dimensi partisi pada pengembangan graph...
TRANSCRIPT
![Page 1: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/1.jpg)
DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR
DENGAN POLA K1+mKn
OLEH :MOHAMMAD IQBAL
12 06 100 061
Dosen Pembimbing :Drs. Suhud Wahyudi, M.Si.19600109 198701 1 001
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER2010
![Page 2: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/2.jpg)
PENDAHULUAN
KAJIAN PUSTAKA
METODOLOGI PENELITIAN
ANALISIS PEMBAHASAN
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
![Page 3: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/3.jpg)
LATAR BELAKANG
GRAPHPermasalahan dari berbagai disiplin ilmu
Model graph
Teknik teori graph
Digunakan untuk menyelesaikan
berbagai permasalahan
Graph kincir
Graphkincir pola K1 + mKn
Dimensi partisi
![Page 4: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/4.jpg)
Bagaimana menentukan dimensi partisi pada pengembangan graph kincir dengan pola K1 + mKn.
RUMUSAN MASALAH
![Page 5: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/5.jpg)
BATASAN MASALAH
Graph yang digunakan adalah graph yang terbatas (finite), dan sederhana (simple).
Graph kincir yang digunakan adalah graph kincir dengan pola K1 + mKn.
![Page 6: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/6.jpg)
TUJUAN
Mencari dimensi partisi graph G, pd(G) dari graph kincir dengan pola K1 + mKn.
![Page 7: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/7.jpg)
MANFAAT
Diharapkan dapat memberikan kontribusi penelitian dalam bidang teori graph, khususnya dimensi partisi pada graph kincir dengan pola K1 + mKn.
![Page 8: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/8.jpg)
PENDAHULUAN
KAJIAN PUSTAKA
METODOLOGI PENELITIAN
ANALISIS PEMBAHASAN
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
![Page 9: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/9.jpg)
PENGERTIAN GRAPH
Graph tak berarah, selanjutnya disebut sebagai Graph G, didefinisikan sebagaipasangan terurut G(V,E) dimana V adalah himpunan hingga tidak kosong
dan E adalah himpunan bagian dari VxV dimana berlaku(u,v) E mengakibatkan (v,u) E. Anggota dari V disebut vertex digambarkansebagai lingkaran atau titik dan edge digambarkan sebagai ruas garis yangmenghubungkan dua buah vertex. Banyaknya vertex dari G dilambangkandengan |V| = p dan banyaknya edge dari G dilambangkan dengan |E| = q.Secara umum suatu graph G yang mempunyai p-vertex dan q-edge dituliskandengan (p,q)-graph G.
{ }1 2, , , nv v v…∈∈
![Page 10: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/10.jpg)
OPERASI JUMLAHAN PADA GRAPH
Misalkan G1 dan G2 adalah dua buah graph. definisi operasi jumlahan padagraph G1 dan G2 adalah graph G= G1+G2 dengan himpunan vertexV(G) = V(G1) U V(G2) dan himpunan edge-nyaE(G)=E(G1) U E(G2) U {uv|u∈V(G1)danv∈V(G2) }
u1 u2 u3
v1 v2 v3
u1 u2 u3
v1 v2 v3
G1+G2
G1
G2
![Page 11: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/11.jpg)
atau
K4
K1 + 4K2
JENIS – JENIS GRAPH
C
U1
V1 U2
V2
V4
U4 V3
U3
Graph lengkap
Graph kincir
![Page 12: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/12.jpg)
K1 + 5K6
JENIS – JENIS GRAPH
Graph kincir dengan pola
K1 + mKn
y11
y12
y13y14
y15
y16
y21
y22
y23y24
y25
y26
c
y31
y32y33
y34
y35 y36
y41
y42
y43y44
y45
y46
y51
y52
y53y54
y55
y56
![Page 13: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/13.jpg)
JENIS – JENIS GRAPH
...
y21
y22
y23
y11
y12y13c
y32y31
y33y42
y41 y43
y52
y51
y53
ym2
ym3
ym1
y11
c
.....
y12
y22
y21
ym1ym2
y51
y52
y41
y42
y31y32
y33 y24
y23
y14
y13
ym4ym3
y54
y44
y43
y34
y53
![Page 14: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/14.jpg)
DIMENSI PARTISI
Misalkan terdapat sebuah graph terhubung G dengan V(G) adalah himpunan titik – titiknya, S ⊆ V(G) dan titik v ∈V(G), jarak antara vdengan S yang dinotasikan d(v,S) didefinisikan sebagai
d(v,S) = {min d(v,x) | x ∈ S}Misalkan terdapat sebuah graph terhubung G dan k buah partisi dan untuk himpunan terurut Π = {S1, S2,..., Sk} dari vertex – vertex dalam graph terhubung G dan vertex v pada V(G), representasi dari v terhadap Π adalah k-vektor.
r(v| Π) = (d(v,S1), d(v,S2),..., d(v,Sk))Jika k-vektor r(v| Π), untuk setiap vertex v pada V(G)
berbeda, maka Π disebut himpunan resolving partisi dari V(G). Himpunan resolving partisi dengan kardinalitas minimum disebut dimensi partisi dari G dinotasikan dengan pd(G).
![Page 15: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/15.jpg)
PENDAHULUAN
KAJIAN PUSTAKA
METODOLOGI PENELITIAN
ANALISIS PEMBAHASAN
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
![Page 16: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/16.jpg)
Pemahaman sistem dan studi literatur
Analisis
Evaluasi.
Penyimpulan hasil penelitian
![Page 17: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/17.jpg)
PENDAHULUAN
KAJIAN PUSTAKA
METODOLOGI PENELITIAN
ANALISIS PEMBAHASAN
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
![Page 18: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/18.jpg)
Untuk menentukan dimensi partisi maka dilakukan denganmenentukan kardinalitas minimum dari himpunan resolving partisi.Untuk menentukan kardinalitas minimum dari himpunan resolvingpartisi maka dibutuhkan Lemma berikut:
Lemma 4.1 Misalkan terdapat graph kincir dengan polaK1+mKn dengan n≥3, m≥2 maka berlaku,
d(u,v)= ( )
0 , 1 , ,
jikau vjikau danv pada satu daunkincir yang sama atau
jikau atau v adalah pusat kincir c
=
2 , jikau danvberada pada daunkincir yang berbeda
![Page 19: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/19.jpg)
Bukti : jika u dan v pada satu daun kincir yang sama dan graph yangdigunakan pada daun kincir adalah graph lengkap untuk graph kincirdengan pola K1+mKn, maka jarak dari setiap vertexnya adalah 1, hal inidisebabkan karena setiap vertex terhubung dan u dan v bertetangga,sedangkan jika u dan v pada daun kincir yang berbeda, maka jarakantara u dan v adalah 2, sedangkan jarak setiap vertex terhadap pusatkincir (c) adalah 1.
![Page 20: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/20.jpg)
Dimensi Partisi Graph Kincir G=K1+mKn Dengan n=3,m secara umum
Lemma 4.2 Misalkan terdapat graph kincir denganpola K1+mK3 dengan m≥2. Misal c adalah titik pusatdan merupakan resolving partisi dari
. Jika maka .
3mw
1 2Π { , , , }kS S S= …
3( )mV w 1 c S 2
13 4| |2
k kS − +≤
![Page 21: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/21.jpg)
Bukti : Koordinat titik pusat c adalah dan untuksetiap . Dari Lemma 4.1 elemen vektor darikoordinat untuk hanya boleh diisi oleh angka 1 dan 2.Akan tetapi, boleh diisi paling banyak 2 elemen yang bernilai 1. Halini disebabkan oleh derajat setiap titik adalah 3, yaituterhadap titik pusat c dan titik dan titik . Lebihlanjut, tidak boleh bertetangga dengan titik dan
karena akan mengakibatkan .Sehingga, paling tidak (k-1) posisi yang hanya boleh diisi dengan 2buah angka 1 kemudian sisanya dapat diisi dengan angka 2. Jadi, biladitambahkan dengan titik pusat, maka terdapat paling banyakkoordinat yang berbeda, atau
Jadi,
( )|Π (0,1,1, ,1)r c = …
( ) ( )1 \{ }, |Π 0,1,v S c r v = …( |Π)r v 1 \{ }v S c
1 \{ }v S c \{ , }u V c v \{ , , }t V c v u
1 \{ }v S c 1 \{ }u S c1 \{ }t S c ( ) ( ) ( )|Π |Π |Π (0,2,2,2, , 2)r v r u r t= = = …
11
2k −
+
1
11
2k
S−
≤ + ( )( )
1 !1
3 !2!k
k−
= +−
2 3 42
k k− +=
2
13 4| |2
k kS − +≤
![Page 22: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/22.jpg)
Dimensi Partisi Graph Kincir G=K1+mKn Dengan n=3,m secara umum
Lemma 4.3 Misalkan terdapat graph kincir denganpola K1+mK3 dengan m≥2. Misal c adalah titik pusatdan merupakan resolving partisi dari
. Jika maka .
3mw
1 2Π { , , , }kS S S= …
3( )mV w 1 c S 2 3 2 , 22i
k kS i k− +≤ ≤ ≤
![Page 23: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/23.jpg)
Bukti : Ambil sebuah himpunan resolving partisi selain S1, tanpamengurangi keumuman dari c, sebut S2 yang tidak memuat titikpusat. Koordinat untuk setiap adalah . Terdapatposisi (k-2) didalam vektor koordinat yang dapat diisi paling banyakdua buah angka 1 dan sisanya dapat diisi angka 2. Jadi, terdapatpaling banyak koordinat yang berbeda untuk setiap ,atau
Jadi, .
2w S ( ) ( )|Π 1,0,r w = …
2 22 1
k k− − +
2w S
2 2, 2
2 1i
k kS i k
− − ≤ + ≤ ≤
2 3 2 , 22
k k i k− += ≤ ≤
2 3 2 , 22i
k kS i k− +≤ ≤ ≤
![Page 24: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/24.jpg)
Dimensi Partisi Graph Kincir G=K1+mKn Dengan n=3,m secara umum
Lemma 4.4 Untuk graph kincir dengan poladengan m secara umum , bilangan bulat positif,maka berlaku pd( )=k, dengan k adalah integerterkecil yang memenuhi .
3mw 1 3K mK+
2m ≥
3mw
3k
m ≥
![Page 25: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/25.jpg)
Bukti : Untuk membuktikan ditentukan batas atas dan batas bawahdari dimensi partisi .• (batas bawah)Misal graph kincir dengan m buah daun kincir dan merupakan himpunan resolving partisi dari V( ). Misal adalah titik pusat dan , dari Lemma 4.2 dan 4.3, maka
3mw
3mw
3mw
1 2Π { , , , }kS S S= …1 c S
( )3 1 , 2miV w S S i k= + ≤ ≤
2 23 4 3 23 1 , 22 2
k k k km i k− + − ++ ≤ + ≤ ≤
2 23 4 3 23 1 ( 1)2 2
k k k km k− + − ++ ≤ + −
3 26 3 2m k k k≤ − +( )1 ( 2)
3!
k k km
− −≤
3k
m ≤
![Page 26: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/26.jpg)
Dan jika maka pasti ditemukan representasi koordinatvertex yang sama yaitu pasti terdapat makasesuai dengan Lemma 2.1 u dan v harus berada pada partisi yangberbeda sehingga bukan merupakan himpunan resolving partisi,maka pd( ) k.Jadi, pd( )= k dengan k integer terkecil yang memenuhi ...(1)
1 2Π { , , , }kS S S= …( ) ( ), , ,1 1j jd u S d v S j k= ≤ ≤ −
Π
3mw3mw
3k
m ≥
≥
![Page 27: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/27.jpg)
• (batas atas)Misalkan merupakan himpunan resolving partisi dari
V( ).• Perhatikan daun kincir. buah titik yang berlabel
1 merupakan anggota , sedangkan titik lainnya adalahanggota partisi selain .
• Kemudian, perhatikan daun kincir selanjutnya.buah titik yang berlabel 1 adalah anggota , sedangkan
untuk titik yang lainnya adalah anggota partisi selain dan.
• Proses ini diteruskan sampai tersisa 1 daun kincir dimana keduatitiknya belum tergabung dalam partisi manapun. Pada batangterakhir, titik berlabel ganjil adalah anggota dan titik berlabelgenap anggota dari .
Dengan menggunakan Lemma 4.1 maka akan diperoleh koordinatdari setiap titik.
1 2Π { , , , }kS S S= …3mw
( )1 ( 2)2
k k− − ( )1 ( 2)2
k k− −
( )1 ( 2)2
k k− −1S
1S( )2 ( 3)
2k k− −
( )2 ( 3)2
k k− −
( 1)k −
2S
2S1S( 2)k −
1 kS −
kS
![Page 28: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/28.jpg)
r(y11| )=(0,1,1,2,2,...,2),r(y12| )=(1,0,1,2,2,...,2), r(y13| )=(1,1,0,2,2,...,2),r(y21| )=(0,1,2,1,2,...,2),r(y22| )=(1,0,2,1,2,...,2),r(y23| )=(1,1,2,0,2,...,2),
...r( | )=(0,1,2,2,...,1,2,...,2),r( | )=(1,0,2,2,...,1,2,...,2),r( | )=(1,1,2,2,...,0,2,...,2),
...r(c/ )=(0,1,1,...,1)
Jadi, terdapat (1+3+6+...+ ) daun kincir atau
Jadi, dengan k adalah bilangan terkecil yang memenuhi ..(2)Sehingga, dari persamaan (1) dan (2) maka diperoleh pd( )=k, dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi .Jadi, pd( )=k, dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi
( )1 ( 2)1
2k k− −
( )1 ( 2)2
2k k− −
( )1 ( 2)3
2k k− −
( )1 ( 2)2
k k− −
ΠΠΠΠΠΠ
ΠΠΠ
Π
3( )mpd w k≤ 3k
m ≥
3k
m ≥
3k
m ≥
3mw
3mw
( )( )1 21 3 6
2k k
m− −
+ + +…+ ≥
( )1 ( 2)3!
k k km
− −≥
3k
m ≥
![Page 29: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/29.jpg)
Dimensi Partisi Graph Kincir G=K1+mKn Dengan n=4,m secara umum
Lemma 4.5 Misalkan terdapat graph kincir denganpola K1+mK4 dengan m≥2. Misal c adalah titik pusatdan merupakan resolving partisi dari
. Jika maka .
4mw
1 2Π { , , , }kS S S= …
4( )mV w 1 c S 3 2
16 11| |
6k k kS − +
≤
![Page 30: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/30.jpg)
Bukti : Koordinat titik pusat c adalah dan untuksetiap . Dari Lemma 4.1 elemen vektor darikoordinat untuk hanya boleh diisi oleh angka 1 dan 2.Akan tetapi, boleh diisi paling banyak 3 elemen yang bernilai 1. Halini disebabkan oleh derajat setiap titik adalah 4, yaituterhadap titik pusat c dan titik dan titik , sertatitik . Lebih lanjut, tidak boleh bertetangga dengantitik , dan karena akan mengakibatkan
. Sehingga, paling tidak (k-1)posisi yang hanya boleh diisi dengan 3 buah angka 1 kemudiansisanya dapat diisi dengan angka 2. Jadi, bila ditambahkan dengantitik pusat, maka terdapat paling banyak koordinat yangberbeda, atau
Jadi,
( )|Π (0,1,1, ,1)r c = …( ) ( )1 \{ }, |Π 0,1,v S c r v = …
( |Π)r v 1 \{ }v S c
1 \{ }v S c \{ , }u V c v \{ , , }t V c v u
1 \{ }v S c1 \{ }u S c
1 \{ }t S c( ) ( ) ( ) ( )|Π |Π |Π |Π (0,2,2,2, , 2)r v r u r t r p= = = = …
11
3k −
+
1
11
3k
S−
≤ + ( )( )
1 !1
4 !3!k
k−
= +−
3 26 116
k k k− +=
3 2
16 11| |
6k k kS − +
≤
\{ , , , }p V c v u t1 \{ }p S c
![Page 31: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/31.jpg)
Dimensi Partisi Graph Kincir G=K1+mKn Dengan n=4,m secara umum
Lemma 4.6 Misalkan terdapat graph kincir denganpola K1+mK4 dengan m≥2. Misal c adalah titik pusatdan merupakan resolving partisi dari
. Jika maka .
4mw
1 2Π { , , , }kS S S= …
4( )mV w 1 c S 3 26 11 6 , 26i
k k kS i k− + −≤ ≤ ≤
![Page 32: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/32.jpg)
Bukti : Ambil sebuah himpunan resolving partisi selain S1, tanpamengurangi keumuman dari c, sebut S2 yang tidak memuat titikpusat. Koordinat untuk setiap adalah . Terdapatposisi (k-2) didalam vektor koordinat yang dapat diisi paling banyakdua buah angka 1 dan sisanya dapat diisi angka 2. Jadi, terdapatpaling banyak koordinat yang berbeda untuk setiap ,atau
Jadi, .
2w S ( ) ( )|Π 1,0,r w = …
2 23 2
k k− − +
2w S
2 2, 2
3 2i
k kS i k
− − ≤ + ≤ ≤
3 26 11 6 , 26
k k k i k− + −= ≤ ≤
3 26 11 6 , 26i
k k kS i k− + −≤ ≤ ≤
![Page 33: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/33.jpg)
Dimensi Partisi Graph Kincir G=K1+mKn Dengan n=4,m secara umum
Lemma 4.7 Untuk graph kincir dengan poladengan m secara umum , bilangan bulat positif,maka berlaku pd( )=k, dengan k adalah integerterkecil yang memenuhi .
4mw 1 4K mK+
2m ≥
4mw
4k
m ≥
![Page 34: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/34.jpg)
Bukti : Untuk membuktikan ditentukan batas atas dan batas bawahdari dimensi partisi .• (batas bawah)Misal graph kincir dengan m buah daun kincir dan merupakan himpunan resolving partisi dari V( ). Misal adalah titik pusat dan , dari Lemma 4.2 dan 4.3, maka
4mw
4mw
4mw
1 2Π { , , , }kS S S= …1 c S
( )4 1 , 2miV w S S i k= + ≤ ≤
3 2 3 26 11 6 11 64 1 , 26 6
k k k k k km i k− + − + −+ ≤ + ≤ ≤
3 2 3 26 11 6 11 64 1 ( 1) 6 6
k k k k k km k− + − + −+ ≤ + −
4 3 2 24 6 11 6m k k k k≤ − + −( )( )1 2 ( 3)
4!
k k k km
− − −≤
4k
m ≤
![Page 35: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/35.jpg)
Dan jika maka pasti ditemukan representasi koordinatvertex yang sama yaitu pasti terdapat makasesuai dengan Lemma 2.1 u dan v harus berada pada partisi yangberbeda sehingga bukan merupakan himpunan resolving partisi,maka pd( ) k.Jadi, pd( )= k dengan k integer terkecil yang memenuhi ...(3)
1 2Π { , , , }kS S S= …( ) ( ), , ,1 1j jd u S d v S j k= ≤ ≤ −
Π
4mw4mw
4k
m ≥
≥
![Page 36: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/36.jpg)
• (batas atas)Misalkan merupakan himpunan resolving partisi dari
V( ).• Perhatikan daun kincir. buah titik yang
berlabel 1 merupakan anggota , sedangkan titiklainnya adalah anggota partisi selain .
• Kemudian, perhatikan daun kincir selanjutnya.buah titik yang berlabel 1 adalah anggota ,
sedangkan untuk titik yang lainnya adalah anggota partisiselain dan .
• Proses ini diteruskan sampai tersisa 1 daun kincir dimana keduatitiknya belum tergabung dalam partisi manapun. Pada batangterakhir, titik berlabel ganjil adalah anggota dan titik berlabelgenap anggota dari .
Dengan menggunakan Lemma 4.1 maka akan diperoleh koordinatdari setiap titik.
1 2Π { , , , }kS S S= …4mw
( )( )1 2 ( 3)6
k k k− − − ( )( )1 2 ( 3)6
k k k− − −
( )( )1 2 ( 3)6
k k k− − −1S
1S( )( )2 3 ( 4)
6k k k− − −
( )( )2 3 ( 4)6
k k k− − −
( 1)k −
2S
2S1S( 2)k −
1 kS −
kS
![Page 37: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/37.jpg)
r(y11| )=(0,1,1,1,2,2,...,2),r(y12| )=(1,0,1,1,2,2,...,2),r(y13| )=(1,1,0,1,2,2,...,2),r(y14| )=(1,1,1,0,2,2,...,2),r(y21| )=(0,1,1,2,1,2,...,2),r(y22| )=(1,0,1,2,1,2,...,2),r(y23| )=(1,1,0,2,1,2,...,2),r(y24| )=(1,1,1,2,0,2,...,2),
...r( | )=(0,1,1,2,2,...,1,2,...,2),r( | )=(1,0,1,2,2,...,1,2,...,2),r( | )=(1,1,0,2,2,...,1,2,...,2),r( | )=(1,1,0,2,2,...,1,2,...,2),
...r(c/ )=(0,1,1,1,...,1)
Jadi, terdapat (1+4+10+...+ ) daun kincir atau
ΠΠΠΠΠΠΠΠ
ΠΠΠΠ
Π
( )( )1 2 ( 3)1
6k k k− − −
( )( )1 2 ( 3)2
6k k k− − −
( )( )1 2 ( 3)3
6k k k− − −
( )( )1 2 ( 3)4
6k k k− − −
( )( )1 2 ( 3)6
k k k− − −
( )( )1 2 ( 3)
4!k k k k
m− − −
≥
( )( )1 2 ( 3)1 4 10
6k k k
m− − −
+ + +…+ ≥
4k
m ≥
![Page 38: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/38.jpg)
Jadi, dengan k adalah bilangan terkecil yang memenuhi..(4)
Sehingga, dari persamaan (3) dan (4) maka diperoleh pd( )=k, dengank adalah integer terkecil yang memenuhi .Jadi, pd( )=k, dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi
4( )mpd w k≤4k
m ≥
4mw
4mw
4k
m ≥
4k
m ≥
![Page 39: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/39.jpg)
Dimensi Partisi Graph Kincir G=K1+mKn Dengan nsecara umum , m secara umum
Lemma 4.8 Misalkan terdapat graph kincir denganpola K1+mKn dengan m≥2, n≥3. Misal c adalah titikpusat dan merupakan resolvingpartisi dari . Jika maka .
mnw
1 2Π { , , , }kS S S= …( )m
nV w 1 c S 1
1| | 1
1k
Sn−
≤ + −
![Page 40: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/40.jpg)
Bukti : Koordinat titik pusat c adalah dan untuksetiap . Dari Lemma 4.1 elemen vektor darikoordinat untuk hanya boleh diisi oleh angka 1 dan 2.Akan tetapi, boleh diisi paling banyak (n-1) elemen yang bernilai 1.Hal ini disebabkan oleh derajat setiap titik adalah n, yaituterhadap titik pusat c dan titik , titik , ,...,titik
.Lebih lanjut, tidak boleh bertetangga dengantitik , ,..., karena akan mengakibatkan
. Sehingga, paling tidak(k-1) posisi yang hanya boleh diisi dengan (n-1) buah angka 1kemudian sisanya dapat diisi dengan angka 2. Jadi, bila ditambahkandengan titik pusat, maka terdapat paling banyak koordinatyang berbeda, atau
Jadi,
( )|Π (0,1,1, ,1)r c = …( ) ( )1 1 1 \{ }, |Π 0,1,v S c r v = …
1(Π)r v
2 1 \{ , }v V c v 3 1 2 \{ , , }v V c v v
2 1 \{ }v S c1 1 \{ }v S c
3 1 \{ }v S c( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1|Π |Π |Π |Π (0,2,2,2, , 2)nr v r v r v r v −= = =…= = …
11
kn−
+
1
1| | 1
kS
n−
≤ +
1 1 2 1{ , , , , }n nv V c v v v− −…1 1 \{ }nv S c−
1
1| | 1
kS
n−
≤ +
1 1 \{ }v S c
1 1 \{ }v S c
![Page 41: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/41.jpg)
Dimensi Partisi Graph Kincir G=K1+mKn Dengan nsecara umum, m secara umum
Lemma 4.9 Misalkan terdapat graph kincir denganpola K1+mKn dengan m≥2. Misal c adalah titik pusatdan merupakan resolving partisi dari
. Jika maka .
mnw
1 2Π { , , , }kS S S= …( )m
nV w 1 c S 1, 2
1i
kS i k
n−
≤ ≤ ≤ −
![Page 42: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/42.jpg)
Bukti : Ambil sebuah himpunan resolving partisi selain S1, tanpamengurangi keumuman dari c, sebut S2 yang tidak memuat titikpusat. Koordinat untuk setiap adalah . Terdapatposisi (k-2) didalam vektor koordinat yang dapat diisi paling banyakdua buah angka 1 dan sisanya dapat diisi angka 2. Jadi, terdapatpaling banyak koordinat yang berbeda untuk setiap ,atau
Jadi, .
2w S ( ) ( )|Π 1,0,r w = …
2 21 2
k kn n− −
+ − − 2w S
2 2, 2
1 2i
k kS i k
n n− −
≤ + ≤ ≤ − −
( )( ) ( )
1 !, 2
! 1 !k
i kk n n
−= ≤ ≤
− −1
, 21i
kS i k
n−
≤ ≤ ≤ −
1, 2
1k
i kn−
= ≤ ≤ −
![Page 43: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/43.jpg)
Dimensi Partisi Graph Kincir G=K1+mKn Dengan nsecara umum, m secara umum
Teorema 4.10 Untuk graph kincir dengan poladengan ,m,n bilangan bulat positif, makaberlaku pd( )=k, dengan k adalah integer terkecilyang memenuhi .
mnw 1 nK mK+
3, 2n m≥ ≥mnw
km
n
≥
![Page 44: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/44.jpg)
Bukti : Untuk membuktikan ditentukan batas atas dan batas bawahdari dimensi partisi .• (batas bawah)Misal graph kincir dengan m buah daun kincir dan merupakan himpunan resolving partisi dari V( ). Misal adalah titik pusat dan , dari Lemma 4.2 dan 4.3, maka
mnw
mnw
mnw
1 2Π { , , , }kS S S= …1 c S
( ) 1 , 2mn iV w S S i k= + ≤ ≤
1 11 1 , 2
1 1k k
nm i kn n− −
+ ≤ + + ≤ ≤ − − 1 1
( 1)1 1
k knm k
n n− −
≤ + − − − ( )11 1
1k
kn−
= + − − ( )( ) ( )( )( )
1 2 1 !
! !k k k k n k n
mk n n
− − … − + −≤
−
k
mn
≤
![Page 45: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/45.jpg)
Dan jika maka pasti ditemukan representasi koordinatvertex yang sama yaitu pasti terdapat makasesuai dengan Lemma 2.1 u dan v harus berada pada partisi yangberbeda sehingga bukan merupakan himpunan resolving partisi,maka pd( ) k.Jadi, pd( )= k dengan k integer terkecil yang memenuhi ...(3)
1 2Π { , , , }kS S S= …( ) ( ), , ,1 1j jd u S d v S j k= ≤ ≤ −
Π
mnw
mnw
km
n
≥
≥
![Page 46: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/46.jpg)
• (batas atas)Misalkan merupakan himpunan resolving partisi dari
V( ).• Perhatikan daun kincir. buah
titik yang berlabel 1 merupakan anggota , sedangkantitik lainnya adalah anggota partisi
selain .• Kemudian, perhatikan daun kincir
selanjutnya. buah titik yang berlabel 1adalah anggota , sedangkan untuk titik yang lainnya adalahanggota partisi selain dan .
• Proses ini diteruskan sampai tersisa 1 daun kincir dimana keduatitiknya belum tergabung dalam partisi manapun. Pada batangterakhir, titik berlabel ganjil adalah anggota dan titik berlabelgenap anggota dari .
Dengan menggunakan Lemma 4.1 maka akan diperoleh koordinatdari setiap titik.
1 2Π { , , , }kS S S= …mnw
( )( )1 2 ( 1)!
k k k nn
− − … − + ( )( )1 2 ( 1)!
k k k nn
− − … − +
1S
1S ( )( )2 3 ( 2)!
k k k nn
− − … − +
( 1)k −
2S2S1S( 2)k −
1 kS −
kS
( )( )1 2 ( 1)!
k k k nn
− − … − +
( )( )2 3 ( 2)!
k k k nn
− − … − +
![Page 47: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/47.jpg)
r(y11| )=(0,1,1,1,...,1,2,2,...,2),r(y12| )=(1,0,1,1,...,1,2,2,...,2),r(y13| )=(1,1,0,1,...,1,2,2,...,2),
...r(y1n| )=(1,1,1,1,...,0,2,2,...,2),r(y21| )=(0,1,1,1,...,2,1,2,...,2),r(y22| )=(1,0,1,1,...,2,1,2,...,2),r(y23| )=(1,1,0,1,...,2,1,2,...,2),
...r(y2n| )=(1,1,1,1,...,2,0,2,...,2),
...r( | )=(0,1,1,1,...,2,2,...,1,2,...,2),r( | )=(1,0,1,1,...,2,2,...,1,2,...,2),r( | )=(1,1,0,1,...,2,2,...,1,2,...,2),
...r( | )=(1,1,1,1,...,2,2,...,0,2,...,2),
...r(c/ )=(0,1,1,1,....,1)
Jadi, terdapat (1+2+3(n+1) +...+ ) daun kincir atau
ΠΠΠ
ΠΠΠΠ
Π
Π
ΠΠ
Π
Π
( )( )1 2 ( 1)1
!k k k n
n− − … − +
( )( )1 2 ( 1)2
!k k k n
n− − … − +
( )( )1 2 ( 1)3
!k k k n
n− − … − +
( )( )1 2 ( 1)!
k k k nn
n− − … − +
( )( )1 2 ( 1)!
k k k nn
− − … − +
![Page 48: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/48.jpg)
Jadi, dengan k adalah bilangan terkecil yang memenuhi..(6)
Sehingga, dari persamaan (5) dan (6) maka diperoleh pd( )=k,dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi .Jadi, pd( )=k, dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi
( )mnpd w k≤k
mn
≥
mnw
mnw
km
n
≥
km
n
≥
( )( )1 2 ( 1)1 2 3(n 1)
!k k k n
mn
− − … − ++ + + +… ≥
( )( )1 2 ( 1)
!k k k k n
mn
− − … − +≥
k
mn
≥
![Page 49: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/49.jpg)
PENDAHULUAN
KAJIAN PUSTAKA
METODOLOGI PENELITIAN
ANALISIS PEMBAHASAN
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
![Page 50: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/50.jpg)
Sesuai dengan Teorema 4.1, dapat disimpulkan bahwa dimensi partisi pada pengembangan graph kincir dengan pola K1+mKn , diperoleh pd( wn
m) adalah k dimana k adalah integer terkecil yang memenuhi
KESIMPULAN
![Page 51: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/51.jpg)
PENDAHULUAN
KAJIAN PUSTAKA
METODOLOGI PENELITIAN
ANALISIS PEMBAHASAN
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
![Page 52: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/52.jpg)
[1] Chartrand, G., Salehi, E., Zhang, P. “The Partition Dimension of a Graph”. Aequationes Math. Vol 59 No. 45-54, 2000.
[2] Connery, Setiawan S. 2007. Kajian Kelas Graf Yang Mempunyai Dimensi Partisi n-1 Dan Penentuan Dimensi Partsisi Pada Kn – {e1, e2}. Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA ITB.
[3] Purwono, Johanes A. 2009. Dimensi Metrik Pada Pengembangan Graph Kincir Dengan Pola K1+mKn. Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA ITS.
[4] Syah, N. 2008. Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir. Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA ITB.
[5] Wilson, Robin J., Watkins, John J. 1990. Graphs An Introductory Approach, John Wiley & Sons, Inc.
![Page 53: DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH ...digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-12587...DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mK n OLEH : MOHAMMAD IQBAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062415/607ec6c56360007b7e3b8a56/html5/thumbnails/53.jpg)