• Primjer: Primjenom dimenzione analize odrediti zavisnost sile otpora R hidraulički glatke kugle promjera D potopljene u fluid (gustine ρ, koeficijenta dinamičke viskoznosti μ) kroz koji se ta kugla kreće stalnom brzinom v u horizontalnoj ravnini.

• Pretpostavlja se da je sila otpora definisana nekom funkcijom G(R,D,v,ρ,μ)=0 među n=5 fizikalnih veličina.

Prvi korak je formiranje tablice s dimenzijama svih fizikalnih veličina u pojavi.

Iz tablice je vidljivo da se od osnovnih dimenzija pojavljuju M, L, T, dakle k=3, što omogućuje izbor skupa od tri dimenzionalno nezavisne fizikalne veličine, odnosno mogu se formirati dva Π parametra.

• Drugi korak - izbor skupa dimenzionalno nezavisnih veličina.

Ako se traži zavisnost sile otpora R, ona se neće uključiti u taj skup, a obzirom da je ona posljedica viskoznosti čiji se uticaj želi posebno analizirati, koeficijent dinamičke viskoznosti također neće ući u taj skup, te ostaje skup ρ, v, D.

• Treći korak- formiraju se bezdimenzijski Π parametri, jedan od sile R, a drugi od koeficijenta dinamičke viskoznosti μ u obliku

ili pomoću dimenzija

Nakon izjednačavanja eksponenata nad istim bazama na lijevoj i desnoj strani gornje jednačine slijedi

a=-1, b=-2, c=-2,

uvršteno u definicijsku jednačinu za parametar dobija se

• Π parametari se mogu množiti proizvoljnom

konstantom, tako da se parametar Π1 može preurediti u oblik koeficijenta sile (koeficijenta otpora)

Dinamički pritisak

Površina presjeka kugle

• Analogno se definiše drugi Π parametar u obliku

Iz kojeg slijedi

a=-1, b=-1, c=-1

• uvršteno u definicijsku jednačinu

dobija se

što predstavlja recipročnu vrijednost Reynoldsovog broja

• Prema tome, funkcija G među pet fizikalnih veličina, prevodi se u funkciju među dva Π parametra oblika

Jednom određena bezdimenzijska funkcija Φ(Re) može poslužiti za određivanje sile otpora R pri kretanju kugle bilo kojeg promjera, bilo kojom brzinom u bilo kojem fluidu.

• Sljedeća tablica daje pregled najčešćih nezavisnih bezdimenzijskih parametara u nestlačivom strujanju fluida

Teorija sličnosti

• Treba da odgovori na pitanje:Koje uslove treba da zadovolji model da bi rezultati mjerenja na njemu bili primjenjivi na stvarnom obliku

• Kriteriji sličnosti– Geometrijska sličnost– Kinematička sličnost– Dinamička sličnost– Termička sličnost– Materijalna sličnost

Geometrijska sličnost

Primjer: rotor Frensis turbine

Kinematička sličnost

• Dva toka su kinematski slična ako su im strujne linije geometrijski slične, tj. ako su im brzine i ubrzanja u odgovarajućim tačkama istog pravca i smjera i imaju isti odnos inteziteta u svim odgovarajućim parovima tačaka, tj.

• Kinematska sličnost je automatski zadovoljena ako je ispunjena dinamička sličnost.

BIIBIAIIAI vkvvkv

,

Dinamička sličnost

• Dva toka su dinamički slična ako sile istog tipa imaju isti pravac i smjer i isti odnos inteziteta u odgovarajućim tačkama

Primjeri

Izvedba

model

Termička sličnost

• Dva toka posjeduju termičku sličnost ako su im količine toplote razmijenjene na odgovarajućim površinama proporcionalne.

Materijalna sličnost

• Dva toka posjeduju materijalnu sličnost ako dva fluida imaju jednake konstitutivne relacije. Osim toga, ako je npr. Gustina fluida neuniformna, tada odnos gustina u odgovarajućim tačkama dva toka mora biti isti

BII

BI

AII

AI