Δηµήτρης Αντ. ΜοσχόπουλοςΚαθηγητ'ς Μαθηµατικ,ν

Πτυχιο2χος Αριστοτελε8ου Πανεπιστηµ8ου Θεσσαλον8κης

ΜαθηματικάΓ΄ Λυκείου

Διαφορικός Λογισμός

Νέα Μουδανιά - Ιούνιος 2015 - 2η έκδοση

Ορισμός παραγώγου σε σημείο.

5αναλυτικ( λυµ)νες ασκ-σεις

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ)5Να#δείξετε#ότι#μία#συνάρτηση#είναι#παραγωγίσιμη#σ'#ένα#σημείο#του#πεδίου#ορισμού#της#(ή#σε#κάποιο#διάστημα)#και#στα#δεδομένα#υπάρχει#σχέση#της#μορφής#f(x#+#y)#ή#f(xy).

Σχολικό βιβλίο Γ΄ Λυκείου (ασκήσεις 1, 2).

Μαθηµατικά Γ΄Λυκείου, Ανάλυση.

Οργανισµός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων, Αθήνα.

Έκδοση Ζ΄, 1998.

Συγγραφείς: Κατσαργύρης Βασίλειος, Μεντής Κωνσταντίνος, Παντελίδης Γεώργιος, Σούρλας Κωνσταντίνος.

Άγνωστη πηγή (ασκήσεις 3 - 5).

Θέμα ασκήσεων φυλλαδίου:

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 5Να δείξετε ότι μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της (ή σε

κάποιο διάστημα) και στα δεδομένα υπάρχει σχέση της μορφής f(x+y) ή f(xy).

Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. Ορισµός παραγώγου σε σηµείο.

Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr

- 1 -

1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 1, με f (xy) = f (x)+ f (y) , για κάθε x ,y ∈ !* , να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x0

∈ !* .

2. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με f (x +y) = f (x)+ f (y)+ 5xy , για κάθε x ,y ∈ ! , να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x0

∈ ! .

3. Η συνάρτηση f ορίζεται στο ! και έχει την ιδιότητα f (x +y) = f (x)+ f (y)+ x 2y , για κάθε x ,y ∈ ! . Αν είναι ′f (0) = 1 , να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x0

∈ ! .

4. Η συνάρτηση f :!→ ! έχει την ιδιότητα f (x +y) = f (x)+ f (y) , για κάθε x ,y ∈ ! . Αν παραγωγίζεται στο 0 και είναι ′f (0) = 2 , να δείξετε ότι παραγωγίζεται σε κά- θε α ∈ ! .

5. Μια συνάρτηση, f, έχει την ιδιότητα f (x +y) = f (x)+ f (y)+ xy , για κάθε x ,y ∈ ! . Αν είναι παραγωγίσιμη στο α ∈ ! , με ′f (α) = 1+α , να δείξετε ότι είναι παραγω- γίσιμη στο ! και ισχύει ′f (x) = 1+ x , για κάθε x ∈ ! .

1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 1, με f (xy) = f (x)+ f (y) , για κάθε x ,y ∈ !* , να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x0

∈ !* .

Πρώτο βήµα. Θα δείξω ότι η f είναι συνεχής σε κάθε x 0.

Πρώτα θα δείξω ότι η f είναι συνεχής σε κάθε x0∈ !* , δηλαδή ότι ισχύει

ℓ imx→x0

f (x) = f (x0) .

Εδώ θα κάνω µια πολύ χαρακτηριστική αντικατάσταση, που συνδέεται µε την σχέση της µορφής f(xy) που δίνεται !

Θέτω

xx

0

= h . Τότε είναι x = x0⋅h . Όταν x → x

0, τότε h → 1 , οπότε

ℓ imx→x0

f (x) = ℓ imh→1

f (x0⋅h)⇒ ℓ im

x→x0

f (x) = ℓ imh→1

[f (x0)+ f (h)] (1)

Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο 1, είναι και συνεχής στο 1, οπότε ισχύει

ℓ imx→1

f (x) = f (1) .

Αφού η σχέση της εκφώνησης ισχύει για κάθε x ,y ∈ !* , θέτω x = y = 1 και έχω

f (1) = f (1)+ f (1)⇒ f (1) = 0 .

Άρα είναι ℓ imx→1

f (x) = 0⇔ ℓ imh→1

f (h) = 0 και από την (1) έχω ότι

ℓ imx→x0

f (x) = f (x0)+ 0⇒ ℓ im

x→x0

f (x) = f (x0) .

Εδώ ολοκληρώθηκε το πρώτο βήµα. Τώρα θα δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε x 0.

Δεύτερο βήµα. Θα δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε x 0.

Θα δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, δηλαδή ότι το

′f (x

0) = ℓ im

x→x0

f (x)− f (x0)

x −x0

υπάρχει στο ! .

Με την αντικατάσταση που έκανα παραπάνω, έχω ότι

′f (x

0) = ℓ im

x→x0

f (x)− f (x0)

x −x0

= ℓ imh→1

f (x0⋅h)− f (x

0)

x0⋅h−x

0

= ℓ imh→1

f (x0)+ f (h)− f (x

0)

x0(h−1)

⇒

⇒ ′f (x

0) =

1x

0

⋅ ℓ imh→1

f (h)h−1

.

Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο 1, ισχύει ′f (1) = ℓ im

x→1

f (x)− f (1)x −1

⇔ ′f (1) = ℓ imh→1

f (h)h−1

.

Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. Ορισµός παραγώγου σε σηµείο.

Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr

- 3 -

Επομένως είναι ′f (x

0) =

1x

0

⋅ ′f (1)∈ ! , δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη στο x0.

Σχόλιο. Από την σχέση

′f (x

0) =

1

x0

⋅ ′f (1) , επειδή το x 0∈ !*

είναι τυχαίο, προκύπτει ότι ′f (x) =

1

x⋅ ′f (1) , για

κάθε x ∈ !*.

2. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με f (x +y) = f (x)+ f (y)+ 5xy , για κάθε x ,y ∈ ! , να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x0

∈ ! .

Πρώτο βήµα. Θα δείξω ότι η f είναι συνεχής σε κάθε x 0.

Πρώτα θα δείξω ότι η f είναι συνεχής σε κάθε x0∈ ! , δηλαδή ότι ισχύει

ℓ imx→x0

f (x) = f (x0) .

Εδώ θα κάνω µια πολύ χαρακτηριστική αντικατάσταση, που συνδέεται µε την σχέση της µορφής f(x + y) που δίνεται!

Θέτω x −x0

= h . Τότε είναι x = x0

+h . Όταν x → x0, τότε h → 0 , οπότε είναι

ℓ imx→x0

f (x) = ℓ imh→0

f (x0

+h)⇒ ℓ imx→x0

f (x) = ℓ imh→0

[f (x0)+ f (h)+ 5x

0⋅h ] (1)

Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, είναι και συνεχής στο 0, οπότε ισχύει

ℓ imx→0

f (x) = f (0) .

Αφού η σχέση της εκφώνησης ισχύει για κάθε x ,y ∈ ! , θέτω x = y = 0 και έχω ότι

f (0) = f (0)+ f (0)+ 5 ⋅0 ⋅0⇒ f (0) = 0 .

Άρα είναι ℓ imx→0

f (x) = 0⇔ ℓ imh→0

f (h) = 0 και από την (1) έχω ότι

ℓ imx→x0

f (x) = f (x0)+ 0 + 5x

0⋅0⇒ ℓ im

x→x0

f (x) = f (x0) .

Εδώ ολοκληρώθηκε το πρώτο βήµα. Τώρα θα δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε x 0.

Δεύτερο βήµα. Θα δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε x 0.

Θα δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, δηλαδή ότι το

′f (x

0) = ℓ im

x→x0

f (x)− f (x0)

x −x0

υπάρχει στο ! .

Με την αντικατάσταση που έκανα παραπάνω, έχω ότι

′f (x

0) = ℓ im

x→x0

f (x)− f (x0)

x −x0

= ℓ imh→0

f (x0

+h)− f (x0)

h= ℓ im

h→0

f (x0)+ f (h)+ 5x

0⋅h− f (x

0)

h⇒

⇒ ′f (x

0) = ℓ im

h→0

f (h)+ 5x0⋅h

h= ℓ im

h→0

f (h)h

+ 5x0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .

Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, ισχύει ′f (0) = ℓ im

x→0

f (x)− f (0)x −0

⇔ ′f (0) = ℓ imh→0

f (h)h

.

Επομένως είναι ′f (x0) = ′f (0)+ 5x

0∈ ! , δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη στο x0

.

Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. Ορισµός παραγώγου σε σηµείο.

Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr

- 4 -

Σχόλιο. Από την σχέση ′f (x

0) = ′f (0) + 5x

0, επειδή το x 0

∈ ! είναι τυχαίο, προκύπτει ότι είναι

′f (x) = ′f (0) + 5x , για κάθε x ∈ ! .

3. Η συνάρτηση f ορίζεται στο ! και έχει την ιδιότητα f (x +y) = f (x)+ f (y)+ x 2y , για κάθε x ,y ∈ ! . Αν είναι ′f (0) = 1 , να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x0

∈ ! .

Πρώτο βήµα. Θα δείξω ότι η f είναι συνεχής σε κάθε x 0.

Πρώτα θα δείξω ότι η f είναι συνεχής σε κάθε x0∈ ! , δηλαδή ότι ισχύει

ℓ imx→x0

f (x) = f (x0) .

Εδώ θα κάνω µια πολύ χαρακτηριστική αντικατάσταση, που συνδέεται µε την σχέση της µορφής f(x + y) που δίνεται!

Θέτω x −x0

= h . Τότε είναι x = x0

+h . Όταν x → x0, τότε h → 0 , οπότε είναι

ℓ imx→x0

f (x) = ℓ imh→0

f (x0

+h)⇒ ℓ imx→x0

f (x) = ℓ imh→0

[f (x0)+ f (h)+ x

02 ⋅h ] (1)

Από την σχέση ′f (0) = 1 έχω ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, άρα είναι και συνεχής στο 0, οπότε ισχύει

ℓ imx→0

f (x) = f (0) .

Αφού η σχέση της εκφώνησης ισχύει για κάθε x ,y ∈ ! , θέτω x = y = 0 και έχω ότι

f (0) = f (0)+ f (0)+ 02 ⋅0⇒ f (0) = 0 .

Άρα είναι ℓ imx→0

f (x) = 0⇔ ℓ imh→0

f (h) = 0 και από την (1) έχω ότι

ℓ imx→x0

f (x) = f (x0)+ 0 + x

02 ⋅0⇒ ℓ im

x→x0

f (x) = f (x0) .

Εδώ ολοκληρώθηκε το πρώτο βήµα. Τώρα θα δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε x 0.

Δεύτερο βήµα. Θα δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε x 0.

Θα δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, δηλαδή ότι το

′f (x

0) = ℓ im

x→x0

f (x)− f (x0)

x −x0

υπάρχει στο ! .

Με την αντικατάσταση που έκανα παραπάνω, έχω ότι

′f (x

0) = ℓ im

x→x0

f (x)− f (x0)

x −x0

= ℓ imh→0

f (x0

+h)− f (x0)

h= ℓ im

h→0

f (x0)+ f (h)+ x

02 ⋅h− f (x

0)

h⇒

⇒ ′f (x

0) = ℓ im

h→0

f (h)+ x02 ⋅h

h= ℓ im

h→0

f (h)h

+ x02

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .

Από την σχέση ′f (0) = 1 έχω ℓ imx→0

f (x)− f (0)x −0

= 1⇔ ℓ imh→0

f (h)h

= 1 .

Τελικά είναι ′f (x0) = 1+ x

02 ∈ ! , δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη στο x0

.

Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. Ορισµός παραγώγου σε σηµείο.

Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr

- 5 -

Σχόλιο. Από την σχέση ′f (x

0) = 1 + x

0

2, επειδή το x 0

∈ ! είναι τυχαίο, προκύπτει ότι είναι ′f (x) = 1 + x 2, για

κάθε x ∈ ! .

4. Η συνάρτηση f :!→ ! έχει την ιδιότητα f (x +y) = f (x)+ f (y) , για κάθε x ,y ∈ ! . Αν παραγωγίζεται στο 0 και είναι ′f (0) = 2 , να δείξετε ότι παραγωγίζεται σε κά- θε α ∈ ! .Πρώτο βήµα. Θα δείξω ότι η f είναι συνεχής σε κάθε α.

Πρώτα θα δείξω ότι η f είναι συνεχής σε κάθε α ∈ ! , δηλαδή ότι ισχύει

ℓ imx→α

f (x) = f (α) .

Εδώ θα κάνω µια πολύ χαρακτηριστική αντικατάσταση, που συνδέεται µε την σχέση της µορφής f(x + y) που δίνεται!

Θέτω x −α = h . Τότε είναι x = α+h . Όταν x → α , τότε h → 0 , οπότε είναι

ℓ imx→α

f (x) = ℓ imh→0

f (α+h)⇒ ℓ imx→α

f (x) = ℓ imh→0

[f (α)+ f (h)] (1)

Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, είναι και συνεχής στο 0, οπότε ισχύει

ℓ imx→0

f (x) = f (0) .

Αφού η σχέση της εκφώνησης ισχύει για κάθε x ,y ∈ ! , θέτω x = y = 0 και έχω ότι

f (0) = f (0)+ f (0)⇒ f (0) = 0 .

Άρα είναι ℓ imx→0

f (x) = 0⇔ ℓ imh→0

f (h) = 0 και από την (1) έχω ότι

ℓ imx→α

f (x) = f (α)+ 0⇒ ℓ imx→α

f (x) = f (α) .

Εδώ ολοκληρώθηκε το πρώτο βήµα. Τώρα θα δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε α.

Δεύτερο βήµα. Θα δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε α.

Θα δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο α, δηλαδή ότι το ′f (α) = ℓ im

x→α

f (x)− f (α)x −α

υπάρχει στο ! .

Με την αντικατάσταση που έκανα παραπάνω, έχω ότι

′f (α) = ℓ im

x→α

f (x)− f (α)x −α

= ℓ imh→0

f (α+h)− f (α)h

= ℓ imh→0

f (α)+ f (h)− f (α)h

⇒

⇒ ′f (α) = ℓ im

h→0

f (h)h

.

Από την σχέση ′f (0) = 2 έχω ℓ imx→0

f (x)− f (0)x −0

= 2⇔ ℓ imh→0

f (h)h

= 2 .

Τελικά είναι ′f (α) = 2∈ ! , δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη στο α.

Σχόλιο. Από την σχέση ′f (α) = 2 , επειδή το α ∈ ! είναι τυχαίο, προκύπτει ότι ′f (x) = 2 , για κάθε x ∈ ! .

Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. Ορισµός παραγώγου σε σηµείο.

Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr

- 6 -

5. Μια συνάρτηση, f, έχει την ιδιότητα f (x +y) = f (x)+ f (y)+ xy , για κάθε x ,y ∈ ! . Αν είναι παραγωγίσιμη στο α ∈ ! , με ′f (α) = 1+α , να δείξετε ότι είναι παραγω- γίσιμη στο ! και ισχύει ′f (x) = 1+ x , για κάθε x ∈ ! .

Λόγω του τρόπου διατύπωσης του ζητουµένου, υπάρχει µία µικρή διαφοροποίηση στον τρόπο που αρχίζει η λύση της άσκησης.

Θα θεωρήσω τυχαίο x 0∈ ! και θα δείξω: α) ότι η f είναι συνεχής σ' αυτό. β) ότι η f είναι παραγωγίσιµη σ' αυτό.

Έχοντας αποδείξει τα (α) και (β), θα έχω αποδείξει το ζητούµενο της άσκησης.

Θεωρώ τυχαίο x0∈ ! και θα δείξω, κατ' αρχάς, ότι η f είναι συνεχής στο x0

, δηλαδή ότι

ℓ imx→x0

f (x) = f (x0) .

Εδώ θα κάνω µια πολύ χαρακτηριστική αντικατάσταση, που συνδέεται µε την σχέση της µορφής f(x + y) που δίνεται!

Θέτω x −x0

= h . Τότε είναι x = x0

+h . Όταν x → x0, τότε h → 0 , οπότε είναι

ℓ imx→x0

f (x) = ℓ imh→0

f (x0

+h)⇒ ℓ imx→x0

f (x) = ℓ imh→0

[f (x0)+ f (h)+ x

0⋅h ] (1)

Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο α, είναι και συνεχής στο α, οπότε ισχύει

ℓ imx→α

f (x) = f (α) .

Θέτω x −α = t . Τότε είναι x = α+ t . Όταν x → α , τότε t → 0 και έχω ότι

ℓ imx→α

f (x) = f (α)⇒ ℓ imt→0

f (α+ t) = f (α)⇒ ℓ imt→0

[f (α)+ f (t)+αt ] = f (α) .

Στο όριο αυτό, θέτω g(t) = f (α)+ f (t)+αt , οπότε είναι ℓ imt→0

g(t) = f (α) .

Επίσης είναι f (t) = g(t)− f (α)−αt , οπότε

ℓ imt→0

f (t) = ℓ imt→0

[g(t)− f (α)−αt ] = f (α)− f (α)−α ⋅0⇒ ℓ imt→0

f (t) = 0 (2)

Λόγω της (2), από την (1) έχω ℓ imx→x0

f (x) = f (x0)+ 0 + x

0⋅0⇒ ℓ im

x→x0

f (x) = f (x0) .

Εδώ ολοκληρώθηκε το πρώτο βήµα. Τώρα θα δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε x 0.

Δεύτερο βήµα. Θα δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε x 0.

Θα δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, δηλαδή ότι το

′f (x

0) = ℓ im

x→x0

f (x)− f (x0)

x −x0

υπάρχει στο ! .

Με την αντικατάσταση x −x0

= h , που έκανα παραπάνω, έχω ότι

′f (x

0) = ℓ im

x→x0

f (x)− f (x0)

x −x0

= ℓ imh→0

f (x0

+h)− f (x0)

h= ℓ im

h→0

f (x0)+ f (h)+ x

0⋅h− f (x

0)

h⇒

⇒ ′f (x0) = ℓ im

h→0

f (h)+ x0⋅h

h⇒ ′f (x

0) = ℓ im

h→0

f (h)h

+ x0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ (3)

Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. Ορισµός παραγώγου σε σηµείο.

Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr

- 7 -

Από την σχέση ′f (α) = 1+α και με την αντικατάσταση x −α = t που έκανα παραπά-

νω, έχω ότι ℓ imx→α

f (x)− f (α)x −α

= 1+α⇒ ℓ imt→0

f (α+ t)− f (α)t

= 1+α⇒

⇒ ℓ im

t→0

f (α)+ f (t)+αt− f (α)t

= 1+α⇒ ℓ imt→0

f (t)+αtt

= 1+α⇒ ℓ imt→0

f (t)t

+α⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = 1+α⇒

⇒ ℓ im

t→0

f (t)t

+α−1−α⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = 0⇒ ℓ im

t→0

f (t)t−1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = 0⇒ ℓ im

t→0

f (t)t

= 1 .

Άρα είναι και ℓ imh→0

f (h)h

= 1 και από την (3) έχω ′f (x0) = 1+ x

0∈ ! , δηλαδή η f είναι

παραγωγίσιμη στο τυχαίο σημείο x0, οπότε και στο ! (αφού το x0

είναι τυχαίο).

Σχόλιο. Από την σχέση ′f (x

0) = 1 + x

0, επειδή το x 0

∈ ! είναι τυχαίο, προκύπτει ότι ′f (x) = 1 + x , για κάθε

x ∈ ! .

Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. Ορισµός παραγώγου σε σηµείο.

Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr

- 8 -