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Transformadas de la imagen 1
Transformadas de la imagen
Digital Image Processing, Gonzalez, Woods, Addison Wesley, ch 3
Transformadas de la imagen 2
Transformada de Fourier en elcaso continuo
Transformada de Fourier de una funcion continua
La transformada inversa recupera la función a partir de
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La transformada de Fourier de una función real es compleja
En forma exponencial:
Donde, el espectro de Fourier es
El ángulo de fase es
El espectro de potencia es
La variable u es la variable frecuencia debido a la relación de Euler
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Continua e integrable Integrable
Esta definido el par de transformadas directa e inversa
Espectro y fase
Ejemplo:
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Transformada discreta de FourierDiscretización de la función continua, tomando N muestras
Adoptando la notación
Denota una muestra uniformementeespaciada de una función continua
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El par de transformadas discretas de Fourier se define como:
Teniendo en cuenta que representa
Las frecuencias de muestreo en los planosespacial y transformado se relacionan como:
Caso de dos variables
La transformada en el caso discreto siempre existe
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El problema de lavisualización delespectro:Es necesario escalar elrango de valores parapoder visualizarlo comouna imagen en nivelesde gris.
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Separabilidad: se puede calcular la transformadamultidimensional como iteraciones de la transformadaunidimensional en cada dimensión
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Traslación: la traslación en un dominio se corresponde con lamultiplicación por un término exponencial.
El espectro de potencia esinvariante a traslación en elplano espacial.
Para cambiar el origen de coordenadasal centro del cuadrado de lasfrecuencias, para visualización
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La transformada discreta es periódica de periodo N
También poseesimetría conjugada
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Usualmente se desplaza el origen al centro del cuadrado NxN paravisualizar mejor el espectro de la función
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Rotación: la rotación en el plano espacial se corresponde conla rotación en el plano transformado
Coordenadas polares
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La transformada es distributiva respecto de la suma pero no delproducto
El escalado de la función y desu dominio se transformancorrespondientemente:
El valor medio corresponde con la transformada en el origen
Transformada del Laplaciano de la función
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Convolución de dos funciones continuas 1D
La convolución con la función impulso corresponde a extraerel valor de la función en la posición del impulso
Teorema de la convolución: la convolución y el producto sonduales bajo la transformada de Fourier
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Ejemplo de convolucióncon un tren de impulsos.La función se repite encada posición delimpulso.
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Ejemplo de convoluciónde dos funcionescontinuas detallando lospasos computacionales
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La convolución en el caso discreto exige tener en cuenta laperiodicidad de las funciones discretas. Si las funciones son deperiodo M, la convolución será también discreta y del mismoperiodo. El problema es determinar M.
Los periodos serán adyacentes
Los periodos estan separados
Garantiza que no se produce solapamiento
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Secuencias extendidas para garantizar el tamaño del periodo
Expresión para la convolución discreta
Esta expresión garantiza la consistencia con ladefinición de la convolución en el caso continuo.
El teorema de la convolución también es valido en elcaso discreto.
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Comparación entre la convolución en el caso continuo y en elcaso discreto. La convolución discreta es una funciónperiódica de periodo M.
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Caso bidimensional continuo y discreto
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Ilustración de losprocesoscomputacionalesde la convolucióncontinua en dosdimensiones.
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Correlación: es una medida de la similitud
Teorema de la correlación:dualidad del producto y lacorrelación
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Ejemplo detallado de larealización de la correlaciónen el caso continuo.
La correlación es unatransformación delocalización: nosindica donde seencuentra la funciónmás parecida alpatrón.
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Muestreo
¿Cuantas muestras se deben tomar para que no sepierda información en el proceso de muestreo odiscretización?
Se trata de establecer las condiciones en las que unafunción continua puede ser recuperada completamentea partir de un conjunto finito de valores muestreados.
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Efecto del muestreo en el dominiofrecuencial: frecuencias demuestreo excesivamente bajasproducen interferenciasfrecuenciales y pérdida deinformación.
Si la frecuencia de muestreo está por encima dela frecuencia de Nyquist, se puede recuperar lafunción original a partir del muestreo,aplicando una ventana a la transformada queseleccione el periodo en el origen.
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Al realizar un muestreo en un intervalo finito estamos multiplicando unaventana a la función muestreada, o convolucionando la transformada de lafunción discretizada con la de la ventana, esta última no es finita, portanto la función así muestreada no es de banda limitada y no serárecuperable.
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Transformada discreta deFourier: Al discretizar elplano transformadoestamos convolucionandola discretización espacialcon un tren de impulsosque convierten la funciónen periódica.
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Muestreo 2D
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Condiciones demuestreo para larecuperación de laimagen original.
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Transformadas separablesTransformada directa Transformada inversa Kernel directo de la
transformadaKernel inverso de latransformada
Kernel separable Kernel simétrico
Caso de la transformadade Fourier bidimensional
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La transformada separable y simetrica puede calcularseaplicando dos transformadas unidimensionales
En forma matricial
F es la matriz imagen, A es la matriz kernel de transformación
Para obtener la transformación inversa se calcula:
Si La inversa es exactaSino se obtiene una aproximación
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Transformada de Walsh
K-esimo bit en larepresentación binaria de z
Separabilidad ysimetría
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Base de funciones de latransformada de Walshcuando la imagen es detamaño 4x4. Loscoeficientes de latransformada se obtienenmultiplicando la imagen porcada una de las funciones dela base.
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Transformada de Hadamard
Separabilidad ysimetría
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Discrete Cosine Transform (DCT)
La base de funciones son funciones coseno y el resultadode la transformación es siempre real, lo que simplifica loscálculos.
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Transformada en componentes principales:Hotelling, Karhunen-Loeve
Población de vectores aleatorios de media y matriz de covarianza
Dadas M muestras de la población de vectores aleatorios,se puede calcular
Puesto que la matriz de covarianza es real y simetrica, se puede diagonalizar yencontrar el conjunto de autovectores ortogonales de la matriz. Sean estosautovectores ordenados por autovalor dispuestos por columanas en una matrizA.
Errir de reconstrucción de los datos originales siconsideramos solo los K autovectores de mayor autovalor
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