digraf cayley dari grupdalam aljabar abstrak dibahas mengenai grup, ring, lapangan, beserta...
TRANSCRIPT
DIGRAFF CAYLEYY DARI GRRUP
Skripssi
PRO
Di
OGRAM ST
FA
iajukan untu
Mempe
Prog
Rosa
TUDI MAT
AKULTAS
UNIVERS
Y
uk Memenuuhi Salah Saatu Syarat
roleh Gelarr Sarjana Saains
gram Studi MMatematikaa
Oleh:
alia Gustari Eksi Utamii
NIM: 053114007
TEMATIKKA JURUSAAN MATEEMATIKA
S SAINS DAAN TEKNOLOGI
SITAS SANNATA DHAARMA
YOGYAKAARTA
20099
CAYLEY DIGRAPHHS OF GROOUPS
Thesis
MATHE
Presen
EMATICS S
SCI
nted as Parti
To Obtai
Rosa
Stude
STUDY PR
ENCE AN
SANATA
Y
ii
ial Fulfillm
n the Sarjan
In Mathem
By:
alia Gustari
ent Number:
ROGRAM
D TECHN
DHARMA
YOGYAKA
2009
ent of the RRequirementts
na Sains Deegree
matics
Eksi Utamii
: 0531140077
MATHEMMATICS DEEPARTMEENT
NOLOGY FFACULTY
A UNIVERRSITY
ARTA
9
HALAMAN PERSEMBAHAN
Skripsi ini penulis persembahkan kepada:
Yesus Kristus & Bunda Maria
(Pegangan hidup penulis dalam setiap langkah),
Yohanes Chrisostomus Pramonco Hardioto & Elisabet Sri Rahayu
(Orang tua penulis),
Keluarga Besar Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma
(Khususnya mahasiswa angkatan 2005),
Albertus Aditya Budi Nugroho
(Gembulz),
Semua Pihak yang telah membantu terbentuknya skripsi ini.
v
vii
ABSTRAK
Digraf Cayley dari grup adalah gambaran grafis dari suatu grup yang
diberikan oleh himpunan pembangkitnya. Digraf ini menyediakan metode untuk
menggambarkan suatu grup, dan menghubungkan dua cabang penting dari
matematika modern yaitu grup dan graf. Digraf Cayley dari grup digunakan untuk
melihat orde dari beberapa elemen grup dan untuk menentukan nilai dari sebarang
hasil kali dari pembangkit atau inversnya.
Terdapat lintasan atau sirkuit Hamilton dalam digraf Cayley dari grup
tertentu. Lintasan Hamilton dalam digraf Cayley dari grup digunakan untuk
membuat grafik komputer dari pola perulangan tipe Escher pada bidang
hiperbolik.
viii
ABSTRACT
The Cayley digraphs of groups are graphical representation of a group
given by a set of generators. These digraphs provide a method of visualizing a
group, and connect two important branches of modern mathematics, i. e. groups
and graphs. The Cayley digraphs of groups are used to see the order of some
elements of a group and to determine the value of any product of the generators or
their inverses.
There are Hamiltonian paths or circuits in Cayley digraphs of certain
groups. Hamiltonian paths in Cayley digraphs of groups are used to create
computer graphics of Escher-type repeating patterns in the hyperbolic plane.
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat-Nya sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Skripsi ini ditulis untuk memenuhi salah
satu syarat memperoleh gelar sarjana sains Program Studi Matematika.
Selama penulisan skripsi ini penulis menyadari bahwa banyak pihak yang
telah berperan besar dalam memberikan dukungan, bimbingan, maupun kerjasa-
manya. Oleh karena itu, penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada:
1. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing skripsi
yang telah membimbing dan mendampingi penulis selama penulisan skripsi
ini.
2. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T., selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi.
3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Ketua Program Studi
Matematika dan dosen penguji yang telah memberikan koreksi dan saran
kepada penulis.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ, selaku Dosen Pembimbing Akademik dan
dosen penguji yang telah memberikan koreksi dan saran kepada penulis.
5. Bapak Z. Tukija dan Ibu Erma Linda S. R. yang telah banyak membantu
dalam proses administrasi.
6. Perpustakaan Paingan Universitas Sanata Dharma dan seluruh karyawannya
yang telah banyak membantu dalam penyediaan bahan dan fasilitas selama
penulisan skripsi ini.
7. Bapak Y. C. Pramonco H. dan Ibu E. Sri Rahayu, selaku orang tua penulis
yang selalu mendukung penulis.
8. Teman-teman mahasiswa angkatan 2005 Program Studi Matematika.
9. Semua pihak yang telah membantu selama penulisan skripsi ini dan belum
tersebutkan namanya.
xi
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi se-
mua orang yang membacanya. Apabila terdapat kesalahan penulisan dan ucapan,
penulis mohon maaf yang sebesar-besarnya.
Penulis
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ………………………………………………………….. i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS …...……………….…… ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………………………………. iii
HALAMAN PENGESAHAN ………………………...………………………. iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………………………………. v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………………………………………. vi
ABSTRAK ………………………………………………………….………… vii
ABSTRACT ……………………………………………………………...…… viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ………………………………….….. ix
KATA PENGANTAR ………………………………………………………… x
DAFTAR ISI ………………………………………………………………….. xii
DAFTAR TABEL …………………………………………………………….. xiv
DAFTAR GAMBAR …………………………………….………..……….…. xv
BAB I PENDAHULUAN ………………………………….………...……..… 1
A. 1
B. Rumusan Masalah ……………………….………………...………... 3
Latar Belakang Masalah …………….……………………………….
Batasan Masalah …………………………….…………...……...…..
Manfaat Penulisan ………………………………………………...…
Sistematika Penulisan ………………………………….……...…….
Teori Grup …………………………….……………………….....….
2. Grup Berhingga dan Subgrup …………….…………….…….…
4. Grup Siklik dan Pembangkit ………………….…….……….…. 12
C. 3
D. Tujuan Penulisan ………………………………….……...…………. 4
E. 4
F. Metode Penulisan ………………………………………………….... 4
G. 5
BAB II TEORI GRUP DAN TEORI GRAF ……………………………...….. 7
A. 7
1. Grup ………………………………..……………………...……. 7
10
3. Darab Langsung ……………………………...….…………...…. 12
xii
xiii
5. Grup Permutasi …………..……………………….……….....….
8. Homomorfisma dan Isomorfisma ……………………………….
Graf Berarah Atau Digraf ……………………….………...….…
RAF CAYLEY DARI GRUP …………………………...………
tasan dan Sirkuit Hamilton Dalam Digraf Cayley dari Grup …....
BAB VI AP
AFIK KOMPUTER DARI POLA PERULANGAN TIPE
tode Escher …………………………………………………
UTUP …………………………….……………….……...…
an ………………………………………..…………………
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………...………….
19
6. Grup Dihedral ……...…………….……………………….…….. 26
7. Koset, Teorema Lagrange, Subgrup Normal, dan Grup Faktor ... 30
35
B. Teori Graf …………………………………………….……...…….... 37
1. 37
2. Lintasan dan Sirkuit Hamilton ………………….…...…...…….. 39
BAB III DIG 43
A. Digraf Cayley dari Grup ……………………………………….……. 43
B. Lin 52
LIKASI DIGRAF CAYLEY DARI GRUP UNTUK MEMBUAT
GR
ESCHER PADA BIDANG HIPERBOLIK …….……………………. 63
A. Me ……. 63
B. Metode Douglas Dunham …………………………….……………... 67
BAB V PEN …… 74
A. Kesimpulan …………………………………………….…...….……. 74
B. Sar .……. 75
76
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2. 1 Beberapa Contoh Grup ………………………………………........ 9
Tabel 2. 2 Tabel Operasi untuk ………………………….…………........… 18
Tabel 2. 3 Tabel Operasi untuk ……….………………….……………....… 24
Tabel 2. 4 Grup Selang-seling untuk Permutasi Genap dari {1, 2, 3, 4} ...... 26
Tabel 2. 5 Tabel Operasi untuk …………………………………….……… 29
xiv
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2. 1 Graf G …………………………………………………………... 38
Gambar 2. 2 Graf Berarah G ………………….……………………………… 39
Gambar 2. 3 Graf Sederhana yang Memuat Lintasan dan Sirkuit ……..….…. 40
Gambar 2. 4 Salah Satu Penyelesaian Teka-Teki “Perjalanan Keliling
Dunia” …………………………………………………...……… 42
Gambar 2. 5 Graf Sederhana G1, G2, dan G3 …………………………………. 42
Gambar 3. 1 Digraf Cay({1}: ) ………………………………………….…… 45
,
Gambar 3. 6 Digraf Cay({(12)(34), (123)}: ) ………………..……….......… 49
Da
53
Gambar 3. 10
), dan (a,
0), ( 1)}: ……
, 1)}:
Gambar 3. 15 Digraf Cay({(r, 0), (f, 0), (e, 1)}: ) ………….…….…. 62
Poincare pada Bida
65
Gambar 4. 3
Gambar 3. 2 Digraf Cay({(1, 0), (0, 1)}: ) ………………..………….. 46
Gambar 3. 3 Digraf Cay( : ) ………………………...……………… 47
Gambar 3. 4 Digraf Cay({(12), (123)}: ) …………………………………… 48
Gambar 3. 5 Digraf Cay({(12), (13)}: ) ……………………….……………. 48
Gambar 3. 7 Digraf Cay({a, b}: ) ……………………………...…….……… 50
Gambar 3. 8 Digraf Cay({a, b}: ) ……………………………...…………… 51
Gambar 3. 9 Lintasan Hamilton lam Digraf Cay({(1, 0), (0, 1)}: )
dari (0, 0) ke (2, 1) ………………………………...………..…..
Sirkuit Hamilton Dalam Digraf Cay({a, b}: ) ………...…..…. 53
Gambar 3. 11 Digraf Cay({(1, 0), (0, 1)}: ) …………...……………. 55
Gambar 3. 12 Simpul (a, b), ( 1, 1 1) ………………….. 55
Gambar 3. 13 Digraf Cay({(1, 0, ) ……...……………. 57
Gambar 3. 14 Digraf Cay({(r, 0), (f, 0), (e ) ……...……………. 61
Gambar 4. 1 Teselasi Segitiga Dalam Model Cakram ng
Hiperbolik …………………………………….………………… 64
Gambar 4. 2 Cetakan Asli Circle Limit I Milik Escher ………………………
Terjemahan Komputer dari Desain Dalam Cetakan Circle Limit I
Milik Escher ……………………………………………………. 66
Gambar 4. 4 Graf Cayley dari Grup [6, 4] dengan Lintasan Hamilton ….…… 69
xv
xvi
Gambar 4. 5 Supermotif Pusat untuk Circle Limit I …………………...…….. 70
Gambar 4. 6 Lintasan Hamilton Dalam Graf Koset dari [6, 4] ………...…….. 71
Gambar 4. 7 Pohon Perentang Dalam Graf Koset [6, 4] …………….……….. 72
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Dunia matematika memiliki berbagai macam cabang di dalamnya. Dari
berbagai macam cabang tersebut, di antaranya adalah aljabar abstrak dan
matematika diskret. Aljabar abstrak dan matematika diskret mempelajari topik-
topik yang berbeda. Dalam aljabar abstrak dibahas mengenai grup, ring, lapangan,
beserta sifat-sifatnya. Sedangkan dalam matematika diskret dibahas mengenai
relasi, graf, aljabar Boole, dan kombinatorik. Di antara topik-topik tersebut
terdapat dua topik yang cukup menarik, yaitu grup dan graf.
Ketika membicarakan tentang aljabar abstrak atau struktur aljabar, hal
pertama yang muncul adalah grup. Grup menjadi topik yang sangat penting dalam
aljabar abstrak karena topik ini dibahas pertama kali dalam banyak buku aljabar
abstrak. Grup dan sifat-sifatnya juga mendasari topik-topik yang dibahas
selanjutnya dalam aljabar abstrak, seperti ring dan lapangan. Begitu juga dalam
digraf Cayley dari grup, grup menjadi topik yang sangat penting karena akan
dibentuk penggambaran dari suatu grup dengan menggunakan himpunan
pembangkitnya.
Salah satu topik yang dibahas dalam teori graf dan digunakan dalam
digraf Cayley dari grup yaitu graf berarah atau digraf. Graf berarah atau digraf
merupakan himpunan berhingga dari titik-titik, yang disebut vertex atau simpul,
1
2
dan himpunan busur berpanah, yang disebut arc atau busur, yang menghubungkan
beberapa vertex atau simpul. Digraf dapat digunakan untuk menyatakan relasi
antara unsur-unsurnya (simpul dan busur). Digraf memiliki peranan yang sangat
penting dalam digraf Cayley dari grup karena menjadi bentuk penggambaran dari
suatu grup.
Grup dan graf adalah dua cabang penting dalam matematika modern.
Antara grup dan graf dihubungkan dalam satu topik yaitu digraf Cayley dari grup.
Gagasan ini mula-mula didapatkan oleh seorang matematikawan bernama Arthur
Cayley pada tahun 1878. Digraf Cayley dari grup merupakan gambaran grafis dari
suatu grup yang diberikan oleh himpunan pembangkitnya. Sebenarnya digraf
Cayley dari grup merupakan topik yang sangat menarik tetapi tidak semua buku
aljabar memuat topik ini. Digraf Cayley dari grup menyediakan metode untuk
menggambarkan suatu grup sehingga grup dapat lebih mudah dipahami karena
adanya gambaran nyata berupa digraf.
Misalkan G adalah grup berhingga dan S adalah himpunan pembangkit
untuk G. Digraf Cayley dari grup G dengan himpunan pembangkit S, yang
dinotasikan dengan Cay(S:G), dapat didefinisikan sebagai berikut.
1. Setiap elemen dari G adalah simpul dari Cay(S:G).
2. Untuk x dan y di G, terdapat sebuah busur dari x ke y jika dan hanya
jika xs = y untuk suatu s S.
Digraf Cayley dari grup melibatkan dua teori penting, yaitu teori grup
dan teori graf. Beberapa pokok bahasan dalam teori grup yang berhubungan
dengan topik ini antara lain grup siklik dan pembangkit, grup permutasi, grup
3
dihedral, darab langsung. Sedangkan beberapa pokok bahasan dalam teori graf
yang berhubungan dengan topik ini antara lain graf berarah atau digraf, lintasan
dan sirkuit Hamilton. Pembahasan mengenai lintasan dan sirkuit Hamilton
berhubungan dengan syarat perlu dan syarat cukup sangat penting dalam
membahas digraf Cayley dari grup. Lintasan dan sirkuit Hamilton akan digunakan
dalam pengaplikasian digraf Cayley dari grup.
B. Rumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini antara lain:
1. Apakah yang dimaksud dengan digraf Cayley dari grup?
2. Apa saja landasan teori yang dibutuhkan untuk membentuk digraf
Cayley dari suatu grup?
3. Bagaimana membentuk digraf Cayley dari suatu grup?
4. Bagaimana aplikasi digraf Cayley dari grup?
C. Batasan Masalah
Batasan masalah dalam skripsi ini antara lain:
1. Membahas mengenai digraf Cayley yang terbentuk dari suatu grup.
2. Membahas aplikasinya, yaitu untuk membuat grafik komputer dari
pola perulangan tipe Escher pada bidang hiperbolik, tetapi tidak
menyertakan algoritmanya.
4
D. Tujuan Penulisan
Skripsi ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan untuk
memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang matematika. Selain itu, tujuan dari
penulisan skripsi ini adalah:
1. Mempelajari tentang pembentukan digraf Cayley dari suatu grup.
2. Mengetahui aplikasi digraf Cayley dari grup.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah:
1. Dapat memahami mengenai pembentukan digraf Cayley dari suatu
grup.
2. Dapat mengetahui tentang aplikasi digraf Cayley dari grup.
F. Metode Penulisan
Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan
menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal, dan makalah-makalah yang telah
dipublikasikan dalam media cetak maupun internet sehingga dalam skripsi ini
tidak ditemukan hal baru.
5
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II TEORI GRUP DAN TEORI GRAF
A. Teori Grup
1. Grup
2. Grup Berhingga dan Subgrup
3. Darab Langsung
4. Grup Siklik dan Pembangkit
5. Grup Permutasi
6. Grup Dihedral
7. Koset, Teorema Lagrange, Subgrup Normal, dan Grup
Faktor
8. Homomorfisma dan Isomorfisma
B. Teori Graf
1. Graf Berarah Atau Digraf
2. Lintasan dan Sirkuit Hamilton
6
BAB III DIGRAF CAYLEY DARI GRUP
A. Digraf Cayley dari Grup
B. Lintasan dan Sirkuit Hamilton Dalam Digraf Cayley dari Grup
BAB IV APLIKASI DIGRAF CAYLEY DARI GRUP UNTUK
MEMBUAT GRAFIK KOMPUTER DARI POLA PERULANGAN
TIPE ESCHER PADA BIDANG HIPERBOLIK
A. Metode Escher
B. Metode Douglas Dunham
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
BAB II
TEORI GRUP DAN TEORI GRAF
A. Teori Grup
1. Grup
Definisi 2. 1
Misalkan G adalah himpunan. Operasi biner pada G adalah fungsi yang
mengawankan setiap pasangan terurut elemen-elemen di G dengan suatu elemen
di G.
Dengan kata lain, operasi biner pada himpunan S adalah suatu
pemetaan dari ke S. Untuk setiap di , elemen dari S
dinotasikan dengan . Operasi biner memasangkan sebarang a dan b
elemen-elemen dari S dengan elemen dari S. Dengan demikian, dapat
dikatakan bahwa operasi adalah operasi biner pada S jika operasi tersebut
, ,
tertutup dalam S, yaitu adalah elemen dari S.
Contoh 2. 1
Misalkan dan · adalah operasi biner biasa dari penjumlahan dan perkalian
dalam , dan misalkan | . Tentukan apakah H tertutup terhadap
(a) penjumlahan dan (b) perkalian.
7
8
Untuk bagian (a), hanya dibutuhkan pengamatan bahwa 1 dan
di H, tetapi bahwa 1 4 dan 5 . Sehingga H tidak tertutup
terhadap penjumlahan.
1
2 4 5
bahwa , sehingga H tertutup terhadap perkalian.
Definisi 2. 2
Misalkan G adalah himpunan tak kosong bersama dengan operasi biner (biasa
disebut perkalian) yang mengawankan ke setiap pasangan terurut , elemen-
elemen di G dengan suatu elemen di G dinotasikan dengan . G adalah grup
terhadap operasi ini jika tiga sifat berikut dipenuhi.
untuk semua a, b, c di
titas. Terdapat sebuah elemen e (disebut identitas) di G sedemikian
pat b di G (disebut invers dari a)
Jika suatu grup mempunyai sifat komutatif sedemikian hingga
untuk setiap pasangan elemen-elemen a dan b di grup G, maka dapat dikatakan
grup tersebut adalah grup komutatif atau grup Abel.
Untuk bagian (b), andaikan dan . Menggunakan pengertian
bahwa r dan s di H, dapat dilihat bahwa harus terdapat bilangan bulat n dan m di
sedemikian hingga dan . Akibatnya, .
Dengan karakteristik elemen di H dan kenyataan bahwa , ini berarti
1) Asosiatif. Operasi bersifat asosiatif jika
G.
2) Iden
hingga untuk semua a di G.
3) Invers. Untuk setiap elemen a di G terda
sedemikian hingga .
9
Beberap
Elemen
s Grup
Abel
a contoh grup diberikan dalam Tabel 2. 1 di bawah ini.
Tabel 2. 1
Beberapa Contoh Grup
Grup Operasi Identitas Bentuk Inver
penjumlahan 0 k –k ya
perkalian 1 m/n,
m, n>0
n/m ya
penjumlahan
mod n
0 k n–k ya
perkalian 1 x 1/x ya
GL(2, F) perkalian
matriks
1 01 ,
ad–bc≠0
0
tidak
U( dengan
fpb(k, n
elesaian untuk
kx=1 mod n
han
antar
(0, ..., 0) (a1, ..., an) (–a1, –a2, ..., –an) ya
SL(2, F) perkalian 1 0 ,
ad–bc=1
tidak
n) perkalian
mod n
penjumla
1 k,
)=1
peny ya
komponen
matriks 0 1
Keterangan
adalah himpunan bilangan bulat;
:
10
adalah bilangan rasional positi
adalah himpunan bilangan bulat modulo n;
adalah himpunan bilangan real tak nol;
GL(2, F) adalah himpunan matriks 2 2 dengan entri-entrinya bilangan real dan
determinannya tak nol;
U(n) adalah himpunan bilangan bulat k yang kurang dari n dan , 1
untuk 1
| , , . . . , ;
2
real), (bilangan kompleks), atau (bilangan bulat
t seba ng dari , , , atau .
Definisi 2. 3
Banyaknya elemen dari suatu grup G (berhingga atau tak hingga), dinotasikan
dengan | |, disebut orde dari G. Jika | | berhingga, maka G disebut grup
erhingga dan jika | | tak hingga, maka G disebut grup tak hingga.
0, 1, 2, … , 1 untuk 1 adalah n atau | | dan
adalah grup berhingga karena | | berhingga sehingga adalah grup Abel
berhingga karena juga adalah grup Abel.
himpunan f;
;
adalah himpunan , , . . . ,
SL(2, F) adalah himpunan matriks 2 dengan entri-entrinya dari (bilangan
rasional), (bilangan
modulo p dengan p bilangan prima) dan determinannya 1;
F dapa ra
2. Grup Berhingga dan Subgrup
b
Contoh 2. 2
Orde dari
11
Definisi 2. 4
Orde dari suatu elemen a dalam sutu grup adalah bilangan bulat positif terkecil
n sedemikian hingg . Dalam notasi penjumlahan menjadi
G
a . Jika
tidak terdapat bilangan bulat seperti itu, maka a dikatakan mempunyai orde tak
hingga. Orde dari suatu elemen a dinotasikan dengan | |.
, 9 terhadap operasi penjumlahan
modulo 10, karena 1 · 2 2, 2 · 2 4, 3 · 2 6, 4 · 2 8, 5 · 2 0, dapat
wa |2| 5. Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa
Definisi 2. 5
Jika H adalah himpunan bagian dari grup G dan H adalah grup terhadap operasi
dari G, maka H disebut subgrup dari G, dinotasikan dengan H ≤ G atau G ≥ H.
atau G > H berarti H ≤ G tetapi H ≠ G, subgrup ini disebut subgrup
bgrup dari G yang
ejati dar . Jika { adalah elemen identitas dari G
t subg
disebut dari G.
Contoh 2. 4
Satu-satunya subgrup sejati tak trivial dari 0, 1, 2, 3 adalah {0, 2}.
Contoh 2.3
Dengan mengingat grup 0, 1, 2, …
diketahui bah
|0| 1, |7| 10, |5| 2, |6| 5.
Notasi H < G
sejati dari G. Sedangkan, su terdiri dari G atau dirinya sendiri
disebut subgrup tak s i G e} , maka
subgrup {e} disebu rup trivial dari G, sedangkan subgrup yang bukan {e}
subgrup tak trivial
Perhatikan bahwa {0, 3} bukan subgrup dari , karena {0, 3} tidak tertutup
terhadap penjumlahan. Sebagai contoh, 3 3 2 dan 2 0, 3 .
12
3. Darab Langsung
Definisi 2. 6
Misalkan {G1, G2, ..., Gn} adalah himpunan berhingga dari grup. Darab langsung
1 2 Gn, ditulis sebagai … , adalah himpunan semua
i adalah elem i
, … , dengan dilakukan
engan operasi pada Gi.
5, 7 , 10 1, 3, 7, 9 ,
9 , 7, 1 , 7, 3 , 7,
sedangkan dua komponen kedua dikerjakan den
modulo 10.
4. Grup Siklik dan Pembangkit
Invers dari suatu elemen a dari suatu grup dinotasikan dengan .
Notasi ini digunakan untuk suatu grup terhadap operasi perkalian.
dari G , G , ...,
pasangan terurut n komponen dengan komponen ke- en dari G .
Dengan simbol, … , , … , | , di mana
, , … , , , … , ,
d
Contoh 2. 5
8 1, 3,
8 10 1, 1 , 1, 3 , 1, 7 , 1, 9 , 3, 1 , 3, 3 , 3, 7 , 3, 9 , 5, 1 ,
5, 3 , 5, 7 , 5, 7 , 7, 9 .
Hasil kali (3, 7)(7, 9) = (5, 3), karena dua komponen pertama dikerjakan dengan
perkalian modulo 8, gan perkalian
13
Definisi 2. 7
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka digunakan untuk menunjukkan hasil
kali dari a dan dirinya sendiri untuk n faktor, yaitu · · … ·
.
Jika 0, maka , dengan e adalah elemen identitas di grup tersebut. Jika
a .
Jika
Teorema 2. 1
ika a adalah suatu elemen dari suatu grup dan m, n adalah bilangan bulat, maka
eksponen berikut.
Bukti:
Akan dibuktikan menggunakan prinsip induksi matematis.
Untuk n positif.
Persamaan tersebut benar untuk n = 1, karena
. Andaikan persamaan tersebut benar untuk n = k, berarti
. Kemudian akan dibuktikan persamaan tersebut benar
untuk n = k + 1. Perhatikan bahwa
.
n adalah bilangan bulat negatif, mak
· · , maka .
J
berlaku hukum
1) .
2) .
1) Misalkan m tetap dan n variabel.
a)
14
b) Untuk n negatif.
Akan dibuktikan persamaan tersebut benar untuk n = −k dengan
kan bahwa . Perhati
· · … ·
· · … ·
.
Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan untuk n tetap dan m variabel.
2) Misalkan m tetap dan n variabel.
a) Untuk n positif.
Persamaan tersebut benar untuk n = 1, karena
. Andaikan persamaan tersebut benar untuk n =
k, berarti . Kemudian akan dibuktikan persamaan tersebut
benar untuk
.
b) Untuk n negatif.
engan
Dengan cara yang sama, dapat dibukti
n = k + 1. Perhatikan bahwa
Akan dibuktikan persamaan tersebut benar untuk n = −k d
. Perhatikan bahwa
.
kan untuk n tetap dan m variabel.
■
15
Contoh 2. 6
, , , .
Jika G adalah sua
Bukti:
(ab)(b-1a-1) = ((ab)b-1)a-1 (hukum asosiatif)
= (a(bb-1))a-1 (hukum asosiatif)
Sama halnya dengan (b-1a-1)(ab) = e. Karena itu, dengan definisi (aa-1 = a-1a = e
)-1 = b-1a-1.
■
Definisi 2. 8
grup siklik jika terdapat elemen a di G sedemikian hingga
} disebut
himpunan pembangkit dari G. Notasi menyatakan bahwa G adalah grup
bangkit a.
adalah grup siklik dengan pembangkit 1 dan –1.
odulo n adalah grup siklik dengan pembangkit 1 dan 1 1.
Tidak seperti yang hanya mempunyai dua pembangkit, dapat mempuny
lebih dari satu pembangkit bergantung pada n yang diberikan.
Teorema 2. 2
tu grup, maka (ab)-1 = b-1a-1 untuk semua a dan b di G.
= (ae)a-1 = aa-1 = e.
),
(ab
Grup G disebut
| . Elemen a tersebut disebut pembangkit dari G dan {a
siklik dengan pem
Contoh 2. 7
Grup terhadap penjumlahan
Demikian juga untuk , grup 0, 1, 2, … , 1 untuk 1 terhadap
penjumlahan m
ai
16
Misalkan 1 3 5 7 . Untuk memeriksanya, sebagai
3 8, … a
8, … 2, 4, 6, 0 .
a
bgrup il dari G yang mem
h G, mak
terdapat himpunan berhingga | yang membangkitkan G, maka G
dikatakan dibangkitkan secara berhingga dan ditulis | . Jika
1, 2, … , , maka , , … , .
Teorema 2. 3
Jika G adalah grup dan en subgrup
G yang dibangkitkan oleh | tepatnya adalah elemen-elemen dari G yang
berupa hasil kali berhingga dari pangkat bulat dari ai, di mana suatu pangkat ai
tertentu dapat terjadi beberapa kali dalam hasil kali tersebut.
Menurut Definisi 2. 8, H adalah subgrup terkecil dari G yang memuat | .
H dan
contoh, 3 , perhatikan bahwa 3 3, 3 3 8, 3 3
dalah himpunan 3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0 . Sehingga 3 adalah
pembangkit dari . Tetapi 2 bukan pembangkit dari karena 2
2, 2 2 8, 2 2 2
Definisi 2. 9
Misalk n G adalah grup dan untuk dengan I adalah sebarang
himpunan indeks. Su terkec uat | disebut
subgrup yang dibangkitkan oleh | . Jika subgrup ini adala a
| dikatakan membangkitkan G dan ai disebut pembangkit dari G. Jika
untuk , maka elemen-elem H dari
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa K = H, berarti harus dibuktikan bahwa K H K.
17
Andaikan K menyatakan himpunan dari semua hasil kali berhingga dari pangkat
bulat dari ai. Misalkan … . Maka dan
· · … ·
, karena sifat-sifat subgrup. Sehingga
. … . Maka K H
tkan bahwa K adalah subgrup dari H yang memuat | , maka
ali elem
osiatif. Misalkan
… . Sehingga
… …
.
Untuk , dengan Teorem
… … .
Sebagai contoh, (a1)3(a2)2(a1)-7 berada di K dan [(a1)3(a2)2(a1)-7]-1 = (a1)7(a2)-2(a1)-3
berada di K lagi.
H dan K memuat | karena
| , maka H K.
Akan diperliha
H K.
Perhatikan bahwa hasil k en di K adalah di K lagi. Misalkan,
… . Sehingga … .
Perhatikan juga bahwa hasil kali elemen di K memenuhi sifat as
…
…
… … .
Karena (ai)0 = e, diperoleh
a 2. 2 dapat diperoleh
Jadi, K adalah subgrup dari
sehingga | . Karena H adalah subgrup terkecil yang memuat
18
Jadi, terbukti bahwa K = H.
■
Contoh 2. 8
1, 0 , 0, 1 artinya grup dibangkitkan oleh (1, 0) dan
Dengan menggunakan Teorema 2. 3, elemen-elemen dari grup
n(1, 0) + m(0, 1)| n, m } = {(0(1, 0) + 0(0, 1)), (0(1, 0) + 1(0, 1))
1(0 )), (0(1, 0) + 2(0, 1)), (2(1, 0) + 0(0, 1)),
)), …} = {(0, 0), (0, 1),
(1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)}.
dinyatakan dengan , , , , , , , . Tabel
Tabel Operasi untuk
(0, 1).
adalah { ,
(1(1, 0) + 0(0, 1)), (1(1, 0) + , 1
(1(1, 0) + 2(0, 1)), (2(1, 0) + 1(0, 1)), (2(1, 0) + 2(0, 1
Contoh 2. 9
Grup kuarternion
operasi atau tabel Cayley untuk adalah sebagai berikut.
Tabel 2. 2
19
Grup kuarternion juga dapat din ,
, . Dengan kata lain, dibangkitkan oleh a
yatakan dengan , |
dan b yang memenuhi
persamaan , , dan . Berikut ini akan diperlihatkan
ibangkitkan oleh a dan b tersebut.
5. rup Per utasi
Definisi 2. 10
ungsi : disebut satu-satu atau injektif jika dan hanya jika bila
m
setiap , terdapat sedemikian
ika adalah satu-satu dan pada.
bahwa d
G m
F
aka . Fungsi : disebut pada atau surjektif jika untuk
sehingga . Fungsi :
disebut korespondensi satu-satu atau bijektif j
20
Contoh 2. 10
Fungsi : dengan bukan satu-satu karena 2 2 4
tetapi 2 2 dan tidak pada karena daerah hasilnya adalah himpunan bagian
jati dari semua bilangan tak negatif di . Akan tetapi : dengan
satu-satu dan pada .
Definisi 2. 11
Misalkan : dan : . Komposisi dan , dinotasikan dengan
, adalah pemetaan dari A ke C, dinotasikan dengan : ,
didefinisikan dengan untuk semua a di A.
Definisi 2. 12
Permutasi dari suatu himpunan A adalah fungsi bijektif dari A ke A.
Contoh 2. 11
utasi himp kan deng
2, α(2) = 3,
t dapat dinyatakan dengan cara lain, yaitu 12
23
31
44 dan
12
21
34
43 . Komposisi permutasi dikerjakan dari kanan ke kiri. Misalkan
1 2 31
44
12
21
34
43
13
22
34
41 . Sebagai contoh, 3 berada
= α(β(1))
a 2. 4
Jika A adalah suatu himpunan tak kosong dan SA adalah himpunan semua
permutasi dari A, maka SA merupakan suatu grup terhadap komposisi permutasi.
se
Misalkan perm α dan β dari unan {1, 2, 3, 4} dinyata an α(1) =
α(3) = 1, α(4) = 4 dan β(1) = 2, β(2) = 1, β(3) = 4, β(4) = 3. Permutasi
tersebu
2 3
di bawah 1, karena (αβ)(1) = α(2) = 3.
Teorem
21
Bukti:
ktikan bahwa (SA, ◦) meAkan dibu menuhi tiga syarat di dalam Definisi 2. 2, yaitu
asosiatif, mempunyai elemen identitas, dan mempunyai elemen invers. Tetapi
sebelumnya akan dibuktikan bahwa (SA, ◦) tertutup terhadap komposisi permutasi.
Andaikan π1 dan π2 adalah permutasi dari A. Menurut teorema tentang komposisi
fungsi, m 1 2 a1, a2 A
π1 ◦ π2 bersifat satu-satu, j (a1) = (π1 ◦
a2. Akan dibuktikan bahwa π1 ◦ π2 bersifat satu-satu. Karena (π1 ◦
π1
bersifat satu-satu, berlaku π2(a1) = π2(a2), dan karena π2 bersifat satu-satu juga,
1 2. Terbukti bahwa (π1 ◦ π2)(a1) = (π1 ◦ π2)(a2) → a1 = a2. Oleh karena
1 2
1 2
setiap b A, terda
untuk setiap a’ A, terdapat a’’ A sehingga π2(a’’) = a’. Oleh karena itu, (π1 ◦
π2)(a’’) = π1(π2(a’’)) = π1(a’) = b, sehingga π1 ◦ π2 bersifat pada. Maka m
dari A. Terbukti bahwa π1 ◦ π2
A, (π1 ◦ (π2 ◦ π3))(a) = ((π1 ◦ π2) ◦ π3)(a). Misalkan a A. Berlaku (π1 ◦ (π2 ◦ π3))(a)
= π1((π2 ◦ π3)(a)) = π1(π2(π3(a)) = (π1 ◦ π2)(π3(a)) = ((π1 ◦ π2) ◦ π3)(a), sehingga
aka π ◦ π juga adalah fungsi dari A ke A. Misalkan .
Komposisi permutasi ika dipenuhi (π1 ◦ π2)
π2)(a2) → a1 =
π2)(a1) = (π1 ◦ π2)(a2), sehingga diperoleh π1(π2(a1)) = π1(π2(a2)). Karena
berlaku a = a
itu, π ◦ π bersifat satu-satu.
Akan dibuktikan bahwa π ◦ π bersifat pada, yaitu untuk setiap b A, terdapat a
A sehingga (π1 ◦ π2)(a) = b. Misalkan b A. π1 bersifat pada, berarti untuk
pat a’ A sehingga π1(a’) = b, dan π2 bersifat pada, berarti
enurut
Definisi 2.13, π1 ◦ π2 merupakan suatu permutasi
SA.
Akan dibuktikan bahwa (SA, ◦) memenuhi sifat asosiatif. Andaikan π1, π2, π3 SA.
Akan dibuktikan π1 ◦ (π2 ◦ π3) = (π1 ◦ π2) ◦ π3. Akan ditunjukkan, untuk setiap a
22
diperoleh (π1 ◦ (π2 ◦ π3))(a) = ((π1 ◦ π2) ◦ π3)(a), untuk setiap a A. Jadi, menurut
Definisi 2. 11 diperoleh π1 ◦ (π2 ◦ π3) = (π1 ◦ π2) ◦ π3. Terbukti bahwa sifat asosiatif
dipenuhi.
Akan dibuktikan bahwa (SA, ◦) mempunyai elemen identitas. Permutasi i, di mana
i(a) = a, untuk setiap a A, merupakan elemen identitas di SA. Misalkan π SA
dan i permutasi identitas di SA. Akan dibuktikan bahwa π ◦ i = i ◦ π = π. Akan
ditunjukkan bahwa (π ◦ i)(a) = (i ◦ π)(a) = π(a), untuk setiap a A. Karena
berlaku i(a) = a, untuk setiap a A, diperoleh (π ◦ i)(a) = π(i(a)) = π(a) = i(π(a)) =
(i ◦ π)(a) sehingga (π ◦ i)(a) = (i ◦ π)(a) = π(a), akibatnya π ◦ i = i ◦ π = π. Terbukti
bahwa terdapat elemen identitas i SA, sehingga π ◦ i = i ◦ π = π.
Akan dibuktikan bahwa setiap elemen di (SA, ◦) mempunyai invers. Untuk setiap π
π
-1 -1 -1 -1 -1
Jadi, π ◦ π-1 dan π-1 ◦ π merupakan permutasi identitas dari himpunan A, sehingga
berlaku π ◦ π-1 = π-1 ◦ π = i. Terbukti bahwa untuk setiap π S , terdapat elemen
invers π-1 SA, sehingga π ◦ π-1 = π-1 ◦ π = i.
Jadi, terbukti bahwa S membentuk grup terhadap komposisi permutasi.
■
Grup permutasi dari suatu himpunan A adalah himpunan permutasi dari A yang
membentuk grup terhadap komposisi fungsi.
SA, terdapat elemen invers π-1 SA, yaitu permutasi yang membalik arah fungsi
, di mana untuk setiap a, a’ A, π(a’) = a ↔ π-1(a) = a’. Misalkan a, a’ A.
Karena berlaku i(a) = a, dan jika π(a’) = a maka π-1(a) = a’, akibatnya i(a) = a =
π(a’) = π(π (a)) = (π ◦ π )(a) dan i(a’) = a’ = π (a) = π (π(a’)) = (π ◦ π)(a).
A
A
Definisi 2. 13
23
Definisi 2. 14
Misalkan A = {1, 2, …, n}. Himpunan semua permutasi dari A disebut grup
simetri berderajat n dan dinotasikan dengan Sn. Elemen dari Sn mempunyai bentuk
1 2
S m mpunyai 1 · … · 3 · 2 · 1 ! elemen.
1 3 2 2 1 3 3 2 1
Terdapat notasi lain yang biasa digunakan untuk menyatakan permutasi
1 2 3 4 5 6
. Siklis yang hanya mempunyai satu
tas dapat
ditulis α = (12)(346).
1 2 …… .
n e
Contoh 2. 12
Misalkan S3 menyatakan himpunan semua fungsi satu-satu dari {1, 2, 3} ke
dirinya sendiri. S3 terhadap komposisi fungsi adalah grup dengan enam elemen,
yaitu
1 2 31 2 3 , 1 2 3
2 3 1 , 1 2 33 1 2 ,
1 2 3 , 1 2 3 , 1 2 3 .
yang disebut notasi siklis. Misalkan permutasi 2 1 4 6 5 3 dalam
notasi siklis dinyatakan dengan α = (12)(346)(5) karena 1→2→2→1,
3→4→4→6→6→3, dan 5→5. Suatu pernyataan dari bentuk (α1, α2, …, αm)
disebut siklis dengan panjang m atau siklis-m
entri dapat dihilangkan atau tidak ditulis. Misalkan permutasi α di a
24
Contoh 2. 13
Enam elemen dari S3 dalam notasi siklis dinyatakan dengan ε = (1)(2)(3) = (1), α
2 β = (1)(23)=(23), αβ = (12)(3) = (12), α2β = (13)(2) = (13).
S
Tabel 2. 3
Tabel Operasi untuk
(1) (12) (13) 3) (123) (132)
= (123), α = (132),
Jadi, 3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}. Tabel operasi atau tabel Cayley
untuk adalah sebagai berikut.
(2
(1) (1) (12) (13) (23) (123) (132)
(12) (12) (1) (132) (123) (23) (13)
(13) (13) (123) (1) (132) (12) (23)
(23) (23) (132) (123) (1) (13) (12)
(123) (123) (13) (23) (12) (132) (1)
(132) (132) (23) (12) (13) (1) (123)
Teorem
suatu hasil kali dari siklis
banyaknya genap, maka setiap dekomposisi α ke dalam suatu hasil kali dari siklis-
2 harus mempunyai siklis-2 yang jumlahnya genap.
Dengan simbol, jika α = β1β2 … βr dan α = γ1γ2 … γs, di mana β dan γ adalah
siklis-2, maka r dan s adalah keduanya genap atau keduanya ganjil.
a 2. 5
Jika suatu permutasi α dapat dinyatakan sebagai -2 yang
25
Bukti:
ahwa β1β2 … βr = γ1γ2 … γs menyatakan ε = (γ1γ2 … γs)(β1β2 … βr)-1 =
γ1γ2 … γs βr-1 … β2
-1β1-1 = γ1γ2 … γs βr … β2β1, karena invers dari siklis-2 adalah
. Sehingga dengan lemma yang menyatakan bahwa jika ε = β1β2 …
r
■
uatu permuta ang da inyata ebagai l kali iklis g
aknya gen ang d permutasi genap tu pe yan t
takan sebagai hasil kali dari si ang banyaknya ganjil yang disebut
utasi gan
utasi genap dari bol dinotasikan dengan An
berderajat n.
An mempunyai !
Perhatikan b
dirinya sendiri
β , di mana β adalah siklis-2, maka r adalah genap (lemma dan buktinya dapat
dilihat dalam buku Contemporary Abstract Algebra, halaman 98-99), menjamin
bahwa s + r adalah genap. Ini menghasilkan bahwa r dan s adalah keduanya genap
atau keduanya ganjil.
Definisi 2. 15
S si y pat d kan s hasi dari s -2 yan
bany ap y isebut . Sua rmutasi g dapa
dinya klis-2 y
perm jil.
Definisi 2. 16
Grup perm n sim dan disebut grup
selang-seling
elemen.
Contoh 2. 14
Grup permutasi genap dari {1, 2, 3, 4} atau grup selang-seling diberikan dalam
tabel di bawah ini.
26
Tabel 2. 4
Grup Selang-seling untuk Permutasi Genap dari {1, 2, 3, 4}
α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 α9 α10 α11 α12
(1)=α1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(12)(34)=α2 2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11
(13)(24)=α 3 4 1 2 7 8 5 6 11 12 9 3 10
(14)(23)=α 4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 4
(123)=α 5 8 6 7 9 12 10 11 1 4 2 3 5
(243)=α 6 7 5 8 10 11 9 12 2 3 1 4 6
(142)=α7 7 6 8 5 11 10 12 9 3 2 4 1
(134)=α 8 5 7 6 12 9 11 10 4 1 3 2 8
(132)=α 9 11 12 10 9 1 3 4 2 5 7 8 6
(143)=α10 10 12 11 9 2 4 3 1 6 8 7 5
(234)=α11 11 9 10 12 3 1 2 4 7 5 6 8
(124)=α12 12 10 9 11 4 2 1 3 8 6 5 7
6. Grup Dihedral
Definisi 2. 17
Simetri bidang dari bangun F pada bidang adalah fungsi bijektif dari bidang
tersebut ke dirinya sendiri yang memetakan F pada F dan mempertahankan jarak
(untuk sebarang titik p dan q pada bidang, jarak dari bayangan p ke bayangan q
sama dengan jarak p ke q).
27
Teorema 2. 6
Himpunan semua simetri bidang dari bangun F dengan operasi komposisi
membentuk grup.
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa komposisi simetri bidang dari bangun F bersifat tertutup.
isalkan π1 d 2 adalah sime id d ba n M ru r 2
π1 ◦ p n gsi ijek . S nju a n uk n w ◦
k jar . M lk a, dan (a, ar
, ( ◦ π )) (π2 (a) 2(π ))
(π ), π )) ren 2 a lah et
(a ren 1 a lah et
Te w ko osi sim F erupakan fungsi
bij e ertahankan jarak.
Ak ka ba k o im ri b ng ri b gu bersifat asosiatif.
M π n d si tri ang ari gu . Menurut Teorema
2. π ◦ = 1 ◦ ◦ e kti hw om e bid g d
ba s as tif
kan dibuktikan bahwa komposisi simetri bidang dari bangun F mempunyai
elemen identitas. Simetri bidang i dari bangun F, di mana i(a) = a, untuk setiap a
en identitas dalam himpunan semua simetri bidang dari
alkan π adalah simetri bidang dari bangun F dan i simetri bidang
identitas. Akan dibuktikan bahwa π ◦ i = i ◦ π = π. Akan ditunjukkan bahwa (π ◦
M an π tri b ang ari ngu F. enu t Teo ema . 4,
π2 meru aka fun b tif ela tny aka dib tika bah a π1 π2
mempertahan an ak isa an b F d b) adalah jarak ant a a
dengan b.
d((π2 ◦ π1)(a) π2 1)(b = d (π1 ), π 1(b
= d 1(a 1(b (ka a π da sim ri)
= d , b) (ka a π da sim ri)
rbukti bah a mp si etri bidang dari bangun m
ektif dan m mp
an dibukti n hwa omp sisi s et ida da an n F
isalkan π1, 2, da π3 a alah me bid d ban n F
4, π1 ◦ ( 2 π3) (π π2) π3. T rbu ba a k posisi sim tri an ari
ngun F ber ifat osia .
A
F, merupakan elem
bangun F. Mis
28
i)(a) = (i ◦ π)(a) = π(a), untuk setiap a F. Karena berlaku i(a) = a, untuk setiap a
F, diperoleh (π ◦ i)(a) = π(i(a)) = π(a) = i(π(a)) = (i ◦ π)(a) sehingga (π ◦ i)(a) =
(i ◦ π)(a) = π(a), akibatnya π ◦ i = i ◦ π = π. Terbukti bahwa terdapat elemen
identitas i dalam himpunan semua simetri bidang dari bangun F, sehingga π ◦ i = i
π adalah simetri bidang dari bangun F,
terdapat elemen invers π-1 adalah simetri bidang dari bangun F, yaitu simetri
embalik arah simetri bidang π, di mana untuk setiap a, a’ F, π(a’)
uk setiap π dalam himpunan semua simetri bidang dari bangun F,
= i.
Definisi 2. 18
Grup yang terdiri dari semua simetri dari segi-n beraturan dengan operasi
komposisi disebut grup dihedral.
otasikan dengan Dn.
◦ π = π.
Akan dibuktikan bahwa setiap elemen dalam himpunan semua simetri bidang dari
bangun F mempunyai invers. Untuk setiap
bidang yang m
= a ↔ π-1(a) = a’. Misalkan a, a’ F. Karena berlaku i(a) = a, dan jika π(a’) = a
maka π-1(a) = a’, akibatnya i(a) = a = π(a’) = π(π-1(a)) = (π ◦ π-1)(a) dan i(a’) = a’
= π-1(a) = π-1(π(a’)) = (π-1 ◦ π)(a). Jadi, π ◦ π-1 dan π-1 ◦ π merupakan simetri
bidang identitas dari bangun F, sehingga berlaku π ◦ π-1 = π-1 ◦ π = i. Terbukti
bahwa unt
terdapat elemen invers π-1, sehingga π ◦ π-1 = π-1 ◦ π
Jadi, terbukti bahwa himpunan semua simetri bidang dari bangun F dengan
operasi komposisi membentuk grup.
■
Grup dihedral berorde 2n din
29
Contoh 2. 15
, , , , , , , ’ adalah grup dihedral yang terdiri dari semua
imetri dari suatu bujursangkar atau persegi. (Keterangan: adalah rotasi 0°,
adalah rotasi 90°, adalah rotasi 180°, adalah rotasi 270°, adalah
pencerminan terhadap sumbu horisontal atau mendatar, adalah pencerminan
terhadap sumbu vertikal atau tegak, adalah pencerminan terhadap diagonal
tama, ’ adalah pencerminan terhadap diagonal yang lain.) Tabel operasi atau
tabel Cayley untuk adalah sebagai berikut.
Tabel 2. 5
Tabel Op
s
u
erasi untuk
’
’
’
’
’
’
’
’
’ ’
Grup dihedral dapat dinyatakan dengan | 0, 1;
0, 1, … , 1 yang memenuhi persamaan dan , dengan
30
f adalah pencerminan terhadap garis vertikal untuk n ganjil dan pencerminan
terhadap garis horisontal untuk n genap, dan g adalah rotasi terhadap posisi awal
melalui sudut dengan arah berlawanan jalan jarum jam, untuk n > 2.
orema Lagrange, Subgrup Normal, dan Grup Faktor
Definisi 2. 19
, | ngan .
d
Ha aH| untuk menotasikan
banyaknya elemen dalam himpunan aH, dan |Ha| untuk menotasikan banyaknya
m himpunan Ha.
Contoh 2. 16
Misalkan G = 3 dan H {(1), (13 }. Maka oset-koset kiri dari H di G ah
(1) = {(1)(1), (1)(13)} = {(1), (13)} = {(13)(1), (13)(13)} = (13)H,
(12 = {(12)(1), (12)(13)} = {(12), (132) = {(132 (1), (132 (13)} = 32)H,
(23) = {(23)(1), (23)(13)} = {(23), (123)} = {(123)(1), (123)(13)}= (123)H.
Seda kan kos -koset anan dar H di G adalah
H ) = {(1)(1), (13)(1)} = {(1), (13)} = {(1)(13), (13)(13)} = (13)H,
H(12) = {(1)(12), (13)(12)} = {(12), (123)} = {(1)(123), (13)(123)} = (123)H,
7. Koset, Te
Misalkan G adalah grup dan H adalah himpunan bagian dari G. Untuk sebarang
himpunan dinotasikan de aH Secara analogi,
| dan | . Jika H adalah subgrup dari G, maka
himpunan aH disebut koset kiri dari H di G yang memuat a, sedangkan Ha di-
sebut koset kanan ari H di G yang memuat a. Dalam kasus ini, elemen a disebut
perwakilan koset dari aH (atau ). Kita menggunakan |
elemen dala
S = ) k adal
H
)H } ) ) (1
H
ng et k i
(1
31
H 3) = {(1)(23), (13)(23)} = {(23), (132) = {(1)(1 ), (13) 32)}= (1 2)H.
Lemma 2. 1
Misalkan H adalah subgrup dari , dan m a dan b berada di G. Maka,
. a aH,
2. aH
3. aH = bH atau aH bH = ,
= bH jik
,
7. aH adalah subgrup dari G jika dan hanya jika a H.
ukti:
1. a = ae aH.
2. Untuk memeriksa sifat 2, pertama-tama andaikan bahwa aH = H. Maka
. Selanjutnya andaikan bahwa a H dan tunjukkan bahwa
tu enunjukka
a H dan h , dapat diketahui bahwa
, dengan sifat 2.
(2 } 32 (1 3
G isalkan
1
= H jika dan hanya jika a H,
4. aH a dan hanya jika a-1b H,
5. |aH| = |bH|,
6. aH = Ha jika dan hanya jika H = aHa-1
B
aH H dan H aH. Inklusi pertama diperoleh secara langsung dari ketertu-
pan H. Untuk m n bahwa H aH, misalkan h H. Maka, karena
H a-1h H. Sehingga
.
3. Untuk membuktikan sifat 3, andaikan bahwa aH bH ≠ dan buktikan
bahwa aH = bH. Misalkan x aH bH. Maka terdapat h1, h2 di H sedemi-
kian hingga x = ah1 dan x = bh2. Jadi, dan karena
, maka
32
4. Perhatikan bahwa aH = bH jika dan hanya jika a-1aH = a-1bH. Sehingga H =
di H adalah
a-
a-
a bh1 = bh2. Jadi, f adalah fungsi
nisi 7. 1, ter-
ka
n bahwa aH = Ha jika dan hanya jika (aH)a-1 = (Ha)a-1, yaitu jika
-1
adalah suatu subgrup, maka aH memuat identitas e. Sehingga, aH
aH = eH = H. Sehingga dari sifat 2, di-
peroleh a H. Sebaliknya, jika a H, maka dengan sifat 2 lagi, aH = H. Ka-
rena H adalah subgrup dari G, maka aH adalah juga subgrup dari G.
■
i G, maka |H| membagi
|G|. Selain itu, banyaknya koset kiri (kanan) berbeda dari H di G adalah |G|/|H|.
Bukti:
Misalkan a H, a H, …, a H menyatakan koset kiri dari H di G yang saling beda.
Maka, untuk setiap a di G, kita mempunyai aH = aiH untuk suatu i. Dengan sifat 1
a-1bH, maka a-1b H, dengan sifat 2.
5. Akan dibuktikan bahwa korespondensi ah → bh untuk semua h
fungsi satu-satu dan pada dari aH ke bH. Misalkan f : aH → bH. Pertam
tama andaikan ah1 = ah2 aH dengan h1, h2 H. Karena G adalah grup, m
ka dengan kanselasi berlaku h1 = h2. Sehingg
satu-satu. Lalu untuk sebarang y, andaikan y bH. Menurut Defi
dapat h H sehingga y = bh. Tetapi h H menentukan ah aH. Ma
. Jadi, f adalah fungsi pada.
6. Perhatika
dan hanya jika aHa = H.
7. Jika aH
eH ≠ dan dengan sifat 3, diperoleh
Teorema 2. 7 (Teorema Lagrange)
Jika G adalah grup berhingga dan H adalah subgrup dar
1 2 r
33
dari Lemma 7. 1, a aH. Sehingga setiap anggota dari G berada di salah satu dari
koset aiH. Dengan simbol, G = a1H … arH. Sekarang, sifat 3 dari lemma me-
nunjukkan bahwa gabungan ini adalah saling asing, sehingga |G| = |a1H| + |a2H| +
|H| untuk setiap … + |arH|. Akhirnya, karena |aiH| = i, diperoleh |G| = r|H|.
■
ormal dari G
semua a di G. Kita menotasikan ini dengan H G.
Untuk sebarang pencerminan f dan se-
Andaikan G adalah grup Abel dan na G adalah grup
erlaku untuk setiap , maka H adalah subgrup
Definisi 2. 20
Suatu subgrup H dari grup G disebut subgrup n jika aH = Ha untuk
Contoh 2. 17
Subgrup rotasi di Dn adalah normal di Dn.
barang rotasi g, diketahui fg = g-1f, sedangkan untuk sebarang rotasi g dan g’, di-
peroleh gg’ = g’g.
Teorema 2. 8
Jika G adalah grup Abel dan H adalah subgrup dari G, maka H adalah subgrup
normal dari G.
Bukti:
H adalah subgrup dari G. Kare
Abel, maka . Akibatnya, |
| . Karena ini b
normal dari G.
■
34
Teorema 2. 9
Misalkan G adalah grup dan H suatu subgrup normal dari G. Himpunan G/H =
{aH|a G} adalah grup terhadap operasi (aH)(bH) = abH.
/H
ke G/H adalah benar-benar fungsi. Untuk melakukan ini, andaikan bahwa aH =
a’H dan bH = b’H. Maka a’ = ah dan b’ = bh untuk suatu h , h di H, dan oleh
karena itu ’ ’ . Di sini
digunakan sifat 2 dari Lemma 7. 1 dan kenyataan bahwa H G. Selanjutnya, eH
= H adalah elemen identitas, a-1H adalah invers dari aH, dan
. Ini membukti-
kan bahwa G/H adalah suatu grup.
■
Definisi 2. 21
Jika subgrup H dari G adalah normal, maka himpunan koset kiri (atau kanan) dari
H di G disebut grup faktor dari G oleh H (atau grup hasil bagi dari G oleh H).
Contoh 2. 18
dan H = 6 = {0, 6, 12}. Maka G/H = {0+H, 1+H, 2+H, 3+H,
himpunan G/H. Sehingga (5+H)+(4+H) = 5+4+H = 9+H =
Bukti:
Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa operasinya terdefinisi dengan baik, yaitu
harus ditunjukkan bahwa korespondensi yang terdefinisi di atas dari G/H × G
1 2 1 2
Misalkan G =
4+H, 5+H}. Untuk menjelaskan bagaimana elemen-elemen grup dioperasikan,
sebagai contoh (5+H)+(4+H). Ini seharusnya menjadi salah satu dari enam elemen
yang terdaftar dalam
35
3+6+H = 3+H, karena H menyerap semua kelipatan dari 6 dengan sifat 2 dari
omorfisma dan Isomorfisma
G ke grup adalah pemetaan dari
mempertahankan operasi grup, yaitu, ( G.
Definisi 2. 23
Suatu isomorfisma dari grup G ke grup adalah pemetaan satu-satu (atau
pada yang mempertahankan operasi grup, yaitu, (ab) = (a)
.
2. 19
emetakan x ke f dan y ke g. Akan dibuktikan bahwa
m
Misalnya , untuk setiap .
Lemma 7. 1.
8. Hom
Definisi 2. 22
Suatu homomorfisma dari grup G ke yang
ab) = (a) (b) untuk semua a, b di
fungsi) dari G
(b) untuk semua a, b di G. Jika terdapat isomorfisma dari G pada , dapat
dikatakan bahwa G dan adalah isomorfis dan ditulis
Contoh
Misalkan , | , dan | 0, 1;
0, 1, … , 1 . Buktikan bahwa .
Terdapat tiga persamaan yang dipenuhi di G oleh x dan y juga dipenuhi di H jika x
diganti f dan y diganti g, yaitu , . Maka terdapat pemetaan
: yang m adalah
isomorfisma, yaitu pemetaan yang satu-satu, pada, dan memenuhi syarat
ho omorfisma.
36
: adalah satu-satu jika dan hanya jika , untu
. Misalkan dan . Maka
: adalah pada jika untuk setiap terdapat sedemikian hingga
. Jika H dibangkitkan oleh elemen-elemen dari {f, g}, maka sebarang
hasil kali pangkat bulat dari f dan g adalah bayangan dari hasil kali pangkat bulat
yang bersesuaian dari x dan y. Misalkan dan . Sehingga untuk
setiap terdapat sedemikian hingga .
: adalah homomorfisma jika dan hanya jika ,
untuk setiap , . Maka
.
Jadi, .
k
setiap ,
→ → →
→ .
37
B. Teori Graf
1. Graf Berarah Atau Digraf
Definisi 2. 24
Graf terdiri dari himpunan tak kosong simpul V dan himpunan busur
E. Setiap busur mempunyai satu atau dua simpul terhubung dengannya dan simpul
itu disebut titik ujung dari busur tersebut. Suatu busur dikatakan terhubung
dengan titik ujung-titik ujungnya.
,
, , , , ,
, , , , , , , , , , ,
Definisi 2. 25
Dua simpul u dan v dalam suatu graf G disebut berdampingan di G jika u dan v
adalah titik ujung dari suatu busur di G. Jika e diasosiasikan dengan {u, v}, busur
e disebut menghubungkan simpul u dan v. Simpul u dan v disebut titik ujung dari
suatu busur yang diasosiasikan dengan {u, v}.
Definisi 2. 26
Suatu graf yang setiap busurnya menghubungkan dua simpul berbeda dan tidak
memuat dua busur menghubungkan pasangan simpul yang sama disebut graf
sederhana.
Contoh 2. 20
Graf terdiri dari himpunan simpul dan himpunan
busur . Graf seperti ini dapat
digambarkan secara geometris seperti berikut.
38
Gambar 2. 1 Graf G
Sebagai contoh, busur {a, b} mempunyai simpul a dan b sebagai titik ujungnya
sehingga busur {a, b} dikatakan terhubung dengan simpul a dan b. Simpul a dan b
berdampingan di G dan misalkan {a, b} = f maka busur f menghubungkan simpul
a dan b. Graf di atas disebut sebagai graf tak berarah karena tidak memuat busur
berarah.
Definisi 2. 27
Graf berarah atau digraf terdiri dari himpunan tak kosong simpul V
dan himpunan busur berarah E. Setiap busur berarah berkaitan dengan pasangan
terurut simpul. Busur berarah yang berkaitan dengan pasangan terurut (u, v)
dikatakan berawal di u dan berakhir di v.
,
Definisi 2. 28
Jika (u, v) adalah suatu busur berarah dari graf G, u dikatakan berdampingan
dengan v dan v dikatakan berdampingan dengan u. Simpul u disebut simpul awal
dari (u, v), dan v disebut simpul akhir dari (u, v).
39
Contoh 2. 21
Graf berarah terdiri dari himpunan simpul dan
himpunan busur berarah . Graf
seperti ini dapat digambarkan secara geometris seperti berikut.
, , , , ,
, , , , , , , , , , ,
Gambar 2. 2 Graf Berarah G
Sebagai contoh, busur (a, b) dikatakan berawal di a dan berakhir di b. Simpul a
dikatakan berdampingan dengan b dan b dikatakan berdampingan dengan a.
Simpul a disebut simpul awal dari (a, b) dan b disebut simpul akhir dari (a, b).
2. Lintasan dan Sirkuit Hamilton
Definisi 2. 29
Misalkan n adalah bilangan bulat tak negatif dan G adalah graf tak berarah.
Lintasan dengan panjang n dari u ke v di G adalah barisan dari n busur e1, ..., en
dari G sedemikian hingga e1 diasosiasikan dengan {x0, x1}, e2 diasosiasikan
dengan {x1, x2}, dan seterusnya, dengan en diasosiasikan dengan {xn-1, xn}, di
mana x0 = u dan xn = v. Jika grafnya sederhana, maka lintasan ini dinotasikan
dengan barisan simpul x0, x1, ..., xn. Lintasan adalah sirkuit jika berawal dan
berakhir pada simpul yang sama, atau jika u = v dan panjangnya lebih besar
40
daripada nol. Lintasan atau sirkuit dikatakan melalui simpul x0, x1, ..., xn-1 atau
melintasi busur e1, e2, ..., en. Lintasan atau sirkuit adalah sederhana jika tidak
memuat busur yang sama lebih dari sekali.
Contoh 2. 22
Gambar 2. 3 Graf Sederhana yang Memuat Lintasan dan Sirkuit
Dalam graf sederhana di atas, barisan simpul a, d, c, f, e adalah lintasan sederhana
dengan panjang 4, karena {a, d}, {d, c}, {c, f}, dan {f, e} adalah semua busurnya.
Tetapi barisan simpul d, e, c, a bukan lintasan, karena {e, c} bukan busur. Barisan
simpul b, c, f, e, b adalah sirkuit dengan panjang 4, karena {b, c}, {c, f}, {f, e},
dan {e, b} adalah busur, dan lintasan ini berawal dan berakhir pada simpul b.
Lintasan a, b, e, d, a, b, yang panjangnya 5, bukan lintasan sederhana karena
memuat busur {a, b} dua kali.
Definisi 2. 30
Misalkan n adalah bilangan bulat non negatif dan G adalah graf berarah. Lintasan
dengan panjang n dari u ke v di G adalah barisan busur e1, e2, ..., en dari G
sedemikian hingga e1 diasosiasikan dengan (x0, x1), e2 diasosiasikan dengan (x1,
x2), dan seterusnya, dengan en diasosiasikan dengan (xn-1, xn), di mana x0 = u dan
xn = v. Jika grafnya sederhana, maka lintasan ini dinotasikan dengan barisan
41
simpulnya x0, x1, ..., xn. Lintasan dengan panjang lebih besar daripada nol yang
berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit. Lintasan atau sirkuit
disebut sederhana jika tidak memuat busur yang sama lebih dari sekali.
Definisi 2. 31
Lintasan sederhana di graf G yang melalui setiap simpul tepat sekali disebut
lintasan Hamilton dan sirkuit sederhana di graf G yang melalui setiap simpul tepat
sekali disebut sirkuit Hamilton. Lintasan sederhana x0, x1, ..., xn-1, xn di graf
adalah lintasan Hamilton jika dan
untuk 0 ≤ i < j ≤ n dan sirkuit sederhana x0, x1, ..., xn-1, xn, x0 (dengan n > 0) adalah
sirkuit Hamilton jika x0, x1, ..., xn-1, xn adalah lintasan Hamilton.
, , , . . . , ,
Teka-teki ini dapat diselesaikan dengan menemukan sirkuit pada graf
dalam Gambar 2. 4. Salah satu penyelesaian dari teka-teki tersebut juga
ditunjukkan dalam Gambar 2. 4.
Istilah lintasan dan sirkuit Hamilton muncul dari permainan yang disebut
Icosian puzzle, ditemukan pada tahun 1857 oleh matematikawan Irlandia, Sir
William Rowan Hamilton. Permainan ini terdiri dari dodekahedron kayu, yaitu
segibanyak dengan 12 segilima beraturan sebagai sisi, dengan pasak di setiap
simpul dari dodekahedron dan tali. Dua puluh simpul dari dodekahedron dinamai
dengan nama-nama kota berbeda di dunia. Tujuan dari teka-teki ini adalah dengan
berawal dari suatu kota dan berjalan sepanjang busur dari dodekahedron,
mengunjungi setiap 19 kota lain tepat sekali, dan berakhir dengan kembali pada
kota pertama. Selama perjalanan mengunjungi setiap kota ditandai menggunakan
tali dan pasak. Permainan ini disebut juga teka-teki “Perjalanan Keliling Dunia”.
42
Gambar 2. 4 Salah Satu Penyelesaian Teka-Teki “Perjalanan Keliling Dunia”
Contoh 2. 23
Gambar 2. 5 Graf Sederhana G1, G2, dan G3
Graf G1 mempunyai sirkuit Hamilton, yaitu a, b, c, d, e, a. Graf G2 tidak
mempunyai sirkuit Hamilton, karena sebarang sirkuit yang memuat setiap simpul
harus memuat busur { 2 ilton,
a, b} dua kali, tetapi graf G mempunyai lintasan Ham
yaitu a, b, c, d. Graf G3 tidak mempunyai sirkuit Hamilton ataupun lintasan
Hamilton, karena sebarang lintasan yang memuat semua simpul harus memuat
satu dari busur {a, b}, {e, f}, dan {c, d} lebih dari sekali.
BAB III
DIGRAF CAYLEY DARI GRUP
Jika seseorang berpikir mengenai aljabar abstrak atau struktur aljabar,
maka hal pertama yang hadir dalam pikirannya adalah grup. Terdapat banyak grup
berbeda sebanyak cara menggambarkan grup ini. Salah satu cara menunjukkan
grup dan elemen pembangkitnya adalah dengan digraf Cayley. Digraf ini
merupakan perwakilan berupa gambar dari grup. Dari digraf ini telah hadir
penyelidikan tentang lintasan dan sirkuit Hamilton yang terdapat cukup banyak
digraf Cayley dengan sifat-sifat khusus di dalamnya.
A. Digraf Cayley dari Grup
Gagasan tentang digraf Cayley dari grup pertama-tama diperkenalkan
oleh seorang matematikawan bernama Arthur Cayley pada tahun 1878. Definisi
umum menyatakan bahwa digraf Cayley merupakan gambaran grafis dari grup
yang diberikan oleh himpunan pembangkit dan relasi. Digraf ini penting untuk
dipelajari karena menghubungkan teori graf dengan teori grup dan hubungan ini
menghasilkan sebuah metode untuk menggambarkan grup. Secara matematis
definisi digraf Cayley dari grup adalah sebagai berikut.
43
44
Definisi 3. 1
Misalkan G adalah grup berhingga dan S adalah himpunan pembangkit untuk G.
Digraf Cayley dari grup G dengan himpunan pembangkit S, yang dinotasikan
dengan Cay(S:G), dapat didefinisikan sebagai berikut.
1) Setiap elemen dari G adalah simpul dari Cay(S:G).
2) Untuk x dan y di G, terdapat sebuah busur berarah dari x ke y jika dan hanya
jika xs = y untuk suatu s S.
Untuk membedakan pembangkit mana yang menghubungkan dua simpul
dalam suatu digraf, Cayley mengusulkan agar setiap pembangkit diberikan warna,
dan busur berarah yang menghubungkan x ke xs diwarnai dengan warna yang di-
berikan pada s. Ia menyebut gambar yang dihasilkan sebagai graf berwarna dari
grup tersebut (color graph of the group). Istilah ini kadang-kadang masih diguna-
kan. Dalam tulisan ini untuk membedakan pembangkit yang berbeda, akan digu-
nakan busur utuh, busur putus-putus, dan busur titik-titik. Secara umum, jika ter-
dapat suatu busur berarah dari x ke y, maka tidak perlu terdapat busur dari y ke x.
Anak panah yang berasal dari x dan menuju ke y menyatakan bahwa terdapat sua-
tu busur berarah dari x ke y.
Terdapat beberapa cara untuk menggambar digraf dari grup yang diberi-
kan oleh himpunan pembangkit tertentu. Akan tetapi, bukan penampilan dari di-
graf yang bersangkutan tetapi cara simpul terhubung. Hubungan ini secara khusus
ditentukan oleh himpunan pembangkit. Sehingga jarak antar simpul dan sudut
yang dibentuk oleh busur tidak mempunyai arti. Pada digraf Cayley dari grup da-
pat digunakan busur tak berpanah menghubungkan dua simpul x dan y yang me-
45
nyatakan bahwa terdapat suatu busur dari x ke y dan suatu busur dari y ke x. Ini
terjadi jika himpunan pembangkit memuat anggota yang inversnya adalah dirinya
sendiri dalam grup tersebut. Sebagai contoh, pada Contoh 3. 2, pembangkit (0, 1)
inversnya adalah (0,1) dalam grup .
1
0, 1, 2, 3, 4, 5
Gambar 3. 1.
Contoh 3. 1
.
adalah grup terhadap operasi penjumlahan dengan pembangkitnya adalah 1.
.
Invers dari 1 adalah 5 sehingga busurnya berpanah.
Digraf Cayley dari dengan pembangkit 1 atau Cay({1}: ) diperlihatkan dalam
Gambar 3. 1 Digraf Cay({1}: )
Contoh 3. 2
1, 0 , 0, 1 .
adalah grup terhadap operasi penjumlahan dan pembangkitnya adalah
(1, 0) dan (0, 1).
46
0, 1, 2 0, 1
0, 0 , 0, 1 , 1, 0 , 1, 1 , 2, 0 , 2, 1
, ,
.
Invers dari (1, 0) adalah (2, 0) sehingga busurnya berpanah, invers dari (0, 1) ada-
lah (1, 0) sehingga busurnya tak berpanah.
Digraf Cayley dari dengan pembangkit (1, 0) dan (0, 1) atau Cay({(1, 0),
(0, 1)}: ) diperlihatkan dalam Gambar 3. 2.
Gambar 3. 2 Digraf Cay({(1, 0), (0, 1)}: )
Dengan digraf Cayley dari grup menjadi mudah untuk melihat orde dari
beberapa elemen grup, yaitu orde dari elemen identitas dan orde dari pembangkit
yang digunakan. Sebagai contoh, orde dari dalam grup yang diberikan dalam
Contoh 3. 3 adalah empat karena terdapat empat pemberhentian pada digraf
sebelum mencapai sebagai elemen identitas di .
Contoh 3. 3
, .
adalah grup terhadap operasi komposisi dan pembangkitnya adalah dan .
, , , , , , , .
47
Invers dari adalah sehingga busurnya berpanah, invers dari adalah
mbangkit dan atau Cay( , : ) di-
am
sehingga busurnya tak berpanah.
Digraf Cayley dari dengan pe
perlihatkan dalam G bar 3. 3.
Gambar 3. 3 Digraf Cay( , : )
Contoh 3. 4
123 .
adalah grup terhadap operasi komposisi fungsi dan pembangkitnya adalah (12)
dan (123).
1 , 12 , 13 , 23 , 123 , 132 .
Invers dari (12) adalah (12) sehingga busurnya tak berpanah, invers dari (123)
adalah (132) sehingga busurnya berpanah.
Digraf Cayley dari dengan pembangkit (12) dan (123) atau Cay({(12),
(123)}: ) diperlihatkan dalam Gambar 3. 4.
12 ,
48
Gambar 3. 4 Digraf Cay({(12), (123)}: )
Contoh 3. 5
12 , 13 .
p terhadap operasi komposisi fungsi dan pembangkitnya adalah (12)
dan (13).
Invers dari (12) adalah (12) dan invers dari (13) adalah (13) sehingga busurnya tak
berpanah.
Digraf Cayley dari dengan pembangkit (12) dan (13) atau Cay({(12), (13)}: )
diperlihatkan dalam Gambar 3. 5.
adalah gru
1 , 12 , 13 , 23 , 123 , 132 .
Gambar 3. 5 Digraf Cay({(12), (13)}: )
49
Contoh 3. 6
12 34 , 123 .
adalah grup terhadap operasi komposisi fungsi dan pembangkitnya adalah
(12)(34) dan (123).
Tabel operasi untuk dapat dilihat pada Tabel 2. 2.
Invers dari (12)(34) adalah (12)(34) sehingga busurnya tak berpanah, invers dari
(123) adalah (132) s
Digraf Cayley dari dengan pembangkit (12)(34) dan (123) atau Cay({(12)(34),
(123)}: ) diperlihatkan dalam Gambar 3. 6.
ehingga busurnya berpanah.
Gambar 3. 6 Digraf Cay({(12)(34), (123)}: )
Digraf Cayley menyediakan gambaran visual dari grup, sehingga lebih
mudah digunakan untuk menentukan nilai dari sebarang hasil kali dari
pembangkit dan inversnya. Sebagai contoh, hasil kali ab3ab-2 dari grup yang dibe-
rikan dalam Contoh 3. 7. Hanya perlu memulai dari simpul e dan mengikuti busur
50
dari setiap simpul ke simpul selanjutnya seperti ditentukan dalam hasil kali yang
diberikan. Tentu saja, a-1 berarti kebalikan dari garis melintang busur a. (Penga-
matan seperti b-3=b juga membantu.) Mengikuti hasil kali dari awal sampai akhir
sehingga mendapatkan b.
Contoh 3. 7
, | , , .
adalah grup terhadap operasi perkalian dan pembangkitnya adalah a dan b
yang memenuhi persamaan , , dan .
, , ,
Invers dari a adalah a-1 = a3 dan invers dari b adalah b-1 = a2b sehingga semua bu-
surnya b
, , , , .
erpanah.
Digraf Cayley dari dengan pembangkit a dan b atau Cay({a, b}: ) diperli-
hatkan dalam Gambar 3. 7.
Gambar 3. 7 Digraf Cay({a, b}: )
51
Contoh 3. 8
rhadap operasi komposisi dan pembangkitnya adalah a dan b
, , , , , , … .
Invers dari a adalah a-1 = a dan invers dari b adalah b-1 = b sehingga semua busur-
nya tak berpanah.
Digraf Cayley dari dengan pembangkit a dan b atau Cay({a, b}: ) diperli-
hatkan dalam Gambar 3. 8.
, | .
adalah grup te
yang memenuhi persamaan .
, , , , ,
Gambar 3. 8 Digraf Cay({a, b}: )
52
B. Lintasan dan Sirkuit Hamilton Dalam Digraf Cayley dari Grup
Istilah lintasan dan sirkuit Hamilton muncul dari permainan yang dipopu-
lerkan oleh matematikawan Irlandia, Sir William Hamilton pada tahun 1859, keti-
ka ia menemukan teka-teki yang disebut “Berkeliling Dunia”. Gagasannya adalah
menamai 20 simpul dari dodekahedron beraturan dengan nama kota-kota terkenal.
Penyelesaian dari teka-teki ini adalah dengan berawal pada sebarang kota khusus
(simpul) dan bepergian “berkeliling dunia”, berpindah sepanjang busur dengan ca-
ra tertentu sehingga setiap kota lain dikunjungi tepat sekali sebelum kembali pada
titik semula. Salah satu penyelesaian untuk teka-teki ini diberikan dalam Gambar
2.4, dengan simpul dikunjungi dengan urutan yang ditunjukkan.
Dengan jelas, gagasan tersebut dapat digunakan pada sebarang digraf,
yaitu berawal pada suatu simpul dan mencoba melintasi digraf dengan berpindah
sepanjang busur dengan cara tertentu sehingga setiap simpul dikunjungi tepat se-
kali sebelum kembali pada simpul awal. (Pergi dari x ke y, harus terdapat suatu
simpul dari x ke y.) Rangkaian busur tersebut disebut sirkuit Hamilton pada digraf
tersebut. Barisan busur yang melalui setiap simpul tepat sekali tanpa kembali ke
titik awal disebut lintasan Hamilton. Selanjutnya akan dibahas tentang keberadaan
dari lintasan dan sirkuit Hamilton pada digraf Cayley.
Gambar 3. 9 menunjukkan lintasan Hamilton untuk digraf yang diberikan
pada Contoh 3. 2 dan Gambar 3. 10 menunjukkan sirkuit Hamilton untuk digraf
yang diberikan pada Contoh 3. 7.
53
Gambar 3. 9 Lintasan Hamilton Dalam Digraf Cay({(1, 0), (0, 1)}: )
dari (0, 0) ke (2, 1)
Gambar 3. 10 Sirkuit Hamilton Dalam Digraf Cay({a, b}: )
1, 0 , 0, 1 :
1, 0 , 0, 1 :
m dan n adalah relatif prima dan keduanya lebih besar daripada 1, dan jika m dan
n adalah tidak relatif prima.
Terdapat lintasan Hamilton pada , tetapi
apakah terdapat sirkuit Hamilton pada digraf tersebut? Secara lebih umum, akan
diperiksa keberadaan sirkuit Hamilton pada , jika
54
Teorema 3. 1 (Syarat Perlu)
1, 0 , 0, 1 : tidak mempunyai sirkuit Hamilton jika m dan n
Bukti:
ayley dalam sebagai ja-
ringan persegi panjang yang terkoordinasi. Andaikan terdapat sirkuit Hamilton
pada digraf tersebut dan (a, b) adalah suatu simpul yang sirkuitnya keluar secara
mendatar. (Jelas bahwa simpul tersebut ada.) Maka sirkuit yang harus keluar seca-
ra mendatar juga adalah ( 1, 1), dan sirkuit melalui (a, 1) dua kali, li-
hat Gambar 3. 12. Mengulang penjelasan tersebut, akan terlihat bahwa sirkuit
yang keluar secara mendatar dari setiap simpul adalah (a, b), ( 1, 1),
( 2, 2), …, yaitu , 1, 1 . Tetapi jika m dan n adalah relatif
prima, 1, 1 adalah seluruh grupnya. Dengan jelas, di sana tidak dapat menja-
di sirkuit Hamilton yang terdiri dari sepenuhnya gerakan mendatar.
adalah relatif prima dan lebih besar daripada 1.
Gambar 3. 11 menunjukkan gambaran digraf C
■
55
Gambar 3. 11 Digraf Cay({(1, 0), (0, 1)}: )
Gambar 3. 12 Simpul (a, b), ( , ), dan (a, ) 1 1 1
1, 0 , 0, 1 :
Teorema 3. 2 (Syarat Cukup)
mempunyai sirkuit Hamilton jika n membagi m.
Bukti:
Katakan m = kn. Maka dapat dipandang sebagai k blok berukuran n × n.
(Lihat Gambar 3. 13 sebagai contoh.) Berawal dari (0, 0) dan meliputi simpul dari
bagian atas blok sebagai berikut. Gunakan pembangkit (0, 1) untuk bergerak
secara mendatar melintasi baris pertama sampai terakhir. Lalu gunakan
pembangkit (1, 0) untuk bergerak secara tegak lurus ke titik di bawahnya, dan
56
meliputi titik sisanya pada baris kedua dengan bergerak secara mendatar.
Lanjutkan proses di atas sampai tiba di titik ( , 0), yaitu pojok kiri paling
bawah dari blok pertama. Selanjutnya, bergerak secara tegak lurus ke blok kedua
dan mengulang proses yang digunakan pada blok pertama. Lanjutkan proses ini
sampai dasar blok tercapai. Lengkapi sirkuit dengan bergerak tegak lurus kembali
ke (0, 0).
1
■
57
Gambar 3. 13 Digraf Cay({(1, 0), (0, 1)}: )
58
Perhatikan bahwa sirkuit yang diberikan dalam bukti Teorema 3. 2
mudah digambarkan tetapi agak tidak praktis untuk dibuat dalam kata-kata. Cara
yang sesuai untuk membuat lintasan atau sirkuit Hamilton adalah menentukan
simpul awal dan barisan pembangkit dengan urutan yang mana mereka dapat
digunakan. Dalam Contoh 3. 5, sebagai contoh, dapat berawal dari (1) dan
berganti pembangkit (12) atau (13) sampai kembali ke (1). Dalam Contoh 3. 3,
dapat berawal dari R0 dan berturut-turut menggunakan R90, R90, R90, H, R90, R90,
R90, H. Jika k adalah bilangan bulat positif dan a, b, …, c adalah barisan dari
elemen grup, dapat digunakan untuk menotasikan rangkaian dari k
ulangan dari barisan (a, b, …, c). Jadi, 2 dan 2
keduanya berarti R90, R90, R90, H, R90, R90, R90, H. Dengan notasi ini, dapat
dinotasikan sirkuit Hamilton yang diberikan dalam Teorema 3. 2 sebagai
, , … ,
, , , 3 ,
1 0, 1 , 1, 0 .
Teorema 3. 3
Jika s1, s2, …, sn adalah barisan pembangkit yang menentukan sirkuit Hamilton
yang berawal pada suatu simpul, maka barisan yang sama menentukan sirkuit
Hamilton yang berawal pada sebarang simpul.
Bukti:
Misalkan sirkuit Hamilton berawal pada simpul x. Maka dapat diketahui bahwa
simpul-simpul x, xs1, xs1s2, …, xs1s2…sn-1 adalah berbeda dan x = xs1s2…sn.
Sehingga jika digunakan barisan pembangkit yang sama tetapi berawal pada
59
simpul y, maka dapat ditunjukkan bahwa y, ys1, ys1s2, …, ys1s2…sn-1 adalah
berbeda, dan y = ys1s2…sn.
■
Dari Teorema 3. 1, dapat diketahui bahwa terdapat digraf Cayley dari
grup Abel yang tidak mempunyai sirkuit Hamilton. Tetapi Teorema 3. 4
menunjukkan bahwa setiap digraf Cayley dari grup Abel mempunyai lintasan
Hamilton.
Teorema 3. 4
Misalkan G adalah grup Abel berhingga dan S adalah sebarang himpunan
pembangkit tak kosong untuk G. Maka Cay(S:G) mempunyai lintasan Hamilton.
Bukti:
Akan digunakan induksi matematis pada | . Jika | = 1, katakan S = {a} dan |
= m, maka digrafnya berupa lingkaran yang simpul-simpulnya dinamai dengan e,
a, a2, …, am-1. Dengan jelas, terdapat lintasan Hamilton untuk kasus ini.
| | |
|
|
| | | | | | | | 1
kali, adalah lintasan Hamilton pada Cay(S:G).
Sekarang andaikan bahwa | > 1. Pilih suatu . Misalkan T = S - {s}, yaitu T
adalah S dengan s dikeluarkan, dan himpunan . H adalah subgrup dari G
dan boleh sama dengan G atau H ≤ G. Karena | | < | dan H adalah grup Abel
berhingga, hipotesis induksi menjamin bahwa terdapat lintasan Hamilton (a1, a2,
…, ak) pada Cay(T:H).
Akan ditunjukkan bahwa (a1, a2, …, ak, s, a1, a2, …, ak, s, … , a1, a2, …, ak, s, a1,
a2, …, ak ), dengan a1, a2, …, ak terdapat / kali dan s terdapat /
60
Karena S = T {s} dan T membangkitkan H, koset Hs membangkitkan grup
faktor G/H. (Karena G adalah grup Abel, grup ini ada.) Sehingga G/H = =
{Hs0, Hs1, Hs2, …, Hsn} = {H, Hs, Hs2, …, Hsn}. Karena itu, koset dari H adalah
elemen-elemen dari G/H, yaitu H, Hs, Hs2, …, Hsn, dan menurut Teorema
Lagrange, n = | /| . | | 1
, | ,
, 0 , , 0 , , 1 :
Karena (a1, a2, …, ak) adalah lintasan Hamilton pada Cay(T:H), berawal dari
elemen identitas dari G, lintasan yang diberikan oleh (a1, a2, …, ak) mengunjungi
setiap elemen dari H tepat sekali. Pembangkit s lalu memindahkannya ke suatu
elemen dari koset Hs. Berawal dari situ, lintasan (a1, a2, …, ak) mengunjungi
setiap elemen dari koset Hs tepat sekali. Lalu, s memindahkannya ke suatu elemen
dari koset Hs2, dan mengunjungi setiap elemen dari koset ini tepat sekali.
Melanjutkan proses tersebut, s berturut-turut memindahkan ke Hs3, Hs4, …, Hsn,
mengunjungi setiap simpul dalam masing-masing koset tersebut tepat sekali.
Karena setiap simpul dari Cay(S:G) adalah tepat salah satu koset Hsi,
mengakibatkan bahwa setiap simpul Cay(S:G) telah dikunjungi tepat sekali. Jadi,
diperoleh lintasan Hamilton.
■
Contoh 3. 9
Misalkan . Maka sirkuit Hamilton dalam
ditunjukkan dalam Gambar 3. 14.
61
Gambar 3. 14 Digraf Cay({(r, 0), (f, 0), (e, 1)}: )
, | ,
, 0 , , 0 , , 1 :
1 , 0 , , 0 , 1 , 0 , , 1 .
Contoh 3. 10
Misalkan . Maka sirkuit Hamilton dalam
dengan m genap ditunjukkan dalam
Gambar 3. 15. Barisan pembangkit yang menemukan sirkuit adalah
62
Gambar 3. 15 Digraf Cay({(r, 0), (f, 0), (e, 1)}: )
BAB IV
APLIKASI DIGRAF CAYLEY DARI GRUP UNTUK MEMBUAT
GRAFIK KOMPUTER DARI POLA PERULANGAN TIPE ESCHER
PADA BIDANG HIPERBOLIK
Selama lebih dari seratus tahun, para matematikawan telah menggambar
teselasi segitiga dalam model cakram Poincare pada bidang hiperbolik, dan
beberapa seniman telah menemukan inspirasi dalam pola ini. Seniman grafik
Belanda, M. C. Escher (1898-1972) adalah orang pertama yang paling mungkin
menjadi sangat terinspirasi. Ia menggunakan konstruksi penggaris dan jangka
klasik untuk membuat pola hiperboliknya. Kemudian Douglas Dunham, seorang
profesor ilmu komputer di Universitas Minnesota, Duluth, menggunakan grafik
komputer untuk membuat pola hiperbolik tersebut. Pertama-tama akan dijelaskan
bagaimana Escher menggambar teselasi yang mendasari polanya, lalu akan
digambarkan versi program komputer yang dapat menghasilkan desain tersebut.
A. Metode Escher
Pada tahun 1958, H. S. M. Coxeter mengirimkan kepada Escher salinan
karangannya yang berjudul “Crystal Symmetry and Its Generalizations” (Simetri
Kristal dan Generalisasinya). Dalam balasannya Escher menulis, “…some of the
text-illustrations and especially Figure 7, page 11, gave me quite a shock”
63
64
(…beberapa ilustrasi teks dan khususnya Gambar 7, halaman 11, sangat menge-
jutkanku).
Escher terkejut karena gambar itu menunjukkan padanya penyelesaian
yang sudah lama diinginkan untuk persoalannya tentang mendesain perulangan
pola yang motifnya menjadi lebih kecil ke arah limit sirkuler. Gambar 7 dalam
buku karangan Coxeter memuat pola segitiga kurva linear seperti ditunjukkan
dalam Gambar 4. 1 (tetapi tanpa perancah (scaffolding)). Tentu saja, pola itu dapat
diartikan sebagai teselasi segitiga dalam model cakram Poincare untuk bidang
hiperbolik.
Gambar 4. 1 Teselasi Segitiga Dalam Model Cakram Poincare pada Bidang Hi-
perbolik
Pokok dari model cakram Poincare adalah titik dalam dari lingkaran pada
bidang Euclid. Garis pada bidang hiperbolik dinyatakan dengan diameter dan
busur sirkuler yang adalah ortogonal untuk lingkaran. Escher dapat
65
mengkonstruksi kembali busur sirkuler dalam gambar milik Coxeter dan lalu
menggunakannya untuk membuat pola lingkarannya yang pertama, Circle Limit I,
yang ia masukkan dalam suratnya kepada Coxeter, seperti ditunjukkan dalam
Gambar 4. 2. Gambar 4. 3 menunjukkan terjemahan komputer secara kasar dari
desain Circle Limit I.
Gambar 4. 2 Cetakan Asli Circle Limit I Milik Escher
66
Gambar 4. 3 Terjemahan Komputer dari Desain Dalam Cetakan Circle Limit I
Milik Escher
Pusat dari busur sirkuler ortogonal berada di luar cakram dan disebut
kutubnya. Tempat semua kutub dari busur yang melalui titik dalam cakram adalah
garis yang disebut polar dari titik itu. Titik luar dalam Gambar 4. 1 adalah kutub
dari busur yang lebih besar, dan ruas garis luar yang menghubungkan mereka
adalah bagian dari polar titik potong busur itu. Gambar 4. 1 menunjukkan salah
satu titik dalam dan polarnya sebagai titik yang lebih besar dan garis tebal pada
sebelah kiri, busur sirkuler dan kutubnya dengan cara yang sama ditegaskan pada
sebelah kanan. Jaring luar dari kutub dan ruas polar terkadang disebut perancah
untuk teselasi. Kenyataan bahwa polar adalah garis dapat digunakan untuk
menghubungkan dengan konstruksi penggaris dan jangka dari teselasi segitiga.
Escher menggunakan cara tradisional untuk menggambar teselasi segitiga dalam
67
model cakram Poincare, yaitu menggunakan teknik penggaris dan jangka yang
terkadang menunjukkan perancah.
Untuk bilangan bulat positif p dan q, dengan 1/p + 1/q < 1/2, terdapat
teselasi pada bidang hiperbolik oleh segitiga siku-siku dengan sudut lancip π/p
dan π/q. Segi banyak beraturan bersisi p, atau segi-p, dapat dibentuk dari 2p
segitiga di sekitar pusat teselasi. Segi-p ini membentuk teselasi beraturan {p, q}
oleh segi banyak bersisi-p, dengan q dari mereka bertemu pada masing-masing
puncak. Gambar 4. 5 menunjukkan teselasi {6, 4} (dengan pusat berupa kelompok
ikan). Dapat dilihat bahwa pada dasarnya Escher menggunakan teselasi {6, 4}
pada Circle Limit I.
B. Metode Douglas Dunham
Pada tahun 1980, Douglas Dunham memutuskan untuk mencoba
menggunakan grafik komputer untuk membuat kembali desain dalam masing-
masing dari empat cetakan Circle Limit milik Escher. Rupanya tantangan
utamanya adalah menemukan algoritma peniruan yang akan menggambar masing-
masing tiruan dari motif tepat sekali. Terdapat dua alasan untuk ini. Pertama,
waktu itu digunakan teknologi pencetak yang mencetak gambar dengan
menggerakkan suatu pena pada permukaan kertas, jadi penggambaran berkali-kali
dari motif yang sama dapat menyobek kertas. Efisiensi adalah alasan kedua,
jumlah motif meningkat secara eksponensial dari pusat, dan algoritma yang tidak
efisien mungkin menghasilkan penggandaan jumlah eksponensial.
68
Selain itu, Dunham menginginkan algoritma peniruan untuk membangun
pola keluar yang rata dalam lapisan-lapisan sehingga akan menjadi tanpa tepi
yang bergerigi. Pada waktu itu, koleganya, Joseph Gallian, mempunyai beberapa
mahasiswa penelitian yang bekerja menemukan lintasan Hamilton dalam digraf
Cayley dari grup berhingga. Ia berpikir bahwa teknik mereka juga dapat
digunakan pada grup simetri tak hingga dari desain Circle Limit milik Escher.
Langkah pertama meliputi menemukan lintasan Hamilton dalam digraf
Cayley dari grup simetri untuk teselasi {p, q}. Ini dilakukan oleh David Witte,
salah satu mahasiswa penelitian Gallian. John Lindgren, seorang mahasiswa Uni-
versitas Minnesota, Duluth, melaksanakan algoritma komputer dan bersama
Dunham menerjemahkan lintasan yang ditemukan oleh Witte ke dalam pseudo-
FORTRAN.
Secara teknik, digraf Cayley dari grup mendefinisikan graf berarah, tetapi
dalam konstruksi ini invers dari masing-masing elemen s juga akan di S, jadi
untuk kesederhanaan boleh dianggap bahwa digraf Cayley-nya tak berarah.
Sebagai contoh, grup simetri dari teselasi {p, q} dinotasikan [p, q]. Grup simetri
itu sama dengan teselasi oleh segitiga siku-siku dengan sudut π/p dan π/q.
Himpunan pembangkit standar untuk grup [p, q] adalah {P, Q, R}, di mana P, Q,
dan R adalah pencerminan melewati sisi-sisi segitiga berlawanan sudut π/p, π/q,
dan π/2, berturut-turut, dalam salah satu segitiga seperti itu.
Di sini gambaran visual berguna untuk digraf Cayley dari grup [p, q] dan
lintasan Hamilton-nya. Daerah dasar untuk teselasi {p, q} adalah segitiga yang
saat bertindak dengan grup simetri [p, q] mempunyai teselasi itu sebagai orbitnya.
69
Daerah dasar ini dapat diambil dari segitiga siku-siku yang terletak pada diameter
mendatar ke pusat cakram, dengan puncak π/p nya pada pusat cakram. Segitiga ini
dinamai dengan identitas [p, q]. Masing-masing segitiga dari teselasi lalu dinamai
dengan elemen grup yang mengubah bentuk daerah dasar ke segitiga itu. Sehingga
masing-masing segitiga menyatakan suatu elemen grup. Untuk menyatakan busur
dari digraf Cayley digambar ruas garis yang menghubungkan pusat dari sebarang
dua segitiga membagi suatu sisi. Jadi, terdapat tiga ruas garis keluar dari masing-
masing segitiga, masing-masing menyatakan pencerminan melewati satu sisi.
Gambar 4. 4 menunjukkan lintasan Hamilton dalam digraf Cayley dari
grup [6, 4] dengan himpunan pembangkit standar. Ruas garis tebal, hitam dan
abu-abu, menyatakan digraf Cayley, garis tipis menunjukkan teselasi segitiga.
Lintasan Hamilton terdiri dari ruas garis hitam tebal.
Gambar 4. 4 Graf Cayley dari Grup [6, 4] dengan Lintasan Hamilton
70
Gambar 4. 5 Supermotif Pusat untuk Circle Limit I
Langkah kedua yang sebenarnya adalah untuk menemukan lintasan
Hamilton dalam graf Cayley dari grup simetri dari desain Circle Limit milik
Escher. Pertama-tama akan dibangun supermotif (pola segi-p) yang terdiri dari
semua motif yang berdekatan dengan pusat cakram. Supermotif untuk desain
Circle Limit I ditunjukkan dalam Gambar 4. 5.
Lalu langkah kedua terdiri dari menemukan lintasan Hamilton dalam graf
koset Cayley. Secara konsep, akan dibentuk koset dari grup simetri dari
supermotifnya. Lalu, secara analog dengan digraf Cayley biasa, didefinisikan
simpul menjadi koset dan mengatakan bahwa terdapat busur dari xH ke yH jika
yH = sxH untuk suatu s di S.
Sekali lagi, di sini gambaran visual berguna untuk graf koset. Simpul
dapat disamakan dengan segi-p dalam teselasi {p, q}. Segi-p pusat dinamai de-
71
ngan H, dan sebarang segi-p yang lain dinamai dengan xH, di mana x adalah
sebarang elemen dari grup simetri yang memetakan segi-p pusat ke segi-p yang
lain tersebut. Dalam kasus ini himpunan pembangkit S terdiri dari kata-kata dalam
pembangkit dari grup simetri. Untuk masing-masing sisi dari segi-p pusat,
terdapat sekurang-kurangnya satu kata yang memetakan segi-p pusat melewati sisi
itu. Seperti sebelumnya, busur dari graf dinyatakan sebagai ruas garis di antara
pusat dari segi-p. Gambar 4. 6 dan 4. 7 menunjukkan graf koset dari subgrup [6,
4]. Sekali lagi, busur dari graf adalah garis tebal, hitam atau abu-abu, dan garis
tipis menunjukkan teselasi {6, 4}. Busur dari graf yang berwarna hitam dalam
Gambar 4. 6 menunjukkan lintasan Hamilton.
Gambar 4. 6 Lintasan Hamilton Dalam Graf Koset dari [6, 4]
72
Gambar 4. 7 Pohon Perentang Dalam Graf Koset dari [6, 4]
Salah satu kelemahan dari metode ini adalah bahwa lintasan Hamilton
harus tersimpan dalam memori komputer. Ini bukan masalah serius, karena
lintasan dapat disandikan dengan bilangan bulat yang kecil. Metode itu pada
dasarnya bekerja dengan membentuk rangkaian simbol yang lebih panjang pada
pembangkit dari busur-busur lintasan Hamilton. Transformasi tersebut dinyatakan
dengan matriks bilangan real, yang membawa pada pembulatan galat setelah
terlalu banyak matriks telah dikalikan bersamaan untuk membentuk matriks
transformasi tertentu. Ini adalah masalah yang lebih serius.
Kedua masalah tersebut dihilangkan dengan menggunakan rekursi.
Sehingga yang diperlukan adalah menemukan pohon Hamilton atau lebih
tepatnya, pohon perentang dalam graf koset. Pohon tersebut melintang dengan
73
mengubah secara rekursif melewati sisi tertentu dari segi-p tersebut. Sisi itu
ditentukan dengan kombinatorik yang hampir sederhana. Dengan metode ini
lintasan dari akar (segi-p pusat) ke segi-p tersebut secara otomatis tersimpan
dalam tempat rekursi. Demikian juga, kedalaman rekursi tidak pernah lebih dalam
daripada lusinan, jadi tidak terdapat pembulatan galat yang terlihat jelas dari
mengalikan transformasi. Busur dari graf yang berwarna hitam dalam Gambar 4. 7
menunjukkan pohon perentang dalam graf koset [6, 4].
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Digraf Cayley dari grup berhingga G dengan himpunan pembangkit S
atau Cay(S:G) dibentuk dari setiap elemen G sebagai simpul dari digraf dan
terdapat sebuah busur berarah dari x ke y untuk x dan y di G jika dan hanya jika xs
= y untuk suatu s di S.
Jika terdapat lebih dari satu pembangkit, maka untuk membedakan pem-
bangkit yang berbeda digunakan busur utuh, busur putus-putus, dan busur titik-
titik. Dalam digraf Cayley dari grup dapat digunakan busur tak berarah. Busur tak
berpanah menghubungkan dua simpul x dan y menyatakan bahwa terdapat suatu
busur dari x ke y dan suatu busur dari y ke x. Ini terjadi jika himpunan pembangkit
memuat anggota yang inversnya adalah dirinya sendiri dalam grup tersebut.
Dengan digraf Cayley dari grup menjadi mudah untuk melihat orde dari
beberapa elemen grup, yaitu orde dari elemen identitas dan orde dari pembangkit
yang digunakan. Dengan digraf Cayley juga lebih mudah untuk menentukan nilai
dari sebarang hasil kali dari pembangkit atau inversnya.
Dalam digraf Cayley dari grup terdapat lintasan dan sirkuit Hamilton.
Sebagai syarat perlu adalah tidak mempunyai
sirkuit Hamilton jika m dan n adalah relatif prima dan lebih besar daripada 1.
1, 0 , 0, 1 :
74
75
1, 0 , 0, 1 :Sebagai syarat cukup adalah mempunyai sirkuit
Hamilton jika n membagi m.
Dari syarat perlu dapat diketahui bahwa terdapat digraf Cayley dari grup
Abel yang tidak mempunyai sirkuit Hamilton. Akan tetapi, setiap digraf Cayley
dari grup Abel berhingga G dengan himpunan pembangkit S atau Cay(S:G)
mempunyai lintasan Hamilton.
Digraf Cayley dari grup dapat digunakan untuk membuat grafik
komputer dari pola perulangan tipe Escher pada bidang hiperbolik.
B. Saran
Pembahasan aplikasi digraf Cayley dari grup yang telah dibahas dalam
skripsi ini dapat dilanjutkan dengan menyertakan algoritma yang digunakan untuk
membuat grafik komputer dari pola perulangan tipe Escher pada bidang
hiperbolik dan menjelaskan lebih lanjut mengenai algoritma tersebut.
76
DAFTAR PUSTAKA
Dummit, D. S. & Foote, R. M. (1991). Abstract Algebra. Upper Saddle River: Prentice-Hall, Inc.
Dunham, D. (2003). Creating Repeating Hyperbolic Patterns−Old and New. Notices of The AMS. 50 (4): 452-455. 1 Desember 2008. <http://www.ams.org/notices/200304/fea-escher.pdf>
Fraleigh, J. B. (2003). A First Course in Abstract Algebra (7th ed). New York: Pearson Education, Inc.
Gallian, J. A. (1998). Contemporary Abstract Algebra (4th ed). Boston: Duluth Houghton Mifflin Company.
Herstein, I. N. (1996). Abstract Algebra (3th ed). Upper Saddle River: Prentice-Hall International, Inc.
Rosen, K. H. (2007). Discrete Mathematics and Its Applications (6th ed). New York: McGraw-Hill, Inc.
Schwalbe, P. & Averbeck, E. (2006). Cayley Digraphs of Groups. Winona State University. 17 September 2008. <http://course1.winona.edu/jdebnath/documents/SchwalbeAverbeck.pdf>