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Dinamica del puntoLe leggi di Newton

Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 2

• DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE

Studia le CAUSE FISICHE che determinano il moto del punto

o Formulazione quantitativa della legge del moto

Caso particolare:

o Lo studio delle condizioni per cui un punto resta in quiete!

Dinamica e inerzia


• Osservazione fondamentale:

Prima Galileo (1564-1642) e poi Newton (1643-1727) avevano capito

che la VARIAZIONE DI VELOCITÀ ( che implica accelerazione), in

modulo, direzione, o entrambi, è dovuta all’AZIONE DI UNA FORZA

ACCELERAZIONE FORZA

o La variazione dello STATO DI MOTO di un punto è determinata

dall’INTERAZIONE del punto con l’AMBIENTE CIRCOSTANTE

Dinamica e inerzia


FORZA

Grandezza che esprime e misura l’INTERAZIONE tra sistemi fisici

o Concetto legato inizialmente alla sensazione di sforzo muscolare, o sforzo

esercitato da sistemi meccanici (molle, leve)

Constatazione: NON è necessario un CONTATTO per esercitare una forza

o INTERAZIONE A DISTANZA (gravitazione, elettrostatica)

Alla forza si associano i concetti di INTENSITÀ E DIREZIONALITÀ

Introduzione al concetto di forza


Un MOTO ACCELERATO segnala la PRESENZA DI UNA FORZA AGENTE

Esempio: Moto circolare uniforme

o Velocità costante in modulo, ma con

direzione variabile per effetto

dell’accelerazione centripeta

quindi per effetto di UNA FORZA!

o Se la forza si annulla, il punto cessa il moto

circolare uniforme e inizia un moto rettilineo

uniforme diretto lungo la tangente alla

circonferenza nel punto in cui è cessata

l’azione della forza!

Introduzione al concetto di forza


Detta anche PRIMA LEGGE DI NEWTON o PRINCIPIO D’INERZIA

Se su un oggetto non agiscono forze (o la risultante è nulla),

esso non subisce cambiamenti di velocità

Se era in quiete, rimane in quiete

Se era in movimento, si muove di moto rettilineo uniforme

• Definizione di INERZIA

La tendenza di un corpo a rimanere fermo o a proseguire di moto

rettilineo e uniforme IN ASSENZA DI FORZE»

Prima Legge della Dinamica


• Il Principio d’inerzia implica una particolare scelta di sistemi di riferimento nei

quali essa è SEMPRE VALIDA

In alcuni sistemi di riferimento la legge potrebbe non essere valida!

Ogni sistema in moto rettilineo ed uniforme RISPETTO ad un sistema

inerziale è anch’esso inerziale

o Un sistema in moto accelerato NON PUÒ ESSERE INERZIALE

o Un sistema di riferimento che si muove con velocità costante rispetto alle

stelle lontane può essere considerato con buona approssimazione inerziale

o La Terra può essere considerata un sistema inerziale, nonostante abbia una

piccola accelerazione dovuta al suo moto

Sistemi di riferimento inerziali


• Se si tenta di modificare lo stato di moto di un corpo, questo SI OPPONE a tale cambiamento

L’opposizione è una misura della risposta di un corpo a forze esterne

Un corpo manifesta «un’INERZIA» al cambiamento dello stato di moto

INERZIA è collegata alla MASSA del corpo, che nel S.I. si misura in kg

• Osservazione:

A parità di forza agente: MAGGIORE la massa MINORE l’accelerazione risultante sul corpo

o Relazione sperimentale tra masse e accelerazioni:

𝒎𝟏

𝒎𝟐=𝒂𝟐𝒂𝟏

Definizione di MASSA

Proprietà intrinseca del corpo, indipendente da come viene misurato o da ciò che lo circonda

La massa è una grandezza scalare ed è additiva

Massa inerziale

UNITÀ DI MISURA

𝒌𝒈


• Lo stato di moto «naturale» degli oggetti è essere in quiete, oppure in moto

rettilineo uniforme

Le forze sono RESPONSABILI del cambiamento rispetto allo stato di quiete o

di moto rettilineo uniforme

• Due tipi di forze:

Forze di CONTATTO

o Conseguenza del contatto fisico fra due oggetti

CAMPI DI FORZE

o Agiscono tramite lo spazio, senza contatto fisico

A livello microscopico, esistono SOLO CAMPI DI FORZE

Forze


FORZE DI CONTATTO CAMPI DI FORZE

Forze

𝒎 𝑴

−𝒒 +𝑸

𝑭𝒆𝒓𝒓𝒐 𝑵 𝑺


Legge FONDAMENTALE della dinamica del punto

• Formulazione QUANTITVA del legame tra FORZA e STATO DEL MOTO

𝑭 = 𝒎 𝒂

o 𝑭: forza che esprime l’interazione del punto materiale con l’ambiente circostante

o 𝒂: accelerazione del punto VARIAZIONE della sua VELOCITÀ nel tempo

o 𝒎: massa inerziale ( punto «materiale»)

Se 𝒂 = 𝟎 𝒗 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 si ritrova il principio d’inerzia: 𝑭 = 𝟎

Formalmente si indica anche come:

𝑭 = 𝒎𝒅𝒗

𝒅𝒕= 𝒎

𝒅𝟐𝒓

𝒅𝒕𝟐

Dalle caratteristiche della forza si ricavano

quelle del moto, e viceversa!

• È una LEGGE VETTORIALE: 𝑭𝒙 = 𝒎 𝒂𝒙, 𝑭𝒚 = 𝒎 𝒂𝒚, 𝑭𝒛 = 𝒎 𝒂𝒛

Seconda Legge della Dinamica

UNITÀ DI MISURA

𝒌𝒈𝒎/𝒔𝟐 = 𝑵"𝑵𝒆𝒘𝒕𝒐𝒏"


DEFINIZIONE DI QUANTITÀ DI MOTO

𝒑 ≡ 𝒎𝒗

Forma più generale della seconda legge della dinamica

𝑭 =𝒅𝒑

𝒅𝒕

Lo stato dinamico del punto è individuato dalla quantità di moto, in cui

compaiono la massa e la velocità

Valida per 𝒗 ≪ 𝒄 (𝒄 = velocità della luce)

• Nel caso particolare in cui 𝑭 = 𝟎 si ha una LEGGE DI CONSERVAZIONE

La quantità di moto è COSTANTE (SI CONSERVA)

Quantità di moto e impulso


• L’azione di una forza 𝑭 durante un tempo 𝒅𝒕 provoca una variazione infinitesima

della quantità di moto del punto

DEFINIZIONE DI IMPULSO

Ԧ𝑱 ≡ න

𝟎

𝒕

𝑭𝒅𝒕 = න

𝒑𝟎

𝒑

𝒅𝒑 = 𝒑 − 𝒑𝟎 = 𝚫𝒑

Rappresenta l’integrale della forza nel tempo

TEOREMA DELL’IMPULSO

L’impulso di una forza applicata ad un punto materiale (con 𝒎 costante)

provoca la variazione della sua quantità di moto

Ԧ𝑱 = 𝒎 𝒗 − 𝒗𝟎 = 𝒎𝚫𝒗

o FORMA INTEGRALE della seconda legge della dinamica

• Valuta l’effetto complessivo in un intervallo di tempo finito

o Se la forza è costante: 𝚫𝒗 = 𝑭 𝚫𝒕/𝒎

o E’ sempre possibile calcolare il valor medio della forza agente: 𝑭𝒎 = 𝚫𝒑/𝚫𝒕

Quantità di moto e impulso

UNITÀ DI MISURA

𝑵𝒔


• Si consideri un punto materiale di massa 𝒎 = 𝟓𝟎 𝒈 che si muove con velocità

costante 𝒗 = 𝟐𝒎/𝒔 e che urta contro un muro, posto a 𝟗𝟎° rispetto alla

traiettoria. Esso rimbalza ripercorrendo l’iniziale traiettoria rettilinea

con velocità −𝒗.

Si calcolino:

1. La variazione di quantità di moto;

2. Il valor medio della forza agente durante l’urto di durata Δ𝒕 = 𝟏𝟎−𝟑𝒔.

Esercizio 3.1


• PESO = Forza gravitazionale

Causata dall’attrazione

gravitazionale che la Terra esercita

su tutti i corpi

Vicino alla superficie terrestre,

un corpo di massa 𝒎 risente della

FORZA PESO 𝑷 diretta verso il

centro della Terra:

𝑷 = 𝒎𝒈

o Direzione normale alla superficie

terrestre

o L’ accelerazione di gravità 𝒈 sulla

superficie della Terra è

INDIPENDENTE dalla massa del

corpo, dipende invece dalla massa

e dal raggio della Terra

Forza peso


ATTENZIONE A NON CONFONDERE I CONCETTI DI MASSA E PESO

Anche se sono tra loro collegati

Il PESO 𝑷 è il modulo della forza peso esercitata dalla Terra

su un oggetto di massa 𝒎

o Noi di fatto misuriamo il modulo di tale forza chiamandolo peso

o La forza peso è il risultato dall’interazione di un corpo con la Terra

Lo stesso oggetto di massa 𝒎 ad esempio posto sulla Luna risulterebbe

avere un peso pari a 𝟏/𝟔 del suo peso sulla Terra!

o Sulla luna, si misura un differente valore di 𝒈!

Forza peso


Quando due corpi 𝒎𝟏 e 𝒎𝟐 interagiscono, le forze esercitate da un corpo sull’altro

sono UGUALI IN MODULO E DIREZIONE, ma hanno VERSO OPPOSTO

𝑭𝟏,𝟐 = −𝑭𝟐,𝟏

«PRINCIPIO DI AZIONE E REAZIONE»

Le due forze hanno la stessa RETTA D’AZIONE

NON ESISTE UNA FORZA ISOLATA

o Le forze vanno considerate sempre a coppie

Terza Legge della Dinamica


ESEMPI

• La forza che il martello esercita sul chiodo è

uguale e contraria a quella che

il chiodo esercita sul martello

• La forza che il tavolo esercita sul monitor

(detta forza NORMALE) è la reazione alla

forza che il monitor esercita sul tavolo.

• La forza (di AZIONE) che la Terra esercita

sul monitor è uguale ed opposta alla forza

(di reazione) che il monitor esercita sulla Terra

Terza Legge della Dinamica


• In base alla Terza Legge della Dinamica, la stessa forza che la Terra esercita su

di noi viene da noi esercitata sulla Terra.

Assumendo che la nostra massa sia 𝒎 = 𝟔𝟎 𝒌𝒈, e sapendo che la massa della

Terra vale 𝑴𝑻 = 𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝒌𝒈 , si calcoli:

1. L’accelerazione da noi esercitata nei confronti della Terra.

Esercizio 3.2


• Si consideri il caso in cui su un punto materiale agiscano contemporaneamente

più forze 𝑭𝟏, 𝑭𝟐, … , 𝑭𝒏

DEFINIZIONE di RISULTANTE

𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 +⋯+ 𝑭𝒏 =

𝒊

𝑭𝒊

INDIPENDENZA delle azioni simultanee

𝒂 =𝑹

𝒎=

𝒊

𝑭𝒊𝒎=

𝒊

𝒂𝒊

o 𝒂: accelerazione del punto materiale è pari alla somma vettoriale delle accelerazioni che il punto avrebbe se agisse ogni forza da sola• Dallo studio del moto di un punto materiale si ottengono

informazioni solo sulla risultante 𝑹 delle forze agenti sul punto stesso, NON sulle singole forze

In presenza di più forze, ciascuna agisce indipendentemente dalle altre

𝒂𝒊 = 𝑭𝒊/𝒎

Risultante delle forze


• Affermare che la forza agente su un punto è nulla, non implica necessariamente

che sul punto non agiscano forze, ma che LA SOMMA DELLE FORZE agenti sul

punto, ovvero che la RISULTANTE 𝑹 sia NULLA

DEFINIZIONE DI EQUILIBRIO STATICO

Se 𝑹 = σ𝒊𝑭𝒊 = 𝒎𝒂 = 0 e il punto ha inizialmente velocità nulla

il punto materiale RIMANE IN QUIETE

𝑹𝒙 = 𝑹𝒚 = 𝑹𝒛 = 𝟎 σ𝒊𝑭𝒙,𝒊 = 𝟎, σ𝒊𝑭𝒚,𝒊 = 𝟎, σ𝒊𝑭𝒛,𝒊 = 𝟎

Equilibrio statico


• Un punto materiale è sottoposto ad una forza 𝑭𝟏 = 𝟑𝟒 𝑵, diretta lungo il verso

negativo dell’asse 𝒚, e ad una forza 𝑭𝟐 = 𝟐𝟓 𝑵, la cui direzione forma un

angolo 𝜽 = 𝟑𝟎° con l’asse 𝒚, nel verso negativo dell’asse 𝒙 e

positivo dell’asse 𝒚.

1. Calcolare modulo, direzione e verso della forza 𝑭𝟑 che occorre applicare

al punto materiale per mantenerlo in equilibrio statico.

Esercizio 3.3


Detta anche REAZIONE VINCOLARE

• Due corpi a contatto esercitano uno sull’altro le FORZE DI CONTATTO

• Se le superfici sono prive di attrito, le forze di contatto sono sempre

DIRETTE NORMALMENTE (=PERPENDICOLARMENTE) ad esse.

Forza normale


• Un vincolo è una qualunque LIMITAZIONE DELL’AMBIENTE AL MOTO del corpo

Limitazione avviene per contatto tra corpo e vincolo

ESEMPI:

Una fune

Una superficie d’appoggio o rotaia

Un asse fisso

Un punto fisso

Vincoli


• Un vincolo è una qualunque LIMITAZIONE DELL’AMBIENTE AL MOTO del corpo

Limitazione avviene per contatto tra corpo e vincolo

ESEMPI:

Una fune

Una superficie d’appoggio o rotaia

Un asse fisso

Un punto fisso

Vincoli

Il contatto tra corpo e vincolo

produce un’interazione che si

manifesta sotto forma di forza

Per la 3° Legge della

Dinamica, la forza con cui il

corpo agisce sul vincolo è

uguale e contraria a quella,

detta reazione vincolare, con

cui il vincolo agisce sul corpo


ESEMPIO: Oggetto poggiato su un tavolo (supporto rigido)

Il supporto si deforma e reagisce esercitando una FORZA NORMALE 𝑵perpendicolare alla superficie stessa

o 𝑵 eguale e contraria alla forza peso 𝑷 o alla risultante 𝑹 delle forze agenti

o In caso di equilibrio: 𝑹 + 𝑵 = 𝟎

• Le reazioni vincolari non sono note a priori

Si ricavano caso per caso, analizzando le altre forze agenti

• In generale, le reazioni vincolari hanno sia componenti perpendicolari che

tangenziali alla superficie stessa di contatto

o Vincolo liscio

• Solo la componente

perpendicolare

(reazione normale)

o Vincolo scabro

Reazioni vincolari

𝑵𝑹


FILI E FUNI

Oggetti che trasmettono la forza solo in trazione

Esempio contrario: le barre possono trasmettere

la forza sia in trazione, sia in compressione,

che in sforzo di taglio

CARRUCOLE

Le considerazioni svolte possono essere estese

al caso in cui siano presenti carrucole

e quindi la fune cambia direzione

Fili, funi, carrucole


Quando un filo è fissato ad un corpo e tirato si dice che esso è sotto tensione

• Il filo esercita sul corpo una forza detta TENSIONE

Direzione: quella del filo

Verso: quello di trascinamento del corpo

• Spesso, il filo si considera IDEALE

Privo di massa ed inestensibile

Esercita la sua funzione

nel medesimo modo su ciascuno

dei suoi estremi

Questo non cambia anche in caso si

utilizzino carrucole

• Un filo si dice «allentato» quando 𝑻 = 𝟎

Tensione dei fili


• Un semaforo di peso 𝟏𝟐𝟐 𝑵 pende da un cavo leggero connesso ad altri due

cavi leggeri come in figura, con 𝜽𝟏 = 𝟑𝟕° e 𝜽𝟐 = 𝟓𝟑°.

1. Determinare le tensioni dei tre cavi in condizione di equilibrio.

Esercizio 3.4

𝜽𝟏 𝜽𝟐


• Forze agenti sulla cassa

Tensione della corda di 𝑻

La forza peso: 𝑭𝒈 = 𝑷

La forza normale 𝑵 esercitata dal pavimento

• Risoluzione applicando la Seconda Legge della Dinamica alle componenti x e y:

𝑭𝒙 = 𝑻 = 𝒎𝒂𝒙

𝑭𝒚 = 𝑵−𝒎𝒈 = 𝟎 → 𝑵 = 𝒎𝒈

Se 𝑻 = 𝒄𝒐𝒔𝒕. 𝒂 = 𝒄𝒐𝒔𝒕. Moto uniformemente accelerato

Azione dinamica delle forze


• Costituita da due oggetti di massa 𝒎𝟏 e 𝒎𝟐 connessi da un filo inestensibile di

massa trascurabile, posto sopra una carrucola priva di massa.

• Studio del rapporto tra forza peso, massa e accelerazione

1. Tensione: 𝑻𝟏 = 𝑻𝟐 = 𝑻

È la stessa per i due oggetti (un solo filo!)

2. Accelerazione: 𝒂𝟏 = 𝒂𝟐 = 𝒂 È la stessa per i due oggetti (connessi dal filo!)

3. Soluzione: Risolvere separatamente

ATTENZIONE AI VERSI DI 𝑻 e 𝒂 !!!!!

ቊ𝑻 −𝒎𝟏 𝒈 = 𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 𝒈 − 𝑻 = 𝒎𝟐 𝒂

𝒂 = 𝒈𝒎𝟐 −𝒎𝟏

𝒎𝟏 +𝒎𝟐

𝑻 = 𝒈𝟐𝒎𝟏𝒎𝟐

𝒎𝟏 +𝒎𝟐

Esempio: Macchina di Atwood

𝒎𝟏𝒎𝟐

𝒎𝟏𝒎𝟐


• Si consideri una persona di 𝟕𝟓 𝒌𝒈 in un ascensore in movimento.

1. Si calcoli la reazione vincolare nei seguenti casi:

a) L’ascensore sale con accelerazione costante di 𝟏𝒎/𝒔𝟐;

b) L’ascensore scende con accelerazione costante di 𝟏𝒎/𝒔𝟐;

c) L’ascensore sale con velocità costante di 𝟑𝒎/𝒔.

Esercizio 3.5


• Si consideri un punto materiale di massa 𝐦 = 𝟎. 𝟖 𝒌𝒈, inizialmente in quiete,

sottoposto all’azione di una forza costante 𝑭𝟏, avente direzione e verso dell’asse

x e modulo 𝑭𝟏 = 𝟏𝟔 𝑵. Dopo un tempo 𝒕𝟏 = 𝟑 𝒔 cessa l’azione della forza e si

osserva che il punto rallenta uniformemente, fermandosi all’istante 𝒕𝟐 = 𝟗 𝒔.

Si calcolino:

1. La velocità e lo spazio percorso dal punto materiale in 𝒕𝟏;

2. La decelerazione del punto materiale prima di 𝒕𝟐;

3. La forza 𝑭𝟐 parallela all’asse x che agisce durante la frenata;

4. Lo spazio totale percorso.

Esercizio 3.6


• Si consideri un corpo, assimilabile ad un punto materiale di massa 𝒎,

appoggiato su un PIANO INCLINATO rispetto all’orizzontale di un angolo 𝜽

Piano inclinato

𝜽


• Si consideri un corpo, assimilabile ad un punto materiale di massa 𝒎,

appoggiato su un PIANO INCLINATO rispetto all’orizzontale di un angolo 𝜽

• Conviene scegliere

Asse 𝒙 lungo il piano inclinato

Asse 𝒚 perpendicolare al piano

Scomporre la forza peso nelle due componenti:

ቊ𝒙: 𝒎𝒈 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒎 𝒂𝒙𝒚: 𝑵 −𝒎𝒈 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟎

Piano inclinato

𝜽

𝑵

𝑷

𝒎𝒈 𝒔𝒆𝒏𝜽

𝒎𝒈 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝜽

Moto

uniformemente

accelerato


• Se su un corpo non agiscono forze allora:

a) Rimane in quiete

b) Continua con moto rettilineo uniforme se era in moto o rimane

in quiete se era fermo

c) Continua con moto rettilineo uniformemente accelerato

Quesiti di riepilogo (1)


• Se su un corpo non agiscono forze allora:

a) Rimane in quiete

b) Continua con moto rettilineo uniforme se era in moto o

rimane in quiete se era fermo

c) Continua con moto rettilineo uniformemente accelerato



• Quale affermazione delle seguenti è l’unica corretta per la massa?

a) La massa è il peso in assenza di gravità;

b) La massa è proporzionale all’accelerazione del corpo quando

soggetto ad una forza

c) La massa è l’inerzia che presenta un corpo alla variazione del

suo stato di moto

d) La massa rappresenta la capacità di un corpo di variare il suo

stato quando è in quiete



• Quale affermazione delle seguenti è l’unica corretta per la massa?

a) La massa è il peso in assenza di gravità;

b) La massa è proporzionale all’accelerazione del corpo quando

soggetto ad una forza

c) La massa è l’inerzia che presenta un corpo alla variazione

del suo stato di moto

d) La massa rappresetna la capacità di un corpo di variare il suo

stato quando è in quiete



• Si consideri un corpo appoggiato su un piano orizzontale a cui venga applicata

una forza 𝑭𝒆𝒙𝒕 parallela al piano d’appoggio

Si osserva sperimentalmente che il corpo NON ENTRA IN MOVIMENTO ma

oppone una certa RESISTENZA allo scorrimento

FORZA DI ATTRITO: schematizzabile come una forza TANGENTE alla

superficie

A livello microscopico, l’attrito è dovuto ai

legami (delle vere e proprie microsaldature)

che si instaurano tra i corpi a contatto.

Forza di attrito

𝑭𝒂𝒕𝒕

𝑭𝒆𝒙𝒕


• Sperimentalmente si osserva che il corpo NON ENTRA IN MOVIMENTO finché il

modulo della forza 𝑭 applicata al corpo non abbia superato un certo valore

proporzionale alla reazione vincolare 𝑵 esercitata sul corpo:

𝑭𝒔,𝒎𝒂𝒙 = 𝝁𝒔 𝑵

𝝁𝒔: COEFFICIENTE DI ATTRITO STATICO

(adimensionale)

FORZA DI ATTRITO RADENTE STATICO: 𝑭𝒔 = −𝑭

È presente finché 𝑭 ≤ 𝑭𝒔,𝒎𝒂𝒙

o Condizione di quiete: 𝑭 ≤ 𝝁𝒔𝑵

o Condizione di moto: 𝑭 > 𝝁𝒔𝑵

Attrito radente statico

𝑵

𝑭 𝑭𝒔

𝑷


• Quando 𝑭 > 𝝁𝒔𝑵, il corpo entra in movimento lungo il piano.

Una nuova forza SI OPPONE ora al moto!

• FORZA DI ATTRITO RADENTE DINAMICO

𝑭𝒅 = 𝝁𝒅 𝑵

𝝁𝒅: COEFFICIENTE DI ATTRITO DINAMICO (adimensionale)

• Per una data coppia di superfici risulta sempre:

𝝁𝒅 < 𝝁𝒔

• La forza di attrito dinamico:

Non dipende dalla velocità del corpo rispetto al piano d’appoggio

Ha verso CONTRARIO rispetto alla direzione del moto (ෝ𝒖𝒗: versore

velocità)

𝑭𝒅 = −𝝁𝒅 𝑵 ෝ𝒖𝒗

Attrito radente dinamico


• Riassumendo: Un piano reale si oppone al moto di un corpo poggiato su di esso con una forza di attrito. Fintanto che il corpo resta fermo, si parla di attrito statico

𝑭𝒔, caratterizzato da un valore massimo 𝑭𝒔,𝒎𝒂𝒙; quando il corpo è in movimento si

parla di attrito dinamico 𝑭𝒅 = 𝒄𝒐𝒔𝒕.

1. Per vincere i legami tra superfici a contatto a livello microscopico è necessaria una forza che stira e rompa tali legami Questo spiega l’attrito statico

2. I legami si riformano continuamente ad ogni contatto con le asperità Questo spiega l’attrito dinamico

• L’attrito è sempre proporzionale all’effettiva superficie di contatto, dunque alla reazione vincolare:

𝑭𝒂𝒕𝒕 ∝ 𝑵

• Le forze di attrito vanno incluse nella somma σ𝑭 che appare nella Seconda Legge della Dinamica.

Attrito statico e dinamico

𝑭𝒙

𝑭𝒂𝒕𝒕

𝑭𝒔,𝒎𝒂𝒙𝑭𝒂𝒔 𝑭𝒂𝒅

Caso

statico

Caso

dinamico


• Come studiato in cinematica, un corpo che percorre una circonferenza di raggio 𝒓 a velocità costante è

soggetto ad un’accelerazione centripeta 𝒂𝑵 = 𝒗𝟐/𝒓.

• Una forza 𝑭𝒓 che provoca un’accelerazione centripetaagisce nella direzione del centro del cerchio

Questa forza produce un cambiamento nelladirezione del vettore velocità e un moto circolare

• Se la risultante delle forze 𝑹 agenti su un punto

materiale presenta una componente 𝑭𝒓 ortogonale alla traiettoria, questa risulta curvilinea

𝑭𝒓 = 𝒎𝒂𝑵 =𝒎𝒗𝟐

𝒓

• In generale, 𝑹 ha anche componente tangente 𝑭𝑻, responsabile della variazione del modulo della velocità

Se 𝑭𝑻 = 𝟎, il moto lungo la traiettoria è uniforme e 𝒂𝑵 è l’unica accelerazione

Forze centripete prodotte da Rotaie; Pneumatici; Fili che collegano il corpo ad un punto fisso; Vincoli che fanno incurvare la traiettoria.

Forze centripete


• La forza che accelera un’automobile è la FORZA DI ATTRITO AL SUOLO

1. Il motore applica una forza sulle ruote

2. Il fondo delle ruote applica forze in direzione contraria al moto sulla

superficie stradale, mentre la reazione (della strada sulle ruote) produce

il moto in avanti dell’automobile

• Si consideri una curva orizzontale piatta

La forza centripeta è data dalla forza di attrito statico

Velocità massima alla quale l’automobile può affrontare la curva

𝒎𝒗𝒎𝒂𝒙𝟐

𝒓≤ 𝝁𝒔𝒎𝒈

𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝝁𝒔 𝒈 𝒓

o Notare come la velocità massima

NON DIPENDA dalla massa

dell’automobile

Moto di un’automobile in curva


• Nel 1901 un acrobata di un circo si lanciò nel numero del giro della morte in

bicicletta su una pista circolare verticale.

Assumendo che la pista sia un cerchio di raggio 𝑹 = 𝟐. 𝟕 𝒎, si calcoli:

1. Il minimo valore che deve raggiungere la velocità della bicicletta per

rimanere in contatto nel punto più in alto della pista.

Esercizio 3.7


• Un auto di massa 𝑴 = 𝟏𝟔𝟎𝟎 𝒌𝒈 viaggia con velocità costante 𝒗 = 𝟐𝟎𝒎/𝒔 su

una pista circolare di raggio 𝑹 = 𝟏𝟗𝟎𝒎.

Si calcoli:

1. Il minimo valore di coefficiente di attrito statico tra pneumatici e strada che

impedisce all’auto di slittare.

Esercizio 3.8


Punto materiale appeso tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile

Posizione verticale in 𝑪 = posizione di EQUILIBRIO STATICO

• Seconda Legge della Dinamica

𝑷+ 𝑻 = 𝒎𝒂

• ቊ𝒙: −𝒎𝒈 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒎 𝒂𝑻𝒚: 𝑻 −𝒎𝒈 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒎 𝒂𝑵

𝑷𝒕 = −𝒎𝒈 𝒔𝒆𝒏 𝜽 è una

forza di richiamo verso C,

visto che tende a riportare

il corpo in equilibrio

o Tale forza NON ha

direzione costante!

Pendolo semplice

𝑷

𝑷𝑻

𝜽

𝒙

𝒚

𝑳𝑻

𝑷𝑵

𝑶

𝑪


Equazione differenziale del moto del pendolo

𝒅𝟐𝜽

𝒅𝒕𝟐+𝒈

𝑳𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝟎

Per piccole oscillazioni (piccoli angoli, 𝜽 < 𝟏𝟎°): 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ≅ 𝜽

LEGGE ORARIA del moto

𝜽(𝒕) = 𝜽𝟎𝒔𝒆𝒏 (𝝎𝒕 + 𝝓𝟎)

o 𝜽𝟎: ampiezza dell’oscillazione

o 𝝓𝟎: fase iniziale

Pulsazione: 𝝎 = 𝒈/𝑳 , Periodo: 𝑻 = 𝟐 𝝅 𝑳/𝒈

o Entrambi non dipendono dalla massa dell’oggetto, ma dalla lunghezza del filo

LEGGE ORARIA (dello spostamento lungo l’arco di circonferenza

𝒔 𝒕 = 𝑳𝜽 𝒕 = 𝑳 𝜽𝟎 𝒔𝒆𝒏 (𝝎𝒕 + 𝝓𝟎)

o Ampiezza: 𝑨 = 𝑳 𝜽𝟎

Pendolo semplice


• La forza di attrito statica ha espressione:

a) 𝟎

b) 𝝁𝒔𝑴𝒈

c) 𝝁𝒔𝑵

d) ≤ 𝝁𝒔𝑵



• Studio del moto di un corpo in un fluido (liquido o gas)

Il mezzo esercita una forza di resistenza che si oppone al moto

La forza risultante è opposta al moto ed è in genere PROPORZIONALE

ALLA VELOCITÀ

𝑭 = −𝒃𝒗

Accelerazione: 𝒂 = −𝒃𝒗/𝒎

o In presenza di una forza di attrito viscoso non è possibile realizzare una

condizione di equilibrio statico, poiché se 𝒗 = 𝟎, la forza si annulla!

• Il moto nei mezzi viscosi può essere molto più complesso

Es. Un oggetto si muove nell’aria con una velocità abbastanza grande

da produrre moti turbolenti nell’aria

Forza di attrito viscoso


• Si consideri un punto materiale di massa 𝒎 che cade in un fluido.

Assumendo che le uniche forze agenti siano la forza peso e la forza di attrito

viscoso, si determini:

1. L’andamento della velocità in funzione del tempo;

2. Cosa succede nel limite di 𝒗 = 𝒈𝒎/𝒃.

Esercizio 3.9


LEGGE DI HOOKE: DEFINIZIONE DI FORZA ELASTICA (unidimensionale)

• Forza di direzione costante, con verso sempre rivolto ad un punto 𝑶, chiamato

centro, e con modulo proporzionale alla distanza da 𝑶.

𝑭 = −𝒌 𝒍 − 𝒍𝟎 ෝ𝒖𝒙 = −𝒌 𝒙 ෝ𝒖𝒙

𝒌: COSTANTE ELASTICA della molla

𝒍𝟎: lunghezza a riposo della molla

𝒙: deformazione della molla

o Se si assume la forza diretta lungo l’asse 𝒙,

il segno meno indica opposizione allo

spostamento

Forza elastica

𝑭

𝑭

𝒍𝟎

𝒍 > 𝒍𝟎

𝒍 < 𝒍𝟎

Molla allungata: Forza di richiamo

Molla compressa: Forza repulsiva

UNITÀ DI MISURA

𝑵/𝒎


• Dalla seconda legge di Newton 𝒂 =𝑭

𝒎= −

𝒌

𝒎𝒙 si ricava:

𝒅𝟐𝒙

𝒅𝒕𝟐+𝒌

𝒎𝒙 = 𝟎

MOTO ARMONICO SEMPLICE

Legge oraria:

𝒙 𝒕 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝝓𝟎)o Pulsazione

𝝎 = 𝒌/𝒎o Periodo

𝑻 = 𝟐𝝅 𝒎/𝒌

Nei punti di massimo allungamento e compressione: Accelerazione massima e velocità nulla

Nel punto di equilibrio: Accelerazione nulla e velocità massima(con opportuno segno a seconda che la molla si stia allungando o comprimendo)

Forza elastica

𝑭

𝑭

𝒍𝟎

𝒍 > 𝒍𝟎

𝒍 < 𝒍𝟎

Molla allungata: Forza di richiamo

Molla compressa: Forza repulsiva


• Un carrello sale lungo un piano inclinato di 𝟐𝟎° con accelerazione costante

𝒂𝟏 = 𝟐𝒎/𝒔𝟐. Sul carrello si trova un corpo di massa 𝒎 = 𝟎. 𝟐𝟓 𝒌𝒈, fissato ad

una parete del carrello tramite una molla di costante elastica 𝒌 = 𝟏𝟐 𝑵/𝒎.

Non ci sono attriti e oscillazioni.

1. Calcolare di quanto si allunga la molla e in che verso;

2. Verificare cosa cambia se l’accelerazione vale 𝒂𝟐 = 𝟓𝒎/𝒔𝟐 ,

assumendo che il carrello scenda verso il basso.

Esercizio 3.10


• Quale affermazione delle seguenti è l’unica corretta?

a) Il periodo di oscillazione del pendolo è proporzionale alla

massa;

b) Il periodo di oscillazione del pendolo è linearmente

dipendente dalla lunghezza del filo;

c) Il periodo di oscillazione del pendolo dipende dalla

lunghezza del filo;

d) Il periodo di oscillazione del pendolo dipende da 𝒌/𝒎.



• Quale affermazione delle seguenti `e l’unica corretta?

a) Il periodo di oscillazione del pendolo è proporzionale alla

massa;

b) Il periodo di oscillazione del pendolo è linearmente

dipendente dalla lunghezza del filo;

c) Il periodo di oscillazione del pendolo dipende dalla

lunghezza del filo;

d) Il periodo di oscillazione del pendolo dipende da 𝒌/𝒎.



• Un oggetto di peso 𝑷 = 𝟕𝟎𝟎 𝒌𝑵 è tirato tramite una corda ad un angolo di 𝟑𝟎°rispetto al piano orizzontale con una forza pari a 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝑵.

1. Determinare l’accelerazione con la quale si muove l’oggetto.

Esercizio 3.11


• Si consideri un blocco di massa 𝑴 = 𝟑. 𝟑 𝒌𝒈 poggiato su una superficie liscia e

senza attrito, collegato tramite una fune inestensibile ed una carrucola (ideale)

ad un’altra massa 𝒎 = 𝟐. 𝟏 𝒌𝒈.

Si assumano cavi e puleggia senza massa.

1. Determinare le accelerazioni delle due masse e le tensioni dei fili.

Esercizio 3.12

𝑴

𝒎


Problemi con punti materiali collegati tra loro

• I problemi sono spesso riconducibili alla dinamica del punto materiale

1. Si sceglie il sistema di riferimento più opportuno;

o Tenendo conto che la dinamica effettiva non dipende dal

sistema di riferimento scelto, è possibile scegliere

un sistema diverso per ogni punto materiale

2. Si schematizzano TUTTE le forze agenti su ogni corpo

(diagramma di corpo libero);

• Si ha spesso a che fare con funi inestensibili

I punti materiali ai capi di una fune ideale risentono della stessa tensione

e si muovono con le stesse accelerazioni (e velocità!)

Caveat


• Due alpinisti di massa 𝒎 = 𝟔𝟓 𝒌𝒈 e 𝑴 = 𝟖𝟓 𝒌𝒈 si trovano sul bordo di un

crepaccio di un ghiacciaio, con pendenza 𝜽 = 𝟐𝟓° e sono tra loro legati. Uno dei

due cade trascinando anche il primo. Prima che riesca a fermarsi con la piccozza,

l’alpinista rimasto sul ghiacciaio scivola senza attrito.

Si calcolino:

1. L’accelerazione che hanno i due alpinisti durante la caduta;

2. La tensione della corda.

Esercizio 3.13

𝒎

𝑴


• Una scatola di massa 𝒎𝟏 = 𝟑 𝒌𝒈 su uno scivolo privo di attrito inclinato di 𝟑𝟎° è

collegata ad un’altra di massa 𝒎𝟐 = 𝟏 𝒌𝒈 appoggiata su una superficie

orizzontale egualmente priva di attrito. Ad 𝒎𝟏 è applicata una forza 𝑭 di

modulo 𝑭 = 𝟐. 𝟑 𝑵 diretta come in figura.

Si calcolino:

1. La tensione nella corda;

2. L’intensità massima di 𝑭 per evitare che la corda si allenti.

Esercizio 3.14

𝒎𝟐

𝒎𝟏


• Tre blocchi di massa 𝒎𝟏 = 𝟏𝟐 𝒌𝒈, 𝒎𝟐 = 𝟐𝟒 𝒌𝒈 e 𝒎𝟑 = 𝟑𝟏 𝒌𝒈 sono collegati

tra loro come in figura e sono spinti verso destra su un piano orizzontale liscio da

una forza 𝑻𝟑 = 𝟔𝟓 𝑵.

Si calcolino:

1. L’accelerazione del sistema;

2. Le tensioni 𝑻𝟏 e 𝑻𝟐.

Esercizio 3.15

𝒎𝟏 𝒎𝟐 𝒎𝟑


• Si considerino due masse 𝒎𝟏 = 𝟖 𝒌𝒈 e 𝒎𝟐 = 𝟏𝟎 𝒌𝒈 unite tramite una corda

che scivolano su due piani inclinati lisci. La massa 𝒎𝟏 si trova su un piano inclinato

di 𝜽𝟏 = 𝟒𝟎°, mentre 𝒎𝟐 si trova su un piano inclinato di 𝜽𝟐 = 𝟓𝟎°.

1. Determinare l’accelerazione e la tensione della fune.

Esercizio 3.16

𝜽𝟐𝜽𝟏


• Si consideri il sistema in figura. Si considerino gli attriti trascurabili e la carrucola

come ideale. I valori delle masse sono:

𝒎𝑨 = 𝟐𝟎𝟎 𝒈, 𝒎𝑩 = 𝟑𝟎𝟎 𝒈 e 𝒎𝑪 = 𝟏𝟎𝟎 𝒈.

1. Calcolare il valore di 𝑭 affinchè 𝒎𝑨 rimanga in quiete rispetto a 𝒎𝑩.

Esercizio 3.17


• Si consideri una cassa di massa 𝒎 = 𝟔𝟕 𝒌𝒈 che viene trascinata sul pavimento

mediante una corda attaccata alla cassa ed inclinata di 𝟏𝟓° sopra l’orizzontale.

1. Se il coefficiente d’attrito statico è 𝟎. 𝟓, si calcoli il modulo della forza

minima necessaria a smuovere la cassa;

2. Se il coefficiente di attrito dinamico è 𝟎. 𝟑𝟓, si calcoli l’accelerazione della

cassa, trascinata con la stessa forza calcolata al punto precedente.

Esercizio 3.18


• Una forza 𝑭 parallela ad una superficie inclinata di 𝟏𝟓° rispetto al piano

orizzontale agisce su un blocco di peso 𝟒𝟓 𝑵 appoggiato su di essa, come

indicato in figura.

I coefficienti di attrito tra blocco e piano inclinato sono 𝝁𝒔 = 𝟎. 𝟓 e 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟑.

Se il blocco è inizialmente fermo, si determini il modulo della forza d’attrito

per i seguenti valori di 𝑭:

a) 𝑭 = 𝟓 𝑵;

b) 𝑭 = 𝟖 𝑵;

c) 𝑭 = 𝟏𝟓 𝑵.

Esercizio 3.19

𝑭


• Si consideri la figura sottostante, nella quale due blocchi di massa 𝒎𝑨 = 𝟏𝟎 𝒌𝒈e 𝒎𝑩 sono collegati tra loro attraverso una puleggia. La massa 𝑨 si trova su un

piano inclinato di 𝟑𝟎°. Il coefficiente d’attrito dinamico vale 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟐.

1. Se 𝒎𝑨 scivola lungo il piano inclinato con velocità costante, si determini il

valore di 𝒎𝑩.

Esercizio 3.20


• Si considerino i due blocchi raffigurati aventi 𝒎 = 𝟏𝟔 𝒌𝒈, 𝑴 = 𝟖𝟖 𝒌𝒈.

Il coefficiente d’attrito statico tra i due blocchi pari a 𝝁𝒔 = 𝟎. 𝟑𝟖.

La superficie su cui poggia la massa 𝑴 è priva d’attrito.

1. Si calcoli la minima intensità di 𝑭 necessaria a tenere 𝒎 attaccato a 𝑴.

Esercizio 3.21


• Si considerino i due corpi mostrati in figura, con mA = 𝟏𝟎 𝒌𝒈 e 𝒎𝑩 = 𝟑 𝒌𝒈.

I coefficienti di attrito statico e dinamico tra 𝑨 ed il piano inclinato (con 𝜽 = 𝟒𝟎°) sono rispettivamente 𝝁𝒔 = 𝟎. 𝟓𝟔 e 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟐𝟓.

1. È possibile che il sistema rimanga in quiete?

2. Si calcoli l’accelerazione del sistema nei seguenti casi

a) 𝑨 è in moto in salita;

b) 𝑨 è in moto in discesa.

Esercizio 3.22


• Si consideri una massa 𝑴𝟏 = 𝟏 𝒌𝒈, posta sopra una massa 𝑴𝟐 = 𝟐. 𝟓 𝒌𝒈.

Le due masse sono collegate tra loro da una fune inestensibile.

Una terza massa 𝑴𝟑 = 𝟓 𝒌𝒈 è collegata ad 𝑴𝟐 come mostrato in figura.

Il coefficiente di attrito dinamico è 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟑 per tutte le superfici in contatto.

Si calcolino:

1. L’accelerazione;

2. Le tensioni delle funi.

Esercizio 3.23


• Si considerino due blocchi di massa 𝑴𝑨 = 𝟒 𝒌𝒈 e 𝑴𝑩 = 𝟔 𝒌𝒈. Al corpo 𝑨 è

applicata una forza 𝑭 = 𝟐𝟎 𝑵. Si considerino trascurabili gli attriti.

Si calcolino:

1. L’accelerazione dei blocchi;

2. La reazione vincolare tra i due blocchi.

Esercizio 3.24

dinamica del punto - ba.infn.itbissaldi/fisica1/03_cap3_dinamica_newton.pdf · • affermare che la...

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