discrete mathematics & its applications (graphs)

Discrete Mathematics & Its Applications

Chapter 10 : Graphs

Fahrul Usman

Institut Teknologi Bandung

Pengajaran Matematika

16/12/2015

Sub Topik

A. Graf dan Model Graf

B. Terminologi Dasar Graf dan Jenis Khusus

Graf

C. Representasi Graf dan Graf Isomorfik

D. Keterhubungan

Fahrul Usman / Pengajaran Matematika ITB

2

Sejarah Graf

Menurut catatan sejarah, jembatan

Konigsberg adalah masalah yang

pertama kali menggunakan graf

(tahun 1736). Ia memodelkan

masalah ini ke dalam graf. Daratan

(titik-titik yang dihubungkan oleh

jembatan dinyatakan sebagai titik

(noktah) yang disebut simpul (vertex)

dan jembatan dinyatakan sebagai

garis yang disebut sisi (edge).


3

Peta Sulawesi

Sebuah peta jaringan jalan raya yang

menghubungkan sejumlah kota di

Sulawesi. Peta tersebut adalah sebuah

graf yang dalam hal ini kota

dinyatakan sebagai bulatan

sedangkan jalan dinyatakan sebagai

garis. Dengan diberikannya peta

tersebut, kita dapat mengetahui

apakah ada lintasan jalan antara dua

buah kota.


A. GRAF DAN MODEL GRAF

Secara matematis, graf didefinisikan sebagai berikut :

Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E) yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak kosong dari simpul (vertices atau node) dan E adalah himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul.

Simpul pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c, ..., v, w, ... dengan bilangan asli 1, 2, 3, ..., atau gabungan keduanya. Sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v dinyatakan dengan pasangan (u, v) atau dinyatakan dengan e1, e2, e3, ... Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v, maka e dapat kita tuliskan, e = (u, v)


6

Contoh :

Gambar di atas memperlihatkan tiga buah graf G1, G2, dan G3.

G1 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E

V = 1, 2, 3, 4

E = (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4)


V = 1, 2, 3, 4

E = (1,2), (1,3), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4), (3,4)

sisi ganda adalah (1,3) dan (3,4)


V = 1, 2, 3, 4

E = (1,2), (1,3), (1,3), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (3,4)

gelang (loop) adalah (3,3) berawal dan berakhir pada simpul yang sama


7

Jenis-jenis Graf

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu

graf. Secara umum dapat digolongkan menjadi dua jenis :

1. Graf sederhana (simple graph)

Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi ganda.

2. Graf tak-sederhana (unsimple graph)

Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang. Ada dua

macam graf tak sederhana, yaitu graf ganda (multigraph)

dan graf semu (pseudograph).


8

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf

dibedakan atas 2 jenis yaitu :

1. Graf tak-berarah (undirected graph)

Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf

tak-berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh

sisi tidak diperhatikan. Jadi, (u, v) = (v, u) adalah sisi yang

sama.

2. Graf berarah (directed graph)

Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf

berarah, (u, v) dan (v, u) menyatakan dua buah sisi yang

berbeda dengan kata lain (u, v) (v, u).


9

Jenis Sisi Sisi ganda dibolehkan?

Sisi gelang dibolehkan?

Graf sederhana Tak-berarah Tidak Tidak

Graf ganda Tak-berarah Ya Tidak

Graf semu Tak-berarah Ya Ya

Graf berarah Berarah Tidak Tidak

Graf ganda berarah Berarah Ya Ya

Graf campuran Berarah dan tak-berarah

Ya Ya


10

Terminologi Graf

Model Graf

Jaringan Sosial

Contoh :

Acquaintanceship and Friendship

Graphs

Kita dapat menggunakan graf

sederhana untuk mewakili apakah dua

orang saling mengenal satu sama lain.

Apakah mereka berkenalan atau

berteman di sosial media. Setiap

orang dalam kelompok tertentu

diwakili oleh simpul dan sisi berarah

untuk menghubungkan dua orang

yang saling mengenal satu sama lain.


Contoh :

Influence Graphs

Dalam studi pengamatan perilaku suatu kelompok, orang-orang

tertentu dapat mempengaruhi pemikiran orang lain. Setiap orang

dari kelompok diwakili oleh simpul dan sisi berarah diwakili oleh

pengaruh dari simpul. Graf ini tidak mengandung gelang (loop).

Contoh, Deborah tidak dapat dipengaruhi, tapi dia bisa

mempengaruhi Brian, Fred, dan Linda. Ivone dan Brian dapat

mempengaruhi satu sama lain.


Jaringan Komunikasi

Contoh :

Call Graphs

Secara khusus, graf-ganda berarah dapat digunakan untuk model

panggilan, dimana setiap nomor telepon diwakili oleh simpul dan

setiap panggilan telepon diwakili oleh sisi berarah. Sebagai

contoh, pada gambar dibawah, 3 panggilan telah dibuat dari 732-

555-1234 ke 732-555-9876 dan 2 arah lain, tetapi tidak ada

panggilan telah dibuat dari 732-555-4444 ke salah satu 6 nomor

lain kecuali 732-555-0011.


Turnamen

Contoh :

Round-Robin Tournaments

Turnamen yang setiap tim bertanding dengan tim lainnya

hanya sekali disebut turnamen round-robin. Turnamen

semacam itu dimodelkan dengan graf berarah. Simpul

menyatakan tiap tim yang bertanding. Sisi (a, b) berarti tim a

berhasil mengalahkan tim b.


(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

(2,3), (2,4)

(4,3)

(5,2), (5,3), (5,4), (5,6)

(6,2), (6,3), (6,4)

Syarat : tidak boleh ada yang seri

Gambar tersebut memperlihatkan 6 buah tim. Tim 1 tidak terkalahkan,

sedangkan tim 3 tidak pernah menang.

B. TERMINOLOGI DASAR GRAF DAN

JENIS KHUSUS GRAF

Kita akan sering menggunakan istilah yang berkaitan dengan

graf. Dibawah ini didefinisikan beberapa terminologi yang

sering dipakai. Gambar dibawah ini akan digunakan untuk

memperjelas terminologi yang kita definisikan. G1 adalah graf

sederhana, G2 adalah graf semu, dan G3 adalah graf dengan

sebuah simpul yang terpisah dari simpul lainnya. Ketiga buah

graf ini merupakan graf tidak berarah.


15

G1 G2 G3

1. Bertetangga (Adjacent)

Definisi. Dua buah simpul u dan v pada graf tak-berarah G

dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan

sebuah sisi. Dengan kata lain, u bertetangga dengan v jika (u, v)

adalah sebuah sisi pada graf G.

Contoh :

Pada gambar dibawah, simpul 4 bertetangga dengan simpul 2 dan

3, tetapi tidak bertetangga dengan simpul 1.


16

2. Bersisian (Incident)

Definisi. Untuk sembarang sisi e = (u, v), sisi e dikatakan

bersisian dengan simpul u dan simpul v

Contoh :

Gambar di bawah ini, sisi (1, 3) bersisian dngan simpul 1 dan

simpul 3, tetapi sisi (3, 4) tidak bersisian dengan simpul 2.


17

3. Simpul terpencil (Isolated Vertex)

Definisi. Simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian

dengannya atau dapat juga dinyatakan bahwa simpul terpencil

adalah simpul yang tidak satupun bertetangga dengan simpul-

simpul lainnya.

Contoh :

Simpul 5 adalah simpul terpencil


18

4. Graf Kosong (Null Graph atau Empty Graph)

Definisi. Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan

kosong disebut sebagai garaf kosong dan ditulis sebagai Nn

dalam hal ini n adalah julah simpul.

Contoh :


19

Ada istilah yang digunakan untuk menggambarkan suatu

himpunan pada simpul yang bertetangga pada suatu graf.

Definisi. Himpunan semua tetangga pada suatu simpul v dari

G = (V, E) dilambangkan dengan N(v).

5. Derajat (Degree)

Definisi. Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah

jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Sisi gelang

(loop) dihitung berderajat dua. Derajat simpul v dilambangkan

dengan deg (v).


Contoh 1 :

Derajat simpul dan himpunan tetangga simpul dari gambar

berikut adalah :

Contoh 2 :

Derajat simpul dan himpunan tetangga simpul dari gambar

berikut adalah :


deg (a) = 4 N (a) = b,d,e

deg (b) = deg (e) = 6 N (b) = a,b,c,d,e

deg (c) = 1 N (c) = b

deg (d) = 5 N (d) = a,b,e

N (e) = a,b,d

deg (a) = 2 N (a) = b,f

deg (b) = deg (c) = 4 N (b) = a,b,c,e,f

deg (d) = 1 N (c) = b,d,e,f

deg (e) = 3 N (d) = c

deg (f) = 4 N (e) = b,c,f

deg (g) = 0 N (f) = a,b,c,e

N (d) =

Teorema 1 (Teorema Jabat Tangan)

Biarkan G = (V, E) graf tak berarah dengan m jumlah sisi, maka

Catatan :

Berlaku jika memiliki sisi ganda dan gelang (loop)

2m selalu bernilai genap

Teorema ini dikenal dengan (handshaking theorem). Setiap sisi

dihitung dua kali, yaitu pada ujung kiri sebagai bagian dari

simpul kiri dan pada ujung kanan dihitung sebagai bagian dari

simpul kanan. Layaknya orang berjabat tangan maka jumlah

tangan yang berjabatan adalah genap dan jumlah tangan yang

berjabatan adalah dua kali jumlah jabatan tangan yang terjadi.


Contoh 1 :

Jumlah derajat seluruh simpul pada graf dibawah ini adalah :

deg(1) + deg(2) + deg(3) = 3 + 3 + 4 = 2 jumlah sisi = 2 5 = 10

Contoh 2 :

Berapa banyak sisi yang ada di graf dengan 10 simpul masing-

masing 6 derajat ?

Solusi


60= 2m

m = 30

Teorema 2

Graf tak berarah mempunyai jumlah simpul dari derajat ganjil,

untuk sembarang graf G, banyaknya simpul yang berderajat

ganjil selalu genap.

Bukti :

Misalkan V1 dan V2 masing-masing adalah himpunan simpul

yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada graf G = (V, E).

Berdasarkan teorema sebelumnya dimana,

dengan demikian,

untuk v V1 genap dan v V2 ganjil.


Jika deg(v) genap untuk v V1, maka suku pertama dari ruas kiri

persamaan selalu bernilai genap. Ruas kanan juga bernilai genap.

Nilai genap pada ruas kanan hanya benar bila suku kedua dari

ruas kiri juga harus genap.

genap + genap = genap

Jika deg(v) ganjil untuk v V2, maka banyaknya simpul v di

dalam V2 harus genap agar jumlah seluruh derajatnya bernilai

genap. Jadi, banyaknya simpul yang berderajat ganjil selalu

genap.

ganjil + ganjil = genap

Perhatikan graf pada gambar dibawah, banyak simpul yang

berderajat ganjil ada dua buah, yakni simpul 3 dan simpul 4


Derajat simpul dibedakan menjadi dua macam untuk

mencerminkan jumlah sisi dengan simpul tersebut sebagai simpul

asal dan jumlah sisi dengan simpul tersebut sebagai simpul

terminal.

Definisi

Pada graf berarah derajat simpul v dinotasikan dengan degin(v)

dan degout(v).

degin(v) = jumlah busur yang masuk ke simpul v

degout(v) = jumlah busur yang keluar dari simpul v

jadi,

deg(v) = degin(v) + degout(v)

Catatan : Sisi gelang pada graf berarah menyumbangkan 1 untuk

derajat -masuk dan 1 untuk derajat-keluar


Contoh :

Derajat setiap simpul adalah

degin(a) = 2 degout(a) = 4

degin(b) = 2 degout(b) = 1

degin(c) = 3 degout(c) = 2

degin(d) = 2 degout(d) = 2

degin(e) = 3 degout(e) = 3

degin(f) = 0 degout(f) = 0


27

Teorema 3

Pada graf berarah G = (V, E) selalu berlaku hubungan

Pada contoh sebelumnya cukup jelas bahwa

jumlah degin(v) = jumlah degout(v)


28

Beberapa Graf Sederhana

1. Graf Lengkap (Complete Graph)

Graf sederhana terhubung yang setiap simpulnya mempunyai

sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah

simpul dilambangkan dengan Kn. Setiap simpul pada Kn

berderajat n – 1


29

2. Graf Lingkaran (Cycles)

Graf lingkaran berorde n, dilambangkan dengan Cn , adalah

graf yang titik-titiknya dapat dilabeli berturut-turut dengan

v1, v2, ..., vn-1, vn sehingga E(Cn ) = {v1v2, v2v3,..., vn-1vn, vnv1}.


30

3. Graf Teratur (Regular Graphs)

Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama.

Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut

disebut graf teratur berderajat r. Jumlah sisi pada graf teratur

derajat r dengan n buah simpul adalah nr/2.


31

n = 4, r = 3 n = 6, r = 3 n = 8, r = 3

(a) (c)(b)

Graf Bipartit

Definisi

Graf G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi

dua himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi

di dalam G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah

simpul di V2 dan dinyatakan sebagai G(V1, V2 ). Dengan kata lain,

setiap pasang simpul di V1 dengan simpul di V2 tidak bertetangga.

Apabila setiap simpul di V1 bertetangga dengan semua simpul di

V2, maka G(V1, V2 ) disebut graf bipartit lengkap, dilambangkan

dengan Km,n. Jumlah sisi pada graf bipartit lengkap adalah mn.


32

Contoh :

C6 adalah bipartit, seperti yang ditunjukkan pada gambar 7.

Himpunan simpulnya dikelompokkan menjadi dua yakni V1 dan

V2. V1 = {V1,V3,V5} dan V2 = {V2,V4,V6}. Setiap sisi C6

menghubungkan simpul di V1 dan simpul di V2.


33

Teorema 4

Sebuah graf sederhana dikatakan bipartit jika dan hanya jika ada

kemungkinan untuk menetapkan satu dari dua warna yang

berbeda untuk masing-masing simpul dari graf sehingga tidak ada

dua simpul yang berdekatan mempunyai warna yang sama.

Bukti :

Misalkan G = (V, E) graf sederhana bipartit. V =V1∪ V2 dua

himpunan yang berbeda. Setiap sisi dalam E menghubungkan

simpul V1 dan V2, masing-masing simpul menggunakan warna

yang berbeda. Biarkan V1 himpunan simpul satu warna dan V2

himpunan simpul dengan warna lain yang saling lepas. Selain itu,

setiap sisi menghubungkan simpul di V1 dan simpul di V2, karena

tidak ada dua simpul yang berdekatan maka G adalah bipartit.


Contoh :

Graf G pada gambar 9 adalah graf bipartit lengkap K2,3, K3,3, K3,5,

K2,6.


35

Teorema 5

Hall’s Marriage Theorem

Misalkan G adalah graf bipartit dengan V1 dan V2. Kemudian G mengandung pencocokan

lengkap dari V1 dan V2 jika dan hanya jika | T(S) | ≥ | S | untuk setiap S subsets V1.

Bukti :

Basis step : n = | V1 |, untuk n = 1

Inductive step : Misalkan n ≥ 2 berlaku untuk semua graf dengan | V1 | < n. Pertimbangkan

graf G dengan | V1 | = n dan asumsikan Hall’s Mariage terhadap 2 kasus :

a) Misalkan | T(S) | > | S | untuk setiap ∅ ≠ S subset V1. Biarkan xy berada disisi G dengan

x ∈ V1 dan y ∈ V2. Dengan menghilangkan simpul x dan y di G’ dari G maka G’

memenuhi kondisi Hall’s (jika ∅ ≠ S subset V1 \ x maka | T(S) | ≥ | T(S) | - 1 ≥ | S | ) dan

induksi G’ memiliki pencocokan lengkap dari V1 \ x ke V2 \ y . Dengan menambahkan

sisi xy maka pencocokan lengkap.

b) Jika kasus (a) not hold, maka | T(S) | = | S | untuk setiap ∅ ≠ S V1. Graf bipartit oleh

S ∪ T (S) memenuhi kondisi Hall’s sehingga ada pencocokan lengkap dari S ke T (S).

Perhatikan T = V1 \ S dan U = V2 \ T(S). Jika graf bipartit diinduksi oleh T ∪ U, maka

memenuhi kondisi Hall’s untuk setiap A subset T. Hal ini dapat kita buktikan dengan,


| T(A) ∩ U | = | T(A ∪ S) ∩ (V2 \ T(S) |

= | T(A ∪ S) - (T(S) |

≥ | A ∪ S | - | S | = | A | (karena | T(A ∪ S) | ≥ | A ∪ S | dan | T(S) | = | S |)

Dengan demikian, terdapat pencocokan lengkap dari T ke U.


Contoh :

Job Assignments

Misalkan m adalah karyawan dalam suatu kelompok dan n adalah pekerjaan yang dilakukan, dimana m ≥ n. Setiap karyawan dilatih untuk melakukan satu atau lebih pekerjaan. Kita ingin menetapkan seorang karyawan untuk setiap pekerjaan. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan graf untuk memodelkan kemampuan karyawan. Setiap karyawan diwakili dengan simpul dan setiap pekerjaan diwakili juga dengan simpul. Masing-masing karyawan kita hubungkan dengan pekerjaan yang telah dilatih untuk melakukannya.

Pertama, anggaplah bahwa kelompok ini memilik 4 karyawan yakni, Alvarez, Berkowitz, Chen, dan Davis. Ada 4 pekerjaan yang harus dilakukan yaitu, requirements, architecture, implementation, dan testing. Misalnya Alvarez telah dilatih untuk melakukan requirements dan testing, Berkowizt telah dilatih untuk melakukan architecture, implementation, dan testing, Chen dilatih requirements, architecture, dan implementation, dan Davis hanya dilatih untuk melakukan requirements.

Seperti yang tertera pada gambar (a), model semacam ini menggunakan graf bipartit.


Contoh :

Carilah gabungan graf G1 dan G2 yang ditunjukkan pada gambar

16.

Solusi :

Simpul G1 ∪ G2 merupakan gabungan dari dua himpunan simpul

yaitu {a,b,c,d,e,f}. Sisi himpunan adalah gabungan dari dua sisi

himpunan.


39

C. REPRESENTASI GRAF DAN

GRAF ISOMORFIK

Representasi Graf

Cara lain untuk mewakili graf tanpa sisi ganda

adalah dengan menggunakan daftar kedekatan yang

menentukan simpul yang berdekatan dengan simpul

lain dari graf.


40

1. Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)

Matriks ketetanggaan adalah representasi graf yang paling

umum. Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul, n ≥ 1.

Matriks ketetanggaan G adalah matriks yang berukuran n × n.

aij = 1 jika simpul i dan j bertetangga, sebaliknya aij = 0 jika

simpul i dan j tidak bertetangga.


41

Contoh :

Memperlihatkan graf sederhana dengan matriks ketetanggaanna,

masing-masing graf terhubung, graf tak-terhubung, dan graf

berarah.


42

2. Matriks Bersisian (incidency matrix)

Matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi.

Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul dan m buah sisi.

Matriks bersisian G adalah matriks yang berukuran n × m.

Baris menunjukkan label simpul, sedangkan kolom menunjukan

label sisinya. aij = 1 jika simpul i bersisian dengan sisi j,

sebaliknya aij = 0 jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j.


43

Contoh :

Memperlihatkan matriks bersisian untuk graf yang

direpresentasikan. Jumlah elemen matriks adalah 6 × 5 = 30


44

Graf Isomorfik

Definisi

Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat

korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan

antara sisi-sisi keduanya sedemikian sehingga jika sisi e bersisian

dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkorespon di G2

juga harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ di G2.


45

Tunjukkan graf G = (V, E) dan H = (W, F) adalah isomorfik.

Perhatikan gambar G dan H dibawah ini.


46

Gambar (a) dan (b) merupakan isomorfik


47

D. KETERHUBUNGAN

1. Lintasan (Path)

Definisi

Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di

dalam graf G adalah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-

sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2, ..., vn-1, en, vn sedemikian sehingga

e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ..., en = (vn-1, vn ) adalah sisi-sisi dari graf G.

Simpul dan sisi yang dilalui di dalam lintasan boleh berulang. Istilah

dalam lintasan yaitu, lintasan sederhana (simple path) jika semua

simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali), lintasan

tertutup (closed path) lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul

yang sama, dan lintasan terbuka (open path) lintasan yang tidak

berawal dan berakhir pada simpul yang sama.


48

Contoh :

Lintasan 1, 2, 4, 3 merupakan lintasan sederhana dan lintasan

terbuka.

Lintasan 1, 2, 4, 3, 1 merupakan lintasan sederhana dan

lintasan tertutup.

Lintasan 1, 2, 4, 3, 2 bukan lintasan sederhana, tetapi lintasan

terbuka


49

2. Siklus (cycle) atau Sirkuit (circuit)

Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama.

Contoh :

1, 2, 3, 1 adalah sirkuit sederhana

1, 2, 4, 3, 2, 1 bukan sirkuit sederhana, sisi (1, 2) dilalui dua

kali.


50

3. Terhubung (Connected)

Definisi

Graf tak berarah G disebut graf terhubung jika untuk setiap

pasang simpul u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan

dari u ke v. Jika tidak, maka G graf tak terhubung


51

Definisi

Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak berarahnya

terhubung (graf tak berarah dari G diperoleh dengan

menghilangkan arahnya).

Keterhubungan dua buah simpul pada graf berarah dibedakan

menjadi terhubung kuat dan terhubung lemah.


52

Definisi

Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph) apabila untuk setiap pasang simpul sembarang u dan v

Dua simpul u dan v pada graf berarah disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v.

Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi tetap terhubung pada graf tak berarah, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly connected).


53

Pada gambar (a), simpul 1 dan simpul 3 terhubung kuat karena

terdapat lintasan dari 1 ke 3 (yaitu 1, 2, 3), begitu juga terdapat

lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 4, 5, 1).

Pada gambar (b), simpul 1 dan simpul 3 terhubung lemah

karena hanya terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 5, 4, 1),

tetapi tidak ada lintasan dari 1 ke 3.


54

(a)

1

2

3

5

4(b)

25

34

1

Contoh :

Jawaban Latihan Soal


55

1. Graf perkenalan yang menunjukkan bahwa Tom dan Patricia,

Tom dan Hope, Tom dan Sandi, Tom dan Amy, Tom dan

Marika, Jeff dan Patricia, Jeff dan Mary, Patricia dan Hope,

my dan Hope, Amy dan Marika saling mengenal, tetapi tidak

ada pasangan lain yang saling mengenal.

Solusi :


56

2. Berapa banyak sisi yang ada pada graf dengan derajat barisan 4, 3, 3, 2, 2 ? Gambarkanlah grafnya !

Solusi :

Misalkan banyak sisi pada graf adalah m maka,

4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 2m

14 = 2m

7 = m

jadi, banyak sisi pada graf tersebut adalah 7


57

3. Tunjukkan bahwa isomorfisma dari graf sederhana adalah relasi ekuivalen.

Solusi :

Misalkan G, H, dan K graf sederhana yang isomorfik.

Refleksif, untuk semua graf sederhana, G ≅ G dengan f (Vg) = Vg .

Simetrik, jika G≅ H maka H ≅ G. Artinya, terdapat fungsi korespondensi

satu-satu f dari G ke H yang mempertahankan sisi bersisian dan sisi tak

bersisian sehingga f-1 adalah fungsi korespondensi satu-satu dari H ke G yang

juga mempertahankan sisi bersisian dan tak bersisian.

Transitif, jika G≅ H dan H ≅ K, maka G ≅ K. Artinya, terdapat fungsi

korespondensi satu-satu f dari G ke H dan korespondensi satu-satu g dari H ke

K yang mempertahankan sisi bersisian dan tak bersisian. Akibatnya, g ⃘ f juga

memenuhi fungsi korespondensi satu-satu dari G ke K yang mempertahankan

sisi bersisian dan tak bersisian.

Dengan demikian, isomorfisma graf sederhana merupakan relasi ekuivalen.


58

4. Tunjukkan bahwa setiap graf terhubung dengan n titik

mempunyai paling sedikit n -1 sisi

Solusi :


59

#Man Jadda Wa Jada


60

discrete mathematics & its applications (graphs)

Science