digital communication 7 การมอสแบบพัลส์

________________________________________________________________ DCMM-2/2550 Chapter 7 Pulse Modulation 1

บทที่ 7

การมอดูเลตแบบพัลส Pulse Modulation

7.1 การมอดูเลตแบบสัญญาณพัลส (Pulse Modulation) การสื่อสารดวยสัญญาณดิจิตอล มีขอไดเปรียบวิธีการเกาซึ่งเปนการสื่อสารดวยสัญญาณตอเนื่องหรืออุปมานอยูดวยกันหลายขอ ไมวาจะเปนเรื่องของสมรรถนะ ความครอบคลุมหลากหลายและความปลอดภัยของขอมูล อยางไรก็ตามธรรมชาติของสัญญาณที่ใชกนัไมวาจะเปนสัญญาณเสียงหรือสัญญาณภาพ หรือสัญญาณที่แสดงการเปลี่ยนแปลงทางกายภาพอื่น ๆ จะเปนสัญญาณที่ตอเนื่อง หรือสัญญาณอุปมานนั่นเอง การแปลงจากสัญญาณอุปมานเปนสัญญาณเชิงเลขหรือสัญญาณดิจิตอลจึงมีความจาํเปน และขบวนการแปลงนี้ก็เรียกวา การแปลงจากสัญญาณอนาลอกเปนสัญญาณดจิตอล (Analog to Digital Conversion, ADC, A/D) ซ่ึงบางทีก็เรียกวาการมอดูเลตดวยพัลส (Digital

Pulse Modulation) ซ่ึงมีสองเทคนิคหลักที่ใชกนั คือ การมอดูเลตแบบเขารหสัพัลส หรือพีซีเอ็ม (Pulse Code Modulation, PCM) และ การมอดูเลตแบบเดลตา (Delta Modulation) การมอดูเลตแบบเขารหัสพัลส จะประกอบดวยสามขั้นตอนคือ ขั้นตอนการสุมสัญญาณ (Sampling) ขั้นตอนการจัดระดับสัญญาณ (Quantizing) และขั้นตอนการเขารหัส (Coding) ดังแสดงในรูป

)(tx )(nTxxn =

รูปที่ 7.1 กระบวนการของการมอดูเลตโดยการเขารหัสพัลส

7.2 การสุมตัวอยางสัญญาณอุปมาน (Sampling of Analog Signal) การสุมตัวอยางก็คือกระบวนการที่สัญญาณตอที่มีความตอเนื่องถูกวดัคาขนาดที่เวลาขณะหนึ่ง ๆ ที่ไมมีความตอเนื่อง ขนาดของสัญญาณที่สุมไดจะถูกแปลงเปนขนาดที่สอดคลองกับสัญญาณเดิม แตไมมี

________________________________________________________________ 2 Digital Communications C4-R.20080128

ความตอเนื่อง ดวยกระบวนการจัดขนาดและเขารหัส หากการสุมขอมูลนี้เปนไปตามทฤษฏีการสุมแลว ก็สามารถที่จะทํากลับคืนจากสัญญาณดิจติอลมาเปนสัญญาณตอเนื่องไดอยางถูกตอง

7.2.1 สัญญาณและทฤษฎีการสุมขอมูล ( ฺBand Limited Signal and Sampling Theorem)

ถาหากวาสัญญาณ )(tm เปนสัญญาณที่มีแบนดจํากดั mω จะไดวาขอมูลหรือสเปคตรัมที่อยูนอกแบนดไปจะมคีาเปนศูนย หรือซ่ึงก็คือ

0=ω⇔ )(M)t(m เมื่อ mω>ω โดยที่ mm fπ=ω 2 (7.1)

เมื่อตองการประมวลสัญญาณในเชิงเวลาเต็มหนวย สัญญาณตอเนือ่งดังกลาวจะถูกเปลี่ยนรูปใหเปนสัญญาณเวลาเต็มหนวยที่สอดคลองกัน วิธีการก็คือการแทนสัญญาณตอเนื่องเปนชวง ๆ หางกนัเวลา T

คงที่ (คือการสุมตัวอยาง) ถาหาก T มีคาที่เหมาะสมแลวการแทนดงักลาวจะยังคงความถูกตองเอาไว ดังนั้นผลการสุมก็คือการคูณสัญญาณตอเนื่องดวยสัญญาณอิมพัลสที่เล่ือนไปเรื่อย ๆ แตละครั้งก็หางกันเปนเวลา

sfT 1=

∑

∑

∑

∞+

−∞=τ

∞+

−∞=τ

+∞

−∞=τ

−δ=

−δ=

−δ⋅==

)nTt()nT(m

)nTt()t(m

)nTt()t(m)nT(m)t(y

(7.2)

สังเกตวา )(tm ซ่ึงเปนสัญญาณตอเนื่องจะแทนดวยชุดแถวของตัวแทนที่นับดวยคาของเลขจํานวนเตม็ n คือ )(nTm โดยแตละตัวอยางนั้นจะหางกันดวยเวลา T กระบวนการสุมนีแ้สดงไดดังรูปที่ 7.2

รูปที่ 7.2 แสดงการสุมสัญญาณ


กระบวนการดงักลาวนี้อาจแสดงไดในโดเมนทางความถี ่ หาก )(M)t(x);()t( ω⇔ωδ⇔δ การคูณ

ในโดเมนเวลาก็คือการคูณประสานในโดเมนความถี่ เมื่อ ∑∑+∞

−∞=

ππ+∞

−∞=−ωδ⇔−δ

nTn

Tn

)()nTt( 22 (โดย

⇔ แสดงถึงคูของการแปลงฟูริเยร) ดังนัน้

∑

∑

∑

∞+

−∞=

π

∞+

−∞=

π

+∞

−∞=

πππ

−ω=

−ωδω=

−ωδω=ω

n Tn

T

n Tn

T

n Tn

T

)(M

)(*)(M

)(*)(M)(Y

21

21

2221

(7.3)

แสดงวาขนาดของ )(ωM จะถูกคณูดวย T1 และจะกระจายหรือเล่ือนไปหางกนัออกไปดวยความหางชวงละ Tπ2 ดังนั้นเพื่อปองกันไมใหมีการซอนทับกันของ M(ω) หรือเกดิ Aliasing Effect ขึ้น )(ωM จะตองมีชวงความถี่อยูระหวาง T

π− ถึง Tπ+ หรือ 0=ω)(M เมื่อ Tmπ>ω หรือ sm ff π<π2 หรือก็คือ

ms ff 2> โดยที่ mω หรือ fm เปนความถี่ของสัญญาณตอเนื่องที่ตองการจะสุม โดยในรูปที่ 7.3 ก แสดงการสุมสัญญาณในกรณีที่ Tm

π<ω และในรปูที่ 7.3 ข แสดงการสุมสัญญาณในกรณทีี ่

Tmπ>ω (สังเกตุวา เครื่องหมาย * จะแทนการคูณประสาน)

รูปที่ 7.3 ก) แสดงการสุมสัญญาณอธิบายในโดเมนความถี่ ( T/m π<ω )


รูปที่ 7.3 ข) แสดงการสุมสัญญาณอธิบายในโดเมนความถี่ ( T/m π>ω )

(ในกรณีนี้จะเกิดการซอนทบัของแถบสเปคตรัม)

ทฤษฎีการสุมสัญญาณ ถาหากสัญญาณตอเนื่อง )(tm ที่มีความถี่ไมเกนิ maxmmax fπ=ω 2 ขอมูลของสัญญาณตอเนือ่งนั้นสามารถจะอธิบายไดดวย )(nTm เมื่อ sT f=1 ถาหาก maxms ff 2>

ความถี่ต่ําสุดในการสุมซึ่ง ms ff 2= จะเรียกวาอตัราไนควิสท (Nyquist Rate, fNq) และ สวนกลับของอัตราไนควิสทก็จะเรียกวาคาบไนควิสท (Nyquist Perriod, TNq) ซ่ึง NqNq f/T 1=

ตัวอยาง จงแสดงผลการสุมสัญญาณซายนที่มีความถี่ 500 เฮิรทซ และ 1500 เฮิรทซ ดวยความถี่การสุม 2000 เฮิรทซ

วิธีทํา ลองวาดรูปรางสัญญาณตาง ๆ ในชวงเวลาที่ไมต่ํากวา 2 มิลลิวินาที (เพื่อใหครอบคลุมอยางนอย 1 ลูกคลื่นของสัญญาณ 500 เฮิรทซ) โดยทีค่าบเวลาของการสุมตัวอยางก็คือ 1/2000 = 0.5 มิลลิวินาที ผลที่ไดแสดงดังรูปที่ 7.4 ก)

ก)

ข)


ค)

ง)

รูปที่ 7.4 การสุมสัญญาณซายนที่มีความถี่ 500 เฮิรทซ และ 1500 เฮิรทซดวยความถี่การสุม 2000

เฮิรทซ

เมื่อพิจารณาแยกแตละสัญญาณดังรูปที่ 7.4 ค) และ 7.4 ง) ในรูปที ่7.4 ค) จะเห็นวามคีวามเปนไปไดที่จะสรางสัญญาณ 500 เฮิรทซ คืนมาจากตัวอยางที่สุมได เพราะในอยางนอยในครึ่งคาบเวลา ก็จะมีสัญญาณที่สุมไดปรากฏอยู แตจากรูปที ่7.4 ง) จะเปนการยากมากทีจ่ะสามารถที่จะสรางสัญญาณ 1500

เฮิรทซ จากตัวอยางที่สุมมาได (ซ่ึงจะเหน็ไดวาบางรอบสัญญาณมีเพียงตัวอยางเดยีวเทานั้น)

ตัวอยาง จงหาอัตราอัตราไนควิสทของสัญญาณ )(tm เมื่อ ก) tttm ππ= 300010002 coscos)(

ข) tttm

ππ

=200sin)(

ค) 2400⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ππ

=tttm sin)(

วิธีทํา

ก) tttm ππ= 300010002 coscos)( = { } { }tttt )(cos)(coscoscos 200021000240002000 π+π=π+π

ซ่ึงจะเหน็วา Hzfm 2000= ดังนั้น kHzfmfNq 42 ==

ข) { }ttttm t )(sinsin)( 1002200

22 π=

ππ

= π

ซ่ึงจะเหน็วา Hzfm 100= ดังนั้น HzfmfNq 2002 ==


ค) 2400⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ππ

=ttsin)t(m

{ }ttttxtx t )(sinsin)()( 2002400

22

21 π=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ππ

== π

ดังนั้น Hzfm 200= จึงได HzfmfNq 4002 ==

7.2.2 วิธีการสุมขอมูล (Sampling)

การสุมตัวอยางในอุดมคตินัน้ ถือวาเปนการอานขนาดของสัญญาณ ณ. เวลานั้นทันที ในอัตราการอานที่สม่ําเสมอ หรือก็คือการอานดวยสัญญาณชุดแถวนั่นเอง ซ่ึงการคูณสัญญาณ m(t) ดวยชุดแถวของสัญญาณอิมพัลส จะไดผลลัพท คือ สมการที่ (7.2) นั่นเอง (ในกรณีนี้ sTT = และ )()( tmnTm n= )

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=−δ=−δ=δ=

nss

nssn )nTt()nT(m)nTt()t(m)t(T)t(m)t(m (7.4)

สมการที่ (7.4) ถือเปนสัญญาณที่สุมไดอยางอุดมคติ อยางไรก็ตามในทางปฏิบัตินัน้จะแตกตางออกไปบาง เพราะสญัญาณที่ใชสุมนั้นไมไดเปนอิมพัลส แตจะเปนพัลสแคบ ๆ การสุมสัญญาณในทางปฎิบัติ จึงแบงแยกเปนการสุมอยางธรรมชาติและการสุมสัญญาณสวนบนเรียบ

7.2.2.1 การสุมอยางธรรมชาต ิ(Natural Sampling)

ปกติแลวสัญญาณที่ใชสุม จะมีความกวาง TW และมีคาบเวลา Ts ในชวงเวลา TW สัญญาณที่สุมไดยังคงเปนสัญญาณอินพุทซึ่งมีการเปลี่ยนแปลง การสุมแบบนี้จงึเรียกวาเปนการสุมอยางธรรมชาต ิ

m(t)

ms(t)

Ts

TW

ms(t)

รูปที่ 7.5 การสุมสัญญาณอยางธรรมชาต ิ

ตัวอยาง ในการสุมอยางธรรมชาติจงแสดงวาหากความถี่ที่ใชสุม (fs) เทากับหรือมากกวาสองเทาของความถี่สูงสุดของสัญญาณที่ถูกสุมแลว สัญญาณดังกลาวสามารถที่จะสรางคืนไดจาก )t(ms โดยการผานวงจรกรองผานความถี่ต่ํา


วิธีทํา จากรูปที่ 7.5 สัญญาณ )t(ms ก็คือสัญญาณที่ไดจากการคูณระหวาง สัญญาณ m(t) กับชุดแถวของพัลส )t(xp ที่มีคาบเวลา Ts และมีความกวาง TW ดังนั้น จงึเขียน )t(xp ไดเปน

∑∞

−∞=

ω=n

tjnnp sec)t(x เมื่อ sss T/f π=π=ω 22

โดยที่ 22

/Tn)/Tnsin(

TTc

WsWs

sW

n ωω

= ดังนั้น

∑∑∞

−∞=

ω∞

−∞=

ω ==n

tjnn

n

tjnns ss e)t(mcec)t(m)t(m

จากคุณสมบัตกิารเลื่อนทางความถี่ของการแปลงฟูริเยร จะได

∑∞

−∞=ω−ω=ω

nsns )n(Mc)(M

เห็นไดชัดวาสเปคตรัมปรากฎที่ snω ดวยขนาดที่เปลี่ยนไปตาม cn ดังนั้น หาก ms ω>ω 2 แลวจะไมมีการซอนทับของสเปคตรัม หรือ m(t) สามารารถที่จะสรางคืนไดอยางถูกตองโดยการให )t(ms ผานวงจรกรองผานความถี่ต่ํา

7.2.2.2 การสุมสัญญาณสวนบนเรียบ (Flat-top Sampling)

วิธีการสุมสัญญาณสวนบนเรียบเปนวิธีที่ใชอยางแพรหลายและรูจกักนัดีในชื่อการสุมและคงคา (Sample & Hold, S/H) แสดงในรูปที ่7.6 ก สวิทช Sw1 ทําหนาที่เปนตัวสุมเพือ่ประจุตัวเก็บประจุในชวงเวลาสัน้ ๆ แรงดนัที่สุมไดจะคงคาไวดวยตวัเกบ็ประจุ จนกวาจะจัดระดับสัญญาณและเขารหัสเสร็จ สวิทช Sw2 จะคายตวัเก็บประจุเพื่อเตรียมอานสัญญาณใหมตอไป


รูปที่ 7.6 ก) วงจรสุมแลัคงคา ข) การสุมสัญญาณสวนบนเรียบ ค) ผลลัพทการสุมและคงคา

7.2.3 การมอดูเลตเชิงขนาดของพัลส (Pulse Amplitude Modulation, PAM)

การมอดูเลตเชงิขนาดของพัลสก็คือ การจัดการใหไดสัญญาณพัลส ที่ความสูงเปลี่ยนไปตามขนาดของสัญญาณที่เขามา สวนที่เปนสัญญาณพาหก็คือชุดแถวของสัญญาณสี่เหล่ียม (หรือสัญญาณพัลส ที่มีความถี่เทากับอัตราการสุมสัญญาณ) ดังนัน้ )t(ms จึงเขียนไดโดย

∑∞

−∞=−=

nsss )nTt(p)nT(m)t(m (7.5)

เมื่อ p(t) ก็คือ พัลสที่มีความกวาง TW

⎩⎨⎧

><

=2021/Tt/Tt

)t(pWW (7.6)

ดังนั้น §

)t(p*)t(m)t(m ns = (7.7)

--------------------------------------

§ จาก ∑∞

−∞=−δ=

nnnn )nTt()nT(m)t(m โดยอาศัยความสัมพนัธ )t(x*)t(x)t(x*)t(x 1221 = และ

)tt(x)tt(*)t(x 00 −=−δ จะไดวา


)t(m

)nTt(p)nT(m

)nTt(*)t(p)nT(m

)t(p*)nTt()nT(m)t(p*)t(m

sn

ss

nss

nssn

=

−=

−δ=

−δ=

∑

∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

-----------------------------------------

7.3 การควอนไทซ (Quantizing) สัญญาณที่ไดจากการสุม ยงัไมสามารถที่เขารหัสเปนเลขไบนารีได หากไมทราบจาํนวนบิตทีต่องการซ่ึงการระบุจํานวนบิตทีต่องการจะเปนการกําหนดการเกบ็รายละเอียดของสัญญาณ เนื่องจากจาํนวนบิตที่ใชมีจํากดั การจดัระดบัสัญญาณก็จํากัดไปดวย ปกติแลวกอนสัญญาณจะถูกสุม ก็จะมีการกําหนดระดับสูงสุดเรียกวาระดับเตม็สเกล (Full scale voltage, VFS) การแทนแรงดนัตอสัญญาณที่สุมได ดวยเลขฐานสองจํานวน m บิตนั้น ทําใหไดสามารถแยกแรงดันออกไดเปน 2m ระดับ แรงดนัที่สุมมาแลวใกลเคียงกับระดับใดมากที่สุด ก็จะถูกจัดใหเปนระดับนัน้ กระบวนการนี้จะเรียกวา การจัดระดับ หรือ Quantization

7.3.1 การจัดระดับแบบสม่ําเสมอ (Uniform Quantization)

ในการจดัระดบัแบบสม่ําเสมอนั้น แตละระดับจะมีชวงหาง หรือขนาดเทา ๆ กัน แตละชวงนีเ้รียกวาคาการจัดระดับ หรือคาความละเอียด (Resolution, Δ) ซ่ึง

mFSV2

=Δ โวลต เมื่อ m คือจํานวนบิตของรหัสไบนารี (7.8)

รูปที่ 7.7 การจัดระดับอยางสม่ําเสมอโดยการแบงระดับขอมูลเปน 8 ชวง ซ่ึงแตละชวงจะหางกัน 12508121 3 .// ===Δ โวลต การเปลี่ยนระดับจะอยูที่ 2/n Δ+Δ เสมอ (เมือ่ n คือ เลขจํานวนเต็ม)


รูปที่ 7.7 การจัดระดับอยางสม่ําเสมอสําหรับการเขารหัสไบนารี 3 บิต (สัญญาณอินพุตขนาด 1 โวลต)

7.3.2 สัญญาณรบกวนจากการจัดระดับ (Quantization Noise)

การแทนขอมลูดวยคาใหม จํานวนระดบั m2 ระดับนั้น ไมสามารถที่จะแทนขนาดของสัญญาณอนาลอกซึ่งเปนสัญญาณตอเนื่องไดอยางถกูตองทั้งหมด เมื่อสัญญาณถูกจัดระดบัแลวความผิดพลาดก็ยอมจะเกิดขึน้ เรียกวาความผิดพลาดเนื่องจากการจดัระดับ (Quantization Error, qe หรือ

Quantization noise, qn) โดยจะมีขนาดสูงสุด 21± × คาความละเอียด (ในกรณีนี ้

062502 .=±= Δeq โวลต) จะเห็นวาคาความผิดพลาดเนื่องจากการจัดระดับสามารถมีคาไดทั้งบวกและ

ลบ เมื่ออนุมานวากระจายความผิดพลาดมอียางสม่ําเสมอ ดังนั้น

22Δ

+≤≤Δ

− eq (7.9)

และคาเฉลี่ยพลังงาน (Average Quantizing Noise Power, Nq) จะหาไดโดย

mFS

eeeqVdqqqN 2

222

2

22

23121

×=

Δ=

Δ== ∫

Δ+

Δ−

/

/ (7.10)

ซ่ึงจะเหน็วาการเพิ่มจํานวนบิตขึ้นจะสามารถที่จะลดสัญญาณรบกวนไดเปนอยางมาก (สัดสวน m221 )

ตัวอยาง แสดงการสุมสัญญาณตอเนื่อง )sin(.)( 162450 tnntm π−= โดยที่เขารหัสเปนไบนารี 3 บิต และ

รับสัญญาณขนาด 50.± โวลท (หรือขนาด 1 Vp-p)


)/nsin(.)n(m 8450 π−=

ลําดับตัวอยาง คาของขอมูล

คาของขอมูล (หลังจัดระดับ) คาความผิดพลาด

รหัสขอมูล (เลขฐานสอง)

0 0.0000 -0.0625 +0.0625 011 1 -0.1722 -0.1875 +0.0153 010 2 -0.3182 -0.3125 -0.0057 001 3 -0.4157 -0.4375 +0.0218 000 4 -0.4500 -0.4375 -0.0125 000 5 -0.4157 -0.4375 +0.0218 000 6 -0.3182 -0.3125 -0.0057 001 7 -0.1722 -0.1875 +0.0153 010 8 0.0000 0.0625 -0.0625 100 9 0.1722 0.1875 -0.0153 101 A 0.3182 0.3125 +0.0057 110 B 0.4157 0.4375 -0.0218 111 C 0.4500 0.4375 +0.0125 111 D 0.4157 0.4375 -0.0218 111 E 0.3182 0.3125 +0.0057 110 F 0.1722 0.1875 -0.0153 101

7.3.3 การควอนไทซแบบไมสม่ําเสมอ (Non-uniform Quantization & Companding)

การจัดระดับแบบสม่ําเสมอเปนวิธีการพื้นฐานที่สามารถเขาใจไดงาย ในปจจุบันมวีิธีการที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น ยกตัวอยางการสื่อสารหรือการประมวลสัญญาณเสียงพดูซึ่งเนื้อหาสวนใหญจะเปนสวนที่ขนาดของสัญญาณต่ํา ๆ หากใหการจดัระดบัเปนเชิงเสน ความถูกตองของขอมูลจะมีคาต่ํา หากเราจดัระดบัใหมีระดับจํานวนมากขึ้น ในขณะสัญญาณต่ํา ๆ และในขณะสัญญาณมีคาสูงก็ไมจําเปนจะตองมีหลายระดับมากนกั รายละเอียดของขอมูลก็จะดีขึน้ วิธีการเชนนี้จะเรยีกวาการควอนไทซแบบไมสม่ําเสมอ (Non-uniform Quantization) ทางเลือกอีกทางซึ่งใชอยางแพรหลายใน


ระบบโทรศัพทดิจิตอล คือแทนที่จะใช Non-uniform Quantization ก็จะบบี (Compress)

สัญญาณที่มีขนาดใหญใหลดลงมา (หรือขยายเฉพาะสวนที่มีขนาดต่าํๆ ใหขนาดสูงขึ้น) แลวใชการจัดระดับเชิงเสนตามปกติ เมื่อประมวลผลแลวก็ทํากลับคนืดวยกระบวนการตรงกันขาม

สมการการบีบอัดสัญญาณที่ไดรับการยอมรับและใชกนัแพรหลายคือ μ -Law (คาปกติ μ = 255

สําหรับระบบในอเมริกาเหนือ) และ A-Law (คาปกติ A=87.6 สําหรับระบบในยุโรป) ซ่ึงเมื่อให

psvtmm )(= จะได

)sgn()ln(|)|ln( mmy

μ+μ+

=1

1 สําหรับ μ -Law (7.11)

โดยที่ ⎩⎨⎧

<−>+

=0101

mm

m)sgn(

และ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤+

+

≤≤+=

11

10

11

1

||)sgn(ln

|)|ln(||

lnmm

AmA

mA

Am

yA

A สําหรับ A-Law (7.12)

จะสังเกตเุห็นวาคา y(t) จะเปนเชิงเสนกับ m(t) เมื่อ m มีคาต่ําๆ (เชน Am 1< )

รูปที่ 7.8 ก) แสดงแนวความคิดของ Non-uniform Quantization ข) คุณสมบัติการถายโอนสัญญาณของการบีบอัดสัญญาณ (แทนที่การใช Non-uniform Quantization)


7.4 การเขารหัสพีซีเอ็ม (PCM Encoding)

สัญญาณที่ถูกจัดระดับหรือควอนไทซมาแลว ในแตละระดับของการควอนไทซ กจ็ะกําหนดใหมีรหัสประจําระดับนัน้ ๆ แตละระดับก็จะแทนดวยเลขไบนารีจํานวน m บิต ซ่ึงสามารถที่จะใชไดตั้งแต คาศูนย (0000000……0) จนถึง 12 −m (111111…..1)

เราจะเห็นวา ขอมูลจํานวน m นั้นควรจะถูกสงไปหมด กอนที่จะมีการสุมตัวอยางครั้งตอไป หากความถี่ในการสุมคือ sf จะไดวาความเร็วในการสงหรือ บิตเรท ก็ควรจะเปน snf บิตตอวินาที

7.5 การสรางคืนสัญญาณ

(Signal Reconstruction)

การสรางคืน )(tm จาก )()( nTmty = นั้น สามารถที่จะกระทําไดอยางถูกตองหากการสุมเปนไปตามทฤษฎีการสุมสัญญาณ เมื่อผานสัญญาณ )(nTx เขาไปยังวงจรกรองผานความถี่ต่ําก็จะได )(tm การกระทําดังกลาวอาจอธิบายไดทั้งในโดเมนความถี่และโดเมนเวลา ผลของการสุมทําใหสเปคตรัมในขอบเขตุ mω± กระจายออกดวยความหางชวงความถี T/π2 ในการนํากลับคืนเราตองการเฉพาะ

)(ωM ชวง mω± เทานั้น ดังนั้นนอกชวงดังกลาวจะตองคูณดวยศูนย และคูณดวย T ในชวง mω±

หรือ

)()()( ω×ω=ω HYM (7.13)

วงจรกรองผานความถี่ต่ํามีคณุสมบัติการตอบสนองความถี่คือ

⎩⎨⎧ ω<ω

=ωelsewhere

TH c

0||

)( (5.14)

ดังนั้นเมื่อแปลงกลับฟูริเยรจะได (ให Tcc f π=π=ω 2 )

TtTt

ttTHth

c

cc

/)/sin()sin()}({)(

ππ

=ωω

πω

=ωℑ= −1 (7.15)


/T/T 0/T /T

A/T

Y( )

/T/T

m m M( )

A

mm

/T/T 0/T

T

H( )

/Tmm

รูปท่ี 7.9 แสดงการสรางคืนสัญญาณที่ถูกสุมอธิบายในโดเมนความถี ่

การคูณในโดเมนเวลาก็คือการคูณประสานในโดเมนเวลา

∑

∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ππ

−δ=

−δππ

=

==

n

n

TtTtnTtnTm

nTtnTmTtTt

tyththtytm

/)/sin(*)()(

)()(*/

)/sin(

)(*)()(*)()(

(7.16)

โดยอาศัยคณุสมบัติที่วา )()(*)( 00 ttmtttm −=−δ จึงได

∑

∑∞+

−∞=

+∞

−∞=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

=

−π−π

=

n

n

TnTtcnTm

TnTtTnTtnTmtm

(sin)(

/)(}/)(sin{)()(

(7.17)

ก็คือการรวมกนัของสัญญาณ xxsin ที่ใหน้ําหนกัโดย )(nTm และเลือ่นไปทีละเวลา T ซ่ึงวิธีการนี้จะ

เรียกวาการอินเตอรโปเลชัน (Interpolation)


รูปท่ี 7.10 แสดงการสรางคืนโดยการอนิเตอรโปเลชัน

ตัวอยาง จงแสดงวาหากความถี่ที่ใชสุม (fs) เทากับหรือมากกวาสองเทาของความถี่สูงสุดของสัญญาณที่ถูกสุมแลว ( (max)af ) สัญญาณที่ผานการสุมแลวนั้นสามารถที่จะสรางคืนไดจาก โดยการผานวงจรกรองผานความถี่ต่ํา

วิธีทํา สัญญาณ )nT(x ก็คือสัญญาณที่ไดจากการคูณระหวาง สัญญาณ x(t) กับชุดแถวของพัลส )t(xp ที่มีคาบเวลา Ts และมีความกวาง TW ดังนั้น จึงเขยีน )t(xp ไดเปน

∑∞

−∞=

ω=n

tjnnp sec)t(x เมื่อ sss T/f π=π=ω 22

โดยที่ 22

/Tn)/Tnsin(

TTc

WsWs

sW

n ωω

= (เทียบกับตัวอยางขางหนาก็คือ dTW = และ TTs = ) ดังนั้น

∑∑∞

−∞=

ω∞

−∞=

ω ==n

tjnn

n

tjnn ss e)t(mcec)t(x)nT(x

จากคุณสมบัตกิารเลื่อนทางความถี่ของการแปลงฟูริเยร จะได

∑∞

−∞=ω−ω=ω

nsn )n(Xc)n(X

เห็นไดชัดวาสเปคตรัมปรากฎที่ snω ดวยขนาดที่เปลี่ยนไปตาม cn ดังนั้น หาก ms ω>ω 2 แลวจะไมมีการซอนทับของสเปคตรัม หรือ x(t) สามารารถที่จะสรางคืนไดอยางถูกตองโดยการให )nT(x ผานวงจรกรองผานความถี่ต่ํา


7.6 การมอดูเลตแบบอื่น ๆ

นอกจาการมอดดูเลตแบบพซีีเอ็มแลว กจ็ะมีการมอดเูลตแบบ DPCM (Differential PCM),

ADPCM (Adaptive DPCM), และบติสตรีมเดลตามอด (Bit-stream Delta Modulation) ซ่ึงรายละเอียดจะไมกลาวที่นี ้


แบบฝกหัด

1. จงคํานวณ คาแรงดันทีไ่ด เมื่อการจดัสัญญาณแบบไมเปนเชิงเสนกอนที่จะมีการจัดระดับแบบเชิงเสน โดยใช A-Law โดยให A=87.6 และใช u-law โดยให u=255

)(tm

(โวลต) y (จาก u-law) y (จาก A-law) )(tm

(โวลต) y (จาก u-law) y (จาก A-law)

0.01 -1.00 0.04 -0.75 0.06 -0.50 0.10 -0.20 0.20 -0.10 0.40 -0.75 0.60 -0.50 0.80 -0.02 1.00 -0.01


สารบัญ บทที่ 7 ................................................................................................................................................1

การมอดูเลตแบบพัลส.............................................................................................................................................1 Pulse Modulation ...................................................................................................................1

7.1 การมอดูเลตแบบสัญญาณพัลส (Pulse Modulation)....................................................................................1 7.2 การสุมตัวอยางสัญญาณอุปมาน (Sampling of Analog Signal) ...................................................................1

7.2.1 สัญญาณและทฤษฎีการสุมขอมูล ( ฺBand Limited Signal and Sampling Theorem)..............................2 7.2.2 วิธีการสุมขอมูล (Sampling) ..............................................................................................................6

7.2.2.1 การสุมอยางธรรมชาติ (Natural Sampling).................................................................................6 7.2.2.2 การสุมสัญญาณสวนบนเรียบ (Flat-top Sampling)......................................................................7

7.2.3 การมอดูเลตเชิงขนาดของพัลส (Pulse Amplitude Modulation, PAM)................................................8 7.3 การควอนไทซ (Quantizing) .....................................................................................................................9

7.3.1 การจัดระดับแบบสม่ําเสมอ (Uniform Quantization) ..........................................................................9 7.3.2 สัญญาณรบกวน (Quantization Noise) ............................................................................................10 7.3.3 การควอนไทซแบบไมสม่ําเสมอ (Non-uniform Quantization & Companding)................................11

7.4 การเขารหัสพีซีเอ็ม (PCM Encoding) .......................................................................................................13 7.5 การสรางคืนสัญญาณ ................................................................................................................................13 7.6 การมอดูเลตแบบอื่น ๆ ..............................................................................................................................16 แบบฝกหัด .....................................................................................................................................................17

digital communication 7 การมอสแบบพัลส์

Engineering