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공학박사학위논문

함정의 기계류진동에 의한 수중방사소음해석을

위한 파워흐름해석법의 확장연구

Extended researches on power flow analysis for predictions

of underwater radiated noise generated by machinery

vibrations of naval ships

2014년 2월

서울대학교대학원

조선해양공학과

한주범

함정의 기계류진동에 의한 수중방사소음해석을 위한

파워흐름해석법의 확장연구




지도 교수 홍 석 윤

이 논문을 공학박사 학위논문으로 제출함

2014년 2월

서울대학교 대학원

조선해양공학과

한 주 범

한주범의 공학박사 학위논문을 인준함

2014년 1월

위 원 장 (인)

부 위 원 장 (인)

위 원 (인)

위 원 (인)

위 원 (인)

i

록

함정의 기계류진동에 의한 수중방사소음해석을

위한 파워흐름해석법의 확장연구

워흐름해석법은 시공간 평균된 에 지 도와 인텐시티를 이용하기 때문에

변 압력기반의 통 인 해석법과는 달리 ∙고주 수 역의 진동∙소음해

석에 합한 해석방법이다. 워흐름해석법의 지배방정식은 에 지 달 계식,

워평형 계식, 워분산 계식으로부터 유도되며 열 도 방정식과 유사한

2차편미분방정식 형태를 가지기 때문에 유한요소법과 경계요소법과 같은 수치

해석기법을 쉽게 용할 수 있다. 워흐름유한요소법은 워흐름지배방정식

의 해를 유한요소법을 이용하여 구한 것으로 복합구조물의 진동해석에 효과

이며, 워흐름경계요소법은 워흐름지배방정식의 해를 경계요소법을 이용하

여 구한 것으로 복합구조물의 소음해석에 효과 이다.

본 논문에서는 함정의 기계류진동에 의한 수 방사소음해석을 한 워흐

ii

름해석법을 개발하 고 워흐름해석법 기반의 수 방사소음해석 시스템을 구

하 다. 일정한 유량에 수된 평 의 워흐름해석법을 개발하 고, 이로

부터 수효과를 고려한 워흐름해석법을 정립하고 워흐름해석법 기반의

수진동해석 시스템을 구축하 다. 한 함정에 사용되는 마운트의 진동 감

효과를 고려하기 해 고감쇠효과를 포함한 과 빔의 워흐름해석법을 개발

하 고 마운트와 같이 길이에 비해 단면 이 큰 구조물에서 발생하는 단

변형효과를 고려하기 해 Rayleigh-Love 과 Rayleigh-Bishop 에 한 워

흐름해석법을 개발하 으며, 개발한 워흐름해석법을 이용하여 워흐름해석

법 기반의 감쇠구조물해석 시스템을 구축하 다.

한 본 논문에서 구축한 워흐름해석법 기반의 기계류진동에 의한 수 방

사소음해석 시스템을 이용하여 함정의 수 방사소음해석을 수행하 다. 워

흐름유한요소법을 이용하여 함정의 진동해석을 수행하 으며, 수된 요소의

진동에 지를 음향인텐시티로 변환하고 이를 워흐름경계요소법의 경계조건

으로 입력하여 함정의 수 방사소음해석을 수행하 다. 달함수를 이용하여

함정의 수 방사소음 수 을 평가하 으며, 해석을 수행한 함정과 유사한 함

정의 달함수 값과의 비교를 통해 워흐름해석법 기반의 수 방사 소음해석

시스템의 신뢰성을 검증하 다. 함정의 달함수 해석결과를 이용하여 탑재장

iii

비의 수 방사소음 기여도분석을 수행하 고 탑재장비의 공장인수시험 기 을

설정하 다.

주요어: 수 방사소음, 기계류진동, 함정, 워흐름해석법, 수효과,

고감쇠.

학 번: 2007-20674

iv

목차

1. 서론 ................................................................................................................................... 1

1.1. 연구배경 내용 .................................................................................................. 1

1.2. 논문구성 ................................................................................................................ 8

2. 워흐름해석법의 개요 ...................................................................................................10

2.1. 워흐름해석법 ....................................................................................................10

2.1.1. 워흐름해석법의 연구사 ......................................................................10

2.1.2. 의 워흐름해석법 ..............................................................................15

2.1.3. 보의 워흐름해석법 ..............................................................................19

2.1.4. 평 의 워흐름해석법 ..........................................................................23

2.1.5. 워흐름해석법의 해석 .....................................................................28

2.2. 워흐름유한요소법 .............................................................................................49

2.2.1. 1차원 구조부재에 한 워흐름유한요소 정식화 .............................49

2.2.2. 2차원 구조부재에 한 워흐름유한요소 정식화 .............................53

2.3. 워흐름경계요소법 .............................................................................................56

v

2.3.1. 3차원 방사소음에 한 음향 워흐름해석법 .......................................56

2.3.2. 3차원 음향공간에 한 워흐름경계요소 정식화 .............................60

3. 수효과를 고려한 워흐름해석법 ..............................................................................62

3.1. Mean flow와 맞닿아 있는 평 의 워흐름해석법 ..........................................62

3.1.1. Mean flow와 맞닿아 있는 평 의 운동지배방정식 .............................62

3.1.2. Mean flow와 맞닿아 있는 평 의 워흐름지배방정식 ......................70

3.1.3. Mean flow와 맞닿아 있는 연성평 의 워투과반사계수 ..................79

3.1.4. Mean flow와 맞닿아 있는 평 의 워흐름해석 .................................85

3.1.5. Mean flow와 맞닿아 있는 평 의 엄 해 ............................................92

3.1.6. Mean flow와 맞닿아 있는 평 의 워흐름해석 ......................... 101

3.2. 수효과를 고려한 워흐름진동해석 시스템구축 ......................................... 123

3.2.1. 수효과를 고려한 워흐름지배방정식 ............................................ 123

3.2.2. 수효과를 고려한 워흐름해석 .................................................. 124

3.2.3. 워흐름해석법 기반의 수진동해석 시스템구축 ........................... 125

4. 마운트의 진동 감효과를 고려하기 한 워흐름해석법 ....................................... 130

4.1. 감쇠계수가 큰 보의 워흐름해석법 .................................................... 130

vi

4.1.1. 감쇠계수가 큰 의 워흐름지배방정식 .......................................... 130

4.1.2. 감쇠계수가 큰 보의 워흐름지배방정식 .......................................... 134

4.1.3. 감쇠계수가 큰 과 보의 워흐름해석 ............................................ 139

4.1.4. 감쇠계수가 큰 과 보의 엄 해 ....................................................... 146

4.1.5. 감쇠계수가 큰 과 보의 워흐름해석 ....................................... 151

4.2. 단변형효과를 고려한 Rayleigh-Love Rayleigh-Bishop 의 워흐

름해석법 ............................................................................................................. 176

4.2.1. Rayleigh-Love Rayleigh-Bishop 의 운동지배방정식 ........... 176

4.2.2. Rayleigh-Love Rayleigh-Bishop 의 워흐름지배방정식 ... 182

4.2.3. Rayleigh-Love Rayleigh-Bishop 의 워흐름해석............... 190

4.2.4. Rayleigh-Love Rayleigh-Bishop 의 엄 해 .......................... 192

4.2.5. Rayleigh-Love Rayleigh-Bishop 의 워흐름해석 ......... 194

5. 워흐름해석법을 이용한 기계류진동에 의한 함정의 수 방사소음해석 ............... 226

5.1. 수 방사소음의 특성 ......................................................................................... 226

5.1.1. 수 방사소음 소음원 ............................................................................ 226

5.1.2. 수 방사소음 달손실 ........................................................................ 229

vii

5.1.3. 수 방사소음 분석법 ............................................................................ 234

5.1.4. 수 방사소음 계측법 ............................................................................ 236

5.2. 워흐름해석법을 이용한 함정의 수 방사소음해석 ..................................... 245

5.2.1. 워흐름유한요소법을 이용한 함정의 진동해석 ............................... 246

5.2.2. 워흐름경계요소법 이용한 함정의 수 방사소음해석 .................... 249

5.3. 탑재장비의 수 방사소음 기여도분석 공장인수시험 기 설정 ............... 276

5.3.1. 함정의 수 방사소음 기 치와 소나방정식 ....................................... 276

5.3.2. 탑재장비의 수 방사소음 기여도분석 ................................................ 286

5.3.3. 수 방사소음 기 치의 기여도할당을 통한 탑재장비의 공장인수시

험 기 설정 ........................................................................................... 289

6. 결론 향후 추천연구 ................................................................................................. 301

6.1. 결론 ..................................................................................................................... 301

6.2. 향후 추천연구 .................................................................................................... 307

참고 문헌 .................................................................................................................................. 309

viii

그림 목차

Fig. 2.1. Free clamped, longitudinally vibrating rod. ........................................................................33

Fig. 2.2. Simply supported, transversely vibrating beam. ..................................................................33

Fig. 2.3. Simply supported, transversely vibrating plate. ...................................................................34

Fig. 2.4. Energy density distributions of the free clamped, longitudinal vibrating rod when =f

1kHz. ...............................................................................................................................35

Fig. 2.5. Intensity distributions of the free clamped, longitudinal vibrating rod when =f 1kHz. ......36


500Hz. .............................................................................................................................37


2kHz. ...............................................................................................................................38

Fig. 2.8. Energy density distributions of the simply supported, transversely vibrating beam when

=f 1kHz. ......................................................................................................................39

Fig. 2.9. Intensity distributions of the simply supported, transversely vibrating beam when =f

1kHz. ...............................................................................................................................40


=f 500Hz. ....................................................................................................................41

ix


=f 2kHz. ......................................................................................................................42

Fig. 2.12. Energy density distributions of the simply supported, transversely vibrating plate when

=f 1kHz: (a) classical solution, (b) PFA result. ................................................................43

Fig. 2.13. Energy density distributions of the simply supported, transversely vibrating plate at =y

2/yL when =f 1kHz................................................................................................44

Fig. 2.14. Intensity distributions of the simply supported, transversely vibrating plate when =f

1kHz: (a) classical solution, (b) PFA result. ........................................................................45


=f 500Hz: (a) classical solution, (b) PFA result...............................................................46


=f 2kHz: (a) classical solution, (b) PFA result. ...............................................................47

Fig. 2.17. Energy density distributions of the simply supported, transversely vibrating plate at =y

2/yL : (a) =f 500Hz, (b) =f 2kHz.........................................................................48

Fig. 3.1. Totally submerged plate in fluid moving with uniform velocity.......................................... 106

Fig. 3.2. Two semi-infinite plates in the fluid moving with uniform velocity in the positive x-directions

of each plate. .................................................................................................................. 106

Fig. 3.3. Simply supported, simple plate with mean flow in the positive x-direction. ........................ 107

x

Fig. 3.4. Simply supported, coupled plate with mean flow in the positive x-directions of each plate .......

...................................................................................................................................... 107

Fig. 3.5. Energy density distributions of the simple plate with mean flow ( =fU 20m/s) when =f

1kHz: (a) classical solution, (b) PFA result. ...................................................................... 108

Fig. 3.6. Comparisons between classical solutions and PFA results at 2/yLy = of the simple

plate when =f 1kHz. .................................................................................................. 109

Fig. 3.7. Effective masses in each direction of the simple plate........................................................ 110

Fig. 3.8. Group velocities in each direction of the simple plate. ....................................................... 111

Fig. 3.9. Intensity distributions of the simple plate with mean flow ( =fU 20m/s) when =f 1kHz:

(a) classical solution, (b) PFA result. ................................................................................ 112

Fig. 3.10. Energy density distributions of the simple plate with mean flow ( =fU 20m/s) when

=f 500Hz: (a) classical solution, (b) PFA result. ............................................................ 113


=f 2kHz: (a) classical solution, (b) PFA result. .............................................................. 114

Fig. 3.12. Comparisons between classical solutions and PFA results at 2/yLy = of the simple: (a)

=f 500Hz, (b) =f 2kHz. ........................................................................................... 115

Fig. 3.13. Total energy density distributions of the coupled plate with mean flow ( =fU 10m/s)

when =f 1kHz: (a) classical solution, (b) PFA result....................................................... 116

xi

Fig. 3.14. Comparisons between classical solutions and EFA results at 2/yLy = of the coupled

plate when =f 1kHz. .................................................................................................. 117

Fig. 3.15. Power transmission coefficients of coupled plate. ........................................................... 118

Fig. 3.16. Intensity distributions of the coupled plate with mean flow ( =fU 20m/s) when =f

1kHz: (a) classical solution, (b) PFA result. ...................................................................... 119


when =f 500Hz: (a) classical solution, (b) PFA result. .................................................. 120


when =f 2kHz: (a) classical solution, (b) PFA result. .................................................... 121

Fig. 3.19. Comparisons between analytical solutions and EFA results at 2/yLy = of the coupled

plate: (a) =f 500Hz, (b) =f 2kHz............................................................................ 122

Fig. 3.20. Energy density distributions of the simple plate with fluid: (a) =f 1kHz, (b) =f 2kHz ......

...................................................................................................................................... 127

Fig. 3.21. Dialog to find the fluid loaded element by inputting the element number. ......................... 128

Fig. 3.22. Dialog to find the fluid loaded element by setting the draft. ............................................. 128

Fig. 3.23. Ship model: (a) whole model, (b) fluid loaded model. ..................................................... 129

Fig. 4.1. Free clamped, longitudinally vibrating rod. ...................................................................... 158

xii

Fig. 4.2. Simply supported, transversely vibrating beam. ................................................................ 158

Fig. 4.3. Simply supported, transversely vibrating coupled beam. ................................................... 159

Fig. 4.4. Energy density distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod when =f

1kHz. ............................................................................................................................. 160

Fig. 4.5. Intensity distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod when =f 1kHz.161

Fig. 4.6. Energy density distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod: (a) =f

500Hz, (b) =f 2kHz. .................................................................................................. 162

Fig. 4.7. Energy densities of the free clamped, longitudinally vibrating rod at 3/2Lx = for various

analysis frequencies. ....................................................................................................... 163

Fig. 4.8. Energy density distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod when =f

1kHz and =h 0.01. ..................................................................................................... 164


=f 1kHz. .................................................................................................................... 165

Fig. 4.10. Intensity distributions of the simply supported, transversely vibrating beam when =f

1kHz. ............................................................................................................................. 166

Fig. 4.11. Group velocities of the simply supported, transversely vibrating beam. ............................ 167

Fig. 4.12. Energy density distributions of the simply supported, transversely vibrating beam: (a)

=f 500Hz, (b) =f 2kHz. ......................................................................................... 168

xiii

Fig. 4.13. Energy densities of the simply supported, transversely vibrating beam at 4/3Lx = for

various analysis frequencies. ........................................................................................... 169


=f 1kHz and =h 0.01. ............................................................................................. 170

Fig. 4.15. Energy density distributions of the simply supported, transversely vibrating, and coupled

beam when =f 1kHz: (a) flexural energy density, (b) longitudinal energy density. ......... 171

Fig. 4.16. Intensity distributions of the simply supported, transversely vibrating, and coupled beam

when =f 1kHz: (a) flexural intensity, (b) longitudinal intensity...................................... 172


beam when =f 500Hz: (a) flexural energy density, (b) longitudinal energy density. ....... 173


beam when =f 2kHz: (a) flexural energy density, (b) longitudinal energy density. ......... 174


beam when =f 1kHz and =h 0.01: (a) flexural energy density, (b) longitudinal energy

density............................................................................................................................ 175

Fig. 4.20. Wavenumbers of propagating waves in a steel rod =r 0.2, =lcf 20.7kHz for various

frequencies. .................................................................................................................... 202

Fig. 4.21. Wavenumbers of propagating waves in a steel rod for various radiuses when =f 25kHz ....

...................................................................................................................................... 203

xiv

Fig. 4.22. Energy density distributions of the free clampd, longitudinally vibrating rod

( )50/ =rL : (a) =f 6.3kHz, (b) =f 25kHz......................................................... 204

Fig. 4.23. Intensity distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod ( )50/ =rL : (a)

=f 6.3kHz, (b) =f 25kHz. ...................................................................................... 205

Fig. 4.24. Energy density distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod

( )50/ =rL when =f 6.3kHz and =h 0.8. ......................................................... 206

Fig. 4.25. Energy density distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod ( )5/ =rL :

(a) =f 6.3kHz, (b) =f 8kHz, (c) =f 10kHz. ....................................................... 208

Fig. 4.26. Intensity distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod ( )5/ =rL : (a)

=f 6.3kHz, (b) =f 8kHz, (c) =f 10kHz. ............................................................. 209

Fig. 4.27. Energy density distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod ( )5/ =rL

when =h 0.8: (a) =f 6.3kHz, (b) =f 8kHz. ......................................................... 210

Fig. 4.28. Wavenumbers of the free clamped, longitudinally vibrating rod ( )5/ =rL for various

damping loss factors: (a) =f 6.3kHz, (b) =f 8kHz. ................................................. 211

Fig. 4.29. Energy density distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod ( )5/ =rL

when =f 25kHz and =h 0.05. ................................................................................ 212


( )10/ =rL : (a) =f 6.3kHz, (b) =f 8kHz, (c) =f 10kHz. ............................... 214

xv

Fig. 4.31. Mount 6K2000. ............................................................................................................ 214

Fig. 4.32. Energy density distributions of the 6K2000: (a) =f 1kHz, (b) =f 2kHz, (c) =f

4kHz, (d) =f 8kHz. .................................................................................................... 216

Fig. 4.33. Displacement distributions of the 6K2000 at free-end. .................................................... 217

Fig. 4.34. Input power distributions of the 6K2000 at free-end. ....................................................... 218

Fig. 4.35. Plate-rod-plate structure. ................................................................................................ 219

Fig. 4.36. Energy density distributions of the plate-rod-plate structure when =f 1kHz: (a) Plate 1 of

classical rod model, (b) Plate 2 of classical rod model, (c) Plate 1 of Rayleigh-Bishop rod

model, (d) Plate 2 of Rayleigh-Bishop rod model. ............................................................ 221







Fig. 5.1. Noise sources and transmission paths of underwater radiated noise.................................... 242

Fig. 5.2. Characteristics of underwater radiated noise sources. ........................................................ 242

Fig. 5.3. Underwater radiated noise levels of naval ships. ............................................................... 243

xvi

Fig. 5.4. Spreading of sound wave: (a) spherical wave, (b) cylindrical wave. ................................... 243

Fig. 5.5. Measurement system of underwater radiated noise. .......................................................... 244

Fig. 5.6. Naval ship model. ........................................................................................................... 256

Fig. 5.7. Vibration energy density distributions calculated by PFFEM. ............................................ 256

Fig. 5.8. Fluid loaded element of the naval ship. ............................................................................ 257

Fig. 5.9. Underwater radiated noise distributions calculated by PFBEM.......................................... 257

Fig. 5.10. Vibration energy density distributions generated by motor when =f 1kHz: (a) overview,

(b) side view, (c) bottom view. ......................................................................................... 258

Fig. 5.11. Vibration energy density distributions generated by main generator when =f 1kHz: (a)

overview, (b) side view, (c) bottom view. ......................................................................... 259

Fig. 5.12. Vibration energy density distributions generated by machinery accessories when =f

1kHz: (a) overview, (b) side view, (c) bottom view. .......................................................... 260

Fig. 5.13. Vibration energy density distributions generated by sub generator when =f 1kHz: (a)

overview, (b) side view, (c) bottom view. ......................................................................... 261

Fig. 5.14. Vibration energy density distributions generated by motor when =f 125Hz: (a) overview,


xvii

Fig. 5.15. Vibration energy density distributions generated by motor when =f 4kHz: (a) overview,


Fig. 5.16. Vibration energy density distributions generated by motor when =f 1kHz: (a) without

fluid loading, (b) with fluid loading. ................................................................................. 264

Fig. 5.17. Vibration energy density distributions generated by motor when =f 1kHz: (a) without

mount, (b) with mount. ................................................................................................... 265

Fig. 5.18. Vibration energy density distributions generated by motor when =f 1kHz: (a) thickness:

3/hh - , (b) thickness: h , (c) thickness: 3/hh + , (d) thickness: 3/2hh + . ............ 267

Fig. 5.19. Vibration energy density distributions generated by motor when =f 1kHz: (a) density:

3/rr - , (b) density: r , (c) density: 3/rr + , (d) density: 3/2rr + ................. 269

Fig. 5.20. Transfer function of underwater radiated noise generated by mechanical noise sources. .... 270

Fig. 5.21. Transfer function of underwater radiated noise with and without fluid loading when motor

is generated. ................................................................................................................... 271

Fig. 5.22. Transfer function of underwater radiated noise with and without mount when motor is

generated. ...................................................................................................................... 272

Fig. 5.23. Transfer function of underwater radiated noise by thickness variation of mechanical source

when motor is generated. ................................................................................................ 273

xviii

Fig. 5.24. Transfer function of underwater radiated noise by density variation of mechanical source


Fig. 5.25. Transfer function of underwater radiated noise by material variation of mechanical source


Fig. 5.26. Flow chart for establishment of limit level of underwater radiated noise. .......................... 295

Fig. 5.27. Limit level of underwater radiated noise of the naval ship................................................ 295

Fig. 5.28. Two kinds of sonar: (a) passive sonar, (b) active sonar. .................................................... 296

Fig. 5.29. Wenz curve for ambient noise of sea. ............................................................................. 297

Fig. 5.30. Flow chart for obtaining contribution level of underwater radiated noise generated by

machine. ........................................................................................................................ 297

Fig. 5.31. Contribution level of underwater radiated noise generated by motor. ............................... 298

Fig. 5.32. Allocation of contribution level of underwater radiated noise for each noise source........... 298

Fig. 5.33. Contribution level and limit level of underwater radiated noise generated by motor. ......... 299

Fig. 5.34. Modified contribution level and limit level of underwater radiated noise generated by motor.

...................................................................................................................................... 300

xix

표 목차

Table 5.1. Relation of the noise source to ship speed and frequency................................................. 241

Table 5.2. Tendency equation of transfer function of underwater radiated noise when thickness and

density of motor room are varied. .................................................................................... 255

Table 5.3. Relationship of sea state, wind speed, and wave height. .................................................. 292

Table 5.4. Directivity index of sonar array...................................................................................... 293

Table 5.5. Accelartaion levels of motor at the top side of mount. ..................................................... 293

Table 5.6. Vibration reduction effect of mount calculated from PFFEM .......................................... 294

Table 5.7. FAT levels of motor. ..................................................................................................... 294

1

1. 서론

1.1. 연구배경 내용

수 에서의 음향신호는 자기신호에 비해 피탐지 거리가 매우 길고

상 주 수범 가 매우 넓기 때문에 수 에서 상 를 탐지하는 수단에는

주로 음향신호가 사용된다. 함정의 수 방사소음은 함정의 작 수행능력

생존성에 직결되므로 매우 요한 요소이며, 해군에서는 함정의 수 방

사소음 기 치를 도입하여 함정의 수 방사소음을 철 하게 리하고 있

다. 이러한 수 방사소음 기 치는 함정의 작 수행 능력, 기술력, 경제력

등의 제반 여건에 의해 결정되는데 과도하게 낮은 수 방사소음수 을 확

보하기 해서는 많은 비용이 필요하므로, 수 방사소음 기 치는 함정의

임무에 한 수 으로 설정되는 것이 필요하다. 함정의 수 방사소음 기

치는 주로 함의 작 운용 환경이 설정되는 개념설계 단계에서 설정되며,

기본설계 단계에서 함정의 수 방사소음해석을 수행하여 함정의 수 방사

소음의 기 치 만족여부와 설정된 기 치의 성을 검토한다. 때문에 함

정의 수 방사소음해석은 매우 요한 특수성능 해석분야로 인식되고

2

있다.

함정의 수 방사소음 해석기법으로는 변 압력기반의 통해석법,

통계 에 지해석법, 워흐름해석법, 달함수법이 활용되고 있다. 변

압력기반의 통 인 해석법은 소형구조물의 진동∙소음해석에 합한

해석 기법으로 함정과 같은 형구조물의 경우 ∙고주 수 역(medium-to-

high Frequency)의 해석을 수행하기 해 상당히 많은 수의 요소가 필요

하거나 고차의 내삽함수(interpolation function)를 사용하여야 하며 오랜

해석시간이 필요하고 결과의 정확성 떨어지는 단 이 있다. ∙고주 수

역은 함정의 수 방사소음에서 요한 주 수 역이므로 변 압력기

반의 통 인 해석법을 이용하여 함정의 수 방사소음해석을 수행하기에

는 어려움이 있다.

통계 에 지해석법(Statistical Energy Analysis)은 함정과 같은 형구조물

의 ∙고주 수 역의 진동∙소음해석에 사용되는 표 인 해석방법 하

나이다. 통계 에 지해석법은 하부구조물간의 워평형조건을 이용하기

때문에 하부구조물내의 에 지를 단 하나의 표값으로 표 한다. 따라서

구조물내의 에 지 도와 인텐시티의 상세해석은 어려우며 모델링에 따라

상이한 해석결과를 보여주는 단 이 있다. 특정 치에서의 진동∙소음문제

3

의 해결을 해 해석모델의 세부변경 시, 통계 에 지해석법에서는 변경

하고자 하는 부분이 단독 하부구조물로써 모델링 되어있지 않은 경우에

모델의 세부변경을 해 모델 체의 하부구조물을 재설정해야 하는 단

이 있다. 한 통계 에 지해석법에서는 모델링에 따라 해석결과의 차이

가 발생할 수 있기 때문에 하부구조물의 변경에 따른 추가 인 해석오류

가 발생할 수 있다.

달함수법의 경우 경험식에 근거한 해석법으로 데이터가 축 되어 있

는 기존함정의 수 방사소음을 측하기에는 간편하지만, 기존함정이 아닌

새로운 함정의 수 방사소음을 해석하기에는 어려움이 있다. 한 통계

에 지해석법과 마찬가지로 해석모델의 세부변경을 고려할 수 없는 한계

을 가지고 있다.

워흐름해석법(Power Flow Analysis)은 시공간 평균된 에 지 도를 주요

변수로 사용하기 때문에 통계 에 지해석법과 마찬가지로 함정과 같은

형구조물의 ∙고주 수 역의 진동∙소음해석에 효과 으로 사용될 수

있으며, 통계 에 지해석법과는 달리 해석모델의 국부상세해석이 가능하

며 모델의 세부변경을 쉽게 고려할 수 있는 장 을 가지고 있다. 워흐름

해석법은 Belov (1977)에 의해 연구가 시작되었으며, 정상상태에서의 열

4

도 방정식과 유사한 2차편미분형태의 지배방정식을 가진다. 워흐름해석

법의 지배방정식은 에 지 도와 인텐시티의 계식을 나타내는 에 지

달 계식(energy transfer equation), 단 체 내에서 시간에 따른 에 지의 변

화량을 나타내는 워평형 계식(power balance equation), 그리고 분산되는

워의 양을 나타내는 워분산 계식(power dissipation equation)으로부터 유

도된다. 워흐름해석법의 지배방정식은 2차편미분형태이기 때문에 복합구

조물의 진동∙소음해석에 유용한 수치해석기법인 유한요소법과 경계요소법

을 용하기 용이하다. 한 워흐름해석법은 진동해석과 소음해석 모두

에 지 도를 변수로 갖기 때문에, 구조∙음향 연성해석에 용이하며 기계류

진동에 의한 함정의 수 방사소음을 해석하기에 수월한 장 을 가진다.

함정에 탑재된 장비의 진동에 의해 발생하는 함정의 수 방사소음은 물

과 맞닿아 있는 함정의 선체가 진동하여 발생하는 것이기 때문에 수효

과를 무시할 수 없다. 부가질량(added mass)으로 인하여 물과 맞닿아있는

요소의 진동해석 시 고려해야 하는 질량이 증가하며, 구조물의 진동으로

인해 유체로 방사되는 에 지가 발생하며 이로 인한 방사감쇠가 발생한다.

기존의 워흐름해석 시스템에서는 이러한 수효과를 고려하지 않고 진

동해석을 수행하 으며, 정확한 수 방사 소음해석을 해서는 수효과를

5

고려할 수 있는 워흐름해석법의 정립이 필요하다. 따라서 본 논문에서는

수효과로 인한 부가질량과 방사감쇠계수(radiation damping loss factor)를

이용하여 수효과를 고려한 평 의 워흐름지배방정식을 정립하 으며,

나아가 평 에 일정한 유동이 흐르는 경우에 한 워흐름해석법을 개발

하 다.

기계류진동에 의한 진동해석을 수행할 때 마운트(mount)에 의한 진동

감효과는 반드시 고려해야 하는 항목이다. 기존의 워흐름해석법은 감

쇠 계수를 가정한 수(wavenumber)를 이용하여 유도되었기 때문에 감쇠

계수가 큰 마운트의 진동해석에는 합하지 않다. 본 논문에서는 마운트의

고감쇠효과를 고려하기 하여 감쇠계수가 큰 보의 워흐름해석법

을 개발하 다. 한 함정에 사용되는 부분의 마운트는 길이에 비해

단면 이 매우 크기 때문에 마운트에서 발생하는 단변형효과를 무시할

수 없다. 마운트는 길이방향으로 작용하기 때문에 으로 모델링 (김 실,

2007)할 수 있는데 기존의 워흐름해석법에서는 의 단변형효과를 고

려할 수 없기 때문에 의 단변형효과를 고려한 워흐름해석법이 정립

되어야 한다. 본 논문에서는 의 단 성(lateral inertia)만을 고려한

Rayleigh-Love 과 의 단 성과 단강성(shear stiffness)을 고려한

6

Rayleigh-Bishop 의 워흐름해석법을 개발하 다.

본 논문에서 개발한 Mean Flow와 맞닿은 평 , 감쇠계수가 큰 보,

의 단변형효과를 고려한 Rayleigh-Love Rayleigh-Bishop 의

워흐름해석법의 신뢰성을 검증하기 해 워흐름해석법의 결과와 엄 해

의 결과를 비교하 다. 엄 해는 구조물의 동역학 이론으로부터 구할 수

있는 해석 인 값인 변 해를 이용하여 얻은 시간 평균된 에 지 도와 인

텐시티로 정의된다.

한 본 논문에서는 함정의 수 방사소음을 해석하기 해서 워흐름

해석법 기반의 수진동해석 시스템을 구 하 으며, 마운트의 진동해석을

해 의 고감쇠효과와 단변형효과를 고려할 수 있는 워흐름해석법

기반의 감쇠구조물해석 시스템을 구축하 다. 한 본 논문에서는 워흐

름해석법을 이용하여 기계류진동에 의한 함정의 수 방사소음해석을 수행

하 다. 기계류진동에 의한 함정의 진동해석은 워흐름유한요소법(Power

Flow Boundary Element Method)을 이용하여 수행하 으며, 수된 선체의

진동에 의한 수 방사소음은 워흐름경계요소법(Power Flow Boundary

Element Method)을 이용하여 해석하 다. 각 탑재장비에 단 힘이 가

해졌을 경우 장비에서 1m 떨어진 곳에서의 음압을 나타내는 달함수

7

(transfer function)를 이용하여 수 방사소음수 을 나타내었으며, 유사함정

에서 획득한 달함수결과와의 비교를 통해 워흐름해석법 기반의 수

방사소음해석 시스템의 신뢰성을 확인하 다.

기계류진동에 의한 함정의 수 방사소음 감 책을 합리 으로 수립하

기 해서는 탑재장비별로 수 방사소음 기 치를 설정하는 것이 효과

이다. 이를 해 본 논문에서는 함정의 수 방사소음 달함수 해석결과를

이용하여 탑재장비의 수 방사소음 기여도분석을 수행하 으며, 함정의 수

방사소음 기 치의 기여도할당을 통해 수립한 탑재장비의 수 방사소음

기 치와 탑재장비의 수 방사소음 기여도의 비교를 통해 탑재장비의 공

장인수시험(Factory Acceptance Test)의 기 설정방안을 제시하 다.

8

1.2. 논문구성

본 논문은 다음과 같이 구성되어있다. 2장에서는 본 논문에서 주로 다루

게 될 워흐름해석법에 해서 소개한다. 재까지 연구되어온 워흐름

해석법의 특징에 해서 살펴보고, 가장 기본 인 구조물인 , 보 그리고

평 의 워흐름지배방정식의 유도과정 간단한 해석결과와 함께 복합

구조물의 진동해석에 사용되는 워흐름유한요소법과 소음해석에 사용되

는 워흐름경계요소법에 해 소개한다. 3장에서는 mean flow와 맞닿아 있

는 평 의 워흐름해석법을 개발한다. 이로부터 정립한 수효과를 고려

한 워흐름해석법에 해 기술하고, 워흐름해석법 기반의 수진동해석

시스템구축에 해서 설명한다.

4장에서는 마운트의 진동 감효과를 고려하기 한 워흐름해석법에

해 설명한다. 마운트를 1자유도의 탄성모델인 으로 고려하 으며 감

쇠계수가 큰 보의 워흐름해석법에 해 기술한다. 한 마운트는

단면 이 길이에 비해 크기 때문에 단 변형효과를 무시할 수 없는데, 이

러한 의 단변형효과를 고려한 Rayleigh-Love 과 Rayleigh-Bishop 에

한 워흐름해석법에 해 설명한다. 5장에서는 본 논문에서 구축한

9

워흐름해석법 기반의 수 방사소음해석 시스템을 이용하여 함정의 기계류

진동에 의한 수 방사소음해석을 수행한 내용에 해 설명한다. 한 수

방사소음의 특성과 워흐름해석법을 이용하여 수 방사소음해석을 수행

하는 방법 결과를 설명하고 수효과 마운트의 진동 감효과를 반

한 경우와 함정모델의 세부변경에 따른 수 방사소음해석에 해서 기

술한다. 추가 으로 수 방사소음해석 결과를 이용한 탑재장비의 수 방사

소음 기여도분석 공장인수시험 기 설정방법에 해서 설명하고 마지

막으로 6장에서는 본 논문의 결론과 향후 추천과제에 해 논의한다.

10

2. 워흐름해석법의 개요

2.1. 워흐름해석법

2.1.1. 워흐름해석법의 연구사

워흐름해석법은 Belov (1977)에 의해 연구가 시작되었으며, Nefske (1989)

는 워흐름해석법에 유한요소법을 용하여 Euler-Bernoulli보의 진동해석

을 수행하 다. Wohlever (1992)는 조화가진이 작용하는 과 보의 변 해로

부터 워흐름지배방정식을 유도하 다. 1차원 구조물의 워흐름지배방

정식으로부터 Bouthier (1995)는 박 과 Kirchhoff평 의 워흐름지배방정

식을 유도하 다. 유도한 지배방정식은 1차원 구조물의 워흐름지배방정

식과 같이 시공간 평균된 에 지 도, 에 지 달속도, 해석주 수와 구조

감쇠계수로 구성된다. Cho (1993)는 복합구조물의 진동해석을 해 워흐

름해석법에 유한요소법을 목시킨 워흐름유한요소법을 정립하 고 반

무한 구조물의 엄 해로부터 유도되는 워투과반사계수를 이용하여 연결

요소 행렬을 유도하 다. Park과 Hong (2001)은 평 의 포텐셜함수(potential

11

functions)를 이용하여 평 의 종 와 횡 와 같은 면내 (in-plane wave)의

워흐름지배 방정식을 유도하 으며, 임의의 각으로 연성된 평 의 워

흐름해석을 수행하 다. Seo와 Hong (2003)은 보-평 의 연결지 에서의 투

과 반사되는 인텐시티로부터 얻은 연성 계식을 이용하여 보-평 연성

구조물의 워흐름해석법을 제안하 다.

Zhang (2002)은 서로 간섭하지 않는 직교형태의 동의 합으로 구조물의

굽힘 와 음향공간을 나타내었으며, 이를 이용하여 실내 음향공간과 얇은

평 의 워흐름지배방정식을 유도하 다. 한 선박의 구조요소 음향

요소에 해 워흐름해석법의 해석결과와 통계 에 지해석법의 해석결

과와 비교하 다. Zhang (2003)은 직교형태의 동을 이용하여 얇은 평 이

무거운 유체에 해있는 경우에 한 워흐름지배방정식을 유도하 다.

수효과를 고려하기 해 부가질량과 방사감쇠효과를 고려하 으며 방사

효율 모델로써 Leppington (1982)이 제안한 모델을 사용하 다. 수효과를

고려한 워흐름해석법을 발 시켜 Zhang (2005)은 원통형 쉘구조물과 보

강 에 수효과를 고려한 워흐름해석법을 개발하 다. Park (2007)은 통

계 에 지해석법의 연성손실계수(Coupling Loss Factor)를 워흐름해석법의

경계에 용하여 감쇠시스템의 진동∙소음을 해석할 수 있는 혼합형 워

12

흐름해석법(Hybrid Power Flow Anlysis)을 개발하 다. 한 복합구조물의 해

석을 해 연성손실계수가 포함된 연결요소를 새롭게 정립하여 혼합형

워흐름유한요소법(Hybrid Power Flow Finite Element Method)를 소개하 다.

고주 수 역의 진동에서 지배 으로 나타나는 단변형효과와 회

성효과를 기존의 워흐름해석법을 고려하지 못하 지만, Park과 Hong (200

6,2008)은 1차원 보 구조물의 진보된 워흐름해석을 해 보의 굽힘방향

진동에서 단변형효과와 회 성효과를 고려하는 Timoshenko 보의 워

흐름해석법을 개발하 으며, 1차원 구조물인 Timoshenko 보의 워흐름해석

법의 개념을 확장하여 단변형효과와 회 성효과를 고려하는 Mindlin

의 면외 (out-of-plane wave)에 한 워흐름해석법을 개발하 다. 가진

주 수가 보 는 평 의 물성치와 치수에 의해 결정되는 임계주 수보다

낮을 경우, Timoshenko보와 Mindlin 의 워흐름지배방정식은 기존의 Euler

-Bernoulli 보와 Kirchhoff 의 워흐름지배방정식과 유사하다. 한편 가진주

수가 임계주 수보다 높을 경우Timoshenko보의 워흐름지배방정식은

휨우세 굽힘 (bending dominanat flexural wave)와 단우세 굽힘 (shear

dominant flexural wave)로 구성되며, Mindlin 의 워흐름지배방정식은 면외

단 (out-of-plane shear wave), 휨우세 굽힘 , 단우세 굽힘 로 구성된다.

13

Hardy (2009)는 구조물의 진동을 직 장과 잔향장으로 구분하여 혼합형

워흐름유한요소법을 개발하 다. 혼합형 워흐름유한요소법에서는 외부

가진원으로부터 발생하는 원통형 를 이용하여 직 장을 표 하 으며, 평

의 경계에서 산란되는 에 의해 발생하는 잔향장은 평면 의 합으로

표 하 다. 혼합형 워흐름유한요소법은 기존의 워흐름해석법에 비해

평 내부의 가진원과 평 의 경계에서 기존의 워흐름해석법의 비해 더

정확한 결과를 보여 다. Kim과 Hong (2011)은 근거리성분의 향을 고려하

여 음향 워흐름지배방정식을 유도하 으며, 실내의 음향해석을 수행하는

데 유용하게 사용될 수 있음을 증명하 다. Kwon과 Hong (2011)은 워흐

름경계요소법을 이용하여 다 역 공간에 문제를 해결할 수 있는 방안을

제시하 다.

Han과 Hong (2012)은 일정한 유동이 평 에 맞닿아 있는 경우의 워흐

름해석법을 부가질량, 방사감쇠계수, 일정한 유동의 향을 고려한 워투

과반사계수를 이용하여 개발하 다. 평 의 굽힘 가 굽힘 의 진행방향과

유동의 진행방향에 따라 향을 받기 때문에, 유도한 워흐름지배방정식

은 2종류의 에 지 달속도로 구성된다. 한 Han (2013)은 기존의 워흐

름해석법에 사용되는 감쇠 가정을 사용하지 않고, 과 보의 워흐름지

14

배방정식을 유도하 다. 개발한 워흐름해석법은 감쇠 가정을 사용하지

않았기 때문에 마운트와 같은 고감쇠 구조물의 진동해석에도 유용하게 사

용될 수 있다. 마운트와 같은 구조물은 단면 이 구조물의 길이에 비해 크

기 때문에, 이로 인해 발생하는 단변형효과를 무시할 수 없다. Han (201

4)은 의 단변형효과를 고려한 Rayleigh-Love 과 Rayleigh-Bishop 에

해서 워흐름지배방정식을 유도하 다.

한편 단순구조물의 진동∙소음해석을 한 워흐름해석법의 연구뿐만 아

니라, 워흐름해석법을 이용한 복합구조물의 진동∙소음해석 시스템구축에

한 연구도 활발히 진행되었다. 서성훈 (2005)은 복합구조물의 진동에 지

도해석을 한 워흐름해석법 기반의 진동해석 시스템을 개발하 으며,

박 호 (2006)는 워흐름해석법 기반의 진동해석 시스템의 효용성을 높이

기 해 기존 상용 로그램의 유한요소모델을 워흐름해석법의 특성을 반

한 워흐름요소모델로 변환시켜주는 모델 변환기(model convertor)를 구

하 다. 이호원 (2006)은 워흐름해석법을 기반으로 구조물의 방사소음

실내소음을 해석할 수 있는 시스템을 구 하 다. 권 웅 (2009)은 ∙

고주 수 역의 정확한 구조∙음향 해석을 해 워흐름해석법을 이용한

구조∙음향 양방향 연성해석 시스템을 구축 하 다. 워흐름해석법 기반의

15

진동∙소음해석 시스템은 재 함정 선박 등 구조물의 ∙고주 수 역

의 진동∙소음해석에 유용하게 사용되고 있다.

2.1.2. 의 워흐름해석법

그림 2.1과 같이 한쪽이 고정지지된(clamped) 의 횡방향 운동지배방정

식은 식 (2.1)과 같다.

tjc xxF

t

uS

x

uSE wdr e)( 02

2

2

2

-=¶

¶-

¶

¶ (2.1)

여기서 u 는 의 횡방향 변 이고 )j1( h+= EEc 는 의 복소 률

(complex Young’s modulus)이고 E 는 률이며 h는 의 감쇠계수(damping

loss factor)이고 F 는 에 가해지는 힘의 크기를 나타내며 0x 는 힘이 가해

지는 치를 나타내고 S 와 r 는 각각 의 면 과 도를 의미한다. 식

(2.1)의 일반 해는 식 (2.2)와 같다.

16

( ) tkxkx BAu wjjj eee += - (2.2)

여기서 k 는 의 횡방향 운동에 한 수로 식 (2.3)과 같다.

)j1( h

rw

+=

Ek

(2.3)

에 감쇠계수 가정 ( )1<<h 을 용하면 식 (2.3)은 아래와 같이 근사화

할 수 있다.

21 j2

j1 kkE

k +=÷ø

öçè

æ-=

hrw

(2.4)

여기서 1k 은 k 의 실수부를 나타내며 2k 는 k 의 허수부를 나타낸다.

의 포텐셜에 지(potential energy)와 운동에 지(kinetic energy)로부터

의 시간 평균된 에 지 도를 식 (2.5)와 같이 표 할 수 있다.

þýü

îíì

¶

¶

¶

¶+

þýü

îíì

¶

¶

¶

¶=

t

u

t

uS

x

u

x

uESe

**

4

1

4

1r

(2.5)

17

인텐시티는 에 가해지는 워를 의미하므로 의 시간 평균된 인텐시티

는 식 (2.6)과 같이 표 된다.

þýü

îíì

¶

¶

¶

¶-=

t

u

x

uESI

*

Re2

1

(2.6)

의 변 해를 나타내는 식 (2.2)를 식 (2.5-2.6)에 입하여 정리하면 아래

와 같이 표 된다.

( )xkxk BASe 22 22222 ee2

1 -+= wr

(2.7)

( )xkxk BAkESI 22 2222

1 ee2

1 --= w

(2.8)

여기서 는 시간 평균된 물리량을 나타낸다. 식 (2.7-2.8)로부터 의 에

지 도와 인텐시티의 계를 나타내는 에 지 달 계식을 얻을 수 있

다.

18

dx

edcI g

hw

2-=

(2.9)

여기서 ( )r/Ecg = 로 횡 의 에 지 달속도를 의미한다.

Wohlever (1992)는 검사체 내의 워변화를 식 (2.10)과 같이 나타내었다.

dissin P-P+-=dx

Id

dx

ed

(2.10)

여기서 inP 은 검사체 내에 입력되는 워를 나타내며 dissP 은 검사체

내에서 소실되는 워를 나타낸다. 정상상태를 가정하면 시간에 따른 에

지 도의 변화량은 없기 때문에 다음과 같은 워평형 계식을 얻을 수

있다.

indiss P=P+×Ñ I

(2.11)

Cremer (1988)는 소실되는 워를 아래와 같은 워소실 계식을 이용하여

표 하 다.

19

ehw=Pdiss

(2.12)

식 (2.9,2.11-2.12)로부터 식 (2.13)과 같은 의 횡방향 진동에 한 워

흐름지배방정식을 얻을 수 있다.

in2

22

P=+- edx

edchw

hw

(2.13)

2.1.3. 보의 워흐름해석법

그림 2.2와 같이 양쪽이 단순지지된(simply supported) 보의 운동지배방정

식은 식 (2.14)와 같다.

tjc xxF

t

wS

x

wIE wdr e)( 02

2

4

4

-=¶

¶+

¶

¶ (2.14)

여기서 w 는 보의 굽힘방향 변 이고 )1( hjEEc += 는 보의 복소 률이

며 E 는 률이고, h는 보의 감쇠계수를 의미하고 I 는 보의 면 성 모

20

멘트(area moment of inertia)를 의미하고 F 는 보에 가해지는 힘의 크기를 나

타내며 0x 는 힘이 가해지는 치를 나타내고 S 와 r 는 각각 보의 면 과

도이다. 식 (2.14)의 일반해는 식 (2.15)와 같다.

( ) tkxkxkxkx DCBAw wjjj eeeee +++= -- (2.15)

여기서 k 는 보에 작용하는 굽힘 (flexural wave)의 수이며 지수 kj± 는

보에 작용하는 굽힘 의 원거리성분(far-field term)을 나타내고 지수 k± 는

보에 작용하는 굽힘 의 근거리성분(near-field trem)을 의미한다. 굽힘 의

수 k 는 식 (2.16)과 같이 나타낼 수 있다.

4/12

÷÷ø

öççè

æ=

IE

sk

c

rw (2.16)

과 마찬가지로 보에 감쇠계수 가정 ( )1<<h 을 용하면 식 (2.16)은

아래와 같이 근사화된다.

21

21

4/12

j4

j1 kkEI

Sk +=÷

ø

öçè

æ-÷÷

ø

öççè

æ=

hrw (2.17)

여기서 1k 은 k 의 실수부이고 2k 는 k 의 허수부이고 S 는 보의 단면 이

다. 심주 수 역이 올라갈수록 굽힘 의 장이 짧아지고 근거리성분이

빨리 감소하기 때문에 굽힘 의 근거리성분은 ∙고주 수 역의 진동해석

에서는 무시할 수 있다. 따라서 굽힘 의 원거리성분만을 포함하여 변 를

표 하면 식 (2.18)과 같다.

( ) tkxkx BAw wjjj eee += - (2.18)

보의 포텐셜에 지와 운동에 지로부터 보의 시간 평균된 에 지 도를

식 (2.19)와 같이 얻을 수 있다.

þýü

îíì

¶

¶

¶

¶+

þýü

îíì

¶

¶

¶

¶=

t

w

t

wS

x

w

x

wEIe

*

2

*2

2

2

4

1

4

1r

(2.19)

인텐시티는 보에 가해지는 워를 의미하므로 보의 시간 평균된 인텐시티

22

는 식 (2.20)과 같다.

þýü

îíì

¶¶

¶

¶

¶-

¶

¶

¶

¶=

tx

w

x

w

t

w

x

wEII

*2

2

2*

3

3

Re2

1

(2.20)

보의 원거리 변 해를 나타내는 식 (2.18)을 식 (2.19-2.20)에 입하여 정리

하면 시간 평균된 보의 에 지 도와 인텐시티를 얻을 수 있다. 보의 시간

평균된 에 지 도와 인텐시티는 과는 달리 공간 상에서 주기 인 특성

을 지니고 있기 때문에 장에 하여 공간평균을 취하면 주기 인 특성

을 지니는 성분을 제거할 수 있다. 시공간 평균된 에 지 도와 인텐시티

는 아래와 같이 정리된다.

( )xkxk BASe 22 22222 ee2

1 -+= wr

(2.21)

( )xkxk BAkEII 22 222231 ee --= w

(2.22)

식 (2.21-2.22)로부터 보의 시공간 평균된 에 지 도와 인텐시티의 계를

다음과 같은 에 지 달 계식으로 나타낼 수 있다.

23

dx

edcI g

hw

2-=

(2.23)

여기서 ( )SEIcg rw /2 2= 로 보에 작용하는 굽힘 의 에 지 달속도를

나타낸다.

식 (2.11-2.12)는 보에 해서도 용할 수 있기 때문에 식 (2.11-2.12,

2.23)으로부터 식 (2.24)와 같은 보의 굽힘방향 진동에 한 워흐름지배

방정식을 얻을 수 있다.

in2

22

P=+- edx

edc g

hwhw

(2.24)

2.1.4. 평 의 워흐름해석법

평 의 면내 에 한 워흐름해석법은 1999년 박도 이 발표한 논문

(박도 , 1999)에 상세히 설명되어있으므로, 본 논문에서는 평 의 굽힘 에

한 워흐름해석법에 해서 간략히 설명한다. 그림 2.3과 같이 4면이

단순지지된 평 의 운동지배방정식은 식 (2.25)와 같다.

24

)()(2 002

2

4

4

22

4

4

4

yyxxFt

wh

y

w

yx

w

x

wDc --=

¶

¶+÷÷

ø

öççè

æ

¶

¶+

¶¶

¶+

¶

¶ddr

(2.25)

여기서 w 는 평 의 굽힘방향 변 이고 )1(12/)1( 23 nh -+= hjEDc 는

평 의 굼힙강성이고 E 는 률이고 h는 평 의 감쇠계수이며 h 는 의

두께이며 n 는 아송비(Poisson’s ratio) 이고 F 는 평 에 가해지는 힘의

크기를 나타내며 ( )00 , yx 는 힘이 가해지는 치를 나타내고 r 는 평 의

도이다. 식 (2.25)의 일반해는 식 (2.26)과 같다.

( )( ) tkykykykykxkxkxkx DCBADCBAw wj22

j2

j211

j1

j1 eeeeeeeee ++++++= ---- (2.26)

여기서 xk 는 굽힘 의 x방향 수이며 yk 는 굽힘 의 y방향 수이다.

굽힘 의 수 k 는 식 (2.27)과 같다.

4/12

22

÷÷ø

öççè

æ=+=

c

yxD

hkkk

wr (2.27)

보와 마찬가지로 평 에 감쇠계수 가정 ( )1<<h 을 용하면 굽힘 의

25

수들은 아래와 같이 근사화된다.

4/1221

21 ÷÷

ø

öççè

æ=+

D

hkk yx

wr (2.28)

÷ø

öçè

æ-=+=÷

ø

öçè

æ-=+=

4j1j,

4j1j 121121

hhyyyyxxxx kkkkkkkk

(2.29)

여기서 1xk 은 xk 의 실수부이고 2xk 은 xk 의 허수부이고 1yk 은 yk 의 실수

부이고 2yk 은 yk 의 허수부이다.

보와 마찬가지로 평 의 변 해 한 원거리성분과 근거리성분으로 구

성된다. 평 한 심주 수 역이 올라갈수록 굽힘 의 장이 짧아지

고 근거리성분이 빨리 감소하기 때문에 굽힘 의 근거리성분은 ∙고주

수 역의 진동해석에서는 무시할 수 있으며, Noiseux (1970)는 굽힘방향으로

진동하는 평 의 워흐름해석법에 원거리성분이 유용하게 쓰일 수 있음

을 증명하 다. 따라서 x,y 방향 의 원거리성분만을 포함하여 평 의 굽힘

방향 변 를 표 하면 식 (2.30)과 같다.

( )( ) tkykykxkx BABAw wjj2

j2

j1

j1 eeeee ++= --

(2.30)

26

평 의 포텐셜에 지와 운동에 지로부터 평 의 시간 평균된 에 지

도는 식 (2.31)과 같이 표 할 수 있다.

2

**22

2

*2

2

2

2

*2

2

2

2

*2

2

2

4)1(2

24

t

w

t

wh

yx

w

yx

w

y

w

x

w

y

w

y

w

x

w

x

wDe

¶

¶

¶

¶+ú

û

ù÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶

¶¶

¶-

êë

é÷÷ø

öççè

æ

¶

¶

¶

¶+÷÷ø

öççè

æ

¶

¶

¶

¶+÷÷ø

öççè

æ

¶

¶

¶

¶=

rn

n

(2.31)

인텐시티는 보에 가해지는 워를 의미하므로 평 의 x,y 방향의 시간 평

균된 인텐시티는 식 (2.32-2.33)과 같다.

( )úú

û

ù

÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶--

êê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶-÷

ø

öçè

æ

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶+

¶

¶=

*

**

ty

w

yx

w

tx

w

y

w

x

w

t

w

yx

w

x

wDI

x

22

2

2

2

2

2

2

3

3

3

1

Re2

1

n

nn

(2.32)

( )úú

û

ù

÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶--

êê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶-÷

ø

öçè

æ

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶+

¶

¶=

*

**

tx

w

yx

w

ty

w

x

w

y

w

t

w

yx

w

y

wDI

y

22

2

2

2

2

2

2

3

3

3

1

Re2

1

n

nn

(2.33)

평 의 원거리 변 해를 나타내는 식 (2.30)을 식 (2.31-2.33)에 입하여 정

27

리하면 시간 평균된 평 의 에 지 도와 인텐시티를 얻을 수 있다. 공간

상에서의 주기 인 특성을 없애기 해 장에 하여 공간평균을 취하면

아래와 같이 평 의 시공간 평균된 에 지 도와 인텐시티를 얻을 수 있

다.

( ) [])(22

2

2

1

)(22

2

2

1

)(22

2

2

1

)(22

2

2

1

222

21

2222

2222

ee

ee2

1

ykxkykxk

ykxkykxk

xx

yxyx

yxyx

BBBA

ABAAkkDe

+--

-+-

++

++=

(2.34)

( ) ( ) ( )[( ) ( )]ykxkykxk

ykxkykxk

yxxx

yxyx

yxyx

BBBA

ABAAkkkDI

2222

2222

22

2

2

1

22

2

2

1

22

2

2

1

22

2

2

121

211

ee

ee

+--

-+-

-+

-+= w

(2.35)

( ) ( ) ( )[( ) ( )]ykxkykxk

ykxkykxk

yxyy

yxyx

yxyx

BBBA

ABAAkkkDI

2222

2222

22

2

2

1

22

2

2

1

22

2

2

1

22

2

2

121

211

ee

ee

+--

-+-

--

++= w

(2.36)

식 (2.34-2.36)으로부터 평 의 시공간 평균된 에 지 도와 인텐시티의

계를 다음과 같은 에 지 달 계식으로 나타낼 수 있다.

ec

III g

yxÑ

-=+=hw

2

(2.37)

28

여기서 ( ) 4/12 /2 hDcg rw= 로 평 에 작용하는 굽힘 의 에 지 달속도를

나타낸다.

식 (2.11-2.12)는 평 에 해서도 용할 수 있기 때문에 식 (2.11-2.12,2.

37)로부터 식 (2.38)과 같은 평 의 굽힘방향 진동에 한 워흐름지배방

정식을 유도할 수 있다.

in2

2

P=+Ñ- eecg

hwhw

(2.38)

2.1.5. 워흐름해석법의 해석

그림 2.1과 같이 한쪽이 고정지지된 의 자유단에 F 의 힘이 입력될

경우 입력 워는 식 (2.39)와 같이 표 된다.

( )÷÷

ø

ö

çç

è

æ÷ø

öçè

æ

¶

¶´=P

*

0tjin

),(eRe

2

1

t

txuF w

(2.39)

29

의 물성치가 철(steel)과 같고 ( )28.0,7800,1107.2 === nrEE 길이와

반지름이 각각 m1=L , 01.0=r 이며 가진력은 NF 1= 이고 감쇠계수가

1.0=h 인 경우, 1kHz에 한 의 에 지 도는 그림 2.4와 같다. 변 해

로부터 얻은 엄 해(classical solution)와 워흐름해석법을 통해 얻은 에

지 도를 살펴보면 두 값이 유사한 것을 확인할 수 있다. 그림 2.5는 가

진주 수가 1kHz일 때 의 인텐시티 해석결과를 나타내며, 이 한 에

지 도와 마찬가지로 변 해로부터 얻은 결과와 워흐름해석법의 결과가

유사하다. 가진주 수가 각각 500Hz, 2kHz에 한 에 지 도는 그림 2.6-

2.7에 나타나 있으며, 해석결과를 살펴보면 1kHz의 경우와 마찬가지로

워흐름해석법의 결과가 변 해로부터 얻은 결과와 유사한 것을 확인할 수

있다. 한 워흐름지배방정식은 경계에서의 의 반사를 고려 하지 않고

진행 (propagating wave)만을 이용하여 유도되었기 때문에 구조물에 비해

의 장이 짧을수록, 즉 해석주 수가 높을수록 워흐름해석법의 결과

가 더 정확하며 이는 그림 2.6-2.7의 결과를 통해 확인할 수 있다.

그림 2.2와 같이 양쪽이 단순지지된 보의 가운데에 F 의 힘이 입력될

경우 입력 워는 식 (2.40)과 같이 표 된다.

30

( )÷÷

ø

ö

çç

è

æ÷ø

öçè

æ

¶

¶´=P

*

0tjin

),(eRe

2

1

t

txwF w

(2.40)

보의 물성치가 철과 같고 ( )28.0,7800,1107.2 === nrEE 길이와 폭과

높이가 각각 m1=L , m01.0=b , m01.0=h 이며 가진력은 NF 1= 이고

감쇠계수가 1.0=h 인 경우, 1kHz에 한 보의 에 지 도 는 그림 2.8과

같으며, 변 해로부터 얻은 엄 해와 워흐름해석법의 결과를 살펴보면

워흐름해석법의 결과가 엄 해의 체 인 경향을 잘 나타내고 있는 것

을 볼 수 있다. 의 엄 해와는 달리 보의 엄 해는 공간상에서 주기 인

특성을 가지고 있으며, 워흐름지배방정식은 시공간평균을 통해 유도되었

기 때문에, 워흐름해석법의 결과는 엄 해의 장에 따른 평균값과 유사

한 값을 보여 다. 그림 2.9는 가진주 수가 1kHz일 때 보의 인텐시티 결

과를 나타내며 에 지 도와 마찬가지로 워흐름해석법의 결과와 엄 해

가 유사한 것을 볼 수 있다. 그림 2.10-2.11은 가진 주 수가 각각 500Hz,

2kHz에 한 에 지 도의 결과를 보여주며 워흐름해석법의 결과가 엄

해의 경향을 잘 반 하는 것을 보여 다. 보의 워흐름지배방정식을 유

도하기 해 근거리성분을 무시하 고 진행 만을 고려한 변 를 이용하

31

는데, 이는 해석주 수가 높아질수록 타당한 가정이 된다. 때문에 해석

결과를 살펴보면 의 경우와 마찬가지로 해석주 수가 높을수록 워흐

름해석법의 결과가 엄 해와 더 가까워지는 것을 볼 수 있다.

그림 2.3과 같이 모든 변이 단순지지된 평 의 가운데에 F 의 힘이 입

력될 경우 입력 워는 식 (2.41)과 같이 표 된다.

( )÷÷

ø

ö

çç

è

æ÷ø

öçè

æ

¶

¶´=P

*

00tjin

),,(eRe

2

1

t

tyxwF w

(2.41)

평 의 물성치가 철과 같고 ( )28.0,7800,1107.2 === nrEE 길이와 폭이

각각 m1=xL , m1=yL , m001.0=h 이며 가진력은 NF 1= 이고 감쇠계수

가 1.0=h 인 경우, 1kHz에 한 평 의 에 지 도는 그림 2.12와 같으며,

워흐름해석법의 결과와 엄 해를 살펴보면 워흐름해석법의 결과가 엄

해의 값이 유사한 것을 확인할 수 있다. 그림 2.13은 2/yLy = 에서의

에 지 도를 나타내는데, 워흐름해석법의 결과가 엄 해의 체 인 경

향을 잘 반 하는 것을 볼 수 있으며, 그림 2.14는 가진주 수가 1kHz일

때 평 의 인텐시티 결과를 나타내며 에 지 도와 마찬가지로 워흐름

32

해석법의 결과가 엄 해의 경향과 유사한 것을 볼 수 있다. 그림 2.15-2.16

은 가진주 수가 각각 500Hz, 2kHz에 한 에 지 도의 결과를 보여주며

해석결과를 살펴보면 각각의 주 수 역에서 워흐름해석법의 결과가 엄

해와 비슷한 것을 확인할 수 있다. 워흐름해석법이 엄 해의 경향을

잘나타내는 것은 2/yLy = 에서의 에 지 도를 나타내는 그림 2.17에서

볼 수 있다. 평 의 워흐름지배방정식도 보와 마찬가지로 근거리성분을

무시하 고 진행 만을 고려한 변 를 사용하 기 때문에, 고주 수 역에

서 워흐름해석법의 해석결과가 더 정확한 것을 알 수 있다.

33

Fig. 2.1. Free clamped, longitudinally vibrating rod.

Fig. 2.2. Simply supported, transversely vibrating beam.

34

Fig. 2.3. Simply supported, transversely vibrating plate.

35

Fig. 2.4. Energy density distributions of the free clamped, longitudinal vibrating rod when

=f 1kHz.

36

Fig. 2.5. Intensity distributions of the free clamped, longitudinal vibrating rod when =f

1kHz.

37


=f 500Hz.

38


=f 2kHz.

39

Fig. 2.8. Energy density distributions of the simply supported, transversely vibrating beam

when =f 1kHz.

40

Fig. 2.9. Intensity distributions of the simply supported, transversely vibrating beam when

=f 1kHz.

41


when =f 500Hz.

42


when =f 2kHz.

43

(a)

(b)

Fig. 2.12. Energy density distributions of the simply supported, transversely vibrating plate

when =f 1kHz: (a) classical solution, (b) PFA result.

44

Fig. 2.13. Energy density distributions of the simply supported, transversely vibrating plate at

=y 2/yL when =f 1kHz.

45

(a)

(b)

Fig. 2.14. Intensity distributions of the simply supported, transversely vibrating plate when

=f 1kHz: (a) classical solution, (b) PFA result.

46

(a)

(b)


when =f 500Hz: (a) classical solution, (b) PFA result.

47

(a)

(b)



48

(a)

(b)

Fig. 2.17. Energy density distributions of the simply supported, transversely vibrating plate at

=y 2/yL : (a) =f 500Hz, (b) =f 2kHz.

49

2.2. 워흐름유한요소법

본 장에서는 워흐름유한요소법에 해 간략하게 알아본다. 워흐름유

한요소법은 워흐름지배방정식의 해를 유한요소법을 이용하여 구하는 것

으로 복합구조물의 진동해석에 유용하게 사용된다. 서성훈 (2005), 박 호

(2006), 김성희 (2007)의 논문에서 워흐름유한요소법에 한 자세한 내용

을 확인할 수 있다.

한편 단순구조물의 진동∙소음해석을 한 워흐름해석법의 연구뿐만 아

니라, 워흐름해석법을 이용한 복합구조물의 진동∙소음해석 시스템 구

에 한 연구도 활발히 진행되었다.

2.2.1. 1차원 구조부재에 한 워흐름유한요소 정식화

식 (2.13,2.24)에서와 같이 는 보와 같은 1차원 구조부재의 종

굽힘 에 한 워흐름지배방정식은 식 (2.42)와 같다.

50

in2

22

P=+- a

ae

dx

edc ga

hwhw

(2.42)

여기서 첨자 a 는 ( )r 과 보 ( )b 를 나타내며 gac 는 각 구조부재의

에 지 달속도이며 ae 는 각 구조부재의 시공간 평균된 에 지 도이다.

유한요소법을 이용하여 1차원 구조부재의 워흐름지배방정식인 식 (2.4

2)의 해를 구하기 하여 가 잔여법(weighted residual method)을 용한다.

가 잔여법은 잔여함수(residual function)에 임의의 시험함수(test func-tion) n

를 곱하여 역내의 분 값이 이 되는 해를 찾는 방법으로, 식 (2.42)에

한 가 잔여법은 식 (2.43)과 같이 표 된다.

0in2

22

=÷÷

ø

ö

çç

è

æP-+-ò

r

l

gax

xa

adxe

dx

edcnhw

hw

(2.43)

여기서 분구간 ,lx rx 은 구조부재의 요소(element) 역이다. 식 (2.43)에

부분 분을 용하면 식 (2.44)와 같이 유한요소법에 자주 사용되는 약화된

변분식(variational weak formulation)을 얻을 수 있다.

51

òò Õ=-÷÷

ø

ö

çç

è

æ+

r

l

r

l

gar

l

ga x

x

x

x

ax

x a

adx

dx

edcdxe

dx

d

dx

edcn

hwnnhw

n

hwin

22

(2.44)

구조부재의 각 요소에서 식 (2.44)를 만족하는 근사해를 얻기 해서

Galerkin 근사법을 이용하면, 구조부재의 에 지 도는 요소 내 n개의

에서의 에 지 도와 형상함수(shape function) f의 곱으로 표 된다.

å=

=n

jj

jaa ee

1

f

(2.45)

에 지 도를 근사하기 한 가 함수에 형상함수를 용하고, 일반 으로

유한요소에서 사용되는 Lagrange 보간함수를 형상함수로써 이용하면 식

(2.44)를 식 (2.46)과 같이 정리할 수 있다.

òò Õ=-÷÷

ø

ö

çç

è

æ+

r

l

r

l

gar

l

ga x

xj

x

x

j

i

x

xji

ji dxdx

dcdx

dx

d

dx

dcf

f

hwffhwf

ff

hwin

22

(2.46)

52

식 (2.46)을 행렬식으로 정리하면 식 (2.47)과 같은 요소행렬식을 얻을 수

있다.

[ ]{ } { } { })()()()( eij

eij

eij

eij FQeK =+

(2.47)

여기서 [ ])(eijK , { })(e

ijQ , { })(eijF 는 각각 강성행렬, 달 워행렬, 입력 워행

렬을 의미하며, 이는 다음과 같다.

ò ÷÷

ø

ö

çç

è

æ+=

r

l

gax

xji

jieij dx

dx

d

dx

dcK fhwf

ff

hw

2

)(

(2.48)

l

ga

r

ga

x

j

i

x

j

ie

ijdx

dc

dx

dcQ

f

hwf

f

hwf

22

)( -=

(2.49)

ò Õ=r

l

x

x je

ij dxF fin)(

(2.50)

요소결합에 의해 최종 으로 1차원 구조부재의 워흐름유한요소 행렬방

정식을 얻을 수 있으며, 행렬방정식으로부터 1차원 구조부재의 에 지 도

를 구할 수 있다.

53

2.2.2. 2차원 구조부재에 한 워흐름유한요소 정식화

2차원 구조부재에 한 워흐름유한요소 정식화는 1차원 구조부재와

유사한 방법으로 수행할 수 있다. 평 의 굽힘 에 한 워흐름유한요소

정식화를 해 식 (2.38)에 가 잔여법을 용하면 식 (2.51)과 같이 2차원

구조부재의 요소 역에 한 변분식을 얻을 수 있다.

0in2

2

=÷÷

ø

ö

çç

è

æP-+Ñ-òD a dDee

c ga

nhwhw

(2.51)

여기서 분구간 D 는 2차원 구조부재의 요소 역이다. 식 (2.51)에 Gauss

발산정리(Gauss divergence theorem)를 용하면 식 (2.52)와 같이 약화된 변

분식을 얻을 수 있다.

òòò P=G÷÷

ø

ö

çç

è

æÑ×-+÷

÷

ø

ö

çç

è

æ+Ñ×Ñ-

G DDdDde

cndDveve

c gaga

nhw

nhwhw

in

22

(2.52)

54

여기서 G 는 구조요소의 경계를 의미하고 n 은 요소경계에서의 법선벡

터를 의미한다. 구조요소가 2차원이므로 요소의 경계는 1차원 직선이 된다.

1차원 구조부재와 마찬가지로 각 요소에서 식 (2.52)를 만족하는 근사해

를 얻기 해서 Galerkin 근사법과 Lagrange 보간함수 형태의 형상함수를

활용하면 식 (2.53)과 같은 2차원 구조부재의 워흐름요소방정식을 얻을

수 있다.

òòò P=G÷÷

ø

ö

çç

è

æÑ×-+÷

÷

ø

ö

çç

è

æ+Ñ×Ñ-

G Djij

Djiji dDd

cndD

c gaga

ffhw

ffhwfffhw

in

22

(2.53)

식 (2.53)을 행렬식으로 정리하면 요소행렬식을 유도할 수 있다.

[ ]{ } { } { })()()()( eij

eij

eij

eij FQeK =+

(2.54)

식 (2.54)의 각 항목은 다음과 같다.

55

ò ÷÷

ø

ö

çç

è

æ+=

Dji

jieij dD

dx

d

dx

dcK

ga

fhwfff

hw

2

)(

(2.55)

G÷÷

ø

ö

çç

è

æÑ×-= òG d

cnQ ij

eij

ga

fhw

f2

)(

(2.56)

ò Õ=D

je

ij dDF fin)(

(2.57)

요소결합에 의해 2차원 구조부재 체에 한 워흐름유한요소 행렬방정

식을 얻을 수 있으며, 행렬방정식으로부터 2차원 구조부재의 에 지 도를

구할 수 있다.

56

2.3. 워흐름경계요소법

본 장에서는 함정의 수 방사소음해석을 해 사용되는 워흐름경계요

소법에 해 간략히 살펴본다. 워흐름경계요소법은 워흐름지배방정식

의 해를 경계요소법을 이용하여 얻는 것으로 주로 복합구조물에 의한 소

음해석에 유용하게 사용된다. 이호원 (2006)의 논문에 워흐름경계요소법

에 한 내용이 상세히 정리되어 있으며, 워흐름해석법 기반의 복합구조

물에 한 소음해석 시스템에 한 내용도 포함되어 있다.

2.3.1. 3차원 방사소음에 한 음향 워흐름해석법

3차원 음향공간에서 음압에 한 지배방정식은 식 (2.58)과 같은 헬름홀

쯔방정식(Helmoltz equation)으로 나타낼 수 있다.

022 =+Ñ pkp

(2.58)

여기서 p 는 음압이고 k 는 수이다. 식 (2.58)을 구형좌표계로 나타내면

57

다음과 같다.

02 2

2

2

=++ pkdr

dp

rdr

pd

(2.59)

여기서 r 은 소음원으로부터의 거리이다. 수 방사소음은 수 에서의 경계

가 없다고 할 수 있으므로 음원으로부터 퍼져나가는 음압만을 고려할 수

있으며, 이 경우 식 (2.59)의 일반해는 다음과 같다.

rk

r

Ap

~je-=

(2.60)

음압과 매질의 속도의 계식을 나타내는 Euler 식을 용하면 식 (2.61)과

같이 매질의 속도를 구할 수 있다.

rk

r

rkA

r

rpu

~j

2e

~j1

j)(j -+

-=¶

¶=

rwrw

(2.61)

여기서 r 은 소음원으로부터의 거리이고 k~는 복소 수로서 다음과 같이

58

근사화된다.

÷ø

öçè

æ-=

2j1h

kk

(2.62)

여기서 h 는 매질의 감쇠계수이다. 음압과 매질의 속도로부터 시간 평균된

음향에 지 도와 인텐시티를 구할 수 있다.

úû

ùêë

é+++=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ+= -**

82)(2

11e

2

1

4

1 2

222

2

2

hh

rrr h

krkrrc

App

cuue kr

gg

(2.63)

( ) kr

g

rrc

ApuI h

r-== e

2Re

2

12

2

*

(2.64)

여기서 r 는 매질의 도이고 gc 는 매질의 에 지 달속도이다. 매질의

감쇠계수가 작고 ( )1<<h , 심 역이 의 장에 비해 소음원으로부터

멀리 떨어져 있는 경우 ( )1>>kr , 식 (2.63)은 다음과 같이 근사화 된다.

59

kr

grc

Ae h

r-= e

2 22

2

(2.65)

식 (2.64-2.65)로부터 식 (2.66)과 같이 3차원 음향공간에서의 음향 에 지

도와 인텐시티의 계를 나타내는 에 지 달 계식을 얻을 수 있다.

÷÷ø

öççè

æ+

¶

¶-= e

rr

ecI g 2

2

hw

(2.66)

3차원 음향공간에서도 식 (2.11)의 워평형 계식은 유효하며, 음향공간

에서 음압에 의한 운동에 지와 포텐셜에 지가 동일하기 때문에 식 (2.1

2)의 워소실 계식을 사용할 수 있다. 식 (2.11-2.12,2.66)으로부터 3차원

음향공간에서의 음향에 지 도에 한 워흐름지배방정식을 유도할 수

있다.

in22

2224

P=+÷÷ø

öççè

æ+

¶

¶+

¶

¶- ee

rr

e

rr

ecg hwhw

(2.67)

식 (2.67)에 한 기본해는 식 (2.67)의 우변을 단 음원에 한 값으로 변

60

환하고, 일반해에 방사경계조건을 용함으로써 구할 수 있다. 음향에 지

도에 한 기본해 G 와 인텐시티에 한 기본해 H 는 다음과 같다.

kr

grcG h

p--= e

4

12

(2.68)

kr

rH h

p--= e

4

12

(2.69)

2.3.2. 3차원 음향공간에 한 워흐름경계요소 정식화

수 방사소음의 경우 수 에서의 경계가 없는 열린공간에서의 소음해석

에 해당하기 때문에, 경계요소법의 간 인 기법을 용하는 것이 타당하

다. 워흐름경계요소법의 간 기법은 경계가 있던 치에 가상의 음원

을 분포시켜, 가상음원으로부터 발생하는 음향에 지 도를 구하게 된다.

음향에 지 도와 인텐시티의 기본해로부터 다음과 같은 간 기법에

한 경계요소식을 얻을 수 있다.

)()()()()()()( in zdVzzxGdSxGxeVS

P-+-= òò xxfx

(2.70)

61

)()()()()()()( in zdVzzxHdSxHxIVS

P-+-= òò xxfx

(2.71)

여기서 x 는 심 역의 치이고 x 는 경계에 분포시킨 가상음원의 치

이고 z 는 소음원의 치이고 ( )xf 는 경계면상에서 가상음원의 크기이고

V 는 3차원 음향공간이 S 는 음향공간에서의 구조물에 의한 경계면이다.

에 지 도 경계조건 는 인텐시티 경계조건과 식 (2.70-2.71)을 이용하면

3차원 음향공간에서의 음향에 지 도를 구할 수 있다.

62

3. 수효과를 고려한 워흐름해석법

3.1. Mean flow와 맞닿아 있는 평 의 워흐름해석법

3.1.1. Mean flow와 맞닿아 있는 평 의 운동지배방정식

그림 3.1은 유속이 x+ 방향으로 fU 인 mean flow에 맞닿아 있으며 물에

잠겨있는 평 을 보여 다. 물에 잠겨있는 평 의 운동지배방정식은 식

(3.1)과 같다.

22

2

24

damp )j1( hz

hz

s ppt

whwD

-==-=

¶

¶+Ñ+ rh (3.1)

여기서 2/hzp = 와 2/hzp -= 는 평 의 아래에 작용하는 유체의 압력이고

D 는 평 의 굽힘강성이고 damph 는 평 의 구조감쇠계수이며 sr 와 h 는

각각 평 의 도와 두께이다. 유체의 압력을 구하기 하여 다음과 같은

가정을 사용한다: (a) 유체는 비압축성(incompressible)이다, (b) 유체는 비

63

성(inviscid)이다, (c) 유체의 비회 성(irrotational) 움직임을 가진다. 유체가

비 성이라면 유체의 압력은 평 의 수직방향으로만 작용하고 유체의 움

직임은 평 의 굽힘방향 변 에만 계를 가진다. 유체가 비압축성이기 때

문에 유체의 속도포텐셜함수(velocity potential function) f 는 식 (3.2)와 같은

Laplace 식을 만족 한다.

02

2

2

2

2

22 =

¶

¶+

¶

¶+

¶

¶=Ñ

zyx

ffff (3.2)

선형화된 Bernoulli 식을 이용하면 평 의 표면에 작용하는 유체의 압력과

속도포텐셜함수와의 계식을 얻을 수 있으며 이는 식 (3.3)과 같다.

22

),,,( hzffh

ztzyx

xU

tp

±=±= úû

ùêë

é

¶

¶+

¶

¶-= fr (3.3)

여기서 fr 는 유체의 도이다. 유체는 평 에 맞닿아 있고 함께 움직이기

때문에, 유체와 평 간의 운동경계조건을 다음과 같이 표 할 수 있다.

64

),,(),,,(

2

tyxwx

Utz

tzyxf

hz

úû

ùêë

é

¶

¶+

¶

¶-=

¶

¶

±=

f (3.4)

유체의 유속이 일정하기 때문에 다음과 같은 자유표면경계조건(free surface

boundary condition)을 선형화된 Bernoulli 식으로부터 얻을 수 있다.

11

2

2 ),,,(1),,,(

hzhz t

tzyx

gz

tzyx

== ¶

¶-=

¶

¶ ff (3.5)

여기서 1h 는 평 에서 자유표면까지의 거리이고 g 는 력가속도이다. 바

닥에서는 다음과 같은 강벽경계조건(rigid wall boundary condition)을 용할

수 있다.

0),,,(

2

=¶

¶

-= hzz

tzyxf (3.6)

여기서 2h 는 평 에서 바닥까지의 거리이다.

Haddara (1996)과 Kerbouda (2008)은 속도포텐셜함수를 식 (3.7)과 같이 분

리변수(separate variable)형태로 나타낼 수 있음을 보 다.

65

),,()(),,,( tyxBzAtzyx =f (3.7)

여기서 )(zA 는 z 의 함수이고 ),,( tyxB 는 tyx ,, 의 함수이다. 식 (3.7)을

식 (3.2)에 입하여 정리하면 식 (3.8)을 얻을 수 있다.

zz AAzA gg ee)( 21 += - (3.8)

여기서 ( ) ),,(//),,(/1 2222 tyxByxtyxB ¶¶+¶¶-±=g 이다. 식 (3.7)을 식

(3.4)에 입하면 식 (3.9)를 얻을 수 있다.

),,(/)(

1),,(

2

tyxwx

UtzzA

tyxB fh

z

úû

ùêë

é

¶

¶+

¶

¶

¶¶=

±=

(3.9)

식 (3.8-3.9)로부터 속도포텐셜함수는 식 (3.10)과 같이 표 된다.

),,(/)(

ee),,,(

2

21 tyxwx

UtzzA

AAtzyx f

hz

zz

úû

ùêë

é

¶

¶+

¶

¶

¶¶

+=

±=

- gg

f (3.10)

66

속도포텐셜함수 식 (3.10)을 선형화된 Bernoulli 식에 입하면 식 (3.11)과

같이 평 의 윗면에서의 속도포텐셜함수를 얻을 수 있다.

( )

( ) ),,()ee(

ee),,,(

2/22/

2

1

1

tyxwx

UtC

Ctzyx fhhh

zhz

úû

ùêë

é

¶

¶+

¶

¶

-

+=

-

-

gg

gg

gf (3.11)

여기서 계수 C 는 식 (3.12)와 같다.

( ) ( )22 / wgwg +-= ggC (3.12)

식 (3.10)을 식 (3.6)에 입하면 평 의 아랫면에서의 속도포텐셜함수를 구

할 수 있다.

( )

( ) ( ) ),,()ee(

ee),,,(

2/22/

2

2

2

tyxwx

Ut

tzyx fhhh

zhz

úû

ùêë

é

¶

¶+

¶

¶

-

+=

+--

--

gg

gg

gf (3.13)

속도포텐셜함수와 운동경계조건을 이용하면 평 의 표면에 작용하는 유체

의 압력을 계산할 수 있는데, 식 (3.3,3.11)로부터 평 의 윗면에 작용하는

67

유체의 압력은 식 (3.14)와 같이 구할 수 있다.

),,(2

2

1 tyxwx

Ut

p f

ffh

z úû

ùêë

é

¶

¶+

¶

¶-=

= g

mr (3.14)

여기서 계수 1f

m 는 식 (3.15)와 같다.

( )

( )C

Chhh

hhh

f 2/22/

2/22/

1

1

1 ee

ee-

-

-

+=

gg

gg

m (3.15)

식 (3.13)을 식 (3.3)에 입하면 평 의 아랫면에 작용하는 유체의 압력을

구할 수 있다.

),,(2

2

2 tyxwx

Ut

p f

ffh

z úû

ùêë

é

¶

¶+

¶

¶-=

-= g

mr (3.16)

여기서 계수 2f

m 는 식 (3.17)과 같다.

68

( ) ( )

( ) ( )2/22/

2/22/

2

2

2 ee

eehhh

hhh

f +--

+--

-

+=

gg

gg

m (3.17)

식 (3.14,3.16)을 mean flow와 맞닿아 있는 평 의 운동지배방정식인 식

(3.1)에 입하면 운동지배방정식은 식 (3.18)과 같이 표 된다.

( ) wx

Utt

whwD fff

f

s

224

damp 12)j1( ú

û

ùêë

é

¶

¶+

¶

¶--=

¶

¶+Ñ+ mm

g

rrh (3.18)

Mean flow와 맞닿아있는 평 의 일반해를 식 (3.19)와 같은 형태로 표

할 수 있다.

tykxk yxAwwj)(j

e++-

= (3.19)

여기서 22yx kkk += 는 평 의 변 장의 수이다. 식 (3.2,3.11,3.13,3.1

9)로부터 식 (3.20)을 얻을 수 있다.

k±=g (3.20)

69

식 (3.20)을 식 (3.18)에 입하면 mean flow에 맞닿아 있는 평 의 분산

계식을 얻을 수 있다.

( )42122

damp

)(

)j1(

1÷÷ø

öççè

æ-

±

-+

+= xf

fff

s kUk

hD

k wrmm

wrh

(3.21)

Kirchhoff 평 에서 수효과를 고려하지 않은 평 의 굽힘방향 변 의

수는 ( )4 2 / Dhk sf wr= 이다. 평 에서 자유표면까지의 거리와 바닥까지의

거리는 평 의 두께에 비해 상당히 크기 때문에 ( hh >>1 , hh >>2 ) 식 (3.1

5,3.17)은 고주 수 역에서 다음과 같이 근사화 된다.

12»fm , 1

1-»fm (3.22)

식 (3.22)는 mean flow와 맞닿아 있는 평 의 굽힘방향 변 는 평 이 잠겨

있는 수심과는 계가 없다는 것을 의미한다.

수효과로 인해 유체에 의한 부가질량이 생기기 때문에 mean flow와 맞

닿아 있는 평 의 질량에 유체에 의한 부가질량을 고려한 평 의 실질질

70

량(effective mass)은 진공상태에 있는 평 의 질량보다 크다. 따라서 mean

flow와 맞닿아 있는 평 의 실질질량은 식 (3.23)과 같이 표 할 수 있다.

( )

úú

û

ù

êê

ë

é

÷÷

ø

ö

çç

è

æ -+=

2

2

eff

21Re

wr

wrr

h

kU

khm

s

xff

s (3.23)

여기서 k=g 이다.

따라서 mean flow와 맞닿아 있는 평 의 굽힘방향 운동지배방정식은 식

(3.24)와 같다.

wx

Utkt

whwD f

f

s

224

damp

2)j1( úû

ùêë

é

¶

¶+

¶

¶-=

¶

¶+Ñ+

rrh (3.24)

3.1.2. Mean flow와 맞닿아 있는 평 의 워흐름지배방정식

Mean flow와 맞닿아 있는 평 의 워흐름지배방정식을 유도하기 해

다음과 같은 가정을 사용한다 (Ichchou, 1996): (a) 평 의 변 장은 선형이

71

고 분산장으로 표 된다, (b) 평 의 구조감쇠계수는 작다, (c) 조화가진에

의한 정상상태를 고려한다, (d) 근거리성분은 무시할 수 있다, (e) 진행하는

들간의 간섭은 고려하지 않는다. 평 이 불연속한 지 에서 한 장 이

상의 거리가 떨어진 곳에서는 근거리성분을 무시할 수 있다 (Wohlver 1992,

Goyder 1980). 한 심주 수 역이 올라갈수록 굽힘 의 장이 짧아지

고 근거리성분이 빨리 감소하기 때문에 굽힘 의 근거리성분은 ∙고주

수 역의 진동해석에서 무시할 수 있다. 한 크기가 유한한 시스템의 거

동은 경계에서 발생하는 반사 로 인해 매우 복잡한데, 이를 단순화하기

해 진행하는 평면 (propagating plane wave)를 이용하여 유한평 의 에

지흐름을 표 하 다 (Bouthier 1995).

연성평 의 경우 워해석법을 단순화하기 하여 유체의 유동이 연성

평 을 지나갈 때 발생하는 난류(turbulent), 와류(vortex)등은 고려하지 않았

으며, 유체는 각 평 에서 평 의 길이방향으로 일정한 유속 fU 로 움직

인다고 가정하 다.

식 (3.24)의 일반해의 원거리성분은 식 (3.25)와 같다.

( ) tykxkykxkykxkykxk yxyxyxyx BBAAw wj)(j

2

)(j

1

)(j

2

)(j

1 eeeee--+--+++ +---+-

+++= (3.25)

72

여기서 +xk 는 x+ 방향으로 진행하는 x 방향 수이고 -

xk 는 x- 방향으로

진행하는 x 방향 수이고 +yk 는 y+ 방향으로 진행하는 y 방향 수이며

-yk 는 y- 방향으로 진행하는 y 방향 수이고 w 는 가진주 수를 의미한

다. 유체가 평 의 x 방향을 따라 움직이므로 y 방향의 수들은 같은값을

가진다. 식 (3.24)로부터 평 의 각 방향에 한 수들은 식 (3.26)과 같이

표 된다.

( )422

damp

22 2

)j1(

1÷÷ø

öççè

æ+

+=+= ±

±

±±xf

f

syx kUk

hD

kkk mwr

wrh

(3.26)

감쇠를 고려한다면 각 방향의 수는 각각 다음과 같이 근사화될 수 있

다.

÷ø

öçè

æ-=+

4j11

hxx kk , ÷

ø

öçè

æ-=-

4j12

hxx kk , ÷

ø

öçè

æ-=

4j11

hyy kk (3.27)

수와 련된 항목은 다음과 같이 표 된다.

73

fluiddamp hhh += , ( ) 2eff221

21 w

D

mkk yx

+

=+ , ( ) 2eff221

22 w

D

mkk yx

-

=+ (3.28)

여기서 h 는 총 감쇠계수이고 +effm 는 x+ 방향의 실질질량이며 -

effm 는 x-

방향의 실질질량이다. 총 감쇠계수 h 는 평 의 구조감쇠계수와 유체에 의

한 감쇠계수의 합으로 정의되는데, 유체에 의한 감쇠계수는 수효과로 인

해 추가로 발생하는 수의 허수부분을 의미한다. 각 방향의 실질질량은

식 (3.29)와 같다.

( )úúû

ù

êêë

é

÷÷

ø

ö

çç

è

æ+=

±

±

±

2eff

21Re

wr

wrr

h

kU

khm

s

xff

s

m (3.29)

일치주 수(coincidence frequency)보다 낮은 주 수 역에서 평 의 가장

자리 모서리효과로 인하여 음 가 유체로 방사되고 이로 인한 방사감

쇠가 발생한다. 유한평 의 방사효율과 실질질량을 이용하면 각 방향에

한 방사감쇠계수는 식 (3.30)과 같이 표 된다 (Cremer, 1988).

rad

eff

rad sw

rh

±

± =m

cf (3.30)

74

여기서 c 는 음속이고 rads 는 유한평 의 방사효율이다. Zhang (2003)은

Maidanik (1962), Davies (1971), Leppington (1982)이 제안한 방사효율 모델로부

터 계산한 방사효율과 Andresen (1999)이 계산한 방사효율 값과 비교를 하

으며, 이로부터 Leppington이 제안한 방사효율 모델을 채택하 다. 본 논

문에서도 Leppington의 방사효율 모델을 이용하여 유한평 의 방사효율을

계산하 다. 일치주 수보다 낮은 주 수 역에서 Leppington의 방사효율

모델은 식 (3.31)과 같다.

( ) þýü

îíì

-+÷÷ø

öççè

æ

-

+

-

+=

1

2

1

1ln

122/12

21

21rad

m

m

m

m

mpms

lkl

ll, 1>m (3.31)

여기서 1l 과 2l 는 평 의 길이이고 k 는 유체의 수이며 kk f /=m 는

수의 비를 나타낸다. 방사감쇠를 고려하기 하여 총 감쇠계수에 방사감쇠

계수를 포함시키면 식 (3.27)은 다음과 같이 수정된다.

÷÷ø

öççè

æ-=

++

4j11

hxx kk , ÷÷

ø

öççè

æ-=

--

4j12

hxx kk , ÷÷

ø

öççè

æ-=

±

4j11

hyy kk (3.32)

75

수와 련된 항목은 다음과 같이 수정된다.

±± ++= radfluiddamp hhhh , ( ) 2eff221

21 w

D

mkk yx

+

=+ ( ) 2eff221

22 w

D

mkk yx

-

=+ (3.33)

여기서 ±h 는 각 방향에 따른 총 감쇠계수이고 ±radh 는 각 방향에서의 방사

감쇠계수이다. y 방향 수의 감쇠계수는 굽힘 의 x 방향에 따라 결정된

다.

실질질량이 각 진행방향에 따라 다르기 때문에 시간 평균된 운동에 지

도를 다음과 같다고 가정할 수 있다.

( ) ( ){ }( ) ( ){ }*+----+-+

+----+-+

--+--+++

--+--+++

+++´

+++=

)(j

2

)(j

1eff

)(j

2

)(j

1eff

)(j

2

)(j

1eff

)(j

2

)(j

1eff

2

eeee

eeee2

KE

ykxkykxkykxkykxk

ykxkykxkykxkykxk

yxyxyxyx

yxyxyxyx

BBmAAm

BBmAAmw

(3.34)

Mean flow의 향을 고려하기 해서 각 방향 실질질량의 제곱근이 식

(3.34)에 사용되었다. 각 방향에 한 시간 평균된 에 지 도와 인텐시티

는 다음과 같이 표 된다.

76

( )

( )úú

û

ù

ïþ

ïýü

+÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶-+

êê

ë

é

ïî

ïíì

÷÷ø

öççè

æ

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+÷÷

ø

öççè

æ

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+÷÷

ø

öççè

æ

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+=

KE212

2j1Re4

1

*22

*

2

2

2

2*

2

2

2

2*

2

2

2

2

damp

yx

w

yx

w

y

w

x

w

y

w

y

w

x

w

x

wDe

n

nh

(3.35)

( )

( )úú

û

ù

ïþ

ïýü

÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶--÷÷

ø

öççè

æ

¶¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶-

êêë

é

ïî

ïíì

÷ø

öçè

æ

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶+

¶

¶+=

*22*2

2

3

2

2

*

2

3

3

3

damp

1

j1Re2

1

ty

w

yx

w

tx

w

y

w

x

w

t

w

yx

w

x

wDI

x

nn

nh

(3.36)

( )

( )úú

û

ù

ïþ

ïýü

÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶--÷÷

ø

öççè

æ

¶¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶-

êêë

é

ïî

ïíì

÷ø

öçè

æ

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶+

¶

¶+=

*22*2

2

3

2

2

*

2

3

3

3

damp

1

j1Re2

1

tx

w

yx

w

ty

w

x

w

y

w

t

w

yx

w

y

wDI

y

nn

nh

(3.37)

여기서 n 는 아송비이다. 감쇠계수를 가정하 으므로 감계계수의 고차

항을 생략하고, 식 (3.25)를 식 (3.35-3.37)에 입하여 장에 해 공간평

균을 취하면 다음과 같은 시공간 평균된 에 지 도와 인텐시티를 얻을

수 있다.

77

( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )þýü

+÷÷ø

öççè

æ+++

îíì

+÷÷ø

öççè

æ++=+=

+--

--+-+

-+

--

++

ykxkykxk

yx

ykxkykxk

yx

yxyx

yxyx

BBD

mkk

AAD

mkk

Deee

1212

1111

2/22

2/21

eff221

22

2/22

2/21

eff221

21

ee

ee4

hh

hh

(3.38)

( ) ( )( ) ( )( )( ){( ) ( )( ) ( )( )( )}ykxkykxk

yxx

ykxkykxk

yxxxxx

yxyx

yxyx

BBkkk

AAkkkDIII

1212

1111

2/22

2/21

21

222

2/22

2/21

21

211

ee

ee

+-

--+--+

--

++

++-

++=+=

hh

hhw

(3.39)

( ) ( )( ) ( )( )( ){( ) ( )( ) ( )( )( )}ykxkykxk

yxy

ykxkykxk

yxyyyy

yxyx

yxyx

BBkkk

AAkkkDIII

1212

1111

2/22

2/21

21

221

2/22

2/21

21

211

ee

ee

+-

--+--+

--

++

-++

-+=+=

hh

hhw

(3.40)

여기서 ±는 x± 방향으로 시공간 평균된 항목을 의미한다. 식 (3.38-3.4

0)으로부터 식 (3.41)과 같은 각 방향의 시공간 평균된 에 지 도와 인텐

시티를 얻을 수 있다.

( ) ±

±

±±±

Ñ-=+ ec

IIg

yx wh

2

eff (3.41)

여기서 ( )±effgc 는 x± 방향의 실질에 지 달속도(effective group velocity)를

나타내며, 아래와 같이 표 된다.

78

( )4/1

2

effeff

2 ÷÷ø

öççè

æ=

±

± wm

Dcg (3.42)

정상상태에서 탄성모델에 해 식 (3.43)과 같은 기존의 워평형 계식

을 그 로 사용할 수 있다.

indiss P=P+×Ñ I (3.43)

한 Cremer (1988)가 유도한 식 (3.44)와 같은 기존의 워소실 계식을 사

용할 수 있다.

ehw=Pdiss (3.44)

각 방향으로 진행하는 에 해서 워소실 계식을 고려하면 식 (3.44)는

식 (3.45)로 나타낼 수 있다.

--++ +=P ee whwhdiss (3.45)

79

식 (3.41,3.45)를 식 (3.43)에 입하여 정리하면, Mean flow와 맞닿아 있는

평 의 굽힘 에 한 워흐름지배방정식을 유도할 수 있다.

( ) ( )in

2

2

eff2

2

eff P=++Ñ-Ñ--

-+

+-

-

-+

+

+

eeec

ec gg

whwhwhwh

(3.46)

3.1.3. Mean flow와 맞닿아 있는 연성평 의 워투과반사계수

그림 3.2는 각 평 에 해 x+ 방향으로 fU 의 속도로 움직이는 Mean

flow에 맞닿아 있고 Φ 의 각도로 연성된 평 을 보여 다. 에 지 도는

연성평 의 연결부에서 불연속하며 연성평 의 연결부에서 면내 가 발생

한다. 유체의 압력은 평 의 수직방향에 작용하므로 i번째 평 의 운동지

배방정식은 아래와 같다.

wx

Utkt

whwD f

f

isii

2

2

24

2úû

ùêë

é

¶

¶+

¶

¶-=

¶

¶+Ñ

rr (3.47)

( ) ( ) ( )2

222

2

2

2

2 1

2

1

2

1

t

u

Eyx

v

y

u

x

u

i

siiii

¶

¶-=

¶¶

¶++

¶

¶-+

¶

¶ rnnn (3.48)

80

( ) ( ) ( )2

222

2

2

2

2 1

2

1

2

1

t

v

Eyx

u

y

v

x

v

i

siiii

¶

¶-=

¶¶

¶++

¶

¶-+

¶

¶ rnnn (3.49)

여기서 E 는 i번째 평 의 률을 의미한다. 연성평 의 연성부에서 감쇠

가 없다고 가정한다면, 식 (3.47-3.49)에서 감쇠계수는 무시할 수 있다. 평

1로부터 굽힘 가 평 의 연결부에 입사할 때 평 1과 평 2의 굽힘

방향 변 는 아래와 같다.

ykkk

f

xk

f

xk

fyyffxfx DCAw

j

1

j

1

j

11 eeee22

111 -+--

úû

ùêë

é++=

--+

(3.50)

ykkk

f

xk

fyyffx DCw

j

2

j

22 eee22

22 -+--

úû

ùêë

é+=

++

(3.51)

여기서 1fA 는 입사 의 크기이고 -

1fxk 는 평 1에서 x- 방향으로 진행하

는 x 방향 수이고 +

2fxk 는 평 2에서 x+ 방향으로 진행하는 x 방향

수이고 yk 는 연성평 의 연결부에서의 y 방향 수이며 입사 , 반사 ,

투과 의 y 방향 수는 yk 로 동일하다. 식 (3.48-3.49)로부터 i번째 평 의

면내방향 변 는 아래와 같이 표 된다 (Park, 2001).

81

[ ] ykxkssi

xklli

xkssi

xkllii

ysxilxisxilxi HGFEujjjjj eesinecosesinecos

--- -+--= qqqq

(3.52)

[ ] ykxkssi

xklli

xkssi

xkllii

ysxilxisxilxi HGFEvjjjjj eecosesinecosesin

--- ++-= qqqq

(3.53)

여기서 lxik 는 i번째 평 의 x 방향으로 진행하는 횡 의 수이고 sxik 는

i번째 평 의 x 방향으로 진행하는 단 의 수이다. 각 평 에 작용하는

의 수는 아래와 같이 표 된다.

22

yfifxi kkk -= ±± (3.54)

( ){ } 2212 yliylilxi kkkkk -->= , ( ){ } 2212 ysiysisxi kkkkk -->= (3.55)

tfrffy kkkk qqq sinsinsin 21inc1+-+ === (3.56)

-

-

=1

1

1cosf

fx

fk

kq ,

-=

1

1sinf

y

fk

kq ,

+

+

=2

2

2cosf

fx

fk

kq ,

+=

2

2sinf

y

fk

kq (3.57)

li

lxili

k

k=qcos ,

li

y

lik

k=qsin ,

si

sxisi

k

k=qcos ,

si

y

sik

k=qsin (3.58)

82

여기서 incq 는 입사 의 각도이고 rq 는 반사 의 각도이고 tq 는 투과 의

각도이며 ( ) Ek sl /1 2nrw -= 는 횡 의 수이고 ( ) Ek ss /12 nrw += 는

단 의 수이다. 식 (3.26,3.56)으로부터 연성평 의 굽힘 의 수는 다

음과 같이 표 된다.

( )42

inc1

1

211

22

11 cos21

÷÷

ø

ö

çç

è

æ-+=+= +

+

++ qwr

wr ff

f

f

syfxf kUk

hD

kkk (3.59)

4

222

1

1

211

22

11

21÷÷

ø

ö

çç

è

æ÷ø

öçè

æ -++=+= -

-

--yff

f

f

syfxf kkUk

hD

kkk wr

wr (3.60)

4

222

2

2

222

22

22

21÷÷

ø

ö

çç

è

æ÷ø

öçè

æ --+=+= +

+

++yff

f

f

syfxf kkUk

hD

kkk wr

wr (3.61)

Newton-Raphson법을 이용하면 식 (3.59-3.61)을 수치 으로 풀 수 있다.

평 의 연결부에서 변 연속 조건을 고려하면 식 (3.62,3.63)과 같다.

0cossin 221 =-+ ΦuΦwu (3.62)

83

0sincos 221 =-+ ΦuΦww (3.63)

연결부에서 기울기도 같으므로 식 (3.64)를 용할 수 있다.

x

w

x

w

¶

¶=

¶

¶ 21 (3.64)

연결부에 작용하는 평 의 모멘트(moment)와 힘 한 평형을 만족하므로

아래와 같은 경계조건을 얻을 수 있다.

021 =+ xxxx MM (3.65)

0cossin 221 =+- ΦNΦVN xxxzxx (3.66)

021 =+ xyxy VV (3.67)

0sincos 111 =++ ΦNΦVV xxxzxz (3.68)

평 에 작용하는 모멘트와 힘은 다음과 같다.

84

÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶-=

2

2

2

2

y

w

x

wDM i

ii

ixxi n (3.69)

( ) ÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶-+

¶

¶-=

2

3

3

3

2yx

w

x

wDV i

ii

ixzi n (3.70)

÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶

-=

y

v

x

uhEN i

ii

i

iixxi n

n 21 (3.71)

( ) ÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶

+-=

x

v

y

uhEV ii

i

iixyi n12

(3.72)

식 (3.62-3.68)을 이용하면 다음과 같이 각 에 해 시간 평균한 워를

구할 수 있다.

1

2

1

3

111cos ffff AkDp qw-= , 2

2

2

3

222cos fff CkDp qw+= (3.73)

( ) 1

2

1121

11

1cos

12lll Ek

hEp qw

n-= , ( ) 2

2

2222

22

2cos

12lll Gk

hEp qw

n-= (3.74)

( ) 1

2

11

1

11

1cos

14sss Fk

hEp qw

n+= ,

( ) 2

2

22

2

22

2cos

14sss Hk

hEp qw

n+=

(3.75)

워투과반사계수는 입사 의 워와 투과 는 반사 의 워의 비로부

터 구할 수 있다. 만약 평 2로부터 입사 가 입사하거나 다른 종류의

85

가 평 의 연결부로 입사할 경우에 한 워투과반사계수는 같은 방법을

이용하여 구할 수 있다.

3.1.4. Mean flow와 맞닿아 있는 평 의 워흐름해석

굽힘방향 조화가진력이 평 의 ( )00 , yx 에 작용한다면 식 (3.46)으로부터

굽힘방향의 워흐름지배방정식은 식 (3.76)과 같다.

( ) ( ))()( 00in

2

2

eff2

2

eff yyxxeeec

ec

fff

gf

f

gf--P=++Ñ-Ñ-

--

++

-

-

-+

+

+

ddwhwhwhwh

(3.76)

평 의 면내방향 변 는 수효과의 향을 받지 않으므로 면내 에 한

워흐름지배방정식은 식 (3.77)과 같다 (Park, 2001).

0damp2

damp

2

=+Ñ- aa

ga eec

whwh

(3.77)

86

여기서 a 는 횡 ( )l 와 단 ( )s 를 의미한다. 워흐름해석법에서 진행

간의 간섭은 고려하지 않기 때문에 시공간 평균된 총 에 지 도와 인텐시

티는 각 에 지 도와 인텐시티의 합으로 나타낼 수 있다 (Ichchou, 1996).

å=

=slfa

aee,,

, å=

÷øöç

èæ +=

slfay

ax

a III,,

(3.78)

Levy의 방법을 이용하여 Park과 Hong (2001)은 각 에 한 에 지지배

방정식의 해를 구하 다. 평 의 경계에서 빠져나가는 워는 0이기 때문

에 Levy의 방법을 이용하여 각 에 한 에 지 도를 다음과 같이 나타

낼 수 있다.

å¥

=÷÷

ø

ö

çç

è

æ=

0

cos)(n y

arna yL

nxEe

p (3.79)

여기서 r 은 입력 워와 연결부에 의해 나 어지는 평 의 역이고 yL 는

평 의 y 방향 길이이고 a 는 굽힘 ( )f , 횡 ( )l , 단 ( )s 를 의미한다.

식 (3.79)를 굽힘 의 워흐름지배방정식인 식 (3.76)에 입하면 굽힘방향

87

에 지 도 계수 )(xE frn 를 구할 수 있다. 자명한 해(nontrivial solution)를

가지기 해서 )(xE frn 는 다음과 같이 표 된다.

)(exp)(exp)( xBxAxE frnfrnfrnfrnfrn-+ +-= ll (3.80)

여기서 ( ) ( )+++ += gfyfrn cLn //2

whpl , ( ) ( )--- += gfyfrn cLn //2

whpl 이다. 식

(3.79)를 식 (3.77)에 입하면 다음과 같이 면내 의 에 지 도를 구할 수

있다.

)exp()exp()( xBxAxE arnarnarnarnarn ll +-= , ( )sla ,= (3.81)

여기서 ( ) ( )gayarn cLn // damp

2whpl += 이다. 같은 방법으로 굽힘방향 조화

가진력에 의해 발생하는 힘은 다음과 같이 표 된다.

å¥

=÷÷

ø

ö

çç

è

æP=--P

000in cos)()()(

n y

n yL

nxyyxx

pdd (3.82)

88

여기서 )(xnP 는 푸리에 분(Fourier integral)으로부터 다음과 같이 계산할

수 있다.

( ) ( )

( ) ( )ïï

î

ïï

í

ì

¹-÷÷

ø

ö

çç

è

æP

=-P

=P

0cos2

0

)(

00in

0in

nxxyL

n

L

nxxL

x

yy

y

n

dp

d

(3.83)

입력 워는 식 (3.84)를 이용하여 계산할 수 있다.

( ) ( )÷÷

ø

ö

çç

è

æ÷ø

öçè

æ

¶

¶´=P

*

00jin

,,eRe

2

1

t

tyxwF tw (3.84)

여기서 tw ¶¶ / 는 가진 에서 평 의 속도를 나타낸다.

워흐름해석법에서는 시공간 평균된 에 지 도와 인텐시티는 Mean

flow와 맞닿아 있는 평 의 수로부터 구할 수 있는 에 지 달속도와

련이 있다. 식 (3.26)으로부터 각 방향의 굽힘 의 수 는 식 (3.85)와 같이

표 할 수 있다.

89

( )422

damp

cos2

)j1(

1÷÷ø

öççè

æ+

+= ±

±

± qwr

wrh

kUk

hD

k f

f

s m (3.85)

여기서 진행 의 각도범 는 2/2/ pqp ££- 이다. 고주 수 역에서 구

조물의 변 장은 분산장으로 표 할 수 있기 때문에 굽힘 의 수를 각도

에 따른 평균값으로 근사화할 수 있다. 수의 각도에 따른 평균값은 식

(3.85)로부터 수치 으로 구할 수 있으며, 이로부터 x± 방향으로 진행하는

굽힘 에 한 실질에 지 달속도는 식 (3.29,3.42)로부터 구할 수 있다.

그림 3.3은 x+ 방향으로 일정속도 fU 로 이동하는 Mean flow에 맞닿아

있는 단순평 을 보여주는데, 단순평 은 단순지지되어 있으며 조화가진력

이 작용한다. 그림 3.3에서 볼 수 있듯이 평 은 2 역으로 나 어지며 xL ,

yL 는 평 의 길이이다. 굽힘방향 에 지 도를 계산하기 해서 에 지

도 인텐시티 경계조건을 용한다 (Cho, 1993). 평 의 경계에서 빠져나

가는 워는 0이므로 다음과 같은 인텐시티 경계조건이 성립한다.

( ) 0,01

=yInx

, ( ) 0,2

=yLI xnx

(3.86)

90

역 ①과 ②의 경계에서 에 지 도가 연속이고 워의 평형조건이 만족

하므로 다음과 같은 경계조건이 성립한다.

( ) ( )yxeyxenn

,, 02

01

= (3.87)

( ) ( ) )(,, 001

02

yyyxIyxI nnxnx

-P-= d (3.88)

식 (3.86-3.88)로부터 단순평 의 굽힘방향 에 지 도를 구할 수 있다.

그림 3.4는 Mean flow에 맞닿아 있는 연성평 을 보여주며 평 은 단순

지지 되어있고 3 역으로 구분된다. 여기서 xL , yL 는 연성평 의 길이이

고 1xL 는 평 1의 길이이고 각 평 의 x+ 방향으로 일정한 유속 fU 로

유체가 이동한다고 가정한다. 단순평 과 마찬가지로 연성평 한 모든

변이 단순지지되어 있으므로 평 의 경계에서 빠져나가는 워는 0이 된다.

따라서 인텐시티 경계조건인 식 (3.89)를 용할 수 있다.

( ) 0,01

=yInx

a , ( ) 0,3

=yLI xnx

a (3.89)

91

역 ①과 ②의 경계에서는 에 지 도가 연속이며 워가 평형을 이루기

때문에 다음과 같은 경계조건이 성립한다.

( ) ( )yxeyxen

an

a ,, 02

01

= (3.90)

( ) ( ) )(,, 001

02

yyyxIyxI nnx

fnx

f -P-= d (3.91)

( ) ( )yxIyxInx

lnx

l ,, 01

02

= , ( ) ( )yxIyxInx

snx

s ,, 01

02

= (3.92)

연성평 의 연결부에서는 투과 와 반사 가 발생하는데, Langley (1990)가

제안한 동 달법(wave transmission approach)를 이용하면 연결부에서의 인

텐시티 경계조건을 다음과 같이 표 할 수 있다 (Cho 1993, Park 2001).

( ) ( ) ( )å=

-+-

úûù

êëé +=

slfax

nxaabx

nxaabx

nxb yLIyLIyLI

,,1

3321

2221

2,,, tg (3.93)

( ) ( ) ( )å=

-++

úûù

êëé +=

slfax

nxaabx

nxaabx

nxb yLIyLIyLI

,,1

3331

2231

3,,, gt (3.94)

여기서 첨자 ( )± 는 x± 방향으로 진행하는 를 의미하고 첨자 a 와 b 는

92

의 종류를 나타낸다. abpqt ( )3,2,;,,, == qpslfba 는 p 역에서의 a 종

류 임사 로 인해 발생하는 q 역의 b 종류 투과 에 한 워투과계수

를 의미하고 abpqg 는 p 역에서의 a 종류 입사 로 인해 발생하는 q 역

의 b 종류 투과 에 한 워반사계수를 의미한다. 식 (3.89-3.94)를 이용

하면 연성평 의 에 지 도를 계산할 수 있다.

3.1.5. Mean flow와 맞닿아 있는 평 의 엄 해

그림 3.3과 같이 mean flow와 맞닿아 있고 평 의 가운데 ( )00 , yx 에 굽힘

방향 가진력이 입력될 때 i번째 평 의 운동지배방정식은 식 (3.95)와 같다.

( ) )()(2

j1 00

2

2

24

damp yyxxFwx

Utkt

whwD f

i

f

isii --=úû

ùêë

é

¶

¶+

¶

¶+

¶

¶+Ñ+ dd

rrh (3.95)

여기서 F 는 평 에 작용하는 가진력의 크기를 나타낸다. 평 이 단순지지

되어있으므로 Levy의 방법을 이용하여 평 의 굽힘방향 변 를 식 (3.96)과

같은 수해로 나타낼 수 있다.

93

( )å¥

=

=0

jesin)(n

tnin ykxWw w

(3.96)

여기서 yn Lnk /p= 이며, 굽힘방향 변 계수 inxW )( 는 아래와 같이 표

된다.

( ) ( ) ( ) ( )xkDxkCxkBxkAxW infininfininfininfinin 4321jexpjexpjexpjexp)( ++-+-=

(3.97)

여기서 infk1는 x+ 방향으로 진행하는 원거리성분 수이고 infk

2는 x+ 방

향으로 진행하는 근거리성분 수이고 infk3는 x- 방향으로 진행하는 원거

리성분 수이고 infk4

는 x- 방향으로 진행하는 근거리성분 수이며, 각

수는 아래와 같이 표 된다.

( )( )

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

+

-+

++-=

22

2

2

damp

2

1

1

1

2

j1

1

infn

infff

isi

i

ninfkk

kUh

Dkk

wrwr

h (3.98)

94

( )( )

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

+

-+

+--=

22

2

2

damp

2

2

2

2

2

j1

1

infn

infff

isi

i

ninf

kk

kUh

Dkk

wrwr

h (3.99)

( )( )

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

+

++

++-=

22

2

2

damp

2

3

3

3

2

j1

1

infn

infff

isi

i

ninf

kk

kUh

Dkk

wrwr

h (3.100)

( )( )

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

+

++

+--=

22

2

2

damp

2

4

4

4

2

j1

1

infn

infff

isi

i

ninf

kk

kUh

Dkk

wrwr

h (3.101)

Newton-Raphson법을 이용하면 식 (3.98-3.101)으로 표 된 수들을 수치

으로 구할 수 있다. 변 와 마찬가지로 가진력도 식 (3.102)와 같이 수해

로 표 할 수 있다.

å¥

=÷÷

ø

ö

çç

è

æ=--

000 sin)()()(

n y

n yL

nxFyyxxF

pdd (3.102)

여기서 )(xFn 는 Fourier 분으로부터 얻을 수 있는 계수로 아래와 같이

표 된다.

95

( )00sin2

)( xxyL

n

L

FxF

yy

n -÷÷

ø

ö

çç

è

æ= d

p (3.103)

단순지지된 평 의 끝 단에서는 변 와 모멘트가 없기 때문에 아래와 같

은 변 모멘트 경계조건이 성립한다.

( ) 001 =nW , ( ) 02 =xn LW (3.104)

( )0

02

12

=¶

¶

x

W n ,( )

02

22

=¶

¶

x

LW xn (3.105)

평 ①과 ②의 경계에서는 변 , 기울기가 연속이며 모멘트와 단력이

평형을 이루므로 아래와 같은 경계조건이 성립한다.

( ) ( )0201 xWxW nn = (3.106)

( ) ( )x

xW

x

xW nn

¶

¶=

¶

¶ 0201 (3.107)

( ) ( )0201 xMxM nxxnxx = (3.108)

( ) ( )0201 xVFxV nxznnxz =- (3.109)

96

식 (3.104-3.109)를 이용하면 굽힘방향 변 계수 inxW )( 를 구할 수 있으며,

이를 식 (3.96)에 입하면 평 의 굽힘방향 변 를 계산할 수 있다. 평

의 굽힘방향 변 를 식 (3.35-3.37)에 입하면 엄 해의 에 지 도와 인텐

시티를 얻을 수 있다.

그림 3.4와 같이 mean flow에 맞닿아 있는 연성평 에 굽힘방향 가진력이

입력될 때는 평 의 굽힘방향 변 뿐만 아니라 면내방향 변 도 발생하며

i번째 평 의 굽힙방향 운동지배방정식은 식 (3.95)와 같고 면내방향 운동

지배방정식은 아래와 같다.

( ) ( ) ( )( ) 2

2

damp

22

2

2

2

2

j1

1

2

1

2

1

t

u

Eyx

v

y

u

x

u

i

siiii

¶

¶

+

-=

¶¶

¶++

¶

¶-+

¶

¶

h

rnnn (3.110)

( ) ( ) ( )( ) 2

2

damp

22

2

2

2

2

j1

1

2

1

2

1

t

v

Eyx

u

y

v

x

v

i

siiiii

¶

¶

+

-=

¶¶

¶++

¶

¶-+

¶

¶

h

rnnn (3.111)

평 의 면내방향 변 도 굽힘방향 변 와 마찬가지로 수해의 형태로 나

타낼 수 있다.

( )å¥

=

=0

jsin)(n

tnin eykxUu w (3.112)

97

( )å¥

=

=0

jcos)(n

tnin eykxVv w

(3.113)

여기서 yn Lnk /p= 이며, 면내방향 변 계수 inxU )( , inxV )( 는 아래와 같

이 표 된다.

( ) ( ) ( ) ( )xkdxkcxkbxkaxU insinlinininsinlininin jexpjexpjexpjexp)( ++-+-=

(3.114)

( ) ( )

( ) ( )xkk

dkxk

k

ck

xkk

bkxk

k

akxV

ins

n

inins

lin

lin

inn

ins

n

inins

lin

lin

innin

jexpj

jexpj

jexpj

jexpj

)(

+-

+

--

+-=

(3.115)

여기서 22

nlilin kkk -= , 22

nsiins kkk -= 이고 ( ) )j1(/1 damp2 hnrw +-= iiili Ek 는

i번째 평 의 횡방향 수이고 ( ) )j1(/12 damphnrw ++= iiisi Ek 는 i번째 평

의 종방향 수이다. 연성평 도 단순평 과 마찬가지로 식 (3.102)를 이용

하여 가진력을 표 할 수 있다.

단순지지된 평 에 합한 경계조건을 용하면 연성평 의 굽힘방향

98

변 계수와 면내방향 변 계수를 구할 수 있다. 연성평 의 끝 단이 단순

지지 되어 있으므로 아래와 같은 경계조건이 성립한다.

( ) 001 =nW , ( ) 03 =xn LW (3.116)

( )0

02

12

=¶

¶

x

W n ,( )

02

32

=¶

¶

x

LW xn (3.117)

( ) 001 =nU , ( ) 003 =nU (3.118)

( ) 001 =nV , ( ) 03 =xn LV (3.119)

평 ①과 ②의 경계에서는 변 , 기울기가 연속이며 경계에서 작용하는

힘과 모멘트가 평형을 이루므로 아래와 같은 경계조건이 성립한다.

( ) ( )0201 xWxW nn = (3.120)

( ) ( )x

xW

x

xW nn

¶

¶=

¶

¶ 0201 (3.121)

( ) ( )0201 xUxU nn = (3.122)

( ) ( )0201 xVxV nn = (3.123)

( ) ( )0201 xMxM nxxnxx = (3.124)

99

( ) ( )0201 xVxV nxynxy = (3.125)

( ) ( ) nnxznxz FxVxV -= 0102 (3.126)

( ) ( )0201 xNxN nxxnxx = (3.127)

평 ②와 ③의 경계에서도 마찬가지로 변 , 기울기가 연속이며 경계에서

작용하는 힘과 모멘트가 평형을 이루므로 다음의 경계조건이 성립한다.

( ) ( ) ( ) ΦLUΦLWLU xnxnxn cossin 131312 +-= (3.128)

( ) ( ) ( ) ΦLUΦLWLW xnxnxn sincos 131312 += (3.129)

( ) ( )1312 xnxn LVLV = (3.130)

( ) ( )x

LW

x

LW xnxn

¶

¶=

¶

¶ 1312 (3.131)

( ) ( ) ( ) 0sincos 131312 =+- ΦLVΦLNLN xnxzxnxxxnxx (3.132)

( ) ( ) ( ) 0cossin 131312 =-- ΦLVΦLNLV xnxzxnxxxnxz (3.133)

( ) ( )1312 xnxyxnxy LNLN = (3.134)

( ) ( )1312 xnxxxnxx LMLM = (3.135)

100

식 (3.116-3.135)를 이용하면 굽힘방향 변 계수 inxW )( 를 면내방향 변 계

수 inxU )( , inxV )( 를 구할 수 있으며, 이를 각각 식 (3.96,3.112-3.113)에

입하면 평 의 변 를 계산할 수 있다. 단순평 과 마찬가지로 연성평 의

굽힘방향 변 를 식 (3.35-3.37)에 입하면 굽힘방향에 한 엄 해의 에

지 도와 인텐시티를 얻을 수 있으며, 면내방향에 한 엄 해의 에 지

도와 인텐시티는 아래 식을 이용하여 계산할 수 있다.

úû

ù÷÷ø

öççè

æ

¶

¶

¶

¶+

¶

¶

¶

¶+

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶+

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶

êë

é+÷÷

ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶=+=

t

v

t

v

t

u

t

uh

y

v

x

u

y

vK

x

u

y

v

x

uK

x

v

y

u

x

v

y

uhGeee

scc

csli

****

**

Re4

1

rnn

(3.136)

úû

ùêë

é

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶+

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶-=+=

t

u

y

v

x

uK

t

v

x

v

y

uhGIII ccxsxlxi

**

Re2

1n (3.137)

úû

ùêë

é

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶+

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+

¶

¶-=+=

t

v

x

u

y

vK

t

u

x

v

y

uhGIII ccysylyi

**

Re2

1n (3.138)

여기서 ))1(2/()j1( damp nh ++= EGc 이고 )1/()j1( 2damp nh -+= hEKc 이다.

101

3.1.6. Mean flow와 맞닿아 있는 평 의 워흐름해석

Mean flow와 맞닿아 있는 평 에 해 유도한 워흐름지배방정식의 정

확성을 확인하기 하여 mean flow와 맞닿아 있는 평 에 해 다양한

워흐름해석을 수행하 다. 워흐름해석법의 결과와 엄 해의 결과를 비교

하 으며 Levy 방법의 수렴을 하여 100개의 차모드를 고려하 다.

첫 번째 해석 는 그림 3.3과 같은 mean flow와 맞닿아 있는 단순평

이다. 평 의 길이는 =´´ hLL yx 1m´ 1m´ 1mm 이고 평 의 물성치는 철

( )28.0,7800,1107.2 === nr sEE 과 같고 유체의 속도는 =fU 20m/s이고

평 의 구조감쇠계수는 1.0damp =h 이고 평 은 단순지지되어 있으며 굽힘

방향의 가진이 평 의 간에 입력되며 그 크기는 N1 이다.

그림 3.5는 1kHz에서의 워흐름해석법과 엄 해로부터 구한 에 지 도

를 보여주며 그림 3.6은 2/yLy = 에서의 워흐름해석법의 결과와 엄 해

의 결과를 보여주며 =fU 0m/s에서의 결과가 추가되었다. 해석결과를 살펴

보면 워흐름해석법의 결과가 엄 해의 결과의 경향을 잘 반 하는 것을

확인할 수 있다. 그러나 가진력이 입력되는 지 근처에서는 워흐름해석

법의 결과와 엄 해의 결과의 차이가 발생하는데 이는 변 의 근거리성분

102

을 무시하여 워흐름지배방정식을 유도하 기 때문이다. 단순평 의 1kHz

에서의 장은 각각 =+l 0.075m, =-l 0.067m 이고, 가진력이 입력되는 지

으로부터 한 장이 떨어진 곳에서는 두 해석결과가 유사한 것이 확인된

다.

Mean flow의 향으로 가진력이 입력되는 지 왼쪽에서는 =fU 20m/s에

서의 에 지 도들이 =fU 0m/s 에서의 에 지 도보다 낮으며 반 로 오

른쪽에서는 =fU 20m/s 에서의 에 지 도들이 =fU 0m/s 에서의 에 지

도보다 높은 것을 확인할 수 있는데, 이는 그림 3.7-3.8에 표 된 실질질

량과 실질에 지 달속도가 해석결과에 향을 미치기 때문이다. x+ 방향

의 실질질량이 x- 방향의 실질질량보다 낮기 때문에 x+ 방향의 실질에

지 달속도가 x- 방향의 실질에 지 달속보다 빠르다. 그림 3.7-3.8에서

해석주 수가 증가할수록 mean flow의 향이 어드는 것을 볼 수 있으며,

이는 한 식 (3.26)에서 유추할 수 있다. 그림 3.9는 워흐름해석법과 엄

해로부터 얻은 인텐시티 분포를 보여주며, 에 지 도와 마찬가지로

워흐름해석법의 결과가 엄 해의 결과와 유사한 것을 확인할 수 있다.

그림 3.10-3.11은 각각 500Hz와 2000Hz에서의 에 지 도의 분포를 보여

주고 그림 3.12는 2/yLy = 에서의 워흐름해석법의 결과와 엄 해의 결

103

과를 보여주며 =fU 0m/s에서의 결과가 추가되었다. 각 주 수 역에서

워흐름해석법의 결과가 엄 해 결과의 평균을 잘 보여주는 것을 확인할 수

있으며 이 결과와 마찬가지로 가진력이 입력되는 지 근처에서 두 해석결

과가 약간의 차이를 보인다. 2kHz에서의 장이 500Hz에서의 장보다 짧

기 때문에 2kHz에서는 500Hz의 경우보다 해석결과가 다른 역이 짧은 것

이다. 한 해석주 수가 증가할수록 =fU 2m/s에서의 해석결과들과 =fU

0m/s에서의 해석결과들의 차이가 은데, 이는 그림 3.7에서 나타난 것처럼

mean flow에 의해 발생하는 부가질량이 고주 수 역에서 감소하기 때문이

다.

두 번째 해석 는 그림 3.4와 같이 mean flow와 맞닿아 있는 연성평 이

다. 연성평 의 길이는 =´´´ hLLL xyx 1 2m´ 1m´ 1m´ 1mm 이고 평 의

물성치는 철 ( )28.0,7800,1107.2 === nr sEE 과 같고 유체의 속도는 fU

= 10m/s이고 평 의 구조감쇠계수는 1.0damp =h 이다. 평 의 모든 변은 단

순지지되어있으며 굽힘방향의 가진이 평 1의 간에 입력되며 그 크기

는 N1 이다. 한 평 은 o30=Φ 로 연성되어있으며 유체는 fU 의 속도로

일정하게 각 평 의 x+ 방향으로 움직인다고 가정한다.

104

그림 3.13은 1kHz에서의 총 에 지 도의 분포를 보여주며 그림 3.14는

2/yLy = 에서의 해석결과들을 보여주며 =fU 0m/s에서의 해석결과가 추가

되었다. 워흐름해석법의 결과가 체 으로 엄 해의 결과를 잘 표 하

고 있는 것을 확인할 수 있으며 단순평 의 에 지 도와 마찬가지로 가

진력이 입력되는 지 근처에서는 두 해석결과가 약간의 차이를 보인다.

한 가진력이 입력되는 지 오른쪽에서의 에 지 도는 mean flow가 없는

=fU 0m/s의 에 지 도보다 높으며 가진력이 입력되는 지 왼쪽에서의

에 지 도는 =fU 0m/s의 에 지 도보다 낮은데, 이는 부가질량과 에

지 달속도의 향뿐만 아니라 mean flow에 의해 향을 받는 워투과반

사계수 때문이다. mean flow의 유무에 해 굽힘 가 연성평 의 연결부에

입사할 경우에 한 워투과계수가 그림 3.15에 표 되어있으며, 이는

mean flow의 진행방향과 의 진행방향이 동일한 경우에 mean flow가 워

투과계수를 증가시킨다는 것을 의미하며, 특히 주 수 역에서 그 향

을 더 크게 미친다. 따라서 평 2에서 mean flow의 향으로 인해 mean

flow를 고려하지 않은 경우보다 에 지 도가 높은 것을 확인할 수 있다.

그림 3.16은 총 인텐시티를 보여주며 워흐름해석법의 결과가 엄 해의

결과를 잘 나타내고 있는 것을 볼 수 있다.

105

그림 3.17-3.18은 500Hz와 2kHz에서의 총 에 지 도를 보여주며, 그림 3.

19는 2/yLy = 에서의 해석결과들을 보여주며 =fU 0m/s에서의 해석결과가

추가되었다. 각 주 수 역에서 워흐름해석법의 결과가 엄 해의 경향을

잘 보여주는 것을 확인할 수 있다. 해석결과를 살펴보면 단순평 의 경우

와 마찬가지로 해석주 수가 높아질수록 mean flow의 향이 감소하는 것

을 확인할 수 있는데 이는 mean flow에 의한 부가질량과 워투과반사계

수의 차이가 고주 수 역에서 감소하기 때문이다.

단순평 과 연성평 에 해서 mean flow가 작용하는 경우에 한 워

흐름해석을 수행하 다. 워흐름해석법을 통하여 얻은 에 지 도와 엄

해로부터 얻은 에 지 도를 비교하 으며, 워흐름해석법의 결과가 체

으로 엄 해의 경향을 잘 보여주는 것을 확인함으로써 mean flow와 맞닿

아 있는 평 에 한 워흐름해석법의 신뢰성을 검증하 다. 한 에 지

도 의 분포에서 mean flow의 향을 확인하 으며, mean flow에 의해 에

지 도가 차이가나는 이유는 mean flow가 평 의 실질질량, 실질에 지

달속도, 워투과반사계수에 향을 미치기 때문이다.

106

Fig. 3.1. Totally submerged plate in fluid moving with uniform velocity.

Fig. 3.2. Two semi-infinite plates in the fluid moving with uniform velocity in the positive x-

directions of each plate.

107

Fig. 3.3. Simply supported, simple plate with mean flow in the positive x-direction.

Fig. 3.4. Simply supported, coupled plate with mean flow in the positive x-directions of each

plate.

108

(a)

(b)



109

Fig. 3.6. Comparisons between classical solutions and PFA results at 2/yLy = of the

simple plate when =f 1kHz.

110

Fig. 3.7. Effective masses in each direction of the simple plate.

111

Fig. 3.8. Group velocities in each direction of the simple plate.

112

(a)

(b)

Fig. 3.9. Intensity distributions of the simple plate with mean flow ( =fU 20m/s) when =f

1kHz: (a) classical solution, (b) PFA result.

113

(a)

(b)


=f 500Hz: (a) classical solution, (b) PFA result.

114

(a)

(b)



115

(a)

(b)

Fig. 3.12. Comparisons between classical solutions and PFA results at 2/yLy = of the

simple: (a) =f 500Hz, (b) =f 2kHz.

116

(a)

(b)



117

Fig. 3.14. Comparisons between classical solutions and EFA results at 2/yLy = of the

coupled plate when =f 1kHz.

118

Fig. 3.15. Power transmission coefficients of coupled plate.

119

(a)

(b)

Fig. 3.16. Intensity distributions of the coupled plate with mean flow ( =fU 20m/s) when


120

(a)

(b)


when =f 500Hz: (a) classical solution, (b) PFA result.

121

(a)

(b)



122

(a)

(b)

Fig. 3.19. Total energy density comparisons between analytical solutions and EFA results at

2/yLy = of the coupled plate: (a) =f 500Hz, (b) =f 2kHz.

123

3.2. 수효과를 고려한 워흐름진동해석 시스템구축

3.2.1. 수효과를 고려한 워흐름지배방정식

평 의 진동해석 시 수효과만을 고려하기 해서는 3.1 의 내용에 유

속을 =fU 0m/s로 두면된다. 이때 mean flow와 맞닿아 있는 평 의 워흐

름지배방정식인 식 (3.46)은 식 (3.139)로 변형된다.

( )in

2

2

eff P=+Ñ- eecg

hwhw

(3.139)

여기서 식 (3.139)의 각 변수들은 다음과 같다.

( )4/1

eff

2

eff2 ÷÷

ø

öççè

æ=

m

Dcg

w (3.140)

w

rr

khm f

s

2eff += (3.141)

42

damp

2

)j1(

1÷÷ø

öççè

æ+

+=

kh

Dk f

s

wrwr

h (3.142)

124

3.2.2. 수효과를 고려한 워흐름해석

수효과가 평 의 진동에 지 도에 미치는 향을 확인하기 하여

수효과를 고려하지 않은 기존의 워흐름해석법의 결과와 수효과를 고려

한 워흐름해석법의 결과를 비교해보았다. 해석 상은 그림 3.3에 유체의

유속이 =fU 0m/s이며 단순지지된 평 이다. 평 의 길이는 =´´ hLL yx

1m ´ 1m´ 1mm이고 평 의 물성치는 철 ( )28.0,7800,1107.2 === nr sEE

과 같고 평 의 구조감쇠계수는 05.0damp =h 이며 굽힘방향의 가진이 평

의 간에 입력되며 그 크기는 N1 이다.

그림 3.20은 2/yLy = 에서 해석주 수가 1kHz와 2kHz일 때 수효과를

고려한 해석결과와 고려하지 않은 해석결과를 보여 다. 해석결과를 살펴

보면 수효과를 고려한 결과가 수효과를 고려하지 않은 결과에비해 에

지 도가 더 낮은 것을 볼 수 있으며, 이는 수효과로 인해 부가질량과

진동에 지의 방사로 인해 추가감쇠가 발생하기 때문이다. 한 수효과

유무에 상 없이 워흐름해석법의 결과가 엄 해의 경향을 잘 반 하는

것을 알 수 있다.

125

3.2.3. 워흐름해석법 기반의 수진동해석 시스템구축

수효과를 고려한 워흐름지배방정식 식 (3.139)와 이에 따른 실질에

지 달속도 식 (3.140) 실질질량 식 (3.141) 수 식 (3.142)를 워흐름해석

법 기반의 진동해석 시스템에 추가하여 수진동해석 시스템을 구 하 다.

수효과를 고려한 진동해석을 수행하기 해서는 먼 수된 요소를 설

정해야 하는데, 워흐름해석법 기반의 진동해석 시스템에서는 2가지 종류

의 수요소 설정법을 제공한다.

첫 번째는 수된 요소의 워흐름요소번호를 해석 시스템상에서 그림

3.21과 같이 직 입력하는 방법이다. 그림 3.21에서 볼 수 있듯이 평 의

양면이 수된 경우와 한쪽 면만 수된 경우 모두 고려할 수 있다. 평

의 한쪽 면만 수된 경우의 워흐름지배방정식과 련 변수들은 아래와

같다.

두 번째 방법은 해석 시스템 내에서 수된 요소를 자동으로 찾는 방법

이다. 그림 3.22는 수된 요소를 자동으로 찾는 창을 나타내며 유체의

도와 속도를 입력하고 선박의 흘수를 입력하면 해석 시스템 내에서 흘수

이하의 수된 요소를 자동으로 검색한다. 그림 3.23 (a)는 선박의 체모델

126

을 보여주며 그림 3.23 (b)는 자동으로 검색한 흘수 이하의 수요소를 보

여 다.

해석 시스템 내에서 수된 요소를 검색한 뒤에 진동해석을 수행하면 해

석 시스템 내부에서 수효과를 반 한 진동해석을 수행한다. 수효과를

고려한 실질에 지 달속도, 실질질량, 수가 로그램에 반 되었기 때문

에 연성구조물에서 고려해야 하는 워투과반사계수에도 수효과가 반

된다. 따라서 워흐름해석법 기반의 진동해석 시스템에서는 체 선박에

서 흘수 이하의 요소에 해 수효과를 용한 선진동해석을 수행할 수

있다.

127

(a)

(b)

Fig. 3.20. Energy density distributions of the simple plate with fluid: (a) =f 1kHz, (b) =f

2kHz.

128

Fig. 3.21. Dialog to find the fluid loaded element by inputting the element number.

Fig. 3.22. Dialog to find the fluid loaded element by setting the draft.

129

(a)

(b)

Fig. 3.23. Ship model: (a) whole model, (b) fluid loaded model.

130

4. 마운트의 진동 감효과를 고려하기 한 워흐름해석법

4.1. 감쇠계수가 큰 보의 워흐름해석법

4.1.1. 감쇠계수가 큰 의 워흐름지배방정식

조화가진에 의해 횡방향으로 진동하는 의 운동지배방정식은 식 (4.1)과

같다.

tc xxF

t

uS

x

uSE wdr j

02

2

2

2

e)( -=¶

¶-

¶

¶ (4.1)

여기서 u 는 의 횡방향 변 이고 ( )hj1+= EEc 는 복소 률이고 h 는

구조감쇠계수이고 r 와 S 는 각각 의 도와 단면 이고 txxF wd j0 e)( -

는 0x 에 작용하는 조화가진력이다. 식 (4.1)의 일반해는 다음과 같다.

( ) txkxk eAAu ll wjj2

j1 ee += - (4.2)

131

여기서 lk 은 횡방향 수를 나타낸다. 식 (4.1-4.2)로부터 수와 의 달

속도는 다음과 같이 표 된다.

212

j2

1

j ll

c

l kkeE

k -=÷÷

ø

ö

çç

è

æ=

-f

wr

(4.3)

2sec

2

1

1

f

r

w÷÷ø

öççè

æ== c

l

l

E

kc (4.4)

여기서 hf =tan 이고 1lk 은 수 lk 의 실수부분이고 2lk 는 수 lk 의 허수

부분이고 lc 은 의 달속도이다. 의 구조감쇠계수가 감쇠계수라면

수와 의 달속도는 Ekl /1 rw= , ( ) Ekl /2/2 rwh= , r/Ecl = 로

근사화될 수 있다.

의 시간 평균된 인텐시티와 에 지 도는 아래 식들과 같다.

úúû

ù

êêë

é÷ø

öçè

æ

¶

¶

¶

¶=

*

Re2

1

t

u

x

uSEI cl

(4.5)

úúû

ù

êêë

é÷ø

öçè

æ

¶

¶

¶

¶+÷

ø

öçè

æ

¶

¶

¶

¶=

**

Re2

1

t

u

t

uS

x

u

x

uSEe cl r (4.6)

132

식 (4.2)를 식(4.5-4.6)에 입한 뒤 장에 해 공간평균을 취하면 다음과

같은 시공간 평균된 인텐시티와 에 지 도를 얻을 수 있다.

( )( )xkxklll

ll AAkkSEI 22 22

2222

1121 ee2

1aahw -+= - (4.7)

( )xkxk

c

lll AA

E

ESe 22 22

2222

112 ee1

4

1aawr +÷

÷

ø

ö

çç

è

æ+= -

(4.8)

여기서 21,aa 는 xkxk ll 22 22 e,e- 의 공간평균된 값을 나타내는 계수로써 다음과

같이 표 된다.

2tan2

e1 2tan2

1 fp

a

fp

÷÷ø

öççè

æ-

=

-

,

2tan2

1e 2tan2

2 fp

a

fp

÷÷ø

öççè

æ-

= (4.9)

식 (4.7-4.8)로부터 횡방향으로 진동하는 의 시공간 평균된 인텐시티와

에 지 도의 계를 다음과 같이 표 할 수 있다.

133

l

c

l ex

E

E

E

I¶

¶

÷÷

ø

ö

çç

è

æ+

÷ø

öçè

æ+

-=

12

tan

2tan1

rwf

fh

(4.10)

정상상태의 탄성체에서는 다음과 같은 워평형 계식이 성립한다.

indiss P=P+×Ñ I

(4.11)

여기서 inP 는 입력 워이고 dissP 는 소실되는 워이다. 이력감쇠의 경우

소실되는 워는 포텐셜에 지, 주 수, 구조감쇠계수와 비례하는데 (Lase,

1996) 이는 다음과 같다.

Uhw2diss =P

(4.12)

여기서 U 는 포텐셜 에 지 도이며 구조감쇠계수가 감쇠계수일 경우에

는 포텐셜에 지와 운동에 지가 같으므로 식 (2.12)와 같은 기존의 워소

실 계식이 성립한다. 식 (4.2,4.8,4.12)로부터 소실되는 워를 다음과 같

134

이 시공간 평균된 에 지 도를 이용하여 표 할 수 있다.

l

c

eEE

E÷÷

ø

ö

çç

è

æ

+=P hw2diss

(4.13)

식 (4.10,4.13)을 식 (4.11)에 입하여 정리하면 다음과 같이 감쇠계수가

큰 의 워흐름지배방정식을 유도할 수 있다.

in2

2

2

12

tan

2tan1

P=÷÷

ø

ö

çç

è

æ

++

¶

¶

÷÷

ø

ö

çç

è

æ+

÷ø

öçè

æ+

- eEE

Ee

x

E

E

E

c

c

hw

rwf

fh

(4.14)

4.1.2. 감쇠계수가 큰 보의 워흐름지배방정식

조화가진에 의해 굽힘방향으로 진동하는 보의 운동지배방정식은 식

(4.15)와 같다.

135

tc xxF

t

wS

x

wIE wdr j

02

2

4

4

e)( -=¶

¶+

¶

¶

(4.15)

여기서 w 는 보의 굽힘방향 변 이고 ( )hj1+= EEc 는 복소 률이고 I 는

면 성모멘트이고 h 는 구조감쇠계수이고 r 와 S 는 각각 의 도와

단면 이고 txxF wd j0 e)( - 는 0x 에 작용하는 조화가진력이다. 굽힘방향 변

의 근거리성분을 무시하고 원거리성분만을 고려하면 다음과 같이 표 된

다.

( ) tjxjkxjkeeBeBw ff w

21 +=-

(4.16)

여기서 fk 은 굽힘방향 수를 나타낸다. 식 (4.15-4.16)으로부터 수와

의 달속도를 다음과 같이 표 할 수 있다.

214

j4

1

2

j ff

c

f kkeIE

sk -=÷

÷

ø

ö

çç

è

æ=

-fwr

(4.17)

136

4sec

4

12

1

f

r

ww÷÷

ø

ö

çç

è

æ==

s

IE

kc c

f

f (4.18)

여기서 hf =tan 이고 1fk 은 수 fk 의 실수부분이고 2fk 는 수 fk 의

허수부분이고 fc 은 의 달속도이다. 과 마찬가지로 식 (4.17-4.18)은

감쇠계수 가정 없이 구해졌으며, 보의 구조감쇠계수가 감쇠계수라면

구조감쇠계수의 고차항이 무시될 수 있기 때문에 수와 의 달속도는

다음과 같이 근사화된다.

21

4

12

j4

j1 fff kkEI

sk -=÷

ø

öçè

æ-÷÷

ø

öççè

æ=

hwr (4.19)

4

12

÷÷ø

öççè

æ=

s

EIc f

r

w (4.20)

여기서 1fk 은 수 fk 의 실수부분이고 2fk 는 수 fk 의 허수부분이다.

보의 시간 평균된 인텐시티와 에 지 도는 아래 식들과 같다.

137

úú

û

ù

êê

ë

é

ïþ

ïýü

ïî

ïíì

÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶

¶

¶-÷

ø

öçè

æ

¶

¶

¶

¶=

*2

2

2*

3

3

Re2

1

tx

w

x

w

t

w

x

wIEI cf

(4.21)

úú

û

ù

êê

ë

é÷ø

öçè

æ

¶

¶

¶

¶+÷÷

ø

öççè

æ

¶

¶

¶

¶=

**

2

2

2

2

Re4

1

t

w

t

wS

x

w

x

wIEe cf r (4.22)

식 (4.16)을 식(4.21-4.22)에 입한 뒤 장에 해 공간평균을 취하면 다음

과 같이 시공간 평균된 인텐시티와 에 지 도를 구할 수 있다.

( )( )xkxk

ffffffff BBkkkkkIEI 22 22

22

22

11221

221

31 ee2 bbh -+-=

- (4.23)

( )xkxk

c

fff BB

E

ESe 22 22

22

22

112 ee1

4

1bbwr +÷

÷

ø

ö

çç

è

æ+=

- (4.24)

여기서 21,bb 는 xkxk ff 22 22

e,e-

의 공간평균된 값을 나타내는 계수로써 다음

과 같이 표 된다.

138

4tan2

e1 4tan2

1 fp

b

fp

÷÷ø

öççè

æ-

=

-

,

4tan2

1e 4tan2

2 fp

b

fp

÷÷ø

öççè

æ-

= (4.25)

식 (4.23-4.24)로부터 굽힘방향으로 진동하는 보의 시공간 평균된 인텐시티

와 에 지 도의 계는 다음과 같이 표 된다.

f

c

f

f ex

E

Esc

EI

I¶

¶

÷÷

ø

ö

çç

è

æ+

÷ø

öçè

æ+-

-=

14

tan

4tan2

4tan12

2

2

rf

fh

fw

(4.26)

정상상태에서는 보의 워평형 계식은 워평형 계식이 검사체 에

해서 유도되기 때문에 식 (4.11)과 같다. 한 과 마찬가지로 보의 워

소실 계식은 식 (4.12)와 같다. 따라서 소실되는 워를 다음과 같이 시공

간 평균된 에 지 도를 이용하여 표 할 수 있다.

f

c

eEE

E÷÷

ø

ö

çç

è

æ

+=P hw2diss

(4.27)

139

식 (4.26-4.27)을 식 (4.11)에 입하여 정리하면 다음과 같이 감쇠계수가

큰 보의 워흐름지배방정식을 유도할 수 있다.

in2

2

2

2

2

14

tan

4tan2

4tan12

P=÷÷

ø

ö

çç

è

æ

++

¶

¶

÷÷

ø

ö

çç

è

æ+

÷ø

öçè

æ+-

- eEE

Ee

x

E

Esc

EI

c

c

hw

rf

fh

fw

(4.28)

4.1.3. 감쇠계수가 큰 과 보의 워흐름해석

그림 4.1은 한쪽이 고정지지되고 의 자유단에 입력되는 힘 F 에 의해

서 횡방향으로 진동하는 을 보여 다. 의 횡방향 진동에 한 워흐

름지배방정식은 식 (4.14)와 같으며 지배방정식의 일반해는 식 (4.29)와 같

다.

xx ll CCe ll ee 21 += - (4.29)

여기서 지수 ll 은 다음과 같다.

140

÷ø

öçè

æ+

=

2tan1

2tan2 2

fh

rwf

hl

c

l

E

(4.30)

식 (4.10)으로부터 횡방향으로 진동하는 의 인텐시티는 다음과 같다.

( )xxl

c

lll CC

E

E

E

I lll

rwf

fh

ee

12

tan

2tan1

21 -

÷÷

ø

ö

çç

è

æ+

÷ø

öçè

æ+

= -

(4.31)

고정지지된 곳에서 빠져나가는 인텐시티가 없으며 자유단에서는 워의

평형조건이 성립하기 때문에 다음과 같은 경계조건이 성립한다.

( ) 0=LI l (4.32)

( ) )( 0in0 xxxIl -P= d (4.33)

에 입력되는 워는 다음과 같이 표 된다.

141

( )÷÷

ø

ö

çç

è

æ÷ø

öçè

æ

¶

¶´=P

*

0tjin

),(eRe

2

1

t

txuF w

(4.34)

여기서 tu ¶¶ / 는 의 자유단에서의 속도를 의미한다. 식 (4.32-4.33)을 이

용하여 한쪽이 고정지지되고 한쪽은 자유단이며 횡방향으로 진동하는

의 에 지 도를 구할 수 있다.

그림 4.2는 길이가 L이며 양쪽이 단순지지되고 굽힘방향의 힘 F 가 0x

에 입력되는 보를 보여주며 가진력이 입력되는 지 을 기 으로 두 역으

로 나 수 있다. 보의 굽힘방향 진동에 한 워흐름지배방정식은 식

(4.28)과 같으며 지배방정식의 일반해는 다음과 같다.

x

i

x

ii

fff CCe

llee 21 +=

- (4.35)

여기서 지수 fl 은 아래와 같다.

÷ø

öçè

æ+-

=

4tan2

4tan1

4tan

2

2

fh

f

rf

hl

c

f

f

EI

sc (4.36)

142

여기서 첨자 i는 보의 i번째 역을 의미한다. 식 (4.26)으로부터 보의 인텐

시티는 다음과 같이 표 된다.

( )x

i

x

if

c

f

i

ff CC

E

Esc

EI

Ill

l

rf

fh

fw

ee

14

tan

4tan2

4tan12

21

2

2

-

÷÷

ø

ö

çç

è

æ+

÷ø

öçè

æ+-

=- (4.37)

단순지지된 경계에서 빠져나가는 인텐시티가 없으므로 경계에서는 다

음과 같은 인텐시티 경계조건이 성립한다.

( ) 001

=fI , ( ) 02

=LI f (4.38)

역 ①과 ②의 경계에서 에 지 도가 연속이고 워의 평형조건이 만족

하므로 다음과 같은 경계조건이 성립한다.

( ) ( )02

01

xexe ff = (4.39)

143

( ) ( ) )( 0in01

02

xxxIxI ff -P-= d (4.40)

보에 입력되는 워는 다음과 같이 표 된다.

( )÷÷

ø

ö

çç

è

æ÷ø

öçè

æ

¶

¶´=P

*

0tjin

),(eRe

2

1

t

txwF w

(4.41)

여기서 tw ¶¶ / 는 가진력이 입력되는 지 에서의 보의 속도를 의미한다. 식

(4.38-4.40)을 이용하면 양쪽이 단순지지되고 굽힘방향으로 진동하는 보의

에 지 도를 구할 수 있다.

그림 4.3은 양쪽경계가 단순지지되고 굽힘방향의 힘 F 가 0x 에 입력되

는 연성보를 보여 다. 연성보는 그림 4.3과 같이 3 역으로 나 수 있으

며 L 은 보의 총 길이이고 1L 은 보 1의 길이이고 q 는 보의 연결부의 각

도이다. 보의 연결부에서는 에 지 도가 불연속이며 연결부에서 횡 가

발생하기 때문에 굽힘 뿐만 아니라 횡 에 해서도 고려해야 한다. 식

(4.14,4.28)로부터 보의 횡방향 에 지 도와 굽힘방향 에 지 도를 다음과

같이 표 할 수 있다.

144

xai

xai

ia

aa DCe ll ee += - (4.42)

여기서 첨자 i는 연성보의 i번째 역을 가리키고 a 는 횡 ( )l 와 굽힘

( )f 를 의미한다. 식 (4.10,4.26,4.42)를 이용하여 횡 의 인텐시티와 굽힘

의 인텐시티를 구할 수 있다.

식 (4.42)의 미지수를 구하기 해서는 에 지 도와 인텐시티 경계조건

이 필요한데 이 의 경우와 마찬가지로 연성보의 단순지지된 경계에서 빠

져나가는 인텐시티는 없기 때문에 다음과 같은 인텐시티 경계조건이 성립

한다.

( ) 001

=aI , ( ) 03

=LI a (4.43)

역 ①과 ②의 경계에서는 워의 평형조건이 만족하고 에 지 도가 연

속이므로 다음의 경계조건이 성립한다.

( ) ( )02

01

xexe aa = , ( ) ( )02

01

xIxI ll = (4.44)

145

( ) ( ) )( 0in01

02

xxxIxI ff -P-= d (4.45)

연성보의 연결부에서는 투과 와 반사 가 발생하는데, Langley (1990)가 제

안한 동 달법으로부터 워투과반사계수를 구할 수 있다. 동 달법에

서는 구조물을 반무한 구조물로 가정하고 반무한 구조물의 변 해를 이용

하여 입사 비 투과 와 반사 의 비를 나타내는 워투과반사계수를 계

산한다. 워투과반사계수를 이용하여 연성보의 연결부에서의 인텐시티 경

계조건을 아래와 같이 표 할 수 있다.

( ) ( ) ( )å=

-+-

úûù

êëé +=

lfaaabaabb LILILI

,1

3321

2221

2tg (4.46)

( ) ( ) ( )å=

-++

úûù

êëé +=

lfaaabaabb LILILI

,1

3331

2231

3gt (4.47)

여기서 첨자 ( )± 는 x± 방향으로 진행하는 를 의미하고 첨자 a 와 b 는

의 종류를 나타낸다. abpqt ( )3,2,;,, == qplfba 는 p 역에서의 a 종류

임사 로 인해 발생하는 q 역의 b 종류 투과 에 한 워투과계수를

의미하고 abpqg 는 p 역에서의 a 종류 입사 로 인해 발생하는 q 역의

146

b 종류 투과 에 한 워반사계수를 의미한다. 식 (4.43-4.47)을 이용하면

연성보의 에 지 도를 계산할 수 있다.

4.1.4. 감쇠계수가 큰 과 보의 엄 해

그림 4.1과 같이 한쪽이 고정지지되고 의 자유단에 힘 F 가 입력될 때,

의 횡방향 운동지배방정식은 식 (4.1)과 같고 횡방향 변 는 식 (4.2)와

같으며 아래와 같은 경계조건이 성립한다.

0)( =Lu (4.48)

Fx

uSEc =

¶

¶ )0( (4.49)

여기서 L은 의 길이이다. 식 (4.48-4.49)를 이용하여 의 횡방향 변 를

구할 수 있으며, 식(4.5-4.6)으로부터 의 횡방향에 한 엄 해의 에 지

도와 인텐시티를 계산할 수 있다.

그림 4.2와 같이 길이가 L이며 양쪽이 단순지지되고 힘 F 가 0x 에

147

입력될 때, 보의 굽힘방향 운동지배방정식은 식 (4.15)와 같고 굽힘방향 변

는 식 (4.50)과 같다.

( ) txkxkxkxk ffff BBBBw wj43

j

2

j

1 eeeee +++=--

(4.50)

가진력이 입력되는 지 을 기 으로 두 역으로 나 고 각 역을 i로 표

하면 단순지지된 보의 양끝 단에서의 경계조건은 아래와 같다.

0)0(1 =w , 0)(2 =Lw (4.51)

( )

00

21

2

=¶

¶

x

w,

( )0

22

2

=¶

¶

x

Lw (4.52)

평 ①과 ②의 경계에서는 변 기울기가 연속이며 모멘트와 단력이

평형을 이루므로 아래와 같은 경계조건이 성립한다.

( ) ( )0201 xwxw = (4.53)

( ) ( )x

xw

x

xw

¶

¶=

¶

¶ 0201

(4.54)

148

( ) ( )0201 xMxM = (4.55)

)()( 0201 xVFxV =- (4.56)

보에 작용하는 모멘트와 단력은 아래와 같이 정의된다.

2

2

)1(x

wIjEM i

iii¶

¶+= h ,

2

2

)j1(x

wIEV i

iii¶

¶+-=

(4.57)

식 (4.51-4.56)을 이용하여 보의 굽힘방향 변 를 구할 수 있으며, 식(4.21-

4.22)로부터 보의 굽힘방향에 한 엄 해의 에 지 도와 인텐시티를 구할

수 있다.

그림 4.3과 같이 연성보에 굽힘방향 가진력이 입력되는 경우에는 보의

굽힘방향 변 와 함께 횡방향 변 도 발생하며, i번째 보의 횡방향 변 는

식 (4.2)의 형태로 나타낼 수 있고 굽힘방향 변 는 식 (4.50)과 같은 형태

로 표 된다.

양끝 단이 단순지지된 연성보에 합한 경계조건을 용하면 보의 굽힘

방향 변 와 횡방향 변 를 계산할 수 있다. 양끝 단에서는 아래와 같은

149

경계조건이 성립한다.

0)0(1 =w , 0)(3 =Lw (4.58)

( )

00

2

2

=¶

¶

x

w,

( )0

2

2

=¶

¶

x

Lw (4.59)

0)0(1 =u , 0)(3 =Lu (4.60)

보 ①과 ②의 경계에서는 변 , 기울기가 연속이며 경계에서 작용하는 힘

과 모멘트가 평형을 이루므로 아래와 같은 경계조건이 성립한다.

( ) ( )0201 xwxw = (4.61)

( ) ( )x

xw

x

xw

¶

¶=

¶

¶ 0201 (4.62)

( ) ( )0201 xMxM = (4.63)

)()( 0201 xVFxV =- (4.64)

( ) ( )0201 xuxu = (4.65)

( ) ( )0201 xFxF = (4.66)

150

보 ②와 ③의 경계에서는 아래와 같은 경계조건이 성립한다.

( ) ( )1312 LwLw = (4.67)

( ) ( )x

Lw

x

Lw

¶

¶=

¶

¶ 1312 (4.68)

( ) ( )1312 LMLM = (4.69)

0sin)(cos)()( 131312 =-+- qq LVLFLF (4.70)

0sin)(cos)()( 131312 =++- qq LFLVLV (4.71)

( ) ( )1312 LuLu = (4.72)

보의 횡방향으로 작용하는 힘으로 아래와 같이 정의된다.

x

uSEF i

iii¶

¶+= )j1( h (4.73)

식 (4.58-4.72)를 이용하여 연성보의 굽힘방향 횡방향 변 를 구할 수 있

으며, 식(4.5-4.6,4.21-4.22)로부터 연성보의 굽힘방향 횡방향에 한 엄

해의 에 지 도와 인텐시티를 구할 수 있다.

151

4.1.5. 감쇠계수가 큰 과 보의 워흐름해석

그림 4.1과 같이 한쪽이 고정지지되고 의 자유단에 입력되는 힘 F 에

의해서 횡방향으로 진동하는 이 해석모델이다. 의 길이와 면 은 각각

m5.1=L , 23 m5.2 -=S 이며 의 물성치는 고감쇠 물질인 고무 ( ´= 3.2E

)1100,109 =sr 와 같으며 의 감쇠계수는 5.0=h 이며 자유단에 입력되는

힘의 크기는 N1 이다.

그림 4.4-4.5는 주 수 1kHz에서의 에 지 도와 인텐시티를 보여 다.

해석결과를 살펴보면 새롭게 유도한 워흐름해석법의 결과가 감쇠효과를

무시한 기존의 워흐름해석법의 결과보다 엄 해와 더 유사한 것을 확인

할 수 있다. 한 새롭게 유도한 워흐름해석법의 에 지 도가 기존의

워흐름해석법의 에 지 도보다 높을 것을 볼 수 있는데 이는 감쇠효과

를 고려한 워흐름해석법의 에 지 도가 더 쉽게 달되기 때문이다. 이

러한 상이 발생하는 이유는 에 지 달속도의 차이를 통해 확인할 수

있으며 각 해석모델에 한 에 지 달속도는 아래와 같이 표 된다.

152

2ces

2

1

1

f

r

w÷÷ø

öççè

æ=

¶

¶= c

gd

E

kc (4.74)

2

1

1÷÷ø

öççè

æ=

¶

¶=

r

w E

kcgt

(4.75)

여기서 gdc 는 새롭게 유도한 워흐름해석법의 에 지 달속도이고 gtc 는

기존 워흐름해석법의 에 지 달속도이다. 횡 는 주 수에 독립 인 비

분산 이며 각각의 에 지 달속도는 =gdc 1571m/s, =gtc 1446m/s이다. 새롭

게 유도한 워흐름해석법의 에 지 달속도가 기존의 에 지 달속도보다

더 빠르기 때문에 에 지 달이 잘 되고 결과 으로 높은 에 지 도를 보

여주게 된다.

그림 4.6은 500Hz와 2kHz에서의 에 지 도분포를 보여주는데 새롭게

유도한 워흐름해석법의 결과가 기존의 워흐름해석법의 결과보다 더 정

확한 것을 각 주 수 역에서 확인할 수 있으며 해석주 수가 높아질수록

워흐름해석법의 해석결과가 엄 해에 더 가까워지는 것을 볼 수 있다.

의 에 지 달속도는 주 수 독립 이지만 유한구조물에서의 진행 만을

고려하여 워흐름지배방정식을 유도하 기 때문에 2kHz에서의 워흐름

153

해석법의 결과가 500Hz에서의 워흐름해석법의 결과보다 더 정확하다. 그

림 4.7은 3/2Lx = 에서 여러 주 수에 한 에 지 도를 보여주며 새롭

게 유도한 워흐름해석법의 결과가 기존 워흐름해석법의 결과보다 엄

해와 더 유사한 것을 확인할 수 있다. 엄 해의 에 지 도는 공간평균을

취하지 않고 계산하고 고주 수 역에서는 장이 짧기 때문에 워흐름해

석법이 고주 수 역에서 정확한 해석결과를 다. 그림 4.8에서는 구조감

쇠계수가 01.0=h 일 때 1kHz에 한 에 지 도를 보여 다. 감쇠계수가

감쇠계수 가정을 용할 수 있을 만큼 충분히 작을 경우에는 새롭게 유

도한 워흐름해석법의 결과와 기존 워흐름해석법의 결과가 거의 유사한

것을 볼 수 있다.

다음 해석모델은 그림 4.2와 같이 양쪽이 단순지지되고 보의 가운데에

N1 의 힘이 입력되어 굽힘방향으로 진동하는 보이다. 보의 길이, 면 , 면

성모멘트는 각각 m1=L , 24 m10-=S ,

410m1033.8 -´=I 이고 보의

물 성치는 고감쇠 물질인 고무 ( )1100,103.2 9 =´= sE r 와 같으며 보의

감쇠계 수는 5.0=h 이다.

그림 4.9-4.10은 주 수 1kHz에서의 에 지 도와 인텐시티를 보여 다.

근거리성분을 무시하 기 때문에 가진력이 입력되는 지 근처에서 워흐

154

름해석법의 결과가 엄 해와 약간의 차이를 보이지만 새롭게 유도한 워

흐름해석법의 결과가 엄 해의 경향을 체 으로 잘 반 해주는 것을 확

인할 수 있다. 한 감쇠계수가 큰 구조물에 해서 해석한 만큼 새롭게

유도한 워흐름해석법의 결과가 기존 워흐름해석법의 결과보다 정확한

결과를 보여주며 과 마찬가지로 새롭게 유도한 워흐름해석법의 에 지

도가 더 높은 것을 알 수 있다. 각 해석모델에 한 에 지 달속도는

다음과 같다.

2ces2

2

12

1

f

r

ww÷÷

ø

ö

çç

è

æ=

¶

¶=

s

IE

kc c

gd (4.76)

2

12

1

2 ÷÷ø

öççè

æ=

¶

¶=

s

EI

kcgt

r

ww (4.77)

여기서 gdc 는 새롭게 유도한 워흐름해석법의 에 지 달속도이고 gtc 는

기존 워흐름해석법의 에 지 달속도이다. 그림 4.11은 각 해석모델의

에 지 달속도를 보여주며 새롭게 유도한 워흐름해석법의 에 지 달속

도가 기존 워흐름해석법의 에 지 달속도보다 빠른 것을 알 수 있다.

155

때문에 새롭게 유도한 워흐름헤석법의 경우 에 지 달이 잘되기 때문에

높은 에 지 도를 보여주게 된다.

그림 4.12는 500Hz와 2kHz에서의 에 지 도분포를 보여주는데 새롭게

유도한 워흐름해석법이 기존 워흐름해석법보다 더 정확한 결과를 주며

해석결과가 엄 해의 경향을 잘 반 하는 것을 확인할 수 있다. 과 마찬

가지로 해석주 수가 높아질수록 워흐름해석법의 정확도가 더 높아지는

데 이는 워흐름지배방정식을 유도하기 해 근거리성분을 무시하 고 진

행 를 사용하 는데 이러한 가정이 고주 수 역에서 타당하기 때문이다.

4/3Lx = 에서 다양한 주 수 역에서의 에 지 도가 그림 4.13에 나타나

있으며 이 의 경우와 마찬가지로 여러 주 수 역에 걸쳐서 새롭게 유도

한 워흐름해석법의 결과가 기존 워흐름해석법의 결과보다 엄 해와 더

비슷한 것을 알 수 있다. 그림 4.14는 구조감쇠계수가 01.0=h 일 때 1kHz

에 한 보의 에 지 도를 보여 다. 감쇠계수가 충분히 작을 경우에는

새롭게 유도한 워흐름해석법의 결과가 기존 워흐름해석법의 결과와 흡

사한 것을 확인할 수 있다.

마지막 해석모델은 그림 4.3과 같이 양쪽이 단순지지되어 있는 연성보이

다. 연성보의 길이, 면 , 면 성모멘트는 각각 m2=L , m0.11 =L , =S

156

24 m10-,

410m1033.8 -´=I 이고 감쇠계수는 5.0=h 이다. 보의 물성치는

고무 ( )1100,103.2 9 =´= sE r 와 같으며 연성각도는 o45=q 이다. 조화가진

력은 보 1의 간에 입력되며 그 크기는 N10 이다.

그림 4.15-4.16은 주 수 1kHz에서의 에 지 도와 인텐시티를 보여 다.

새롭게 유도한 워흐름해석법의 결과는 엄 해의 경향을 잘 반 하고 있

으며 기존 워흐름해석법의 결과보다 더 정확한 것을 알 수 있다. 굽힘

의 경우 워흐름해석법의 결과와 엄 해의 결과가 가진력이 입력되는 지

근처에서 약간 차이가 있으며 이는 원거리성분만을 이용하여 워흐름지

배방정식을 유도하 기 때문이다. 새롭게 유도한 워흐름해석법의 에 지

달속도가 더 빠르기 때문에 새롭게 유도한 워흐름해석법의 에 지 도

가 기존결과보다 더 쉽게 달된다.

그림 4.17-18은 500Hz와 2kHz에서의 에 지 도분포를 보여주는데 각 주

수 역에서 새롭게 유도한 워흐름해석법의 결과가 기존의 워흐름해

석법의 결과보다 더 정확한 것을 알 수 있다. 근거리성분을 무시한 진행

만을 고려하여 굽힘 의 워흐름지배방정식을 유도하 기 때문에

2kHz에서의 결과가 500Hz에서의 결과보다 더 정확하다. 그림 4.19에는 구

조감쇠 계수가 01.0=h 일 때의 해석결과를 보여주며 이 의 해석결과들과

157

마찬가지로 구조감쇠계수가 작은 경우에는 새롭게 유도한 워흐름해석법

의 결과와 기존 워흐름해석법의 결과차이는 거의 없는 것을 알 수 있다.

감쇠계수가 큰 과 보에 해서 다양한 워흐름해석을 수행하 다. 새

롭게 유도한 워흐름해석법의 결과와 엄 해로부터 얻은 에 지 도를 비

교하 으며, 새롭게 유도한 워흐름해석법의 결과가 엄 해의 경향을

체 으로 반 하는 것을 확인함으로써 새롭게 유도한 워흐름해석법의 신

뢰성을 검증하 다. 한 감쇠계수가 큰 1차원 구조물에 해 새롭게 유도

한 워흐름해석법이 기존 워흐름해석법보다 더 정확한 결과를 주는 것

을 확인하 다.

158

Fig. 4.1. Free clamped, longitudinally vibrating rod.

Fig. 4.2. Simply supported, transversely vibrating beam.

159

Fig. 4.3. Simply supported, transversely vibrating coupled beam.

160

Fig. 4.4. Energy density distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod when

=f 1kHz.

161

Fig. 4.5. Intensity distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod when =f

1kHz.

162

(a)

(b)

Fig. 4.6. Energy density distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod: (a)

=f 500Hz, (b) =f 2kHz.

163

Fig. 4.7. Energy densities of the free clamped, longitudinally vibrating rod at 3/2Lx = for

various analysis frequencies.

164

Fig. 4.8. Energy density distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod when

=f 1kHz and =h 0.01.

165


when =f 1kHz.

166

Fig. 4.10. Intensity distributions of the simply supported, transversely vibrating beam when

=f 1kHz.

167

Fig. 4.11. Group velocities of the simply supported, transversely vibrating beam.

168

(a)

(b)

Fig. 4.12. Energy density distributions of the simply supported, transversely vibrating beam: (a)

=f 500Hz, (b) =f 2kHz.

169

Fig. 4.13. Energy densities of the simply supported, transversely vibrating beam at 4/3Lx =

for various analysis frequencies.

170


when =f 1kHz and =h 0.01.

171

(a)

(b)

Fig. 4.15. Energy density distributions of the simply supported, transversely vibrating, and

coupled beam when =f 1kHz: (a) flexural energy density, (b) longitudinal energy

density.

172

(a)

(b)

Fig. 4.16. Intensity distributions of the simply supported, transversely vibrating, and coupled

beam when =f 1kHz: (a) flexural intensity, (b) longitudinal intensity.

173

(a)

(b)


coupled beam when =f 500Hz: (a) flexural energy density, (b) longitudinal energy

density.

174

(a)

(b)


coupled beam when =f 2kHz: (a) flexural energy density, (b) longitudinal energy

density.

175

(a)

(b)


coupled beam when =f 1kHz and =h 0.01: (a) flexural energy density, (b)

longitudinal energy density.

176

4.2. 단변형효과를 고려한 Rayleigh-Love Rayleigh-Bishop

의 워흐름해석법

4.2.1. Rayleigh-Love Rayleigh-Bishop 의 운동지배방정식

Rayleigh-Love 이론에서는 마운트와 같이 단면 이 큰 구조물과 고주

수 역에서 요한 단변형을 고려하지만 변형에 지에서의 단강성은

고려하지 않는다. 의 단면이 zy, 축에 있다고 할 때 의 변 장은 다음


x

txuzw

x

txuyvtxuu

¶

¶-=

¶

¶-==

),(,

),(),,( nn (4.78)

여기서 u 는 횡방향 변 이고 v , w 는 단변 이고 n 는 아송비이다.

Rayleigh-Love 에서 운동에 지는 다음과 같다.

òúú

û

ù

êê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶+÷

ø

öçè

æ

¶

¶=

L

p xtx

uI

t

uS

0

222

2

d2

1K rnr (4.79)

177

여기서 L 은 의 길이이고 r , S 는 각각 의 도와 단면 이며 pI 는

단면의 극 성모멘트(polar moment of the inertia)이다. 만약 보의 단면이 일정

하다면 2/4rI p p= 로 정의되며 여기서 r 은 보의 반지름이다. 단강성을

무시하 기 때문에 Rayleigh-Love 의 포텐셜에 지는 고 이론의 포

텐셜에 지와 같으며 다음과 같이 표 된다.

ò ÷ø

öçè

æ

¶

¶=

L

xx

uES

0

2

d2

1U (4.80)

여기서 E 는 률이다. 포텐셜에 지와 운동에 지에 Hamilton의 변분원리

를 용하면 다음과 같이 Rayleigh-Love 의 운동지배방정식과 경계조건

을 얻을 수 있다.

02

2

2

2

22

42 =

¶

¶-

¶

¶+

¶¶

¶

t

uS

x

uES

tx

uI p rrn (4.81)

00

2

32 =÷÷

ø

öççè

æ

¶¶

¶+

¶

¶L

p utx

uI

x

uES drn (4.82)

178

여기서 ( ) ( ) 0//0

232 =¶¶¶+¶¶L

p txuIxuES rn 는 자유단에서의 운동경계조건

이고 00=

Lu 는 고정지지된 경계에서의 변 경계조건이다.

Rayleigh-Love 이론과는 달리 Rayleigh-Bishop 이론에서는 단 성

뿐만 아니라 단강성도 함께 고려한다. Rayleigh-Bishop 이론에서 변

장은 식 (4.78)과 같이 표 되며 Hooke의 법칙으로부터 의 단면에 작용하

는 응력은 다음과 같이 표 된다.

2

2

2

2

,,x

uGz

x

uGy

x

uE zxxyxx

¶

¶-=

¶

¶-=

¶

¶= nsnss (4.83)

여기서 ( )[ ]n+= 12/EG 는 의 단변형률이다.

응력과 변형률로부터 Rayleigh-Bishop 의 포텐셜에 지는 다음과 같이

표 된다.

òúú

û

ù

êê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+÷

ø

öçè

æ

¶

¶=

L

p xx

uGI

x

uES

0

2

2

22

2

d2

1U n (4.84)

179

한 Rayleigh-Bishop 의 운동에 지는 식 (4.79)와 같다. 마찬가지로 식

(4.79,4.84)와 Hamilton의 변분원리를 이용하면 다음과 같이 Rayleigh-Bishop

의 운동지배방정식과 경계조건을 얻을 수 있다.

02

2

2

2

22

42

4

42 =

¶

¶+

¶

¶-

¶¶

¶-

¶

¶

t

uS

x

uES

tx

uI

x

uGI pp rrnn (4.85)

00

2

22

0

3

32

2

32 =÷

ø

öçè

æ

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶+÷÷

ø

öççè

æ

¶

¶-

¶¶

¶+

¶

¶L

p

L

ppx

u

x

uGIu

x

uGI

tx

uI

x

uES dndnrn (4.86)

여기서 00=

Lu , 0/

0=¶¶

Lxu 고정지지된 경계에서의 변 경계조건이고

( ) ( ) ( ) 0///0

332232 =¶¶-¶¶¶+¶¶L

pp xuGItxuIxuES nrn 와 0/0

22 =¶¶L

xu 는

자유단에서의 운동경계조건이다.

조화진동에 한 식 (4.81,4.85)의 일반해는 다음과 같다.

txkb

txkl

bl BuAu ww jjjj e,e ++ == (4.87)

여기서 ,lu bu 는 각각 Rayleigh-Love 과 Rayleigh-Bishop 의 변 이고

,lk bk 는 각각 수이다. 식 (4.87)을 식 (4.81,4.85)에 입하면 수는 다음

180


22

2

wrn

wr

p

lIES

Sk

-±= (4.88)

( )p

ppp

bGI

SGIIESESIk

2

2222222

2

4

n

wrnwrnwrn +-±-±= (4.89)

식 (4.88)에서 lk 이 실수인지 허수인지 여부를 결정하는 주 수를 임계주

수(critical frequency)라하며 plclc IESf 2/2 rnpw == 이고 lk 은 임계주

수 lcw 에서 발산하게 된다. 만약 단변형효과를 무시할 수 있다면 ( 0=n

는 0=pI ) lk 은 고 이론의 수와 같다. 한편 bk 를 다음과 같이 구

분할 수 있다.

( )

p

ppp

bfGI

SGIIESESIk

2

2222222

2

4

n

wrnwrnwrn +-+-±= (4.90)

( )p

ppp

bnGI

SGIIESESIk

2

2222222

2

4

n

wrnwrnwrn +---±= (4.91)

181

bfk 는 항상 실수이며 bnk 은 항상 허수이기 때문에 bfk 는 원거리성분을

표하며 bnk 은 근거리성분을 표한다. 단 성만 고려한 Rayleigh-Love

과는 달리 Rayleigh-Bishop 은 단 성과 단강성을 모두 고려하 기

때문에 발산하는 값을 가지지 않고 한 임계주 수 이상의 주 수 역에

서도 유용하게 사용될 수 있다. Rayleigh-Bishop 에서 단강성을 고려하

지 않는다면( )0=G 식 (4.85)는 식 (4.81)과 같으며 lb kk = 이다.

그림 4.20은 철로 된 ( )kHz7.20,2.0 == lcfr 의 수를 다양한 주 수

역에 해서 보여 다. 고 이론에서 횡 는 비분산 이지만 단변

형 효과를 고려한 이론에서는 횡 가 분산 의 특성을 가지는 것을 볼

수 있다. 주 수가 증가할수록 단변형효과가 증가하는 것을 볼 수 있으

며 특히 고주 수 역에서 단변형의 향이 상당히 큰 것을 확인할 수

있다. 한 lk 은 lcf 근처에서 발산하고 lcff ³ 의 역에서는 순허수가 된

다. 그림 4.21은 철로 된 에 해 25kHz에서의 다양한 반지름에 한

수를 보여 다. 반지름이 165.0=r 일때 임계주 수는 25=lcf kHz이므로

lk 이 165.0=r 근처에서 발산하며 이를 통해 단변형효과가 고주 수

역에서뿐만 아니라 반지름이 큰 에서도 요하다는 것을 알 수 있다.

182

4.2.2. Rayleigh-Love Rayleigh-Bishop 의 워흐름지배방정식

Rayleigh-Love 과 Rayleigh-Bishop 의 워흐름지배방정식을 유도하기

해 기존 모델들의 워흐름지배방정식을 유도하기 해 사용한 가정들

을 용한다. 다만 Rayleigh-Love 과 Rayleigh-Bishop 의 워흐름지배

방정식은 4.1 의 고감쇠 보와 같이 감쇠계수 가정은 사용되지 않

았다. 임계주 수 이상의 주 수 역에서 Rayleigh-Love 의 변 는 모두

근거리성분으로 표 되기 때문에 Rayleigh-Love 의 워흐름지배방정식

은 임계주 수 이하의 역에서 유효하다. 한 Rayleigh-Bishop 의 경우

1차원 구조물의 횡방향 변 임에도 불구하고 변 해는 근거리성분과 원거

리성분으로 구성되는데 여기서는 변 해의 원거리성분만을 사용한다.

식 (4.87)로부터 구조감쇠를 고려한 Rayleigh-Love 의 변 에 한 일반

해는 다음과 같이 표 된다.

( ) txkxkl

lclc AAu wjj2

j1 eee -+= (4.92)

여기서 복소 수 lck 는 다음과 같이 표 된다.

183

( ) 2122

2

jj1

ll

p

lc kkISE

Sk +=

-+=

wrnh

wr (4.93)

여기서 1lk 은 lck 의 실수부분이고 2lk 는 lck 의 허수부분이고 h 는 의 구

조감쇠계수이다. 횡방향으로 진동하는 의 인텐시티는 다음과 같이 정의

된다.

úû

ùêë

é

¶

¶+

¶

¶+

¶

¶-=

t

w

t

v

t

uI zxxyxx sss (4.94)

이로부터 시간 평균된 인텐시티를 다음과 같이 표 할 수 있다.

( )úúû

ù

êêë

é÷ø

öçè

æ

¶

¶÷ø

öçè

æ

¶

¶+-=

*

j1Re2

1

t

u

x

uSEI ll

l h (4.95)

식 (4.95)는 고 의 인텐시티와 같은데 이는 Rayleigh-Love 에서는

단 성만을 고려하고 단강성은 무시하 기 때문이다. 식 (4.79-4.80)으로

부터 시간 평균된 에 지 도를 다음과 같이 얻을 수 있다.

184

( )úú

û

ù

êê

ë

é÷ø

öçè

æ

¶

¶÷ø

öçè

æ

¶

¶+÷÷

ø

öççè

æ

¶¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶+÷

ø

öçè

æ

¶

¶÷ø

öçè

æ

¶

¶+=

**222

*

j1Re4

1

t

u

t

uS

tx

u

tx

uI

x

u

x

uSEe llll

pll

l rrnh

(4.96)

식 (4.92)를 식(4.95-4.96)에 입하여 정리한 뒤 반 장에 하여 공간평균

을 취하면 다음과 같이 시공간 평균된 인텐시티와 에 지 도를 얻을 수

있다.

( )xkxkll

ll aAaAkESI 22 22

2

22

1

2

11 ee2

1 --= w (4.97)

( ) ( )[ ]( )xkxkllplll

ll aAaASkkIkkESe 22 22

2

22

1

2

122

221

2222

21 ee

4

1 -+++++= wrwrn

(4.98)

여기서 21,aa 는 xkxk ll ee 22 22 , -의 공간 평균된 값을 나타내는 계수로써 다음


185

úúû

ù

êêë

é-= 1e

21

22

2

11

l

l

k

k

l

l

k

ka

p

p,

úúû

ù

êêë

é-=

-1

22

2

12 e1

2l

l

k

k

l

l

k

ka

p

p (4.99)

식 (4.97-4.98)로부터 다음과 같이 인텐시티와 에 지 도의 계를 나타내

는 에 지 달 계식을 얻을 수 있다.

( ) ( )[ ] x

e

SkkIkkESk

kESI

l

llplll

ll

¶

¶

++++=

222

21

2222

212

1

wrwrn

w (4.100)

Rayleigh-Love 의 경우 정상상태의 탄성체이므로 식 (4.11)의 워평형

계식을 그 로 용할 수 있으며, 마찬가지로 이력감쇠를 고려하기 때문

에 식 (4.12)의 워소실 계식을 사용할 수 있다. 식 (4.12,4.80,4.98)로부터

워소실 계식은 다음과 같이 표 된다.

( )( ) ( )[ ] l

llpll

ll eSkkIkkES

kkES22

221

2222

21

22

21

diss

2

wrwrn

hw

++++

+=P (4.101)

186

식 (4.100-4.101)을 식 (4.11)에 입하여 정리하면 Rayleigh-Love 에

한 워흐름지배방정식을 다음과 같이 유도할 수 있다.

( )in

22

21

2

2

2

1 2P=

++

¶

¶l

lll

l

l ekkES

x

e

k

kES

a

hw

a

w (4.102)

여기서 ( ) ( ) 222

21

2222

21 wrwrna SkkIkkES llpll ++++= 이다.

구조감쇠를 고려하 을 경우 Rayleigh-Bishop 의 원거리성분만을 고려

한 변 해는 다음과 같다.

( ) txkxkb

bcbc BBu wjj2

j1 eee -+= (4.103)

여기서 복소 수 bck 는 다음과 같이 표 된다.

( ) ( )( ) ( )( ) 212

2222222

jj12

j14j1j1bb

p

ppp

bc kkIG

SIGISESEIk +=

+

++-+++-=

hn

wrhnwrnhhwrn

(4.104)

187

여기서 1bk 은 bck 의 실수부분이고 2bk 는 bck 의 허수부분이다. 식 (4.8

3,4.94) 로부터 시간 평균된 인텐시티를 다음과 같이 표 할 수 있다.

( ) ( )úú

û

ù

êê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶++÷

ø

öçè

æ

¶

¶÷ø

öçè

æ

¶

¶+-=

*2

2

22

*

j1j1Re2

1

tx

u

x

uIG

t

u

x

uSEI bb

pbb

b hnh (4.105)

식 (4.79,4.84)로부터 시간 평균된 에 지 도를 다음과 같이 얻을 수 있다.

( ) ( )

úú

û

ù÷ø

öçè

æ

¶

¶÷ø

öçè

æ

¶

¶+÷÷

ø

öççè

æ

¶¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶+

êê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ

¶

¶÷÷ø

öççè

æ

¶

¶++÷

ø

öçè

æ

¶

¶÷ø

öçè

æ

¶

¶+=

**222

*

2

2

2

22

*

j1j1Re4

1

t

u

t

uS

tx

u

tx

uI

x

u

x

uIG

x

u

x

uSEe

bbbbp

bbp

bbb

rrn

hnh

(4.106)

식 (4.103)을 식(4.105-4.106)에 입하여 정리한 뒤 반 장에 하여 공간

평균을 취하면 다음과 같이 시공간 평균된 인텐시티와 에 지 도를 얻을

수 있다.

188

( )[ ]( )xkxkbbpbb

bb bBbBkkGIESkI 22 22

2

22

1

2

122

21

21 ee

2

1 --++= nw (4.107)

( ) ( ) ( )[ ]( )xkxk

bbpbbpbbb

bb bBbB

SkkIkkGIkkESe

22 22

2

22

1

2

1

222

21

22222

21

222

21

ee

4

1

-+

++++++= wrwrnn (4.108)

여기서 21,bb 는 xkxk bb ee 22 22 , -의 공간 평균된 값을 나타내는 계수로써 다음


úúû

ù

êêë

é-= 1e

21

22

2

11

b

b

k

k

b

b

k

kb

p

p,

úúû

ù

êêë

é-=

-1

22

2

12 e1

2b

b

k

k

b

b

k

kb

p

p (4.109)

식 (4.107-4.108)로부터 다음과 같이 인텐시티와 에 지 도의 계를 나타

내는 에 지 달 계식을 얻을 수 있다.

( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] x

e

SkkIkkGIkkESk

kkGIESkI

b

bbpbbpbbb

bbpbb

¶

¶

++++++

++=

222

21

22222

21

222

212

22

21

21

wrwrnn

nw

(4.110)

189

Rayleigh-Bishop 한 Rayleigh-Love 과 마찬가지로 식 (4.11)의 워

평형 계식과 식 (4.12)의 워소실 계식을 용할 수 있다. 식 (4.12,4.84,

4.108)로부터 워소실 계식은 다음과 같이 표 된다.

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] b

bbpbbpbb

bbpbb eSkkIkkGIkkES

kkGIkkES

222

21

22222

21

222

21

222

21

222

21

diss

2

wrwrnn

nhw

++++++

+++=P (4.111)

식 (4.110-4.111)을 식 (4.11)에 입하여 정리하면 Rayleigh-Bishop 에

한 워흐름지배방정식을 다음과 같이 유도할 수 있다.

( )in

22

21

2

2

2

1 2P=

++

¶

¶l

bbb

b

b ekk

x

e

k

k

b

ghw

b

gw (4.112)

여기서 계수 ( ) ( ) ( ) 222

21

22222

21

222

21 wrwrnnb SkkIkkGIkkES bbpbbpbb ++++++= 이고

계수 ( )22

21

2bbp kkGIES ++= ng 이다.

190

4.2.3. Rayleigh-Love Rayleigh-Bishop 의 워흐름해석

그림 4.1은 한쪽이 고정지지되고 의 자유단에 입력되는 힘 F 에 의해

서 횡방향으로 진동하는 을 보여 다. Rayleigh-Love 과 Rayleigh-Bishop

의 워흐름지배방정식을 나타내는 식 (4.102,4.112)의 일반해를 다음과

같이 나타낼 수 있다.

xa

xaa

aa CCe ll ee 21 += - (4.113)

여기서 지수 al 는 다음과 같다.

( )1

22

2122

a

aaaa

k

kkk +-=

hl (4.114)

여기서 a 는 Rayleigh-Love ( )l 과 Rayleigh-Bishop ( )f 을 의미한다. 식

(4.100,4.110,4.113)으로부터 시공간 평균된 Rayleigh-Love 과 Rayleigh-

Bishop 의 인텐시티는 다음과 같이 표 된다.

191

( )( ) ( )[ ]

( )xl

xl

llplll

llll

ll CCSkkIkkESk

kkkESI ll

wrwrn

hwee

22122

221

2222

212

22

211 -

++++

+--= - (4.115)

( )[ ] ( )( )( ) ( ) ( )[ ]22

221

22222

21

222

212

2122

211

22

21

2 ee2

wrwrnn

hnw ll

SkkIkkGIkkESk

CCkkkkkGIESI

bbpbbpbbb

xb

xbbbbbbp

b

bb

++++++

-+-++-=

-

(4.116)

식 (4.113)의 미지수를 구하기 해서는 의 고정지지된 경계와 자유단

에서의 인텐시티 경계조건이 필요하다. 의 고정지지된 경계에서 빠져나

가는 인텐시티는 없으므로 다음의 인텐시티 경계조건을 용할 수 있다.

( ) 0=LIa (4.117)

( ) )( 0in01

xxxIa -P= d (4.118)

한 에 입력되는 워는 다음과 같이 표 된다.

( ) ( )÷÷

ø

ö

çç

è

æ÷ø

öçè

æ

¶

¶´=P

*

0jin

,eRe

2

1

t

txuF atw (4.119)

192

여기서 tua ¶¶ / 는 의 자유단에서의 속도를 의미한다.

4.2.4. Rayleigh-Love Rayleigh-Bishop 의 엄 해

그림 4.1과 같이 한쪽이 고정지지되고 의 자유단에 힘 F 가 입력될 때,

Rayleigh-Love 의 운동지배방정식은 식 (4.81)과 같고 변 는 식 (4.92)와

같으며 아래의 경계조건이 성립한다.

0)( =Lul (4.120)

Ftx

uI

x

uES l

pl =

¶¶

¶+

¶

¶2

32 )0()0(

ru (4.121)

식 (4.120-4.121)을 이용하여 Rayleigh-Love 의 변 를 구할 수 있으며, 식

(4.95-4.96)으로부터 Rayleigh-Love 에 한 엄 해의 에 지 도와 인텐시

티를 구할 수 있다.

그림 4.1과 같은 조건에서 Rayleigh-Bishop 의 운동지배방정식은 식

(4.85)와 같고 변 는 아래와 같다.

193

( ) txkxkxkxkb

rbrbrbrb BBBBu wjj4

j3

-21 eeeee 2211 -+++= (4.122)

여기서 Rayleigh-Bishop 의 구조감쇠를 고려한 수는 다음과 같이 표

된다.

( )p

ppp

rbIG

SIGISEISEk

)j1(2

)j1(4)j1()j1(2

2222222

1 hn

wrhnwrnhwrnh

+

++-++-+=

(4.123)

( )p

ppp

rbIG

SIGISEISEk

)j1(2

)j1(4)j1()j1(2

2222222

2hn

wrhnwrnhwrnh

+

++-++++-=

(4.124)

한쪽이 고정지지되고 의 자유단에 힘이 입력될 때 성립하는 경계조건은

다음과 같다.

0)( =Lub (4.125)

194

0)(=

¶

¶

x

Lub (4.126)

0)0(

2

2

=¶

¶

x

ub (4.127)

0)0(

)j1()0()0(

)j1(3

32

2

32 =

¶

¶+-

¶¶

¶+

¶

¶+

x

uIG

tx

uI

x

uSE b

pb

pb hnrnh (4.128)

식 (4.125-4.128)을 이용하면 Rayleigh-Bishop 의 변 를 구할 수 있으며,

식 (4.105-106)을 통해 Rayleigh-Bishop 에 한 엄 해의 에 지 도와 인

텐시티를 구할 수 있다.

4.2.5. Rayleigh-Love Rayleigh-Bishop 의 워흐름해석

해석모델은 그림 4.1과 같이 한쪽이 고정지지되고 의 자유단에 힘 F

가 입력되어 횡방향으로 진동하는 이다. 이 가해지는 힘의 크기는 10

N 이며 의 물성치는 철 ( )28.0,7800,1107.2 === nrEE 과 같다. 본

에서는 고 이론의 엄 해와 워흐름해석법의 결과, Rayleigh-Love

모델의 엄 해와 워흐름해석법의 결과, Rayleigh-Bishop 모델의 엄 해

와 워흐름해석법의 결과를 비교하여 새롭게 유도한 워흐름해석법들의

195

신뢰성을 확인한다.

첫 번째 해석 는 길이와 단면 이 각각 m02.0=r , m1=L 인 이다.

이 의 세장비 (slenderness ratio, rL / )는 50이며 의 구조감쇠계수는

05.0=h 이다. 그림 4.22-4.23은 주 수가 6.3kHz와 25kHz에서의 에 지

도와 인텐시티의 분포를 보여주며, 해석결과를 살펴보면 워흐름해석법의

결과가 엄 해의 결과와 거의 일치하는 것을 볼 수 있다. 첫 번째 해석

의 경우 세장비가 ( )50/ =rL 크기 때문에 상 으로 얇은 으로 분류

할 수 있고 6.3kHz에서 단변형효과가 무시되는 것을 볼 수 있다. 때문에

Rayleigh-Love 의 해석결과와 Rayleigh-Bishop 의 해석결과가 매우 흡사

하며 고 의 해석결과와도 거의 차이가 없다. 고주 수 역에서는 단

변형의 효과가 크기 때문에 해석 상이 얇은 이지만 25kHz에서 고

의 해석결과는 Rayleigh-Love Rayleigh-Bishop 의 해석결과와 차이

를 보인다. 그림 4.24는 구조감쇠계수가 8.0=h 일 때 6.3kHz에서 에 지

도를 보여 다. 새롭게 유도한 워흐름해석법의 경우 4.1 과 마찬가지로

기존 워흐름해석법에 이용되는 감쇠계수 가정을 사용하지 않았기 때문

에 감쇠계수가 큰 경우에도 엄 해와 유사한 결과를 보여 다.

196

두 번째 해석 는 길이와 단면 이 각각 m02.0=r , m1=L 이며 세장

비가 5이고 구조감쇠계수는 05.0=h 이며 임계주 수가 7.20=lcf kHz인

이다. 그림 4.25는 해석주 수가 6.3kHz, 8kHz, 10kHz일 때의 각 모델

의 에 지 도를 보여 다. Rayleigh-Love 과 Rayleigh-Bishop 의 워흐

름지배방정식을 유도하기 해서 진행 만을 이용하 고 Rayleigh-Bishop

의 경우에는 근거리성분을 무시하 는데, 이러한 가정은 고주 수 역에

서 합리 이다. 때문에 그림 4.25에서 볼 수 있듯이 새롭게 유도한 워흐

름해석법의 해석결과는 각 주 수 역에서 엄 해의 체 인 경향을 잘

보여 다. 이번 해석모델은 이 의 해석모델보다 두껍기 때문에 단변형

효과를 무시할 수 없기 때문에 8kHz와 10kHz에서 뿐만 아니라 6.3kHz에서

도 Rayleigh-Love 과 Rayleigh-Bishop 의 에 지 도가 고 의 에

지 도와 차이가 나는 것을 볼 수 있으며, 단변형효과로 인해 엄 해의

에 지 도가 길이에 따라 일정하게 감소하지 않고 변동하는 것을 확인할

수 있다. 그림 4.26은 해석주 수가 6.3kHz, 8kHz, 10kHz일 때의 각 모델

의 인텐시티를 보여 다. 에 지 도와 마찬가지로 새롭게 유도한 워흐

름해석법의 해석결과가 각 주 수 역에서 엄 해의 경향을 잘 보여주는

것을 확인할 수 있고 단변형효과로 인해 고 의 해석결과와 Rayleigh-

197

Love Rayleigh-Bishop 의 해석결과가 다른 것을 알 수 있다.

그림 4.27은 구조감쇠계수가 8.0=h 이고 해석주 수가 6.3kHz, 8kHz일때

의 에 지 도를 보여 다. 새롭게 유도한 워흐름해석법은 감쇠계수가

정을 사용하지 않았기 때문에 세장비와 해석주 수에 상 없이 기존의

워흐름해석법의 결과보다 엄 해와 더 가까운 해석결과를 보여 다. 그림

4.28에서는 새롭게 유도한 워흐름해석법에 사용된 수가 의 구조감쇠

계수가 증가할수록 감소하지만 기존 워흐름해석법에 사용된 수는 감

쇠계수 가정이 사용되었기 때문에 구조감쇠계수에 독립 임을 확인할 수

있다. 한 고주 수 역에서 단변형효과가 증가하므로 각각의 워흐름

해석법에 사용된 수의 차이가 8kHz에서 6.3kHz에서보다 크다. 따라서 그

림 4.27에서 볼 수 있듯이 8kHz에서의 각 에 지 도의 차이가 6.3kHz에서

의 각 에 지 도의 차이가 크게 된다. 그림 4.29는 해석주 수가 25kHz이

고 의 구조감쇠계수가 05.0=h 일 때의 Rayleigh-Bishop 의 해석결과와

고 의 해석결과를 나타내며 새롭게 유도한 워흐름해석법의 결과가

엄 해의 경향을 잘 보여주는 것을 볼 수 있다. 임계주 수이상의 주 수

에서는 Rayleigh-Love 의 변 가 근거리성분만으로 표 되기 때문에 워

흐름해석을 수행할 수가 없으며, 고주 수 역에서는 단변형효과가 지배

198

이기 때문에 Rayleigh-Bishop 의 해석결과와 고 의 해석결과가 큰

차이를 보인다.

다음 해석 는 길이와 단면 이 각각 m2.0=r , m2=L 이며 세장비가

10이고 구조감쇠계수는 05.0=h 인 이다. 그림 4.30은 해석주 수가 6.3k

Hz, 8kHz, 10kHz일 때의 각 모델의 에 지 도를 보여주며 이 경우와

마찬가지로 새롭게 유도한 워흐름해석법의 결과가 엄 해의 결과와 매우

유사하다. 한 Rayleigh-Love Rayleigh-Bishop 과 고 의 에 지

도의 차이가 이 경우보다 작은 것을 볼 수 있는데 이는 상 으로 높

은 세장비의 에서는 단변형의 향이 감소하기 때문이다. 해석주 수

가 높아질수록 단변형효과는 증가하는데 이러한 단변형효과는 고주

수 역 두꺼운 에서 매우 요하다.

다음 해석 는 철로 된 이 아니라 실제 마운트이다. 해석에 사용된

마운트는 그림 4.31과 같으며 마운트의 모델명은 6K2000으로써 6K2000은

한국기계연구원에서 미해군표 규격 (MIL-M-17508F) 일반사양 (MIL-M1

7185A)을 만족시키기 해 개발한 미해군 표 탄성마운트로써 (주)수퍼센

리에 기술이 되었으며 재 한국형 구축함 기타 함정 탑재용 장비

에 용되고 있다. 6K2000 의 반지름과 길이는 m0825.0=r , =L m119.0

199

이며 구조감쇠계수는 06.0=h 이고 상되는 률과 도는 각각 =E

71056.3 ´ , 5227=r 이며, 이 의 해석결과들과 마찬가지로 의 자유단에

N10 의 힘이 입력되었을 때의 진동해석을 수행하 다.

그림 4.32는 1kHz, 2kHz, 4kHz, 8kHz에서의 마운트를 Rayleigh-Bishop 으

로 고려한 해석결과와 고 으로 고려한 해석결과를 보여 다. 마운트

의 임계주 수가 상당히 낮기 때문에 Rayleigh-Love 의 워흐름해석법은

사용될 수 없다. 해석결과를 살펴보면 의 세장비가 1.44로 상당히 두꺼운

이기 때문에 1kHz에서도 단변형효과가 지배 인 것을 확인할 수 있

다. 1kHz에서는 Rayleigh-Bishop 의 에 지 도가 높지만 2kHz이상의 주

수 역에서는 고 의 에 지 도가 높은 것을 볼 수 있는데 모델별

로 주 수에 따라 다른 경향을 가지는 이유는 단변형효과로 인해 모

델별로 그림 4.33-4.34와 같이 주 수에따라 가진 에서의 변 입력

워가 다르기 때문이다. 엄 해의 경향을 새롭게 유도한 워흐름해석법의

결과가 각 주 수 역에서 잘 반 하고 있으므로 새롭게 유도한 워흐름

해석법이 마운트의 진동해석에도 유용하게 사용될 수 있음을 증명하 다.

고 과 단변형 효과를 고려한 의 진동 감 효과의 차이를 확인

하기 해 그림 4.35와 같이 평 - -평 으로 이루어진 구조물의 진동해

200

석을 수행하 다. 평 1과 평 2의 길이는 각각 =´´ hLL yx 1m´ 1m´ 1

mm이고 물성치는 철 ( )28.0,7800,1107.2 === nrsEE 과 같고 평 의 구

조감쇠계수는 01.0=h 이고 평 1에 굽힘방향의 워가 입력되며 그 크기

는 W1 이며 의 물성치는 6K2000과 같다. 평 과 사이의 워투과반사

계수 연결요소 행렬은 서성훈 (2005)의 논문에서 제시한 방법을 사용하

다.

그림 4.36-4.38은 평 - -평 구조물에서 을 고 Rayleigh-

Bihop 으로 고려하 을 때 1kHz, 4kHz, 8kHz에서 평 1과 평 2의 진동

해석 결과를 보여 다. 평 1의 심에 워가 입력되므로 평 - -평

구조물에서 에 의한 진동 감 효과는 평 2의 에 지 도를 통해서 확

인할 수 있다. 해석결과를 살펴보면 모든 주 수 역에서 평 1의 에 지

도는 고 모델과 Rayleigh-Bishop 모델 모두 유사한 것을 볼 수

있다. 이는 두 모델 모두 평 1에 동일한 워가 입력되었기 때문이다. 평

1과는 달리 평 2의 에 지 도는 두 모델에서 큰 차이를 나타내고

Rayleigh-Bishop 모델의 에 지 도가 고 모델의 에 지 도보다

작은 것을 볼 수 있다. 이는 Rayleigh-Bishop 모델의 경우 마운트에서 발

생하는 단변형 효과를 고려할 수 있지만 고 모델에서는 단변형

201

효과를 고려할 수 없기 때문이며, 이를 통해 Rayleigh-Bishop 모델은 고

모델에 비해 마운트의 진동 감효과를 효과 으로 반 하고 있는 것

을 확인할 수 있다. 한 해석주 수가 높아질수록 평 2에서 두 모델 간

의 에 지 도의 차이가 커지는데, 이는 주 수가 증가할수록 마운트에서

발생하는 단변형효과가 증가하기 때문이다.

202

Fig. 4.20. Wavenumbers of propagating waves in a steel rod =r 0.2, =lcf 20.7kHz for

various frequencies.

203

Fig. 4.21. Wavenumbers of propagating waves in a steel rod for various radiuses when =f

25kHz.

204

(a)

(b)


( )50/ =rL : (a) =f 6.3kHz, (b) =f 25kHz.

205

(a)

(b)

Fig. 4.23. Intensity distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod

( )50/ =rL : (a) =f 6.3kHz, (b) =f 25kHz.

206


( )50/ =rL when =f 6.3kHz and =h 0.8.

207

(a)

(b)

208

(c)


( )5/ =rL : (a) =f 6.3kHz, (b) =f 8kHz, (c) =f 10kHz.

(a)

209

(b)

(c)

Fig. 4.26. Intensity distributions of the free clamped, longitudinally vibrating rod ( )5/ =rL :

(a) =f 6.3kHz, (b) =f 8kHz, (c) =f 10kHz.

210

(a)

(b)


( )5/ =rL when =h 0.8: (a) =f 6.3kHz, (b) =f 8kHz.

211

(a)

(b)

Fig. 4.28. Wavenumbers of the free clamped, longitudinally vibrating rod ( )5/ =rL for

various damping loss factors: (a) =f 6.3kHz, (b) =f 8kHz.

212


( )5/ =rL when =f 25kHz and =h 0.05.

213

(a)

(b)

214

(c)


( )10/ =rL : (a) =f 6.3kHz, (b) =f 8kHz, (c) =f 10kHz.

Fig. 4.31. Mount 6K2000.

215

(a)

(b)

216

(c)

(d)

Fig. 4.32. Energy density distributions of the 6K2000: (a) =f 1kHz, (b) =f 2kHz, (c)

=f 4kHz, (d) =f 8kHz.

217

Fig. 4.33. Displacement distributions of the 6K2000 at free-end.

218

Fig. 4.34. Input power distributions of the 6K2000 at free-end.

219

Fig. 4.35. Plate-rod-plate structure.

220

(a)

(b)

221

(c)

(d)

Fig. 4.36. Energy density distributions of the plate-rod-plate structure when =f 1kHz: (a)

Plate 1 of classical rod model, (b) Plate 2 of classical rod model, (c) Plate 1 of

Rayleigh-Bishop rod model, (d) Plate 2 of Rayleigh-Bishop rod model.

222

(a)

(b)

223

(c)

(d)




224

(a)

(b)

225

(c)

(d)




226

5. 워흐름해석법을 이용한 기계류진동에 의한 함정의 수

방사소음해석

5.1. 수 방사소음의 특성

5.1.1. 수 방사소음 소음원

수 에서 함정이 탐지에 사용되는 수 신호는 크게 음향신호와 자기

신호로 구분할 수 있다. 이 자기신호는 탐지거리가 수백 m이내이고

주 수범 가 수 kHz이내인데 반하여 수 신호는 탐지거리가 수십 km에

이르고 주 수범 한 수백 kHz에 달한다. 수 에서 상 를 탐지하는 수

단은 주로 음향신호에 의존하는데 수 방사소음 수 이 높은 경우에는 상

함정의 소나에 상 함정의 소나에 의해 피탐지되기 쉬울 뿐만 아니라

자체소음으로 인해 자함소나 성능을 약화시켜 상 를 탐지하는 능력이

하된다. 따라서 함정의 수 음향성능은 함정의 작 수행능력 생존성에

직결되는 매우 요한 요소이므로 요하게 리되어야만 한다.

함정에서 발생하는 수 방사소음의 소음원은 여러종류로 구분할 수 있

227

다. 추진기에 의해서 발생하는 수 소음과 함정의 내부에서 발생하여 수

으로 투과되는 소음 등이 있는데 그림 5.1과 같이 함정의 수 방사소음원

과 그 달경로를 구분할 수 있다. 함정의 수 방사소음 크게 기계류소음

(mechanical noise), 유체소음(fluid sources), 유체동역학 소음(hydrodynamic

source), 스 래싱소음(splashing noise)로 구분되며 기계류소음은 함정의 운항

작 시에 작동하는 기 , 기어, 발 기 등의 기계류장비들의 작동에 의

해 발생하는 소음을 뜻한다. 유체소음은 함정에서 해수를 공 하고 배출하

는 배 등에서 발생하는 소음을 의미하며, 유체동역학 소음은 함정의 운

항 시 함정주 에 발생한는 유동에 의해 발생하는 소음과 로펠러의 회

에 의해 발생하는 소음을 의미하고, 스 래싱소음은 함정의 운항시 수면

로 생성되는 물방울이 수면과 부딪히면서 발생하는 소음을 나타낸다. 본

논문에서 고려하는 함정의 수 방사소음은 기계류진동에 의한 소음이며

달경로를 살펴보면 탑재장비에서 발생한 진동이 헐(Hull)의 진동을 발생

시키고 이로 인해 수 방사소음이 발생하게 된다.

기계류소음은 함정에 탑재된 장비에 의해 발생하기 때문에 탑재장비의

특성에 따라 특정 주 수 그의 배수성분에 진동 는 소음의 기여도가

집 되는 선스펙트럼 성분이 존재한다. 추진기 소음의 주요원인은 로펠

228

러의 고속회 으로 인해 발생하는 캐비테이션이며, 이는 수 에서 로펠

러가 회 할 때 로펠러 날의 끝단 는 표면 등에서의 낮은 압력으로

인해 공기방울이 생성되는 상을 의미한다. 이러한 공기방울이 유체 는

로펠러 날개의 표면에서 붕괴되면서 큰 소음이 발생하게 되는데 이를

캐비테이션 소음이라 한다. 캐비테이션 소음은 주 수 역에서는 주 수

가 증가함에 따라 소음의 가 증가하며 고주 수 역에서는 주 수가

증가함에 따라 소음의 가 감소하는 특징을 가진다.

함정의 수 방사소음원의 주 수와 선속에 따른 기여도는 그림 5.2와 같

다. 기계류소음은 함정이 속인 경우 주 수 역에 걸쳐서 발생하며 유

체동역학 소음은 함정이 고속인 경우 주 수 역에서 발생한다. 추진

기소음은 함정이 고속인 경우 주로 ∙고주 수 역에서 발생한다. 함정이

일정속도 이상으로 운행하면 추진기소음이 수 방사소음에 지배 인 향

을 미친다. CIS(Cavitation Inception Speed) 이상의 속도에서는 추진기에서 공

동소음이 발생하는데 이 공동소음이 수 방사소음에 지배 인 향을 미

치게 된다. 수 방사소음원별 함속 주 수와의 계는 표 5.1과 같으며

기계류소음은 다른 소음원에 비해 함정의 속력과 주 수에 큰 향을 받

지 않는 특징을 가진다.

229

그림 5.3은 두 함정의 선속에 따른 수 방사소음 계측 값을 보여 다.

계측값을 살펴보면 캐비테이션 발생속도 이 의 속에서 계측한 A함정의

수 방사소음은 주 수 역에서의 값이 크고, 캐비테이션 발생속도 이후

의 고속에서 계측한 B함정의 수 방사소음은 주 수 역에서 균일한

값을 가지며 속에서의 수 방사소음에 비해 수 방사소음 값이 상당히

큰 것을 알 수 있다. 한 속에는 주 수 역에서의 기여도가 큰 기

계류진동이 주요 소음원이며, 고속에서는 로펠러에서 발생하는 캐비테이

션이 주요 소음원이고 캐비테이션이 주 수 역에서 향을 미치는 것

을 확인할 수 있다.

5.1.2. 수 방사소음 달손실

함정에서 발생한 수 방사소음을 일정거리 떨어진 지 에서 단하기

해서는 방사소음의 달손실(Transmission Loss)을 고려해야 한다. 수 방

사소음의 달손실은 확산손실과 감쇠손실의 합으로 표 되는데

확산손실은 소음이 달되면서 거리에 따라 감소되는 양을 나타내고 감쇠

손실은 수 에서 발생하는 흡음 등에 의해 소음이 감소하는 양을 의미한

230

다. 일반 으로 감쇠손실은 향이 으므로 확산손실을 주로 고려한다.

수 에서 발생하여 달되는 음압은 주로 구면 는 원통형 를 이용

하여 표 된다. 구면 는 균일한 무한평면에서 음원에 의해 생성된 음 를

그림 5.4 (a)와 같이 음원을 심으로 한 구의 표면에 균일하게 분포한다고

가정하여 음압을 표 하는 것으로 수심이 깊은 심해에서의 음압을 나타내

기에 합하다. 구면 에 의한 음압은 식 (5.1)과 같이 표 된다.

( )krt

r

Ap -= wje

(5.1)

여기서 r 은 음원에서부터 떨어진 거리이고 w 는 주 수이며 k 는 수

이다. 거리에 의한 음압의 감소 이외에 추가 인 손실이 없다고 가정하면

심해에서의 구면 의 확산손실을 식 (5.2)와 같이 나타낼 수 있다.

rp

pTL

m

rm102

1

2

10 log20log10 =÷÷ø

öççè

æ-= (5.2)

여기서 mp1 은 소음원으로부터 1m 떨어진 곳에서의 음압을 나타내고 rmp

231

은 소음원으로부터 r만큼 떨어진 곳에서의 음압이다.

심해와 달리 수심이 얕은 천해지역에서는 음 가 해수면과 해 면의 경

계를 통과할 수 없으므로 음의 확산은 수심을 높이로 하고 거리를 반지름

으로 하는 원통형상으로 이루어지는데 이는 그림 5.4 (b)와 같이 나타낼 수

있으며, 원통형 에 의한 음압은 다음과 같이 표 된다.

[ ] tekrBYkrAJp wj00 )()( +=

(5.3)

여기서 0J 와 0Y 는 Bessel 함수이다. 구면 와 마찬가지로 거리에 의한 음

압의 감소이외에 추가 인 손실을 고려하지 않는다면 원통형 의 거리에

따른 확산손실은 식 (5.4)와 같다.

rp

pTL

m

rm102

1

2

10 log10log10 =÷÷ø

öççè

æ-= (5.4)

수심이 얕은 천해일지라도 음원으로부터의 기확산은 구형으로 발생하

고 음 가 해수면과 해 면의 경계에 갇히게 되는 충분한 거리에서 원통

232

형확산으로 변하기 때문에 원통형 는 천해에서 계측지 이 음원으로부터

충분히 멀리 떨어져 있는 경우 용할 수 있다.

감쇠는 해수의 성 화학 작용 등에 의해 음 가 가지는 동에

지가 열에 지로 변환되는 과정에서 발생하는데, 기하학 손실인 확산손

실과는 달리 감쇠손실은 주 수에 의존 인 특성을 가지는데 식 (5.5)를 이

용하여 감쇠손실을 계산하는 방법이 리 알려져 있다.

003.01075.24100

40

1

1.0 24

2

2

2

2

+´++

++

= - ff

f

f

fa (5.5)

여기서 a는 흡음계수를 나타내고 f 는 주 수를 나타낸다.

실제 해양환경은 확산손실에서 가정한 것처럼 균일하지 않다. 특히 음

의 달에 큰 향을 미치는 음속의 경우 계 과 지역에 따라 그 변화가

심한 양상을 보인다. 해수의 음속은 수온, 염도, 수심에 의해 결정되며 다

음의 근사식이 리 알려져 있다 (Jensen, 1994).

zSTTTTc 016.0)35)(01.034.1(00029.0055.06.42.1449 32 +--++-+= (5.6)

233

여기서 c는 음속이고 T 는 온도이며 S 는 염도이고 z 는 수심이다. 음선이

론에 따르면 음 는 음속이 변하는 곳에서 굴 하며 이때 음 의 진행방

향은 식 (5.7)과 같은 Snell의 법칙을 따라 음속이 낮은 방향으로 바뀌게 된

다.

2

2

1

1 coscos

cc

qq= (5.7)

여기서 21,qq 는 매질1과 매질2에서의 음선의 수평면을 기 으로 한 진행

각도이며 21,cc 는 매질 1과 매질 2에서의 음속이다. 수심이 깊은 해역의

경우 음 의 굴 상에 의해 음 가 달되지 못하는 역이 형성

되는데 이를 Shadow Zone이라 하며, 이는 수 함의 존재를 숨기는데 이용

되기도 한다.

한편 해수면과 해 면에서는 매질의 음속이 격히 변하는데, 해수면에

서는 공기와 해수의 음속 도의 큰 차이로 인해 수 에서 해수면으로

입사하는 음 가 공기 으로 투과되지 못하고 부분 다시 수 으로 반

사된다. 이때 반사되는 상으로 인하여 수상함의 경우 함에서 수 으로

234

직 방사된 음 와 해수면에서 반사되는 음 의 간섭으로 인해 함 근거

리에서는 수신음압이 증가와 감소를 반복하는 Lloyd mirror 상을 보이다

가 원거리에서는 선 를 기 으로 수직하방으로 음 의 달이 집 되는

다이폴(dipole) 형태의 방사패턴을 보이게 된다. 해수면과 달리 해 면에서

는 음 의 반사와 투과가 동시에 이루어지며 반사되는 음 의 크기와

상은 해수와 해수면 매질의 음속과 도의 차이에 의해 결정된다. 음 의

일부가 해 면으로 투과되는 상은 달손실과는 다른 형태의 음손실로

이해할 수 있으며 이를 해 면 손실(bottom loss)라고 한다.

5.1.3. 수 방사소음 분석법

측정된 수 방사소음자료는 유선 무선으로 송된 후 실시간으로 분

석되거나 장된 뒤에 정 분석작업을 거치게 된다. 소음자료의 주 수분

석은 역폭에 따라 역(narrow band) 분석과 역(wide band) 분석으

로 구분되며, 이는 수 방사소음의 계측 분석목 에 따라 구분되어 수

행된다. 역 분석은 1Hz단 로 스펙트럼 벨을 표시하는 반면에

역 분석은 폭이 1Hz이상의 역폭을 가지는 밴드를 사용하여 심주 수

235

에서 각 밴드에서 체 음압 벨을 표시하며 1/1 옥타 밴드와 1/3 옥타

밴드가 주로 사용된다. 역 분석은 각 주 수 역에 하여 함정의 수

방사소음 를 나타내는 지수이므로 수 방사소음 기 치를 설정하거

나 수 방사소음의 인 크기를 표 하기 해 수행되며, 함정의 건조

후 인수시운 과정에서의 함정의 수 방사소음 시험평가의 기 계측

은 역에서 이루어진다. 한 이와 같은 역 분석을 각 함정의 속도

별로 수행하고 각 속도의 체 수 방사소음 에 지를 산출하여 비교함으

로써 함정의 캐비테이션 발생속도를 악할 수 있다. 잠작 을 수행하는

함정의 경우 캐비테이션 발생속도는 함정의 기동성을 제한하는 요한

요소이므로 캐비테이션 발생속도는 반드시 분석되어야 하는 항목이다.

함정에 탑재된 기계들과 추진 련 기 들의 주 수특성을 악하여 음

향징표(acoustic signature)를 추출하거나, 높은 의 소음이 발생하는 소음

원을 악하는 목 으로는 역 분석이 활용된다. 음향징표는 수 음향

에 의한 잠수함의 식별을 한 필수요소이며, 잠수함 탐지의 유일한 수단

이 수 음향임을 고려한다면 음향징표는 잠수함 피아식별의 결정 단서

가 된다. 역 분석을 효과 으로 수행하기 해 LOFAR(Low Frequency

Analysis and Recording)와 DEMON(Demodulation Noise)등의 기법들이 용되

236

고 있다. 이러한 역 분석은 소음원 규명 수 방사소음의 감에 유

용하게 활용될 수 있다.

그림 5.5에 나타낸 것처럼 동일한 측정 상의 분석자료라 하더라도 청

음기와 측정 상의 거리에 따라 달손실량의 차이에 기인한 스펙트럼

벨의 차이가 발생한다. 따라서 측정거리에 따른 손실보정이 필요하다. 측

정 상과의 거리는 GPS 음향센서를 활용한 치정보로부터 악할 수

있으며 식 (5.2)에서 표 된 구면 에 의한 확산손실 값을 보정치로 사용한

다. 실제의 측정상황은 구면 를 가정할 수 있는 무한 균일매질과는 차이

가 있으나 기존의 연구들에 의하면 구면 의 확산손실을 고려한 보정치를

보정치를 사용해도 무방하다고 알려져 있다.

5.1.4. 수 방사소음 계측법

수 방사소음은 그림 5.5와 같이 수 청음기를 이용하여 계측한다. 수

청음기는 압력의 변동을 기 신호로 변환시켜주는 압 소자(piezoelect-

rical material)을 이용하여 제작하는 것이 일반 인데, 압 소자의 배열에

따라 청음기의 방향성을 조 할 수 있으며 수 방사소음의 계측용으로는

237

모든 방향에서 된 음 를 균일하게 계측할 수 있는 장 으로 인해 지

향성이 없는 등방성 청음기(omnidirectional hydrophone)가 주로 사용된다. 그

러나 특정방향의 정 한 방사소음 계측이 필요한 경우와 수 배경소음이

지나치게 높거나 표 음원의 방사소음이 낮은 경우 빔형성 기법을 기반으

로 다수의 청음기를 배열로 사용한다. 배열방법은 그 형태에 따라 선배열,

면배열, 그리고 체 배열로 나 수 있으며 후자로 갈수록 빔의 지향성은

높아지지만 측정체계 규모가 커지고 신호처리 부하가 증가하는 단 이 있

다. 따라서 청음기를 배열로 사용할 경우 실용 인 측면을 고려하여 선배

열이 리 사용되는 추세이다.

선배열은 운용형태에 따라 고정형과 이동형으로 구분할 수 있다. 고정형

배열은 선배열을 해 면에 고정 설치하여 운용되며 이동형 배열은 필요에

따라 해당해역에 설치되어 사용된 후 계측이 끝난 후 회수하는 방식으로

운용된다. 고정형 배열은 수상함의 방사소음을 계측하는데 합한 형태이

지만 육지 근해에 수심이 깊은 해석이 존재하는 경우에 사용될 수 있다.

이러한 해역의 확보가 어려운 경우에는 이동형 배열을 운용하는 경우가

많으며, 이동형 배열이 운용되는 해역은 환경변수에 의한 향을 고려하여

선정하여야 한다.

238

이동형 배열은 설치 형태에 따라 수직형과 수평형으로 구분할 수 있는

데 수평형은 충분히 넓은 해역에 걸쳐 상선 어선 등의 향을 받지 않

는 경우에 합하며 이와 같은 환경을 확보하기 어려운 경우에는 수직형

배열을 사용한다. 수직형은 형 계류부이의 활용 가능성에 따라 계류형과

표류형으로 구분되는데, 계류형은 수직선배열을 계류부이에 계류시켜 소음

측정을 수행하고 표류형은 시험선과 함께 는 시험선과 독립 으로 표류

하며 소음측정을 수행한다. 수직형 선배열은 깊은 수심에서 운항하는 잠수

함 어뢰의 방사소음 측정에 합하지만 수상함의 소음측정에 활용 되

기도 한다.

함정의 수 방사소음 계측의 목 은 아함 수 방사소음의 를 악

함으로써 작 수행 시 함으로부터의 험도를 평가하고 함정 운용모드

의 기술 산정과 피아식별을 한 음향징표 자료획득 데이터베이스

구축 등에 있다. 이러한 수 방사소음 계측은 방법 목 에 따라 기동시

험과 정박시험으로 각각 나뉘어 수행된다.

기동시험은 해역에서 정속도로 운항 인 함정에서 발생하는 소음을 계

측하는 것을 말하며, 이는 작 함정이 운용되는 실제 모드에서의 소음

음향징표의 획득을 목표로 한 측정법이다. 이때 계측된 방사소음

239

에는 기계류소음과 로펠러 캐비테이션 유체동역학 소음 등 함정의

운용 에 발생하는 소음이 한꺼번에 계측된다. 따라서 기동시험을 통해서

는 각 소음원별로 수 방사소음 기여도를 분리하여 측정하는 것이 어려우

며, 개별 소음원에 의한 방사소음 이상소음 상의 원인 악을

해서는 추가시험을 수행하는 것이 바람직하다.

기계류소음의 측정을 해서는 함정을 정박시킨 후 해당 기계류만을

작동시킨 후 수 방사소음을 근 계측하는 정박시험을 수행하는 것이

합하다. 한 특수한 경우에는 함정의 로펠러를 작동하지 않고 인 한

후 발생하는 소음을 계측하기도 하는데 이는 함정의 선형과 유체의 흐름

의 상 계에 의한 유체동역학 소음을 측하는 데 유용하게 이용될

수 있다.

한편 임무의 특성상 함정의 수 방사소음 가 작 의 성패를 가늠하

는 요한 인자가 되는 경우가 있다. 표 인 로써 소해함을 들 수 있

는데, 음향기뢰는 함정의 수 방사소음에 감응하여 작동하기 때문이다. 이

경우 계측시험은 정박시험과 기동시험을 병행하여 정 하게 수행되어야

하는데, 탐색과 소해 등의 개별작 모드별로 기동시험 계측을 수행한 후

소음 가 높은 경우 이상소음의 발생 시 원인 규명을 해 정박시험

240

을 통해 각 소음원별 소음측정을 수행한다. 특히 기뢰 의 특성상 작 해

역이 항만과 연안 등 얕은 해역에 국한되는 것이 일반 이므로 계측시험

한 의 환경과 동일하거나 유사한 해역에서 수행되어야 한다. 한 특

정 주 수 역에서 감응하는 기뢰에 한 평가를 해 소음분석 시 반드

시 역 분석 는 어도 1/3 옥타 밴드 분석을 수행하여 한 크기

의 선스펙트럼 성분이 발생할 경우 이에 한 한 조치가 수행되어야

한다.

241

Table 5.1. Relation of the noise source to ship speed and frequency.

함정의 수 방사소음원별 함속 주 수와의 계

소음원 비례 정도( f :주 수, V :함속)

Propulsion Machinery Noise 32,Vf -

Auxiliary Machinery Noise 02,Vf -

Propeller Cavitation Noise 52,Vf -

Local Cavitation Noise of Dome 20122 ~, VVf -

Flow Induced Noise 633 ~, VVf -

Splashing Noise 642 ~, VVf -

Flow Noise 643 ,~ Vff --

242

Fig. 5.1. Noise sources and transmission paths of underwater radiated noise.

Fig. 5.2. Characteristics of underwater radiated noise sources.

243

Fig. 5.3. Underwater radiated noise levels of naval ships.

Fig. 5.4. Spreading of sound wave: (a) spherical wave, (b) cylindrical wave.

244

Fig. 5.5. Measurement system of underwater radiated noise.

245

5.2. 워흐름해석법을 이용한 함정의 수 방사소음해석

본 논문에서는 기계류진동에 의한 함정의 수 방사소음만을 해석 상으

로하며 워흐름유한요소법과 워흐름경계요소법을 이용하여 함정의 수

방사소음을 해석하 다. 그림 5.6과 같은 함정의 유한요소모델로부터 그

림 5.7과 같이 진동해석을 수행하고 진동해석 모델로부터 그림 5.8과 같이

수되어있는 요소를 검색한 뒤 수되어 있는 요소를 경계로하여 그림

5.9와 같이 수 방사소음해석을 수행한다. 함정의 수 방사소음을 달함

수 값을 이용하여 표 하 는데 달함수는 가진원에 단 힘인 N1 이 입

력 되었을 때 가진원으로부터 1m 떨어진 곳에서의 음압으로 정의되는 값

이다.

함정의 진동해석결과를 이용하여 수 방사소음해석을 수행하기 해서

는 수된 요소의 인텐시티를 경계조건으로 활용해야 하는데 식 (5.8)을 이

용하여 수된 요소의 진동에 지 도를 음향인텐시티로 변환한다.

f

f

ne

m

cI

eff

rad

rs= (5.8)

246

여기서 n

I 는 수요소의 법선방향 인텐시티이고 rads 는 방사효율이고

fr 는 유체의 도이고 effm 는 유체의 부가질량이 고려된 실질질량이다.

수된 평 의 방사효율은 3장에서 언 하 던 Leppington (1982)의 방사효

율 모델을 사용하 다.

5.2.1. 워흐름유한요소법을 이용한 함정의 진동해석

함정의 기계류진동의 가진원으로써 추진 동기, 형발 기, 보기류, 소

형발 기를 고려하 다. 해석을 수행한 함정은 LWT가 3500ton 인 함정

이며 달함수 값의 도출을 하여 힘과 무한평 의 임피던스를 이용하여

입력 워를 계산하 다. 무한평 의 임피던스와 입력 워는 아래와 같이

나타낼 수 있다.

DhZ r8= (5.9)

þýü

îíì

=Z

F1

Re2

1power

2 (5.10)

247

여기서 Z 는 무한평 의 임피던스이고 r 는 평 의 도이고 D 는 평 의

굽힘강성이고 h 는 평 의 두께이고 F 는 가진력의 크기이다. 달함수는

가진 에 N1 이 입력되었을 때 가진 에서부터 1m 떨어진 곳에서의 음압

값으로 정의되며 이를 구하기 하여 N1 으로부터 계산한 워를 입력

값으로 하여 워흐름유한요소법을 통한 함정의 진동해석을 수행하 다.

그림 5.10-13은 추진 동기, 형발 기, 보기류, 소형발 기를 가진원으

로 고려했을 경우, 1kHz에서의 진동에 지 도 값을 다양한 각도에서 보여

다. 해석결과를 살펴보면 가진원 근처에서 높은 진동에 지 도 값을 가

지고 있으며 가진원으로부터 멀어질수록 진동에 지 값이 감소하는 일반

인 상을 확인할 수 있다. 그림 5.14-5.15는 추진 동기를 가진원으로

고려하 을 경우 125Hz와 4kHz에서의 진동에 지 도 값을 보여 다. 일

반 으로 해석주 수가 높을 수록 진동 에 지 도가 빨리 감쇠하는 경향

을 보여주는데 해석결과로부터 이러한 상을 확인할 수 있다.

본 논문에서 정립하고 구 한 수효과가 함정의 진동해석에 어떠한

향을 미치는지 살펴보았다. 그림 5.16는 1kHz에서 추진 동기가 가진원일

때 수효과 유무에 따른 진동해석결과를 보여주며 수효과를 고려하지

않은 경우의 에 지 도 값이 수효과를 고려한 경우의 에 지 도 값

248

보다 높은 것을 확인할 수 있다. 3장에서 언 한 것처럼 수효과로 인해

부가질량과 진동에 지의 방사로 인한 추가감쇠가 발생하는데 추가 인

질량과 감쇠가 고려되었기 때문에 수효과로 인한 진동에 지 값이 감소

하는 것이 자연스러운 상이다. 이를 통해 워흐름해석법 기반의 수진

동해석 시스템이 잘 구축되었음을 확인할 수 있다.

한 마운트에 의한 진동 감효과가 제 로 반 되었는지 확인하기

하여 마운트 요소를 구 한 진동해석을 수행하 다. 추진 동기실 에 추

진 동기실과 동일한 면 물성치를 가지는 평 을 구 하 으며 그

사이를 마운트(6K2000)로 연결하 다. 마운트 에 연결된 평 에 N1 의

힘에 의한 워를 입력하여 진동해석을 수행하 으며 그림 5.17은 마운트

유무에 따른 함정의 진동해석 결과를 보여 다. 진동에 지 값을 통해 마

운트에 의한 진동 감을 확인할 수 있으며, 이를 통해 워흐름해석법 기

반의 감쇠구조물해석 시스템이 잘 구축되었음을 확인할 수 있다.

그림 5.18-5.19는 1kHz에서 추진 동기가 가진원일 때 추진 동기실의

두께 도 변화에 따른 진동해석결과를 보여 다. 기존 두께를 h 라고

할 때 3/hh - , h , 3/hh + , 3/2hh + 일 때와 기존 도를 r 라고 할 때

3/rr - , r , 3/rr + , 3/2rr + 일 때의 해석을 수행하 으며, 해석결과

249

를 살펴보면 추진 동기실의 두께와 도가 증가할수록 진동에 지가 감

소하는 것을 볼 수 있는데 이는 추진 동기실의 무게가 증가하지만 추진

동기에 입력 되는 힘은 동일하기 때문이다. 한 연구에 사용된 함정

(3500ton )의 진동에 지가 추진 동기실의 도변화보다 두께변화에 더

민감한 것을 확인할 수 있다.

5.2.2. 워흐름경계요소법 이용한 함정의 수 방사소음해석

워흐름유한요소법을 용하여 얻은 진동해석결과로부터 수된 요소

의 음향 인텐시티를 경계조건으로 고려하여 워흐름경계요소법을 이용하

여 1/1 옥타 밴드의 심주 수에 해서 LWT가 3500ton 인 함정의 수

방사소음해석을 수행하 다. 입력값이 역 값일 경우에는 시공간 평

균된 에 지 도를 변수로 사용하는 워흐름해석법의 특성상 역 해

석결과를 역 해석결과로 확장할 수 있다. 수 방사소음해석의 심

은 가진원으로부터 함정의 폭방향으로 200m, 함정의 높이방향으로 75m 떨

어진 곳에 치한다. 달함수는 가진원과 1m 떨어진 곳에서의 음압 값으

로 정의되므로 심 과의 거리차를 고려하여야 하는데, 일반 으로 사용

250

하는 식 (5.2)와 같은 구면 에 의한 확산손실 보정치를 용하 다.

그림 5.20은 보정치를 용한 각 가진원별 달함수와 그 합을 보여 다.

달함수 해석 결과를 살펴보면 주 수 역에서는 주 수가 커질수록

달함수 값이 증가하고 ∙고주 수 역에서는 달함수 값이 일정한 것

을 알 수 있다. 식 (5.8)에서 볼 수 있듯이 진동에 지 도에 방사효율 값

을 곱하여 음향 인텐시티를 구하게 된다. 주 수가 증가할수록 진동에 지

도는 감소하는 반면에 주 수가 증가할수록 방사효율 값은 증가하는데,

두 값이 곱해져 경계조건 값인 음향인텐시티를 구하게 되므로 달함수

값이 주 수 역에서는 주 수에 따라 증가하며 ∙고주 수 역에서는

일정한 것이다. 각 소음원별 달함수는 동일한 힘이 입력되어 발생하는

수 방사소음을 나타내므로 달함수를 통하여 각 소음원별 수 방사소음

달경로의 기여도를 확인할 수 있다. 한 그림 5.20에는 유사함정의 데

이터로부터 설정한 총 달함수 값의 범 가 표 되어 있으며 워흐름유

한요소법과 워흐름경계요소법을 통해 해석한 수 방사소음 달함수 값

이 설정범 (3dB 내외의 오차) 안에 포함되어 있는 것을 확인할 수 있다.

이를 통해 워흐름해석법을 이용한 기계류진동에 의한 함정의 수 방사

소음해석의 신뢰성을 확인할 수 있다.

251

그림 5.21은 추진 동기를 가진원으로 고려할 때 수효과의 유무에 따

른 보정치를 용한 수 방사소음 달함수 값을 보여 다. 그림 5.16을

보면 알 수 있듯이 수효과를 고려한 경우에는 수효과를 고려하지 않

은 경우보다 진동에 지 값이 감소한다. 한 부가질량으로 인하여 수된

요소의 자체질량보다 실질질량은 증가하게 된다. 식 (5.8)에서와 같이 다른

변수들의 값은 같고 수된 요소의 진동에 지 도가 감소하고 질량이 증

가할 경우에는 수된 요소의 음향인텐시티가 감소하며, 이로 인해 달함

수 값이 감소하게 된다. 수효과로 인해 고주 수 역에서 달함수가 약

6~7dB 감소하는데 수효과를 고려하지 않은 달함수 결과와 그림 5.20

에 표 된 달함수 상치와의 오차가 -6dB 정도임을 감안하면 수효과

를 고려함으로써 정확한 수 방사소음해석을 수행할 수 있으며, 이를 통해

워흐름해석법 기반의 수진동해석 시스템이 잘 구축되었음을 확인할

수 있다.

그림 5.22는 추진 동기를 가진원으로 고려할 때 마운트의 유무에 따른

보정치를 용한 수 방사소음 달함수 값을 보여 다. 수효과의 경우

와 마찬가지로 마운트에 의한 진동 감효과로 인해 마운트를 포함한 경우

에는 포함하지 않은 경우보다 진동에 지 값이 감소하며, 이로 인해 음향

252

인텐시티 값이 감소하고 수 방사소음 달함수 값이 어든다. 고주 수

역에서는 마운트에 의한 진동 감이 크기 때문에 달함수 값의 감소가

주 수 역에 비해 크며 평균 으로 11dB 감소하는 것을 볼 수 있다.

해석결과를 통해 워흐름해석법 기반의 감쇠구조물해석 시스템이 잘

구축되었음을 확인할 수 있다.

그림 5.23-5.24는 추진 동기실의 두께 도 변화에 따른 보정치를

용한 수 방사소음 달함수 해석 값을 보여 다. 그림 5.18-5.19에서 나타

낸 것과 같이 추진 동기실의 두께 도가 증가함에 따라 진동에 지

가 감소하기 때문에 수 방사소음 달함수 값도 한 감소하는 것을 확

인할 수 있으며, 진동에 지와 마찬가지로 연구에 사용된 함정(3500ton )

의 달함수 값은 추진 동기실의 도변화보다 두께변화에 민감한 것을

확인할 수 있다.

표 5.2는 추진 동기실의 두께 도에 따른 보정치를 용한 주 수

별 수 방사 소음의 달함수 추세식을 보여 다. 달함수 추세식을 통하

여 추진 동 기실의 두께가 2배 증가하면 달함수가 평균 6dB 감소하며

도가 2배 증가하면 달함수가 평균 1.5dB 감소하는 것을 확인할 수 있

으며, 이 경우에는 함정의 무게가 1.5ton 증가한다. 함정의 배수량에 비해

253

증가하는 무게는 크지 않지만 진동 에서 가장 민감한 가진원이 치한

곳의 무게가 증가하기 때문에 달함수의 감소폭이 큰 것으로 단할 수

있다. 달함수 추세식을 통하여 모델의 세부변경에 따른 연구에 사용된

함정(3500ton )의 수 방사소음 달함수 값을 측할 수 있다.

그림 5.25는 추진 동기실의 매질을 철에서 알루미늄으로 변경하 을

때의 보정치를 용한 수 방사소음 달함수 해석 값을 보여 다. 이 의

해석결과로부터 유추할 수 있듯이 매질이 철에서 알루미늄으로 변경될 경

우 추진 동기실의 무게가 감소하지만 입력되는 힘은 동일하기 때문에

달함수 값이 증가하는 것을 확인할 수 있다. 추진 동기실의 두께, 도,

매질의 변화와 같은 함정모델의 세부변경을 고려한 수 방사소음의 해석

이 가능한 것은 워흐름해석법이 기존에 사용되는 수 방사소음해석법인

달함수법 는 통계 에 지해석법에 비해서 가지는 장 이다.

달함수법은 경험식에 의한 해석법으로 새로운 모델 는 모델의 세부

변경에 해 데이터베이스화된 수 방사소음 값이 없다면 이를 반 할 수

없다. 통계 에 지해석법의 경우 함정을 일정부분의 하부시스템으로 나

어 모델링하기 때문에 모델에서 변경하고자하는 부분이 단독으로 하부시

스템화 되어 있지 않은 경우 선의 하부시스템을 재설정해야하는 단 이

254

있다. 한 통계 에 지해석법에서는 하부시스템의 모델링에 따라 해석결

과의 차이가 발생하기 때문에 체 하부시스템을 변경한다면 이에 따른

추가 인 해석오류가 발생할 수 있다. 하지만 워흐름해석법의 경우 그림

5.23-5.25에서 볼 수 있듯이 함정 모델의 세부변경을 고려한 수 방사소음

해석을 원활하게 수행할 수 있다. 따라서 특정 치에서 수 방사소음을 포

함한 함정의 진동∙소음 문제가 발생할 경우 함정모델을 세부 으로 변경하

고 워흐름해석법을 이용하여 진동∙소음을 해석한다면 문제 을 해결하기

한 개선안을 쉽게 도출해낼 수 있을 것이다.

255

Table 5.2. Tendency equation of transfer function of underwater radiated noise when thickness

and density of motor room are varied.

모델의 세부변경에 따른 함정(3500ton )의 수 방사소음 달함수 추세식 (dB)

주 수(Hz) 추진 동기실의 두께 (h) 추진 동기실의 도 (h)

32 55000h2 - 2100h + a1 -1.4x10-12ρ3 + 5.7x10-8ρ2 - 9.3x10-4ρ + b1

63 54000h2 - 2100h + a2 -2.3x10-12ρ3 + 8.3x10-8ρ2 -1.1x10-3ρ + b2

125 54000h2 - 2100h + a3 -1.4x10-12ρ3 + 5.8x10-8ρ2 -9.4x10-4ρ + b3

250 53000h2 - 2100h + a4 -1.4x10-12ρ3 + 5.8x10-8ρ2 -9.4x10-4ρ + b4

500 52000h2 - 2000h + a5 -1.4x10-12ρ3 + 5.8x10-8ρ2 -9.4x10-4ρ + b5

1000 51000h2 - 2000h + a6 -1.5x10-12ρ3 + 5.8x10-8ρ2 -9.5x10-4ρ + b6

2000 50000h2 - 2000h + a7 -1.4x10-12ρ3 + 5.8x10-8ρ2 -9.5x10-4ρ + b7

4000 48000h2 - 1900h + a8 -1.5x10-12ρ3 + 5.9x10-8ρ2 -9.5x10-4ρ + b8

8000 46000h2 - 1900h + a9 -1.3x10-12ρ3 + 5.4x10-8ρ2 -9.1x10-4ρ + b9

256

Fig. 5.6. Naval ship model.

Fig. 5.7. Vibration energy density distributions calculated by PFFEM.

257

Fig. 5.8. Fluid loaded element of the naval ship.

Fig. 5.9. Underwater radiated noise distributions calculated by PFBEM.

258

(a)

(b)

(c)

Fig. 5.10. Vibration energy density distributions generated by motor when =f 1kHz: (a)

overview, (b) side view, (c) bottom view.

259

(a)

(b)

(c)

Fig. 5.11. Vibration energy density distributions generated by main generator when =f 1kHz:

(a) overview, (b) side view, (c) bottom view.

260

(a)

(b)

(c)

Fig. 5.12. Vibration energy density distributions generated by machinery accessories when

=f 1kHz: (a) overview, (b) side view, (c) bottom view.

261

(a)

(b)

(c)

Fig. 5.13. Vibration energy density distributions generated by sub generator when =f 1kHz:

(a) overview, (b) side view, (c) bottom view.

262

(a)

(b)

(c)

Fig. 5.14. Vibration energy density distributions generated by motor when =f 125Hz: (a)


263

(a)

(b)

(c)



264

(a)

(b)


without fluid loading, (b) with fluid loading.

265

(a)

(b)


without mount, (b) with mount.

266

(a)

(b)

267

(c)

(d)


thickness: 3/hh - , (b) thickness: h , (c) thickness: 3/hh + , (d) thickness:

3/2hh + .

268

(a)

(b)

269

(c)

(d)


density: 3/rr - , (b) density: r , (c) density: 3/rr + , (d) density: 3/2rr + .

270

Fig. 5.20. Transfer function of underwater radiated noise generated by mechanical noise

sources.

271

Fig. 5.21. Transfer function of underwater radiated noise with and without fluid loading when

motor is generated.

272

Fig. 5.22. Transfer function of underwater radiated noise with and without mount when motor

is generated.

273

Fig. 5.23. Transfer function of underwater radiated noise by thickness variation of mechanical

source when motor is generated.

274

Fig. 5.24. Transfer function of underwater radiated noise by density variation of mechanical


275

Fig. 5.25. Transfer function of underwater radiated noise by material variation of mechanical


276

5.3. 탑재장비의 수 방사소음 기여도분석 공장인수시험 기 설정

5.3.1. 함정의 수 방사소음 기 치와 소나방정식

수 방사소음은 함정의 생존성과 직결되며 함정의 작 수행능력에 큰

향을 미치는 상당히 요한 항목이다. 이러한 수 방사소음은 수 방사

소음 기 치를 통해 함정의 개념설계 단계에서부터 철 하게 리되며

수 방사소음 기 치는 원활한 함운용을 해 반드시 만족시켜야 하는 값

으로 함정의 작 수행능력, 기술력, 경제력 등의 제반 여건에 의해 결정된

다. 수 방사소음은 낮은 수 을 가질수록 좋지만 과도하게 낮은 소음수

을 확보하기 해서는 많은 비용이 필요하므로 함정의 임무를 수행할 수

있는 한 수 에서 설정되는 것이 합리 이다.

함정의 수 방사소음기 치는 그림 5.26과 같은 과정을 거쳐 설정된다.

함정의 임무 작 환경은 개념설계 단계에서 결정되며, 이를 소나방정식

에 용하면 함정의 수 방사소음 기 치를 1차 으로 설정할 수 있다. 이

후 기본설계 단계에서 함정의 방사소음 수 을 측하고, 수 방사소음 기

치를 만족하지 못할 경우에는 소음감소를 한 책을 수립하여 이를

277

고려한 방사소음 수 을 측한다. 측한 방사소음 값이 기 치 이하라면

상세설계 단계가 진행되며 이 과정에서 방사소음 기 치가 수정될 수 있

다. 그림 5.27은 연구에 사용된 함정의 원활한 운용에 필요한 함정의 수

방사소음 기 치이다.

소나방정식은 함정의 수 방사소음 기 치를 1차 으로 설정하는데 주

로 사용되는 것으로, 수동소나방정식과 능동소나방정식으로 구분할 수 있

다. 그림 5.28과 같이 수동소나는 함이 송출하는 음향신호를 악하는

소나이고 능동소나는 자함이 탐색을 해 직 송출한 음향신호가 되돌아

오는 정도를 악하는 소나이며, 이에 한 수동소나방정식과 능동소나방

정식은 각각 다음과 같이 표 된다 (Urick, 1996).

DTDINLTLSL =--- )( (5.11)

DTDINLTSTLSL =--+- )(2 (5.12)

여기서 SL (Source Level)은 함정의 소음 벨이고 TL 은 수 방사소음이 소

나시스템까지 도달하는 과정에서의 음 의 달손실로 5.1 에서 설명한

로 확신손실과 감쇠손실의 합으로 표 된다. NL (Noise Level)은 수 에서

278

의 배경소음 벨이고 DI (Directivity Index)는 소나배열의 지향특성이고 DT

(Detection Threshold)는 탐지경계 벨이고 TS (Target Strength)는 목표물의

음향표 강도이다.

함정의 작 환경이 결정되면 TL , NL , DI , DT 를 구할 수 있으며 변

수들과 수동소나방정식을 이용하면 함정의 소음 벨 SL 을 구할 수 있는

데, 이때의 소음 벨 값이 작 환경을 만족하는 함정의 수 방사소음 기

치가 된다. 소나방정식의 변수들 목표물과의 거리에 가장 큰 향을 받

는 변수는 TL 인데 능동소나에서는 신호가 함정과 목표물 사이를 왕복하

기 때문에 2배의 거리를 고려한다. 일반 으로 자함의 수 방사소음 기

치 설정에는 능동소나방정식이 주로 사용된다.

5.3.1.1. 배경소음 벨

배경소음은 함정의 수 방사소음기 치 설정뿐만 아니라 수 방사소음

의 계측에서도 염두에 두어야 할 요한 요소이다. 배경소음은 바다자체에

서 발생하는 소음으로서 항시 존재하며 함의 운용 시에는 함정에서 발

생하는 수 방사소음과 함께 발생한다. 배경소음은 해상상태와 해역의 특

279

성에 따라 변동이 심하며, 배경소음 변화의 상당부분은 근처 해역에 운항

하는 선박 양의 변화 는 바람세기의 변화와 소음원의 변화에 기인한다.

이러한 변동성은 경험 으로 축 된 자료를 이용해 측될 수 있으며 가

장 잘 알려져 있는 측자료는 그림 5.29에 나타낸 Wenz (1936)의 해양소음

스펙트럼이다. 이는 고와 풍속과 같은 해상상태 해역의 특성을 고려

하여 주 수별 배경소음 벨을 나타낸다. 고와 풍속에 따른 해상상태는

USHO(U.S. Hydrographic Office)와 WMO(World Meterorological Oraniztion)에

의해 표 5.3과 같이 구분된다 (Fairbridge 1966, Grove 1980).

생물학 음원과 같은 일시 인 음원들로 인해 순간배경소음은 평균값

에 기반하여 평가된 소음 벨과 약 5~10dB의 차이를 보일 수 있다. 이 외

에도 음의 조건 변화에 의해 소음 가 변화하기도 하는데, 여름보다

음의 달이 잘 되는 겨울에는 평균 배경소음 벨이 더 높게 나타나기도

한다. 한 만이나 항구에서는 조류나 인간의 활동 등이 배경소음 변동의

주된 원인이 된다. 따라서 함정이 운용되는 해역의 배경소음에 자료확보가

요하다고 할 수 있다.

280

5.3.1.2. 소나배열의 지향특성

함정의 소나에서는 수 음 를 탐지하여 목표물의 존재유무 목표물

의 치를 악한다. 함정에서는 한 개의 센서를 사용하지 않고 여러 개의

하이드로폰(hydrophone)으로 이루어진 소나배열을 사용하여 수 음 의 지

향성을 부여함으로써 함정으로부터 떨어진 목표물의 방향과 거리를 악

한다. 함 에 사용되는 소나배열에는 1차원 인 선배열과 2차원 인 평면,

원, 실린더 배열 등이 사용되며 일반 으로 소나배열은 함정내부에 탑재되

므로 그 크기에 제한을 받게 된다.

소나배열의 목 은 수 음 로부터 목표물의 치를 악하는 것이며

이를 나타내기 한 값이 지향특성이다. 지향특성은 주축방향(응답이 가장

큰 방향)의 응답과 모든 방향에 한 응답을 평균한 값으로 나 어 값

으로써 주축 방향으로 얼마나 큰 응답을 나타내는지 의미하는 값이며 아

래와 같이 정의된다.

)dB(),(

2

1

)0,(log10

2

0

2

2,

10

ò=

pqq

pdkLp

kLpDI

a

rmsa (5.13)

281

한 표 인 배열의 지향특성은 표 5.4와 같다.

5.3.1.3. 탐지경계 벨

소나시스템에서 목표물의 치를 단하기 해 지향특성을 포함한 소나

배열이 사용되었다면 목표물의 존재여부를 단하기 해서는 탐지경계

벨을 활용한다. 탐지경계 벨은 목표물의 존재유무를 정하기 한 최소

한의 신호 잡음비를 의미하는 것으로, 소나배열에서 나오는 출력의 신

호 잡음비가 탐지경계 벨보다 작으면 목표물이 없는 것으로 단하고

크다면 목표물이 존재하는 것으로 단하게 된다. 탐지경계 벨은 다음과

같이 나타낼 수 있다.

)dB(log100

10N

SDT = (5.14)

여기서 S 는 신호출력이며 0N 는 1Hz 구간의 잡음출력을 나타낸다.

282

5.3.1.4. 음향표 강도

능동소나를 이용하여 탐지를 수행할 경우에는 자함에서 송출된 음 가

표 에 의해 산란되어 되돌아오는 신호를 활용하기 때문에, 표 의 음 에

한 산란특성을 정확히 악할 필요가 있다. 음향표 강도는 표 의 음

에 한 산란특성을 표하는 요한 변수로써 다음과 같이 정의된다.

)dB(log10 110

i

r

I

ITS == (5.15)

여기서 1=rI 는 1m 떨어진 곳에서 반사되어 되돌아 나오는 인텐시티이고,

iI 는 입사하는 인텐시티이다.

음향표 강도는 기하학 형상에 의해서 결정되기 때문에 수치해석을

통한 해석 측이 가능하며, 주 수 역에서는 BIE(Boundary Integral

Equat-ion), GTD(Geometrical Theory of Diffraction), BEM(Boundary Element

Method), FEM(Finite Element Method), Kirchhoff 근사식 등이 활용되고 고주

수 역에 서는 물리 학(physical optics)을 이용한 Kirchhoff 근사식이 리

283

사용되고 있다. Kirchhoff 근사식은 다른 해석방법에 비해 계산시간에 있어

장 을 가지고 있으며 원거리 표 에 해 이론값과 일치된 결과를 주는

방법이다.

Cross section은 표 이 입사 인텐시티를 받아들이는 가상의 면 으로써

반사 인텐시티와 입사 인텐시티의 비로써 정의된다. 인텐시티가 모든 방향

으로 동일하게 산란하는 경우에 Cross section은 식 (5.16)과 같이 표 된다.

i

r

I

I 14 ==p

s (5.16)

여기서 s 는 Cross section이다. 식 (5.15-5.16)으로부터 표 강도와 Cross

section과의 계를 식 (5.17)과 같이 나타낼 수 있다.

p

s

4log10 10=TS (5.17)

복잡한 형상을 지닌 표 의 음향표 강도 추정을 해서는 체 표 을

기하학 으로 단순한 형태를 가지는 많은 수의 요소로 나 어 각각의

284

Cross section을 추정한 다음 표 체의 Cross section을 추정한다. 간단한

형상을 가지는 표 의 경우 표 의 각 요소들에 의한 상 인 상차를

고려해야 한다. 하지만 함정이나 잠수함과 같이 크고 복잡한 표 의 경우

에는 각 요소들이 체 표 강도에 미치는 향이 유사하며 많은 수의 요

소에 한 상 인 상차를 모두 고려할 경우 큰 오차가 발생할 수 있

기 때문에 식 (5.18)과 같이 각 요소들에 한 상 인 상차를 고려하지

않는 방법(noncoherent approach)을 주로 사용한다.

å»n

ntotal ss (5.18)

여기서 totals 는 상차를 가지지 않는 체 표 의 Cross section이고 n 은

표 의 총 요소 수이고 ns 는 상 정보를 가지지 않는 각 요소의 Cross

section이다. 임의의 다각형에 해 Gordon (1975)은 Kirchhoff 근사식을 활용

하여 식 (5.19)와 같이 Cross section을 나타내었다.

[ ] ( ) [ ]2/

)2/sin(jexpˆjexp

cos

10

wak

wakwrkapwrk

T m

mm

M

mmn

×

××××-= å

=p

qs (5.19)

285

여기서 ns 요소의 단상태에서의 Cross section이고 q 는 요소의 법선벡터와

요소에 입사하는 벡터 사이의 각이고 0r 는 소나에서 좌표축의 원 을 가

리키는 치벡터이고 ma 은 평 에서 m번째 변의 길이와 치를 나타내는

벡터이며 mr 는 m번째 변의 을 가리키는 치벡터이고 M 은 요소의

변의 개수를 나타낸다. 한 siw ˆˆ -= , wnwnp ˆˆ/ˆˆˆ ´´= 로 정의되며 i 는

단 입사 방향벡터이고 s 는 단 반사방향 벡터이고 n 는 요소의 법선단

벡터이고 T 는 w을 요소가 치한 평면으로 정사 시켰을 때의 벡터

길이이다. T 가 0이 될 경우에는 식 (5.19)는 발산하게 되는데 이 경우에는

아래의 식을 사용한다.

[ ]wrkT

kAn ×-= 0jexpcos

jq

ps (5.20)

여기서 k 는 음 의 수이고 A는 요소의 면 이다.

286

5.3.2. 탑재장비의 수 방사소음 기여도분석

함정의 수 방사소음을 효과 으로 리하기 해서는 각 방사소음원별

리가 필요하다. 기계류진동에 의한 수 방사소음의 경우 소음원이 추진

동기, 형발 기, 보기류, 소형발 기 등으로 다양하기 때문에 각 탑재

장비의 수 방사소음 기여도를 분석한다면 기계류 수 방사소음의 주요

소음원을 식별할 수 있으며 이에 따른 효율 인 소음감소 책을 수립할

수 있다.

그림 5.30은 탑재장비의 수 방사소음 기여도분석을 한 차를 보여

다. 먼 마운트 양쪽의 가속도 벨을 측정하고 가속도 벨과 마운트의 동

강성을 이용하여 장비의 가진력을 계산한다. 다음단계로 각 가진원 별 소

음 달경로의 기여도를 계산하기 해 단 힘에 한 수 방사소음 값을

의미하는 달함수를 계산한다. 장비의 가진력과 달함수 값을 이용하면

각 장비가 수 방사소음에 미치는 향을 확인할 수 있다.

추진 동기의 수 방사소음 기여도분석을 수행하기 해 마운트 상단에

서의 주 수별 추진 동기의 가속도 벨과 추진 동기에 설치된 마운트(6k

2000)의 진동 감효과를 고려하 다. 마운트의 진동 감효과는 워흐름유

287

한요소법을 이용하여 계산한 마운트 상하단 가속도 벨의 차이로 설정하

으며, 마운트 상단의 가속도 벨은 표 5.5와 같고 워흐름유한요소법을

이용하여 계산한 마운트의 진동 감효과는 표 5.6과 같다.

추진 동기의 가진력을 계산하기 해서는 마운트의 동강성을 알아야

하며 마운트의 동강성과 상하단 가속도 값으로부터 장비의 가진력을 식

(5.21)과 같이 계산할 수 있다.

2/wKaKuF == (5.21)

여기서 K 는 마운트의 동강성이고 a 는 마운트 하단에서의 가속도 값 w

는 주 수이다.

마운트의 동강성은 마운트가 설치된 시스템의 진동계측을 통해서 얻어

야 하는 값이며 계측치를 확보할 수 없는 경우에는 해석 인 방법을 이용

하여 추진 동기의 가진력을 계산할 수 있다. 마운트의 상하단 가속도 값

을 알고 있으므로 2/wau = 를 이용하여 마운트 양단의 변 경계조건을

구 하고 마운트를 횡방향으로 진동하는 탄성체로 고려할 경우 경계조건

을 이용하면 의 단면에 작용하는 힘으로부터 장비의 가진력을 계산할

288

수 있다. 마운트는 길이에 비해 단면 이 크기 때문에 마운트의 횡방향 진

동을 계산하기 해서는 단변형효과를 고려해야만 한다. 마운트를 4장에

설명된 Rayleigh-Bishop 으로 고려하면 의 단면에 작용하는 힘을 식

(5.22)와 같이 나타낼 수 있다.

3

32

2

32

x

uGI

tx

uI

x

uESF pp

¶

¶-

¶¶

¶+

¶

¶= nrn (5.22)

여기서 E 는 률이고 S,r 는 각각 의 도와 단면 이고 pI 는 단면

의 극 성모멘트이고 n 는 아송비이다.

워흐름해석법은 선형시스템이므로 단 힘으로부터 계산된 달함수

값에 추진 동기의 가진력을 용하면 추진 동기의 수 방사소음 기여도

를 계산할 수 있다. 그림 5.20으로부터 그림 5.31과 같이 추진 동기의 수

방사소음 기여도를 계산할 수 있다.

289

5.3.3. 수 방사소음 기 치의 기여도할당을 통한 탑재장비의 공장인수시험

기 설정

각 탑재장비에 의한 수 방사소음을 효율 으로 리하기 해서는 탑

재장비별로 수 방사소음 기 치를 설정할 필요가 있다. 이를 해서는

체 수 방사소음을 구성하는 소음원별 기 치에 해 기여도할당을 수행

하여야 하며 원활한 기여도할당을 해서는 체 수 방사소음원에 한

정보가 필요하다. 기계류진동의 경우 소음원의 종류가 다양하기 때문에 탑

재장비별 수 방사소음 기 치를 설정하기 해서는 각 탑재장비에 한

기여도 할당이 필요하며 이를 해서는 탑재장비 는 유사기계류들의 소

음정보가 필요하다. 이러한 기여도할당은 수 방사소음 감소 책 수립

는 함정의 경제 인 설계를 해 유용하게 사용되는 차이다.

수 방사소음 기 치의 기여도할당을 그림 5.32와 같은 차로 수행하

다. 체 수 방사소음 기 치가 설정된 선속에서 작동하는 장비만 고려

하 으며 소음원 데이터가 정립되어있고 수 방사소음에 큰 향을 미치

는 기계류진동과 로펠러만을 소음원으로 고려하 다. 체 수 방사소음

의 기 치를 L 이라고 할 때 로펠러에 의한 수 방사소음이 a 라면 기

290

계류 진동에 의한 수 방사소음은 aL - 이하여야 한다. 체 수 방사소

기 치가 설정된 선속에서는 형발 기를 제외한 추진 동기, 소형발 기,

보기류만 작동하므로 형발 기는 고려하지 않았다. 추진 동기, 소형발

기, 보기류의 가속도 값으로부터 가진력의 상 크기를 알 수 있으며

그림 5.20에 제시된 달함수 값을 이용하면 소음 달경로의 기여도를

악할 수 있다. 이로부터 각 장비에 한 수 방사소음 기 치를 설정할 수

있다.

그림 5.33은 보정치를 용한 추진 동기의 수 방사소음 기여도와 기여

도할당을 통해 얻은 추진 동기의 수 방사소음 기 치를 보여 다. 추진

동기의 기여도가 기 치보다 클 경우에는 기 조건을 만족하지 못하는

것이므로 추진 동기 는 추가 인 소음감소 책이 수립되어야 하며, 추

진 동기의 기여도가 기 치보다 작은 경우에는 추진 동기의 용타당성

을 확인할 수 있다. 그림 5.33의 경우에 고주 수 역에서는 추진 동기의

기여도가 기 치보다 작지만 주 수 역에서는 추진 동기의 기여도가

기 치보다 크기 때문에, 추진 동기의 재검토와 소음 감을 한 추가감

소 책이 용되어야 한다. 주 수 역에서 추진 동기의 가속도 벨을

표 5.7과 같이 감소시키고 추진 동기실의 두께를 기존두께 h 에서

291

3/2hh + 로 변경한다면 그림 5.34와 같이 보정치를 용한 추진 동기의

수 방사소음 기여도 값을 얻을 수 있다. 그림 5.34에서 추진 동기의 수

방사소음 기여도 값이 기 치보다 작기 때문에 도출한 개선안을 그 로

용하여도 무방하다는 결론을 얻을 수 있으며, 이를 통해 기 치 만족을

해 필요한 추진 동기의 공장인수시험의 기 을 설정할 수 있다.

292

Table 5.3. Relationship of sea state, wind speed, and wave height.

USHO WMO

Sea state Wind

Speed(m/s)

Significant wave

height (m)

Wind

Speed(m/s)

Significant wave

height (m)

0 0.25 0 0.75 0

1 1.0 0.15 2.5 0.15

2 1.5 0.6 4.4 0.46

3 4.5 1.2 6.9 0.91

4 9.8 3.9 9.8 1.8

5 17.5 3.0 12.6 3.2

6 22.6 4.9 19.3 5.0

7 26.5 9.2 26.5 7.6

8 30.6 >12.2 30.6 11.4

9 >32.9 >12.2 >32.9 >13.7

293

Table 5.4. Directivity index of sonar array.

배열 DI (Directivity Index) 비고

직선, 링 등 임의의 선배열 ÷ø

öçè

æ

l

L2log10 10 L : 길이

원, 사각형 등 임의의 평면배열 ÷ø

öçè

æ210

2log10

l

pS S : 면

구면배열 ÷ø

öçè

æ210

2log

5

8

l

p aS

4

2DSa

p=

D : 직경 구형배열 (체 ) ÷ø

öçè

æ210

2log

9

16

laLS

Table 5.5. Accelartaion levels of motor at the top side of mount.

마운트 상단에서의 추진 동기의 가속도 벨 (dB, ref 10-5m2/s)

32Hz 63Hz 125Hz 250Hz 500Hz 1kHz 2kHz 4kHz 8kHz

32a 63a 125a 250a 500a ka1 ka2 ka4 ka8

294

Table 5.6. Vibration reduction effect of mount calculated from PFFEM.

추진 동기에 설치된 마운트의 진동 감효과 (dB, ref 10-5m2/s)


12 17 15 18 21 21 25 29 31

Table 5.7. FAT levels of motor.

추진 동기의 재검토를 통한 FAT 기 (dB, ref 10-5m2/s)


832 -a 763-a 4125-a 6250 -a 500a ka1 ka2 ka4 ka8

295

Fig. 5.26. Flow chart for establishment of limit level of underwater radiated noise.

Fig. 5.27. Limit level of underwater radiated noise of the naval ship.

296

(a)

(b)

Fig. 5.28. Two kinds of sonar: (a) passive sonar, (b) active sonar.

297

Fig. 5.29. Wenz curve for ambient noise of sea.

Fig. 5.30. Flow chart for obtaining contribution level of underwater radiated noise generated by

machine.

298

Fig. 5.31. Contribution level of underwater radiated noise generated by motor.

Fig. 5.32. Allocation of contribution level of underwater radiated noise for each noise source.

299

Fig. 5.33. Contribution level and limit level of underwater radiated noise generated by motor.

300

Fig. 5.34. Modified contribution level and limit level of underwater radiated noise generated by

motor.

301

6. 결론 향후 추천연구

6.1. 결론

본 논문에서는 함정의 기계류진동에 의한 수 방사소음해석을 한

워흐름해석법을 개발하 으며, 개발한 워흐름해석법을 이용하여 기계류

진동에 의한 수 방사소음을 해석할 수 있는 시스템을 구축하 다. 수행된

연구의 주요내용은 다음과 같다.

(1) Mean flow와 맞닿아 있는 평 의 워흐름해석법을 개발하 다. 속도

포텐셜을 이용하여 유체가 평 에 미치는 압력을 표 하 으며 mean flow

의 향을 고려한 부가질량, 방사감쇠계수, 워투과반사계수를 이용하여

mean flow와 맞닿아 있는 평 의 워흐름지배방정식을 유도하 다. 평

의 굽힘방향 수가 굽힘 의 진행방향과 mean flow의 진행방향에 따라 달

라지기 때문에 2종류의 에 지 달속도를 가지게 되며, 유도된 워흐름지

배방정식 한 2종류의 에 지 달속도로 표 된다. Mean flow가 맞닿아있

는 단순평 과 연성평 에 해서 다양한 주 수에 한 워흐름 해석을

302

수행하 으며 엄 해와의 비교를 통해 mean flow와 맞닿아 있는 평 의

워흐름해석법의 신뢰성을 검증하 다.

(2) 마운트에 의한 진동 감효과를 반 하기 하여 감쇠계수가 큰

보의 워흐름해석법을 개발하 다. 기존 워흐름해석법에서는 감쇠계

수 가정을 사용하여 지배방정식을 유도하 기 때문에 고무와 같이 감쇠계

수가 큰 구조물의 진동해석을 수행하기 어려웠지만 새롭게 유도한 워흐

름해석법에서는 감쇠계수 가정을 사용하지 않았기 때문에 감쇠계수가

큰 구조물의 진동해석을 원활하게 수행할 수 있다. 개발한 워흐름해석법

의 신뢰성을 검증하기 해 감쇠계수가 큰 보에 해 다양한 워

흐름해석을 수행하여 엄 해와 비교하 으며, 새롭게 개발한 워흐름해석

법이 기존의 워흐름해석법보다 엄 해와 유사한 결과를 주는 것을 확인

하 다.

(3) 부분의 마운트는 단면 이 길이에 비해 상당히 크기 때문에 마운트

를 으로 고려하여 진동해석을 수행하기 해서는 단변형효과를 고려

할 필요가 있다. 본 논문에서는 단 성만을 고려한 Rayleigh-Love 과

303

단 성 단강성을 고려한 Rayleigh-Bishop 의 워흐름해석법을 개

발하 다. Rayleigh-Love 은 임계주 수 이하에서는 용 가능하지만 임

계주 수 이상에서는 용할 수 없는 반면에 Rayleigh-Bishop 은 주 수

의 제한 없이 용할 수 있는 특징을 가진다. 단면 이 길이에 비해 큰

구조물과 함정에 실제로 사용되는 마운트에 한 진동해석을 통해 새롭게

개발한 워흐름해석법이 고주 수 역 단면 이 큰 경우에 발생하는

단변형효과를 잘 반 하는 것을 검증하 다. 한 새롭게 유도한 워흐

름지배방정식은 감쇠계수 가정이 사용되지 않았기 때문에 구조물의 감

쇠계수가 큰 경우에도 사용할 수 있다.

(4) 워흐름해석법 기반의 수진동해석 시스템을 구축하여, 수효과를

고려한 함정의 진동해석을 가능하게 하 다. Mean flow에 맞닿아 있는 평

의 워흐름해석법에서 Mean flow의 유속을 0으로 고려하여 수효과만

을 고려한 워흐름지배방정식을 유도하 으며 이를 이용하여 수진동해

석 시스템을 구축하 다. 흘수아래의 수요소를 해석 시스템 내에서 자동

으로 검색할 수 있게 하 으며, 수효과 유무에 따른 함정의 진동해석

수 방사소음해석을 통하여 워흐름해석법 기반의 수진동해석 시스

304

템이 잘 구축되었음을 확인하 다. 수효과를 고려함으로써 부가질량과

진동에 지의 방사로 인한 추가감쇠를 고려하기 때문에 수효과를 고려

하지 않은 경우에 비해 진동에 지 도가 감소하게 되며, 이로 인해 방사

소음 달함수가 감소하게 된다. 연구에 사용된 함정(3500ton )의 경우

수효과로 인해 고주 수 역에서 방사소음 달함수가 6~7 dB 감소하

으며, 수효과를 고려하지 않은 기존의 워흐름해석법의 해석결과가

달함수 상치와 약 6dB 정도의 오차가 있는 것을 감안한다면 수효과를

고려함으로써 정확한 수 의 수 방사소음해석을 수행할 수 있음을 확인

하 다.

(5) 워흐름해석법 기반의 감쇠구조물해석 시스템을 구축하여, 감쇠효과를

고려한 함정의 진동해석을 가능하게 하 다. 임계주 수와 상 없이 모든

주 수 역에 용할 수 있으며 단 변형 효과를 무시할 수 있는 경우에

는 고 과 유사한 결과를 주는 Rayleigh-Bishop 의 워흐름해석법을

이용하여 감소구조물해석 시스템을 구 하 다. 함정의 진동해석 시, 마운

트를 반 한 경우에는 마운트를 반 하지 않은 경우에 비해 마운트에 의

한 감쇠효과로 인해 진동 에 지 도가 감소하며, 이로 인해 방사소음

305

달함수가 감소하게 된다. 연구에 사용된 함정(3500ton )의 경우 마운트의

감쇠효과로 인해 고주 수 역에서 방사소음 달함수가 평균 11dB 감소

하 으며, 이를 통해 워흐름해석법 기반의 감쇠구조물해석 시스템이 잘

구축 되었음을 확인하 다.

(6) 개발한 워흐름해석법을 이용하여 기계류진동에 의한 함정의 수 방

사소음 해석을 수행하 다. 워흐름유한요소법을 이용하여 함정의 진동해

석을 수행하 으며 워흐름경계요소법을 활용하여 함정의 수 방사소음

해석을 수행하 다. 단 힘이 입력되었을 때 가진원으로부터 1m 떨어진

곳에서의 음압으로 정의되는 달함수를 가진원별로 계산하 으며, 계산한

달함수 값이 유사함정으로부터 설정된 달함수의 범 (약 3dB 내외의

오차)안에 포함되는 것을 보임으로써 워흐름해석법을 이용한 수 방사소

음해석의 신뢰성을 검증하 다. 한 수효과, 마운트의 유무에 따른

달함수값을 계산하 고 계산된 값을 통해 수효과 마운트의 향이

수 방사소음해석에 잘 반 되었음을 확인하 다. 마지막으로 추진 동기

실의 두께, 도, 재료변경에 따른 함정(3500ton )의 수 방사소음해석을

수행하고 방사소음 달함수의 변화 추세를 정리함으로써 다른 해석법

306

에서는 반 하기 힘든 모델의 세부변경에 의한 향을 고려할 수 있는

워흐름해석법 기반의 수 방사소음해석의 장 을 확인하 다.

(7) 워흐름해석법 기반의 수 방사소음해석 시스템을 이용하여 함정에

탑재된 장비의 수 방사소음 기여도 분석 공장인수 시험기 을 설정할

수 있는 방안을 제시하 다. 추진 동기의 수 방사소음 달함수 값과 추

진 동기의 가진력을 이용하여 추진 동기의 수 방사소음 기여도를 계산

하 으며, 함정의 수 방사소음 기 치와 각 소음원별 소음데이터를 활용

하여 기여도할당을 수행하고 추진 동기의 수 방사소음 기 치를 설정하

다. 기여도할당을 통해 얻은 추진 동기의 수 방사소음 기 치와 추진

동기의 기여도비교를 통해 추진 동기의 용타당성을 확인할 수 있으

며 공장인수시험 기 을 설정할 수 있다.

307

6.2. 향후 추천연구

본 논문에서 제시한 연구내용을 발 시켜 워흐름해석법을 이용한 함

정의 수 방사소음해석을 해 다음과 같은 연구를 제안한다.

(1) 본 논문에서는 기계류진동에 의한 수 방사소음만을 고려하 는데, 이

를 발 시키기 해서는 기계류진동뿐만 아니라 다른 소음원의 향을 고

려할 수 있는 워흐름해석법의 개발 해석 시스템구축이 필요하다. 기

계류에 의한 공기음 는 난류유동에 의한 소음을 해석할 수 있는 워흐

름해석법이 개발 시스템화 되어야 하며 수 방사소음에 큰 향을 미

치는 추진기의 소음을 해석할 수 있는 방안이 연구되어야 한다.

(2) 재까지 구 된 워흐름해석법 기반의 소음해석 시스템은 하나의

역에 해서만 소음해석을 수행할 수 있다. 함정 는 선박의 경우 기계류

에 의한 공기음이 선실 1개가 아닌 선에 향을 미치므로 기계류에 의

308

한 공기음의 해석을 해서는 여러 개의 역으로 이루어진 공간에 한

소음을 수행할 수 있는 워흐름경계요소법이 개발되어야 한다. 재 다

역에 용할 수 있는 워흐름경계요소법은 연구단계에 있으며, 기계류에

서 발생하는 공기음에 의한 함정의 수 방사소음해석을 수행하기 해서

는 다 역 워흐름경계요소법 기반의 해석 시스템구축이 필요하다.

(3) 재까지 워흐름해석법은 내장재효과를 반 한 함정의 진동해석

소음해석을 수행할 수 없다. 더 정확한 진동∙소음해석을 해서는 워흐

름해석법 기반의 해석 시스템에 내장재효과를 반 할 수 있는 방안이 연

구되어야 한다.

(4) 함정뿐만 아니라 상선에서는 단순패 이 아닌 구조가 복잡한 복합패

이 사용된다. 워흐름해석법을 이용하여 정확한 진동해석을 수행하기

해서는 복합패 의 진동해석을 수행할 수 있는 워흐름해석법이 개발되

어야 하며, 이를 기반으로한 진동해석 시스템이 구축되어야 한다.

309

참고 문헌

Andresen, K., Underwater noise from ship hulls, Proceedings, International

Conference on Noise & Vibration in the Marine Environment, May, London,

1999, pp. 1-22.

Belov, V.D., Rybak, S.A. and Tartakovskii, B.D., Propagation of vibrational energy in

absorbing structures, Journal of Soviet Physics Acoustics 23 (2) (1977), pp. 115-

119.

Bouthier, O.M., Bernhard, R.J., Simple models of energy flow in vibrating

membranes, Journal of Sound and Vibration 182 (1) (1995), pp.129-147.

Bouthier, O.M., Bernhard, R.J., Simple models of the energetics of transversely

vibrating plates, Journal of Sound and Vibration 182 (1) (1995), pp.149-164.

Cho, P.E., Energy Flow Analysis of Coupled Structures, PhD. Dissertation, Purdue

University, 1993.

Cremer, L., Heckl, M., Structure-Borne Sound: structural vibrations and sound

radiation at audio frequencies, Springer, Berlin, 1988.

Davies, H.G., Sound from turbulent-boundary-layer-excited panels, The Journal of the

Acoustical Society of America 49 (1971), pp. 878-889.

Design guide for shipboard airborne noise control, Technical and Research Bulletin

No. 3-37, SNAME, 1983.

310

Fairbridge, R.W., The Encyclopedia of Oceanography, New York: Reinhold

Publishing Company, 1966.

Gordon, W.B., Far-field approximations to the Kirchhoff-Helmholtz representations of

scattered fields, Antenna and Propagation, IEEE Transacitons on 23 (4) (1975),

pp.590-592.

Goyder, H.G.D., White, R.G., Vibrational power flow from machines into built-up

structures: Part III, Journal of Sound and Vibration 68 (1) (1980), pp.97-117.

Grove, D.G., Hurt, L.M., Ocean World Encyclopedia, New York: McGraw-Hill, 1980.

Haddara, M.R., Cao, S., A study of the dynamic response of submerged rectangular

flat plates, Marine Structures 9 (10) (1996), pp. 913-933.

Han, J.-B., Hong, S.-Y. and Song, J.-H., Energy flow model for thin plate considering

fluid loading with mean flow, Journal of Sound and Vibration 331 (24) (2012),

pp.5326-5346.

Han, J.-B., Hong, S.-Y., Song, J.-H. and Kwon, H.-W., Vibrational energy flow

models for the 1-D high damping system, Journal of Mechanical Science and

Technology 27 (9) (2013), pp.2659-2671.

Han, J.-B., Hong, S.-Y., Song, J.-H. and Kwon, H.-W., Vibrational energy flow

models for the Rayleigh-Love and Rayleigh-Bishop rods, Journal of Sound and

Vibration 333 (2) (2014), pp.520-540.

311

Hardy, P., Ichchou, M., Jezequel, L. and Trentin, D., A hybrid local energy formulation

for plates mid-frequency flexural vibrations, European Journal of Mechanics-

A/Solids 28 (1) (2009), pp.121-130.

Ichchou, M.N., Jezequel, L., Comments on simple models of the energy flow in

vibrating membranes and on simple models of the energetic of transversely

vibrating plates, Journal of Sound and Vibration 195 (4) (1996), pp.679-685.

Jensen, F.B., Kuperman, W.A., Porter, M.B. and Schmidt, H., Computational ocean

acoustics, Springer, 1994.

Kerboua, Y., Lakis, A.A., Thomas, M. and Marcouiller, L., Vibration analysis of

rectangular plates coupled with fluid, Applied Mathematical Modelling 32 (12)

(2008), pp. 2570-2586.

Kim, J.-D., Hong, S.-Y., Kwon, H.-W. and Song, J.-H, Energy flow model considering

near field energy for predictions of acoustic energy in low damping medium,

Journal of Sound and Vibration 330 (2) (2011), pp.271-286.

Kwon, H.-W., Hong, S.-Y., Lee, H.-W. and Song, J.-H, Power flow boundary element

analysis for multi-domain problems in vibrational built-up structures, Journal of

Sound and Vibration 330 (26) (2011), pp.6482-6494.

Langley, R.S., Heron, K.H., Elastic wave transmission through plate/beam junctions,


312

Lase, Y., Ichchou, M.N. and Jezequel, L., Energy flow analysis of bars and beams:

theoretical formulations, Journal of Sound and Vibration 192 (1) (1996), pp.281-

305.

Leppington, F.G., Broadbent, E.G. and Heron, K.H., The acoustic radiation efficiency

of rectangular panels, Proceedings of Royal Society of London A 382 (1982), pp.

245-271.

Maidanik, G., Response of ribbed panels to reverberant acoustic fields, The Journal of

the Acoustical Society of America 34 (1962), pp. 809-826.

Nefske, D.J., Sung, S.H., Power flow finite element analysis of dynamic systems:

basic theory and application to beams, Journal of Vibration, Acoustics, Stress and

Reliability in Design 111 (1989), pp. 94-100.

Noiseux, D.U., Measurement of power flow in uniform beams and plates, The Journal

of the Acoustical Society of America 47 (1970), pp. 238-247.

Park, D.-H., Hong, S.-Y, Kil, H.-G. and Jeon, J.-J., Power flow model and analysis of

in-plane waves in finite coupled thin plates, Journal of Sound and Vibration 244

(4) (2001), pp. 651-668.

Park, Y.-H., Hong, S.-Y., Vibrational energy flow analysis of corrected flexural waves

in Timoshenko beam-Part I : Theory of an energetic model, Shock and Vibration

13 (3) (2006), pp.137-165.

313

Park, Y.-H., Hong, S.-Y., Vibrational energy flow analysis of corrected flexural waves

in Timoshenko beam-Part II : Application to coupled Timoshenko beams, Shock

and Vibration 13 (3) (2006), pp.167-196.

Park, Y.-H., Hong, S.-Y., Hybrid power flow analysis using coupling loss factor of

SEA for low-damping system―Part I: Formulation of 1-D and 2-D cases,


Park, Y.-H., Hong, S.-Y., Hybrid power flow analysis using coupling loss factor of

SEA for low-damping system―Part II: Formulation of 3-D case and hybrid

PFFEM, Journal of Sound and Vibration 299 (3) (2007), pp.460-483.

Park, Y.-H., Hong, S.-Y., Vibrational power flow models for transversely vibrating

finite Mindlin plate, Journal of Sound and Vibration 317 (3) (2008), pp.800-840.

Seo, S.-H., Hong, S.-Y. and Kil, H.-G., Power flow analysis of reinforced beam-plate

coupled structures, Journal of Sound and Vibration 259 (5) (2003), pp. 1109-

1129.

Urick, R.J., Principles of underwater sound, McGraw-Hill, NY, 1996.

Wenz, G.M., Acoustic ambient noise in the ocean: spectra and sources, The Journal of

the Acoustical Society of America, 34 (1962), pp.1936-1956.

Wohlever, J.C., Bernhard, R.J., Mechanical energy flow models of rods and beams,

Journal of Sound and Vibration 153 (1) (1992), pp. 1-19.

314

Zhang, W., Wang, A. and Vlahopoulos, N., An alternative energy finite element

formulation based on incoherent orthogonal waves and its validation for marine

structures, Finite Elements in Analysis and Design 38 (12) (2002), pp. 1095-1113.

Zhang, W., Wang, A., Vlahopoulos, N. and Wu, K., High-frequency vibration analysis

of thin elastic plates under heavy fluid loading by an energy finite element

formulation, Journal of Sound and Vibration 263 (1) (2003), pp. 21-46.

Zhang, W., Vlahopoulos, N. and Wu, K. An energy finite element formulation for

high-frequency vibration analysis of externally fluid-loaded cylindrical shells

with periodic circumferential stiffeners subjected to axi-symmetric excitation,

Journal of Sound and Vibration 282 (3) (2005), pp. 679-700.

Zhang, W., Wang, A., Vlahopoulos, N. and Wu, K., A vibration analysis of stiffened

plates under heavy fluid loading by an energy finite element analysis formulation,

Finite Elements in Analysis and Design 41 (11) (2005), pp. 1056-1078.

권 웅, 워흐름해석법을 이용한 진동소음 완 연성 해석 시스템 개발,

박사학 논문, 서울 학교, 2009.

김성희, 진동음향 연성을 한 3차원 워흐름유한요소법 연구, 석사학

논문, 서울 학교, 2007.

김 실, 강 주, 김 기, 김상렬, 탄성지지된 박용 펌 의 고체음 감에

한 연구, 한조선학회논문집, 44 (5) (2007), pp.488-495.

315

박도 , 연성된 평 상자형 구조물의 진동 워흐름해석, 석사학 논

문, 서울 학교, 1999.

박 호, 고주 역에서 진보된 진동해석을 한 Timoshenko 보와

Mindlin 의 에 지흐름모델개발과 에 지흐름유한요소해석법의 확장

연구, 박사학 논문, 서울 학교, 2006.

서성훈, 다차원 구조부재 연성구조물의 고주 진동해석을 한 워흐

름유한요소법 개발, 박사학 논문, 서울 학교, 2005.

이호원, 고주 소음해석을 한 음향 워흐름경계요소 모델 해석시

스템 개발, 박사학 논문, 서울 학교, 2006.

316

Abstract




Ju-Bum Han

Naval Architecture& Ocean Engineering

The Graduate School

Seoul National University

Power flow analysis(PFA) is known as an effective analysis method for prediction of

the noise and vibration responses of the system structure in the medium-to-high

frequency ranges compared with the traditional analysis methods based on

displacement and pressure, because the time and space averaged energy density and

intensity are used as the primary variables of PFA. The energy transfer equation

(which is the relationship between the energy density and the intensity), the power

balance equation (which refers to the time rate of energy change within the control

317

volume of the system structure), and the power dissipation equation allow the

governing equation of PFA. Since the governing equation of PFA is a second order

diffierential equation which is analogous to the heat conduction equation in a steady

state, finite element and boundary element methods, which are very effective

numerical techniques for predicting the noise and vibration responses of the system

structure, can be applied to PFA. Solutions of governing equation of PFA are obtained

by using finite element method in power flow finite element method (PFFEM), and

PFFEM is appropriate for predicting the vibrational energy density of the complex

structure. Power flow boundary element method (PFBEM) is useful for evaluating the

acoustic energy density of the complex structure, and solutions of governing equation

of PFA are presented by using boundary element method in PFBEM.

In this paper, PFA for predictions of underwater radiated noise generated by

machinery vibrations of naval ships was developed and analysis system based on PFA

for predicting underwater radiated noise of naval ships was built. PFA for thin plate

with mean flow was developed, and the governing equation of PFA considering the

fluid loading effect was derived from the developed PFA. Also, considering the fluid

loading effect, vibration analysis system based on PFA was developed. To consider the

318

vibrational damping effect of a mount which was used as a vibration isolator in naval

ships, 1-D high damping systems of PFA were developed. PFA for the Rayleigh- Love

and Rayleigh-Bishop rods which include the lateral motion of rod were developed to

consider the lateral motion effect which is significant for large diameter rods such as a

mount. Using the developed PFA, vibration analysis system which can consider

damping effect of a vibration isolator was developed.

Additionally, using underwater radiated noise analysis system developed in this

paper, underwater radiated noise levels of a naval ship were predicted. Vibration

responses of a naval ship were predicted by using PFFEM, and the vibrational energy

density of fluid loaded elements was converted to the acoustic intensity. The acoustic

intensity of fluid loaded elements was used as boundary conditions at PFBEM, and

underwater radiated noise of a naval ship was predicted by using PFBEM.

Underwater radiated noise levels of a naval ship were expressed as the transfer

function, and the accuracy of underwater radiated noise analysis system based on PFA

was verified by comparing the transfer function with guide line of the transfer

function predicted from the parent ship of the naval ship. Using the transfer function,

319

contribution levels of the machinery equipment of a naval ship were obtained and

factory acceptance test (FAT) levels of the machinery equipment were determined.

Keywords: Underwater radiated noise, Machinery vibration, Naval ships,

Power flow analysis, Fluid loading, High damping.

Student number: 2007-20674

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