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FISICA II INGENIERIA DE CIVIL KLEBER JANAMPA QUISPE

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DINÁMICA DE FLUIDOS

La mecánica de fluidos es una parte esencial de muchas áreas de la tecnología y la ciencia actual, destacando su papel en el diseño de toda clase de vehículos (aviones, barcos, coches, etc), estudios del flujo de aire atmosférico, medicina y biología (flujo de sangre y otros fluidos), ingeniería industrial, canales de irrigación, etc. La dinámica de fluidos como parte de la mecánica de fluidos, estudia los fluidos en movimiento ante la acción de fuerzas aplicadas. Para ello parte de la hipótesis del medio continuo, por el que asume que el fluido es continuo a lo largo de todo el volumen que ocupa. Esto permite considerar que todas las magnitudes del fluido que queremos estudiar van a regirse siempre por funciones continuas. A simple vista el agua en un vaso se nos presenta como una masa continua, sin discontinuidades. Esta es la visión macroscópica de la materia. No obstante, se sabe que la materia no es continua ya está conformada por moléculas, átomos y por partículas subatómicas, las cuales ocupan una porción reducida del espacio vacío y caracterizan la estructura granular de la materia. Cuando esta hipótesis del medio continuo no es aplicable, es necesario recurrir a la mecánica estadística en lugar de a la mecánica de fluidos. En consecuencia, el estudio de la dinámica de fluidos es similar al estudio de la dinámica de sólidos sobre la base de las Leyes de Newton, que estudia el movimiento bajo la acción de fuerzas aplicadas. Se aplican los mismos principios: Conservación de la masa, Conservación de la cantidad de movimiento y la Conservación de la energía termodinámica. De modo que, en lugar de estudiar el movimiento de cada partícula del fluido como una función del tiempo, describiremos las propiedades del fluido en cada punto como una función del tiempo. De esta forma estudiaremos lo que esta sucediendo en un punto del espacio en un instante determinado y no lo que está ocurriendo a una partícula de flujo determinada.

Fig. 1 En dinámica de fluidos caracterizaremos el movimiento del fluido cada vez que pasa por el punto P

Aun cuando esta descripción del movimiento del fluido enfoca la atención de un punto del espacio más que en una partícula, no podemos evitar seguir a las partículas mismas, cuando menos, durante cortos intervalos de tiempo (dt) , puesto que es a las partículas a las que se les aplican las leyes de la mecánica.

Caracterización del movimiento Línea de corriente es el lugar geométrico de los puntos tangentes al vector velocidad de las partículas de fluido en un instante t determinado. Una línea de corriente es una curva imaginaria que conecta una serie de puntos en el espacio en un instante dado, de tal forma que todas las partículas que están sobre la curva en ese instante tienen velocidades cuyos vectores son tangentes a la misma, como se indica en la figura 2. De aquí, las líneas de corriente indican la dirección del movimiento de las partículas que se encuentran a lo largo de ellas, en el instante dado.

Fig. 2 Líneas de corriente. En un puto, la velocidad Fig. 3 Tubo de corriente. Porción de flujo es tangente a la línea de corriente delimitado por líneas de corriente. A cada

sección del tubo le corresponde una velocidad

P V

V V

V

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jraguirre

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2

La trayectorias de las partículas móviles del fluido es la curva que determinan en su movimiento. Pueden coincidir o no con las líneas de corriente. En el movimiento permanente, las líneas de corriente se conservan fijas con respecto al sistema de referencia. Más aún, las líneas del corriente permanente coinciden con las trayectorias de las partículas móviles. En el movimiento variable o no permanente, una partícula del fluido no permanecerá, en general, sobre la misma línea de corriente; por lo tanto, las trayectorias de las partículas y las líneas de corriente no coinciden. Un tubo de corriente o filamento de flujo es un tubo pequeño imaginario o conducto, cuya frontera está formada por líneas de corriente. Las líneas de corriente son fronteras en el mismo sentido que las paredes son fronteras de los conductos reales. Recíprocamente, las fronteras de un conducto real o de cualquier sólido inmerso en el fluido son líneas de corriente. Si las fronteras son paredes sólidas no hay componente normal de la velocidad en las mismas.

Tipos de flujo Flujo estacionario o estable Se caracteriza porque las condiciones de velocidad del fluido en cualquier punto no cambian con el tiempo, o sea que permanecen constantes con el tiempo o bien, si las variaciones en ellas son tan pequeñas con respecto a los valores medios. En general, la velocidad del fluido en un punto (x,y,z) es V(x,y,z,t) es decir la velocidad en un punto dado también es función del tiempo, de modo que cuando el flujo es estacionario la velocidad en todo punto del fluido no cambia con el tiempo). El fluido en cualquier punto es reemplazado por un nuevo fluido que se mueve exactamente en la misma forma.

0V

t

∂ =∂

En condiciones de flujo en régimen permanente, se establece una configuración estable de líneas de flujo que marcan la trayectoria que siguen las partículas de fluido en la corriente. En consecuencia, la trayectoria de las partículas es la propia línea de corriente y no puede haber dos líneas de corriente que pasen por el mismo punto, es decir, las líneas de corriente no se pueden cruzar. En un flujo estacionario el patrón de las líneas de corriente es constante en el tiempo. Si el flujo no es estacionario, las líneas de corriente pueden cambiar de dirección de un instante a otro, por lo que una partícula puede seguir una línea de corriente en un instante y al siguiente seguir otra línea de corriente distinta. Flujo uniforme En este tipo de flujo la variable física es igual en todos los puntos del flujo. Por ejemplo, en un flujo uniforme la velocidad de todas las partículas es la misma en cualquier instante de tiempo, por tanto, la velocidad no va a depender de la posición de la partícula de fluido, aunque puede variar en el tiempo. Flujo rotacional Es el flujo en el que en cada punto no tiene velocidad angular neta con respecto a ese punto, es decir no tiene

momento angular. Por tanto el campo rot V=0�

. En la mayoría de los flujos en movimiento existen partículas que describen trayectorias elípticas, esto es debido a la viscosidad, o a las altas velocidades o presiones dentro del flujo. Flujo laminar Se caracteriza porque el movimiento de las partículas del fluido se produce siguiendo trayectorias bastante regulares, separadas y perfectamente definidas dando la impresión de que se tratara de laminas o capas mas o menos paralelas entre si, las cuales se deslizan suavemente unas sobre otras, sin que exista mezcla macroscópica o intercambio transversal entre ellas. En este flujo las partículas se mueven en trayectorias independientes de las partículas de capas adyacentes. Flujo turbulento : Este tipo de flujo es el que mas se presenta en la practica de ingeniería. En este tipo de flujo las partículas del fluido se mueven en trayectorias erráticas, es decir, en trayectorias muy irregulares sin seguir un orden


3

establecido, ocasionando la transferencia de cantidad de movimiento de una porción de fluido a otra, de modo similar a la transferencia de cantidad de movimiento molecular pero a una escala mayor Fluido Incompresible

Es aquel en los cuales los cambios de densidad de un punto a otro son despreciables, es decir:

0t

ρ∂ =∂

En este caso la variación de volumen debida a la variación de presión es despreciable. Fluido Viscoso La viscosidad es la propiedad de los fluidos de manifestar fuerzas internas de fricción o resistencia cuando se hace que una capa del fluido se mueva respecto de otra paralela. Un fluido no viscoso: Es aquel para el cual la fuerza de fricción interna es despreciable en comparación con otras fuerzas. Un fluido que presenta fricción interna muestra una resistencia a su movimiento. En general, a las sustancias que presentan una resistencia muy pequeña, o nula, a ser deformados se les conoce como fluidos newtonianos, en tanto que, a las sustancias que presentan mayor resistencia se les llaman fluidos no newtonianos * Fluidos ideales en movimiento. No existen esfuerzos cortantes en el movimiento del fluido. Los fluidos reales tienen viscosidad lo que produce esfuerzos tangenciales entre capas del fluido en movimiento. Para el estudio de las propiedades de los fluidos en movimiento, consideraremos un fluido ideal que sea incompresible, no viscoso y se establezca un flujo irrotacional, estacionario y laminar. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD La ecuación de continuidad representa uno de los teoremas de conservación estructural de la física: la conservación de la masa. Consideremos el flujo de un fluido como se indica mediante las líneas de corriente de la fig. 4 . Tomaremos como objeto de estudio un elemento de volumen V que se encuentra en el seno del fluido. Este elemento de volumen, en un instante de tiempo t está determinado por líneas de corriente que son perpendiculares a las áreas en A1 y A2 correspondientemente a los puntos M y N. Transcurrido un breve intervalo dt, el fluido se ha desplazado y sus nuevos límites están determinados por los puntos M + dr y N + dr’. El pequeño volumen que se ha desplazado el volumen V es dV = A1 dr en M y dV’ = A2 dr’ en el punto N.

Fig. 4 Tubo de corriente

Pero la masa se conserva en el flujo estacionario, esto es la masa que cruza por A1 es igual a la masa que pasa por A2 en el intervalo de tiempo dt. Esto es:

M

N

M

M+dr

N

N+dr’

dr’

dr

A1

A2

v1

v2


4

La masa que desplaza en M es

1 1 1 1( )dm dV A drρ ρ= =

En N

2 2 2 2( )dm dV A drρ ρ= =

Por el principio de conservación de la masa, la cantidad de masa dm1 que se desplaza en M en un intervalo de tiempo dt, es igual a la cantidad de masa dm2 que se desplaza en N para el mismo intervalo de tiempo dt

1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

( ) ( ')

'

dm dm

dt dtA dr A dr

dt dtdr dr

A Adt dt

A v A v

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

=

=

=

=

Luego, para un fluido incompresible

1 2

1 1 2 2A v A v

ρ ρ==

El caudal Q de un flujo se define como la cantidad de volumen que fluye por una sección transversal de un tubo de corriente en un determinado intervalo de tiempo

olumendVQ

dt=

De donde

AdrQ

dtAdr

Qdt

Q Av

=

=

=

De modo que de acuerdo al ecuación de continuidad el caudal permanece constante. Ejemplo: Aplicando la ecuación de continuidad a un tubo con estrechamiento encontramos que a mayor área de la sección transversal del tubo menor es la rapidez con que fluye.

1 1 2 2

1 2

1 2

Q Q

AV A V

si A A

V V

==

><

Fig. 5. A menor área fluye con mayor rapidez

A2

A1

V2 V1


5

Ejemplo: Tubo con dos salidas

1 2 3Q Q Q= +

Fig. 6. En tubo con dos salidas el caudal de entrada es igual a la suma de los caudales de salida Ejemplo A un recipiente cilíndrico se le hecha líquido con cierto caudal Q1 , el recipiente tiene un orificio de salida por el que sale un caudal Q2, el caudal que queda en el cilindro es: Q3=Q1-Q2

Fig. 7. Cilindro con un orificio de salida

Ejemplo La fig. 8 muestra la confluencia de dos corrientes que forman un río. Una corriente tiene una anchura de 8m, una profundidad de 3m, y una velocidad de 3m/s. La otra corriente tiene 6m de anchura, 2m de profundidad, y fluye a razón de 1m/s. La anchura del río es de 10m y profundidad 2,5m ¿Cuál es la rapidez de la corriente en el río?.

Fig. 8. Confluencia de dos corrientes que forman un río ECUACIÓN DE BERNOULLI Este teorema es de gran importancia en el estudio de la dinámica de fluidos, ya que nos proporciona una relación entre la presión y la velocidad dentro del fluido. Este principio sólo se cumple en fluidos ideales (no compresibles), pero en la práctica se aplica en el diseño de superficies aerodinámicas (alas, hélices, etc). La ecuación de Bernoulli se deduce de las leyes fundamentales de la mecánica Newtoniana. Se deduce del teorema del trabajo y la energía, porque esencialmente es un enunciado del teorema del trabajo y la energía para el flujo de los fluidos. El teorema del trabajo y la energía establece:

Q3

Q2

Q1

Q1

Q2

Q3

Por el principio de continuidad:

1 2

1 1 2 2

2 2 2(8 3 )(3 / ) (6 2 )(1 / ) (10 2,5 )

3,36 /

c c río

c c c c río río

río

Q Q Q

A V A V A V

x m m s x m m s x m V

V m s

+ =+ =

+ ==


6

"El trabajo de fuerzas externas aplicado a un sistema, se emplea en variar la energía total del mismo"

Fig. 9. Aplicación del Teorema del trabajo y energía en un fluido ideal

Consideremos un fluido se mueve desde el punto 1 a 2 (Fig. 9), cuando se modifican su rapidez o su altura, la presión también cambia. La fuerza de la presión p1 en el extremo inferior (punto 1) del tubo de área A1 es

1 1 1F p A=

El trabajo realizado por esta fuerza sobre el fluido es

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

W F x

W p A x

W p V

= ∆= ∆= ∆

Donde ∆V1 es el volumen que se desplaza en 1 De manera equivalente, si se considera un mismo intervalo de tiempo, en el punto 2 la fuerza de la presión p2 en el extremo superior del tubo de área A2 es

2 2 2F p A=

Y realiza trabajo negativo por oponerse al desplazamiento de

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

W -F x

W -p A x

W -p V

= ∆= ∆= ∆

Además a que considera, por la ecuación de continuidad en un intervalo de tiempo ∆t, los volúmenes desplazados en 1 y 2 son iguales.

1 2V V V∆ = ∆ = ∆

El trabajo neto realizado por las fuerzas en el intervalo de tiempo ∆t es:

1 2

1 1 2 2

1 2

W W +W

W p p V

W (p p ) V

V

== ∆ − ∆= − ∆

Parte de este trabajo se usa en cambiar tanto la energía cinética como la energía potencial gravitacional del fluido. Si ∆m es la masa que pasa por el tubo de corriente en el tiempo ∆t, entonces de acuerdo al teorema del trabajo y la energía que relaciona la variación de energía cinética y la variación de energía potencial gravitacional es:


7

Pg

2 22 2 1 1 2 2 1 1

W + E

1 1W ( m m )+( m m )

2 2

CE

v v gy gy

= ∆ ∆

= ∆ − ∆ ∆ − ∆

Pero por la ecuación de continuidad

2 1m m Vρ∆ = ∆ = ∆

Luego

2 21 2 2 1 2 1

2 21 2 2 1 2 1

2 21 1 1 2 2 2

1 1(p p ) V ( ) ( ) +( ) ( )

2 21 1

p p +2 2

1 1p + p +

2 2

V v V v V gy V gy

v v gy gy

v gy v gy

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

− ∆ = ∆ − ∆ ∆ − ∆

− = − −

+ = +

La última expresión se denomina la Ecuación de Bernoulli, y debe advertirse que aplica a una determinada línea de corriente. En la ecuación de Bernoulli, la presión p + ρgy , que existe cuando v = 0, recibe el nombre de presión estática y el término ½ ρ v2 recibe el nombre de presión dinámica. La idea básica de la ecuación de Bernoulli es que la presión en un fluido con flujo uniforme, disminuye cuando aumenta la velocidad. Esto es consecuencia de que la energía total del fluido permanece constante. A este efecto se conoce también como Efecto Venturi.

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI Medidor de Venturi El medidor de Venturi se usa para medir la velocidad de flujo de un fluido. Vamos aplicar la Ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 del medidor de Venturi (Fig.10), para lo cual tomaremos de referencia la línea de corriente central, de modo que al enmontarse los puntos 1 y 2 al mismo nivel el termino de la energía potencial es cero.

El teorema afirma que la energía total de un sistema de fluidos con flujo uniforme permanece constante a lo largo de la trayectoria de flujo, trayendo como consecuencia, que el aumento de velocidad del fluido

debe verse compensado por una disminución de su presión.

El término W=∆P∆V representa el trabajo que el fluido hace sobre el elemento de volumen ∆V, y encontramos que este trabajo no depende de los detalles del proceso, sino sólo de los estados inicial y final. Por lo tanto, es tentador pensar en ∆P∆V como en el potencial asociado a la fuerza que el resto del fluido hace sobre el elemento de volumen, y entonces postulamos que el Teorema de Bernoulli expresa la conservación de la energía mecánica del elemento de volumen. Para que este postulado sea cierto, deberíamos responder la siguiente pregunta: ¿Es conservativa la fuerza que el fluido hace sobre un objeto sumergido en él? La respuesta más general a esta pregunta es un rotundo NO. Pero será un SÍ si nos restringimos a las siguientes hipótesis: 1) El objeto interactúa con el fluido sólo a través de la presión (no hay “rozamiento”, ni fuerzas vinculadas a la existencia de una interfase, ni nada). 2) El objeto no cambia de volumen. 3) El objeto no modifica el estado del fluido circundante. 4) El fluido fluye en forma laminar y estacionaria. Si respondemos con un sí a la pregunta bajo las hipótesis enumeradas, entonces podremos encontrar un potencial para la fuerza que hace el fluido sobre un objeto sumergido.


8

2 21 1 2 2

2 21 2 1 2

21 22 1

1 1p p

2 21 1

p p2 2

2(p p )

v v

v v

v v

ρ ρ

ρ ρ

ρ

+ = +

− − =

−= −

De modo que conociendo la diferencia de presiones entre 1 y 2 se puede determinar la rapidez en 2.

Fig. 10 Medidor de Venturi Otro resultado importante del medidor de Venturi, es la relación de las presiones entre 1 y 2. Como se ha determinado de acuerdo a la ecuación de continuidad la rapidez en 2 es mayor que en 1 De donde:

2 21 1 2 2

2 21 2 2 1

2 21 2 2 1 2 1

2 21 2 2 1

1 2

1 2

1 1p p

2 21 1

p p2 21

p p ( )21

p p ( ) 02

p p 0

p p

v v

v v

v v v v

v v

ρ ρ

ρ ρ

ρ

ρ

+ = +

− = −

− = − >

− = − >

− >>

Encontramos que a mayor rapidez del fluido menor es la presión que ejerce, a este resultado se le llama Efecto Venturi Aplicaciones del Efecto Venturi El Efecto Venturi no permite comprender el flujo sobre superficies, como las alas de un avión o las hélices de un barco. Las alas están diseñadas para que obliguen al aire a fluir con mayor velocidad sobre la superficie superior que sobre la inferior, por lo que la presión sobre esta última es mayor que sobre la superior. Esta diferencia de presión proporciona la fuerza de sustentación o ascensional dinámica, que mantiene al avión en vuelo. Una hélice también es un plano aerodinámico, es decir, tiene forma de ala. En este caso, la diferencia de presión que se produce al girar la hélice proporciona el empuje que impulsa al barco. Se llama fuerza ascensional dinámica a la fuerza que obra sobre un cuerpo debido a su movimiento a través de un fluido. Esta fuerza aparece por ejemplo: en el ala de un avión en movimiento, en una pelota de fútbol o béisbol que va girando. Se debe distinguir la fuerza ascensional dinámica de la fuerza ascensional estática. La fuerza ascensional estática es la fuerza de flotación que obra sobre un objeto como consecuencia del principio de Arquímedes. Esta fuerza aparece por ejemplo en un globo de aire, en un cuerpo que flota en el agua. El efecto venturi, también se emplea en las toberas, donde se acelera el flujo reduciendo el diámetro del tubo, con la consiguiente caída de presión. Asimismo se aplica en los caudalímetros de orificio, también llamados

1 2

v1


9

Cuando se utiliza un tubo de Venturi hay que tener en cuenta un fenómeno que se denomina cavitación. Este fenómeno ocurre si la presión en alguna sección del tubo es menor que la presión de vapor del fluido. Para este tipo particular de tubo, el riesgo de cavitación se encuentra en la garganta del mismo, ya que aquí, al ser mínima el área y máxima la velocidad, la presión es la menor que se puede encontrar en el tubo. Cuando ocurre la cavitación el líquido

se vaporiza, generan burbujas que se trasladan a lo largo del tubo. Si estas burbujas llegan a zonas de presión mas elevada, pueden colapsar produciendo así picos de presión local con el riesgo potencial de dañar la pared del tubo. Se

generan también problemas como ruido, vibraciones y daño a los elementos.

tubos de Venturi. También son aplicaciones de este fenómeno la trompa de agua, que es un aparato utilizado en los laboratorios para hacer el vacío, los pulverizadores y el mechero Bunsen. En un motor: el carburador aspira el carburante por efecto Venturi, mezclándolo con el aire (fluido del conducto principal), al pasar por un estrangulamiento. Fuerza ascensional sobre una pelota que se mueve girando como se muestra en la Fig.11. Para realizar este análisis es más conveniente examinar la situación tomando como marco de referencia aquél en el cual la pelota se encuentra en reposo y es el aire el que se mueve con respecto a ella. Esto se puede conseguir en un túnel de aire.

(a) (b) (c) Fig. 11 Pelota que se mueve girando en medio del aire: Efecto Magnus

La Fig.11 (a), muestra una pelota que se mueve hacia la izquierda, por lo tanto el aire que rodea la pelota se

desplaza con respecto a ésta hacia la derecha, teniendo una velocidad V�

tanto en los puntos 1 y 2 que quedan sobre y bajo ella. La Fig.11 (b), muestra una pelota que gira en sentido horario, puesto que la pelota no es perfectamente lisa ella arrastra algo de aire consigo en el mismo sentido, por lo tanto la velocidad del aire en las posiciones 1 y 2

está dada 1RV�

y 2RV�

.

La Fig.11 (c), muestra la superposición de ambos movimientos. En ella podemos ver que la velocidad del fluido en el punto 1 es mayor que la velocidad en el punto 2. Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 de la Fig. 11(c), considerando a demás que la densidad del aire y la separación entre los puntos 1 y 2 es pequeña tenemos:

1 2V V> de donde encontramos que 1 2P P< , es decir que la presión del aire en la parte inferior de la pelota

es mayor que en la parte superior, de manera que hay una fuerza resultante ascendente que actúa sobre la pelota. Ejemplo La sección transversal del tubo ilustrado en la Fig.12 es de 60cm2 en las partes anchas y de 30cm2 en el estrechamiento. La descarga de agua del tubo es de 5lit/s. (a) Hállense las velocidades de las partes ancha y estrecha, (b) hállese la diferencia de presión entre estas partes, (c) Hállese la diferencia de altura h entre las columnas de mercurio del tubo en U.


10

Fig. 12 Medidor de Venturi b) Aplicamos el ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 que están al mismo nivel

2 21 1 2 2

2 2 2 21 2 2 1

1 1p p

2 21 1000

p p ( ) (2 1 ) 15002 2

V V

V V Pa

ρ ρ

ρ

+ = +

− = − = − =

c) Altura h, en el tubo en U el líquido está en reposo por lo que hidrostáticamente encontramos

1 2

3

1500

13,6 10 (9,8) 1500 0,0112 1,12

P P gh Pa

x h Pa h m cm

ρ− = =

= ⇒ = =

Ejemplo Consideremos un tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales (ver Fig.13). Los radios internos de la sección principal y del estrechamiento son 20 y 10cm respectivamente. Cuando circula un caudal de agua de 100l/s, el nivel del agua en los tubos de la izquierda y derecha se encuentra a 1,0m por encima del eje de la tubería. a) ¿Hasta qué altura subirá el agua por el tubo central?, b) ¿Cuál es la presión manométrica en los puntos A y B?, c) ¿Para qué caudal de agua se succionará aire por el tubo central?. Determinamos el área de cada sección en A y B

2 2 2 2

2 2 2 2

(0,2 ) 12,56 10

(0,1 ) 3,14 10

4

A

B

A B

A r m x m

A r m x m

A A

π ππ π

−

−

= = =

= = ==

Recordemos

3 3 31 1 10l dm m−= =

Fig. 13 tubo de Venturi con tres tomas La rapidez en cada que atraviesa cada sección

3 3100 / 100 10 /

0,80 /

3,20 /

4

A A A

B B B

B A

Q l s x m s

Q A V V m s

Q A V V m s

V V

−= == ⇒ == ⇒ ==

(a) Para calcular la altura que alcanza el líquido en B, aplicamos la Ecuación de Bernoulli entre los puntos

A y B

Tenemos: 2 2

1 2

3 3

60 30

5 / 5 / 5000 /

A cm A cm

Q lit s dm s cm s

= =

= = =

a) Por continuidad

1 1 1 1

2 2 2 2

5000 50 100 / 1 /

5000 25 200 / 2 /

Q AV V V cm s m s

Q A V V V cm s m s

= ⇒ = ⇒ = == ⇒ = ⇒ = =

A2 A1


11

2 2

2 2

2 2

2 2

2

1 1p p

2 21

p p ( )2

p 1[ (4 ) ]

2

15 15

2 2

151 (0,8) 0,51 51

2 9,8

A A B B

B A A B

AA A

A A

V V

V V gh

h V Vg g

gHh V H V

g g g

h h m cmx

ρ ρ

ρ ρ

ρρρ

+ = +

= + − =

= + −

= − = −

= − ⇒ = =

(b) La presión en A determina que el líquido ascienda en el tubo vertical una altura H=1m, luego la presión

manométrica en A es:

3 410 10 1 10AP gH x x Pa Paρ= = =

3 410 10 (0,51) 0,51 10BP gh x x Pa x Paρ= = =

(c) Aplicamos la Ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B, de modo tal que la presión absoluta en PB

sea cero

2 2o

2 2o

2 2o

2 oo

5 42o

3

3

1 1(p +p )

2 21

(p +p ) ( )21

(p +p ) [(4 ) ]2

2(p +p )15(p +p )

2 15

2(p +p ) 2 (1 10 1 10 )12,56 10

15 15 10

0,48 /

A A B

A B A

A A A

AA A A

AA A A

V V

V V

V V

V V

x x xQ A V A Q x

x

Q m s

ρ ρ

ρ

ρ

ρρ

ρ−

+ =

= −

= −

= ⇒ =

+= = ⇒ =

=

Ley de Torricelli Consideremos un tanque con un nivel de líquido h, que descarga en forma natural por un orificio pequeño ubicado en su base, tal como lo muestra la Fig.14. Asumiremos que el área del orificio de salida del líquido es mucho menor que el área de la sección transversal del taque. debe observarse que la presión en el punto 2 de salida es la presión atmosférica Po, luego Aplicando al Ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 de la línea de corriente que se ilustra en la Fig. 14,


12

2 21 1 1 2 2 2

1 1p + p +

2 2

v gy v gyρ ρ ρ ρ+ = +

2 21 2

1 1p + p

2 2o ov gh vρ ρ ρ+ = +

Aplicando la ecuación de continuidad

1 1 2 2

21 2

1

A v A v

Av v

A

=

=

Entonces: Fig. 14 Tanque que descarga por un orificio pequeño

2 222 2

1

1 1( ) +

2 2

Av gh v

Aρ ρ ρ= 2

22

1

2

1 ( )

ghv

A

A

=−

De modo que si

22 21 2

1 1

1 ( ) 0A A

A AA A

⇒ ⇒ →≫ ≪

Luego la velocidad de salida queda 2 2v gh=

Resultado que se conoce como la Ley de Torricelli, y es análogo a al caída libre de un cuerpo una altura h. Ejemplo A un tanque como el mostrado en la Fig. 15 , se le practica un orificio de 2cm2 a una profundidad de 4m con respecto a la superficie del agua que contiene. Este tanque es utilizado para llenar un pequeño depósito 1,2m3, ¿en cuánto tiempo se llena el pequeño depósito?. Considere que la superficie libre del líquido en el tanque es muy grade comparada con la superficie del orificio. Aplicando la Ley de Torricelli

2 22 2 9,8 4 8,85 /V gh V x x m s= ⇒ = =

El caudal de salida

2 2

4 2 4 2

3 3

2 10 8,85 / 2 10 8,85 /

1,77 10 /

Q A V

Q x m x m s Q x m x m s

Q x m s

− −

−

=

= ⇒ ==

Fig. 15 Tanque con una salida El caudal se considera constante en la medida que la altura no cambia, mas considerando que el área de salida es muy pequeña respecto a la superficie libre del líquido; de modo que el tiempo que tarde en completar 1,2m3 es

3

3 3

1,2677,97 11min17,97

1,77 10 /olumV m

Q t s st x m s−= ⇒ = = =

V2

h

1

2

Po

NR

V2

4m

1

2 NR


13

Tubo de Pitot El Tubo de Pitot es un aparato se usa para medir la rapidez del flujo de un gas de densidad ρ mediante el uso de un manómetro En el tubo de Pitot mostrado en la Fig.16, el manómetro es un tubo en forma de U que contiene un fluido de densidad ρ´. Consideremos a dicho gas, por ejemplo el aire, fluyendo por las aberturas en a. Estas aberturas son paralelas a la dirección del flujo y están situadas lo suficientemente lejos como para que la velocidad y la presión fuera de ellas tengan los valores del flujo libre. Por lo tanto la presión en el brazo izquierdo del manómetro, está relacionado a la velocidad del flujo y es la presión Pa. La abertura del brazo derecho del manómetro es perpendicular a la corriente. La velocidad se reduce a cero en el punto b y el gas se estanca en ese sitio (punto de estancamiento). La presión en b es la presión total de empuje Pb: Por lo tanto, al aplicar la ecuación de Bernoulli en los puntos a y b obtenemos: Hidrostáticamente

b aP P ghρ− =

Fig. 16 Tubo de Pitot

De donde obtenemos la rapidez del flujo del gas: 21 2 ´´

2 a a

ghgh v v

ρρ ρρ

= ⇒ =

Ejemplo: Analicemos la presión sobre dos tubos ubicados como indica la Fig.17. En la base del primero fluye el líquido con rapidez V, en tanto que el otro manómetro tiene una de sus aberturas perpendicular al flujo, alcanzándose su punto de estancamiento, es decir el fluido queda en reposo.

Fig. 17 Presión en tubos verticales

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 tenemos:

2 21 1 2 2 2

22 1

1 1P 0

2 21

P -P2

v P v v

v

ρ ρ

ρ

+ = + ⇒ =

=

Encontramos que la presión en 2 es mayor que en 1: P2 > P1 Donde: P1 es la presión del líquido en el punto 1 P2 es la presión hidrostática del líquido, a dicho tubo se denomina tubo piezométrico.

2 2

2

2

1 1P

2 21

P2

1P -P

2

a a b b

a a b

b a a

v P v

v P

v

ρ ρ

ρ

ρ

+ = +

+ =

=

Pb

Pa

V

H h

1 2


14

El resultado anterior nos indica que cuando el líquido fluye la presión que ejerce disminuye en un factor

21

2vρ que corresponde a la rapidez con que fluye.

De modo que se puede establecer la siguiente relación

1 11

2 22

P PP gh h

g

P PP gH H

g

ρρ γ

ρρ γ

= ⇒ = =

= ⇒ = =

Y aplicando a la Ecuación de Bernoulli, obtenemos la relación entre las alturas

2

2

1-

21

2

H g h g v

H h vg

ρ ρ ρ=

= +

Lo que mostramos en la figura

Fig. 18 La presión en el tubo piezométrico corresponde a la altura H, que se denomina altura piezométrica. TUBOS PIEZOMÉTRICOS . Sirven para medir la presión estática. Si colocamos en dos secciones de la vena líquida en movimiento, unos tubos que no produzcan ningún tipo de perturbación en la corriente, el líquido alcanzará en ellos un cierto nivel que representa la altura piezométrica o manométrica. Demostración general del Ecuación de Bernoulli Consideremos un fluido incomprensible, sin viscosidad y que fluye en régimen estacionario. En una determinada línea de corriente, tomamos una partícula del líquido de área dA y ancho l∂ , ubicado como se muestra en la Fig. 19.

Fig. 19 Diferencial de volumen de l líquido en una línea de corriente Observamos que: La presión varía a lo largo de la línea de corriente, por lo que:

F´=P´dA

F=PdA

dW θ

θ y∂

l∂

cosy

lθ∂ =

∂

y

Nivel de referencia

V

H h

21

2v

g


15

´P

P P dll

∂= +∂

El peso del la partícula del líquido es: ( )

( )

dW dm g

dW dAdl gρ==

La aceleración tangencial

( )

T

T

dVa

dtdV dl dV

a Vdt dl dl

=

= =

Para un flujo estacionario la velocidad en un punto determinado no varía con el tiempo, sin embargo puede cambiar de un punto a otro, por lo que:

T

Va V

l

∂=∂

Identificamos las fuerzas sobre la partícula del líquido y aplicamos la Segunda Ley de Newton de las fuerzas tangenciales:

´ cos ( )

( ) ( )( ) ( )

TF F dW dm a

P y VPdA P dl dA dAdl dAdl V

l l l

θ

ρ ρ

− − =∂ ∂ ∂− + − =∂ ∂ ∂

Simplificando

2

2

2

( )

( ) 0

1( ) ( )2 0

1( )2 0

1tan

2

P y Vg V

l l lV P y

V gl l l

V P gy

l l l

V P yg

l

V P yg cons te

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

∂ ∂ ∂− − =∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂

∂ + +=

∂

+ + =

Ecuación de Bernoulli que también se puede expresar como

21tan

2

PV yg cons te

ρ+ + =

Considerando el peso específico gγ ρ=

2

tan2

V Py cons te

g γ+ + =


16

A la suma de los términos P

yγ

+ se le denomina carga piezométrica y a la suma de los términos:

2

2

V Py

g γ+ + carga total.

La ecuación de Bernoulli lo pedemos visualizar según la figura

Fig.20 La carga total en el flujo de un líquido sin viscosidad se mantiene constante EQUIPOS DE BOMBEO La elevación e impulsión de líquidos ha sido un problema difícil de resolver satisfactoriamente en tiempos atrás y ocupa un amplio campo en la técnica de la ingeniería actual. Extraer agua de los pozos, almacenándolo en la superficie, impulsarlo a cotas convenientes, en una palabra transportar un liquido de un nivel inferior a otro superior, es el objeto y fin de las máquinas de bombeo. Existen en estos momentos un gran número de diferentes bombas, para usarse en la elevación del agua, pero son pocos los tipos que puedan utilizarse en forma económica, ya que no todas cumplen con las necesarias condiciones de eficiencia. Una bomba hidráulica es una máquina que convierte la emergía mecánica en energía hidráulica que se manifiesta con un incremento de la velocidad y presión del fluido que circula por su interior. Potencia de una Bomba: Para lograr su objetivo la bomba debe realizar un trabajo, es decir elevar un peso F a una altura H, y debe disponer de una potencia si este trabajo se efectúa en una unidad de tiempo.

WP

tmgh

PtVh

Pt

P Qh

γ

γ

=

=

=

=

Se define potencia hidráulica transmitida por la bomba al fluido a:

hP Q Hγ= Ph : Potencia en vatios γ: Peso especifico del agua

21

2

Pv

gγ+

2

2

V

g

Carga total

y

NR

P

γ


17

Q : caudal en m3/s H : en metros La potencia hidráulica no es la potencia mecánica que es necesaria para mover el rodete. En otras palabras no nos indica la potencia mecánica necesaria para obtener la correspondiente potencia hidráulica. La existencia de rozamientos y pérdidas en el interior de la bomba es la razón de esta circunstancia. Se define rendimiento de la bomba a la expresión:

h

m

P

Pη =

Ph : potencia hidráulica de la bomba. Pm :potencia mecánica (potencia necesaria para accionarla). Ejemplo Se bombea continuamente agua que se extrae de un sótano inundado con una velocidad de 5,5m/s por medio de una manguera uniforme de 20mm de radio. La manguera pasa por una ventana situada a 3m sobre el nivel del agua ¿Cuánta potencia proporciona la bomba?. Tenemos:

2 3 2 4 2

4 2 3 3

5,5 /

(10 10 ) 3,14 10

(3,14 10 )5,5 / 1,73 10 /

V m s

A r x m x m

Q AV x m m s x m s

π π − −

− −

== = == = =

Sabemos que la potencia de una bomba es:

3 3 3 3(9,8 10 / )(1,73 10 / )3

50,86

h

h

h

P QH

P x N m x m s m

P W

γ−

=

==

FLUJO VISCOSO La viscosidad es la resistencia que presentan las capas de los líquidos para deslizarse unas sobre otras. El coeficiente de viscosidad η es el parámetro que caracteriza la viscosidad. Supongamos un fluido contenido entre dos grandes láminas planas y paralelas de área A separadas entre si por una pequeña distancia “y” (Fig. 21a). Al tiempo t<0 el sistema está en reposo, para t=0 se aplica a la lámina superior una fuerza tangencial F, que le imprime un movimiento de dirección x con una velocidad constante V. Considerando un flujo estacionario laminar, las capas de fluido en contacto con la placa superior adquieren un movimiento de dirección x y lo propagan a las capas inferiores en la dirección y. El desplazamiento de la capas sucesivas se debe a la presencia de esfuerzos de corte que producen el desplazamiento relativo de una placa respecto a la otra. Fig. 21 (a) Dos placas en reposo (b) Desplazamiento de una placa sobre otra en medio de un fluido viscoso. A

mayores t el perfil de velocidad se va modificando hasta alcanzar el estado.

A

y

A

y

V

V=0

F


18

Se puede determinar que cuando aumenta el esfuerzo de corte F

Aσ = en la parte superior de la superficie

aumenta la rapidez V de la placa en relación a y (a la relación entre la rapidez y la distancia y se le denomina gradiente de velocidad); esto significa que existe una vinculación entre esfuerzo de corte aplicado y la gradiente de velocidad; de manera que la relación entre el esfuerzo viscoso de corte y la gradiente de velocidad caracteriza la resistencia que ofrece el fluido al movimiento entre las placas, cuando la dicha relación es constante se tiene:

FA

Vy

η =

Donde al coeficiente constante η se le denomina coeficiente de viscosidad. Esta ecuación es válida para flujo laminar y no todos los fluidos la cumplen. Aquellos que si la cumplen reciben el nombre de fluidos newtonianos. Los fluidos que no cumplen la ley de Newton de la viscosidad se denominan no-newtonianos y su estudio es el objetivo de una ciencia llamada reología La aparición del esfuerzo de corte viscoso debido a la presencia de un gradiente de velocidad existe en cada plano del fluido y es el responsable de la deformación continua del fluido haciendo que este fluya. Si la expresión anterior se aplica a un elemento de volumen de fluido de espesor dy y de área ∆A, tendremos

FA

dVdy

η∆

∆=

Fig.22. Elemento de un fluido de espesor dy y área ∆A, sometida a esfuerzo viscoso. La placa superior se mueve respecto de la inferior a a la velocidad relativa dV

Ley de Poiseuille El caudal que circula por una tubería en régimen laminar viene dado por la ecuación de Poiseuille. Consideremos un tubo de radio R por el fluye un fluido viscoso en condiciones de flujo laminar estacionario e incompresible. Consideramos que las láminas en la que fluye el líquido está constituido de cilindros concéntricos. Ahora tomamos para el análisis una lámina cilíndrica de espesor dr, en ella evaluamos la fuerza de viscosidad, para velocidad constante la fuerza de viscosidad debe ser igual a la fuerza que genera la diferencia de presiones en el cilindro sólido del interior, así

Fig. 23. Flujo viscoso en una tubería circular

2 2 21 2

2

0

( ) ( ) ( )

( )( ) (2 )

( ) (2 )o

r V

V

dVF A

dr

F P r P r P r

dVP r rL

dr

P rdr L dV

η

π π π

π η π

η

=

= − = ∆−∆ =

−∆ =∫ ∫

dy

∆F

∆F V+dV

V dy

V-dV

V

P2 P1

L

r


19

Del resultado anterior, encontramos que la distribución de velocidades en la tubería circular corresponde a una función parabólica dada por,

2P

4oV V rLη

∆= −

Fig. 24 Distribución parabólica de velocidades en un flujo viscoso laminar en una tubería circular El resultado nos muestra que la rapidez del flujo disminuye a medida que se acerca a la pared de la tubería, donde la rapidez es cero. La máxima rapidez del flujo está en el centro de la tubería, de modo que para r = R encontramos V= 0; reemplazando, obtenemos la rapidez máxima Vo

2 2P P0

4 4o oV R V RL Lη η

∆ ∆= − ⇒ =

La rapidez máxima en la tubería es:

2max

P

4V R

Lη∆=

La rapidez V para un radio r, resulta

2 2

2 2

P P

4 4

P( )

4

V R rL L

V R rL

η η

η

∆ ∆= −

∆= −

Caudal en la tubería

Determinamos un diferencial de superficie dA de forma de un anillo circular de ancho dr, por el que fluye un diferencial de caudal dQ, de modo que: dQ VdA=

Donde: 2dA rdrπ=

2 2P( )

4V R r

Lη∆= −

Luego

2 2

2 2

0

2 42

0

4

P( )2

4

P( )2

4

P2 ( )

4 2 4

P

8

R

R

dQ R r rdrL

dQ R r rdrL

r rQ R

L

Q RL

πη

πη

πη

πη

∆= −

∆= −

∆= −

∆=

∫ ∫ Fig. 25 Caudal en un dA del cilindro

Vo

V

r


20

Este resultado nos indica que para mantener un flujo estacionario viscoso es necesario aplicar una diferencia de presiones entre sus extremos, ello porque la fuerzas constantes viscosas generan una caída en la presión .

Fig. 26 Caída de presión en un flujo viscoso

La caída de presión por unidad de longitud para un régimen estacionario, es

4

P8 tan

Qcons te

L Rη

π∆ = =

De donde

4

P

8 tan

g h

h Qcons te

L gR

ρ

ηπρ

∆ = ∆∆ = =

Obsérvese que el caudal en la una tubería circular está relacionado con una diferencia de presión, de modo que podemos expresarla de la siguiente forma

4

8P ( )

LQ

R

ηπ

∆ =

El término en paréntesis se denomina resistencia al flujo en una tubería circular,

4

8 L

R

ηπ

=ℝ

La resistencia al flujo, en general depende de dos aspectos; primero, aspectos geométricos del conducto por donde fluye el líquido y segundo, las propiedades internas del fluido en este caso caracterizado por la viscosidad. El caudal total en la tubería se pude expresar como

Q VA=

Donde V se denomina la velocidad media en la tubería y A es el área de la sección transversal de la tubería. Ejemplo Resistencia equivalente de tuberías conectadas en serie. Consideremos dos tuberías conectadas una a continuación del otro, considerando un flujo laminar viscoso y despreciando los efectos de la unión de las tuberías.

Fig. 27 Tubos conectados en serie

Por el principio de continuidad el caudal en cada tubería es el mismo, de modo que

1 2Q Q= y además cumple

1 1 1

2 2 2

P Q

P Q

∆ =∆ =

ℝ

ℝ

∆h

L

Q

Q1 Q2 ∆P2 ∆P1

≈ Q ∆P


21

El sistema equivalente será una tubería cuya resistencia relacione

P Q∆ = ℝ

Donde

1 2Q Q Q= =

y

1 2P P P∆ = ∆ + ∆

De donde

1 2

1 2

Q Q Q= += +ℝ ℝ ℝ

ℝ ℝ ℝ

Demuestre que la resistencia equivalente de una disposición de tuberías conectadas en paralelo es:

1 2

1 1 1= +ℝ ℝ ℝ

La viscosidad es una medida de la resistencia del fluido a su movimiento y caracteriza la tensión interna en un fluido.

Fig. 28 Comportamiento comparativo de fluidos comunes

Número de Reynolds Para caracterizar el movimiento de un objeto en relación con un fluido se usa el número de Reynolds. El número de Reynolds es uno de los números adimensionales mas utilizados. La importancia radica en que determina el régimen con que fluye un líquido, lo que es fundamental para el estudio del mismo. Cuando un líquido fluye en un tubo y su velocidad es baja, fluye en líneas paralelas a lo largo del eje del tubo; a este régimen se le conoce como flujo laminar. Conforme aumenta la velocidad y se alcanza la llamada velocidad crítica, el flujo se dispersa hasta que adquiere un movimiento de torbellino en el que se forman corrientes cruzadas y remolinos; a este régimen se le conoce como flujo turbulento (ver la Fig. 29-b). El paso de régimen laminar a turbulento no es inmediato, sino que existe un comportamiento intermedio indefinido que se conoce como régimen de transición. (a) (b)

Fig. 29 (a) Flujo laminar (b) flujo turbulento Reynolds (Osborne Reynolds -1883) observó que el tipo de flujo adquirido por un líquido que fluye dentro de una tubería depende de la velocidad del líquido, el diámetro de la tubería y de algunas propiedades físicas del fluido. Así, el número de Reynolds es un número adimensional que relaciona las propiedades físicas del fluido, su velocidad y la geometría del ducto por el que fluye y está dado por:


22

eRDV ρ

η=

donde: Re : Número de Reynolds D : Diámetro del ducto

V : Velocidad promedio del líquido ρ : Densidad del líquido η : Viscosidad del líquido El número de Reynolds relaciona la razón entre las fuerzas de inercia y la fuerza de tensión viscosas. Generalmente cuando el número de Reynolds se encuentra por debajo de 2000 se sabe que el flujo es laminar, en el intervalo entre 2000 y 4000 se considera como flujo de transición y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento

Fig. 30 Distribuciones típicas de velocidad para un flujo laminar y turbulento.

Variación de la viscosidad con la temperatura. A parte de depender de la velocidad de cizalla y del tiempo de aplicación de la misma, la viscosidad es fuertemente dependiente de la temperatura. La mayoría de los materiales disminuyen su viscosidad con la temperatura; la dependencia es exponencial y puede haber variaciones de hasta un 10% por cada ºC modificado. Por ejemplo, la sensibilidad a la temperatura del agua es de 3% por grado centígrado a temperatura ambiente, así que para tener una precisión del 1% requiere que la temperatura sea regulada en 0,3ºC. Para líquidos más viscosos esta dependencia es mayor. Tabla de viscosidades dinámicas

η Pa s


23

Ondas, vórtices e inestabilidades Las ondas y vórtices son un caso especial de flujo que caen dentro de los laminares. Son un paso de transición entre los sistemas laminar y turbulento. La transición es un punto de inestabilidad del flujo medio inicial. La inestabilidad puede conducir a crecimiento de ondas, rompimiento de éstas y a turbulencia caótica y al azar.

Fig. 31 Distribución de velocidades

Los fluidos reales se distinguen de los ideales en que poseen una cierta viscosidad, es decir, un rozamiento interior que origina tensiones tangenciales entre las láminas del fluido. Los movimientos de circulación de los fluidos se pueden dividir en dos tipos, a) Movimientos laminares, o de Poiseuille, que son flujos regulares en los que la masa fluida esta formada por laminas yuxtapuestos, perfectamente individualizados, en los que las superficies libres son lisas y unidas; en realidad sólo se dan en algunos casos muy particulares o en fluidos muy viscosos; el número de Reynolds en flujos por el interior de tubos es inferior a 2 000. b) Movimientos turbulentos, o hidráulicos, en los que las láminas del líquidos se entrecruzan no conservan su individualidad; las superficies libres son turbulentas y estriadas, y son los movimientos que con más frecuencia se presentan en la práctica. Si en cada punto de una masa fluida en movimiento turbulento se miden las velocidades instantáneas, se observa que estas varían en magnitud y dirección sin ninguna regularidad, con una frecuencia a veces muy grande, pero no se apartan jamás de un valor medio, alrededor del cual oscilaran más o menos rápidamente; otro tanto sucede con las presiones. Los valores medios, de velocidades y presiones, definen un régimen ficticio que se conoce como movimiento medio, o régimen de “Bazin”, siendo sus características las que normalmente aparecen en las formulas practicas de Hidráulica. Mediante este modelo, el movimiento de un fluido en cualquier tipo de régimen, laminar o turbulento, puede asimilarse al de un fluido perfecto, salvo en las zonas próximas a las paredes, en que la existencia de elevados gradientes de velocidad, aun en fluidos de pequeña viscosidad, hacen que se manifiesten en gran manera las fuerzas de viscosidad; a esta región se la conoce como capa límite. Movimiento de sólidos en Fluidos Al desplazarse un sólido en el interior de un fluido aparece una fuerza resultante llamada de resistencia hidrodinámica, que tiene dos componentes una anti-paralela al movimiento, debida a las fuerzas viscosas (resistencia) y otra perpendicular al flujo denominada fuerza de sustentación. Las dos componentes son función de la velocidad relativa del sólido/fluido de la superficie proyectada en la dirección al movimiento, y perpendicular a él, y de las características físicas del fluido. La fuerza de resistencia hidrodinámica es paralela al flujo del fluido, se debe a las fuerzas disipativas y tangenciales de fricción viscosa. Es función del tipo de flujo, laminar o turbulento, de las características físicas del fluido, de la velocidad del sólido respecto del fluido y del área de sección transversal perpendicular a la dirección de movimiento. La fuerza de resistencia hidrodinámica (R) es función de la velocidad relativa del movimiento del sólido en el interior del líquido, y se encuentra experimentalmente que: Para velocidades pequeñas:R V∞

Para velocidades grandes: 2R V∞

Cuando el objeto es una esfera que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar, la fuerza de resistencia viscosa viene dada por:


24

F 6 rVπη=

Donde: η la viscosidad, r radio de la esfera, V velocidad respecto del fluido. Esta expresión fue derivada por primera vez por sir George Stokes en 1845 y se denomina Ley de Stokes.

Fig.32 Una esfera cae en un fluido viscoso, R: resistencia, E: empuje, mg: peso

Para determinar la viscosidad de un fluido se encuentra la velocidad límite VL que alcanza una esfera que cae en su seno, momento en el cual la fuerza retardadora viscosa más el empuje es igual al peso de la esfera. Si ρ es la densidad de la esfera y ρ′ la del fluido, tenemos:

3 3

2

4 46 ´ ( ) ( )

3 32

( ´ )( )9

L

L

R E mg

rV g r r g

gV r

η ρ π ρ π

ρ ρη

+ =

+ =

= −

Ejemplo Tenemos una manguera de 10m de largo y 2cm de diámetro conectada a un grifo con una presión absoluta de 2atm. Calcula: (a) la resistencia al flujo de la manguera, (b) el caudal de agua que circula por ella, (c) la velocidad media del agua, (d) la velocidad máxima. Considere la viscosidad del agua 10-3Pa.s.

(a) Resistencia al flujo de la manguera, recuerde que no depende de la presión, sólo de aspectos geométricos.

Para una tubería circular: 3

6 34 2 4

8 8(10 . )(10 )2,55 10 . /

(1 10 )

L Pa s mx Pa s m

R x m

ηπ π

−

−= ⇒ = =ℝ ℝ

significa que por cada m3/s que fluye en la manguera hay 2,55x106 Pa de presión que se opone al flujo. (b) El caudal en la manguera será:

53

6 3

1 100,039 /

2,55 10 . /

P x PaP Q Q m s

x Pa s m

∆∆ = ⇒ = = =ℝℝ

(c) La velocidad media del agua

3

2 2 2

0,039 /124,89 /

(1 10 )

Q m sQ AV V m s

R x mπ π −= ⇒ = = =

1

P1=2atm

L=10m

P2=1atm

2 2cm

R+E

mg


25

(d) La velocidad máxima en la tubería

52 2 2

max max 3

P 1 10(1 10 ) 250 /

4 4(10 . )(10 )

x PaV R V x m m s

L Pa s mη−

−

∆= ⇒ = =

Ejemplo Sea una tubería de 1,5mm de diámetro interior, calcular qué caudal máximo de agua deberá circular por la misma, para que el régimen sea laminar. Halle la resistencia al flujo y la diferencia de presión, por unidad de longitud, para mantener el flujo estacionario y laminar. Para mantener un flujo laminar, el número de Reynold debe ser como máximo igual a 2000, además tenemos para el agua

3

3 3

10

10 /

Pas

Kg m

ηρ

−==

Luego, hallamos la máxima velocidad media en la tubería

3 3

e 3

1,5 10 (10 )R 2000 1,33 /

10

DV x VV m s

ρη

−

−= ⇒ = ⇒ =

De donde el caudal máximo será:

2 3 26 3(1,5 10 )

( ) (1,33) 2,35 10 /4 4

D xQ AV Q V Q x m sπ π

−−= ⇒ = = ⇒ =

La resistencia al flujo, resulta

39 4

4 3 4

8 8(10 )8,05 10 /

(0,75 10 )

L Pas Lx Pa s m

R x m L

ηπ π

−

−= ⇒ = ⇒ =ℝℝ ℝ

La diferencia de presiones por unidad de longitud de la tubería

9 4 6 3

3

(8,05 10 / )(2,35 10 / )

18,92 10 /

P PP Q Q x Pa s m x m s

L L LP

x Pa mL

−∆ ∆∆ = ⇒ = ⇒ =

∆ =

ℝℝ

∆P


26

PROBLEMAS RESUELTOS 1. El agua sale continuamente del depósito representado en la figura. La sección transversal en el punto 2 es

A2=2A3=3A4=120cm2. El área del depósito es muy grande comparada con las secciones del tubo. Hallar (a) la presión manométrica y absoluta en los puntos 2, 3 y 4 (b) la altura de agua en los manómetros verticales en 2, 3 y 4.

Solución Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 5, hallamos la rapidez de salida en 5.

2 21 1 1 5 5 5

1 1P + P +

2 2v gy v gyρ ρ ρ ρ+ = +

Considerando presiones absolutas en 1 y 4 , la v1=0 y tomando en cuenta el NR mostrado

21 5

25 1

1P + P

2

2 2(9,8 / )10 14 /

o ogy v

v gy m s m m s

ρ ρ= +

= = =

De donde, por el principio de continuidad

52 5 2 2 5 5 2 4 5 4 2(3 ) 4,67 /

3

vQ Q v A v A v A v A v m s= ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

53 5 3 3 5 5 3 4 5 4 3

23( ) 9,33 /2 3

vQ Q v A v A v A v A v m s= ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

4 5 4 4 5 5 4 4 5 4 4 14 /Q Q v A v A v A v A v m s= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

(a) Presión en los puntos 2, 3 y4 Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 5, respecto a NR

2 22 2 2 0 5

2 2 5 3 2 2 32 0 5 2 2

32

32

1 1P + P

2 21 1

P P ( ) 10 10 (14 4,67 ) 10 9,8 42 2

P 147,9 10

P 47,9 10m

v gy v

v v gy x x

x Pa

x Pa

ρ ρ ρ

ρ ρ

+ = +

= + − − = + − −

=

=

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 3 y 5, respecto a NR

2 23 3 0 5

1 1P P

2 2v vρ ρ+ = +

1

2

3 4

h2

h3 h4

2m

6m

12m

NR 5 V5


27

2 2 5 3 2 23 0 5 3

33

33

1 1P P ( ) 10 10 (14 9,33 )

2 2P 154,5 10

P 54,5 10m

v v

x Pa

x Pa

ρ= + − = + −

=

=

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 4 y 5, respecto a NR

2 24 4 0 5

2 24 0 5 4 4 5

54

4

1 1P P

2 21

P P ( )2

P 1 10

P 0m

v v

v v v v

x Pa

ρ ρ

ρ

+ = +

= + − ⇒ =

==

(b) La altura de agua en los manómetros verticales 3

2 2 2 3

47,9 104,9

10 9,8m

xP gh h m

xρ= ⇒ = =

3

3 3 3 3

54,5 105,6

10 9,8m

xP gh h m

xρ= ⇒ = =

4 2 4 3

00

10 9,8mP gh hx

ρ= ⇒ = =

2. Un tubo horizontal por el que fluye líquido de densidad ρ0 a razón de Q m3/s, se bifurca en dos ramas en

el plano vertical, una superior y otra inferior, de secciones transversales A1 = A2 = A, abiertas a la atmósfera (ver figura). Si la distancia entre las ramas es h, determinar: (a) Las cantidades Q1 y Q2 de líquido (en m3/s) que fluyen por ambas ramas. (b) La condición que debe cumplir Q para que haya flujo en la rama superior

Solución (a) Por la ecuación de continuidad

1 2Q Q Q= +

Por la ecuación de Bernoulli entre los puntos 0 - 1 y luego entre 0 - 2, tenemos

2 2 21 1 1 2 2 2

1 1 1p + p + p +

2 2 2v gy v gy v gyρ ρ ρ ρ ρ ρ+ = + = +

Luego, para el NR

NR

Q2

Q1

0

1

2

P2

Po

Pagua

2

2 2 2

o agua

o agua m agua

P P P

P P P P P ghρ= +

− = ⇒ = =


28

2 21 1 1 2 2 2

2 21 2

2 21 2

1 2

1 1p + p +

2 21 1

p + p2 2

( ) +2 ( )

o o

v gy v gy

v gh v

Q Qgh

A A

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

+ = +

+ = +

=

Reemplazando 1 2Q Q Q= −

2 22 2

2 22

2 2

2

2 2

1

( ) +2 ( )

2 2 0

2

2

2

2

Q Q Qgh

A A

Q QQ A gh

Q A ghQ

Q

Q A ghQ

Q

− =

− + =

+=

−=

(b)Para que circule fluido en la parte superior debe cumplir

1

2 2

1

0

20

2

2

Q

Q A ghQ

Q

Q A gh

>

−= >

>

3. Suponga que el nivel de un líquido (agua) en un tambor tiene una altura h. A una altura b se hace una

pequeña perforación lateral que permite que el agua emerja horizontalmente. ¿A qué altura debe hacerse la perforación para que el alcance d del agua se máximo? Respuesta: b = h/2.

Solución Aplicamos la ley de Torricelli

2 2 ( )V g h b= −

Por caída libre

2

2

2

1

2

2

b gt

l v t

bl v

g

=

=

=

Remplazando

2( 2 ( ))

2 ( )

bl g h b

g

l h b b

= −

= −

1 2 v22

NRR

l


29

l será máximo cuando

0

(2 ( ) )0

2 0

2

dl

db

d h b b

dbh b

hb

=

−=

− =

=

4. a) Aplicando Bernouilli, deducir la expresión de la presión que indicará el manómetro M con la válvula V

cerrada. ¿Qué sucede en la lectura del manómetro si se abre la válvula V? b) ¿A qué velocidad sale el líquido de un depósito abierto a la atmósfera a través de un orificio que está situado dos metros por debajo de la superficie libre?

Solución a) Mientras V está cerrado no hay flujo, luego aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y M

2 21 1 1

1 1p + p +

2 2p p

p

M M M

o M

mM

v gy v gy

gh

gh

ρ ρ ρ ρ

ρρ

+ = +

+ ==

Para h=2m

32 3 2

42

10 9,8 2

1,96 10

m

m

Kg mP m

m s

P x N

=

=

Cuando se abre la válvula V, aplicando la ecuación de Bernoulli entre M y 2, además considerando la ley de

Torricelli, 2 2V gh=

2 22 2 2

22

1 1p + p +

2 21

p p21

p p (2 )2

0

M M M

M o

M o

M o

mM

v gy v gy

gh v

gh gh

P P

P

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

+ = +

+ = +

+ = +

==

Este resultado nos indica que la presión disminuye (b) aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2,

2 21 1 1 2 2 2

1 1p + p +

2 2v gy v gyρ ρ ρ ρ+ = +

M V

h

1

2


30

22

2

2 2

1p p

2

2

2(9,8 )2 6,26 /

o ogh v

ghv

mv m m s

s

ρ ρ+ = +

=

= =

5. Un depósito cilíndrico abierto por su parte superior tiene 20 cm de altura y 10 cm de diámetro. En el

centro del fondo del depósito se practica un orificio circular cuya área es de 1 cm2. El agua penetra en el depósito por un tubo colocado en la parte superior a razón de 140 cm3/s. ¿Qué altura alcanzará el agua en el depósito?. Una vez que alcanza dicha altura cesa el suministro de agua, en estas condiciones determine el tiempo que demanda el vaciado a la mitad de la altura que alcanzó.

Solución Por la ley de Torricelli, la velocidad de salida del fluido es

2 2V gy=

El flujo se estabiliza cunado el caudal de entrada Q se iguala al caudal de salida, en este caso ya no aumenta el valor de y

2 2

2

3 2

2

140 / 1 2(980 / )

10

sQ Q

Q A V

Q A gy

cm s cm cm s y

y cm

==

=

==

Una vez que alcanza 10cm de altura, cesa el suministro de Q, luego empieza a disminuir la altura al interior del depósito Asumimos una altura z del nivel del líquido en el cilindro, en este caso la rapidez de salida es

2 2V gz=

Por la ecuación de continuidad entre la superficie libre del líquido y la salida, tenemos

1

1 1 2 2

21 2

1

sQ Q

AV A V

AV V

A

==

=

Donde,

1

dzV

dt= −

Determina la rapidez de la disminución de la altura z

2

1

2

1

2

2

Adzgz

dt A

Adzgdt

Az

− =

= −

Q=140cm3/s

20cm

V2

y

1

10cm

V2

z

2


31

( )

( )

52

10 01

52

210 0

52

0210

2

2

2

2 2

12( 5 10) 2(980)

(5)

3,28

t

t

t

Adzgdt

Az

Adzg dt

Rz

Az g t

R

t

t s

π

π

π

= −

= −

= −

− = −

=

∫ ∫

∫ ∫

6. Una bomba de incendios eleva 4500Kg de agua por minuto de un lago y expulsa por una manguera hasta

una altura de 5m por encima de la superficie del lago, con una rapidez de 9,6m/s. ¿Qué potencia ha de tener el motor de la bomba?. Eficiencia del motor es 30%

Solución: El caudal del flujo es:

334500

0,075 /60

olumenV dmQ m s

t s= = =

3 3 3

3

(9,8 10 / )(0,075 / )5

3,68 10 3,68

h

h

h

P QH

P x N m m s m

P x W kW

γ=

=

= =

La potencia hallada representa el 30% de la potencia de entrada a la bomba, por lo que

10 10(3,68 )30% 12,25

30% 3 3h h

h

P P kWP P P P kW= ⇒ = = = ⇒ =

7. Se muestra un codo de 180º con una boquilla reductora en su salida. El diámetro mayor es 30 cm y el

diámetro de la salida es la mitad. La presión manométrica en la brida de entrada del codo es 1.06 kgf/cm2 y la velocidad de entrada es 1.5 m/s. El chorro de agua descarga a la atmósfera. Calcule la fuerza horizontal que soporta la brida de unión. Considere que el codo está en un plano horizontal.


32

Solución La fuerza es consecuencia del

intercambio de cantidad de movimiento. La fuerza del codo sobre el líquido modifica la cantidad de movimiento del del

líquido.

liquidoCL

PF

t

∆=

∆

��

De modo que por acción y reacción, la fuerza del líquido sobre el codo es:

LC CL

líquidoLC

F F

PF

t

= −

∆= −

∆

� �

��

Luego:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

f i líquidoLC

f i líquidoLC

vol f vol i líquidoLC

vol volLC f i líquido

LC f i líquido

LC f i líquido

P PF

t

mV mVF

t

V V V VF

tV V

F V Vt t

F QV QV

F Q V V

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ

−= −

∆∆ − ∆

= −∆

∆ − ∆= −

∆∆ ∆= − −

∆ ∆= − −

= − −

� ��

� ��

� ��

� � �

� � �

� � �

Luego, tenemos

1

1 1 2 2

2 21 2 1

1 2 2

2 21 1

1 2

2 1

2

2 231

1

3

1,5 /

( ) ( )4 4 2

( ) ( )4 164

6 /

(0.3)( ) ( )1,5 /

4 40,106 /

V i m s

AV A V

d d dV V d

d dV V

V V

V i m s

dQ V m s

Q m s

π π

π π

π π

==

= =

=

=

= −

= =

=

� �

� �

La fuerza del líquido sobre el codo resulta

1

2 V2

V1 d1


33

310 0,106 ( 6 1,5 )

795,2

LC

LC

F x x i i

F i N

= − − −

=

�

� �

La fuerza de la presión manométrica sobre el codo en 1 es

1 1

22 51

1 1

25

1

( ) 1.02 / 1,02 104

(0,3 )1,02 10 ( )

4

7209,8

PC

PC

PC

PC

F P A i

dF P i P kgf cm x Pa

mF x Pa i

F iN

π

π

=

= = =

=

=

� �

� �

� �

� �

La presión manométrica en el punto 2 de salida es cero, por lo que no ejerce fuerza La fuerza total sobre el codo es:

795,2 7209,8

8005,0

LC PCF F F

F iN iN

F iN

= +

= +

=

� � �

� � �

� �

8. Se tiene un recipiente de forma de un tronco de cono invertida el cual está llena de agua hasta una altura

h, y en el fondo abrimos un agujero y dejamos discurrir el agua. Calcular el tiempo de vaciado. Solución Consideramos que para un instante t determinado el nivel del líquido está a una altura y de salida, de manera que el radio de la superficie superior del líquido es x De acuerdo al diagrama mostrado encontramos y=f(x)

1R r x r R r x R r

x y r yh y h r hr

− − − −= ⇒ = + ⇒ = +

Aplicamos el principio de continuidad entre la salida y el nivel del líquido de altura y.

2 2 2( )

s s

s s

AV AV

xx V r V V V

rπ π

=

= ⇒ =

h

R

r r

R

h

x

y

R-r

x-r

r

R

V

x

y

NR Vs


34

Luego aplicamos la ecuación de Bernoulli entre dichos puntos respecto al NR

2 2

2 2

22 2

24 4

1 1p + p

2 21 1

2 2

2 2[( ) ] 2

( ) 1 ( 1) 1

o o s

s

V gy V

V V gy

x gy gyV V gy V V

x R rr yr hr

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

+ = +

− =

− = ⇒ = ⇒ = −− + −

Para la condición de Torricelli, en la que el área de salida es mucho menor que el área de la superficie del líquido a una altura y, lo que implica que x sea mucho mayor que r, tenemos

4 4 4

1 1 1x x x x

x rr r r r

⇒ ⇒ ⇒ − ≈

≫ ≫ ≫

De donde obtenemos

4 2 2

2 22

( ) ( ) ( 1)

gy gygyV V

x x R ry

r r hr

= ⇒ = = − +

La rapidez de variación de y determina la velocidad de la superficie del líquido a dicha altura, es decir

dyV

dt= −

Luego:

2

2 2

0

0

0 2 3/2 1/2 1/2

2 1/2

2

2

( 1)

( 1) ( 1)2 2

[( ) 2( ) ] 2

2 4[ ( ) ( ) 2] 25 3

2 4[ ( ) ( ) 2]

2 5 3

t

h

h

gydyV

R rdt yhr

R r R ry y

hr hrdy gdt dy g dty y

R r R ry y y dy gt

hr hrR r R r

h gtr r

h R r R rt

g r r

−

= − = − +

− −+ += − ⇒ = −

− −+ + = −

− −+ + =

− −= + +

∫ ∫

∫

9. Considere un oleoducto de 5Km y 50cm de diámetro por el cual se desea bombear 1m3 por segundo. Si

uno de los extremos está abierto a la presión atmosférica, ¿que presión P1 debe existir en el otro extremo? Suponga que la densidad del petróleo es ρ = 950kg/m3 y el coeficiente de viscosidad es aproximadamente η = 0,2 Pa·s. ¿Cuál es la potencia dW/dt (energía por unidad de tiempo) disipada por la fricción interna originada por la viscosidad? Solución

1 2

L=5 KM


35

De acuerdo a la ecuación de Poiseuille, para flujos estacionarios viscosos en tuberías circulares

4

341 2

3

341

3

51

P

8

( )1 (0,25 )

8 0,2 5 10

( 0)1 (0,25 )

8 0,2 5 10

6,52 10

m

m

Q RL

P Pmm

s x Pasx x m

Pmm

s x Pasx x m

P x Pa

πη

π

π

∆=

−=

−=

=

La potencia

1

356,52 10 1 652

pot

pot

pot m

pot

dWP

dtFdx PAdx

P PQdt dt

P P Q

mP x Pax KW

s

=

= = =

=

= =

10. La figura muestra el esquema de un cojinete de fricción esférico (rótula). Obtenga la expresión general

del momento de torsión de fricción en función de la viscosidad dinámica µ , la velocidad angular ω y los parámetros geométricos α, R y h. Calcule el valor para el caso : µ = 0,4 Ns/m2, α = 40o , R = 30mm , e = 0,25mm y 600 r.p.m.

Solución Aplicamos la definición de viscosidad a un elemento de superficie de radio Rsenθ y espesor e

2

(2 )( )

2

dA lds

dA Rsen Rd

dA R sen d

π θ θπ θ θ

===

e


36

2

2 2

4 3

42

42

0

4 3

3 4

4

(2 )

( ) (2 )

2

2(1 cos )

2(1 cos )

2 cos( cos )

3

(0,4)2 (20 )(30 10 ) c( cos40

2.5 10

o

dFdA

Vy

dFR sen d

Rsene

Rsen R sen dRsen dF d

e

R sen dd

e

Rsen d

e

Rsen d

e

R

e

x

x

α

α

η

π θ θη θω

θ ω π θ θ θ τ

η πω θ θτ

η πωτ θ θ θ

η πωτ θ θ θ

η πω θτ θ

π πτ−

−

=

=

= =

=

= −

= −

= − +

= − +

∫

∫

∫

3

2 8 3

4

3

os 40 2)

3 3

(16 )(81 10 ) cos 40 2( cos40 )

2.5 10 3 3

2,57 10

x

x

x Nm

πτ

τ

−

−

−

+

= − + +

=

PREGUNTAS 1. Puede un fluido viscoso determinar un flujo laminar?. Diferencie gráficamente la distribución de

velocidad en una tubería circular para un flujo viscoso y no viscoso 2. Durante las tempestades, cuando la velocidad del aire alcanza un valor considerable, el viento arranca los

tejados de las construcciones. Si el techo está bien sujeto en los puntos A y B que en el punto C, entonces la corriente de aire parece abrir el techo por la línea que pasa por el punto C

3. En qué condiciones se establece un flujo laminar viscoso?. En un flujo laminar viscoso en un tubo circular

como en la fig., cómo son la distribución de velocidad y presión en los puntos 1 y 2. Depende su resultado de la distancia L?.

θ

e Rsenθ

A B

C

V=rω V=Rsenθω

e


37

4. La figura muestra dos tuberías circulares de diferentes diámetros A) Cuál de ellos ofrece mayor

resistencia al flujo, de qué aspectos depende la resistencia al flujo de una tubería?. B) Si el caudal es el mismo en ambos tubos, y el flujo es laminar y estacionario, en cuál de los tubos hay mayor caída de presión?. C) En qué condiciones el flujo en el tubo de menor diámetro se hace turbulento y mediante qué parámetro se caracteriza?.

5. El agua sale con una rapidez V por el tubo que muestra la figura de sección uniforme A. Determine la

resultante de fuerzas del líquido sobre el tubo. Si en la base soportan el tubo “n” pernos, halle la fuerza que soportan los pernos sólo debido a la componente vertical de la fuerza del flujo. Explique porqué el líquido ejerce fuerza sobre el tubo

6. Explique que diagrama es correcto para el flujo estacionario y no viscoso de un fluido PROBLEMAS PROPUESTOS 1. La fuerza de sustentación de un avión moderno es del orden de 1000 N por metro cuadrado de ala.

Suponiendo que el aire es un fluido ideal y que la velocidad del aire por debajo del ala es de 100 m/s, ¿cuál debe ser la velocidad requerida por sobre el ala para tener la sustentación deseada? (La densidad del aire es 1.3 kg/m3.)

1 2

L

L

D =2d

d

120º


38

2. Un bombero lanza agua con su manguera hacia un incendio formando un ángulo de 45o con la horizontal.

El agua que emerge del pistón penetra horizontalmente por una ventana del tercer piso que se encuentra a una altura h=10m. La manguera que transporta el agua desde el carro bomba tiene un diámetro D de 6cm y concluye en un pistón cuya abertura tiene un diámetro d de 1,5 cm.(a) ¿Cuantos litros de agua emergen del pistón por minuto? (b) ¿Cual es la presión P que debe soportar la manguera (en atmósferas)?

3. Considere la tubería que lleva el agua de una represa hacia una turbina. Suponga que la bocatoma se encuentra a 10m bajo el nivel de las aguas y que la turbina se encuentra 80m por debajo de ese nivel. Al inicio, es decir a la salida de la represa, la tubería tiene un diámetro de 40cm. Suponga que el fluido se comporta como un fluido ideal. (a) ¿Cuál es el diámetro máximo que puede tener la tubería en su extremo inferior para que no se produzcan cortes de la columna de agua al interior de la tubería? (b) ¿Cuál sería la cantidad de agua que pasaría en ese caso por la tubería y cuál la velocidad del agua emergente? (c) Si el proceso de generación de energía eléctrica usando la presente turbina fuese 100% eficiente, ¿cuál sería la potencia de esta central? ¿Esto corresponde al consumo promedio de cuantas casas? (d) Haga un gráfico cualitativo de la presión al interior de la tubería en función de la altura. ¿Cómo cambia esta presión si la sección de la tubería, en el punto emergente, se disminuye a la mitad? ¿A la centésima parte?

4. Considere una tubería de una calefacción. En el sótano su diámetro es de 4,0cm y en el segundo piso, 5m

mas arriba, la tubería tiene un diámetro de sólo 2,6cm. Si en el sótano una bomba se encarga de bombear el agua con una velocidad de 0,5 m/s bajo una presión de 3,0 atmósferas, ¿cuál sería la rapidez de flujo y la presión en el segundo piso?.

5. En un torrente de agua se sumerge un tubo doblado, tal como se muestra en la figura adjunta. La velocidad de la corriente con respecto al tubo es v=2,5 m/s. La parte superior del tubo se encuentra a h0=12cm sobre el nivel del agua del torrente y tiene un pequeño agujero. ¿A qué altura h subirá el chorro de agua que sale por el agujero?

11. La figura 12.46 muestra un tubo de Pitot, instrumento que se usa para medir la velocidad del aire. Si el

líquido que indica el nivel es agua y ∆h = 12 cm, encuentre la velocidad del aire. La densidad del aire es ρaire = 1,25kg/m3. Respuesta: v0 = 43,4 m/s =156 km/h.


39

6. Un embudo cónico de semi-ángulo θ drena a través de un orificio de área AS en su vértice. La velocidad

de salida es función de la altura del líquido desde el vértice y es aproximada por V = (2gy)1/2. La altura inicial del líquido desde el vértice es y0. Obtenga una expresión para el tiempo que demanda el vaciado del embudo. Expréselo en función del volumen inicial de líquido v0 y del caudal inicial evacuado Q0 = (2gy0)

1/2 AS Desprecie el área de salida para la descripción del área de embudo en función de y. Sol. : t = 6 v0 / (5 Q0)

7. A través de un conducto de diámetro 10cm para un caudal de 28lts/seg de agua a un motor hidráulico y descarga a través de un conducto de diámetro 15cm. El conducto de entrada se encuentra 4m por debajo del de descarga. En un punto de la entrada y en otro punto de la descarga, sendos manómetros indican 4,2kgf/cm2 y 2,1 kgf/cm2 respectivamente. Calcule la potencia teórica que desarrolla el motor. Sol. : 6,7 hp

8. Para abastecer de agua a una casa de dos pisos se recurre a un “hidropack”. Este sistema consiste en una depósito subterráneo, una bomba y un cilindro con agua y aire. La bomba inyecta agua a presión al cilindro, que en su parte superior queda con aire comprimido. Un medidor de presión detiene la bomba cuando la presión del cilindro alcanza el valor deseado (el mismo medidor vuelve a encender la bomba cuando la presión baja de cierto nivel). Si el nivel del agua en el cilindro se sitúa 1 metro por debajo del suelo, calcule la presión necesaria en el aire comprimido para que una llave de 1 cm2 de sección, a una altura de 5 metros sobre el suelo, entregue un caudal de 12 litros por minuto. (La sección transversal del cilindro es grande respecto a la de la llave.) También encuentre la presión del aire al interior del cilindro.

9. Una boquilla de spray genera un chorro plano y semicircular de agua, de espesor delgado. Los flujos de

entrada y de salida son uniformes. La velocidad de entrada, por un conducto de diámetro 35mm, es de 2,5m/s. El radio y el espesor de salida del chorro son 50mm. y 1,5mm respectivamente. La presión de


40

entrada es 150kPa (absoluta). Calcule la fuerza (en magnitud y sentido) que la boquilla ejerce sobre la tubería de alimentación. Sol. : 37 N , tracción

10. Un chorro cilíndrico de diámetro D = 12 cm y velocidad U = 10 m/s es deflectado por un cono de radio

de base R = 30 cm y ángulo α = 30º , deformándolo en forma de una lámina cónica muy delgada de espesor h ( h << R ). Suponiendo flujo estacionario y no viscoso, calcule la fuerza horizontal que la acción de éste flujo ideal ejerce sobre el cono, en magnitud y sentido. El fluido es agua y todo el proceso está abierto a la atmósfera. Sol. : 150 N

11. Determine la fuerza que un chorro abierto bidimensional (plano) de velocidad V y altura h ejerce sobre

una placa fija inclinada un ángulo θ respecto el eje del chorro. Asuma que la velocidad de salida de los dos corrientes deflectadas son iguales a V.


41

12. alcule la fuerza requerida para mover el carrito en sentido opuesto al chorro de agua deflectado por el álabe (ángulo de salida de 60º respecto la horizontal), con velocidad del carrito 15 m/s (constante). El chorro es de velocidad 30 m/s respecto el suelo. Su diámetro es 5 cm Sol. : 608 kgf

13. Un tanque cilíndrico de 1,2 m de diámetro se llena hasta 0,3 m de profundidad con agua. El espacio

encima del agua está ocupado con aire, comprimido a la presión de 2,026 X 105 N/m2. De un orificio en el fondo se quita un tapón que cierra un área de 2,5 cm3 . Calcular la velocidad inicial de la corriente que fluye a través de este orificio. Encontrar la fuerza vertical hacia arriba que experimenta el tanque cuando se quita el tapón.

14. Considérese una manguera de sección circular de diámetro interior de 2,0 cm, por la que fluye agua a una tasa de 0,25 litros por cada segundo. ¿ Cuál es la velocidad del agua en la manguera?. El orificio de la boquilla de la manguera es de 1,0 cm de diámetro interior. ¿Cuál es la velocidad de salida del agua?.

15. Por una tubería inclinada circula agua a razón de 9m3/min, como se muestra en la figura: En a el diámetro es 30cm y la presión es de 1Kf/cm2. ¿Cuál es la presión en el punto b sabiendo que el diámetro es de 15cm y que el centro de la tubería se halla 50cm más bajo que en a?

16. Un tubo que conduce un fluido incompresible cuya densidad es 1,30 X 103 Kg/m3 es horizontal en h0 = 0

m. Para evitar un obstáculo, el tubo se debe doblar hacia arriba, hasta alcanzar una altura de h1 = 1,00 m. El tubo tiene área transversal constante. Si la presión en la sección inferior es P0 = 1,50 atm, calcule la presión P1 en la parte superior.

17. Una cañería con un radio de interior de 6,5mm está conectado a una cabeza de ducha que cuenta con 12 hoyos. La velocidad del agua en la cañería es de 1,2m/s. (a) Calcule el caudal en la cañería (b) Calcule con qué velocidad sale el agua de uno de los agujeros (radio efectivo de 0,4mm) de la ducha. R: (a) 1,6 x 10-4 m3/s. (b) 20 m/s.

18. Supongamos que un viento está soplando a 15m/s, a través del techo de su casa. La densidad del aire es 1,29kg / m3. (a) Determinar la reducción de la presión (por debajo de la presión atmosférica del aire


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estacionario) que acompaña este viento. (b) Explique por qué algunos techos son "soplados hacia fuera" durante fuertes vientos. R: 150 Pa.

19. Un estanque está lleno de agua hasta una altura H. Tiene un orificio en una de sus paredes a una profundidad h bajo la superficie del agua. Encontrar la distancia x a partir del pie de la pared a la cual llega el agua al piso. Respuesta: 2h(H-h)

20. Un depósito cilíndrico de altura h = 1 m. está lleno de agua hasta los bordes. ¿Cuánto tiempo tardará en salir toda el agua a través de un orificio situado en el fondo del depósito? El área del orificio es 400 veces menor que la sección transversal del depósito. Respuesta: 3 min.

21. Por una tubería horizontal de sección variable circula agua en régimen permanente. En un punto en que la presión vale 9x104Pa la velocidad es de 6m/s. Hallar la presión en otro punto de la conducción en el que la velocidad de circulación es de 14m/s.

22. Una pequeña fuente de jardín arroja un chorro de agua vertical, con un flujo de 0,10 L/s, alcanzando una altura de 0,50m. (a) ¿Cuál es la velocidad inicial del chorro, y cuál es el radio del agujero por el que sale el agua? (b) ¿Qué presión debe suministrar la bomba de la fuente (suponga que está inmediatamente abajo del chorro que sale)? (c) ¿Cuál es la velocidad del chorro a una altura de 0,25m, y cuál es el radio de la columna de agua?. No tenga en cuenta los efectos de la turbulencia, como es la desintegración del chorro. Densidad del agua 1x103 Kg/m3. Resp.: (a) 3,1m/s; 0,32cm; (b) 4, 9x103 Pa, manométricos; (c) 2,2m/s; 0,38cm.

23. El agua, cuya densidad es 1x103Kg/m3, pasa por un tubo horizontal. El área de sección transversal, en una parte del tubo, es de 60cm2. Cuando el líquido entra a otra parte del tubo, con 100cm2 de área transversal, la presión manométrica es 5, 0x103Pa mayor que en la primera parte. Calcule las velocidades del líquido en las dos partes del tubo.

24. El agua (considerada como incompresible) circula a través de una casa, en un sistema de calefacción por agua caliente. Si se bombea el agua con una rapidez de 0,80 m/s por un tubo de 7,0cm de diámetro en el sótano bajo la presión de 6,0atm, ¿cuál será la rapidez de flujo y la presión en un tubo de 5, 6 cm de diámetro ubicado en el segundo piso 8,0m arriba?.

25. Un tubo de Venturi tiene un diámetro de 30cm y una garganta de 10cm de diámetro. La presión del agua en el tubo es 70KPa y en la garganta es de 20KPa. Calcule el flujo de volumen a través del tubo.

26. La sección transversal del tubo ilustrado en la figura es de 60 cm2 en las partes anchas y de 30cm2 en el estrechamiento. La descarga de agua del tubo es de 4000cm3/s. (a) Hállense las velocidades de las partes ancha y estrecha, (b) hállese la diferencia de presión entre estas partes, (c) Hállese la diferencia de altura h entre las columnas de mercurio del tubo en U (ρHg = 13,6x103Kg/m3 ).

27. Se utiliza un fluido de densidad 820Kg/m3 como líquido manométrico en un tubo de Pitot montado en un

avión para medir la velocidad del aire. Si la diferencia máxima de altura entre las columnas de líquido es de 0,8m, ¿cuál es la velocidad máxima del aire que se puede medir?. La densidad del aire es 1,3Kg/m3.

28. Con un tubo de Pitot se puede determinar la velocidad del flujo de un gas al medir la diferencia entre la presión total y la presión estática. Si el fluido en el tubo en forma de U es mercurio (ρHg=13, 6x103

Kg/m3), la velocidad del flujo de aire es de 103 m/s y h = 5cm, encuentre la densidad del gas.


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29. Por un canal de 1,0m de profundidad y 0,5 m de ancho, pasa agua a un flujo de 2 toneladas métricas por segundo. En determinado punto, el canal se ensancha a 0,8m. ¿Qué velocidad tiene el agua en el canal más ancho?. Resp.: 2,5 m/s.

30. Se usa una bomba de diafragma para sacar agua de dentro de un barco. El diámetro de la manguera de la bomba es 3,0cm y el agua es impulsada por la manguera hacia arriba, y sale por una escotilla a 5,0m sobre el nivel del agua, a una velocidad de 4,0m/s. Calcule la potencia de bombeo. Resp.: 1, 6x102 Watt.

31. En la pared de un recipiente con agua se practican dos agujeros uno sobre el otro, de área 0,2cm2. La distancia entre los agujeros es 50cm. En el recipiente se introducen cada segundo 140 cm de agua de manera que el nivel de la misma permanece constante. Encontrar el punto de intersección de los dos chorros de agua que salen del orificio. Resp.: x = 2,089m y z = 3,200m. con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas cuyo origen se sitúa en la superficie del fluido.

32. Del gran depósito de agua mostrado en la figura 2.16, cuyo nivel se mantiene constante fluye agua que circula por los conductos de la figura hasta salir por la abertura D, que está abierta al aire. La diferencia de presión entre los puntos A y B es PB - PA = 500Pa. Sabiendo que las secciones de los diferentes tramos de la conducción son SA = SC = 10cm2 y SB = 20cm2, calcular las velocidades y las presiones del agua en los puntos A, B, C, de la conducción. La presión en C es la atmosférica, igual a 105 Pa. Resp.: VA = VC =

2 3 m/s, VB = 3 m/s; PA = PC = 105 Pa, PB = 100500 Pa.

33. Una manguera de jardín que tiene un diámetro interno de 0,75pulg está conectada a un aspersor que

consta simplemente de un accesorio con 24 orificios, cada uno de 0, 050pulg de diámetro. Si el agua de la manguera tiene una velocidad de 3,5 pies/s, ¿a qué velocidad sale por los orificios del aspersor?. Resp.: 32,81 pies/s.

34. Se bombea continuamente agua que se extrae de un sótano inundado con una velocidad de 5,30m/s por medio de una manguera uniforme de 9,70mm de radio. La manguera pasa por una ventana situada a 2,90m sobre el nivel del agua. ¿Cuánta potencia proporciona la bomba?. Resp.: 44,52 Watts.

35. La toma de agua de una presa (véase la figura) tiene un área de sección transversal de 7,60 pies2. El agua fluye en ella a una velocidad de 1,33 pies/s. En la planta Hidroeléctrica que está situada a 572pies abajo del punto de toma, el agua fluye a razón de 31 pies/s. (a) Halle la diferencia de presión, en lbf/pulg2, entre la toma y la descarga. (b) Halle el área del tubo de descarga. La densidad promedio del agua es de 62,4lb/pies3. Resp.: (a) 241,37lbf/pulg2; (b) 0,32 pies2.


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36. Un francotirador dispara una bala de rifle contra un tanque de gasolina, haciéndole un orificio a 53,0m bajo la superficie de la gasolina. El tanque se ha sellado y se ha sometido a una presión absoluta de 3,10atm, como se muestra en la figura. La gasolina almacenada tiene una densidad de 660Kg/m3. ¿A qué velocidad comienza la gasolina a salir disparada por el orificio?. Resp.: 36,3m/s.

37. El agua dulce embalsada tras la cortina de una presa tiene una profundidad de 15,2m. Un tubo horizontal

de 4,30cm de diámetro pasa a través de la cortina a 6,15m bajo la superficie del agua, como se muestra en la figura. En la salida del tubo se ha colocado un tapón. (a) Halle la fuerza de fricción entre el tapón y las paredes del tubo. (b) Se retira el tapón. ¿Qué volumen de agua sale por el tubo en 3,00 h?. Resp.: (a) 234 N; (b) 172 m3.

38. Un sifón es un aparato para extraer líquido de un recipiente sin inclinarlo. Funciona corno se muestra en la figura. El tubo debe estar lleno inicialmente, pero una vez se ha hecho esto, el líquido fluirá hasta que el nivel descienda por debajo de la abertura del tubo en A. El líquido tiene una densidad ρ y una viscosidad despreciable. (a) ¿A qué velocidad sale el líquido del tubo en C? (b) ¿Cuál es la presión del líquido en el punto más elevado B? (c) ¿Cuál es la mayor altura h posible a la que el sifón puede elevar el

agua?. Rpta. (a) 22[2 ( )]cV g d h= + (b)

2 1 2( )B o H OP P g h d hρ= − + + (c) x = 10, 33 m.


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39. Dos depósitos abiertos muy grandes A y F (véase figura), contienen el mismo líquido. Un tubo horizontal

BCD que tiene un estrechamiento en C sale del fondo del depósito A, y un tubo vertical E se abre en el estrechamiento de C y se introduce en el líquido del depósito F. Supóngase que el régimen es laminar y que no hay viscosidad. Si la sección transversal en C es la mitad que en D y si D se encuentra a una distancia h1, por debajo del nivel del líquido en A, ¿qué altura h2 alcanzará el líquido en el tubo E? A) Exprésese la respuesta en función de h1. Despréciense las variaciones de la presión atmosférica con la altura.

40. La sección transversal del tubo ilustrado en la figura es de 40cm2 en las partes anchas y de 10cm2 en el

estrechamiento. La descarga de agua del tubo es de 3000cm3/s. (a) Hállense las velocidades de las partes ancha y estrecha, (b) hállese la diferencia de presión entre estas partes, (c) Hállese la diferencia de altura h entre las columnas de mercurio del tubo en U (ρHg = 13,6x103Kg/m3 ). Resp.: (a) 75cm/s y 300cm/s; (b) 4,22x104 din/cm2 y (c) 3,4cm.


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41. Consideremos un tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales (ver figura). Los radios

internos de la sección principal y del estrechamiento son 25 y 10cm respectivamente. Cuando circula un caudal de agua de 200L/s, el nivel del agua en los tubos de la izquierda y derecha se encuentra a 3,00m por encima del eje de la tubería. a) ¿Hasta qué altura subirá el agua por el tubo central?, b) ¿Cuál es la presión manométrica en los puntos A y B?, c) ¿Para qué caudal de agua se succionará aire por el tubo central?. Resp.: a) 98,5cm; b) 0, 29atm; 0, 095atm; c) 244 L/s.

42. Un dispositivo automático para un calentador de agua funciona según el esquema indicado en la figura.

Si la válvula V que da la salida al gas necesita una fuerza de 6N para abrirse, determine el flujo volumétrico de agua mínimo necesario para poner en marcha el dispositivo. Resp.: 0,5L/s.


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43. Desde un depósito fluye agua en régimen estacionario, como se ilustra en la figura. La altura del punto 1 es 10m, la de los puntos 2 y 3 es 1m. La sección transversal en el punto 2 es de 0,04m2 y de 0,02 cm2 en el punto 3. La superficie del depósito es muy grande comparada con las secciones transversales del conducto. (a) Calcúlese la presión manométrica en el punto 2. (b) Calcúlese el caudal expresado en metros cúbicos por segundo.

44. Un depósito abierto, cilíndrico de eje vertical y sección recta S1, está lleno de agua hasta una altura H por encima de su fondo. Determinar el tiempo necesario para que se vacíe el depósito a través de un orificio bien perfilado, de área S2, practicado en su fondo. Se sabe que: S1 = 2m2; S2 = 10cm2; H =3m. Resp.: 1564, 92 s (unos 26 minutos).

45. Entra agua en una casa por un tubo con diámetro interior de 2cm a una presión absoluta de 4x105Pa. Un tubo de 1cm de diámetro va al baño del segundo piso, 5m más arriba. La rapidez del flujo en el tubo de entrada es de 1,5m/s. Calcule la rapidez del flujo, presión y caudal en el cuarto de baño.

46. Dos placas paralelas, distantes a 0,25m y con aceite lubricante entre ellas. Calcule la fuerza requerida para mover la placa superior que tiene un área de 1m2 a una velocidad de 1m/s cuando la viscosidad del aceite es de 0,1Ns/m2.

47. Un bloque de 30kg se desliza a velocidad constante por un plano inclinado sobre una delgada capa de aceite. Calcule la velocidad en estado estacionario.

48. Un viscosímetro de cilindros concéntricos se forma de un cilindro puesto a girar a velocidad angular

constante dentro de un alojamiento cilíndrico, siendo la luz entre ambos muy pequeña y llena del fluido cuya viscosidad se desea determinar. Las dimensiones y luces son valores fijos; se miden entonces velocidad angular y torque requerido para mantener el movimiento, y en base a estos valores se obtiene la viscosidad dinámica del fluido. La figura muestra el esquema de un viscosímetro. a) Desarrolle las expresiones del torque de fricción generado en la cara lateral y en la base del cilindro rotante. b) Determine una criterio o relación a cumplir entre el radio R y altura H del cilindro interior, y las luces lateral a e inferior b, a fin de que torque de la base sea menor al 1 por ciento del torque de la superficie lateral anular. Sol.: a/b < 0.04 H/R


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49. Un eje de punta cónica gira a 1800 r.p.m. en un alojamiento cónico. El espacio “e” entre eje y

alojamiento es de 0,2mm y está lleno de aceite pesado con viscosidad cinemática 4 10-4m2/seg y densidad 900kg/m3 . La altura H del cono es de 40mm y el semi-ángulo α es 30º. Calcule el momento torsor de fricción, asumiendo que el aceite sólo baña la cara lateral del cono.


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