disegno del modello di analisi dei dati sperimentali lezione 1: modelli lineari generalizzati e...

Disegno del modello di analisi dei dati sperimentali

Lezione 1:

Modelli Lineari Generalizzati

e disegno degli esperimenti

Esempi di Modelli Lineari Generalizzati (GLM)

Regressione lineare Semplice:

xy 10

Es: Profondità alla quale un disco bianco non è più visibile in un lago

y = Profondità alla scomparsax = concentrazione d'azoto nell'acqua

0 2 4 6 8 10

N/volume water

0

2

4

6

8

10

Dep

th (

m)

Il residuo ε esprime la deviazione tra il modello e l’osservazione eseguita

β0

Intercept

β1

Slope

variabiledipendente

variabileIndipendente

regression Polinomiale:

Es: : y = Profondità alla scomparsax = concentrazione d'azoto nell'acqua

0 2 4 6 8 10

N/volume water

0

2

4

6

8

10

Dep

th (

m)

2210 xxy

regressione Multipla :

21322110 xxxxy

Es: y = Profondità alla scomparsax1 = Concentrazione di N

x2 = Concentrazione di P

02

4

6

8Concentration of N

0

2

4

6

8

Concentration of P

0

2

4

6

8

10

Depth

0

2

4

6

8

10

Depth

Es: y = Profondità alla scomparsax1 = disco Blue

x2 = disco verde

White Blue Green

Disc color

0

2

4

6

8

10

De

pth

22110 xxy

x1= 0; x2 = 0x1= 1; x2= 0x1= 0; x2= 1

analisi della varianza (ANOVA)

Analisi di covarianza (ANCOVA):

3253143322110 xxxxxxxy

Es: y = Profondità alla scomparsax1 = disco Blue

x2 = disco verde

x3 = Concentrazione di N

0 2 4 6 8 10

Concentration of N

0

2

4

6

8

10

Dep

th

Nested analisi della varianza (Annidata):

jiiy )(

Es: y = Profondità alla scomparsaαi = effetto del i-mo lago

β(i)j = effetto del j-ma misurazione nel i-mo lago

Che cosa non è un modello generale lineare ?

y = β0(1+β1x)

y = β0+cos(β1+β2x)

Altre tecniche coperte da questo corso:

• Analisi della varianza multivariata (MANOVA)

• Misurazioni ripetute

• Regressione Logistica

disegno sperimentale

Esempi

disegno di studio randomizzato

• Gli effetti di p trattamenti (i.e. farmaci) sono comparati

• il numero totale di unità sperimentali (persone) è n

• Il trattamento i è somministrato a ni unità

• L’assegnazione dei trattamenti tra le unità sperimentali è casuale

Esempio di disegno randomizzato

• 4 farmaci (chiamato A, B, C, e D) sono testati (i.e. p=4)

• 12 persone sono disponibili (i.e. n = 12)

• ogni trattamento è dato a 3 persone (i.e. ni = 3 for i = 1,2,..,p) (i.e. disegno è bilanciato)

• Le persone sono assegnate ”random” ai trattamenti

n

yy ij

farmaci

A B C D Total

y1A

y2A

y3A

y1B

y2B

y3B

y1C

y2C

y3C

y1D

y2D

y3D

A

jAA n

yy

B

jBB n

yy

C

jCC n

yy

D

jDD n

yy

DD

CC

BB

AA

yy

yy

yy

yy

Nota!Persone Differenti

DD

CC

BB

AA

yy

yy

yy

yy

0Ay

10 By AB yy 1

ADD

ACC

yyy

yyy

330

220

30

20

10

0

11 x

12 x

13 x

3322110 xxxy

Fonte Gradi di libetrtà

stima di

trattamenti ( )

Residui

1

p - 1 = 3

n-p = 8

Total n = 12

0

321

disegno a blocchi randomizzati

• tutti i trattamenti sono assegnati alle stesse unitàsperimentali

• i trattamenti sono assegnati a caso

B C B

A B D

D A A

C D C

blocchi (b = 3)

trattamenti (p = 4)

trattamenti

persone

A B C D Average

1

2

3

Average

Cy1 Dy1

Ay2

Ay3

Cy2By2 Dy2

By3 Cy3 Dy3

Ay By

1y

2y

3y

Cy Dy y

55443322110 xxxxxy

blocchi (b-1) trattamenti (p-1)

Ay1 By1

fonte Gradi di libetrtà

stima di

blocchi (persone)

trattamenti (farmaci)

Residuo

1

b - 1 = 2

p-1 = 3

n-[(b-1)+(p-1)+1] = 6

Total n = 12

0

disegno a blocchi randomizzati

disegno a blocchi doppi (quadrati-latini)

Persone

Sequence

1 2 3 4

1 B D A C

2 A C D B

3 C A B D

4 D B C A

Righe(a =4)

Colonne (b = 4)

9988776655443322110 xxxxxxxxxy

Sequence (a-1) persone (b-1)

farmaci (p-1)


stima di

Righe (sequences)

blocchi (persone)

trattamenti ( farmaci )

Residui

1

a-1 = 3

b - 1 = 3

p-1 = 3

n-[3(p-1)+1] = 6

Total n = p2 = 16

0

disegno Latin-square

disegno fattoriale

• Sono usati quando gli Effetti combinati dovuti o più di fattori sono studiati simultaneamente.

• Come esempio, supponga che il fattore A sia un farmaco ed il fattore B sia la via di somministra-zione del farmaco

• Il fattore A accade in tre differenti livelli (chiamati farmaco A1, A2 e A3)

• Il fattore B accade in 4 differenti livelli (chiamati B1, B2, B3 e B4)

disegno fattorialefattore B

fattore A

B1 B2 B3 B4 Average

A1 y11 y12 y13 y14

A2 y21 y22 y23 y24

A3 y31 y32 y33 y34

Average

1y

2y

3y

1y 2y 3y 4y y

55443322110 xxxxxyij

effetto di A effetto di B Non interazione tra A e B

esperimento fattoriale senza interazione

• tempo di Sopravvivenza a 15oC e 50% UR: 17 giorni



• Qual’è il tempo di Sopravvivenza atteso a 25oC e 80% UR?

• Un aumento in temperature da 15oC a 25oC at 50% UR decresce il tempo di Sopravvivenza di 9 giorni

• Un aumento in UR da 50% ad 80% a 15oC accresce il tempo di Sopravvivenza di 2 giorni

• Un aumento in temperatura da 15oC a 25oC e un aumento in UR da 50% a 80% fa attendere una variazione del tempo di Sopravvivenza di –9+2 = -7 giorni


10 15 20 25 30

Temperature (oC)

0

5

10

15

20

25S

urv

ival

tim

e (d

ays)

50 % UR

80 % RH


10 15 20 25 30

Temperature (oC)

0

5

10

15

20

25S

urv

ival

tim

e (d

ays)

50 % UR

80 % UR

10 15 20 25 30

Temperature (oC)

0

5

10

15

20

25S

urv

ival

tim

e (d

ays)


22110 xxyij

0

1

2

esperimento fattoriale con interazione

10 15 20 25 30

Temperature (oC)

0

5

10

15

20

25S

urv

ival

tim

e (d

ays)

0

1

2

3

21322110 xxxxyij

disegno fattoriale s

fattore B

fattore A

B1 B2 B3 B4 Average

A1 y11 y12 y13 y14

A2 y21 y22 y23 y24

A3 y31 y32 y33 y34

Average

1y

2y

3y

1y 2y 3y 4y y

effetto di A effetto di B

5211421032951841731655443322110 xxxxxxxxxxxxxxxxxyij

Interazioni tra A e B


stima di

fattore A (drug)

fattore B (somministrazione)


Residui

1

a-1 = 2

b - 1 = 3

(a-1)(b-1) = 6

n- ab = 0

Total n = ab = 12

0

disegno fattoriale a due-way con interazione, ma senza replicazione


stima di

fattore A (drug)


Residui

1

a-1 = 2

b - 1 = 3

n- a-b+1 = 6

Total n = ab = 12

0

disegno fattoriale a due-vie senza repliche

In assenza di repliche, è necessario assumere l’assenza di interazione tra fattori!


stima di

fattore A (drug)



Residui

1

a-1

b - 1

(a-1)(b-1)

ab( r-1)

Total n = rab

0

disegno fattoriale a due-vie con repliche


stima di

fattore A (drug)



Residui

1

a-1 = 2

b – 1 = 3

(a-1)(b-1) = 6

ab( r-1) = 12

Total n = rab = 24

0

disegno fattoriale a due-vie con interazione (r = 2)

Factor CFactor B

Factor A

Factor A

10109988776655443322110 xxxxxxxxxxyijk

fattore B fattore C

disegno fattoriale a tre-vie

fattore A

42203219101189117811671156114511341123111 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 10 Main Effetti

31 due-way interazioni

107272972718727094145841441031439314283141 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

30 Three-way interazioni


stima di

fattore A

fattore B

fattore C


Interazioni tra A e C

Interazioni tra B e C

Interazioni tra A, B e C

Residui

1

a-1 = 2

b – 1 = 5

c-1 = 3

(a-1)(b-1) = 10

(a-1)(c-1) = 6

(b-1)(c-1) = 15

(a-1)(b-1)(c-1) = 30

abc( r-1) = 0

Total n = rabc = 72

0

disegno fattoriale a Tre-vie

perchè più di due livelli di un fattore dovrebbero essere usati in un disegno

fattoriale ?

due-livelli di un fattore

10 15 20 25 30

Temperature (oC)

0

5

10

15

20

25

30S

urv

ival

tim

e (d

ays)

10 15 20 25 30

Temperature (oC)

0

5

10

15

20

25

30S

urv

ival

tim

e (d

ays)

Tre-livelli

fattore qualitativo

22110 xxy

1

Low Medium High

0

2

10 15 20 25 30

Temperature (oC)

0

5

10

15

20

25

30S

urv

ival

tim

e (d

ays)

Tre-livelli

fattore quantitative

2210 xxy

Perchè in un un disegno fattoriale devono

essere usati non molti livelli di ogni fattore ?

Perchè ogni livello di ogni fattore accresce il numero di unità sperimentali da usare

per esempio, un esperimento a cinque fattori con quattro livelli per fattore da origine a 45 = 1024 differenti combinazioni

se non tutte le combinazioni sono applicate in un esperimento, il disegno è partialmente fattoriale

disegno del modello di analisi dei dati sperimentali lezione 1: modelli lineari generalizzati e...

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