diktat mata kuliah aljabar linear elementer · pdf filedengan penyusunan diktat ini dapat...

DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER

(BAGIAN II)

DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd

JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN

MARET 2013

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal i

MUQADIMAH Alhamdulillah penyusun ucapkan ke hadirat ALLAH SWT, karena berkat limpahan rahmat, taufik dan hidayah-Nya penyusun dapat menyelesaikan diktat Aljabar Linear ini. Shalawat dan salam juga semoga selalu tercurah kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW beserta sahabat, kerabat, serta ummat beliau yang senantiasa istiqamah mengikuti risalah beliau hingga akhir zaman. Diktat ini disusun dalam dua bagian, dengan harapan setelah selesai bagian I akan dilaksanakan ujian tengah semester, dan nanti langsung dilanjutkan dengan bagian II. Semoga dengan penyusunan diktat ini dapat membantu mahasiswa dalam belajar Aljabar Linear, tentu saja perlu ditambah dengan buku pendukung lainnya. Penyusun juga menyadari bahwa diktat ini masih jauh dari sempurna, sehingga saran dan kritik sangat penyusun harapkan.

Banjarmasin, Maret 2013 Penyusun, TTD Abdul Jabar, M.Pd

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal ii

DAFTAR ISI

Halaman

BAB IV RUANG VEKTOR …………………………………………………………………………….. 1 4.1 Field ……………………………………………………………………………………………………… 1 4.2 Ruang Vektor ………………………………………………………………………………………… 2 4.3 Ruang Vektor Bagian …………………………………………………………………………. 4 4.4 Kombinasi Linear dan Span ………………………………………………………………….. 4 4.5 Bebas Linear ………………………………………………………………………………………. 5 4.6 Basis dan Dimensi ……………………………………………………………………………….. 6 4.7 Row Space, Column space dan Null space ………………………………………………… 8 BAB V RUANG HASIL KALI DALAM …………………………………………………………….. 12 5.1 Hasilkali Dalam Umum ………………………………………………………………………… 12 5.2 Hasilkali Dalam Khusus …………………………………………………………………….. 13 5.3 Panjang vektor , jarak antar vektor ,dan besar sudut dalam RHD ………………… 14 5.4 Basis Ortonormal; Proses Gram-Schmidt ………………………………………………… 15 5.5 Perubahan Basis ………………………………………………………………………………………… 18 BAB VI TRANSFORMASI LINEAR ………………………………………………………………… 20 BAB VII NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN ………………………………………………………. 25

Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 1

BAB IV RUANG VEKTOR

4.1 Field

Misal { K, + , * }, K adalah himpunan , didefinisikan 2 operasi + (penjumlahan) dan *

(perkalian). Akan dikatakan Field jika dipenuhi :

1. untuk setiap , K maka + K dan * K, dikatakan K tertutup terhadap

operasi penjumlahan dan perkalian.

2. untuk setiap ,, K maka (+ ) + =+ ( + )

3. terdapat 0 K disebut elemen nol, sedemikian sehingga 0 + = + 0 = , untuk setiap

K

4. untuk masing-masing K , terdapat - K disebut negatip dari sedemikian sehingga

(- ) + = +(- )=0

5. untuk setiap , K maka + = +

6. untuk setiap ,, K maka (*)* =* ( * )

7. untuk setiap ,, K

(i) *( + )=* + *

(ii) ( + )* = * + *

8. untuk setiap , K maka * = *

9. terdapat 1 K disebut elemen satuan , sedemikian sehingga 1* = *1 = , untuk

setiap K

10. untuk masing-masing 0 K , terdapat -1 K disebut negatip dari sedemikian sehingga -1 * = *-1=1

Anggota dari Field disebut Skalar. Perhatikan : Sistem Bilangan berikut

Bilangan Kompleks Bilangan Imajiner

Bilangan Riil B. Irrasional

B. Rasional

B. Bulat B. Pecahan

Dijelaskan 10 Syarat di atas diterapkan pada Masing-masing bilangan tersebut. Sehingga

dapat disimpulkan Contoh Field adalah Bilangan Kompleks, Riil, dan Rasional.


4.2 Ruang Vektor Suatu objek di dalam ruang vektor V disebut vektor. V dikatakan sebagai ruang vektor bila memenuhi 10 aksioma berikut :

1. Jika u dan v di dalam V, maka u + v juga harus di dalam V 2. u + v = v + u 3. u + (v + w) = (u + v) + w 4. Di dalam ruang vektor V ada objek 0, yang disebut sebagai vektor 0 sedemikian

sehingga 0 + u = u + 0 = u, untuk semua u di dalam vektor V 5. Untuk setiap u di dalam V, ada objek yang disebut sebagai –u di dalam V, yang disebut

sebagai negatip u, sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 6. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah objek di dalam ruang vektor V, maka ku

juga ada di dalam ruang vektor V 7. k(u+v) = ku + kv 8. (k + m)u = ku + mu 9. k(mu) = (km)u 10. 1.u = u

Contoh 4.1 Buktikan R2 merupakan ruang vektor! Jawab Ambil u, v, w R2 u = (u1, u2) v = (v1, v2) w = (w1, w2)

1. u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2) R2 (sifat tertutup bilangan real)

2. u + v = (u1 + v1, u2 + v2) = (v1 + u1, v2 + u2) (sifat komutatif bilangan real) = (v1, v2) + (u1, u2)

= v + u 3. u+(v + w) = (u1, u2) + [(v1, v2) + (w1, w2)]

= (u1, u2) + (v1 + w1, v2 + w2) = (u1 + (v1 + w1), u2 +( v2 + w2) ) = ((u1 + v1)+ w1), (u2 + v2) + w2) (Sifat assosiatif bilangan real) = [(u1 + v1, u2 + v2)] + (w1, w2) = [(u1, u2) + (v1, v2)] + (w1, w2) = (u+v ) + w

4. 0 = (0, 0) R2 u + 0 = (u1, u2) + (0, 0) = (u1, u2) = u

5. u R2 -u = (-u1, -u2) R2 u + (-u) = (u1, u2) + (-u1, -u2) = (0, 0) = 0

6. ku = k (u1, u2) = (ku1, ku2) R2 7. k (u + v) = k (u1 + v1, u2 + v2)

= (k(u1 + v1), k(u2 + v2)) = (ku1 + kv1, ku2 + kv2) = (ku1, ku2) + (kv1, kv2) = k(u1, u2) + k(v1, v2) = ku + kv

8. (k + l) u = (k + l) (u1, u2) = ((k + l) u1, (k + l) u2) = ((k u1 + l u1), (k u2 + l u2)) = (ku1, ku2) + ( lu1, lu2) = k (u1, u2) + l (u1, u2)


= ku + lu 9. k (lu) = k (l(u1, u2))

= k (lu1, lu2) = (klu1, klu2) = kl (u1, u2) = (kl)u

10. 1u = 1 (u1, u2) = (u1, u2) = u R2 merupakan ruang vektor karena memenuhi 10 aksioma Contoh 4.2 Diketahui : B = {(x, y) | x, y R} dimana (x, y) + (x’, y’) = (x + x’, 0) dan k(x, y) = (2x, ky) Selidiki apakah B sebuah ruang vektor? Jawab: Ambil u, v, w B u = (u1, u2) v = (v1, v2) w = (w1, w2)

1. u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, 0) B (sifat tertutup bilangan real)

2. u + v = (u1 + v1, u2 + v2) = (u1 + v1, 0) = (v1 + u1, 0) v + u = (v1, v2) + (u1, u2) = (v1 + u1, 0) = u + v

3. u+(v + w) = (u1, u2) + [(v1, v2) + (w1, w2)] = (u1, u2) + (v1 + w1, 0) = (u1 + (v1 + w1), 0) = ((u1 + v1)+ w1), 0) (Sifat assosiatif bilangan real) (u+v ) + w = [(u1, u2) + (v1, v2)] + (w1, w2) = [(u1 + v1, 0)] + (w1, w2) = ((u1 + v1)+ w1), 0) =u+(v + w)

4. 0 = (0, 0) B u + 0 = (u1, u2) + (0, 0) = (u1, 0) ≠ u (gagal)

5. u B -u = (-u1, -u2) B u + (-u) = (u1, u2) + (-u1, -u2) = (0, 0) = 0

6. ku = k (u1, u2) = (2u1, ku2) B 7. k (u + v) = k (u1 + v1, 0)

= (2(u1 + v1), 0) = (2u1 + 2v1, 0) ku + kv = k(u1, u2) + k(v1, v2) = (2u1, ku2) + (2v1, kv2) = (2u1 + 2v1, 0) = k (u + v)

8. (k + l) u = (k + l) (u1, u2) = ( 2u1, (k + l) u2) ku + lu = k (u1, u2) + l (u1, u2) = (2u1, ku2) + ( 2u1, lu2) = ((2u1 + 2u1), 0) = (4u1, 0) ≠ (k + l) u (gagal)

9. k (lu) = k (l(u1, u2)) = k (2u1, lu2) = (4u1, klu2) (kl)u = kl (u1, u2) = (2u1, klu2) ≠ k (lu) (gagal)


10. 1u = 1(u1, u2) = (2u1, u2) ≠ u (gagal) B bukan ruang vektor sebab tidak memenuhi aksioma 4, 8, 9, dan 10 4.3 Ruang Vektor Bagian ( Subspace )

V adalah Ruang Vektor , W adalah Subset dari V. Untuk menentukan apakah W

merupakan ruang bagian V, cukup diperiksa berikut :

1. W ( W tidak hampa ) , untuk itu perlu ditunjukkan bahwa vektor 0 W.

2. Untuk setiap a, b W maka a + b W

3. Untuk setiap a W , K maka a W

Contoh 4.3 U = { (x, 0) | x R}. Buktikan bahwa U merupakan sub ruang dari R2! Misalkan a , b ∈ U artinya a = ( x1,0 ) dan b = ( x2,0 ) dengan x1,x2 ∈ R 1. U . Contoh 0 = (0,0) ∈ U 2. a + b = ( x1 + x2,0 ) dengan x1+x2 ∈ R , jadi a + b ∈ U 3. Untuk skalar k , maka k a = ( kx1,0 ) dengan kx1 ∈ R , jadi k a ∈ U Semua syarat terpenuhi , maka U merupakan sub–ruang R2 Contoh 4.4 U = { (x, y, z) | y = 2x + z}. Selidiki apakah U merupakan sub ruang dari R3 Misalkan a , b ∈ U artinya a = (a1, a2, a3) dan b = (b1, b2, b3) dengan a2 = 2a1 + a3 dan b2= 2b1 + b3

1. U . Contoh 0 = (0, 0, 0) ∈ U 2. a + b = ( a1 + b1, a2 + b2 , a3 + b3 ) apakah a2 + b2 = 2(a1 + b1) + (a3 + b3 )

Penyelidikan: 2(a1 + b1) + (a3 + b3 ) = 2a1 + 2b1 + a3 + b3 (sifat distributif dan assosiatif umum) = 2a1 + a3+ 2b1 + b3 (sifat komutatif umum) = (2a1 + a3)+ (2b1 + b3) = a2 + b2

a + b ∈ U (terpenuhi) 3. Untuk skalar k , maka k a = (ka1, ka2, ka3) apakah ka2= 2ka1+ ka3

Penyeledikan: 2ka1+ ka3 = k2a1+ ka3 =k(2a1+ a3 ) = ka2 ( terpenuhi)

U merupakan sub–ruang R3

4.4 Kombinasi Linier dan Span (Membangun) Sebuah vektor w dikatakan merupakan suatu kombinasi linier dari vektor-vektor v1, v2, …, vn jika vektor w dapat dituliskan sebagai :

w = a1v1 + a2v2 + ……..+ anvn dengan a1, a2 ……an adalah sembarang skalar yang memenuhi persamaan.

Contoh 4.5 Jika terdapat vektor u=(-1,1,2) dan v=(2,-3,0) di ruang R3, tentukan apakah vektor-vektor berikut ini adalah kombinasi linier dari u dan v :

a) (-4,5,4) b) (1,-2,0)

Jawab :


a) Untuk mengetahui suatu vektor adalah kombinasi linier dari vektor yang lainnya, dibuat penulisan persamaan vektor sebagai berikut : w = a1u + a2v

-4 = -a1 + 2a2;5 = a1- 3a2; 4 = 2a1 Jadi : karena ditemukan a1 = 2 dan a2= -1 maka w mrupakan kombinasi linear dari u dan v

b) Sebagai latihan Jika S={v1,v2, …,vr) adalah himpunan vektor di dalam ruang vektor V, dikatakan membangun (Span) suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S.

Contoh 4.6 Tentukan apakah v1=(-2,1,2), v2=(0,1,3), v3=(-1,0,1) span dari ruang vektor R3? Jawab : Untuk menentukan span di ruang vektor R3, maka dicari kemungkinan setiap vektor di ruang R3 adalah kombina-si linier dari v1, v2 dan v3. Misalkan vektor a=(a1,a2,a3) di ruang vektor R3, maka a dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari v1,v2,dan v3

Agar supaya ada nilai k1,k2 dan k3, maka matrik 3 x 3 tersebut harus mempunyai invers atau determinan tidak boleh sama dengan nol. Karena determinan matrik tersebut adalah -3, maka k1,k2 dan k3 didapatkan. Jadi disimpulkan bahwa v1,v2 dan v3 merupakan span dari ruang vektor R3 4.5 Bebas Linear Definisi :

Himpunan m buah vektor {u1, u2 , …, um} disebut bergantung linier ( linearly dependent,

tidak bebas linier) bila terdapat skalar-skalar 1, 2 , …, m yang tidak semua nol

sedemikian sehingga 1 u1 + 2 u2 +… + m um = 0 ( 0 = vektor nol ).

Dalam hal lain himpunan { u1, u2 , …, um} disebut bebas Linier (linearly independent ),

dengan perkataan lain apabila 1 u1 + 2 u2 +… + m um = 0 hanya dipenuhi oleh 1= 2 = …

=m=0.

Contoh 4.6

Apakah vektor-vektor v1=(1,0,1), v2=(2,-1,3) dan v3=(-3,1,-4) saling bebas atau bergantung

linier?

Jawab :

1 2

-4 -1 2 5 1 -3 4 2 0

a a


Untuk mengecek kebergantungan linier, langkah yang dilakukan adalah dengan menuliskan

persamaan homogen yang mengandung vektor-vektor tersebut yakni : a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0

a1(1,0,1) + a2(2,-1,3) +a3(-3,1,-4) = 0

Diperoleh persamaan :

a1+ 2a2 – 3a3=0; -a2 + a3 = 0 dan a1+ 3 a2 – 4 a3 = 0, didapatkan : a1 = a2 = a3 = 1

Jadi vektor v1, v2 dan v3 adalah bergantung linier.

Beberapa catatan :

1. Sebuah kumpulan vektor yang ada di dalam S, maka

a) Saling bergantung linier jika dan hanya jika paling sedikit ada 1 vektor di dalam S

yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain yang juga di

dalam S

b) Saling bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor di dalam S yang dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor lainnya di dalam S.

2. Sekumpulan vektor berjumlah berhingga yang memuat vektor nol (0) adalah saling

bergantung linier.

3. Jika S ={v1, v2, v3, …, vn} adalah sekumpulan vektor di ruang Rm. Apabila n>m, maka

himpunan S adalah saling bergantung linier.

4.6 Basis dan Dimensi Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, …, vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi : 1. S bebas linier 2. S span (membangun) V Contoh 4.7 Jika v1=(1,2,1), v2=(2,9,0) dan v3=(3,3,,4). Apakah S={v1, v2, v3} adalah basis di R3? Jawab :

• Syarat sebagai basis adalah span dan bebas linier, maka langkah yang harus dilakukan adalah menguji kedua syarat tersebut.

• Jika span, maka harus ada vektor lain yang merupakan kombinasi linier v1, v2 dan v3

Supaya ada solusi, maka matrik 3 x 3 memiliki invers.

• Dari hasil perhitung diperoleh nilai determinan = 1, yang menandakan bahwa matrik memiliki invers. Dengan demikian setiap nilai b1, b2 dan b3 akan menghasilkan nilai a1, a2 dan a3.

• Dapat dikatakan bahwa S adalah span dari R3. • Jika nilai b1= b2 = b3 = 0, maka a1= a2 = a3= 0 (detailnya sebagai latihan) sehingga

ketiga vector saling bebas linier. • Kesimpulannya : S={v1, v2, v3} adalah himpunan dari vektor basis di R3

Catatan: Ruang vektor V yang bukan nol (0) disebut dimensi terbatas (finite dimensional), yaitu

mengandung kumpulan vektor yang membentuk baris {v1, v2, v3, …, vn} Jika tidak ada kumpulan vektor yang membentuk basis, maka V disebut sebagai dimensi

tak terbatas (infinite dimensional) Catatan : ruang vektor nol disebut finite dimensional Dimensi dari ruang vektor V yang berdimensi terbatas didefinisikan sebagai jumlah

vektor yang membentuk basis di dalam ruang vektor V. Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol. Pada pembahasan mengenai membangun dan bebas linier , suatu himpunan vektor dapat ditunjukkan merupakan himpunan yang bebas linier atau membangun ruang vektor V hanya dengan melihat dari jumlah vektor dan dim ruang vektor. Sebenarnya tanpa menghitung kita sudah bisa menyimpulkan bahwa himpunan vektor tersebut tidak bebas linier karena agar bebas linier maksimal jumlah vektor = dim ruang vektor. Sebaliknya jika suatu himpunan vektor hanya memuat vektor dengan jumlah kurang dari dim ruang vektor , maka dapat disimpulkan bahwa himpunan vektor tersebut tidak membangun . Berdasarkan hal ini, maka suatu himpunan vektor kemungkinan bisa menjadi basis ruang vektor berdimensi n jika jumlah vektornya = n. Jika jumlah vektor < n maka tidak membangun sebaliknya jika jumlah vektor > n maka bergantung linier. Jika jumlah vektor = n , maka dapat dihitung nilai determinan dari ruang yang dibangun oleh himpunan vektor tersebut. Jika det = 0 , maka ia tidak bebas linier dan tidak membangun Jika det ≠ 0 , maka ia bebas linier dan membangun merupakan basis . Contoh 4.8 Tentukan basis dan dimensi serta solusi dari system persamaan linier homogen berikut ini : x1 + 2x2 + 2x3 – x4 + 3x5 = 0 x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + x5 = 0 3x1 + 6x2 + 8x3 + x4 + 5x5 = 0 Jawab : Harus dicari solusi SPL dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan diperoleh hasil berikut: (detail sebagai latihan) x3 + 2x4 – 2x5 = 0 x1 + 2x2 – 5x4 + 7x5 = 0 Solusinya :


Maka yang menjadi basisnya adalah :

Sedangkan dimensinya adalah 3 (karena vektor basisnya ada 3) 4.7 Row space, Column space dan Null space Jika A adalah suatu matrik dengan ordo mxn :

Am x n =

mn

n

n

n

mmm a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

.........

...

...3

2

1

3

33

23

13

2

32

22

12

1

31

21

11

Maka vektor baris adalah r1=[a11 a12 … a1n], r2=[a21 a22 … a2n] dan seterusnya.

Vektor kolom adalah

1

21

11

1 ...

ma

aa

c ,

2

22

12

2 ...

ma

aa

c dan seterusnya.

Vektor-vektor baris r1, r2, ….., rm disebut : row space dari A Vektor-vektor kolom c1, c2, ….., cn disebut : column space dari A Ruang solusi SPL homogen Ax = 0 yang merupakan sub ruang Rn disebut : null space Sistem linier Ax = b disebut konsisten jika dan hanya jika b adalah column space dari A Jika x0 adalah salah satu solusi dari sistem persamaan linier Ax = b dan kumpulan solusi

dari Ax=0 yaitu v1, v2, …, vn merupakan basis untuk null space dari A, maka setiap solusi dari Ax = b dapat ditulis sebagai berikut : x = x0 + a1v1 + a2v2 + …. + anvn

Solusi dari Ax = b adalah x0 yang disebut sebagai solusi khusus (particular solution) dan x0 + a1v1 + a2v2 + …. + anvn disebut solusi umum (general solution).

Solusi umum dari Ax = 0 adalah a1v1 + a2v2 + …. + anvn, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa solusi lengkap dari Ax = b adalah solusi khusus ditambah solusi umum dari Ax=0.

Menentukan basis ruang baris/kolom Basis ruang baris A didapatkan dengan melakukan OBE pada A sehingga diperoleh bentuk BEB, baris yang tak nol merupakan basisnya. Sedangkan basis ruang kolom A didapatkan


dengan melakukan OBE pada AT sehingga diperoleh bentuk BEB, baris yang tak nol merupakan basisnya. Dimensi (ruang baris) = Dimensi (ruang kolom) = rank matriks. Rank dan Nullity Pada suatu matrik A dan AT, terdapat 6 ruang vektor yaitu Row space A Row space AT Column space A Column space AT Null space A Null space AT Namun row space AT = column space A, begitu juga dengan column space AT = row space A. Oleh sebab itu tinggal 4 ruang vektor yang perlu diperhatikan yaitu row space A, column space A, null space A dan null space AT. Ini semua disebut sebagai fundamental matrix space dari A. Dapat disimpulkan bahwa dimensi dari row space dan column space suatu matrik adalah sama. Dimensi dari row space dan column space suatu matrik disbut dengan istilah “rank”, sedangkan dimensi dari null space disebut dengan istilah “nullity”(nullitas) Contoh 4.9 Carilah solusi dari system persamaan linier berikut ini : x1 + 2x2 – x3 + 3x4 – 4x5 = – 1 2x1 + 4x2 – 2x3 – x4 + 5x5 = 2 2x1 + 4x2 – 2x3 + 4x4 – 2x5 = 0 Jawab : Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan (detailnya sebagai latihan) diperoleh : x1 = -2x2 + x3 + 1/8 x4 = 1/8 x5 = 3/8

maka

8381

81

32

5

4

3

2

1

00

00101

00012

xx

xxxxx

.

Solusi khususnya adalah

8381

81

00

, sedangkan solusi umumnya adalah 32

00101

00012

xx

+

8381

81

00

Bagaimana cara mencari basis dari null space ? Ruang solusi dari SPL homogen Ax=0 adalah null space. Jadi untuk mencari basis dari null space adalah dengan menganggap ada SPL homogen Contoh 4.10 Tentukan basis dari null space A serta nullitasnya dari SPL homogen berikut: 2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0 – x1 – x2 + 2x3 – 3x4+ x5 = 0 x1 + x2 – 2x3 – x5 = 0 x3 + x4+ x5 = 0


Jawab: Dengan menggunakan eleminasi Gauss-Jordan (detailnya sebagai latihan) diperoleh: x1 = -x2 - x5 x3 = -x5 v4 = 0

52

5

4

3

2

1

101

01

00011

xx

xxxxx

Jadi basis dari null space adalah :

00011

dan

101

01

. Nullitas adalah 2

Jika suatu matrik di dalam bentuk row-reduced echelon, maka vektor baris (row vector) dengan 1 (satu) sebagai leading entry menjadi basis dari row-space dari matrik tersebut dan vektor kolom (column vector) dengan 1 (satu) sebagai leading entry menjadi basis dari column space dari matrik tersebut Contoh 4.11 Tentukan basis dari row space , column space dan rank matriks dari matrik berikut ini :

Jawab : Karena sudah berbentuk BEB, maka Basis dari row space adalah : r1 = [1 0 -1 2 1] r2 = [0 1 0 1 2] r3 = [0 0 0 1 3] Untuk mencari basis untuk column space, maka lakukan OBE pada AT sehingga berbentuk BEB (detailnya sebagai latihan) Diperoleh

Rank matriks adalah 3 Catatan: Jika dua matrik A dan B saling row-equivalent, maka :

1. Kumpulan vector kolom A saling bebas linier jika dan hanya jika kolom vektro B yang berkorespondensi letaknya juga saling bebas linier.


2. Kumpulan vector kolom A membentuk basis dari column space (ruang kolom) A jika dan hanya jika vector B yang letaknya sama dengan A juga membentuk basis untuk ruang kolom B

BAB V RUANG HASIL KALI DALAM

5.1 Hasil Kali Dalam Umum Definisi Hasilkali dalam (inner product) pada sebuah ruang vektor V adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan real <u, v> dengan sepasang vektor u dan v di dalam V, sedemikian sehingga aksioma-aksioma berikut ini dipenuhi bagi semua vektor u, v, dan w di dalam V dan semua bilangan skalar k.

1. Simetris: <u, v> = <v, u> 2. Aditivitas: = <u, w> + <v, w> 3. Homogenitas: <ku, v> = k <u, v> 4. Positivitas: <v, v> ≥ 0 dan <v, v> = 0 jika dan hanya jika v = 0.

Ruang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam seperti diatas disebut Ruang hasil kali dalam yang biasa disingkat dengan RHD. Contoh 5.1 Tunjukkan bahwa operasi perkalian titik standar di R3 Euclides merupakan hasil kali dalam ! Jawab Akan ditunjukkan bahwa perkalian titik standar memenuhi keempat aksioma hasil kali dalam , yaitu : Misalkan a = ( a1,a2,a3 ) , b = ( b1,b2,b3 ) , c = ( c1,c2,c3 ) maka a , b, c ∈ R3 1. Simetris < a , b > = ( a . b) = (a1b1 + a2b2 + a3b3 ) = (b1a1 + b2a2 + b3a3 ) = < b, a > ………… ( terpenuhi ) 2. Aditivitas < a + b , c > = ( ( a + b) . c )

= ((a1+b1 , a2+b2 , a3+b3 ) . ( c1,c2,c3 ) ) = ((a1c1 + b1c1) + ( a2c2+b2c2 ) + (a3c3 + b3c3 ) = (a1c1 + a2c2 + a3c3 ) + (b1c1 + b2c2 + b3c3 ) = ( a . c ) + ( b . c ) = < a , c > + …… ( terpenuhi )

3. Homogenitas < k a , b > = ( k a . b )

= ( ka1b1 + ka2b2 + ka3b3 ) = k(a1b1 + a2b2 + a3b3 ) = k( a . b ) = k< a , b > ………… ( terpenuhi ) 4. Positivitas < a , a > = ( a . a ) = ( a12+ a22+ a32 ) ≥ 0 ………… ( terpenuhi ) dan < u, u > = ( a12+ a22+ a32 ) = 0 ↔ u = ( 0,0,0 ) = 0 . … …( terpenuhi ) RHD yang memiliki hasil kali dalam berupa perkalian titik standar seperti diatas biasa disebut RHD Euclides.

Contoh 5.2 Tunjukkan bahwa <u, v> = u1v1 + u3v3 tidak memenuhi syarat aksioma hasil kali dalam. Jawab Misalkan a = ( a1,a2,a3 ) , b = ( b1,b2,b3 ) , c = ( c1,c2,c3 ) maka a , b, c ∈ R3 1. Simetris < a , b > = (a1b1 + a3b3 ) = (b1a1 + b3a3 ) = < b, a > ………… ( terpenuhi ) 2. Aditivitas < a + b , c > = <(a1+b1 , a2+b2 , a3+b3 ) , ( c1,c2,c3 ) >

= ((a1c1 + b1c1) + (a3c3 + b3c3 ) = (a1c1 + a3c3 ) + (b1c1 + b3c3 ) = < a , c > + …… ( terpenuhi )

3. Homogenitas < k a , b > = ( ka1b1 + ka3b3 ) = k(a1b1 + a3b3 ) = k( a . b ) = k< a , b > ………… ( terpenuhi ) 4. Positivitas < a , a > = ( a . a ) = ( a12 + a32 ) ≥ 0 ………… ( terpenuhi ) dan < a, a > = ( a12 + a32 ) = 0 ↔ a = ( 0,0,0 ) = 0 tidak terpenuhi sebab ambil a = (0, a2, 0) maka < a, a > = 0 padahal a bukan 0. Terbukti bahwa <u, v> = u1v1 + u3v3 tidak memenuhi syarat aksioma hasil kali dalam. 5.2 Hasilkali Dalam Khusus Jika w1, w2, …, wn adalah bilangan-bilangan real positif yang disebut nilai bobot (weight), dan jika u = (u1, u2, …, un) dan v = (v1, v2, …, vn) adalan vektor-vektor pada Rn maka <u, v> = w1 u1v1 + w2 u2 v2 + …. + wn unvn mendefinisikan sebuah hasil kali dalam pada Rn. Hasilkali dalam ini disebut hasilkali dalam Euclidean berbobot dengan nilai-nilai bobot w1, w2, …, wn. Contoh 5.3 Diketahui <u, v> = 2 u1v1 + 3 u2 v2 dan u = (7, 5) dan v = (2, -1). Tentukan <u, v>. Jawab <u, v> = 2.7.2 + 3.5.(-1) = 13 Hasilkali dalam yang dibangun oleh Matriks

Misalkan u =

nu

uu

...

...2

1

dan v =

nv

vv

...

...2

1

adalan vektor-vektor pada Rn, maka

<u, v> = vTATAu Dinamakan hasilkali dalam yang dibangun oleh A. Contoh 5.4

Tentukan formula hasil kali dalam yang dibentuk oleh A =

3002 !

Jawab:

<u, v> = vTATAu = [v1 v2]

3002

3002

2

1

uu

= 2u1v1 + 3u2v2 (detailnya sebagai latihan) 5.3 Panjang vektor , jarak antar vektor ,dan besar sudut dalam RHD Ketika kita membahas tentang panjang vektor , maka kita harus menghilangkan rumusan yang selama ini kita gunakan mengenai panjang vektor dalan ruang –n Euclides berdasarkan operasi hasil kali titik . Kita akan menghitung panjang suatu berdasarkan hasil kali dalam yang telah diberikan, dan sudah dibuktikan bersama – sama bahwa hasil kali titik dalan ruang – n Euclides juga merupakan hasil kali dalam jadi konsep yang digunakan ini akan lebih luas daripada konsep sebelumnya. Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam u, v ∈ V maka

a. 2/1,uuu b. d(u, v) = 1/2 c. Misalkan β adalah sudut antara u dan v, maka cos β adalah

vuvu,

cos

Contoh 5.5 Diketahui u = (2, -1), v = (7, 3) dan β adalah sudut antara u dan v. Tentukan panjang masing-masing vektor dan cos β menggunakan hasilkali dalam yang diberikan berikut: a. Hasilkali dalam Euclidis b. Hasilkali dalam Euclidis yang diboboti <u, v> = 3u1v1 + 2u2v2 dimana u = (u1, u2) dan v =

(v1, v2)

c. Hasilkali dalam yang dibentuk oleh matriks A

1321

Jawab: a. Hasilkali dalam Euclidis

5)1)(1(2.2, 2/1 uuu

583.37.7, 2/1 vvv

29011

5853).1(7.2,

cos

vuvu

b. Hasilkali dalam yang diboboti 14)1)(1(22.2.3, 2/1

uuu

1653.3.27.7.3, 2/1 vvv

231036

165143).1(27.2.3,

cos

vuvu

c. Hasilkali yang dibentuk oleh matriks A

6574

7412

1321

1231

12, 2/1

uuu

7452413

241337

1321

1231

37, 2/1

vvv

7456512

1321

1231

37,

cos

vuvu

(hitung sendiri hasil akhirnya)

5.4 Basis Ortonormal; Proses Gram-Schmidt Diketahui V ruang hasil kali dalam dan v1, v2,…, vn adalah vektor – vektor dalam V. Beberapa definisi penting a. H = { v1, v2,…, vn } disebut himpunan ortogonal bila setiap vektor dalam V saling tegak

lurus ,yaitu < vi, vj > = 0 untuk i ≠ j dan i,j = 1,2,…,n. b. G = { v1, v2,…, vn } disebut himpunan ortonormal bila

G himpunan ortogonal Norm dari vi = 1 , i = 1,2,…,n atau <vi, vi > = 1

Contoh 5.6 Diketahui: S = { v1, v2, v3 }

dimana v1 = (0, 1, 0), v2 =

2

1,0,2

1 , dan v3 =

21,0,

21 . Selidiki apakah S ortonormal?

Jawab: Pertama kita selidiki dulu apakah S ortogonal, setelah diselidiki ternyata S ortogonal sebab < v1, v2 > = < v1, v3 > = < v2, v3 > = 0 ternyata panjang semua vektornya adalah 1. Sehingga disimpulkan S ortonormal. Metode Gramm–Schimdt Metode Gramm–Schimdt digunakan untuk merubah suatu himpunan vektor yang bebas linier menjadi himpunan yang ortonormal. , jadi dalam hal ini disyaratkan himpunan yang ditransformasikan ke himpunan ortonormal adalah himpunan yang bebas linier. Jika yang akan ditransformasikan adalah himpunan vektor yang merupakan basis dari ruang vektor V maka metode Gramm–Schimdt akan menghasilkan basis ortonormal untuk V. Sebelum membahas tentang metode ini, akan dibahas tentang proyeksi ortogonal vektor terhadap ruang yang dibangun oleh himpunan vektor. Diketahui H = { v1, v2,…, vn } adalah himpunan vektor yang bebas linier dari ruang vektor V dengan dim ≥ n dan S = { w1, w2,…, wn } merupakan himpunan yang ortonormal . Jika W menyatakan ruang yang dibangun oleh w1, w2,…, wn maka untuk setiap vektor z1 dalam W, dapat dituliskan z1 = k1w1 + k2w2 +…+ knwn dengan k1, k2, …,kn skalar. Jika u adalah sembarang vektor dalam V , maka tentunya u dapat dituliskan sebagai jumlah dari dua vektor yang saling tegak lurus misalkan z1 dan z2 , jadi dapat dituliskan u = z1 + z2. Karena z1 dalam W , maka sebenarnya z1 merupakan proyeksi ortogonal u terhadap W , sedangkan z2 merupakan komponen vektor u yang tegak lurus terhadap W. Jadi untuk menentukan z1, maka harus ditentukan nilai k1, k2, …,kn sedemikian hingga nilai k1 merupakan panjang proyeksi u terhadap w1, k2 merupakan panjang proyeksi u terhadap w2 dan seterusnya sehingga kn merupakan panjang proyeksi u terhadap wn. Proyeksi ortogonal u terhadap wi adalah proy Wi ( u ) = < u, wi > , dikarenakan w1, w2,…, wn merupakan vektor – vektor yang ortonormal . Jadi dapat dituliskan bahwa proyeksi ortogonal u terhadap W adalah :

proyw ( u) = z1 = < u, w1 > w1 + < u, w2 > w2 +…+ < u, wn > wn dengan { w1, w2,…, wn} merupakan himpunan orthonormal. Komponen u yang tegak lurus terhadap W adalah z2 = u – (< u, w1 > w1 + < u, w2 > w2 +…+ < u, wn > wn) Misal diketahui K = { v1, v2,…, vn } adalah himpunan yang bebas linier, maka K dapat dirubah menjadi himpunan S = { w1, w2,…, wn } yang ortonormal dengan menggunakan metode Gramm–Schimdt yaitu :

1. 1

11 v

vw

2. 1122

11222 ,

,wwvvwwvv

w

3. 2231133

22311333 ,,

,,wwvwwvvwwvwwvv

w

……

n. 112211

112211

,...,,,...,,

nnnnnn

nnnnnnn wwvwwvwwvv

wwvwwvwwvvw

Contoh 5.7 Diketahui H = {a , b, c } dengan a = ( 1,1,1 ) , b = ( 1,2,1 ) , c = (−1,1,0 ) a. Apakah H basis R3? b. Jika ya , transformasikan H menjadi basis orthonormal dengan menggunakan hasil kali

dalam Euclides ! Jawab a. Karena dim(R3) = 3 dan jumlah vektor dalam H = 3 , maka untuk menentukan apakah H

merupakan basis R3 atau bukan , adalah dengan cara menghitung determinan matriks koefisien dari SPL Ax = b dengan b adalah sembarang vektor dalam R3, yaitu = det

011121111

. Setelah dihitung diperoleh det A = 1, ini berarti H merupakan basis untuk R3.

b. Hasil kali dalam antara a , b dan c < a , b > = 4, < a , c > = 0 , = 1 Untuk menjadikan H ortonormal, kita gunakan metode Gramm–Schimdt yaitu :

Normalisasi himpunan orthogonal ke himpunan ortonormal Diketahui V RHD dan H = {v1, v2, …., vn} dalam V merupakan ortogonal dengan v1≠ 0, maka bisa diperoleh himpunan ortonormal yang didefinisikan sebagai : S = { s1, s2, …., sn} dengan

Kalau dicermati, sebenarnya ini adalah rumusan Gramm – Schimdt yang telah direduksi yaitu untuk nilai proyw(vi) = 0, akibat dari v1, v2, …. vn yang saling orthogonal. Proses untuk mendapatkan vektor yang ortonormal disebut menormalisasikan vektor. Jika dim (V) = n, maka S juga merupakan basis ortonormal dari V Contoh 5.8 Diketahui a, b, c dalam R3 dengan a = (2,-1,1), b = (2, 5, 1) dan c =(-1,0,2). Jika R3 merupakan RHD Euclides, transfor-masikan a, b, c ke basis ortonormal ! Jawab : <a,b> = 0, <a,c> = 0, <b,c> = 0

Misalkan H = {a,b,c} maka H merupakan himpunan ortonormal. Dim (R3) = 3 jadi dapat ditentukan basis ortonormal untuk R3. Misalkan :

Basis ortonormal untuk R3 adalah :


5.5 Perubahan Basis Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis. Jika terdapat sembarang vektor x dalam ruang vektor V yang memiliki himpunan vektor A dan B sebagai basisnya, maka x tentunya merupakan kombinasi linier dari vektor A dan B Jika V ruang vektor, S={s1, s2, ….,sn} merupakan basis V, maka untuk sembarang x dalam V dituliskan: x = k1s1 + k2s2 +……+ knsn dengan k1, k2, ….kn skalar yang juga disebut koordinat x relatif terhadap basis S

disebut matrik x relatif terhadap basis S Jika S merupakan basis ortonormal, maka :

Jika A ={x1,x2} dan B = {y1, y2} berturut-turut merupakan basis dari V, maka untuk sembarang z dalam V didapatkan :[z]A dan [z]B. Bagaimana hubungan [z]A dan [z]B ? Misalkan

Dari

…………………..(1)

………………(2) Untuk

………………………(3) Dengan mensubstitusikan persamaan (1) dan (2) ke (3) diperoleh :

Ini berarti :

1

2s

n

kk

x

k

1

2

,,

,

s

n

x sx s

x

x s


P disebut matrik transisi dari basis A ke basis B. Secara umum, jika A = {x1, x2, …xn} dan B = {y1, y2, ….yn} berturut-turut merupakana basis dari ruang vektor V, maka matrik transisi basis A ke basis B adalah :

Jika P dapat dibalik, maka P-1 merupakan matrik transisi dari basis B ke basis A Contoh soal : Diketahui : A = { v, w} dan B = {x, y} berturut-turut merupakan basis R2 dengan v =(2,2), w = (3,-1), x = (1,3) dan y = (-1,-1). Tentukan :

a. Matrik transisi dari basis A ke basis B

b. Hitung A

31

c. Hitung B

31

dengan menggunakan hasil dari b

d. Matrik transisi dari basis B ke basis A Jawab

a. Misalkan

ba

v B , maka

ba

1311

22

didapatkan

2

0ba

Dan untuk

dc

w B , maka

d

c1311

13

didapatkan

52

dc

Jadi matriks transisi dari basis A ke basis B adalah:

P =

5220

b. Misalkan

2

1

31

kk

A

maka didapatkan

1

1

2

1

kk

c. Dari a dan b diperoleh P =

5220

dan

1

131

A

sehingga

B31

P

A31

5220

11

=

32

d. Matriks transisi dari B ke basis A adalah P-1 dengan P merupakan matriks transisi

terhadap basis A ke basis B. Jadi P-1 =

0225

41


BAB VI TRANSFORMASI LINEAR

Transformasi linear merupakan fungsi khusus dari suatu ruang vektor ke ruang vektor

yang lain. Fungsi khusus tersebut didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 6.1.

Jika T: V1 → V2 merupakan fungsi dari ruang vektor V1 ke ruang vektor V2, maka T

dinamakan transformasi linear, jika dan hanya jika

1. T(u + v) = F(u) + F(v) untuk setiap vektor u dan v di V1.

2. T(ku) = kT(u) untuk setiap vektor u di V1 dan setiap skalar k.

Contoh 6.1.

Untuk fungsi-fungsi berikut, selidiki apakah fungsi tersebut merupakan transformasi

linear? Berikan alasannya!

1. Fungsi F1 dari R2 ke R2 yang didefinisikan dengan F1((x,y)) = (2x – y, x) untuk setiap (x,y)

R2.

2. Fungsi F2 dari R2 ke R2 yang didefinisikan dengan F2((x,y)) = (x2,y) untuk setiap (x,y) R2.

3. Fungsi T1 dari R3 ke R3 yang didefinisikan dengan T1((x,y,z)) = (1,z,y) untuk setiap (x,y,z)

R3.

4. Fungsi T2 dari R3 ke R3 yang didefinisikan dengan T2((x,y,z)) = (x + 2y, y – z, x + 2z) untuk

setiap (x,y,z) R3.

Penyelesaian:

1. Misalkan u = (x1 , y1) dan v = (x2 , y2) anggota R2 dan k sebarang skalar.

F1(u + v) = F1((x1 + x2 , y1 + y2))

= (2(x1 + x2) – (y1 + y2), x1 + x2)

= (2x1 + 2x2 – y1 – y2, x1 + x2)

= ((2x1 – y1) + (2x2 – y2), x1 + x2)

= (2x1 – y1, x1) + (2x2 – y2, x2)

= F1(x1, y1) + F(x2, y2)

= F1(u) + F1(v).

F1(ku) = F1((kx1, ky1))


= (2kx1 – ky1, kx1)

= k(2x1 – y1, x1)

= kF1(x1, y1)

= kF1(u).

Jadi, F1 adalah transformasi linear.

2. Misalkan u = (x1 , y1) dan v = (x2 , y2) anggota R2 dan k sebarang skalar.

F2(u + v) = F2((x1 + x2 , y1 + y2))

= ((x1 + x2)2, y1 + y2)

= (x12 + 2x1x2 + x22, y1 + y2)

F2(u) + F2(v) = F2((x1 , y1)) + F2((x2 , y2))

= (x12,y1) + (x22,y2)

= (x12 + x22, y1 + y2)

Ternyata F2(u + v) ≠ F2(u) + F2(v).

Jadi, F2 bukan transformasi linear.

Untuk contoh nomor 3 dan 4, silakan Anda selesaikan seperti contoh nomor 1 dan 2.

Ada beberapa definisi dan teorema berkenaan dengan transformasi linear yang harus

Anda ketahui, karena definisi dan teorema tersebut sering digunakan dalam aljabar linear.

Definisi dan teorema tersebut adalah:

Definisi 6.2.

1. Misalkan T: V1 → V2 adalah transformasi linear. Himpunan vektor di V1 yang oleh T

dipetakan ke o dinamakan kernel (ruang nol dari T). Himpunan tersebut dinyatakan oleh

ker(T). Himpunan semua vektor di V2 yang merupakan bayangan oleh T dinamakan

jangkauan dari T. Himpunan tersebut dinyatakan oleh R(T).

Dengan demikian ker(T) = {v V1 T(v) = 0}, dan R(T) = {w V2 T(v) = w, untuk setiap v

V1}.

2. Jika T: V1 → V2 adalah transformasi linear, maka dimensi jangkauan dari T dinamakan rank

T dan dimensi kernel dari T dinamakan nulitas T.

Teorema 6.1.

1. Jika T: V1 → V2 adalah transformasi linear, maka

a. T(o) = o.


b. T (- v) = -T(v) untuk setiap v di V1.

c. T(v – w) = T(v) – T(w) untuk setiap v dan w di V1.

2. Jika T: V1 → V2 adalah transformasi linear, maka:

a. Ker (T) adalah ruang bagian dari V1.

b. R(T) adalah ruang bagian dari V2.

3. Jika T: V1 → V2 adalah transformasi linear dari ruang vektor V1 yang berdimensi n ke ruang

vektor V2, maka (rank dari T) + (nulitas dari T) = n.

Berikut ini merupakan contoh-contoh soal yang berkenaan dengan ker(T), R(T), rank

T, dan nulitas T pada transformasi linear T.

Contoh 6.2.

1. Diketahui T : R2 → R2 adalah transformasi linear yang dirumuskan oleh:

T(x,y) = (x – 2y, 3x – 6y) untuk setiap (x,y) R2.

a. Apakah vektor berikut terletak dalam ker(T).

1) (-2,-1)

2) (1,3)

b. Apakah vektor berikut terletak dalam R(T).

1) (1,5)

2) (3,9)

2. Diketahui T : R3 → R3 yang dirumuskan oleh T(x,y,z) = (x – y + 3z, 5x + 6y – 4z, 7x + 4y +

2z). Tentukan:

a. rank T.

b. nulitas T.

Penyelesaian:

1. a. 1) T(-2,-1) = (-2 + 2, -6 + 6) = (0,0).

Jadi (-2,-1) terletak dalam ker(T).

2) T(1,3) = (1 – 6, 3 – 18) = (-5,-15).

Jadi (1,3) tidak terletak dalam ker(T).

b. 1) Perhatikan bentuk T(x,y) = (1,5), diperoleh sistem persamaan linear:

x – 2y = 1

3x – 6y = 5

a11 = 1; a12 = -2; b1 = 1

a21 = 3; a22 = -6; b2 = 5


1

2

12

22

11

21

1

2

12

22

11

21

bb

aa

aa5

bbdan3

aa

aa

Jadi sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian, sehingga vektor

(1,5) tidak terletak dalam R(T).

2) Bentuk T(x,y) = (3,9) akan menghasilkan sistem persamaan linear:

x – 2y = 3

3x – 6y = 9

a11 = 1; a12 = -2; b1 = 3

a21 = 3; a22 = -6; b2 = 9

3bb

aa

aa

1

2

12

22

11

21

Jadi sistem persamaan mempunyai penyelesaian dengan jumlah tak hingga.

Bentuk matriks dari sistem persamaan tersebut adalah:

963321

000321

Diperoleh x – 2y = 3

Misal y = t, maka x = 2y + 3

Penyelesaian: x = 2y + 3 dan y = t

Dengan mengambil t = 1 didapat x = 5 dan y = 1.

Ini berarti T (5,1) = (5 – 2, 15 – 6) = (3,9).

Jadi (3,9) terletak dalam R(T).

2. a. Bentuk matriks Tdiubah menjadi 1 5 71 6 4

3 4 2

1 5 70 11 110 19 19

1 5 70 1 10 0 0

.

Jadi basis R(T) adalah {(1,5,7),(0,1,1)}, akibatnya rank T = 2.

b. Ambil sebarang vektor (x,y,z) di ker(T), maka T(x,y,z) = (0,0,0).

Didapat (x – y + 3z, 5x + 6y – 4z, 7x + 4y + 2z) = (0,0,0).

x – y + 3z = 0

5x + 6y – 4z = 0

7x + 4y + 2z = 0

Bentuk matriks dari sistem persamaan tersebut adalah:

024704650311

0191100191100311

019110

0111910

0311


0000

0111910

0111401

Diperoleh: x + 1114 z = 0

y – 1119 z = 0

Misal z = t, maka x = -1114 t dan y =

1119 t

Penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah:

x = -1114 t; y =

1119 t; dan z = t

sehingga (x,y,z) =

,1

1119,

1114t . Hal Ini berarti

1,

1119,

1114 pembangun ker(T) dan

vektor

1,

1119,

1114 bebas linear.

Jadi

1,

1119,

1114 basis untuk ker (T), sehingga nulitas T = 1.

Dari a dan b didapat rank T = 2; nulitas T = 1; dimensi R3 = 3, dan terpenuhi bahwa rank T + nulitas T = dimensi R3.


BAB VII NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

7.1 Definisi

Sebuah matriks bujur sangkar dengan orde n x n misalkan A, dan sebuah vektor kolom X. Vektor X adalah vektor dalam ruang Euklidian nR yang dihubungkan dengan sebuah persamaan:

XAX (7.1) Dimana adalah suatu skalar dan X adalah vektor yang tidak nol Skalar dinamakan nilai Eigen dari matriks A. Nilai eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks bujur sangkar. Vektor X dalam persamaan (7.1) adalah suatu vektor yang tidak nol yang memenuhi persamaan (7.1) untuk nilai eigen yang sesuai dan disebut dengan vektor eigen. Jadi vektor X mempunyai nilai tertentu untuk nilai eigen tertentu. Contoh 7.1

Misalkan Sebuah vektor

21

X dan sebuah matriks bujur sangkar orde 2 x 2

2404

A ,

Apabila matriks A dikalikan dengan X maka:

AX =

2404

21

=

4404

=

84

Dimana:

84

=

21

4 = X

Dengan konstanta 4 dan

2404

21

=

21

4

Memenuhi persamaan (7.1). Konstanta 4 dikatakan nilai eigen dari matriks bujur

sangkar

2404

A

Contoh 7.2

Sebuah vektor

12

X dan sebuah matriks

3011

A .

Apabila matriks A dikalikan X didapat:

AX =

3041

12

=

3042

=

36

Dimana:

36

=

12

3 = X

dengan .3 Maka 3 adalah nilai eigen dari matriks

3041

A .


Contoh 7.3

Sebuah vektor

10

X dan mateiks

2804

A bila matriks A dikalikan dengan X maka:

AX =

2804

10

=

2000

=

20

Dimana:

20

=

10

2 =

10

dengan .2

2 adalah nilai eigen dari matriks

2804

dan vektor

10

X adalah vektor eigen dari

matriks

2804

yang bersesuaian dengan nilai eigen .2

Contoh 7.4

Sebuah vektor

23

X dan matriks

0231

A .

Perkalian matriks A dengan X adalah:

AX =

0231

23

=

0663

=

69

Dimana

69

=

23

3 =

23

.

Konstanta 3 adalah nilai eigen dari matriks bujur sangkar

0231

A

Contoh 7.5

Sebuah vektor

111

X dan matriks

003012201

A .

Matriks A dikalikan X didapat:


AX =

003012201

111

=

003012201

=

333

333

= 3

111

=

111

= X

dengan 3 adalah nilai eigen matriks

003012201

A

Contoh 7.6.

Sebuah vektor

321

X dan matriks A =

200012002

Perkalian matriks A dan X adalah:

AX =

200012002

321

=

600022002

=

642

AX =

642

= 2

321

= X , dengan .2

Maka 2 adalah nilai eigen dari A =

200012002

7.1.1 Perhitungan nilai eigen

Kita tinjau perkalian matriks A dan X dalam persamaan (7.1) apabila kedua sisi dalam persamaan tersebut dikalikan dengan matriks identitas didapatkan: IAX = XI


AX = IX 0 XAI (7.2) Persamaan (7.2) terpenuhi jika dan hanya jika: det AI (7.3) Dengan menyelesaikan persamaan (7.3) dapat ditentukan nilai eigen ( ) dari sebuah matriks bujur sangkar A tersebut/ Contoh 7.7.

Dapatkan nilai eigen dari matriks A =

2312

Jawab: Dari persamaan (7.3) maka:

det

23

12

= 0

03)2)(2( 03442

0142 Dengan menggunakan rumus abc didapatkan:

2,1 = 2

1.1.4)4(4 2

= 2

4164

= 2

124

=

= 2 3 Maka penyelesaian adalah: 321 dan 322 .

Nilai eigen matriks A =

2312

adalah:

321 dan 323

Contoh 7.8

Dapatkan nilai eigen dari matriks A =

5114

Jawab: Nilai eigen ditentukan dengan persamaan:

det

51

14

= 0

2324


maka: 01)5)(4( 012092 01992 Dengan rumus abc didapatkan:

2

19.1.4)9(9 2

2,1

2

768192,1

2

592,1

Didapatkan 5215,41 dan 5

215,42 , jadi nilai eigen matriks

A =

5114

adalah 5215,4

Contoh 7.9

Dapatkan nilai eigen dari A =

1230

Jawab: Nilai eigen ditentukan dari persamaan: det 0 AI

det

123

= 0

06)1( 062 0)2)(3( Penyelesaian persamaan tersebut adalah: 03 3 dan

02 2

Jadi nilai eigen matriks A =

1230

adalah 3 dan 2 .

Contoh 7.10.


5304

Jawab: Determinan dari AI = 0


det 053

04

00)5)(4( Penyelesaian persamaan adalah: 4 dan 05 5

Jadi nilai eigen dari matriks A =

5304

adalah: 41 dan 52 .

Contoh 7.11

Carilah nilai eigen dari A =

200043012

Jawab: det 0 AI

det 0200

043012

)2(3)2)(4)(2( = 0 03)2)(4()2(

0386)2( 2

056)2( 2 0)5)(1)(2( Penyelesaian persamaan adalah:

2

02

01 1 dan 05 5

Jadi nilai eigen yang bersesuai untuk matriks

200043012

adalah:

21 , 12 dan 53 . Contoh 7.12

04


Dapatkan Nilai eigen dari matriks

180763001

A

Jawab: Nilai eigen A didapatkan dari persamaan:

AI det = 0

det

180761001

= 0

56)1)(6()1( = 0

5665)1( 2 = 0

625)1( 2 = 0 Maka nilai adalah: 01 11 06252 Dengan rumus abc didapatkan:

2

62.42553,2

273215,22

273215,23

Jadi nilai eigen dari matriks

180763001

A adalah:

11 dan 273215,2

Contoh 7.13.


300030007

Jawab: Nilai eigen didapatkan dari persamaan: 0det AI


300030007

det

= 0

0)3)(3)(7( Maka nilai adalah:

07 7

03 3 (2 kali)


300030007

adalah 3 dan 7

Contoh 7.14


450520002

Jawab: Berdasarkan persamaan 0det AI maka:

det

450520002

= 0

0}25)4)(2){(2(

0}176){2( 2 Maka nilai adalah: 02 21 01762 Dengan rumus abc didapatkan:

2

17.43662,1

1042133,2

Jadi nilai eigen matriks A =

450520002

adalah 21 , 1042132 dan 104

2133

Contoh 7.15



300030007

Jawab: Dengan menggunakan persamaan det 0 AI maka:

0300

030007

det

0)3)(3)(7( Nilai adalah:

07 7

03 3

03 3


300030007

adalah: 71 dan .332

Contoh 7.16

Dapatkan Nilai eigen dari A =

423633002

Jawab: Dengan menggunakan persamaan det 0 AI maka:

0423

633002

det

0]12)4)(3)[(2(

0]12127)[2( 2

0]7)[2( 2 0)7()2(

Maka nilai-nilai adalah: 02 2 0 07 7


Jadi nilai-nilai eigen dari matriks A =

423633002

adalah: 0,2 21 dan .73

7.2 Perhitungan Vektor Eigen

Kita tinjau kembali persamaan XAX dimana A adalah matriks bujur sangkar dan X adalah vektor bukan nol yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam subbab 7.1 telah dibahas tentang perhitungan nilai eigen dari matriks A( ), pada subbab ini kita bahas vektor yang memenuhi persamaan tersebut yang disebut vektor eigen(vektor karakteristik) yang sesuai untuk nilai eigennya.

Kita tinjau sebuah matriks bujur sangkar orde 2 x 2 berikut:

A =

2221

1211

aaaa

Persamaan XAX dapat dituliskan:

2221

1211

aaaa

2

1

2

1

xx

xx

(7.4)

Persamaan (7.4) dikalikan dengan identitas didapatkan:

1001

2221

1211

aaaa

2

1

xx

=

1001

2

1

xx

2221

1211

aaaa

2

1

xx

=

0

0

2

1

xx

2221

1211

aaaa

2

1

xx

= 0 (7.5)

Persamaan (7.5) dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:

0)(0)(

222121

212111

xaxaxaxa

(7.6)

Persamaan (7.6) adalah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang Rn yang tidak nol didapatkan jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi non trivial untuk nilai eigen yang sesuai. Contoh. 7.17

Dapatkan vektor eigen dari matriks A =

1230

Jawab: Pada contoh 7.9 nilai eigen didapatkan 21 dan 32 , vektor eigen didapatkan dengan persamaan:

0)1(2

03

21

21

xx

xx

Untuk 2 maka:


02

032

21

21

xxxx

Solusi non trivial sistem persamaan ini adalah: 212 xx Misalkan rx 1 maka rx 22

Vektor eigen matriks A =

1230

untuk 2 adalah:

rr

X2

dimana r adalah bilangan sembarang yang tidak nol.

Untuk 3 maka:

022033

21

21

xxxx

Solusi non trivial sistem persamaan tersebut adalah: 21 xx Misalkan sx 1 maka vektor eigen untuk 3 adalah:

ss

X dimana s adalah senbarang bilangan yang tidak nol.

Contoh 7.18


5304

Jawab: Pada contoh 7.10 nilai eigen matriks tersebut adalah 4 dan 5 maka vektor eigen didapatkan dari persamaan:

0)5(3

00)4(

21

1

xxx

Untuk 4 didapatkan sistem persamaan linier berbentuk:

03

000

21 xx

Solusi non trivialnya adalah 3

21

xx , bila dimisalkan rx 2 didapatkan vektor eigen

matriks A untuk 4 adalah:

r

rX 31

dengan r bilangan sembarang yang tidak nol.

Untuk maka:

0)55(3

00)54(

21

1

xxx

Sistem persamaan linier menjadi:

5


00300

1

1

xx

Tidak ada solusi non trivial dari sistem persamaan linier tersebut, jadi tidak terdapat vektor eigen dari matriks A untuk .5 Contoh 7.19

Dapatkan vektor eigen dari

0231

A

Jawab: Nilai eigen matriks A didapatkan dari persamaan: 0det AI

002

31det

06)1( 062

0)3)(2( Nilai eigen matriks A adalah: ,02 maka 21 ,03 maka 32 Vektor eigen didapatkan dengan persamaan:

02

03)1(

21

21

xxxx

Untuk 2 maka:

02203

21

21

xxxx

Solusi non trivial sistem persamaan linier tersebut adalah: 123 xx

Misalkan rx 1 maka .32 rx Jadi vektor eigen matriks A untuk 2 adalah:

rr

X3

dengan r bilangan sembarang yang tidak nol.

Untuk 3 Vektor eigen didapatkan dari sistem persamaan linier:

032032

21

21

xxxx

Solusi non trivial adalah:

,32 21 xx maka 12 32 xx

Misalkan rx 1 vektor eigen matriks A yang sesuai dengan 3 adalah:


r

rX

32 dengan r bilangan sembarang yang tidak nol.

Contoh 7.20

Dapatkan vektor eigen dari A =

01

23

Jawab: Nilai eigen matriks A didapatkan dari persamaan det 0 AI

01

2)3(det

02)3( 0232

0)2)(1( 01 maka 11 02 maka 22

Vektor eigen didapatkan dari persamaan:

0)0(02)3(

21

21

xxxx

Untuk 1 maka:

0022

21

21

xxxx

Solusi non trivial persamaan tersebut adalah: 21 xx , jika rx 1 maka rx 2 Vektor eigen yang sesuai dengan 1 adalah:

rr

X dengan r bilangan sembarang yang tidak nol.

Untuk 2 maka:

02

02

21

21

xxxx

Solusi non trivial sistem persamaan linier tersebut adalah; 21 2xx

Misalkan rx 1 maka rx21

2

Jadi vektor eigen yang sesuai dengan 2 adalah:

r

rX 1

Contoh 7.21



423633002

Jawab: Pada contoh 7.16 diketahui nilai eigen matriks A adalah: 0,2 dan .7 Vektor eigen ditentukan dari persamaan:

000

)4(236)3(300)2(

3

2

1

xxx

Untuk 2 maka:

000

223613000

3

2

1

xxx

Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:

0223

0630000

321

321

xxxxxx

Solusi non trivial didapatkan dari: 022363 321321 xxxxxx

04 32 xx

32 4xx Maka

0643 331 xxx

0103 31 xx

31 103 xx

31 310 xx

Jadi vektor eigen matriks A =

423633002

untuk 2 adalah:

3

3

3

4310

xx

x

X

Misalkan rx 3 maka:


rr

r

X 4310

dengan r adalah bilangan sembarang yang tidak nol.

Untuk 0 Vektor eigen ditentukan dari persamaan:

000

423633002

3

2

1

xxx


04230633

0002

321

321

1

xxxxxx

x

Solusi sistem persamaan linier adalah: 02 1 x 01 x 0630 32 xx

32 2xx

Vektor eigen dari matriks A =

423633002

untuk 0 adalah:

3

320

xxX

Misalkan rx 3 maka:

rrX 2

0 dengan r bilangan sembarang yang tidak nol.

Untuk 7 Vektor eigen didapatkan dari persamaan:

000

323643005

3

2

1

xxx


03230643

0005

321

321

1

xxxxxx

x

Solusi sistem persamaan linier adalah:


05 1 x 01 x 064 32 xx

32 23 xx


423633002

untuk 7 adalah:

3

323

0

x

xX

Misalkan rx 3 maka:

r

rX230

dengan r sembarang bilangan yang tidak nol.

Contoh 7.22


450520002

Jawab: Pada contoh 7. 14 diketahui nilai eigen matriks tersebut yang merupakan bilangan bulat adalah 2 , vektor eigennya didapatkan dari persamaan:

000

)24(505)22(000)22(

3

2

1

xxx


0250

05000000

32

3

xxx

Solusi non trivial sistem persamaan liniernya adalah: 32 25 xx

32 52 xx

01 x



450520002

yang sesuai dengan nilai eigen 2 adalah:

3

3520

x

xX

Misalkan sx 3 maka:

s

sX520

dengan s adalah bilangan sembarang yang tidak nol.

Contoh 7.22


003012201

Jawab: Nilai eigen didapatkan dengan persamaan:

003

0)1(220)1(

det

0)1(302)1()1(

06)1( 2 Nilai eigen matriksnya adalah: 01 1 02 2 03 3 Vektor eigen didapatkan berdasar persamaan:

000

030)1(220)1(

3

2

1

xxx

Untuk 1 Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:

00300020200

31

1

3

xxx

x

Solusi sistem persamaan liniernya adalah:


03 31 xx

13 3xx

02 x Vektor eigen yang sesuai adalah:

1

1

30x

xX

Misalkan tx 1 Vektor eigennya adalah:

t

tX

30 dengan t bilangan sembarang yang tidak nol.

Untuk 2 Sistem persamaan liniernya adalah:

020300320203

31

21

31

xxxx

xx

Solusi non trivial sistem persamaan liniernya adalah: 023 31 xx

31 32 xx

032 21 xx

12 32 xx

Vektor eigen yang sesuai adalah:

1

1

1

2332

x

x

x

X

Misalkan px 1 maka vektor eigennya adalah:

p

p

p

X

2332 dengan p bilangan sembarang yang tidak nol.



030300220202

31

21

31

xxxx

xx

Solusi non trivial sistem persamaan liniernya adalah; 31 22 xx

31 xx 21 22 xx 21 xx Vektor eigen yang sesuai adalah:

1

1

1

xxx

X

Misalkan qx 1 maka vektor eigennya adalah;

qqq

X dengan q bilangan sembarang yang tidak nol.

Contoh 7.23


180763001

Jawab: Dari penyelesaian contoh 7.12 nilai eigen yang merupakan bilangan bulat adalah 1, maka vektor eigennya didapatkan dari persamaan:

000

)11(807)16(300)11(

3

2

1

xxx

Dalam bentuk sistem persamaan linier adalah:

02800753

0000

32

321

xxxxx

Solusi non trivialnya adalah: 32 28 xx

32 41 xx

02853 221 xxx 21 333 xx 21 11xx Vektor eigen yang sesuai adalah:


2

2

2

4

11

xxx

X

Misalkan ax 2 maka vektor eigennya adalah:

aaa

X4

11

Contoh 7.24


200012002

Jawab: Nilai eigen matriks tersebut didapatkan dari persamaan: 0det AI

0)2(00

0)1(200)2(

det

0)2)(1( 2 Nilai eigennya adalah: 01 1 02 2 Vektor eigen didapatkan dari persamaan:

000

)2(000)1(200)2(

3

2

1

xxx

Untuk 1 Sistem persamaan liniernya dituliskan:

0000002

000

3

1

1

xxx

Tidak ada solusi non trivial dari sistem persamaan linier tersebut, maka vektor eigen tidak terdefinisikan. Untuk 2 Sitem persamaan liniernya adalah:

0000002

0000

21

xx


Solusi non trivial sistem persamaan liniernya adalah: 212 xx 03 x Vektor eigen yang sesuai adalah:

02 1

1

xx

X

Misalkan tx 1 maka vektor eigennya menjadi:

02tt

X dengan t bilangan sembarang yang tidak nol.

Contoh 7.25


500032023

Jawab: Nilai eigen matriks didapatkan dari persamaan: 0det AI

0)5(00

0)3(202)3(

det

0)5(22)5)(3()3(

04)3()5( 2

056)5( 2

0)1()5( 2 Nilai eigen matriks adalah: 01 1 Vektor eigen didapatkan dari persamaan:

000

)5(000)3(202)3(

3

2

1

xxx


0400

00220022

3

21

21

xxxxx

05 5


Solusi non trivialnya adalah: 21 22 xx 21 xx 03 x Vektor eigen yang sesuai adalah:

01

1

xx

X

Misalkan tx 1 maka vektor eigennya adalah:

0tt



0000

00220022

21

21

xxxx

Solusi non trivialnya adalah: 21 22 xx 21 xx 03 x Vektor eigen yang sesuai adalah:

01

1

xx

X

Misalkan rx 1 maka vektor eigenya adalah:

0rr

X dengan r bilangan sembarang yang tidak nol.

Contoh 7.26


102012104

Jawab: Nilai eigen dari matriks didapatkan dari persamaan 0det AI


0)1(02

0)1(210)4(

det

0)1(2)1()4( 2 02)4)(1()1(

065)1( 2 0)3)(2)(1(

Nilai eigen matriks tersebut adalah: 01 1 02 2 03 3 Vektor eigen didapatkan dari persamaan:

000

)1(020)1(210)4(

3

2

1

xxx


00020002003

1

1

31

xx

xx

Solusi non trivialnya adalah: 313 xx 02 x Vektor eigen yang sesuai adalah:

1

1

30x

xX

Misalkan px 1 maka vektor eigenya adalah:

p

pX

30 dengan p adalah bilangan sembarang yang tidak nol.

Untuk 2 Sistem persamaan linier yang sesuai adalah:

002002

002

31

21

31

xxxxxx


Solusi non trivialnya adalah: 312 xx 212 xx Vektor eigen yang sesuai adalah:

1

1

1

22xxx

X

Misalkan sx 1 maka vektor eigennya adalah:

sss

X22 dengan s bilangan sembarang yang tidak nol.


02020022

00

31

21

31

xxxxxx

Solusi trivialnya adalah: 031 xx

31 xx

022 21 xx

12 xx Vektor eigen yang sesuai adalah:

1

1

1

xxx

X

Misalkan tx 1 maka

ttt


diktat mata kuliah aljabar linear elementer · pdf filedengan penyusunan diktat ini dapat...

Documents