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dinamica

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  • 1

    TEXTO N 5

    DINMICA Y ESTTICA DE LA PARTCULA

    Conceptos Bsicos Ejercicios Resueltos

    Ejercicios Propuestos

    Edicta Arriagada D. Victor Peralta A Diciembre 2008

    Sede Maip, Santiago de Chile

  • 2

    Introduccin Este material ha sido construido pensando en el estudiante de nivel tcnico de

    las carreras de INACAP. El objetivo principal de este trabajo es que el alumno

    adquiera y desarrolle la tcnica para resolver problemas diversos de la unidad de

    Dinmica y esttica de la partcula. En lo particular pretende que el alumno logre

    el aprendizaje indicado en los criterios de evaluacin (referidos al clculo de

    variables) del programa de la asignatura.

    El desarrollo de los contenidos ha sido elaborado utilizando un lenguaje simple

    que permita la comprensin de los conceptos involucrados en la resolucin de

    problemas. Se presenta una sntesis inmediata de los conceptos fundamentales

    de la dinmica y esttica de la partcula, seguida de ejemplos y problemas

    resueltos que presentan un procedimiento de solucin sistemtico que va desde

    un nivel elemental hasta situaciones ms complejas, esto, sin saltar los pasos

    algebraicos que tanto complican al alumno, se finaliza con problemas propuestos

    incluyendo sus respectivas soluciones.

  • 3

    DINAMICA Y ESTATICA La dinmica y esttica son dos ramas de la fsica mecnica, la dinmica

    estudia las fuerzas como causa del movimiento de los cuerpos y la esttica estudia las fuerzas en equilibrio, es decir los efectos causados por fuerzas que actan sobre un cuerpo se neutralizan entre s.

    La fuerza es una magnitud vectorial que se define como la causante del

    movimiento de los cuerpos, de las aceleraciones y retardaciones, de los cambios de direccin, de la deformacin y por ltimo de la ruptura de los cuerpos.

    Como toda magnitud vectorial, la fuerza se representa grficamente por un

    vector, y en el se debe distinguir; punto de aplicacin, magnitud, direccin y sentido.

  • 4

    RINCIPIOS DE NEWTON

    Principio de inercia

    Todo cuerpo permanece en su estado de movimiento a no ser que un agente exterior lo obligue a modificar dicho estado. Es decir, si un cuerpo est en reposo, continuar en reposo indefinidamente y si est en movimiento, continuar con movimiento rectilneo y uniforme.

    Principio de masa Si sobre un cuerpo de masa m acta una fuerza F , este adquiere una aceleracin a cuya magnitud es proporcional a la magnitud de la fuerza, e inversamente proporcional a la masa del cuerpo, este principio matemticamente se expresa por:

    amF

    = o amF =

    Cuando sobre un cuerpo actan varias fuerzas, entonces la fuerza resultante queda determinada por la suma vectorial de diferentes fuerzas, es decir:

    n

    n

    ii FFFFF

    +++==

    =

    .........211

    Por lo tanto el principio se expresa por:

    amFn

    ii

    =

    =1

    Siendo a la aceleracin resultante. Principio de accin y reaccin

    A toda accin (fuerza), se le opone otra igual en magnitud y direccin pero de sentido contrario llamada reaccin, Debe dejarse en claro que accin y reaccin no actan en el mismo cuerpo.

  • 5

    Se recuerda que las unidades de medicin de fuerza fueron estudiadas en el

    capitulo N 1.

    Diferencia entre masa y peso Masa y peso no son el mismo concepto. Para nuestros fines de estudio

    prctico, la masa de un cuerpo se puede definir como una magnitud escalar, siempre positiva, correspondiente a una cantidad de materia constante que matemticamente equivale al producto entre el volumen y la densidad del cuerpo, es decir:

    = Vm

    Donde M = masa V = volumen = densidad

    El peso en cambio es una fuerza, en particular, es la fuerza con que la tierra

    atrae a los cuerpos que estn en su campo gravitatorio. Como el peso es una fuerza entonces cumple con la segunda ley de Newton, es decir el peso de un cuerpo corresponde al producto entre su masa y la aceleracin, en este caso corresponde a la aceleracin de gravedad g y por lo tanto se tiene que:

    gm)w(Peso =

    x

    y

    z

    mg

  • 6

    Se debe recordar que la aceleracin de gravedad g vara de acuerdo a la posicin geogrfica y cuyo valor aproximado es 980 [cm/s2] en el sistema CGS., 9,8 [m/s2] en el sistema M.K.S. y 32,16 pie/s2 en el sistema tcnico ingles. Como la aceleracin de gravedad es un vector dirigido verticalmente hacia el centro de la tierra, el peso de un cuerpo tambin est dirigido verticalmente hacia el centro de la tierra. Ejemplo: determinar el peso de un cuerpo de 80 [kg] de masa (utilizar g = 9,8 m/s2). Solucin:

    Como el peso de un cuerpo queda determinado por:

    w = m g

    Entonces solo se debe reemplazar los valores de masa m y aceleracin de gravedad g, esto es:

    [ ] [ ]2s/m8,9Kg80w =

    Multiplicando se obtiene el peso del cuerpo, recordar que = 2/ smkg N, es

    decir:

    Para expresar el resultado en Dinas, se multiplica por 105, es decir:

    [ ]d10784w 5=

    Para expresar el resultado en Kp, (kilopondio), los Newton se dividen por 9,8 es decir:

    [ ] [ ] [ ]KgfKpNw 80808,9

    784===

    Observando estos resultados, vemos que masa y peso tienen un mismo

    valor numrico (80), pero no en la misma unidad. 80 [kg] expresa la masa del cuerpo y 80 [Kp] o 80 [Kgf], expresa el peso del cuerpo.

    [ ]N784w =

  • 7

    Cuerpos en contacto

    Cuando se tiene superficies de cuerpos en contacto, se producen dos nuevas fuerzas estas son:

    (a) = Fuerza normal (N) (b) = Fuerza de roce (f) Fuerza normal ( N )

    Es la fuerza que acta perpendicular a la superficie de contacto,

    corresponde a la reaccin que ejerce una superficie sobre la otra. En el esquema indicado la fuerza normal (N), corresponde a la reaccin que

    se produce desde la superficie hacia el cuerpo que produce la accin debida a su peso.

    Fuerza de roce ( f ) Es la fuerza que se opone al deslizamiento de una superficie con respecto a

    otra, acta paralelamente a las superficies en contacto, el roce siempre tiende a oponerse al movimiento jams tiende a crear movimiento.

    El roce en algunos casos es provechoso como por ejemplo para el frenado

    de los cuerpos, pero con mayor frecuencia el roce da como resultado la disipacin de energa y la erosin gradual del material sobre el cual acta.

    La friccin y, por lo tanto, el desgaste pueden reducirse por el mtodo de

    lubricacin, en que las superficies que tienen movimiento relativo (movimiento de una respecto a otra) estn separadas por una pelcula de fluido.

    N

    mg

  • 8

    Leyes de la friccin seca Las leyes que a continuacin se indican se basan principalmente en

    observaciones experimentales. Estas leyes no son de ninguna manera exactas en parte porque las superficies secas no se encuentran en la prctica, y en otra porque las mismas leyes tienden a simplificar el problema. Sin embargo son tiles y suficientes para la mayora de las aplicaciones generales.

    Superficie seca se define como aquella, que ha sido limpiada de toda

    contaminacin, es decir libre de polvo y sin humedad. 1. Cuando las fuerzas externas tienden a hacer que una superficie deslice

    sobre otra, se establece una Reaccin de friccin, que acta en forma tangencial a las superficies, y presentan una oposicin al movimiento.

    2. Existe un valor lmite de la fuerza de friccin mas all del cual no puede

    elevarse. Si las fuerzas que tienden a producir el movimiento relativo exceden este valor, empieza el deslizamiento de una respecto a la otra.

    3. La fuerza necesaria para iniciar el movimiento relativo es mayor que la

    que se necesita para mantenerlo. La friccin esttica es mayor que la friccin cintica

    4. El valor lmite de la fuerza de friccin es completamente independiente

    del rea de contacto.

    5. El valor lmite de la fuerza de friccin cintica es independiente de la velocidad del deslizamiento.

  • 9

    6. El valor lmite de la fuerza de friccin mantiene una relacin constante a la reaccin norma ( N ) entre las superficies. Esta relacin constante recibe el nombre de friccin lmite y se indica por medio de .

    Esta ley da origen a la siguiente ecuacin.

    Nf = Donde

    = Coeficiente de friccin N = Fuerza normal.

    Si el cuerpo permanece en reposo entonces, el roce se llama esttico y se

    anota:

    Nf e = =e Coeficiente de roce esttico. Cuando el cuerpo se encuentra en movimiento, el roce se llama cintico y se

    anota:

    Nf k = =e Coeficiente de roce Cintico. 7. El coeficiente de friccin lmite depende de la naturaleza de las

    superficies en contacto. Esto se refiere a la geometra de la superficie, a la contaminacin de la misma y a las propiedades fsicas de los materiales involucrados.

    Ecuaciones dinmicas Por el segundo principio de Newton, se tiene que la resultante de las fuerzas

    que actan sobre un cuerpo queda determinada por:

    amF = xx amF =

    yy amF =

    zz amF =

    En nuestro estudio consideraremos slo las fuerzas en el plano, luego el 2 principio de newton se puede expresar:

    amF = xx amF =

    yy amF =

  • 10

    Si el cuerpo permanece en reposo o se mueve a velocidad constante,

    entonces la aceleracin 0=a y por lo tanto la ecuacin anterior resulta:

    0=F

    0= xF

    0= yF

    Ecuacin que corresponde al equilibrio de la partcula, en dos dimensiones .

    Diagrama de cuerpo libre (DCL)