1

Disciplina: Cálculo Numérico

IPRJ/UERJ

Sílvia Mara da Costa Campos Victer

Aula 5- Integração numérica: Fórmulas de Newton-Cotes.

Objetivo: Apresentar o método de integração numérica baseado nas fórmulas de Newton-Cotes

através da aproximação de uma função que se quer integrar por um polinômio cuja

integração é trivial.

Motivação: Do ponto de vista analítico, existem diversas regras que podem ser utilizadas na

prática. Contudo, embora tenhamos resultados básicos e importantes para as técnicas de integração analítica, como o Teorema Fundamental do Cálculo Integral, nem

sempre podemos resolver todos os casos. Não podemos sequer dizer que, para uma função simples, a primitiva também será simples, pois , que é uma função

algébrica racional, possui uma primitiva que não o é; a sua primitiva é a função que é transcendente.

Quando não conseguirmos calcular a integral por métodos analíticos, mecânicos

ou gráficos, então podemos recorrer ao método algorítmico. Em algumas situações, só podemos usar o método numérico. Por exemplo, se não possuirmos a expressão

analítica de f, não podemos, em hipótese nenhuma, usar outro método que não o numérico. A integração numérica pode trazer ótimos resultados quando outros

métodos falham. A solução numérica de uma integral simples é comumente chamada de

quadratura. Sabemos do Cálculo Diferencial e Integral que se é uma função contínua

em , então esta função tem uma primitiva neste intervalo, ou seja, existe tal

que , com ; demostra-se que, no intervalo ,

tais métodos, embora variados, não se aplicam a alguns tipos de integrandos , não sendo conhecidas suas primitivas ; para tais casos, e para aqueles em que a

obtenção da primitiva, embora viável, é muito trabalhosa, podem-se empregar

métodos para o cálculo do valor numérico aproximado de

Existe ainda o caso em que o valor de é conhecido apenas em alguns

pontos, num intervalo . Como não conhecemos a expressão analítica de ,

não temos condições de calcular

Uma forma de se obter uma aproximação para a integral de num intervalo

, como nos casos acima, é através dos métodos numéricos. A ideia básica

desses métodos de integração numérica é a substituição da função por um

polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo . Assim o problema fica

resolvido pela integração de polinômios, o que é trivial de se fazer. Com esse

raciocínio podemos deduzir fórmulas para aproximar

.

2

Lembrando que, sendo não negativa em , a integral

representa numericamente, a área da figura delimitada por , conforme abaixo:

Quando não for somente positiva, pode-se considerar em módulo, para

o cálculo da área, conforme figura abaixo:

As fórmulas que deduziremos terão a expressão abaixo:

Fórmulas de Newton-Cotes:

Nas fórmulas de Newton-Cotes, a ideia de polinômio que aproxime razoavelmente é que este polinômio interpole em pontos de igualmente

espaçados. Consideremos a partição do intervalo em subintervalos, de comprimento , . Assim .

As fórmulas fechadas de Newton-Cotes são fórmulas de integração do tipo

e

3

sendo os coeficientes determinados de acordo com o grau do polinômio

interpolador.

Metodologias: Veremos duas metodologias para cálculo de integrais utilizando máquinas digitais: a

regra do Trapézio e a regra 1/3 de Simpson (e suas formas repetidas que minimizam bastante o erro do procedimento).

Existem ainda as fórmulas abertas de Newton-Cotes, construídas de maneira

análoga às fechadas, com e ∊ .

1) Regra do Trapézio A ideia da regra do trapézio é aproximar a função por um polinômio de ordem 1

(reta). Nessa aproximação, a integral da função pode ser aproximada pela área

de 1 trapézio.

Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio interpolador de ordem 1, , que interpola nos pontos e , teremos o seguinte:

fazendo , onde nesse caso n=1 (n é o número de subdivisões do

intervalo ) e substituindo os fatores de Lagrange no polinômio, temos:

Pela nossa aproximação, temos então que a integral da função será:

Dessa forma, a integral de no intervalo pode ser aproximada pela área

de um trapézio de base menor , base maior e altura .

4

Estimativa para o erro da regra do trapézio:

Se é diferenciável em [a,b] e é contínua em [a,b], então:

Exemplo 1:

1) Calcule

usando a regra do trapézio simples.

2) Estime o erro cometido.

Resolução:

1)

2) Erro cometido:

Exemplo 2:

1) Calcular utilizando a regra dos trapézios.

2) Calcular uma estimativa para o erro utilizando essa técnica numérica.

5

Resolução:

1) Utilizando a Equação de O polinômio de grau 1 (m=1) que passa pelos pontos com abscissas e , assim, . Logo:

2) Calculando a estimativa para o erro teremos:

Como a derivada segunda de é

logo:

Exemplo 3:

1) Calcular

usando a regra dos trapézios.

2) Qual seria a estimativa para o erro deste procedimento?

Resolução:

1) Temos , portanto .

A integral aproximada pelo método do trapézio é dada por:

2) Calculando a estimativa para o erro:

Como a derivada segunda de é

6

O valor máximo de ocorre quando . Logo:

Exercícios:

Calcule o valor numérico das integrais abaixo (por meio do cálculo integral e pelo

método do trapézio) e estime o erro de truncamento obtido pelo método:

1)

R: ; ≤ 229421.52

2)

R: Cálculo integral e regra do trapézio:

Erro=0,18333-0,18232=0,00101

Estimativa do erro:

3) 5432 400900675200252,0)( xxxxxxf no intervalo [0, 0.8]

R: Cálculo integral: 1,64053334

Regra do trapézio: 0,1728

Erro cometido: 1,64053334-0,1728 = 1,46773334. Em percentagem o erro é de 850%. Pela observação do gráfico da função abaixo, vê-se que é muito pobre a

estimativa da integral pela utilização da Regra do Trapézio.

7

2) Regra do Trapézio repetida

A regra do trapézio é uma aproximação um pouco grosseira para o valor da integral,

o que pode ser verificado tanto graficamente quanto pela expressão do erro. Contudo, se aplicarmos dentro de um certo intervalo a regra do trapézio

repetidas vezes a aproximação será melhor, conforme podemos observar na figura

abaixo.

Dividindo o intervalo em subdivisões iguais de largura ,

ou ainda

, com sendo o número de subdivisões do intervalo

. Os valores de cada um dos pontos das subdivisões podem ser obtidas a partir

da expressão:

Dessa forma, podemos escrever a integral de como sendo a soma das

áreas dos trapézios pequenos contidos dentro do intervalo :

8

Logo, o valor numérico da integral calculada segundo a regra do trapézio

repetida será:

Estimativa para o erro na regra do trapézio repetida:

Se quisermos saber quantas subdivisões são necessárias para atingir um certa

precisão dada, ou seja, um certo valor de erro, fazemos o seguinte cálculo:

Exemplo 1:

1) Calcule

usando a regra do trapézio repetida 10 vezes.

2) Estime o erro cometido.

Resolução:

1)

9

2) Estimativa do Erro:

Exemplo 2:

1) Calcular utilizando a regra dos trapézios repetida considerando 6

subdivisões. 2) Calcular uma estimativa para o erro utilizando essa técnica numérica.

3) Quantas subdivisões deveríamos fazer para que o erro neste processo fosse menor do que ?

Resolução:

1) Inicialmente calculamos a largura de cada subdivisão, ou seja, o valor de

Agora encontramos o valor de cada subdivisão.

A fórmula geral para encontrar o valor de cada subdivisão é Nesse caso temos 6 subdivisões igualmente espaçadas por .

O valor numérico da integral calculada segundo a regra do trapézio repetida será:

10

2) Para estimarmos o erro do processo temos que calcular o valor máximo de dentro do intervalo .

Como

--> --> -->

Considerando os valores de dentro do intervalo para encontramos o

valor máximo igual a 6, de acordo com a tabela abaixo:

Dessa forma, o erro nesse caso será:

3) O número de subdivisões para que o erro fosse menor do que pode ser

obtido por:

Exemplo 3

Seja

1) Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a regra dos trapézios repetida.

2) Estime o erro cometido. 3) Quantas subdivisões deveríamos fazer para que o erro neste processo fosse menor

do que ?

Resolução:

1) Os pontos dividirão o intervalo em subintervalos com

.

2) Estimativa para o erro:

11

Como a derivada segunda de é :

O valor máximo de ocorre quando .

3) Cálculo das subdivisões:

Lembrando que é um numero inteiro, devemos ter subintervalos dentro de

para que o erro seja menor que .

Exercício 1:

12

Exercício 2:

Exercício 3:

Exercício 4:

Calcular

6,3

3x

dxA , utilizando a Regra do Trapézio Composta por 6 subintervalos.

)()(2)(2)(2)(2)(2)(2

16543210

6,3

0,3

xfxfxfxfxfxfxfh

dxx

A

182350,0A

)(max12

)( ''

2

3

xfn

abET

como visto,

xxf

1)( ,

2

' 1)(

xxf

e

3

'' 2)(

xxf . Para ]6,3,3[x o

valor 27

2

3

2)(max

3

'' xf , portanto:

5

2

3

10704,327

2

612

)36,3(

TE

13

Referências:

1- Livro. Cálculo numérico.

Márcia Ruggiero e Vera Lopes.

2- Livro Análise Numérica

Richard L. Burden e J. Douglas Faires

3- Apostila. Cálculo Numérico.

Faculdade de Engenharia, Arquitetura e urbanismo.

Prof. Dr. Sérgio Pilling.