dinamika
TRANSCRIPT
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
Zadatak 10.1Homogeni štap mase M i duljine 2a krece se beztrenja u sfernom udubljenju polumjera R tako dastalno ostaje u okomitoj ravnini koja prolazi krozcentar sfere. Nadite kineticku energiju štapa.
Rješenje: skica problema
O
b
a
R
φ
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• štap rotira kutnom brzinom φ oko osi koja je zab udaljena od centra mase štapa i okomita je naravninu u kojoj se štap giba
• kineticka energija štapa
T =12
IOštapφ
2
• moment inercije s obzirom na tocku O možemoizracunati pomocu Steinerovog teorema
IOštap = Ic.m.
štap + Mb2
=1
12M(2a)2 + M(R2 − a2) = M
(
R2 −23
a2
)
• kineticka energija štapa
T =M2
(
R2 −23
a2
)
φ2
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
Zadatak 10.2Homogena ploca mase M obješena je o nit duljine ltako da se može njihati u vertikalnoj ravnini. Naditekineticku ploce.
Rješenje:• zadatak možemo riješiti na dva nacina• u prvom rješenju sustav vezan uz plocu ima
ishodište u objesištu ploce, a u drugom u centrumase ploce
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
Skica problema u prvom slucaju
x ′
y ′
xy
c.m.
~a
θl
φ
ax
ay
• ploca rotira uvertikalnoj ravnini
=⇒ ~Ω = φ~k
• koordinate centramase u sustavufiksiranom uz plocu
~a = ax~i + ay
~j
• brzina tocke O ufiksiranom sustavu
|~V | = l θ
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
x ′
y ′
xy
θl
φ
~Vθα β
• kutevi α i β
α = 1800 − 900 − φ
= 900 − φ
β = 900 − θ − α = φ − θ
• komponente brzine ~Vu sustavu fiksiranomuz plocu
Vx = V cos (φ − θ)
= l θ cos (φ − θ)
Vy = −V sin (φ − θ)
= −l θ sin (φ − θ)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• kineticka energija krutog tijela
T =12
M ~V 2 + M ~V ·(
~Ω × ~a)
+12
∑ij
IijΩiΩj
• translatorni doprinos
T1 =12
M ~V 2 =12
Ml2θ2
• racunamo mješoviti doprinos
~Ω × ~a = φ~k ×(
ax~i − ay
~j)
= φ(
ax~j + ay
~i)
T2 = Mφ (Vy ax + Vx ay)
= Mlφθ (−ax sin (φ − θ) + ay cos (φ − θ))
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• pri racunanju rotacionog doprinosa iskoristimocinjenicu
Ωx = Ωy = 0 Ωz = φ
• oznacimo s IO moment inercije oko osi z kroztocku O
=⇒ T3 =12
IOφ2
• kineticka energija ploce
T =12
Ml2θ2
+ Mlφθ (−ax sin (φ − θ) + ay cos (φ − θ))
+12
IOφ2
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
Skica problema u drugom slucaju
x ′
y ′
xy
c.m.
~a
θl
φ
ax
ay
α
• ploca rotira uvertikalnoj ravnini
=⇒ ~Ω = φ~k
• koordinate centramase u nepomicnomsustavu
x ′c.m. = l sin θ
+ a sin (φ + α)
y ′c.m. = −l cos θ
− a cos (φ + α)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• racunamo brzinu centra mase u nepomicnomsustavu
x ′c.m. = l cos θθ + a cos (φ + α)φ
y ′c.m. = l sin θθ + a sin (φ + α)φ
• kvadriramo komponente brzine
x ′2c.m. = l2 cos2 θθ2 + a2 cos2 (φ + α)φ2
+ 2al cos θ cos (φ + α)θφ
y ′2c.m. = l2 sin2 θθ2 + a2 sin2 (φ + α)φ2
+ 2al sin θ sin (φ + α)θφ
• kvadrat brzine centra mase
v2c.m. = l2θ2 + a2φ2 + 2al cos (θ − φ − α)θφ
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• raspišemo zadnji clan
a cos (θ − φ − α) = a cos (θ − φ) cos α + a sin (θ − φ
= ay cos (θ − φ) + ax sin (θ − φ)
• kvadrat brzine centra mase
v2c.m. = l2θ2 + a2φ2 + 2lay cos (θ − φ)θφ
+ 2lax sin (θ − φ)θφ
• kineticka energija ploce
T =12
Ic.m.φ2 +
12
Mv2c.m.
=12
Ic.m.φ2 +
12
Ml2θ2 +12
Ma2φ2
+ Mlay cos (θ − φ)θφ − Mlax sin (φ − θ)θφ
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• iskoristimo Steinerov teorem
Ic.m. + Ma2 = IO
• konacni rezultat za kineticku energiju
T =12
IOφ2 +12
Ml2θ2
+ Mlay cos (φ − θ)θφ − Mlax sin (φ − θ)θφ
poklapa se s rezultatom u prvom slucaju• prethodni izrazi se pojednostavljuju ako os y
prolazi kroz objesište i centar mase
=⇒ ax = 0 ay = a
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• zadnji clan kineticke energije išcezava papreostaje
T =12
Ic.m.φ2 +
12
Ml2θ2
+12
Ma2φ2 + Mla cos (θ − φ)θφ
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
Zadatak 10.3Ploca u obliku jednakostranicnog trokuta stranice a imase M obješena je o tanki štap duljine l i mase mtako da se može njihati u vertikalnoj ravnini. Naditekineticku energiju sustava.
Rješenje: skica problema
x
y
lθ
φc.m.
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• ukupna kineticka energija je suma kinetickeenergije štapa i trokuta
• promotrimo prvo trokut• visina jednakostranicnog trokuta
h =
√3
2a
• centar mase trokuta nalazi se u težištu trokuta
t =23
h =a√
3
• koristimo sustav vezan uz plocu s ishodištem ucentru mase ploce
• kinetica energija u tom slucaju ima dvadoprinosa
Ttrokut = T trtrokut + T rot
trokut
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• kutna brzina rotacije ploce
~Ω = φ~k
• kineticka energija rotacije oko centra mase
T rottrokut =
12
∑ij
IijΩiΩj =12
Ic.m.trokutΩ
2z =
12
Ic.m.trokutφ
2
Moment inercije
• moment inercije trokuta oko centra mase iznosi
Ic.m.trokut =
112
Ma2
• kineticka energija rotacije trokuta
T rottrokut =
124
Ma2φ2
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• da bi izracunali kineticku energiju translacijecentra mase
T trtrokut =
M2
(
x2c.m. + y2
c.m.
)
trebamo brzinu centra mase• položaj centra mase trokuta u fiksnom sustavu
xc.m. = l sin θ +a√
3sin φ
yc.m. = −l cos θ −a√
3cos φ
• brzina centra mase trokuta u fiksnom sustavu
xc.m. = l cos θθ +a√
3cos φφ
yc.m. = l sin θθ +a√
3sin φφ
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• kvadriramo komponente brzine centra mase
x2c.m. = l2 cos2 θθ2 + 2l
a√
3cos θ cos φθφ
+a2
3cos2 φφ2
y2c.m. = l2 sin2 θθ2 + 2l
a√
3sin θ sin φθφ
+a2
3sin2 φφ2
• zbrojimo kvadrate komponenti
T trtrokut =
M2
[
l2θ2 +a2
3φ2 +
2√
3laθφ cos (θ − φ)
]
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• ukupna kineticka energija trokuta
Ttrokut = T trtrokut + T rot
trokut
=M2
[
l2θ2 +5a2
12φ2 +
2√
3laθφ cos (θ − φ)
]
• kineticka energija trokuta odgovara izrazu zakineticku energiju ploce u prethodnom zadatku
• štap rotira oko jednog svog kraja pa je njegovakineticka energija
Tštap =12
Ištapθ2
• moment inercije tankog štapa
Ištap = Ic.m.štap + m
(
l2
)2
=13
ml2
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• kineticka energija štapa
Tštap =16
ml2θ2
• ukupna kineticka energija sustava
Ttot = Ttrokut + Tštap
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
Zadatak 10.4Dva homogena štapa duljine a i b spojena su podpravim kutem u tocki O na osovinu koja rotirakonstantnom kutnom brzinom ω. Nadite kinetickuenergiju sustava.
Rješenje: skica problema
a b
~ω
φ
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• koordinatni sustav fiksiran uz štap orjentiramo usmjeru glavnih osi štapa
• promotrimo štap b
ab
~ω
φ
x
y
• komponente kutne brzine
Ωx = ω cos φ
Ωy = ω sin φ
Ωz = φ
• kineticka energija štapa b
T =12
∑ij
IijΩiΩj
• jedine komponente tenzora razlicite od nule
Ixx = Izz =13
mbb2 =13λb3
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• kineticka energija štapa b
Tb =12
(
IxxΩ2x + IzzΩ
2z
)
=16λb3
(
ω2 cos2 φ + φ2)
• analognim postupkom možemo izracunatikineticku energiju štapa a
Ta =16λa3
(
ω2 sin2 φ + φ2)
• ukupna kineticka energija sustava
T =16λω2
(
b3 cos2 φ + a3 sin2 φ)
+16λφ2
(
b3 + a3)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
Zadatak 10.5Homogeni stožac mase M, visine h, radijusa baze Ri otvornog kuta 2α kotrlja se u ravnini, a vrh mu senalazi iznad nje na visini R. Nadite kineticku energijustošca.
Rješenje: skica problema
x y
z
θ
~Ω
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
x ′
z ′
a c.m.n
~Ω Rα
• udaljenost centra mase od vrha stošsca:a = 3h/4
• udaljenost centra mase od plašta stošca:n = a sin α
• brzina centra mase: vcm = aθ
• uvjet kotrljanja: vcm = Ωn = Ωa sin α
aθ = Ωa sin α =⇒ Ω =θ
sin α
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• sustav vezan uz stožac biramo tako da mu seosi poklapaju s glavnim osima stošca, aishodište mu prolazi kroz centar mase stošca
x ′
z ′z
x
~Ω Rα y
Komponente kutne brzineu sustavu vezanom uzstožac
Ωx = Ω cos α
Ωy = 0
Ωz = Ω sin α
• primjetimo da je izbor osi x i y proizvoljan(Ix = Iy ) pa sustav u svakom trenutku možemoorjentirati tako da vrijedi
Ωx = Ω cos α i Ωy = 0
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• kineticka energija stošca je suma energijetranslacije centra mase i energije rotacije okocentra mase
• translatorni doprinos
Ttr =12
Mv2cm =
12
Ma2θ2 =9
32Mh2θ2
• rotacioni doprinos
Trot =12
[
IxΩ2x + IyΩ2
y + IzΩ2z
]
• momenti inercije stošca
Iz =310
MR2
Ix = Iy =3
20M
[
R2 +h2
4
]
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• kineticka energija rotacije
Trot =12
[
310
MR2Ω2 cos2 α
+3
20M
(
R2 +h2
4
)
Ω2 sin2 α
]
=340
MΩ2
[
2R2 cos2 α +
(
R2 +h2
4
)
sin2 α
]
• radijus i visina stošca su povezani: R = h tan α
Trot =3
40Mh2Ω2 sin2 α
[
2 + tan2 α +14
]
=3
40Mh2Ω2 sin2 α
[
1cos2 α
+54
]
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• iskoristimo uvjet: θ = Ω sin α
• energija rotacije
Trot =340
Mh2θ2
[
1cos2 α
+54
]
• zbrojimo translatorni i rotacioni doprinos
T =9
32Mh2θ2 +
340
Mh2θ2
[
1cos2 α
+54
]
• ukupna kineticka energija
T =340
Mh2θ2
[
154
+1
cos2 α+
54
]
=340
Mh2θ2
[
5 +1
cos2 α
]
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
Zadatak 10.6Kraj štapa AB mase m i duljine 2a može kliziti beztrenja duž vertikalne žice Oz. Kraj B ucvršcen je zatocku O napetom žicom OB duljine l = 2a.Vertikalna ravnina OBA rotira oko osi z kutnombrzinom φ. Nadite kineticku energiju štapa.Rješenje: skica problema
x
y
z
2a
2aq
A
B
O
dq
θ
φ
• koordinate infinitezimalnogdijela štapa dq
x(q) = q sin θ cos φ
y(q) = q sin θ sin φ
z(q) = 2a cos θ + (2a − q) cos θ
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• komponente brzine infinitezimalnog dijela štapa
x(q) = q cos θ cos φθ − q sin θ sin φφ
y(q) = q cos θ cos φθ + q sin θ cos φφ
z(q) = −(4a − q) sin θθ
• clanovi koji sadrže q išcezavaju jer je štap krutotijelo
• kvadrat brzine infinitezimalnog dijela štapa
v2(q) = x(q)2 + y(q)2 + z(q)2
= (16a2 − 8aq) sin2 θθ2 + q2θ2 + q2 sin2 θθ2
• da bi izracunali kineticku energiju štapasumiramo po svim infinitezimalnim elementima
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• tijelo je kontinuirano pa suma prelazi u integral
T =
∫dm2
v2
• štap je po pretpostavci tanak pa uvodimo linijskugustocu
λ =m2a
=⇒ dm = λdq
• u kineticku energiju uvrstimo brzinuinfinitezimalnog dijela štapa
T =m4a
[
sin2 θθ2∫2a
0
(
16a2 − 8aq)
dq
+ θ2∫2a
0q2dq + sin2 θφ2
∫2a
0q2dq
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• integriranjem dolazimo do kineticke energije
T =2ma2
3
[
(1 + 6 sin2 θ)θ2 + sin2 θφ2]
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
Zadatak 10.7Dva jednaka kružna diska polumjera a i mase M ležeu okomitoj ravnini, dodiruju se i mogu rotirati beztrenja oko svojih osi. Njihovi rubovi su idealnohrapavi tako da nema proklizavanja. Centri diskovaspojeni su homogenom šipkom mase m. Centargornjeg diska je fiksiran. Nadite kineticku energijusustava.
Rješenje:• sustav se sastoji od tri tijela:
• gornji disk: rotira oko svoje osi (T1)• štap: rotira oko svog kraja (T2)• donji disk: rotira i translatira se (T3)
• prvo racunamo kutnu brzinu donjeg diska
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
Skica problema:
x
y
c.m.
B
~vB
θ
φ
vBx
vBy
φ
ω
• gornji disk se vrti kutnom brzinom θ
• tocku dodira diskova oznacimo s B• brzina tocke B
~vB = aθ(
cos φ~i + sin φ~j)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• diskovi ne proklizavaju pa je ~vB ujedno i brzinadodirne tocke donjeg diska
• položaj centra mase donjeg diska
xc.m. = 2a sin φ , yc.m. = −2a cos φ , zc.m. = 0
• brzina centra mase donjeg diska
~vc.m. = 2a cos φφ~i + 2a sin φφ~j
• položaj dodirne tocke B
xB = a sin φ , yB = −a cos φ , zB = 0
• ishodište koordinatnog sustava vezanog uz donjidisk smjestimo u njegov centar mase
• kineticka energija tog diska je suma energijatranslacije centra mase i rotacije oko centramase
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
x
y
c.m.
B
~vB
θ
φ ω
~rB
x1
y1
• kutnu brzinu donjeg diska racunamo iz brzinetocke B i brzine ishodišta sustava vezanog uzdonji disk (tj. centra mase)
~vB = ~vc.m. + ~ω ×~rB
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• položaj tocke B u odnosu na centar mase
~rB = (xB − xc.m.)~i + (yB − yc.m.)~j
= −a sin φ~i + a cos φ~j
• gibanje se odvija u xy ravnini pa je samo zkomponenta kutne brzine razlicita od nule
~ω ×~rB = ω~k ×(
−a sin φ~i + a cos φ~j)
= −aω sin φ~j − aω cos φ~i
• brzina tocke B
aθ(
cos φ~i + sin φ~j)
= 2aφ(
cos φ~i + sin φ~j)
− aω(
cos φ~i + sin φ~j)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• iz zadnje jednadžbe slijedi
aθ = 2aφ − aω =⇒ ω = 2φ − θ
• kineticka energija donjeg diska je suma energijetranslacije centra mase i rotacije oko centramase
T3 = Ttr + Trot
• energija translacije centra mase
Ttr =12
Mv2c.m. =
12
M(4a2φ2) = 2Ma2φ2
• energija rotacije donjeg diska
Trot =12
Idω2 =14
Ma2(
2φ − θ)2
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• ukupna kineticka energija donjeg diska
T3 = 2Ma2φ2 + Ma2φ2 − Ma2φθ +14
Ma2θ2
= 3Ma2φ2 − Ma2φθ +14
Ma2θ2
• štap rotira oko svog kraja kutnom brzinom φ
• kineticka energija štapa
T2 =12
Ištapφ2 =
12·
13
m(2a)2φ =23
ma2φ2
• gornji disk rotira oko svoje osi kutnom brzinom θ
T1 =12
Id θ2 =14
Ma2θ2
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• ukupna kineticka energija je suma sva tridoprinosa
Tuk = T1 + T2 + T3
=12
Ma2θ2 +
(
3M +23
m)
a2φ2 − Ma2φθ
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
Zadatak 10.8Homogeni štap mase M i duljine 2a krece se beztrenja u sfernom udubljenju polumjera R tako dastalno ostaje u okomitoj ravnini koja prolazi krozcentar sfere. Nadite Lagrangian sistema, E-Ljednadžbu i frekvenciju malih oscilacija štapa.
Rješenje: skica problema
O
b
a
R
φ
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• kineticku energiju štapa smo izracunali u jednomod prethodnih zadataka
T =M2
(
R2 −23
a2
)
φ2
• gravitacijska potencijalna energija štapa
V = −Mgzc.m. = −Mg√
R2 − a2 cos φ
• Lagrangian štapa
L = T − V
=M2
(
R2 −23
a2
)
φ2 + Mg√
R2 − a2 cos φ
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• E-L jednadžba
ddt
(
∂L
∂φ
)
−∂L∂φ
= 0
• racunamo derivacije
∂L
∂φ= M
(
R2 −23
a2
)
φ
∂L∂φ
= −Mg√
R2 − a2 sin φ
• jednadžba gibanja(
R2 −23
a2
)
φ + g√
R2 − a2 sin φ = 0
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• u slucaju malih oscilacija štapa vrijedi
sin φ ≈ φ
• jednadžba gibanja se svodi na jednadžbuoscilatora
(
R2 −23
a2
)
φ + g√
R2 − a2φ = 0
=⇒ φ + g
√R2 − a2
R2 − 23a2
= 0
• frekvencija malih oscilacija
Ω2 = g
√R2 − a2
R2 − 23a2
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
Zadatak 10.9Dva homogena štapa duljine a i b spojena su podpravim kutem u tocki O na osovinu koja rotirakonstantnom kutnom brzinom ω. Nadite Lagrangian,E-L jednadžbu i ω(φ) u položaju ravnoteže.
Rješenje: skica problema
a b
~ω
φ
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• kineticku energiju smo izracunali u jednom odprethodnih zadataka
T =λ
6
[(
a3 sin2 φ + b3 cos2 φ)
ω2 +(
a3 + b3)
φ2]
• gravitacijska potencijalna energija
ab
~ω
φ
x
y
V (a) = magzc.m.(a)
= −maga2
cos φ
V (b) = mbgzc.m.(b)
= −mbgb2
sin φ
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• ukupna potencijalna energija
V = −g2
(maa cos φ + mbb sin φ)
= −gλ
2
(
a2 cos φ + b2 sin φ)
• Lagrangian sustava
L = T − V
=λ
6
[(
a3 sin2 φ + b3 cos2 φ)
ω2 +(
a3 + b3)
φ2]
+gλ
2
(
a2 cos φ + b2 sin φ)
• E-L jednadžba
ddt
(
∂L
∂φ
)
−∂L∂φ
= 0
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• derivacije potrebne za E-L jednadžbu
∂L∂φ
=λ
3
(
a3 + b3)
φ
∂L∂φ
=λ
6ω2
[
2a3 sin φ cos φ − 2b3 cos φ sin φ]
+g2
λ[
−a2 sin φ + b2 cos φ]
=λ
6ω2
(
a3 − b3)
sin 2φ
+g2
λ[
−a2 sin φ + b2 cos φ]
• jednadžba gibanja
2(
a3 + b3)
φ − ω2(
a3 − b3)
sin 2φ
− 3g(
b2 cos φ − a2 sin φ)
= 0
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• položaj ravnoteže odgovara minimumuefektivnog potencijala
• pomnožimo jednadžbu gibanja s φ
2(
a3 + b3)
φφ − ω2(
a3 − b3)
sin 2φφ
− 3g(
b2 cos φ − a2 sin φ)
φ = 0
• iz prethodne jednadžbe možemo izracunatikonstantu gibanja (energiju)
=⇒ φφ =12
ddt
φ2
sin 2φφ = −12
ddt
cos 2φ
(
b2 cos φ − a2 sin φ)
φ =ddt
(
b2 sin φ + a2 cos φ)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
=⇒ddt
[
(
a3 + b3)
φ2 +12ω2
(
a3 − b3)
cos 2φ
− 3g(
b2 sin φ + a2 cos φ)]
= 0
• izraz u zagradi je konstanta gibanja
I =(
a3 + b3)
φ2 +12ω2
(
a3 − b3)
cos 2φ
− 3g(
b2 sin φ + a2 cos φ)
• ako konstantu I pomnožimo s λ/6 dobit cemoenergiju sustava
E =λ
6
(
a3 + b3)
φ2 +λ
12ω2
(
a3 − b3)
cos 2φ
−g2
λ(
b2 sin φ + a2 cos φ)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• ako energiju napišemo u obliku
E = T + Ueff
možemo zakljuciti da se sustav nalazi uefektivnom potencijalu
Ueff =λ
12ω2
(
a3 − b3)
cos 2φ
−g2
λ(
b2 sin φ + a2 cos φ)
• da bi sustav bio u ravnoteži mora vrijediti
∂Ueff
∂φ= 0
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• deriviramo Ueff po kutu φ
∂Ueff
∂φ= −
λ
6ω2
(
a3 − b3)
sin 2φ
−g2
λ(
b2 cos φ − a2 sin φ)
= 0
• možemo izracunati ω(φ) u položaju ravnoteže
ω2(φ) =3g
(b3 − a3) sin 2φ
[
b2 cos φ − a2 sin φ]
=3g
2 (b3 − a3)
[
b2
sin φ−
a2
cos φ
]
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
Zadatak 10.10Kraj štapa AB mase m i duljine 2a može kliziti beztrenja duž vertikalne žice Oz. Kraj B ucvršcen je zatocku O napetom žicom OB duljine l = 2a.Vertikalna ravnina OBA rotira oko osi z kutnombrzinom φ. Nadite Lagrangian sustava. Ako suzadani pocetni uvjeti
θ0 =π
3, θ0 = 0 i φ0 =
√
12ga
,
izracunajte konstante gibanja.
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
Skica problema:
x
y
z
2a
2aq
A
B
O
dq
θ
φ
• kineticku energiju smo izracunali u jednom odprethodnih zadataka
T =23
ma2[(
1 + 6 sin2 θ)
θ2 + sin2 θφ2]
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• gravitacijska potencijalna energija štapa
V = −mgzc.m. = −mg (2a cos θ + a cos θ)
= −3mga cos θ
• Lagrangian štapa
L = T − U =23
ma2[(
1 + 6 sin2 θ)
θ2 + sin2 θφ2]
+ 3mga cos θ
• Lagrangian ne ovisi eksplicitno o vremenu pa jeenergija konstanta gibanja
E = T + U =23
ma2[(
1 + 6 sin2 θ)
θ2 + sin2 θφ2]
− 3mga cos θ
Dinamika gibanjakrutog tijela
Kineticka energijakrutog tijelaZadatak 10.1
Zadatak 10.2
Zadatak 10.3
Zadatak 10.4
Zadatak 10.5
Zadatak 10.6
Zadatak 10.7
E-L jednadžbeZadatak 10.8
Zadatak 10.9
Zadatak 10.10
• Lagrangian ne ovisi o varijabli φ pa je pripadnigeneralizirani impuls konstanta gibanja
pφ =∂L
∂φ=
43
ma2 sin2 θφ
• konstante gibanja uz zadane pocetne uvjeteiznose
E =92
mga i pφ = ma√
12ga
Dinamika gibanjakrutog tijela Zadatak 10.3
• prvo racunamo moment inercije s obzirom natocku O, a zatim koristimo Steinerov teorem dabi dobili moment inercije oko centra mase
IOtrokut =
∫dm
(
x2 + y2)
• problem je simetrican s obzirom na os y pa jedovoljno integrirati po desnoj strani trokuta
x
yh
−a2
a2O
y = −√
3x + a√
32
Dinamika gibanjakrutog tijela Zadatak 10.3
• ploca je po pretpostavci beskonacno tanka ihomogena pa koristimo plošnu gustocu
σ =MP
=M
a2√
3/4
• moment inercije
IOtrokut
2= σ
∫a/2
0dx
∫−√
3x+a√
3/2
0dy
(
x2 + y2)
= σ
∫a/2
0dxx2
∫−
√3x+a
√3/2
0dy
+ σ
∫a/2
0dx
∫−√
3x+a√
3/2
0dyy2
Dinamika gibanjakrutog tijela Zadatak 10.3
• prvo integriramo po y , a zatim po x
IOtrokut
2= −σ
√3
∫ a/2
0x2
(
x −a2
)
dx
− σ√
3∫a/2
0dx
(
x −a2
)3
= −σ√
3∫ a/2
0x3dx + σ
√3a2
∫ a/2
0x2dx
− σ√
3∫a/2
0d
(
x −a2
)(
x −a2
)3
= −σ√
3∫ a/2
0x3dx + σ
√3a2
∫ a/2
0x2dx
− σ√
3∫0
−a/2t3dt = σ
√3a2
∫a/2
0x2dx
Dinamika gibanjakrutog tijela Zadatak 10.3
• moment inercije oko tocke O
IOtrokut = 2σ
√3a2
a3
24= σ
√3a4
24
• uvrstimo plošnu gustocu
=⇒ IOtrokut =
16
Ma2
• moment inercije oko centra mase racunamopomocu Steinerovog teorema
Ic.m.trokut = IO
trokut − Md2
• udaljenost tocke O od centra mase iznosi
d =13
h =a
2√
3
Dinamika gibanjakrutog tijela Zadatak 10.3
• moment inercije trokuta oko centra mase
Ic.m.trokut =
16
Ma2 − Ma2
12=
112
Ma2