dimensi tiga - jejakseribupena.files.wordpress.com · diketahui kubus dengan panjang sisi 5 cm....
TRANSCRIPT
1 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
DIMENSI TIGA
1. SIMAK UI Matematika IPA 914, 2009
Diketahui balok ABCD.EFGH di mana AB = 6 cm, BC = 8 cm, BF = 4 cm. Misalkan adalah
sudut antara AH dan BD, maka cos2 ....
A. 61
5 5 B.
8
5 5 C.
3
5 5 D.
8
125 E.
3
125
Solusi: [E]
2 28 4 80 4 5BG
2 28 6 100 10BP
8 32cos 8
10 5CP BC CBP
32
85cos4 5 5 5
BP
BG
2cos 2 2cos 1
28 128 3
2 1 1125 1255 5
2. SIMAK UI Matematika IPA 924, 2009
Kubus .ABCD EFGH mempunyai rusuk 5 cm. Titik M adalah perpotongan antara AF dan BE.
Jika N adalah titik tengah EH, maka jarak antara BH dan MN sama dengan ....
A. 6 B. 5
66
C. 2
63
D. 1
62
E. 1
63
Solusi: [B]
1 52
2 2BM BE
5 3BH
sinEH
MP BE EBH BEBH
5 5 5
2 62 65 3
3. SIMAK UI Matematika IPA 924, 2009
Diketahui kubus .ABCD EFGH dengan panjang sisi 5 cm. Jarak titik B ke diagonal EG adalah ....
A. 5
32
B. 5
62
C. 5 3 D. 128 3 E. 1
63
E F
G H
A
D C
B
4
6
8
4
P
E F
G H
A
D C
B
M
N
5
P
2 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
Solusi: [B]
1 52
2 2PF FH
22 2 2 5
5 22
BG BF FP
50 150 5
25 64 4 2
4. SIMAK UI Matematika IPA 944,2009
Pada bidang empat T.ABC diketahui ABC segitiga sama sisi, rusuk TA tegak lurus bidang alas.
Jika panjang rusuk alas 10 cm dan tinggi limas 15 cm, maka jarak titik A ke bidang TBC adalah
....
A. 5cm B. 5,5cm C. 7,5cm D. 5 3 cm E. 10 3 cm
Solusi: [C]
1sin 60 10 3 5 3
2AP AB
2
215 5 3 225 75 300 10 3TP
sinTA AQ
TPAAP AP
155 3 7,5cm
10 3
TAAQ AP
AP
5. SIMAK UI Matematika IPA, 2009
Pada kubus .ABCD EFGH , x adalah sudut antara bidang ACH dan bidang EGD. Nilai sin 2 ....x
A. 1
3 B.
22
9 C.
12
3 D.
42
9 E.
26
3
Solusi: [D]
Misalnya panjang rusuk kubus adalah 4a.
2 2 22 2 4 24 2 6NH DM a a a a
Titik P terletak pada pertengahan DM dan NH, sehingga
6PM NH a
2 2 2
6 6 2 2cos
2 6 6
a a ax
a a
2 2 2
2
6 6 8 1
312
a a a
a
21 8 2
sin 1 23 9 3
x
2 1 4sin 2 2sin cos 2 2 2
3 3 9x x x
E F
G H
A
D C
B
P
5
H E
F G
D
C B
A
P
2a
x
M
N
B
A
C
T
10
15
10
P 5
5
Q
3 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
6. SIMAK UI Matematika IPA 964, 2009
Diketahui prisma tegak ABC.DEF dengan luas bidang dasar 15 cm2. Luas segitiga DBC = 25
cm2, BC = 5 cm. Tinggi prisma tersebut adalah ....
A. 8 cm B. 10 cm C. 12 cm D. 14 cm E. 16 cm
Solusi: [A]
1
2ABC BC AP
115 5
2AP
6AP
1
2BCD BC DP
125 5
2DP
10DP
2 2 2 210 6 64 8AD DP AP
Jadi, tinggi prisma tersebut adalah 8.
7. SIMAK UI Matematika IPA 503, 2010
Diketahui kubus .ABCD EFGH , dengan panjang rusuk 4 cm. Jarak C ke bidang BDG adalah....
A. 1
33
B. 2
33
C. 3 D. 4
33
E. 5
33
Solusi 1: [D]
2 2CM
2
2 2 22 2 4 24 2 6GM CM CG
sinGC CP
GMCGM CM
GCCP CM
GM
4 4 4
2 2 332 6 3
Solusi 2: [D]
Jarak C ke bidang BDG = CP = 1
panjangdiagonalruang3
1 4
4 3 33 3
‘
8. SIMAK UI Matematika IPA 504, 2010
Pada kubus .ABCD EFGH , titik K terletak pada rusuk GH sehingga : 1: 2HK GH . Titik M
terletak pada rusuk EF sehingga : 1: 2EM MF . Jika adalah sudut yang terbentuk antara
irisan bidang yang melalui titik A, C, K dan irisan bidang yang melalui A, C, M, maka nilai dari
cos adalah....
A. 3
11 B.
4
11 C.
5
11 D.
7
11 E.
9
11
Solusi: [-]
: 1: 2HK GH
D E
F
A
C
B
5 cm
25 cm2
15 cm2 P
G F
E H
C
D A
B
P
4
M
4 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
2HK GH 2HK HK GK HK GK
Tanpa mengurangi keumuman, misalkan panjang rusuk kubus 8.
6HK HL 1
sin 45 6 2 3 22
HR HK
8MF FN 1
sin 45 8 2 4 22
FS MF
12 2 4 2 3 2 5 2SR
2 2TR DT HR RU
2
26 2 3 2 12 18 144 162 9 2
2 2TS TB SF SV
2
26 2 4 2 12 8 144 152 2 38
2 2 2
9 2 2 38 5 2cos
2 9 2 2 38
162 152 50
72 19
1119
57
9. SIMAK UI Matematika IPA 505, 2010
Pada kubus .ABCD EFGH , dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P dan Q berturut-turut merupakan
pusat bidang EFGH dan ABCD. Jarak antara garis QF dengan DP adalah ....
A. 3 B. 2 3 C. 3 D. 4
33
E. 5
33
Solusi: [B]
1diagonalruang
3BM MN NH
1 16 3 2 3
3 3BM MN NH BH
10. SIMAK UI Matematika IPA 506, 2010
Pada kubus .ABCD EFGH , titik K terletak pada rusuk GH sedemikian sehingga : 1: 2HK KG .
Jika panjang rusuk kubus adalah a, maka luas irisan bidang yang melalui titik A, C dan K adalah
....
A. 2
229
a B.
2422
9
a C.
2222
9
a D.
2422
3
a E.
2
223
a
Solusi: [C]
2AC a
E F
G H
A
D C
B
P
6
Q
M
N
E F
G H
A
D C
B
T
12
N L
M
K
4
6
8
6
P
Q
R
S
U V
5 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
23 21sin 45 33 222
a
HK a aLK
1sin 45 2 2
3 2 6
a aHP HK
2 2 22 6 3
a a aQR
2 2 22 22 11
23 9 9
a a aPQ a a
11
3
a
1
2 2 112 3 3
a aACKL a
42 11
3 6
a a
2222
9
a
11. SIMAK UI Matematika IPA 507, 2010
Panjang rusuk kubus .ABCD EFGH = 5 cm. P dan Q masing-masing adalah titik tengah AB dan
BC . Luas irisan bidang yang melalui P, Q dan H sama dengan ....
A. 125
3 B.
125
9 C.
125
12 D.
175
12 E.
175
24
Solusi: [-]
Perhatikan MAP sama kaki, sehingga
5
2AM AP
52
2MP QN
5 155
2 2DM AD AM
15
2DN DM
2 22 2 5 5 5
22 2 2
PQ PB BQ
2 22 2 15 15 15
22 2 2
MN DM DN
5 1 5sin 45 2 2
2 2 4BT PB
5 155 2 2 2
4 4DT
22 2 2 15 450 5
5 2 25 344 16 4
HT DH DT
1 1 15 5 75
2 34 172 2 2 4 8
HMN MN HT
22 2 2 15 225 325 5
5 25 132 4 4 2
MH DH DM
E F
G H
A
D C
B
Q
a
L
R
K
P
3
a
T
E F
G H
A
D C
B
Q
5
M
R
S
P
N T
6 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
534
344sin15 6 13132
HTHMT
MH
SMP NRQ
Luasirisanbidang HMN SMP NRQ 2HMN SMP
75 1 5 517 2 2 2 sin
8 2 2 2HMT
25 1 5 5 3417 2 2 2
8 2 2 2 6 13
75 25 3417
8 12 13
75 2517 442
8 156
12. SIMAK UI Matematika IPA 508, 2010
Diberikan prisma tegak segitiga siku-siku ABC.DEF dengan alas ABC siku-siku di B. Panjang
rusuk tegak prisma 2 2 satuan, panjang AB = panjang BC = 4 satuan. Maka jarak A ke EF
adalah .... satuan.
A. 4 B. 4 2 C. 4 3 D. 2 6 E. 4 6
Solusi 1: [D]
Jarak A ke EF adalah AE.
2
2 2 24 2 2 24 2 6AE AB BE
Solusi 2: [D]
Jarak A ke EF adalah AE.
2 2 2 24 4 4 2AC AC CF
2 2
2 2 4 2 2 2 40 2 10AF AC CF
2
2 2 22 10 4 24 2 6AE AF EF
13. SIMAK UI Matematika IPA 509, 2010
Jika rusuk kubus = 6 cm, jarak antara C dan bidang DBG adalah ....
A. 2cm
B. 2 2 cm
C. 2 3 cm
D. 2 6 cm
E. 4 2 cm
Solusi 1: [C]
3 2CQ
1sin 60 6 2 3 3 6
2GQ BG
sinGC CP
GQCGQ CQ
6 63 2 2 3
3 6 3
GCCP CQ
GQ
Solusi 2: [C]
1 1panjangdiagonalruang 6 3 2 3
3 3CP
E F
D
B
A
C
4
4
2 2
E F
G H
A
D C
B
E F
G H
A
D C
B
P
Q
7 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
14. SIMAK UI Matematika IPA 511, 2011
Diberikan kubus .ABCD EFGH , dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P terletak pada rusuk FG
sehingga 2FP PG . Jika bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P , maka luas
bidang adalah ... cm2.
A. 8
229
B. 6
229
C. 5
229
D. 3
229
E. 1
229
Solusi: [A]
2FP PG
2
3PG
2
23 21cos 45 3
22
PGPR
2 1 1sin 45 2 2
3 2 3GQ PG
1 22 2 2
3 3ST CS CT
22 2 22 8 44 2
2 2 4 113 9 9 3
QS ST TQ
1
luasbidang2
BDRP BD PR QS 1 2 2
2 2 2 112 3 3
1 8 2 82 11 22
2 3 3 9
15. SIMAK UI Matematika IPA 512, 2011
Diberikan kubus .ABCD EFGH . Titik P terletak pada rusuk FG sehingga 2PG FP . Jika
bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P , maka bidang tersebut membagi volume
kubus dalam perbandingan ....
A. 18: 36 B. 19 : 35 C. 19 : 38 D. 20 :36 E. 20 : 45
Solusi: [B]
Misalnya panjang rusuk kubus adalah 6a. 2PG FP
26 4
3PG a a
1sin 45 4 2 2 2
2GQ PG a a
3 2CS a CS GQ
CU GU
CS GQ
CG GU GU
3 2 2 2
6
a a
a GU GU
3 12 2GU a GU 12GU a
Vol. .BCD PGR = vol. limas U.BCD – vol. U.PGR
3 3 31 1 1 16 6 18 4 4 12 108 32 76
3 2 3 2a a a a a a a a a
Perbandingan volumenya
3
3 3
76 76 19
140 356 76
a
a a
2
T
E F
G H
A
D C
B
S
2
R
P Q
U
6a
E F
G H
A
D C
B
S
6a
R
P
Q
U
8 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
16. SIMAK UI Matematika IPA 513, 2011
Diberikan prisma segitiga beraturan ABC.DEF dengan BE = 2AC. Titik P dan Q adalah titik
pusat sisi ADEB dan CFEB. Titik R adalah titik pusat sisi ABC dan titik S adalah titik tengah
rusuk CF. Jika adalah sudut yang terbentuk antara garis PQ dan garis RS, maka nilai
cos ....
A. 1
2 B.
13
2 C.
1
3 D.
13
4 E. 1
Solusi 1: [D]
Jika AC = 6, maka BE = 12.
23 3 2 3
3RC
Perhatikan CRT sama kaki
1 12 3
2 2 21cos30
32
RC
CT RT
2 2 2 22 6 40 2 10ST CS ST
2
2 2 22 3 6 48 4 3RS RC CS
2 2
22 2 2 2 4 3 2 10
cos2 2 2 4 3
RT RS ST
RT RS
4 48 40 12 13
416 3 16 3
17. SIMAK UI Matematika IPA 514, 2011
Diberikan kubus .ABCD EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P terletak pada rusuk FG
sehingga PG FP . Jika adalah bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P , maka luas
bidang adalah .... cm2
A. 3
62
B. 2 6 C. 3 3 D. 5
2 E.
9
2
Solusi: [E]
1PG FP
12
1cos 452
2
PGPR
1 1sin 45 1 2 2
2 2GQ PG
1 12 2 2
2 2ST CS CT
22 2 21 2 18 3
2 2 4 22 4 4 2
QS ST TQ
1
luasbidang2
BDRP BD PR QS
1 32 2 2 2
2 2 3 9
3 2 24 2
Q P
D
E
F
C A
B
S
6
R
T
2
T
E F
G H
A
D C
B
S
2
R
P
Q
U
9 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
18. SIMAK UI Matematika IPA 521, 2012
Diberikan bidang empat A.BCD dengan BC tegak lurus BD dan AB tegak lurus bidang BCD. Jika
2 cmBC BD a dan cmAB a , maka sudut antara bidang ACD dan BCD sama dengan ....
A. 6
B.
4
C.
3
D.
3
4
E.
2
Solusi:[B]
1sin 45 2 2
2BP BC a a
2
3
PG
BP
3 186 2 2
5 5BP
tan , 1AB a
ACD BCDBP a
,4
ACD BCD
19. SIMAK UI Matematika IPA Kode 131, 2013
Diberikan kubus .ABCD EFGH . Titik P terletak pada segmen BG sehingga 3 2PG BP . Titik
Q adalah titik potong HP dan bidang ABCD. Jika panjang sisi kubus 6 cm, luas segitiga APQ
adalah ... cm2.
A. 9 2 B. 12 2 C. 18 2 D. 27 2 E. 36 2
Solusi: [D]
3 2PG BP
2
3
PG
BP
3 186 2 2
5 5BP
Perhatikan bahwa QAH QBP .
AH BP
AQ BQ
182
6 2 5
6 BQ BQ
1 3
6 5BQ BQ
5 18 3BQ BQ
9BQ
21 1815 2 27 2 cm
2 5APQ
20. SIMAK UI Matematika IPA Kode 132, 2013
Diberikan kubus .ABCD EFGH . Titik P terletak pada segmen BG sehingga 2 PG BP . Titik Q
adalah titik potong HP dan bidang ABCD. Jika panjang sisi kubus 6 cm, luas segitiga APQ
adalah ... cm2.
A. 3 2 B. 9 2 C. 18 2 D. 27 2 E. 36 2
E F
G H
A
D C
B
P
Q 6
C
B
D
A
2a
a
2a
P
10 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
Solusi: [E]
2 PG BP 1
2
PG
BP
26 2 4 2
3BP
Perhatikan bahwa QAH QBP .
AH BP
AQ BQ
6 2 4 2
6 BQ BQ
3 2
6 BQ BQ
3 12 2BQ BQ
12BQ
2118 4 2 36 2 cm
2APQ
21. SIMAK UI Matematika IPA Kode 133, 2013
Diberikan kubus .ABCD EFGH . Titik P terletak pada segmen BG sehingga 2PG BP . Titik Q
adalah titik potong HP dan bidang ABCD. Jika panjang sisi kubus 6 cm, luas segitiga APQ
adalah ... cm2.
A. 18 2 B. 9 2 C. 3 2 D. 4 E. 2
Solusi: [B]
2PG BP 2
1
PG
BP
16 2 2 2
3BP
Perhatikan bahwa QAH QBP .
AH BP
AQ BQ
6 2 2 2
6 BQ BQ
3 1
6 BQ BQ
E F
G H
A
D C
B
P
Q 6
E F
G H
A
D C
B
P
Q 6
11 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
3 6BQ BQ
3BQ
219 2 2 9 2 cm
2APQ
22. SIMAK UI Matematika IPA Kode 134, 2013
Diberikan suatu limas segiempat beraturan .T ABCD dengan sisi tegak berupa segitiga sama sisi.
Titik Q terletak di sisi TA, di mana perbandingan : 1: 2TQ QA , sedangkan titik R terletak di sisi
TC, dengan perbandingan : 2 :1TR RC . Jika titik S terletak di sisi TB, di mana RS sejajar CB,
besar sudut TSQ adalah ....
A. 2
B.
3
C.
4
D.
5
E.
6
Solusi: [E]
Misalnya panjang rusuk alas limas adalah 3.
1 13 1
3 3TQ TA
2 23 2
3 3TQ TA
2TS TR
2 2 21 2 2 1 2cos 33
QS
3 1
sinsin
3
TSQ
1sin 3
13 2sin23 3
TSQ
6TSQ
23. SIMAK UI Matematika IPA-1, 2014
Diberikan kubus .ABCD EFGH . Titik R terletak pada rusuk EH sedemikian sehingga
3ER RH dan titik S berada di tengah-tengah rusuk FG. Bidang melalui titik R, S, dan A. Jika
U adalah titik potong antara bidang dan rusuk BF, dan adalah sudut yang terbentuk antara
garis RS dan AU, maka tan ....
A. 18
12 B.
21
12 C.
24
12 D.
5
12 E.
26
12
Solusi: [E]
Tanpa mengurangi keumuman, misalnya panjang rusuk kubus = 4.
2 24 3 5AR
T
S
Q
A
D C
B
3
R
2
2
1
1
P E
F
G H
A
D C
B
U
S
R 3
2
2
4
1
12 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
Perhatikan bahwa PRE PSF .
ER FS
EP FP
3 2
4 FP FP
3 8 2FP FP 8FP
2 2 2 212 3 144 9 153 3 17PR PE ER
2 2 2 212 4 144 16 160 4 10PA PE AE
2 2
23 17 4 10 5cos
2 3 17 4 10
153 160 25
24 170
288 12
24 170 170
26tan
12
24. SIMAK UI Matematika IPA-2, 2014
Diberikan kubus PQRS.TUVW. Titik A terletak di tengah rusuk VW dan titik B terletak di rusuk
RV sedemikian sehingga 2VB BR . Titik C terletak di perpanjangan rusuk UV sedemikian
sehingga 2UV VC . Bidang melalui A, B, dan C. Jika adalah sudut terkecil yang terbentuk
antara bidang dan perpanjangan rusuk QU, maka tan 2 ....
A. 4
23
B. 24
223
C. 3
28
D. 24
223
E. 4
23
Solusi: [D]
Tanpa mengurangi keumuman, misalnya panjang rusuk kubus adalah 12.
6VC
Perhatikan AVC siku-siku sama kaki, dengan 6AV VC
2 2 2 26 6 6 2AC AV VC
WEA siku-siku sama kaki dengan WE EA sehingga 1
sin 45 6 2 3 22
WE AW
6 2 3 2 9 2CE AC EA
12 2 3 2 9 2EU WU WE Karena 2VB BR , maka 8VB dan 4BR
2 2 2 26 8 10BC CV BV
2 2 2 26 8 10AB AV BV
CV FR
BV BR
6
8 4
FR
3FR 12 3 9QF QR FR
12 6 18UC UV VC UC QF
UD QD
18 9
12 QD QD
2 12QD QD
12 170
2
2170 12 26
G
A
T U
V W
P
S R
Q
D
B
C
12
12
E
F
8
4
6
12
9
3
12
13 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
12QD
9 2 3 2tan
24 8
EU
UD
2 2
3 2 3 22
2 tan 48 2 48 2 248 4tan 2 218 64 18 46 231 tan 3 2 1
1 648
25. SIMAK UI Matematika IPA, 2015
Diberikan kubus ABCD.EFGH. Titik P terletak di rusuk CG sedemikian sehingga 2PG CP .
Titik Q dan R berturut-turut berada di tengah rusuk AB dan AD. Bidang adalah bidang yang
melalui titik P, Q, dan R. Jika adalah sudut terbesar yang terbentuk antara bidang dan bidang
ABCD, maka nilai tan ....
A. 2 2
9 B.
2
9 C.
2
9 D.
2 2
9 E. 1
Solusi: [D]
Tanpa mengurangi keumuman,
misalnya panjang rusuk kubus adalah 12.
Karena 2PG CP , maka 8PG dan 4CP 6AR AQ
1
sin 45 6 2 3 22
AU AR
12 2 3 2 9 2CU AC AU
4 2 2
tan99 2
PC
CU
26. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2016
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Di dalam kubus tersebut terdapat sebuah
limas segiempat beraturan P.ABCD dengan tinggi 1
3a . Perbandingan volume kubus dengan
volume ruang yang dibatasi oleh bidang PBC, PAD, dan BCFG adalah ....
A. 6 : 1 B. 9 : 4 C. 5 : 2 D. 6 : 3 E. 9 : 6
Solusi: [E]
Volume ruang yang dibatasi oleh bidang PBC, PAD, dan BCFG barangkali maksudnya adalah
volume ruang yang berada di luar limas P.ABCD dan limas P.EFGH.
Perbandingan volume kubus dengan volume ruang yang dibatasi oleh bidang PBC, PAD, dan
BCFG 3
3 1 1 1 2
3 3 3 3
a
a a a a a a a
3
3 3 31 2
9 9
a
a a a
3
39 1 2
9
a
a
9
6
E F
G H
A
D C
B
Q
a
P
2
3a
R
1
3a
T
U
S Q
H E
F G
D
C B
A
P
6
12
R
8
4
14 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
27. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2016
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 24. Di dalam kubus tersebut terdapat
sebuah limas segiempat beraturan P.ABCD dengan tinggi 5. Titik Q terletak pada rusuk EF
sehingga QF = EQ. Jarak antara titik Q dan bidang PAB adalah ….
A. 288
5 B.
288
7 C.
288
9 D.
288
11 E.
288
13
Solusi: [E]
PTQ STQU PQU PST
1 1
12 24 12 19 12 5 1442 2
2 2 2 212 5 169 13PT PS ST
1
2PTQ PT QR
1144 13
2QR
288
13QR
Jadi, jarak antara titik Q dan bidang PAB adalah 288
13.
28. SIMAK UI Matematika IPA Kode 2, 2016
Diberikan kubus .ABCD EFGH dengan rusuk a dan limas segiempat beraturan
. ' ' ' 'P A B C D dengan P pada bidang EFGH, ' 2 'AA A E , ' 2 'BB B F , ' 2 'CC C G , ' 2 'DD D H .
Volume ruang . ' ' ' '.P A B C D ABCD adalah ....
A. 38
9a B. 37
9a C. 36
9a D. 35
9a E. 34
9a
Solusi: [B]
Volume ruang . ' ' ' '.P A B C D ABCD = Vol. balok . ' ' ' 'ABCD A B C D + vol. limas . ' ' ' 'P A B C D
2 1 1
3 3 3a a a a a a
3 32 1
3 9a a
37
9a
E F
G H
A
D C
B
P
T
24
Q
R
S
5
U
E F
H G
A
D C
B
P
a
A
B
C D
E F
H G
D C
B A
15 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
29. SIMAK UI Matematika IPA Kode 2, 2016
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6. Di dalam kubus tersebut terdapat sebuah
limas segiempat beraturan P.ABCD dengan tinggi 4. Titik Q terletak pada rusuk FG sehingga
2QG FQ . Jarak antara titik Q dan bidang PAB adalah ….
A. 1
2 B.
13
2 C. 1 D. 3 E. 2
Solusi: [-]
Jarak titik Q ke bidang PAB sama dengan jarak dari titik Q ke bidang PAB. Titik Q terletak pada
pertengahan QV dengan QV sejajar EF.
' ' 'PTQ STQ U PQ U PST
1 3 1 3 1
3 6 2 3 42 2 2 2 2
27 3 12
2 2 2
126
2
2 2 2 24 3 25 5PT PS ST
1
' '2
PTQ PT Q R
16 5 '
2Q R
12
5QR
Jadi, jarak antara titik Q dan bidang PAB adalah 12
5.
30. SIMAK UI Matematika IPA, 2017
Diberikan kubus .ABCD EFGH dengan panjang rusuk 5a. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG
sehingga : 2 :3CP PG . Bidang PBD membagi kubus menjadi dua bagian dengan perbandingan
volume ....
B. 1:14 B. 1:13 C. 1:12 D. 1:11 E. 1:10
Solusi: [A]
Perbandingan volumenya
3
1 15 5 2
3 21 1
5 5 5 23 2
a a a
a a a a
3
33
25
3
25125
3
a
aa
25
375 25
25 1
350 14
31. SIMAK UI Matematika IPA, 2017
Diberikan kubus .ABCD EFGH dengan panjang rusuk 8. Di dalam kubus tersebut terdapat sebuah
limas segiempat beraturan .P ABCDdengan tinggi a. Jika titik Q terletak pada rusuk FG sehingga
QG = FG dan jarak antara titik Q ke bidang PCD adalah 4. Maka nilai a adalah ....
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7
E F
G H
A
D C
B
P
5a
H E
F G
E
D
C B
A
P
T
6
Q
R
S
4
U
Q
3
3
V
16 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017
Solusi: [A]
Jarak Q ke bidang PCD sama dengan jarak Q ke garis ST.
'SR Q U
RP UP
4 4
a UP
UP a
22 24 8a a
2 216 64 16a a a
16 48a
3a
E F
G H
A
D C
B
Q
8
Q
P
a
8 a
4
U
R
S
T