dinâmica de um sistema de muitas partículas centro de massa e momentum linear x m d/dt
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Dinâmica de um Sistema de Muitas Partículas
Centro de Massa e Momentum Linear
x m
d/dt
r1
r2r3
r4
r5
r6
r7
r8
rcm
z
x
yO
Uma partícula
Várias partículas
É por isso que recipientes cheios de gás não saem andando espontaneamente!
cm
Campo gravitacional uniforme:
Resultante nula:
Momentum Angular do Sistema
ri
rj
rij
O
Forças centrais
Princípio de Conservação do Momentum Angular
M74 M81
Galáxias Espirais --- disco de estrelas em rotação
NGC2841 NGC3115
Energia Cinética do Sistema de Partículas ri
rcm
ri
O
d/dt
d/dt
Movimento de Dois Corpos que Interagem—Massa Reduzida
dois corpos (tomados como partículas) que interagem através de força central
r1
r2
cm
m2
m1
R
massa reduzida
v1
v2
F1 F2
m1, r1
m2 ,r2
R
v1
v2
F1 F2
m1, r1
m2 ,r2
R
m1, r1
m2 ,r2
R
ColisõesConservação do momento linear
Conservação da energia cinética
Q : ganho (<0) ou perda (>0) de energia cinética pelas partículas
Q =0 : energia cinética conservada colisão elástica
Colisões frontais de duas partículas
Coeficiente de restituição:totalmente inelástica
elástica
Massa reduzida
Velocidade relativa
(exceto para colisões explosivas)
m
Movimento de um Corpo com Massa Variável — Movimento de um Foguete
m m+m
Mecânica dos Corpos Rígidos - Movimento no Planoz
x
yO
r1
r2r3
r4
r5
r6
r7
r8
rcm
Considerações de Simetria
z
Hemisfério Sólido
Alguns Teoremas sobre o Equilíbrio Estático de um Corpo Rígido
equilíbrio completo de um corpo rígido.
Equilíbrio em um Campo Gravitacional Uniforme
Rotação de um Corpo Rígido em Torno de um Eixo Fixo — Momento de Inércia
x
y
φ
mi
Ri
yi
xi
onde
H
TORQUE SOBRE O
HELICÓPTERO
TORQUE SOBRE A HÉLICE
AR EJETADO PELO ROTOR
TRASEIRO
TORQUE PROVOCADO
PELA REAÇÂO (FORÇA) AO AR
EJETADO
ATRITO DO TREM DE POUSO COM A
PLATAFORMA GERA TORQUE QUE
IMPEDE A ROTAÇÂO DO HELICÒPTERO
x
y
φ
mi
Ri
yi
xi
Uma partícula:
eixo fixo:
Calculo do Momento de Inércia
corpo composto:
Exemplo: Barra fina
Aro ou Casca Cilındrica
Disco Circular ou Cilindro
ar
dr
eixo
eixo
ya
dz
Esfera
z
eixo
2
z
eixo
Casca Esférica
z
eixo
d/da
d/da
Teorema dos Eixos Perpendiculares
x
y
z
Disco circular fino no plano xy.
x
y
rcm
ri
Teorema dos Eixos Paralelos
ri
CM
Disco circular fino no plano xy.
z xy
a
z’
Disco circular fino no plano xy.
z xy
CM
a
y’
Raio de Giração
Exemplo: o raio de giração de uma barra fina, relativo a um eixo perpendicular que passa por uma extremidade
O Pêndulo Físico
cm
O
l
O Pêndulo Físico
cm
θ
O Usando o teorema dos eixos paralelos, podemos expressar o raio de giração k em termos do raio de giração relativo ao centro de massa km
l
Centro de Oscilação
cm
θ
O
O’
cm
l
l’
cm
l’
ponto O’ : centro de oscilação do ponto O
ponto O : centro de oscilação do ponto O’
Ex: Barra fina oscilando da extremidade:
Teorema Geral Relativo ao Momentum Angular
Este resultado estabelece que a taxa de variação temporal do momentum angular relativo ao centro de massa de qualquer sistema é igual ao momento total das forças externas relativo ao centro de massa. Isto é verdadeiro mesmo que o centro de massa esteja se acelerando.
Movimento Laminar de um Corpo Rígido
O movimento do corpo ocorre de modo que todas as suas partículas se deslocam paralelamente a um determinado plano fixo, então este movimento é denominado laminar. No movimento laminar, o eixo de rotação pode mudar de posição mas não muda de direção.
Movimento laminar
CM em translação + rotação em torno do CM
Eixo de rotação com direção constante
Movimento em um plano
Translação:
Rotação:
Cilindro Rolando em um Plano Inclinado
θ
mg senθ
mg
cosθ
mg
FN
x
μmg cosθ
COM ATRITO
a
y
cm
Movimento sem deslizamento
Considerações sobre energia
Derivando:
Ocorrência de Deslizamento
θ
mg senθ
mg
cosθ
mg
FN
x
μmg cosθ
COM ATRITO
a
ycm
Supondo:
Rolamento sem deslizamento
r
P
vcm
Exs: Esfera rola em plano inclinado com θ=45° se o coeficiente de atrito for, no mínimo:
F
F2
F1
Ex: colisão de uma barra metálica sobre gelo com disco de hóquei.
Esta apresentação foi desenvolvida pelo
Prof. Gustavo de Almeida Magalhães Sáfar
e corrigida, conferida e ampliada pelo
Prof. João Francisco C. Santos Jr.
no Departamento de Física do Instituto de Ciências Exatas
da Universidade Federal de Minas Gerais.