dinamica - fisica tema selecto amor a sofia

Colección Temas Selectos

Teoría y práctica

Teodulo Reyes Santos LumbrerasEditores

Niveles básico

Amor aFísica

Asociación Fondo de Investigadores y Editores

Dinámica

LumbrerasEditores

DINÁMICAAutor: Teodulo Aquilino Reyes Santos

© Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores Diseño de portada: Edgar Refulio Aliaga, Gastón Ruiz Quiroz Digitación y diagramación: Jorge Suclupe Cajusol

Graficación: Jorge Suclupe Cajusol, Julián Pacheco Quincho Corrección de estilo: Marilú Sujey Alberto Mamani

© Asociación Fondo de Investigadores y EditoresAv. Alfonso Ligarte N.° 1426 - Breña. Lima-Perú. Telefax: 332-3786Para su sello editorial Lumbreras EditoresPágina web: www.elumbreras.com.pePrimera edición: noviembre de 2012Tiraje: 10 000 ejemplaresISBN: 978-612-307-271-1Registro del proyecto editorial N.° 31501051100862 "Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú"N.° 2012-13078

Prohibida su reproducción total o parcial Derechos reservados D. LEG. N.° 822

Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación Fondo de Investigadores y Editores en el mes de noviembre de 2012

Calle Las Herramientas N.° 1873 - Lima-Perú. Teléfono: 336-5889

http://www.elumbreras.com.pe

PRESENTACIÓN_______________ ______________________ _______ ____________ ....... 7INTRODUCCIÓN..................... ..... ....................... ...............__________9DINÁMICALeyes del movimiento mecánico ..........„....................... ...........................12Inercia___ ............... ......... ......____ ............. ............ ........ .............. ............... .. 12Primera ley de Newton ...„......... .......... **,..... .............. ..... ...... ................... 13

La masa: una medida de la inercia.................................... .............. .......... 14Masa gravitacional.............. .............................. .................. ..................... 14

Segunda ley de Newton.. ...... ...... .... ..... ...... .......... ............... „.................. ..... 15¿De qué depende el módulo de la aceleración?.... ......... .........1................. 16Aplicaciones de la segunda ley de Newton..... ................... ..... ..... ..„........ . 17

Dinámica rectilínea ............ ............ ............ ......... ............... ............... 17Dinámica circunferencial....... ....... ............. ...... ........... ......... .............. 18

Condición para que un cuerpo describa una trayectoria circunferencial..... 18PROBLEMAS RESUELTOSNivel básico.... ......... ......... ....... ........*................................................. ...... 22Nivel intermedio ........ ...... ... ........ ........ ... ... ...................... ....... .............. ..... 74Nivel avanzado ............ ...... ....... ................... .... ........ ...... ...... ...... ........... . 106PROBLEMAS PROPUESTOSNivel básico ...... .............. .......... .................. :... .......... ..................... ............ . 134Nivel intermedio ...................... ............ ......... ,.......... .......... ............ ...... ..... 142Nivel avanzado ................... ...... ............................ ............ ........... ... . 149

CLAVES............... .............. ....................................... .... ...... ................. . 157

BIBLIOGRAFÍA .......... .......... ....,.. ............................ ............... ........... 158

La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Dinámico, perteneciente a una nueva serie de temas escogidos donde se realza el valor analítico y crítico en la enseñanza de las ciencias.

La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los alumnos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus conocimientos en temas específicos en los cursos de matemáticas, ciencias naturales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores abre una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque didáctico y cuidadoso en la relación teoría-práctica.

Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor profun- dización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, por eso nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar una nutrida colección que permita mantener el reconocimiento y la confianza de los estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios aplicativos y problemas resueltos y propuestos por niveles.

Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha significado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesionales de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro anhelo de una educación científica y humanística integral. En este proceso, deseamos reconocer la labor del profesor Teodulo Reyes Santos, de la plana de Física de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en la elaboración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la enseñanza preuniversitaria.

Asociación Fondo de Investigadores y Editores

Vivimos en el mundo cuando amamos. Solo una vida vivida para los demásmerece la pena ser vivida.

Albert Einstein

La dinámica es una parte fundamental de la mecánica en la que se analiza el movimiento de los cuerpos. El estudio de la mecánica comenzó con ciertos principios que se aplicaron al equilibrio de los cuerpos, así nació la estática; por ejemplo, para la construcción de las pirámides de Egipto se comprendieron y utilizaron aquellos principios.

La dinámica se desarrolló mucho después ya que las magnitudes que en ella intervienen requieren de una medición precisa del tiempo. Galileo experimentó esta enorme dificultad, pero a pesar de ello pudo medir la aceleración de la gravedad. Isaac Newton completó la formulación de los principios fundamentales de la mecánica con su descubrimiento de la ley de gravitación universal y su enunciado de las leyes del movimiento. La aplicación de estas leyes en diversos ámbitos es enorme; por ejemplo, en la construcción de máquinas, en el lanzamiento de naves al espacio, la colocación de los satélites artificiales que permiten las comunicaciones, entre otros.

El propósito de este libro es enseñar de forma didáctica y práctica las dos primeras leyes: la ley de la inercia y la ley que relaciona los cambios de velocidad de los cuerpos como consecuencia de una fuerza resultante no nula, para ello irán acompañadas de problemas resueltos y propuestos que han sido estructurados y desarrollados de lo simple a lo complejo, algunos tomados de exámenes de admisión; de tal forma que usted que recién comienza con el estudio de estas leyes las entienda y sepa aplicarlas para su formación tanto preuniversitaria como universitaria.

Agradecemos a la Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined por las facilidades en la elaboración del presente material, y esperamos las críticas y sugerencias de este trabajo porque consideramos que ellas nos permiten desarrollarnos y seguir mejorando las próximas publicaciones para el beneficio de la sociedad.

DINAMICAm

Am or a Sofía

En la cinemática solo se describe el movimiento mecánico en base de elementos como la trayectoria, velocidad, aceleración, etc. Para esta descripción se requiere únicamente los conceptos de espacio y tiempo. Pero, además, es importante considerar las causas de ese movimiento:¿qué hace que se produzca y exista?, ¿qué principios o leyes rigen esas causas?

La dinámica estudia las relaciones entre el movimiento de los cuerpos y las causas que la producen. Para ello necesitamos añadir los conceptos de masa y de fuerza a los conceptos utilizados como espacio y tiempo.

Al estudiar el movimiento mecánico se concluye que este es el resultado de la acción (fuerza) que ejercen todos los cuerpos sobre el cuerpo en estudio. Es importante ver qué tienen en común las distintas acciones (fuerzas) y relacionarlas con los movimientos mismos.

Ello ha sido posible al descubrirse ciertos principios generales que rigen el movimiento de los cuerpos; estos principios son de la inercia, de la fuerza y de la acción y la reacción, los cuales son llamados también leyes de Newton, que fueron enunciadas por primera vez por Isaac Newton (1642-1727). En la obra Principio mathemotico philosophio noturalis, Newton sienta los fundamentos de la mecánica. Esta obra fue publicada entre 1685 y 1687, y consta de varios libros.

Aquellos principios son los cimientos no solo de la dinámica clásica, sino también de la física clásica en general. Newton afirmó que estaban basados en observaciones y experimentos cuantitativos; ciertamente no pueden derivarse a partir de otras relaciones más básicas. La validez de estos principios fue verificada en todos y cada uno de los casos durante más de dos siglos.

Lu m b r e r a s E d it o r es

LEYES DEL MOVIMIENTO MECANICO

Las relaciones entre la fuerza y el movimiento se estudiaron desde la Antigüedad. El filósofo Aristóteles afirmaba que un cuerpo solo podía conservar su movimiento si la fuerza que la origina actuase sobre ella continuamente; al cesar esta fuerza, el cuerpo volvería al reposo. Estas ideas surgieron de la experiencia cotidiana; por ejemplo, si se empuja una mesa que se encontraba en reposo, esta se mueve mientras aplicamos la fuerza, y al dejar de aplicarla, la mesa nuevamente alcanza el reposo. Además, para Aristóteles, en todo movimiento siempre existía un medio de resistencia como el aire o el agua, y creía que es imposible el vacío; por ello, no consideraba los medios sin resistencia. Las ideas de Aristóteles fueron aceptadas durante toda la Edad Media; sin embargo, las críticas a sus teorías surgieron con Galileo en el siglo xvu.

v=0

Galileo elaboró diversos experimentos de donde obtenía resultados diferentes a los expuestos por Aristóteles. Uno de estos experimentos consistía en aplicar una fuerza a una esfera en reposo, esta adquiría movimiento; luego al quitar la fuerza observaba que la esfera seguía en movimiento y recorría una cierta distancia antes de detenerse.Galileo dedujo que se frenaba debido al rozamiento entre la superficie y la esfera. Después hizo lo mismo pero en una superficie menos rugosa, observando que recorría una mayor distancia antes de detenerse. Galileo cada vez que pulía más la superficie en contacto lograba aumentar más esta distancia.

M-AT(l) > ^K{2)

v M*(i)

Al dejar de actuar la fuerza, la caja deja de moverse.

INERCIA

Los experimentos que elaboró Galileo lo llevaron a atribuir a los cuerpos una propiedad denominada inercia, por la cual todo cuerpo tiende a permanecer en su estado de reposo, y solamente por la acción de una fuerza podría salir de este estado; por otro lado, si un cuerpo está en movimiento sin que ninguna fuerza actúe sobre él o, en otras palabras, la fuerza resultante es nula, el cuerpo tiende por inercia a moverse con velocidad constante.Galileo fue el primero en mencionar que los estados de reposo y de velocidad constante son equivalentes; estas ideas las descubrió cuando viajaba por aguas tranquilas. En algunas ocasiones, al despertar no podía darse cuenta si estaba en reposo o en movimiento, a menos que mirara afuera de la nave pero luego descubrió que este hecho ocurría cuando la nave alcanzaba una velocidad constante.

12

V D in á m ic a

í PRIMERA LEY DE NEWTON

Para establecer las leyes del movimiento, Newton tomó como punto de partida los estudios realizados por sus antecesores, entre ellos Galileo; por consiguiente, la primera ley de Newton no es más que una síntesis de las ideas de Galileo con relación a la inercia. La primera ley de Newton, denominada también principio de la inercia, establece lo siguiente:

Todo cuerpo en reposo permanecerá en reposo o en movimiento uniforme en línea recta, a menos que sea obligado a cambiar ese estado por fuerzas que actúen sobre él.

Observemos algunos ejemplos relacionados con la primera ley de Newton.

Ejemplos

1. Un coche lanzado por una superficie horizontal

Luego de lanzar al coche, la fuerza (f ) deja de actuar, pero el coche sigue moviéndose debido a su inercia.

2. Una esfera lanzada hacia arriba

La esfera es lanzada mediante una fuerza (f ) adquiriendo velocidad; luego, la fuerza deja de actuar, pero la esfera sigue moviéndose por inercia. En este caso, la esfera cambiará su velocidad debido a la fuerza de gravedad.

3. Un joven con una bicicleta

El joven frena la bicicleta y esta se detiene, pero nada detiene al joven, quien sale volando tratando de conservar su movimiento (inercia).

13

Lu m b r e r a s Ed ít o r es •XvXv

% Nota

El 5 de febrero de 1676, Isaac Newton escribió una carta a su más acérrimo rival, Robert Ho- oke, la cual contenía la frase Si he logrado ver

más lejos, ha sido porque he subido a hombros

de gigantes (actualmente se cree que esta frase hacía alusión a la baja estatura de Hooke), presentada a menudo como un homenaje a los descubrimientos científicos de sus predecesores Galileo, Copérnico y Kepler. Esta frase se ha convertido en una de las más citadas de la historia de la ciencia. En efecto, Newton reconocía las contribuciones de aquellos hombres; algunas veces en público, otras veces en escritos privados.

LA MASA: UNA MEDIDA DE LA INERCIAAl empujar una caja vacía, esta adquiere movimiento; pero si estuviera llena de arena, no se movería con tanta facilidad. Una caja llena de arena ofrece una mayor resistencia (que una vacía) a cambiar su estado de reposo; ello significa que tiene más inercia.

El coche no se resiste a salir de su estado de reposo. ¡Presenta menor inercia!

Para cuantificar la inercia de los cuerpos introducimos una magnitud escalar denominada masa, también llamada masa inercial (para distinguirla de la masa gravitacional).La cantidad de inercia de un cuerpo depende de su masa; cuanto mayor sea la masa del cuerpo, mayor debe ser la fuerza para cambiar su estado de movimiento.En el sistema internacional, su unidad es el kilogramo, cuyo símbolo es kg.

MASA GRAVITACIONALNewton explica en su ley de gravitación universal que la caída de los cuerpos así como el movimiento de los planetas a través de la atracción entre los cuerpos o planetas se da debido a su masa, siendo mayor la atracción cuando mayor son las masas, esta masa se denomina masa gravitacional.

La ley formulada por Newton recibe el nombre de ley de gravitación universal, la cual afirma que la fuerza de atracción que experimentan dos cuerpos dotados en masa es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.Cuando los científicos actuales repiten el famoso experimento de Galileo, donde dos cuerpos de diferente masa se sueltan y llegan al mismo tiempo al piso, ¿qué significado le encuentran?

14

D in á m ic a

La leyenda dice que Galileo desarrolló sus ¡deas acerca de la caída libre al lanzar objetos desde la Torre de Pisa.

Concluyen que la masa inercial y la masa gravitacional son iguales.Con su principio de equivalencia, Einstein convirtió la observación de Galileo en el fundamento de la nueva teoría: la teoría general de la relatividad. Otra manera de enunciar el principio de equivalencia de Einstein es la siguiente:

La masa inercial y la masa gravitacional son iguales, y ningún experimento puede distinguir la una de la otra.

SEGUNDA LEY DE NEWTON

Cuando observamos los cuerpos en nuestro alrededor notamos que no todos se encuentran en equilibrio; por ejemplo, al viajar en bus, constantemente cambiamos de velocidad, es decir, aceleramos.

El auto al pasar por la curva cambia de dirección y, como consecuencia, la velocidad.

Cuando soltamos un objeto notamos que cae acelerando debido a la acción gravitatoria (causa), también notamos que es más difícil (oposición) cambiar de velocidad (acelerar) a un taxi que a un ciclista.

La segunda ley de Newton permite relacionar lo que da origen (causa) al cambio de velocidad (efecto) con la resistencia (oposición) a dicho cambio.

i»' .... "V-Y,:::;,-;..JÉ

k i t :'■ • • •........ • - ■

Al aplicar una fuerza a la bola de billar mediante el taco, esta cambiará de velocidad.

Por ejemplo en el juego de billar, mediante el taco se ejerce fuerza sobre las bolas, de tal forma que estas cambian de velocidad y experimentan aceleración. También en el juego de béisbol, al batear, la pelota cambia su velocidad y experimenta aceleración.

15

Lu m b r e r a s Ed it o r es

Luego de batear, el niño cambiará de dirección experimentando un cambio de velocidad.

Para establecer la segunda ley de Newton, consideremos una esfera en equilibrio suspendida de un hilo. ¿Qué sucede si cortamos el hilo?

í v=0fr=oo=0

K>

v=0 í ) I o

Av

Amor a Sofía Al estudiar diferentes casos se llega a establecerque cuando la fuerza resultante sobre un cuerpono es nula, el cuerpo experimenta aceleraciónen la misma dirección que la fuerza resultante.

ti Conclusión ..... ••••-•...............-.......

Toda fuerza resultante no nula origina una aceleración en su misma dirección.

0 F*

al

¿DE QUÉ DEPENDE EL MÓDULO DE LA ACELERACIÓN?Consideramos un bloque liso en reposo, al que se le ejerce fuerza de diferentes módulos.

v=0 o=0

fr=o (I)

Hm Fr* Oa± O

Luego

Al inicio, la esfera se encuentra en reposo debido a que la fuerza de tensión equilibra a la fuerza de gravedad. Luego, al cortar el hilo [T=0), la fuerza de gravedad no es equilibrada y la esfera cae acelerada por esta fuerza, que es la fuerza resultante sobre la esfera.

m Fr=F

Fr=2F (III)

16

D in á m ic a

De (I), (II) y (III) se establece que el módulo de la aceleración (a) depende en forma directamente proporcional del módulo de la fuerza resultante(FrY

a=K1FR (a)

La segunda ley de Newton establece que la aceleración depende en forma directamente proporcional de la fuerza resultante y en forma inversamente proporcional de la masa.

También

Ahora mantenemos constante la fuerza aplicada (f ) y aumentamos la masa.

mox=o

m ^m (I)

Luego

F 2/77o2=(a/2)

m2 = 2m (II)

De (I) y (II) se deduce que al aumentar la masa, la aceleración disminuye; entonces el módulo de la aceleración depende en forma inversamente proporcional de la masa.

a =m (P)

D e ( a ) y ( | 3 )

° = (K iK i)-'— v— ' mK

En el sistema internacional K= 1

Luego En general

Fro = — m

Fr = ma

APLICACIONES DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON

Dinámica rectilíneaTiene por objetivo estudiar el movimiento mecánico aplicando la segunda ley de Newton cuando el cuerpo describe una trayectoria rectilínea.

X

X

>FR =max

FR=mo

í * "ítiniiin nini

>Fr =1710 y

importante

Cuando la fuerza resultante es paralela a la velocidad, la trayectoria es una línea recta.

17

Lu m b r e r a s E d ito res

Dinámica circunferencialLos cuerpos, bajo ciertas condiciones, logran describir trayectorias circunferenciales, como por ejemplo el movimiento de un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra, o un niño que se encuentra en una silla voladora de un parque de diversiones.

Los satélites describen una trayectoria circunferencial en torno a la Tierra.

Los niños en la silla voladora describen trayectorias circunferenciales.

• Condición para que un cuerpo describa una trayectoria circunferencialComenzaremos estudiando una esfera atada a un hilo lanzada sobre una superficie horizontal lisa, tal como se muestra en la figura.

¿Qué sucede con la velocidad de la esfera?

En la siguiente figura se observa que la esfera al quedar atrapada por el hilo describe una circunferencia y, en todo momento, cambia de dirección; por consiguiente, la velocidad de la esfera cambia; ello significa que la esfera experimenta aceleración.

% Recuerde

La aceleración es originada por una fuerza resultante y presenta la misma dirección que esta.

¿Cuál es la fuerza resultante sobre la esfera?

Para determinar la fuerza resultante elaboramos el DCL de la esfera.

i ídUldlA (rad)

18

D in á m ic a

En la figura se observa que la fuerza de gravedad (f 9) se anula con la reacción (/?) de la superficie lisa; en la dirección tangencial al movimiento no hay fuerzas, ello significa que la rapidez de la esfera se mantiene constante. En la dirección radial al movimiento solo existe una fuerza: la fuerza de tensión (r), que es la fuerza resultante (f r ) sobre la esfera y da origen a una aceleración; esta aceleración se encuentra dirigida al centro de la circunferencia .y es denominada aceleración centrípeta (a=acp).

Observe que en todo momento la fuerza de tensión (r ) se encuentra dirigida al centro de la superficie.

¿Qué sucede si el hilo se rompe?

Observamos el siguiente gráfico:

Al romperse el hilo, la fuerza de tensión (t = o) que es la fuerza resultante {fr =o) dirigida al centro de la circunferencia deja de actuar, y la esfera ya no describe una circunferencia. La esfera sale lanzada (por inercia) por la superficie horizontal lisa describiendo una trayectoria recta.

........-...... -..— .-... Conclusión tf

Un cuerpo describirá un movimiento cir

cunferencial mientras exista una fuerza

resultante dirigida al centro de la circun

ferencia; a esta fuerza resultante se le

denomina fuerza centrípeta ( F Cp), que

da origen a una aceleración en su misma

dirección denominada aceleración centrí

peta ( a cp) .

Por ejemplo, un motociclista se inclina al pasar por una curva, que es parte de una circunferencia. Al inclinarse surge una fuerza resultante dirigida al centro de la circunferencia que le permite girar por la curva. Si el motociclista no se inclina, se caerá al pasar por la curva.

Al inclinarse el motociclista, la reacción del piso también se inclina, surgiendo un componente dirigida al centro.

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También para evitar que los vehículos vuel- DCL de la esferaquen al ingresar a altas velocidades en una curva se construyen las pistas con cierta inclinación; entonces se dice que estas pistas son peraltadas, y al ángulo de inclinación respecto a la horizontal se le denomina ángulo de peralte.

direccióntangencial

dirección radial

Aplicación de la segunda ley en la dirección radial

Para describir el movimiento circunferencial podemos aplicar la segunda ley de Newton en la dirección radial.

FCP m acP

Donde

Fcp = @ ©

¿Qué sucede si la superficie y la esfera son rugosas?

Ahora surge la fuerza de rozamiento que disminuye la rapidez de la esfera; por consiguiente en la dirección tangencial al movimiento existirá una fuerza resultante diferente de cero.

Descomponemos el movimiento en las direcciones tangencial y radial. En la dirección tangencial al movimiento se tiene una fuerza resultante (fK) que da origen a una aceleración tangencial. Como esta se encuentra en dirección contraria a la velocidad, la velocidad disminuye.

dirección/vista superior \ tangenda|

direcciónradial

Del gráfico, la aceleración de la esfera (o) tiene por componentes una aceleración centrípeta (a Cp)> que caracteriza el cambio de dirección, y una aceleración tangencial (a T), que caracteriza el cambio de rapidez de la esfera.

a = acp + aT

Multiplicamos cada término por la masa (m)

ma = macp + maT

Aplicamos la segunda ley de Newton

F r — F c p + F T

20

D in á m ic a

Conci usíon if

En un movimiento circunferencial, si la rapidez es constante, la fuerza resultante es la fuerza centrípeta, y la aceleración es la aceleración centrípeta.

F r = F Cp

a = ocp

En el movimiento circunferencial, si la rapidez

cambia, la fuerza resultante ( f r ) tiene por

componentes la fuerza centrípeta ( f Cp) y la

fuerza resultante tangencial \ F t) con sus res

pectivas aceleraciones.

ResoluciónPara determinar el módulo de la fuerza de tensión aplicaremos la segunda ley de Newton en la dirección radial donde se encuentra esta fuerza. Para ello primero elaboramos el DCL de la esfera.

r //// acp

T

v

direcciónradial

Ejemplo

En el instante mostrado, la esfera de 1 kg presenta una rapidez de 6 m/s. ¿Cuál es el módulo de la fuerza de tensión en dicho instante?

ig= 10 m/s2)

r= 3 m / 'Q

En la dirección radial

l~cp~™ cp

^ F (?) ~ ^ F , O) — ni)

T-m g=m

( 2 \J

V r )

V r y

Reemplazamos valores

r - ( i ) ( io ) = i

7=22 N

3 j

21

P PROBLEMAS RESUELTOS

N iv e l b á s ic o

PROBLEMA N.” I

En la figura, una esfera de 2 kg se mantiene en reposo suspendida de una cuerda de masa despreciable. Si cortamos la cuerda, ¿cuál es el módulo de la aceleración (en m/s2) que experimenta la esfera? Desprecie la resistencia del aire. ig= 10 m/s2)

A) 3B) 6

C) 8

D) 10E) 12

ResoluciónAl inicio, la esfera está en reposo ya que la fuerza de gravedad es anulada por la fuerza de tensión (Fr=0). Cuando cortamos la cuerda, esta ya no actúa sobre la esfera y ahora la fuerza de gravedad se convierte en la fuerza resultante (Fr^ 0), que acelera a la esfera.

v=0 iT

Aplicamos la segunda ley de Newtonf ro = — m (I)

Además, de la gráfica, FR=Fg=mg

En (I)mg

a = — -> a = g m

Por lo tanto, la esfera al quedar libre experimenta la aceleración de la gravedad. (gr= 10 m/s2)

CLAVE (D )

PROBLEMA N.° 2Al bloque de 4 kg que se encuentra en reposo se le aplica una fuerza (f ) de módulo 20 N, tal como se muestra. ¿Cuál es el módulo de la aceleración que experimenta el bloque (en m/s2)?

v=0liso

A) 3 D) 6

B) 4 C) 5 E) 8

ResoluciónPara determinar el módulo de la aceleración, aplicamos la segunda ley de Newton.

Foa = — m o)

22

D in á m ic a

La masa 4 kg es dato del problema, entonces se tiene que determinar la fuerza resultante; para ello graficamos las fuerzas que actúan sobre el bloque.

DCL del bloque

v=0 F

t r

mgz.liso

R

En Y, la Fgy R se anulan (mg=R).

En X, F no se anula (equilibra) con otra fuerza, es la única en X.-» Fr=F= 20 N

Reemplazamos valores en

20 N ma =--- = 5 —4 kg s

RecuerdeLa aceleración tiene la misma dirección que la fuerza resultante.

oII> o

F r F — m— X_______ — Éks

Clave (C

PROBLEMA N.° 3Indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F) respecto al movimiento que adquiere el bloque soltado. Desprecie todo rozamiento.

I. El bloque desciende de A hasta B por la acción gravitatoria.

II. A partir de B, la velocidad del bloque es constante.

III. En la superficie horizontal, el bloque se mueve debido a su inercia.

A) VVF B) VVV C) FFFD) FFV E) FVF

ResoluciónI. Verdadera

Al soltar el bloque, este resbala hacia abajo debido a una componente de la fuerza de gravedad.

v=0

*9

Fx: componente de la F , que acelera al bloque por el plano inclinado

23

Lu m b r e r a s Ed ito res

VerdaderaEn la superficie horizontal, la fuerza resultante es nula; entonces la velocidad del bloque es constante.

í~= Éi

; Fg y

lJí' R

VerdaderaEl bloque ingresa a la superficie horizontal con cierta velocidad; entonces por inercia trata de mantener esta velocidad.

CLAVE ( B

ResoluciónPara determinar el módulo de la aceleración, aplicamos la segunda ley de Newton.

fra = — m

(o

La masa de 4 kg es dato del problema, entonces se tiene que determinar la fuerza resultante; para ello graficamos las fuerzas que actúan sobre el bloque.

DCL del bloque

Y tFg=40 N

F= 28 N ---►

h h

En Y, la Fg y f n se anulan

-> fN=m9=40 N

PROBLEMA N.° 4El bloque de 4 kg se desplaza tal como se muestra en la figura. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el piso es 0,20, ¿cuál es el módulo de la aceleración (en m/s2) que experimenta el bloque? {g = 10 m/s2)

F= 28 N

A) 3 D) 6

B) 4 C) 8E) 5

Luego

Í k~ (M'/flZ/v

-> (0,20)(40) = 8 N

En X, F>fK, entonces la fuerza resultante es hacia la derecha y su módulo es

Fr=F-Ík-> 28-8=20 N

Reemplazamos valores en (I)

20 No =4 kg

= 5^-

Clave ( E

24

D in á m ic a

PROBLEMA N.° 5La esfera de 3 kg cae tal como se muestra en la figura. Si la resistencia del aire al movimiento de la esfera en todo momento tiene un módulo de 12 N, ¿cuál es el módulo de la aceleración (en m/s2) que presenta la esfera? (g=10 m/s2)

r> r^ c c\ T, á ,-s r .k, jv

A) 3 D) 6

B) 4 C) 8

E) 5

ResoluciónEl módulo de la aceleración lo determinaremos con la segunda ley de Newton.

Fro = — m (I)

La masa 3 kg es dato del problema. La fuerza resultante se calculará a partir del DCL de la esfera; en el DCL, RA es la resistencia del aire.

X

Y*

RecuerdeLa aceleración tiene la misma dirección que la fuerza resultante.

PROBLEMA N.° 6El bloque de 5 kg se desplaza tal como se muestra en la figura. ¿Cuál es el módulo de la aceleración (en m/s2) que presenta el bloque? Desprecie todo rozamiento.

A) 3

B) 4

C) 8

D) 6

E) 5

ResoluciónEl módulo de la aceleración lo determinaremos a partir de la segunda ley de Newton.

Fro =m (I)

La masa 5 kg es dato del problema; la fuerza resultante se calculará a partir del DCL del bloque.

DCL del bloque

En Y, Fg > Ra, entonces la fuerza resultante es vertical hacia abajo, y su módulo es

FR=Fg-RA=30-12=l& N

Reemplazamos valores en (I)18 N mo - --- = 6 —3 kg

Clave

Descomponemos F en X y Y

X

25

En Y, Fg>FY, entonces el bloque no asciende, manteniéndose apoyado en el piso donde surge la reacción del piso (/?). Se deduce que la fuerza resultante en / es nula FR = 0 .

En X, Fx no se anula (equilibra) con otra fuerza, es la única en X.-> Fr=Fx= 30 N

Reemplazamos valores en (I)

30 N

Lu m b r e r a s E d it o r e s S ¡ ' l ' s S

a =5kg

CLAVE

PROBLEM A N.° 7Un bloque es lanzado sobre una superficie rugosa tal como se muestra. ¿Después de cuántos segundos de su lanzamiento se detiene?

i/=20 m/s

vil \iK=0,25/•

A) 3 s D) 6 s

B) 4 s C) 8 s E) 5 s

ResoluciónEn el momento que es lanzado el bloque se le ejerce una fuerza que le comunica una velocidad de 20 m/s, pero luego esta fuerza deja de actuar, por ello que no se toma en cuenta en el análisis de fuerzas. El bloque se mueve porque trata de mantener su velocidad, es decir, se mueve por inercia. Para definir el tipo de movimiento, graficamos las fuerzas que actúan sobre el bloque.

iOl

v=20 m/s mg i/=0

— H— r) a

AÍ n

h B

En Y, no hay movimiento

aY~ 0 —> fr(y)=0 fN=mg -» fK=\iK(mg)

En X ,FR{x)=max (I)

Observe que, en X, la única fuerza que actúa sobre el bloque es la fuerza de rozamiento cinético; por consiguiente, esta es la fuerza resultante. Tenga presente que la aceleración tendrá la misma dirección que la fuerza resultante.

En (I)fK=ma

-> \xK(mg)=ma

Reemplazamos valores a=(0,25)(10) = 2,5 m/s2

Como la aceleración del bloque tiene un único valor (2,5 m/s2) y no cambia de dirección, es opuesta a la velocidad (hasta que el bloque se detiene), podemos afirmar que su aceleración es constante; y como sigue una trayectoria rectilínea, entonces describe un MRUV. Para determinar el tiempo aplicamos una ecuación del MRUV.

VB = VA~otAB(0) = (20)-(2,5 )tAB

••• tAB=&s

26

D in á m ic a

Recuerdev (aumenta)

Cuando las direcciones de la velocidad y de la fuerza resultante son iguales, la velocidad aumenta.

1/ (disminuye)

Cuando las direcciones de la velocidad y de la fuerza resultante son opuestas, la velocidad disminuye.

ResoluciónEl bloque luego de ser lanzado se mueve por inercia, y al comprimir al resorte, experimenta una fuerza resultante (Fe) que disminuye su velocidad.

mg * FfI f + / ( > V\Ib' y y iA A

1K

ImportanteCuando el bloque se lanza sobre una superficie horizontal rugosa, experimenta una aceleración contraria a su velocidad de módulo igual a

o= Vk9

a

Hat

Clave ( C

PROBLEM A N.° 8El bloque de 4 kg es lanzado sobre una superficie horizontal lisa. Determine el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque cuando comprime al resorte en x=30 cm.

K= 200 N/m

A) 10 D) 16

B) 5 C) 25E) 15

Utilizamos la segunda ley de NewtonKx f K ^

— o = — m m

El módulo de la aceleración es proporcional a la deformación (x).

Para x=30 cm=0,30 m

( 200o — (0,30)

o=15 m/s'

NotaEn algún momento, la fuerza elástica (FR) detiene completamente al bloque.

a v=0 f£------' /' —

max.

Luego, la fuerza elástica (FR) acelera al bloque hacia a la izquierda; note que el movimiento del bloque no es un MRUV, ya que el módulo de la aceleración no es constante, depende de la deformación.

C lave ( E

27


PROBLEMA N.° 9Un ascensor asciende con una aceleración constante de 8 m/s2. ¿Cuál es el módulo de la fuerza que ejerce el piso del ascensor al bloque de 2 kg? (g=10 m/s2)

PROBLEMA N.° 10El bloque de 5 kg se mantiene sin resbalar por el coche, que presenta una aceleración de 2 m/s2. Determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque.

---(jH

A) 8 N D) 12 N

B) 9N C) ION E) 15 N

A) 33 N D) 40 N

B) 36 N C) 38 N E) 45 N

ResoluciónPara determinar la fuerza del piso sobre el bloque [R), estudiamos al bloque; note que el bloque y el ascensor presentan la misma aceleración.

y*

X20 N I ío=!8 m/s'

Para que el bloque acelere hacia arriba R > mg, aplicamos la segunda ley de Newton en Y

FR=maR-20=(2)(8)

R = 36 N

ResoluciónPara determinar la fuerza de rozamiento estudiamos al bloque; como el bloque no resbala sobre el coche, la fuerza de rozamiento es estática, y como se encuentra fijo a él, ambos presentan la misma aceleración.

La fuerza resultante tiene la dirección de la aceleración. En la figura, las fuerzas verticales se anulan. La única fuerza que nos queda es la fuerza de rozamiento estático, entonces esta es la resultante y debe apuntar hacia la derecha.

Utilizamos la segunda ley de Newton FR=mo

fs={ 5)(2) fs= 10 N

Clave ( B Clave

m/s2

g

28

D in á m ic a

PROBLEMA N.° I ISi el coche experimenta aceleración constante de módulo 4 m/s , y se sabe que m = 2 kg, determine el módulo de la fuerza elástica que surge en el resorte. Considere que la longitud del resorte se mantiene constante. Desprecie todo rozamiento.

A) 4NB) 8 NC) 6 ND) 5 NE) 3 N

ResoluciónAl mantenerse constante la longitud del resorte, el bloque no se acerca ni se aleja de la pared del coche, de donde deducimos que los movimientos del coche y del bloque son iguales, es decir, presentan la misma velocidad y aceleración.

PROBLEMA N.° 12Los bloques lisos de igual masa no resbalan por el coche. Determine la aceleración que experimenta el coche. (g = 10 m/s2)

a

—

A) 5 m/s D) 25 m/s2

B) 10 m/s' C) 15 m/s2

E) 30 m/s2

ResoluciónAl no resbalar los bloques por el coche, se encuentran fijos a él experimentando su misma aceleración. Para determinar esta aceleración estudiamos a cada bloque.

mgA_„

a

T aB

mg

X

Usamos la segunda ley de NewtonFR=maFE=mo

Reemplazamos datos F £=(2)(4)

/. Fe= 8 N

_CLAVE ( b )

Bloque AFR=ma (segunda ley de Newton) T-mo (I)

Bloque B En X

FR (X )-mCIX

R2-mo (II)

29

Lu m b r e r a s E d it o r e s

En Y

aY= 0 —> Fr[Y) = 0

T=mg

(l) = (lll)

mo-mg

a-g - 10 m/s2

_Clave (§)

PROBLEM A N.° 13A un bloque de 3 kg se le ejerce una fuerza horizontal constante. Si este alcanza una rapidez de 10 m/s luego de 2 s, ¿cuál es el módulo de la fuerza aplicada? Desprecie el rozamiento.

i/=0

A) 20 N D) 35 N

Resolución

B) 30 N C) 15 N E) 40 N

Graficamos el movimiento del bloque según la información dada.


FR=ma

F=(S)a (I)

Calculamos o. Como F es constante, la aceleración es constante y la trayectoria es rectilínea, se tiene un MRUV.

vf=v0+at

10=0 + o(2)

—> o=5 m/s2

En (I)F= 3(5) = 15 N

CLAVE ( C

PROBLEM A N.° 14A partir del instante mostrado, el bloque recorre 8 m hasta detenerse. ¿Qué módulo presenta la fuerza de rozamiento, si esta es constante mientras el bloque desliza?Dato: m=3 kg

8 m/s

illi

El bloque acelera debido a F , que es la fuerza resultante.

A) 6 N

B) 12 N

C) 18 N

D) 20 N

ÜJ 24 N

t = 2 s

30

D in á m ic a

ResoluciónGraficamos lo que acontece.

8 m/s mg

£§{Q d ¡¡¡a/*l111 //V

v=0

PROBLEMA N.° 15A la tabla de 5 kg, en reposo, se le ejerce una fuerza de 20 N hacia la derecha. Determine el módulo de la aceleración (en m/s2) de la tabla, y qué sucede con el bloque de 2 kg. Desprecie todo rozamiento.

d= 8 m

El bloque se mueve debido a su inercia, pero va frenando debido a la fuerza de rozamiento, donde esta fuerza es la resultante.


FR=ma

A) 8

D) 5

B) 9 C) 4 E) 6

ResoluciónCalculamos la aceleración de la tabla.

fra = — m (I)

(I) DCL de la tabla

Calculamos a. Se menciona que la fuerza de rozamiento es constante, entonces la aceleración también lo es, siendo la trayectoria una recta, se tiene un MRUV.

v2f=v20-2ad

(0)2=(8)2- 2o (8)

0=4 m/s2

En (I)

fK=( 3)(4)

/*= 12 N

_ C lave ( S )

Fg(V) las fuerzasi ~- \ verticales sei■ ■ , v ' ' : F= 20 N i anulan1 * t 'v b-*

fr=F= 20 N

En (I)20 2 —» o = — m/s

.*. o=4 m/s2

ObservaciónLa masa considerada para el cálculo solo es de la tabla. Si bien es cierto que el bloque se encuentra sobre la tabla, su acción sobre esta queda indicada mediante la reacción /?1.

31


Para determinar qué sucede con el bloque, estudiamos las fuerzas que actúan sobre él.

DCL del bloque

F g ( B )

0

li

i»

11____

1 _

^

1 C

C

La fuerza resultante sobre el bloque es nula, además el bloque no acelera; entonces se mantiene en reposo mientras se encuentra en la tabla.

Clave (C

PROBLEMA N.° 16La fuerza (f ) que actúa sobre el bloque de 4 kg es constante. ¿Qué rapidez (en m/s) presenta el bloque luego de 2 s del instante mostrado?

5 m/sF= 30 N

\fl*=0,5

A) 8 m/s D) 14 m/s

Resolución

B) 9 m/s C) 12 m/s E) 10 m/s

Estudiamos el movimiento del bloque a partir de la segunda ley de Newton.

a = (I)

DCL del bloque

Y* F =40 N9 o

U , . 30N

/k XN

En Y, la Fg y f N se anulan

-> fN=mg=40 N

Luego//c=(M-/c)//v=(0/5)(40) = 20 N

En X, F >fK, entonces la fuerza resultante es hacia la derecha, y su módulo es

FR=F-fK=30-20=10 N

Reemplazamos valores en (I)10 N ma - --- = 2,5 —4 kg s

El bloque experimenta aceleración constante en una trayectoria rectilínea; entonces para hallar su rapidez aplicamos una de las ecuaciones del MRUV.

1/4=5 m/s f=2 s

vB=vA + ot

Reemplazamos valores vb=S + (2,S)(2)

v/Q = 10 m/s

m Clave ( E

32

D in á m ic a

PROBLEMA N.° 17

La fuerza (f ) que actúa sobre el bloque de 8 kg es constante. Si el bloque pasa por el punto A con una rapidez de 4 m/s y por el punto B con5 m/s, ¿cuál es el módulo de F? Desprecie todo rozamiento.

Como F y la masa son constantes, entonces la aceleración también lo es.

LuegoF-maF=(8)o (II)

—A » F------------ 1 ‘

d=3 m------

va=A m/s vR-S m/s

d=3 m B

A) 8 N B) 9 N C) 10 ND) 14 N E) 12 N

ResoluciónEstudiamos el movimiento del bloque a partir de la segunda ley de Newton.

m

DCL del bloque

Para determinar el módulo de la aceleración aplicamos una ecuación del MRUV.

v2B=v2A+2adAB

Reemplazamos valores (5)2 = (4)2+2o(3)

—> o = l,5 m/s2

En (II)F=(8)(l,5)

F= 12 N

_ C lave ( e )

En Y, la Fg y R se anulan.

En X, F es la única fuerza, entonces la fuerza resultante es hacia la derecha.

E" ( 0mi ' * * • •

Fa = — m

PROBLEMA N.° 18Determine el módulo de la fuerza constante necesaria (en N) para detener en 10 s un automóvil de 1500 kg de masa, que se desplaza a una velocidad de 20 m/s.

A) 1000 N B) 2000 N C) 3000 N D) 4000 N E) 5000 N

33


ResoluciónGraficamos el problema.

A) 48,4 m B) 36,2 m C) 64,5 m D) 52,5 m E) 72,2 m

At=10s20 m/s

Despreciando la fuerza de rozamiento entre las ruedas y el piso, la fuerza resultante es F.Usamos la segunda ley de Newton

FR=ma F=1500o (I)

El módulo de la aceleración se determina cinemáticamente. Considerando a las fuerzas como constantes y siendo una trayectoria recta, tenemos un MRUV.

vf=v0-at0=20-o(10)

o=2 m/s2

En (I)F=1500(o)

-> F=1500(2)

F=3000 N

PROBLEMA N.° 19A un bloque de 100 kg, en reposo, se le aplica una fuerza horizontal constante de 500 N para que se deslice sin fricción. Si al final del tercer segundo deja de actuar la fuerza, determine el recorrido del bloque luego de 5 s, contando a partir del momento en que se comienza aplicar la fuerza.

ResoluciónGraficamos el problema según el enunciado.

3 s 2 s

e = d AB + d BC (I)

De A hasta 6

Usamos la segunda ley de Newton FR=ma500 = (l00)o -» o = 5 m/s2

F

La rapidez al final del tercer segundo es vf =v0+a[t) vs=0+(5)(3) ve=15 m/s

CLAVE ( c ) Calculamos de dAB

d _ VA+VB a A B - \ l AB

d AB ~0 + 15 |(3) = 22,5m

A partir del tercer segundo, al dejar de actuar F, la resultante es nula, entonces la velocidad del bloque es constante, y este se mueve por inercia.

34

D in á m ic a

De v-vB

db c = v *bc

c/gc=15(2) = 30 m

Reemplazamos (II) y (III) en (I) 6=22,5 + 30

.*. e=52,5 m

Clave

De la figura del problema, F1 > F2. Entonces los bloques se mueven juntos hacia la derecha experimentando la misma velocidad y aceleración.

Segunda ley de Newton para el bloque m1

FR=ma —> F1-R=m1a (I)


FR=ma —> R-F2=m 2o (II)

PROBLEMA N.° 20Determine la reacción entre los bloques de masa m1=3 kg y m2=lkg. Considere que todas las superficies en contacto son lisas.

F1=10 N % i— F2=2 Ni 2

w ~ m - *m ’

A) 1N D) 4N

B) 2N C) 3N E) 5N

ResoluciónPara determinar la reacción (/?) entre los bloques, elaboramos el DCL de cada uno.

DCL de la m-,

De (l) + (ll)F\~F2 ={m1+m2)o (III)^ T v--- v--- 'a p (p

Reemplazamos valores en (III)(10)-(2) = (4 + 2)o o=2 m/s2

En (II)« - 2=1(2)

R=4 N

Clave (D

PROBLEMA N.° 21En la figura, los bloques son desplazados por una fuerza de módulo 36 N. ¿Cuál es el módulo de la fuerza de tensión en la cuerda que liga a los bloques? Desprecie el rozamiento.Datos: /d1=4 kg y m2 = 2 kg

iF= 36 N

A) 20 N D) 30 N

B) 24 N C) 28 NE) 32 N

35


ResoluciónPara determinar el módulo de la tensión (7), elaboramos el DCL de cada bloque.

DCL (m j

om ig

-

DCL (m2)

m2g7—

aF= 36 N -►

PROBLEMA N.° 22En la figura, los bloques son desplazados por una fuerza de módulo 42 N. ¿Cuál es el módulo de la fuerza de tensión en la cuerda que liga a los bloques? El coeficiente de rozamiento entre todas las superficies en contacto es 0,5.Datos: m1=4 kg y m2- 2 kg

m . - /T7-F=42 N

Los bloques experimentan la misma aceleración. Debemos tener presente que si los bloques aceleran horizontalmente, entonces las fuerzas verticales que actúan sobre ellos se anulan mutuamente.

Segunda ley de Newton para el bloque m1 FR=ma —» r=/?71o (I)


FR-mo —> F-T=m2a (II)

De (l)+(ll)

F = (m1+.m2)o (III)a

Reemplazamos valores en

36 = (4+2)o

—> a= 6 m/s2

En

7=4(6)

7=24 N

Clave ( B

A) 25 N D) 29 N

B) 26 N C) 28 N E) 30 N

ResoluciónPara determinar el módulo de la tensión (7), elaboramos el DCL de cada bloque.

DCL (m j DCL (m2)

a m2g a7 7 • F=

* i f«( 1)«2 fx(2)

Los bloques por la acción de la fuerza (f ) se desplazan hacia la derecha experimentando la misma aceleración.

Segunda ley de Newton para el bloque m1 F R=ma -> 7-//c(1)=m1o (I)

Segunda ley de Newton para el bloque m2 FR=ma F-T-fK[2) = m2o (II)

De (l)+(ll)

£-[/*(!) +/*(2) ] = (ml +m2)o (III)a

36

D in á m ic a

Reemplazamos valores en42-| (0,5)40+ (0,5)20J = (6)a

—> o=2 m/s2

En (I)7’-0,5(40) = (4)(2)

r= 28 N

m (1) (2)m 3

-i F=40 N

A) 5 N; 15 N B) 6 N; 20 N C) 3 N; 40 ND) 8 N; 30 N E) 3 N; 25 N

ResoluciónElaboramos el DCL.

Recuerde

Cuando los cuerpos se mueven como si fueran un único cuerpo, la segunda ley de Newton se puede aplicar en forma práctica según la siguiente ecuación:

a P ^

Dondea : suma de fuerzas que se encuentran en di

rección de la aceleración(3: suma de fuerzas que se encuentran en di

rección opuesta a la aceleracióncp: suma de las masasLas fuerzas que los cuerpos se ejercen (fuerzas internas) entre sí se anulan, por ello que no se consideran en la forma práctica.

_CLAVE (C )

PROBLEMA N.° 23En la figura, los bloques m1 y m3 son lisos. ¿Cuá- es son los módulos de las fuerzas de tensión en as cuerdas (1) y (2)? Considere que el coeficiente de rozamiento entre el bloque m2 y el piso es 0,5.Datos: /r?1 = 0,50 kg; m2=2 kg; m3 = 2,5 kg y

g=10 m/s2

Analizando todo el sistema, los bloques por la acción de la fuerza (f ) aceleran hacia la derecha. Determinamos la aceleración de los bloques aplicando la forma práctica de la segunda ley de Newton.

Las tensiones son fuerzas internas. Estas no se consideran.

F- fK (ir(ml + m2 + m3 ) ° ^

Reemplazamos40-(0,5)(20) = (0,5 + 2 + 2,5)o o = 6 m/s2

Ahora analizamos bloque por bloque.Segunda ley de Newton para el bloque m1

f R(i)=miO -> ^ = (0,5)6

rx=3 n

DCL (mx) DCL (m2) DCL (m3)

F=40 N

37


Segunda ley de Newton para el bloque m3FR[3)=m3a

-> 40-72 = (2,5)(6)

/. 72 = 25 N

_ C lave ( e )

ObservaciónAl estudiar el sistema, la única fuerza en dirección de la aceleración (o) es mBg. Note que las fuerzas de tensión se anulan, por ello no se consideran en la forma práctica de la segunda ley de Newton.

PROBLEMA N.° 24Los bloques son soltados en la posición mostrada. Determine la fuerza de tensión en la cuerda que une a los bloques. Desprecie todo rozamiento. (g=10 m/s2)

A) 6 N D) ION

B) 12 N C) 8 N E) 14 N

Forma práctica de la segunda ley de Newton

E f( ^ r r £ v « r ms°

mBg={m1 + m2)a

(3)10=(2+3 )a

—» o=6 m/s2

Segunda ley de Newton para el bloque A

FR(A) = mAa

T=( 2)(6)

7=12 N

_CLAVE ( B )

ResoluciónAl ser soltados, el bloque B jala al bloque A; como no hay rozamiento, el bloque A se moverá sin dificultad y lo hará en forma conjunta con el bloque B.Elaboramos los DCL de los bloques A y B

PROBLEMA N.° 25Determine la fuerza de tensión en las cuerdas(1 ) y (2), si los bloques son abandonados en la posición mostrada. Desprecie todo rozamiento.(g=10 m/s2)

mAg

“ l

38

%

D in á m ic a

A) — N B) — N C) — N3 7 3

D) — N E) — N3 7

ResoluciónElaboramos el DCL de cada bloque.

Observe que al ser abandonados los bloques, el 2 oque C desciende y el bloque B asciende, ya que m cg > m Bg.

-orma práctica de la segunda ley de Newton

S ^ ) - I V °)=ms0m cg - m Bg = (m c +mA+mB)o

30-10=(3 + 2 + l )a10 2—» a = — m/s 3

Segunda ley de Newton para el bloque C

F R(C) = m C °

30-7i= (3)^íp 7^=20 N

Segunda ley de Newton para el bloque AF R(A) = m Aa

2 0 - r 2=(2)j

r2=40/3 N

10 20 40-> T2 = 20---= — NL 3 3

Clave (C

ResoluciónEl bloque al ser soltado sobre el plano inclinado liso resbala acelerando; para determinar el módulo de la aceleración, elaboramos el DCL del bloque y luego aplicamos la segunda ley de Newton.

Para hallar la fuerza resultante descomponemos la fuerza de gravedad en una dirección paralela a la aceleración Xy en una dirección perpendicular a la aceleración /.

PROBLEMA N.° 26Un bloque de masa m se suelta en A. Determine el módulo de la aceleración que adquiere el bloque.

A) gB) gcosBC) g/3D) gsenOE) gtan0

39


En Y En X

aY- 0

Fr =0

ax = o

FR-mgsenQ


FR=ma

/hgser\Q= rña

ResoluciónAl soltar el bloque y despreciar el rozamiento, este desciende con una aceleración de módulo constante igual a

a-gsenQ (I)

/. a-gsenQ

Reemplazamos en (I)

a=( 10)sen30°

o=5 m/s2

Como la trayectoria que sigue el bloque es rectilínea y el módulo de su aceleración es constante, el bloque experimenta un MRUV.

CLAVE (Id) para determinar su rapidez en B, utilizamos una ecuación conveniente del MRUV.

v2b = v2a + 2 odAB (II)

RecuerdeCuando un cuerpo es soltado o lanzado por un plano inclinado liso, experimenta una aceleración de módulo.

o=gsen0

A) 6 m/s

B) 8 m/s

C) 10 m/s

D) 12 m/s

E) 15 m/s

Del gráfico

dAB= 10 m

PROBLEM A N.° 27Un bloque se suelta tal como se muestra en la figura. ¿Qué rapidez presenta en 6? Desprecie todo rozamiento. (g=10 m/s2)

Reemplazamos valores en (II)

l4=(0)2+2(5)(10)

vfi= 10 m/s

_ C lave ( c )

40

D in á m ic a

PROBLEMA N.° 28Un bloque se lanza por un plano inclinado liso. ¿En qué tiempo retorna al lugar del lanzamien-to? (g=10 m/s2)

A) 3 s D) 10 s

B) 6 s C) 8 sE) 12 s

Resolución_jego de ser lanzado, el bloque experimenta un MRUV con una aceleración de módulo igual a

o=gsen0 (I)

Calculamos t2

Como el bloque experimenta un MRUV

Por lo tanto, el tiempo en que retorna es

Clave ( B

t=t1 + t2 = 6 s.

PROBLEMA N.° 29Un bloque de masa m desciende por un plano inclinado rugoso tal como se muestra. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano es ¡li , determine el módulo de la aceleración del bloque.

A) gsenQB) la^gsenGC) g^nO-j^os© )D) g(cos0-,Li^sen0)E) g^senG-u^senO)

Reemplazamos en (I)

o=(10)sen53°

o=8 m/s2

Calculamos de ti

VB = VA~0t i0 = 24-8t1

t1 = 3 s

ResoluciónPara determinar el módulo de la aceleración del bloque, aplicamos la segunda ley de Newton.

FR=mo (I)

Para hallar la fuerza resultante, elaboramos el DCL del bloque.

41

Lu m b r e r a s Ed it o r es si

Ahora en forma conveniente descomponemos las fuerzas.

NotaCuando el bloque asciende, el módulo de la aceleración es

o=g(sen0+¡lí^ osB)

mgcosQ

Clave ( £ )

En Y

oY= 0

-> fN=mgcosQ (II)

En X

ax~aFR(x)=m9cosQ-fK

Luego

FR(x)=m9senQ-Vi<fN

De (II)

FR(x)-mgsenQ-nK(mgcosQ)

En (I)

mgser\0-\iKmgcosQ=ma

—» a=gsenQ-¡xKcosQg

o=(sen0-¡i/(cos0)g

PROBLEMA N.° 30Un bloque se lanza con una rapidez de 30 m/s por un plano inclinado rugoso tal como se muestra. Determine luego de cuántos segundos retorna al lugar de lanzamiento. (g = 10 m/s2)

A) (3 + V7) B) (1 + V7) C) (2 + VÍ5)

D) (3 + V ñ ) E) (3 + V I5 )

ResoluciónCuando el bloque asciende sobre el plano rugoso, experimenta una aceleración de módulo

a1={ser\Q+[iKcosQ)g (a)

42

D in á m ic a

u=0

Reemplazamos valores en (a)

° i =( l ìsen53°+ - eos53°v 3 J

(10)

o1=10 m/s

-Jicamos las ecuaciones del MRUV

VB = VA~a lh 0 = 30-(10)f1

(I)

Reemplazamos

° 2 =( l ìsen53°- - cos53°v 3 J

(10)

a2=6 m/s"

v/=0

Aplicamos una ecuación del MRUV para el tramo BA.

1 2dBA = vef 2 + ~ a 2 f2

's^bién

V 2

implazamos

^30+0 N2 ;

(3)

^A8~45 m

rdo el bloque desciende, experimenta una eración de módulo

-- = (sen0-|ii/(-cos0)g

Reemplazamos (II) y (III)

45 = (8)t2 + i(6 )t|

El tiempo de retorno est=t1 + í2

De (I) y (IV)

t = { 3 + V l5 )s

(IV)

Clave (E

43

Lu m b r e r a s E d it o r es IB

PROBLEMA N.° 31Si el sistema mostrado es dejado en libertad, determine el módulo de la tensión en la cuerda (1). Datos: mA=mB-2mc-2 kg; g=10 m/s2

A) 2 NB) 4 NC) 6 ND) 8 NE) ION (D s

ResoluciónEstudiamos al bloque C para determinar el módulo de la tensión en la cuerda (1).Para determinar si el bloque C acelera o no es necesario analizar los demás bloques.DCL del bloque C

1 kg

„10 N

Estudiamos los bloques sin separarlos.La fuerza de gravedad en el lado izquierdo es mayor que en el lado derecho, entonces los bloques aceleran en las direcciones indicadas.

Usamos la segunda ley en forma práctica

Y j F = m r a(->o) (<— a)

[10 + 20]-[20] = (2 + 2 + l)o

—> o=2 m/s2

DCL del bloque C FR=maio —r1=(i)(2)

T-i

a

10 N7^=8 N

_CLAVE (5)

PROBLEMA N.° 32

Luego de soltar el bloque A de 30 kg, calcule el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque B de 20 kg. (g=10 m/s2)

9

A) 0,2 D) 1

B) 0,4 C) 0,6

E) 0,8

ResoluciónEstudiamos los dos bloques a la vez (sistema) y descomponemos la fuerza de gravedad del bloque/*.

44

D in á m ic a

Resolución

9 componente de la fuerza de gravedad del bloque A es mayor que la fuerza de gravedad del bJoque 6; entonces los bloques aceleran en las direcciones indicadas.

Segunda ley de Newton en la forma práctica

(o) (o)

240-200 = (20 + 30)o

0=0,8 m/s2

Clave ( E

Estudiar a la grúa para determinar su aceleración no conviene, debido a las fuerzas desconocidas que actúan sobre ella. Por otro lado se puede observar que, al mantenerse constante el ángulo 0, la distancia entre la esfera y la plataforma de la grúa no cambia; ello nos indica que ambos experimentan la misma aceleración. Ahora, al actuar menos fuerzas, es conveniente estudiar a la esfera.

DCL de la esfera

m g i

0 :

En X

F R(X) = m a X

7sen0 = mo

XTsenO

(O

En YPROBLEMA N.° 33Calcule la aceleración (en m/s2) que experimen- »te grúa, si el ángulo 0 que forma la cuerda con b vertical se mantiene constante. (g=10 m/s2)

A* 3,5m 6,5

B) 7,5 C) 4,4E) 5,58

O y~~ 0

F R(Y) =

7cos0=mg (N)

Dividimos (l)-MII)

sen0 ma n a----= — —> tan0 = -cos0 mg g

—> o=gtan0


°=10n(4)

.-. o = 7,5 m/s2

45


NotaLa aceleración de un móvil se puede determinar midiendo el ángulo 0.

o=tan0

Cuando la velocidad es constante, el ángulo 0 es nulo.

v=cte.

Cuando la cuerda se desvía hacia delante de la vertical, el móvil desacelera.

o=tan0

Clave ( B

PROBLEMA N.° 34Se tienen dos bloques que comprimen a un resorte tal como se muestra en la figura. Si los bloques son soltados, determine el módulo de la aceleración del bloque A cuando el bloque B experimenta una aceleración de módulo 4 m/s2. Desprecie todo rozamiento.Datos: mA=1 kg; mB-2 kg

A) 2 m/s" D) 8 m/s"

B) 4 m/s" C) 6 m/s2 E) 9 m/s2

ResoluciónAl soltar los bloques, el resorte (comprimido) empujará a cada bloque acelerándolos.

DCL (fl) DCL (A)

aB-A m/s2 aA

resortecomprimido

\ ™a9

i v y i

V 'R aPara ambos bloques la fuerza resultante es FE.

Utilizamos la segunda ley de Newton• Bloque A

FR- mA°A

FE=[l)aA

Bloque B

' Ff=(2)(4) = 8 N

Reemplazamos (II) en (I

8=(1 )aA

aA=8 m/s2

(I)

(II)

Clave (D,

46

D in á m ic a

PROBLEMA N.° 35En el instante mostrado, el resorte se encuentra estirado en 40 cm. Determine el módulo de la aceleración de cada bloque (en m/s2). Desprecie el rozamiento.Datos: mA=A kg; mB= 10 kg

K= 100 N/m

A) 10; 2 B) 5; 2 C) 3; 1D) 10; 4 E) 8; 4

ResoluciónEl resorte al encontrarse estirado jala a ambos bloques.

Sobre cada bloque la fuerza resultante es la fuerza elástica.

Ff =40 N

• Bloque A

FR=mAaA

40=(4 )aA

aA=10 m/s2

• Bloque BFR^mBaB

40=10 aB

aB=4 m/s2

_C la ve (5)

PROBLEM A N.° 36Un bloque de 2 kg se encuentra en reposo en una superficie horizontal lisa tal como se muestra en la figura. ¿Cuáles son el módulo y la dirección de la fuerza constante que se les debe aplicar para que pase por el punto P con una rapidez de 2 m/s?

40 cm p

A) 6 N; 37° B) 8 N; 37° C) 6 N; 53°D) 8 N; 53° E) 10 N; 45°

ResoluciónCuando un cuerpo se encuentra en reposo y sobre él existe una fuerza resultante diferente de cero, su trayectoria será en la dirección de la fuerza resultante.

47


Utilizamos la segunda ley de Newton FR-ma

F=(2)o (I)

Como el bloque sigue una trayectoria recta y la aceleración es constante, entonces describe un MRUV.

vp=yi+2adApdad— 1/2 m

(2) -2(o)(l/2)

a- 4m/s/

En (I)

F= 2(4) = 8 N

F = 8 N; 37°

Clave ( B

ResoluciónPara determinar la fuerza de la cadena sobre el bloque, debemos tener presente que ambos se desplazan con la misma aceleración.

DLC (bloque)

o

c—>■---

//Vi

DLC (cadena)

mcga

F= 30 N

fNl


• Para el bloque

FR(B) = m (B)a

Fc=(8)o (I)

PROBLEMA N.° 37Determine el módulo de la fuerza que la cadena de 2 kg de masa ejerce sobre el bloque de 8 kg. Considere que la cadena permanece apoyada en el piso liso.

*—~ T- -.-■■yF=30 N

Para la cadena

F R(C) = m (C)°

(30-Fc) = (2)o

De (l)+(ll)

30=(10)o

—> o=3 m/s2

(II)

A) 20 NB) 34 NC) 24 ND) 36 NE) 28 N

En (I)

Fc=(8)(3)

/. FC=24N

Clave ( C

48

PROBLEMA N.° 38Un bloque es lanzado sobre un plano inclinado liso, de modo que en A y B sus rapideces son 2v y v, respectivamente. Si desde A hasta B emplea 2 s, determine v. (g=10 m/s2)

A) 12 m/s 9) 18 m/s

Resolución

B) 14 m/s C) 16 m/s E) 20 m/s

í bloque luego de ser lanzado sigue ascendien- 13 debido a su inercia. Pero ¿qué tipo de movi- -*ento describe el bloque en su ascenso? Para -esoonder debemos recordar que las fuerzas >:ore un cuerpo determinan si este mantiene : varía su velocidad (segunda ley de Newton).- ;ontinuación hagamos el diagrama de cuerpo

del bloque.

gráfico se aprecia que sobre el bloque hay _ r a fuerza resultante no nula (FR=mgsena), la

nace que disminuya su rapidez.

D in á m ic a


/fígsenaAmor a Sofía

f ra = — ~ m /ti

—> o= g -senacté. «e.

Se deduce que la aceleración es constante y la trayectoria, rectilínea; por lo tanto, el bloque describe un MRUV.

Aplicamos la cinemática para el tramo AB

vB= v A - o t AB

\/=2i/-a(2)

v=2a (I)

Se obtuvo

a=gsena; donde g=10 m/s2ya=53°

a=10sen53°

—> o=8 m/s2

Reemplazamos en (I)

v=2(8)

/. i/=16m/s

Clave ( C )

PROBLEMA N.° 39Calcule el módulo de la fuerza que ejerce el bloque [m=2 kg) sobre la caja (M=3 kg).Dato: F=15 N

A) 1N

B) 2NC) 3ND) 4NE) 5N

49


ResoluciónEl módulo de la fuerza del bloque sobre la caja (/?) es igual al módulo de la fuerza de la caja sobre el bloque (/?)Para hallar este módulo analizamos todo el conjunto sin separarlos.

DCL del sistema

o

FB

mg '')m

'VMg

//v

M

Graficamos solo las fuerzas externas.

Aplicamos la segunda ley de Newton FR=mso F=[m+M)a

15=(3+2)—» o=2 m/s2 O)

Para determinar la fuerza de la caja sobre el bloque separamos estos dos cuerpos.

R es la fuerza de la caja sobre el bloque.


De (I)/?=( 2)(2)

.-. /?=4 N

_CLAVE (6)

PROBLEMA N.° 40Si Ra y Rb son las reacciones entre los bloques m y M para los casos A y B, respectivamente, calcule la relación RA/RB. No tome en cuenta el rozamiento (M > m).

Caso A Caso B

A) 2m/M B) M/mD) 2M/m

C) m/M E) m/2M

ResoluciónHagamos la separación imaginaria de los bloques.

Caso A

Mg mg

De la segunda ley de Newton

n _ FR _ _ F RA aA - - -masa m M

H * * * (i)

Caso B

Mg

50

D in á m ic a


°B =_ Rb _ F ^B

masa M m

Igualamos (I) y

F ={ M >*A =

m ^— + 1 — + 1V m ) Km J

JS/hrfn*A =

( JpO^rtíÁ

m J K M

Rc

Re

Rb M

(II)

Clave

eje -- tangencial

centrot

7=70 H y

m g-A O N

eje radial

RecuerdeLa fuerza resultante hacia el centro de la circunferencia es conocida como fuerza centrípeta (Fcp).

PROBLEMA N.° 41Lna esfera de 4 kg, unida a una cuerda, gira des- irbiendo una circunferencia. Si en el instante en ^ue la cuerda se encuentra de manera vertical la cisión es 70 N, calcule el módulo de la fuerza centrípeta en dicho instante. (g=10 m/s2)

Luego

FCP=70-40

Fcp=30 N

Clave

a 30 N : 70 N

B) 40 N C) 50 NE) 110 N

ResoluciónófHíicamos las fuerzas sobre la esfera cuando la z .e rda se encuentra vertical.

PROBLEMA N.° 42En el instante mostrado, la tensión en la cuerda es 70 N. Si la masa de la esfera es 4 kg, determine el módulo de la fuerza centrípeta en dicho instante. (g=10 m/s2)

A) 30 N

co 40 N

C) 50 ND) 70 N

LU 110 N

51


ResoluciónGraficamos la fuerza sobre la esfera.

eje _. tangencial

mg=40 N

7=70 N ''

centro

eje radial

El módulo de la fuerza centrípeta (Fcp) es

Fcp=40 N+70 N

/. Fcp = 110N

Clave ( E

ResoluciónLa fuerza centrípeta (Fcp) es la fuerza resultante que se dirige hacia el centro de la trayectoria circunferencial.

O

En la parte más baja de la trayectoria se tieneFcp=30-mg

50 = 30-m(10)

m = 2 kg

Clave B

PROBLEMA N.° 43Un pequeño bloque de masa m resbala sobre una superficie cilindrica lisa. Si en la parte más baja el módulo de la fuerza que la superficie le ejerce al bloque es 30 N, y el módulo de la fuerza centrípeta es 50 N, calcule m. ig=10 m/s2)

PROBLEMA N.° 44Una partícula de masa de 0,5 kg, conectada a una cuerda indeformable, se mueve con una rapidez constante de 6 m/s en una trayectoria circular de 1 m de radio en un plano vertical. Además, Ta y Tb son los módulos de las tensiones en la cuerda cuando la partícula se encuentra en los puntos a y b, respectivamente. La diferencia Tb-Ta, en N, es (g=9,81 m/s2)

A) 1 kg D) 4 kg

B) 2 kg C) 3 kgE) 5 kg

A) 7,8 N.

B) 8,8 N.

C) 9,8 N.

D) 10,8 N

LU 11,8 NUNI 2010-11

52

D in á m ic a

Resolución’ os piden Tb-Ta. La partícula desarrolla un MCU; por tal motivo, los módulos de la fuerza centrípeta enoyí ) son ¡guales.

-uego

’<M So)Tb-mg=Ta+mg

Tb-Ta=2mg

Reemplazamos datos 7fa- Io=2(0,5)(9,81)

- Tb-Ta= 9,8N

Clave (C

PROBLEMA N.° 45jr\ joven se mueve en una superficie horizonte cescribiendo una trayectoria circunferencial mn rapidez constante. ¿Cuál de los esquemas -rostrados representa la velocidad y la aceleráis*n del joven?

ai ; — v\ / s /

\v

c) {

b ) ;

D) - V — E) ;

ResoluciónEl joven al moverse en una trayectoria circunferencial con rapidez constante realiza un MCU. En consecuencia, el joven presenta una aceleración que en todo instante apunta hacia el centro de la circunferencia, es decir, la aceleración es centrípeta (ocp),

a-a; £ v

Observación

Cabe destacar que en un MCU, sobre el cuerpo solo hay fuerza resultante dirigida hacia el centro de la circunferencia, es decir, sobre el cuerpo únicamente hay fuerza centrípeta (Fcp).

Clave (C

53


PROBLEMA N.° 46Determine el módulo de la fuerza centrípeta en el instante mostrado. Considere que la esfera es de 4 kg, y la tensión en dicho instante es 70 N.

= 10 m/s

A) 10 N

B) 20 NC) 30 N

D) 40 N

E) 50 N

Fcp=70N-20N

Fcp=50 N

_ C l a v e ( e )

PROBLEMA N.° 47El módulo de la fuerza que la superficie esférica le ejerce a la esfera de 5 kg al pasar por P es 50 N. Calcule el módulo de la fuerza centrípeta en P. (g=10 m/s2).

ResoluciónGraficamos las fuerzas sobre la esfera.

t11 O

A) 20 N

B) 30 N

C) 50 N

D) oo o N

LU 100 N

Ahora descomponemos la fuerza de gravedad en los ejes radial y tangencial.

Resolución

eje radial I7 ig = 40 N

La fuerza centrípeta es la resultante de las fuerzas en el eje radial, que además apunta hacia el centro de la circunferencia.

RecuerdeLa fuerza centrípeta (Fcp) es la fuerza resultante que apunta hacia el centro de la circunferencia por donde pasa la esfera.

Empecemos graficando las fuerzas sobre la esfera.

54

D in á m ic a

ResoluciónGraficamos las fuerzas sobre la esfera en A.

Ta=90 Nív'37®¡

mg=50 N

TA=9 0 N / ^

40 N

De acuerdo al gráfico, en P Fcp=50 N + 30 N

Fcp=80 N

Clave

Entonces el módulo de la fuerza centrípeta en A es

Frn = 90 N-40 NcpA

Frn =50NcpA

Ahora en B

PROBLEMA N.° 48La tensión en la cuerda cuando la esfera pasa oor A es 90 N. Si el módulo de la fuerza centrípeta en B es el doble de la fuerza centrípeta en A, determine la tensión cuando la esfera pasa por B.

Datos: m = 5 kg; g=10 m/s2

y s 7° ^ \¡53°\

A) 30 N D) 120 N

B) 60 N

y B

C) 90 NE) 130 N

mg=50 N

ejetangencial

\ <; \ 30 N\ < A" \ f '

'\mg=50 N eje radial

El módulo de la fuerza centrípeta en B es

FcPb=Tb- 30

2 ^ = Te-30

2(50) = Tb-30 100 = 7g-30

re=130N

Clave ( E

eje tangencial

La fuerza de gravedad se ha descompuesto en los ejes radial y tangencial.

55


PROBLEMA N.° 49La esfera de 4 kg, unida a una cuerda, se mueve en una circunferencia. Si la tensión cuando la cuerda está en vertical es 70 N, determine el módulo de la aceleración centrípeta. (g=10 m/s2)

A) 3,5 m/s2 B) 4,5 m/s2 C) 5,5 m/s2D) 7 m/s2 E) 7,5 m/s2

PROBLEMA N.° 50En el instante cuando la esfera lisa pasa por su posición más baja, la superficie circunferencial le ejerce una fuerza, cuyo módulo es el triple de la fuerza de gravedad de la esfera. Calcule su rapidez en dicho instante.Datos: r- 80 cm; g=10 m/s2

A) 1 m/sB) 2 m/sC) 3 m/sD) 4 m/s

LU 5 m/s

ResoluciónNos piden ocp.

Se tiene

ocp

7=70 N

mg=40 N

Usamos la segunda ley de Newton para el instante mostrado

Fcp = m acp70-40=4o

30=4ocp

c p

ocp=7,5 m/s"

Clave ( E

Nos piden la rapidez v.En la posición más baja, usamos la segunda ley de Newton.

mvcp

3mg-mg= mv 2 /fig = jrí v¿

2g = —— -> 2(10) = — r 0,8

v 2 = 16

v=4 m/s_ C L A V E ( D )

ResoluciónHagamos el DCL de la esfera en su posición más baja.

O (centro)

eje tangencial ?=3 mg

ieje radial

56

D in á m ic a

PROBLEMA N.° 51La esfera de 4 kg describe una circunferencia. Si en la parte más alta la tensión es 70 N, determine los módulos de las aceleraciones centrípeta y tangencial en dicha posición. (g=10 m/s2)

En el eje tangencial

Fj-moj0 =4orNo hay fuerza resultante en el eje tangencial.

/. 0T= 0

_CLAVE ( e )

A) 203 m/s ; 1 m/s

B) 10,5 m/s2; 5 m/s2

C) 25,5 m/s2; 3 m/s2

D) 27,3 m/s2; 2 m/s2

E) 27,5 m/s2; 0 m/s2

Resolución

Nos piden acp y aT.Graficamos las fuerzas sobre la esfera.

eje - - tangencial

mg=40 N

7=70 n \

centro

eje radial

PROBLEMA N.° 52En el instante mostrado, el bloque liso de 5 kg presenta una aceleración centrípeta de 10 m/s2. Calcule el módulo de la fuerza que la superficie esférica le ejerce al bloque en dicho instante. (g=10 m/s2)

A) 5 NB) ION

C) 15 N

D) 25 N

E) 75 N

ResoluciónHacemos el diagrama de cuerpo libre sobre el bloque.

En el eje radial

Fcp = m acp40+70=4o

110=4oc p

CP

acp=27,5 m/s"

57


Por otro lado se descompone la fuerza de gravedad en los ejes radial y tangencial.

mg=50 N


Fcp = m acp

R+40=5x10 fl+40=50

R= ION

_ C lave ( b )

ResoluciónComo la esfera describe una circunferencia, entonces existe una fuerza resultante dirigida al centro de la circunferencia denominada fuerza centrípeta, que se determina por la segunda ley de Newton.

FR=ma -> Fcp=macp

acp R

Luego

Fcp =(0,5)(6)2

Fcp=9N

Clave ( B

PROBLEMA N.° 53En la posición P, determine el módulo de la fuerza centrípeta que experimenta la esfera de 0,5 kg.

PROBLEMA N.° 54En el instante mostrado, la fuerza centrípeta sobre la esfera de 1 kg es 32 N. ¿Cuál es su rapidez para dicho instante?

A) 6ND) 12 N

B) 9N C) IONE) 14 N

A) 2 m/s D) 8 m/s

B) 4 m/s C) 6 m/sE) 10 m/s

O,

R=2 m X

58

Resolución_a fuerza centrípeta se determina según la siguiente ecuación:

Fcp~^^cp

* ................................................................ D in á m ic a

Fcp=m R

PROBLEMA N.° 55Sí en el instante mostrado la reacción de la su- □erficie es tres veces la fuerza de gravedad de la esfera, ¿qué rapidez presenta la esfera?(g=10 m/s2)

A) 2 m/sS) 2V5 m/sC) 2V1O m/sD) 3V5 m/sE) 8a/5 m/s

Utilizamos la segunda ley de Newton

Fcp~m acp

4/ríg = M —R

v2=4Rg=4(l)(10)

v = 2 VlO m/s

Clave (C

PROBLEMA N.° 56En el instante mostrado, la reacción de la superficie es la mitad de la fuerza de gravedad. ¿Cuál es la rapidez de la esfera?

A) yfgR

B) s¡2gR

C)

D)

E)

Resoluciónla esfera experimenta una fuerza resultante dirigida al centro de la circunferencia, la cual denominaremos fuerza centrípeta ( FCp).

ResoluciónDCL de la esfera

mg

Lu m b r e r a s Ed it o r e s


Fcp m o cp

m g-R=m ■R

mg vmg----= m —2 R

i/ = IgRí t

Clave ( C

PROBLEMA N.° 57Para el instante mostrado, calcule el módulo de la fuerza de rozamiento sobre la esfera de 2 kg, si esta presenta una rapidez de 10 m/s.

A) 20 N

B) 30 N

C) 40 N

D) 50 N

LU 60 NR=2 nrf

ResoluciónLa fuerza de rozamiento se determina según la siguiente ecuación:

/k'-Mk/a/

DCL de la esfera

á

ocp

(O

Kmg = 20 N

//v

fx

Como la fuerza normal es la fuerza centrípeta

Fc p = m ° cp

fN =m' ~

f\i -(2)-

R(10?(2)

fN= 100 N

En (I)fK=( 0,5)(100)

/^=50 N

Clave ( D

PROBLEMA N.° 58La esfera de 2 kg se mueve en el plano vertical, y cuando pasa por P, el dinamómetro indica 40 N. Calcule la rapidez en dicha posición. (g=10 m/s2)

A) y¡2 m/s

CQ yfs m/s

C) y¡5 m/s

D) V7 m/s

LU VlO m/s

ü ü

?=0,5 m

ResoluciónGraficamos las fuerzas sobre la esfera cuando pasa por P.

Tr=í=0,5 m

7=40 N .

} mg=20 N

60

D in á m ic a

Usamos la segunda ley de NewtonFcp macp

40-20 = 2-i/

20 =2Z0,5

220=4u v/2 = 5

\ v = y[5 m/s

Clave (C

PROBLEMA N.° 59Halle el ángulo a si el peso es igual a la tensión de la cuerda y tiene una velocidad de 15 m/s en el instante mostrado.

A) 30° y//B) 40°

////C) 60°

111lD) 16°

\\\\E) 74°

N

UNALM 2004-11

Resolución

eje tangencial mg eje radialV / . N /

' ' < ''

i descomponemos / la fuerza de gravedad

En el instante mostrado, la fuerza centrípeta es Fcp=mg+mg senoc

/fn/2

15115

= /ñg + jríg sena

= 10 + 10sena

15 = 10 + 10sena —> 10sena=5

sena. = - 2

a=30°

Clave (A,

PROBLEMA N.° 60Determine la rapidez de la esfera de 2 kg en el ins-

Graficamos las fuerzas sobre la esfera. (g== 10 m/s

_____w V imgA) 60 m/s

T=mg /i JL %\ B) 40 m/s

XaH *1---\\ C) 20 m/s

R-15 m;\ / s /\ / D) 10 m/s\N * E) 8 m/s

R=2 m •

61


ResoluciónComo la esfera describe parte de una circunferencia, aplicamos la segunda ley de Newton en la dirección radial.

v* J A' ■ - I L * :

7 > mg

mg

Fcp m a cp

—» T-mq = m —R

v2120-2(10) = (2)- — (2)

/. v/= 10 m/s

CLAVE (D

PROBLEMA N.° 61Calcule la rapidez de la esfera en el instante mostrado, si la lectura de la balanza es 30 N.Datos: m=1 kg; g = 10 m/s2

Mi

i/=0

R=1 m

m

A) 2-v/lO m/s B) 4>/l0 m/s C) 5^2 m/s D) 6 m/s E) 8V2 m/s

ResoluciónPara la esfera de masa m, usamos la segunda ley de Newton

t r\tx

( \ v2-> r- io = (i)- ——(1)

FCp macp

v -T-10

mg= 10 N

(I)

Para el bloque de 8 kg en reposo

fN+T= 80

30 + 7=80

7=50 N80 N

r (lectura de la balanza)

En (I)

/ = (50)-(10)

i/ = 2a/i 0 m/s

Clave (A

PROBLEMA N.° 62El bloque de 0,5 kg describe una trayectoria circunferencial. Si este al pasar por P experimenta una fuerza de rozamiento cinético de 10 N, calcule el módulo de la aceleración centrípeta en dicho punto. Datos: g = 10 m/s2; ^=0,5

A) 12 m/s2B) 22 m/s2C) 32 m/s2D) 42 m/s2E) 50 m/s2

62

D in á m ic a

ResoluciónGraficamos las fuerzas que actúan sobre el bloque en la posición P.

N

PROBLEMA N.° 63El coche de 500 kg inicia su movimiento experimentando un MCUV. Si su rapidez cambia a razón de 2 m/s en cada segundo, ¿cuál es el módulo de la fuerza centrípeta que experimenta luego de 4 s de iniciado su movimiento? Considere que el radio de la circunferencia es 32 m.

^abajamos en los ejes radial y tangencial

mg- 5 N

puede calcular la normal (/V)

10=0,5fN f N = 20 N (O

v-ora en el eje radial aplicamos la segunda ley re Newton

f K = m a cp

/n~4=0/5(ocp)

:e!0

20-4=0,5(acp) 16=0,5 (ocp)

acp=32 m/s2

Clave (C

A) 1000 N B) 1500 N C) 2000 N

D) 500 N E) 3000 N

ResoluciónGraficamos

Aplicamos la segunda ley de Newton en la dirección radial luego de 4 s

F cp = m a cp

Fcp= (5 0 0 )~ (I)

Calculamos la rapidez v aplicando MCUV en la dirección tangencial

Av _2 m/s A t 1 s° T = = 2^-

vf=v0+aTti/=0 + (2)(4) = 8 m/s

mg=5 N

63


En (I) II. Falsa(8)2 - - ~ 2Frn = 500 x ■

cp 32ocPi = to (/?]_) = ío: (/.) = 0)' L

aCp2 = O)2 (/?2) = w2 (2¿) = 2co2¿

Fcp= 1 0 0 0 N a cp1 > 0 cp1

PROBLEMA N.° 64Las esferas mostradas se encuentran unidas por un alambre describiendo circunferencias. Indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).

I. Ambas esferas presentan la misma rapidez angular.

II. La aceleración centrípeta de (1) es mayor que la de (2).

III. La fuerza centrípeta sobre (1) es igual que CLAVE ( C sobre (2).

Falsa

\ ) (1) cp( l )

Fcpa >= meo2/.

^(2)= mh)aco

(2)

Fc”(2)= 2m(2to2/.)

FCPÜ)= 4/T70J2/.

Fcpw > F cpP(D

A) VVF B) FFF C) VFF

D) VVV E) VFV

ResoluciónI. Verdadera

Los radios de (1) y de (2) barren ángulos ¡guales en tiempos iguales ((02=0)2=03).

PROBLEMA N.° 65

Las esferas describen circunferencias en un plano vertical. Si en el instante mostrado la fuerza de tensión en el hilo (2) es 3mg, ¿cuánto es la fuerza de tensión en la cuerda (1) para dicho instante? (g=10 m/s2)

A) 2 mg VB) 3 mg L diC) 4mg mD) 5 mg

E) 6 mg L (2)

m v2

64

D in á m ic a

ResoluciónElaboramos el DCL de cada una de las esferas.

Segunda ley de Newton para la esfera A DCL de la esfera A

Ti

mgO)

'(1) ‘■"(1) T1-mg-T2=mu)2L

T1=mg+mw2L+T2 (I)

Segunda ley de Newton para la esfera B DCL de la esfera B

PROBLEMA N.° 66

Un bloque de masa 1000 kg, atado a una cuer

da, gira con una frecuencia de 01 n y

vuelta en

una trayectoria circunferencial de radio 50 m en un plano horizontal sin fricción. Entonces la tensión de la cuerda, en N, es

A) IO2 N.

D) 4x l03 N.B) 2xl03 N. C) 3xl03 N.

E) 5xl03 N.UNI 2000-1

ResoluciónEmpecemos haciendo un diagrama.

mgv í/ co

cp,(2)

= ma(2 )

T2-mg=mw (2L) T2=mg + 2m<jj2L 3mg=mg+2mcú2L

► mw2L = (mg)

z remplazamos (II) en (I) T^mg+mg+Zmg

T1=5mg

Clave ( D

Se aprecia que la fuerza centrípeta (Fcp) es la tensión (T)

FCP=T

mco2r= 7

m(2nf)2r=T

T=4n2f 2mr

Reemplazamos datos>2

T = 471 0,1— | x 1000x50 V 71

65

_ r=50 m

plano horizontal liso


7A

x 1000 x 50

7=2000 N

7=2x10 N

Clave e s .

PROBLEM A N.° 67Se tiene un movimiento circular uniforme con velocidad angular co sobre una mesa sin fricción como se muestra en la figura, sea Tx la tensión que soporta la masa m1 debido a la cuerda de la longitud Lv Si T1 soporta un valor máximo de 21 N antes de romperse, calcule el valor de co en rad/s, justo antes que se rompa la cuerda LvDatos: Z.1=1 m; L2 = 2 m; m1= l kg; m2=2 kg

A) 1 rad/sB) V 2 rad/sC) V3 rad/sD) 2 rad/s

E) VÜ rad/s

ResoluciónGraficamos las fuerzas

UNI 2009-11

-ffli , h ' ¿ J 2 h J T 2

1 centro >-- ■+

r- ____ ,« .-• ’/

L1 L-)/ / ¿ /

Cada bloque (m1 y m2) realiza MCU; entonces para cada uno solo hay fuerza centrípeta (Fcp).

Para m1 aplicamos la segunda ley de Newton

FcPl =mi^ ri

T1 T2=m (x) (¿2) (I)

Para m2 aplicamos la segunda ley de Newton

FCp2 = m2(o r2

72=/n2co2(í.1-i-Z.2) 00

Reemplazamos (II) en (I)

T1-m2(ú2(L1+L2)=m1(ü2L1

7X= + m2co2(¿1+L 2)

Para el instante cuando la cuerda (1) está a punto de romperse

7i máx.=mico2¿i + m2ü)2(/-i+¿2)

Reemplazamos datos

2 1 = (1 )ü ) 2(1 ) + 2 x c o 2(1 + 2 )

2 1 = (D 2+ 6 co2

03 = V i rad/s

Clave (C

PROBLEMA N.° 68El sistema mostrado está en reposo. Si luego rota, determine la deformación del resorte cuando el sistema mantiene una rapidez angular de 10 rad/s. Considere que el collarín es de1 kg y K= 600 N/m.

A) 5 cmB) 10 cmC) 15 cmD) 20 cmE) 25 cm

66

st.. D in á m ic a

ResoluciónAl inicio como el sistema está en reposo, el resorte no está deformado, es decir, su longitud natural es 50 cm o 0,5 m.Luego, al rotar el sistema, el collarín se aleja del eje de rotación, de modo que el resorte se estira hasta que el sistema mantiene una rapidez angular constante de 10 rad/s. En esta última situación, el resorte mantiene una deformación x, y el collarín describe un MCU.

co=10 rad/s

mg

r - - .circunferencia

r=0,5+xR

A) 16°B) 30°C) 37°D) 45°E) 53°

ResoluciónAl tener una trayectoria circunferencial, la esfera en la posición A presenta aceleración centrípeta (acp).

£7 =cp

a c p -

acp=8 m/s"

La fuerza elástica es la fuerza centrípeta

Fcp _ m(ú2r=Kx

mco2(0,5+x) = /Cx1 • 102(0,5+x)=600x

50+100x=600xx=0,l mx=0,1(100 cm)

x=10 cm

_ C lave ( b )

PROBLEMA N.° 69Se muestra una esfera unida a una cuerda de2 m. Si el módulo de la aceleración cuando pasa por A es 10 m/s2, determine el ángulo 0. g=10 m/s2)

En la posición A, la aceleración total se calcula según la siguiente expresión:

a ~ y ja c p + a T

10 = ^8 2+o2

oT= 6 m/s (I)

Ahora busquemos la fuerza resultante en el eje tangencial

eje radial


Descomponemos mg

0 \\ T

______ c ^ m 9 co s0mgsen© '\ <5 y \

UsamosFR j = m a T

—> /fígsen0 = jríaT

o7-=gsen0=lOsen0

ReemplazamoslOsen0=6

sentì = —5

0 = 37°

en (I)

( I I )

Clave ( c )

PROBLEMA N.° 70Una pequeña esfera de 1 kg, unida a una cuerda, describe una trayectoria circunferencial en el plano vertical. Si en el instante mostrado la aceleración es horizontal, determine el módulo de la tensión en dicho instante. (g=10 m/s2)

A) 5V2 NB) 8^2 NC) I 0V2 ND) I 2V2 NE) 15V2 N


centro;T

T /45 (

^ < 4 5 ° a

mg=10 N

5V2 N

mg=10 N

En el eje radial

Fc p = T - 5 S

macp = T- 5V2 —> l a cp~T-Sy/l

T = 5yÍ2+a (I)

En el eje tangencial

FT=maT

5V 2 = lor

aT = 5>/2 m/s2

Además, la aceleración total (o) se calcula como

acp = 5V2 m/s2

68

D in á m ic a

Reemplazamos acp en (I)

T = 5V2 + 5V2

r = ioV2N

Clave (C

PROBLEMA N.° 71Una esfera de masa M, unida a una cuerda de 5 m, gira en el plano vertical. Si en la posición que se muestra su rapidez es 2 m/s y su aceleración tangencial es 6 m/s2, determine M. (g=10 m/s2)

A) 1 kg D) 4 kg

B) 2 kg C) 3 kgE) 5 kg


Trabajamos en los ejes radial y tangencial

eje tangencial7=44 N

l O / W s e n O 2 m/se\ lO/V/cos0

S ¿ a T \ > y \

10 M eje radial

En el eje radial.2

Fcp

M(2?5

4 M

44-lOMcos0 =

44-lOA4cos0 =5

En el eje tangencial FT=MaT

lOMsen0 = M (6 )3sen0 = - 5

-> 0=37°

Reemplazamos 0=37° en (I)

4 M44 -10/V7cos37° =

i 4 A 44-10/W[ - 4 M

44- 40 M 4M

.44 =

5 5M m

M =5 kg

(O

Clave i E

69

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

PROBLEMA N.° 72Se muestra un péndulo cónico que gira con rapidez angular constante (co). Calcule co.

A) 2. aLe osa

B) 2 gLe osa

D)/.cosa

C)

E)

/.sena

¿tana

Resolucióntienen dos fuerzas sobre la esfera del péndulomeo.

Descomponemos la tensión (?)

La fuerza centrípeta ( FCp) es la fuerza resultante hacia el centro de la circunferencia. En tal sentido, su módulo será

Fcp=7sena (I)

Por otro lado, en la vertical, las fuerzas son de igual valor, ya que la esfera se mueve en un plano horizontal sin ascender ni bajar, es decir

Tcosa=mg

-> T = ~ (IDcosa

Reemplazamos (II) en (I)r rngFrn ------sena

p cosaFcp=mgtana

Calculemos la rapidez angular (co) aplicando la segunda ley de Newton

F cp = m a cp

jrígtana = /ríoo2r

gtana=co (¿sena)2 gtana co =

cd2 =

¿sena9

¿cosa

(0 = a -----V ¿cosa

Otra forma

Teosa T'/ a

fsena

mg

n'■ i

i #

Suma vectorial

fuerza resultante hacia el centro

70

W- D in á m ic a

Del triángulo Fcp=mgtana

Además

Fcp=marr

/rígtana = /ff(D2(/.sena)2 9 co =

/.cosa

co =L cosa

Clave

ResoluciónLa esfera realiza un MCU. Entonces sobre ella solo hay fuerza centrípeta (Fcp),

Usamos

PROBLEMA N.° 73La figura muestra una esfera de 1 kg de masa atada a un hilo de 2 m de longitud, que está girando en un plano horizontal con una rapidez angular constante. Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones. ig=9,8 m/s2)

I. La rapidez angular de la esfera es 2,475 rad/s.

II. La tensión en la cuerda es 12,25 N.

III. La esfera se encuentra en equilibrio.

Fcp=mtí) r

3r 2-T = meo r 5 (O

En la vertical, la esfera no sube ni baja, es decir

M - M4 t— T - ma5

-T = 1x9,8

7=12,25 N

Reemplazamos 7en (I)

^(12,25) = Ico2 x 1,2

00=2,475 rad/s

A) FFF B) FVF C) V W Por lo tantoD) VFV E) W F !• Verdadera

uní 2001-1 II. Veradera

71


FalsaPorque la esfera al describir un movimiento circunferencial, necesariamente, presenta aceleración, lo cual descarta su equilibrio.

_CLAVE ( § )

PROBLEMA N.° 74¿Con qué rapidez angular gira la esfera de masa M en el plano horizontal, si la otra esfera de masa 2M se encuentra en reposo? Considere que g=n2m/s2.

71A) — rad/s 2

B) — rad/s4

C) 2n rad/s

D) 7i rad/s

E) — rad/s 2

Para la esfera de masa M se tiene solamente fuerza centrípeta.

centro

Del gráfico

a=60°Fcp = M gj3

Usamos la segunda ley de Newton

Fcp=M(ü r

Mgy¡3> = Meo"

co = \ g S (I)

ResoluciónGraficamos las fuerzas sobre cada esfera

Calculamos el radio r

60c

\ 2 m

r= V 3 m

72

sacReemplazamos r = V3 en (I)

oo£

= Jg(tí

CD = V 71'

co=ti rad/s

Clave ( D

PROBLEMA N.° 75Se muestra un sistema que rota con rapidez angular constante oo. Si el módulo de la tensión en las cuerdas es el mismo, calcule (jo. Considere que g- 10 m/s

>0)A) 6 rad/s

3) 4 rad/s

C) 5 rad/s

D) 3 rad/s

E) 2 rad/s

ResoluciónLa esfera realiza un MCU; de ahí se deduce que sobre ella solo hay fuerza centrípeta (Fcp).

D in á m ic a

Amor a Sofía

FcP =T+ sT

9FcP =~T

mo)2r = -T

59.5 (I)

Como la esfera solo gira en el plano horizontal, se garantiza

l F ( \ ) = I F ( i )

—T = mg 5T _ mg S~ 3


frí(tí2r = 9x-

(tí =

Reemplazamos datos

co = 3x10V 1-2

oo = V25

oo=5 rad/s

Clave (C

73


N iv el in t e r m e d io

PROBLEMA N.° 76Cuando una misma fuerza se aplica a tres bloques diferentes, estos adquieren aceleraciones de 4, 6 y 8 m/s2, respectivamente. Si los tres cuerpos se colocan juntos y se aplica la fuerza anterior, su aceleración será (en m/s2)

A) 12/13.D) 24/15.

B) 24/13. C) 12/15. E) 16/24.

ResoluciónConsideremos los tres bloques por separado en superficies lisas.

m\g Oí -- ► m2g °2f r n - 1

( '«i «2

m3g, o3C j-i-

n

rriz

(1) (2) (3)

Bloque 3F =m3a3=m3{8)

F_8 (IM)

Consideremos los bloques juntos como si fueran un solo cuerpo.

(m1+m2+m3)g

Utilizamos la segunda ley de Newton Fr - moF-(m1+m2+m3)a

De (I), (II) y (III)

F = F F F )v4 6 8 J

24 / 2 a- — m/s13

_CLAVE ( b )

Aplicamos la segunda ley de NewtonFR=mc¡

• Bloque 1

F=m1a1=m1(A)

F_4

• Bloque 2F-m2o2=m2(6)

F—> I71-) —

(O

(ID

PROBLEMA N.° 77En la figura se muestran dos bloques en reposo, a los que se les aplican fuerzas iguales. Cuando ha trascurrido un tiempo tlt la rapidez de m1 es v/; mientras que cuando había trascurrido t j 2, la rapidez de m2 es v/3. Calcule m2/m .

A) 2/3B) 5/3C) 3/2D) 4/5E) 6/5

v=0

r liso

V=0h í liso

74

D in á m ic a

ResoluciónBloque m1

v=0 rng

'2 'fyresultante

Aplicamos la segunda ley de Newton F=m1o1 (I)

El bloque m1 experimenta MRUV

vf=v0+at

v=0+a1t1 v U

En (!)F=m 1(v/t1)

Bloque m2

(N)

Aplicamos la segunda ley de Newton F=m2a2 (III)

El bloque m2 experimenta MRUV vf=v0+at

( v ) = 0 + Oy— —U J 12 )

2 f v 'Qn=~v f l J

En

1.3 J (IV)

En(ll) = (IV)

M f 2^— = m2 — —vfly v 3 y vfl/

mi

m2 _ 3 m1 2

Clave (C

PROBLEMA N.° 78En la figura, la tabla desciende con una aceleración de 4 m/s2. Calcule el módulo de la fuerza del bloque sobre la tabla.Datos: m=5 kg; g=10 m/s2

A) IOND) 40 N

B) 20 N

o=4 m/s"

C) 30 N E) 50 N

ResoluciónEstudiamos el movimiento del bloque que presenta la misma aceleración que la tabla.

75


Fg=50 N

o

R,

fuerza de la tabla sobre el bloque

_____ ______ i _ 1 _______


50-/?!=(5)(4)

/?! = 30 N

r2=r 1=30 N

Clave ( C

mg

->Fefe= fr

Como el bloque acelera a la derecha, la fuerza resultante también tiene que estar a la derecha; en este caso, la fuerza resultante es la fuerza elástica.

Aplicamos la segunda ley de Newton FR-mo

Fe=ma —> Kx=ma

(100)x=5(4)

x=0,2 m

x=20 cmPROBLEMA N.° 79Si el bloque de 5 kg no se desliza por el coche

-yque acelera con 4 m/s , ¿cuál es la deformación que experimenta el resorte? Desprecie todo rozamiento (g = 10 m/s2)

o=4 m/s"

Clave ( D

PROBLEMA N.° 80La tabla de 3 kg acelera hacia la derecha tal como se muestra. Determine la reacción de la pared que mantiene en reposo al bloque. Considere que existe rozamiento entre el bloque y la tabla.

A) 5 cm D) 20 cm

B) 10 cm C) 15 cm E) 25 cm

ResoluciónAl no resbalar el bloque por el piso se mueve conjuntamente con el coche, entonces experimenta igual aceleración que el coche.

o=8 m/s"

mesa lisa

A) 8ND) 14 N

B) 9 N C) 12 NE) 16 N

76

D in á m ic a

ResoluciónPara determinar la reacción ( f l j de la pared, elaboramos el DCL del bloque que se mantiene en reposo.

v=0h

R,

FR-ma

F- f‘K=ma

40-/¿=(3)(8) -> /¿= 16 N

Luego

fK-fK= 16 N

En (I)

/?1 = 16 N

Clave ' E

Primera condición de equilibrio

Z 'U )=5X>

/»=«! ni

El bloque se opone al deslizamiento de la tabla; entonces la fuerza de rozamiento (f'K) del bloque sobre la tabla es hacia la izquierda (observe el DCL de la tabla), pero la fuerza de rozamiento (fK) de la tabla sobre el bloque es hacia la derecha; esta fuerza trata de mover el bloque hacia la derecha, pero la pared lo impide.

DCL de la tabla

~ g ( T ) ' f'' J t 0=8 m/s"

F=40 N

Usamos la segunda ley de Newton para la tabla

PROBLEMA N.° 81Al bloque de 2 kg en reposo se le aplica una fuerza de módulo 20 N tal como se muestra en la figura. Calcule el recorrido (en m) del bloque luego de 2 s de iniciado el movimiento.(g = 10 m/s2)

A) 30

D) 30\Í2

B) 20 C) 12

E) 10V3

ResoluciónElaboramos el DCL del bloque

Y A

10 N40 N

53' ¡ 0

30 N X

v=0

77


La fuerza resultante forma 45° con el eje X; entonces en esta dirección acelera el bloque rectilíneamente (MRUV).

Aplicamos la segunda ley de Newton FR-mo

30V2=(2 )o

-> o = 15V2 m/s2

f=0

v=0

o=15 y¡2 m/s2

PROBLEMA N.° 82En la figura se muestra las direcciones de la velocidad y de la fuerza resultante que experimenta una esfera. ¿Cuál de las alternativas representa mejor la trayectoria que sigue la esfera? Considere que la fuerza resultante { f r ) es constante.

A)

D)

B) C) /

E)

ResoluciónPara determinar la trayectoria descomponemos la velocidad en dos direcciones, donde una sea perpendicular a la FR

Como el bloque describe un MRUV, entonces el recorrido en 2 s es

1 2 e = Vnt + -at u 2

e = (0)(2) + |(l5V2)(2)22

= 30V2 m

NotaCuando sobre un cuerpo en reposo actúa una fuerza resultante, este sigue la dirección de la fuerza resultante describiendo una trayectoria rectilínea.

Clave (D,

RecuerdeLa aceleración tiene la misma dirección que la fuerza resultante; por consiguiente, la esfera disminuye su velocidad en la dirección X, pero en la dirección Y su velocidad ( vY) se mantiene constante.

trayectoria

Clave ( E

78

D in á m ic a

PROBLEMA N.° 83Las fuerzas ^ = 100 N y F2=20 N actúan sobre los bloques A y B de masas mA=4kg y mB=6 kg, tal como se muestra en el gráfico. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre todas las superficies en contacto es 0,5, ¿cuál es el módulo de la fuerza de reacción entre los bloques?

g=10 rn/s2A) 52 NB) 74 NC) 64 ND) 68 N

i E) 72 N

ResoluciónEstudiamos los bloques sin separarlos (sistema).

F„ =100 N

Fy= 100 N F2=20 N

fN = 100 N

Para determinar el módulo de la reacción entre los bloques, los separamos imaginariamente y estudiamos a uno de ellos.

Estudiamos al bloque A

40 NFÿ= 100 N r f i f í

o=3 m/s"

Í ka

Í na= * 0 N

Aplicamos la segunda ley Newton para el bloque A

FR=ma100-R-/^ = (4)(o)

/*4 =M/V¿ = í ó V 0)

Í ka = 20 n

En (I)100-/?-20=4(3)

K=68 N

(O

Clave (O ,

Como F1 > F2, los bloques aceleran juntos hacia la derecha

aA=oB=a

Utilizamos la segunda ley de Newton para el sistema

Fd =rrica

Fi-F2- fKs={mA+mB)a80-^/Ws=10o

80 - f^ J (100) = 10o

—> o=3 m/s2

PROBLEMA N.° 84El sistema mostrado carece de rozamiento. ¿Cuál es el módulo de la fuerza de reacción entre los bloques? Datos: mA=3 kg; mB=5 kg

Fx=42_N

A) 100 N D) 40 N

F2=10 N

B) 30 N C) 20 NE) 50 N

79?


ResoluciónPara determinar la reacción entre bloques, primero determinaremos el módulo de la aceleración aplicando la forma práctica de la segunda ley de Newton, donde no se separen los cuerpos, sino se estudie todo el conjunto por tener un único movimiento.

F1 > F2, el sistema acelera

Msg a

Utilizamos la segunda ley de Newton

FR=ms°

(42-10) = (3+5)o

o=4 m/s2

Tanto el bloque A como el bloque B experimentan una aceleración de 4 m/s .

Bloque B

MBg

80

Segunda ley de Newton para el bloque B

FR(X) = m a (X)

Luego

RAB(X)~F2 = m B°

Reemplazamos

/?¿ssen37°-(10)=5(4)

/. Rab=50 N

_ C lave ( e )

PROBLEMA N.° 85Un bloque es elevado por un motor; luego en el instante mostrado se rompe la cuerda. Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones. (g = 10 m/s2)

g

I. El bloque se detiene bruscamente.II. El bloque continúa su movimiento con ace-

leración de módulo 6 m/s .III.- Alcanza su altura máxima luego de 1,8 s.

A) FFF B) FVF C) VVVD) VFF E) FVV

D in á m ic a

Resolución III. FalsaI. Falsa

Al romperse el hilo, se mueve por inercia. Como el bloque tiene velocidad en P, se resiste a cambiar dicha velocidad, trata de conservarla; esta propiedad se denomina inercia.

II. VerdaderaAl romperse la cuerda, sobre el bloque actúan dos fuerzas ÍF g y R ) que no se equilibran, existiendo una fuerza resultante que causa una aceleración.

En Y, F R(Y)= m a Y> a Y= 0

R-8>m=m(0)

—> R=8m

En X FR(X) = m a(X)

6 m-mo

—> 0=6 m/s2

Dado que las fuerzas que actúan sobre el bloque son constantes, la aceleración (3 m/s2) que experimenta también es constante, y al describir una trayectoria rectilínea se tiene un MRUV.

V f= V Q~ O t

0=18-6t

t=3 s

_C lave (6)

PROBLEMA N.° 86Un bloque se suelta en un plano inclinado rugoso. Si el bloque recorre la primera mitad de su trayectoria en 2 s, determine el tiempo que demora en llegar al piso.

A) V2 s

B) 2 s

C) 4 s

D) 2V2s

E) 3 s

81


ResoluciónEstudiamos el movimiento del bloque.

Tramo AB

*AB = )fotAB +~a(2)2 (III)

Dividimos

2 = lab

(2)2

= 2\¡2 s

Clave (D,

En Y, o'Y= o

fN=mgcosQ

En ^^/?(x')=mox' mgsenQ-fK=ma

Pero fK=\iKfN

fK=\xKmgcosQ

(I)

PROBLEMA N.° 87En la figura mostrada, calcule el módulo de la aceleración que experimenta el bloque de masa

Considere que la cuerda es inextensible; además m1=2m2; g=10 m/s .

Luego en (I)

mgser\Q-[iKmgcosQ=ma

o=(sen0-)i/ccos0)g

La aceleración se mantiene constante en módulo y dirección; siendo la trayectoria una recta, el bloque experimenta MRUV.

Tramo AB4

dAB=] ^ tAB + ~ at2AB

dAB=2a{tAB)2 ((l)

A) 2/3 m/s2 B) 3/2 m/s2 C) 5/3 m/s2D) 4/3 m/s2 E) 3/4 m/s2

ResoluciónElaboramos el DCL de cada bloque.

m^g m2g

82

D in á m ic a

Descomponemos las fuerzas en forma paralela y particular a los planos inclinados.

PROBLEMA N.° 88

En la figura, los bloques unidos por una cuerda se deslizan por un plano inclinado. Calcule la lectura del dinamómetro, si la fuerza de rozamiento sobre B es 10 N y el bloque A es liso. Datos: mA=10 kg; mB= 5 kg; g = 10 m/s2

2m2(10)

La componente de la fuerza de gravedad paralela al plano inclinado de m1 es mayor que de m2 (10m2 > 8/772); entonces los bloques aceleran en las direcciones indicadas en los gráficos.

A) 5,67 N

D) 5,72 N

B) 3,55 N C) 4,77 N

E) 6,67 N


• Para m1

FD=m-]a=2m1a

ResoluciónEstudiamos a cada bloque.

• Bloque B

10/772 — T — 2/712 O (O

• Para m2

FR=m2a

T-Sm2-m2a

De (I) + (II)

2/772 = 3/77 2 O

o = - m/s2 3

(II)


En X', FR=mo

r+30-10=(5)o

_CLAVE ® T+20=5a (I)


Bloque A

100 N


En X', FR=ma

60-7=10(o) (II)

De (l) + (ll)80 = 15o

16 2o = — m/s3

En (I), 16

r+20=5(TT= 6,67 N

Por lo tanto, la lectura del dinamómetro es 6,67 N.

Clave ( E

PROBLEMA N.° 89Un bloque partiendo del reposo demora 8 s en resbalar por un plano liso inclinado de 37° respecto de la horizontal; pero si la superficie es rugosa, emplearía 10 s. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento en este caso? (g=10 m/s2)

A) 0,18D) 0,75

B) 0,27 C) 0,42E) 0,22

Cuando la superficie es lisa, el módulo de la aceleración es

a1=gsen37°0-^ =6 m/s

El bloque experimenta un MRUV

dAe=°(í )+ |(6)(8>2

dAB= 192 m

Caso 2: superficie rugosa

fN=8 m

Aplicamos la segunda ley de Newton FR-mo6 m-fK=ma2 (II)

//c= M-zc/a/1= M-k( 8 m)

ResoluciónGraficamos el problema.

Caso 1: superficie lisa

84

D in á m ic a

Reemplazamos (III) en ( 6m-\iK(8m)=ma2

6-cbPk =- 8

Calculamos o2 MRUV para el bloque

dAB='J0t+ -a2t

De (I)1 ? 192 = 0(10)+- o2(10)

o2=3,84 m/s2

En (IV)

Vk =

P-K =

6-a-,8

6-3,848

\Xk=€,27

(IV)

PROBLEMA N.° 90Determine el módulo de la fuerza de rozamiento entre el bloque y la cuña, si el bloque se mueve verticalmente con una aceleración de módulo 2 m/s2. Datos: m = 2 kg; g=10 m/s2

ResoluciónPara determinar la fuerza de rozamiento entre el bloque y la cuña, es convenientemente estudiar al bloque porque se tiene mayor información sobre él.

DCL del bloque

y:

R ''

.?7 °h'_

Como la aceleración del bloque es vertical, entonces la fuerza resultante tiene que ser vertical; en consecuencia, necesariamente la reacción ( r ) de la cuña sobre el bloque tiene que ser vertical.

CLAVE i B ) Segunda ley de Newton para el bloque

Fg=20 N

2 m/s =o

R

FR=maA) 16 N

V \m . Fg-R=maB) 12,8 N <-- ¡ HC) 9,6 N F ReemplazamosD) 24 N M 37°>\ 20-R=(2)(2)E) 4N R= 16 N

85


Descomponemos R para hallar la fuerza de rozamiento (fK).

Clave ( c )

PROBLEMA N.° 91El bloque mostrado no se desliza por la superficie del coche, y el dinamómetro indica 20 N. ¿Cuál es el módulo de la reacción del coche sobre el bloque? Desprecie todo rozamiento.(g=10 m/s2)

A) 5N B) 6N C) IOND) 15 N E) 20 N

fK=Rser\37c

/-=16(f ) /*=9,6 N

ResoluciónLa reacción del coche sobre el bloque se determinará a partir del movimiento que experimentan ambos cuerpos. Por condición del problema, el bloque no se desliza sobre el coche, ello significa que ambos se mueven como una unidad experimentando la misma velocidad y aceleración. Además, del problema resuelto N.° 33 se deduce que el módulo de la aceleración del coche y, por consiguiente, del bloque es o=gtan37°.

DCL del bloque

a=gtan37°

En X

FR(x)=maxR-ma

En YaY= 0 -> Fr(y)=0

T=mg 20=m(10) m= 2 kg

Reemplazamos en (I) /?=(2)(gtan37°) R= 15 N

(O

Clave (D,

86

D in á m ic a

PROBLEMA N.° 92El coche se desplaza con aceleración constante tal como se muestra. Si el bloque está a punto de deslizar, ¿cuál es el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y el piso del coche?

Segunda ley de Newton para el bloque

A) 0,1D) 0,7

B) 0,3 C) 0,5 E) 0,9

ResoluciónPara determinar el coeficiente de rozamiento estático (|lIs) estudiamos el movimiento del bloque. Este se encuentra a punto de resbalar; como no resbala (se encuentra fijo al coche), presenta la misma aceleración que el coche.

mg

fs

a

máx.

mr

fN=mg

FR=ma

M-s/w

iLs{jríg) = jríci

a» * ~ g ni

Para hallar el |as, falta el módulo de la aceleración (a).Para el coche se cumple que

a=(tan0)g

^ : Í ÍA l

a = —2


" S= ^ T ° ' 5

du

La aceleración que experimenta el bloque se debe a la fuerza de rozamiento estático (máximo).

/. ^5=0,5

Clave ( C

87


PROBLEMA N.° 93En la figura se tiene un bloque de 1,6 kg en reposo unido a un resorte no deformado. Si al bloque se le ejerce una fuerza horizontal constante de módulo 20 N, ¿cuál es el módulo de la aceleración que experimenta el bloque cuando ha recorrido 60 cm? (g=10 m/s2)

Calculamos la fuerza resultante

Fe= 20 N ,*----A16 Nmg=16 N

F= 20 N

A) lm/s2

B) 4 m/s2

C) 3 m/s2

D) 5 m/s2

E) 8 m/s2

ResoluciónElaboramos el DCL cuando el bloque ha recorrido 60 cm.

En el instante mostrado/w=0, el bloque comienza a perder contacto con el piso.

Fr=20-12=8 N

En

8 = (l,6)o

o=5 m/s"

_CLAVE ( § )

PROBLEMA N.° 94El sistema mostrado se mantiene en reposo. Determine las aceleraciones de los bloques A y B, respectivamente, en el instante que la fuerza ( f ) deja de actuar. Datos: mA= 10 kg; mB= 5 kg

Cuando el bloque recorre 60 cm, el resorte se encuentra estirado en

x=0/- ío=lOO-8O=2O cm

-> Fe =Kx

Ff =( 100) 20100

= 20 N

Aplicamos la segunda ley de NewtonFR=ma (I)

A) 2 m/s2; 4 m/s2B) 0 m/s2; 4 m/s2C) 6 m/s2; 1 m/s2D) 8 m/s2; 5 m/s2E) 9 m/s2; 3 m/s2

88

SebassacResoluciónEstudiamos el reposo de los bloques

DCL (A) DCL(fí)

D in á m ic a..............•••:•*. •• •• ' A m o r a S o f ía "

PROBLEMA N.° 95El sistema mostrado se mantiene en reposo tal como se muestra en la figura. Si las fuerzas F\ y Fi que mantienen en reposo al sistema dejan de actuar simultáneamente, ¿cuáles son los módulos de la aceleración (en m/s2) de cada bloque en ese instante?

Datos: mA =4 kg; mB=8 kg

Del reposo del bloque B se tiene Ff=F= 20 N

El módulo de la fuerza elástica es 20 N.En el instante que deja de actuar F se observa

Fi=20 N j i JL F2=20 NCjSmT. liso

A) 3; 6 B) 5; 2,5 C) 4; 2D) 2,5; 6 E) 1,5; 3

mAg ResoluciónEstudiamos el reposo de cada bloque.

• Bloque ALa reacción R sigue anulando a la fuerza elástica, entones la resultante sobre el bloque A sigue siendo nula.

/. aA=0

• BloqueS

FR=maB

FE=ma —> 20=(5)oe

oe=4 m/s

_ C lave ( b )

Para que cada bloque se mantenga en reposo, la fuerza elástica en módulo es 20 N.Instante que deja de actuar F\ y F2

En este instante, la fuerza elástica es la fuerza resultante sobre cada bloque.

DCL (A)

Fi= 20 N F

DCL (B) mBg

F2=20 N

89



• Bloque A

FR(A) = m AaA

F E= m A°A

20=4 aA

oA=5 m/s2

• Bloque B

F R(B) = m Ba B

F E=mBaB

20=8 aB

ob=2,5 m/s2

_ C lave ( § )

PROBLEMA N.° 96En la figura mostrada, el sistema se mantiene en reposo, y el dinamómetro indica 10 N. ¿Cuál es el módulo de la aceleración que experimenta el bloque A instante después de cortar el hilo?

(g=10 m/s2)

A) 1 m/s2 B) 2 m/s2 C) 3 m/s2

D) 4 m/s2 E) 5 m/s2

ResoluciónEstudiamos el reposo del bloque

DCL del bloque

7=10 N

mg=20 N

El bloque en reposo

I f (D=2/(I)T+FE=mg

10+Fe=20fe= io n

Instante después de cortar el hilo (7=0)

mg=20N

Fe= 10 N

El bloque acelera hacia abajo debido a que mg > Fe

Utilizamos la segunda ley de Newton FR=mo (20-10) = (2 )o

o=5 m/s

CLAVE (§ )

90

D in á m ic a

PROBLEMA N.° 97El sistema mostrado se mantiene en reposo indicando el dinamómetro 50 N. Si cortamos el hilo, ¿qué aceleración (en módulo) experimenta la esfera Al Datos: mB=3 kg; g=10 m/s2

A) 15 m/s2 B) 25 m/s2 C) 10 m/s2

D) 5 m/s2 E) 30 m/s2

ResoluciónEstudiamos el reposo de cada esfera.

Primera condición de equilibrio para la esfera A

DCL (A)7

mAg

If(T)=If(i)T=mAg+FE

S0=mAg+FE

Primera condición de equilibrio para la esfera B

DCL (B)

3 kg | ¡

mBg

2>(t)=2>(J)FE=mBg F£=(3)(10)Fe= 30 N (II)

Reemplazamos (II) en (I)50=m¿(10) + 30 —> mA-2 kg

Instante después de cortar el hilo (7=0) se tienen las siguientes fuerzas sobre A

Usamos la segunda ley de Newton para la esfera A

mAg

a l © (2 k g )

F B[A)~m AaA

mAg+FE=maA

(2)(10) + 30=(2 )aA

aA=25 m/s2

(I) Clave ( B

91


PROBLEMA N.° 98A un bloque imcialmente en reposo sobre una superficie horizontal se le aplica una fuerza F que varía con la altura {h), según la gráfica mostrada. Determine el módulo de la aceleración que experimenta cuando se encuentra a 3 m de altura.

A) lm/s2B) 1,5 m/s2C) 2 m/s2D) 2,5 m/s2E) 3 m/s2

ResoluciónPara determinar el módulo de la aceleración a3 m de altura, debemos elaborar el DCL en esta posición.

h-3 m50 N

El módulo de F se obtiene de la gráfica.

Del gráfico. F 100tanG = — =---

2 5F=40 N

LuegoFg=50 N > F=40 N

La aceleración del bloque es hacia abajo

Fg=50 N

Aplicamos la segunda ley de Newton FR-mo (50-40)5a

o=2 m/s2

Clave (C

PROBLEMA N.° 99Sobre el bloque de 2 kg actúa una fuerza horizontal que varía con la posición (X) tal como muestra la gráfica. Calcule el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque en las posiciones X=5 m y X=10 m.

A) 10 m/s2

B) 13 m/s2 F (N)

C) 15 m/s2 30

D) 16 m/s2 20

E) 17 m/s2 10

© X(m)

92

D in á m ic a

ResoluciónPara determinar la aceleración aplicamos la segunda ley de Newton.

fro = -£ m

Es necesario conocer la fuerza resultante en las posiciones indicadas.

PROBLEMA N.° 100En la figura se muestra dos bloques, uno de masa m1=3 kg y el otro de masa m2=5 kg, colgando inicialmente en reposo en una máquina de Atwood. Estando a la misma altura, en el instante t=0, los bloques empiezan a moverse. ¿Cuál es la diferencia de alturas, en metros, al cabo de 1 s? (g=9,81 m/s2)

Del gráfico

• En X=5 m -> F=20 N

• En X=10 m -> F=30 N

Utilizamos la segunda ley de NewtonEn X=5 m -> FR = 20 N

° i ==20

m ~ 2

o1 = 10 m/s"

En X=10 m FR = 30 N

o2 =_ Fr2_ _ 30 m 2

a2 = 15 m/s2

_ C lave ( c )

A) 2,90 mB) 2,45 mC) 3,25 mD) 4,15 mE) 4,75 m

UNI 2009-11

ResoluciónCalculamos el DCL de los bloques m1 y m2.

°\

mxgm2g

Del gráfico h1-h1=2d

Se observa que

1712> mi '

o*

m2g > m-yg

93


Se deduce que m2 desciende y asciende. Como los bloques se encuentran ligados por una cuerda, tendrán el mismo módulo de velocidad y aceleración, y para un cierto intervalo de tiempo recorrerán distancias (d) iguales. Para calcular la diferencia de alturas, primero hallaremos el módulo de la aceleración de los bloques con la forma práctica de la segunda ley de Newton para los cuerpos ligados.

EF(^r)-Xv«rms°m2g-m1g=(m2+m1)a

Reemplazamos

(5-3)(9,81)=(5+3)o

o=2,45 m/s2

Los bloques inician su movimiento en trayectorias rectas y con aceleración constante; por consiguiente, experimentan MRUV.

1 2 d = Vnt H— ot ü 2

d = (o)f + (2,45)(l)2

d= 1,225 m

Finalmente(h2-h1)=2d=2(l,22S)

(h2-h1) = 2,45 m

A) 4mgcos0B) 6mgcos0C) 2mgcos0D) mgcosQE) 4/3/rjgcosO

ResoluciónSean

Ta: módulo de la tensión en A

Tb: módulo de la tensión en B

Nos piden TA-TB.Descomponemos la fuerza de gravedad en A y B

mg

_CLAVE ( § )

Calculemos el módulo de la fuerza centrípeta en Ay B, respectivamente.

En A

PROBLEMA N.° 101Se muestra una esfera de masa m describiendo un MCU en un plano vertical. Determine en cuánto cambia el módulo de la tensión en la cuerda cuando la esfera va de A hasta B.

Frn =mco rCP[A)Ta - mgcosQ=mco2r

En B

Frn =m(D r CP{B)TB+mgcosQ=m(x)2r

(O

(II)

94

D in á m ic a

Igualamos (I) y (II)

TA-mgcosQ=TB+mgcosQ

TA-TB=2mgcosQ

Clave ( C

PROBLEMA N.° 102Cuando un móvil pasa por el punto más alto de un puente circular de 125 m de radio, la normal es el 50% de su peso. Halle la rapidez del móvil en dicho punto. Dato: g=10 m/s2

A) 25 m/s

co 20 m/s

C) 10 m/s

D) 15 m/s

E) 30 m/sUNMSM 2008-11

ResoluciónEl móvil realiza un movimiento circunferencial. Por tal motivo, sobre él debe haber una fuerza resultante hacia el centro de la circunferencia. Dicha fuerza resultante se conoce como fuerza centrípeta (Fcp). Ahora grafiquemos las fuerzas sobre el móvil.


Fcp~^^cp

mg-N = mvR

mg - 50% mg = mvR

mg-0,Smg =■

o , s ¿ g - * ív

mvR

R

0,5g =R

Reemplazamos los datos ,,2

0,5x10 =125

v/=25 m/s

Clave (A ,

PROBLEMA N.° 103Sobre una superficie horizontal lisa se ha instalado una barra en forma L de masa despreciable. Si la esfera unida a la barra da una vuelta cada 7t segundos, determine el módulo de la fuerza que la barra ejerce a la esfera de 1 kg.

coA) N

B) 2V2 N

C) V3 N

D) 2V3 N

E) V5 N

95

Lu m b r e r a s E d it o r e s.........................— ■■■■■.............. .....................................

ResoluciónLa esfera describe una trayectoria circunferencial, y como siempre da una vuelta cada n s, su movimiento es un MCU. De esto se deduce que la fuerza de la barra sobre la esfera está dirigida hacia O.

PROBLEMA N.° 104El sistema, formado por el collarín liso de 2 kg y la barra doblada, rota con rapidez angular constante de 10 rad/s. Determine la deformación del resorte. Considere que la barra rota en el plano horizontal. Dato: K= 300 N/m

A) 20 cm

B) 25 cm

C) 28 cm

D) 30 cmLU 35 cm (ÚCe

:45 cm

60 cm

Usamos

Fcp= m ( j r r

F=m(ú r

F = lü)2 (0,5V2) O)

Por otro lado, la rapidez angular (cu) se puede calcular según

tó = - = — ; (27t: ángulo de una vuelta) t Tí

(0=2 rad/s (II)

ResoluciónLas fuerzas sobre el collarín dan una resultante que apunta hacia el centro de la circunferencia, ya que se tiene un MCU.El resorte está estirado una longitud x.


F = 1x22xO,5V2

/. F = 2V2 N

_CLAVE ( B )

Fcp'/__

centro A37cé- ----

96

D in á m ic a


Fcp=moó r

Fcp=2x10^x0,75

Fcp=150N

Del gráfico

ResoluciónGraficamos las fuerzas sobre el ciclista. Note que la fuerza que impide que el ciclista resbale es la fuerza de rozamiento estático (/s).

FE=Fcpcos 53°f o\ fs --- *

centroT "* --- >

Fp =150 - r= 20 m XV5;

Fe= 90 N

Kx=90 N La fuerza de rozamiento (/s) verifica300x=90 fs —fs( máx.)x=0,3 m iVI

x=30 cm fs - Vsm9Clave ( d) /s<o,5m(io)

fs <5m (1)

PROBLEMA N.° 105¿Con qué máxima rapidez debe moverse un motociclista para dar vueltas en una pista circular de 20 m de radio? Datos: M-s=0,5 y g=10 m/s2

Pero fs es la fuerza centrípeta

Fcp=fs .2

= fsmv

mv20 = fs

A) 5 m/s

B) 8 m/sC) 9 m/sD) 10 m/s

E) 12 m/s


ffiv220

<5/6

\f < 100 i/ < 10 m/s

W = 10 m/s

Clave (D,

97y

Lu m b r e r a s Ed it o r es m

PROBLEMA N.° 106Un patinador recorre una circunferencia de 5 m de radio con una rapidez de 5 m/s. ¿Qué inclinación hacia el centro de la circunferencia tendrá que dar a su cuerpo para no salir de la circunferencia? (g=10 m/s2)

A) 60° 53°

D)

B) 53° C) 37°

E) ^

Usamos

Fcpmv

fs =mv

De (I)

yng tan0 =

tan0 =—rg

r fv 2

ResoluciónSea 0 el ángulo de inclinación del patinador.

N - mg

Reemplazamos los datos

tan0 =5x10

n 25tan0 = —50

tan0 = -2

0 = 53°

CLAVE (D,

Para el patinador hay equilibrio de rotación. Ello se asegura con un momento resultante igual a cero respecto al centro de la masa (CM).

2 > cm0 ) = 2 > cm( 0 )

fs ■ jd = Njdtan0

/s=/Vtan0

/s=/r?gtan0 (I)

La fuerza de rozamiento (/s) para el patinador es la fuerza centrípeta (Fcp).

PROBLEMA N.° 107Una curva de 30 m de radio debe ser peraltada para que un auto pueda dar la vuelta con una rapidez de 54 km/h, sin depender del rozamiento. ¿Cuál debe ser el ángulo de peralte?

(g=10 m/s2)

A) 16°

x 37°D) —

B) 37c C)53°

2

E) 53°

98

D in á m ic a

ResoluciónDespreciando el rozamiento, de modo que el auto avanza resbalando.

mg

Reemplazamos en (I) -2

tana =

tana =

15300225300

tana = — 4

a=37°

Clave (B ,

Para el auto, la fuerza resultante apunta al centro de la trayectoria circunferencial.

Del triángulo

tana = f¿v 2/rjríg

vtana = — gr

tana =10(30)

..2tana =

300

Además la rapidez (v)

km m i/ = 54 — = 15 — h s

(O

PROBLEMA N.° 108El bloque permanece sobre la plataforma, mientras rota. Determine la máxima rapidez angular de la plataforma sin que el bloque resbale. (g=10 m/s2)

A) lrad/sB) 2 rad/sC) 3 rad/sD) 4 rad/sE) 5 rad/s

ResoluciónLa plataforma va aumentando su rapidez angular hasta un valor máximo. Desde ese instante mantiene dicha rapidez angular, de modo que solo hay fuerza centrípeta (Fcp).

ejeradial

99


Se tiene

fs — /s(máx.) fs <\lsN

fs - Vsm9 (I)

En el eje radial

Fcp=mco2r

fs=mío2r (II)

A) 2 rad/s

D) 8 rad/sB) 4 rad/s C) 6 rad/s

E) 10 rad/s


yñ íú 2r < | is /ríg

ResoluciónLa tendencia del bloque es alejarse del centro de la trayectoria circunferencial y resbalar hacia abajo.

O) <

co <

í,usg

0,6x101,5

trayectoriacircunferencial

centro f

mgN

fs

r=0,2 m— ¿

Por lo tanto, el valor máximo de la rapidez angular, sin que resbale el bloque, es 2 rad/s.

Clave ( B

PROBLEMA N.° 109Calcule la mínima rapidez angular de modo que el bloque no resbale sobre la pared vertical.Datos: g = 10 m/s2; j s=0,5

En la vertical

fs=mQ

Por otro lado se verifica

fs —fs( máx.) fs <\isN

Reemplazamos (I) en (II) mg < [xsN

(I)

(H)

<¿> tü

100

D in á m ic a

La normal (N), en este caso, es la fuerza centrípeta (Fcp)

Fcp=m(ü r

N=mw2r

/V=mco2(0,2).2

N = m ü) (IV)

Reemplazamos (IV) en (III)

phg<-------

5 g 2— <ü)2M-s

Reemplazamos los datos5(l0) 2---- <co0,5

100 < üT

rad10— < ü) s

Por lo tanto, la mínima rapidez angular es 10 rad/s

Clave ( E

A) 20 NB) 30 NC) 35 ND) 40 NE) 45 N

ResoluciónGraficamos las fuerzas cuando la cuerda está en vertical.

Mg=50 N

Nos piden R0.Aplicamos momentos respecto al punto A

5 >o)=5 >(o)Mg-/ + r/ = R0 (2/)

50+T=2Ro» 5 0 +rRo ~ (I)

PROBLEMA N.° I 10Se muestra una barra lisa y homogénea de 5 kg articulada en O. Debajo de la barra está una cuerda de 30 cm unida a una esfera de 0,5 kg.Si esta última presenta una rapidez de 3 m/s cuando la cuerda se pone en vertical, determine el módulo de la fuerza en la articulación cuando la cuerda está en vertical.

Por otro lado, la esfera realiza un movimiento circunferencial.

Usamos

Fcp

7-5 =

mv

0,5-30,3

7=20 N

101


Reemplazamos (II) en (I) 50 + 20

Ro = —» R0 - 70

R0=35N

Clave (C ,

PROBLEMA N.° I IIUn manguito A puede deslizarse libremente alo largo de un anillo liso de radio R. El sistema se hace rotar alrededor del eje 00' vertical con una rapidez angular co. Halle la medida del ángulo 0 correspondiente a la posición estable del manguito. (g: aceleración de la gravedad)

A) a retan

B) aresen

C) aresen

D) arccos

E) arccos

vo)2/?

f co2/? '

Veo2/?

veo2/?/ 9 \1 co2/? '

ResoluciónEl manguito A describe un MCU en el plano horizontal de radio igual a r=/?sen0.

r=Rsend

Sumando vectorialmente mg y F se debe obtener la fuerza centrípeta (Fcp).

Del gráfico

tan0 =

tan0 =

jrí(o2r,pfig

oo2 -/?sen0

>erítf _ co2/?>erí cos0 g

gcos0 =co2/?

0 = arccos / _g_ 'Veo2/?

_ C lave (D )

102

D in á m ic a

PROBLEMA N.° I 12Un collarín liso gira con una rapidez angular constante de 5 rad/s. Calcule la masa del collarín. Considere que la longitud natural del resor-

•y

te es 20 cm; además g=10 m/s ; K= 10 N/cm.

A) 1 kg B) 2 kg C) 3 kgD) 4 kg E) 5 kg

ResoluciónSea m la masa del collarín. Graficamos las fuerzas sobre el collarín

El resorte mide 0,25 m o 25 cm, es decir, está estirado 5 cm. Entonces el valor de la fuerza elástica (Fe) es

Fe=Kx

Fe = 10- ÍU s jafí)

Fe= 50 N

La resultante de las fuerzas es la fuerza centrípeta (Fcp).

(I)

(II)

Del triángulo sin sombrear 50-6 msen53°=

cp

Fcp-sen53°=50-6/tj

cp v5,= 50-6m


Fcp=mw r

Fcp=m( 5)2(0,2)

Fcp=Sm

50-

mg=10 m

103


Reemplazamos (II) en (I)( 4 '7m = 50-6/77

4/77 = 50-6/77

5010/77 = 50 —» m = —10

ResoluciónEmpecemos graficando las fuerzas sobre el pequeño bloque.

mg=30N

m=5 kg

Clave ( E

PROBLEMA N.° 113

Sobre una superficie curva de 2 m de radio se desliza un pequeño bloque de 3 kg mediante la fuerza F, cuya dirección es en todo momento horizontal. La rapidez del bloque es constante e igual a 4 m/s. Para el instante mostrado, determine el módulo de F . ig=10 m/s2)

Las fuerzas serán descompuestas en los ejes radial y tangencial.

Fsen37

ejetangencial

ejeradial

37°

A) 64 N

B) 72 N

C) 84 N

D) 96 N

E) 100 N

La rapidez del bloque se mantiene constante siempre y cuando la fuerza resultante en el eje tangencial sea nula. Portal motivo se cumple

Fcos370=30sen370+/K

+ //f/ 4 ( 3= 30

v5y

4F=90 + 5/k

AF=90+5\i kN

4F=90 + 5(0,5)/V (I)

104

Din á m ic a

Ahora en el eje radial, usamos.2

Fcpmv

N - Fsen37° - 30cos37°=.4

Reemplazamos los datos ■'

3(4)2

mv

N — F - 305

N = -F + 485

Reemplazando (II) en (I)

4F = 90^5(0,5)

4F=90+1,5F+120

F= 84 N

( 3 — F + 48 V 5

Clave (C

PROBLEMA N.° I 14Un niño de 25 kg se desliza sobre una superficie esférica pasando por P con una rapidez de4 m/s. Determine en ese instante el módulo de su aceleración. Datos: g= 10 m/s2; r= 4 m

A) 2 m/s2

CO 2y[s m/s'

C) 4 m/s2

D) 4V2 m/s

LU 5 m/s2

ResoluciónEl niño describe una trayectoria circunferencial.Además, el módulo de la aceleración del niño en el punto P se calcula según

a = ylacp+°

Dondeacp: módulo de la aceleración centrípeta aT: módulo de la aceleración tangencial

En P se tiene u2 p°c p = y

42arn = —'cp

acp=4 m/s" (II)

Para calcular aT, graficamos las fuerzas sobre el niño y las descomponemos en los ejes radial y tangencial.

tangencial

En el eje radial usamos

Fc p ~ m a cp

De (II)fN- 200-25(4)

fN=300 N

105


Ahora calculamos/^

fK~^K' fN

/k = ~ (300) -> fK = 100 N

En el eje tangencial usamos FRj= m aT

150-fK=2SaTI

150-100 = 25or

,\ aT= 2 m/s2

Reemplazamos (II) y (III) en (I)

(III)

—> o = 442+22

a = 2V 5 m/s2

Clave ( b )

ResoluciónSea f la tensión en la parte más baja de la trayectoria circunferencial del bloque.

mg=3 N

Usamosmv

Fcp

T - 1,5 = 0,3-50,5

7=16,5 N

Clave ( D

PROBLEMA N.° I 15Una tabla lisa ha sido inclinada un ángulo oc=30°, de modo que sobre ella gira un pequeño bloque de 0,3 kg atado a una cuerda. Si el bloque en la posición más baja de su trayectoria presenta una rapidez de 5 m/s, determine el módulo de la tensión en dicha posición.Datos: £=0,5 m; g=10 m/s2

N iv el a v a n z a d o

PROBLEMA N.° I 16Un resorte cuya longitud natural es 10 cm cuelga del techo de un ascensor, y en su extremo libre se coloca un bloque de 1 kg. Cuando el ascensor tiene una aceleración de 2 m/s2 hacia arriba, la longitud del resorte se mantiene en 15 cm. ¿Cuál será, en centímetros, la longitud del resorte cuando el ascensor presente una aceleración de 4 m/s2 hacia abajo? (g=10 m/s2)

A) 12 N D) 16,5 N

B) 13,5 N C) 15 N

E) 18 N

A) 6 cm D) 7,5 cm

B) 8,5 cm C) 10 cm

E) 12,5 cm

106

A

D in á m ic a

ResoluciónGraficamos el problema. Caso 1 Caso 2

--V- -

Lf =15cm

ax=2 m/s2 —-y- i l i l i l i l

o2=4 m/s"

Caso 2El bloque y el ascensor presentan la misma aceleración.

Fe =Kx2

o=4 m/s2

mg=10 N

Como el bloque presenta menor aceleración que la gravedad, la fuerza elástica tiene que ser opuesta a la fuerza de gravedad.

ox-2 m/s"

10 N

Usamos la segunda ley de Newton FR=ma

F e - 10 = (l)(2) -» Fr= 12N ci ci

/. /Cxx = 12

De (II)-(III)

Kx1 _ 12^ = 5 cm

= — —> '1 _Kx2 6

= 2

x2 = 2,5 cm

En (I)t/2 = 10 + (2,5)

Lj 2 = 12,5 cm

(ID

Clave (E

Entonces el resorte se encuentra estirado

= Lo + x2

Lf =10 + x2

Usamos la segunda ley de Newton FR-ma10-/Cx2=(1)(4)

-4 Kx2=6

Caso lEl resorte está estirado en

x1=¿y:-¿0=15-10 = 5 cm

(I)

(II)

PROBLEMA N.° I 17El tráiler que se muestra inicia su movimiento

-► /V y

con una aceleración a = +Si m/s . ¿Qué rapidez tiene el tráiler en el instante en que la caja se cae a la pista?

A) 2 m/sB) 4 m/sC) 8 m/sD) 12 m/s

E) 16 m/s

i— 8 m

107


ResoluciónComo el bloque cae de la plataforma, entonces se desliza acelerando como consecuencia de la fuerza de rozamiento cinético.

DCL del bloque

Note que el bloque y la plataforma experimentan MRUV.

l/=0 aB

m/s"

El bloque se opone al deslizamiento de la plataforma, entonces la fuerza de rozamiento

del bloque sobre la plataforma es hacia la izquierda; por consiguiente, la fuerza de rozamiento (fK) de la plataforma sobre el bloque es hacia la derecha. Esta fuerza acelera al bloque hacia la derecha.

Aplicamos la segunda ley de Newton al bloque

FR=maB

fK=maB

¡iK{mg)=maB

°8=l-l/C0 = ( — |(10)

og=4 m/s2 (cte.)

El bloque abandona (cae) la plataforma cuando el punto P del coche alcanza al bloque.

Del gráfico d p— 8 + d B

1 1^ f+ - o t2= 8 + y r+-osf2

—(8)t2 = 8 + -(4)f22 2

2t2 = 8

.\ t=0,5s

Calculamos la rapidez

vp=v0+at

V p — 0 + (8)

Vp -8

2

up=4 m/s

_ C lave ( b )

(plataforma del tráiler)

108

D in á m ic a

PROBLEMA N.° I 18En la figura, el bloque de 0,5 kg comprime al resorte que se encuentra unido al bloque y a la tabla de 1 kg. Si se suelta el bloque, ¿qué aceleración presenta en el momento que la tabla pierde contacto con el piso?(g= 10 m/s2)

A) 10 m/s2 D) 40 m/s2

B) 20 m/s" C) 30 m/s"

E) 50 m/s2

ResoluciónAl soltar el bloque, el resorte comprimido empuja al bloque y a la tabla, recuperando su longitud.

al soltarloFe > mg

el resorte el resorte ha empuja a la recuperadotabla y al su longitudbloque (Ff= 0)

Por inercia, el bloque sigue desplazándose hacia arriba, pero ahora el resorte se estira jalando al bloque y a la tabla.

Aplicamos la segunda ley de Newton al bloque

FR=ma

(5 + ff4) = (0,5)o (i)

El instante en que la tabla pierde contacto con el piso

FE4=Mg

Ff =(1)(10)

Fc = 10 N


(5 + 10) = (0,5 )a

15o =0,5

o=30 m/s2

Clave (C

instante en que la tabla pierde contacto con el piso

Mg //V“ °

109


PROBLEM A N.° I 19Determine el mínimo valor de F para que no deslice.Datos: |U5=0,75; M : = 3 kg; M2=9 kg; g= 10 m/s2

A) 40 N D) 100 N

Resolución

B) 60 N C) 80 N E) 160 N

Al no deslizar M 1 sobre M2, el bloque y el coche se mueven de manera conjunta experimentando la misma aceleración. Estudiamos al coche y al bloque sin separarlos.

[/?! ‘ *2

La fuerza F es la fuerza resultante sobre el sistema.

Segunda ley de Newton para el sistema frs = msa

F=(M1+M2)a

F=12o Fa =12

(O

Ahora separamos a los bloques y estudiamos el bloque

Y*

- -> X

MxgfM a

...„

fs

Segunda ley de Newton en x FR=Mxa -» fN=(3)a

De (I)

/a/ = 3

-> F=AfN

( — ] <12 j

(II)

Entonces fes mínimo cuando/w es mínimo.Cuando la reacción normal (fN) entre el bloque y el coche disminuye, la presión entre ellos disminuye y la tendencia a deslizar del bloque aumenta; entonces fN será mínimo cuando el bloque se encuentre a punto de deslizar.

En Y, FR(y)-0

^máx. VSÍN

De (III)

Mig=(0,75)fN

30=0,75 fN

fN=40 N

En (II)F=4(40)

/. F=160 N

(III)

Clave ( E

l io

D in á m ic a

PROBLEMA N.° 120 Aplicamos la segunda ley de Newton

Se muestra una cabina que presenta una acele

ración o = 5 m/s2 Si las poleas son ideales,

determine la relación - -Zk, donde Tv 72 y 73Ti

son el módulo de la tensión en las cuerdas (1), (2) y (3), respectivamente.Datos: g=10 m/s2; mA=3mB=3 kg

A) 9/5

B) 18/25

C) 25/18

D) 14/27

E) 27/14

ResoluciónAl mantenerse tensa la cuerda (3), los bloques y las poleas se mantienen fijos a la cabina experimentando su misma aceleración.

mA=3 kg

mB=1 kgo=5 m/s"

La cabina está disminuyendo su velocidad.

FRA =mAa

30 — 7"1 = (3)(5)

Ti = 15 N (I)

DCL de la poleaAplicamos la segunda ley de Newton

Fr Mpolea0

7"2 — 27”1=(0)(5)

De (I)

72 = 2(15)

72 = 30 N

DCL del bloque B

FR=ma

73+10-72=(l)(5)

73 = 72-10 + 5

De (II)

7

73 = 25 N

73 = 3 0 -1 0 + 5

Nos piden

a

(ID

5 m/s"10 N

DCL del bloque A

5 m/s

7,

30 N

De (I), (II) y (III)

15x30 18(25)2 "25

Clave ( B

111


PROBLEMA N.° 121Sobre un bloque de 5 kg se aplica una fuerza vertical hacia arriba, cuyo módulo varía con el tiempo según F=(10 + 20f) N, donde t se mide en segundos. Calcule el módulo de la aceleración que adquiere el bloque 2 s después de haber perdido contacto con el piso. (g=10 m/s2)

A) 2 m/s2

D) 8 m/s2

B) 4 m/s" C) 6 m/s2

E) 10 m/s2

Fg=50 N

F= 30 N

R=20 N

• Parat= lsF=10 + 20f F= 10 + 20(1)F= 30 N

-> Fg>F

El bloque sigue en reposo, pero la reacción del piso ha disminuido.

• Para f=2 sF= 10+ 20(2) = 50 N

ResoluciónLa fuerza (f ) aplicada al bloque aumenta con el tiempo. Estudiemos al bloque para distintos tiempos.

f —50 N

Fg=50 N

F=10 N

R=40 N

Fg=50 N

Para f=0

F=(10 + 20f)

F= 10 + 20(0)

F=10 N

El bloque se mantiene en reposo.

En ese instante, la fuerza resultante sigue siendo nula, pero ftp¡so=0

El bloque ha perdido contacto con el piso,2 s después de este instante es t=4 s.

aF= 90 N

Fg=50 N

Para f=4 s Donde

F= 10 + 20(4) F= 90 N

112

n i1 lü ••D in á m ic a

Aplicamos la segunda ley de Newton Para hallar Tv analizamos la barra

FR=ma

(90-50) = 5a

a=8 m/s2

R4Í

Clave ( Do

T-y T,

PROBLEM A N.° 122En el sistema mostrado, la barra y la polea son de masas despreciables; además, las masas de los bloques A y B son 3 kg y 1 kg, respectivamente. Para que la barra permanezca en forma horizontal, ¿cuál debe ser la masa de la esfera? (g=10 m/s2)

A) 6 kg

B) 8 kg

C) 9 kg

D) 11 kg

LU 12 kg

ResoluciónSea m la masa de la esfera.

DCL de la esfera

Como la barra se mantiene horizontal, la esfera se mantiene en reposo.

Tx=mg

— m=T1/10

t7\

mg

(I)

Como la barra se mantiene horizontal, entonces no gira, y el momento resultante es nulo.

2 > o = £

r2(4í)=lr1r i = 4r2

M,

(II)

en (I)

m - l i10

Para determinar m analizamos la polea y los bloques

DCL de la polea

a

Para la polea (FR=0)

7W 7-3 (IV)

113


Los bloques presentan igual módulo de aceleración

aA=°B

F«a = % mA mB

30-T3 _ T3-103 1

7-3 = 15 N

En (IV)

72 = 2(15) = 30 N

En

m =4(30)10

m = 12 kg

Clave ( E

PROBLEMA N.° 123El bloque de 1 kg ingresa a una superficie lisa tal como se muestra en la figura. Si F es constante, ¿cuál es su módulo, si el bloque pasa por el punto P( 1; 2,5) m luego de 1 s de su ingreso?

A) 1N D) 4N

B) 2N C) 3N

E) 5N

ResoluciónComo la velocidad del bloque no tiene la dirección de la fuerza resultante, el bloque seguirá una trayectoria curva.

y(m) 2,5

- " :

1 X ( m )

Descomponemos el movimiento en dos direcciones Xy Y.• En X

t=1 s

x=l X (m)

La fuerza de gravedad se anula con la fuerza normal, y la resultante en X es nula; por consiguiente, en esta dirección, la velocidad es constante.

En Y

■ - - v

^=2,5 m

114

sacEn esta dirección, la fuerza resultante es F . Aplicamos la segunda ley de Newton

FR=maF=(l)a (I)

Como la trayectoria es recta y la aceleración es constante, se tiene un MRUV.

, 1 2a = v0gt + -at

(2,5) = 0 + - o (l)22

o=5 m/s

En (I)

F=( 1)(5)

F= 5 N

Clave ( E

PROBLEMA N.° 124Determine el módulo de la fuerza de reacción de parte de la pared del coche sobre la esfera de 1,5 kg. Considere que el coche presenta una aceleración de 6 m/s2. ig=10 m/s2)

A) 5ND) 8N

B) 15 N C) 2NE) 9N

D in á m i c a

Amor a Sofía-ResoluciónPara determinar la reacción de la pared estudiamos el movimiento de la esfera.

DCL de la esfera

Descomponemos el movimiento en los ejes Xy Y

En X

FR(X)-m aX

R +

R +

S JT-9 = (l,5)(6)

— |7" = 18v5 ) (I)

115


En Y

° y ~ 0 -» Fr(Y) - 0

- 7 = 12 5

7=20 N

Resolución

Estudiemos el movimiento de la barra mientras ingresa a la superficie rugosa, para ello lo dividimos en cuatro partes ¡guales.

En (I)

R + 4'!5

R = 2 N

(20) = 18

Clave ( C

PROBLEM A N.° 125

Una barra homogénea de longitud L es lanzada sobre una superficie horizontal, y al ingresar al tramo áspero se observa que el módulo de su aceleración varía según la gráfica adjunta. Calcule el coeficiente de rozamiento cinético entre el piso y la barra, (g = 10 m/s2)

L rugoso

x=0

A) 0,3 D) 0,7

B) 0,4 C) 0,6 E) 0,1

m m m m

L¡4 L/A L/A L/4 rugoso

mg

fNl fKr^ K mQ

2mg parte afectada por la fricción

parte afectada por la superficie lisa

Í n 7 / * ,= 2

3 mg

/w31

Amg

Í n , //í.=4 \iK™g

Se observa que mientras la barra ingresa a la parte rugosa, la fuerza de rozamiento aumenta, y como esta es la fuerza resultante, entonces el módulo de la aceleración también aumenta. Cuando la barra ingresa completamente a la superficie rugosa, la fuerza de rozamiento se mantiene constante y el módulo de la aceleración ya no cambia.

116

D in á m ic a

En general

m'gF j fK=\iKm'g

lisa-- - ' .........'Ín '1V '

PROBLEMA N.° 126En la figura, el sistema se encuentra en reposo; al extremo de la cuerda (A) se le aplica una fuerza constante de módulo 15 N. Determine el módulo de la aceleración (en m/s2) que experimenta el bloque B de 2 kg y el punto A de la cuerda. Considere que la polea es ideal.

En la barra homogénea, la densidad lineal es constante.

M m'V = — = — L x

m =y l )

Luego

i Mf K = ^ K m 9 = ^K \ — }gx

My I Qx


m

V-k gxa =

M

a =M .L

(x) (I)

Del gráfico, para x=/./2 o=3 m/s2

Reemplazamos en (I)

3= M i o ) aL v 2

^=0,6

Clave ( C

A) 10

B) 20

C) 15

D) 14

E) 12

ResoluciónAl aplicar la fuerza F a la cuerda, esta jala a la polea por sus extremos haciendo que esta se eleve conjuntamente con el bloque; por consiguiente, tanto el bloque como la polea tendrán la misma aceleración. (g=10 m/s2)

DCL sistema polea-bloque

T n

a

jfí

mBg

Segunda ley de Newton para el sistema

— polea2T-(mB)g=(mB)opo[ea 27’-20 = 2opoiea (I)

117


TambiénT=F=15N

En (I)2(15) 20=2opoíea

°polea = 5 m /s2

Para determinar la aceleración del punto A, mediante la cinemática, la relacionamos con la aceleración de la polea que es igual a la del bloque.

— --V-

polea

----

o.

L-y

- - - 5 --------------------

a r

i f

3lea L-y

y-4-

----—

La cuerda es inextensible; entonces la longitud inicial de la cuerda al inicio es igual a la longitud de la cuerda final.

Lo= l f

3L=[x+L)+2(L-y)

Luegox=2y

Como las fuerzas son constantes y las trayectorias son rectilíneas, tanto el bloque, la polea y el punto A experimentan MRUV.

Para el punto A

dA=v0t + - (°A )t2

Para la polea1 / \ -

^polea — T\°po lea y

(ID

(III)

Dividimos (ll)^(lll) x = aA _ 2y y °polea y

—2°p 0|ea

oA=2(5)

oA=10 m/s2

CLAVE (A,

PROBLEMA N.° 127Si el bloque A de 2 kg se desliza con una ace-

-yleración cuyo módulo es 4 m/s , determine la masa del bloque B. Considere que la polea es de masa despreciable. (g=10 m/s2)

A) 0,5 kg

B) 0,7 kg

C) 0,8 kg

D) 2 kg

E) 1,5 kg

liso

m(2)

(1)

118

D in á m ic a

ResoluciónPara determinar la masa de B, estudiamos a este bloque.

DCL del bloque B

EnT2=2(8) = 16 N

Para determinar aB, utilizamos los resultados del problema anterior.

ocmBg


FR=maB

mBg-T2=mBaB

mB =(9~ob)

(I)

DCL de la poleaAplicamos la segunda ley de Newton

oPu vííy

En (I)16mB =

(10- 2)

••• mB=2 kg

aA = 2 o B

Luego (4)=2os ao=2 m/s2

Clave

FR=mpap

T2-2T1 = (0)ap

T2=2Tx (N)

PROBLEMA N.° 128Las esferas lisas idénticas se mantienen en reposo respecto del camión. Determine el módulo de la aceleración o del camión.

DCL del bloque AAplicamos la segunda ley de Newton

FR=mAaA

7’1=(2)(4)

8 N

mAg-= ÉI I p Ti

R

A) 13,3 m/s"

B) 20 m/s2

C) 7,5 m/s2

D) 5 m/s2

E) 6 m/s2

119


Resolución

Como las esferas no se mueven respecto del camión, presentan la misma aceleración que el camión.

En X

f R = m a x

R2-3T'=maR2=3T'+ma (III)

DCL del sistemaCalculamos (I) y (II) en

r2 /■mg2/770-3

3o = —o4

V 4r

+ /770

0 = 7,5 m/s"

Clave (C

Segunda ley de Newton para el sistemaFR = mcOc

(s) s s

R2 = (2m)o

DCL de la esfera 2

(I)

PROBLEMA N.° 129Una tabla tiene un escalón cuya altura es H, y en el cual se apoya una esfera de radio R (R=SH). Calcule la máxima aceleración de la tabla tal que la esfera no vuelque sobre dicha tabla.

íg=10 m/s2)

X

Y

En YFn =0Ry

47' = /T7g

r = mQ

A) 5 m/s2

B) 7,5 m/s2

C) 10 m/s2D) 12,5 m/s2

E) 15 m/s2

120

D in á m ic a

ResoluciónAl no volcar la esfera, esta presenta la misma aceleración que la tabla.

a

X

Utilizamos la segunda ley de Newton En X

F R x = m a x

3R'=ma 3 R'a -m (O

La aceleración es máxima si R' adquiere su valor máximo.

Fo =0

4 R'+fN=mg

R1 —Mmáx. 4 ;

Además, R' es máximo cuando/w=0.

LuegoR' = nmáx.

mg

En (I)3 (mg) m 4

o=7,5 m/s2CLAVE ( B )

PROBLEMA N.° 130En el instante mostrado, un bloque es soltado en un plano inclinado rugoso que se encuentra en un ascensor que asciende con velocidad constante. Determine cuánto asciende el ascensor hasta el momento que el bloque llega a la base del plano inclinado. (g=10 m/s2)

v=5 m/

w

) : C \Q v=0

V i / s O i ;> x c

'

) {X 3 7 °1 1 1 ■ | 11 H 11

1,5 m

A) 1 m

D) 4 m

B) 2 m C) 3 m

E) 5 m

ResoluciónEl ascensor experimenta un MRU.

d-vt d=St (I)

Dondet: tiempo en que el bloque llega al piso del ascensorPara calcular t, estudiamos el movimiento del bloque. Si lo estudiamos desde tierra, el análisis se complica. Conviene colocar un observador en el inferior del ascensor.Como el ascensor tiene velocidad constante, es un sistema de referencia inercial; las leyes de Newton se cumplen como si lo estudiáramos desde tierra.

121

Lu m b r e r a s E d it o r e sm

10 m

En /Fr y = 0

f N=Sm

-> fx= M'/f/N

fK =fK=m

' l Y ,- \Sm 8 )

En XFRx =max

Sm-fK=mo 6m-m=ma o=5 m/s2

Aplicamos MRUV

dAB = 2 ° f2

(2/5) = i (5 )f2

í= l s

En (I)d=( 5)(1) d= 5 m

PROBLEM A N.° 131Si el sistema mostrado es abandonado, determine la aceleración que experimenta la cuña. Desprecie todo tipo de rozamiento.

A, ^A) — 9 4

D) f g

Resolución

b) ~ g a f .

« f

Al ser soltado el sistema, el bloque y la cuña aceleran. Por otro lado, las fuerzas al ser constantes originan que la aceleración del bloque y de la cuña sean constantes; por consiguiente, ambos experimentan MRUV.

Análisis cinemático

Clave

Note que la cuña y el bloque avanzan lo mismo (í).

trayectoria \ del bloque \

122

D in á m ic a

El desplazamiento del bloque lo descomponemos en dos direcciones.

d = dx +dY

En X: MRUV0 1dx = vQ/ r t + -axt

x / U ) a X

!= i0xt2 (i)

Del gráfico

V iFg(X)=— m9

Fg(Y) ~

Í n(x)

2V3-mg

2V3

V i

//N

En Y\ MRUV1 2dY =v0. J + -at

(y) 2

!=-Oyt2

Aplicamos la segunda ley de Newton en X

FR(X)~ma(X)

Fg(X)~fN(X)~mo(X)

Para la cuña1 2

dc =v/Of + - °c í

í=-oct2 2 c (IM)

Reemplazamos

V i 2V Í~ T mg— Y ^ N = mo

De (I), (II) y (III) se deduce queox-aY-oc-o

Análisis dinámicoPara el bloque, descomponemos las fuerzas en los ejes X y Y.

Luego

V i mg - 2 V i f N = 3/r?o (I)

Aplicamos la segunda ley de Newton en Y

FR(Y) = m°(Y]

F g ( Y ) ~ T ~ f N { Y ) - m a (Y)

Reemplazamos

2V Í T V i ,— m g-T-— fN = mo

2 Vi/ng - 37 - VÍ/W = 3mo (II)

ax=a

123


Para la cuña PROBLEM A N.° 132Se muestra una pequeña esfera de 2 kg que desarrolla un movimiento circunferencial en un plano vertical, unida a una cuerda de 1,5 m. Para el instante mostrado, determine el módulo de la fuerza que ejerce el clavo sobre la cuerda. (g=10 m/s2)

En el eje X

FR(X) = m a (X)

T +— y¡3-— = ma2 2

T + V3/w = 2mo

37" + 3V 3 fN =6/770

De (ll) + (lll)

2yÍ3mg + 2y¡3fN =9 mo

(III)

A) 16 N B) 26 N C) 36 ND) 46 N E) 56 N

ResoluciónRespecto al clavo, la esfera describe una circunferencia de 0,5 m de radio. Calculemos el valor de la tensión en el instante mostrado. Para ello se trabaja en los ejes radial y tangencial.

(IV)

De (l) + (IV)

3V3 mg = 12/770

Clave (A

124

D in á m ic a

UsamosFCp macp

mv r

2-32 0,5

7-10=367=46 N

7-10 =

7-10 =

Finalmente

ResoluciónGrafiquemos lo que ocurre.

V t

2 s ^ ' ^ 4 0 m/s50 m/s, 30 m/s

40 m/s

La tuerza resultante de las dos fuerzas que forman 120° y son de igual módulo es 46 N.

Por lo tanto, el módulo de la fuerza que el clavo le ejerce a la cuerda es 46 N.

_ C lave ( d )

PROBLEMA N.° 133Se lanza un proyectil con una velocidad de50 m/s haciendo un ángulo de 37° con la horizontal. Halle el módulo de la aceleración tangencial, en m/s , del proyectil luego de 2 s del lanzamiento. (g=9,81 m/s2)

A) 0,25 B) 1,89 C) 2,03D) 2,46 E) 4,48

UNI 2004-11

Luego de 2 s, la componente vertical de la velocidad es

V = % - 9 f v„=30-(9#81)(2) i/y= 10,38 m/s

Entonces, luego de 2 s, los componentes de la velocidad serán 40 m/s y 10,38 m/s. Para ese instante asociamos una circunferencia.

eje tangencial

V

eje radial

41,32 X '

Z . . .40

10,38

125


10,38sena =----41,32

senoc=0,251

Graficamos la fuerza de gravedad

90°-a

(I)

Ahora calculamos el módulo de la aceleración tangencial

J" T _ ffigsenam ffi

oT =

aT=g sena

De (I)-> ar=9,81(0,251)

/. ar=2,46 m/s2

Clave (D )

PROBLEM A N.° 134Un pequeño objeto se lanza desde el piso de tal manera que desarrolla un MPCL. Si su velocidad inicial es v = (l0; 40) m/s, determine el menor radio de curvatura de la trayectoria que describe dicho objeto, [g = ío(-y) m/s2)

A) lmD) 20 m

B) 5m C) 10 m E) 40 m

ResoluciónSea p el radio de curvatura.

Para el trayecto del objeto, en cada instante, le asociamos una circunferencia, de modo que en el eje normal se verifica.

v/2a N = —

P

aN: módulo de la aceleración normal

El menor radio de curvatura para el MPCL se obtiene cuando la rapidez es mínima, y ello ocurre cuando la velocidad es horizontal.

vmín=l°m/s

° n - 9 \

40 m/s* r/

/O

W' 10 m/s

Se tiene en la parte más alta de la trayectoria oN=g

= 9, min.Pmín.

lo2 loo= 10 —i Pmín. — "T7T

Pmín. 10

Pmín =10 m

Clave (C

126

D in á m ic a

Haciendo la suma vectorial de las fuerzas

Fcp=mM2r

Fco = 2,4x42 x — = 32 N p 6

Del triángulo, 7=40 N Además

/ríco2rtana =

a)2rtana =---

Reemplazamos los datos

tana = —

4tana = — 3

a=53°

Ahora veamos el nudo donde se unen las tres cuerdas.

PROBLEM A N.° 135Una pequeña esfera de 2,4 kg gira con trayectoria circunferencial en un plano horizontal y con rapidez angular constante co=4 rad/s. Determine el módulo de la tensión en la cuerda (1). (g=10 m/s2)

ResoluciónLa esfera presenta rapidez angular constante. En consecuencia, sobre ella solo hay fuerza centrípeta (Fcp).

2A=mg centro ►---

Fcp=m 0) r

La masa de las cuerdas es despreciable, por ello m=0.

Aplicamosfr e s = ™ °

o

Luego

Ncentror=5/6 m . " '

A)

B)

C)

D)

E)

15 N

20 N

25 N

30 N

40 N

127


T= 40 N

a=53°

r1cos37°=20 N

ri' l = 20 N

7"1=25 N

Clave ( C

A) 3000 N; horizontal mente hacia el eje del cilindro

B) 3000 N; vertical hacia arriba

C) 1500 N; vertical hacia abajo

D) 1500 N; horizontalmente hacia el eje del cilindro

E) 600 N; vertical hacia arriba

UNI 2004-1

Resolución

El muchacho mantiene una rapidez angular constante, es decir, realiza MCU en la horizontal.

PROBLEM A N.° 136En los juegos mecánicos de una feria, un cilindro sin fondo de 2 m de radio (ver figura) gira con velocidad angular co=5 rad/s. El coeficiente de fricción estático entre el muchacho, cuyo peso es de 600 N, y la superficie interna del cilindro es |lx=0,5. Si el muchacho no resbala hacia abajo, ¿cuál es el valor y la dirección de la fuerza de rozamiento sobre el muchacho? (g=10 m/s2)

En la vertical se cumple

E*(t)=2>U)f5=600 N

mg-600 N

(I)

Para verificar esta respuesta, hallemos el valor máximo de la fuerza de rozamiento estático.

fs , = jliSN- max. r J

/c = 0,5 N-rnax. (N)

128

Sebas ssc D i n á m ic a

La normal (A/) es la fuerza centrípeta (Fcp) para el muchacho. Luego usamos

Fcp=mco2r

N=mui2r

/V=60x 52x 2

A/=3000 N

Reemplazamos N en (II)

fe , =0,5(3000 N)■°max. ' '

fe , =1500 N-‘max.

Por lo tanto, la fuerza de rozamiento estático (/s) de la expresión (I) no supera el valor máximo de 1500 N, con lo cual se asegura que la fuerza de rozamiento sobre el muchacho es 600 N hacia arriba.

A) 20V7 rad/s

B) 10V7 rad/s Amor a Sofía

_ C lave ( e )

C) 20J - rad/s

D) rad/s

E) 5V2 rad/s

ResoluciónEl bloque no se mueve respecto a la plataforma; sin embargo, respecto a la tierra, describe una trayectoria circunferencial.

Aplicamos la siguiente ecuación

u = / w =0 75 = l3 N 4

PROBLEMA N.° 137El sistema rota con rapidez angular constante. Si el bloque está a punto de resbalar hacia arriba de la plataforma, calcule la rapidez angular. (g=10 m/s2)

trayectoriacircunferencial

ángulo de rozamiento

¡is=0,75

La fuerza de rozamiento es estático máximo (/smáx) hacia abajo, ya que el bloque está a punto de resbalar hacia arriba.

El radio de la trayectoria circunferencial es r=0,3 m.

129


El bloque realiza MCU; por tal motivo, la resultante de las fuerzas apunta hacia el centro de la circunferencia.

Del triángulo

tan74°= /fío)2/

tan74°= (ú2r


24 _ (ú2 0,3 7 ~ 10

2 800o =---

(0 - rad/s

Clave (C

PROBLEMA N.° 138

Determine la mínima rapidez angular (co), de modo que el bloque no se deslice sobre la plataforma inclinada. Considere que g=10 m/s2;

21° 2_11

tan-- = — .

to

Resolución

Si la plataforma rota lentamente, el bloque aumenta su tendencia a deslizar hacia abajo. Entonces la mínima rapidez angular (o)mín ) ocurre cuando el bloque esté a punto de resbalar hacia abajo. En tal sentido, la fuerza de rozamiento estático está dirigido hacia arriba.

Por otro lado, cuando se obtiene comín , esta se mantiene de manera que el bloque realiza un MCU. Esto se traduce en solo tener fuerza centrípeta (Fcp).

130

D in á m ic a

centro Fcp=m(ú2mín.r

Del triángulo21° /¿co 2minr

fhgtan-

2_11

^mín/g

'min. rad/s

Clave ( E

PROBLEM A N.° 139Un pequeño bloque se encuentra sobre un disco horizontal inicialmente en reposo. De pronto, el disco comienza a rotar con una aceleración an- guiar constante de módulo oc=3 rad/s . Determine después de cuántos segundos de iniciado el movimiento el bloque está a punto de deslizar.

A)V5 V i

B) 3 5C) - s

3

ResoluciónEl disco aumenta su rapidez angular, de modo que el bloque tiende a alejarse del eje de rotación y a salir tangencialmente. Sin embargo, en cierto instante alcanza una velocidad angular, con lo cual solo tiende a alejarse del eje de rotación y no a salir por la tangente. En consecuencia, el bloque mientras está a punto de resbalar realizará MCU.

El bloque realiza MCUV, luego usamosoo p=

(JOco = at —» t = —

aoo

t = —3 (I)

Aplicamos dinámica circunferencial

FCp macp

h max. =m(X> r

\i5N=mu>r

[isjríg = jríco"

cd- J M

00 =0,5-10

D) E) l soo = t¡5 rad/s (II)

00=0 oo=cte

Smáx.

; a=cte.

131



* * t = — s3

_C lave (A)

PROBLEMA N.° 140Un pequeño bloque de 2 kg se ubica a 50 cm del centro de una plataforma circular. De pronto, la plataforma comienza a rotar con aceleración angular de módulo 2 rad/s2. Determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque1 s después de haberse iniciado la rotación, considerando que el bloque aún no resbala sobre la plataforma.

A) 1NB) 2V2 NC) 2 ND) 2V5 NE) V2 N

ResoluciónEl bloque al no resbalar sobre la plataforma presenta aceleración angular constante, es decir, MCUV. Por tal motivo, tiene aceleraciones centrípeta (ocp) y tangencial (or).Calculamos aT

aT=araT= 2(0,5)aT= 1 m/s2

Calculamos ocpacp=(o r

Calculamos la rapidez angular (co) luego de 1 s co=to0+af C ü = 0 + 2 ( 1 )

o)=2 rad/s

Reemplazamos en (I)aCD=22(0,5)

.2*cpacp=2 m/s"

Ahora calculamos la fuerza centrípeta (Fcp) y fuerza tangencial (Ft)• Fcp=macp

Fcp=2(2)=4N• FT-maT

FT= 2(1) = 2 N

Luego

1 fuerza

fuerzatangencial

Del gráfico• / ij= f» = <N

• /s2 = f t = 2 N

La fuerza de rozamiento estático (/s) total sobre el bloque es

fs = +fs2

fs = 4 ^ i 2

/s = 2V 5 N

°cp=C0 (0,5) (O Clave ( D

132

D in á m ic a

PROBLEMA N.° 141

La barra doblada rota en un plano horizontal con rapidez angular constante ( jo . El collarín de 100 g no se desliza respecto a la barra, y el resorte está comprimido 5 cm. Determine (jl>. Considere que K= 100 N/m, y la longitud natural del resorte es igual a 15 cm.

A) s M r- ^S

B) sVlO —S

rads

D) 2VIÖ —s

r radE) 5v5 --s

ObservaciónLa longitud del resorte comprimido es 10 cm, puesto que su longitud se reduce en 5 cm.

El collarín realiza MCU por presentar rapidez angular constante. Por lo tanto, la resultante de las fuerzas apunta hacia el centro de la circunferencia.

centro

ejeradial

ResoluciónGrafiquemos las fuerzas en el plano horizontal.

trayectoria ' circunferencial

eje radial

Del triángulo

Fcp= ION

mw 7=10

0,lco2(0,l) = 10

2 10(00,01

co2=1000

m = io V S ^s

Clave (C

133

i PROBLEMAS PROPUESTOSm

N iv el b á s ic o

1. Respecto a la inercia, indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).I. Es una fuerza.II. Es una propiedad de los cuerpos.III. Se mide con la masa.

A) VVFB) FVVC) FFVD) FFFE) VW

2. Sobre un cuerpo, la fuerza resultante es nula. Indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).I. Necesariamente, el cuerpo está en re

poso.II. No tiene inercia.III. El cuerpo no puede acelerar.

A) VVFB) FVVC) FFVD) FFFE) V W

3. Sobre un cuerpo de masa constante, la fuerza resultante es vertical dirigida hacia arriba. Indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).I. El cuerpo presenta, necesariamente,

aceleración vertical hacia arriba.II. El cuerpo aumenta, necesariamente, de

velocidad.III. Podemos afirmar que su trayectoria es

curvilínea.

A) VFFB) FVVC) FFVD) FFFE) V W

4. Un bloque se lanza sobre una superficie horizontal lisa. Indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F) respecto a lo que sucede luego del lanzamiento.I. Sigue moviéndose ya que la fuerza de

lanzamiento sigue actuando sobre ella.II. El cuerpo disminuye su velocidad.III. Aumenta su inercia.

A) VVF B) FVV C) FFVD) FFF E) V W

134

■P-D in á m ic a

5. Se tiene un bloque de acero y otro de madera; ambos de 1 kg en reposo sobre una superficie horizontal lisa. Indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).I. Se entiende el bloque de acero presenta

mayor inercia.II. Si sobre cada bloque actúa una fuerza

horizontal de igual módulo, entonces el módulo de la aceleración de cada uno de ellos son iguales.

ill. Al ser lanzados con la misma velocidad y de la misma posición sobre la superficie horizontal lisa, el bloque de madera adelanta al bloque de acero.

A) VVFB) FVV

C) FFVD) FVFE) VVV

6. Un bloque de masa m se lanza hacia arriba sobre un plano inclinado liso. Indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).I. Las aceleraciones con las que asciende

y luego desciende son iguales.II. Si la masa del bloque se duplica, su ace

leración sobre el plano inclinado se reduce a la mitad.

III. Si el ángulo de inclinación del plano aumenta, la aceleración del bloque también aumenta.

A) VFV B) FVV C) FFVD) FFF E) VVV

7. Un bloque de masa m se suelta sobre un plano inclinado liso que forma un ángulo 0 con la horizontal. Indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).I. El módulo de la aceleración con la que

desciende es gsen0.II. Al descender el bloque, experimenta un

MRUV.III. Si el ángulo 0 disminuye, entonces el

módulo de la aceleración del bloque disminuye.

A) VFVB) FVVC) FFVD) FFF

E) VVV

8. La fuerza resultante sobre un bloque tiene dirección opuesta a su velocidad. Indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F) respecto de dicho bloque.I. Disminuye la velocidad.II. Necesariamente describe una trayecto

ria rectilínea.III. Si la fuerza resultante es constante, el

bloque en algún momento aumentaría su velocidad.

A) VFVB) FVVC) FFV

D) FFFE) VVV

135


g. Una persona jala el extremo de un hilo y este adquiere una aceleración de módu- lo igual a 4 m/s . ¿Cuál es el módulo de la fuerza de tensión que experimenta el hilo? La masa de la esfera es 4 kg. (g=10 m/s2)

A) 52 N

D) 64 N

B) 46 N C) 56 N

E) 68 N

10. Al extremo de la cuerda se le aplica una fuerza horizontal de módulo F=60 N. ¿Cuál es el módulo de la aceleración que experimenta la esfera A?

Datos: mA=2 kg; mB=l kg; g=10 m/s2

A) 4 m/s B) 5 m/s C) 7 m/s"

11. Para el problema anterior, determine el módulo de la fuerza de tensión que experimenta la cuerda que mantiene unida a las esferas.

A) 14 N

D) 20 N

B) 12 N C) 16 N E) 24 N

12. Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones.

I. Si sobre un cuerpo actúan fuerzas, entonces este experimentará, necesariamente, aceleración.

II. La segunda ley de Newton nos dice que la aceleración es directamente proporcional a la fuerza resultante y a la masa.

III. La dirección de la aceleración no siempre coincide con la dirección de la velocidad.

A) VVV D) FFV

B) VFV C) FVV E) FFF

13. En el instante mostrado, el resorte está estirado 20 cm. Calcule la aceleración que experimente el bloque en dicho instante. Datos: K=4 N/cm; g= 10 m/s2

D) 8 m/s" E) 10 m/s"

A) 14 m/s2 H )C) 15 m/s2 (<—)D) 18 m/s2 (->)

B) 12 m/s2 (<-)

E) 10 m/s2 (->)

136

D in á m ic a

14. Un bloque ¡nidalmente en reposo se desplaza por una superficie horizontal lisa por acción de una fuerza constante de 100 N. Si después de 3 s la fuerza deja de actuar sobre el bloque, determine el recorrido en los primeros 10 s de movimiento, (bloque" 10 k§)

A) 255 m B) 260 m C) 265 m D) 275 m E) 270 m

15. Si el coche mostrado experimenta una aceleración cuyo módulo es 5 m/s2 y la lecturadel dinamómetro es 20 N, calcule el módu- 17

lo de la reacción del coche sobre el bloque. Desprecie el rozamiento. (g=10 m/s2)

ii

A)

B)C)D)

E)

16. Determine el módulo de la fuerza que ejerce la pared del coche al bloque A, si el bloque C de 10 kg experimenta una aceleración de 5 m/s2. Desprecie todo rozamiento. Datos: /ncoche=6 kg; g=10 m/s

I

2 N 6 N

8 N 10 N 12 N

A) 5 N B) 10 N C) 15 N

D) 20 N E) 25 N

Si los bloques de 8 kg y de 4 kg son soltados simultáneamente desde una misma altura, indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones.

I. Si 0=(3, llegan simultáneamente al piso.II. Si (3 > 0, el bloque de 4 kg llega primero

al piso.

III. Si P < 0, el bloque de 8 kg llega después al piso.

A) VVV

B) VFF

C) FVF

D) VVF

E) FFF

i

í137


18. Considerando el módulo de la fuerza del aire constante, calcule el módulo de la aceleración que experimenta un cuerpo cuando desciende verticalmente, si cuando asciende verticalmente su aceleración tenía un módulo de 15 m/s2. (g=10 m/s2)

A) 1 m/s2 B) 2 m/s2 C) 3 m/s2 D) 4 m/s2 E) 5 m/s2

19. En el sistema de cuerpos homogéneos mostrados, indique las proposiciones correctas.

I. El módulo de la fuerza resultante sobre Bes 20 N.

II. El módulo de la reacción en M es 20 N.III. El módulo de la reacción en N es 10 N.

A) solo I B) solo II C) I y II D) I y III E) todas

20. Si el bloque de 2 kg desliza disminuyendo su rapidez en 10 m/s por cada segundo, determine el módulo de la fuerza de reacción de la pared sobre el bloque. (g=10 m/s2)

A) 50 N B) 10V5N C) 30 N D) 5V41N E) 20V5N

21. Si la esfera de 2 kg describe un movimiento circunferencial, indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).

I. En P, la reacción de la superficie es nula.II. En B, la fuerza resultante está dirigida al

centro de la circunferencia.III. En M, la fuerza resultante no apunta al

centro de la circunferencia.

A) FFV B) VVF C) VVV D) VFF E) FFF

22. Una partícula de 100 g describe un MCU con un periodo de n/2 s. ¿Qué módulo tiene la fuerza resultante, en N, sobre ella? (radio de la trayectoria: 10 cm)

A) 0,16 N

CQ 1,6 N

C) 16 ND) 160 N

LU 1600 N

138

D in á m ic a

23. Una esfera de 1 kg experimenta un movimiento circunferencial. Si pasa por A con una rapidez de 10 m/s, y en B la reacción de la superficie lisa es 80 N, indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).(g=10 m/s2)

25. En una montaña rusa, el coche lleno de personas tiene una masa de 600 kg. Si el coche tiene una rapidez de 20 m/s en el punto A, calcule el módulo de la fuerza vertical que le ejerce la pista en dicho punto. (g=10 m/s2)

circunferencia de curvatura

I. En A, la fuerza centrípeta es 50 N.

II. La rapidez en B es >/l40 m/s.

III. En A, la aceleración tangencial es 10 m/s2.

A) VVV B) VFV C) FFV

D) FFF E) FFV

24. Una pequeña esfera de 0,5 kg se mantiene girando sobre una superficie horizontal lisa describiendo una circunferencia de 0,8 m de radio, con un periodo de 0,4 s. Determine el módulo de la fuerza centrípeta.

A) 10 kN B) 40 kN C) 30 kN

D) 20 kN E) 50 kN

26. Una esfera de 4 kg es abandonada en A. Si cuando pasa por el punto 8 la superficie lisa le ejerce una fuerza de 96 N, ¿cuál es la rapidez de la esfera en ese instante? (g=10 m/s2)

A) 6ti2 N B) 7n2 N C) 87i2 N

D) 97i2N E) 10tt2 N

A) 1 m/s B) 2 m/s C) 3 m/s

D) 4 m/s E) 5 m/s

139


27. Calcule el módulo de la reacción de la superficie lisa en P, si la esfera de 2 kg al pasar por dicho punto presenta una rapidez de 2V 5 m/s. (g=10 m/s2)

30.

O

A) 5 N D) 30 N

B) 20 N C) 15 N E) ION

28. En el instante mostrado, el módulo de la tensión en la cuerda es 34 N. Calcule el módulo de la aceleración centrípeta. Datos: /?7esfera=2,5 kg; g = 10 m/s2

A) 2 m/s"B) 3 m/s"C) 4 m/s"D) 5 m/s2E) 6 m/s"

29. Si el bloque de 4 kg no se mueve respecto de la plataforma que gira con rapidez angular constante de 5 rad/s, ¿cuál es el módulo de la reacción de la plataforma sobre el bloque? Datos: r = 0,3 m; g = 10 m/s2

A) IONB) 40 NC) 20 ND) 30 NE) 50 N

Una esfera realiza un movimiento circunferencial en un plano horizontal liso. Si el módulo de la tensión en la cuerda cuando la esfera pasa por A es 10 N, determine el módulo de la tensión cuando la esfera pasa por B. Considere que F es tangente a la trayectoria.

'/1 m/s

31. Se muestra una esfera de 0,5 kg que gira en un plano vertical atada a una cuerda de0,4 m. Si los módulos de sus velocidades en A y B son 6 m/s y 2V 5 m/s, respectivamente, determine los módulos de la tensión que soporta el cable en dichos puntos. (g=10 m/s2)

/ B- ■*- A

A) 50 N; 29 NC) 33,4 N; 20 ND) 34 N; 20 N

B) 35 N; 15 N

E) 55 N; 15 N

ü)

140

D in á m ic a

32. En el gráfico mostrado, los cuerpos realizan un movimiento circunferencial en un plano horizontal liso. Si el valor de la fuerza de tensión en la cuerda (1) es 10 N, determine el valor de la fuerza de tensión en la cuerda (2).

Cpeje

A) 1

D) 20

B) 2 C) 4

E) 8

A) 4N

D) ION

B) 6N C) 8N

E) 12 N

35. Se muestra una pequeña esfera describiendo un péndulo cónico. Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones.

33. Una pequeña esfera lisa de 5 kg se desplaza por la superficie esférica y describe una circunferencia. Si al pasar por P presenta una rapidez de 2 m/s, y la superficie le ejerce una fuerza de 60 N, determine el ángulo 0. Datos: g=10 m/s2 y r= l m

A) 16°

D) 74°

B) 37° C) 30°

E) 53°

34. Si el sistema rota con rapidez angular constante de Vl0rad/s, ¿qué deformación, en cm, presenta el resorte de rigidez 400 N/m?

I. Si co aumenta, el ángulo 0 también.

II. Si co es constante, la fuerza resultante se dirige al punto O.

III. Si ü) es constante, el ángulo 0 es independiente de M.

A) VFF

B) VVV

C) FVV

D) VFV

E) FVF

141


N iv el in t e r m e d io

36. Un bloque de masa M se desliza sobre la superficie lisa e impacta con el resorte que está unido al bloque de masa 2M. Calcule la aceleración (en módulo) que presenta 2M cuando M presenta 3 m/s2.

38. Una cadena de 1 m y 5 kg es jalada tal como se muestra. Determine la tensión en el punto que está a 20 cm del extremo superior. (g=10 m/s2)

A) 3 m/s2

B) 6 m/s2

C) 1,5 m/s2

D) 1 m/s2

E) falta conocer i/1

37. Se lanza un bloque con una rapidez de 12 m/s. A partir de dicho instante, ¿cuánto es el tiempo que debe transcurrir para que su rapidez sea 8 m/s. (Mb|oque=3 kg; g=10 m/s2)

A) 5 s

D) 8 s

B) 12 s C) 6 s

E) 10 s

A) 40 N

D) 64 N

B) 60 N C) 42 N

E) 56 N

39. Una argolla metálica de 10 kg de masa puede deslizarse por una guía horizontal lisa. La argolla está unida a un resorte de 24 cm de longitud natural. ¿Qué aceleración experimenta la argolla en la posición mostrada? Datos: K= 80 N/cm; g=10 m/s2

l-- 20 cm — i

A) 8 m/s

B) 7,4 m/s2

C) 7 m/s2

D) 6,4 m/s2

E) 6 m/s2

142

D in á m ic aWT

40. Se observa que un sistema es abandonado. Si la máxima tensión que soporta la cuerda es 42 N, ¿cuál es el máximo valor de m, de tal forma que la cuerda no se rompa? (gr=10 m/s2)

3 kg

42. Determine la diferencia de las aceleraciones en los dos casos para el bloque de 10 kg. (g=10 m/s2)

© ©

A) 4 kg

D) 8 kg

B) 6 kg C) 7 kg E) 5 kg

41. Si en los sistemas mostrados no existe rozamiento, podemos afirmar que

(2 )

I. los sistemas (1) y (2) realizan MRUV.

II. el módulo de la aceleración del sistema (1) es mayor que el sistema (2).

III. presentan la misma aceleración los bloques del sistema (1).

A) solo I

D) II y III

B) solo II C) solo I

E) 1,11 y

A) 10 m/s2 B) 15 m/s

D) 2 m/s2

2 C) 6 m/s2

E) 8 m/s2

43. Un sistema es soltado en la posición mostrada. Calcule el módulo de la aceleración del bloque 6 y la tensión en la cuerda. (g=10 m/s2)

A) 5 m/s2; 10 NB) 2 m/s2; 24 N

C) 4 m/s2; 25 N

D) 4 m/s2, 28 N

E) 2 m/s2; 30 N

143


44. Se lanza un bloque, como muestra la figura, con una rapidez de 16 m/s. Determine luego de cuántos segundos se detiene. Considere que el tramo AB es liso y el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie rugosa es 0,5. (g = 10 m/s2)

A) 1 s rug°so

B) 2 s i/=16 m/sC) 3 s

D) 4 s

E) 5 s

45. Una pesa está colgada de un hilo inextensible. Si esta pesa se eleva con una aceleración de 2 m/s2, el módulo de la tensión del hilo será la mitad del valor necesario para que el hilo se rompa. ¿Con qué aceleración debe subir la pesa para que el hilo se rompa? (g=10 m/s2)

A) 10 m/s2 B) 16 m/s2 C) 12 m/s2

D) 14 m/s2 E) 18 m/s2

46. Calcule el valor de la aceleración del bloque A, si la lectura del dinamómetro es de 60 N. Datos: ^ = 5 kg; g=10 m/s2

...................................................................

A) 7 m/s2 B) 6 m/s2 C) 5 m/s2

D) 3 m/s2 E) 4 m/s2

47. En la figura, determine el módulo de la aceleración que experimenta el bloque de5 kg. (g=10 m/s2)

A) 1,5 m/s2

B) 2,5 m/s2

C) 3,5 m/s2

D) 4,5 m/s2

E) 5,5 m/s2

48. Si el sistema es soltado en la posición mostrada, ¿luego de cuánto tiempo de ser soltado, el bloque B impacta en el piso y qué valor tiene la tensión que soporta la cuerda antes del impacto? Datos: g=10m/s ; mA=2 kg, mB=3 kg; L > 3 m

J l kg

A) 2,5 s; 15 NB) 2 s; 20 NC) 1 s; 12 ND) 0,5 s; 18 NE) 0,8 s; 16 N

dinamómetro

144

49. En el sistema mostrado, F es constante y el bloque A acelera a razón de 6 m/s2. Determine la masa del bloque B.

Datos: mA=3 kg; g- 10 m/s2

D i n á m i c a

Amor a Sofía51. El coche mostrado está viajando a veloci

dad constante junto con la caja. Calcule el valor máximo de la aceleración que puede experimentar el coche de manera que la caja no se deslice.

Datos: ¡is=0,5; g=10 m/s2

A) 1,5 kg

D) 2,5 kg

B) 1 kg C) 2 kg

E) 3 kg

50. En el gráfico se muestra una tabla de 3 kg que se desliza sobre una superficie horizontal lisa. Si la pared lisa ejerce sobre el bloque B una fuerza de módulo 10 N, ¿cuál es el módulo de la aceleración con la que desciende el bloque A?

Datos: g=10 m/s ; mA = 2 kg

A) 4 m/s"

B) 5 m/s"C) 3 m/s"

D) 2 m/s"

E) 6 m/s2

52. Si el coche es de 10 kg, calcule la resultante de la fuerza que el coche ejerce al bloque de 2 kg. (g=10 m/s2)

A) 1 m/s B) 4 m/s2

D) 2 m/s2

C) 3 m/s2

E) 6 m/s2

A) 20 N

B) 40 N

C) 20\¡2 N

D) 40V2N

E) 50 N

F=120N

145


53. Si al aplicar la fuerza F constante al sistema mostrado la cuña de masa m no se mueve respecto del carrito, determine la m.Datos: M =6 kg; g= 10 m/s2

56. Una plataforma rota con rapidez angular constante. Si el bloque no se mueve respecto de la plataforma, ¿cuál es la longitud natural del resorte?

54.

A) 1 kgB) 2 kgC) 3 kgD) 4 kgE) 5 kg

En el gráfico, el coche experimenta una aceleración constante de 4 m/s2. Si la tensión en la cuerda es de 20 N, determine la reacción de la pared sobre la esfera que no se mueve con respecto del coche. (g=10 m/s2)

A) 2 N

co 4 N

C) 7 N

D) 6 N

E) 8 N

F ==

55. Si la esfera permanece en reposo respecto de la cuña, calcule el módulo de la aceleración constante de la cuña. (g=10 m/s2)

57.

A) 47,25 cmC) 56,25 cmD) 45,25 cm

B) 43,75 cm

E) 52,75 cm

En el gráfico se tiene un cuerpo en reposo. Si la plataforma empieza a rotar, calcule su máxima rapidez angular constante con que puede rotar, de tal forma que el cuerpo no se mueva respecto de la plataforma.

cbw

A) 2 rad/s B) 3 rad/sA) 18 m/s2 B) 8 m/s2 C) 12 m/s2 C) 4 rad/sD) 6 m/s2 E) 15 m/s2 D) 5 rad/s E) 1 rad/s

146

D in á m ic a

58. En el gráfico, las esferas se mueven en un plano vertical y están unidas por cuerdas de igual longitud. ¿En qué relación están los módulos de las tensiones en las cuerdas para el instante mostrado? Considere que g=ío2í

OvÜítí

2 M

M

60. Para el instante mostrado, los módulos de las aceleraciones tangencial y centrípeta son iguales. Determine el módulo de la tensión en la cuerda para dicho instante. (g=10 m/s2)

A) 12 N

D) 28 N

B) 16 N C) 24 N

E) 32 N

A) 1/3

D) 4/9

B) 2/7 C) 3/7

E) 2/9

59. El sistema mostrado gira con rapidez angular constante. Si la esfera de 4 kg es homogénea y tiene un diámetro de 20 cm, ¿cuál es el módulo de la reacción de la superficie en Al

61. ¿Qué rapidez como máximo podrá alcanzar un automóvil sin resbalar cuando tome una curva circunferencial de 50 m de radio si el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y el pavimento es is=0,8? (g=10 m/s2)

A) 10 m/s B) 130 m/s C) 5 m/s

D) 25 m/s E) 20 m/s

62. Un ciclista en un velódromo se desplaza con una rapidez de 10 m/s. Si en un instante dado el radio de la circunferencia de su trayectoria es 20 m, calcule el ángulo de peralte de la pista. Desprecie el rozamiento lateral sobre las llantas. (g=10 m/s2)

A) 200 N

D) 350 N

B) 250 N C) 300 N

E) 400 NA) 16°D) 22,5°

B) 18,5C C) 26,5°E) 30°

147


63. Se observa que un semiaro rota con una rapidez angular de 2y[s rad/s. Determine la medida de 0, si el collarín liso no resbala. Datos: r-1 m; g= 10 m/s2

A) 15° B) 30° C) 45°

D) 74° E) 60°

64. Calcule el radio de la trayectoria descrita por la canica lisa, si esta gira con una rapidez angular constante de 5 rad/s. (g=10 m/s2)

65. El cilindro rota con rapidez angular constante y el ladrillo no resbala respecto a su superficie interna. ¿Cuál es el menor valor de co, en rad/s, de tal forma que el ladrillo no resbale?

Datos: g=10 m/s2 y M.s=0,8

A) 1 B) 0,1 C) 0,5

D) 5 E) 10

66. Determine el ángulo 0, si el módulo de la aceleración centrípeta de la esfera es 7,5 m/s2. Considere que la esfera gira en un plano horizontal. (g=10 m/s2)

A) 10 cm B) 20 cm C) 30 cm

D) 40 cm E) 50 cm

148

A) 30°D) 57°

B) 37° C) 45°E) 60°

D in á m ic a

67. Se observa una esfera de 4 kg que gira en un plano horizontal. Si la rapidez angular con la que gira es co, ¿cuál es su valor? (g=10 m/s2)

A) 10 rad/s B) 2,5 rad/s C) 4 rad/s

D) 5 rad/s E) 15 rad/s

68. La esfera gira con una rapidez constante de 0,7 m/s. Determine la longitud de la cuerda. (g=10 m/s2)

A) 0,2 mB) 0,3 mC) 0,8 mD) 0,6 mE) 0,9 m

69. ¿Cuál es el periodo del péndulo cónico mostrado? Datos: L=2 m; 0=37°; g=10 m/s2

A) 2tt/5 s D) 47i/5 s

B) n s C) 3n/2 sE) 4tt/3 s

70. La esfera de masa M, unida a una cuerda, realiza un MCU en el plano horizontal; forma un péndulo cónico de 2 m de longitud. ¿Cuál debe ser la mínima rapidez angular de la esfera, de modo que el bloque de masa 5M pierda contacto con el suelo? Desprecie todo tipo de rozamiento. (g=10 m/s2)

vg

A) 1 rad/s B) 2 rad/s C) 3 rad/s

D) 6 rad/s E) 5 rad/s

N iv el a v a n z a d o

71. El sistema mostrado permanece en reposo. Si cortamos la cuerda (1), calcule el módulo de la aceleración y en cuánto varía el módulo de la tensión en la cuerda (2).

Datos: MA=2 kg; MB=6 kg; g=10 m/s2

A) 2 m/s2; 32 N

B) 6 m/s2; 32 N

C) 6 m/s2; 48 N

D) 8 m/s2; 48 N

E) 6 m/s2; 60 N

¿g

149


72. En la figura se muestra que el bloque liso A se suelta desde cierta altura e impacta contra un resorte. Calcule su aceleración en el instante en que B esté a punto de deslizarse sobre el plano inclinado. Considere que las masas de A y B son ¡guales. ig=10 m/s2)

74. En el sistema mostrado, luego de ser soltado el bloque de 8 kg, determine los módulos de la tensión en las cuerdas (1) y (2). (g = 10 m/s2)

A) Acelera con 0,8 m/s .B) Desacelera con 1,6 m/s .C) Desacelera con 0,8 m/s .D) Desacelera con 1 m/s2.E) cero

73. Si el sistema mostrado es soltado como muestra la figura, ¿cuál es el valor de la tensión en la cuerda (1)? Dato: m= 1 kg

A) 20 ND) 24 N

B) 22 N C) 26 NE) 28 N

A) 7\ = 6 N; T2=40 NB) 71 = 8 N; 72=10 NC) 7^=8 N; 72 = 30 ND) 7 =10 N; T2=40 NE) Ti =10 N; 72 = 20 N

75. Determine la masa máxima de C, de tal modo que, al abandonar el sistema, el bloque B no resbale respecto de A.

A) (mA + mB)

B) mA+^-

C) (mA+mB) ^fXK

' M'S + Xl+ [iK

° ) (rnA+mB)

E) imA+mB)

, ,, \

ps=0,75

150

76. En el gráfico, el carrito desciende sobre el plano inclinado con una aceleración constante. Si la esfera de 0,6 kg no se mueve respecto del carrito, ¿cuál es la aceleración del carrito? (g=10 m/s2)

A) 1 m/s2 B) 2 m/s2 C) 3 m/s2

D) 5 m/s2 E) 25/3 m/s2

77. Una esfera realiza MRUV tal como se muestra. Si la esfera está en reposo respecto del coche, determine el módulo de la aceleración del coche. (g= 10 m/s2)

g

A) 7,5 m/s2 B) 10 m/s2 C) 12,5 m/s2

D) 15 m/s2 E) 20 m/s2

D in á m ic a

78. Se muestra un vagón de madera lisa que se desliza con una aceleración de módulo 20 m/s2 constante. Calcule el valor de la fuerza de reacción de este sobre la esfera de 1,5 kg que no se mueve con respecto del coche. (g=10 m/s2)

A) 8 N B) 50 N C) 25 N

D) 10 N E) 5 N

79. Si el valor de la resistencia del aire depende de la velocidad según /= v//10, donde v es la rapidez de la esfera, determine el valor de la aceleración que experimenta la esfera cuando la rapidez es 20 m/s.

Datos: g=10 m/s2; M =2 kg

A) 9,5 m/s2 B) 10 m/s2 C) 12 m/s2

D) 9 m/s2 E) 8 m/s2

151


80. Se sabe que un objeto que cae verticalmente experimenta, por parte del aire, una fuerza de resistencia, la cual es proporcional a su rapidez 1/ en todo instante (Fa\re=Kv). Cuando desciende verticalmente experimenta una aceleración de 8 m/s en el instante en que su rapidez es 12 m/s. ¿Qué aceleración presentará en el instante que su rapidez sea 36 m/s? (g=10 m/s2)

A) 4 m/s2

D) 3 m/s2

B) 8/3 m/s2 C) 2 m/s2

E) 4/3 m/s"

81. Un hombre levanta un bloque de 20 kg tirando de la cuerda con una fuerza F. Determine la tensión en la cuerda (1), si el bloque sube con aceleración constante de 2 m/s2. Considere la masa de las poleas de 1 kg cada una. (g=10 m/s2)

A) 7 s D) 4 s

g=10 m/s"

B) 6 s C) 5 s E) 3 s

83. Dos bloques están conectados mediante una cuerda como se muestra en la figura. Despreciando la fricción en superficies y en la polea, determ ine el módulo de la tensión en la cuerda (1).

A) 220 N D) 102 N

B) 90 N C) 262 N E) 240 N

82. En el instante mostrado, el bloque de masa M tiene una rapidez de 15 m/s. Calcule el tiempo en que demora en detenerse. Considere que las poleas son ideales. Dato: M=6m

ai mA) — g M

B)

C)

D)

E)

mM V 4 M + m

3 mM 4m + M mM

m + M 2 mM M + m

g

Wf=0,5

152

D in á m ic a

84. Si el sistema mostrado es soltado como se muestra, ¿cuál es la aceleración del carrito en ese instante?Datos: m-1 kg; M =6 kg; g=10 m/s2

86.

A) 2 m/s2 B) 4 m/s"

D) 6 m/s2

C) 8 m/s2

E) 10 m/s2

85. Si el sistema que se muestra es abandonando, ¿en cuánto varía el módulo de la aceleración del coche A (de 4 kg) cuando el bloque B (de 2 kg) pasa de la posición y=-0,5 m a la posición Y=-l,5 m, si el bloque pequeño C es de 2 kg? Desprecie las asperezas entre todas las superficies. (g=10 m/s2)

Un ladrillo de 2 kg se encuentra sobre una superficie horizontal de |U (0,55 y 0,5). Si sobre el bloque actúa una fuerza horizontal que varía con el tiempo según F=12-i-4f, ¿cuál de las gráficas representa mejor el comportamiento de aceleración en el tiempo? Considere que las unidades de las magnitudes están en el sistema internacional. (g=10 m/s2)

A) o B) a C) a ‘6 '7// 4

2 ! 2 10 2 t 0 2 t 0

D) o t / E) a ‘5 7/ 5

1/ 10 2 t 0

87. Si la barra homogénea de 5,8 kg permanece en posición horizontal, determine el módulo de la tensión en la cuerda (1). Considere que la polea de masa despreciable rota con una aceleración constante de 5 rad/s2. Datos: r=0,l m; g-10 m/s2

w!

0,3 m (i) 0,7 m

(r7)]

A) 100 ND) 140 N

B) 130 N C) 150 NE) 160 N

153


88. El bloque A de 5 kg se traslada debido a la fuerza F. Calcule la aceleración (en módulo) del bloque B, si la tensión en la cuerda (1) es 10 N. Considere que poleas son ideales. (g=10 m/s2)

A) 1 m/s2 B) 3 m/s2

C) 4 m/s2

D) 2 m/s2 E) 6 m/s2

89. Una esfera atada a un hilo realiza un movimiento circunferencial en un plano vertical. En los puntos más altos y más bajos de su trayectoria, sus rapideces son 4 m/s y 8 m/s, respectivamente, y el radio de giro es 1 m. Determine la tensión del hilo cuando la esfera pasa por su posición más baja, si en su posición más alta la tensión es de12 N. (g=10 m/s2)

A) 96 N B) 100 N

C) 125 N

D) 148 N E) 164 N

90. Un patinador pasa por la superficie convexa de 10 m de radio. ¿Cuál es la rapidez máxima que presenta en el punto más alto, de modo que el patinador recorra toda la superficie? (g=10 m/s2)

A) 5 m/s B) 10 m/s C) 12 m/s

D) 15 m/s E) 16 m/s

91. La plataforma circular comienza a rotar lentamente en torno a un eje vertical que pasa por su centro. Determine los valores que puede tomar su rapidez angular, de tal modo que el bloque no resbale respecto de dicha plataforma. (g=10 m/s2)

0,6 0,8

A) 0 < tú < 3 rad/s

B) 0 < 0) < 4 rad/s

C) 0 < ü) < 5 rad/s

D) 0 < co < 6 rad/s

E) 0 < co < 7 rad/s

154

A) 30°

D) 37°

B) 45° C) 60°

E) 53°

mD in á m ic a

92. Un patinador que se mueve describiendo una trayectoria circunferencial de 2,5 m de radio con una rapidez de 5 m/s en una pista horizontal tiene que inclinar el cuerpo hacia el centro de la circunferencia. Para mantener dicho movimiento, ¿qué ángulo se habría desviado el cuerpo del patinador respecto a la vertical?

Amor a Sofía

A) 10 m/s2

C) I 0V2 m/s2

D) 5V2 m/s2

B) 5 m/s"

E) 4 m/s"

93. El bloque mostrado es de 1 kg, el cual se desliza sobre una superficie cilindrica áspera. Si al pasar por A presenta una acele-

•y

ración de módulo 10 m/s y tangencial de8 m/s2, determine la rapidez que presenta en dicho instante. (g=10 m/s2)

A) 1 m/s

B) 1,5 m/s

C) 2V2m/s

D) Vém/s

E) 2V3 m/s

95. Para el instante mostrado, la aceleración de la esfera es horizontal. Calcule la rapidez de la esfera en dicho instante. (g=10 m/s2)

fQ

A) 2 m/s

B) 3 m/s

C) 4 m/s

D) 8 m/s

E) 6 m/s

96. Sobre el plano inclinado liso se lanza una

moneda con una velocidad de V = 0,9— i .s

Si luego de 0,2 s pasa por P, ¿cuál es el radio

de giro en dicha posición? (g = 10 m/s2)

94. Un bloque de 2 kg entra en un rizo donde su coeficiente de rozamiento entre ambos es ^=0,5. ¿Cuánto es el módulo de su aceleración al pasar por A, si su velocidad en ese instante es V = (-3/ + Aj) m/s y la fuerza normal es 8 N? (g=10 m/s2)

X

A) 1/8 mD) 7/8 m

B) 3/8 m C) 5/8 mE) lm

155


97. Una pequeña esfera de 0,5 kg atada a una cuerda gira en el plano vertical. En el instante que la esfera pasa por A, el módulo de su aceleración total es 10 m/s2 para dicho instante. Determine el módulo de la tensión. (g=10 m/s2)

99. Una esfera de masa m unida a otra de masa M, por medio de un hilo, se hace girar tal como se muestra en el gráfico. Si su rapidez angular es VlO rad/s, calcule el radio de giro de m. Desprecie todo rozamiento. Datos: 3M=5m; g = 10 m/s2.

A) 3 N

D) 6N

B) 4N C) 5 N

E) 8N

98. Para el instante en que la esfera lisa de 1 kg adquiere una rapidez de 1 m/s (en P), la canaleta de 4 kg está a punto de resbalar; entonces el coeficiente de rozamiento entre la superficie de la canaleta y el piso será (g=10 m/s2)

A) 0,75 m B) 1 m C) 4/3 m

D) 1,25 m E) 2/3 m

100. Determine la deformación del resorte de constante elasticidad K= 123 N/m y de longitud natural 2 m, si la esfera de 2 kg unida al resorte y al hilo gira con una rapidez angular de 3 rad/s. (g=10 m/s2)

V ó V1L

A) 0,125.

D) 0,1.

B) 0,12. C) 0,215.

E) 0,3.

A) 0,1 m

D) 0,4 m

B) 0,2 m

•f A ' i

C) 0,3 m

E) 0,5 m

156

1 B 21 E 41 E 61 E rH00 C

2 C 22 A 42 B 62‘Sjjàj

C 82 E

3 A 23 A 43 B 63 E 83 B

4 D 24 E 111111111111144 C 64 C 84 A

5 D 25 C 45 D 65 D 85 C

6 A 26 D 46 A 66 B 86 D

7 E 27 D 47 B 67 D 87 C

8 E 28 C 48 C 68 D 88 A

g C 29 E 49 C 69 D 89 D

10 E 30 C 50 D 70 E 90 B

11 D 31 A 51 BCTnSffl*” foi**

71 B 91 B

12 D 32 C 52 C 72 B 92 B

13 A 33pipite

B 53appi**

B 73 B 93 D

14 A 34 A 54 E 74 D 94 C

15 D 35 B 55 C 75 E 95 B

16 D 36 C P i »56 B 76 E 96 C

17 D 37 E 57 D 77 C 97 D

18V

E 38 E 58 C 78 E 98 A

19 D 39 D 59 E 79 D 99.

C

20 D 40 C 60 D 80 A 100 B

1-35

36-70

71 -100

*■ B ibliografíap

.......................................................... ¿ S

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HECHT, Eugene. Física en perspectiva. Wilmington: Adisson-Wesley Iberoamericana, 1987.

HEWITT, Paul. Física en perspectiva. Wilmington: Adisson-Wesley Iberoamericana, 1995.

KIKOIN, I. K. y A. K., KIKON. Física II. Moscú: Editorial Mir, 1985.

RESNICK, HALLIDAY y KRANE. Física. Volumen I. México: Compañía Editorial Continental, 2004.

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SÁVCHENKO, Ya. Problemas de física. Moscú: Editorial Mir, 1989.

SERWAY, R. A. Física. Tomo I. México: Editorial McGraw-Hill Interamericana, 1993.

RILEY, William F. y Leroy D., STURGES. Dinámica. Barcelona: Editorial Reverte S.A., 2005.

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