discussion on: ‘robust controller design for uncertain nonlinear systems via fuzzy modelling...

2
European Journal of Control (2002)8:551±552 # 2002 EUCA Discussion on: `Robust Controller Design for Uncertain Nonlinear Systems via Fuzzy Modelling Approach with Application to the Stabilization of Power Systems' by F. Zheng and P.M. Frank 1. Discussion by L. Imsland 1 The authors consider stabilization of (uncertain) nonlinear systems by constructing controllers based on a `T±S fuzzy model' approximation of the non- linear system. To improve robustness, uncertain terms are included in the T±S fuzzy model. However, no guarantees are given that the uncertain fuzzy model `contains' the nonlinear system; hence robustness only hold as far as the uncertain fuzzy model is a good approximation of the nonlinear system. The first part considers uncertainties in the system matrices. The contribution of this part (Theorems 1 and 2) is the introduction of two parameters that make the controller synthesis LMIs less conservative than the similar LMIs in [3]. In the second part, also additive `persistent external disturbances' are considered, and a controller term that takes care of these disturbances are added to the controller from the first part. This discussion aims at shedding some light on the connection between this controller, and the controller considered in [1]. In [1], input affine nonlinear systems on the form _ x ft, x Bt, xu 1 are considered. The term 2 { jkk } is a bounded matched additive term which can contain model uncertainty as well as (persistent) external disturbances. It is assumed that there exists a scalar function V(t, x) satisfying 1 kxk Vt, x 2 kxk, @Vt, x @t @ Vt, x @ x ft, x 3 kxk, where i , i 1, 2, 3 are class-K functions (continuous and increasing), and 1 (kxk) !1 as kxk!1. This implies that the system _ x ft, x is globally uni- formly asymptotically stable. Using V(t, x) as a Lyapunov function candidate for the full system, it follows that along the solutions of (1), @ Vt, x @t @ Vt, x @ x ft, x @ Vt, x @ x Bt, xu 3 kxk @Vt, x @x Bt, xu : If it is possible to define u such that max 2fjkk g @ Vt, x @ x Bt, xu 0, then the system (1) is globally asymptotically stable. It turns out that such controllers are discontinuous, making de®nitions of solutions of the differential equations an issue, which is the main theme in [1]. Disregarding this problem, which is also largely dis- regarded by Zheng and Frank, this is achieved by the controller (which was suggested earlier than [1], see the references therein) u t, x kt, xk if t, x 6 0, 0 if t, x 0, 8 < : where (t, x) B T (t, x)[@V(t, x)/@ x] T . 1 Department of Engineering Cybernetics, Norwegian University of Science and Technology, 7491 Trondheim, Norway; E-mail: [email protected]

Upload: dodang

Post on 02-Jan-2017

215 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

������� ����� �� ����� ���������������� ���� �� �

���������� �� ����� ��� ������ ������ ��� ����� ��� ������������ ��� ��� ����� ��������� � ����! "� ! � ���� ��� � !� � ������� ��� �� #�"�� ��� ���$ �� �% &!��� ��� #%�% ����'

(% ���������� �� )% *�������

��� ������� ������� ��� ���!���� �� ��������������� �"���#� " ���������$ ���������� ����� � %��& ��!!" #����' �����(�#���� �� ��� �)����� �"���#* �� �#���+� �� ������, ������� ���#���� ������� � ��� ��& ��!!" #����* -�.�+��, �$�������� ��� $�+� ���� ��� ������� ��!!" #����%������' ��� ������ �"���#/ ���� �� ������ ��"���� �� ��� �� ��� ������� ��!!" #���� �� � $��������(�#���� �� ��� ������ �"���#*��� ����� ���� �������� ����������� � ��� �"���#

#�������* ��� ����� ���� �� ���� ���� �������#� ��� �� �� ��� ���������� �� �.� ����#����� ����#�0� ��� ��������� �"������ 123� ���� �����+���+���� ��� ��#���� 123� � 456*3 ��� ����� ����, ���� ������+� %��������� �(�����

������ ����' ��� ���������, �� � ��������� ���#���� ��0�� ���� �� ����� ������ ���� ��� ����� �� ������������ ���# ��� ����� ����* ���� ��������� ��#� ��������$ ��#� ��$�� � ��� ������� ��.�� �������������, �� ��� ��������� ��������� � 4�6*3 4�6, ���� ����� ������ �"���#� � ��� ���#

�� � ���, �� � ���, ���� � �� ���

��� ���������* ��� ���# �� 7� ���� ��8 �� � ����� ����� ������+� ���# .���� �� �����#���� ��������" �� .��� �� ����������� �(����������� ����* 3� �� ����#�� ���� ����� �(���� �

������ ������ ��, �� ������"�$

������� ��, �� �������,� ��, ��

��� � ��, ��

�����, �� �5�����,

.���� ��, �� �, �, 5 ��� �����)� ������� ����������� �������$�, �� �������� �� ���� * �����#����� ���� ��� �"���# �� � ���, �� �� $�� ���" ��)���#�" ��"#���������" ��� ��* ���$ ��, �� �� �1"����+ ������ �������� ��� ��� ���� �"���#, �������.� ���� ���$ ��� �������� �� ���,

� ��, ����

� � ��, ����

���, ��� � ��, ����

���, ����� ��

�5������ � ��, ����

���, ����� ���

3� �� �� ����� �� �� ����� � ���� ����

#�(�����������

� ��, ����

���, ����� �� �,

��� ��� �"���# ��� �� $�� ���" ��"#���������" ��� ��* 3����� ��� ���� ���� ���������� ��� �����������,#�0�$ ��9����� �� �������� �� ��� ������������:������ � �����, .���� �� ��� #�� ���#� � 4�6*;����$����$ ���� ��� ��#, .���� �� ���� ���$��" ���)��$����� " <��$ �� =��0, ���� �� �����+�� " ������������ �.���� .�� ��$$����� ������� ��� 4�6, ������ ��������� �������

� � �����, ��

����, ��� �� ���, �� �� �,

� �� ���, �� � �,

���

.���� ���, �������, ��4� ��, ��>��6�*

�;�����#�� �� �$�����$ " �������, ?��.�$�� ��+�����" ��&����� �� �������$", @AB� �������#, ?��.�"/�)#���� 1���*3#����C��0*��*�

3 ��� ���� �� � ���� ��������", ���� �� ��#� �� ����$$����� � ��� ����� " <��$ �� =��0 .�� ��������� �"���# �� �������� .��� ��� ��!!" #����*������# � ��� ������# �� ������� ���� � �(����, ����� ������ ���� ���� � ��� �������� �� �� �� �����#� �� ���, �� � �+�*3��� ����������� #�0� ��� ��#) ��� � �

������� � � �� #��� � ������� .��� ��#� #�������* ��� �������� ���� " <��$ �� =��0 �� ��0����� �� ���� �����������, �� ��� ��#� �� ��� ��������� &����� D333 �� 4�6, ����� ���# ���$ �������� ��#) ���� � ��� ���� ��������"*�� � ���� ��#��0, �� ������ � #������ ���� ����

�)�����#��� �"���#� ��� ���������, � � � �� �����+�� � ������# � ��� ������#� � �� 5� �� �����$� �� ������� ��"#������ ��� ����"* ���� �� .���0�. ���# #��� ��(� ��0� � ������ ��������*$* 4�6�* -�.�+��, ���� �� �����" ��(�� " ����$ �������+� ������� #����( �+���� ��� �� ���0 ��,�� �� �������+�� 123�*

+% ����� ������ � �� !� �� !����% &!���� ��� #%�% ����'5

E� �$��� .��� 3#���� ���� %�� ������ ��" ����� ����� �� ��� ������� ��!!" #���� �� � $��� �����()�#���� �� ��� ������ �"���#'* �� �#�����!� ��������, .� ��+� ������� � ����$���� � ��� �� �� ��������� �� ������� ��� ���������� ��. �� ���� ����� ������ �� ��� ���$��� ������ �"���# ���# ������ ��� ����+�� ��!!" �"���#*E� ���� �$��� � ��� +��.���� � ��� ��� ����)

��� ��.�� ��� ���������� �� ��� �� ���+���� �4�6* E� .���� ��0� �� ���� ��� ���� ��� #��� �#���)��� ��������� ��.�� ��� ������� �� ����� � 4�6 ����� ���� ��� ���������� �� ���� .��� ��� #�����$�� �)#�����$ ����������� ��#���������"*E��� ��$��� �� ��� ���� ��#��0 " 3#����, .� ���0

���� ��� �������� � ������#� �, � �� 5 ��� ���$�

�� $������� ��"#������ ��� ����"* ��� ����� �� �������.�, ��0�$ ������# � �� � �(�#���* &������123 ���� � ���� ����� ����� ��� �� �, � � � , �* 3� ��� �� ���. ����

� ��� �����

������������,

�� � �, � � �, � � � , ��

&��� � �� 9���, ����� �(���� � ������+� ��9��� #����(�� ���� ����

�� � ��, � � �, � � � , ��

?�., .� ��+�

� ��� �����

������������

� �������

�� �����,

.���� �� �� ���� �� ������+� ��9���* ����"�$1"����+ ������# ��� �)�����#��� �"���#�, .��� ������� ���� ��� ������� �"���# ���� ����"#���������" ��� ��* ���������, ����� �� � ��� ����� ��#� ����� ������+� ��9��� #����( �� ���0 ��,���� ��� ����+�� 123�*

����������

�* F��#� &* ������� �"�#���� �"���#� � � 1"����+#��#�( ��������* 3��� ���� ����# ����� �B@B/�A�5�� A5@�AA5

�* G����� -G* ?������ &"���#�* 5�� ��* H������ -���,����� &����� I�+��, ? �@A��, ����

5* G����0���� G* ?�)����� ������ �"���# ����$ +����!!" #������$ �� 123�* 3� ����� �BBB/ @��@����J@J�J��* 2������� #���� ���������� �� #������$ ��������*

�=���$� ��� ?������������������ &"���#�, =�0����K � ��K �3$�����.�����������, F������)2�������)��+������K � ;��� ��$,L��#���0���* ��, A@��@ ;��� ��$, F��#�"* �)#���� !��$C����*��)���� ��$*��5;�����#�� �� 2������#�� �� �����, =�����" �� �����������$�����$, F������)2�������)��+������� ;��� ��$, A@�A�;��� ��$, F��#�"*

��� ��������� �� ������� ���������� ������ ��� �������� ��������� � �����!