digital image processing chapter 4 dr. mario chacón dsp & vision lab

Digital Image Processing Digital Image Processing Chapter 4Chapter 4

Dr. Mario ChacónDr. Mario Chacón

DSP & Vision LabDSP & Vision Lab

Normal transformationNormal transformation

.

Input image Output image

f[.] .

Figura 4. 1 Solo uno o algunos pixeles contribuye al valor de cada pixel de salida.

Frequency transformationFrequency transformation

. .

.

.

Input image Output image

f[.]

. . .

. .

Figura 4. 2 Cada pixel contribuye al valor de cada pixel de salida

Discrete basesDiscrete bases

Figura 4. 3 Ilustración de generación de bases discretas.

Vector transformationVector transformation

1b 1B

2B

2b

3B3b

4B

4bv v

Figura 4. 4 Ejemplo de transformación con y sin bases ortogonales.

Orthogonal FunctionsOrthogonal Functions

Sean y dos funciones valuadas reales definidas en un intervalo tal que la integral en ese intervalo existe (4.1)

)x(gm )x(gn

bxa )x(gm )x(gn

b

a

nmnm dxxgxgg,g

entonces y son ortogonales en el intervalo si)x(gm )x(gn bxa

(4.2) nm0dxxgxgg,gb

a

nmnm

De igual manera el conjunto de funciones de valor real , , es un conjunto ortogonal en el intervalo si (4.3)

)x(g1 )x(g2

bxa

nmynm0dxxgxgb

a

nm

Orthogonal FunctionsOrthogonal Functions

Lo que indica ortogonalidad es que las funciones y no poseen componentes comunes. Esto se puede explicar mejor por medio de vectores. En la Figura 4.5a la componente de V1 sobre V2 es,

en cambio en la Figura 4.5b no existe ninguna proyección de V1 sobre V2 ya que V1 es ortogonal a V2 .

)x(gm )x(gn

2121 VCVV e

a) b)

Figura 4. 5 Ortogonalidad de vectores

V1

V2

V1 Ve

V2W2

C12V2

OrthoganlityOrthoganlity

El proceso de transformar los datos de una imagen a otro dominio o espacio matemático, equivale a proyectar la imagen sobre las imágenes base, análogo al caso de una función de una dimensión la cual se proyecta sobre las bases de una dimensión. El término matemático de este proceso de proyección es el producto escalar.

La forma de una ecuación de transformación a la frecuencia asumiendo una imagen de N x N es: (4.4)

1N

0x

1N

0y2121 ,;y,xBy,xI,T

Donde y son variables del dominio de la frecuencia, son coeficientes de la transformada, son las imágenes base.

1 2 21 ,T

21 ,;y,xB

Vector basesVector bases

1

0

0 1y

x

1

0

0 1y

x

1

0 1

1

0

0 1y

x 1

0

0 1y

x

2 0 1

I(x,y)I(x,y) projection on projection on B(0,0)B(0,0)

a b

c d

e f

g h

0 1

0

1

1

1

0

0

2

1

1

2

y,xI

0,0B vuT ,

Figura 4. 6 Proyección de sobre . y,xI 0,0B


Para encontrar se proyecta sobre los vectores base de por ejemplo, es la proyección de sobre que es igual al producto escalar de = (4.5)

21 ,T y,xI

21 ,B 0,0T y,xI

0,0B

dcbahgfe ,,,,,, hdgcfbea

Esta transformación equivale a descomponer la imagen en una suma ponderada de imágenes base, donde los coeficientes son los pesos.

21 ,T


transformada inversa:

donde es la transformada inversa y son las imágenes base inversas.

1N

0

1N

021

12121

1

1 2

,;y,xB,T,TTy,xI

211 ,TT 21

1 ,;y,xB

En muchos casos las imágenes base inversas son las mismas que pero posiblemente ponderadas por una constante. 21 ,;y,xB

Fourier TransformFourier TransformContinuousContinuous

Sea una función continua de la variable real t, entonces la transformada de Fourier se define como

(4.6)

donde, , y es la frecuencia en radianes/segundo.

)t(f

dttjetfFtf 2)()(

1j

La transformada de Fourier inversa es

(4.7)

dtj

eFtfF2

)(1


Las condiciones de existencia de la transformada de Fourier se conocen como las condiciones de Dirichtlet. Aquí solo comentaremos una condición suficiente pero no necesaria para la existencia de la transformada, la cual es (4.8) Esta condición se deriva del hecho de que la magnitud de es 1. Por lo que esta condición es suficiente pero no una condición necesaria para la existencia de . Así que funciones que no satisfacen la ecuación anterior pueden tener

dt|tf|

t2je

tf


La es generalmente compleja (4.9)

donde: (4.10)y (4.11) se denomina espectro de Fourier y muestra la magnitud de las componentes de frecuencia presentes en .

tf

jeFF

jFjFF

||

)](Im[)](Re[

22|| F

1tan

F

)x(f


La función de densidad espectral o espectro de potencia o de energía dependiendo si es una señal de potencia o de energía se define como (4.12)

)t(f

222|| FS

(4.13)

dS2

1


x

A

t

f(t)

x

0

x

0

t2jt2jt2j e2j

AdtAedtetfF

1e2j

AF x2j

xseneA

j

eee

j

jAe

j

AF xj

xjxjxjxj

22

21

22


x

xsenAxxsen

Axsene

Axsene

AF xjxj

||||||||

A

-4/x -3/x -2/x -1/x 0 1/x 2/x 3/x 4/x

Figura 4. 7 Espectro de un pulso rectangular.

Fourier TransformFourier Transform2D Continuous2D Continuous

(4.15) y (4.16)

drdtrtjrtfFrtf 2121 2exp,,,

212121211 2exp,,, ddrtjFFrtf

El espectro de Fourier será: (4.17) con función de fase (4.18) y la función de densidad espectral de potencia es (4.19)

21

212

212

21 ,I,R|,F|

21

21121 ,R

,Itan,

212

2122

2121 ,,|,|, IRFS

Fourier TransformFourier Transform2D Continuous2D Continuous

A

r

t

RT

drdtertfFrtf rtj 21221 ,,,

T R R

rjT

tjrtj dredteAdtdrAe0 0 0

2

0

22 2121

12

1

2

12121 2

20

2

0

2

20

2 RjT

tjRrjT

tj ej

dteAej

dteA

j

eee

j

eeeA

ej

ej

A

RjRjRj

TjTjTj

TjRj

2

1

2

1

12

11

2

1

222

111

12

21

2

1

2

2

2

2

1

1 21

R

RSene

T

TSene ATR Rjtj

Fourier TransformFourier TransformDiscrete TimeDiscrete Time

(4.20)sxTt)t(f)x(f

(4.23)y (4.24)

1N,3,2,1,0kN

knj2expxf

N

1kF

1N

0n

1,3,2,1,02

exp1

0

NxN

kxjkFxf

N

k


Las ecuaciones (4.23) y (4.24) definen la transformada discreta de Fourier que corresponde a un muestreo de la transformada de Fourier de señales discretas definidas por el par de transformadas (4.25)

(4.26)

20njexpxfFn

deF2

1)x(f nj

Fourier TransformFourier Transform2D Discrete Time2D Discrete Time

(4.27)

1M

0x

1N

0y

2121 N

yk

M

xkj2expy,xf

MN

1k,kF

(4.28)

1

0

1

0

2121

1 2

2exp,,M

k

N

kN

yk

M

xkjkkFyxf


(4.30)

(4.31)

1M

0x

1N

0y

2121 N

kxkj2expy,xf

N

1k,kF 1,...,2,1,0, 21 Nkk

1

0

1

0

2121

1 2

2exp,1

,M

k

N

k N

ykxkjkkF

Nyxf 1,...,2,1,0, Nyx


(4.32)

(4.33)

(4.34) Para dos dimensiones (4.35) (4.36) (4.37)

)]k(FIm[)]k(FRe[|kF| 22

)]k(FRe[

)]k(FIm[tan )k( 1

2|| )( kFkS

)]k,k(FIm[)]k,k(FRe[|k,kF| 211

21121

)]k,k(FRe[

)]k,k(FIm[tan )k,k(

21

21121

22121 |,| ),( kkFkkS


A diferencia del caso continuo, la existencia de la transformada discreta de Fourier no es de interés, ya que y siempre existen, por ejemplo. Para el caso

la a serie puede no converger. Pero en el caso que analizamos como la secuencia es finita

y es finita, dado que es una imagen, entonces siempre existe.

kF 21,kkF

x N

kxj2expxf

1

0

N

x

xf 21,kkF


En el caso 1-D lo anterior se puede mostrar por sustitución directa. (4.38) (4.39)

N

kx2jexp

N

rx2jexprF

N

1

N

kx2jexpxf

N

1kF

N

x

1N

0r

N

x

1

0

1

0

1

0

1

0

2exp

2exp

1 N

x

N

rN

kxj

N

rxjrF

N

ya que (4.40) por ser funciones ortogonales, lo que genera que la sumatoria que define a sólo tenga un elemento distinto de cero

formaotrade

krsiN

N

kxj

N

rxjN

r0

2exp

2exp

1

0

kF


(4.41) 020101001 kFkFNkFFFNkF

entonces (4.42) (4.43) Substituyendo la ecuación anterior (4.44)en (4.45)

NkFN

kF1

kFkF

1,3,2,1,02

exp1 1

0

NkN

kxjxf

NkF

N

x

1,3,2,1,02

exp1

0

NxN

kxjkFxf

N

k

también produce una identidad de , indicando que el par de transformadas de Fourier dadas por esas ecuaciones siempre existen.

xf

Fourier TransformFourier Transform Discrete Time Discrete Time

La transformada discreta de Fourier de es

3,2,1,0xf

xf

3

0x

1N

0x 2

kxjexpxf

4

1

N

kxj2expxf

N

1kF

3

0 2

3

4

63210

4

10exp

4

10

x

ffffxfF

3

0x

2

j3j2

j0 e3fe2fe1fe0f

4

1

2

xjexpxf

4

11F

Para encontrar los valores de cabe recordar que es un vector de magnitud con un ángulo .

jrejre

r


jjjjjF 3204

132110

4

1)1( jj

2

1

2

122

4

1

131211104

13210

4

1exp

4

12

3

0

320

x

jjj eeeexjxfF

2

102

4

13210

4

1 j

3

0

2

932

30 3210

4

1

2

3exp

4

13

x

jj

j

eeeexjxfF

jjjjjj2

1

2

122

4

1320

4

1312110

4

1


El espectro de Fourier es:

2

122

4

1|3|

2

1

2

1|2|

2

122

4

1|1|

5.1|5.1||0|

jF

F

jF

F

(4.46)

|k,kF|1logck,kD 2121

Fourier TransformFourier TransformPropertiesProperties

Separability propertySeparability property

1N,2,1,0k,kN

yk2jexpy,xf

N

xk2jexp

N

121

1N

0y

21N

0x

1

1

0

1

0

2121

1 1

2exp,1

,M

k

N

k N

ykxkjkkF

Nyxf

1N,2,1,0y,xN

yk2jexpk,kF

N

xk2jexp

N

1 1N

0v

221

1N

0k

1

1


2

1N

0x

121 k,xF

N

xkj2exp

N

1k,kF

1N

0x

22 N

ykj2expy,xf

N

1Nk,xF


Row transformationColumns transformation

x

y

x k1

k2

k2

yxf , ),( 1kxF 21 k,kF

TranslationTranslation

21

211

1

21

11

,2

exp, kkkkFN

ykxkjyxf

N

ykxkj2expk,kFyy,xxf 0201

2100


221

11 Nkk

yxyxjeyxjN

ykxkj

1exp

2exp

21

11

2,

21,

,2

exp,

21

21

211

12

11

1

Nk

NkFyxf

kkkkFN

ykxkjyxf

yx


Figura 4. 9 Aplicación de la propiedad de la traslación. a) Original, b) Espectro sin ajuste, c) Espectro con ajuste.


Otro aspecto importante de esta propiedad es que el corrimiento en no afecta la magnitud de su transformada de Fourier. (4.57)

yxf ,

21210201

21 ,1,2exp, kkFvkkFN

ykxkjkkF

Periodicity and Conjugate symmetryPeriodicity and Conjugate symmetry

Nk,NkFNk,kFk,NkFk,kF 21212121

2121 ,, kkFkkF

2121 k,kFk,kF

Real valued functions, conjugate symmetry

Spatial frequencySpatial frequency

Figura 4. 11 a) Frecuencia cero, b) Frecuencia baja, c) Frecuencia media d) Frecuencia alta.

Spatial frequencySpatial frequency

Figura 4. 12 a) Imagen original, b) Imagen en la frecuencia.

ConvolutionConvolution

dxgxfxgxf

)(xfdxxf

0xx0 xfxfdxxf0


2

2

2

2

1/4

1

2

2x

2

2x

x

f

g

g

4

1

g

2

1

4

1

xgxf

2 3

Figura 4. 13 Convolución en forma gráfica.


Analíticamente la convolución entre y es

ya que no existe ningún traslape entre las dos funciones para estos valores de . Para el intervalo la convolución es

)x(f )x(g

0x 0xgxf

x 20 x

xx xd

00 44

1

4

12

En el intervalo

y por último para

32 x

2

2

2

2 22)4(

2

122

2

1

2

1

4

12

xx

xxxd

3x 0xgxf


(4.64) )(xfdxxf

(4.65) dado que:

(4.66)

0xx0 xfxfdxxf0

1dxxxdxxxx

x

0

0

00


A

a

1

T-T

1

-TT

1A

A

A

A

T-T

Figura 4. 14 Convolución con un tren de impulsos.


(4.67)

m

mngmfngnf

(4.68)

(4.69)

kGkFxgxf

kGkFxgxf


(4.70)

ddyxgfyxgyxf ,,,,

(4.71)

k l

lm,kngl,kfm,ngm,nf

CorrelationCorrelation

dt)t(g)t(f)(R)t(g)t(f fg

n

fg lngnfngnflR )()()()()(

)()()( gfR fg

CorrelationCorrelation

Su forma discreta es

(4.75)o

(4.76)

n

fg lngnfngnflR )()()()()(

nfg )ln(g)n(f)n(g)n(f)l(R

AutocorrelationAutocorrelation

dt)t(f)t(f)(R ff

nff )ln(f)n(f)n(f)n(f)l(R

Autocorrelation propertiesAutocorrelation properties

)(R)(R ffff

fff ER )0(

toda para ),0(R)(R ffff

)()( fff SR

Correlation 2DCorrelation 2D

1

0

1

,,1

,,M

m

N

n

ynxmgnmfMN

yxgyxf

Figura 4. 16 a) Imagen original, b) Objeto a buscar, c) Resultado de correlación.

Normalized Correlation 2DNormalized Correlation 2D

), ),(

, [ ,

2/1

y

2

x

2,

,

TvyuxTfyxf

TvyuxTfyxfvu

y vux

y vux

Normalized Correlation 2DNormalized Correlation 2D

SamplingSampling

Frequency domain point of view Frequency domain point of view

0 0)(F

sF1

)(*)()()( GFtgtf

Analicemos el caso del muestreo de una señal de duración fintita en el tiempo de banda limitada, es decir su espectro cumple con

)t(f

)(F

mediante un tren infinito de impulsos, , separados por un tiempo . Donde

)t(g

SamplingSampling

Frequency domain point of view Frequency domain point of view

0s00 2F 2

1

2

1

sF

Sabemos que la convolución de una función con el impulso genera la misma función. Por lo tanto ahora la convolución de con el tren de impulsos generará una repetición del espectro . La Figura 4.17 muestra este proceso. De la Figura 4.17 se puede observar que si la separación entre las muestras no es adecuada provocará un traslape entre los espectros ocasionando una deformación de la representación de en la frecuencia por lo cual no podrá ser recuperada a partir de sus muestras. Para que pueda ser recuperada de sus muestras y no exista traslape en los espectros se debe cumplir que

)(F )(F

)t(f

)t(f)t(f

Incorrect SamplingIncorrect Sampling

f(t)

t

. . .. . .

. . .t

f(t)g(t)

. . .. . .t

g(t)

-1/-1/2 1/2

x

1/

Period 1/overlap

-w

F()*G()

0

w

-00

. . . . . .

G()

F()

Figura 4. 17 a) Señal continua, b) su espectro c) tren de impulsos, d) espectro del tren de impulsos, e) señal muestread, e) espectro de señal muestreada.

Correct SamplingCorrect Sampling

. . .. . .t

f(t)g(t)

PB()

-0 0

-0

PB()[F()G()]=F()

0

f(t)

t

. . .. . .

-0

F()*G()

0

G()

. . . . . .

Figura 4. 17 a) Señal continua, b) su espectro c) tren de impulsos, d) espectro del tren de impulsos, e) señal muestread, e) espectro de señal muestreada.

FT of Time limited SignalsFT of Time limited Signals )t(f

formaotrade0

Nx01xw

t

g(t)

N

1

G()

-1/N 1/N

FT of Time limited SignalsFT of Time limited Signals (4.90))(W*)(F)t(w)t(f

Por tal motivo el espectro de la señal discreta obtenida de ya no será una repetición de sino será la repetición modificada de . Para disminuir el efecto de distorsión de hay que incrementar el valor de ya que se convertirá en un tren de impulsos en la medida en que , y en consecuencia no se deformará.

)t(f

)(F N )t(w

N

)(F )(F )(F

2D Functions2D Functions

0000 ,,, yxfdxdyyyxxyxf

2D impulse

forma otra de0

01,, 21

21021

nnnnunn


2D sampling function

y

x

y

x

g(x,y)

Figura 4. 20 Función de muestreo impulso 2-D.


forma otra de 0

0n,n1n,nu 21

21

forma otra de 0

0n,naan,nx 21

n2

n1

21

21

21

nnj21 n,nen,nx 2211

2D Systems2D Systems

212121 ,*,, nnhnnxnny

1 2

22112121 ,,,k k

knknhkkxnny

Frequency responseFrequency response

1 2

21221121 ,,,k k

kkhknknxnny

1 2

2122211121 ,exp,k k

kkhknknjnny

1 2

2222111121 ,

k k

kjnjkjnj kkheeee

2211 nnj21 en,nx

Frequency responseFrequency response

1 2

2211221121,

k k

kkjnnj kkhee

1 2

2211

k k21

kkj11 k,khe),(H

212121 ,,, Hnnxnny

Frequency response exampleFrequency response example

1,,11,,1, 2121212121 nnnnnnnnnnh

1 2

22112121 ,,

n n

nnjennhH

21212121 jjjjjjjj eeeeeeee

22

22

2211 jjjj eeee

21212 FFCosCos


Se puede observar de la Figura 4.21, que la respuesta del filtro no es simétrica sobre el origen. Un sistema que tiene simetría circular sobre el origen tiene la misma respuesta a lo largo de todas las direcciones radiales y se dice que tiene una respuesta circularmente simétrica. En general, los sistemas que pueden expresarse como suma, producto o división de funciones de una variable no tienen simetría circular, y cuando se utilizan en imágenes no dan igual tratamiento a las imágenes en todas las direcciones.


Figura 4. 21 Respuesta no simétrica del filtro . 212 CosCos


1

01

1

01

21

1

1

2

2

,8

1,'

kk

kk

kjkipjip

Respuesta a la frecuencia de un filtro de promediado

2211

1

1

1

12121 ,,,'

1 2

knknpkkhnnpk k

1n,1n1n,n

1n,1nn,1n1n,1n

1n,n1n,1nn,1n8

1n,nh

2121

212121

21212121


1 2

22112121 ,

8

1,

n n

nnjennhH

212211212211

8

1 jjjjjjjj eeeeeeee

21212121 22228

1, CosCosCosCosH

212121 4228

1, CosCosCosCosH

Impulse response from the frequency responseImpulse response from the frequency response

1 2

22112121 ,,

n n

nnjennhH

2121221

2211,4

1,

ddeHnnh nnj


forma otra de0

,1, 21

21

baH

2

1-a

-

-

b

-b

a


21221

2211

4

1,

ddennh

a

a

b

b

nnj

b

b

nja

a

njb

b

nja

a

nj dejn

dejn

dede 22

11

2122112211

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2

21

2

1

2

21

2

11

2

11

2

1,

2211

2211

212121

bjnbjnajnajnb

b

nj

a

a

nj ee

jn

ee

jne

jne

jnnnh

πn

bnSin

πn

anSin,nnh

2

2

1

1

21

)()()(

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Documents

fourier transformcontinuous

fourier inversa

transformada inversa

espectro de fourier

imgenes base inversas

vector transformation

vectores base

bases ortogonales