseten

h

f(p)

=g1+kp

h(p)

=g

gkp

h(p)

=g

h(p)

,

ami eppen a kvant alltast adja.

Alltas 2.3. A es dinamikai rendszerek pontosan akkor orbitalisan ekvivalensek, ha

egyenlok.

Bizonyt as. Ha a ket dinamikai rendszer egyenlo, akkor nyilvan orbitalisan ekvivalensek.Fordtva, amennyiben orbitalisan ekvivalensek, akkor Ck-ekvivalensek is, gy az elobbialltas szerint h f=g h, viszont h= id miatt f=g , tehat (n, p) =(n, p) barmelyn Z eseten, azaz a ket dinamikai rendszer azonos.Defincio 2.6.. Diszkret idej u esetben, azazT = Z eseten, azf esg lekepezest, il letvea megfelelo diszkret dinamikai rendszereketCk-konjugaltaknak nevezz uk, ha van olyanhCk- diffeomorfizmus, melyreh f=g h.

14


16/188

Megjegyzes 2.1. Ebben az esetben azf esg f uggveny csak koordinata-transzformacio-

ban k ul onbozik egymastol.

Alltas 2.4. Ha k > 1 eseten f es g Ck-konjugaltak, valamint p M fixpontja az flekepezesnek (ekkor nyilv an h(p) fixpontja g-nek), akkor az f(p) es g(h(p)) matrixokhasonloak.

Bizonyt as. Derivaljuk a h f=g hegyenloseget a p pontban, es hasznaljuk fel, hogyf(p) = p, valamint g(h(p))=h(p). Ekkor h(p)f(p) = g(h(p))h(p), melyet megszoroz-hatunk a h(p) matrix inverzevel (amely azert letezik, mert h Ck- diffeomorfizmus). Igyaz f(p) esg(h(p)) matrixok valoban hasonloak.

Megjegyzes 2.2. A fenti allt as miatt aCk-konjugaltsag tul finom osztalyozast adk1-re, hiszen peldaul az f(x) = 2x es g(x) = 3x f uggvenyek az allt as szerint nem Ck-konjugaltak (az egyik matrix sajaterteke2, a masike3), viszont az altaluk meghatarozottxn+1= 2xn esxn+1= 3xn dinamikai rendszerek palyainak viselkedese k oz ott nem szeret-nenk k ul onbseget tenni. Latni fogjuk, azonban, hogy a ket f uggvenyC0-konjugalt, azazk= 0-ra nem igaz az allt as.

2.1.2. Folytonos ideju dinamikai rendszerek

Terjunk ra most a folytonos ideju dinamikai rendszerek ekvivalenciainak vizsgalatara,

legyen tehat most T = R, es legyenek : RMMvalamint : RNN folytonosideju dinamikai rendszerek. Ekkor megadhatok olyan f : M Rn es g : N Rnfuggvenyek, melyekre x = f(x) megoldasa a , es y = g(y) megoldasa a dinamikairendszer.

Alltas 2.5. 1. Legyenk1. Ekkor a es dinamikai rendszerek pontosan akkorCk-konjugaltak, ha letezik olyanh : M N Ck-diffeomorfizmus, mellyelh f =g h.

2. Tegy uk fel, hogy ata(t, p) f uggveny differenci alhato. Ekkor a es dinamikairendszerek pontosan akkor orbitalisan ekvivalensek, ha letezik olyanv : M R+,mellyelg= f v.

3. A2.1. Al lt asban a k ovetkeztetesek nem fordthat ok meg.

Bizonyt as. 1. Tegyuk fel eloszor, hogy a es dinamikai rendszerek Ck-konjugaltak.Ekkor letezik olyan h : M N Ck-diffeomorfizmus, mellyel h((t, p)) = (t, h(p)).Derivaljuk ezt az egyenletet t szerint, ekkor h((t, p)) (t, p) = (t, h(p)). Mivel x=f(x) megoldasa a , es y = g(y) megoldasa a , azert

h((t, p)) f((t, p)) =g((t, h(p))).

15


17/188

Alkalmazzuk ezt t = 0 eseten, ekkor

h((0, p)) f((0, p)) =g((0, h(p))),azazh(p)f(p) =g(h(p)). Ezzel az alltas egyik iranyat igazoltuk. Tegyuk fel most, hogyletezik olyan h : M N Ck-diffeomorfizmus, mellyel h f = g h. Legyen(t, q) :=h((t, h1(q))), igazoljuk, hogy ez megoldasa y = g(y) differencialegyenletnek, gy azegyertelmuseg miatt=, melybol a kvant alltas kovetkezik, hiszendefinciojabanaq= h(p) helyettestest elvegezve es Ck-konjugaltagat kapjuk. Egyreszt(0, q) :=h((0, h1(q))) =q, masreszt

(t, q) =h((t, h1(q))) (t, h1(q))=h(h

1

((t, q))) f(h1

((t, q))) =g((t, q)),mellyel a kvant alltast igazoltuk.

2. Tegyuk fel eloszor, hogy a es dinamikai rendszerek orbitalisan ekvivalensek.Ekkor (t, p) = (a(t, p), p), melyet t szerint derivalva a (t, p) = (a(t, p), p) a(t, p)egyenlethez jutunk. Mivel x = f(x) megoldasa a , es y = g(y) megoldasa a , azertf((t, p)) = g((a(t, p)), p)). Alkalmazzuk ezt t = 0 eseten, ekkor f(p) =g(p) a(0, p),melybol a bizonytando alltast kapjuk a v(p) = a(0, p) fuggveny bevezetesevel. Tegyukfel most, hogy letezik olyan v :M R+, mellyel g =f v. Legyen pRn, es rovidsegkedveert vezessuk be az x(t) =(t, p) jelolest. Legyen

b(t) = t0

1v(x(s))

ds,

ekkor b(t) = 1/v(x(t)) > 0, gy a b fuggvenynek van inverze, legyen ez a = b1. (Ezfugg a p valasztasatol is, ezert hasznalhatjuk az a(t, p) = b1(t) jelolest is.) Legyeny(t) =x(a(t, p)), ekkor

y(t) = x(a(t, p))a(t, p) =f(x(a(t, p))) 1

b(a(t, p))=f(y(t))v(y(t)) =g(y(t)).

Igyy megoldasa az y(t) =g(y(t)) differencialegyenletnek, es teljesti azy(0) =p kezdeti

feltetelt, ezert y(t) = (t, p). Ezzel az y(t) = x(a(t, p)) definialo egyenloseg alapjan akvant(t, p) =(a(t, p), p)osszefuggeshez jutunk.3. Ezen alltas bizonytasahoz ellenpeldakat adunk meg.

(i) LegyenA=

0 11 0

es B =

0 22 0

. Ekkor az x= Ax es y = By differencial-

egyenletek faziskepe azonos, mindketto centrum, azonban a megoldasok periodusaa ket rendszerben kulonbozo. Igy amennyiben a palyakat egymasba kepezzuk,akkor az idoatparameterezese szukseges, azaz a ket rendszer nem Ckkonjugalt,viszontCk folyam-ekvivalens.

16


18/188

(ii) Ha a es dinamikai rendszerben van ket-ket periodikus palya, melyeken a peri-

odusok aranya kulonbozo, akkor a ket rendszer nem Ck-folyam-ekvivalens, viszontlehetnek Ck-ekvivalensek.

(iii) Legyen A =

1 00 1

es B =

1 00 2

. Ekkor az x = Ax es y = By differen-

cialegyenletek faziskepe nyeregpont, azaz C0-ekvivalensek, viszont a palyak nemazonosak, ezert nem orbitalisan ekvivalensek.

2.2. Linearis rendszerekCk-osztalyozasa

Ebben a szakaszban az x = Ax alaku linearis egyenleteket, illetve az xn+1 = Axn li-nearis diszkret ideju rendszereket fogjuk osztalyozni az elobbi szakaszban ismertetettekvivalenciak szerint. Vezessuk be az

L(Rn) ={A: Rn Rn linearis lekepezes}

es aGL(Rn) ={AL(Rn) : detA= 0}

tereket. Ha A L(Rn), akkor az A matrixot az x = Ax linearis differencialegyenletjobboldalanak tekintj

uk, ha pedig A

GL(Rn), akkor az A matrixot az x

n+1 = Ax

ndiszkret rendszert meghatarozo lekepezeskent kezeljuk. Igy L(Rn) a folytonos, GL(Rn)pedig a diszkret ideju linearis rendszereket reprezentalja. A linearis rendszerek esete-ben a matrix altal meghatarozott dinamikai rendszer explicit modon megadhato. HaAL(Rn), akkor az altala meghatarozott dinamikai rendszer, (azaz az x= Ax differen-cialegyenlet megoldasa) (t, p) =eAtp. Ha AGL(Rn), akkor az altala meghatarozottdinamikai rendszer, (azaz az xn+1=Axn rekurzio explicit megoldasa) (n, p) =A

np. Atovabbiakban ket matrix valamely tpusu ekvivalenciajan az altaluk meghatarozott dina-mikai rendszerek ekvivalenciajat ertjuk. Hasznalni fogjuk meg a kovetkezo ekvivalenciafogalmat.

Defincio 2.7.. AzA esB matrixok linearisan ekvivalensek, ha letezik olyan > 0 esP invertalhato matrix, mellyelA= PBP1

Alltas 2.6. LegyenT = R esk1.1. AzA, BL(Rn) matrixok pontosan akkorCk-konjugaltak, ha hasonlok.2. AzA, B L(Rn) matrixok pontosan akkorCk-ekvivalensek, ha linearisan ekviva-

lensek.

17


19/188

Bizonyt as. 1. Tegyuk fel, hogy az A es B matrixok Ck-konjugaltak, azaz letezik olyan

h: Rn Rn Ck-diffeomorfizmus, mellyelh((t, p)) =(t, h(p)), azazh(eAtp) =eBth(p).Derivaljuk ezt p szerint, ekkor h(eAtp) eAt = eBth(p), majd helyettestsunk p helyerenullat h(0)eAt = eBt h(0). Derivaljunk most t szerint, ekkor a h(0)eAt A = eBt B h(0) egyenlethez jutunk, melybol a t = 0 helyettestessel a h(0)A = B h(0)osszefuggest kapjuk. Mivelh diffeomorfizmus, azert ah(0) matrixnak van inverze, ezzelmegszorozva az egyenletetA= h(0)1Bh(0), azaz azA esB matrixok hasonlok. Tegyukfel most, hogy az A es Bmatrixok hasonlok, azaz van olyan P invertalhato matrix, mellyelA = P1BP. Ekkor a h(p) = P p linearis fuggveny olyan Ck-diffeomorfizmus, amely apalyakat egymasba kepezi az iranytas megtartasaval, ugyanis P eAtp = P eP

1BP tp =eBtP p.

2. Tegyuk fel, hogy az A es B matrixok Ck

-ekvivalensek, azaz letezik olyan h :Rn Rn Ck-diffeomorfizmus, es a : R Rn R differencialhato fuggveny, melyekkelh((t, p)) = (a(t, p), h(p)), azaz h(eAtp) = eBa(t,p)h(p). Derivaljuk ezt p szerint, majdhelyettestsunk p helyere nullat, ekkor h(0)eAt = eBa(t,0) h(0). Derivaljunk most tszerint, ekkor a h(0)eAt A= eBa(t,0) Ba(t, 0) h(0) egyenlethez jutunk, melybol at = 0helyettestessel a h(0)A= Ba(0, 0) h(0)osszefuggest kapjuk. Mivelh diffeomorfizmus,azert a h(0) matrixnak van inverze, ezzel megszorozva az egyenletet, es bevezetve az= a(0, 0) jelolest,A= h(0)1Bh(0), azaz az A es Bmatrixok linearisan ekvivalensek.Tegyuk fel most, hogy az A es B matrixok linearisan ekvivalensek, azaz van olyan Pinvertalhato matrix es > 0, melyekkel A = P1BP. Ekkor a h(p) = P p linearisfuggveny olyan Ck-diffeomorfizmus, amely a palyakat egymasba kepezi az a(t, p) = tidoatparameterezessel, ugyanis P eAtp= P eP

1BP tp= eBtP p.

Megjegyzes 2.3. A fenti allt as miatt aCk-konjugaltsag es ekvivalencia tul finom osz-

talyozast adk1-re. Hiszen peldaul azA =1 0

0 1

esB =

1 00 2

matrixok az

allt as szerint nemCk-konjugaltak, es nem isCk-ekvivalensek, viszont mindketto stabilcsomot hataroz meg, gy a dinamikai rendszerek palyainak viselkedese k oz ott nem sze-retnenk k ul onbseget tenni. Latni fogjuk azonban, hogy a ket matrix C0-konjugalt, azazk= 0-ra nem igaz az allt as.

Alltas 2.7. Legyen T = Z es k 1. Az A, B GL(Rn) matrixok pontosan akkorCk-konjugaltak, ha hasonlok.

Bizonytas: Tegyuk fel, hogy az A es B matrixok Ck-konjugaltak, azaz a 2.2. Alltasszerint letezik olyan h : Rn Rn Ck-diffeomorfizmus, mellyel h(Ap) = Bh(p). Deri-valjuk ezt p szerint, ekkor h(Ap)A= B h(p), majd helyettestsunk p helyere nullat, gyh(0)A = Bh(0). Mivel h diffeomorfizmus, azert a h(0) matrixnak van inverze, ezzelmegszorozva az egyenletet A = h(0)1Bh(0), azaz az A es B matrixok hasonlok. Te-gyuk fel most, hogy azA esB matrixok hasonlok, azaz van olyanP invertalhato matrix,

18


20/188

mellyel A = P1BP. Ekkor ah(p) = P p linearis fuggveny olyan Ck-diffeomorfizmus,

amely a palyakat egymasba kepezi az iranytas megtartasaval, ugyanisP Ap= BP p.

2.3. Linearis rendszerekC0-osztalyozasa

Ebben a szakaszban a kovetkezo kerdeseket vizsgaljuk.

1. AdottA, BL(Rn) matrixokrol hogy lehet eldonteni, hogyC0ekvivalensek, vagyC0konjugaltak?

2. Adott A, BGL(Rn) matrixokrol hogy lehet eldonteni, hogy C0konjugaltak?

Vizsgaljuk a kerdest eloszor az n= 1 dimenzios esetben.

2.3.1. Folytonos ideju eset n= 1 dimenzioban

Tekintsuk az x= ax differencialegyenletet. Ha a 0, akkor az origoinstabilis, a megoldasok vegtelenhez tartanak. Ha a = 0, akkor minden pont egyensu-lyi pont. A2.2. abran lathato a haromfele faziskep pozitv, negatv es nulla a ertekekeseten. Tehat az x = ax es y = by rendszerek, melyekben a, b R pontosan akkorC0-ekvivalensek, ha sgn a= sgn b. (A homeomorfizmus ez esetben lehet az identitas.)

2.2. abra. Egyvaltozos, folytonos ideju linearis rendszerek harom osztalya.

19


21/188

2.3.2. Diszkret ideju eset n= 1 dimenzioban

Tekintsuk az xn+1 =axn rekurzioval definialt diszkret ideju dinamikai rendszert kulon-bozo a R \ {0} ertekek eseten. Megjegyezzuk, hogy a GL(R) halmaz azonosthato azR\{0}halmazzal. Mivel a rekurzio mertani sorozatot definial, azert a palyak viselkedeseegyszeruen megallapthato. Az alabbi hat osztalyt kapjuk a C0-ekvivalencia szerint.

1. Ha a >1, akkor pozitv x0 eseten szigoruan novo a sorozat, a 0 instabil fixpont.

2. Ha a= 1, akkor minden pont fixpont.

3. Ha 0 < a < 1, akkor a 0 stabil fixpont, minden megoldas 0-hoz tart monoton

csokkenoen.4. Ha1 < a < 0, akkor a 0 stabil fixpont, minden megoldas 0-hoz tart, azonban

elojelvalto modon, ezert ez nem ekvivalens az elozovel, mert a homeomorfizmusszakaszt szakaszba visz.

5. Ha a=1, akkor a megoldas oszcillal.6. Ha a 1 esettel.

Az osztalyozas formalis igazolasahoz megadjuk a homeomorfizmust, amely a C0-

ekvivalenciat adja. Adott a, bR \ {0} eseten keresunk olyan h: R Rhomeomorfiz-must, melyre h(ax) =bh(x) teljesul minden xeseten. Keressuk a h homeomorfizmust akovetkezo alakban:

h(x) =

x ha x >0(x) ha x 0 es x > 0, akkor a h(ax) = bh(x) egyenletbol ax = bx, gy a = b,azaz = ln b

ln a. A h fuggveny homeomorfizmus, ha > 0, ez pedig akkor teljesul, ha a

es b az 1 ugyanazon oldalon helyezkedik el. Tehat, ha a,b > 1, akkor a ket rendszerC0-konjugalt, illetve, ha a, b

(0, 1), akkor is C0-konjugaltak. (Egyszeruen lathato,

hogy negatv x ertekek eseten is fennall a h(ax) = bh(x) egyenloseg.) Hasonlo modonlathato, hogy ha a,b


22/188

2.3.3. Folytonos ideju eset n-dimenzioban

Tekintsuk az x = Ax linearis differencialegyenlet-rendszert, ahol A n n meretu mat-rix. AC0-osztalyozast a stabil, instabil es centralis alterek segtsegevel lehet jellemezni,ezek definciojat es legfontosabb tulajdonsagait foglaljukossze eloszor. Jelolje a matrixsajatertekeit multiplicitassal 1, 2, . . . , n. Jelolje u1, u2, . . . , un azt a bazist R

n-ben,amely a matrix valos Jordan-normalformajat adja. Ezen bazis altalanos meghatarozasahosszabb elokesztest igenyel, azonban a leggyakoribb es a tovabbiakban elofordulo ese-tekben a bazis az alabbi modon egyszeruen meghatarozhato. Ha a sajatertekek valosakes kulonbozok, akkor a baziselemek eppen a megfelelo sajatvektorok. Ha vannak komp-lex konjugalt sajatertek parok, akkor az ezeknek megfelelo komplex sajatvektor valos eskepzetes resze van a bazisban. Tobbszoros sajatertekek eseten az altalanostott sa jatvek-

torok kerulnek a bazisba, ha a sajatalter dimenzioja kisebb, mint a sajatertek algebraimultiplicitasa. Ha peldaul ketszeres sajatertek, de csak egydimenzios sajatalter tarto-zik hozza, akkor az altalanostottv sajatvektort azAv = v + uegyenlet hatarozza meg,ahol u az egydimenzios sajatalteret kifeszto sajatvektor. Megjegyezzuk, hogy ekkor volyanu-tol fuggetlen vektor, melyre (AI)2v= 0, ugyanis (AI)2v= (AI)u= 0.Ezen bazis segtsegevel az alabbi modon definialhato linearis rendszerek stabil, instabiles centralis altere.

Defincio 2.8.. Legyen egy azA valos normalalakjat meghatarozo bazis{u1, . . . , un} Rn. Jel oljek azt a sajaterteket, amelyhez azuk bazisvektor tartozik (uk nem feltetlen ul

sajatvektor). Az

Es(A) ={uk :Rek0},

Ec(A) ={uk :Rek = 0}altereket rendre azx= Ax linearis differencialegyenlet-rendszer stabilis, instabilis, cent-ralis alterenek nevezz uk. ( a zarojelben levo vektorok altal kifesztett alteret jel oli.)

Ezek legfontosabb tulajdonsagai az alabbi tetelben foglalhatokossze.

Tetel 2.9.. AzEs(A), Eu(A), Ec(A) alterek rendelkeznek az alabbi tulajdonsagokkal:

1. Es(A) Eu(A) Ec(A) = Rn

2. InvariansakA-ra (azazA(Ei(A))Ei(A), i= s, u, c), eseAt-re.3. Mindenp Es(A) eseten eAtp 0, ha t +, sot van olyanK, > 0, hogy

|eAtp| K et|p|, hat0.4. Minden p Eu(A) eseten eAtp 0, ha t , sot van olyan L, > 0, hogy

|eAtp| Let|p|, hat0.

21


23/188

Az invarians altereket egyszeruen szemleltethetjuk az A = 1 00 1 matrix altalmeghatarozott nyeregpont eseteben. Ekkor a matrix sajatertekei 1 es1, az ezekheztartozo sajatvektorok pedig (1, 0)T es (0, 1)T. Igy a stabilis alter a fuggoleges, az instabilisalter pedig a vzszintes koordinata tengely, amint a2.3. abra mutatja.

2.3. abra. Nyeregpont eseten a stabilis es instabilis alter egydimenzios.

A C0-osztalyozasban az invarians alterek dimenzioja fog alapveto szerepet jatszani,erre vezetunk be jeloleseket az alabbi defincioban.

Defincio 2.10.. AzA matrix stabil alterenek dimenziojat jel oljes(A) = dim(Es(A)),instabil alterenek dimenziojatu(A) = dim(Eu(A)), illetve centralis alterenek dimenziojatc(A) = dim(Ec(A)).

Egy A matrix spektrumat, azaz sajatertekeinek halmazat (A) fogja jelolni. Fontosszerepet fognak jatszani az alabbi rendszerek.

EL(Rn) =

{A

L(Rn) :Re

= 0,

(A)

},

melynek elemeit hiperbolikus matrixoknak fogjuk nevezni a folytonos ideju esetben.Eloszor a hiperbolikus rendszerek C0-osztalyozasat fogjuk elvegezni, ehhez szukse-

gunk lesz az alabbi lemmara.

Lemma 2.11.. 1. Has(A) =n, akkor azA esI matrixokC0-konjugaltak.2. Hau(A) =n, akkor azA esI matrixokC0-konjugaltak.

22


24/188

Bizonyt as. Csak az elso alltast igazoljuk, a masodik kovetkezik ebbol, ha azt a

A

matrixra alkalmazzuk. Negy lepesben bizonytunk.a. Az x= Ax differencialegyenlet p pontbol indulo megoldasa x(t) = eAtp, az y =y

megoldasa y(t) =etp. A kvadratikus Ljapunov-fuggvenyekrol szolo tetel szerint letezikolyanB Rnn pozitv definit szimmetrikus matrix, hogy aQB(p) =Bp,p kvadratikusalakra LAQB negatv definit. Jelolje S :={p Rn : QB(p) = 1}, az ezen kvadratikusalak altal meghatarozott ellipszoidot.

b. Az x = Ax differencialegyenlet barmely nem nulla megoldasa pontosan egyszermetszi az Shalmazt, azaz minden p Rn \ {0}ponthoz letezik egyetlen(p) R, hogyeA(p)pS. Ugyanis aV(t) =QB(eAtp) fuggveny mindenp Rn \{0}eseten szigoruanmonoton fogyo, es lim+V = 0, limV = +. Nyilvan : Rn \ {0} R folytonosfuggveny, valamint (e

At

p) =(p) t.c. A ket rendszer palyait egymasba kepezo homeomorfizmus legyenh(p) :=e(A+I)(p)p, ha p= 0, es h(0) = 0.

Ennek hatasa a kovetkezokeppen szemleltetheto. A lekepezes a p pontot elviszi az Shalmazra az x= Axpalyajan, majd ezt a pontot ugyanannyi ideig ((p) ideig) visszavisziaz y=y palyajan, lasd a2.4. abran.d. Igazoljuk, hogyh homeomorfizmus, es a palyakat egymasba kepezi. Az utobbi azt

jelenti, hogy h(eAtp) =eth(p). Ez p = 0 eseten nyilvanvalo, p= 0 eseten pedig

h(eAt

p) =e(A+I)(eAtp)

eAt

p= e(A+I)((p)

t)

eAt

p= e(A+I)(p)

et

p= et

h(p).

Mivel LIQB = Q2B negatv definit, azaz y =y palyai az S halmazt csak egyszermetszik, azerthbijekcio (az inverze is hasonloan felrhato). A fuggveny folytonossagamiatth esh1 is folytonos a 0 ponton kvul. Tehat mar csak a 0-beli folytonossagot kelligazolni. Ehhez megmutatjuk, hogy

limp0

e(p)eA(p)p= 0.

MiveleA(p)pSesSkorlatos, azert eleg igazolni, hogy limp0 (p) =, azaz barmelyTpozitv szamhoz letezik olyan > 0, hogy legalabb T ido kell amg egy megoldas az

Shalmazrol a B(0) gombbe eljut. Ehhez megmutatjuk, hogy letezik olyan 0, hogy QC(p) |p|2 es QB(p) |p|2 mindenp Rn eseten. Vezessuk be a V(t) := QB(eAtp) (pS tetszoleges) fuggvenyt. EkkorV(t) = QC(eAtp), tehat V(t)QB(eAtp) = V(t)QC(eAtp), melybol V(t) V(t).Legyen :=

. Ekkor a Gronwall-lemma legegyszerubb valtozata szerint V(t) et ,

amit igazolni akartunk.

23


25/188

2.4. abra. Ah lekepezes, amely az x= Ax rendszer palyait az y=y rendszer palyairakepezi le.

Ezen lemma felhasznalasaval egyszeruen igazolhato a hiperbolikus rendszerek oszta-

lyozasarol szolo alabbi tetel.Tetel 2.12.. Az A, B EL(Rn) hiperbolikus matrixok pontosan akkor C0-konjugaltakes egybenC0-ekvivalensek, has(A) =s(B). (Ekkor termeszetesenu(A) =u(B) is igaz,mivel a centralis alterek nulla dimenziosak.)

A nem hiperbolikus rendszerek C0-osztalyozasa az alabbi mely tetelen alapszik, eztbizonytas nelkul kozoljuk, a bizonytas meghaladja ezen jegyzet kereteit.

Tetel 2.13. (Kuiper). LegyenekA, BL(Rn)olyan matrixok, melyekrec(A) =c(B) =n. Ezek pontosan akkorC0-ekvivalensek, ha linearisan ekvivalensek.

A fenti ket tetelbol kovetkezik az alabbi teljes osztalyozas.

Tetel 2.14.. Az A, B L(Rn) matrixok pontosan akkor C0-ekvivalensek, ha s(A) =s(B), u(A) = u(B) es a centr alis alter ukre megszortva linearisan ekvivalensek (azazA|Ec esB|Ec linearisan ekvivalensek).

Pelda 2.1. Megmutatjuk, hogy a ketvaltozos linearis differencialegyenlet-rendszerek tere,azazL(R2) nyolc osztalyra bonthato C0-ekvivalencia szerint. Az osztalyokat a centralisalter dimenzi oja szerint soroljuk fel.

24


26/188

1. Ha c(A) = 0, akkor a stabil alter dimenzioja 0, 1 vagy 2 lehet gy harom osztaly

van. Ezek egy-egy egyszeru reprezentansa

A=

1 00 1

, A=

1 00 1

, A=

1 00 1

,

melyek rendre megfelelnek az instabil csomonak, vagy fokusznak, a nyeregnek, il-letve a stabil csomonak, vagy fokusznak. (A fokusz es a csomo egymassal C0-konjugaltak.) A faziskepeket a2.5.,2.6.,2.7. abrakon lathatjuk.

2.5. abra. Instabil csomo.

2.6. abra. Nyeregpont.

25


27/188

2.7. abra. Stabil csomo.

2. Ha c(A) = 1, akkor a stabil alter dimenzioja 0 vagy 1 lehet, gy ket osztaly van.Ezek egy-egy egyszeru reprezentansa

A=

1 00 0

, A=

1 00 0

.

A faziskepeket a2.8. es2.9. abrakon lathatjuk.

2.8. abra. Vegtelen sok instabil egyensulyi pont.

3. Hac(A) = 2, akkor a linearis ekvivalencia szerinti osztalyokat kell meghatarozni.Ha a nulla ketszeres sajatertek, akkor ket oszt alyt kapunk, a tiszta kepzetes sajat-

26


28/188

2.9. abra. Vegtelen sok stabil egyensulyi pont.

ertekekkel rendelkez o matrixok pedig linearisan ekvivalensek egymassal. Igy haromosztalyt kapunk, ezek egy-egy egyszeru reprezentansa

A=

0 00 0

, A=

0 10 0

, A=

0 11 0

.

A legutolso megfelel a centrum pontnak, a masik ketto nem kapott k ul on elnevezest.

A faziskepeket a2.10.,2.11.,2.12. abrakon lathatjuk.

2.10. abra. Minden pont egyensulyi pont.

A fentihez hasonloan igazolhato, hogy a haromvaltozos linearis differencialegyenlet-rendszerek tere, azaz L(R3) 17 osztalyra bonthato C0-ekvivalencia szerint.

27


29/188

2.11. abra. Egy egyenesen elhelyezkedo elfajult egyensulyi pontok.

2.12. abra. Centrumpont.

AzL(R4

) halmazt vegtelen sok osztalyra bontja aC0

-ekvivalencia, azaz vegtelen sokkulonbozo negy dimenzios linearis faziskep van.

2.3.4. Diszkret ideju eset n-dimenzioban

Tekintsuk az xk+1 = Axk rekurzioval definialt diszkret ideju linearis rendszert, ahol An nmeretu matrix. AC0-osztalyozast most is a stabil, instabil es centralis alterek se-gtsegevel lehet jellemezni, ezek definciojat es legfontosabb tulajdonsagait foglaljukosszeeloszor. Jelolje a matrix sajatertekeit multiplicitassal1, 2, . . . , n. Jeloljeu1, u2, . . . , un

28


30/188

azt a bazist Rn-ben, amely a matrix valos Jordan-normalformajat adja. Ezen bazis se-

gtsegevel az alabbi modon definialhato linearis rendszerek stabil, instabil es centralisaltere.

Defincio 2.15.. Legyen egy azA valos normalalakjat meghatarozo bazis{u1, . . . , un} Rn. Jel oljek azt a sajaterteket, amelyhez azuk bazisvektor tartozik (uk nem feltetlen ulsajatvektor). Az

Es(A) ={uk :|k|< 1}, Eu(A) ={uk :|k|> 1},Ec(A) ={uk :|k|= 1}

altereket rendre azA

GL(Rn) lekepezes stabilis, instabilis es centr alis alterenek nevez-z uk. ( a zarojelben levo vektorok altal kifesztett alteret jel oli.)

Ezek legfontosabb tulajdonsagai az alabbi tetelben foglalhatokossze.

Tetel 2.16.. AzEs(A), Eu(A), Ec(A) alterek rendelkeznek az alabbi tulajdonsagokkal:

1. Es(A) Eu(A) Ec(A) = Rn

2. InvariansakA-ra (azazA(Ei(A))Ei(A), i= s, u, c).3. MindenpEs(A) esetenAnp0, han+.4. MindenpEu(A) esetenAnp0, han+.

A C0-osztalyozasban az invarians alterek dimenzioja fog alapveto szerepet jatszani,erre vezetunk be jeloleseket az alabbi defincioban.

Defincio 2.17.. AzA matrix stabil alterenek dimenziojat jel oljes(A) = dim(Es(A)),instabil alterenek dimenziojatu(A) = dim(Eu(A)), illetve centralis alterenek dimenziojatc(A) = dim(Ec(A)).

Fontos szerepet fognak jatszani az alabbi rendszerek.

HL(R) ={AGL(Rn) :|| = 1(A)},melynek elemeit szinten hiperbolikus matrixoknak fogjuk nevezni, de a diszkret idejuesetben.

A hiperbolikus rendszerekC0-osztalyozasahoz fel fogjuk hasznalni az alabbi lemmat.

Lemma 2.18.. Legyenek azA, BH L(Rn)matrixokC0-konjugaltak, azaz letezik olyanh: Rn Rn homeomorfizmus, melyreh(Ax) =Bh(x) mindenx Rn eseten. Ekkor

1. h(0) = 0,

29


31/188

2. hEs(A) = Es(B), azaz ah stabil alteret stabil alterbe visz; hEu(A) = Eu(B),azazh instabil alteret instabil alterbe visz,3. s(A) =s(B), u(A) =u(B).

Bizonyt as. 1. A h(Ax) = Bh(x) egyenletbol az x = 0 helyettestessel a h(0) = Bh(0)osszefuggest kapjuk, melybolh(0) = 0, ugyanis aB matrix hiperbolikus, tehat az 1 nemsajaterteke.

2. Legyen x Es(A), ekkor An 0, amint n , gy h(Anx) = Bnh(x) miattBnh(x) is nullahoz tart. Ebbol az kovetkezik, hogyh(x) a B stabil altereben van, tehatazt kaptuk, hogyh

Es(A)

Es(B). Hasonlo ervelest alkalmazva ah1 fuggvenyre, azt

kapjuk, hogy h1Es(A)Es(B), melybol Es(B)hEs(A). Mivel mindket iranyutartalmazas fennall, azert a ket halmaz azonos: hEs(A) =Es(B).3. Mivel Es(A) homeomorfizmussal atviheto az Es(B) alterbe, azert dimenziojuk

egyenlo, azazs(A) =s(B), melybolu(A) =u(B) is kovetkezik, hiszen a centralis altereknulla dimenziosak.

Folytonos ideju dinamikai rendszerek eseteben azt lattuk, hogys(A) =s(B) nemcsakszukseges, hanem elegseges feltetele is ket hiperbolikus rendszer C0-konjugaltsaganak.Vizsgaljuk meg egy egydimenzios es egy ketdimenzios peldan, hogy diszkret ideju esetbenis elegseges-e ez a feltetel.

Pelda 2.2. Tekints uk az A = 1

2 es B =1

2 szamok (11-es matrixok) altal megha-tarozott linearis rendszereket. Mindkettonek egydimenzios a stabil altere, azaz s(A) =s(B) = 1, hiszen mindkettonek nullahoz tarto mertani sorozatok adjak a palyait. Azon-ban, amint a2.3.2. szakasz elejen lattuk, a ket rendszer egymassal nemC0-konjugalt. Ottmegmutattuk, hogy aGL(R) halmaztC0-konjugaltsag szerint hat osztalyra lehet bontani.

Ez a pelda tehat azt mutatja, hogy s(A) = s(B) nem elegseges feltetele a C0-konjugaltsaganak. Ennek ellenere erdemes megvizsgalni a ketdimenzios esetet is, mertebbol intuciot nyerhetunk a hiperbolikus rendszerek osztalyozasahoz.

Pelda 2.3. Tekints uk azA= 12I esB =

12

I matrixokat, aholI a2

2-es egysegm at-

rix. Mindkettonek ketdimenzi os a stabil altere, azazs(A) =s(B) = 2, hiszen mindketto-nek nullahoz tarto sorozatok adjak a palyait. Megmutatjuk, hogy ezek a rendszerekC0-konjugaltak. Olyanh : R2 R2 homeomorfizmust kell megadni, melyreh(1

2x) =1

2h(x)

fennall minden x R2 eseten. A homeomorfizmust ugy adjuk meg, hogy az origo k o-zepu k or oket onmagukba vigye, es a sugaruktol f uggo mertekben forgassa el. Induljunkki az egyseg sugaru k orbol, es definialjuk ezenh-tonkenyes m odon, megpedig ezen k orpontjait hagyja helyben ah lekepezes. Ekkor a h(1

2x) = 1

2h(x) egyenlet miatt az 1/2

sugaru k or onh hatasa mar meghatarozott, nevezetesen ezt a k ort180-kal kell elforgat-nia. A ket k or k oz otti gyuruben ismetonkenyesen lehet definialni ah f uggvenyt. Ezut an

30


32/188

az1/4 es1/2 sugaru k or ok k oz otti gyuruben a f uggvenyt m ar ah(12x) =

12

h(x) egyen-

let definialja. Ezt k ovetoen az1/4 es1/2 sugaru k or ok k oz otti gyuruben felvett ertekeka h(1

2x) = 1

2h(x) egyenlet segtsegevel meghat arozzak h erteket az 1/8 es 1/4 sugaru

k or ok k oz otti gyuruben. Hasonlokeppen az1/2 es1 sugaru k or ok k oz otti gyuruben felvettertekek ah(1

2x) =1

2h(x) egyenlet segtsegevel meghat arozzakh erteket az1 es2 sugaru

k or ok k oz otti gyuruben. K onnyen lathatjuk, hogy a 2k sugaru k or on a forgatas sz ogek. Legyen tehat azr sugaru k or on a forgatas sz oge log2(r), ezzel a forgatas sz ogea sugar folytonos f uggvenye lesz, esr = 2k eseten ak sz ogu forgatast kapjuk. Ezzeltehat ah lekepezest a teljes skon defini alhatjuk a fenti eljarassal. A f uggvenyt keplettelis meg lehet adni a k ovetkezokeppen

h(x) =R( log2(|x|))x, ahol R() = cos sin sin cos A lekepezes nyilv anvaloan bijekcio, folytonossaga csak az origoban szorul bizonytasra,ezt az Olvasora bzzuk.

Megjegyezzuk, hogy 3 dimenzioban az A = 12

I es B =12

I matrixok, ahol I a3 3-as egysegmatrix, nem C0-konjugaltak. Azt lattuk tehat, hogy s(A) = s(B) nemelegseges feltetele a C0-konjugaltsaganak. Az elegseges feltetelt a kovetkezo lemmabanfogalmazzuk meg.

Lemma 2.19.. Tegy uk fel, hogys(A) = s(B) = n (vagyu(A) = u(B) = n). Ebben az

esetbenA esB pontosan akkorC0-konjugaltak, ha sgndet A= sgndet B.

Ennek segtsegevel megadhato a pontos feltetel hiperbolikus rendszerekC0-konjugalt-sagara.

Tetel 2.20.. AzA, B HL(Rn) hiperbolikus lekepezesek pontosan akkorC0-konjugal-tak, ha

s(A) =s(B) sgn detA|Es(A)=sgn detB|Es(B)

sgn detA|Eu(A)=sgn detB|Eu(B)Pelda 2.4. A tetel szerint azA= 1

2I esB =1

2I matrixok, aholI azn n-es egyseg-

matrix, pontosan akkorC0-konjugaltak, han paros. Ugyanis ekkor aI matrixnak ispozitv a determinansa, mg p aratlann eseten negatv. Amint teh at fent mar megmutat-tuk az

A=

12

00 1

2

esB =

12

00 1

2

matrixokC0-konjugaltak.

31


33/188

Pelda 2.5. A tetel alapj an egyszeruen megmutathato, hogy a hiperbolikus matrixokH L(R2)

teret aC0-konjugaltsag nyolc osztalyra bontja. Ennek igazolasat, valamint az egyes osz-talyokbol egy-egy reprezentans megkereseset az Olvas ora bzzuk.

2.4. Feladatok

1. Az alabbi L(R2) matrixok kozul melyikC1-konjugalt a

1 00 1

matrixszal?

A=

12

00 1

2

, B =

12

00 1

2

, C=

12

00 1

2

Valasz: egyik sem.

2. Az alabbi L(R2) matrixok kozul melyikC0-konjugalt a

1 00 1

matrixszal?

A=

12

00 1

2

, B =

12

00 1

2

, C=

12

00 1

2

Valasz: C.

3. Az alabbi L(R2) matrixok kozul melyikC0-ekvivalens a

1 00

1

matrixszal?

A=1

2 0

0 12

, B =1

2 0

0 12

, C=1

2 0

0 12

Valasz: C.

4. Az alabbi L(R3) matrixok kozul melyikC0-ekvivalens a

1 0 00 1 01 1 1

matrixszal?A=

12

0 00 1

2 0

1 1 1 , B = 12

0 00 1

2 0

1 1 1 , C= 1

2 0 0

0 12

0

1 1 1Valasz: B.

5. Az alabbi GL(R2) matrixok kozul melyikC1-konjugalt a

2 00 2

matrixszal?

A=

12

00 1

2

, B =

3 00 4

, C=

3 00 4

Valasz: egyik sem.

32


34/188

6. Az alabbi GL(R2) matrixok kozul melyikC0-konjugalt a 2 00 2 matrixszal?A=

12

00 1

2

, B =

3 00 4

, C=

3 00 4

Valasz: C.

7. Az alabbi L(R2) matrixok kozul melyik hiperbolikus, azaz melyik van benne azEL(R2) halmazban?

A= 0 2

1 0 , B = 1 12 3 , C=

3 2

6 4Valasz: B.

8. Az alabbi GL(R2) matrixok kozul melyik hiperbolikus, azaz melyik van benne aHL(R2) halmazban?

A=

1 12 3

, B =

0 1

22 0

, C=

4 26 5

Valasz: A.

9. Az alabbi rendszerek kozul melyik orbitalisan ekvivalens az1 0

0 1

matrix altal

meghatarozott linearis differencialegyenlettel?

x=

2 00 2

x,

y1y2

=

y31+ y1y

22

y21y2 y32

Valasz: Az elso.

33


35/188

3. fejezet

Lokalis osztalyozas,

normalformaelmelet es aHartmanGrobman-tetel

Tekintsuk azx(t) =f(x(t)) (3.1)

n-dimenzios autonom rendszert. Ez altalaban keplettel nem oldhato meg, gy a legtobbinformaciot a megoldasokrol a faziskep szolgaltatja. Az x(t)p konstans megoldasokataz f(p) = 0 algebrai egyenletrendszer megoldasaval nyerhetjuk. Ezen ppontokat nevez-zuk egyensulyi, vagy stacionarius pontoknak. A trajektoriak viselkedese az egyensulyipontok kis kornyezeteben linearizalassal hatarozhato meg. Ez szemleletesen a kovetke-zokeppen magyarazhato. Az y(t) =x(t) pfuggvenyre a differencialegyenlet

y(t) = x(t) =f(x(t)) =f(p) +f(p)y(t) +r(y(t)) =f(p)y(t) +r(y(t))

ahol r a maradektagot jeloli. Mivel kis y eseten ez kisebb nagysagrendu, mint a linearistag (ha az nem tul kicsi, pl. nem zerus), azert varhato, hogy a p egyensulyi pont egykornyezeteben a faziskepet az

y(t) =f(p)y(t) (3.2)

un. linearizalt egyenlet, melynek matrixat Jacobi-matrixnak nevezzuk, meghatarozza.Itt ket dolgot kell pontostani, egyreszt, hogy mi a nem tul kicsi linearis tag, masreszt,hogy milyen ertelemben hatarozza meg a faziskepet.

Erre vonatkozoan a bevezeto Differencialegyenlet kurzusban az egyensulyi pont sta-bilitasat vizsgaltuk. Roviden osszefoglaljuk az ezzel kapcsolatos eredmenyeket. Jeloljea (3.1) rendszer x(0) =p kezdeti feltetelt kielegto megoldasat t(t, p), ennek ertel-mezesi tartomanyat I(p).

34


36/188

Defincio 3.1.. A (3.1) rendszer p

Rn egyensulyi pontjat stabilisnak nevezz uk, ha

minden >0 szamhoz letezik olyan >0 szam, hogy

q Rn, |qp|< , t0 eseten|(t, q) p|< .Az egyensulyi pontot aszimptotikusan stabilisnak nevezz uk, ha stabilis esq fenti valasz-tasa mellett t + eseten|(t, q)p| 0, lasd 3.1. abra. Az egyensulyi pontotinstabilisnak nevezz uk, ha nem stabilis.

3.1. abra. Aszimptotikusan stabilis egyensulyi pont.

Linearizalas segtsegevel a stabilitas kovetkezokeppen dontheto el.

Tetel 3.2..

1. Ha azf(p) matrix minden sajatertekenek negatv a val os resze, akkorp aszimpto-tikusan stabilis egyensulyi pontja a (3.1) rendszernek.

2. Ha azf(p) matrixnak van pozitv valosresz u sajaterteke, akkorp instabilis egyen-sulyi pontja a (3.1) rendszernek.

A fenti tetel azon esetekre vonatkozik, amikor a stabil alter n-dimenzios, illetve azinstabil alter legalabb egy dimenzios. Ennel altalanosabb alltas is megfogalmazhato,mely szerint a stabil, instabil es centralis alterrel azonos dimenzios invarians sokasa-gok leteznek a nemlinearis rendszerben. Ezeket az alltasokat nevezik stabil, instabil escentralis sokasag tetelnek, melyeket a kovetkezo szakaszban targyalunk. Ebben a sza-kaszban azt vizsgaljuk, hogy egy adott rendszer egy pontjahoz hogyan adhato meg egynala egyszerubb rendszer, melynek faziskepe topologikusan ekvivalens a vizsgalt rend-szer faziskepevel az adott pont egy kornyezeteben. Ennek pontos megfogalmazasahozbevezetjuk a lokalis ekvivalencia fogalmat.

35


37/188

Defincio 3.3.. Legyenek (M, ), (N, ) dinamikai rendszerek, p

M, q

N. A

dinamikai rendszer ap pontban lokalisanCk-ekvivalens (konjugalt) a dinamikai rend-szerrel aqpontban, ha vanp-nek olyanU k ornyezete, esq-nak olyanV k ornyezete, esh: U V Ck-diffeomorfizmus, amely a palyakat egymasba kepezi (az id o megtartasaval),esh(p) =q.

A lokalis vizsgalat alapgondolata az, hogy az f fuggveny p pont koruli f(x) =f(p) +f(p) (x p) +. . . sorfejtesenek tagjai meghatarozzak a lokalis faziskepet. Je-len szakaszban az ezzel kapcsolatos teteleket targyaljuk, melyeket vazlatosan az alabbimodon foglalhatunkossze.

Kiegyenestesi tetel: A nem nulla konstans tag meghatarozza a faziskepet.

HartmanGrobman-tetel: A hiperbolikus linearis tag meghatarozza a faziskepet. Normalformak: A rezonans magasabb foku tagok meghatarozzak a faziskepet.A Kiegyenestesi tetelt itt fogalmazzuk meg, ez tehat a nem egyensulyi pont koruli

lokalis viselkedesre vonatkozik. A tetel szerint egy nem egyensulyi pontban a rendszerlokalisan Ck-konjugalt azzal a rendszerrel, melynek palyai parhuzamos egyenesek. AHartmanGrobman-tetelt es a normalformakat az alabb kovetkezo ket szakaszban tar-gyaljuk.

Tetel 3.4. (Kiegyenestesi tetel). Haf(p)= 0,akkorx= f(x) egyenlet ap pontbanes azy=f(p)egyenlet az origoban lokalisanCk-konjugaltak (amennyibenfCk). Azaz,haf(p)= 0, vagyisp nem egyensulyi pont, akkor a sorfejtes konstans tagja meghatarozzaa faziskepet.

3.1. HartmanGrobman-tetel

LegyenD Rn egyosszefuggo nylt halmaz, f : D Rn egy C1 (folytonosan differen-cialhato ) fuggveny, pD olyan pont melyre f(p) = 0. Jelolje az

x(t) =f(x(t)) (3.3)

differencialegyenlet x(0) = p kezdeti feltetelt kielegto megoldasat x(t) = (t, p). Hasz-nalni fogjuk a t(p) = (t, p) jelolest, ezzel t : R

n Rn. A differencialegyenletnekp egyensulyi pontja. A HartmanGrobman-tetel lenyege, hogy az egyensulyi pontbana (3.3) rendszer faziskepe lokalisan topologikusan konjugalt a linearizalt rendszer fazis-kepevel. Legyen A= f(p) a p pontban a Jacobi-matrix, ekkor a linearizalt rendszer

y(t) =Ay(t) (3.4)

36


38/188

3.2. abra. Kiegyenestesi tetel.

Tetel 3.5. (Hartman-Grobman). LegyenekD,f,p olyanok, mint fent, valamint te-gy uk fel, hogy azA matrix hiperbolikus, azaz semelyik sajaterteke nem nul la val osresz u.Ekkor a (3.3) rendszer ap pontban es a (3.4) rendszer az origoban lokalisan topologiku-san konjugaltak. Azaz letezik ap pontnak olyanU Rn k ornyezete, az origonak olyanV Rn k ornyezete es olyanh: UV homeomorfizmus, melyre

h((t, p) =eAth(p) (3.5)

mindenpU es minden olyant R eseten, melyre(t, p)U. Rovidenht=eAth.

A tetel bizonytasa a kovetkezo lepesekbol all.

1. Megmutatjuk, hogy felteheto p = 0.

2. Kiterjesztjuk az f fuggvenyt az egesz Rn terre ugy, hogy egy adott gombon k-vul megegyezzen a sajat linearis reszevel. Megmutatjuk, hogy eleg a kiterjesztettrendszer es a linearizalt rendszer globalis topologikus konjugaltsagat igazolni. Eztnevezik a HartmanGrobman-tetel globalis valtozatanak.

3. A globalis valtozatot visszavezetjuk a lekepezesekre vonatkozo (globalis) HartmanGrobman-tetelre.

4. Bebizonytjuk a lekepezesekre vonatkozo (globalis) HartmanGrobman-tetelt.

37


39/188

Hasznalni fogjuk az alabbi jeloleseket:

Br ={pRn : |p|< r}C0(Rn,Rn) ={g: Rn Rn : g folytonos}C1(Rn,Rn) ={g: Rn Rn : g folytonosan differencialhato}C0b (R

n,Rn) ={g: Rn Rn : g folytonos es korlatos}

aC0(Rn,Rn), illetve bC1(Rn,Rn) eseten

a0 = supRn

|a| b1=b0+ b0

Mielott a bizonytas lepeseire raternenk, megfogalmazzuk az HartmanGrobman-tetelfent emltett valtozatait.

Tetel 3.6. (globalis Hartman-Grobman-tetel). LegyenAL(Rn)hiperbolikus,aC1(Rn,Rn), valamintf =A+a. Jel olje most is a (3.3) rendszer megoldasat(, p). Arendszernek az origo az egyensulyi pontja. Ekkor letezik olyan >0 szam, hogy ha azakompakt tartoju es teljes ul raa1 < , akkor letezik olyanh : Rn Rn homeomorfiz-mus, melyre

h((t, p) =eAth(p) (3.6)

mindenp

Rn es mindent

R eseten.

Tetel 3.7. (HartmanGrobman-tetel lekepezesekre). LegyenL GL(Rn) hiper-bolikus, azaz L olyan matrix, melynek nincs 0 es 1 abszolutertek u sajaterteke. Ekkorletezik olyan > 0 szam, hogy minden olyan F C1(Rn,Rn) f uggvenyhez, melyreF1< , letezik egyetlengC0b (Rn,Rn), melyreH=id+ g homeomorfizmus, es

H (L + F) =L H. (3.7)

3.1.1. A bizonytas 1. lepeseAlltas 3.1. Tegy uk fel, hogy p = 0 eseten igaz a HartmanGrobman-tetel. Ekkortetszolegesp eseten igaz.

Bizonyt as. Legyen l : Rn Rn a kovetkezo eltolas l(p) =p p. Legyen y : R Rn,y(t) =x(t) p. Ekkor y(t) = x(t) =f(x(t)) =f(y(t) +p), azaz y megoldasa az

y(t) =g(y(t)) (3.8)

38


40/188

differencialegyenletnek, aholg = f

l1. Ennek az egyenletnek az origo egyensulyi pontja.

Jelolje a differencialegyenlety(0) =qkezdeti feltetelt kielegto megoldasat (, q). Egy-szeruen lathato, hogy (t, q) =(t, q+p) p, azaz

l t = t l. (3.9)

Mivel a (3.8) egyenletre a felteves szerint igaz a HartmanGrobman-tetel, azert van olyanh1 homeomorfizmus, melyre

h1 t = eAt h1, (3.10)aholA = g (0) =f(p). Komponaljuk a (3.10) egyenletet jobbroll-lel, ekkorh1t l=eAt h1 l. Alkalmazva a (3.9)osszefuggesth1 l t= eAt h1 l. Bevezetve ah = h1 ljelolest a kvant alltast kapjuk, mivel h, ket homeomorfizmus kompozciojakent, magais homeomorfizmus.

3.1.2. A bizonytas 2. lepese

Az alabbi kiterjesztesi lemma segtsegevel bebizonytjuk, hogy a HartmanGrobman-tetel globalis valtozatabol (3.6.. Tetel) kovetkezik a lokalis (3.5.. Tetel). A lemmat nembizonytjuk.

Lemma 3.8.. Legyen f C1(BR,Rn), es legyen A = f(0). Minden > 0 szamhozletezik olyanr >0 esa

C1(Rn,Rn), melyekre

1. minden|p|< r esetena(p) =f(p) Ap,2. minden|p|> 2r esetena(p) = 0,3.a1 < .

3.5. Tetel bizonyt asa. A 3.1. Alltas szerint elegendo a tetelt p = 0 eseten igazolni.Legyen >0 a3.6.. Tetelben adott ertek (ez csak az Amatrixtol fugg). Ehhez a kiter-jesztesi lemma szerint valasszuk meg az r > 0 szamot es az aC1(Rn,Rn) fuggvenyt.

Legyen f = A+ a, es jelolje az x(t) = f(x(t)) differencialegyenlet megoldasat (, p).Ekkor aBr gombon azf esf fuggvenyek megegyeznek, gypBr es(t, p)Br eseten(t, p) = (t, p). Mivel aza fuggvenyre teljesulnek a3.6.. Tetel feltetelei, azert e tetelszerint letezik olyan h : Rn Rn homeomorfizmus, melyre ht = eAt h. EkkorU=Br, h = h|U es V =h(Br) valasztassal teljesul a bizonytando alltas.

39


41/188


42/188


43/188

L1

F+L1

g

(L + F) =g , (3.15)

Mivel EsEu = Rn, azert mind az F, mind a g fuggveny eseteben bevezethetjuk azFs, gs: R

n Es, es az Fu, gu: Rn Eu fuggvenyeket olyan modon, hogy fennalljong=gs+gu es F =Fs+Fu .

Nyilvanvaloan gC0b (Rn,Rn) eseten igaz gs, guC0b (Rn,Rn) is. Definialjuk aT opera-tort gC0b (Rn,Rn) eseten a kovetkezokeppen.

T(g) =L gs (L + F)1 Fs (L +F)1 + L1 gu (L +F) +L1 Fu . (3.16)Megmutatjuk, hogy hag fixpontja aT operatornak, akkorH= id + g megoldasa a (3.7)egyenletnek. Ugyanis tetszoleges p

Rn eseten

(Lgs(L+F)1Fs(L+F)1)(p)Es es (L1gu(L+F)+L1Fu)(p)Eu.Igyg = gs + gu miatt aT(g) =g egyenlet csak ugy allhat fenn, ha az alabbi ket egyenletteljesul

L gs (L +F)1 Fs (L + F)1 =gs es L1 gu (L + F) +L1 Fu=gu .Ezekbol

L gs= gs (L +F) +Fs es L gu = gu (L + F) +Fu .Osszeadva a ket egyenletet es felhasznalva L linearitasat, a (3.13) egyenletet kapjuk,amely ekvivalens a (3.7) egyenlettel.

4. Ebben a pontban megmutatjuk, hogy megfelelo normat valasztva a C0b (Rn,Rn)teren a T operator a teret onmagaba kepezo kontrakcio, gy a g fuggveny letezese esegyertelmusege a Banach-fele fixponttetelbol kovetkezik.

Nyilvanvalo, hogy T ertelmezve van az egesz C0b (Rn,Rn) teren, es barmely g

C0b (Rn,Rn) eseten a T(g) fuggveny az egesz Rn halmazon ertelmezett folytonos fugg-

veny. Eloszor megmutatjuk, hogyT(g) korlatos is, azaz aT operator aC0b (Rn,Rn) teret

onmagaba kepezi. Ugyanis a (3.16) jobboldalan allo minden tag egy korlatos fuggvenytdefinial. Peldaul az utolso tag eseteben

|(L1 Fu)(p)|=|L1Fu(p)| L1F0fennall minden p Rn pontra. Hasonloan a tobbi tagra is.

Vegul belatjuk, hogy T kontrakcio. Legyen gC0b (Rn,Rn) eseteng=gs0+ gu0 .

Konnyen igazolhato, hogy a C0b (Rn,Rn) ter ezzel a normaval Banach ter. Megmutatjuk,

hogy ekkor T kontrakcio. Ehhez felhasznaljuk, hogy

(T(g))s=L gs (L + F)1 Fs (L + F)1 ,(T(g))u = L

1 gu (L + F) +L1 Fu ,

42


44/188


45/188


46/188

Ennek linearis resze az origoban, mint egyensulyi pontban az A = 0 11 0 matrix,amely centrum pontot hataroz meg, azaz a linearis resz nem hiperbolikus. Az origo ebbena rendszerben instabil fokusz, amit polarkoordinatakra valo transzformalassal egyszeruenigazolhatunk. Vezess uk be ismet az r es f uggvenyeket azx(t) = r(t) cos((t)), y(t) =r(t) sin((t)) transzformacios kepletekkel. Ezekbol

x= r cos() r sin(), y= r sin() +r cos().

Az elso egyenletetcos()-vel, a masodikatsin()-vel szorozva, majd a ket egyenletetossze-adva es felhasznalva a differencialegyenleteketr =r3. Hasonl okeppen az els o egyenletetsin()-vel, a masodikatcos()-vel szorozva, majd a ket egyenletet kivonva es felhasznalva

a differencialegyenleteket= 1. Igy azr es f uggveny is szigoruan monoton n ovekedoenvegtelenhez tart, ezert az origo instabil fokusz, amint a3.1.4. abran lathato.

A (3.21)-(3.22) rendszer faziskepe.

3.2. NormalformakLegyenf : Rn Rn k-szor folytonosan differencialhato fuggveny, melyet rovidenfCkfog jelolni. Sokszor feltesszuk, hogy f akarhanyszor differencialhato, ezt f C fogjajelolni, ha pedig fanalitikus is, azaz sorba fejtheto, tehat sorfejtesenek van osszege, esaz eloalltja f-et, akkor az fC jelolest hasznaljuk.

A normalformak levezetesenek alapgondolata a kovetkezo. Az x(t) = f(x(t)) diffe-rencialegyenlet egyszerustese celjabol vezessuk be az y(t) fuggvenyt az x= h(y)ossze-fuggessel, ahol h diffeomorfizmus. Ekkor azy fuggvenyre a differencialegyenlet az alabbi

45


47/188


48/188

eltuntetese a kovetkezokeppen tortenik. Eloszor egy H2(x) = x+ h2

x2 fuggvenyt

valasztunk, melyben h2 = a2/A. Ekkor a G2 fuggveny G2(x) = Ax+ o(x2) alaku esteljesti a (3.23) egyenletet, azaz H2 G2=f H2. Ezutan aG2(x) =Ax + b3x3 + o(x3)fuggvenyhez keresunk egy H3(x) = x+ h3x3 fuggvenyt. Ebben h3 = b3/2A, ekkorG3(x) =Ax + o(x

3) alaku es teljesti a (3.23) egyenletet, azazH3 G3 = G2 H3. Legyenmost h= H2 H3, ekkor h = (H2 H3) H3, gy

f h= f H2 H3 = (H2 G2) H3= (H2 H3) (G2 H3)) =(H2 H3) H3 G3=h G3.

Tehat f h = h G3, ami azt jelenti, hogy a H2 es H3 lekepezesek egymas utanialkalmazasaval kapott h transzformacio mind a masodfoku es a harmadfoku tagokatkitranszformalja azf sorfejtesebol. Az eljarast folytatva, ha aGk1 fuggvenyt, melybencsakk 1-ed es magasabb foku tagok vannak, mar meghataroztuk, akkor aHk fuggvenyhk egyutthatojanak megfelelo valasztasaval elerheto, hogy a

Hk Gk =Gk1 Hkegyenlet altal meghatarozott Gk fuggveny sorfejteseben ne legyenek k-nal kisebb fokutagok. Igy vegul a h= H2H3. . .vegtelen kompozcio segtsegevel azosszes nemlinearistag kitranszformalhato, azaz fennall a (3.23) egyenlet a g(x) =Ax linearis fuggvennyel.Itt termeszetesen kerdes a vegtelen kompozcio konvergenciaja, melyrol a szakasz vegen

megfogalmazunk egy tetelt. A tovabbiakban a fenti eljarast kiterjesztjuk azn-dimenziosesetre.

Tekintsuk tehat az x(t) = f(x(t)) rendszert, melynek egyensulyi pontja az origo, esa linearizalassal kapott A= f(0) Jacobi-matrixrol tegyuk fel, hogy diagonalis. Legyentehat

f(x) =Ax +a(x) +o(xr),

ahol

A=

1 0

. . .

0 n

diagonalis esa(x) csak r-ed foku tagokat tartalmaz, azaz a(x)

ei xm11 xm22 xmnn , m1+m2+ + mn=r

alaku tagok linearis kombinacioja, ahol ei Rn az i-edik egysegvektor (i-edik koordi-nataja 1, a tobbi koordinataja 0). Peldaul n = 2, r = 2 eseten a(x) az alabbi ternekeleme:

V2= span

x210

,

x1x2

0

,

x220

,

0

x21

,

0

x1x2

,

0

x22

.

47


49/188

Tehat az x(t) =f(x(t)) rendszer az alabbi alakba rhato

x1=1x1+ a20x21+ a11x1x2+ a02x

22+ o(x

3)

x2=2x2+ b20x21+ b11x1x2+b02x

22+o(x

3)

Tetszoleges n es r eseten a(x) a hasonloan definialt

Vr = span{ei xm11 xm22 xmnn : m1+ m2+ + mn=r, i= 1, 2, . . . , n}ternek eleme. Keressuk ah homeomorfizmusth(x) =x + H(x) alakban, ahol H(x)Vris r-ed foku tagok linearis kombinacioja. Celunk a H olyan valasztasa, hogy a (3.23)egyenlet altal meghatarozottg fuggvenyreg(x) =Ax+o(xr) teljesuljon. Irjuk fel a (3.23)

egyenlet bal es jobb oldalat.

(f h)(x) =Ax + AH(x) +a(x + H(x)) +o(xr) =Ax + AH(x) +a(x) +o(xr)mivel a(x + H(x)) =a(x) +o(xr), az asorfejtesenek felhasznalasaval. Masreszt

h(x) g(x) = (I+ H(x)) (Ax + o(xr)) =Ax + H(x) Ax + o(xr).A jobb es bal oldal r-ed foku tagjainak egyutthatoit egyenlove teve kapjuk a Hfuggvenyrevonatkozo, ugynevezett homologikus egyenletet

H(x)Ax

AH(x) =a(x).

Vezessuk be azLA : VrVrlinearis lekepezest, amely egyHfuggvenyhez a homologikusegyenlet bal oldalat rendeli hozza, azaz

(LAH)(x) =H(x)Ax AH(x).

A homologikus egyenletnek tehat pontosan akkor van minden aVr eseten egyertelmumegoldasa, ha LA bijekcio, azaz fennall a kovetkezo alltas.

Alltas 3.2. Ha0 nem sajaterteke azLA lekepezesnek, akkor azr-ed foku tagok kitransz-formalhatok.

Nezzuk meg, hogy hogyan hat az LA lekepezes aVr fenti megadasaban szereplo bazisele-mekre. Ehhez vezessuk be az xm =xm11 xm22 xmnn jelolest.Lemma 3.9..

LA(eixm) =eix

m

nk=1

mkk i

,

ahol az mk szamok az m koordinatai, 1, 2, . . . , n az A matrix diagonalisaban allosajatertekek.

48


50/188


51/188

A fentiekbol

H(x)Ax AH(x) =eixm nk=1

mkk i,amit bizonytani akartunk.

A lemma szerint tehat azLAlekepezes sa jatertekei an

k=1 mkkiszamok, a sajat-vektorai pedig az eix

m alaku fuggvenyek. Mivel ezek a fuggvenyek fesztik ki a Vr teret,azert pontosan annyi sajaterteket talaltunk meg, amennyi a Vr ter dimenzioja. Igy azosszes sajatertekn

k=1 mkk i alakban eloallthato, ami azt jelenti, hogy amennyibenezek nem nullak, akkor az LA lekepezes bijekcio. Vezessuk be ezen sajatertekek alapjana kovetkezo fogalmat.

Defincio 3.10.. AzA matrix sajatertekeit rezon ansaknak nevezz uk, ha van olyan i{1, 2, . . . , n}, es vannak olyanm1, m2, . . . , mn nem negatv egeszek, melyekrem1+ m2+. . . + mn2 esi=n

k=1 mkk. Amennyiben ez fennall, akkor azeixm tagot rezonans

tagnak hvj ak.

Ha tehat az Amatrix sajatertekeit nem rezonansak, akkor az LA lekepezes bijekcio. Ezpedig azt jelenti, hogy megadhato diffeomorfizmusok olyan sorozata, melyek kompoz-ciojaval az eredeti rendszer a sajat linearis reszevel Ck-konjugalt, sot C-konjugalt. Avegtelen kompozcio konvergenciaja megfelelo feltetelek mellett igazolhato, ezt fogalmaz-zuk meg az alabbi tetelben.

Tetel 3.11. (Poincare tetele). 1. HaA sajatertekei nem rezon ansak, akkor azx=f(x) egyenletbol minden tag kitranszformalhato, azaz formalisan megadhato olyantranszformacio, mellyel a rendszer ekvivalens azy =Ay linearis rendszerrel, aholA= f(0).

2. HaA sajatertekei nem rezon ansak es a sajatertekek halmaz anak konvex burka nemtartalmazza 0-t C-ben, akkorx = f(x) esy = Ay az origoban lokalisan C-konjugalt.

Pelda 3.3. Ha a rendszern= 2 dimenzios, akkor masodfoku rezonans tagok a k ovetke-

zokeppen fordulhatnak elo.

m= (0, 2), 0 1+ 2 2=1 v. 2m= (1, 1), 1 1+ 1 2=1 v. 2m= (2, 0), 2 1+ 0 2=1 v. 2

Ha peld aul 1 = 0 vagy 2 = 0, akkor az m = (1, 1) valasztassal rezonanciat kapunk,azaz azx1x2 tagot nem lehet kitranszformalni.

50


52/188


53/188


54/188

Pelda 4.2. Tekints uk az

x1=x1x2=x2+ x

21

nemlinearis rendszert. Az elso egyenlet f uggetlen a masodiktol, megoldasax1(t) =etc1.

Ezt behelyettestve a masodik egyenletbe, inhomogen linearis egyenletet kapunk, melyet

meg lehet oldani: x2(t) =et

c2 +c21

3(et

e2t

). Ezek a megoldasok teljestik azx1(0) =c1,x2(0) =c2 kezdeti feltetelt. Vegy uk eszre, hogy amennyiben a kezdeti feltetelrec2 +

c21

3 = 0

fennall, akkor mindent idopontban igazx2(t) + x2

1(t)

3 = 0. Azaz a

Ws={(c1, c2) R2 : c2+ c21

3 = 0}

halmaz invarians, a palyak nem hagyjak el. Az ezen halmazbol indulo trajektoriak azorigohoz tartanak, ezt fogjuk stabil sokasagnak hvni, hiszen ez vette at a stabil alterszerepet. Az instabil sokasagot egyszerubb meghatarozni, hiszen a f uggoleges koordinata-tengely invarians, es ezen a trajektoriak vegtelenhez tartanak, tehat az invarians sokasagez esetben aWu ={(0, c2) R2 : c2 R} alter. Az invarians sokasagokat a4.1. abramutatja.

A stabil es instabil sokasagok a4.2peldaban.

4.1.1. Altalanos eset

A fenti motivalo peldak utan terjunk ra most az altalanos eset targyalasara. A soka-sag fogalmanak technikai reszleteit szeretnenk elkerulni, ezert a sokasagokat fuggveny

53


55/188


56/188


57/188

4.1. abra. A stabil sokasagot n= 3 es k = 2 eseten a 3 fuggveny grafikonja hatarozzameg.

Mivel a (4.1) rendszer direktosszeg alaku, azert celszeru az alabbi jelolesek bevezetese.Tetszoleges v

Rn vektor eseten legyen v =vs+ vu, ahol

vs=

v1...

vk0...0

, vu=

0...0

vk+1...

vn

.

Legyen tovabba

Js= B 00 0 , Ju = 0 00 C .Haxmegoldasa a (4.1) rendszernek esa = as+au, akkor azxs esxufuggvenyekre fennall

xs=Jsxs+ as(x) (4.2)

xu=Juxu+ au(x). (4.3)

Alkalmazzuk a konstans variacios formulat a (4.1) egyenletre, ekkor

x(t) = eJtp +

t0

eJ(t)a(x())d,

56


58/188


59/188

3. Lepes

Igazoljuk, hogy ha a ps Es pont eleg kozel van az origohoz, akkor van olyan xfuggveny, amelyre fennall a (4.6) egyenlet, es erre a fuggvenyre lim

tx(t) = 0. Az x

fuggveny letezeset szukcesszv approximacioval bizonytjuk. Vezessuk be a folytonos,korlatos fuggvenyek X= Cb([0, +),Rn) teret, es azon azx = sup[0,+) |x| normat.A (4.6) egyenlet jobb oldalan szereplo kifejezes alapjan vezessuk be a T :XX

T(x)

(t) = eJstps+

t0

eJs(t)a(x())dt

eJu(t)a(x())d

operatort. Nyilvanvalo, hogy T az egesz Xteren ertelmezve van, es egyszeruen igazol-hato, hogy az Xterbe kepez. Azt kell igazolnunk, hogy a T lekepezesnek van fixpontja,

amely tehat megoldasa a (4.6) egyenletnek. Legyen x0 X, x0 0, es kepezzuk azxn+1=T(xn) rekurzioval az (xn)X fuggvenysorozatot. Teljes indukcioval igazolhato,hogy

|xn+1(t) xn(t)| K|ps|et

2n ,

ahol K >0 es >0 olyan szamok, melyekkel minden t0 eseten fennallnak azeJst Ke(+)t, eJut Ket

becslesek, melyekben > 0. Ebbol kovetkezik, hogy (xn) X Cauchy-sorozat, gymivel Xteljes metrikus ter, azert konvergal egyxX fuggvenyhez. Igazolhato, hogyTfolytonos, ezert az xn+1 =T(xn) rekurziobol n eseten azt kapjuk, hogy x= T(x),azaz megkaptuk a kvant fixpontot. Ezenkvul belathato, hogyxn(t) C et mindent0 eseten, gy ugyanez teljesul az xfuggvenyre is, ami a nullahoz tartasat igazolja.

4.1.2. Globalis sokasagok

A Wlocs es Wlocu sokasag segtsegevel definialhatjuk a globalis sokasagokat. Ezek rend-

szerint mar nem adhatok meg fuggvenygrafikonkent, ezert a tovabbiakban sokasagkenthivatkozunk rajuk. A stabil sokasagot ugy definialjuk, hogy a belole indulo trajektoriakaz origohoz tartsanak. Mivel az origohoz tarto palyak az origo kozeleben a lokalis sta-

bil sokasagban haladnak, azert a globalis stabil sokasagot celszeru a kovetkezokeppendefinialni.Ws:=t0

(t, Wlocs ).

Az instabil sokasagot ugy hatarozzuk meg, hogy a belole indulo palyak t ese-ten tartanak az origohoz. Mivel az ilyen palyak az origo kozeleben a lokalis instabilsokasagban haladnak, azert az instabil sokasagok a kovetkezokeppen definialjuk.

Wu :=t0

(t, Wlocu ).

58


60/188


61/188


62/188


63/188


64/188

hatvanyhoz tartozo tagokat. Ekkorx2 egy utthatoibol a

a2

2 = 0 osszef uggest kapjuk,

melybola2 =2. Igy a centralis sokasagot megado f uggvenyre (x) =2x2 +O(x3),azaz centralis sokasag masodrendu approximacioja(x) =2x2. Helyettests uk most aredukalt rendszer elso egyenletebe a(x) =2x2 +O(x3) f uggvenyt. Ekkor

x= x(2x2 + a3x3 +. . .) +x3 =x3 +O(x4)Ezen egyenlet origo k or uli faziskepe nem f ugg az O(x4) tagoktol, hiszen azok a palyakiranyat az origo k ozeleben nem befolyasoljak. Tehat ebben a rendszerben a palyak azorigo k ozeleben az origohoz tartanak, azaz a c

differenciálegyenletek És dinamikai rendszerek 2

Documents