Departament d’Estadística

Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Vectors aleatoris

Diplomatura d’EstadísticaEstadística Matemàtica IJordi Ocaña Rebull

Vectors Aleatoris

2

Punts que tractarem:

Vectors aleatoris. Cas general.– Funció de distribució conjunta. Propietats.Cas discret.– Funció de densitat. Propietats.– Densitat condicional. – Independència estocàstica.Cas absolutament continu.Vector de mitjanes i matriu de covariàncies.

Vectors Aleatoris

3

Concepte de vector aleatori

Sigui un espai de probabilitat.Un vector aleatori és una funció

X = (X1,...,Xk) definida com:

Tal que, per tot x=(x1,...,xk), verifica:( ) ( ) ( )1( , , )

k

kX Xω ω ω ωΩ →

=X …

( ), ,PΩ A

( ) ( ) [ ]

1 1

1 1

: , ,

, ,k k

k k

X x X x

X x X x

ω ω ω∈ Ω ≤ ≤

= ≤ ≤ ∈

…

… A

Vectors Aleatoris

4

Funció de distribució conjunta

( )1 1 1...

1 1 2 2

: 0,1

( ) ( , ..., ) ( , ..., )

, , ,k

k

X X k k

k k

F

F F x x F x x

P X x X x X x

⎡ ⎤→ ⎢ ⎥⎣ ⎦= =

= ≤ ≤ ≤

X

X x

…

Probabilitat acumulada fins al punt x.Definida sempre gràcies a la condició exigida en la definició de vector aleatori.

Vectors Aleatoris

5

Propietats de la funció de distribució conjunta. I

Límits i marginals:

2 3

3

1 1 1

2 3 2 3

3 3

1. ( , , , , , , ) 0per qualsevol component o combinació de components.

2. ( , , , ) 1

3. ( , , , ) ( , , , , )( , , ) ( , , , , )

etc, i així per qualse

k

m

i i k

X X X k k

X X k k

F x x x xi

F

F x x x F x x xF x x F x x

− +−∞ =

+∞ +∞ +∞ =

= +∞= +∞ +∞

…

…

… …

…

… …… …

vol combinació de variables.

Vectors Aleatoris

6

Propietats de la funció de distribució conjunta. i II

No decreixent:

Probabilitat sobre un paral·lelepípede:

1 1 ( , , , , ) ( , , , , )i i i ik kx x F x x x F x x x′ ′< ⇒ ≤… … … …

( ) ( )( ]1 1

1 1 1

1 2 3

1 2 1 2 1 2 3

1 2 3 1 2 3

, , , , , , , 1, ,

( ) ( , , )( , , , , )

( , , , ) ( , , , ) ( , , , , )( , , , , ) ( , , , , )( 1) ( , , , , )

i ik k

k k k

k

k k k

k kk

a a b b a b i k

P P a X b a X bF b b b bF a b b F b a b F b b a bF a a b b F a b a b

F a a a a

= = ≤ =

∈ = < ≤ < ≤ =

− − − −+ + ++ −

a b

X a, b

… … …

…… … … …… … …

…1 2 3 k

Vectors Aleatoris

7

Vectors aleatoris discrets. Funció de densitat discreta

El seu recorregut és finit o numerable.Funció de densitat conjunta discreta

És una probabilitat:( )

1 1 1...

1 1 2 2

( ) ( ,..., ) ( ,..., )

, , ,kX X k k

k k

f f x x f x x

P X x X x X x

= = =

= = =

X x

…

1

0 ( ) 1

( , ) 1m1 mx x

f

f x x

≤ ≤

=∑ ∑X x

…

Vectors Aleatoris

8

Altres propietats de la densitat discreta

Relació amb la funció de distribució:

Densitats marginals:

Probabilitat sobre qualsevol recinte:

1 1

1 1( , ) ( , )k k

k kt x t x

F x x f t t≤ ≤

= ∑ ∑… …

1

1 2

2 1 22

3 1 23

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) etc.

k k kx

k k kx x

f x x f x x x

f x x f x x x

=

=

∑

∑∑

…

…

… …

… …

( )

SP S f

∈∈ = ∑

xX x

Vectors Aleatoris

9

Densitat condicionada i independència estocàstica

Funció de densitat condicionada:

Independència estocàstica entre k v.a. discretes:

I pel cas general (discret, continu, etc.):

1 111

11

( , , , )( , , | , , )

( , , )l l k

l k ll l

f x x x xf x x x x

f x x+

+ =… …

… ……

1

1

1 1 1 2 2

, , est. independents sii,per tot ( , , ),( , , ) ( ) ( ) ( )

k

k

k k k

X Xx x

f x x f x f x f x==

x…

……

1 1 1 2 2( , , ) ( ) ( ) ( )k k kF x x F x F x F x=…

Vectors Aleatoris

10

Cas absolutament continu

En general són aplicables totes les coses dites pel cas discret, amb els canvis habituals:– Integrals en lloc de sumatoris– PX = x = 0– Funció de densitat no és probabilitat sobre

cada punt, és densitat de probabilitat, per tant f(x) ≥ 0 (i no valor sempre entre 0 i 1).

– Finalment, 11

1

( , )( , , )

kk

kk

F x xf x x

x x∂

=∂ ∂

……

…

Vectors Aleatoris

11

Moments de vectors aleatoris

Útil expressió vectorial o matricial.Convenció: vectors aleatoris com a vectors columna

Els dos més importants són:– Vector de mitjanes– Matriu de variàncies-covariàncies

( )

1

21 2' , , , k

k

X

XX X X

X

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

X X …

Vectors Aleatoris

12

Vector de mitjanes

Esperança aplicada a cada component del vector aleatori:

( )

( )( )

( )

µ

11 1

22 2

kk k

E XX

X E XE E

X E X

µµ

µ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜= = = = ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

X

Vectors Aleatoris

13

Matriu de variàncies i covariàncies:

Matriu formada per les covariàncies entre cada parell de components:

( ) ( )

Σ

11 12 1

21 22 2

1 2

2cov , vari

k

k

k k kk

ij i j ii iX X X

σ σ σσ σ σ

σ σ σ

σ σ σ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

= = =

……

…

Vectors Aleatoris

14

Matriu de covariàncies com a producte matricial

Producte matricial de dos vectors,

sobre el vector aleatori centrat( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

Σ µ µ

1 1 1 1 1 1

1 1

cov( ) '

k k

k k k k k k

E

E X X E X X

E X X E X X

µ µ µ µ

µ µ µ µ

= = − − =

⎛ ⎞− − − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − − − ⎟⎜⎝ ⎠

X X X

…

…

( )1 1 1 1

1

1

, ,k

k

k k k k

a a b a b

b ba a b a b

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜= ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

…

…

…

Vectors Aleatoris

15

Propietats de la matriu de covariàncies

Simètrica:Semidefinida positiva:Definida positiva, , si les components del vector aleatori són linealment independents.Diagonal si v.a. independents:

ij jiσ σ=( )Σdet 0≥

( )Σdet 0>

1, , est. independents kX X⇒⇐… Σ

21

2

0

σ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎧ ⎫ ⎜⎪ ⎪ ⎟⎪ ⎪ ⎜ ⎟=⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎟⎜⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎟⎜ ⎟⎜

…

0 kσ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠…

Vectors Aleatoris

16

Matriu de correlacions

( )

Ρ

12 1

21 2

1 2

2 2

1

1

1

,

k

k

k k

ij ijij i j

i ji j

ij ij i j

X X

ρ ρρ ρ

ρ ρσ σ

ρ ρσ σσ σ

σ ρ σ σ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= = =

=

…

…

…

Vectors Aleatoris

17

Relació entre la matriu de correlacions i la de covariàncies

Σ Ρ Ρ Σ

1

2

11

12 1

1

1 1

si

0 00 0

0 0 0 0

0 0 0 0

aleshores:kk

σ

σ

σ

σσ

σ

−

− −

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎠

= =

D D

D D D D

……

… …

… …